NotedeSeminarSilvia-OtiliaCorduneanu1 Numerecomplexe. Not iuniteoretice1.1 IntroducereFormal, mult imea numerelor complexe reprezinta mult imea tuturor perechilorordonatedenumerereale siestenotatacu C.C = R2= {(x, y) | x R, y R}.Consideram un plan notat . Funct ia f: C denita prin f(x, y) = M ncareM estepunctuldecoordonatecarteziene(x, y)(i.e. M(x, y) )este o biject ie, perechea (x, y) se noteaza cu z iar numarul complex z= (x, y)senumesteaxulpunctuluiM.Consideramz= (x, y) C. Numarulr [0, +)denitprinr =_x2+y2se numeste modululnumarului complexzsi se noteaza cu |z|. Fie z Csi R. Sistemul___cos =x|z|sin =y|z|,(1.1)aresolut ieunica [, + 2). Notamsolut iasistemului(1.1)dininter-valul [, + 2)cuargz. Sistemul (1.1)are n Roinnitatedesolut ii.Mult imeaacestorsolut iisenoteazaArgzsisepoatescrie:Argz= {arg0z + 2k | k Z}.1NotedeSeminar 2Mult imea C este nzestrata cu operat iile de adunare si nmult ire denite maijos:z1 +z2= (x1 +x2, y1 +y2)z1 z2= (x1x2 y1y2, x1y2 +y1x2)unde z1=(x1, y1) C, z2=(x2, y2) C. Dotatacuaceste operat ii,mult imeanumerelorcomplexeformeazaostructuradecorp, numitcorpulnumerelorcomplexe. Elementul neutrual operat iei deadunareeste(0, 0)iarelementul neutrual operat iei de nmult ireeste(1, 0). Deoarecepentruoricez1= (x1, 0) C, z2= (x2, 0) Csuntadevarateegalitat ile(x1, 0) + (x2, 0) = (x1 +x2, 0)(x1, 0) (x2, 0) = (x1x2, 0)mult imeanumerelorreale, R,poateprivitacasubmult imealui Cidenti-candunnumarxcuperechea(x, 0). Observamcanumarulcomplex(0, 1)areproprietatea(0, 1)2= (1, 0)deci (0, 1)2poate identicat cu numarul real 1. Numarul (0, 1) se noteazacuj,senumesteunitateimaginara siavemj2= 1.1.2 FormaalgebricaanumerelorcomplexePentruoricez= (x, y) Cavem:(x, y) = (x, 0) + (0, y) = (x, 0) + (y, 0)(0, 1) = x +jy. (1.2)Spunemcaformaalgebricaanumaruluicomplexzestez= x +jy,x se numeste partea reala a numarului z si notam x = Re ziar yse numesteparteaimaginaraanumaruluizsinotamy= Im z.Dacaz1= x1 +jy1 C, z2= x2 +jy2 Catunciceledouaoperat iipotscrisez1 +z2= x1 +x2 +j(y1 +y2)z1 z2= x1x2 y1y2 +j(x1y2 +y1x2),iar(z1= z2) (x1= x2 y1= y2) .NotedeSeminar 31.3 FormatrigonometricaanumerelorcomplexeFiez= (x, y) C. Dinrelat iile(1.1)obt inem___x = r cos y= r sin .(1.3)Rezultacaz= x +jy= r cos +jr sin = r(cos +j sin ).Spunemcaformatrigonometricaanumaruluicomplexzestez= r(cos +j sin ).Dacaz1= r1(cos 1 +j sin 1) C, z2= r2(cos 2 +j sin 2) Catunciz1z2= r1r2 (cos(1 +2) +j sin(1 +2)),iardaca nplusz2 = 0atunciz1z2=r1r2(cos(1 2) +j sin(1 2)). (1.4)Dacaz= r(cos +j sin ) Catuncizn= rn(cos(n) +j sin(n)), n N. (1.5)Pentrun N \ {1} siz= r(cos +j sin ) Cavemnz=nr_cos + 2kn+j sin + 2kn_, k = 0, 1, 2, ..., n 1.In cazul n care z= cos +j sin C (i. e. r = 1), din relat ia (1.5) rezultaformulaluiMoivre:zn= cos(n) +j sin(n), n N.Dinrelat ia(1.4)rezultacapentruz= r(cos + j sin ) C(i. e. r> 0)avem:1z=1r(cos j sin ).NotedeSeminar 41.4 ConjugatulunuinumarcomplexConsideramz= x +jy C. Conjugatulnumaruluizestenumarulnotatzdenitprinz= x jy.Suntadevarateegalitat ile(1) (z C)(z= z)(2) ((z1, z2) C2)(z1 z2= z1 z2)(3) ((z1, z2) C2)(z1z2= z1z2)(3) ((z1, z2) C C)_z1z2=z1z2_1.5 Exercit iipropusesirezolvateExercit iul1.1Sasearatecasuntadevaratepropozit iile(1) (z C)_Re z=z +z2_;(2) (z C)_Im z=z z2j_.Exercit iul1.2Sasedemonstrezepropozit iile(1) (z C)(|z| 0 |z| = 0 z= 0)(2) ((z1, z2) C2)(|z1z2| = |z1||z2|)(3) (z C)(n N)(|z|n= |zn|)(4) ((z1, z2) C C)_z1z2= |z1||z2|_Exercit iul1.3Sasedemonstrezepropozit ia((z1, z2) C2)(|z1 +z2| |z1| +|z2|).Solut ie.Fiez1= x1 +jy1 C, z2= x2 +jy2 C.NotedeSeminar 5|z1 +z2| |z1| +|z2| _(x1 +x2)2+ (y1 +y2)2_x21 +y21 +_x22 +y22 x21 +x22 + 2x1x2 +y21 +y22 + 2y1y2 x21 +y21 +x22 +y22 + 2_(x21 +y21)(x22 +y22) x1x2 +y1y2 _(x21 +y21)(x22 +y22).Deoarecex1x2 +y1y2 |x1x2 +y1y2|,estesucientsademonstramca|x1x2 +y1y2| _(x21 +y21)(x22 +y22).Avem|x1x2 +y1y2| _(x21 +y21)(x22 +y22) x21x22 +y21y22 + 2x1x2y1y2 x21x22 +y21y22 +x21y22 +x22y21 0 (x1y2 x2y1)2.Exercit iul1.4Sasecalculezemodululnumaruluicomplexz= 1 +j +j2+j3+... +j2011.Solut ie. Observamcajn=___1, n = 4k, k Z,j, n = 4k + 1, k Z,1, n = 4k + 2, k Z,j, n = 4k + 3, k Z,simaideparteca1 +j +j2+j3+... +j2011= 0.Inconcluzie |z| = 0.NotedeSeminar 6Exercit iul1.5Sasearatecadacaz =r(cos + j sin ) ( [0, 2)),atunci =___arctgyx, (x, y) (0, +) [0, ),arctgyx+, (x, y) (, 0) R,arctgyx+ 2, (x, y) (0, +) (, 0),2, (x, y) {0} (0, ),32, (x, y) {0} (, 0).Exercit iul1.6Sasescriesubformatrigonometricanumerelecomplexe(1) z=2; z= j; z= e; z= 43j;(2) z=22(1 +j) z= 2 +2j; z= 1 j; z=22(1 j);(3) z=12(1 +3j) z= 1 +3j; z= 1 3j; z=22(1 3j);(4) z=12(3 +j) z= 3 +j; z= 3 j; z=22(3 j);(5) z=2 j5;(6) z=2 + 3j(2 j)2.Solut ie.(1.1)2 =2 (cos 0 +j sin 0);(1.2) j= _cos 2+j sin 2_;(1.3) e = e (cos +j sin );(1.4) 43j=43_cos 32+j sin 32_;(2.1)22(1 +j) = cos 4+j sin 4;NotedeSeminar 7(2.2) 2 +2j= 2_cos 34+j sin 34_;(2.3) 1 j=2_cos 54+j sin 54_;(2.4)22(1 j) = cos 74+j sin 74;(3.1)12(1 +3j) = cos 3+j sin 3;(3.2) 1 +3j= 2_cos 23+j sin 23_;(3.3) 1 3j= 2_cos 43+j sin 43_;(3.4)22(1 3j) =2_cos 53+j sin 53_;(4.1)12(3 +j) = cos 6+j sin 6;(4.2) 3 +j= 2_cos 56+j sin 56_;(4.3) 3 j= 2_cos 76+j sin 76_;(4.4)22(3 j) =2_cos 116+j sin 116_.(5)2 j5 =7_cos_2 arctg52_+j sin_2 arctg52__.(6) Deoarece2 + 3j(2 j)2=(2 + 3j)(2 +j)2(22+ 12)2= 6 + 17j25rezultacaNotedeSeminar 82 + 3j(2 j)2=_36625+289625_cos_ arctg176_+j sin_ arctg176__.Exercit iul1.7Sasedetermineparteaimaginaraanumaruluicomplexz=_1 +3j_11.Solut ie. Deoarece1 +3j= 2_cos 23+j sin 23_rezultaca_1 +3j_11= 211_cos 223+j sin 223_ =211_cos 43+j sin 43_.Exercit iul1.8Saseprecizezecurbaplanacareareecuat ia(1) |z| = 1;(2) |z 1 + 2j| = 3;(3) Re z= 2;(4) Re_z2_ = 4.Solut ie.(1)|z| = 1 x2+y2= 1.InconcluziecurbaplanacerutaestecerculC((0, 0); 1) : x2+y2= 1.NotedeSeminar 9(2)|z 1 + 2j| = 3 _(x 1)2+ (y + 2)2= 3.InconcluziecurbaplanacerutaestecerculC((1, 2); 3) : (x 1)2+ (y + 2)2= 9.(3)Re z= 2 x = 2.Inconcluziecurbaplanacerutaestedreaptad : x = 2.(4)Re_z2_ = 4 x2y2= 4.InconcluziecurbaplanacerutaestehiperbolaH:x24y24= 1.Exercit iul1.9Saseprecizezecurbaplanacareareecuat iaarg0(z j) =6.Exercit iul1.10Saseprecizezecurbaplanacareareecuat ia(1) |z j| = |z 2 3j|;(2) |z 2| +|z + 2| = 6.Solut ie. (1)|z j| = |z 2 3j| _x2+ (y 1)2=_(x 2)2+ (y 3)2x2+y22y + 1 = x24x + 4 +y26y + 9 x +y 3 = 0.NotedeSeminar 10Inconcluziecurbaplanacerutaestedreaptadeecuat iey= 3 x.(2) |z 2| +|z + 2| = 6 _(x 2)2+y2+_(x + 2)2+y2= 6 _(x 2)2+y2= 6 _(x + 2)2+y2x24x + 4 +y2= 36 +x2+ 4x + 4 +y212_(x + 2)2+y23_(x + 2)2+y2= 2x + 9 9x2+ 36x + 36 + 9y2= 4x2+ 81 + 36x 5x2+ 9y2= 45 x29+y25= 1.Exercit iul1.11Saseprecizezecurbaplanacareareecuat ia(1) |z 2j| +|z + 4j| = 10;(2) |z 2j| |z + 2j| = 1.Exercit iul1.12Saseprecizezedomeniulplandatprininecuat ia(1)zz + 3j< 1;(2)1 z1 +z> 3.Solut ie.(1)zz + 3j< 1 _x2+y2 32.NotedeSeminar 11Inconcluziedomeniulcerutestesemiplanuldatprininecuat iay> 32.(2)1 z1 +z> 3 _(x 1)2+y2> 3_x + 1)2+y2x22x + 1 +y2> 9x2+ 18x + 9 + 9y2x2+y2+52x + 1 > 0 _x +54_2+y2>916.InconcluziedomeniulcerutesteexteriorulcerculuiC__54, 0_; 34_.Exercit iul1.13Saseprecizezedomeniulplandatprininecuat ia2z1 +z2< 1.Exercit iul1.14Seconsiderafunct iaf: C \ {1} C, f(z) =1 z1 +z.Sasedeterminepunctelez C \ {1}astfel ncat(a)f(z)estenumarreal;(b)f(z)estenumarpurimaginar.Solut ie.Observamcapentruoricez C \ {1}avem1 z1 +z=1 x jy1 +x +jy=(1 x jy)(1 +x jy)(1 +x)2+y2=1 x2y22jy(1 +x)2+y2.NotedeSeminar 12(a)Dacaz= x +jy C,atuncif(z)estenumarrealdaca sinumaidacay= 0 (x, y) = (1, 0).(b) Daca z= x+jy C, atunci f(z) este numar pur imaginar daca si numaidacax2+y2= 1 (x, y) = (1, 0).NotedeSeminar 132 Funct iicomplexedevariabilacomplexaConsideramomult imeE C. Ofunct iecomplexadevariabilacomplexaesteofunct ief: E C.Oastfeldefunct iesereprezintasubformaf(z) = u(x, y) +jv(x, y), z= x +jy Encarefunct iau : E RsenoteazacuRe f(u = Re f) sisenumestepartearealaafunct ieifiarv: E RsenoteazacuIm f(v= Im f) sisenumesteparteaimaginaraafunct ieif.Exemplul2.1Consideramfunct iile(1) f: C C, f(z) = z3+j;(2) f: C C, f(z) =2jz2 1;(3) f: C C, f(z) =xx2+y2+j2yx2+y2.Notamf= u +jv, u = Re f, v= Im f.(1)Deoarecez3+j= (x +jy)3+j=x33xy2+j(3x2y y3) +j=x33xy2+j(3x2y y3+ 1),rezultacau(x, y) = x33xy2, v(x, y) = 3x2y y3+ 1.NotedeSeminar 14(2)Deoarece2jz2 1 =2j(z)2|z|41 =2j(x jy)2(x2+y2)21 =2j(x2y22jxy)(x2+y2)21 =4xy(x2+y2)2 1 + 2jx2y2(x2+y2)2,rezultacau(x, y) =4xy(x2+y2)2 1, v(x, y) = 2x2y2(x2+y2)2.(3)Avemu(x, y) =xx2+y2, v(x, y) =2yx2+y2.Denit ia2.1Fiez0 C sir > 0. Mult imea(z0, r) = {z C : |z z0| < r},senumestediscdeschiscentrat nz0derazar.Denit ia2.2Omult imeE Csenumestemult imedeschisadaca(z E)(r > 0)((z, r) E).Denit ia2.3Consideramomult imeE C. Unpunctz Csenumestepunctdeacumularealmult imiiEsinotamz E

daca(r > 0)(((z, r) \ {z}) E = ).Denit ia2.4FieE C, z0 E

, f:E Csil C. Spunemcafunct iafarelimitalnpunctulz0sinotamlimzz0 f(z) = l,daca( > 0)(> 0)(z E \ {z0})(|z z0| < = |f(z) l| < ).NotedeSeminar 15Propozit ia2.1FieE C,z0 E

,f: E Csil C.Fiez0= x0 +jy0, l = l1 +jl2sif= u +jv.Atunci(limzz0 f(z) = l) _lim(x,y)(x0,y0)u(x, y) = l1 lim(x,y)(x0,y0)v(x, y) = l2_Exercit iul2.1Sasestudiezelimita norigineafunct ieif: C Cdataprinf(z) =x2x2+y2+jy4x2+y2, z= x +jy.Solut ie. Notamf= u +jv. Observamcau(x, y) =x2x2+y2, (x, y) _R2_siv(x, y) =y4x2+y2, (x, y) _R2_.Consideramdoua siruridin_R2_,((x1n, y1n))n,((x2n, y2n))ndeniteprin(x1n, y1n) =_0,1n_, n Nsi(x2n, y2n) =_1n, 0_, n NCeledoua siruriauaceesilimita sianume(0, 0). Deoareceu(x1n, y1n) = 0, iar u(x2n, y2n) = 1, n N,rezulta ca nu exista limita n origine a funct iei u si mai departe ca nu existalimita norigineafunct ieif.Exercit iul2.2Sasestudiezelimita norigineafunct ieif: C Cdataprinf(z) =x4x2+y2+jy4x2+y2, z= x +jy.NotedeSeminar 16Solut ie. Notamf= u +jv. Vomaratacalim(x,y)(0,0)x4x2+y2= 0. (2.1)Consideram > 0. Cautam> 0astfel ncat((x, y) (R2))__x2+y2< =x4x2+y2< _.(2.2)Pentruorice(x, y) (R2)suntadevarateinegalitat ilex4x2+y2 x2 (_x2+y2)2.In concluzie,alegand = ,proprietatea (2.2) este vericata,deci relat ia(2.1)esteadevarata. Analogdemonstramcalim(x,y)(0,0)y4x2+y2= 0. (2.3)Deoarecelim(x,y)(0,0)u(x, y) = lim(x,y)(0,0)v(x, y) = 0,rezultacalimz0f(z) = 0.Denit ia2.5FieE C, z0 Esif:E C. Spunemcafunct iafestecontinua nz0daca( > 0)(> 0)(z E)(|z z0| < = |f(z) f(z0)| < ).Propozit ia2.2FieE Comult imedeschisa, z0 Esi f : E C. Funct iaf estecontinua nz0dacasinumaidacalimzz0f(z) = f(z0).NotedeSeminar 17Propozit ia2.3FieE C, z0 Esi f : E C. Fiez0=x0+ jy0si f =u + jv.Atunci funct iaf estecontinuanz0dacasi numai dacafunct iileusi vsuntcontinue n(x0, y0).Exercit iul2.3Sasestudiezecontinuitateafunct ieif: C C,f(z) =___j sin(x4)x2+y2, (x, y) C0, (x, y) = (0, 0).norigine[z= x +jy= (x, y)].Solut ie. Observamcau(x, y) = 0, (x, y) R2siv(x, y) =sin(x4)x2+y2, (x, y) R2,siv(0, 0) = 0. Vomaratacalim(x,y)(0,0)sin(x4)x2+y2= v(0, 0) = 0.Consideram > 0. Cautam> 0astfel ncat((x, y) R2)__x2+y2< =sin(x4)x2+y2< _.(2.4)Pentruorice(x, y) R2suntadevarateinegalitat ilesin(x4)x2+y2 x4x2+y2 x2__x2+y2_2.In concluzie, alegand = , proprietatea (2.4) este vericata, deci funct iadataestecontinua norigine.NotedeSeminar 18Denit ia2.6FieE C. Mult imeaEsenumesteconexa,dacaoricareardouapunctedinmult imeaE, existaoliniepoligonalacareunesteacestepunctesi careesteinclusa nmult imeaE.Denit ia2.7FieD C. Spunemcamult imeaDestedomeniudacaestedeschisa siconexa.Denit ia2.8FieD Cundomeniu, z0 Dsi f: D C. Spunemcafunct iaf estederivabilasaumonogena npunctulz0dacalimzz0f(z) f(z0)z z0 C. (2.5)Limita(2.5)senumestederivatafunct iei fnpunctul z0si senoteazacuf

(z0).Propozit ia2.4FieD Cundomeniu, z0 Dsi f : D C. Dacafunct iafestemonogena npunctul z0atunciestecontinua npunctul z0.3 Funct iiolomorfe. Not iuniteoreticeDenit ia3.1FieD Cundomeniusi f:D C. Spunemcafunct iafesteolomorfapemult imeaDdacaestemonogena ntoatepunctelemult imiiD.Teorema3.1FieundomeniuD C,ofunct ief: D C, f= u +jvsiunpunctz0= x0 + jy0 D. Dacafunct iafestemonogena npunctul z0,atunci funct iile u, v sunt diferent iabile n (x0, y0) si sunt adevarate egalitat ile___ux(x0, y0) =vy(x0, y0),uy(x0, y0) = vx(x0, y0).(3.1)NotedeSeminar 19Observat ia3.1Egalitat ile(3.1) poartadenumireadecondit iileCauchy-Riemann.Teorema3.2FieundomeniuD C,ofunct ief: D C, f= u +jvsiunpunctz0= x0 + jy0 D. Dacafunct iafestemonogena npunctul z0,atunci,pentrucalculul derivateifunct ieifnpunctul z0sepoatefolosiunadinformulelef

(z0) =ux(x0, y0) +jvx(x0, y0), (3.2)f

(z0) =1j_uy(x0, y0) +jvy(x0, y0)_. (3.3)Teorema3.3FieundomeniuD C,ofunct ief: D C, f= u +jvsi z0= x0+jy0 D. Daca funct iile u si vadmit derivate part iale de ordinulntai continue n(x0, y0)si vericaceledouacondit ii Cauchy-Riemann nacestpunct,atuncifunct iafestemonogena nz0.Exercit iul3.1Sasedeterminepunctele ncarefunct iaf: C C, dataprinf(z) = z2+z z (z)2+ 2z z,estemonogena. Sasecalculezederivatafunct ieifnpunctelegasite.Solut ie. Observamcaf(x, y) = x2+y2+x +j(4xy + 3y), (x, y) R2.Notandu = Re fsiv= Im f,gasim___u(x, y) = x2+y2+x,v(x, y) = 4xy + 3y.NotedeSeminar 20Sistemulcondit iilorCauchy-Riemann___ux(x, y) =vy(x, y),uy(x, y) = vx(x, y),esteechivalentcu___2x + 1 = 4x + 3,2y= 4y,deunderezulta(x, y)=(1, 0). Funct iafestemonogenadoar npunctul(x, y) = (1, 0). Derivata nacestpunctestef

(1, 0) =ux(1, 0) +jvx(1, 0) = 1.Denit ia3.2 Fie DR2o mult ime deschisasi u : DRastfelncat u C2(D). Funct iause numeste armonicape mult imeaDdacaeste ndeplinitacondit ia2ux2(x, y) +2uy2(x, y) = 0, (x, y) D.Teorema3.4FieD Cundomeniusi f : D C, f =u + jv. Dacau C2(D)siv C2(D)iarfunct iafesteolomorfapedomeniul D,atuncifunct iileusivsuntarmonicepemult imeaD.Exemplul3.1Seconsiderafunct iau : R2R, u(x, y) = excos y.Sasearatecaunct iauestearmonicapemult imea R2.Solut ie.Observamcapentruorice(x, y) R2avemux(x, y) = excos y,2ux2(x, y) = excos y,uy(x, y) = exsin y,2uy2(x, y) = excos y,NotedeSeminar 21simaideparteca2ux2(x, y) +2uy2(x, y) = 0, (x, y) R2.Inconcluziefunct iauestearmonica.Teorema3.5FieD Cundomeniusi u: D R, ofunct iearmonicapedomeniul D. Atunci existav: D Rastfel ncat funct iaf: D C,f= u +jvesteolomorfapemult imeaD.Inplus,daca(x0, y0) D,v(x, y) = _xx0uy(t, y0)dt +_yy0ux(x, t)dt.Demonstrat ie. Cautamofunct iev: D R,pentrucaresuntadevaratecondit iileCauchy-Riemann:___ux(x, y) =vy(x, y),uy(x, y) = vx(x, y).(3.4)Diferent ialafunct ieivestedv(x, y) =vx(x, y)dx +vy(x, y)dy,iardinrelat iile(3.4)rezultacadv(x, y) = uy(x, y)dx +ux(x, y)dy. (3.5)Deoareceuesteofunct iearmonica,esteadevarataegalitateay_uy_ =x_ux_. (3.6)Inconcluzie, nrelat ia(3.5)avemodiferent ialatotalaexacta. Funct iavseobt ine integrand diferent iala sa, pe un drum convenabil, integrala curbilinieobt inutaindindependentadedrum.NotedeSeminar 22Fie M0(x0, y0) Dun punct x si M(x, y) Dun punct arbitrar. Alegandundrumparalelcuaxeledecoordonate:M0(x0, y0) M1(x, y0) M(x, y),obt inemv(x, y) = _xx0uy(t, y0)dt +_yy0ux(x, t)dt. Teorema3.6FieD Cundomeniusi v: D R, ofunct iearmonicapedomeniul D. Atunci existau: D Rastfel ncat funct iaf: D C,f= u +jvesteolomorfapemult imeaD.Inplus,daca(x0, y0) D,u(x, y) =_xx0vy(t, y0)dt _yy0vx(x, t)dt.Exercit iul3.2Seconsiderafunct iau: R2 R, u(x, y)=excos y. Sasedeterminefunct iavastfel ncatf= u +jvsaeolomorfa sif(0) = 1.Solut ie.Observamcapentruorice(x, y) R2avemux(x, y) = excos y,2ux2(x, y) = excos y,uy(x, y) = exsin y,2uy2(x, y) = excos y,simaideparteca2ux2(x, y) +2uy2(x, y) = 0, (x, y) R2.Inconcluziefunct iauestearmonica,deciexistav: R2Rastfel ncatfunct iaf: C C, f= u +jv,esteolomorfapemult imea C.Dincondit iileCauchy-Riemann___ux(x, y) =vy(x, y),uy(x, y) = vx(x, y),(3.7)NotedeSeminar 23rezulta___vx(x, y) = exsin y,vy(x, y) = excos y.(3.8)MetodaI.Integramprimarelat iedin(3.14) nraportcux siobt inemv(x, y) = exsin y +(y). (3.9)Derivamrelat ia(3.15) nraportcuysiobt inemvy(x, y) = excos y +

(y). (3.10)Folosindceadeadouarelat iedin(3.14) si(3.16),rezultaca

(y) = 0,deci(y) = c R. Consideramfamiliadefunct iif: C C,f(x, y) = excos y +jexsin y +jc, c R.Oricaredintrefunct iileacestei familii esteolomorfasi arecaparterealafunct iau. Dincondit iaf(0) = 1obt inemc = 0.Inconcluzie,solut iaunicaaproblemeiestef: C C,f(x, y) = ex(cos y +j sin y). (3.11)Funct ia(3.20)esteolomorfa,arepartearealaRe f= u sisatisfacecondit iaf(0) = 1. Pentru a o scrie funct ia fcu ajutorul variabilei z, n relat ia (3.20)facemtrecerea___x z,y 0,siobt inemf(z) = ez.MetodaII.Conformrelat iilor(3.14)diferent ialafunct ieivestedv(x, y) =vx(x, y)dx +vy(x, y)dy=exsin ydx +excos ydy.(3.12)Observamcanrelat ia(3.19) avemodiferent ialatotalaexacta, deci,funct iavseobt ineintegranddiferent ialasa, peundrumconvenabil ales,integralanedepinzanddedrum.NotedeSeminar 24ConsideramM0(x0, y0) R2unpunctxsi M(x, y) R2unpunctarbitrar. Alegandundrumparalelcuaxeledecoordonate:M0(x0, y0) M1(x, y0) M(x, y),obt inemv(x, y) =_xx0etsin y0dt +_yy0excos t dt.Relat iademaisusesteechivalentacuv(x, y) = exsin y ex0sin y0.Cum M0(x0, y0) poate orice punct din R2, rezulta ca v(x, y) = exsin y+C,unde C este o constanta arbitrara reala.In acest moment reluam rat ionamentuldinmetodaprecedenta. Singurafunct iedinfamiliaf(x, y) = excos y +jexsin y +jc, c Rpentrucaref(0) = 1estef(x, y) = excos y +jexsin y.Prinprocedeuldemaisusobt inemf(z) = ez.3.1 Exercit iirezolvateExercit iul3.3Sasestudiezelimita norigineafunct ieif: C Cdataprinf(z) =xyx2+y2+ 2jx, z= x +jy.Solut ie. Notamf= u +jv. Observamcau(x, y) =xyx2+y2, (x, y) _R2_siv(x, y) = 2x, (x, y) _R2_.Consideramdoua siruridin_R2_,((x1n, y1n))n,((x2n, y2n))ndeniteprin(x1n, y1n) =_0,1n_, n NNotedeSeminar 25si(x2n, y2n) =_1n,1n_, n NCeledoua siruriauaceesilimita sianume(0, 0). Deoareceu(x1n, y1n) = 0, iar u(x2n, y2n) =12, n N,rezulta ca nu exista limita n origine a funct iei u si mai departe ca nu existalimita norigineafunct ieif.Exercit iul3.4Sasestudiezeolomorafunct ieif: C C, f(z) = z.Solut ie. Observamcaf(x, y) = x jy, (x, y) R2.Notandu = Re fsiv= Im f,gasim___u(x, y) = x,v(x, y) = y.Sistemulcondit iilorCauchy-Riemanneste___ux(x, y) =vy(x, y),uy(x, y) = vx(x, y).Derivatelepart ialealefunct iiloru sivsunt___ux(x, y) = 1,vy(x, y) = 1,uy(x, y) = 0,vx(x, y) = 0.Rezultacafunct iafnuestemonogena nniciunpunct.Exercit iul3.5Sasedeterminepunctele ncarefunct iaf: C \ {(x, y) C | x = 0},f(z) =12 ln(x2+y2) +jarctgyx,satisfacecondit iileCauchy-Riemann.NotedeSeminar 26Solut ie. Notandu = Re fsiv= Im f,gasim___u(x, y) =12 ln(x2+y2),v(x, y) = arctgyx.Sistemulcondit iilorCauchy-Riemanneste___ux(x, y) =vy(x, y),uy(x, y) = vx(x, y).Derivatelepart ialealefunct iiloru sivsunt___ux(x, y) =xx2+y2,vy(x, y) =1x1 +y2x2=xx2+y2,uy(x, y) =yx2+y2,vx(x, y) =yx21 +y2x2= yx2+y2.Rezultacafunct iafestemonogena noricepunctdinC \ {(x, y) C | x = 0}.Fiez0= x0 +jy0 C \ {(x, y) C | x = 0}. Derivatafunct ieifnpunctulz0estef

(x0, y0) =ux(x0, y0) +jvx(x0, y0) ==x0x20 +y20jy0x20 +y20.Exercit iul3.6Fie (a, b, c, d) R4. Sa se determine punctelen care funct iaf: C C,f(z) = x2+axy +by2+j(cx2+dxy +y2), z= x +jyestemonogena.NotedeSeminar 27Solut ie. Notandu = Re fsiv= Im f,gasim___u(x, y) = x2+axy +by2,v(x, y) = cx2+dxy +y2.Sistemulcondit iilorCauchy-Riemanneste___ux(x, y) =vy(x, y),uy(x, y) = vx(x, y).Derivatelepart ialealefunct iiloru sivsunt___ux(x, y) = 2x +ay,vy(x, y) = dx + 2y,uy(x, y) = ax + 2by,vx(x, y) = 2cx +dy.Sistemulcondit iilorCauchy-Riemannesteechivalentcu___2x +ay= dx + 2y,ax + 2by= (2cx +dy)simaidepartecu___x(d 2) +y(2 a) = 0,x(a + 2c) +y(d + 2b) = 0.Determinantulsistemuluidemaisuseste =d 2 2 aa + 2c d + 2b.Daca =0 atunci singurul punctncare funct ia f satisface sistemulcondit iilorCauchy-Riemann,este(0, 0).NotedeSeminar 28Daca = 0iarrangulmatricei__d 2 2 aa + 2c d + 2b__este 1 atunci sistemul liniar de mai sus este compatibil simplu nedeterminatsi are o innitate de solut ii, funct ia ind monogena n oricare dintre acestea.Daca d = 2, a = 2, c = 1, b = 1, funct ia feste monogena n orice punctdin C,deciolomorfapemult imea C.Exercit iul3.7Seconsiderafunct iav: R2R, v(x, y) = exsin y.Sasearatecafunct iavestearmonicapemult imea R2.Solut ie.Observamcapentruorice(x, y) R2avemvx(x, y) = exsin y,2vx2(x, y) = exsin y,vy(x, y) = excos y,2vy2(x, y) = exsin y,simaideparteca2vx2(x, y) +2vy2(x, y) = 0, (x, y) R2.Inconcluziefunct iavestearmonica.Exercit iul3.8Seconsiderafunct iav:_R2_ R, v(x, y) = y yx2+y2.Sa se determine funct ia u astfel ncat f= u+jvsa e olomorfa si f(1) = 0.Solut ie.v:_R2_ R, v(x, y) = y yx2+y2.NotedeSeminar 29Observamca pentruorice (x, y)_R2_derivatele de ordinul ntai alefunct ieivsuntvx(x, y) =2xy(x2+y2)2,vy(x, y) = 1 x2+y2y 2y(x2+y2)2= 1 +y2x2(x2+y2)2.Mai departe, pentru orice (x, y) _R2_ derivatele de ordinul doi ale funct ieivsunt2vx2(x, y) = 2y(x2+y2)2x 2(x2+y2) 2x(x2+y2)4=2yx2+y24x2(x2+y2)3= 2yy23x2(x2+y2)3,iar2vy2(x, y) =2y(x2+y2)2(y2x2) 2(x2+y2) 2y(x2+y2)4=2yx2+y22y2+ 2x2(x2+y2)3= 2y3x2y2(x2+y2)3.Inconcluzie2vx2(x, y) +2vy2(x, y) = 0, (x, y) _R2_.Rezultacafunct iavestearmonica, deci existau:_R2_ Rastfel ncatfunct iaf: C C, f= u +jv,esteolomorfapemult imea C.Dincondit iileCauchy-Riemann___ux(x, y) =vy(x, y),uy(x, y) = vx(x, y),(3.13)NotedeSeminar 30rezulta___ux(x, y) = 1 +y2x2(x2+y2)2,uy(x, y) = 2xy(x2+y2)2.(3.14)MetodaI.Integramadouarelat iedin(3.14) nraportcuysiobt inemu(x, y) =xx2+y2+(x). (3.15)Derivamrelat ia(3.15) nraportcux siobt inemux(x, y) =x2+y2x 2x(x2+y2)2+

(x) =y2x2(x2+y2)2+

(x).(3.16)Folosindprimarelat iedin(3.14) si(3.16),rezultaca

(x) = 1,deci(x) = x +c, c R.Rezultau(x, y) =xx2+y2+x +c. (3.17)Consideramfamiliadefunct iif: C C,f(x, y) =xx2+y2+x +c +j_y yx2+y2_, c R.Oricare dintre funct iile acestei familii este olomorfa si are ca parte imaginarafunct iav. Dincondit iaf(1) = 0obt inem1 + 1 +c +j 0 = 0decic = 2.Inconcluzie,solut iaunicaaproblemeieste,f: C C, f(x, y) =xx2+y2+x 2 +j_y yx2+y2_.(3.18)NotedeSeminar 31Funct ia(3.18)esteolomorfa, areparteaimaginaraImf =vsi f(1)=0.Pentruaoscriefunct iaf cuajutorul variabilei z,nrelat ia(3.18)facemtrecerea___x z,y 0,siobt inemf(z) =1z+z 2, z C.MetodaII.Conformrelat iilor(3.14)diferent ialafunct ieivestedu(x, y) =ux(x, y)dx +uy(x, y)dy=_1 +y2x2(x2+y2)2_dx +(2xy)(x2+y2)2dy.(3.19)Observamcanrelat ia(3.19) avemodiferent ialatotalaexacta, deci,funct iauseobt ineintegranddiferent ialasa, peundrumconvenabil ales,integralanedepinzanddedrum.ConsideramM0(x0, y0) _R2_unpunctxsi M(x, y) _R2_unpunctarbitrar. Alegandundrumparalelcuaxeledecoordonate:M0(x0, y0) M1(x, y0) M(x, y),obt inemu(x, y) =_xx0_1 +y20 t2(t2+y20)2_dt x_yy02t(x2+t2)2dt.Relat iademaisusesteechivalentacuu(x, y) = txx0+_xx0t2+y20 2t2(t2+y20)2dt +xx2+t2yy0=txx0+_xx01t2+y20dt +_xx0(2t2)(t2+y20)2dt +xx2+t2yy0=txx0+1y0arctgty0xx0+_xx0(2t2)(t2+y20)2dt +xx2+t2yy0.NotedeSeminar 32Pedealtaparteavem_xx0(2t2)(t2+y20)2dt =_xx0t_1t2+y20_

dt =tt2+y20xx0_xx01t2+y20dt =tt2+y20xx01y0arctgty0xx0.Obt inemu(x, y) =txx0+1y0arctgty0xx0+_xx0(2t2)(t2+y20)2dt +xx2+t2yy0=txx0+1y0arctgty0xx0+tt2+y20xx01y0arctgty0xx0+xx2+t2yy0=txx0+tt2+y20xx0+xx2+t2yy0=xx2+y2+x +xx2+y20xx2+y20x0 x0x20 +y20=xx2+y2+x +C.Deoarece M0(x0, y0) poate orice punct din_R2_, rezulta ca Ceste o con-stantaarbitrarareala.Inacestmomentreluamrat ionamentul dinmetodaprecedenta.Consideramfamiliadefunct iif: C C,f(x, y) =xx2+y2+x +c +j_y yx2+y2_, c R.Oricare dintre funct iile acestei familii este olomorfa si are ca parte imaginarafunct iav. Dincondit iaf(1) = 0obt inem1 + 1 +c +j 0 = 0decic = 2.Inconcluzie,solut iaunicaaproblemeieste,f: C C, f(x, y) =xx2+y2+x 2 +j_y yx2+y2_.(3.20)NotedeSeminar 33Funct ia(3.20)esteolomorfa, areparteaimaginaraImf =vsi f(1)=0.Pentruaoscriefunct iaf cuajutorul variabilei z,nrelat ia(3.20)facemtrecerea___x z,y 0,siobt inemf(z) =1z+z 2, z C.MetodaIII.f

(z) =ux(x, y) +jvx(x, y) =vy(x, y) +jvx(x, y) =1 +y2x2(x2+y2)2+j2xy(x2+y2)2.(3.21)Facemtrecerea___x z,y 0,siobt inemf

(z) = 1 1z2, z C.Rezultaf(z) = z +1z+c, z C.Dinrelat iaf(1) = 0obt inem1 + 1 +c = 0 simaidepartec = 2.f(z) = z +1z 2, z C.NotedeSeminar 344 Puncteordinare,punctesingulareDenit ia4.1FieD Cundomeniu sif: D C.(1) Un punct a D se numeste punct ordinar pentru funct ia fdaca existar > 0astfel ncatfunct iafesteolomorfapedisculdeschis(a, r).(2) Unpunct a Cse numeste punct singular pentrufunct iaf dacapentruoricer > 0,discul(a, r)cont inepuncte ncarefunct iafsaunuestemonogenasaunuestedenita.Denit ia4.2FieD Cundomeniusi ofunct ief: D C. Unpunctsingular a C se numeste punct singular izolat pentru funt ia f, daca existar > 0 astfel ncat n discul deschis (a, r) nu mai exista alte puncte singularealeluifnafaradea.Denit ia4.3Fie D C un domeniu, f: D C, a C un punct singularpentrufunct iafsi n N. Punctul asenumestepol deordinul npentrufunct iaf,dacafestedeformaf(z) =(z)(z a)n, z D \ {a},ncare:D {a} Cesteofunct iepentrucareaestepunctordinarsi(a) = 0.Denit ia4.4FieD Cundomeniu, a Csif: D \ {a} Cofunct iepentrucareaestepunctsingularizolat.Spunemcapunctulaestepunctsingularesent ialpentrufunct iafdacanuexistalimzaf(z).Denit ia4.5Fie D C un domeniu, f: D C si a C un punct singu-larizolatpentrufunct iaf. Punctulasenumestepunctsingularremovabilpentrufunct iaf(saueliminabilsauaparent)dacaexistalimzaf(z) C.NotedeSeminar 35Exemplul4.1Sa se studieze singularitat ile din mult imea Cn cazul funct iilorurmatoare(1) f(z) = 2z3+ 3z + 1(2) f(z) =z 2jz(z +j)3(z2+ 9)2(3) f(z) =z5z2+z(j + 1) +j(4) f(z) = ez(5) f(z) =sin zz(6) f(z) = e1z.(1) Funct ianuarepunctesingulare. ToatepuncteledinCsunt ordinarepentrufunct iafdecifunct iaesteolomorfapemult imea C.(2)Punctelesingularealefunct iei f sunt0, j, 3j, 3j. Punctul z=0estepol simplu, punctul z= jestepol tripluiarpunctelez= 3jsuntpolidubli.Toatepuncteledinmult imeaC \ {0, j, 3j, 3j}suntordinare,funct iafindolomorfapemult imeaC \ {0, j, 3j, 3j}.(3)Punctelesingularealefunct ieifsunt 1, j. Punctulz= 1estepolsimplu, iar punctul z= jeste de asemenea pol simplu. Toate punctele dinmult imeaC \ {1, j}suntordinare,funct iafindolomorfapemult imeaC \ {1, j}.NotedeSeminar 36(4) Funct ianuarepunctesingulare. ToatepuncteledinCsunt ordinarepentrufunct iafdecifunct iaesteolomorfapemult imea C.(5) Funct ia are ca punct singular z= 0. Toate punctele din mult imea C\{0}suntordinare,funct iafindolomorfapemult imea C \ {0}.Deoarecelimz0sin zz= 1rezultacaz= 0estepunctsingularremovabilpentrufunct iaf.(6)Punctulz= 0estepunctsingularizolatpentrufunct iaf(z) = e1z.Pedealtapartef(z) = exx2+y2_cosyx2+y2 j sinyx2+y2_.Observamca___Re f= u(x, y) = exx2+y2cosyx2+y2Im f= v(x, y) = exx2+y2sinyx2+y2Rezultacalimnu_1n, 0_ =limnen= 0iarlimnu_1n, 0_ =limnen= .Deoarecenuexista lim(x,y)(0,0)u(x, y), rezultacanuexista limz0f(z)si maidepartecapunctulz= 0estepunctsingularesent ialpentrufunct iaf.NotedeSeminar 374.1 PunctuldelainnitFunct ia: C C, (z) =1zesteobiject ie. Prelungimaceastafunct ieatasandlui z=0unpunctuniccare se noteaza si se numeste punctul de la innit. Mult imea C{} senumesteplanulcomplexextins sisenoteazauneoricu(z).Punctul z= estepunctordinar(respectivsingular)pentruofunct iefdaca punctul z= 0 este punct ordinar (respectiv singular de aceeasi natura)pentrufunct iag(z) = f_1z_.NotedeSeminar 385 Funct iielementare5.1 Funct iapolinomDenit ia5.1Fie n N. Se numeste funct ie polinom de gradul n, o funct ief: C C,f(z) = anzn+an1zn1+... +a1z +a0,undeak Cpentruk = 0, 1, ..., n sian = 0.Teorema5.1Funct iapolinomesteolomorfapemult imea C.5.2 Funct iarat ionalaDenit ia5.2Fie (n, m) N2. Se numeste funct ie rat ionala, ofunct ief: D C,f(z) =anzn+an1zn1+... +a1z +a0bmzm+bm1zm1+... +b1z +b0,unde ak Cpentru k = 0, 1, ..., nsi an = 0, bk Cpentruk = 0, 1, ..., msi bm = 0,iarD = C \ {z C | Q(z) = 0}.(AmnotatQ(z) = bmzm+bm1zm+... +b1z +b0).Teorema5.2Funct iarat ionalaesteolomorfapedomeniul dedenit iealacesteia.5.3 Funct iaexponent ialaDenit ia5.3Funct iaexponent ialasenoteazaf(z) = ezsiestedenitaastfelf(z) = ex(cos y +j siny), z= x +jy C.Teorema5.3Funct iaexponent ialaesteolomorfapemult imea C, estepe-riodicadeperioada2jsiarederivataf

(z) = ez, z C.NotedeSeminar 39Propozit ia5.1Funct ia exponent iala f(z) = ezare urmatoarele proprietat i:((z1, z2) C2) (ez1ez2= ez1+z2)(z C)_ez=1ez_((z1, z2) C2)_ez1ez2= ez1z2_(m Z)(z C) ((ez)m= emz).Demonstrat ie.ez1ez2=ex1(cos y1 +j siny1) ex2(cos y2 +j siny2) =ex1+x2[cos (y1 +y2) +j sin (y1 +y2)] = ez1+z2.Exercit iul5.1Saserezolveecuat iae1z2= 1, z = 0.Aveme1z2= e(z)2|z|4= ex2y22jxy(x2+y2)2=ex2y2(x2+y2)2_cos2xy(x2+y2)2+j sin2xy(x2+y2)2_ =ex2y2(x2+y2)2_cos2xy(x2+y2)2 j sin2xy(x2+y2)2_.Deciecuat iae1z2= 1, z = 0NotedeSeminar 40esteechivalentacu___ex2y2(x2+y2)2= 12xy(x2+y2)2= 2k, k Z,unde(x, y) = (0, 0).Obt inem___x2y2= 02xy(x2+y2)2= 2k, k Zsimaideparte___x = yxy(x2+y2)2= k, k ZIncazul ncarex=y, dinadouaecuat ierezultak Nsi x2=(4k)1.Decix = y= _4k_1, k Niarzk= _4k_1(1 +j), k N.In cazul n care x = y, din a doua ecuat ie rezulta k Z si x2= (4k)1.Decix = y= _4k_1, k Ziarzk= _4k_1(1 j), k Z.5.4 Funct iiletrigonometricesinussicosinusDenit ia5.4Funct iasinussenoteazaf(z) = sinzsiestedenitaastfelsin : C C, sinz=ejzejz2j.NotedeSeminar 41Denit ia5.5Funct iacosinussenoteazaf(z) = cos zsiestedenitaastfelcos : C C, cos z=ejz+ejz2.Teorema5.4Funct iile sinus si cosinus sunt olomorfe pe mult imeaCsisuntadevarateegalitat ile(sinz)

= cos z, (cos z)

= sinz, z C.Observat ia5.1Consideramz Cdatprinformatrigonometricaz= r(cos +j sin ).Numarulcomplexzpoatescrissubformaz= rej.Inparticular(pentru |z| = r = 1)avemcos +j sin = ej.Observat ia5.2Fie(x0, y0) R2,z0= x0 +jy0sir > 0. AtunciM(z) C((x0, y0); r) |z z0| = r z= z0 +r(cos +j sin ), [0, 2) z= z0 +rej, [0, 2).Exemplul5.1Saserezolve nmult imeanumerelorcomplexeecuat iasinz= 10. (5.1)Solut ie. Ecuat iadevineejzejz2j= 10,NotedeSeminar 42ultimaegalitateputandrescrisasubformaejzejz20j= 0simaidepartesubformae2jz20jejz1 = 0 (5.2)Notamejz= u. Dinrelat ia(5.2)obt inemecuat iau220ju 1 = 0carearesolut iileu1;2= (10 99)j.Relat iaejz= (10 +99)jesteechivalentacurelat iaey(cos x +j sinx) = (10 +99)j.Obt inemsistemul___eycos x = 0eysinx = 10 +99Din cea de a doua ecuat ie rezulta ca sinx > 0. Deoarece, din prima ecuat ie,cos x=0rezultacasinx=1si mai departecax =2+ 2k, k Z. Deasemenea,dinceadeadouaecuat ie,gasimy= ln(10 99). Amobt inutoprimafamiliedesolut ii sianumezk=2+ 2k +j ln(10 99), k Z.Inmodanalog,dinrelat iaejz= (10 99)j,gasimzk=2+ 2k +j ln(10 +99), k Z.Observamputemscriefamiliatuturorsolut iilorsubformazk=2+ 2k j ln(10 +99), k Z.Exercit iul5.2Sasearatecaurmatoareleegalitat isuntadevarate:cos2z + sin2z= 1, z C;cos(z1 +z2) = cos z1 cos z2 sin z1 sin z2, (z1, z2) C2.NotedeSeminar 43Solut ie.cos2z + sin2z=_ejz+ejz2_2+_ejzejz2j_2=14_e2jz+e2jz+ 2 e2jze2jz+ 2_ = 1.Pentruorice(z1, z2) C2avemcos(z1 +z2) =ej(z1+z2)+ej(z1+z2)2.Pedealtapartecos z1 cos z2 sin z1 sin z2=ejz1+ejz12ejz2+ejz22ejz1ejz12jejz2ejz22j=14_ej(z1+z2)+ej(z2z1)+ej(z1z2)+ej(z1+z2)+ej(z1+z2)ej(z2z1)ej(z1z2)+ej(z1+z2)_ =ej(z1+z2)+ej(z1+z2)2.Exercit iul5.3Sasedeterminedomeniulmaximdedenit iealfunct ieif(z) = tg z.Solut ie. Evidenttg : C \ {z C | cos z= 0} C.Avemcos z= 0 ejz+ejz2= 0 ejz+ejz= 0 e2jz+ 1 = 0 e2jz= 1 e2y+2jx= 1 e2y(cos 2x +j sin 2x) = 1.NotedeSeminar 44Obt inem___x = (2k + 1)2y= 0Decitg : C \_z C |z= (2k + 1)2_ C.5.5 Funct iaradical nplanulcomplexDenit ia5.6FieA Comult imenevida. Senumestefunct iemultivoca(saumultiforma) denitape mult imeaA, oaplicat ie care asociazaunuinumarcomplexz Aomult imedevaloridin C.Observat ia5.3Ofunct ief:A C, careasociazaunui numarcomplexz A o valoare unica f(z) C se mai numeste funct ie univoca sau uniforma.Denit ia5.7Fien N, n 2si a C. Senumestefunct ieradical nplanulcomplex,funct ianotataf(z) =nz acareasociazaunuinumarcomplexznumerelecomplexewpentrucarez=a +wn.Teorema5.5Funct iaradicalesteofunct iemultivocasiarenramuricaresuntfunct ii(univoce). Celenramurisuntsuntfk: C \ T C,___fk(z) =nr_cos + 2kn+j sin + 2kn_,k = 0, 1, ..., n 1,undez a = r(cos +j sin ).Testeosemidreaptacuoriginea npunctul a.Propozit ia5.2Fien N, n 2, a Csi k {0, 1, ..., n 1}. Ramurafkafunct ieif(z) =nz aNotedeSeminar 45esteofunct ieolomorfaiarderivataacesteiramuriestef

k(z) =fk(z)n(z a).Exemplul5.2Sasecalculeze5_2 2jconsiderandu-sepentrufunct iaf(z) =5zramuracaresatisfacefk(1) = 1.Solut ie. Fiez= r(cos +j sin ).Ramurilefunct ieifsunt___fk(z) =5r_cos + 2k5+j sin + 2k5_,k = 0, 1, ..., 4.Deoarece 1 =cos +j sin , relat iafk(1) = 1este echivalentacuegalitateacos + 2k5+j sin + 2k5= 1simaidepartecurealat iile___cos + 2k5= 1sin + 2k5= 0.Din + 2k5= rezultak = 2. Deoarece2 2j=8_cos 54+j sin 54_rezultacaf2(2 2j) =108_cos 2120+j sin 2120_.NotedeSeminar 465.6 Funct ialogaritm nplanulcomplexDenit ia5.8Senumestefunct ielogaritm nplanul complex, funct iano-tata f(z) = Ln zcare asociaza unui numar complex znumerele complexe wpentrucareew= z.Teorema5.6Funct ialogaritmesteofunct iemultivocacuoinnitatederamuri(determinari)siacesteasuntfk: C \ T Cfk(z) = ln r +j( + 2k), k Z, (5.3)unde rsi au semnicat iile din forma trigonometrica a numarului complexz,z= r(cos +j sin ).Testeosemidreaptacuoriginea npunctul z= 0.Observat ia5.4Alegandk = 0 n(5.3)obt inemLn|0z= f0(z) = ln r +j. (5.4)Funct ia denitan relat ia (5.4) se numeste determinarea principala a funct ieif(z) = Ln z.Propozit ia5.3Fie k Z. Ramura fka funct iei f(z) = Ln z este olomorfaiarderivataacesteifunct iiestef

k(z) =1z.Exemplul5.3SasecalculezeLn (1 +j)considerandu-sepentrufunct iaf(z) = Ln z,ramuracaresatisfacefk(3) = ln 3 + 7j.NotedeSeminar 47Solut ie. Fiez= r(cos +j sin ).Ramurilefunct ieifsuntfk(z) = ln r +j( + 2k), k Z.Deoarece 3 = 3(cos +j sin ),relat iafk(3) = ln 3 + 7jesteechivalentacuegalitatealn 3 +j( + 2k) = ln 3 + 7jdecik = 3. Deoarece1 +j=2_cos 4+j sin 4_rezultacaf3(1 +j) = ln2 +254j.Exemplul5.4Saserezolve nmult imeanumerelorcomplexeecuat iasin z cos z= j. (5.5)Solut ie. Ecuat iadevineejzejz2jejz+ejz2= j,ultimaegalitateputandrescrisasubformaejz(1 j) ejz(1 +j) = 2. (5.6)Notamejz= u. Dinrelat ia(5.6)obt inemecuat iau2(1 j) + 2u (1 +j) = 0carearesolut iileu1;2=12(1 3)(1 +j).NotedeSeminar 48Dinejz=12_1 +3_(1 +j)rezultacajz= Ln_12_1 +3_(1 +j)_ simaidepartecazk=1j_ln_12_1 +3_2_+j_4+ 2k__ ==4+ 2k j ln3 12, k Ziardinejz=12_1 3_(1 +j)rezultajz= Ln_12_1 3_(1 +j)_ simaidepartecazk=1j_ln_12_1 +3_2_+j_54+ 2k__ ==54+ 2k j ln3 + 12.5.7 Funct iaputere nplanulcomplexFie C. Vomdenifunct iaf(z) = z.Distingemurmatoarelecazuri(1) Daca Natunci funct iaf : C C, f(z) =z, esteofunct iepolinom.(2) Daca Z \ Natuncifunct iaf: C C, f(z) = z,esteofunct ierat ionala.(3) Daca =1pcup N \ {1}, funct iaf(z)=zestefunct iaradicalf(z) =pz denita anterior, deci este o funct ie multivoca avandpramuri.NotedeSeminar 49(4) Fie C \ Rsau R \ Q. Funct iaf(z) = zasociazaunuinumarz Cnumerelecomplexewpentrucarew = z= eLn z.Exemplul5.5Sasecalculezejj.Deoarecej= cos 2+j sin 2rezultacajj= ejLn j= e2 2k, k Z.Exercit iirezolvate.Exercit iul5.4Saserezolveecuat iatgz=1 3j5.Solut ie. Obt inemejzejz2j2ejz+ejz=1 3j55_ejzejz_ = (j + 3)_ejz+ejz_ ejz(2 j) +ejz(8 j) = 0 e2jz(2 j) + (8 j) = 0 e2jz=8 +j2 j e2jz=(8 +j)(2 +j)4 + 1 e2jz= 3 + 2j z=12jLn(3 + 2j) z=12j_ln9 + 4 +j_arctg23+ 2k__ z=12_arctg23+ 2k_j4 ln 13.NotedeSeminar 50Exercit iul5.5Seconsideraofunct ieolomorfaf(z) = u(x, y) +jv(x, y).Sasedeterminefunct iafstiindcaexistaofunct ieF C2(R)astfel ncat___u(x, y) +v(x, y) = F_yx_,f(1) = 0, f(e) = 1 j.Solut ie. Notamw(x, y) = u(x, y) +v(x, y).Deoarecefesteolomorfarezultaca2wx2 (x, y) +2wy2 (x, y) = 0.Derivatelepart ialedeordinul ntaialefunct ieiwsunt___wx(x, y) = F

_yx__yx2_wy (x, y) = F

_yx_1xDerivatelepart ialedeordinuldoialefunct ieiwsunt___2wx2 (x, y) = F

_yx_y2x4+F

_yx_2yx32wy2 (x, y) = F

_yx_1x2.Relat ia2wx2 (x, y) +2wx2 (x, y) = 0esteechivalentacuF

_yx_1x2_1 +y2x2_+F

_yx_2yx3= 0simaidepartecuF

_yx__1 +y2x2_+F

_yx_2yx= 0.Facemnotat iat =yx.NotedeSeminar 51RezultaF

(t) _1 +t2_+F

(t) 2t = 0,maideparte_F

(t) _1 +t2_

= 0,apoiF

(t) _1 +t2_ = C1si nnalF(t) = C1arctg t +C2.Cunotat iiledemaisusavemF_yx_ = C1arctgyx+C2simaideparteu(x, y) +v(x, y) = C1arctgyx+C2.Derivamrelat iademaisus nraportcux sicuysiobt inemux(x, y) +vx(x, y) = C1yx2+y2uy(x, y) +vy(x, y) =C1xx2+y2.Folosindcondit iileCauchy-Riemanndeducemux(x, y) uy(x, y) = C1yx2+y2ux(x, y) +uy(x, y) =C1xx2+y2.Rezultaux(x, y) =x yx2+y2 C12uy(x, y) =x +yx2+y2 C12.Deoarecef

(z) =ux(x, y) +jvx(x, y) =ux(x, y) juy(x, y) =x y j(x +y)x2+y2C12,NotedeSeminar 52rezultaf

(z) =C12z(1 j)simaidepartef(z) =C12(1 j)Lnz +C3.Din f(1) = 0 rezulta C3= 0 iar din f(e) = 1jrezulta C1= 2.In concluzief(z) = (1 j)Lnz.Amconsideratdeterminareaprincipalaafunct ieif(z) = Lnz.NotedeSeminar 536 IntegralaCurbilinieDenit ia6.1FieD Cundomeniu,f: D Cofunct iecontinua si: z(t) = x(t) +jy(t), t [a, b]ocurbaneteda, inclusa ndomeniul D. Senumesteintegralacurbilinieafunct iei fde-alungul curbei , numarul complex notat_ f(z)dzdenit prin_f(z)dz=_baf(z(t))z

(t)dt.Propozit ia6.1FieD Cundomeniu,f: D Cofunct iecontinuasi: z(t) = x(t) +jy(t), t [a, b]o curba neteda (sau neteda pe port iuni) inclusan domeniul D. Este adevarataegalitatea_f(z)dz=_u(x, y)dx v(x, y)dy +j_v(x, y)dx +u(x, y)dy.(Amnotatf(z) = u(x, y) +jv(x, y), z= x +jy).Exercit iul6.1SasecalculezeintegralaI=_zdzncareestepatratulABCDparcurs nsensulA B C D A,varfurileind: A(1 +j),B(1 +j),C(1 j),D(1 j).Observamca funct ia f(z) =z este continua pe mult imeaCsi ca esteadevarataegalitateaI=_[AB]zdz +_[BC]zdz +_[CD]zdz +_[DA]zdz.NotedeSeminar 54Ecuat iileparametricealecelorpatrusegmentesunt[AB] :___x(t) = ty(t) = 1, t [1, 1],deci z(t) = t +j iar z

(t) = 1.[BC] :___x(t) = 1y(t) = t, t [1, 1],deci z(t) = 1 jt iar z

(t) = j.[CD] :___x(t) = ty(t) = 1, t [1, 1],deci z(t) = t j iar z

(t) = 1.[DA] :___x(t) = 1y(t) = t, t [1, 1],deci z(t) = 1 +jt iar z

(t) = j.Aplicanddenit iaintegraleiobt inemI1=_[AB]zdz=_11(t j)(1)dt =t2211+ 2j= 2j,I2=_[BC]zdz=_11(1 +jt)(j)dt =t2211+ 2j= 2j,NotedeSeminar 55I3=_[CD]zdz=_11(t +j)dt =t2211+ 2j= 2j,I4=_[DA]zdz=_11(1 jt)jdt =t2211+ 2j= 2j.InconcluzieI= I1 +I2 +I3 +I4= 8j.Propozit ia6.2FieD Cundomeniu,fsigdouafunct iicomplexecon-tinue pe mult imea D, (, ) C2si o curba neteda (sau neteda pe port iuni)inclusa ndomeniul D. Suntadevarateurmatoarelepropozit ii:(1)_(f(z) +g(z)) dz=_f(z)dz +_g(z)dz(2)_f(z)dz Ml().(Amnotatcul()lungimeacurbeisiM= supz|f(z)|).Observat ia6.1FieD Cundomeniu,f: D Cofunct iecontinua si: z(t) = x(t) +jy(t), t [a, b]ocurbanetedainclusandomeniul D. NotamcuAsi Bpunctelecore-spunzatoarenumerelorcomplexe(a)respectiv(b)si cucurbapar-cursa nsensinvers,delaBlaA. Dacac (a, b)atunci= 1 2NotedeSeminar 56unde1: z(t) = x(t) +jy(t), t [a, c]si2: z(t) = x(t) +jy(t), t [c, b].InPropozit iademaijosutilizamnotat iiledinObservat ia6.1.Propozit ia6.3 FieD Cundomeniu, f: D Cofunct iecon-tinuasi: z(t) = x(t) +jy(t), t [a, b]o curba neteda inclusan domeniul D. Sunt adevarate urmatoarele propozit ii:(1)_f(z)dz= _f(z)dz(2)_f(z)dz=_1f(z)dz +_2f(z)dz.Denit ia6.2Numimdomeniusimpluconex, undomeniuDcupropri-etatea ca orice curba simpla si nchisa cont inuta n Ddelimiteaza un dome-niuinclus nD.Denit ia6.3Fiep N. Numimdomeniumultipluconex, deordindeconexitatep + 1, undomeniucarearefrontieraformatadinp + 1curbenchise,C0, C1, ..., Cp,astfel ncat ninteriorulcurbeiC0suntinclusetoatecelelalte curbe, iar acestea din urma sunt situate ecaren exteriorul celeilalte.6.1 TeoremafundamentalaaluiCauchyTeorema6.1(Teorema fundamentala a lui Cauchy pentru domeniisimplu conexe) Fie D C un domeniu simplu conex, f: D C o funct ieolomorfaavandderivatacontinuasi ocurbaneted a,nchisainclusandomeniul D. Atunci_f(z)dz= 0.NotedeSeminar 57Corolarul6.1FieD Cundomeniusimpluconex,f: D Cofunct ieolomorfaavandderivatacontinua. ConsideramdouapuncteA, B ndome-niulDsidouaarcedecurbaincluse nDavandextremitat ileA,B. Not amceledouaarcedecurb a1respectiv2si presupunemcaacesteasuntpar-curse nsensul delaAlaB. Atunci_1f(z)dz=_2f(z)dz.Convent ia6.1FieD Cundomeniu,f: D Cofunct iecontinuasiocurbaneteda,nchisa,inclusa ndomeniulD. Convenimcasensuldeparcurgerealcurbeiconsiderat ncazulintegraleicurbilinii_ f(z)dz,esteceltrigonometric.Exercit iul6.2SasecalculezeintegralaI=_zdz, : x2+y2+ 2y= 0.Solut ie. MetodaI.Avem: x2+ (y + 1)2= 1 :___x(t) = cos ty(t) = 1 + sin t, t [0, 2): z(t) = cos t +j(1 + sin t), t [0, 2).Pedealtapartez

(t) = sin t +j cos t, t [0, 2).NotedeSeminar 58Obt inemI=_zdz=_20[cos t +j(1 + sin t)] [sin t +j cos t] dt =_20[2 sin t cos t + cos t] dt+j_20_cos2t sin2t + sin tdt = 0.MetodaII.ConformteoremeifundamentalealuiCauchyI= 0.Exercit iul6.3SasecalculezeintegralaI=_zdz, : x2+y2+ 2y= 0.Solut ie.Avem: x2+ (y + 1)2= 1 :___x(t) = cos ty(t) = 1 + sin t, t [0, 2): z(t) = cos t +j(1 + sin t), t [0, 2).Pedealtapartez

(t) = sin t +j cos t, t [0, 2).NotedeSeminar 59Obt inemI=_zdz=_20[cos t j(1 + sin t)] [sin t +j cos t] dt =_20[sin t cos t + sin t cos t cos t] dt+j_20_cos2t + sin2t sin tdt = 2j.Nuputemaplicateoremafundamentalaalui Cauchydeoarecefunct ianuestemonogena nniciunpunct.Teorema6.2(Teorema fundamentala a lui Cauchy pentru domeniimultipluconexe)FieD Cundomeniumultipluconexavandordinuldeconexitatep + 1,C0indcurbaexterioaraiarC0, C1, ..., Cpindcurbeledininteriorul curbei C0. Dacaf : D Cesteofunct ieolomorfaavandderivatacontinua,atunci_C0f(z)dz=_C1f(z)dz +_C2f(z)dz +... +_Cpf(z)dz.Exemplul6.1SasecalculezeintegralaI=_|z|=R1z2+ 1dz, R (0, +) \ {1}.DacaR 1,consideram > 0astfel ncat < min{1, R 1}NotedeSeminar 60sicercurile1: z j= ejt, t [0, 2)si2: z +j= ejt, t [0, 2).Notamcucerculdatprinecuat ia |z| = R. ConformTeoremeifundamen-talealuiCauchypentrudomeniitripluconexeI=_1z2+ 1dz=_11z2+ 1dz +_21z2+ 1dz.Observamca_11z2+ 1dz=12j_11z jdz 12j_11z +jdzsica_21z2+ 1dz=12j_21z jdz 12j_21z +jdz.Folosindegalitat ile_11z +jdz= 0,_21z jdz= 0sicalculandintegralele_11z jdz=_20jejtejtdt = 2j_21z +jdz=_20jejtejtdt = 2j.rezultaI=12j2j 12j2j= 0.6.2 FormulaintegralaaluiCauchyTeorema6.3(Formula integrala a lui Cauchy) Fie D C un domeniusimpluconex, f : D Cofunct ieolomorfaavandderivatacontinuasiocurbaneteda,nchis ainclusandomeniul D. Notamcudomeniuldelimitatdecurba. Atunci,pentruoricea ,f(a) =12j_f(z)z adz.NotedeSeminar 61Teorema6.4(Formula integrala a lui Cauchygeneralizata)FieD Cundomeniusimpluconex,f: D Cofunct ieolomorfaavandderivate continue de orice ordinsi o curba neteda, nchisa inclusandomeniul D. Notamcudomeniul delimitat decurba. Atunci, pentruoricea , n N,f(n)(a) =n!2j_f(z)(z a)n+1dz.Exercit iul6.4Sasecalculezeintegralele(1) I1=_C1ezz(1 z)3dz, C1: |z| =14(2) I2=_C2ezz(1 z)3dz, C2: |z 1| =14(3) I3=_C3ezz(1 z)3dz, C3: |z| = 2Solut ie.I1=_C1ez(1z)3zdz= 2jf1(0) = 2j,undef1(z) =ez(1 z)3.I2= _C2ezz(z 1)3dz= 2j2!f

2(1) = ej,undef2(z) =ezz.I3= I1 +I2= j(2 e).6.3 Exercit iirezolvateExercit iul6.5Folosinddenit iasasecalculezeintegralaI=_zdzncareestetrapezulABCDparcurs nsensulA B C D A,varfurileind: A(1, 1),B(2, 3),C(2, 0),D(1, 0).NotedeSeminar 62Observamca funct ia f(z) =z este continua pe mult imeaCsi ca esteadevarataegalitateaI=_[AB]zdz +_[BC]zdz +_[CD]zdz +_[DA]zdz.Ecuat iileparametricealecelorpatrusegmentesunt[AB] :___x(t) = 1 +ty(t) = 1 + 2t, t [0, 1],deci z(t) = 1 +t +j(1 + 2t) iar z

(t) = 1 + 2j.[BC] :___x(t) = 2y(t) = t, t [3, 0],deci z(t) = 2 jt iar z

(t) = j.[CD] :___x(t) = ty(t) = 0, t [2, 1],deci z(t) = t iar z

(t) = 1.[DA] :___x(t) = 1y(t) = t, t [0, 1],deci z(t) = 1 +jt iar z

(t) = j.NotedeSeminar 63Aplicanddenit iaintegraleiobt inemI1=_[AB]zdz=_10[1 +t +j(1 + 2t)](1 + 2j)dt =(1 + 2j)_1 +t2210+j+jt210_ =(1 + 2j)_1 +12+j +j_ = (1 + 2j)_32+ 2j_ = 5j 52,I2=_[BC]zdz=_03(2 jt)(j)dt = (j)_6 jt2203_ =6j +92,I3=_[CD]zdz=_12(t)(1)dt =t2212= 32,I4=_[DA]zdz=_10(1 +jt)jdt = j t2210= j 12.InconcluzieI= I1 +I2 +I3 +I4= 0.NotedeSeminar 64Exercit iul6.6Fietrei arcedecurba1, 2, 3avandcapeteleorigineaOsiA(z= 1 +j). SasecalculezeintegraleleIm=_m(x2+jy)dz, m {1, 2, 3}considerandcurbelesuportaleacelortreiarce,dateprinecuat iile(a) y = x; (b) y = x2; (c) y = x3.Solut ie. Ecuat iileparametricealecelortreiarcesunt1:___x(t) = ty(t) = t, t [0, 1],deci z(t) = t +jt iar z

(t) = 1 +j.2:___x(t) = ty(t) = t2, t [0, 1],deci z(t) = t +jt2iar z

(t) = 1 + 2jt.3:___x(t) = ty(t) = t3, t [0, 1],deci z(t) = t +jt3iar z

(t) = 1 + 3jt2.I1=_10(t2+jt)(1 +j)dt =(1 +j)_t3310+jt2210_ = (1 +j)_13+j2_.NotedeSeminar 65I2=_10(t2+jt2)(1 + 2jt)dt =(1 +j)_t3310+ 2jt4410_ = (1 +j)_13+j2_.I3=_10(t2+jt3)(1 + 3jt2)dt =_10[(t23t5) +j(t3+ 3t4)]dt =_t33103t6610_+j_t4410+ 3t5510_ =_13 12_+j_14+35_.Exercit iul6.7SasecalculezeintegralaI=_zdz, : x2+y22x 2y= 0.Solut ie. MetodaI.Avem: (x 1)2+ (y 1)2= 2 :___x(t) = 1 +2 cos ty(t) = 1 +2 sin t, t [0, 2): z(t) = 1 +2 cos t +j(1 +2 sin t), t [0, 2).Pedealtapartez

(t) = 2 sin t +j2 cos t, t [0, 2).NotedeSeminar 66Obt inemI=_zdz=_20_1 +2 cos t +j(1 +2 sin t)_ _2 sin t +j2 cos t_dt.InconcluzieI= 0.MetodaII.ConformteoremeifundamentalealuiCauchyI= 0.Exercit iul6.8SasecalculezeintegralaI=_|z|=R1z2+ 9dz, R (0, +) \ {3}.DacaR 3,consideram > 0astfel ncat < min{1, R 3}sicercurile1: z 3j= ejt, t [0, 2)si2: z + 3j= ejt, t [0, 2).Notamcucerculdatprinecuat ia |z| = R. ConformTeoremeifundamen-talealuiCauchypentrudomeniitripluconexeI=_1z2+ 9dz=_11z2+ 9dz +_21z2+ 9dz.Observamca_11z2+ 9dz=16j_11z 3jdz 16j_11z + 3jdzNotedeSeminar 67sica_21z2+ 9dz=16j_21z 3jdz 16j_21z + 3jdz.Folosindegalitat ile_11z + 3jdz= 0,_21z 3jdz= 0sicalculandintegralele_11z 3jdz=_20jejtejtdt = 2j_21z + 3jdz=_20jejtejtdt = 2j.rezultaI=16j2j 16j2j= 0.Exercit iul6.9Sasecalculezeintegralele(1) I1=_C1ejz(z21)(z2+ 1)2dz, C1: |z| =12(2) I2=_C2ejz(z21)(z2+ 1)2dz, C2: x2+ 8y22 = 0(3) I3=_C3ejz(z21)(z2+ 1)2dz, C3: 8x2+y22 = 0(3) I4=_C3ejz(z21)(z2+ 1)2dz, C4: |z| = 2Solut ie.I1= 0.I2=_1ejz(z1)(z2+1)2z + 1dz +_2ejz(z+1)(z2+1)2z 1dz=2jf1(1) + 2jf2(1).NotedeSeminar 68undef1(z) =ejz(z 1)(z2+ 1)2,f2(z) =ejz(z + 1)(z2+ 1)2.I3=_3ejz(z21)(z+j)2(z j)2dz +_4ejz(z21)(zj)2(z +j)2dz=2j1!f

3(j) +2j1!f

4(j).undef3(z) =ejz(z21)(z +j)2,f4(z) =ejz(z21)(z j)2.I4= I2 +I3.Exercit iul6.10SasecalculezeintegralaI=_sin zz31dz, : x2+y2= 2x.Solut ie. Observamca: x2+y2= 2x (x 1)2+y2= 1,deciestecercul C((1, 0); 1).Pedealtaparte,deoarece1 = 1(cos 0 +j sin 0),rezultacaecuat iaz31 = 0aresolut iilezk= cos 2k3+j sin 2k3, k {0, 1, 2}.NotedeSeminar 69Observamcaz0= 1este ninteriorulcercului C((1, 0); 1), ntimpcez1= cos 23+j sin 23= 12+j32,z2= cos 43+j sin 43= 12 j32,nuseaa ninteriorulcercului C((1, 0); 1). Obt inemI=_sin zz31dz=_sin zz2+z+1z 1dz= 2jg(1),undeg(z) =sin zz2+z + 1.InconcluzieI=_sin zz31dz= 2jsin 13.Exercit iul6.11SasecalculezeintegralaI=_cos zz364dz, : x2+y2= 12x.Solut ie. Observamca: x2+y2= 12x (x 6)2+y2= 36,deciestecercul C((6, 0); 6).Pedealtaparte,deoarece64 = 43(cos 0 +j sin 0),rezultacaecuat iaz364 = 0aresolut iilezk= 4_cos 2k3+j sin 2k3_, k {0, 1, 2}.Rezulta mai departe ca z0= 4 este n interiorul cercului C((6, 0); 6), n timpcez1= 4_cos23+j sin23_ = 4_12+j32_,z2= 4_cos43+j sin43_ = 4_12 j32_,NotedeSeminar 70nuseaa ninteriorulcercului C((6, 0); 6). Obt inemI=_cos zz364dz=_cos zz2+4z+16z 4dz= 2jg(4),undeg(z) =cos zz2+ 4z + 16.InconcluzieI=_cos zz316dz= 2jcos 464.Exercit iul6.12SasecalculezeintegralaI=_ezz2+ 3z 28dz, : x2+y2= 6x.Solut ie. Observamca: x2+y2= 6x (x 3)2+y2= 9,deciestecercul C((3, 0); 3).Pedealtaparte, ecuat iaz2+ 3z 28=0aresolut iilez1=4si z2= 7.Deoarecez1seaaninteriorul cercului C((3, 0); 3), iar z2nuseaaninteriorulcercului C((3, 0); 3)rezultacaI=_ezz2+ 3z 28dz=_ezz+7z 4dz= 2jg(4),undeg(z) =ezz + 7.InconcluzieI=_ezz2+ 3z 28dz= 2je411.Exercit iul6.13SasecalculezeintegralaI=_e2z(z364)2dz, : x2+y2= 10x.NotedeSeminar 71Solut ie. Observamca: x2+y2= 10x (x 5)2+y2= 25,deciestecercul C((5, 0); 5).Pedealtaparte,deoarece64 = 43(cos 0 +j sin 0),rezultacaecuat iaz364 = 0aresolut iilezk= 4_cos 2k3+j sin 2k3_, k {0, 1, 2}.Rezulta mai departe ca z0= 4 este n interiorul cercului C((5, 0); 5), n timpcez1= 4_cos23+j sin23_ = 4_12+j32_,z2= 4_cos43+j sin43_ = 4_12 j32_,nuseaa ninteriorulcercului C((5, 0); 5). Obt inemI=_e2z(z364)2dz=_e2z(z2+4z+16)2(z 4)2dz= 2jg

(4),undeg(z) =e2z(z2+ 4z + 16)2.InconcluzieI=_e2z(z364)2dz= 2j104e8643.6.4 Exercit iipropuseExercit iul6.14SasecalculezeintegralaI=_ezz2(z29)dz, : |z| = 1.NotedeSeminar 72Exercit iul6.15SasecalculezeintegralaI=_zz(z21)dzundeestecurbasimpla,netedasi nchisaavandproprietateacapunctele1, 0, 1nuseaapeaceastacurba.Exercit iul6.16SasecalculezeintegralaI=_cos z(2z j)(z2+ 8)dzncareestepatratulABCDparcurs nsensulA B C D A,varfurileind: A(2 + 2j),B(2 + 2j),C(2 2j),D(2 2j).7 Seriinumerice. Seriidefunct ii. SeriideputeriDenit ia7.1Senumestesir denumerecomplexeofunct ief : N C.Daca pentru orice n N not am f(n) = znatunci sirul denit mai sus poatenotat(zn)nNsau (zn)nsau (zn).Observat ia7.1Daca(zn)nesteun sirdenumerecomplexeatuncipentruoricen Nnumarulznsepoatereprezentasubformazn= xn +jyn,astfelca sirului de numere complexe (zn)ni corespund doua siruri de numere reale(xn)nsi(yn)n.Denit ia7.2Fie(zn)nunsirdenumerecomplexesi z C. Spunemcasirul(zn)narelimitazsinotamlimnzn= z,daca( > 0)(n N)(n N)(n n= |zn z| < ).Denit ia7.3Fie (zn)nun sir de numere complexe. Spunem ca sirul(zn)nesteconvergent n Cdacaexistaz Castfel ncatlimnzn= z.Incazcontrar sirul(zn)nsenumestedivergent.NotedeSeminar 73Propozit ia7.1Fie(zn)nunsir denumerecomplexeastfel ncat pentruoricen Nnumarul znsepoatereprezentasubformazn=xn+ jynsiz= x +jy C.Atunci(limnzn= z) (limnxn= x limnyn= y)Exemplul7.1Sa se studieze convergent a sirului de numere complexe (zn)nncare(1) (n N)_zn=12n+jnn + 1_(2) (n N)_zn= (1)n+j1n_Solut ie. (1)Observamca(n N)_xn=12n yn=nn + 1_Deoarecesirurile(xn)n, (yn)nsuntconvergenterezultacasirul (zn)nesteconvergent. Maimult, limnxn= 0 si limnyn= 1deci limnzn= j.(2)Observamca(n N)_xn= (1)n yn=1n_Deoarece sirul(xn)nestedivergentrezultaca sirul(zn)nestedivergent.Denit ia7.4Fie(zn)nesteunsirdenumerecomplexe. Spunemcaseriade numere complexe

n=1zneste convergenta si ca are suma S C daca sirulsumelorpart iale(Sn)nesteconvergent siarelimitaS.Inacestcaznotam

n=1zn= S.Daca sirul sumelor part iale este divergent, se spune ca seria este divergenta.Propozit ia7.2Fie(zn)nunsir denumerecomplexeastfel ncat pentruorice n Nnumarul znse reprezintasub formazn=xn+ jynsi S=A+jB C.Suntadevarateurmatoarelepropozit iiNotedeSeminar 74(1) Seriadenumerecomplexe

n=1znesteconvergentadaca sinumaidacaseriiledenumerereale

n=1xnsi

n=1ynsuntconvergente.(2) Seria

n=1znaresumaSdacasi numai dacaseriiledenumerereale

n=1xnsi

n=1ynausumeleArespectivB.Exemplul7.2Sasestudiezeconvergent aserieidenumerecomplexe(1)

n=1_12n+j1n2_(2)

n=1_1n+j1n2_Solut ie. (1)Serieide numerecomplexe

n=1_12n+j1n2_iatasam seriiledenumerereale

n=112nsi

n=11n2. Deoarececeledouaserii denumererealesunt convergente, rezulta ca seria de numere complexe

n=1_12n+j1n2_ esteconvergenta.(2)Seriei denumerecomplexe

n=1_1n+j1n2_ i atasamseriiledenu-merereale

n=11nsi

n=11n2. Deoareceseriadenumerereale

n=11nestedivergenta,rezultacaseriadenumerecomplexe

n=1_1n+j1n2_estediver-genta.Propozit ia7.3Dacaseriadenumerecomplexe

n=1znesteconvergent a,atunci limnzn= 0.Denit ia7.5Spunem ca seria de numere complexe

n=1zn este absolut con-vergentadacaseria

n=1|zn|esteconvergenta.NotedeSeminar 75Propozit ia7.4Daca seria de numere complexe

n=1zneste absolut conver-genta,atuncieaestesiconvergenta.Observat ia7.2Exista serii de numere complexe care sunt convergente darnusuntabsolutconvergente.Exemplul7.3Sasestudiezeconvergent aserieidenumerecomplexe(1)

n=11n2_12+j12_n(2)

n=1j(1)nnSolut ie. (1)Facemnotat ia(n N)_zn=1n2_12+j12_n_.Observamcapentruoricen N, |zn| =1n2. Deoareceseria

n=11n2esteconvergenta rezulta ca seria de numere complexe

n=11n2_12+j12_nesteabsolutconvergenta.(2)Facemnotat ia(n N)_zn= j(1)nn_.Deoareceseria

n=1|zn| =

n=11nestedivergentarezultacaseria

n=1j(1)nnnuesteabsolut convergenta. Pedealtaparteseriei denumerecomplexe

n=1j(1)nniatasamseriiledenumerereale

n=1xnsi

n=1yn ncare(n N)_xn= 0 yn=(1)nn_.Deoarececeledouaseriidenumererealesuntconvergente, rezultacaseriadenumerecomplexe

n=1j(1)nnesteconvergenta.NotedeSeminar 76Denit ia7.6Fie E C si un sir de funct ii (fn)n, astfel ncat pentru orice(n N)(fn: E C).Serianotata

n=1fn, care are proprietateacapentruecare zEseria

n=1fn(z)esteoseriedenumerecomplexe,senumesteseriedefunct iicom-plexepemult imeaE.Denit ia7.7FieE C sioseriedefunct iicomplexe

n=1fnpemult imeaE. Spunemcaaceastaserieesteconvergentapunctual sausimpluconver-gentapemult imeaEdacapentruoricez E, seriadenumerecomplexe

n=1fn(z)esteoserieconvergenta.Denit ia7.8FieE C sioseriedefunct iicomplexe

n=1fnpemult imeaE. Spunemcaaceastaserieesteuniformconvergentapemult imeaEdaca___( > 0)(n N)((n, p) N N)(z E)(n n= |fn+1(z) +... +fn+p(z)| < ).Teorema7.1FieE Csioseriedefunct iicomplexe

n=1fnpemult imeaE. Daca seria

n=1fn este uniform convergenta pe mult imea Eatunci aceastaserie este simplu convergenta pe mult imea E. Reciproca acestei armat ii estefalsa.Teorema7.2(Criteriul lui Weierstrass)Fie E C, o serie de funct ii com-plexe

n=1fnpe mult imea Esi o serie convergenta de numere pozitive

n=1anastfel ncat(n N)(z E)(|fn(z)| an).Atunciseria

n=1fnesteuniformconvergentapemult imeaE.NotedeSeminar 77Exemplul7.4Considerammult imeaD= {z C: |z| 1}. Sasestudiezeconvergent aserieidefunct ii

n=1fnpemult imeaD,unde,pentruoricen N,fn: D C, fn(z) =znn2.Solut ie. Observamca(z D)(n N)_|fn(z)| 1n2_.Deoarece seria

n=11n2este convergenta rezulta, conform Criteriului lui Weier-strass,caseriadefunct ii

n=1fnesteuniformconvergentapemult imeaD.Denit ia7.9Fiea Csi (cn)nunsirdenumerecomplexe. Senumesteseriedeputerialelui(z a),oseriedefunct iinotata

n=1cn(z a)nncaretermenulgeneralestedatprinfn(z) = cn(z a)n.Propozit ia7.5(LemaluiAbel)Fie

n=1cnznoseriedeputeri.ExistaunnumarunicR [0, ]careareurmatoareleproprietat i(1) Pentru orice z C cu |z| < R, seria

n=1cnzneste absolut convergenta.(2) Pentruoricez Ccu |z| > R,seria

n=1cnznestedivergenta.NotedeSeminar 78IncazulncareR>0, seriaconvergeuniformpeoricepeoricedisc{z C : |z| },unde < R.Denit ia7.10Numarul R din Lema lui Abel se numeste raza de convergent aaseriei deputeri iardiscul deschis {z C: |z| 3}.Solut ie. Esteadevarataegalitateaf(z) =4z22z + 9z33z2+ 4z 12=3z 3+z4 +z2+14 +z2.(9.4)NotedeSeminar 98pecareorescriemsubformaf(z) = 11 z3+1z11 +_2z_2+1z211 +_2z_2. (9.5)Dinrelat ia(9.5)rezultaf(z) =

n=0zn3n+1z

n=0(1)n22nz2n+1z2

n=0(1)n22nz2n, z D,simaidepartef(z) =

n=0(1)n22n_1z2n+1+1z2n+2_

n=0zn3n, z D.Rescriemegalitatea(9.4)subformaf(z) = 11 z3+z411 +_z2_2+1411 +_z2_2. (9.6)Incel deal doileacazdomeniul estesimpluconex. DezvoltareanserieTaylorafunct ieifestef(z) =

n=0zn3n+14

n=0(1)n122nz2n+1+14

n=0(1)n122nz2n, z E.Rescriemegalitatea(9.4)subformaf(z) =3z11 3z+1z11 +_2z_2+1z211 +_2z_2. (9.7)Obt inemf(z) =3z

n=03nzn+1z

n=0(1)n22nz2n+1z2

n=0(1)n22nz2n, z F,simaidepartef(z) =

n=0(1)n22n_1z2n+1+1z2n+2_+

n=03n+1zn+1, z F.NotedeSeminar 9910 TeoriareziduurilorDenit ia10.1Fie D C un domeniu, f: D\ {a} C o funct ie olomorfa iar a Dpunctsingular izolat al funct iei f. Senumestereziduul funct iei fnpunctul anumarulcomplexnotatRezf(a)denitprinrelat iaRezf(a) = c1,undec1estecoecientulcorespunzatorputerii(z a)1dindezvoltarea nserieLaurentafunct ieifnjurulpunctuluia,(adicapeocoroana : < |z a| < rcu > 0oricatdemic).Teorema10.1FieD Cundomeniu, f : D \ {a} Cofunct ieolomorfaiar a Dpunctsingularizolatalfunct ieif. Reziduulfunct ieifnpunctulapoatecalculatdupacumurmeaza:(1) DacaaestepoldeordinppentrufatunciRezf(a) =1(p 1)!limza[(z a)pf(z)](p1).(2) Daca f(z) =g(z)h(z), g(a) = 0, h(a) = 0, h

(a) = 0, iar g si h sunt funct iiolomorfe pe o vecinatate a punctului a, atunci a este pol simplu pentrufunct iafsiRezf(a) =g(a)h

(a).Teorema10.2(Teoremareziduurilor)FieD Cundomeniusimpluconex,Cocurb asimpla,netedapeport iunisi nchisainclusa ndomeniul D, domeniul (deschis)marginit decurbaC. Consideram o funct ie fcare are n domeniul un numar nit de punctesingulareizolate, detippol sausingularitateesent iala, notatea1, a2, ..., ansiastfel ncatf: D \ {a1, a2, ..., an} Cesteofunct ieolomorfa. Atunci_Cf(z)dz= 2jn

k=1Rezf(ak).NotedeSeminar 100Exemplul10.1SasecalculezeintegralaIk=_Ckejz(z21)(z2+ 1)2dz, k {1, 2, 3, 4},undeC1: |z| =12C2: x2+ 8y22 = 0C3: 8x2+y22 = 0C4: |z| = 2.Solut ie. Funct iaf: C \ {1, 1, j, j} Cdataprinf(z) =ejz(z21)(z2+ 1)2esteolomorfa. Punctelez=1si z= 1suntpoli simpli ai funct iei f iarpunctelez= jsiz= jsuntpolidubliaifunct ieif.InplusRezf(1) =limz1_(z 1)ejz(z 1)(z + 1)(z2+ 1)2_ =ej8 ,Rezf(1) = limz1_(z + 1)ejz(z 1)(z + 1)(z2+ 1)2_ = ej8,Rezf(j) =limzj_(z j)2ejz(z21)(z +j)2(z j)2_

=3je18Rezf(j) =limzj_(z +j)2ejz(z21)(z +j)2(z j)2_

= je8Funct iafnuarepunctesingulare ndomeniulinteriorlimitatdecerculC1.Conform teoremei fundamentale a lui Cauchy pentru domenii simplu conexeI1= 0. Punctele singulare z= 1, z= 1 se aa n domeniul interior limitatdeelipsaC2:x2(2)2+y2_12_2= 1.iar punctele singulare z= j,z= jse aa n exteriorul acestei elipse. DeciI2= 2j [Rezf(1) +Rezf(1)].NotedeSeminar 101Punctelesingularez =j, z = j seaandomeniul interior limitat deelipsaC3:x2_12_2+y2(2)2= 1.iar punctele singulare z= 1, z= 1 se aa n exteriorul acestei elipse. DeciI3= 2j [Rezf(j) +Rezf(j)].Toatepunctelesingularealefunct iei f seaa ninteriorul cercului C4, deaceeaI4= 2j [Rezf(1) +Rezf(1) +Rezf(j) +Rezf(j)].Exemplul10.2SasecalculezeintegralaIk=_Cksin z(z216)(z2+ 9)3dz, k {1, 2, 3, 4},undeC1: |z| = 1C2: |z 4| = 2C3: |z 3j| = 1C4: |z 4| = 6.Solut ie. Funct iaf: C \ {4, 4, 3j, 3j} Cdataprinf(z) =sin z(z216)(z2+ 9)3esteolomorfa. Punctelez=4si z= 4suntpoli simpli ai funct iei f iarpunctelez= 3jsiz= 3jsuntpolitripliaifunct ieif.InplusRezf(4) =limz4_(z 4)sin z(z 4)(z + 4)(z2+ 9)3_,Rezf(3j) =12limz3j_(z 3j)3sin z(z216)(z 3j)3(z + 3j)3_

,Rezf(3j) =12limz3j_(z + 3j)3sin z(z216)(z + 3j)3(z 3j)3_

.Funct iafnuarepunctesingulare ndomeniulinteriorlimitatdecerculC1.Conform teoremei fundamentale a lui Cauchy pentru domenii simplu conexeNotedeSeminar 102I1= 0. Punctul singular z= 4, este singurul care se aan domeniul interiorlimitatdecerculC2: |z 4| = 2.iarpunctelesingularez= 3j, z= 4seaa nexteriorul acestui cerc.DeciI2= 2jRezf(4).Punctul singular z= 3j, este singurul care se aan domeniul interior limitatdecerculC3: |z 3j| = 1.iarpunctelesingularez= 4, z= 3j seaa nexteriorul acestui cerc.DeciI3= 2jRezf(3j).Punctele singulare z= 4, z= 3jale funct iei fse aa n interiorul cerculuiC4,iarpunctulsingularz= 4seaa nexteriorulacestuicerc,deaceeaI4= 2j [Rezf(4) +Rezf(3j) +Rezf(3j)].Exemplul10.3SasecalculezeintegralaI=_Cz4e1zdz, C: |z| = 3Solut ie. Deoareceez= 1 +11!z +12!z2+... +1n!zn+..., z Crezulta ca dezvoltarean serie Laurent a funct iei g(z) = e1zn jurul punctuluiz= 0estee1z= 1 +11!1z+12!1z2+... +1n!1zn+..., z Csi mai departe ca dezvoltarea n serie Laurent a funct iei f(z) = z4e1zn jurulpunctuluiz= 0estez4e1z= z4+11!z3+12!z2+... +1n!1zn4+..., z C.In concluzie punctul z= 0 este punct singular esent ial al funct iei f(z) = z4e1zsiavemI= 2jRezf(0) = 2jc1NotedeSeminar 103unde unde c1este coecientul corespunzator puterii z1din dezvoltarea nserieLaurentafunct ieif(z) = z4e1znjurulpunctuluiz= 0. Obt inemI= 2j 15!.Teorema10.3(Teoremasemireziduurilor)FieD Cundomeniusimpluconex, Cocurbasimpla, netedasi nchisainclusandomeniul D, domeniul (deschis)marginit decurbaC. Con-sideramofunct iefcareare ndomeniulunnumarnitdepunctesingu-lareizolate, detippol sausingularitateesent iala, notatea1, a2, ..., ansi unnumarnitdepoli deordinul ntai situat i pecurbaC, notat i b1, b2, ..., bm,astfel nc atf: D \ {a1, a2, ..., an, b1, b2, ..., bm} C,esteofunct ieolomorfa. Atunci_Cf(z)dz= 2jn

k=1Rezf(ak) +jm

l=1Rezf(bl).Exemplul10.4SasecalculezeintegralaI=_Cz(z + 1)2(z25z + 6)dz, C: |z + 1| = 3.Solut ie. Punctelesingularealefunct ieif(z) =z(z + 1)2(z25z + 6)suntz= 1(poldublu),z= 2(polsimplu) siz= 3(polsimplu). Punctulz= 1 se aa n domeniul interior limitat de cercul C: |z +1| = 3, punctulz= 2 se aa pe cerc iar punctul z= 3 se aa n exterior. Conform teoremeisemireziduurilorNotedeSeminar 104I= 2jRezf(1) +jRezf(2) == 2j limz1_(z + 1)2z(z + 1)2(z25z + 6)_

++j limz2_(z 2)z(z + 1)2(z 2)(z 3)_ == 2j limz1_z25z + 6 z(2z 5)(z25z + 6)2_+j limz2_z(z + 1)2(z 3)_ == 11j72.Consideramuncerc0: |z| = R0,domeniulE= {z C | |z| > R0}siofunct ieolomorfapedomeniulE. Punctuldelainnitpoatepentrufpunctordinar,polsaupunctsingularesent ial.Denit ia10.2Se numeste reziduul funct iei fnpunctul de lainnit numarul complexnotatRezf()denitprinRezf() = 12j_f(z)dzundeesteuncercdeecuat ie |z| = RcuR > R0.Teorema10.4Incontextul demaisusesteadevarataformulaRezf() = Rez_1z2f_1z__(0).Teorema10.5Dacafesteofunct iecareare n C {}unnumarnitdesingularitat idetippol sausingularitateesent iala,iarsingularitat iledinCsuntnotatea1, a2, ..., an, atuncisumatuturorreziduuriloracesteifunct iiestenula,adicaRezf() +n

k=1Rezf(ak) = 0.NotedeSeminar 105Corolarul10.1Dacafesteofunct iecareare n C{}unnumarnitdesingularitat i detippol sausingularitateesent iala, singularitat iledinCsunt notatea1, a2, ..., an, iarCesteocurbanetedapeport iuni, simplasinchisaastfel ncatpunctelea1, a2, ..., ansea a ndomeniulinteriorlimitatdeaceast acurba,atunci_Cf(z)dz= 2jRezf().Exemplul10.5Sasecalculezeintegralacomplexa:_Cz13(z 2)4(z5+ 3)2dz, C: 4x2+ 9y236 = 0.Solut ie. Facemnotat iaf(z) =z13(z 2)4(z5+ 3)2.Observamca(a) punctulz= 2estepoldeordin4alfunct ieif;(b) punctelezk=53_cos + 2k5+j sin + 2k5_,k {0, 1, 2, 3, 4}suntpolidubliaifunct ieif.Deoarecetoatepunctelesingularealefunct ieifseaa ndomeniulinteriorlimitatdeelipsaC:x29+y24= 1,esteadevarataegalitatea_Cz13(z 2)4(z5+ 3)2dz= 2jRezf().PedealtaparteRezf() = Rez_1z2f_1z__(0).Deoarece1z2f_1z_ = 1z(1 2z)4(1 + 3z5)2,NotedeSeminar 106rezultacaRez_1z2f_1z__(0) = limz0_z1z(1 2z)4(1 + 3z5)2_ = 1.Inconcluzie_Cz13(z 2)4(z5+ 3)2dz= 2j(1) = 2j.11 Aplicat ii ale teoremei reziduurilor ncalcululunorintegralerealeTeorema11.1Consideramofunct ie rat ionalarealaR(x) =P(x)Q(x)astfelncat(x R)(Q(x) = 0)grad Qgrad P 2.Atunci_+R(x)dx = 2jn

k=1Rezf(ak), (11.1)undef(z) = R(z)iara1, a2, ...ansuntpoliifunct ieifcareauparteaimagi-narastrictpozitiva.Exemplul11.1SasecalculezeintegralaI=_1x4+ 1dx.Solut ie. Punctelesingularealefumct ieif(z) =1z4+ 1suntz0= cos 4+j sin 4=22+j22z1= cos 34+j sin 34= 22+j22z2= cos 54+j sin 54= 22j22z3= cos 74+j sin 74=22j22.NotedeSeminar 107Acestepatrupunctesuntpolisimpliiar nsemiplanulsuperiorseaaz0siz1. Conformformulei(11.1)I= 2j (Rezf(z0) +Rezf(z1)) == 2j_14z30+14z31_ = 2j_z04 z14_ = j2j2 =22.Teorema11.2Consideramofunct ierat ionalaR = R(x, y)astfel nc atfunct iag() = R(sin , cos )esteofunct iecontinuapeintervalul [0, 2]. Atunci_20R(sin , cos )d =_|z|=1f(z)dz== 2jn

k=1Rezf(ak),undef(z) =1jzR_z212jz, z2+ 12z_iara1, a2, ...ansuntpoliifunct ieifpentrucare |ak| < 1, k = 1, 2, ..., n.Exemplul11.2SasecalculezeintegralaI=_201 + cos 5 + 4 sin d.Solut ie. Facemschimbareadevariabilaz= ej.Candparcurgeinter-valul [0, 2], zdescrie cercul C: |z| = 1, o singura data, n sens direct. Suntadevarateegalitat ilesin =ejej2j=z212jzcos =ej+ej2=z2+ 12z.NotedeSeminar 108Pedealtapartedinrelat iaz= ejrezultad =1jzdz. IntegraladevineI=_|z|=11 +z2+12z5 + 4z212jz1jzdz=_|z|=1z2+ 2z + 12z(2z2+ 5jz 2)dz.Punctele singulare ale fumct iei f(z) =z2+ 2z + 12z(2z2+ 5jz 2)sunt z1= 0, z2= j2siz3= 2j. Toateacestepunctesuntpolisimpli.InconcluzieI= 2j (Rezf(z1) +Rezf(z2)) .DeoareceRezf(0) =limz0_z z2+ 2z + 12z(2z2+ 5jz 2)_ = 14iarRezf_j2_ = limzj2___z +j2_z2+ 2z + 14z_z +j2_(z + 2j)__ =3 4j12.InconcluzieI=23.Teorema11.3Consideram > 0 si o funct ie rat ional a reala R(x) =P(x)Q(x)astfel nc at(x R)(Q(x) = 0)grad Qgrad P 2.Atunci_+R(x)ejxdx = 2jn

k=1Rezf(ak), (11.2)undef(z) =R(z)ejziar a1, a2, ...ansunt polii funct iei f careauparteaimaginarastrictpozitiva.Exemplul11.3SasecalculezeintegralaI=_0cos x(x2+ 1)2dxNotedeSeminar 109Solut ie. Funct iaf(x) =cos x(x2+ 1)2esteparadeaceeaI=_0cos x(x2+ 1)2dx =12_cos x(x2+ 1)2dx.NotamA =_cos x(x2+ 1)2dx, B=_sin x(x2+ 1)2dx.ObservamcaC= A+jB=_1(x2+ 1)2ejxdx.Conformformulei(11.2)C=_1(x2+ 1)2ejxdx = 2jRez(g)(j) = e1undeg(z) =1(z2+ 1)2ejz.InconcluzieI=e12.NotedeSeminar 11011.1 Exercit iipropuseExercit iul11.1SasecalculezeintegralaI=_Cz2(z2+ 1)(z24)2dz, C: |z 1| = 2.Exercit iul11.2SasecalculezeintegralaI=_Cz2e2zz+1dz, C: x2+y2+ 4x = 0.Exercit iul11.3SasecalculezeintegralaI=_Csin zz2(z4+ 1)dz, C: |z| = 2.Exercit iul11.4SasecalculezeintegralaI=_201 + sin x2 + cos xdx.Exercit iul11.5SasecalculezeintegralaI=_x2(x2+ 1)(x2+ 4)dx.Exercit iul11.6SasecalculezeintegralaI=_xsin x(x2+ 1)(x2+ 4)dx.Exercit iul11.7SasecalculezeintegralaI=_0cos x(x2+ 1)3dx.12 SeriiFourierDenit ia12.1FieL > 0. Sistemuldefunct ii12, cos xL, sin xL, cos 2xL, sin 2xL, ...,cos nxL, sin nxL, ...(12.1)senumestesistemtrigonometricdefunct ii.NotedeSeminar 111Denit ia12.2Consideramunsir de funct ii (gi)iNastfel ncat, pentruoricei N,funct iagi: [a, b] R,esteofunct ieintegrabilaRiemann. Sistemul defunct ii (gi)iNsenumesteortogonalpeintervalul[a, b]dacapentrui = kavem_bagi(x)gk(x)dx = 0, (12.2)sipentrui = kavem_bagi(x)gk(x)dx > 0. (12.3)Teorema12.1Sistemul trigonometricdefunct ii esteunsistemortogonalpeintervalul [L, L] iarfunct iileacestui sistemsunt periodicedeperioadaprincipalacomunaT= 2L.Presupunemm = n. Obt inem_LLcos nxLcos mxLdx =12_LL_cos (n +m)xL+ cos (n m)xL_dx = 0.Calculesimilarenearatacaoricumamalegedouafunct ii diferitedinsis-temultrigonometricdefunct ii(12.1),condit ia(12.2)este ndeplinita.Pentrun = mavem_LLcos2nxLdx =_LL1 + cos2nxL2= L > 0,_LLsin2nxLdx =_LL1 cos2nxL2= L > 0,NotedeSeminar 112si_LL14= 2L > 0.Denit ia12.3Oseriedefunct iideformaa02+

n=1_an cos nxL+bn sin nxL_unde (an)nNsi (bn)nN sunt siruri de numere reale, se numeste serietrigonometrica.Denit ia12.4Dacaf : [L, L] Resteofunct ieintegrabila, atunci oserietrigonometricaaicareicoecient isuntdat iprinformulelea0=1L_LLf(x)dx; an=1L_LLf(x) cos nxLdx;bn=1L_LLf(x) sin nxLdx,senumesteserieFourieratasatafunct iei f fat adesistemul trigonometric,sauserieFouriertrigonometrica.Observat ia12.1Dacaf: [L, L] Resteofunct ieintegrabila, atuncivomscrief(x) a02+

n=1_an cos nxL+bn sin nxL_,undea0=1L_LLf(x)dx; an=1L_LLf(x) cos nxLdx;bn=1L_LLf(x) sin nxLdx.Observat ia12.2Dacaf : [, ] Resteofunct ieintegrabila, atunciseriaFouriertrigonometricaatasatafunct ieifestea02+

n=1(an cos nx +bn sinnx)NotedeSeminar 113coecient iiinddat iprinformulelea0=1_f(x)dx; an=1_f(x) cos nxdx;bn=1_f(x) sinnxdx.Observat ia12.3Dacaf : [0, T] Resteofunct ieintegrabila, atunciseriaFouriertrigonometricaatasatafunct ieifestea02+

n=1_an cos 2nxT+bn sin 2nxT_coecient iiinddat iprinformulelea0=2T_T0f(x)dx; an=2T_T0f(x) cos 2nxTdx;bn=2T_T0f(x) sin 2nxTdx.Observat ia12.4Dacaf:[L, L] Resteofunct ieintegrabilasi para,atunciseriaFouriertrigonometricaatasatafunct ieifestea02+

n=1an cos nxLcoecient iiinddat iprinformulelea0=2L_L0f(x)dx; an=2L_L0f(x) cos nxLdx.Observat ia12.5Daca f: [L, L] R este o funct ie integrabila si impara,atunciseriaFouriertrigonometricaatasatafunct ieifeste

n=1bn sin nxLcoecient iiinddat iprinformulelebn=2L_L0f(x) sin nxLdx.NotedeSeminar 114Teorema12.2(TeoremaluiDirichletdeconvergent aaseriilorFourier)Consideramofunct ief,periodicadeperioadaT,caresatisfaceurm atoarelecondit ii:(a) Peoriceinterval delungimeT estecontinuaexceptandeventual unnumarnitdepunctedediscontinuitatedespet a ntai.(b) Oriceinterval delungimeT poatempart itntr-unnumarnit desubintervale astfel ncat pe ecare subinterval funct ia feste monotona.Atunci:(A) SeriaFourieresteconvergentapentruoricex [0, T].(B) ConsideramS,sumaserieiFourierpecareoatasamfunct ieif.Dacax [0, T] estepunct decontinuitatepentrufunct iaf, atunciS(x) =f(x). Dacax [0, T] estepunct dediscontinuitatepentrufunct iafatunciS(x) =f(x + 0) +f(x 0)2.Observat ia12.6Fief : [L, L] Resteofunct ieintegrabila, pentrucare sunt satisfacute ipotezele dinteoremalui Dirichlet. Atunci, pentruoricepunctx ncarefunct iafestecontinua,avemf(x) =a02+

n=1_an cos nxL+bn sin nxL_,undea0=1L_LLf(x)dx; an=1L_LLf(x) cos nxLdx;bn=1L_LLf(x) sin nxLdx.Dacax [L, L]estepunctdediscontinuitatepentrufunct iafatuncif(x + 0) +f(x 0)2=a02+

n=1_an cos nxL+bn sin nxL_,NotedeSeminar 115undea0=1L_LLf(x)dx; an=1L_LLf(x) cos nxLdx;bn=1L_LLf(x) sin nxLdx.Observat ia12.7Consideramofunct ief: [0, T) R.(1) Funct iaf:[0, T) Rpoateprelungitaprinperiodicitatepetoataaxareala, astfel caprelungireaacesteia,f : R Resteofunct ieperiodica.(2) Funct iaf : [0, L] Rpoateprelungitaprinparitatelaintervalul[L, L] si apoi prinperiodicitate pe toataaxareala. Astfel ntr-oprimaetapaobt inemfunct iaf : [L, L]Rcare este parasi acarei restrict ie la intervalul [0, L] este fsi ntr-o a doua etapa obt inemfunct iaf : R Rcareesteperiodicasi parasi acarei restrict ielaintervalul[L, L]estef.(3) Funct iaf: [0, L) R,pentrucaref(0) = 0,poateprelungitaprinimparitatelaintervalul(L, L) siapoiprinperiodicitatelamult imeaR \ {(2k+ 1)L | k Z}. Dacaf(0) =0atunci prelungimfunct iaf: (0, L) Rprinimparitatelamult imea(L, L) \ {0}siapoiprinperiodicitatelamult imea R \ {kL | k Z}.Exemplul12.1Sa se reprezinte printr-o serie Fourier trigonometrica funct iaperiodicadeperioadaT= 2dataprinf(x) =___x, < x < 00, 0 x Solut ie. SeriaFouriertrigonometricaatasatafunct ieifestea02+

n=1(an cos nx +bn sinnx)NotedeSeminar 116coecient iiinddat iprinformulelea0=1_f(x)dx; an=1_f(x) cos nxdx;bn=1_f(x) sinnxdx.Deoarece,a0=1_f(x)dx =1_0xdx =1x220= 2sipentruoricen Nan +jbn=1_f(x) [cos nx +j sinnx] dx ==1_f(x)ejnxdx =1_0xejnxdx ==1_0x_1jnejnx_

dx ==1xjnejnx0 1jn_0ejnxdx ==1jnejn11(jn)2ejnx0==(1)njn+1n2 (1)nn2=1n2 (1 (1)n) j(1)nn,rezultaan=___0, n = 2k2n2, n = 2k + 1, k Zsibn=(1)n+1n.Pentruoricex R \ {(2k + 1) | k Z},obt inemf(x) = 4+2 cos x++

n=1_2(2n + 1)2 cos (2n + 1)x +(1)n+1nsinnx_.NotedeSeminar 117Exemplul12.2Sa se reprezinte printr-o serie Fourier trigonometrica funct iaperiodicadeperioadaT= 2Ldataprinf(x) = x2, x [L, L].Solut ie. Funct iaf esteparadeci seriaFouriertrigonometricaatasatafunct ieifestea02+

n=1an cos nxLcoecient iiinddat iprinformulelea0=2L_L0f(x)dx; an=2L_L0f(x) cos nxLdx.Deoarecea0=2L_L0x2dx =2Lx33L0=2L23sipentruoricen Nan=2L_L0f(x) cos nxLdx =2L_L0x2cos nxLdx ==2L_L0x2_Ln sin nxL_

dx ==2LLnx2sin nxLL0 2LLn_L0sin nxL2xdx == 4n_L0x_Ln cos nxL_

dx ==4Ln22xcos nxLL0 4Ln22_L0cos nxLdx ==4L2n22(1)n4Ln22Ln sin nxLL0=4L2n22(1)n.Pentruoricex Robt inemf(x) =L23+4L22

n=1(1)nn2cos nxL.NotedeSeminar 118Exemplul12.3Sa se reprezinte printr-o serie Fourier trigonometrica funct iadataprinf(x) =sin x5 + 3 cos x.Solut ie. Funct iafesteperiodicaavandperioadaT= 2,estecontinuaiarseriaFouriertrigonometricaatasatafunct ieifpeintervalul[0, 2]estea02+

n=1(an cos nx +bn sinnx)coecient iiinddat iprinformulelea0=1_20f(x)dx; an=1_20f(x) cos nxdx;bn=1_20f(x) sinnxdx.Facemschimbareadevariabilaz=ejx. Candxparcurgeintervalul [0, 2],zdescriecercul C: |z| =1, osinguradata,nsensdirect. Pentruoricen Naveman +jbn=1_20sin x5 + 3 cos xejnxdx ==1_|z|=1z212jz5 + 3z2+12zzn1jzdz== 1_|z|=1(z21)zn13z2+ 10z + 3dz.Consideram funct ia g(z) = 1(z21)zn13z2+ 10z + 3. Punctele singulare ale funct ieigsunt z= 3 si z= 13ambele ind poli simpli. Punctul z= 13se aa ndomeniulinteriorlimitatdecerculCiarpunctulz= 3seaa nexterior.Deaceeaan +jbn= 2jRezg_13_.NotedeSeminar 119PedealtaparteRezg_13_ = limz13__z +13_g(z)_ == 1limz13__z +13_(z21)zn13_z +13_(z + 3)_ == 1limz13_(z21)zn13(z + 3)_ == 1_19 1_(1)n1 13n13_13+ 3_ =(1)n+13n+1.Inconcluziean +jbn= 2jRezg_13_ = j2(1)n+13n+1deunderezultaan= 0, bn=2(1)n+13n+1.Lafelprocedampentruacalculacoecientula0:a0=1_20sin x5 + 3 cos xdx =1_|z|=1z212jz5 + 3z2+12z1jzdz== 1_|z|=1z21z(3z2+ 10z + 3)dz.Consideram funct ia h(z) = 1z21z(3z2+ 10z + 3). Punctele singulare ale funct ieihsuntz=0, z= 3si z= 13toateindpoli simpli. Punctelez=0siz= 13seaa ndomeniulinteriorlimitatdecerculCiarpunctulz= 3seaa nexterior. Deaceeaa0= 2j_Rezh(0) +Rezh_13__.DeoareceRezh(0) =limz0zh(z) =13NotedeSeminar 120iarRezh_13_ = limz13__z +13_h(z)_ == 1limz13__z +13_z213z_z +13_(z + 3)_ == 1limz13z213z(z + 3)= 119 13_13_ _13+ 3_= 13rezultaa0= 2j_Rezh(0) +Rezh_13__ = 2j_13 13_ = 0.Deducemcapentruoricex Ravemf(x) =

n=12(1)n+13n+1sinnx.Exemplul12.4Sasereprezinteprintr-oserieFourier trigonometricadesinusfunct iaf(x) =___x, 0 x 0Funct ia este ofunct ie original si are indicele de crestere p0=0. DinDenit ia14.2rezulta,capentrus Castfel ncatRes > 0,avemL((t))(s) =_0(t)estdt =_0estdt == limb1sestb0= 1slimb_esb1_ =1s,NotedeSeminar 137deoarece|esb| = eRes biarlimbeRes b= 0.Observat ia14.2Deoarece prima condit ie din Denit ia 14.1 nu este n gen-eral ndeplinita,ncalculul transformatei Laplace, vomconsideracaoricefunct ief: R Ceste nprealabil nmult itacufunct iasinotataapoitotcuf.Exemplul14.2Consideram C sifunct iaf(t) = et, t R.Funct ia feste o funct ie original si are indicele de crestere p0= max{0, Re}.DinDenit ia14.2rezultaL(f(t))(s) =1s .Propozit ia14.1Dacafsigsuntfunct iioriginaliar C, CatunciL[f(t) +g(t)] (s) = L[f(t)](s) +L[g(t)](s).Propozit ia14.2Dacafesteofunct ieoriginal iar > 0atunciL[f(t)] (s) =1L[f(t)]_s_.Propozit ia14.3Dacafesteofunct ieoriginal iar CatunciL[etf(t)](s) = L[f(t)] (s ).NotedeSeminar 138Propozit ia14.4Dacaf esteofunct ieoriginal iar F estetransformataLaplaceafunct ieif,atuncipentruoricen NavemL[(t)nf(t)](s) = F(n)(s).Propozit ia14.5Fien Nsifofunct ieoriginal,astfel ncatderivatelef

, f

, ..., f(n)suntdeasemeneafunct iioriginal. Presupunemc af(0), f

(0), ..., f(n1)(0)suntlimiteleladreapta noriginealefunct iilorf, f

, ..., f(n1).DacaFestetransformataLaplaceafunct ieif,atunciL[f(n)(t)](s) = snF(s)_sn1f(0) +sn2f

(0) +... +f(n1)(0)_.Propozit ia14.6Dacafsi gsunt funct ii original iarFsi Gsunt trans-formateleLaplacealefunct iilorfsig,atunciL[(f g)(t)](s) = F(s)G(s),unde(f g)(t) =_t0f()g(t )d. (14.4)Observat ia14.3Operat iadenita nrelat ia(14.4)senumesteprodusdeconvolut iealfunct iilorfsig.Fie C, > 0sin N. Urmatorultabelcont inetransformateLaplacecalculatecuajutoruldenit iilor sirezultatelordemaisus:(t) 1set1s NotedeSeminar 139cos t ss2+2sint s2+2tnn!sn+1Exercit iul14.1SaserezolveproblemaCauchy___x

(t) 6x

(t) + 11x

(t) 6x(t) = e4tx(0) = x

(0) = 0, x

(0) = 1.(14.5)Solut ie. Consideramx(t) X(s).ConformPropozit iei14.5rezultax

(t) s3X(s) _s2x(0) +sx

(0) +x

(0)_ = s3X(s) 1x

(t) s2X(s) (sx(0) +x

(0)) = s2X(s)x

(t) sX(s) x(0) = sX(s)Aplicand transformata Laplace ecuat iei diferent iale din (16.29) obt inemecuat iaoperat ionalaX(s)_s36s2+ 11s 6_1 =1s 4simaideparteX(s) =1(s 1)(s 2)(s 4).DeoareceX(s) =131s 1 121s 2+161s 4,rezultax(t) =13et12e2t+16e4t.Exercit iul14.2Saserezolveecuat iaintegralaf(t) = sin t _t0(t )f()d. (14.6)NotedeSeminar 140Solut ie. Consideramf(t) F(s).Din(16.28)rezultaF(s) =1s2+ 1 F(s) 1s2simaideparteF(s) =s2(s2+ 1)2.Notamg(t) = cos t. Deoarececos t ss2+ 1,obt inemf(t) = (g g)(t) =_t0cos cos(t )d=12 (sin t +t cos t) .Exercit iul14.3SaserezolveproblemaCauchy___x

(t) 3x

(t) + 2x

(t) = cos tx(0) = x

(0) = 0, x

(0) = 1.(14.7)Solut ie. Consideramx(t) X(s).ConformPropozit iei14.5rezultax

(t) s3X(s) _s2x(0) +sx

(0) +x

(0)_ = s3X(s) 1x

(t) s2X(s) (sx(0) +x

(0)) = s2X(s)x

(t) sX(s) x(0) = sX(s)Aplicand transformata Laplace ecuat iei diferent iale din (14.7) obt inem ecuat iaoperat ionalaX(s)_s33s2+ 2s_1 =ss2+ 1simaideparteX(s) =s2+s + 1s(s 1)(s 2)(s2+ 1).DeoareceX(s) =12 1s 32 1s 1+710 1s 2+110 3s + 1s2+ 1,NotedeSeminar 141rezultax(t) =12 32et+710e2t+110 (3 cos t + sin t).Exercit iul14.4Saserezolveecuat iaintegrala1 cos t =_t0sh(t )x()d. (14.8)Solut ie. Consideramx(t) X(s).Din(14.8)rezulta1s ss2+ 1=12_1s 1 1s + 1_X(s)simaideparteX(s) =s21s(s2+ 1).DeoareceX(s) = 1s+2ss2+ 1,rezultacax(t) = (t) + 2 cos t.Exercit iul14.5Saserezolvesistemul___x

= x y zy

= x +y zz

= x y +z(14.9)stiindcax(0) = 1, x

(0) = y(0) = y

(0) = z(0) = z

(0) = 0.Solut ie. Consideramx(t) X(s)y(t) Y (s)z(t) Z(s).NotedeSeminar 142AplicandtransformataLaplaceecarei ecuat ii dinsistemul (14.9)obt inemsistemul___s2X(s) s = X(s) Y (s) Z(s)s2Y (s) = X(s) +Y (s) Z(s)s2Z(s) = X(s) Y (s) +Z(s)(14.10)careesteechivalentcu___X(s)(s21) +Y (s) +Z(s) = sX(s) +Y (s)(s21) +Z(s) = 0X(s) +Y (s) +Z(s)(s21) = 0(14.11)Determinantulsistemuluidemaisuseste =s21 1 11 s21 11 1 s21= (s2+ 1)(s22)2.Obt inemX(s) =1s 1 10 s21 10 1 s21=s3(s2+ 1)(s22).DeoareceX(s) =13 ss2+ 1+13 _1s 2+1s +2_rezultacax(t) =13 cos t +13e2 t+13e2 t.AnalogcalculamY (s), Z(s), y(t), z(t).Sasecalculezefunct iaf(t) =_0sin txx(x2+a2)dx, t > 0.NotedeSeminar 143Solut ie. CalculamtransformataLaplacepentrufunct iaf:L{f(t)}(s) =_0f(t)estdt ==_0__0sin txx(x2+a2)dx_estdt ==_0__0sin txx(x2+a2)estdt_dx ==_01x(x2+a2)__0sin(tx)estdt_dx ==_01x(x2+a2) xx2+s2dx =_01x2+a2 1x2+s2dx ==122j (Rezg(aj) +Rezg(sj)) ,undeamconsiderats > 0 sig(z) =1(z2+a2)(z2+s2).Obt inemL{f(t)}(s) = j_12aj(s2a2)+12sj(a2s2)_ =2 1s2a2_1a 1s_ ==2a 1s(s +a)=2a2 _1s 1s +a_.Inconcluzief(t) =2a2 _1 eat_.Exercit iul14.6SaserezolveproblemaCauchy___x

(t) 6x

(t) + 11x

(t) 6x(t) = e4tx(0) = x

(0) = 0, x

(0) = 1.(14.12)NotedeSeminar 144Solut ie. Consideramx(t) X(s).ConformPropozit iei14.5rezultax

(t) s3X(s) _s2x(0) +sx

(0) +x

(0)_ = s3X(s) 1x

(t) s2X(s) (sx(0) +x

(0)) = s2X(s)x

(t) sX(s) x(0) = sX(s)Aplicand transformata Laplace ecuat iei diferent iale din (16.29) obt inemecuat iaoperat ionalaX(s)_s36s2+ 11s 6_1 =1s 4simaideparteX(s) =1(s 1)(s 2)(s 4).DeoareceX(s) =131s 1 121s 2+161s 4,rezultax(t) =13et12e2t+16e4t.Exercit iul14.7Saserezolveecuat iaintegralaf(t) = sin t _t0(t )f()d. (14.13)Solut ie. Consideramf(t) F(s).Din(16.28)rezultaF(s) =1s2+ 1 F(s) 1s2simaideparteF(s) =s2(s2+ 1)2.Notamg(t) = cos t. Deoarececos t ss2+ 1,obt inemf(t) = (g g)(t) =_t0cos cos(t )d=12 (sin t +t cos t) .NotedeSeminar 14514.1 Exercit iipropuseExercit iul14.8SaserezolveproblemaCauchy___x

(t) + 6x

(t) + 9x(t) = 9e3tx(0) = x

(0) = 0.(14.14)Exercit iul14.9SaserezolveproblemaCauchy___x

(t) 3x

(t) + 2x

(t) = ett cos tx(0) = x

(0) = 0, x

(0) = 1.(14.15)Exercit iul14.10Saserezolveecuat iaintegralat3=_t0(t )2f()d. (14.16)15 Ecuat ii cu derivate part iale de ordinul al doileaVomconsideraecuat ii cuderivatepart ialedeordinul al doilealiniaredeformaa(x, y)2ux2+ 2b(x, y)2uxy+c(x, y)2uy2++d(x, y)ux+e(x, y)uy= 0,(15.1)undefunct iilea, b, c, d, esuntcontinuepeomult imedeschisaD R2iaru : D Resteofunct ienecunoscuta,astfel ncatu C2(D).Consideramschimbareadevariabila___= (x, y),= (x, y).(15.2)Transformareainversaeste___x = x(, ),y= y(, ).NotedeSeminar 146Notamcu ufunct iadenitaprinrelat ia u(, ) = u(x(, ), y(, )). (15.3)Relat ia(15.3)esteechivalentacuu(x, y) = u((x, y), (x, y)). (15.4)Dinrelat iile(15.2) si(15.4)rezultaux= u x+ u xuy= u y+ u y(15.5)simaideparte2ux2=2 u2 _x_2+2 u x x+ u 2x2++2 u x x+2 u2 _x_2+ u 2x22uxy=2 u2 x y+2 u x y+ u 2xy++2 u x y+2 u2 x y+ u 2xy.2uy2=2 u2 _y_2+2 u y y+ u 2y2++2 u y y+2 u2 _y_2+ u 2y2.NotedeSeminar 147Inconcluzie2ux2=2 u2 _x_2+ 22 u x x+2 u2 _x_2++ u 2x2+ u 2x22uxy=2 u2 x y+2 u _x y+x y_+2 u2 x y+ u 2xy+ u 2xy.2uy2=2 u2 _y_2+ 22 u y y+2 u2 _y_2++ u 2y2+ u 2y2.(15.6)Consideramurmatoareaecuat iediferent ialadeordinul ntai:a(x, y)_y

_22b(x, y)y

+c(x, y) = 0. (15.7)Ecuat ia(15.7)senumesteecuat iacaracteristica. Notam= b2ac.Infunct iedesemnulluidistingemurmatoareletipurideecuat ii:(1)Ecuat iidetiphiperbolicpentru> 0.(2)Ecuat iidetipparabolicpentru= 0.(3)Ecuat iidetipelipticpentru< 0.(1) In cazul ecuat iilor de tip hiperbolic solut ia ecuat iei (15.7) este de forma:___(x, y) = c1(x, y) = c2.NotedeSeminar 148Vomfaceschimbareadevariabile___= (x, y)= (x, y)Inlocuindn ecuat ia (15.1), derivatele (15.5) si (15.6), obt inem forma canonicaaecuat iei(15.1):2 u+e1(, ) u+f1(, ) u= 0.(2) Incazulecuat iilordetipparabolicsolut iaecuat iei(15.7)estedeforma:(x, y) = c.Vomfaceschimbareadevariabile___= (x, y)= x,sau___= (x, y)= y.Inlocuindn ecuat ia (15.1), derivatele (15.5) si (15.6), obt inem forma canonicaaecuat iei(15.1):2 u2+e2(, ) u+f2(, ) u= 0.(3) Incazulecuat iilordetipelipticsolut iaecuat iei(15.7)estedeforma:___(x, y) +j(x, y) = c(x, y) j(x, y) = c.Vomfaceschimbareadevariabile___= (x, y)= (x, y)NotedeSeminar 149Inlocuindn ecuat ia (15.1), derivatele (15.5) si (15.6), obt inem forma canonicaaecuat iei(15.1):2 u2+2 u2+e3(, ) u+f3(, ) u= 0.16 Exercit iirezolvateExercit iul16.1Sase determine solut iaecuat iei cuderivate part iale deordinulaldoilea22ux2 72uxy+ 32uy2= 0, (16.1)carevericaurmatoarelecondit ii___u(0, y) = 9y3,ux(0, y) = y2.Solut ie. Dinecuat iacaracteristicaatasataecuat iei(16.26)2_y

_2+ 7y

+ 3 = 0rezultay

= 12siy

= 3.Obt inemfamiliiledesolut ii___x + 2y= C1,3x +y= C2.Consideramschimbareadevariabila___= x + 2y,= 3x +y.(16.2)Transformareainversaeste___x = 15 +25,y=35 15.Notamcu ufunct iadenitaprinrelat ia u(, ) = u(x(, ), y(, )). (16.3)NotedeSeminar 150Relat ia(16.28)esteechivalentacuu(x, y) = u((x, y), (x, y)). (16.4)Dinrelat iile(16.27) si(16.29)rezultaux= u+ 3 uuy= 2 u+ u2ux2=2 u2+ 62 u+ 92 u22uxy= 22 u2+ 72 u+ 32 u22uy2= 42 u2+ 42 u+2 u2.Ecuat ia(16.26)devine2 u= 0 (16.5)iaraceastadinurmaaresolut iagenerala u(, ) = F() +G().Rezultacaecuat iaecuat ia(16.26)aresolut iageneralau(x, y) = F(x + 2y) +G(3x +y).Dincondit iau(0, y) = 9y3obt inemF(2y) +G(y) = 9y3. (16.6)Pedealtaparteux(x, y) = F

(x + 2y) + 3G

(3x +y)deciux(0, y) = F

(2y) + 3G

(y).Dincondit iaux(0, y) = y2obt inemF

(2y) + 3G

(y) = y2. (16.7)NotedeSeminar 151Dinrelat iile(16.6) si(16.7)rezultasistemul___2F

(2y) +G

(y) = 27y2,F

(2y) + 3G

(y) = y2,carearesolut ia___F

(2y) = 16y2,G

(y) = 5y2.Obt inem___F(y) =43y3+C1,G(y) = 53y3+C2,deciu(x, y) =43(x + 2y)353(3x +y)3+C.Deoareceu(0, y) = 9y3,deducemC= 0deciu(x, y) =43(x + 2y)353(3x +y)3.Exercit iul16.2Sa se determine solut ia generala a ecuat iei cuderivatepart ialedeordinulaldoileay22ux2 2xy2uxy+x22uy2 xux yuy= 0, (16.8)nipoteza(x, y) (0, ) (0, ).Solut ie. Dinecuat iacaracteristicaatasataecuat iei(16.20)y2_y

_2+ 2xyy

+x2= 0rezultay

= xy.Obt inemfamiliadesolut iix2+y2= C.Consideramschimbareadevariabila___= x2+y2,= x.(16.9)NotedeSeminar 152Transformareainversaeste___x = ,y=_ 2.Notamcu ufunct iadenitaprinrelat ia u(, ) = u(x(, ), y(, )). (16.10)Relat ia(16.22)esteechivalentacuu(x, y) = u((x, y), (x, y)). (16.11)Dinrelat iile(16.21) si(16.23)rezultaux= 2x u+ uuy= 2y u2ux2= 4x22 u2+ 4x2 u+2 u2+ 2 u2uxy= 4xy2 u2+ 2y2 u2uy2= 4y22 u2+ 2 u.Ecuat ia(16.20)deviney22 u2 x u= 0. (16.12)Conformrelat iilor(16.21)ecuat ia(16.24)poaterescrisasubforma( 2)2 u2 u= 0. (16.13)Facemnotat ia u= w.Ecuat ia(16.13)devine( 2)w w = 0. (16.14)NotedeSeminar 153Ecuat ia(16.25)aresolut iageneralaw(, ) =F()_ 2Din u=F()_ 2rezulta u(, ) = F()arcsin+G().Inconcluzie,solut iageneralaaecuat iei(16.20)esteu(x, y) = F(x2+y2)arcsinx_x2+y2+G(x2+y2).Exercit iul16.3Sa se aduca la forma canonica ecuat ia cu derivate part ialedeordinulaldoilea2ux2 62uxy+ 102uy2+ux 3uy= 0. (16.15)Solut ie. Dinecuat iacaracteristicaatasataecuat iei(16.31)_y

_2+ 6y

+ 10 = 0rezultay

= 3 +jsiy

= 3 j.Obt inemfamiliiledesolut ii___3x +y +jx = C,3x +y jx = C.Consideramschimbareadevariabila___= 3x +y,= x.(16.16)Transformareainversaeste___x = ,y= 3.Notamcu ufunct iadenitaprinrelat ia u(, ) = u(x(, ), y(, )). (16.17)NotedeSeminar 154Relat ia(16.33)esteechivalentacuu(x, y) = u((x, y), (x, y)). (16.18)Dinrelat iile(16.32) si(16.34)rezultaux= 3 u+ uuy= u2ux2= 92 u2+ 62 u+2 u22uxy= 32 u2+2 u2uy2=2 u2.Ecuat ia(16.31)devine2 u2+2 u2+ u= 0. (16.19)Exercit iul16.4Sa se determine solut ia generala a ecuat iei cuderivatepart ialedeordinulaldoilea2ux2+ 42uxy+ 42uy2= 0. (16.20)Solut ie. Dinecuat iacaracteristicaatasataecuat iei(16.20)_y

_24y

+ 4 = 0rezultay

= 2.Obt inemfamiliadesolut ii2x y= C.Consideramschimbareadevariabila___= 2x y,= x.(16.21)NotedeSeminar 155Notamcu ufunct iadenitaprinrelat ia u(, ) = u(x(, ), y(, )). (16.22)Relat ia(16.22)esteechivalentacuu(x, y) = u((x, y), (x, y)). (16.23)Dinrelat iile(16.21) si(16.23)rezultaux= 2 u+ uuy= u2ux2= 42 u2+ 42 u+2 u22uxy= 22 u2 2 u2uy2=2 u2.Ecuat ia(16.20)devine2 u2= 0. (16.24)Facemnotat ia u= w.Ecuat ia(16.20)devinew= 0. (16.25)Ecuat ia(16.25)aresolut iageneralaw(, ) = F().Din u= F()rezulta u(, ) = F() +G().Inconcluzie,solut iageneralaaecuat iei(16.20)esteu(x, y) = F(2x y) x +G(2x y).NotedeSeminar 156Exercit iul16.5Sase determine solut iaecuat iei cuderivate part iale deordinulaldoileax22ux2 y22uy2+xux yuy= 0,(x, y) (0, ) (0, ).(16.26)Solut ie. Dinecuat iacaracteristicaatasataecuat iei(16.26)x2_y

_2y2= 0rezultay

= yx.Obt inemfamiliiledesolut ii:___yx= C1,xy= C2.Consideramschimbareadevariabila___=yx,= xy.(16.27)Notamcu ufunct iadenitaprinrelat ia u(, ) = u(x(, ), y(, )). (16.28)Relat ia(16.28)esteechivalentacuu(x, y) = u((x, y), (x, y)). (16.29)NotedeSeminar 157Dinrelat iile(16.27) si(16.29)rezultaux= u _yx2_+ u yuy= u 1x+ u x2ux2=2 u2 y2x4+2 u _2y2x2_+2 u2 y2+ u 2yx32uy2=2 u2 1x2+ 22 u+2 u2 x2.Ecuat ia(16.26)devine2 u= 0 (16.30)iaraceastadinurmaaresolut iagenerala u(, ) = F() +G().Rezultacaecuat iaecuat ia(16.26)aresolut iageneralau(x, y) = F_yx_+G(x y).Exercit iul16.6Sa se aduca la forma canonica ecuat ia cu derivate part ialedeordinulaldoilea2ux2 42uxy+ 52uy2+ux+uy= 0. (16.31)Solut ie. Dinecuat iacaracteristicaatasataecuat iei(16.31)_y

_2+ 4y

+ 5 = 0rezultay

= 2 +jsiy

= 2 j.Obt inemfamiliiledesolut ii___2x +y +jx = C,2x +y jx = C.Consideramschimbareadevariabila___= 2x +y,= x.(16.32)NotedeSeminar 158Notamcu ufunct iadenitaprinrelat ia u(, ) = u(x(, ), y(, )). (16.33)Relat ia(16.33)esteechivalentacuu(x, y) = u((x, y), (x, y)). (16.34)Dinrelat iile(16.32) si(16.34)rezultaux= 2 u+ uuy= u2ux2= 42 u2+ 42 u+2 u22uxy= 22 u2+2 u2uy2=2 u2.Ecuat ia(16.31)devine2 u2+2 u2+ 3 u+ u= 0. (16.35)16.1 Exercit iipropuseExercit iul16.7Sase determine solut iaecuat iei cuderivate part iale deordinulaldoilea2ux2+ 52uxy+ 62uy2= 0, (16.36)carevericaurmatoarelecondit ii___u(x, 2x) = ex,u(x, 3x) = ex.Exercit iul16.8Sa se aduca la forma canonica ecuat ia cu derivate part ialedeordinulaldoileax22ux2 y22uy2+ux+uy= 0. (16.37)NotedeSeminar 159Exercit iul16.9Sa se determine solut ia generala a ecuat iei cuderivatepart ialedeordinulaldoilea2ux2+ 62uxy+ 52uy2= 0. (16.38)NotedeSeminar 16017 Exercit ii17.1 Funct iicomplexedevariabilacomplexaExercit iul17.1Seconsiderafunct iau : R2\ {(0, 0)} R, u(x, y) = exsin y +xx2+y2.Sa se determine funct ia v astfel ncat f= u+jv sa e olomorfa si f_j2_ = j2.Exercit iul17.2Seconsiderafunct iau : R2R, u(x, y) = ex_(x2y2) cos y 2xy sin y.Sa se determine funct ia v astfel ncat f= u+jv sa e olomorfa si f_j2_ = j24.Exercit iul17.3Seconsiderafunct iav: R2R, v(x, y) = ex2y2cos 2xy.Sa se determine funct ia u astfel ncat f= u+jvsa e olomorfa si f(0) = 1.Exercit iul17.4Seconsiderafunct iav: R2\ {(x, y) | x = 0} R, v(x, y) = xy ln(x2+y2) + (x2y2)arctgyx.Sa se determine funct ia u astfel ncat f= u+jvsa e olomorfa si f(1) = 0.Exercit iul17.5Saserezolve nmult imeanumerelorcomplexeecuat iile(a) sin z= 2(b) cos z= j(c) ez= 1 j3.NotedeSeminar 161Exercit iul17.6Sasereprezintefunct iaf(z) =z + 4z26z + 8printr-oseriedeputeri njurulpunctului3.Exercit iul17.7Sasedezvoltefunct iaf(z) =z 1z 2printr-oseriedeputeri njurulpunctelor0 sij.Exercit iul17.8Sasedezvoltefunct iaf(z) =z + 2(z + 4)(z 2)3printr-oseriedeputeri njurulpunctului2.Exercit iul17.9Sasedezvoltefunct iaf(z) =11 +z +z2printr-oseriedeputeri njurulpunctelor0 si1 +j.Exercit iul17.10Sasereprezintefunct iaf(z) =2z 1z2+z 6printr-oseriedeputeri ndomeniileD = {z C | 2 < |z| < 3}E= {z C | |z| < 2}F= {z C | |z| > 3}.NotedeSeminar 162Exercit iul17.11Sasereprezintefunct iaf(z) =1z2(1 z)printr-oseriedeputeri ndomeniileD = {z C | 0 < |z| < 1}E= {z C | 1 < |z|}.Exercit iul17.12Sasereprezintefunct iaf(z) =2z23z 3z32z2+z 2printr-oseriedeputeri ndomeniileD = {z C | 1 < |z| < 2}E= {z C | |z| < 1}F= {z C | |z| > 2}.Exercit iul17.13SasecalculezeintegralaI=_Cejz(z2+ 1)2dz,undeC: 4x2+y24 = 0.Exercit iul17.14SasecalculezeintegralaI=_Ccos_z2_(z +j)3dz, C: |z + 2j| = 2.Exercit iul17.15SasecalculezeintegralaI=_Ce2jz5zz2+ 4dz, C: |2z j| = 2.NotedeSeminar 163Exercit iul17.16Sasecalculezeintegrala:_C1(z 1)2(z2+ 1)dz, C: |z 1 j| = 2.Exercit iul17.17SasecalculezeintegralaI=_C2z 1z2(z416)dz, C: |z 1| +|z + 1| = 4.Exercit iul17.18SasecalculezeintegralaI=_Ce11+zzdz, C: |z 2| +|z + 2| = 6.Exercit iul17.19SasecalculezeintegralaI=_Csin (z)z2(z21)4dz, C: |z| +|z j| = 2.Exercit iul17.20SasecalculezeintegralaI=_C1 + sinz1 +zdz, C:x29+y24= 1.Exercit iul17.21SasecalculezeintegralaI=_C1z4+ 1dz, C: |z 1| =2.Exercit iul17.22SasecalculezeintegralaI=_0x21x4+ 1dx.NotedeSeminar 164Exercit iul17.23SasecalculezeintegralaI=_1(x4+ 1)(x2+ 4)2dx.Exercit iul17.24SasecalculezeintegralaI=_201 + cos x(13 + 12 cos x)2dx.Exercit iul17.25SasecalculezeintegralaI=_201 + cos x1 + cos2xdx.Exercit iul17.26SasecalculezeintegralaI=_20sin2x13 5 cos xdx.Exercit iul17.27SasecalculezeintegralaI=_cos x(x2+ 1)3dxExercit iul17.28SasecalculezeintegralaI=_0xsin x(x2+2)(x2+ 42)dxNotedeSeminar 16517.2 SeriiFourierExercit iul17.29Sa se reprezinte printr-o serie Fourier trigonometrica funct iaperiodicadeperioadaT= 2dataprinf(x) =___x, 0 < x < 11 x, 1 x 2Exercit iul17.30Sa se reprezinte printr-o serie Fourier trigonometrica funct iaperiodicadeperioadaT= 2dataprinf(x) =___sin x, 0 < x < 0, x 2Exercit iul17.31Sa se reprezinte printr-o serie Fourier trigonometrica funct iaperiodicadeperioadaT= 2dataprinf(x) = ex, x (, ].Exercit iul17.32Sa se reprezinte printr-o serie Fourier trigonometrica funct iadataprinf(x) =15 4 cos x.Exercit iul17.33Sa se reprezin