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Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
87
Chapitre 2 : Etude théorique des transferts thermiques dans une
suspension chargée en MCP
2.1. EQUATIONS DE BASE 89
2.2. MODÈLES 90
2.2.1. CHALEUR LATENTE PRISE EN COMPTE PAR UN TERME SOURCE S 912.2.1.1. Modèle de Charunyakorn et al. (1990) 912.2.1.2. Modèle de Royon et al. (2000) 932.2.2. CAPACITÉ THERMIQUE ÉQUIVALENTE EN RÉGIME STATIONNAIRE 942.3. MODÉLISATION 97
2.3.1. POSITION DU PROBLÈME 972.3.2. DÉTERMINATION DU TERME SOURCE 992.3.2.1. Transfert de chaleur au niveau des particules 992.3.2.1.1 Transfert par conduction au sein de la partie solide de la particule (rc < r < Rp) 1002.3.2.1.2 Echange convectif au niveau de la paroi de la particule 1012.3.2.1.3 Changement de phase 1022.3.2.1.4 Conditions aux limites 1022.3.2.2. Résolution 1032.3.2.3. Application : calcul du terme source S 1052.3.3. TRAITEMENT NUMÉRIQUE 1062.4. LIMITES DU MODÈLE 110
2.4.1. EFFETS DES PARTICULES 1102.4.2. PROPRIÉTÉS PHYSIQUES 1112.4.3. CONGÉLATION 1112.4.4. GÉNÉRALISATION DU MODÈLE 1122.5. RÉSULTATS DU MODÈLE 112
2.4.2. PROPRIÉTÉS DU FLUIDE 1122.4.3. MAILLAGE 1132.4.4. CAS DE RÉFÉRENCE 1142.5.4.1. Profil de vitesses 1142.5.4.2. Profil de concentration 1142.5.4.3. Profil de températures 1152.4.5. INFLUENCE DE LA VITESSE 1172.4.6. INFLUENCE DE LA TAILLE DES PARTICULES 1172.4.7. INFLUENCE DE LA CONCENTRATION 1202.4.8. INFLUENCE DU DEGRÉ DE SURFUSION 1222.4.9. INFLUENCE DE LA TEMPÉRATURE DE PAROI 123
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
88
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
89
Dans ce chapitre, nous analysons de manière locale les transferts de chaleur des fluides
frigoporteurs diphasiques en écoulement laminaire lors d’un refroidissement afin de mettre au
point un modèle. Nous présentons, dans un premier temps, trois modèles de la littérature qui ont
une approche différente du problème avant de présenter notre propre approche. Des hypothèses
restrictives ont du être posées pour résoudre le système d’équations. Les limites de cette
modélisation sont donc exposées. Pour finir, les résultats obtenus en faisant varier certains
paramètres importants, comme la taille des particules, leur concentration, la température de
paroi, le degré de surfusion, … sont présentés.
2.1. Equations de base
Les équations locales nécessaires à cette étude sont :
− la conservation de la masse pour calculer la vitesse :
0=udiv&
(2-1)
− la quantité de mouvement, qui permet d’associer le gradient de pression à la vitesse.
Cette équation découle des équations de Navier-Stokes :
( ) uPuut
u &
&
&
&
&
&
∆+∇−=
∇+ µ
∂∂ρ *. (2-2)
avec P* la somme de la pression statique et de la gravité : P* = P + wz .
− la conservation de l’énergie pour calculer la température :
( ) STkdivTut
TCp fff
f +∇=
∇+
&&
&
.∂
∂ρ (2-3)
le terme de gauche représente l’inertie thermique du fluide et le transport de cette
énergie (dérivée convective), et les termes de droite, le flux de chaleur diffusée (loi de
Fourier) et S, une source ou un puits de chaleur au sein du fluide.
− l’équation de transport d’un constituant :
0. =∇∇−∇+ vpvv cDcut
c &&&
&
∂∂
(2-4)
avec cv la concentration volumique en particules et Dp, la diffusivité de la particule
dans le fluide porteur.
Cependant la particularité de cette étude provient de la présence de particules en suspension.
Lorsqu’elles se congèlent, elles absorbent de l’énergie sous forme de chaleur latente. L’équation
de conservation de l’énergie est modifiée. Cette énergie est prise en compte :
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
90
− soit par l’ajout d’un terme source S qui est le produit du taux de chaleur absorbée par
particule par le nombre de particules par unité de volume de frigoporteur ;
− soit en utilisant une capacité thermique équivalente prenant en compte la chaleur
latente absorbée par les particules.
2.2. Modèles
La littérature proposent de nombreux modèles. Trois d’entre eux sont présentés ci-dessous. Ils
sont intéressants par leur approche différente du problème. Charunyakorn et al. (1990) et Royon
et al. (2000) introduisent un terme source dans l’équation de l’énergie. Les premiers abordent le
problème de manière locale en étudiant les transferts autour et au sein de la particule alors que
les seconds préfèrent une approche plus phénoménologique devant la difficulté à évaluer
localement tous les paramètres des échanges entre la particule et le fluide porteur. Alisetti et
Roy (2000) n’utilisent pas de terme source mais ils déterminent une capacité thermique
équivalente et considèrent que la congélation des particules ne se fait pas à la température de
fusion mais s’étale sur une plage de température.
Le problème étant complexe, très généralement des hypothèses simplificatrices sont posées afin
de résoudre les équations de transfert de chaleur. Elles ont également été faites par les auteurs
dont les travaux sont étudiés ici :
− l’écoulement est permanent, laminaire et incompressible ; les propriétés du
mélange sont constantes (à quelques exceptions près) ;
− l’hydrodynamique de l’écoulement est supposée complètement développée ;
− les particules rentrent dans la section d’essais à l’état liquide ;
− la dissipation visqueuse est négligée dans l’équation de l’énergie ;
− le fluide est newtonien ;
− les particules sont des sphères rigides et inertes avec une densité proche de celle du
fluide porteur ;
− l’épaisseur de paroi d’encapsulage est suffisamment fine pour considérer que la
totalité de la particule participe au changement de phase.
Ces hypothèses ne sont toujours pas justifiées mais elles sont indispensables à la résolution
relativement simple du problème.
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
91
2.2.1. Chaleur latente prise en compte par un terme source S
2.2.1.1. Modèle de Charunyakorn et al. (1990)
L’équation de l’énergie tient compte d’un terme source S provenant de la congélation des
particules. En régime stationnaire, elle s’écrit :
( ) STdivkTuCpfsafss+∇=∇
&&
&
.ρ (2-5)
NS pϕ=
34
3
p
v
R
cN
π=
avec Tf, la température du milieu fluide, ϕp, le taux de chaleur généré par particule, N, le nombre
de particules par unité de volume, Rp le rayon de la particule, cv la concentration volumique en
particules et ksa la conductivité apparente du mélange qui tient compte des effets micro-
convectifs (elle est calculée par l’équation (1-27), (1-28) ou (1-29), suivant le nombre de
Péclet).
Dans leur modèle Charunyakorn et al. ont étudié des microcapsules de 5 à 200 µm de diamètre.
Ils ont évalué le taux de chaleur généré par particule par la solution asymptotique de la
congélation d’une sphère [Tao – (1967)] :
( )p
c
p
c
fcpp
Rr
Bi
rTTk
−−
−=1
11
4πϕ (2-6)
avec rc la position de l’interface solide/liquide au sein de la particule, Tc la température de
congélation et Tf la température du fluide porteur. La conductivité de la particule, kp est prise
constante quel que soit l’état des particules.
Le nombre de Biot, Bip compare les échanges convectifs entre la paroi de la particule et la phase
porteuse (hpf) avec les échanges par conduction au sein de la particule (p
p
R
k) :
p
ppf
p k
RhBi = (2-7)
Le nombre de Nusselt, pour une sphère submergée, sans mouvement relatif par rapport à la
phase porteuse, est égal à 2 (Bird et al. – 1960). Ainsi :
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
92
p
f
pf
ppf
k
kBi
k
RhNu =⇒== 2
2
Cependant, les particules soumises aux contraintes de cisaillement en paroi sont en rotation sur
elles-mêmes et engendrent des effets micro-convectifs qui améliorent les échanges convectifs.
Ces auteurs prennent en compte ces effets en ajoutant au nombre de Biot un terme
supplémentaire dépendant de la concentration volumique :
( )
+−
−=
vv
v
p
f
p
cc
c
k
kBi
3
1
32
12(2-8)
L’évolution du front de congélation d’une particule unique est déterminée par l’équation de
conservation de l’énergie :
( ) ∫=−t
ppcpdtHrR
0
33
34
ϕρπ (2-9)
avec H la chaleur latente du MCP contenu dans la particule. Le membre de gauche de cette
équation représente l’énergie dégagée par le changement de phase au sein de la particule et le
membre de droite la quantité totale de la chaleur transmise par la particule au fluide
environnant. En remplaçant ϕp par l’expression donnée dans l’équation (2-6), l’équation (2-9)
peut être réarrangée pour donner :
( )3
1
0
3
111
3
−−
−−= ∫t
p
c
p
c
fcp
p
pcdt
Rr
Bi
rTT
H
kRr ρ (2-10)
Puisque la convection naturelle est négligeable dans des sphères de petites tailles, le transfert de
chaleur est essentiellement conductif. Ainsi, dans le cas de petites sphères, la solution de cette
équation, obtenue initialement dans le cas de la congélation, reste valable dans le cas de la
fusion. Des travaux expérimentaux, pour vérifier ce modèle dans le cas de la fusion des
particules, ont été réalisés par Goel et al. (1994) et Roy et al.(1997). Ces auteurs montrent que
les résultats expérimentaux sont en accord qualitativement avec les prédictions théoriques mais
ils trouvent des différences significatives quantitativement. Quatre facteurs peuvent être à
l’origine de ces déviations :
− la température de la suspension est légèrement inférieure à la température de
fusion en entrée des sections d’essais ;
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
93
− le changement de phase se fait sur une plage de température et non à la
température de fusion ;
− les suspensions ne sont pas parfaitement homogènes ; elles ont des problèmes de
flottabilité des particules et des problèmes de migration radiale ;
− la paroi des particules est une résistance thermique aux transferts de chaleur.
Concernant les deux derniers facteurs, Goel et al. ont étudié des microcapsules de résine
renfermant 70 % de n-eicosane en suspension dans de l’eau. Pour éliminer les phénomènes de
flottabilité, ils ont rajouté de l’alcool dans l’eau. Ainsi ils ont mis en évidence que les effets de
différence de densités sont négligeables. Roy et al. ont étudié une émulsion de n-octodécane
(dp<10 µm) dans de l’eau s’écoulant dans un cylindre. En comparant leurs résultats
expérimentaux avec les prévisions du modèle théorique, ils ont mis en évidence que les effets de
paroi des microcapsules sont faibles (de l’ordre de 5-10 % ou moins). Les différences entre les
résultats expérimentaux et le modèle viennent donc très probablement de l’étalement en
température du changement de phase. Dans le modèle, l’équilibre thermique est supposé établi
alors que ce n’est pas le cas expérimentalement.
2.2.1.2. Modèle de Royon et al. (2000)
Royon et al. ont étudié le comportement thermique de particules millimétriques dispersées dans
une phase liquide. Le fluide est disposé dans un réacteur agité immergé dans un bain
thermostaté maintenu à température constante, Tb. L’originalité de leur modèle repose sur une
approche phénoménologique du changement de phase qui consiste à introduire le nombre de
Stefan, défini par l’expression :
( )H
TTCpSte
fcp −= (2-11)
Le nombre de Stefan est une fonction du temps puisque la température du fluide, Tf est
dépendante du temps. La taille des particules étant millimétrique, il n’est pas possible de
considérer leur isothermie pendant toute la durée du changement de phase. L’échelle de temps
pour le transfert de chaleur est introduite au moyen de la diffusivité thermique α et de la
dimension caractéristique d’une particule définie à partir du rapport volume surface, soit pour
une particule sphérique, Rp/3.
Royon et al. posent l’hypothèse que la quantité de chaleur perdue par une particule pendant un
intervalle de temps dt correspond à :
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
94
( ) dtR
Stefq
dq
pp
p
2
3
−= α
(2-12)
avec qp la quantité de chaleur latente d’une particule à l’instant t. En tenant compte de la
solution de référence du problème de Stefan ( SteAStef =)( ), avec A une constante, cette
expression devient :
( )dt
RH
tTTCpA
q
dq
p
fcp
p
p
2
3
)(
−−= α
(2-13)
Si chaque particule libère le même flux de chaleur pendant l’intervalle de temps dt, le flux total
de chaleur dq libéré par n particules, s’écrit :
pdqndq = (2-14)
Pour la phase liquide, le bilan thermique s’écrit :
( ) ( )bfp
p
fcpf
ff TThSqRH
tTTCpnA
dt
dTCpm −−
−=
2
3
)( α(2-15)
avec h le coefficient d’échange entre le fluide porteur et le bain thermostaté et mf la masse de
fluide porteur contenue dans le réacteur agité. Les équations (2 –13) et (2-15) forment un
système de deux équations non-linéaires de premier ordre avec pour inconnues qp(t) et Tf(t). Les
conditions initiales sont qp(0) = qi et Tf(0) = Tc, où qi est la quantité de chaleur latente d’une
particule. Ces équations étant non-linéaires, les auteurs les ont résolues numériquement en
utilisant la méthode des éléments finis.
Leurs résultats numériques et expérimentaux sont superposables, ce qui valide leur approche
théorique dans le cadre de ces suspensions de particules millimétriques. Pour un type de
suspension donné et des conditions de transfert données, leur modèle offre la possibilité
d’évaluer l’influence de la fraction massique en particules et de la température de paroi du
réacteur agité.
2.2.2. Capacité thermique équivalente en régime stationnaire
Le problème peut être abordé différemment. Au lieu d’ajouter un terme source à l’équation de
l’énergie pour prendre en compte le changement de phase, Alisetti et Roy (2000) utilisent une
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
95
capacité thermique équivalente. Cette approche du problème permet de considérer que le
changement de phase se fait sur un intervalle de température [T1 ; T2] et non à une température
de fusion donnée.
Ils ont étudié la fusion de microcapsules dans une conduite cylindrique à température de paroi
constante, Tw. Le fluide rentre dans la section chauffée à une température Ti égale ou inférieure à
la température de fusion.
L’équation de l’énergie s’écrit :
( ) )(. TkdivTuCp sass ∇=∇&&
&ρ (2-16)
La conductivité thermique ksa est fonction de la position radiale pour prendre en compte les
effets micro-convectifs. Suivant le nombre de Péclet, elle est calculée avec les équations (1- 27),
(1- 28) et (1-29). Dans une conduite cylindrique, pour un écoulement laminaire établi, la vitesse
suivant l’axe de l’écoulement s’écrit :
−=
2
0
12)(R
rUru (2-17)
avec U la vitesse moyenne. L’équation (2-16) s’écrit alors :
∂∂
∂∂=
∂∂
−
r
Trk
rrx
T
R
rUTCp sass
11)(2
2
0
ρ (2-18)
La capacité thermique équivalente doit être déterminée avec précaution car c’est l’originalité de
ce modèle. Dans un premier temps, la capacité thermique Cpp0 du MCP sous forme solide ou
liquide est supposée égale. Par conséquent, en l’absence de changement de phase, la capacité
thermique de la suspension, Cps0, est calculée en utilisant la concentration massique en MCP,
cm :
fmpms CpcCpcCp )1(00 −+= (2-19)
avec )1( vfvp
vp
m cc
cc
−+=
ρρρ
Pendant le changement de phase, la capacité thermique équivalente de la particule est fonction
de la température et est reliée à sa chaleur latente, H par l’équation suivante :
dTTCpHT
T p)(
2
1∫= (2-20)
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
96
La fonction Cpp(T) dépend du processus du changement de phase. Ne connaissant pas, a priori,
l’allure de cette fonction, Alisetti et Roy ont étudié quatre fonctions différentes, pour voir si leur
forme affecte les transferts thermiques.
Les fonctions carrées et sinusoïdales représentent une distribution symétrique de la capacité
thermique équivalente et les fonctions triangulaires orientées à gauche ou à droite, une
distribution asymétrique. Ces fonctions ont été choisies pour leur relative facilité à être intégrées
dans un modèle numérique. Elles sont représentées Figure 2-1.
Figure 2-1 : Variation de la capacité thermique équivalente de la particule en fonction de la température :quatre fonctions de distribution de la capacité thermique avec une surface équivalente et une largeur
constante
La capacité thermique de la suspension Cps lorsqu’il y a un changement de phase est calculée
par l’équation suivante :
fmpms CpcTCpcTCp )1()()( −+= (2-21)
En introduisant la fonction de la capacité thermique dans l’équation de l’énergie et en
adimenssionnant les variables, les équations obtenues dépendent de quatre paramètres :
− le nombre de Stefan ;
− l’intervalle de température où a lieu le changement de phase
−−
iw TT
TT 12 ;
− le degré de surfusion
−−
iw
i
TT
TT1 ;
Cpp0 Cpp0
T1 T2
Cpp
Fonction carré
Fonction sinusoïdale
Fonction triangulaire gaucheFonction triangulaire droite
Domaine de fusion
T
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
97
− le rapport des capacités thermiques
0s
pm
Cp
Cpc.
Les résultats du modèle montrent, dans un premier temps, que l’allure de la fonction de Cps(T) a
une faible influence sur le transfert thermique. Ainsi la nature exacte du processus de
changement de phase n’est pas importante pour la modélisation. Le nombre de Stefan, lorsqu’il
est inférieur à 10, est le paramètre le plus influent. Pour des valeurs supérieures, les transferts
thermiques dépendent principalement des effets micro-convectifs.
Le degré de surfusion est également un paramètre important : les transferts thermiques
augmentent lorsque le degré de surfusion diminue.
L’intervalle de températures où s’effectue le changement de phase a un impact moins important
que les deux premiers paramètres. Les transferts thermiques restent inchangés pour
3,00 12 <−−
<iw TT
TT.
Le dernier paramètre, le rapport des capacités thermiques, n’affecte pas les caractéristiques du
transfert thermique de manière significative.
Comme observé par Goel et al. l’augmentation des transferts thermiques n’est pas aussi
importante que celle prédite par le modèle de Charunyakorn et al. où le degré de surfusion et
l’intervalle de températures nécessaire au changement de phase étaient négligés.
2.3. Modélisation
Au sein du GRETh, un logiciel a été développé (TRIO) qui permet une modélisation fine des
phénomènes thermo-hydrauliques dans une géométrie 3D. Il résout les équations de Navier-
Stokes, l’équation de transport d’un constituant et l’équation de conservation de l’énergie. Ce
logiciel permet d’introduire facilement un terme source à l’équation de l’énergie mais ne permet
pas de faire varier les propriétés physiques de la suspension. Par conséquent, nous nous sommes
orientés vers un modèle où la chaleur latente est prise en compte par un terme source et nous
nous sommes inspirés des travaux de Charunyakorn et al. (1990). Cependant, pour améliorer
leur modèle, nous avons introduit le phénomène de surfusion et la possibilité d’un étalement en
température au cours du changement de phase.
2.3.1. Position du problème
Le modèle a été programmé et testé pendant la période où la première section d’essais devait
être usinée. Par conséquent, c’est cette géométrie qui a été étudiée (cf. chapitre 3). Elle est
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
98
représentée sur la Figure 2-2. Le fluide chaud circule dans un canal rectangulaire de 170 mm de
large et 1,5 m de long. L’épaisseur étudiée dans le modèle est de 5 mm. Les échanges de chaleur
se font avec les deux parois prises dans la largeur du canal qui sont à température constante. Les
parois prises dans l’épaisseur du canal sont adiabatiques.
Figure 2-2 : Schéma du contexte de l'étude
Pour simplifier le problème, la suspension est considérée comme un milieu homogène
équivalent et ses propriétés physiques, lorsque les particules ne changent pas de phase, sont
calculées avec les équations (1-24) pour la masse volumique, (1-25) pour la capacité thermique
et (1-26) pour la conductivité thermique d’une suspension au repos. Pour prendre en compte les
effets micro-convectifs, la conductivité apparente est calculée par l’équation (1-29). Pour des
concentrations en particules inférieures à 15 %, les différentes corrélations proposées dans la
littérature pour calculer la viscosité donnent le même ordre de grandeur. Celle utilisée est celle
de Vand (1945) (Tableau 1-2).
Les particules sont des sphères, de rayon Rp, homogènes lorsqu'elles sont monophasiques,
plongées dans un liquide de température Tf.
Le thermogramme théorique de cette suspension lorsqu’elle est soumise à un refroidissement est
représenté sur la Figure 2-3 et se divise en quatre phases. Initialement les températures des
particules et du fluide sont équivalentes et supérieures à Tc. Au contact des parois froides, la
suspension se refroidit jusqu'à atteindre (Tc-∆Tsurf) [Phase 1]. Les particules et le fluide sont
toujours à la même température (l'inertie que peut avoir un milieu sur l'autre en raison des
différences de diffusivité n'est pas prise en compte). Le terme ∆Tsurf représente le degré de
Coupe AA
z
x = 170 mm2b = 5 mm
Profils detempérature
Fluide frigoporteurA
A
Paroi froide
Paroi adiabatique
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
99
surfusion. Effectivement, le changement de phase ne débute pas à Tc mais à une température
inférieure en raison des difficultés à initialiser la nucléation des cristaux [Phase 2]. Par contre,
dès que les premiers cristaux apparaissent, la chaleur latente libérée entraîne une remontée en
température jusqu’à Tc. Si la puissance froide apportée par le fluide froid est supérieure à la
chaleur latente, la suspension continue à refroidir doucement et le changement de phase a lieu
sur un intervalle de températures [Phase 3]. Une fois la totalité des particules congelées, la
suspension est de nouveau considérée comme un milieu homogène qui se refroidit en stockant
du froid par chaleur sensible [Phase 4].
Les particules sont considérées comme suffisamment petites pour négliger la convection interne.
Figure 2-3 : Evolution théorique des températures du fluide porteur lors du refroidissement d'unfrigoporteur à changement de phase
2.3.2. Détermination du terme source
La détermination du terme source est inspirée des travaux de Charunyakorn et al. Quelques
améliorations sont apportées sur la mise en équations des transferts de chaleur au niveau des
particules, notamment sur la prise en compte de la surfusion et sur l’évaluation du coefficient
d’échange entre la particule et la paroi.
La congélation au sein d'une sphère est un problème indépendant de celui des transferts de
chaleur dans le fluide, mais les deux sont couplés par la température du fluide.
2.3.2.1. Transfert de chaleur au niveau des particules
Les mécanismes de transfert ont lieu entre le fluide porteur et les particules (convection forcée)
et au sein des particules (conduction).
temps
Ti
Tc
Tc-∆Tsurf
Phase 1
Phase 2
Phase 3
Phase 4
Ts
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
100
Les parois des plaques commencent à être réfrigérées en z = 0. Les hypothèses suivantes sont
posées :
• le fluide est incompressible et newtonien. l'écoulement est permanent et laminaire ;
• le fluide diphasique rentre dans l’échangeur à une température homogène, supérieure
à la température de fusion du MCP. Les particules sont entièrement liquides ;
• les particules sont des sphères rigides dont le volume est constant ;
• la densité des particules est uniforme même près des parois. En réalité, à proximité
des parois, dans la zone de cisaillement il y a moins de particules sur une épaisseur de
l'ordre du diamètre des particules. En fonction de l'écartement des plaques et du
diamètre de particules choisi, cette hypothèse est plus ou moins justifiée.
2.3.2.1.1 Transfert par conduction au sein de la partie solide de la particule (rc < r < Rp)
Pour éviter de surcharger l’écriture, on prendra T pour la température des particules et Tf pour la
température du fluide porteur. Le raisonnement se fait sur une tranche dr de la particule, comme
indiqué sur la Figure 2-4.
Figure 2-4 : Particule diphasique
L'équation de l'énergie, dans la partie déjà congelée de la particule, est :
( )t
TCpdrrdrrr ppes ∂
∂=+− 222 444 πρϕπϕπ
t
TCpdrrrdrrr ppees ∂
∂=−− 222 42444 πρϕπϕπϕπ avec 22 rdr <<
or r
ps r
Tk
∂∂−=ϕ
drrpe r
Tk
+
∂∂−=ϕ
drϕe
ϕs
Rp
r
MCP solide
MCP liquiderc
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
101
donc ( ) rr
Tk
r pes ∂
∂∂
∂∂=− ϕϕ
d’où t
TCpdrr
r
Tkdrrr
r
Tk
rr pppp ∂
∂=
∂∂+∂
∂∂
∂∂ 22 2 ρ
Le logiciel TRIO ne permettant pas de faire varier la conductivité de la particule en fonction deson état, celle-ci est donc prise constante. L'équation de l'énergie s'écrit alors :
r
T
rCp
k
r
T
Cp
k
t
T
pp
p
pp
p
∂∂+
∂∂=
∂∂ 12
2
2
ρρ(2-22)
2.3.2.1.2 Echange convectif au niveau de la paroi de la particule
Le transfert de chaleur entre le fluide porteur et la paroi de la particule se fait par convection
forcée. Pour une sphère individuelle, le nombre de Nusselt est calculé par la relation donnée par
Chandarana et al. [cité par Ahmad et al. (1999)] :
89,06,12 Pr1082,222
pf
ppf
pf Rek
RhNu −×+== avec
s
gsp
p
Ud
µρ
=Re et s
ss
k
Cp µ=Pr (2-23)
Cette relation est valable pour : 1,23 ≤ Rep ≤ 27,38 et 9,74 ≤ Pr ≤ 376,2.
La vitesse, Ug utilisée dans le calcul du nombre de Reynolds est la vitesse de glissement entre le
fluide porteur et la particule. Les particules étant plus lourdes que la phase porteuse et la
suspension s’écoulant verticalement vers le bas, les particules descendent plus vite. Dans notre
étude, le régime de sédimentation étant celui d’Allen, la vitesse de glissement se calcule par la
relation :
( )[ ]29,043,0
14,171,0
54,6 ss
pspg
dgU
ρµρρ −
= (2-24)
Dans le cas d’une sédimentation collective, l’interaction des particules entre elles ralentit leur
vitesse de glissement. Celle-ci est prise en compte en utilisant les propriétés physiques de la
suspension au lieu de celle du fluide pour calculer les nombres adimenssionnels et Ug.
On écrit ensuite que le flux convectif apporté par le fluide porteur est égal au flux conductif à
l'intérieur de la particule
( )pRr
pfpf rT
kTTh=
∂∂
−=−
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
102
( )TTk
h
rT
fp
pf
Rr p
−=
∂∂
=
(2-25)
2.3.2.1.3 Changement de phase
A r = r c, au niveau du front de solidification, le flux de chaleur apporté pendant un temps dt est
utilisé intégralement pour le changement de phase (il n'y a pas de flux sortant). Il permet une
progression du front de solidification de drc :
Hdrrdtr ccpec22 44 πρϕπ =
Hdt
dr
p
ec
ρϕ
=
En fonction de la position du front, le flux, ϕe est de différente nature. Au commencement du
changement de phase, pour rc = Rp, le flux est apporté par convection par le fluide porteur :
( )fRrpfe TThpc
−−= =ϕ
Le changement de phase débute à surfcRr TTT pc ∆−== . Ainsi, la variation du rayon de la partie
liquide de la particule est :
( )fsurfcp
pfc TTTH
h
t
r−∆−−=
∂∂
ρ(2-26)
Ensuite, lorsque le changement de phase a lieu au sein de la particule (rc < Rp) le flux entrant est
apporté par conduction dans la partie déjà congelée :
crpe r
Tk
∂∂−=ϕ
d'oùcrp
pc
r
T
H
k
t
r
∂∂−=
∂∂
ρ(2-27)
2.3.2.1.4 Conditions aux limites
Initialement, les particules sont toutes liquides : t = 0, r = Rp
Au niveau du front de solidification, r = rc, le phénomène de surfusion ne disparaît qu'après la
formation de plusieurs cristaux. Ceci est pris en compte en considérant que la congélation dans
le cas de la surfusion a lieu sur une plage de variation de rc (Rp-∆Rsurf < r c <Rp) :
T=Tc-∆Tsurf lorsque Rp-∆Rsurf < r c ≤ Rp,
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
103
Dans le reste de la particule, lorsque rc ≤ Rp-∆Rsurf le front de solidification est à la température
de congélation, Tc.
2.3.2.2. Résolution
Pour résoudre ces équations, il faut distinguer le cas où le changement de phase se fait à Tc-
∆Tsurf (Rp-∆Rsurf < r c ≤ Rp) et le cas où il se fait à Tc (rc≤ Rp-∆Rsurf). Pour pouvoir écrire des
équations adimensionnelles qui soient toujours valables, il suffit d'utiliser deux types de
variables adimensionnelles suivant le cas.
− Dans le cas de la surfusion (Rp-∆Rsurf < r c ≤ Rp) :
( )ppp
fsurfcp
fc
fsurf
R
rr
HR
TTTktt
TT
TTTT =
−∆−=
−−∆+
= *
2
**
ρ
L’équation (2-22) devient :
( )( ) ( ) ( )*
*
*22*
*2
2*
*
2
2
r
T
rR
TT
Cp
k
r
T
R
TT
Cp
k
t
TTT
HR
TTTk
p
fc
pp
p
p
fc
pp
p
fc
pp
fsurfcp
∂∂−
+∂∂−
=∂∂−
−∆−ρρρ
soit après simplification :
( )*
*
*2*
*2
*
* 2
r
T
rr
T
t
T
H
TTTCp fsurfcp
∂∂+
∂∂=
∂∂−∆−
En posant ( )
H
TTTCpSte fsurfcp −∆−
= , on obtient :
*
*
*2*
*2
*
* 2
r
T
rr
T
t
TSte
∂∂+
∂∂=
∂∂
pour rc* < r* < 1 (2-28)
L’équation (2-26) valable pour rc* = r* = 1, donne sous forme adimensionnelle :
( ) ( )fsurfcpp
fpfc
pp
fsurfcpp TTTHR
kNu
t
r
HR
TTTkR−∆−−=
∂∂−∆−
ρρ 2*
*
2
soit après simplification :p
fpfc
k
kNu
t
r
2*
*
−=∂∂
(2-29)
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
104
− Dans les autres cas (rc≤ Rp-∆Rsurf), les variables adimensionnelles sont :
( )ppp
fcp
fc
f
R
rr
HR
TTktt
TT
TTT =
−=
−−
= *
2
**
ρ
L’équation (2-22) devient :
12 **
*
*
*2*
*2
*
*
<<+= rrpourr
T
rr
T
t
TSte c∂
∂∂
∂∂∂
avec ( )fc
pTT
H
CpSte −=
On retrouve bien la même expression que l’équation (2-28).
L’équation (2-25), valable lorsque rc* < 1 et r* = 1 devient :
( ) ( )fcpp
fpf
p
fc TTTkR
kNu
r
T
R
TT−−=
∂∂−
*
*
*
2
soit après simplification : *
*
*
2T
k
kNu
r
T
p
fpf−=∂∂
(2-30)
L’équation (2-27), valable lorsque r* = rc* devient :
( ) ( )crp
fc
p
pc
pp
fcp
r
T
R
TT
H
k
t
r
HR
TTk
∂∂−
−=∂∂−
ρρ *
*
soit après simplification :*
*
*
*
r
T
dt
drc
∂∂= (2-31)
Les conditions limites sont :
111 **** ≤<∆
−== cp
surf
c rR
RetrrpourT (2-32)
01 ** == tpourr (2-33)
Pendant le changement de phase de la particule, la température du fluide est proche de la
température de congélation. Ainsi la chaleur sensible est faible devant la chaleur latente ; le
nombre de Stefan, Ste, peut être considéré comme nul (pour le gel organique étudié à l’état
liquide, 013,0<H
Cpp K-1). L'équation de conduction dans la partie solide de la particule [éq. (2-
28)] devient une équation différentielle du second degré :
02
*
*
2*
*2
=+dr
dT
rdr
Td
En posant, *
*
dr
dTy = , cette équation devient,
*2dr
rydy
−= qui, après résolution, en prenant
comme condition limite l’équation (2 –30), donne :
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
105
2**
1*
12
rT
y
kNu
k
rfpf
p −==
En remplaçant y, on obtient :
2*
**
*
1*
2
r
drdT
kNuT
k
fpfr
p −==
La résolution de cette équation donne :
Ar
TkNuT
k
fpfr
p +==
**
*
1*
12
avec A une constante d’intégration. *1* =r
T et A sont déterminés en utilisant comme conditions
limites (2–32) et *
1**
==
rTT pour r*=1 et 1
*
=T pour r*= r c* :
+
==
Ar
kNu
kT
c
fpf
p
r
*
*
1*1
12 et 1
2−=
fpf
p
kNu
kA
En remplaçant les valeurs trouvées pour *
1* =rT et A et en simplifiant l’expression, on obtient :
*
*
*
*
12
1
11
cfpf
p
c
rkNu
kr
r
T
−+
−−= (2-34)
En introduisant cette relation dans l’équation (2-31) on obtient :
*
*
*
*
12
1
1
cfpf
p
cc
rkNu
k
r
dt
dr
−+
−= (2-35)
La résolution de cette équation différentielle, en utilisant l’équation (2-33) comme condition
initiale donne :
−
−+
−= 1
2
3
1
2
13*2*
*
fpf
pcc
kNu
krrt (2-36)
2.3.2.3. Application : calcul du terme source S
Les particules créent dans le fluide une source S qui vaut :
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
106
dt
drrH
R
c
dt
drrHNNS c
cp
p
vccpp
2
3
2 34 ρπρϕ −=−==
où ϕp est l'énergie fournie (ou absorbée) par une particule par unité de temps, N la densité
volumique de particules, et 3
3
4pv RNc π= la fraction volumique occupée par les particules.
Après adimensionnement, le terme source s'écrit :
− dans le cas de la surfusion :
*
*)(
dt
drHR
TTTk
dtdr
c
pp
fsurfc
p
c
ρ−∆−
= (2-37)
( )*
*2*
2
3
dt
drrTTTk
R
cS c
cfsurfcp
p
v −∆−−= (2-38)
En introduisant l’équation (2-35) dans l’équation (2-38) on obtient :
( )fsurfc
p
pfv TTTR
hcS −∆−=
3pour rc = Rp (rc
* = 1) (2-39)
( )
−+
−∆−=
cppf
p
p
cfsurfcp
p
v
rRh
kR
rTTTk
R
cS
1
32
pour Rp-∆Rsurf < r c < Rp (2-40)
− pour les autres cas :
*
*)(
dt
drHR
TTk
dtdr
c
pp
fc
p
c
ρ−
= (2-41)
( )*
*2*
2
3
dt
drrTTk
R
cS c
cfcp
p
v −−=
( )
−+
−=
cppf
p
p
cfcp
p
v
rRh
kR
rTTk
R
cS
1
32
pour rc < Rp-∆Rsurf (2-42)
2.3.3. Traitement numérique
Dans un premier temps, seules les équations de Navier-Stokes sont résolues afin d'établir le
profil des vitesses et des pressions. Ce n'est qu'une fois que le régime hydraulique est établi, que
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
107
l’équation de l’énergie est résolue. Les informations concernant les propriétés physiques sont
données dans le paragraphe 2.4.2.
La résolution des équations locales se fait par intégration à l'aide du théorème de Gauss sur des
volumes de contrôle pour aboutir à des équations macroscopiques de bilan.
Les variables principales ne sont pas situées au même point, c'est la technique du maillage
décalé.
Les équations de bilan sont discrétisées de manière semi-implicite, c'est-à-dire qu'elles sont
discrétisées :
• en temps, de manière standard en utilisant le schéma d'Euler du premier ordre ;
• en espace en utilisant deux types de schéma numérique. L'équation de continuité
est discrétisée de manière implicite (instant n+1), tandis que, dans les équations de
quantité de mouvement, le gradient de pression est discrétisé au temps (n+1) (implicite)
et les autres termes (vitesse, flux diffusifs et convectifs) au temps (n) (explicite).
La vitesse au temps (n) est éliminée des équations de quantité de mouvement et de continuité de
manière algébrique afin d'obtenir un système linéaire en pression qui est résolu directement ou
itérativement. Le champ de pression ainsi calculé est réinjecté dans l’équation de quantité de
mouvement pour déterminer le champ de vitesse. Ce champ de vitesse, une fois que les calculs
ont convergé, est ensuite utilisé dans l’équation de l’énergie pour calculer le champ de
température.
Les termes convectifs et diffusifs des équations sont estimés de manière explicite. Il en résulte
des limitations du pas de temps de calcul. L'analyse de Fourier donne une expression du pas de
temps optimum à utiliser pour s'assurer d'une bonne stabilité.
Le terme source dans l’équation de l’énergie est calculé suivant l’organigramme présenté dans
la Figure 2-5. L’utilisateur fixe les propriétés physiques de la suspension. Le degré de surfusion
(∆Tsurf) et l’épaisseur de particule où a lieu la surfusion(∆Rsurf) sont choisis de manière
arbitraire. L’évolution du rayon du front de congélation rc dépend de deux phénomènes :
− du changement de phase, pris en compte dans le terme drc2. Il est calculé à partir de
l’équation (2-37) dans le cas de la surfusion et l’équation (2-41) dans les autres cas ;
− du transport de la particule, pris en compte dans le terme drc1. La particule qui change
de phase vient de la maille précédente. Comme elle a passé moins de temps dans
l’échangeur, son front de fusion a un rayon plus important.
Les paramètres ∆X, ∆Y et ∆Z utilisés dans l’organigramme sont les dimensions d’une maille.
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
108
A chaque pas de temps, le rayon de congélation et le terme source sont calculés pour
chaque maille. Le terme source trouvé est utilisé dans l’équation de l’énergie pour calculer
la température du fluide. Le calcul passe ensuite au temps suivant et rc et S sont de
nouveau calculés avec cette nouvelle température du fluide. rc old est le rayon du front de
fusion au pas de temps précédent.
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
109
Figure 2-5 : Organigramme du calcul du terme source utilisé dans l’équation de l’énergie dans lelogiciel TRIO pour un pas de temps.
Température de congélationdes particules : Tc
Température de congélation desparticules : Tc-∆Tsurf
Pour z=0(entrée section d’essais)
Tf < Tc et rc > 0
oui non
Calcul de rc
( )oldcpc rRdz
Udtdr −=1
rc < Rp-∆Rsurf
( )
−+
−−=
oldcppf
p
ppoldc
pfcp
c
rRh
kRHr
RdtTTkdr
12
ρ
rc =Rp et Tf < Tc-∆Tsurf
( )p
surffcpf
c H
dtTTThdr ρ
∆−−−=
2
oui non
rc ≥ Rp-∆Rsurf et Tf < Tc-∆Tsurf
drc2 = 0( )
−+
∆−−−=
oldcppf
p
ppoldc
psurffcp
c
rRh
kRHr
RdtTTTkdr
12
ρ
rc = rc old +drc1+drc2
rc ≥ 0
rc = 0S=S ZYX
R
r
dt
drHcSS
p
ccpv ∆∆∆−=
3
223 ρ
nonCas lorsque
oldcccrdrdr >+
21
oui
oui non
rc
Rp-∆RsurfRp
rc
Rp-∆RsurfRp
Calcul du terme source
Pour z > 0(le reste de la section d’essais)
( ))()(1 zrzzrdz
Udtdr oldcoldcc −∆−=
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
110
2.4. Limites du modèle
Le modèle proposé ci-dessus a été construit en posant certaines hypothèses restrictives. Celles-ci
sont indispensables à la modélisation du phénomène physique, mais peuvent entraîner une
divergence entre le modèle et la réalité physique. Les différentes hypothèses faites touchent
principalement :
− l’homogénéité de la suspension ;
− l’effet des particules sur la rhéologie du fluide ;
− les propriétés physiques imposées dans le modèle ;
− la congélation des particules qui dépend de nombreux paramètres.
2.4.1. Effets des particules
De nombreuses hypothèses ont été posées concernant les particules.
Le fluide est considéré comme newtonien alors que Royon et al. ont montré, en faisant une
rhéométrie en ligne, qu’il avait un comportement rhéofluidifiant. Ils ont trouvé pour des
concentrations massiques de 25 % et 35 % des indices de comportement, n respectivement de
0,51 et 0,59.
La concentration est considérée comme homogène alors que la densité des particules et celle de
la phase suspendante ne sont pas équivalentes ; la sédimentation ou la stratification ne peut être
négligée.
Dans tout écoulement de suspensions de particules la présence obligée d’un gradient de vitesse
au niveau d’une paroi immobile s’accompagne d’un changement dans la répartition radiale des
particules : une couche appauvrie en particules (voire complètement vide) se forme dans le
voisinage de la paroi. La formation de cette couche pariétale plus fluide prend l’apparence d’un
glissement de la suspension le long de cette paroi. En réalité cela signifie que près de la paroi, la
vitesse varie très vite sur une très petite distance, c’est-à-dire que le gradient y est beaucoup plus
élevé qu’au sein de la suspension. Une telle augmentation de gradient entraîne à son tour une
nouvelle baisse de la viscosité puisque la suspension à un comportement rhéofluidifiant. L’effet
pariétal s’en trouve donc renforcé et on conçoit facilement que les écoulements de suspensions
concentrées aient lieu très souvent sous la forme d’écoulement « bouchons ». Si c’est le cas, cet
effet peut avoir des répercussions considérables au niveau des échanges thermiques.
Malheureusement, il est impossible de modéliser tous ces phénomènes.
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
111
2.4.2. Propriétés physiques
Les propriétés physiques utilisées sont celles de la suspension (phase suspendante et particules)
et sont évaluées à partir de corrélations données dans le chapitre 1. Elles sont considérées
comme constantes au cours du refroidissement alors que la gamme de températures étudiée est
assez étendue et qu'il y a un changement de phase.
Pour évaluer l’impact de cette hypothèse, une étude comparative a été effectuée pour une
suspension concentrée à 15 % en particules, sur un intervalle de température compris entre 10 et
–10 °C . Les propriétés physiques de la suspension fonction de la température sont comparées
avec celles moyennées :
− sur la masse volumique, l’erreur commise n'est que de 0,6 %. Elle est négligeable ;
− sur la conductivité d'une suspension au repos (sans considérer les effets micro-
convectifs) l’erreur commise est de 8 %. Cette erreur reste faible devant celles
introduites par l’utilisation de corrélations empiriques pour évaluer la conductivité
apparente (prenant en compte les effets micro-convectifs). Les effets micro-convectifs
dépendent du taux de cisaillement qui varie suivant la position de la particule par
rapport à la paroi. Les corrélations proposées par la littérature [(1-27), (1-28), (1-29) et
(1-30)] varient en fonction de la valeur du nombre de Péclet et introduisent des
constantes expérimentales déterminées pour des types de suspension particulière ;
− sur la chaleur massique, l’erreur commise est de 11 % ;
− sur la viscosité, l’erreur commise est de 20 %. D’après les corrélations de la littérature,
pour un régime d’écoulement laminaire, en cours d’établissement thermique, le nombre
de Nusselt dépend du produit des nombres de Reynolds et Prandtl qui sont à la même
puissance. Par conséquent la viscosité disparaît.
2.4.3. Congélation
La cristallisation dépend de nombreux paramètres qui sont difficiles à définir.
Les nucléations peuvent se faire soit au sein de la particule (nucléation homogène), soit sur un
corps étranger ou sur la matrice poreuse (nucléation hétérogène). Les deux nucléations ne se
font pas à la même température. La congélation s'étale donc sur une gamme de température. A
ceci vient s'ajouter le caractère stochastique des ruptures de surfusion. Il est difficile de
modéliser tous ces phénomènes sachant qu'ils sont mal définis. Ils n'ont pas pu être pris en
compte dans le modèle.
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
112
2.4.4. Généralisation du modèle
Le modèle a été construit pour des particules sans paroi (structure poreuse) dans le cas de la
congélation. Sans trop de modifications, il peut être utilisé dans le cas de la fusion : le
phénomène de surfusion disparaît et la conduction au sein de la particule ne se fait plus dans la
partie solide mais dans la partie liquide. Il faut donc utiliser la bonne conductivité dans les
équations du modèle.
Par contre, pour étendre l’application du modèle à des particules de type capsules (avec une
paroi), des modifications plus importantes doivent être apportées : il faut prendre en compte la
résistance thermique de la paroi et lors de la décongélation, le front de fusion n’est pas
concentrique. Lorsque le MCP est encapsulé, il est « libre » de se déplacer dans la capsule. La
masse volumique du MCP à l’état solide étant différente de celle à l’état liquide, le front de
fusion n’est plus concentrique. Le MCP solide sédimente ou flotte et se délocalise vers la paroi.
Cette décentralisation a pour effet d’entraîner des variations de températures sur les parois qui
génèrent de la convection naturelle dans la partie fondue ; les transports par conduction sont
modifiés puisque une zone du MCP solide reste très proche de la paroi. Fomin et Saitoh (1999)
ont étudié numériquement et analytiquement ce phénomène. Ils ont prouvé que l’hypothèse de
température de paroi constante sur une capsule entraîne des différences significatives sur les
conditions réelles de fusion quand les parois sont non-isothermes. Le fait de négliger les
courants convectifs dans la zone fondue conduit à une surestimation du taux de fusion. 85-90 %
du MCP solide fond par proche contact avec la paroi chaude et le reste fond par conduction ou
convection naturelle dans la partie liquide.
2.5. Résultats du modèle
2.4.2. Propriétés du fluide
Le fluide frigoporteur étudié dans le modèle est un « coulis de glace stabilisé » fabriqué au
LBHP. La structure des particules est une matrice poreuse remplie d’eau. La phase suspendante
est un mélange d’huile (89 % d’huile Clavius 15 et 11 % d’huile Rhodorsil 550) ayant une
masse volumique proche de celle de l’eau. Par la suite, la phase suspendante utilisée dans les
expériences a été changée au profit d’une huile moins visqueuse afin de réduire les pertes de
pression. Cependant, faute de temps, ces modifications n’ont pu être apportées au modèle. Les
propriétés physiques du « coulis de glace stabilisé » données par le LBHP sont :
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
113
− une masse volumique identique de 1000 kg.m-3 pour la phase suspendante et les
particules ;
− une viscosité de 27 mPa.s à 0 °C;
− une conductivité de 0,137 W.m-1.K-1 ;
− une capacité thermique de 1673 J.kg-1.K-1 ;
− une température de congélation de 0 °C.
Le fluide rentre dans l'échangeur à 1°C pour pouvoir observer la cassure de pente sur le profil de
température au début du changement de phase.
Les variables étudiées sont :
− la vitesse de passage ;
− la concentration massique en particules ;
− le degré de surfusion ;
− la température des parois ;
− le diamètre des particules.
2.4.3. Maillage
La géométrie a été décrite dans le paragraphe 2.3.1. Le canal se compose de :
− 200 mailles dans la longueur (Z) ;
− 14 mailles dans la largeur (X) ;
− 10 mailles dans l’épaisseur (Y) (Figure 2-6).
Figure 2-6 : Représentation du maillage dans le plan YZ du canal (épaisseur)
Axe de symétrie
N° de maille : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Paroi froide
YX
Z
Paroi froide
Particule liquide
Particule solide
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
114
2.4.4. Cas de référence
Les différentes variables ont été choisies de manière à ce que toutes les particules sortent
congelées de l'échangeur.
− la vitesse de passage : 0,03 m.s-1 ;
− la concentration massique en particules : 15 % ;
− le degré de surfusion : 5 K ;
− la température des parois : -40 °C ;
− le diamètre des particules : 400 µm (il est choisi pour être inférieur à la
taille d'une maille suivant Y, soit 500 µm).
2.5.1.1. Profil de vitesses
Figure 2-7 : Profil des vitesses dans l'épaisseur et la largeur des plaques.
L’écoulement étant laminaire, le profil des vitesses (Figure 2-7) est une parabole dans le sens de
la hauteur des plaques. Dans la largeur du canal, le profil est aplani sur ses 4/5 car les effets de
paroi dans l’épaisseur sont très supérieurs à ceux dans la largeur en raison de l’écart important
entre ces deux dimensions.
2.5.1.2. Profil de concentration
L’équation de la quantité de mouvement utilisée dans TRIO ne fait intervenir que la diffusivité
moléculaire. Lorsque le régime s’établit, la répartition des particules dans la conduite est
homogène. Les effets de lift au niveau des parois qui tendent à ramener les particules au centre
de la conduite ne peuvent être pris en compte dans ce logiciel de calcul.
Epaisseur2b = 5 mm
Largeur170 mm
YZ
X
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
115
2.5.1.3. Profil de températures
Les parois du canal dans le plan (YZ) étant adiabatiques, les échanges thermiques ne se font
qu’avec les parois dans le plan (XZ) : le profil de température dépend uniquement de Y et de Z.
La Figure 2-8 représente les profils de température le long du canal (suivant Z) pour différentes
côtes dans l'épaisseur (Y). La longueur Z est intrinsèquement liée à un temps de séjour dans le
canal par la vitesse débitante. Sur l'épaisseur, divisée en 10 mailles, seules les cinq premières
mailles sont étudiées, puisque les profils de température sont symétriques. La maille 1 est
accolée à la paroi tandis que la maille 5 est située au centre du canal (Figure 2-6).
La Figure 2-8 met en évidence que le temps nécessaire au changement de phase augmente au fur
et à mesure que l’on pénètre au cœur de l'écoulement. Dans la première maille, ce temps semble
nul : les particules se congèlent très rapidement puisqu'elles sont en contact direct avec les
parois (fort gradient de température) et que leur vitesse est faible. La chaleur dégagée par le
changement de phase est négligeable devant le flux convectif échangé avec les parois. Par
contre, plus on s'éloigne des parois, plus le « palier » du changement de phase est visible. Les
mailles situées au centre de la conduite, échangent par conduction avec les mailles précédentes.
Le flux échangé ne dépend que du gradient de température entre deux mailles successives. Ce
gradient s’atténuant, le flux échangé faiblit. Une partie du flux thermique est utilisée pour
refroidir la suspension déjà congelée (capacité thermique). Tant que le flux de chaleur dégagé
par le changement de phase reste très inférieur au flux échangé aux parois, le profil de
température n’est pas trop perturbé (maille 1). Par contre, en se rapprochant du cœur de la
conduite, les flux s'égalisent, puis s'inversent.
La rupture du phénomène de surfusion (voir Figure 2-8 mailles 3, 4 et 5) se manifeste par la
remontée en température en début de changement de phase. Dans la maille 2, la chaleur dégagée
par le changement de phase entraîne un ralentissement du refroidissement. Le flux de chaleur
étant évacué par les parois froides, le profil de température de la maille 1 est perturbé. Par contre
les profils de températures des mailles 3, 4 et 5 sont très faiblement perturbés. Dans la maille 2,
le changement de phase se fait sur 10 cm de plaques, soit environ en 3 s (1ère zone hachurée
dans la Figure 2-8). Dans la maille 3, le flux dégagé par le changement de phase devient
supérieur au flux apporté par conduction par le fluide de la maille 2. On observe une légère
remontée en température de +0,75 K. Ensuite les flux s'équilibrent, puis s’inversent, permettant
une légère décroissance en température pendant le changement de phase.
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
116
Figure 2-8 : Profils de température dans la longueur Z en différentes épaisseurs y des plaques, pourU = 0,03 m/s ; cm = 15 % ; ∆Tsurf = 5 K ; Tw = -40 °C ; dp = 400 µm.
Maille n°1 : y=0,5 mm
Maille n°2: y=1 mm
Maille n°3 : y=1,5 mm
Changement de phase
Changement dephase
Changementde phase
Changementde phase
Changement de phase
Z
Z
Z
Z
Z
Maille n°5 : y=2,5 mm(Centre de la conduite)
Maille n°4 : y=2 mm
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
117
Le changement de phase se fait sur 25 cm de plaques, soit en un peu plus de 8 s (2ème zone
hachurée). Le temps nécessaire pour extraire l’énergie dégagée par le changement de phase
augmente puisque cette énergie est identique quelle que soit la maille (concentration homogène)
alors que le flux échangé diminue. Dans la maille 4, la remontée en température (+1,25 K) et le
temps nécessaire au changement de phase des particules (12 s) continue à augmenter (3ème zone
hachurée). La chaleur dégagée perturbe les profils de température des deux mailles avoisinantes.
Dans la maille 5, la remontée en température est de +2,1 K et le temps de congélation de 17 s
(4ème zone hachurée).
Ces résultats montrent que le changement de phase est une barrière thermique qui empêche le
flux de pénétrer plus au cœur des plaques. Ainsi les changements de phase se font en cascade.
2.4.5. Influence de la vitesse
Par rapport au cas de référence, la vitesse moyenne de l'écoulement devient 0,05 m/s au lieu de
0,03 m/s. Les autres variables ne sont pas modifiées. Comme le régime thermique n’est pas
établi, le nombre de Nusselt dépend du nombre de Reynolds qui passe de 11 à 18. Avec les
propriétés physiques utilisées dans le modèle, le nombre de Nusselt moyen sur la longueur totale
des plaques, calculé avec l’équation (1-47), augmente de 27 %. Mais comme l’augmentation de
la vitesse de passage réduit de 40 % le temps de séjour dans l’échangeur, la longueur des paliers
augmente. Par conséquent, pour les mailles placées au cœur de l'écoulement, le changement de
phase débute plus en aval dans l'échangeur par rapport au cas de référence. Par exemple, le
changement de phase de la maille 4 pour U = 0,05 m/s débute à la même côte Z que celui de la
maille 5 pour U = 0,03 m/s et les particules de la maille 5 pour U = 0,05 m/s n'ont pas le temps
de congeler.
2.4.6. Influence de la taille des particules
Deux diamètres de particules ont été étudiées : 200 µm et 400 µm. Les résultats sont
représentés sur les courbes de la Figure 2-9. La concentration reste à 15 %, seul le nombre de
particules varie afin de conserver la quantité de matière qui change de phase.
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
118
Figure 2-9-a : Profils de température dans la longueur Z endifférentes épaisseurs y des plaques, pour U= 0,03 m/s ; cm =
15 % ; ∆Tsurf=5 K ; Tw = -40°C ; dp = 200 µm
Figure 2- 9-b : Profils de température dans lalongueur Z en différentes épaisseurs y des plaques,pour U = 0,03 m/s ; cm = 15 % ; ∆Tsurf = 5 K ; Tw = -
40 °C ; dp = 400 µm
Z
Maille n°2: y=1 mm
Maille n°3 : y=1,5 mm
Maille n°4 : y=2 mm
Maille n°1 : y=0,5 mm
Z
Z
Z
Z
Z
Maille n°5 : y=2,5 mm(Centre de la conduite)
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
119
La quantité d’énergie absorbée lors de la congélation des particules étant identique, les
températures de chaque maille à la sortie de l’échangeur ne dépendent pas de la taille des
particules. Cependant, les profils le long de l'échangeur sont complètement différents. On
remarque que plus les particules sont petites, plus la remontée en température en début du
changement de phase est importante et plus les "paliers" sont courts et horizontaux. Par contre,
le changement de phase dans chaque maille débute à la même côte Z quelle que soit la taille
des particules.
La vitesse de congélation dépend de deux paramètres :
− du rapport de la surface d'échange des particules sur la masse à congeler ;
− du flux froid disponible.
Tant qu'il n'y a pas équilibre entre le flux chaud dégagé et le flux froid reçu, le facteur limitant
la vitesse de congélation est le rapport (surface/masse). Plus les particules sont petites, plus le
rapport surface d'échange sur masse à congeler augmente et plus la vitesse de congélation est
importante. Les pentes des courbes de la Figure 2-10 confirme cette interprétation. Ainsi, la
chaleur latente dégagée par unité de temps est plus importante. La remontée en température et
les paliers horizontaux traduisent une augmentation du rapport entre le flux dégagé par le
changement de phase et le flux absorbé par les parois. Ce dernier dépend de l’écart entre la
température du fluide dans la première maille et la température de paroi. Le profil de
température dans la première maille est sensiblement perturbé par la variation de la taille des
particules, mais moyenné sur la longueur de l’échangeur, l’écart avec la température de paroi
est du même ordre de grandeur pour des particules de 200 µm ou 400 µm. Le flux absorbé par
les parois semble donc moins dépendant de la taille des particules que le flux dégagé lors du
changement de phase. Ainsi, le rapport des deux flux augmente. La forte remontée en
température intervient comme une barrière thermique pour les mailles situées plus dans le cœur
de l'écoulement. Elles restent à des températures proches de -2,5 °C pour dp = 200 µm. Ainsi,
les changements de phase dans les mailles ne peuvent pas se chevaucher. A la fin du
changement de phase d'une maille, le fort gradient thermique avec la maille voisine permet de
bons échanges et donc une chute rapide en température. Dans le cas de plus grosses particules,
le phénomène est inversé. La progression du front de congélation dans la particule se fait plus
lentement puisque le rapport surface d'échange sur masse de fluide à congeler est plus faible et
que le flux pour arriver au cœur de la particule doit traverser une tranche congelée plus épaisse
qui agit comme une résistance thermique. La quantité de chaleur latente dégagée par unité de
temps est plus faible et se retrouve largement compensée par le flux froid des parois. Le fluide,
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
120
malgré le changement de phase, continue à baisser en température. Ainsi, deux mailles peuvent
se chevaucher dans leur changement de phase.
E v o lu t io n d e l a m a s s e d e P C M c o n g e lé e d a n s l e c a s 1 ( c = 1 5 % , v = 0 ,0 3 m /s , d p = 4 0 0 µ m )
0 , 0 0 E + 0 0
1 , 0 0 E - 0 5
2 , 0 0 E - 0 5
3 , 0 0 E - 0 5
4 , 0 0 E - 0 5
5 , 0 0 E - 0 5
6 , 0 0 E - 0 5
7 , 0 0 E - 0 5
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0
Z
Mas
se c
onge
lée
m a il le 1
m a il le 2
m a il le 3
m a il le 4
m a il le 5
E v o lu t io n d e la m a s s e c o n g e lé e d a n s l e c a s c = 1 5 % , v = 0 ,0 3 m /s , d p = 2 0 0 µ m
0 ,0 0 E + 0 0
1 ,0 0 E - 0 5
2 ,0 0 E - 0 5
3 ,0 0 E - 0 5
4 ,0 0 E - 0 5
5 ,0 0 E - 0 5
6 ,0 0 E - 0 5
7 ,0 0 E - 0 5
0 2 0 4 0 6 0 8 0 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0
Z
Mas
se c
onge
lée
m a il le 1
m a il le 2
m a il le 3
m a il le 4
m a il le 5
Figure 2-10 : Evolution de la masse congelée dans chaque maille le long de l'échangeur dans le cas où dp =400 µm et dp = 200 µm. La pente de ces courbes représente la vitesse de congélation (les unités sont en cm
en abscisse et en kg en ordonnée)
2.4.7. Influence de la concentration
La nouvelle concentration étudiée est de 30 % au lieu de 15 % (Figure 2-11). Comme dans les
cas précédents, les autres paramètres sont conservés, à l’exception de la viscosité qui
augmente avec la concentration. Elle est égale à 60 mPa.s (calculée suivant la formule de
Vand). L’augmentation de la concentration entraîne une augmentation de la matière à
congeler. Tant que le flux froid disponible reste supérieur à la chaleur latente dégagée par le
changement de phase, le nombre de particules se congelant augmente et la remontée en
température en début du changement de phase est plus importante. La vitesse de congélation
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
augmente. Par conséquent, il ne faut pas deux fois plus de temps pour congeler le double de
matière. Si on veut atteindre la vitesse maximale de congélation il faut que les deux flux
s'équilibrent. Cet équilibre se caractérise par des paliers horizontaux de changement de phase
qui tendent vers 0 °C sans jamais l'atteindre puisqu'un gradient de température doit être
conservé entre le fluide autour de la particule et la température de fusion pour qu'il y ait des
échanges thermiques.
Pour des concentrations de 50 %, ces paliers ne sont toujours pas atteints : la température
remonte à -0,8 °C et décroît de 0,2 K pendant le changement de phase. Pour utiliser le
maximum de flux froid, il existe une concentration et un rayon critique. Le rayon ne doit pas
être trop faible afin d'avoir un degré de surfusion raisonnable.
Figure 2-11 : Profils de températuU = 0,03 m/s ; cm
Maille N°2
Maille N°1Maille N°3Maille N°4
Maille N°5
121
re dans la longueur Z en différentes épaisseurs Y des plaques, pour= 30 % ; ∆Tsurf = 5 K ; Tw = -40 °C ; dp = 400 µm
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
122
2.4.8. Influence du degré de surfusion
Figure 2-12 : Profils de température dans la longueur Z endifférentes épaisseurs Y des plaques, pour U = 0,03 m/s ;
cm = 30 % ; ∆Tsurf = 1 K ; Tw = -40 °C ; dp = 400 µm
Les résultats expérimentaux du LBHP
montrent que le MCP ne présente pas de
surfusion lorsque les particules ont une
taille millimétrique. Pour des particules
de 400 µm, il est plus délicat de
s'affranchir de la surfusion avec
certitude. Il est donc intéressant d'étudier
son influence sur les profils de
température. Les résultats représentés sur
la Figure 2-12 ont été obtenus avec un
degré de surfusion faible de 1 K.
Par rapport au cas de référence, les
paliers observés sur les Figure 2-12 sont
plus longs et moins marqués. Les
changements de phase se chevauchent
entre deux mailles successives. Les
Figure 2-13 montrent que la vitesse de
congélation diminue avec le degré de
surfusion. Effectivement, la différence
entre la température du fluide et la
température de fusion est de l'ordre du
degré de surfusion. Dans ce cas de
figure, il est seulement de 1 K au départ.
Les échanges sont très faibles. Mais
comme le flux froid est supérieur à la
chaleur dégagée, le gradient augmente
permettant des meilleurs échanges
thermiques et donc une accélération de la
vitesse de congélation.
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
123
Evolution de la masse congelée lorsque le degré de surfusion est de 1 K
0,00E+00
1,00E-05
2,00E-05
3,00E-05
4,00E-05
5,00E-05
6,00E-05
7,00E-05
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Z
Massecongelée
maille 1
maille 2
maille 3
maille 4
maille 5
Figure 2-13 : Evolution de la masse congelée dans chaque maille le long de l'échangeur dans le cas où∆Tsurf = 1 K et ∆Tsurf = 5 K
2.4.9. Influence de la température de paroi
Les résultats portés sur la Figure 2-14 et la Figure 2-15 sont obtenus pour une température de
paroi respectivement de –25 °C et de –40 °C (cas de référence). La variation de ce paramètre
influence le flux froid fourni par les plaques de l'échangeur. Le flux dépend de l'écart entre la
température du fluide en contact avec la paroi (maille 1) et la température de paroi. Les
températures de la maille 1 ne décroissent pas de la même façon lorsque Tw = -40 °C ou Tw = -
25 °C. Le gradient de température reste plus faible lorsque Tw = -25 °C et le flux est jusqu'à 1,8
fois moins fort. Par conséquent, les vitesses de congélation sont plus lentes (le facteur de
décroissance est le même dans les mailles 2, 3 et 4) et les remontées en température en début de
changement de phase sont plus importantes. Cependant, on remarque que la chaleur latente
dégagée ne permet pas de remonter jusqu'à 0 °C et que le "palier" du changement de phase n'est
pas horizontal (température constante). Par conséquent, le flux froid apporté reste supérieur au
flux chaud issu du changement de phase. Les transferts sont limités par les capacités d’échange
de la particule avec le fluide porteur (surface d’échange et coefficient d’échange, hpf) et non pas
par le flux échangé au niveau des parois. Ainsi, la longueur de plaque nécessaire au changement
de phase n'est pas augmentée de manière proportionnelle à la diminution du flux : elle est
seulement 1,38 fois plus longue.
Evolution de la masse de PCM congelée dans le cas 1 (c= 15%, v=0,03 m/s, dp=400 µm, surfusion 5 K)
0,00E+00
1,00E-05
2,00E-05
3,00E-05
4,00E-05
5,00E-05
6,00E-05
7,00E-05
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Z
Massecongelée
maille 1
maille 2
maille 3
maille 4
maille 5
Etude théorique des transferts thermiques dans une suspension chargée en MCP
124
Figure 2-14 : Evolution de la masse congelée dans chaque maille le long de l'échangeur dans le cas où Tw = -25°C et Tw = -40°C
Figure 2-15 : Profils de température dans la longueur Z en différentes épaisseurs y des plaques, pourU = 0,03 m/s – cm = 15 % ; ∆Tsurf = 5 K ; Tw = -25°C ; dp = 400 µm=
Maille n°1 : y=0,5 mm
Maille n°2: y=1 mm
Maille n°3 : y=1,5 mm
Maille n°5 : y=2,5 mm
(Centre de la conduite)
Maille n°4 : y=2 mm
Evolution de la masse congelée en fonction de la longueur de la plaque pour Tp=-25°C
0,00E+00
1,00E-05
2,00E-05
3,00E-05
4,00E-05
5,00E-05
6,00E-05
7,00E-05
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Z
Mas
se c
onge
lée
maille 1
maille 2
maille 3
maille 4
maille 5
Evolution de la masse de PCM congelée dans le cas 1 (c=15%, v=0,03 m/s, dp=400µm, surfusion 5°C)
0,00E+00
1,00E-05
2,00E-05
3,00E-05
4,00E-05
5,00E-05
6,00E-05
7,00E-05
0 20 40 60 80 100 120 140 160
Z
Mas
se c
onge
lée
maille 1
maille 2
maille 3
maille 4
maille 5