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SECUENCIA DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA NOCIÓN DE TRIÁNGULO,
MEDIADA POR LA ARGUMENTACIÓN Y APROXIMACIÓN A LA VERDAD: EN EL CONTEXTO DE LA
PEDAGOGÍA WALDORF
NOMBRE
Karolin Valencia Osorio
Trabajo final de maestría presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Director:
Doctor en Ciencias Pedagógicas: José Alberto Rúa Vásquez
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ciencias
Medellín, Colombia
2020
2
A todos y cada uno de los que me han inducido
de alguna forma, a ser responsable con
lo que hago y amo, especialmente,
Dios, mi hija y mi familia.
3
AGRADECIMIENTOS
Agradecimientos a todos los que de forma directa e indirecta hicieron parte de la construcción y
desarrollo de este trabajo, gracias a mi familia, especialmente padres e hija por su apoyo, paciencia y
acompañamiento.
Agradecimientos al Colegio Waldorf Isolda Echavarría, a sus maestros y mis tutoras por
mostrarme una visión diferente de la educación y a la promoción 2019 por permitirme y colaborar en la
intervención de esa forma tan especial, que solo ellos podían hacerlo.
Por último y no menos importante, gracias al maestro José Alberto Rua Vásquez, Doctor en
ciencias pedagógicas, por acompañar, apoyar y brindar su conocimiento y experiencia a este trabajo, su
ayuda fue absolutamente importante.
4
RESUMEN
El objetivo del presente trabajo fue diseñar una secuencia didáctica, mediada por la
argumentación y aproximación a la verdad, para favorecer el proceso enseñanza-aprendizaje de la
geometría euclidiana referido a la noción de triángulo: en el contexto de la pedagogía Waldorf-Steiner.
Metodológicamente el trabajo se inscribe en el enfoque de la Investigación acción, y el análisis de
la intervención se hace desde la perspectiva cualitativa-interpretativa, como un estudio de caso con los
estudiantes del grado undécimo del Colegio Waldorf Isolda Echavarría del municipio de La Estrella.
Paralelo al acercamiento a la demostración en la forma proposición-razón, propia de la Geometría
Euclidiana, se orienta al estudiante en un proceso autodeterminado que lo acerque a la vivencia de la
verdad desde el contexto de la pedagogía Waldorf-Steiner, teniendo presente el momento evolutivo del
joven y elementos como el trabajo colaborativo, la argumentación, el conocimiento dormido, la noción de
triángulo y desde luego el contexto de la pedagogía Waldorf.
Los resultados evidenciaron un proceso de aproximación no forzada por parte de los estudiantes,
que favoreció el proceso enseñanza-aprendizaje de la geometría euclidiana referido a la noción de
triángulo, que permitió el buen desarrollo de la misma y observar durante el proceso un empalme y
fortalecimiento de los conocimientos adquiridos con anterioridad y los nuevos.
Palabras claves: Pedagogía Waldorf, verdad, secuencia didáctica, triángulo, demostración,
argumentación, Geometría Euclidiana.
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ABSTRACT
The objective of the present work was to design a didactic sequence, mediated by
argumentation and approximation to the truth, to favor the teaching-learning process of Euclidean geometry
referring to the notion of triangle: in the context of Waldorf-Steiner pedagogy.
Methodologically, the work is part of the action research approach, and the analysis of the
intervention is done from the qualitative-interpretive perspective, as a case study with the eleventh grade
students of the Waldorf Isolda Echavarría School in the municipality of La Estrella.
Parallel to the approach to the demonstration in the proposition-reason form, typical of Euclidean
Geometry, the student is oriented in a self-determined process that brings them closer to the experience of
truth from the context of Waldorf-Steiner pedagogy, keeping in mind the moment evolutionary of the youth
and elements such as collaborative work, argumentation, sleeping knowledge, the notion of triangle and of
course the context of Waldorf pedagogy.
The results evidenced a process of unforced approximation on the part of the students, which favored the
teaching-learning process of Euclidean geometry referring to the notion of triangle, which allowed its proper
development and observed during the process a connection and strengthening of previously acquired and
new knowledge.
Key words: Waldorf pedagogy, truth, didactic sequence, triangle, demonstration, argumentation, Euclidean
Geometry.
6
Contenido
Contenido ..................................................................................................................................................... 6
CAPÍTULO I. DISEÑO TEÓRICO ................................................................................................................. 8
1. Planteamiento del problema ...................................................................................................................... 8
1.1Descripción del problema ..................................................................................................................... 8
1.2 Formulación de la Pregunta ............................................................................................................... 11
2. Justificación ........................................................................................................................................... 11
3. Objetivos ............................................................................................................................................... 12
3.1. Objetivo General .............................................................................................................................. 12
3.2 Objetivos Específicos ........................................................................................................................ 12
4. MARCO REFERENCIAL ......................................................................................................................... 13
4.1. Referente teórico ............................................................................................................................. 13
4.1.1 Contexto de la pedagogía Waldorf-Steiner: una perspectiva de la verdad ....................................... 13
4.1.2 Secuencia didáctica: una manera de organizar las actividades de aprendizaje ................................ 17
4.1.3 La argumentación en Geometría: una apuesta desde la lógica afirmación-razón, como aproximación
a la verdad y construcción del conocimiento. ........................................................................................ 18
4.2. Referente Disciplinar y/o conceptual .................................................................................................. 19
4.3. Referente Legal o normativo ............................................................................................................. 22
4.4. Referente Espacial .......................................................................................................................... 24
CAPÍTULO II. DISEÑO METODOLÓGICO ................................................................................................. 25
5. Diseño metodológico .............................................................................................................................. 25
5.1 Enfoque ........................................................................................................................................... 25
5.2 Método ............................................................................................................................................ 26
5.3 Instrumentos de recolección de la información .................................................................................... 28
5.4Población y Muestra .......................................................................................................................... 29
5.5 Impacto esperado ............................................................................................................................. 30
5.6 Cronograma de Actividades ............................................................................................................... 32
CAPÍTULO III. SECUENCIA DIDÁCTICA PARA EL PROCESO ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA
NOCIÓN DE TRIÁNGULO: EN EL CONTEXTO DE LA PEDAGOGÍA WALDORF ................................... 32
6. Actividades de aprendizaje ...................................................................................................................... 33
6.1 Actividades de apertura ..................................................................................................................... 33
7
6.2 Actividades de desarrollo................................................................................................................... 34
6.3 Actividades de cierre ......................................................................................................................... 35
7. Secuencia Didáctica diseñada ......................................................................................................... 37
CAPÍTULO IV. HALLAZGOS Y ANÁLISIS ................................................................................................ 49
8. Conclusiones ..................................................................................................................................... 69
Bibliografía. ................................................................................................................................................ 71
ANEXOS ..................................................................................................................................................... 73
8
CAPÍTULO I. DISEÑO TEÓRICO
1. Planteamiento del problema
1.1Descripción del problema
La enseñanza de la geometría en los colegios o Instituciones educativas en general de básica
primaria, secundaria y media vocacional, tiene como base el reconocimiento de las figuras geométricas,
unidades de medición, conversiones, el uso del plano cartesiano y en general una estructura, que de
acuerdo con los pensamientos a desarrollar a partir de los lineamientos curriculares del Ministerio de
Educación Nacional desarrollan un pensamiento espacial y un sistema geométrico.
No obstante, al indagar sobre las prácticas de enseñanza de la Geometría en cursos de
Bachillerato, no se observa un patrón que oficie de guía del cómo trabajar en el aula. En ese sentido
(Vedovatti, 2014), en su trabajo, detecta puntos de encuentro entre las metodologías de enseñanza
llevadas a cabo por los docentes sujetos de dicha trabajo. Bajo dichas concurrencias fue posible
categorizar las prácticas de enseñanza de la Geometría en Bachillerato desde dos dimensiones: una
enfocada directamente a la enseñanza de la Geometría (Dimensión 1: Prácticas de representación
material y Práctica de transformación) y la otra desde una perspectiva que abarca la planificación
(Dimensión 2: práctica invisible)
Las prácticas de representación material: tipo de prácticas que se instauran como forma de un
cambio que se viene presentando en el Bachillerato en cuanto a las formas de abordaje de los contenidos
geométricos. Ellas buscan favorecer los procesos de aprendizaje, atienden al empleo de recursos
didácticos en el aula como soporte para el desarrollo de habilidades tales como la visualización, la
abstracción, la elaboración de conjeturas y la argumentación, entre otras; se piensa, en coherencia con la
incorporación de las TIC (manejo de paquetes y/o software matemático como el Geogebra, Cabrí, entre
otros). Se presenta un marcado interés por lograr una correcta selección y organización de actividades de
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modo que los contenidos geométricos sean presentados en forma secuencial y escalonada. A la par de
una enorme preocupación por los procesos de aprendizaje de los estudiantes. Durante el proceso de
aprehensión de los conocimientos se favorece el tránsito de concreto a lo abstracto, como procesos de
pensamiento. Se hace necesario seleccionar estrategias que integren trabajos grupales en aprendizaje
colaborativo, en donde la discusión y argumentación de ideas, son esenciales. La idea básica es que
representar materialmente el objeto geométrico con el que se está trabajando es el medio para lograr la
aprehensión de los contenidos geométricos.
Prácticas de transformación: acciones realizadas con el fin de transformar las metodologías de
abordaje de las demostraciones y las prácticas argumentativas. Dichas acciones definen maneras
alternativas en el rol tanto del profesor como del estudiante, que pretenden complementar las prácticas del
modelo educativo tradicional, partiendo de los conocimientos y experiencias previas de los estudiantes que
los invite y motive a pensar y reflexionar sobre situaciones problémicas en contexto.
Práctica invisible: registro en forma escrita de un plan de intencionalidades a seguir a lo largo del
año, de metodologías de trabajo, recursos a implementar, estrategias de enseñanza con el fin de cumplir
con los objetivos propuestos en cada curso. Registro que aparentemente es de poco interés por parte de
los docentes. “Sin embargo, se halló que este aspecto se presentaba bajo una apariencia un tanto
distorsionada de la realidad. A pesar de la ausencia de registro de dichas intencionalidades, el proceso de
reflexión, autonomía pedagógica y libertad en cuanto a la toma de decisiones del accionar en el aula era
una práctica realizada en forma habitual por este grupo de docentes”. Este proceso reflexivo parecería
constituirse en una práctica invisible ante los ojos de un observador ajeno a esta realidad.
Los datos recogidos y analizados durante esta trabajo, muestran una tendencia al cambio en
cuanto a la metodología de abordaje de las prácticas de enseñanza-aprendizaje de la Geometría en los
niveles superiores de Educación Media. La caracterización presentada en este estudio sobre las prácticas
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de enseñanza permitió rescatar una Geometría que parecía estar olvidada y sin brillo e hizo posible
acercar una visión positiva de las formas de tratamiento de los contenidos geométricos en Bachillerato.
Sin embargo, finalizando el trabajo se presentaron nuevas inquietudes a cerca del proceso
enseñanza-aprendizaje de los contenidos geométricos, en cuanto a si las metodologías de abordaje de la
Geometría en Ciclo Básico y en Bachillerato son las mismas; y de ser así, ¿cómo se implementa su uso?
Con base en estas prácticas, se quiere ampliar, profundizar, documentar y evidenciar los logros
que propicia el uso de la geometría euclidiana (noción de triángulo, líneas notables y propiedades básicas)
desde la aproximación a la demostración en el joven, y observar si hay una transformación cognitiva y
anímico-espiritual. Desde la perspectiva de la pedagogía Waldorf en el estudiante de undécimo, se busca
movilizar su sistema sensitivo a través del diseño de formas y de la belleza geométrica, a su vez, como
búsqueda de la verdad.
Este enfoque de la geometría euclidiana en el aula busca potenciar la competencia argumentativa,
inherentemente en la forma afirmación-razón, a través del método deductivo. Este proceso, es transversal
a los procesos de fortalecimiento de la voluntad, la belleza interior vista desde lo exterior en la naturaleza,
la armonización de las fuerzas constitutivas del hombre que van transformando su ser espiritual paralelo a
su crecimiento físico y mental. Los conocimientos previos y algoritmos de orden, esperan con el tiempo,
que se evidencie el encuentro con la madurez pausada y silenciosa.
En este sentido, potenciar la competencia argumentativa, coadyuvaría a afianzar la voluntad del
estudiante a través de una perspectiva; como aproximación en la búsqueda de la verdad, a través del
método deductivo.
Se piensa entonces que un acercamiento a la noción de triángulo, desde un desarrollo de la
competencia argumentativa (forma afirmación-razón), propia de la lógica en la enseñanza- aprendizaje de
la Geometría Euclidiana; en la lógica deductiva, podría acercarnos de manera didáctica, a contrastar la
noción de verdad, explícita en el modelo pedagógico Waldorf-Steiner, de la institución educativa Waldorf
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Isolda Echavarría del municipio de La Estrella, específicamente con los estudiantes del grado undécimo;
constituyéndose en el eje central del problema a resolver en este proyecto.
1.2 Formulación de la Pregunta
Por lo anteriormente expuesto, este trabajo pretende construir una herramienta y un apoyo para
los docentes de la pedagogía Waldorf, aplicado en el aula de clase con los estudiantes, frente a la
demostración en la geometría euclidiana (noción de triángulo) en el proceso de formación del joven.
Específicamente en el grado undécimo del colegio Waldorf Isolda Echavarría del municipio de La
Estrella, se plantea la siguiente pregunta: ¿Cómo estructurar una secuencia didáctica para favorecer la
enseñanza-aprendizaje de la geometría euclidiana referido a la noción de triángulo, como pretexto para
consolidar conocimientos previos y nuevos, mediada por la argumentación (demostración) y aproximación
a la verdad: en el contexto de la pedagogía Waldorf”?
2. Justificación
La pedagogía Waldorf concibe al niño desde su espíritu, alma y cuerpo, donde ninguno de
estos es desvirtuado del otro para crecer, sino que van halando desde diferentes esferas.
La escuela brinda las asignaturas e intensidad requerida por el MEN, y de la mano con el contacto
de la naturaleza, las actividades artísticas, teatrales, musicales; entre otros. En este ámbito la geometría y
el aprendizaje de sus contenidos se concibe como liberación al observar al estudiante no solo desde su
aspecto cognitivo, sino también anímico-espiritual.
Desde la pedagogía y la concepción del niño, cuando se ubican cronológicamente en el tercer
septenio, entre los 14 y los 21 años de edad, el adolescente se encuentran en la búsqueda de la verdad,
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ávidos de la firmeza y la comprobación de procesos lógicos lograrán descubrir que el mundo es verdadero
y darán un mayor fundamento a su desarrollo integral.
Desde el trabajo en el diseño de formas y de tipo geométrico, al igual que los significados, las
mediciones, proporciones, armonía, geometría euclidiana e incluso inicios de geometría proyectiva se da
un valor agregado a la formación del estudiante Waldorf, pero ¿Cómo hacerlo? ¿Cómo desarrollarlo? y
¿Cómo implementarlo? son algunas de las preguntas que surgen eventualmente al hablar del tema y por
las cuales es valioso darle cabida a este plan de trabajo.
3. Objetivos
3.1. Objetivo General
Diseñar una secuencia didáctica, mediada por la argumentación y aproximación a la
verdad, para favorecer el proceso enseñanza-aprendizaje de la geometría euclidiana referido a la
noción de triángulo: en el contexto de la pedagogía waldorf
3.2 Objetivos Específicos
Indagar por los elementos previos, “recuerdos”, sobre líneas notables, propiedades, símbolos,
notaciones y representaciones; referidas a la noción de triángulo.
Diseñar una secuencia didáctica que acerque a los estudiantes al desarrollo de la capacidad
argumentativa y a la noción de “verdad”, a través de la forma afirmación-razón propia del método
deductivo, referida a la noción de triángulo.
Implementar la secuencia didáctica diseñada con los estudiantes del grado undécimo del Colegio
Waldorf Isolda Echavarría del municipio de La Estrella.
Valorar la implementación de la secuencia didáctica en el contexto señalado.
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4. MARCO REFERENCIAL
4.1. Referente teórico
Como elementos teóricos que fundamenten la propuesta, de manera sucinta, se referencia la
teoría legada por Rudolf Steiner, fundador de la pedagogía, Michaela Glöcker desde la pedagogía curativa
y Tobías Richter desde el apoyo al contenido del plan de estudios de la pedagogía Waldorf-Steiner, la
concepción de secuencia didáctica de Diazbarriga, la noción de argumentación ……..
4.1.1 Contexto de la pedagogía Waldorf-Steiner: una perspectiva de la verdad
La pedagogía Waldorf-Steiner usa la geometría como un elemento para aportar al estudiante, en
la formación de su YO.
Cuando el estudiante llega al Tercer septenio (entre 14 y 21 años), vive: “El mundo es verdadero”.
La búsqueda de la veracidad en diferentes aspectos le dará cimiento a su alma que se encuentra en un
vaivén, entre la simpatía y la antipatía. Las ciencias exactas, incluyendo la geometría, le ayudarán desde
el pensar para darle estabilidad y explorar en la formación del juicio.
Es de aclarar que para llegar al sentir de la verdad (lo que ingresa en el pensar, transformarlo en
el sentir, como se pretende realizar en este trabajo), no se dispone de un recetario, ni de un manual de
instrucción. (Hartong, 2001) en su texto Despertar a la verdad, lo explica con la siguiente imagen: cuando
un hombre se encuentra enamorado, puede escribir cartas de amor a una dama en las que afirme no
poder encontrar palabras para expresarle su inmenso amor. Cuando su enamorada las lee, comprende
exactamente lo que el hombre le quiere decir, a pesar de la admitida incapacidad que ha expresado para
hacerlo.
La verdad y como lo pretende la pedagogía waldorf, quizás no pueda tener precisión en palabras,
y de hecho no se logra en los chicos, hablando por ejemplo de su definición, menos desde el tema
abordado en el presente trabajo.
14
Advierte (Hartong, 2001), que es necesario, incluso, tener cuidado con las creencias, los valores y
la rigidez mental, ya que el descubrimiento de la verdad puede generar incomodidades. Por esto se realiza
en un proceso de auto-educación dirigido.
Para esta etapa especialmente, las matemáticas tienen un significado existencial, los alumnos
tienen la posibilidad de considerar su propia forma de pensar; buscar diversos puntos de partida, llevar a
cabo un análisis sistemático, comprobando resultados. Los estudiantes aprenden a formarse, entonces, un
juicio con respecto a condiciones e hipótesis. Así lo expresa Richter, T. (1995).
¿Cómo se enseña en la escuela Waldorf?
En la edad escolar en los primeros 7 años el niño tiene un pensamiento imaginativo y su
necesidad está en la ocupación de sus manos e imágenes en qué ocupar su alma. Entre los 7 y los 14
años se da una separación del mundo que se continúa trabajando paulatinamente hasta la edad de los 14
a los 21 años.
Para el trabajo de esta última etapa vivida en la escuela desde el grado octavo hasta undécimo la
pedagogía Waldorf establece:
Respecto al horario de clase hay una distribución especial en los estudios diarios y anuales. Esta
comprende que al inicio del día hay una clase larga, de concentración de 4 semanas con el objeto de que
el estudiante se disponga a desarrollar el aprendizaje del conocimiento que requieren de mayores
facultades intelectuales, entonces en este caso las matemáticas están en esta distribución, asignatura en
la cual se desarrollará este proyecto.
La clase actúa sobre su alma como incentivo, brotan el sentimiento al lado de la lógica, la
imaginación al lado de la memoria y la actitud al lado de la idea.
¿Cómo actúa la geometría en el estudiante en la escuela Waldorf?
(Carlgren, 1989) citando a Steiner, decía que las leyes geométricas en el universo y en el arte
pueden llevarnos a vivencias de excelsa felicidad. La Geometría en todas sus formas tiene especial
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relevancia en la escuela Waldorf, ya que no se dirige solo y específicamente a la adquisición de
conceptos, y al cálculo matemático sino también a la visualización de su belleza en el orden natural.
La escuela Waldorf con esto pretende un acercamiento entre el pensar y el obrar, una amorosa
relación entre el estudiante y lo que estudia, emanando de allí poder creador conducente a una vida
práctica y el sentido práctico generando paz.
La simbología, la proporción, las razones y relaciones entre segmentos por ejemplo son por
constante uso, conceptos necesarios en el desarrollo de la geometría, pero muy especialmente en la
Geometría Euclidiana, (Glöckler G. , 2015) destaca que en esta Geometría el alma encuentra con mayor
arraigo la adaptación a las condiciones espaciales-terrenales. Generando mayor seguridad en la
sensación vital del aquí y el ahora.
En el grado undécimo por ejemplo a través de la geometría euclidiana y la ya acercada simbología
del triángulo se obtiene el propósito de presentar la belleza de la geometría y el significado espiritual de las
figuras como lo mencionaba (Steiner, 1919).
El estudiante Waldorf de grado undécimo
En esta fase de la adolescencia de acuerdo con la pedagogía Waldorf, el estudiante está
desarrollando el juicio y haciendo un esfuerzo insondable por encontrar la verdad. Necesitan cultivar su
“YO” y buscan ideales que sean dignos de sus intereses. El método de aprendizaje en ellos ha cambiado y
ahora es más conceptual y cognitivo. Hay una necesidad del adolescente por ser llamado y traído al
pensar por su maestro. El aprendizaje es más analítico y autodeterminado.
El aprendizaje en fases desde la pedagogía Waldorf
Cada ciclo de etapas se da, cada vez que se inicia una nueva época, como se mencionó
anteriormente en el horario usado en la escuela o cuando el maestro desea o ve el grupo preparado para
comenzar un nuevo tema.
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Fase 1: esta fase dura un día, el tema de los triángulos se presenta a los estudiantes de grado
undécimo y los contenidos a evocarse para que ellos lo reciban y lo traigan a la memoria. Esta fase se
trabajará desde la narración. Steiner decía que el escuchar historias en palabras de los maestros es para
el estudiante una experiencia muy poderosa, les permite digerir sus experiencias y sentirse implicado. Se
comienza con la narración del significado de las figuras geométricas, especialmente el triángulo desde la
geometría sagrada, también se recuerda a través de la narración las propiedades de los triángulos y los
elementos básicos que hacen parte del mismo. La intención es que el estudiante se haga imágenes de sus
recuerdos, de lo que trabajó en años anteriores que le será útil para el desarrollo del próximo.
Fase 2: esta fase también dura un día. Luego de “dormir” el conocimiento, al día siguiente se
realiza la retrospectiva, los estudiantes hacen uso de los recuerdos en un diálogo que pretende reconstruir
la clase del día 1, verificando hasta donde los chicos se adueñaron realmente del contenido y más
importante aún, si sufrió algún tipo de transformación en él. Para Steiner el proceso del dormir era literal y
es una parte fundamental del aprendizaje. Los estudiantes, no todos, se irán nombrando aleatoriamente
para que continúen con la retrospectiva, en orden secuencial de atrás hacia adelante; el estudiante hace
en un acto de consciencia y voluntad el ejercicio de hilar y narrar lo sucedido en la clase anterior.
Fase 3: esta fase no tiene una cantidad de días determinados, en ella se produce la evolución de
la comprensión de los estudiantes en los conceptos. Aquí los estudiantes comprueban a través de la
medición, la generación de juicios y la confrontación de perspectivas la clasificación de los triángulos, sus
propiedades, las líneas notables y criterios de semejanza, incluso trayendo el conocimiento dormido1 ya
trabajado en grados anteriores, aquellas que han de servir para esclarecerse con el acercamiento al
método proposición-razón para las demostraciones en la geometría euclidiana. No se puede olvidar que
1 El intervalo entre dos períodos de una misma asignatura significa lo mismo que la noche entre dos jornadas escolares. Para que los conocimientos se
conviertan en capacidades, el recordar y reencontrar lo sumergido tiene la misma importancia que el despertar después del sueño. Precisamente, cuando una
nueva materia acapara los ánimos, y la asignatura recientemente concluida, que hasta ahora aún "hacía furor" en la vida escolar, se sume en la penumbra,
sucede algo muy significativo
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desde el contexto de la pedagogía Waldorf, se aspira a fortalecer el equilibrio espiritual del chico haciendo
uso de su etapa evolutiva, llegar a la verdad. La secuencia didáctica actuará como el eje transformador de
dicho proceso autodeterminado. (Steiner, 1923), mencionó en una de sus conferencias que “nosotros
como maestros y educadores somos tan solo el entorno del niño que se auto-educa. Apoyado en nosotros,
de la manera en que se tenga que educar de acuerdo con su destino interno”.
4.1.2 Secuencia didáctica: una manera de organizar las actividades de aprendizaje
Desde la perspectiva de (Diaz-Barriga, 2013)la secuencia didáctica es la organización de las
actividades de aprendizaje a realizarse con los estudiantes y para ellos con la finalidad de crear
situaciones que le permitan desarrollar un aprendizaje significativo.
Si bien tiene una estructura genérica, es flexible en cuanto que cada docente en libertad y de
acuerdo con su contexto, además según su visión y propósitos deben estructurar su trabajo propio, libre de
ser un mero formulario o receta para la enseñanza de un contenido.
(Diaz-Barriga, 2013), recomienda tener presente para la construcción de la secuencia didáctica:
- Establecer una serie de actividades de aprendizaje que tengan un orden entre sí.
- Partir de la intención de recuperar conocimientos previos.
- Permitir al estudiante realizar cosas, acciones que vinculen sus conocimientos y experiencias
previas.
- Integrar de manera paralela la secuencia de actividades para el aprendizaje y la evaluación
para el aprendizaje inscrita en esas mismas actividades, en sus tres dimensiones
diagnósticas, formativa y sumativa.
Las secuencias didácticas están integradas por tres tipos de actividades: apertura: en la cual se
permite abrir el clima de aprendizaje, traer a su pensamiento diversas informaciones poseídas; desarrollo:
su finalidad es que el estudiante interaccione con la nueva información; cierre: tiene la finalidad de lograr la
integración de las tareas realizadas, la síntesis del proceso y del aprendizaje desarrollado.
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4.1.3 La argumentación en Geometría: una apuesta desde la lógica afirmación-razón, como aproximación
a la verdad y construcción del conocimiento.
La argumentación como competencia, habilidad o capacidad es un elemento importante que se
desarrolla a través de las actividades, temáticas o experiencias, no solo en la escuela, pero que se dejan
principalmente a esta última; las ciencias allí, aducen tener una valiosa participación.
(Sardá & Sanmartí, 2000), investiga sobre las principales dificultades de los estudiantes para
abordar las ciencias y explica que las más sobresalientes en ellos radican en gran parte en la poca
capacidad para diferenciar hechos observables e inferenciales, identificar argumentos significativos y
organizarlos de manera coherente.
El desarrollo de una demostración en geometría euclidiana no escapa de esta estructura, mucho
menos de su conferida dificultad. Cuando el estudiante tiene claridad sobre el argumento de cada
afirmación bajo la mirada clara de la comprensión de la utilidad de la misma, va reconstruyendo una
definición que más que conceptual pasa a ser práctica. Que se constituye insumo para la creación de una
secuencia lógica que le lleva de una hipótesis a una tesis. Es decir, partiendo de un conocimiento,
construye un puente firme a través del cual pueda llegar a una verdad, llamada tesis.
(Puentes, 2015) concibe la justificación, en este caso como sinónimo de argumentación, incluye
acciones como buscar ideas para organizar un argumento, elaborarlo y producir una justificación. En este
proceso, el reconocimiento claro de las ideas y los contenidos se convierten en una necesidad para el
estudiante; la misma que le permitirá avanzar en ese proceso autodeterminado de aproximarse con mayor
confianza hacia el desarrollo de una demostración. De esta manera el saber se hace una consecuencia,
que el estudiante sin intencionalidad directa desarrollará, no para la evaluación de dichos conocimientos
sino para la comprensión y ejecución de los pasos de una demostración. Viéndolo desde el contexto
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Waldorf partiendo del todo para llegar al conocimiento particular, como una expresión y manera peculiar
científica de aproximación a la noción de verdad.
Para (Perry, Samper, Camargo, Echeverry, & Molina, 2012), uno de los contextos que favorece la
argumentación es la actividad demostrativa, que involucra los procesos de conjeturación y justificación
relacionados entre sí, de manera que algunas de las conjeturas que se formulan se justifican. La
demostración en la estructura (Afirmación-Razón), posee importantes bondades que el estudiante puede
llegar a desarrollar de manera natural, en una especie de juego lógico, donde la claridad en el proceso,
quizás es más importante que el conocimiento mismo. Conocimiento generalmente mecánico, imbricado
en las prácticas de la enseñanza tradicional, generalmente entregado como acabado, que se estudia para
la avaluación.
En esta perspectiva, bajo el precepto de la pedagogía Waldorf, el conocimiento también educa
hacia la libertad; en cuanto conoce y reconoce cómo lo usa, en qué momento y bajo qué argumentos. La
aproximación a la argumentación bajo el pretexto de la demostración, puede ser una ruta de acercamiento
natural y silencioso en la exploración del ser, la construcción del conocimiento y la verdad como ideal de
formación del estudiante: “ser Waldorf ser único”.
4.2. Referente Disciplinar y/o conceptual
Para el desarrollo de esta propuesta es necesario tener presente que en la escuela Waldorf, desde
la que se pretende ayudar al niño en la formación de su ser, usando como pretexto los contenidos, de
acuerdo con su etapa evolutiva, se incorpora el tema de la geometría euclidiana por la belleza de la
geometría en general y por el proceso del pensar y la voluntad que invoca el desarrollar una demostración
por el método deductivo de afirmación – razón, el cual le ayudará al joven a aterrizar aún más su YO,
llegando a una verdad. Es decir, a la tesis que tendrá que demostrar a partir de las hipótesis planteadas.
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La geometría euclidiana es la desarrollada propiamente por Euclides en los años 300 A.C;
básicamente escrita en su tratado llamado Elementos, inicialmente la geometría tenía un carácter
experimental, pero los griegos no estando satisfechos con el “que” revelado por esta geometría buscan
como responder al “Por qué” con explicaciones racionales y allí comienza la geometría deductiva. La cual
quiere sembrarse en los estudiantes por medio del tema a trabajar en esta intervención. Para desarrollar
esta geometría, Euclides aclara frente a elementos muy importantes como los postulados y los axiomas
que los postulados son verdades aceptadas sin demostrar y los axiomas son verdades evidentes también
aceptadas sin demostrar. Haciendo uso de estos elementos podemos llegar a la demostración de tipo
deductivo. Para la escuela es hacer uso del conocimiento dormido, como lo llamaba Steiner, el
conocimiento adquirido en grados anteriores y demostrados a través de la medición en las propiedades de
los triángulos, la clasificación de los mismos y de los ángulos en general, serán insumo para desarrollar las
demostraciones en triángulos.
Euclides dio pie a la demostración por medio del método deductivo, este método tenía la
intensión filosófica de construir una ciencia para conocer la verdad. Consiste en la conexión lógica y
consecutiva de axiomas que permitan obtener nuevas proposiciones que surjan como resultado de las
anteriores. El objetivo era explicar partiendo de unos primeros principios, conformar un cuerpo deductivo
hasta llegar a una tesis. Este método, además, tiene de valioso la obligación de justificar o fundamentar
cada paso que se adelanta en el cuerpo deductivo justificando su utilidad. A esta forma se le ha
denominado también afirmación-razón. Este proceso de demostración tiene consigo una complejidad
nata, organizar estructuras mentales anticipadas y que, en el camino, se hilen, que vayan transformando la
hipótesis inicial hasta encontrar una verdad y que además incluya la justificación de cada paso, es un
proceso no solo del pensar sino de la voluntad. Estos dos elementos en el desarrollo del adolescente y
para la pedagogía Waldorf son los ejes de formación del tercer septenio.
21
Para hacer uso de este tipo de demostración en triángulos, adicionamos los conceptos siguientes
que son de utilidad en el tema de los triángulos.
Los Ángulos y su clasificación son relevantes en todo este proceso ya que es prudente tener
clara su clasificación, para momentos donde sea oportuno usarlos, un ángulo es la unión de dos rayos con
un origen común. Los lados son llamados rayos y el punto común vértice. En cuento a la clasificación: si
los ángulos de un par lineal son congruentes, entonces cada uno de ellos se llama “ángulo recto”, la
medida de un ángulo recto es 90. Si dos ángulos tales que la suma de sus medidas es 90 son ángulos
complementarios. Si la suma de las medidas de dos ángulos es 180, son ángulos suplementarios. Si la
medida de un ángulo es menor es menor que 90 se llama ángulo agudo o acutángulo. Si la medida de
un ángulo es mayor que 90 se llama ángulo obtuso u obtusángulo. Si dos ángulos tienen un lado en
común son ángulos adyacentes. (Londoño & Valencia, 1994)
(Londoño & Valencia, 1994) en su texto de geometría euclidiana definen el triángulo, así: dados 3
puntos no colineales A, B, C la unión de los segmentos AB, BC Y CA se llama triángulo. Los segmentos
AB, BC Y CA se llaman lados y los puntos A, B, C se llaman vértices. Acercar los estudiantes al lenguaje
geométrico euclidiano será una fase importante del proceso, la simbología y la denotación.
La clasificación de los triángulos será recordada a modo repaso en la fase 1, ya que será
necesario para el desarrollo de la comprensión en las características de las figuras a trabajar en las
demostraciones: Isósceles: un triángulo con mínimo dos de sus lados congruentes, el otro es llamado
base. Equilátero: triángulo cuyos lados son congruentes. Escaleno: triángulo cuyos lados no son
congruentes. Equiángulo: triángulo con los 3 ángulos congruentes. Acutángulo: triángulo con sus tres
ángulos agudos. Obtusángulo: triángulo que tiene un ángulo obtuso. Rectángulo: triángulo con uno de
sus ángulos rectos, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los otros dos lados se llaman
catetos. (Londoño & Valencia, 1994)
22
En los estándares curriculares en las competencias matemáticas hablan acerca de los procesos
complejos que reúne la geometría euclidiana, luego de que pasa en el proceso de escuela del uso
cualitativo al cuantitativo, y la aparición y aceptación de las propiedades de los objetos. Estas propiedades
espaciales que ahora serán métricas se convierten en conocimientos formales, teoremas de la geometría
euclidiana. Aunque en los estándares no aparece como tema obligatorio la geometría euclidiana, por
tratarse de un elemento que acerca al ser humano a un pensamiento complejo que va en busca de la
verdad se adiciona en el currículo de la escuela Waldorf.
La enseñanza de la Geometría Euclidiana desde la escuela permite una visión más amplia de la
misma y una preparación en cuanto a las estructuras lógicas, consecutivas, y ordenadas de procesos
sistemáticos de demostración. El chico de grado undécimo está listo para apreciar la belleza de la verdad
a través del conocimiento mismo y alimentar así su espíritu.
Es importante incluso, desde la práctica docente, ya que no es un tema al que en general los
maestros les tengan mucho aprecio, ya que enseñar es tipo de geometría y a demostrar propiamente no
es una labor muy perseguida, la geometría euclidiana en su proceso demostrativo de tipo deductivo
pretende propiciar espacios para la búsqueda de la verdad y orden lógico de los pensamientos, además de
transformar el conocimiento dormido en manifestaciones complejas.
4.3. Referente Legal o normativo
Aquí se enunciarán las leyes, normas, decretos, comunicados, resoluciones, documento rector,
entre otros que reglamentan el tema a desarrollar en este proyecto, es necesario tener presente que la
institución es de tipo privado. Y que la geometría euclidiana es un “plus” que pretende desarrollarse de
acuerdo con el contexto de la institución y del grupo a intervenir en especial.
23
Tabla 1. Normograma
Ley, norma, Decreto,
comunicado, resolución,
documento rector, entre otros.
Texto de la norma
Contexto de la norma
Constitución política de Colombia.
Art 67 (1991)
“La educación es un derecho de la
persona (…) con ella se busca el
acceso al conocimiento y a los
valores que intervienen en dicha
formación.”
La educación es un bien público y
por lo tanto no debe restringirse, los
seres humanos buscan su
formación.
Ley 115 Ley General de Educación
Art. 22 (1994) Numeral c, n)
(Congreso de la República de
Colombia, 1994)
“Los cuatro (4) grados [de básica
secundaria], tendrán como
objetivos específicos los siguientes:
(…) c) “El desarrollo de las
capacidades para el razonamiento
lógico, (…) la vida cotidiana”
n) “La utilización con sentido
crítico”.
La enseñanza de las matemáticas,
incluyendo el pensamiento
geométrico, le permitirá acceder a
otros campos.
Estándares Básicos de
Competencias en Lenguaje,
Matemáticas, Ciencias y
Ciudadanas. (MEN, 2006a)
“Los Estándares Básicos de
Competencias en Matemáticas
como guía de análisis, disciplina y
sus implicaciones pedagógicas”.
Busca desarrollar habilidades en
los cinco pensamientos
matemáticos, y equilibrar su
aspecto sensitivo a través del
conocimiento.
24
4.4. Referente Espacial
El lugar desde el cual se desarrollará la intervención pedagógica planteada en este proyecto es el
Colegio Waldorf Isolda Echavarría, ubicado en la ciudad de La Estrella.
El colegio ofrece educación en preescolar, básica primaria, básica secundaria y media vocacional,
hasta el grado undécimo, la comunidad es de tipo mixto, de estratos socioeconómicos 4 y 5, es de carácter
privado y basa su modelo en la pedagogía Waldorf, fundada por Rudolf Steiner en 1919 en Alemania,
traída a Colombia por Venedikta Zur Nieden, esposa de Diego Echavarría Misas. En esta pedagogía los
estudiantes se encuentran en el centro del quehacer docente, entre los cuales su objetivo pedagógico
radica en formar seres de juicio y preparados para ser puestos en libertad.
Las tareas de la educación en la pedagogía Waldorf pueden enunciarse en: promover el desarrollo
saludable en cada niño individual, capacitar a los niños para realizar su potencial, ayudar a los niños a
desarrollar las habilidades que necesitan para contribuir a la sociedad. La tarea más importante del
maestro es el estudio de los niños como núcleo del desarrollo de él mismo y del currículo. “si leer nos
revela los pensamientos de la otra persona, -leer- la naturaleza de un niño nos revela algo de su ser
interior”. En la escuela Waldorf enseñar es una búsqueda constante del equilibrio entre el conocimiento de
lo que apoya al desarrollo de los niños a una determinada edad y lo que este niño necesita ahora. En este
orden de ideas el currículo Waldorf se centra en la comprensión de su desarrollo.
En los grados superiores, especialmente el grado undécimo, en el cual se desarrolle esta
propuesta, no esperan que el maestro les revele la verdad en un sentido absoluto, pero si esperan que les
muestre que la verdad se puede encontrar. Estos chicos tienen edades entre los 17 y 18 años.
“En la escuela Waldorf seguimos determinados métodos pedagógicos, pero también tenemos la
máxima libertad posible. Todo nuestro currículo está determinado por lo que sea espiritualmente
necesario, pero por otra parte los maestros tienen la máxima libertad posible para hacer lo que consideran
apropiado” (Steiner, 1923).
25
CAPÍTULO II. DISEÑO METODOLÓGICO
5. Diseño metodológico
5.1 Enfoque
Este trabajo tendrá enfoque en la investigación acción, ya que “este modelo tiene el fin de
transformar la práctica y buscar mejorarla permanentemente en la acción” (Restrepo, 2006) a través de
unas fases se aborda una problemática específica, se evalúa y se planea un nuevo ciclo de ser necesario,
igual o modificado de acuerdo con los resultados obtenidos.
El enfoque pretende antes que nada promover la investigación de los maestros para identificar
problemáticas, y en este orden crear herramientas de apoyo e intervención que mejoren o desarrollen
temáticas con dificultades. En este caso el enfoque se usa como la posibilidad del desarrollo de una
temática que no está en el currículo tradicional, pero se adapta a la intención de la Pedagogía Waldorf,
que busca conectar las necesidades de la etapa evolutiva del estudiante con la temática a desarrollar.
La Investigación Acción Educativa invita, de otro lado, al maestro investigador a escribir acerca de
sus prácticas, sustentar por escrito la planeación y propósito de su intervención en el aula. Este
instrumento “Permite al maestro verse constantemente como aprendiz, ya que le enseña como aprender a
aprender cómo comprender la estructura de su propia práctica y como transformarla permanente y
sistemáticamente su práctica pedagógica”. (Restrepo, 2006)
De otro lado y en correlación lo que se viene exponiendo, la intervención será analizada desde la
perspectiva cualitativa-interpretativa, la investigación cualitativa tiene la propiedad de ser flexible, puede
acomodarse al ritmo de los estudiantes de forma individual. Lo cual enlaza de forma perfecta con la
pedagogía Waldorf, esta permite y exige al maestro mirar a cada estudiante como un ser individual con
características, habilidades y procesos uno a uno.
En este proceso se quiere investigar acerca de la transformación en el adolescente del tercer
septenio, frente a la sensación que genera el encuentro con la tesis de una demostración deductiva desde
26
la geometría euclidiana en el proceso afirmación-razón y como el uso de los conocimientos dormidos en
otros grados, subliman la intención de aplicación posterior a partir de una hipótesis dada.
El proceso de la transformación de la impotencia inicial frente a dichos ejercicios, podrá ser
valorada de forma cualitativa interpretativa por el maestro en la exteriorización de las sensaciones de los
estudiantes, en el seguimiento de observación y progreso en el abordaje de los mismos en un
acercamiento paulatino, progresivo y significativo para el mismo estudiante y el asombro frente al
encuentro con la verdad podrá dar señales al maestro del proceso de transformación de la práctica
docente que pretende abordar por medio de esta intervención.
5.2 Método
De acuerdo con el enfoque en la Investigación Acción, se desarrollan las siguientes fases para el
desarrollo de esta propuesta.
Fase de diagnóstico:
En esta fase se hace una discusión personal e interpersonal frente a la intención y la realidad,
necesidad y posibilidad del grupo a intervenir, la oportunidad del desarrollo de un trabajo y la
concatenación frente a la pedagogía Waldorf, en la cual se desarrolla la propuesta.
Lectura frente al currículo Waldorf y la forma de la propuesta metodológica debían coincidir, para
que no generara diferencias arraigadas en todos los aspectos inicialmente mencionados. Se realizan
discusiones pedagógicas con las fundadoras de la institución para conocer más aún sobre el contexto y
tomar una decisión, que fuese acorde.
Se hace una revisión bibliográfica tanto del área específica como de las necesidades que presenta
el joven del tercer septenio; se deambula por la geometría sagrada, diseños geométricos, geometría
proyectiva y geometría euclidiana con el fin de abordar alguno de estos aspectos, aunque se tenía muy
claro que el área a trabajar sería geometría por la importancia de esta en la pedagogía Waldorf. Luego de
elegir el tema, comienza la fase de delimitación, uno que permita abordarse en un tiempo límite y que
27
permita lograr la intención del trabajo. Se delimita el tema en geometría euclidiana a la demostración de
tipo inductiva, para triángulos.
Segunda fase: plan de acción.
Durante esta fase identifican y reconocen los elementos que hacen parte de la pedagogía dentro
del desarrollo de un tema, se eligen los instrumentos pedagógicos que pueden darle la ruta al desarrollo
del tema en la escuela. Se realiza la verificación de instrumentos posibles para llevar al chico desde la
iniciación del tema hasta el cierre de la misma. Se tiene en cuenta que en la pedagogía elementos como la
narración, el arte, la medición y comprobación son elementos posibles. Y en este orden se consideran los
siguientes elementos a tener en cuenta.
La preparación o introducción al tema y para esta, se preparan narraciones en las cuales los
estudiantes se involucren con la palabra y la historia tanto de la geometría como de Euclides. Unido a esto,
realización de figuras en material concreto que tengan triángulos como pirámides. Decoración, trazo y
verificación de las propiedades de los triángulos para traer los conocimientos dormidos en los estudiantes.
Exposición del método a trabajar por la maestra, fichas para completar el aspecto faltante, luego
actividades para que ellos realicen, de acuerdo con el ritmo de trabajo de cada estudiante y aprendizaje
del tema, sin forzar, a su ritmo llevarán a cabo lo comprendido. Preparación de la valoración de los
ejercicios, la observación será fundamental, el proceso rítmico de trabajo a nivel individual permitirá
evaluar la comprensión del formato y el nivel en la capacidad del pensar de cada estudiante y por medio
de él el nivel de maduración en el proceso evolutivo de acuerdo con la pedagogía.
El proceso de evaluación al ser individual y donde otros factores a fortalecer serán la voluntad, la
persistencia, la solución de dificultades, el correcto uso de los conocimientos ya adquiridos, el orden
secuencial y principalmente el encuentro con la verdad, sublimarán las capacidades del joven de undécimo
grado quien en su proceso de formación aún se beneficia enormemente para consolidar su capacidad de
28
juicio. El estudiante también escribe una autoevaluación reflexiva frente a lo que aprende en conocimiento
y subjetividad para su crecimiento personal.
Al final del proceso para complementar el uso del arte en la escuela Waldorf, realizarán obras de
búsqueda, plasmadas en connotaciones artísticas y se evidenciará allí en lo sensible del arte, su contacto
con la búsqueda de la verdad.
Tercera fase: Intervención
De acuerdo con el horario y la intensidad horaria en la pedagogía, se realizaría en dos semanas,
para un total de 20 horas de trabajo. En primer lugar, se realizaría una socialización y sensibilización de la
actividad a realizar con los estudiantes, los objetivos, la forma de evaluación y la importancia de esta.
Se realiza en el aula de clase del grado undécimo, y alterno se tienen otros ambientes naturales y
de talleres si es necesario. Las guías que se soliciten en copias y los materiales para las actividades
artísticas siempre están dispuestas en la escuela.
Cuarta fase: evaluación y reflexión
Finalmente habrá una participación de tipo auto, inter y evaluativa, para recoger las sensaciones
suscitadas, las reflexiones y sugerencias frente al trabajo de la maestra, de ellos y entre ellos.
Con la información recolectada y a la luz de la pedagogía Waldorf se realizarán una reflexión
escrita frente a los objetivos iniciales, el desarrollo de la intervención los resultados obtenidos. Esto, con el
fin de valorar y evaluar si la intención inicial del proyecto dio los resultados esperados.
Las obras de arte también permitirán vislumbrar ese proceso en lo personal como se vivió en el
anímico de los jóvenes y ellos construirán en un verso su visión y relación con la verdad, que aunada al
análisis de la maestra condensarán una visión más global del proyecto.
5.3 Instrumentos de recolección de la información
Como fuentes primarias serán utilizadas las planeaciones, las obras de arte antes y después de la
intervención, ejercicios de complejidad progresiva, cuestionarios reflexivos, autoevaluación.
29
Obras artísticas: es una creación libre, el reflejo estético conforme a una sensación, imagen real
o no real. Son obras que invitan a la admiración. Este instrumento en la pedagogía Waldorf refleja y
construye el anímico del niño y se convierte en un instrumento de orden visual.
Talleres progresivos: para aplicar, avanzar y desarrollar la habilidad para la demostración se
construirán fichas de diferente complejidad, para ir desarrollando, los estudiantes guardarán el progreso en
una carpeta y se convertirá en una fuente de información escrita.
Registro fotográfico: se recolectarán imágenes del trabajo en diferentes momentos para generar
una galería donde se evidencia el trabajo de los chicos. Instrumento visual de información.
Diario de campo: registro de la planeación de las actividades a realizar de forma progresiva con
los estudiantes de grado undécimo, durante la intervención. Será un instrumento de información escrita.
Autoevaluación escrita: para la pedagogía y para el proceso en general es importante conocer
de forma reflexiva la autoevaluación de forma escrita que presentará cada uno de los estudiantes, frente a
las sensaciones y el conocimiento transformado. Será un instrumento de tipo escrito.
5.4Población y Muestra
El Colegio Waldorf Isolda Echavarría, está ubicado en la ciudad de La Estrella, atiende población
de preescolar a undécimo grado en jornada única, cuenta en el área administrativa con 7 personas,
operativos de 10 personas y 46 maestros y personal de apoyo, 500 estudiantes aproximadamente.
Cada grado de primero a undécimo tiene un solo grupo, de 35 estudiantes en promedio, la
intervención se realizará con los estudiantes de undécimo grado, actualmente dicho grupo tiene 31
estudiantes. La información recolectada en la intervención se analizará desde el aspecto cualitativo.
Esta propuesta pretende desarrollarse en el primer periodo escolar del año 2019, donde se planea
desarrollar el método deductivo de demostración desde la geometría euclidiana, aplicada en los triángulos.
Esto des de la pedagogía Waldorf pretende ayudar al joven al encuentro con la verdad, a través del
desarrollo de la demostración hasta la obtención de la tesis, como es general en este tipo de
30
demostraciones y como se pretende en la pedagogía Waldorf en el tercer septenio, la búsqueda de la
verdad.
5.5 Impacto esperado
Se espera generar en el estudiante de undécimo grado una sensación de alivio en su proceso de
aprendizaje, no solo en el aspecto cognitivo sino también en lo espiritual, aunque la pedagogía manifiesta
que muchos de los resultados de la metodología no son visibles durante su estancia en el colegio, se
espera que los estudiantes manifiesten en primera instancia asombro por el uso y resultados obtenidos
usando los conocimientos dormidos, a su vez, reconozcan en ellos la posibilidad de generar secuencias
lógicas, ordenadas y justificadas para llegar a un resultado ya conocido y reflejen en sus demostraciones
artísticas la sensibilidad consigo mismo frente a sus capacidades pero también con el mundo exterior por
los elementos que ofrece a su desarrollo emocional y vital.
Tabla 2. Planificación de Actividades
Fase Objetivo a cumplir Descripción de las actividades
Fase 1:
diagnóstico
Diseñar un proyecto de
trabajo e intervención en
que se acople y se
fortalezca en la
pedagogía Waldorf.
1.1. Análisis de los temas posibles a abordar
en la intervención filiados a la etapa evolutiva del
joven del grado undécimo.
1.2. Revisión bibliográfica sobre la pedagogía
Waldorf y su currículo, orientado a la posibilidad
de trabajar geometría euclidiana en el aula.
1.3. Delimitación del tema frente a la
31
demostración inductiva, en el método afirmación-
razón solo en los triángulos.
1.4. Redacción y organización de la propuesta de
trabajo final.
Fase 2:
Elaboración del
plan de acción
Elegir el material de
trabajo y las estrategias
a utilizar para el
correcto desarrollo de la
propuesta
2.1. Rastreo de lecturas relacionadas con la
geometría euclidiana y el desarrollo de las
demostraciones con triángulos, bajo la forma
afirmación-razón.
2.2. Diseño y elaboración de los instrumentos
a utilizar para la introducción, desarrollo y
evaluación de la temática desde la pedagogía
Waldorf.
Fase 3:
intervención en
el aula
Delimitar el espacio y
espacio tiempo de
intervención de acuerdo
con el horario de la
pedagogía Waldorf.
3.1. Aplicación de la estrategia pedagógica
definida en el aula de clase.
Fase 4:
Evaluación y
reflexión
Evaluar la pertinencia
del tema desarrollado en
correlación con el
momento evolutivo del
grado undécimo según
la pedagogía Waldorf.
4.1. Recolectar las observaciones realizadas
por maestro y estudiantes frente al proceso y
desarrollo de la intervención.
4.2. Evaluar y analizar los resultados de la
propuesta, bajo la mirada de la pedagogía
Waldorf.
32
4.3. Realizar conclusiones de la intervención
en el aula y recomendaciones para
intervenciones futuras.
5.6 Cronograma de Actividades
Tabla 3. Cronograma de actividades
Actividades Semanas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Actividad 1.1 X X
Actividad 1.2 X X
Actividad 1.3 X X
Actividad 1.4 X X
Actividad 2.1 X X X X
Actividad 2.2 X X X X
Actividad 3.1 X X X X X X X X
Actividad 4.1 X X X
Actividad 4.2 X X X
Actividad 4.3 X X
CAPÍTULO III. SECUENCIA DIDÁCTICA PARA EL PROCESO ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA
NOCIÓN DE TRIÁNGULO: EN EL CONTEXTO DE LA PEDAGOGÍA WALDORF
En este capítulo se describe el desarrollo de la secuencia didáctica, propuesta que organiza las
actividades de aprendizaje sugeridas por (Diaz-Barriga, 2013), a saber: Actividades de apertura,
33
Actividades de desarrollo y Actividades de cierre. Además, los resultados de las pruebas desarrolladas
durante la intervención.
6. Actividades de aprendizaje
A continuación, se enuncian en el orden correspondiente las actividades realizadas para el
desarrollo de la temática a través de la secuencia didáctica.
Estas actividades se desarrollan de forma secuencial y de acuerdo con el ritmo y el orden de las clases en
la escuela Waldorf. Las actividades de apertura se desarrollan en dos días, pero el diseño de fractal con
triángulos se sigue trabajando durante los primeros minutos del día durante todo el desarrollo de la
secuencia. El arte es una forma de disponer previamente al estudiante a la atención en la parte principal
de la clase.
6.1 Actividades de apertura
1. Diseño y aplicación de prueba diagnóstica: en esta actividad se diseña una prueba por medio
de la cual se quiere conocer los recuerdos, las certezas o debilidades de los estudiantes, que, en
el proceso de intervención con la secuencia didáctica, puedan convertirse en fortalezas.
2. Narración de los diversos significados de los triángulos, desde varios enfoques como
geometría sagrada, religioso, espiritual: para la escuela Waldorf, tal como se narró en la fase 1
de las etapas de una temática es muy importante la narración, y en este caso desde diversas
perspectivas, el triángulo guarda muchos significados. Por esto para ingresar al tema de los
triángulos, se narra desde el simbolismo de la geometría sagrada hasta los significados en
diferentes religiones de lo que es el triángulo.
3. Diseño y decoración de fractal con triángulos: la parte artística en la escuela también tiene un
significado importante, dispone al estudiante desde lo sensitivo para recibir el conocimiento. Por
esto se propone el trabajo con el fractal de triángulos, porque además se refuerzan las
34
propiedades del triángulo por el trazo y construcción del mismo, que lo hace cada uno de los
estudiantes, pintarlo de manera personal según sus gustos, activa el sentir.
6.2 Actividades de desarrollo
1. Observación de una demostración completamente realizada: se entrega a los estudiantes una
demostración sobre el tema de ángulos completamente resuelta. Con el fin de que los estudiantes
se acerquen a ella, identifiquen términos, similitudes en la estructura, el lenguaje simbólico e
identifiquen partes.
2. Verbalización de la demostración: la demostración que los estudiantes tienen en sus manos,
ahora comienza a verbalizarse, con su ayuda, aproximación, recuerdo e intuición se lee la
demostración y se va observando en el gráfico el desarrollo de la misma.
3. Identificación de las partes y objetivo de la demostración: Se continua con la demostración
trabajada, ahora identificando Hipótesis: H, Tesis: T, Afirmación, Razón, antecedentes y
consecuentes. Con la adecuada orientación, los estudiantes descubren la estructura y función de
cada una de las partes, necesidad y papel en dicho proceso complejo de razonamiento.
4. Completar espacios de la razón: Se entrega una nueva demostración a los estudiantes en la
cual algunos aspectos de la razón están sin completar, dichos espacios implicarán más que
memoria, la secuencia lógica de los sucesos que allí se escriben. Para este ejercicio se reúnen
por equipos para poner en común sus ideas y buscar estrategias y recuerdos que les permitan
completar dicho paso de la secuencia didáctica.
5. Completar espacios de la afirmación y la razón: en esta actividad los estudiantes deberán
esforzarse un poco más en sus recuerdos, su capacidad de argumentación, la capacidad
algorítmica para llevar a término una demostración iniciada, pero que ellos terminarán. Un ejercicio
en el cual hay 3 tesis, se les entrega la primera y los estudiantes deberán culminarla.
35
6.3 Actividades de cierre
1. Prueba final: los estudiantes resuelven una prueba final en la cual se evalúan los avances
respecto a los mismos elementos y conceptos evaluados en la prueba diagnóstica como,
comprensión del lenguaje simbólico, gráfico y enunciativo respecto a las propiedades de las
propiedades, líneas notables, definición de triángulo, enunciados o identificación de caso a partir
del gráfico y preguntas argumentativas.
2. Desde el contexto Waldorf: en dicha prueba final, se incluyen preguntas que, en un modo de
estructura geométrico, pasen el término verdad por el sentir, no solo por el pensar como se ha
venido desarrollando.
3. Autoevaluación: Los estudiantes desarrollan una autoevaluación donde escriben la valoración
(nota numérica) que consideran por su participación en el tema, responden las preguntas: ¿Qué
aprendió? Y ¿qué exigía de mí la temática?, esto con el fin de seguir fortaleciendo y dirigiendo el
camino de la verdad que cada uno ha de construir en su proceso de conocimiento y desarrollo del
juicio tanto práctico como social.
Las actividades de desarrollo 1 y 2 se realizan en una sesión de forma individual, pero con
socialización grupal, frente a sus opiniones, inquietudes, observaciones y explicaciones necesarias que
realizara la maestra.
Las actividades 3 y 4 se desarrollan en otra sesión de clase, la 3 de forma magistral y la 4 con
discusión grupal favoreciendo y promoviendo el trabajo colaborativo entre ellos, para luego socializar en el
grupo y ver las diferentes propuestas de solución.
La actividad 5 se desarrolla en otra sesión, puesto que se requiere más tiempo y análisis para la
culminación en el desarrollo de la actividad, se propician propuestas individuales, como discusiones
grupales al respecto de la solución. Una demostración con 3 tesis, en la que se resuelve la primera y ellos
deben avanzar hacia las demás.
36
La actividad de cierre, por completo, se realiza en una última sesión, se realiza el cierre la época,
llamada así en el horario Waldorf-Steiner y se cierra el tema trabajado con la autoevaluación escrita de
cada uno de los chicos.
Aprendizajes esperados de la secuencia
La realización de las actividades de la secuencia didáctica, promueven el uso y afianzamiento de
argumentos geométricos en la comprensión del lenguaje gráfico y el lenguaje simbólico propio de los
triángulos, en definiciones, propiedades, líneas notables, congruencia de triángulos a través de
secuencias lógicas de la demostración Afirmación-razón, propio de la geometría euclidiana. Además,
desde el contexto Waldorf, trascender en el significado de la verdad trabajado en el tercer septenio.
Quiere decir, que se quiere que los estudiantes:
Identifiquen el proceso de desarrollo de una demostración (Actividad de desarrollo 1)
Verbalicen símbolos geométricos utilizados en el desarrollo de las demostraciones (Actividad de
desarrollo 2)
Se acerquen a la estructura demostrativa Afirmación-Razón, a través de la identificación de sus
partes y objetivo (Actividad de desarrollo 3)
Afiancen la competencia argumentativa, a través de la identificación de la razón del uso de
algunas afirmaciones (Actividad de desarrollo 4)
Apliquen sus recuerdos y nuevos conocimientos en el desarrollo de una demostración,
afianzando la argumentación a través de afirmaciones y razones en una de ellas (Actividad de
desarrollo 5)
Este proceso de enseñanza permite que el estudiante se acerque paulatinamente al proceso
demostrativo, propio de la geometría euclidiana, pero además de eso utilice el conocimiento dormido y
nuevos conocimientos en el desarrollo de secuencias lógicas, mientras afianza la comprensión en la
37
clasificación de triángulos, definición de triángulo, propiedades de los triángulos, líneas notables de los
triángulos y criterios de congruencia.
Además, visualiza criterios de verdad que le permiten avanzar con confianza en el encuentro
con este elemento tan fundamental en el tercer septenio para la pedagogía Waldorf. La verdad desde lo
demostrativo trascendido por la verdad en significado y transformado por el sentir del estudiante.
Se muestra en detalle la secuencia didáctica diseñada:
7. Secuencia Didáctica diseñada
SECUENCIA DIDÁCTICA PARA EL PROCESO ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA NOCIÓN DE
TRIÁNGULO: EN EL CONTEXTO DE LA PEDAGOGÍA WALDORF
GRADO: Undécimo
MAESTRA: Karolin Valencia Osorio
ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE
1. Actividades de apertura
1.1 Diseño y aplicación de prueba diagnóstica: En la presente actividad se pretende identificar en
usted, el manejo, uso e interpretación del lenguaje gráfico y simbólico de la geometría, en especial de
la clasificación y propiedades de los triángulos, al igual que de la capacidad argumentativa y
representativa según el caso. La misma no tiene efectos académicos y por ello te invito a que la hagas
con toda la tranquilidad, motivación y compromiso posible.
La actividad consta de 10 preguntas, 6 preguntas de respuesta múltiple con única respuesta verdadera
y 4 preguntas de argumentación.
1. De acuerdo con las representaciones, los triángulos pueden clasificarse respectivamente:
38
a. Equilátero-Isósceles-Rectángulo
b. Isósceles-Equilátero-Rectángulo
c. Rectángulo-Isósceles-Equilátero
d. Rectángolo-Equilátero-Isósceles
Contestar las preguntas 2 y 3, según las figuras.
2. Las imágenes representan líneas notables de un triángulo,
Figura 1 Figura 2 Figura 3 a. Bisectriz-Mediana-Altura
b. Media-Bisectriz-Altura
c. Altura-Bisectriz-Mediana
d. Altura-Mediana-Bisectriz
3. De las figuras se puede afirmar:
a. En la figura 2, CD = AD
b. En la figura 3, m (CBD) m (ABD)
c. En la figura 2, BD CA
d. En la figura 3, (CBD) = (ABD)
39
4. De la siguiente imagen se puede afirmar:
a. m BCA = 30°
b. m BCA = 60°
c. m BCA = 90°
d. m BCA = 20°
5. De acuerdo con la imagen
a. m α = 100°
b. m α = 110°
c. m α = 120°
d. m α = 130°
6. De acuerdo con la imagen:
40
a. m ABC = 30°
b. m CBD = 120°
c. m ABC = 50°
d. m CBD = 140°
7. Escriba si es posible o no, justificando, la construcción de un triángulo que cumpla las condiciones.
a. Un triángulo rectángulo y equilátero:
b. Un triángulo acutángulo e isósceles:
8. A partir del gráfico escriba un enunciado:
9. A partir del enunciado, realice la representación gráfica.
“La mediana en un triángulo, es aquella que parte de un vértice al lado opuesto dividiéndolo en dos
segmentos iguales”
41
.
10. Identificar y señalar, en la siguiente frase, el antecedente y el consecuente:
“Si no tienes claro para dónde vas, posiblemente termines en cualquier lugar”
1.2. Narración de los diversos significados de los triángulos, desde varios enfoques como
geometría sagrada, religioso, espiritual.
1.3. Diseño y decoración de fractal con triángulos: Para esta actividad debes seguir las siguientes
orientaciones:
Dibuja un triángulo equilátero del mayor tamaño posible en la hoja
Ubica el punto medio de cada lado y dibuje el triángulo con vértices en dichos puntos
Realice el mismo procedimiento en los tres triángulos equiláteros adyacentes
De acuerdo al patrón realice este proceso dos veces más
Esta actividad deberás desarrollarla de manera progresiva los primeros 20 minutos de cada día
que se desarrolle la secuencia.
2. Actividades de desarrollo
2.1 Observación individual de una demostración completamente realizada: Para esta actividad,
se entrega una demostración sobre el tema de ángulos. Tu rol es observarla durante 10 minutos.
2.2 Verbalización de la demostración: Ahora la maestra empieza a leer la demostración de manera
pausada para que asocies el lenguaje verbal con las representaciones simbólicas, propias de la geometría.
2.3 Identificación de las partes y objetivo de la demostración: Se continua con la demostración
trabajada, ahora identificarás las Hipótesis (H), Tesis (T), Afirmación, Razón, antecedentes y
consecuentes. Con la adecuada orientación de la maestra, debes descubrir la estructura y función de cada
una de las partes, su necesidad y papel en dicho proceso de razonamiento.
42
Tomado de (Londoño & Valencia, 1994), Pág 41.
2.4 Completar espacios de la razón: En esta actividad se te entregan dos demostraciones en
tiempos diferentes, en la cual algunos aspectos de la razón están sin completar, dichos espacios
implicarán más que memoria, la secuencia lógica de los sucesos que allí se escriben. Para este ejercicio
en aprendizaje colaborativo, con los integrantes de tu grupo pondrás en común tus ideas y buscarás
43
estrategias y recuerdos que permitan completar dichos pasos de la primera demostración. Para la segunda
demostración deberás animarte a hacerlo de manera individual y luego podrás socializarla en los grupos
de trabajo.
Demostración 1. Tomado de (Londoño & Valencia, 1994), Pág 78.
44
Demostración 2. Tomado de (Londoño & Valencia, 1994), Pág 81.
2.5 Completar espacios de la afirmación y la razón: en esta actividad deberás esforzarte un poco
más en tus recuerdos, en tu su capacidad de argumentación, y tú capacidad algorítmica para llevar a
término una demostración iniciada. En la demostración aparecen tres (3) tesis. Se te entrega resuelta la
primera y debes resolver (demostrar) las otras dos.
45
Tomado de (Londoño & Valencia, 1994), Pág 134. Ejercicio propuesto
3. Actividades de cierre
3.1 Aplicación de Pprueba final: Ahora podrás validar y reconocer tus avances respecto de la
comprensión del lenguaje simbólico, gráfico y enunciativo concerniente a la definición, propiedades y
líneas notables de los triángulos; enunciados o identificación de casos a partir del gráfico y preguntas
argumentativas.
SECUENCIA DIDÁCTICA PARA EL PROCESO ENSEÑANZA-APRENDIZAJE DE LA NOCIÓN DE
TRIÁNGULO: EN EL CONTEXTO DE LA PEDAGOGÍA WALDORF
GRADO: Undécimo
MAESTRA: Karolin Valencia Osorio
46
La prueba consta de 10 preguntas, 6 preguntas de respuesta múltiple con única respuesta verdadera
y 4 preguntas de argumentación.
1. De dos triángulos se puede afirmar:
a. Que son congruentes, si todos sus lados tienen aproximadamente la misma medida b. Que son congruentes, si dos de sus ángulos y el lado entre ellos son correspondientes c. Que son congruentes, si todos sus ángulos tienen una medida proporcional d. Que son congruentes, si todas sus partes correspondientes son congruentes
2. La imagen representa:
a. Bisectriz-mediana y altura de un triángulo escaleno b. Bisectriz-mediana y altura de un triángulo isósceles c. Bisectriz-mediana y altura de un triángulo equilátero d. Bisectriz-mediana y altura de un triángulo rectángulo
Contestar las preguntas 3 y 4 de acuerdo con la siguiente imagen.
47
3. De la figura se puede afirmar:
a. m (CBA) = 70°; por definición de triángulos
b. m (BCA) = 30°; por definición de triángulos
c. m (BCA) = 70°; por propiedad de los triángulos
d. m (CBA) = 30°; por propiedad de triángulo
4. De acuerdo con las propiedades de los triángulos la medida del ángulo que es par lineal y
suplementario al BAC, tiene una medida, de:
a. 50° b. 130° c. 100° d. 80°
De acuerdo con la información a continuación, conteste las preguntas 5 y 6.
5. Si m AB = 3cm y m BC = 4cm:
a. m BM = 4,5cm b. m BM = 3,5cm c. m BM = 2,5cm d. m BM = 1,5cm
6. Se puede afirmar entonces que:
a. A-B-C b. M-B-C c. A-M-B d. A-M-C
48
Justifique las siguientes respuestas:
7. ¿En un triángulo pueden coincidir la bisectriz y la mediana?
8. A partir del gráfico escriba un enunciado:
9. Escriba una frase con antecedente y consecuente respecto al término “verdad”.
10. De la frase “Usted no puede esperar construir un mundo mejor sin mejorar a las personas. Cada
uno de nosotros debe trabajar para su propia mejora” (Marie Curie) explique la sensación de
verdad que le genera.
3.2 Autoevaluación: Ahora de manera responsable vas a valorar (nota numérica) tu participación en
la secuencia didáctica, respondiendo las preguntas: ¿Qué aprendí? Y ¿qué exigió de mí la
temática? Argumentando dicha valoración.
49
CAPÍTULO IV. HALLAZGOS Y ANÁLISIS
En la población en la cual se realizó la intervención hay una estudiante con diagnóstico de retraso
leve y una estudiante que llegó de Chicago como intercambio con la institución educativa. En total fueron
28 estudiantes.
En la prueba diagnóstica se pretendía identificar el manejo, uso e interpretación del lenguaje
gráfico y simbólico de la geometría, en especial de la clasificación y propiedades de los triángulos, al igual
que de la capacidad argumentativa y representativa según el caso.
La prueba constó de 10 preguntas, 6 preguntas de respuesta múltiple con única respuesta
verdadera y 4 preguntas de argumentación. Y los resultados fueron los siguientes:
ANALISIS DE LOS RESULTADOS DE LA PRUEBA DIAGNÓSTICA
1. De acuerdo con las representaciones, los triángulos pueden clasificarse respectivamente:
a. Equilátero-Isósceles-Rectángulo
b. Isósceles-Equilátero-Rectángulo
c. Rectángulo-Isósceles-Equilátero
d. Rectángolo-Equilátero-Isósceles
50
Contestar las preguntas 2 y 3, según las figuras.
2. Las imágenes representan líneas notables de un triángulo,
Las opciones de respuesta eran:
a. Bisectriz-Mediana-Altura
b. Media-Bisectriz-Altura
c. Altura-Bisectriz-Mediana
d. Altura-Mediana-Bisectriz
0
10
20
30
a b c d
Relación pregunta 1
Frecuencia
0
5
10
15
20
a b c d Noseñaló
Relación pregunta 2
Frecuencia
Respuestas Frecuencia
a 0
b 1
c 26
d 1
Total 28
Respuestas Frecuencia
a 1
b 5
c 3
d 17
No señaló 2
Total 28
51
3. De las figuras se puede afirmar:
a. En la figura 2, CD = AD
b. En la figura 3, m (CBD) m (ABD)
c. En la figura 2, BD CA
d. En la figura 3, (CBD) = (ABD)
4. De la siguiente imagen se puede afirmar:
a. m BCA = 30°
b. m BCA = 60°
c. m BCA = 90°
d. m BCA = 20°
0
5
10
a b c d Noseñaló
Relación pregunta 3
Frecuencia
Respuestas Frecuencia
a 6
b 9
c 4
d 6
No señaló 3
Total 28
52
5. De acuerdo con la imagen
a. m α = 100°
b. m α = 110°
c. m α = 120°
d. m α = 130°
0
10
20
30
a b c d Noseñaló
Relación pregunta 4
Frecuencia
0
10
20
30
a b c d Noseñaló
Relación pregunta 5
Frecuencia
Respuestas Frecuencia
A 3
B 1
C 22
D 1
No señaló 1
Total 28
Respuestas Frecuencia
a 2
b 23
c 2
d 0
No señaló 1
Total 28
53
6. De acuerdo con la imagen:
a. m ABC = 30°
b. m CBD = 120°
c. m ABC = 50°
d. m CBD = 140°
7. Escriba si es posible o no, justificando, la construcción de un triángulo que cumpla las condiciones.
a. Un triángulo rectángulo y equilátero:
Respuesta Frecuencia
SI 1
0
5
10
15
a b c d
Relación pregunta 6
Frecuencia
Respuestas Frecuencia
a 6
b 4
c 5
d 13
Total 28
A
54
NO 24
Total 25
b. Un triángulo acutángulo e isósceles:
Respuesta Frecuencia
SI 19
NO 6
Total 25
Nota: para esta pregunta 3 estudiantes al parecer, no comprendieron la instrucción de lo que debían
hacer.
8. A partir del gráfico escriba un enunciado:
7 de 28 estudiantes lograron establecer una relación correcta en la imagen, escribiendo que se refería
a un triángulo escaleno o a la correspondencia de los lados con los ángulos, donde lado mayor se opone a
ángulo mayor y lado menor se opone a su ángulo menor.
9. A partir del enunciado, realice la representación gráfica.
“La mediana en un triángulo, es aquella que parte de un vértice al lado opuesto dividiéndolo en dos
segmentos iguales”
55
Análisis: 13 estudiantes hicieron una representación claramente acertada sobre la definición; 4
estudiantes no hicieron una representación lo suficientemente clara, como para identificar la comprensión
o no de la misma; y 8 estudiantes no hicieron una representación gráfica correcta, del enunciado.
10. Identificar y señalar, en la siguiente frase, el antecedente y el consecuente:
“Si no tienes claro para dónde vas, posiblemente termines en cualquier lugar”
17 estudiantes identificaron y marcaron claramente el antecedente y el consecuente de la frase; 2
estudiantes no hicieron el ejercicio y 7 no evidenciaron comprender las partes de la frase que se
solicitaban.
Los resultados fueron:
Preguntas aprobadas en
relación con el total
Nº
estudiantes
3/10 5
4/10 2
5/10 2
5,5/10 1
6/10 4
6,5/10 1
7/10 7
7,5/10 1
8/10 2
9/10 2
56
OBSERVACIONES
De acuerdo con los resultados, se observa un reconocimiento importante de las propiedades de
los triángulos, de la misma manera dudas frente algunos de los símbolos utilizados, en cuánto el momento
de su uso, especialmente los de igualdad y congruencia.
Se encuentra dificultad para la sustentación en razones o fundamentos teóricos de situaciones
propuestas y la representación gráfica clara, a partir del enunciado.
Un número significativo de estudiantes logró encontrar de forma intuitiva el antecedente y el
consecuente de la frase.
ANALISIS DE LOS RESULTADOS DE LA PRUEBA FINAL
Esta prueba fue presentada por todos los estudiantes de grado 11, incluyendo una estudiante de
intercambio que vino de la ciudad de Chicago y participó de todo el proceso de intervención. En total 28
estudiantes.
La prueba consta de 10 preguntas, 6 preguntas de respuesta múltiple con única respuesta verdadera y
4 preguntas de argumentación.
1. De dos triángulos se puede afirmar:
a. Que son congruentes, si todos sus lados tienen aproximadamente la misma medida
b. Que son congruentes, si dos de sus ángulos y el lado entre ellos son correspondientes
c. Que son congruentes, si todos sus ángulos tienen una medida proporcional
d. Que son congruentes, si todas sus partes correspondientes son congruentes
Respuesta Frecuencia
a 5
b 5
0
5
10
15
20
a b c d
Relación pregunta 1
Frecuencia
57
C 2
D 16
Total 28
2. La imagen representa:
a. Bisectriz-mediana y altura de un triángulo escaleno
b. Bisectriz-mediana y altura de un triángulo isósceles
c. Bisectriz-mediana y altura de un triángulo equilátero
d. Bisectriz-mediana y altura de un triángulo rectángulo
Respuesta Frecuencia
A 2
B 3
C 23
D 0
Total 28
0
5
10
15
20
25
a b c d
Relación pregunta 2
Frecuencia
58
Contestar las preguntas 3 y 4 de acuerdo con la siguiente imagen.
3. De la figura se puede afirmar:
a. m (CBA) = 70°; por definición de triángulos
b. m (BCA) = 30°; por definición de triángulos
c. m (BCA) = 70°; por propiedad de los triángulos
d. m (CBA) = 30°; por propiedad de triángulos
Respuesta Frecuencia
a 2
b 0
c 1
d 25
Total 28
0
5
10
15
20
25
30
a b c d
Relación pregunta 3
Frecuencia
59
4. De acuerdo con las propiedades de los triángulos la medida del ángulo que es par lineal y
suplementario al BAC, tiene una medida, de:
a. 50° b. 130° c. 100° d. 80°
De acuerdo con la información a continuación, conteste las preguntas 5 y 6.
5. Si m AB = 3cm y m BC = 4cm:
Respuesta Frecuencia
a 2
b 23
c 3
d 0
Total 28
0
5
10
15
20
25
a b c d
Relación pregunta 4
Frecuencia
60
a. m BM = 4,5cm
b. m BM = 3,5cm
c. m BM = 2,5cm
d. m BM = 1,5cm
Respuesta Frecuencia
a 1
b 3
c 24
d 0
Total 28
6. Se puede afirmar entonces que:
a. A-B-C b. M-B-C c. A-M-B d. A-M-C
Respuesta Frecuencia
a 3
b 0
c 1
d 24
Total 28
0
5
10
15
20
25
30
a b c d
Relación pregunta 5
Frecuencia
0
5
10
15
20
25
30
a b c d
Relación pregunta 6
Frecuencia
61
Justifique las siguientes respuestas:
7. ¿En un triángulo pueden coincidir la bisectriz y la mediana?
Para comodidad en el análisis, se clasifican las respuestas de la siguiente manera.
Respuesta + justificación correcta: R+J
Respuesta correcta, sin justificación correcta: R
Respuesta incorrecta: RI
Respuesta Frecuencia
R+J 14
R 11
RI 3
Total 28
Las 14 respuestas correctas con justificación correcta, incluye que los estudiantes discriminaron
las diferencias y posibilidades de que este suceso ocurra en cuanto a la clasificación de triángulos o la
definición de las dos líneas notables por las cuales se preguntaba en el enunciado.
11 estudiantes contestaron que era posible, pero a la hora de justificar la respuesta no fueron lo
suficientemente claros en su lenguaje y redacción.
8. A partir del gráfico escriba un enunciado:
0
5
10
15
R+J R RI
Can
tid
ad d
e r
esp
ue
stas
Respuestas
Relación pregunta 7
62
Para comodidad en el análisis, se clasifican las respuestas de la siguiente manera.
Descripción del gráfico + Enunciado correcto: D+E
Descripción correcta, sin enunciado: D
Respuesta Incorrecta: RI
Respuesta Frecuencia
D+E 16
D 6
RI 6
Total 28
9. Escriba una frase con antecedente y consecuente respecto al término “verdad”.
En esta pregunta, 24 de 28 estudiantes lograron escribir con claridad la frase, de tal manera que se
identificara antecedente y consecuente, según la indicación.
4 estudiantes de 28, no evidenciaron comprender en su redacción, la expresión del antecedente y el
consecuente en la frase.
10. De la frase “Usted no puede esperar construir un mundo mejor sin mejorar a las personas. Cada
uno de nosotros debe trabajar para su propia mejora ” (Marie Curie) explique la sensación de
verdad que le genera.
0
5
10
15
20
D+E D RI
Relación pregunta 8
Frecuencia
63
En este caso 1 estudiante no comprendió la indicación de la pregunta y no contestó, el resto. Es decir,
27 estudiantes expresaron de forma clara la sensación de verdad generada por dicha frase.
OBSERVACIONES
Los estudiantes evidencian una mayor comprensión del lenguaje usado en los enunciados, esto
se evidencia en que a diferencia de la prueba inicial en la cual algunos estudiantes dejaron de
contestar preguntas por la poca comprensión, para la prueba final la totalidad de las preguntas
fueron contestadas por todos y cada uno de los estudiantes que presentaron la prueba, y la
cantidad de estudiantes fue exactamente la misma.
Se evidencia una mayor comprensión en la lectura del lenguaje simbólico utilizado para el
planteamiento y respuesta de las preguntas realizadas en la prueba.
Se evidencia seguridad en las respuestas tanto de Líneas notables como de propiedades de
triángulos, ya que en todas las preguntas más del 60% de los estudiantes contestaron o
señalaron la respuesta correcta a cada una de las preguntas. Hubo preguntas en las que el
porcentaje de respuesta correcta fue de 80 y 90%.
Una baja cantidad de estudiantes aun no justifica fácilmente la razón de las respuestas que
desarrolla.
A partir de la imagen, el 78,57% de los estudiantes logran identificar un caso o enunciado
geométrico, como la congruencia de triángulos y el 57,14% además de identificar el caso, lo
justifica o describe por medio de lenguaje simbológico o gramático.
24 de 28 estudiantes evidencian comprensión de las partes de antecedente y consecuente en la
conformación de una frase respecto a un tema indicado.
64
Los estudiantes logran a través del lenguaje en prosa, describir la sensación de verdad generada
por una frase, es decir, para el contexto Waldorf, trascender en el significado de la verdad, no
solo de pensamiento sino también desde el sentir.
Las relaciones de las preguntas buenas frente a las incorrectas de los estudiantes, fueron:
Respuestas
correctas
Cantidad de
estudiantes
10/10 3
9,5/10 3
9/10 5
8,5/10 2
8/10 8
7,5/10 2
6,5/10 2
6/10 1
4/10 1
3,5/10 1
Total 28
COMPARATIVO ENTRE LA PRUEBA DIAGNÓSTICO Y PRUEBA FINAL
Aunque las pruebas fueron diferentes, ambas apuntaban a la valoración de los mismos
conocimientos o habilidades, y en ese orden de ideas, se realizará la comparación en resultados para
observar si el resultado se mantuvo, mejoró o por el contrario disminuyó en el resultado del grupo
intervenido.
65
Ítem evaluado Resultado prueba diagnóstica Resultado prueba final
Comprensión, reconocimiento y
análisis de las propiedades de
los triángulos
En la prueba inicial, en las
preguntas 4, 5 y 6 se
establecieron situaciones de
análisis que convergen en la
claridad de propiedades de los
triángulos, los resultados fueron
de 23; 22; 13 de 28,
respectivamente en aciertos.
Por otro parte, en la prueba final,
las preguntas 3 y 4
correspondían al manejo de las
propiedades, en esta ocasión las
respuestas en aciertos fueron de
25; 23 de 28 aciertos
respectivamente.
Análisis, reconocimiento y uso
de las líneas notables de los
triángulos.
Para el desarrollo de la prueba
inicial, la pregunta 2 de
respuesta múltiple y la 9 en la
cual debían representar
gráficamente la definición de
mediana, tuvieron aciertos de la
siguiente manera. Pregunta 2,
17/28 y para la pregunta 9,
13/28.
En la prueba final, las preguntas
que evaluaron este ítem, fueron:
la 2 y la 5 de selección múltiple,
para las cuales los aciertos
fueron de 23; 24 de 28,
respectivamente y la pregunta 7
que buscaba una argumentación
de acuerdo con la situación
planteada sobre las líneas
notables se encontró 14/28
argumentaciones claras, además
de 11 respuestas que aunque
correctas en posibilidad, a la
argumentación le faltó un poco
66
más de fundamentación.
Comprensión del lenguaje
simbólico, propio de la geometría
euclidiana
En la prueba inicial, se puede
observar en la pregunta 2, para
la cual hubo 6/28 aciertos.
En la prueba final, se puede
observar en la pregunta 6, para
la cual se dieron 24/28 aciertos.
Construcción de enunciado a
partir de la imagen
Prueba inicial, pregunta 8, en la
cual se encontraron 7/28
construcciones con sentido,
coherencia y uso del lenguaje
propio de la geometría.
Para la prueba final, pregunta 8,
se encontró que 16/28
estudiantes, tuvieron los
elementos claves, y una
redacción precisa de lo que
significaba la imagen.
Identificación de antecedente-
consecuente, como elementos
propios de la demostración
Afirmación-Razón.
En la prueba inicial a través de la
pregunta 10, se indagaba sobre
la identificación intuitiva de un
antecedente y un consecuente
en una frase. Se validó que 17
de 28 estudiantes además de
comprender la instrucción,
señalaron claramente y de forma
acertada dichas partes.
En la prueba final se les solicitó
escribir una frase, en la cual se
identificara claramente el
antecedente y el consecuente
como una forma de validar no
solo la comprensión de los
términos, sino también la
posibilidad de usarlos en su
expresión personal de la verdad.
Allí encontramos que libre de su
visión personal del término
verdad, 24/28 estudiantes
hicieron una propuesta clara en
67
la cual se identificaba
antecedente y consecuente.
Diferencia entre igualdad y
congruencia en el contexto
demostrativo.
Para la prueba inicial, se
evidencia la intencionalidad del
ítem en la pregunta 3,
obteniendo 6 aciertos de 28.
Para la prueba final se evaluó en
definición entre triángulos y hubo
16 de 28 aciertos. Al igual que
en la pregunta 8 en la que se
debía escribir el enunciado de
acuerdo con la imagen, como
recurso para evidenciar la
comprensión de congruencia
entre triángulos y se vieron 16
de 28 aciertos.
Clasificación de triángulos En la prueba inicial se
establecieron las preguntas 1 y
7. La primera de selección
múltiple en la cual hubo 26 de 28
aciertos y en la segunda, la cual
correspondía a la 7 que
implicaba reconocimiento y
justificación, se observó en sus
subniveles a. y b. 24 y 19
aciertos de 28 estudiantes.
Para la prueba final, no se
realizan preguntas directamente
sobre el ítem, por la verificación
en el manejo significativo del
mismo en la prueba inicial, pero
se hace uso de dicho
conocimiento para realizar otras
preguntas de mayor
complejidad. Pero, que implicaba
tener clara la clasificación, por
ejemplo en las preguntas 5 y 7.
68
Verdad desde el contexto
Waldorf
En la prueba inicial, no se
realizan preguntas sobre el tema
específicamente ya que se
pretende ahondar en el mismo
de manera silenciosa, de
acuerdo con el contexto.
En la prueba final se aborda
dicho elemento desde la
sensación y la percepción de
verdad, para este último, en la
pregunta 9 formulando una frase
al respecto con antecedente-
consecuente, para lo cual 24 de
28 estudiantes lograron
evidenciarlo claramente en la
estructura solicitada.
Y en la indagación por la
sensación del término verdad,
reconocido en una frase, que, si
bien no es alusivo directamente
al término verdad, invita al
estudiante desde el sentir, a
redactar su sensación sobre la
verdad en dicha frase 27
estudiantes evidenciaron en su
respuesta la claridad en la
posibilidad de expresarse
libremente y trascender en el
juicio de lo que para ellos era la
69
verdad. Elemento
complementario en el desarrollo
del pensamiento crítico en el
estudiante de undécimo grado
perteneciente al tercer septenio
en la pedagogía Waldorf.
8. Conclusiones
Mediante la prueba diagnóstica, fue posible obtener información clara y valiosa acerca de los
conocimientos ya obtenidos por los estudiantes durante los grados o cursos anteriores acerca de
la noción de triángulo; el nivel de comprensión de definición, las propiedades y las líneas notables
de los triángulos, al igual que el reconocimiento del lenguaje simbólico y gráfico propio de la
geometría euclidiana. Con esta información fue posible pasar al diseño de una secuencia que
fortaleciera las insuficiencias encontradas e impulsara los conocimientos claros hacia el análisis de
situaciones demostrativas, propias del método Afirmación-Razón, la misma que acercaría al
estudiante a la demostración como tal, dirigiéndolo al reconocimiento de la verdad que ofrece este
tipo de razonamientos y ubicándola en el contexto de la pedagogía Waldorf-Steiner.
El modelo utilizado para el diseño y desarrollo de la secuencia didáctica, permitió a los estudiantes
una aproximación a la demostración desde un enfoque dirigido, pero autodeterminado como lo
plantea la pedagogía Waldorf, el acercamiento pausado hacia la misma, le permitió conectarse
con la información ya obtenida (en grados anteriores) y la comprensión de otra que aún no
manejaba correctamente; al mismo tiempo lo impulsó hacia el análisis de situaciones geométricas
de mayor raciocinio, pero con la serenidad de quien se aproxima hacia la verdad sin prevenciones
70
ni temores. Esto permitió que los estudiantes se acercaran al conocimiento con tranquilidad y
avanzaran paulatinamente en el camino deductivo de la demostración.
La implementación de la secuencia didáctica con los estudiantes de grado undécimo del Colegio
Waldorf Isolda Echavarría, permitió comprender y fundamentar el contexto de la pedagogía
Waldorf, en el momento evolutivo del joven de undécimo grado, la necesidad del encuentro con la
verdad y el asombro e interés por el conocimiento y desarrollo de sistemas mentales complejos
generaron una atracción en medio de la dinámica de la temática, tal que, no fue forzada el
desarrollo de la misma y por el contrario permitió observar durante el proceso un empalme y
fortalecimiento de los conocimientos adquiridos con anterioridad y los nuevos. De otro lado, hay un
llamado por la comprensión y el manejo de lenguajes simbólicos y gráficos que les llama la
atención, lo que facilitó la incorporación del tema en el desarrollo de la temática en el grado
undécimo.
Recomendación: esta secuencia en el contexto de la pedagogía Waldorf y la forma de organización
de sus horarios, implican el desarrollo de las asignaturas por épocas, es decir, que cambian cada 4
semanas.
Con una justificación pedagógica, esto conduce a un manejo temporal de las clases por periodo, lo
que de cierto modo limitó el tiempo en cantidad para la intervención, pero desde una pedagogía
tradicional, se recomienda un diseño en la secuencia más extenso, que pueda brindar mayor
información y profundización en el desarrollo y análisis de la secuencia.
71
Bibliografía.
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Steiner.
72
Steiner, R. (1922). Curso de pedagogia para jóvenes, las fuerzas espirituales activas en la convivencia de
las generaciones. . Madrid, España: Rudolf Steiner.
Steiner, R. (1923). La educación y la vida espiritual de nuestra época. Ciclos de conferencias
pronunciadas en Ikley, Ingalterra. Antroposófica.
Vedovatti, P. (2014). La enseñanza de la Geometría en Educación Secundaria Superior. Cuadernos de
Investigación Educativa, Vol. 5, Nº 20, 187-195.
73
ANEXOS
ANEXO A
Diseño y decoración de fractales.
74
75
ANEXO B
Registro fotográfico
