SADRŽAJ:

UVOD.................................................................................................................3

1.ELEKTRIČNO POLJE.................................................................................4

1.1 ELEKTRIČNO POLJE TOČKASTOG NABOJA..................................51.2 ELEKTRIČNO POLJE SUSTAVA TOČKASTIH NABOJA.................61.3 SILNICE ELEKTRIČNOG POLJA.........................................................61.4 RASPODJELA NABOJA..........................................................................7

2. TOK VEKTORA ELEKTRIČNOG POLJA - GAUSSOV ZAKON......10

2.1. TOK VEKTORA ELEKTRIČNOG POLJA.........................................112.1.1 ELEKTRIČNO POLJE TOČKASTOG NABOJA.............................122.2. HOMOGENO ELEKTRIČNO POLJE.................................................14 3. ELEKTRIČNI POTENCIJAL I RAD ELEKTRIČNOG POLJA..........15

ZAKLJUČAK...................................................................................................17

L I T E R A T U R A..........................................................................................19

UVOD

"Iz dana u dan sam se pitao šta je to elektricitet, ali nisam nalazio odgovor... i još uvek sebi

postavljam to isto pitanje. Elektricitet je za mene sve... Dan kada tačno saznamo šta je elektricitet biće najznačajniji datum u istoriji čovečanstva".

(Nikola Tesla)

Elektrostatika je oblast elektrotehnike u kojoj se izučava elektricitet u mirovanju

makroskopski posmatrano u odnosu na posmatračev referentni sistem, što znači da

naelektrisanja smatramo statičkim (u miru) iako u njima postoji stalno kretanje

naelektrisanih čestica.

Prema shvatanjima savremene fizike, svako uzajamno djelovanje (osim mehaničkog)

prenosi se posredstvom fizičkog polja. Fizička polja se prostiru brzinom svjetlosti.

Polje u okolini naelektrisanog tijela koje miruje naziva se elektrostatičko polje E.

2

1.ELEKTRIČNO POLJE Poznato je da masa "osjeća" gravitacijsku silu. Uzrok je prisutnost zemljina magnetskog polja. Kada se naboj dovede u blizinu nekog drugog naboja na njega djeluje Coulombova elektrostatička sila, pa tvrdimo kako je djelovanje te sile posljedica činjenice da se naboj nalazi u električnom polju. Električno polje je prostor u kojem naboj osjeća djelovanje sile i vektorska je veličina. U širem značenju električno polje je funkcija prostornih koordinata i vremena. Narednu analizu ograničit ćemo samo na posebni slučaj električnog polja koje ovisi samo o prostornim koordinatama (elektrostatičko polje). Također radi jednostavnosti pretpostavka je da se proučava djelovanje naboja koji se nalaze u vakuumu, odnosno zraku. Kasnije će se analiza proširiti i na prisutnost naboja u materijalnoj sredini (dielektriku). Za određivanje iznosa i smjera električnog polja primjenjuje se probni naboj (Q0). To je dovoljno malen točkasti naboj koji svojim iznosom ne remeti polje koje se proučava, tj. slika polja se zbog prisutnosti probnog naboja ne deformira. Probni naboj se zbog jednoznačnog tretiranja polja uvijek uzima pozitivnim. Proučavanje električnog polja svodi se na ispitivanje sile koja djeluje na probni naboj kada ga smještamo u različite točke polja. Ako na probni naboj djeluje sila, tada u toj točki prostora postoji električno polje. Jakost (intenzitet) električnog polja E u nekoj točki električnog polja definira se kao sila koja djeluje na pozitivni probni naboj smješten u toj točki polja, tj.:

Brojčano (po iznosu) električno polje je jednako sili koja djeluje na jedinični probni naboj. Smjer vektora električnog polja je smjer vektora sile koja djeluje na pozitivni probni naboj.

3

1.1 ELEKTRIČNO POLJE TOČKASTOG NABOJA Analizirajmo izolirani točkasti naboj Q zbog kojega se u okolnom prostoru formira električno polje kao na Slici 2.1:

Jakost električnog polja u bilo kojoj točki T na udaljenosti r od naboja Q dobije se tako da se u točku T postavi probni naboj Q0. Na probni naboj sada djeluje odbojna sila. Primijeni li se izraz za Coulomb-ovu silu među nabojima Q i Q0 slijedi:

pa je električno polje točkastog naboja na mjestu gdje se nalazi probni naboj:

Iz gornje relacije može se zaključiti: • Jakost električnog polja proporcionalna je naboju Q koji je i uzrok nastajanja polja, a opada s kvadratom udaljenosti promatrane točke od naboja Q. • Polje točkastog naboja jednako je u svim točkama koje su jednako udaljene od naboja, tj. polje je radijalno (centralno simetrično). • Sve točke na nekoj koncentričnoj sfernoj površini kojoj je Q središte imaju jednaki iznos električnog polja. To su tzv. ekvipotencijalne plohe.

4

1.2 ELEKTRIČNO POLJE SUSTAVA TOČKASTIH NABOJA Razmatra li se skupina od n naboja Q1, Q2, ... , Qn, proizvoljno smještenih u prostoru, rezultirajuće električno polje u nekoj točki T dobije se primjenom načela superpozicije. U točku T postavi se probni naboj Q0 i odredi rezultirajuća sila, kao što je već opisano u prethodnom poglavlju. Primjeni li se na dobivenu silu relacija za električno polje dobije se:

Izravna primjena Coulomb-ove sile za određivanje polja moguća je u jednostavnom slučaju točkastih naboja, gdje je sav naboj koncentriran u jednoj točki. Ako je naboj na određen način raspoređen u prostoru (linijski, plošni ili prostorni naboj) dobije se složeno električno polje koje se proračunava drugim metodama .

1.3 SILNICE ELEKTRIČNOG POLJA U nastojanju da predoči ("učini vidljivim") električno polje M. Faraday je u svojim eksperimentalnim istraživanjima uveo pojam: električne silnice. To su imaginarni putovi - crte, nacrtane na način da je njihov smjer u bilo kojoj točki istovremeno i smjer električnog polja u toj točki.

Svojstva električnih silnica su: ¾ Silnice izlaze iz pozitivnih i završavaju u negativnim nabojima. Pozitivni naboji su izvori, a negativni naboji ponori silnica. ¾ Silnice se ne mogu sjeći međusobno. ¾ Električno polje je tangencijalno usmjereno na svaku točku na silnici. ¾ Cijeli prostor oko naboja ispunjen je silnicama. ¾ Gustoća silnica predstavlja mjeru jakosti polja.

Iz svega se može zaključiti da su silnice crte po kojima bi se probni naboj kretao u električnom polju od pozitivnog prema negativnom naboju.

Za izolirani pozitivni naboj +Q probni bi se naboj pod utjecajem sile udaljavao radijalno po pravcu. U slučaju izoliranog negativnog naboja na isti bi se način probni naboj približavao uzročniku polja, naboju -Q.

5

Slika električnog polja izoliranih naboja +Q i -Q ilustrirana električnim silnicama prikazana je na Slici 2.2:

Slika polja postaje znatno složenija čim se razmatra polje sustava naboja. Na Slici 2.3. prikazana je jedna od mogućih putanja probnog naboja u sustavu dvaju jednakih naboja suprotnog predznaka.

1.4 RASPODJELA NABOJA Do sada smo proučavali sile i električna polja točkastih naboja. To su najjednostavniji primjeri naboja koji zauzimaju zanemariv prostor. U nizu slučajeva naboj se ne može smatrati točkastim, jer je kontinuirano raspoređen unutar nekog prostora. Nejednoliku raspodjelu naboja razmatrat ćemo samo u nekim posebnim slučajevima koji su praktične naravi (napr. raspodjela naboja u ovisnosti o geometrijskom obliku površine - efekt šiljka i dr.).

Naboj općenito može biti raspoređen uzduž crte, na površini ili unutar obujma neke nabijene krivulje, plohe odnosno tijela. U tom je slučaju prikladno definirati odgovarajuću gustoću naboja.

Obzirom na raspodijeljenost u prostoru ona može biti: • Prostorna gustoća naboja ρ • Plošna gustoća naboja σ • Linijska gustoća naboja λ

6

Analizirat ćemo samo slučajeve jednolike (uniformne) raspodjele naboja u jednoj, dvije ili tri dimenzije.

Primjer svih spomenutih raspodjela naboja prikazan je na Slici 2.5. Na Slici su naznačeni elementi duljine dl, plohe dS i obujma dV, koji pripadaju odgovarajućim gustoćama naboja. Oni moraju biti dovoljno maleni da bi pripadna gustoća u svakom od njih bila konstantna, ali istovremeno i dovoljno veliki da bi bili jednoliko ispunjeni nabojem.

Prostorna gustoća naboja Ako odabrani diferencijalno mali element obujma dV (dV→0) sadrži količinu naboja dQ, prostorna gustoća naboja definirana je sa:

Ukupni naboj dobije se zbrajanjem svih doprinosa dQ dok se ne obuhvati cijeli naboj Q:

Kako je element naboja dQ=ρdV, ukupni se naboj u prostoru obujma V može izraziti preko prostornog integrala protegnutog po cijelom volumenu V. Vrijedi, dakle:

Plošna gustoća naboja

Ako se razmatraju nabijena vodljiva tijela, u elektrostatičkim uvjetima sav naboj raspoređen je uvijek na njihovoj površini.Potrebno je odrediti dovoljno mali element plohe dS na kojem je gustoća naboja konstantna, a koji sadrži količinu naboja dQ. Plošna gustoća naboja je:

7

Budući da je element naboja dQ=σdS, ukupni se plošni naboj dobije kao plošni integral po plohi površine S:

Linijska (pravčasta) gustoća naboja

Naboj može biti raspoređen po nekoj geometrijskoj crti (krivulji) L. Takav raspored naboja ima primjerice komad tankog nabijenog bakrenog vodiča. Za odabranu dovoljno malu duljinu dl na kojoj je jednoliko raspoređena količina naboja dQ linijska gustoća naboja je određena sa:

Sumiranjem elemenata naboja dQ=λdl dobije se ukupni linijski naboj kao linijski integral po krivulji L, tj.:

8

2. TOK VEKTORA ELEKTRIČNOG POLJA - GAUSSOV ZAKON Za razumijevanje Gaussova zakona potrebno je predznanje o matematičkoj interpretaciji određenih fizikalnih veličina i pojava. U tom smislu potrebno je razjasniti prikazivanje površine vektorom i definirati tok vektora električnog polja . Prikaz površine vektorom

Neka ploha u prostoru može imati bilo koji položaj, orijentaciju i veličinu. Radi prikladnije matematičke interpretacije ploha se definira pripadnim vektorom. Iznos vektora jednak je iznosu površine odabranoga elementa plohe, a smjer vektora okomit je na element plohe. Samo u posebnim slučajevima jednostavnih tijela (kugla, cilindar, kocka, kvadar,.....) površine pojedinih ploha mogu se izravno izraziti jednim vektorom. Kako kod složenijih tijela to nije slučaj, potrebno je razmatranu plohu podijeliti na diferencijalne površine dS. Pri tomu je svaki element površine dS odabran dovoljno malenim, tako da ga se može smatrati ravnim. Smjer se definira jediničnim vektorom površine n0 , pa je vektor elementa površine dan sa:

Na Slici 3.1. prikazano je proizvoljno tijelo na kojemu su naznačeni primjeri elemenata površine na različitim plohama tijela:

9

2.1. Tok vektora električnog polja

Pojam toka ili protjecanja dolazi iz područja hidromehanike i ima zornu interpretaciju u protjecanju tekućine kroz cijev promjenljiva presjeka. Za proučavanje toka električnog polja radi jednostavnosti razmatrat ćemo homogeno električno polje. Takvo polje generira jednoliko nabijena ravnina, a opisano je paralelnim silnicama i konstantnog je iznosa. Pretpostavimo da polje upada pod pravim kutom u cijev presjeka S, kao na Slici 3.2. Sličnu vrstu polja generira Sunce, jer se sunčeva svjetlost dade prikazati paralelnim zrakama svjetlosti, pa se radi zornosti prikaza može zamisliti da se umjesto električnog razmatra svjetlosno polje. Unutar cijevi postavljen je zaslon (zastor) čija površina S odgovara poprečnom presjeku cijevi. Zaslon može rotirati oko jedne točke (A).

Tok vektora polja ψ je skalarna veličina, a dobije se kao umnožak polja E i efektivne površine Sef u koju "ulazi" vektor polja. Efektivna površina je promjenljiva, jer ovisi o položaju zastora. Definira se kao površina koja se dobije projekcijom površine S na površinu kroz koju tok ima maksimalni iznos. Matematički prikaz toka kojim su obuhvaćeni svi mogući

položaji zastora dan je skalarnim produktom vektora polja i vektora plohe :

10

2.1.1 ELEKTRIČNO POLJE TOČKASTOG NABOJA

Za određivanje polja izoliranog točkastog naboja po iznosu i smjeru u svim točkama prostora, potrebno je postaviti odgovarajuću zatvorenu plohu - Gaussovu plohu. Silnice polja radijalno izviru iz naboja, pa je polje konstantno u svim točkama udaljenima za r od naboja. Očito je da je polje točkastog naboja sferno simetrično. Kugla polumjera r s nabojem Q u središtu kugle će zadovoljavati uvjete sferne simetrije kako je to prikazano na Slici 3.6:

Ukupni naboj obuhvaćen Gaussovom plohom SG je točkasti naboj Q, pa je:

Vektori električnog polja i pripadni elementi vektora Gaussove plohe kolinearni su (α=0) u svakoj točki zatvorene plohe. Skalarni umnožak u podintegralnoj funkciji prelazi u obični umnožak, jer je cos =1, tj.:

11

U svim točkama Gaussove plohe vektor električnog polja ima konstantan iznos i može se izvući ispred integrala:

Preostaje integriranje po svim elementima zatvorene plohe - kugle polumjera r. Jasno je kako rezultat integriranja mora biti površina kugle:

Iznos električnog polja točkastog naboja je:

a to je već poznati izraz dobiven uporabom Coulombova zakona. Iznos električnog polja opada s kvadratom udaljenosti od točkastog naboja. Vrijednost mu nije definirana jedino u polu (točki sa r=0) što slijedi iz zanemarivih dimenzija točkastog naboja.

Grafička ovisnost polja točkastog naboja o udaljenosti r prikazana je na Slici 3.7:

12

2.2. Homogeno električno polje Za električno polje kaže se da je homogeno ako mu je u svakoj tački jačina električnog polja istog inteziteta i smera. Sila koja deluje na pozitivno naelektrisanje, +q , uneto u homogeno električno polje (slika 36) je u smeru polja, a sila koja deluje na negativno naelektrisanje, Aq , suprotna je smeru polja. Budući da i uneto naelektrisanje stvara vlastito električno polje, pretpostavlja se da je to mala količina naelektrisanja, pa je njegovo delovanje zanemarljivo.

Polje je homogeno, ako su linije sila polja meñusobno paralelne. Homogeno polje ima u svakom delu prostora jednaku električnu indukciju, D i jednaku jačinu električnog polja, E ,to jest za svaku tačku polja važi: D = konst. i E = konst. Smer homogenog polja svugde je isti, a linije sile su ravne, paralelne, i na jednakim rastojanjima. Električna indukcija, D, naelektrisane ploče jednaka je površinskoj gustini naelektrisanja:

gde je q – naelektrisanje i S - površina ploče. U slučaju naelektrisane kugle električna indukcija je, zbog simetrije, istog intenziteta u svakoj tački površine:

gde je R0 poluprečnik kugle.

13

3. ELEKTRIČNI POTENCIJAL I RAD ELEKTRIČNOG POLJA Određivanje jačine polja u nekoj tački kao rezultat delovanja više polja pojedinačnih naelektrisanja, na primer naelektrisanja na elektrodama, zahteva zbog svoje vektorske prirode složeni matematički aparat i duži račun. Očita je potreba za jednostavnijom, lako merljivom skalarnom veličinom, koja bi ipak pružala bitne informacije o prilikama u električnom polju. Tu potrebu zadovoljava električni potencijal. Do pojma električnog potencijala može

se doći ako se naelektrisanje q pod uticajem vektora jačine polja, , slobodno ili delovanjem sile kreće po nekoj putanji. Analogne prilike postoje i u mehanici. Telima na istoj visini pripisuje se jednaka "potencijalna energija". Ako se telo spusti pod uticajem gravitacione sile, na novoj visini ima nižu energiju za iznos koji je jednak izvršenom radu prilikom spuštanja. S druge strane, rad se ne vrši ako se telo kreće duž puta normalo na smer delovanja sile. Slično se i naelektrisanju u električnom polju, (a i samim tačkama u kojima se naelektrisanje nalazi ili ga tamo zamišljamo), mogu pripisati različite potencijalne energije. Matematički je najjednostavnije da se početni nivo potencijalne energije uzima u beskonačnosti. Tamo je jačina električnog polja jednaka 0 i nema sile koja deluje na naelektrisanje, pa niti promene energije pri pomeranju. Ako se pozitivno naelektrisanje q dovede iz beskonačnosti u neku tačku električnog polja, izvršeni rad jednak je elektrostatičkoj potencijalnoj energiji u toj tački (Ep). Rad je pritom jednak nuli za elementarne pomake normalne na smer polja. Ako bi, pak, pozitivno naelektrisanje pod uticajem polja bilo odvedeno u beskonačnost, na tom putu bi se dobio (a ne utrošio) rad. Odnos između rada i naelektrisanja na kome je rad izvršen, odnosno potencijalna energija jedinice pozitivnog naelektrisanja zove se električni potencijal. Potencijal V u nekoj tački polja je:

Iz definicije potencijala sledi:

Za potencijalna energija naelektrisanja q u nekoj tački električnog polja biće:

Ep = qV [ J ] Ako dve tačke električnog polja, ili dva naelektrisana tela, imaju različite električne potencijale V1 i V2, pri čemu je V1 veće od V2 , tada razlika potencijala izmeñu te dve tačke predstavlja električni napon i označava se sa U:

U = V1 – V2 [V ] Jedinica za električni napon je volt.

14

Napon je jedan od najvažnijih pojmova u elektrotehnici i za razliku od E lako se meri. Ako posmatramo dve tačke u električnom polju u kojima naelektrisanje ima različite potencijalne energije, iz definicije napona :

sledi: Ep = q U

Pošto je promena električne potencijalne energije, pri premeštanju naelektrisanja q, jednaka radu električnog polja, dobija se:

A = q U

Treba uočiti da bi rad između dve tačke u električnom polju bio isti bez obzira na oblik putanje po kojoj bi se naelektrisanje kretalo. Rad, koji izvrše sile elektrostatičkog polja pri pomeranju probnog naelektrisanja duž neke putanje, ne zavisi od oblika putanje, već samo od položaja njenih krajnjih tačaka. Drugim rečima, to znači da rad zavisi samo od razlike potencijala, tj. napona.U posebnom slučaju, kad su izvorna i odredišna tačka iste, tj. kad je putanja zatvorena kriva linija, rad će imati vrednost nula: (A = 0). Elektrostatičko polje, kao i gravitaciono polje, pripada grupi tzv. konzervativnih polja. Zajednička osobina ovih polja je da je rad sile po zatvorenoj putanji jednak nuli. Isto tako, ako se kretanje izvodi po linijama istog potencijala (pa je razlika potencijala između dve tačke jednaka nuli), ne troši se (niti dobija) rad. Linije istog potencijala zovu se ekvipotencijalne linije.

S obzirom da je prostiranje električnog polja trodimenzionalano, govorimo o ekvipotencijalnim površinama. Budući da za kretanje naelektrisanja po ekvipotencijalnoj površini nije potreban rad, vektori jačine električnog polja (električne linije sile) normalni su na ekvipotencijalne površine.

15

ZAKLJUČAK

Električno polje je prostor u kojem naboj osjeća djelovanje sile i vektorska je veličina. U širem značenju električno polje je funkcija prostornih koordinata i vremena. Za određivanje iznosa i smjera električnog polja primjenjuje se probni naboj (Q0). Jakost (intenzitet) električnog polja E u nekoj točki električnog polja definira se kao sila koja djeluje na pozitivni probni naboj smješten u toj točki poljaJakost električnog polja proporcionalna je naboju Q koji je i uzrok nastajanja polja, a opada s kvadratom udaljenosti promatrane točke od naboja Q. • Polje točkastog naboja jednako je u svim točkama koje su jednako udaljene od naboja, tj. polje je radijalno (centralno simetrično). • Sve točke na nekoj koncentričnoj sfernoj površini kojoj je Q središte imaju jednaki iznos električnog polja.To su imaginarni putovi - crte, nacrtane na način da je njihov smjer u bilo kojoj točki istovremeno i smjer električnog polja u toj točki.

Svojstva električnih silnica su: ¾ Silnice izlaze iz pozitivnih i završavaju u negativnim nabojima. Pozitivni naboji su izvori, a negativni naboji ponori silnica. ¾ Silnice se ne mogu sjeći međusobno. ¾ Električno polje je tangencijalno usmjereno na svaku točku na silnici. ¾ Cijeli prostor oko naboja ispunjen je silnicama. ¾ Gustoća silnica predstavlja mjeru jakosti polja. Iz svega se može zaključiti da su silnice crte po kojima bi se probni naboj kretao u električnom polju od pozitivnog prema negativnom naboju. Naboj općenito može biti raspoređen uzduž crte, na površini ili unutar obujma neke nabijene krivulje, plohe odnosno tijela. U tom je slučaju prikladno definirati odgovarajuću gustoću naboja.

Obzirom na raspodijeljenost u prostoru ona može biti: • Prostorna gustoća naboja ρ • Plošna gustoća naboja σ • Linijska gustoća naboja λ Za razumijevanje Gaussova zakona potrebno je predznanje o matematičkoj interpretaciji određenih fizikalnih veličina i pojava. U tom smislu potrebno je razjasniti prikazivanje površine vektorom i definirati tok vektora električnog polja .paralelnim silnicama i konstantnog je iznosaPojam toka ili protjecanja dolazi iz područja hidromehanike i ima zornu interpretaciju u protjecanju tekućine kroz cijev promjenljiva presjeka. Za proučavanje toka električnog polja radi jednostavnosti razmatrat ćemo homogeno električno polje. Takvo polje generira jednoliko nabijena ravnina, a opisano je Za određivanje polja izoliranog točkastog naboja po iznosu i smjeru u svim točkama prostora, potrebno je postaviti odgovarajuću zatvorenu plohu - Gaussovu plohu. Silnice polja radijalno izviru iz naboja, pa je polje konstantno u svim točkama udaljenima za r od naboja. Očito je da je polje točkastog naboja sferno simetrično.

16

Za električno polje kaže se da je homogeno ako mu je u svakoj tački jačina električnog polja istog inteziteta i smera. Sila koja deluje na pozitivno naelektrisanje, +q , uneto u homogeno električno polje (slika 36) je u smeru polja, a sila koja deluje na negativno naelektrisanje, Aq , suprotna je smeru polja. Polje je homogeno, ako su linije sila polja meñusobno paralelne. Homogeno polje ima u svakom delu prostora jednaku električnu indukciju, D i jednaku jačinu električnog poljaSmer homogenog polja svugde je isti, a linije sile su ravne, paralelne, i na jednakim rastojanjima. Određivanje jačine polja u nekoj tački kao rezultat delovanja više polja pojedinačnih naelektrisanja, na primer naelektrisanja na elektrodama, zahteva zbog svoje vektorske prirode složeni matematički aparat i duži račun. Očita je potreba za jednostavnijom, lako merljivom skalarnom veličinom, koja bi ipak pružala bitne informacije o prilikama u električnom polju.

17

L I T E R A T U R A

1) Lj. Malešević, OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II dio, Split, 2004.

2) G. Đurović, Elektrotehnila 1 (dodatak za samostalno učenje)

3) www.wikipedija.com4) www.google.ba

18