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Séminaire CEA-Saclay 15/01/04
Un modèle bifluide pour les écoulements diphasiques
à interface libre
G. Chanteperdrix J.P. Vila P. Villedieu
Séminaire CEA-Saclay 15/01/04
2CONTEXTE DE L ’ETUDE
LIQUIDE
GAZ
Comportement des fluides dans les réservoirs de véhicules spatiaux
Mouvements provoqués par
les accélérations de la fusée
LIQUIDE
GAZRemontée du liquide
le long des parois par capillarité
•Phases accélérées : phénomènes inertiels dominants.•Phases balistiques : phénomènes capillaires et thermiques dominants.
Phase accéléréePhase balistique
Chauffage parle rayonnement
solaire
Séminaire CEA-Saclay 15/01/04
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Plan de l’exposé
• 1. MODELISATION• 2. PROPRIETES DU MODELE• 3. DISCRETISATION• 4. EXEMPLES D ’APPLICATION• 5. PERSPECTIVES ET TRAVAUX EN COURS
Séminaire CEA-Saclay 15/01/04
41. MODELISATION
Hypothèses de modélisation• Echelle de longueur interface = échelle macroscopique
=> écoulement à phases séparées => utilisation d’un seul champ de vitesse.(notion de «glissement entre phases » non pertinente pour
ce type d ’application)
• Modèle à deux fluides : présence supposée des deux fluides en tout point de l’espace => zone de mélange numérique => interface « diffuse » non repérée explicitement.
• Ecoulement quasi incompressible => faibles variations de température => couplage faible entre effets dynamiques et effets thermiques
=> possibilité d ’utiliser une loi de pression de la forme p() pour chaque fluide.
Séminaire CEA-Saclay 15/01/04
51. MODELISATION
Equations de la dynamique
cid FFgIpVVt
V
Vt
Vt
D
div
0)~(div~
0)~(div~
v
22
11
gravité inertie capillaire
Conservation masse fluide 1
Conservation masse fluide 2
Bilan quantitéde mouvement
viscosité
2121 222 111 1 ~~~
~
Fractions volumiques
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61. MODELISATION
Loi de pression du « mélange »
2 contraintes doivent être vérifiées :
•Consistance : loi de pression du mélange = loi de pression du fluide i si la fraction massique du fluide i tend vers 1.•Stabilité : il doit exister une entropie au sens de Lax pour le système du premier ordre associé au modèle (D).
Modèle retenu : fermeture dite isobare [voir par exemple Abgrall-Saurel (JCP, 2000) ou Coquel et al (CRAS, 2002)]
)1(
~
~ :
)1(
~ 1
~ )~,~(
22
11
22
1121
***
**
**
α
ρp
α
ρpde solution αavec
α
ρp)α(
α
ρpαp
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71. MODELISATIONForces capillaires
Modèle à interface diffuse => nécessité d’une formulation volumique des forces de tension de surface <=> procédé de régularisation.
•Formulation exacte: IIII σ n σ Fc
Courbure Force tangentielle => effet Marangoni
•Formulation volumique : méthode CSF de Brackbill (JCP, 1992):
Or on montre facilement que :
** α
ααdiv -
*
Fc
(effet Marangoni non pris en compte)
*
*
*
α
αα Iαdiv α ααdiv - **
**
-
Forme conservative
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81. MODELISATIONForces capillaires
Soit α
αα - Iασ
interfacel' ànt plan tange lesur projection deOpérateur
2
*
***
c « Tenseur capillaire »
Force tangentielle à l’interface
Force capillaire agissant sur un volume de contrôle V : dsndvFV CV C
.
Sur une paroi, on pose : ** )cos( . nnC
Angle de contact Paroi / Interface
On pose donc :
.α
αασ - Iα
ααα - Iαdiv σ
α
αασ - Iασdiv
*
***
*
*
***
***
Fc
Force normale à I Force tangente à I
Utilisation possible d’un modèle d’angle dynamique
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91. MODELISATIONForces de viscosité
Ecoulement quasi incompressible <=> 0)(div V
On peut donc poser : tVV v
Il est nécessaire de définir une « viscosité dynamique de mélange ». Un choix consistant consiste à prendre :
2*1* )1(
Un autre choix possible est :
22 11~ ~
A notre connaissance, il n ’existe pas d ’argument clair en faveur d’un choix ou d’un autre.
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101. MODELISATION
Thermique(modèle de type Boussinesq)
V:)'(div )' div( '
vp
p TVTct
Tc
cd FTTggIpVVt
V )( div 00v
Ecoulement à faible vitesse => Tc )(2/1 p02
0 Vp
Equation de bilan d’enthalpie pour une particule fluide
Qté de mouvement
Dt
Dh c Wf
Terme de couplage
Enthalpie
On pose : T ’ = T - T0
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111. MODELISATION
Thermique
Il est nécessaire de se donner un modèle pour la chaleur spécifique du « mélange » diphasique.
Nous avons retenu le modèle suivant :
2*1* )1( ppp ccc
Remarque : les phénomènes de changement de phase (cavitation, évaporation) ne sont pas pris en compte dans ce modèle. (voir par exemple les travaux de P. Helluy et al).
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121. MODELISATIONLoi d ’état des fluides
Ecoulement quasi incompressible => inutile d’utiliser la loi d ’état exacte pour chacun des deux fluides pour obtenir des champs de vitesse et de pression corrects.
Nous avons pris des lois affines de la forme :
)()(
)()(
022220222
011210111
cpp
cpp
Avec Ci << vitesse réelle du son dans le fluide i
Critère de choix pour ci:
Ta = L/ci << T
11200
pc ii
i
Estimé par des formules approchées
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131. MODELISATION« Modèle augmenté »
(Technique de relaxation)
Pour des raisons numériques (voir partie 3), il es préférable de remplacer le modèle (D) par le modèle (D) :
)α
ρ(α)p()
α
ρ(α ppavec
FFgIpVVt
V
Vt
Vt
ppV
t
D
cid
1
~1
~),~,~(
div
0)~(div~
0)~(div~
)(div
12
1121
v
22
11
21
(D) peut être vu comme une approximation du modèle (D).(Théorie des systèmes hyperboliques relaxés)
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Plan de l’exposé
• 1. MODELISATION• 2. PROPRIETES DU MODELE• 3. DISCRETISATION• 4. EXEMPLES D ’APPLICATION• 5. PERSPECTIVES ET TRAVAUX EN COURS
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152. PROPRIETESCas du modèle augmenté
Proposition 1 : Le modèle (D) est hyperbolique. Les valeurs propres associées ont pour expression
3 2 1 , , cuucu
avec : 222
211
2 )1( ccc Proposition 2 : Le couple (S*, F*) défini par
est un couple « entropie - flux » au sens de Lax pour le modèle (D).
Energie libre du fluide i
i
drr
rpfavec
VpVVSVF
α
ρf
α
ρfVVS
iii
0 2
212121*
222
111
221*
)(
)(
)~,~,( ),~,~,( ),~,~,(
)1(
~ ~
~~
2
1 ),~,~,(
Remarque: Inégalité de Lax <=> )(div Vpdt
df <=> second principe
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162. PROPRIETESCas du modèle à l ’équilibre
Proposition 3 : Le modèle (D) est hyperbolique. Les valeurs propres associées ont pour expression
*3 2 *1 , , cuucu
avec : 222
211
22
2121
2* )1(
cc
ccc
Proposition 4 : Le couple (S*, F*) défini par
est un couple « entropie - flux » au sens de Lax pour le modèle (D).
Energie libre du fluide i
i
drr
rpfavec
VpVVSVF
α
ρf
α
ρfVVS
iii
**
0 2
21*21*21*
222
111
221*
)(
)(
)~,~( ),~,~( ),~,~(
)1(
~~
~~
2
1 ),~,~(
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172. PROPRIETESCommentaires
•La condition dite subcaractéristique est satisfaite : c > c*
•L’entropie du modèle (D) vérifie : S*(W) = S(W*).
•On a la relation :
1
~
~ ),~,~,( 2
21
121
ppV
S
* minimise S à fixés => justification a-posteriori du modèle (D). V ,~,~21
•Possibilité d’étendre ces résultats au cas ou la tension de surface est prise en compte dans le bilan d ’énergie libre (collaboration avec D. Jamet, cf thèse de G. Chanteperdrix) => nouvelle expression de S et nouveau modèle d ’équilibre, prenant en compte les effets capillaires dans la définition de * (défini dans ce cas par une edp elliptique non linéaire).
•Extension possible à N fluides, y compris effets capillaires (cf thèse de G. Chanteperdrix).
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182. PROPRIETESProblème de Riemann (1)
Proposition 5 : Le problème de Riemann associé au système
)α
ρ(α)p()
α
ρ(α ppavec
x
p
x
u
t
u
x
u
t
x
u
t
x
u
t
H
1
~1
~),~,~(
0
0~~
0~~
0
12
1121
2
22
11
possède une solution unique pour toute donnée initiale physiquement admissible.
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192. PROPRIETESProblème de Riemann (2)
V a l e u r s p r o p r e s u - c u u + c
O n d e s a s s o c i é e sD é t e n t e o u
C h o cD i s c o n t i n u i t é d e c o n t a c t D é t e n t e o u
C h o c
V e c t e u r s p r o p r e sa s s o c i é s
c
R2
11
0
0
)1(
0
22
21
2c
cR a
0
0
22
12
21
12
2
c
pp
c
pp
R b
c
R2
13
0
I n v a r i a n t s d eR i e m a n n
2
11
1
1
ρ
ρω
luω
αω
c
b
a
a v e c
)ln(2
121 cl
pω
uω
b
a
2
2
2
13
3
3
ρ
ρω
luω
αω
c
b
a
a v e c
)ln(2
121 cl
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Plan de l’exposé
• 1. MODELISATION• 2. PROPRIETES DU MODELE• 3. DISCRETISATION• 4. EXEMPLES D ’APPLICATION• 5. PERSPECTIVES ET TRAVAUX EN COURS
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213. DISCRETISATION principe général
• Méthode basée sur le principe des « schémas de relaxation » : la discrétisation est appliquée formellement au modèle augmenté avec .
• Discrétisation spatiale: méthode de volumes finis d’ordre 2 pour la discrétisation des termes de transport, avec un schéma de Godunov pour la partie hyperbolique du système. Les termes capillaires sont traités comme des termes source.
• Discrétisation temporelle: schéma explicite de type RK2 combiné avec une méthode de pas fractionnaires pour le traitement de la relaxation.
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223. DISCRETISATION Forme générale du schéma
eqKn
K
nK
nKe
Ke
nKe
nKK
relaxationWW
St
eGFK
tWW
: )(
2
)(2
*
,,*
2/1
puis
eqKn
K
nK
nKe
Ke
nKe
nKK
relaxationWW
SteGFK
tWW
: )(
)(
**
,,**
1
2/12/12/1
Flux des contraintes visqueuses
Flux associé à la partie hyperbolique
du système(schéma de Godunov + méthode MUSCL)
Termes sourcey compris effets
capillaires Opérateur de « relaxation »<=> projection
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233. DISCRETISATION Schéma pour les termes capillaires
On doit choisir une formulation discrète pour:
dsne Ke
e
CKe ,
*
, . α
αασ - Iασ1
***
On impose à la discrétisation choisie de respecter la contrainte : 0., eC
Ke
Approximation de
au centre de la face e
Un choix naturel est donc :
α
αn.α -nασ
e
eKe,eKe,ee,
CKe
= - cos(siparoi
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243. DISCRETISATION Schéma pour les termes de viscosité
On impose que le schéma soit exact pour certaines solutions stationnaires particulières, dans le cas d’un maillage cartésien, aligné avec la direction de l’interface entre les deux fluides :
•1) Ecoulement de Couette plan (diphasique)•2) Ecoulement de Couette - Marangoni plan (diphasique)
Remarque : on utilise un schéma analogue pour la discrétisation du flux de chaleur.
KeeeV
Ke nV ,, . Viscosité moyenne
sur la face e
Condition 1) + discrétisation naturelle pour la dérivée normale de la vitesse => choix de la moyenne harmonique des viscosités au centre des cellules adjaçantes.
Condition 2) => ajout d’un terme correctif supplémentaire (voir thèse de G. chanteperdrix).KeK
KeKe
2
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Plan de l’exposé
• 1. MODELISATION• 2. PROPRIETES DU MODELE• 3. DISCRETISATION• 4. EXEMPLES D ’APPLICATION• 5. PERSPECTIVES ET TRAVAUX EN COURS
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264. EXEMPLES D’APPLICATIONS
Test 1: Ballottement linéaire(résultats expérimentaux du ZARM)
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27
Ballottement linéaire
Maillage 40 X 80 h/L = 1/40
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28Ballottement linéaire
(résultats expérimentaux du ZARM)
Séminaire CEA-Saclay 15/01/04
29Ballottement linéaire
(résultats expérimentaux du ZARM)
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304. EXEMPLES D’APPLICATIONS
Test 2 :Ballottement non linéaire (résultats expérimentaux du ZARM)
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31Ballottement non linéaire
(résultats expérimentaux du ZARM)
Maillage 75 X 150h = L/75
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32
Ballottement non linéaire (résultats expérimentaux du ZARM)
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33Ballottement non linéaire
(résultats expérimentaux du ZARM)
C1=3.4 m/sC2 = 18 m/s
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34Ballottement non linéaire
(résultats expérimentaux du ZARM)
C1=3.4 m/sC2 = 18 m/s
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354. EXEMPLES D’APPLICATIONS
Test 4 : Réorientation de l’interface après une réduction brutale de la gravité
(résultats expérimentaux du ZARM)
Modèle d ’angle de contact dynamique
•réservoir circulaire•effets visqueux pris en compte•pas d ’effet thermique
LIQUIDE
GAZ
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36Réorientation de l’interface après une réduction brutale de la gravité
(Sous cas 1: grand angle de contact)
Maillage 20 X 60 non uniforme
Hysteresisnon reproduite
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37Réorientation de l’interface après une réduction brutale de la gravité
(Sous cas 1: grand angle de contact)
Modèle d’angle dynamique avec Hysteresis
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38Réorientation de l’interface après une réduction brutale de la gravité
(Sous cas 2: faible angle de contact)
Maillage 30 X 62 non uniforme
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39Réorientation de l’interface après une réduction brutale de la gravité
(Sous cas 2: faible angle de contact)
Maillage 60 X 124 non uniforme
Séminaire CEA-Saclay 15/01/04
40
Test 5 : Oscillations linéaires d’une bulle au repos
4. EXEMPLES D’APPLICATIONS
Champ de pression au repos
Relation de Laplace vérifiée
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41Oscillations linéaires d’une bulle au repos
4. EXEMPLES D’APPLICATIONS
Evolution du rayon de la bulle en fonction du temps(forme initiale de la bulle = ellipsoïde)
Excellent accord sur la valeur de la
fréquence fondamentale
Maillage 40 X 80 uniforme
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42
Test 6 : Remontée d ’une bulle d’air dans unecolonne d’eau initialement au repos.
•Calcul 2D axi-symétrique, avec prise en compte des forces capillaires. Maillage 60 X 180.
•Très bon accord avec les données expérimentales pour la vitesse de remontée et la forme de la bulle.
4. EXEMPLES D’APPLICATIONS
Séminaire CEA-Saclay 15/01/04
43
Test 7: Formation d’un Geyser(Résultat expérimentaux du LEGI)
4. EXEMPLES D’APPLICATIONS
Séminaire CEA-Saclay 15/01/04
44
Formation d’un Geyser(Résultats expérimentaux du LEGI)
4. EXEMPLES D’APPLICATIONS
Séminaire CEA-Saclay 15/01/04
45
Formation d’un Geyser(Résultats expérimentaux du LEGI)
4. EXEMPLES D’APPLICATIONS
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Plan de l’exposé
• 1. MODELISATION• 2. PROPRIETES DU MODELE• 3. DISCRETISATION• 4. EXEMPLES D ’APPLICATION• 5. PERSPECTIVES ET TRAVAUX EN COURS
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47PERPECTIVES, TRAVAUX EN COURS
Travaux en cours:
• développement d ’un code 3D sur maillage non structuré. • couplage fluide / solide. • Poursuite de la validation du couplage avec les effets thermiques (voir thèse de G. Chanteperdrix pour les premières applications : convection naturelle, écoulement de Couette - Marangoni)Perspectives :• Application du modèle à la simulation directe d’interaction goutte / paroi (possibilité de comparer à des données expérimentales).
• Changement de phase (modèle de cavitation, d’évaporation) => application à la simulation directe d ’interaction goutte / paroi chaude.