Embed Size (px)
Citation preview
Cap I. Ecuaţii diferenţiale de ordinul întîi Ecuaţii diferenţiale. Soluţia generală. Soluţii particulare.
O ecuaţie de forma
F (x,y,y’)=0 (1)
care conţine o variabilă independentă x şi una dependentă y(x) şi derivata acesteia y’(x )
se numeşte ecuaţia diferenţială de ordinul întâi. Vom considera câteve cazuri
elementare de astfel de ecuaţii, adică cazuri în care F are o formă simplă. Orice funcţie
care satisface (1) o vom numi soluţie a sa.
O soluţie a lui (1) care conţine o constantă arbitrară, adică o funcţie de forma
y=y(x,c), c∈R, se numeşte soluţie generală. O soluţie obţinută făcând o alegere
specifică pentru această constantă se numeşte soluţie particulară.
În unele probleme aplicative (din fizică, mecanică, etc.) se cere rezolvarea
ecuaţiei (1) cu condiţia ca soluţia să treacă printr-un punct dat (x0,y0). Aceasta înseamnă
că soluţia va trebui să satisfacă condiţia iniţială
y(x0)=y0. (2)
Problema (1),(2) se numeşte problemă cu valori iniţiale sau problemă
Cauchy.Din punctul de vedere geometric, graficele familiei de funcţii y=y(x,c) , c∈R,
care reprezintă soluţia generală se numesc curbe integrale.
Exemplu: Printr-o simplă derivare se poate arăta că soluţia generală a ecuaţiei
03' =−− xyy este xecxy 3
31
31
⋅++−= , c∈R. Dacă impunem condiţia iniţială y(0)=0,
constanta c se determină ca fiind 31
−=c astfel încât am obţinut o soluţie particulară
care trece prin originea sistemului cartezian, ( )31
31 3 ++−= xexy .
Ecuaţii diferenţiale separabile
Ecuaţia diferenţială (1) se numeşte separabilă dacă se poate scrie sub forma
B(y)y’ = A(x) (3)
În acest caz, integrând ambii membrii ai lui (3) obţinem
( ) ( ) ( )∫ ∫= dxxAdxxyyB ' (4)
Presupunând că putem obţine calcula ambele integrale obţinem o ecuaţie care implicit
sau explicit defineşte soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale.
În notaţii diferenţiale ecuaţia (3) se scrie
( ) ( )xAdxdyyB = sau ( ) ( )dxxAdyyB = ,
de unde
( ) ( )∫∫ = dxxAdyyB . (5)
În comparaţie cu (4), unde integrarea se face în ambii membrii în raport cu aceeaşi
variabilă x, în (5) integarea se face în raport cu variabil y.
Exemplu: Ecuaţia
238 yxdxdy
= se scrie pentru y≠0, dxxdyy
32 81
= ,de unde ∫ ∫= dxxydy 3
2 8
sau cxy
+=− 421 ,deci soluţia generală este cx
y+
−= 42
1 .
Ecuaţii diferenţiale omogene şi aproape omogene
Cele mai multe ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi nu sunt separabile. În unele
cazuri, o schimbare de variabile poate fi folosită pentru a transforma o ecuaţie într-una
separabilă. Acesta este cazul ecuaţiilor omogene, care au forma
=
xyf
dxdy (6)
Făcând schimbarea de variabile
xyu = (7)
avem succesiv y=ux, dxduxu
dxdy
+= , ( )ufdxduxu =+ .
Astfel, ecuaţia (6), devine în noua variabilă dependentă u, separabilă
( ) xdx
uufdu
=−
. (8)
Rezolvând (8) şi înlocuind u cu xy , obţinem soluţia ecuaţiei (6).
Exemplu: Ecuaţia yxy
dxdyx +=
2
, x≠0, este omogenă, şi în nici un caz separabilă.
Aplicând stategia de mai sus avem dy/dx = y2/x + y/x , u = y/x şi în final soluţia generală
y = -x /[ln|x| + c]cx +ln
.
Ecuaţia diferenţială
++++
=hqypxebyaxf
dxdy , a, b, e, p, q, h,∈R, (9) se
poate scrie, forţând un factor comun x la numărător şi numitor, în forma
++
++=
xh
xyqp
xe
xyba
fdxdy , x≠0,
şi va fi omogenă dacă e=h=0. În caz contra, o vom numi aproape omogenă şi prin
introducerea variabilelor X=x-α, Y=y-β o vom transfoma într-una pur omogenă.
Introducând în (9), x=X+α, z=Y+β, obţinem
++++++++
=hqpqYpXebabYaXf
dXdY
βαβα .
Această ecuaţie este pur omogenă când constantele α şi β satisfac sistemul
=++=++
00
hqpeba
βαβα
.
Exemplu: Considerăm ecuaţia 2
212
−−+
=x
yxdxdy în care substituim x=X+α, z=Y+β şi
obţinem 2
2122
−+−+++
=α
βαXYXf
dXdY . Alegem α şi β astfel încât
=−=−+02
012α
βα.
Obţinem α=2, β=-3 iar substituţia x=X+2, z=Y-3 implică 22
+
=X
YXdXdY , sau
2
2
+=
XY
dXdY . Această ultimă ecuaţie este omogenă în variabilele X şi Y şi rezolvând-
o ca atare obţinem ( ) ( )
−
+⋅= XcXtgXxY 3ln
277
21 . Revenind la vechile
variabile x şi y găsim soluţia generală a ecuaţiei date ca fiind
22
.Ecuaţia diferenţială de ordinul întâi
( ) ( )xqyxpy =+' (10)
se numeşte liniară şi este de o importanţă deosebită. O vom rezolva înmulţind ambii săi
membrii cu ( )∫ dxxp
e , cantitate numită factor integrant. Avem
( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫=∫+∫ dxxpdxxpdxxpexqyexpey' ,
şi observăm că membrul stâng al acestei egalităţi este derivata produsului ( ) ( )∫ dxxpexy .
Aşadar
( ) ( ) ( )∫=
∫ dxxpdxxp
qeexydxd , şi integrând
( ) ( )∫ +∫=∫ cdxqeye
dxxpdxxp.
Rezolvând această ecuaţie în raport cu y, obţinem soluţia generală a ecuaţiei liniare
( ) ( ) ( ) ( )∫+∫
∫=
−−
∫dxxpdxxpdxxp cedxqeexy .
Această formulă se poate desigur memora, dar este probabil mai simplu să se reţină
ideea de a înmulţi ecuaţia cu ( )∫ dxxpe , de a observa că atunci membrul stâng este
diferenţiala unei cantităţi, şi apoi de a integra.
Exemplu: Să rezolvăm ecuaţia liniară xyy sin' =+ . În acest caz, p(x)=1 şi q(x)=sinx
astfel că ( )∫ = xdxxp . Înmulţind ecuaţia cu ( )∫=
dxxpx ee , obţinem xeyeey xxx sin' =+
sau ( ) xeye xx sin'= . Prin integrare ( ) cexxxdxeye xxx +−== ∫ cossin21sin . În final,
( ) ( ) xcexxxy −+−= cossin21 .
Exemple de ecuaţii diferenţiale ce apar în probleme practice
1) Modelul unui circuit electric.
Ecuaţia diferenţială pentru intensitatea curentului electric i(t) într-un circuit cu
inductanţa L şi căderea de tensiune E(t) este: ( ) ( )tEdt
tdiL = , adică ( )dttEL
di 1= .
Presupunând L∈R şi E(t)=Acosωt, A,ω∈R avem ∫ ∫= tdtLAdi ωcos , sau
( ) ctL
Ati += ωω
sin . Putem a determina c dacă cunoaştem curentul la un moment
particular. Dacă i(0)=0 obţinem c=0 şi atunci
( ) tL
Ati ωω
sin= .
2) Să presupune că o sferă de gheaţă se topeşte proporţional cu suprafaţa sa. Dorim o
expresie pentru volumul sferei la momentul t. Fie V(t) volumul la momentul t.
Interpretăm topirea ca variaţia volumului în raport cu timpul, deci ( )dt
tdV . Dacă r(t) este
raza sferei de gheaţă la momentul t, atunci pentru o constantă de proporţionalitate k
avem:
⋅= kdtdV (aria suprafeţei) 24 rkπ= . Această ecuaţie de evoluţie implică două
necunoscute V(t) şi r(t). Pentru a elimina una dintre ele vom scrie ( ) ( )trtV 3
34π= , ceea
ce înseamnă că în procesul de topire „bucata” de gheaţă rămâne sferică. Astfel,
31
43
=πVr şi înlocuind în ecuaţia precedentă obţinem ecuaţia diferenţială separabilă
( ) kdtdtdV
⋅⋅= 32
31
34π , de unde ( )3
31
34
+
= ckttV π . Pentru a determina constanta c
este necesar să se cunoască volumul la un moment particular.
T E S T
Să se integreze ecuaţia omogenă
( ) .0222 =++ xydxdyyx
1. Ce fel de ecuaţie este?
…………………………………………………………………………………………….
2. Justificaţi tipul ecuaţiei.
…………………………………………………………………………………………….
3. Cine este funcţia f ?
…………………………………………………………………………………………….
4. Să se facă schimbarea de variabilă necesară , y = ux :
5.Să se rezolve ecuaţia cu variabile separate ( )32 + xuu
Soluţia ecuaţiei date este : ( ) .3 22 Cyxy =+
TEMĂ. Exerciţii propuse
1).Să se rezolve următoarele probleme cu valori iniţiale
a) ( )23 2 += yxdxdy , y(4)=8; Răspuns: 6410ln2ln 3 −+=+ xy
b) y
xdxdy 22 +
= , y(1)=7; Răspuns: 6
133231
21 32 ++= xxy
c) 21
+−
=yx
dxdy , y(-1)=6; Răspuns: ( ) ( ) 6012 22 +−=+ xy
2) Să se găsească soluţiile generale ale ecuaţiilor liniare:
a) xeyy 23'2 =+ ; Răspuns: 23
2
71 x
x ceey−
+=
b) xyy =+2' ; Răspuns: xcexy 2
41
21 −+−=
c) 2
31' xeyx
y −=+ ; Răspuns: ( )( )( )2
2
211
12
41
−++
+−
⋅=xx
cx
xy .
3) Să se găsească soluţia generală a ecuaţiilor omogene:
a) 323 yyxdxdyx −= ; Răspuns: cx
yx
+= ln21
2
2
b) 222 yxdxdyx += ; Răspuns: cx
xxyarctg +=
− ln3
23
32
16
Cap.II Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
Soluţia generală. Soluţii particulare.
Am spus la începutul capitolului precedent că o ecuaţie diferenţială este de forma
F(x, y, y’, …, y(n) ) = 0 (1)
Se numeşte ordinul euaţiei diferenţiale (1), ordinul derivatei de ordin maxim care
figurează în această ecuaţie.
Exemple. 1) Ecuaţia y’’’ – y’’ + y’ – y = 0 este o ecuaţie diferenţială de ordinul
trei.
2) Ecuaţia y(n) + y(n-1) + … + y’ + y = x este o ecuaţie diferenţială de
ordinul n.
O ecuaţie diferenţială se spune că este de ordin superior dacă ordinul său n este mai
mare sau egal cu 2.
Se numeşte soluţie pe [a,b] a ecuaţiei diferenţiale (1) o funcţie y = φ(x) , derivabilă de
n ori pe [a,b], care verifică ecuaţia (1)
F(x, φ(x), φ’(x), … , φ(n)(x)) = 0
pentru orice x din [a,b].
Exemplu. Ecuaţia y’’’ – y’’ + y’ –y = 0 , admite soluţiile y1 = ex , y2 = cos x , y3 =
sin x , x din R. Ecuaţia admite şi soluţia y = C1 ex + C2 cos x + C3 sin x unde C1,
C2, C3 sunt constante arbitrare.
Din exemplul prezentat se vede că soluţiile unei ecuaţii diferenţiale de ordin superior
conţin constante arbitrre.
În cele ce urmează vom spune că funcţia φ(x, C1, …, Cn) este soluţia generală a
ecuaţiei (1), diferenţială de ordin n
studiată într-un domeniu D(x,y), dacă este soluţie a ecuaţiei(1) şi dacă prin
alegerea convenabilă a constantelor C1, …, Cn funcţia φ se transformă în orice
soluţie a ecuaţiei (1) al cărei grafic se află în D.
Observaţii:1) Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n poate fi dată şi
implicit printr-o relaţie de forma R(x, y, C1, … , Cn) ; de obicei unei relaţii de această
formă i se dă numirea de integrabilă generală pentru a se distinge de φ(x, C1, … , Cn)
care este numită soluţie generală.
17
2) Soluţia generală a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n poate fi dată şi
parametric printr-un sistem
x = φ(x, C1, … , Cn) , y = ψ (x , C 1, … ,Cn).
Se numeşte soluţie particulară a ecuaţiei (1) o funcţie care se obţine din soluţia generală
dând valori particulare constantelor C1, … , Cn .
Graficul unei soluţii particulare, a unei ecuaţii diferenţiale(1), este o curbă plană,
numită curbă integrală.
Exemplu. Ecuaţia y’’ + y’ = x , are soluţia generală y = C1 cos x + C2 sin x + x , x din
R .
Funcţia y = cos x + x, cu x număr real, este o soluţie particulară care se obţine din
soluţia generală luând C1 = 1, C2 = 0.
Integrale intermediare. Integrale prime.
Fie (1) ecuaţie diferenţială de ordinul n şi
Φ(x, y, C1, … ,Cn)
integrala generală. Dacă derivăm o dată, de două ori, ş.a.m.d. de n-k ori Φ = 0 şi
eliminăm între aceste n-k-1 relaţii pe Ck+1, … , Cn , obţinem o legătură de forma
Φ(x, y, … , y(n-k), C1, … , Cn) = 0
care se numeşte o integrală intermediară a ecuaţiei (1).
O integrală intermediară are şi următoarea definiţie echivalentă:
Definiţie. Fie ecuaţia (1),diferenţială de ordinul n.
Se numeşte o integrală intermediară a ecuaţiei date o ecuaţie diferenţială de ordin
n-k, care conţine k > 0 constante arbitrare
Φ(x, y, y’, …, y(n-k), C1, C2, …, Ck) = 0 (2)
şi care este verificată de integrala generală a ecuaţiei (1).
În particular, dacă k = 1, Φ se numeşte integrală primă.
Observaţii. 1) Cunoaşterea unei integrale intermediare simplifică rezolvarea ecuaţiei
iniţiale; dacă
Ψ(x, y, y’, … , y(n-k), C1, … , Ck) = 0 (3)
este o integrală intermediară a ecuaţiei(1), atunci integrarea ecuaţiei (1) se reduce la
integrarea ecuaţiei (3) care este mai simplă, fiind de ordin mai mic, anume n-k.
18
Într-adevăr, integrala generală a ecuaţiei(3) conţine n-k constante arbitrare şi dacă
adăugăm la acestea cele k constante care intră în structura ecuaţiei (3), soluţia găsită va
conţine n constante arbitrare, deci va fi integrala generală a ecuaţiei (1).
În particular, cunoaşterea a n integrale prime, distincte, ale ecuaţiei (1)
ΨI(x, y, … , y(n-1), Ci) = 0 , i = 1, 2, … , n (4)
este echivalentă cu cunoaşterea soluţiei generale a ecuaţiei (1), deoarece din sistemul (4)
putem deduce pe y, y’, … , y(n-1) în raport cu x, C1, … , Cn ; în particular rezultă
y = φ(x, C1, … , Cn), adică soluţia generală a ecuaţiei (1).
Condiţii iniţiale. Problema lui Cauchy
Dacă ni se dă o ecuaţie de tipul (1), diferenţială de ordinul n nu este întotdeauna
necesar să-i găsim soluţia generală. Într-adevăr, dacă ecuaţia dată corespunde unui
anumit fenomen fizic, pentru determinarea fenomenului fizic corespunzător este
necesară o anumită soluţie, care pe lângă faptul că verifică ecuaţia diferenţială, mai
trebuie să îndeplinească anumite condiţii, numite condiţii iniţiale , şi care o determină în
mod unic. În general ni se cere o soluţie a ecuaţiei date astfel încât pentru x = x0 ,
funcţia y şi derivatele ei y’, y’’, … ,y(n-1) să ia valori dinainte date
y(x0) = a0 , y’(x0) = a1, … , y(n-1)(x0) = an-1 (1’)
problema determinării soluţieiy(x) care îndeplineşte condiţiile iniţiale (2) se nu este
problema lui Cauchy.
Exemple de ecuaţii diferenţiale de ordin superior care apar în
problemele practice
I.După cum am văzut, ecuaţia de mişcare a unui punct material de masă m care descrie
o dreaptă, pe care luăm axa Ox, este
m d2x/dt2 = X ( x, dx/dt, t )
19
adică o ecuaţie diferenţială de ordinul doi. Pentru a determina mişcarea unui punct,
trebuie să ne fie dat la timpul t = t0 atât viteza iniţială v0 = v(t0) cât şi punctul de
unde plecăm x0 = x(t0) .
II. Să considerăm un circuit liniar format dintr-un condensator de capacitate C , legat în
serie cu un rezistor de rezistenţă R şi o bobină de inductanţă L.
Să se studieze regimul tranzitoriu la închiderea circuitului conectat la bornele unui
generator e = E = constant.
Teorema lui Kirchhoff ne dă (fig.) E = Ri + L di/dt + 1/C ( )∫ dtti , însă i(t) = dq/dt
de unde rezultă pentru determinarea lui q ecuaţia diferenţială de ordinul doi
L d2q/dt2 + R dq/dt + q/C = E.
Am notat cu q(t) cantitatea de electricitate de pe plăcile condensatorului la momentul t.
Ecuaţii diferenţiale de ordinul n, liniare, cu coeficienţi constanţi
Ecuaţii omogene
O ecuaţie diferenţială liniară
a0 y(n) + a1 y(n-1) + … + an-1y’ + any = 0 , a0 ≠ 0
unde ak , k == 0, 1, … , n sunt constante reale, este o ecuaţie de ordinul n , cu
coeficienţi constanţi, omogenă. Pentru această clasă de ecuaţii putem determina
totdeauna un sistem fundamental de soluţii. Anume, dacă căutăm soluţii de forma y = A
erx, A ≠ 0 , obţinem succesiv
y’ = A r erx, … , y(n) = A rn erx ;
dacă le înlocuim în (1) avem
A erx[ a0 rn + a1 r(n-1) + … + an-1 r + an] = 0 .
Deoarece prin ipoteză A ≠ 0, iar exponenţiala nu se anulează pentru nici o valoare
reală a lui x , va trebui să avem
20
Kn(r) = a0 rn + a1 rn-1 + … + an-1 r + an = 0 .
Prin urmare, numărul (real sau complex) r trebuie să fie rădăcină a ecuaţiei algebrice de
mai sus care se numeşte ecuaţia caracteristică a ecuaţiei diferenţiale (1). Să observăm
de la început că dacă ecuaţia caracteristică
are toate rădăcinile simple r1 ≠ r2 ≠ … ≠ rn , atunci soluţiile particulare
y1 = exr1, … , yn = exr
n
formează un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei (1). Acestea formaeză o mulţime
liniar independentă şi următorul determinant este diferit de 0 pentru orice valoare a lui x
:
n
n
n
xrnn
xrxrn
xrn
xrxr
xrxrrx
erreer
ererereee
111
21
...
...............................................
21
21
21
−−
În cele ce urmează vom discuta forma soluţiei generale a ecuaţiei (1) după natura
rădăcinilor ecuaţiei caracteristice.
Ecuaţia caracteristică are rădăcini distincte
a) Ecuaţia caracteristică are rădăcini distincte reale
Teorema. 1. Fie ecuaţia diferenţială liniară de ordinul n cu coeficienţi (reali) constanţi
a0 y(n) + a1 y(n-1) + … + an-1y’ + any = 0 , a0 ≠ 0
Dacă ecuaţia caracteristică
a0 rn + a1 rn-1 + … + an-1 r + an = 0 .
are rădăcini reale simple r1 ≠ r2 ≠ … ≠ rn , atunci funcţiile
y1 = exr1, … , yn = exr
n
alcătuiesc un sistem fundmental de soluţii ale ecuaţiei cu coeficienţi constanţi, iar
soluţia generală a acesteia va fi o combinaţie liniară a funcţiilor din sistemul
fundamental de soluţii.
Demonstraţie. A se vedea [1].
21
b) Ecuaţia caracteristică are rădăcini complexe distincte.
Teorema 2. Fie ecuaţia diferenţială, liniară, de ordinul n cu coeficienţi (reali) constanţi
a0 y(n) + a1 y(n-1) + … + an-1y’ + any = 0 , a0 ≠ 0
Dacă ecuaţia caracteristică
a0 rn + a1 rn-1 + … + an-1 r + an = 0 .
are rădăcănile complexe, simple
r1 = c1 + i d1, … , rm = cm + i dm
şi conjugatele acestora, 2m = n,
atunci funcţiile
exc1 cos d1x , exc
1 sin d1x ,
…………….. , ……………
excm cos dmx , exc
m sin dmx
formează un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei (1). În acest caz, soluţia generală
a ecuaţiei (1) este
y = exc1 (C1 cos d1x + C1* sin d1x) + … + exc
m (Cm cos dmx + Cm* sin dmx)
unde Ci , Ci* sunt 2m constante arbitrare.
Demonstraţie. A se vedea [1].
Ecuaţia caracteristică are rădăcini multiple
c) Ecuaţia caracteristică are rădăcini reale multiple.
Teorema 3. Fie ecuaţia diferenţială liniară de ordinul n
a0 y(n) + a1 y(n-1) + … + an-1y’ + any = 0 , a0 ≠ 0
22
cu coeficienţi (reali) constanţi. Dacă ecuaţia caracteristică
a0 rn + a1 rn-1 + … + an-1 r + an = 0 .
are rădăcina r = a de ordinul p+1 de multiplicitate, atunci funcţia
y = C0 eax + C1 x e ax + … + Cp xp exa, x ∈ R
este soluţie a ecuaţiei (1).
Demonstraţie. Ase vedea [1].
d) Ecuaţia caracteristică are rădăcină complexă r = a + i b , de ordinul p+1 de
multiplicitate. Ecuaţia (1) fiind cu coeficienţi reali urmează că ecuaţia caracteristică are
şi rădăcina r conjugat, adică a – i b tot de ordinul p+1 de multiplicitate. Cele 2p+2
rădăcini vor da prin urmare, soluţii liniar independente. Ca şi în cazul discutat anterior,
se iau în sistemul fundamental soluţiile următoare :
exa cos bx exa sin bx
x exa cos bx x exa sin bx
…………… ……………
xp exa cos bx xp exa sin bx
Exemplu. Să se găsească soluţia generală a ecuaţiei y’’’ + 2y’’ + y = 0.
Ecuaţia caracteristică r4 + 2r2 + 1 = 0 are rădăcinile duble i şi - i . Ecuaţia are soluţiile
particulare cos x, x cos x, sin x, x sin x , care formează un sistem fundamental pe R.
Soluţia generală este dată de
y = (C0 + C1 x) cos x + ( C2 + C3 x ) sin x , x real.
Rezultatele acestor două aliniate pot fi rezumate în următoarea
23
Teoremă. Fie ecuaţia diferenţială liniară de ordinul n cu coeficienţii constanţi
a0 y(n) + a1 y(n-1) + … + an-1y’ + any = 0 , a0 ≠ 0.
Dacă ecuaţia caracteristică
a0 rn + a1 rn-1 + … + an-1 r + an = 0 .
are rădăcini complexe
a1 + i b1, … , ap + i bp,
a1 - i b1, … , ap - i bp,
de ordine de multiplicitate m1, … , mp şi rădăcinile reale r1, … , rq de ordine de
multiplicitate s1, … , sq , atunci soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (1) este
y(x) = ∑ exak[ Pmk – 1(x) cos bkx + Qmk – 1(x) sin bkx] + ∑ er
kx Rsk – 1 (x)
unde Pmk-1, Qmk-1, Rsk-1 sunt polinoame arbitrare în x de grade respectiv mk – 1, mk –
1, sk – 1.
Demonstraţie. Trebuie să arătăm că soluţiile particulare care constituie (1) sunt liniar
independente în ansamblul lor. Dacă exprimăm pe sin x şi cos x prin exponenţiale,
expresia (1) dacă ar fi identic nulă, deci soluţiile ar fi liniar dependente, s-ar scrie în
modul următor
P1(x) exr1 + … + Pt(x) exr
t = 0 (2)
cu t > 1 , deci
P1(x) + … + Pt(x) ex(rt - r1) = 0
Dacă P2(x) are gradul h, derivând de h+1 ori, ajungem la o expresie de forma (2) cu
un termen mai puţin. Repetând această operaţie de t-1 ori. ajungem la erx =0, ceea ce
nu se poate, deci soluţiile care formează (1) sunt liniar independente pe R.
Ecuaţii neomogene.
a) Pentru determinarea unei soluţii particulare a ecuaţiei neomogene
a0 y(n) + a1 y(n-1) + … + an-1y’ + any = f(x) , a0 ≠ 0.
putem folosi metoda variaţiei constantelor, care ne permite, cunoscând soluţia generală
a ecuaţiei omogene să găsim o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene prin n
cuadraturi (integrări succesive).
Exemplu. Să se integreze ecuaţia
24
y’’ + y = 1/cos x , x ≠ kπ + π/2.
Ecuaţia omogenă y’’ + y = 0 are ecuaţia caracteristică r2 + 1 = 0 cu rădăcinile i şi - i
deci soluţia generală a ecuaţiei omogene este y = C1 sin x + C2 cos x.Pentru
determinarea unei soluţii a ecuaţiei neomogene folosim metoda variaţiei constantelor.
Avem sistemul
C1’ sin x + C2’ cos x = 0
C1’ cos x – C2’ sin x = 1/cos x
cu soluţiile
C1’ = 1, C2’ = - sin x / cos x.
Soluţia generală a ecuaţiei neomogene este
Y = A1 sin x + A2 cos x + cos x ln | cos x | + sin x , x real.
b) Să determinăm soluţia problemei Cauchy cu condiţiile iniţiale y(0) = 1, y’(0) = - 1.
.Suntem conduşi la A1 = - 1 , A2 = 1 .Soluţia particulară cerută este
Y = - sin x + cos x + x sin x + cos x ln | cos x | + sin x, x ≠ kπ + π/2.
Sunt cazuri frecvente în aplicaţii când putem găsi prin identificare soluţia particulară,
fără să folosim metoda variaţiei constantelor, metodă care pentru n > 2 conduce la
calcule numeroase. Enumerăm mai jos aceste cazuri:
b1) funcţia f(x) este un polinom Pm(x) .Soluţia particulară va fi în acest caz tot un
polinom de x, de acelaşi grad m, dacă an ≠ 0 . Luăm pentru y0 un polinom arbitrar de
grad m, Qm(x) , calculăm derivatele y0, … , y0(n) , le introducem în ecuaţia
diferenţială
a0 y(n) + a1 y(n-1) + … + an-1y’ + any = Pm(x) , a0 ≠ 0.
şi prin identificare determinăm pe Qm(x). Dacă an = 0, … , an-k = 0, an-k-1 ≠ 0
trebuie să luăm pentru y0 un polinom de grad m+k pentru a putea face identificarea.
b2)funcţia f(x) este de forma eax Pm(x) . Soluţia particulară va fi în acest caz tot
de această formă, cum se poate verifica imediat. Luăm pentru y0 o expresie de forma y0
= eax Qm(x) , unde Qm(x) este un polinom arbitrar de grad m. Prin identificare
determinăm coeficienţii acestuia .Dacă a este o rădăcină de ordinul k a ecuaţiei
caracteristice, atunci se ia y0 = xk eax Qm(x) , pentru ca să se poată face identificarea.
b3) funcţia f(x) este de forma Pm(x) cos ax + Qm(x) sin ax.
25
Folosind formulele lui Euler, care ne exprimă pe cos x şi sin x cu ajutorul exponenţialei,
expresia considerată va avea aceeaşi formă ca cea studiată la punctul b2), prin urmare
soluţia particulară va fi luată în mod asemănător
y0 = Pm*(x) cos ax + Qm *(x) sin ax
Pm*(x) şi Qm*(x) polinoame arbitrare de grad m, care se determină prin identificare.
Dacă ia şi- ia sunt rădăcini multiple de ordinul k ale ecuaţiei caracteristice, y0 se ia de
forma
y0 = xk Pm*(x) cos ax + xk Qm *(x) sin ax
Expresia se menţine chiar dacă unul din polinoame sau este de grad mai mic sau
este identic nul, deoarece, în caz contrar, nu se poate face identificrea.
b4) funcţia f(x) are forma
Pm(x) eax cos bx + Qm(x) eax sin bx.
În virtutea observaţiei din punctul b3), soluţia particulară y0 va avea expresia
y0 = Pm*(x) eax cos bx + Qm *(x) eax sin bx
dacă a + bi şi a – bi nu sunt rădăcini ale ecuaţiei caracteristice, sau va avea expresia
xk Pm*(x) eax cos bx + xk Qm *(x) eax sin bx
dacă a + bi şi a - bi sunt rădăcini multiple de ordinul k, ale ecuaţiei caracteristice.
Exemplu. Să se găsească integrala generală a ecuaţiei
yiv + 2y’’’ + 5y’’ + 8y’ + 4y = cos x + 40 e-x.
Ecuaţia caracteristică
r4 + 2r3 + 5r2 + 8r + 4 = 0
are rădăcina dublă -1 şi rădăcinile simple 2i şi –2i . Soluţia generală a ecuaţiei
omogene este
y = (C1 + C2 x ) e-x + C3 sin 2x + C4 cos 2x , x є R ,
iar o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene o căutăm de forma
y0 = A x2 e-x + B cos x + C sin x.
Introdusă în ecuaţie şi identificând obţinem
A = 4 , B = 0 , C = - 1/6.
deci soluţie generală a ecuaţiei din enunţ este
Y = (C1 + C2 x ) e-x + C3 sin 2x + C4 cos 2x + 4 x2 e-x + 1/6 sin x.
26
T E S T
Să se integreze ecuaţia următoare :
4yiv + 2y’’’ + 17y’’ + 8y’ + 4y = 0
1.Justificaţi tipul ecuaţiei.
…………………………………………………………………………………………….
2.Cine este funcţia f din forma generală a ecuaţiei ?
…………………………………………………………………………………………….
3.Care este ecuaţia caracteristică asociată ecuaţiei iniţiale ?
…………………………………………………………………………………………….
4. Care sunt soluţiile ecuaţiei caracteristice ?
Soluţiile găsite sunt 2i, - 2i , -1 + 3i , -1 – 3i ?
…………………………………………………………………………………………….
5.Să se precizeze un sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei iniţiale.
27
6.Soluţia ecuaţiei date este :
………………………………………………………………………………………………………………
Răspuns : y = C1 sin 2x + C2 cos 2x + e-x ( C3 sin 3 x + C4 cos 3 x )
T E S T
Să se integreze ecuaţia diferenţială
y’’ + y = 1/ cos x , x ≠ kπ + π/2.
1. Ce fel de ecuaţie este?
…………………………………………………………………………………………….
2. Justificaţi tipul ecuaţiei.
…………………………………………………………………………………………….
3. Cine este funcţia f din forma generală a ecuaţiei ?
…………………………………………………………………………………………….
4. Să se rezolve ecuaţia omogenă , scriind mai întîi ecuaţia caracteristică şi găsind un
sistem fundamental de soluţii ale ecuaţiei caracteristice.
28
Rădăcinile ecuaţiei caracteristice sunt +i şi –i ?
5.Să se găsească o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene.
5. Soluţia ecuaţiei date este :
…………………………………………………………………………………………….
Răspuns :
y = C1 sin x + C2 cos x + cos x ln xcos + sin x.
( soluţia generală a ecuaţiei din enunţ este suma dintre soluţia generală a ecuaţiei
omogene ataşate şi o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene cu coeficienţi constanţi)
29
T E S T
Să se integreze ecuaţia diferenţială :
y’’’ + 3y’’ – y’ + y = 0
care satisface condiţiile iniţiale y(0) = 0, y’(0)=1, y’’(0) = -1.
1. Ce fel de ecuaţie este?
…………………………………………………………………………………………….
2. Justificaţi tipul ecuaţiei.
…………………………………………………………………………………………….
3. Cine este funcţia f din forma generală a ecuaţiei?
…………………………………………………………………………………………….
4. Să se scrie ecuaţia caracteristică şi să se rezolve ecuaţia caracteristică.
30
5.Să se găsească soluţia generală a ecuaţiei.
…………………………………………………………………………………………….
6. Să se găsească soluţia particulară ce verifică condiţiile iniţiale date :
Răspuns : soluţia ecuaţiei date este ,
y = - ¼ e-x + 3/8 ex – 1/8 e-3x.
T E S T
Să se integreze ecuaţia diferenţială de ordin superior
yiv + 2y’’’ + 5y’’ 8y’ + 4y = cos x + 40 e-x
1.Ce fel de ecuaţie este?
…………………………………………………………………………………………….
2. Justificaţi tipul ecuaţiei.
…………………………………………………………………………………………….
3. Cine este funcţia f din forma generală a ecuaţiei ?
…………………………………………………………………………………………….
4. Să se scrie ecuaţia caracteristică ataşată ecuaţiei iniţiale şi să se rezolve acesta .
31
5. Să se găsească o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene
5. Soluţia ecuaţiei date este :
……………………………………………………………………………………………
Răspuns :
Y = ( C1 + x C2)e-x + C3 sin 2x + C4 cos 2x + 1/6 sin 2x + 4x2 e-x ,x є R
32
TEMĂ. Exerciţii propuse
Să se rezolve ecuaţiile cu coeficienţi constanţi :
a) yiv – 2y’’ = 0;
Răspuns : y = C1 + C2 x + C3 ex 2 +C4 e-x 2
b) y’’ + y’ +y = e-x/2 sin (x 3 )/2 ;
33
Răspuns : y = e –x/2 x [ A cos( 3 x)/2 + B sin ( 3 x)/2] .
c) y’’ – 4y = ex [( 4 – 4x ) cos x - (6x + 2) sin x];
Răspuns :
y (x) = C1 e2x + C2 e-2x + ex [( 7/5 x + 4/25 )cos x + (4/5 x + 3/25) sin x ].
d) y’’ – y’ – 2y = (- 3 x2 – 23 x + 12 ) cos 3x + ( 11 x2 - 5x – 5 ) sin 3x ;
Răspuns :
y(x) = C1 ex + C2 e-2x + ( x – 1 ) cos 3x – x2 sin 3x.
29
Cap. III Sisteme de ecuaţii diferenţiale
PROPRIETĂŢI GENERALE
Definiţie. 1) Relaţiile
F1(t; x, x’, … , x(m), y, y’, … , y(n), z , z’, …, z(p)) = 0
F 2(t; x, x’, … , x(m), y, y’, … , y(n), z , z’, …, z(p)) = 0 (1)
F 3(t; x, x’, … , x(m), y, y’, … , y(n), z , z’, …, z(p)) = 0
unde F1, F2, F3 sunt trei funcţii definite pe [a,b]x Xx Y xZ , cu X din Rm+1,
Y din Rn+1, Z din Rp+1
formează un sistem de trei ecuaţii diferenţiale cu trei funcţii necunoscute x,y,z,
dacă se cere să se determine funcţiile x(t), y(t), z(t), definite pe un acelaşi interval
[a,b] , derivabile până la ordinul m, n, p, respectiv, funcţii care împreună cu
derivatele lor verifică ecuaţiile (1) pentru orice t є [a,b] .
2) Un sistem detrei funcţii reale x(t), y(t), z(t), care îndeplinesc aceste
condiţii se spune că formează o soluţie a sistemului (1).
Observaţii. 1) Dacă cel puţin unul din numerele m, n, p este mai mare decât 1, sistemul
(1) se numeşte sistem de ordin superior; dacă m=n=p=1, atunci (1) este un sistem de
ordinul întâi.
2) În mod asemănător se poate defini un sistem de s ecuaţii cu s funcţii
necunoscute de ordin superior.
3) Dacă sistemul (1) este rezolvat în raport cu derivatele de ordinul cel mai
înalt, adică este de forma
x(m) = f1 (t; x, x’, … , x(m-1), y, y’, … , y(n), z , z’, …, z(p)) = 0
y(n) = f2 (t; x, x’, … ,x(m), y, y’, … , y(n-1), z , z’, …, z(p)) = 0
(1’) z(p) = f3(t; x, x’, … , x(m), y, y’, … , y(n), z , z’, …, z(p)) = 0
sistemul se numeşte canonic sau explicit.
O soluţie a sistemului pe un interval [a,b] este un sistem de m funcţii derivabile pe
[a,b] care verifică sistemul pentru orice t din [a,b].
Graficul unei soluţii y1 = φ1(t) , … , ym = φm(t), t ε [a,b] reprezintă un arc de curbă în
spaţiul cu m dimensiuni.
30
Transformarea unui sistem de ordin superior într-un sistem deordinul întâi
Teoremă 1. Un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordin superior poate fi transformat
într-un sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi, prin introducerea de noi
funcţii necunoscute.
Demonstraţie. Ase vedea [1].
Teoremă 2. Rezolvarea unui sistem de n ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi sepoate reduce la rezolvarea unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n şi invers.Rezolvarea unei ecuaţii diferenţiale de ordinul n se poate reduce la rezolvarea unui
sistem de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi.
Demonstraţie. A se vedea [1].
Observaţii. 1) Teorema 1 arată că studiul sistemelor de ecuaţii diferenţiale de ordin
superior se reduce la studiul sistemelor de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi, deoarece
orice sistem de ordin superior este echivalent cu un sistem de ordinul întâi.
2) Din teorema 2 se deduce că orice rezultat privind un sistem de n ecuaţii
diferenţiale de ordinul întâi poate fi folosit şi pentru studiul ecuaţiilor diferenţiale de
ordin superior.
În cele ce urmează vom da o teoremă de existenţă pentru sisteme de ecuaţii
diferenţiale de ordinul întâi.
Folosind teorema 2 vom putea extinde rezultatele cuprinse în această
teoremă de existenţă la ecuaţiile diferenţiale de ordin superior.
Exemplu. Să se determine soluţia generală a sistemului
t dx/dt = 2y – x, t dy/dt = 4y – 3x.
Derivăm prima ecuaţie dx/dt + t d2x/dt2 = 2 dy/dt – dx/dt şi eliminăm pe y şi dy/dt
Obţinem ecuaţia Euler în x,
t2 d2x/dt2 – 2t dx/dt + 2x = 0.
TEOREMA DE EXISTENŢĂ PENTRU SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
Să considerăm un sistem de două ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi cu douăfuncţii necunoscute, explicit
31
( ) ( )yxtgdtdyyxtf
dtdx ,,,,, == (1)
cu f şi g funcţii continue într-un domeniu 2RD⊂ .
Problema determinării unei soluţii x(t), y(t) a sistemului (1), care pentru t = t0
ia valorile iniţiale x = x0, y = y0 , (t, x0, y0 ) ε D se numeşte problema lui Cauchy.
Rezolvarea problemei lui Cauchy revine, geometric, la determinarea în D a
curbei integrale, soluţie a sistemului (1), care trece prin punctul (t0, x0 , y0 ) .
Următoarea teoremă de existenţă ne dă condiţii suficiente pentru care această
soluţie există şi este unică, iar metoda folosită pentru demonstrarea ei, metoda
aproximaţiilor succesive ne dă şi un procedeu de construcţie efectivă a ei.
Teoremă. Fie
( ) ( )yxtgdtdyyxtf
dtdx ,,,,, == (1)
un sistem de două ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi care îndeplineşte
următoarele condiţii:
Fie ( t0 , x0 , y0 )un punct din spaţiul R3 ; funcţiile f(t, x, y ) , g(t, x, y ) sunt
continue în intervalul închis D definit de
cyybxxatt ≤−≤−≤− 000 ,,
Funcţiile f şi g , pentru orice (t, x1 , y1 ) , (t, x2 , y2 ) , satisfac condiţia lui
Lipschitz
| f(t, x1, y1 ) - f(t, x2 , y2 ) | < A | x2 – x1| + B| y2 – y1|,
| g(t, x1 , y1 ) - g(t, x2 , y2 ) | < A | x2 – x1| + B| y2 – y1|,
A > 0, B > 0 constante.
În aceste situaţii există o soluţie a sistemului dat x = φ(t), y = ψ(t) cu
funcţiile φ şi ψ derivabile pe un interval | t – t0 | < h ≤ a care pentru t = t0 iau
valorile x0 = φ(t0 ), y0 = ψ(t0).
Demonstraţie. A se vedea [1].
Sisteme liniare şi omogene
Definiţie. 1) Un sistem de forma
L1 [ y1, … , yn] = a10(t) dy1/dt + a11(t) y1 + … + a1n(t) yn = f1 (t),
32
L2 [ y1, … , yn] = a20(t) dy1/dt + a21(t) y1 + … + a2n(t) yn = f2(t), (1)
………………………………………………………………….
Ln [ y1, … , yn] = an0(t) dy1/dt + an1(t) y1 + … + ann (t) yn = fn (t),
cu aij , fi(t) funcţii cu derivate de ordinul întâi continue şi a10(t) ≠ 0 , pe un interval
[a,b], se numeşte un sistem de n ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi cu n
funcţii necunoscute y1, … , yn neomogene.
2)Dacă fi(t) ≡ 0 , i = 1, 2, … , n sistemul se numeşte omogen.
Observaţii. Un sistem liniar este format din ecuaţii diferenţiale, liniare în raport cu
funcţiile necunoscute şi derivatele lor.
2) Un sistem de ecuaţii diferenţiale liniare, de ordin superior, se transformă, prin
mărirea convenabilă a funcţiilor necunoscute, într-un sistem liniar de ordinul întâi.
3) Dintr-un sistem de n ecuaţii diferenţiale liniare de ordin întâi în, necunoscutele y1… ,
yn prin eliminarea funcţiilor y1… , yn şi a derivatelor lor, se obţine pentru y1 o ecuaţie
diferenţială liniară de ordinul n . Această observaţie arată că o seamă de proprietăţi ale
ecuaţiilor liniare le au şi sistemele de ecuaţii liniare.
4)Sistemul (1) scris mai sus este canonic, deoarece împărţind prima ecuaţie cu a10 a
doua ecuaţie cu a20 ş.a.m.d., a n-a ecuaţie cu an0 , ecuaţiile se scriu explicit în raport
t cu derivatele dy1/dt, … , dyn/dt.
Ne vom ocupa mai întîi de sistemul omogen.
Soluţia generală a unui sistem omogen
Teoremă. Fie sistemul de n ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi şi omogen
L1 [ y1, … , yn] = a10(t) dy1/dt + a11(t) y1 + … + a1n(t) yn = f1 (t),
L2 [ y1, … , yn] = a20(t) dy1/dt + a21(t) y1 + … + a2n(t) yn = f2(t), (1)
………………………………………………………………….
Ln [ y1, … , yn] = an0(t) dy1/dt + an1(t) y1 + … + ann (t) yn = fn (t),
cu aij(t) derivabile continuu şi a10(t) ≠ 0 pe [a , b ] .Fie
y11, y12 , … , y1n ,
y21, y22 , … , y2n ,
33
……………………………
yn1, yn2 , … , ynn ,
un sistem fundamental de soluţii pe [a,b].
Soluţia generală a sistemului dat (1) pe [a , b ] x R este dată de
Y1 = C1 y11 + … + Cn yn1,
Y2 = C1 y21 + … + Cn y21,
……………………………………….
Yn = C1 yn1 + … + Cn ynn,
unde C1 , … , Cn sunt constante arbitrare.
Demonstraţie. Ade vedea [1].
Exemplu. Sistemul
dx/dt = x + y , dx/dt = 4y – 2x ,
are soluţiile particulare
x1 = e3t , y1 = 2 e3t şi x2 = e2t , y2 = e2t , t є R,
care formează un sistem fundamental de soluţii pe R .
Soluţia generală a sistemului este dată de
x(t) = C1 e3t + C2 e2t ,
y(t) = 2 C1 e3t + C2 e2t , t є R .
Sisteme liniare neomogene. Metoda variaţiei constantelor.
Teoremă. Fie sistemul de n ecuaţii diferenţiale liniare, neomogen
L1 [ y1, … , yn] = a10(t) dy1/dt + a11(t) y1 + … + a1n(t) yn = f1 (t),
L2 [ y1, … , yn] = a20(t) dy1/dt + a21(t) y1 + … + a2n(t) yn = f2(t), (1)
………………………………………………………………….
Ln [ y1, … , yn] = an0(t) dy1/dt + an1(t) y1 + … + ann (t) yn = fn (t),
cu fk(t) continue pe [a,b].
Soluţia sistemului (1) se obţine adăugând la soluţia generală a sistemului
omogen o soluţie particulară a sistemului neomogen (1).
Demonstraţie. A se vedea [1].
34
Pentru determinarea unei soluţii particulare a sistemului neomogen folosim metodavariaţiei constantelor.
Teoremă. Fie sistemul de n ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul întâi, neomogen(1) cu coeficienţi aki (t) , fk(t) continui şi ak0 ≠ 0 pe [a,b].
Fie
y11, y12 , … , y1n ,
y21, y22 , … , y2n , (2)
……………………………
yn1, yn2 , … , ynn ,
un sistem fundamental de soluţii pe [a,b] al sistemului omogen.
O soluţie particulară Y1, Y2, … ,Yn a sistemului neomogen (1), pe intervalul [a,b]
este dată de
Y1 = C1’ (t) y11 dt + … + Cn’(t) yn1 dt,
Y2 = C1’ (t) y21 dt + … + Cn’(t) y21 dt, (3)
………………………………………………………………
Yn = C1’(t) yn1 dt + … + Cn’ (t) ynndt,
unde C1’ , C2’ , … , Cn’ sunt soluţii ale sistemului
C1’ (t) y11 + … + Cn’(t) yn1 = f1(t)/a10(t) ,
C1’ (t)y21 + … + Cn’(t) y21 = f2(t)/a20(t), (4)
………………………………………………………………
C1’(t) yn1 + … + Cn’ (t) ynn = fn(t)/an0(t).
Dacă efectuăm cuadraturile în (3), introducând pentru fiecare cuadratură
câte o constantă arbitrară,
∫ C1’ (t) dt = A1 + φ1(t) , … , ∫ Cn’ (t) dt = An + φn(t)
obţinem soluţia generală a sistemului neomogen
yk = A1 y1k + … + An ynk + y1k φ1 + … + ynk φn , k = 1, 2, … , n
Demonstraţie. A se vedea [1].
35
SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE LINIARE CU COEFICIENŢI
CONSTANŢI
Sisteme omogene
Definiţie. Un sistem de forma
dy1/dt + a11 y1 + … + a1n yn = 0 ,
dy2/dt + a21y1 + … + a2n yn = 0, (1)
…………………………………..
dyn /dt + an1y1 + … + ann yn = 0,
unde aij sunt constante, se numeşte sistem de n ecuaţii diferenţiale liniare cu n
funcţii necunoscute, cu coeficienţi constanţi, omogen.
A) Dacă derivăm prima ecuaţie de n-1 ori şi toate celelalte ecuaţii de câte n-2 ori fiecare
şi eliminăm între ecuaţiile sistemului şi ecuaţiile astfel obţinute (în număr de n2 – n + 1 )
pe y2 , … , yn şi pe derivatele lor până la ordinul n obţinem o ecuaţie în y1 cu
coeficienţi constanţi. Dacă integrăm această această ecuaţie, obţinem pe y1 în funcţie
de n constante arbitrare. Celelalte funcţii necunoscute le determinăm din ecuaţiile
sistemului şi celelalte ecuaţii obţinute prin derivări. Soluţia generală a sistemului va
depinde numai de cele n constante arbitrare care intervin în structura lui y1 .Exemplu. Să se integreze sistemul
x’ – x + y == 0 , y’ – y + z = 0 , z’ – z + x = 0.
.Eliminăm pe y şi z împreună cu derivatele lor din ecuaţiile
sistemului şi
x’’ – x’ + y’ == 0 , x’’’ – x’’ + y’’ = 0 , y’’ – y’ + z’ = 0 , z’’ – z’ + x’ = 0
Obţinem
y = x – x’ , z = y – y’
iar pentru x ecuaţia x’’’ – 3 x’’ + 3x’ = 0 .Este o ecuaţie diferenţială liniară de
ordinul trei cu coeficienţi constanţi. Ecuaţia caracteristică r3 – 3r2 + 3r = 0 are
rădăcinile 0 , 3/2 + i 3 /2 , 3/2 – i 3 /2 , deci
x = C1 + exp( t23
) ( C2 sin 3 /2 t + C3 cos 3 /2 t)
y şi z rezultă din y = x – x’ , z = y – y’
b) Operaţiile de eliminare pot fi lungi şi complicate; putem să le evităm în modul
următor:
36
Deoarece prin eliminare obţinem întotdeauna o ecuaţie diferenţială de ordinul n, liniară
cu coeficienţi constanţi, care admite soluţii de forma ert , atunci să căutăm, pentru
sistemul dat (1), direct soluţii de forma
y1 = A1 e rt , … , yn = An e rt (2)
Dacă derivăm şi înlocuim în(1), se dă factor în fiecare ecuaţie ert ; îl înlăturăm;
ne mai rămâne un sistem algebric, în A1 , A2 , … , An , omogen , căruia îi impunem să
admită şi alte soluţii, în afară de cea banală .Conform teoremei lui Rouche trebuie să
avem următorul determinant nul :
raaa
araaaara
nnnn
n
n
+
++
.................................................
...
...
21
22221
11211
= 0 (3)
Ecuaţia (3) se numeşte ecuaţia caracteristică a sistemului (1).
La fel ca pentru ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul n cu coeficienţi constanţi,
determinarea soluţiei generale a sistemului (1) s-a redus la rezolvarea ecuaţiei algebrice
(3).
Vom avea următoarele situaţii
I) r = a este o rădăcină reală simplă a ecuaţiei caracteristice (3).
Atunci sistemul admite o soluţie de forma
Y1 = A1 eat , … , Yn = An eat.
II) a + ib şi a – ib sunt două rădăcini imaginare conjugate, simple, ale ecuaţiei
caracteristice (3) .
Soluţia sistemului (1) relativă la aceste rădăcini este de forma
( A1 cos bt + B1 sin bt ) eat , … , ( An cos bt + Bn sin bt ) eat,
pe care dacă o înlocuim în sistemul (1), obţinem prin identificare, un sistem algebric
care determină pe A2 , … , An , B2 , … , Bn în funcţie de A1 şi B1 .
III) r = a este o rădăcină reală a ecuaţiei caracteristice (3) de ordinul p+1 de
multiplicitate.
Soluţia sistemului (1) relativă la această rădăcină este de forma
Y1 = (A11 + A12 t + … + A1,p+1 tp) eat ,
Y2 = (A21 + A22 t + … + A2,p+1 tp) eat ,
……………………………………..
37
Yn = (An1 + An2 t + … + An,p+1 tp) eat ,
şi toate constantele Aij se determină în funcţie de A11 , A12 , …, A1,p+1 prin înlocuire
în sistemul (1) şi identificare.
IV) a + ib , a – ib sunt rădăcini ale ecuaţiei caracteristice (3), amândouă de ordinul
p+1 de multiplicitate.
Soluţia sistemului (1) relativă la aceste rădăcini este de forma
Y1 = (A11 + A12 t + … + A1,p+1 tp) cos bt + (B11 + B12 t + … + B1,p+1 tp) sin bt ,
Y2 = (A21 + A22 t + … + A2,p+1 tp) cos bt + (B21 + B22 t + … + B2,p+1 tp) sin bt ,
…………………………………….. ……………………………………….
Yn = (An1 + An2 t + … + An,p+1 tp) cos bt + (Bn1 + Bn2 t + … + Bn,p+1 tp) sin bt .
unde toate constantelese determină în funcţie de A11 , A12 , …, A1,p+1, B11 , B12 , …,
B1,p+1, prin înlocuire în sistemul (1) şi identificare.
Sisteme neomogene.
Putem determina o soluţie particulară a unui sistem de ecuaţii diferenţiale liniare de
ordinul întâi neomogen, cu coeficienţi constanţi
a11 y1 + … + a1n yn = f1(t) ,
a21y1 + … + a2n yn = f2(t), (1)
………………………..
an1y1 + … + ann yn = fn(t).
folosind metoda variaţiei constantelor. Dacă fk(t) au forme particulare, putem să
procedăm într-un mod mai simplu, anume:
a) dacă fk(t) sunt polinoame de grad mai mic sau egal cu h , vom căuta o soluţie
particulară de forma
y1 = P1h(t) , … , yn = Pnh(t),
unde Pkh(t) sunt polinoame arbitrare de grad h, ai căror coeficienţi îi determinăm prin
identificare;
b)dacă fk(t) sunt funcţii de forma
eat Qkh (t) ,
38
unde Qkh (t) sunt polinoame de grad mai mic sau egal cu h , atunci căutăm o soluţie
particulară de forma
y1 = P1h(t) eat , … , yn = Pnh(t) eat,
dacă r = a nu este o rădăcină de ordinul m de multiplicitate a ecuaţiei caracteristice, sau
de forma
y1 = tm P1h (t) eat , … , yn = tm Pnh(t) eat,
dacă r = a este o rădăcină de ordinul m de multiplicitate a ecuaţiei caracteristice.
c) dacă fk(t) sunt funcţii de forma
eat cos bt Qkh (t) + eat sin bt Rkh (t),
căutăm soluţii de forma:
yk = eat cos bt Qkh * (t) + eat sin bt Rkh * (t),
dacă a + ib este rădăcină de ordinul m de multiplicitate a ecuaţiei caracteristice.
T E S T
Se dă circuitul din figură , unde R1 = R3 = 1000Ω, R2 = 2000Ω, L = 1H, C = 103 µF E =
100V. Să se studieze regimul de stabilire a curentului i prin inductanţa L şi a tensiunii
uc de la bornele condensatorului C după închiderea întrerupătorului K.
Fie i ,iL , iC curenţi în laturi şi uC de la bornele condensatorului , după închiderealui K ( t > 0).
1. Aplicând teoremele lui Kirchhoff se obţine un sistem de ecuaţii :…………………………………………………………………………………………….…………………………………………………………………………………………….
39
2.Dacă se elimină i şi se aleg iL şi iC ca funcţii necunoscute de timp, cu datele din enunţ
sistemul devine :
755002/1
75250021
=++
=+−
LCC
LCL
iudt
du
iudtdi
Să se găsească soluţia generală a sistemului omogen.
3.Să se găsească o soluţie particulară a sistemului neomogen.
Să se scrie soluţia generală a sistemului iniţial.
40
Răspuns:
.0,10010001,20/150/1100/3
2/1
2/12500
≥+−=
+−−=−
−−
teueei
tC
ttL
TEMĂ. Exerciţii propuse.
1. Să se găsească soluţia sistemului :
x’+ x – y = 0, y’ + y – 4z = 0, z’ +4z – x = 0, t ε R.
Răspuns : x = 4 + 2t e-3t, y = 4 + (2 - 4t) e-3t,
z = 1 + (2t - 2) e-3t.
2. Să se găsească soluţia sistemului :
3x’ – x + 2t = t + 1 , x’ + 4x + y = 2t + 3 ,
care satisface condiţiile iniţiale x(0) = 0, y (0) = 0.
41
( )32 + xuu
Răspuns Soluţia sistemului dat este :
x = -4/9 et + 2/9 e-t + 1/3 t + 2/9 ,
y = 4/9 et + 4/9 e-t + 2/3 t + 1/9 .
36
Cap.IV Ecuaţii cu derivate parţiale
Noţiuni generale
Definiţii: a) O relaţie de forma
F( x1, x2, … , xn ; u, nx
uxu
∂∂
∂∂ ,...,
1
) = 0 (1)
unde F este o funcţie reală de 2n+1 argumente, definită pe un domeniu 12 +⊂ nRD ,
se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale de ordinul întâi, dacă se cere să se determine
funcţia u = φ(x1 , … , xn ) cu derivate parţiale de ordinul întâi continue într-un
domeniu D’ nR⊂ , astfel încât să avem
F( x1, x2, … , xn ; φ, nxx ∂
∂∂∂ ϕϕ ,...,
1
) = 0
pentru orice ( x1, …, xn ) din Rn.
2) Funcţiile reale, care îndeplinesc condiţiile de mai sus, se numesc soluţii ale
ecuaţiei cu derivate parţiale (1) în D.
Observaţii:
!) Dacă F depinde şi de derivatele de ordin superior ale lui u, anume
F( x1, x2, … , xn ; u, nx
uxu
∂∂
∂∂ ,...,
1
, nn
n
xu
xu
∂∂
∂∂ ,...,2
1
2
) = 0 (2)
atunci o astfel de relaţie se numeşte ecuaţie cu derivate parţiale de ordin superior.
2) O soluţie u = φ ( x1 , … , xn ) , ( x1 , … , xn ) ε D a ecuaţiei (1) se numeşte o
suprafaţă integrală a ecuaţiei (1).
Exemplu.
0=∂∂
+∂∂
yu
xu .
Funcţiile u = 2 , u = x – y ,cu x ,y numere reale sunt soluţii ale ecuaţiei cu derivate
parţiale. Funcţia u = φ(x-y) , unde φ este o funcţie derivabilă este tot o soluţie a
ecuaţiei date. Planul u=x-y este o suprafaţă integrală.
Soluţia generală. Problema lui Cauchy.
37
Nu ne vom ocupa decât de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi (1), iar dintre acestea
numai de ecuaţiile liniare şi omogene care sunt de forma
P1( x1 , … , xn )1x
u∂∂ + …. + Pn( x1 , … , xn )
nxu
∂∂ = 0 (3)
precum şi de ecuaţiile cvasiliniare care sunt de forma
P1( x1 , … , xn )1x
u∂∂ + …. + Pn( x1 , … , xn )
nxu
∂∂ = Pn+1( x1 , … , xn )
Ecuaţia din exemplu dat este liniară şi omogenă.
Din exemplul considerat rezultă că soluţia unei ecuaţii cu derivate parţiale conţine
funcţii arbitrare.
În general nu ne interesează soluţii care conţin funcţii arbitrare, ci o anumită soluţie a
ecuaţiei date, soluţie care îndeplineşte anumite condiţii iniţiale. Aceste condiţii iniţiale
trebuie să determine în mod unic soluţia cerută.
Problema lui Cauchy. Pentru ecuaţia (3) are următorul enunţ: Să se
determine soluţia u( x1 , … , xn ) a ecuaţiei cu derivate parţiale:
P1( x1 , … , xn )1x
u∂∂ + …. + Pn( x1 , … , xn )
nxu
∂∂ = 0
care pentru xn = xno să se reducă la o funcţie dată ψ( x1 , … , xn-1 ):
u( x1 , … , xn0 ) = ψ( x1 , … , xn-1 ):
Se poate demonstra că în anumite condiţii impuse funcţiilor Pk şi ψ soluţia
problemei lui Cauchy este unică.
Să considerăm acum mulţimea soluţiilor ecuaţiei (3) definite într-un
domeniu 12 +⊂ nRD , ψ( x1 , … , xn-1) fiind o funcţie arbitrară. Mulţimea acestor soluţii
în D o vom numi soluţie generală a ecuaţiei (3) în D.
După cum vom arăta în cele ce urmează, soluţia generală depinde de o funcţie
arbitrară.
ECUAŢII CU DERIVATE PARŢIALE DE ORDINUL ÎNTÂI LINIARE ŞI OMOGENE
Sistem caracteristic
Fie ecuaţia cu derivate parţiale de ordinul întâi liniară şi omogenă
38
P1( x1 , … , xn )1x
u∂∂ + …. + Pn( x1 , … , xn )
nxu
∂∂ = 0 (1)
cu coeficienţi Pk( x1 , … , xn ) continui şi care nu se anulează simultan într-undomeniu nRD ⊂ .Definiţii:1. Sistemul simetric
( ) ( ) ( )nn
n
nn xxPdx
xxPdx
xxPdx
,...,...
,...,,..., 112
2
11
1 === (2)
definit în D se numeşte sistem caracteristic al ecuaţiei cu derivate parţiale (1).
Metoda combinaţiilor integrabile
Fie sistemul de ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi simetric (2)
cu funcţiile fk( x1 , … , xn ) continue şi care nu se anulează simultan în nRD ⊂ ..
Avem egalitatea
( ) ( ) ( )nn
n
nn xxPdx
xxPdx
xxPdx
,...,...
,...,,..., 112
2
11
1 === =111
11
......
nn
nn
PPdxdx
λλλλ
++++
pentru orice ( x1 , … , xn ) ε D , λ1 , … , λn fiind n funcţii arbitrare, continue în D.
Definiţie: Un sistem de n funcţii λ1 , … , λn continue în D, care îndeplinesc
condiţiile
0...
...
11
11
=++Φ=++
nn
nn
PPddxdx
λλλλ
pentru orice ( x1 , … , xn ) ε D, se numeşte o combinaţie integrabilă a sistemului (1)
în D.
Funcţia Φ( x1 , … , xn ) = C a cărei diferenţială totală în D este
0......
11
11
=++Φ=++
nn
nn
PPddxdx
λλλλ
este o integrală primă a sistemului (1). Într-adevăr, din (2)
rezultă că trebuie să avem λ 1 dx1 + … + λ n dxn = 0 , în D, dacă λ 1 P1 + … +
λ n Pn = 0
(pentru ca ultima egalitate (2) să poată fi adevărată) , deci relaţia λ 1 dx1 + … + λ n dxn
= 0 este o consecinţă a ecuaţiilor sistemului (1).
Funcţia Φ( x1 , … , xn ) = C este o consecinţă a ecuaţiilor sistemului (1).
39
2. Curbele integrale ale sistemului (2) se numesc curbe caracteristice ale ecuaţiei cu
derivate parţiale (1).
Vom arăta în cele ce urmează că problema integrării ecuaţiei diferenţiale (1) se
reduce la problema integrării sistemului caracteristic (2).
Teoremă: Fie φ( x1 , … , xn ) = C o integrală primă a sistemului caracteristic (2);
funcţia u = φ( x1 , … , xn ) este o soluţie a ecuaţiei cu derivate parţiale (1).
Demonstraţie:
Fie φ( x1 , … , xn ) = C o integrală primă a sistemului (2). Funcţia este
continuă şi are derivate parţiale de ordinul întâi continue în D. Deoarece φ = C
este o integrală primă a sistemului (2) urmeză că pentru orice punct ( x1 , … , xn )
ε D situat pe o curbă integrală a sistemului (2), egalitatea (3) se scrie
P1( x1 , … , xn )1x
u∂∂ + …. + Pn( x1 , … , xn )
nxu
∂∂ = 0 (4)
u = φ, valabilă pentru orice ( x1 , … , xn ) situat pe o curbă integrală a sistemului
(2). Această egalitate (4) fiind adevărată pentru orice constantă C, este adevărată
pentru orice curbă integrală a sistemului (2) situată în D, de unde rezultă că este
adevărată pentru orice ( x1 , … , xn ) ε D ; prin urmarefuncţia u = φ( x1 , … ,
xn) este o soluţie a ecuaţiei (1) în D. Teorema este demonstrată.
Soluţia generală
Teoremă: Fie ecuaţia cu derivate parţiale
P1( x1 , … , xn )1x
u∂∂ + …. + Pn( x1 , … , xn )
nxu
∂∂ = 0
cu coeficienţii Pk ( x1 , … , xn ) continui şi care nu se anulează simultan într-un
domeniu nRD ⊂ .
Fie
φ1 ( x1 , … , xn ) = C1
φ2 ( x1 , … , xn ) = C2
……………………
φn-1 ( x1 , … , xn ) = Cn-1
n-1 integrale prime (independente) ale sistemului caracteristic
40
( ) ( ) ( )nn
n
nn xxPdx
xxPdx
xxPdx
,...,...
,...,,..., 112
2
11
1 === .
Fie Φ( v1 , … , vn ) o funcţie continuă cu derivate parţiale continue pe un
domeniu 1−⊂ nRD .
Funcţia u( x1 , … , xn ) dată de:
u( x1 , … , xn ) = Φ [φ1 ( x1 , … , xn ) , φ2 ( x1 , … , xn ) , … , φn-1 ( x1, …
, xn ) ] (1’)
este soluţie a ecuaţiei cu derivate parţiale (1). Reciproc, orice soluţie u( x1 , … ,
xn )a ecuaţiei (1) se poate scrie sub forma (1’).
Demonstraţie . Ase vedea [1].
T E S T
Să se integreze sistemul :
xy
dzzx
dyyz
dx4632 −
=−
=−
1. Ce fel de sistem este ?
…………………………………………………………………………………………….
2. Justificaţi tipul sistemului.
…………………………………………………………………………………………….
3. Care sunt combinţiile integrabile ?
…………………………………………………………………………………………….
4. Care sunt integralele prime ?
41
TEMĂ. Exerciţii propuse ( )32 + xuu
1. Să se rezolve ecuaţia :
.02 2 =∂∂
+∂∂
+∂∂
zuz
yuy
xux
Soluţia ecuaţiei date este dată de următoarele integrale prime :
x = e-C1 , xy = C2 .
47
Cap. V Transformarea lui Laplace
Funcţie original. Proprietăţi.
În problemele fizicii şi tehnicii se foloseşte adesea o corespondenţă între două
mulţimi de funcţii , o primă mulţime numită clasa originalelor şi a doua formată din
imaginile lor obţinute printr-o anumită transformare. Această corespondenţă prezintă
interes dacă este biunivocă şi dacă unor operaţii din prima mulţime le corespund în a
doua mulţime operaţii mai simple.
Printre altele ,de obicei, operaţiilor de derivare şi integrare le corespund operaţii mai
simple.
În cele ce urmează ne vom ocupa de transformarea lui Laplace.
Definiţie. O funcţie f , definită pe R , cu valori reale sau complexe , se numeşte
original dacă are următoarele proprietăţi :
1. f(t) = 0 , oricare ar fi t negativ;
2. este derivabilă pe porţiuni;
3. există două numere , M > 0 , s0 ≥0, astfel încât
- M es0
t ≤ f(t)≤ M es0
t , [ )∞∈∀ ,0t .
Mulţimea funcţiilor care îndeplinesc aceste condiţii o vom nota O.
Definiţie. Fie f din O, arbitrară .Funcţia cu valori complexe F, definită pe
mulţimea ( ) 00 Re spCp f∈=∆ , definită prin
( ) ( ) ,0
dtetfpF pt−∞
∫=
se numeşte imaginea după Laplace sau transformata Laplace a funcţiei f.
Teoremă. Dacă funcţia f şi derivatele sale până la ordinul n aparţin clasei
originalelor şi dacă F este transformata Laplace a lui f, atunci transformata
Laplace a derivatei de ordinul n este dată de relaţia :( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) )0(),...,0('),0(,0...0'0
1
121
−
−−− +++−=n
nnnnn
fffffpfppFptF
fiind limitele la dreapta în t=0
ale funcţiei f şi derivatelor acesteia.
Demonstraţie. A se vedea [1].
48
De asemenea pentru alte proprietăţi ale transformatei Laplace recomandăm a se vedea
bibliografia.
Dăm în continuare un tabel cuprinzând transformatele Laplace ale funcţiilor elementare
.
Funcţia origine Transformata Laplace
tn , n=1,2,… N!/pn+1
tα , α>-1 Γ(α+1)/pα+1
eαt , α= a + bi 1/(p-α)
tmeαt m!/(p-α)m+1
sin mt ,m > 0 m/(p2+m2)
cos mt p/(p2+m2)
eatsin mt 22)( mapm
+−
eat cos mt 22)( mapap+−
−
T sin mt 2pm/(p2+m2)2
T cos mt (p2-m2)/(p2+m2)2
Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale. TEST
Vom da un exemplu de rezolvare a unei ecuaţii aplicând transformarea lui Laplace.
După cum se va vedea rezolvarea ecuaţiei diferenţiale se va reduce în acest caz la
rezolvarea unei ecuaţii algebrice.
Să se rezolve ecuaţia diferenţială :
y’’-3y’+2y=tet y(0)=0, y’(0)=1
Aplicând transformata Laplace au loc următoarele transformări :
y(t)…….y(p)
y’(t)……py(p)-y(0)=py(p)
y’’(t)…..p2y(p)-py(0)-y’(0)=p2y(p)-1
tet……..1/(p-1)2
49
Ecuaţia algebrică este:
…………………………………………………………………………………………….
Să se găsească soluţia ecuaţiei algebrice de mai sus .
…………………………………………………………………………………………….
…………………………………………………………………………………………….
.Să se găsească cu ajutorul tabelului de mai sus soluţia ecuaţiei diferenţiale cu
coeficienţi constanţi.
…………………………………………………………………………………………….
Răspuns :
y(t) = -2et-tet-t2et /2+2e2t.
Rezolvarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale. TEST
Pe baza teoremei de derivare enunţate şi a tabelului de legătură între funcţii original şi
transformate Laplace vom rezolva un sistem de ecuaţii diferenţiale. Avantajul acestei
metode constă în faptul că rezolvarea se reduce la rezolvarea unui sistem algebric.
Să se găsească soluţia sistemului :
x’=-7x +y +5 , y’=-2x – 5y –37t ,x(0)=0, y(0)=0.
Au loc următoarele transformări :
x(t)………x(p)
y(t)………y(p) 5………5/p
x’(t)……..p x(p) t……….1/p2
y’(t)……..p y(p)
Sistemul algebric obţinut este :
…………………………………………………………………………………………….
Soluţia sistemului algebric este :
…………………………………………………………………………………………….
Să se descompună soluţia sistemului algebric în fracţii simple :
50
Trecând la original să se precizeze soluţia sistemului iniţial :
…………………………………………………………………………………………….
Răspuns :
x(t) = 1-t-e-6t cos t
y(t) = 1 - 7t – e-6t cos t + e-6t sin t.
TEMĂ. Exerciţii propuse.
1. Aflaţi imaginea Laplace pentru funcţia origine :
f(t) = 2 + 3et - 2e-2t + 3 sin 2t + 4 cos 3t + t
…………………………………………………………………………………………….
2. Aflaţi funcţiile origine pentru următoarele funcţii imagine :
a) F(p) = 1/(p2+ 3p + 4),
b) F(p) = 3p/(p2 - p + 1).
99
CAP VI. SERII FOURIER
Armonice.
Funcţia periodică )sin()( ϕω += xAxf , unde A , ω şi ϕ sunt constante reale; se
numeşte armonică de amplitudine A , frecvenţă ω şi fază iniţială ϕ .
Această armonică are perioada ωπ2
=T . Într-adevăr, pentru orice x,
)sin(]2)sin[(])2(sin[ ϕωπϕωωπω +=++=++ xAxAyxA .
Originea termenilor de ”amplitudine”, ”frecvenţă”, ”fază iniţială” este legată de
mişcarea unidimensională a unui punct material sub acţiunea unei forţe proporţională cu
distanţa.
Să vedem cum arată graficul armonicei introduse?
Dacă A=1, ω =1, ϕ =0 obţinem funcţia elementară y=sinx . Să considerăm acum
armonica y=sinω x şi să punem z:= ω x. Obţinem y=sinz, adică o sinusoidală obişnuită.
Dar ωzx = , prin urmare, graficul armonicei y=sinω x se poate obţine din graficul unei
sinusoide obişnuite prin deformarea acesteia în direcţia axei absciselor. Pentru ω >1,
deformarea se reduce la o contractare de ω ori, iar pentru ω <1 la o dilatare de ω1
.
Să considerăm acum armonica )sin( ϕω += xy şi să punem ϕωω += xz : .
Graficul armonicei y=sinω z ne este deja cunoscut. Dar ωϕ
−= zx , prin urmare,
graficul armonicii )sin( ϕω += xy se obţine din graficul armonicii y=sinω x printr-o
translaţie cu ωy
− de-a lungul axei absciselor.
În sfârşit, graficul armonicii )sin( ϕω += xAy , se obţine din graficul armonicii
)sin( ϕω += xy prin înmulţirea tuturor ordonatelor cu A.
Folosind o formulă cunoscută din trigonometrie, putem scrie:
)cossinsin(cos)sin( ϕωϕωϕω xxAxA +=+
100
Punând
ϕϕ cos:,sin: AbAa == (1)
ne convingem că armonica se poate scrie sub forma:
xbxaxf ωω sincos)( += . (2)
Reciproc, orice funcţie de forma (2) este o armonică. Într-adevăr este suficient să-i
găsim pe A şi ϕ din (1). Vom obţine:
Ab
baa
AabaA =
+==+= ϕϕ cos,sin,
22
22 , de unde ϕ .
Vom folosi în cele ce urmează notaţia (2) pentru armonice. De asemenea, va fi
convenabil să introducem perioada T în (2) în mod explicit, punând T:=2l. Atunci, din
egalitatea ωπ2
=T obţinem
lTππω ==
2
şi prin urmare, armonica de perioadă T=2l se poate scrie sub forma
lxb
lxaxf ππ sincos)( += . (3)
Polinoame trigonometrice şi serii trigonometrice
Fiind dat numărul T=2l, să considerăm armonicele
K,2,1,sincos =+ klkxb
lkxa kk
ππ (4)
cu frecvenţele lk
k
πω = şi perioadele klT
kk
22==
ωπ
.
Deoarece T=2l=kTk, numărul T=2l este o perioadă pentru toate armonicele (4), a se
vedea exerciţiul 1. De aceea orice sumă parţială
∑=
++=n
kkkn l
kxblkxaAxS
1)sincos(:)( ππ
unde A∈R, fiind o sumă de funcţii de perioadă 2l, reprezintă o funcţie de aceeaşi
perioadă (adăugarea constantei nu modifică periodicitatea!).
Vom numi funcţia sn(x) polinom trigonometric de ordin n şi perioadă 2l.
101
Suma unei serii trigonometrice infinite (dacă este convergentă) reprezintă de asemenea
o funcţie de perioadă 2l.
Deci dacă:
∑∞
=
++=1
)sincos()(k
kk lkxb
lkxaAxf ππ
(5)
atunci punând lxt π
=: sau πtlx = obţinem pentru
=π
ϕ tlft :)( ,
∑∞
=
++=1
)sincos()(k
kk ktbktaAtϕ (6)
armonicele acestei serii având perioada comună 2π. Aşadar, dacă pentru f(x) de
perioadă 2l este valabilă dezvoltarea (5) atunci pentru )(tϕ de perioadă 2π este valabilă
dezvoltarea (6). Afirmaţia reciprocă este în mod evident adevărată. Astfel, este suficient
să rezolvăm problema dezvoltării în seri trigonometrică pentru funcţiile cu perioada
standard 2π.
Sistemul trigonometric fundamental
Mulţimea de funcţii:
1, cosx, sinx, cos2x, sin2x, … , cosnx, sinnx, … n∈N se numeşte sistemul
trigonometric fundamental.
Pentru orice n întreg şi diferit de zero avem:
0sincos == ∫∫−−
dxnxdxnxπ
π
π
π
. (7)
ππ
π
π
π
== ∫∫−−
dxnxdxnx 22 sincos (8)
Pentru orice m, n∈Z, m≠n, avem:
0sinsincoscos == ∫∫−−
dxmxnxdxmxnxπ
π
π
π
, (9)
102
0cossin =∫−
dxmxnxπ
π
.
(10)
Egalităţile (7), (9), (10) arată că integrala unui produs de două funcţii oarecare diferite
ale sistemului trigonometric fundamental extinsă la [-π, π] este nulă.
Vom conveni să spunem că două funcţii )(xϕ şi )(xψ sunt ortogonale pe segmentul
[a, b] dacă:
0)()( =∫ dxxxb
a
ψϕ .
Conform acestei definiţii, vom spune că sistemul trigonometric fundamental este
ortogonal.
T E S T
Seria Fourier a unei funcţii de perioadă 2π
Să presupunem că funcţia f(x) de perioadă 2π se poate dezvolta într-o serie de forma:
∑∞
=
++=1
0 )sincos(2
)(k
kk kxbkxaaxf . (11)
Ne propunem să calculăm coeficienţii a0, ak şi bk, k=1, 2, … considerând funcţia
cunoscută. Pentru aceasta vom face ipoteza importantă că atât seria (11) cât şi seriile pe
care le vom obţine se pot integra termen cu termen ceea ce implică şi integrabilitatea
funcţiei f(x). Integrând (11) obţinem
103
∑ ∫∫∫∫∞
= −−−−
++=
1
0 sincos2
)(k
kk dxkxbdxkxadxadxxfπ
π
π
π
π
π
π
π
.
In virtutea lui (7) toate integralele de sub semnul sumă sunt nule deci
dxxfa ∫−
=π
π
π )(0 . (12)
Să înmulţim acum ambii membrii ai lui (11) cu cos nx iar
rezultatul să-l integrăm între aceleaşi limite. Obţinem
∑ ∫∫∫∫∞
= −−−−
++=
1
0 cossincoscoscos2
cos)(k
kk dxnxkxbdxnxkxadxnxanxdxxfπ
π
π
π
π
π
π
π
.
În virtutea primei relaţii (8) şi a relaţiilor (9) şi (10) avem
ππ
πnanxdxxf =∫
−
cos)( . (13)
Analog, prin înmulţirea relaţiei (11) cu sin nx şi integrare avem
ππ
πnbnxdxxf =∫
−
sin)( . (14)
Relaţiile (12), (13) şi (14)pot fi scrise restrâns în forma:
nxdxxfan cos)(1∫−
=π
ππ, nxdxxfbn sin)(1
∫−
=π
ππ.
n=0, 1, 2, … n=1, 2, …
Un criteriu de convergenţă pentru seriile Fourier
Funcţia f(x) se numeşte netedă pe [a, b] dacă admite în acest segment o derivată
continuă. Geometric, aceasta înseamnă că parcurgând curba, panta tangentei variază
continuu, fără salturi (graficul nu are puncte unghiulare).
Funcţia f(x) continuă se numeşte netedă pe porţiuni în [a, b] dacă acest segment poate fi
descompus într-un finit de subintervale astfel încât pe fiecare dintre ele f(x) să fie o
funcţie netedă (graficul poate avea un număr finit de puncte unghiulare – a se vedea fig.
1).
Funcţia f(x) dicontinuă este netedă pe porţiuni pe [a, b] dacă:
104
1/ nu are decât un număr finit de discontinuităţi de prima speţă (salturi finite)
în [a, b],
2/ pe fiecare din subintervalele [α, β] în care punctele de discontinuitate împart
segmental [a, b] funcţia continuă
=−<<=+
=βββααα
xfxxfxf
xg),0(
),(),0(
)(
este netedă pe porţiuni ( fig.2 )
Teoremă. Seria Fourier a unei funcţii f(x) de perioadă 2π netedă pe porţiuni (continuă
sau discontinuă) converge pentru toate valorile lui x, iar suma ei este egală cu f(x) în
orice punct de continuitate şi cu [ ])0()0(21
−−+ xfxf în fiecare punct de
discontinuitate.
Demonstraţie. A se vedea [7].
Exerciţii rezolvate
1) Să se arate că dacă f:R→R este periodică de perioadă T atunci este periodică de orice
perioadă kT, k∈Z.
Soluţie. Dacă )()( Txfxf += atunci are loc şi lanţul de egalităţi:
TxfTxfTxfxf …=+=+=+= )3()2()()( deduse din aplicarea repetată a
definiţiei. Din aceeaşi definiţie avem:
)(])2[()( xfTTfTxf =+−=− , deci -T este şi el perioadă. Atunci numerele
-2T, -3T, -4T, … vor fi şi ele perioade.
105
2) Dacă f:R→R este periodică de perioadă T şi integrabilă pe un anumit segment de
lungime T, atunci ea este integrabilă pe orice alt segment de aceeaşi lungime şi valoarea
integralei rămâne neschimbată, adică
dxxfdxxfTb
b
Ta
a∫∫++
= )()( , ∀ a, b∈R.
Soluţie. Această proprietate rezultă uşor din interpretarea integralei ca arie.
3) Fie )(xf o funcţie continuă în [a, b] şi care nu are derivată într-un număr finit de
puncte x1, x2, … , xm, a<x1<x2< … < xm<b iar )(xf ′ este integrabilă pe segmentul [a,
b]. atunci :
dttfafbfb
a∫ ′=− )()()( .
Soluţie. Pentru h suficient de mic, putem scrie:
dttfafhxfhx
a∫−
′=−−1
)()()( 1 ,
dttfhxfhxfhx
hxkk
k
k
∫−
++
+
′=+−−1
)()()( 1 , k=1, 2, … , m-1,
dttfhxfbfb
hxm
m
∫+
′=+− )()()( ,
deoarece pe fiecare din segmentele [xk+h, xk+1-h], )(xf ′ există. La limită pentru h→0,
obţinem
dttfafxfx
a∫ ′=−
1
)()()( 1 ,
dttfxfxfk
k
x
xkk ∫
+
′=−+
1
)()()( 1 , k=1, 2, … , m-1,
dttfxfbfb
xm
m
∫ ′=− )()()( , de unde se obţine formula dorită prin adunare
membru cu membru.
4) Să se demonstreze egalităţile (8), (9), (10).
Indicaţie. Se vor folosi egalităţile trigonometrice:
)]cos()[cos(21coscos βαβαβα −++= ,
106
)]cos()[cos(21sinsin βαβαββ +−−= ,
)]sin()[sin(21cossin βαβαβα −++= .
5) Să se dezvolte în serie Fourier funcţia
<≤−−≤≤
=0,1
0,1)(
xx
xfπ
π
să se determine sumele parţiale S15(x) şi S25(x) şi să se reprezinte grafic. Ce se observă
în vecinătatea originii?
Indicaţie. ∑=
−−
=25
125 )12sin(
1214)(
nxn
nxs
π.
Graficul sumelor parţiale ale seriei Fourier are un salt faţă de graficul funcţiei în punctul
de discontinuitate care reprezintă 9% din saltul funcţiei în acel punct (aşa numitul efect
Gibbs).
TEMA. Exerciţii propuse
1) Să se arate că seria Fourier a unei funcţii pare conţine numai cosinusuri ( serie
Fourier de cosinusuri ), adică ataşăm funcţiei )(xf seria:
∑∞
=
+≈1
0 cos2
)(n
n nxaaxf , unde dxnxxfan ∫=π
π 0
cos)(2.
Până când nu am demonstrat convergenţa seriei vom folosi semnul ≈ .
107
2) Să se arate că seria Fourier a unei funcţii impare conţine numai sinusuri (serie Fourier
de sinusuri), adică
∑∞
=
≈1
sin)(n
n nxbxf , unde dxnxxfbn ∫=π
π 0
sin)(2.
3) Să se dezvolte în serie Fourier funcţia 2)( xxf = , x∈[-π, π].
Răspuns
−+−−= L
22
22
33cos
22coscos4
3xxxx π
.
108
4) Să se dezvolte în serie Fourier funcţia pară xxf =)( , x∈∈[-π, π].
5) Să se dezvolte în serie Fourier de sinusuri funcţia
≤<−
<≤=
.2
,sin
,2
0,sin)(
lxllx
lxlx
xf π
π
Răspuns
lxn
n
nnxf
n
ππ
πsin
12
cos4)(2
2∑∞
= −−= .
109
6) Să se dezvolte în serie Fourier funcţia periodică
lxxf πcos)( = , l >0, l =const.
Răspuns
−−+= ∑
∞
=
+
12
1
14
2cos)1(
214)(
n
n
nlx
xf
π
π.
110
7) Să se reprezinte cu ajutorul unor programe de calcul concepute individual sau cu
ajutorul unor pachete de programare specializate armonicele.
xy sin1 = , xy 3sin2 = ,
+=
63sin3
πxy ,
+=
63sin44
πxy .
Să se compare aceste curbe.
8) Pentru fiecare din exerciţiile 3) până la 6), folosind pachete de programe specializate
să se reprezinte comparativ curbele )(xfy = şi curbele obţinute trunchiind seriile
Fourier la primii 5 sau 6 termeni. Comentaţi rezultatul.
9) Să se dezvolte în serie Fourier funcţia
≤≤<≤−
=20,cos
02,0)(
xxx
xf şi să se pună în
evidenţă fenomenul Gibbs.
Indicaţie
∑= −
+=10
12210 412sin
41)(
nx
nnS
π
[ ]
−−+− +
2sin2cos)1(1
2cos2sin2)1( 1 xnnxnx nn πππ
.
111
112
Cap VII. Sisteme ortogonale
Definiţie. Sisteme normateUn sistem (mulţime) infinit de funcţii reale
se numeşte ortonormat pe [a,b] , a<b , dacă
Vom presupune întotdeauna că
Condiţia (2) exprimă faptul că funcţiile sistemului (1) sunt ortogonale două cîte două iar
condiţia (3) implică faptul că nici una din funcţiile sistemului nu este identic nulă.
Sistemul trigonometric fundamental din lecţia precedentă este un exemplu de sistem
ortogonal pe orice segment de lungime 2π iar sistemul trigonometric general
este ortogonal pe orice segment de lungime 2l .
Sistemul (1) se numeşte normat dacă
Orice sistem ortogonal se poate norma (a se vedea exerciţiul 1) iar un sistem ortogonal şi
normat se numeşte ortonormat.
( ) ( ) ( ) ( ) [ ] (1) ,: , ... , , ... , , , 210 Rbaxxxx nn →ϕϕϕϕϕ
( ) ( ) (2) , , , 0 *Nnmnmdxxx m
b
an ∈≠=⋅∫ ϕϕ
( ) (3) .N , 0 *2 ∈≠∫ ndxxb
anϕ
(4) ... ,sin ,cos , ... ,sin ,cos ,1lnx
lnx
lx
lx ππππ
( ) ...,2,1,0 , 12 ==∫ ndxxb
anϕ
113
Vom introduce norma unei funcţii reale f:[a,b]→R , notată f , prin
Dacă sistemul (1) este normat , avem
Serii Fourier după un sistem ortogonal datVom reface în esenţă raţionamentul cu privire la seria Fourier corespunzătoare unei funcţii
de perioadă 2π. Fie f:[a,b]→R care poate fi reprezentată ca suma unei serii de funcţii
aparţinând sistemului ortogonal (1), adică ∀ x∈[a,b],
Unde c0,c1, …,cn , … sunt constante pe care ne propunem să le determinăm .
Pentru asta vom presupune că seria
obţinută prin înmulţirea egalităţii (5) cu ϕn(x) se poate integra termen cu
termen pe segmentul [a,b]. În virtutea egalităţii (2), această integrare implică
de unde
Coeficienţii calculaţi după formulele (6) se numesc coeficienţi Fourier ai funcţiei f(x) în
raport cu sistemul (1) iar seria corespunzătoare seria Fourier în raport cu acest sistem .
( ) .:21
2
= ∫
b
a
dxxff
. ... ,2,1,0 , 1 == nf
( ) ( ) ( ) ( ) (5) ... ... 1100 ++++= xcxcxcxf nnϕϕϕ
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,1,2,n , ... ... 112
111100 =++++++= ++−− xxcxcxxcxxcxxcxxf nnnnnnnnnnn ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ
( ) ( )(6) ,...2,1,0 , 2 ==
∫n
dxxxfc
n
b
an
nϕ
ϕ
( ) ( ) ( ) ,...2,1,0 , 2 == ∫∫ ndxxcdxxxfb
ann
b
an ϕϕ
114
Dacă sistemul ortogonal (1) este în plus normat coeficienţii cn daţi de(6)devin
Reamintim că atâta timp cât n-am stabilit dacă seria Fourier converge,
într-un anumit fel, către f(x), vom scrie
Trebuie totuşi să remarcăm că chiar dacă seria Fourier este divergentă (ceea ce se întâmplă
efectiv uneori !), ea se bucură de o serie de proprietăţi remarcabile, despre care vom vorbi
în cele ce urmează.
Abaterea pătratică : minimul ei Fie f:[a,b]→R o funcţie integrabilă împreună cu pătratul ei.
Să considerăm “polinomul” în raport cu sistemul ortogonal (1):
unde γ0, γ1, … ,γn sunt constante deocamdată nedeterminate.
Să introducem mărimea (numărul) reală:
pe care o vom numi abaterea pătratică a polinomului δn de la funcţia f(x).
Ne punem problema ca pentru un n dat să determinăm coeficienţii γ0, γ1, … ,γn
astfel încât abaterea pătratică δn să fie minimă.
Din (8) şi (7) avem succesiv:
iar în conformitate cu (6) ,
( ) ( ) .dxxxfc n
b
an ϕ∫=
( ) ( ) ( ) ( ) . ... ... 1100 ++++≈ xcxcxcxf nnϕϕϕ
( ) ( ) ( ) ( ) (7) ... : 1100 xxxx nnn ϕγϕγϕγσ +++=
( ) ( )[ ] (8) : 2∫ −=b
ann dxxxf σδ
( ) ( ) ( ) ( ) ,2 22∫ ∫ ∫+−=b
a
b
a
b
annn dxxdxxxfdxxf σσδ ( ) ( ) ( ) ( ) ,
0∫ ∑ ∫
=
=b
a
n
k
b
akkn dxxxfdxxxf ϕγσ
( ) ,2
∫ =b
akkk cdxxf ϕϕ
115
unde ck sunt coeficienţii Fourier ai funcţiei f(x) şi de aceea
Mai departe ,
Ultima sumă este extinsă la toţi indicii p şi q diferiţi între ei care nu depăşesc pe n . În
virtutea ortogonalităţii sistemului (1) este egală cu zero . Aşadar ,
Înlocuind (9) şi (10) în expresia lui δn obţinem
Mărimea δn va fi , evident , minimă atunci când
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =
+=
= ∫ ∑ ∑∫ ∑∫
= ≠=
b
a
n
k qpqpqpkk
b
a
n
kkk
b
an dxxxxdxxdxx
0
222
0
2 2 ϕϕϕγϕγϕγσ
( ) ( ) ( ) .20
22 ∫∑∑ ∫≠=
+=b
aqp
qpqp
n
k
b
akk dxxxdxx ϕϕγγϕγ
( ) )10( .0
222∫ ∑=
=b
a
n
kkkn dxx ϕγσ
( ) =+−= ∫ ∑ ∑= =
b
a
n
k
n
kkkkkkn cdxxf
0 0
2222 2 ϕγϕγδ
( )∫ ∑ ∑= =
−−+=b
a
n
k
n
kkkkkk ccdxxf
0 0
22222 .)( ϕϕγ
( )∑=
=−n
knkkc
0
22 ,0ϕγ
( ) ( ) ( )9 .0
2
∫ ∑=
=b
a
n
kkkkn cdxxxf ϕγσ
116
ceea ce este echivalent cu condiţiile γk=ck , k=0,1,2, … ,n .
Aşadar, abaterea pătratică va fi minimă, atunci când coeficienţii polinomului σn(x) sunt
coeficienţii Fourier. În acest caz, notând abaterea minimă cu ∆n avem
Inegalitatea lui Bessel şi consecinţele ei
Deoarece ∆n ≥0, din (11) rezultă că pentru orice n , are loc
Suma din stânga, fiind sumă de termeni pozitivi, nu poate decît să crească când n creşte .
De aceea , fiind mărginită de o mărime constantă (integrala finită din dreapta) va avea o
limită pentru n→∞. Aceasta înseamnă că seria
converge, şi
Inegalitatea (13) se numeşte a lui Bessel.
Dacă sistemul (1) este ortonormat ea devine
şi deci seria pătratelor coeficienţilor Fourier este convergentă.
Din convergenţa seriei (12) rezultă că
( ) ( ) ( ) (11) .0
222
0∫ ∫ ∑∑
==
−=
−=∆
b
a
b
a
n
kkk
n
kkkn cdxxfdxxcxf ϕϕ
( )∑ ∫=
+∞<≤n
k
b
akk dxxfc
0
22 .2 ϕ
(12) 0
22∑∞
=kkkc ϕ
( )∫∑ ≤∞
=
b
akkk dxxfc (13) .2
0
22 ϕ
( )∫ ∑∞
=
≥b
a kkcdxxf
0
22 ,
0lim =∞→ nnn
c ϕ
117
şi deoarece
acesta implică pentru un sistem ortonormat,
Deci în cazul acestor sisteme coeficienţii Fourier tind către zero când n→∞.
Această proprietate a coeficienţilor Fourier în raport cu un sistem ortonormat este deosebit
de importantă şi utilă în aplicaţii.
Exerciţii rezolvate1) Să se demonstreze inegalitatea Cauchy- Buniakovski:
pentru orice două funcţii integrabile împreună cu pătratele lor pe [a,b].
Soluţie.Din inegalitatea elementară
rezultă integrabilitatea funcţiei |ϕψ|. Să considerăm acum pentru un λ real şi arbitrar
cantitatea nenegativă
şi să punem
* , 1 Nnn ∈∀=ϕ
.0lim =∞→ nn
c
( ) ( ) ( ) ( ) ,22
2
≤
∫∫∫b
a
b
a
b
a
dxxdxxdxxx ψϕψϕ
( ),21 22 ψϕϕψ +≤
( )∫ ∫ ∫ ∫ ≥++=+b
a
b
a
b
a
b
a
dxdxdxdx ,02 2222 ψλϕψλϕλψϕ
∫∫ ∫ ===b
a
b
a
b
a
dxCdxBdxA . : , : , : 22 ψϕψϕ
118
Cu alte cuvinte trinomul în λ, Cλ2+2Bλ+A este nenegativ, C fiind pozitiv implică faptul
că discriminantul satisface B2-AC≤0, adică inegalitatea dorită.
TEMA. Exerciţii propuse1) Să se arate că orice sistem ortogonal se poate norma.
2)Să se studieze sistemele:
şi , ... ,cos , ... ,2cos ,cos ,1 ) nxxxa ... ,sin , ... ,2sin ,sin ) nxxxb
119
3)Să se arate că sistemul c
este ortogonal pe [0,π ⁄ 2].
4)Să se arate că sistemele
sunt ortogonale pe segmentul [0, l] .
( ) ... ,12sin , ... sin5x, ,3sin ,sin c) xnxx +
şi , ... ,cos , ... ,2cos ,cos ,1 )lxn
lx
lxd πππ
... ,sin, ... ,2sin ,sin )lxn
lx
lxe πππ
120
5)Să se arate că sistemul
este ortogonal pe [0, l].
( ) ... ,2
12sin, ... ,2
5sin,2
3sin ,2
sin )l
xnlx
lx
lxf ππππ +
121
6)Să se normeze toate sistemele a) până la f).
132
BIBLIOGRAFIE
1.BONCUŢ M., BUCUR A., Capitole de matematici speciale, Editura Alma Mater, Sibiu,2001
2.CÂRSTICI B., Matematici speciale, EDP, Bucureşti,1967
3.NEAMŢU N., Curs de matematici speciale, IPT,1978
4.PETRESCU S., Analiză matematică şi matematici speciale, EDP, Bucureşti,1969
5.ROŞCULEŢ M., Serii trigonometrice şi aplicaţii, Editura Academiei Române,Bucureşti,1991
6.RUDNER V., Matematici speciale, Culegere de probleme, EDP,Bucureşti,1970
7.ŞABAC I.G., Matematici speciale,vol.1,2, EDP, Bucureşti,1964,1965
