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15.1 Antiderivadas
Antiderivadas
Hemos estado estudiando la derivación, su inversa es la
antidiferenciación.
Antiderivadas
Definición: Una función F se llama
antiderivada de una función f en un
intervalo dado si la derivada de F es f,
esto es 𝑭′ 𝒙 = 𝒇 𝒙 para todo x en el
intervalo.
Observación:
De la definición, tal vez no es evidente que F NO es única.
La antiderivada de es el conjunto de todas las
funciones tal que
La constante C se llama la constante de integración.
f x
F x C
.d
F x C f xdx
Antiderivadas
Antiderivadas
Ejemplo: Busque la derivada de cada una de las siguientes funciones:
1. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 + 9
2. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 −5
3. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 + 2
4. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 −100
5. 𝑓 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 + 1
2
Debes notar que en todos los casos
𝑓′ 𝑥 = 6(2𝑥 + 1)2
Si F es una antiderivada de f en un intervalo
dado, la antiderivada más general de f (en
un intervalo dado) es F(x) + c, donde c es
una constante arbitraria.
Ejemplo:
La antiderivada más general de
𝑓′ 𝑥 = 6(2𝑥 + 1)2
es F 𝑥 = (2𝑥 + 1)3 + 𝑐
Antiderivadas
Se presentan gráficas de funciones, que tienen
una misma derivada.
De las gráficas podemos apreciar
carácterísticas de la de 𝑓′ 𝑥 y
𝑓′′(𝑥): 1) 𝑓′ 𝑥 ≥ 0 para todo x en su dominio ( por que
las gráficas de las antiderivadas son
crecientes)
2) El único valor crítico de 𝑓′(𝑥) es
x=0
3) 𝑓′′ 𝑥 > 0 en −∞, 0 𝑦 𝑓′′ 𝑥 >0 en 0,∞
INTERPRETACION GEOMETRICA
Antiderivada general
Función Fórmula de la Antiderivada
𝑐 𝑐𝑥
𝑥𝑛 (𝑠𝑖 𝑛 ≠ −1) 𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
𝑒𝑥 𝑒𝑥
Encuentre la antiderivada más general de cada una
de las siguientes funciones.
xexfa )( )
2
1
xg(x) )b
3x)x(p)c
Ejemplo 1:
El símbolo que usamos para antiderivada más general es.
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
xe)x(F )a
1
xG(x) )b
21
12
1
23
2
3
x 2
3
32 x
13
x)x(P)c
13
4
x4
4
41 x
cxFdxxf )()(
dxxf )(
Integrando
Integral indica respecto a
que variable se
integra.
El procedimiento para calcular integrales se
llama integración.
La integral indefinida
• La antiderivada de una constante
• La antiderivada de una potencia
• La antiderivada de una función exponencial natural
Fórmulas para integrales
Ejemplo 1: Use la regla de potencia para la
antidiferenciación
a.)
b.)
7 99
3
1a) ; b) ; c) ; d) x dx x dx xdx dx
x
Ejemplo (Continuación)
c) Notamos que
Notamos que
d)
1/2.x x
3
3
1.x
x
Ejemplo 2: Determine la integral indefinida.
Antidiferenciamos el integrando como una potencia:
2
5x dx
2
5x dx =(𝑥 − 5)2+1
2 + 1
=(𝑥 − 5)3
3
=1
3(𝑥 − 5)3
Teorema 1
La integral de una constante por una fucnción de x es igual
a la constante por la integral de la función.
Si c es una constante, entonces
Ejemplo 1: Determine las integrales indefinidas, o sea
la antiderivada general de cada integrando:
a)
b)
c)
d) (0.5) ln 2 2𝑥 𝑑𝑥 =
8dx
23x dx
8x C
3x C
(0.5)2𝑥+𝐶
dxx3 2 c3
x3
3
0.5 ln 2 2𝑥 =
Teorema
• La integral de la suma de dos funciones
es igual a la suma de sus integrales.
Ejemplo 4: Determine la integral indefinida.
Antidiferenciamos cada término separadamente:
5 2 5 23 7 8 3 7 8 x x dx x dx x dx dx
6 31 7 8
2 3 x x x C
Ejemplo 4: Determine la integral indefinida.
Solución:
Separamos el numerador en partes y antidiferenciamos cada
término separadamente:
2𝑥3 + 3
𝑥2𝑑𝑥 =
2𝑥3
𝑥2𝑑𝑥 +
3
𝑥2𝑑𝑥
= 2𝑥 𝑑𝑥 + 3𝑥−2𝑑𝑥
= 2𝑥1+1
1 + 1+ 3
𝑥−2+1
−2 + 1+ 𝐶
= 2𝑥2
2+ 3
𝑥−1
−1+ 𝐶
𝐹(𝑥) = 𝑥2 −3
𝑥+ 𝐶
Ejemplo 5: Determine la integral indefinida.
(1 + 𝑣)2𝑑𝑣 =
1 + 2 𝑣 + 𝑣 𝑑𝑣 = 1𝑑𝑣 + 2 𝑣 𝑑𝑣 + 𝑣𝑑𝑣
= 𝑣 + 2𝑣12+1
12+1
+𝑣1+1
1 + 1+ 𝐶
𝐹 𝑣 = 𝑣 + 43𝑣32 + 1
2𝑣2 + 𝐶
= 𝑣 + 2𝑣32
32
+𝑣2
2+ 𝐶
= 𝑣 + 2 23 𝑣
32 + 1
2𝑣2 + 𝐶
Solución:
Expandimos el integrando y antidiferenciamos cada término separadamente:
Antiderivada particular
Si nos dan información sobre un punto a
través del cual pasa la antiderivada,
podemos determinar la antiderivada
particular.
Antiderivada particular
Ej. Determine la antiderivada general de
𝑓 𝑥 = 9 − 5𝑥2 − 1
2𝑥4 si F(x) pasa por (1, 2)
Solución:
9 − 5𝑥2 − 12𝑥4 𝑑𝑥
= 9𝑑𝑥 − 5𝑥2𝑑𝑥 − 12𝑥4 𝑑𝑥
F(x) = 9𝑥 −5𝑥3
3−1
2
𝑥5
5+ 𝐶
𝐹(𝑥) = 9𝑥 −5𝑥3
3−𝑥5
10+ 𝐶
Antiderivada particular
Ej. (continuación)
9 − 5𝑥2 − 12𝑥4 𝑑𝑥 = 9𝑥 −
5𝑥3
3−𝑥5
10+ 𝐶
Sustituyendo el punto (1, 2) para determinar C
2 = 9 −5
3−1
10+ 𝐶
2 − 9 +5
3+1
10= 𝐶
La antiderivada particular es:
F x = 9𝑥 −5𝑥3
3−𝑥5
10−157
30
𝐹 𝑥 = 9𝑥 −5𝑥3
3−𝑥5
10+ 𝐶
Antiderivada particular
Ejemplo: Determine f(x) si
𝑓′ 𝑥 = (𝑥 + 2)(2𝑥 − 3) y f(-1) = 7.
Solución:
(𝑥 + 2)(2𝑥 − 3)𝑑𝑥
= 2𝑥2𝑑𝑥 + 𝑥𝑑𝑥 − 6 𝑑𝑥
f(x) =2𝑥3
3+𝑥2
2− 6𝑥 + 𝑐
7 =2(−1)3
3+(−1)2
2− 6(−1) + 𝑐
7 = −2
3+1
2+ 6 + 𝑐
7 +2
3−1
2− 6 = 𝑐
f(x) =2𝑥3
3+𝑥2
2− 6𝑥 +
7
6
= (2𝑥2+ 𝑥 − 6)𝑑𝑥
Antiderivada particular
Solución:
5 − 0.002𝑥 𝑑𝑥 =
P x = 5𝑥 − 0.002𝑥2
2+ 𝑐
= 5𝑥 − 0.001𝑥2 + 𝑐
310 = 5(100) − 0.001(100)2+𝑐
310 = 500 − 10 + 𝑐
310 − 500 + 10 = 𝑐
𝑐 = −180 P 𝑥 = 5𝑥 − 0.001𝑥2 − 180
Aplicación
Solución
a) (24 − 0.03𝑥 + 0.006𝑥2) 𝑑𝑥
= 24𝑥 − 0.015𝑥2 + 0.002𝑥3 + 𝐶
𝐶(𝑥) = 24𝑥 − 0.015𝑥2 + 0.002𝑥3 + 𝐶
22700= 24(200) − 0.015(200)2+0.002(200)3+𝐶
2500= 𝐶
𝐶(𝑥) = 24𝑥 − 0.015𝑥2 + 0.002𝑥3 + 2500
Aplicación (continuación) Solución
d)
P 𝑥 = 90𝑥 − 24𝑥 + 0.015𝑥2 − 0.002𝑥3 − 2500
R(𝑥) = 90𝑥
= −2500 + 66𝑥 + 0.015𝑥2 − 0.002𝑥3
𝑃′(𝑥) = 66 + 0.03𝑥 − 0.006𝑥2
66 + 0.03𝑥 − 0.006𝑥2 = 0
𝑥 =−.03 ± .032−4(66)(−.006)
2(−.006)
𝑥 ≈ -345 𝑥 ≈ 350
𝑃′(𝑥) = 0.03 − 0.012𝑥
𝑃′ 350 = 0.03 − 0.012 350 = −4.17
𝑥 = 350 maximiza la utilidad.