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Sección 0.1
1a. 16 1c. 1
16 1e. 625
1g. 1
2 1i. 64 1k.
1
125
1m. 7 1o. 3 1q. 4
1s. 3 1u. 4
3a. 5 5 x 3c. 11
3
Sección 0.2
1a. 10 1 3b ab 1c. 3 1 2x x
3a. 2
5a 3c. 2 22 9 2 9x y x y
3e. 2
2 5x y 3g. 23 3 9a a a
3i.
22
344
yx
5a. 7 1x x x 5c. 5 1 1a a
Sección 0.3
1a. 11x 1c. 13x 1e. 19x
1g. 24
5x 1i.
46
5x
2a. 2
Cr
2c. 1
Cr
S 2e.
A Pr
Pt
3a. 5, 2x x 3c. 0, 4x x 3e. 3, 4x x
4a. 7, 3x x 4c. 1 6x 4e. no solución real
5a. 3, 5x x 5c. no solución real 5e. no solución real
6a. 10x 6c. 15x 6e 6x
6g 6x 6i 10x 6k 8x
Sección 0.4
1. Hay 14 mujeres y 19 hombres.
3. Los trenes chocarán a las 4:00 p. m.
5 La edad de la mujer es 45 años.
7. El costo del CD antes de añadir el impuesto era $16.
9. Asistieron71 adultos.
11. La velocidad del avión es 160 mph.
13. Hay 36 cerdos en el corral.
15. Los catetos miden 7.9 y 8.9, y la hipotenusa mide 11.9unidades.
17. Las dimensiones del patio son 30 pies por 30 pies.
19. El perímetro del cuadrado es 4 6 pies.
21. El número es 1
ó 3. 3
23. Invirtió $5,000 al 9% y $7000 al 10%.
25. Las dimensiones originales del piso son 3.06 metros de ancho y 11.12 metros de largo.
27. El lado del cuadrado es 15 unidades.
29. La altura del logo es 29 milímetros y la base es 6 milímetros.
31. 3 litros de agua deben ser evaporados
33. La pieza de cartón tiene un tamaño de 22 cm por 22 cm.
Sección 0.5
1a ,3 3
1c. 3,4
-3 4
1e. 2,
2
3a.
-4 0
2,0
-2 1
3c.
6
2,6
2 9
3e.
2
2,
4
Sección 0.6
1a.
,3
3
1c.
12,
12
1e.
2
,7
2/7
1g. 4,
4
1i.
2,
2
1k. 8 4
,3 3
-8/3 -4/3
1m.
4 2
,9 3
-4/9 2/3
2a.
2,5
-2 5
2c.
1
,32
-1/2 3
2e.
,
0
2g. 3,0 1,
0 1-3
2i.
, 1 1,
1-1
2k. 1,0 1,
0 1-1
2m.
2,2 5
-2 2-5
2q. , 1 0,1 2,
1-1 20
3a. 1,3
3c. 1
, 1,3
11/3
3e. 6,0
-6 0
3g. , 1 3,
3-1
3i. 2,6
6-2
3k. 2,2
2-2
Sección 1.1
1a. define una función 1c. define una función
3a. La resistencia eléctrica del alambre fue 4.79 ohms.
5a. Sea l el largo del rectángulo y a el ancho, entonces el Área x (10 )l l .
7a. 2A r
9a. 2
4
d hV
9c. 2a h 9e. 2 23 3a ah h
11a. 2
13a. 2,4
Sección 1.2
1a.
x F(x)=x
-1 -1
0 0
1 1
1c.
x F(x)=1-x
-1 2
0 1
1 0
-4-3-2-1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4-3-2-1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
1e.
x 2( ) 1F x x
-1 2
0 1
1 2
1g.
x 2( ) 9F x x
-3 0
-1 8
0 9
1 8
3 0
-4-3-2-1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-3 3
3
6
9
1i.
x 3( ) 8F x x
-1 -9
0 -8
1 -7
2 0
1k.
x ( ) 3F x x
-3 0
0 3 1.73 1.44
1 2
-3 -2 -1 1 2 3 4
-12
-8
-4
4
-4-3-2-1 1 2 3 4 5
-1
1
2
3
4
3a. 2, 2x y 3c. 1, 2, 2x x y 3e. 1, 1x x
3g. 4, 4x x 3i. 2x 3k. 1, 2x x
3m. 2, 2, 2x x y
5a. Al resolver por y en términos de x se obtiene: 2 2 2 2 21 1 1x y y x y x .
La ecuación resulta que da dos valores de y para cada valor de x. Por lo tanto, la ecuación no define a
y como función de x. Además, se sabe que la gráfica de la ecuación es un círculo con centro en el
origen y radio 1 y no cumple con la Prueba de la Recta Vertical.
5c. Representa la parte del círculo que está debajo del eje x. 21y x
7a. 2 4g 7c. 2 1, 3.5 5x x 7e. 2, 5x x
9a. 3,0 , 5,0 9c. Hay un número infinito de puntos en la
gráfica para los cuales 0.y Algunos son
2,3 , 1,1 , 0,2 , 1,4 .
9e. 5n 9g. 2,6
9i. Intervalos de crecimiento 1,2 , 4,6
Intervalos de decrecimiento 2, 1 , 2,4
Sección 1.3
1. 2
3
3a.
1 2x
1
2
5
y
3b.
5. D, E, A, B, C 7. 7 1
4 4y x 9. 2 12y x 11.
88
5y x
13. y m x a 15. 5
52
y x
17a.
17c.
17e.
17g.
1
b
17i.
1
b
19a. 1
12
y x para 2 6x 19c. 1
22
y x para 2 6x
21. La profundidad y es 9
340
y x pies.
23. 1
85
H x 25a. 2
615
H x 25b. 2
815
H y
27a. 11.05 cm 22.18 cmA 27b. Si la pendiente es M entonces 63
1 2
MA
M
para 0.27 1.19M .
29a. 5 11
8 8y x 29c. No es lineal. 29e. No es lineal.
31. 6
No es la gráfica de una función pues para la entrada 6 habría infinitas
salidas.
33. Toda recta horizontal es de la forma y c para c real. Solamente 0y tiene intercepto x.
35. 2 5y x 37. 3
8y x 39. 4y x 41.
27
3y x 43a.
2
3y x 43b.
2 8
3 3y x
45a. 1 25
2 2y x 45b.
25
2 47. 8h
49. Como 1
2RS PQm m entonces RS y PQ son paralelas. Como 2PS QRm m entonces PS y QR son
paralelas. Como 2 es el negativo recíproco de 1
2, entonces cualquiera de RS ó PQ es perpendicular
a cualquiera de PS ó QR. La longitud de cualquiera de los lados es 5 .
51. 2,5 53. 23GA 55. 7CF 57. 25m 59. 2
13
f x x
61. 20 2V t El volumen cambia como función lineal del tiempo. La temperatura en un día cualquiera
no es función lineal del tiempo pues aumenta con la salida del sol y disminuye con la puesta del sol.
En un período corto de tiempo puede ser que la temperatura cambie aproximadamente de forma
lineal. Esto sucedería si, por ejemplo, cada 15 minutos la temperatura aumenta aproximadamente la
misma cantidad de grados.
63a. El volumen es función lineal del tiempo pues su razón de cambio, 3m
2 seg
, es constante.
63b. No, pues por la forma del cono, en una cantidad fija de tiempo, cuando el nivel de agua está alto
el cambio en profundidad es menor que cuando el nivel de agua está bajo.
65. La temperatura de la pizza no es lineal pues de serlo aumentaría de una forma constante. Pero la
temperatura de la pizza nunca va a ser mayor que la temperatura del horno así que no puede tener una
razón de cambio constante.
67a. y ni siquiera es función de x.
67c. No, de ser lineal la temperatura bajaría de forma constante pero no pude hacer esto pues nunca va a
ser menor que la temperatura del medioambiente.
67e. No, la razón de cambio m no es constante. Entre 1,19 y 2,21 , 2m . Entre 2,21 y 4,24 ,
3
2m .
69a. Sí, pues la razón de cambio, 12 onzas
min, es constante.
69c. No, el volumen no depende de la forma del recipiente.
69e. 340.8P t donde P está en gramos, t en minutos.
1t
340.8
P
69g. El peso del recipiente es el intercepto al eje R.
1t
100
440.8
P
71a. Sí, la razón de cambio, 5 gramos
seg, es constante.
71c. T cambia linealmente pues la razón de cambio, 5
gramos
seg, es
constante.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t
10
20
30
40
50
60
T
73.
C 0 1 2 5 a
F 32 33.8 35.6 41 9
325
a
75. 0m 77. 3 434V t
79. 1
482
P t pulgadas, para 0 10t horas.
81a. galones
25 hora
81c. 1,675 galones 83a. 42.5 mph 83c. 20
6.673 segundos
85a. 0.0085P t , P en pies, t en minutos 85b. 4 0.0085P t
87a. 136 cm 87c. 166 cm 89. 12 400C s , donde C es el costo en dólares, y s es el número de sillas.
91. Sí, Sí
93. Tabla 1.3.4: 1010 8587
11 110f x x
ó aproximadamente 91.8182 78.0636f x x .
Tabla 1.3.5: No es lineal.
95.
x 1 3 5 7
( )f x 2.4 2.0 1.6 1.2
97. El perímetro P es una función lineal del largo L: 3P L .
El área A no es una función lineal del largo L: 2
2
LA .
99. 1D es el de mayor rapidez (40 mph); Todos se mueven a velocidad constante;
3D está más cercano
(10 millas); 5D se mueve más lento (pues no se mueve).
Sección 1.4
1a. 1 1c. 3
3a. 1 3c. 2
5a. 8 5c. 0
7a. 2 7c. 2
9a. 3 9c. 0
11a. 1
10 11c.
1
10
13a. 1, 1 13c. 2 1, 2xx
15. Figura 1.4.10
17a. 0 4x 17c. 2 4x
17e. 2 3x 17g. 3 5x
Sección 1.5
1a. 4, 2, 1, 4
3a. 0, 1, 2, 1, 2 3c. f x x
5a. 3 5c. ,
7a. 3.8, 3.4
9a.
x
y
9c.
x
y
9e.
x
y
11.
x
y
13.
x
y
15.
3, 0 2
2
3, 2 4
4 13, 4 6
x x
f x x
x x
17a. , 0 1
1, 1 2
x xf x
x x
17c
.
1, 1 0
1, 0 1
2, 1 2
x x
f x x
x x
19a.
x -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
( )f x -10 -8 -6 -4 -2 0 -2 -4 -6 -8 -10
19c. creciente ,0 , decreciente 0, 19e. No
21. 1 3x 23a. cierto
23c. falso 23e. falso
25.
x
y
27. valor máximo 15, valor mínimo 0
29.
x
y
31.
x
y
Interceptos en 4, 2x
Intercepto en 4y
Sección 1.6
1a.
x 2 1 1
2 0
1
2 1 2
y 2 1 1
2 0
1
2 1 2
2 1 1
2
1
21 2
x
2
1
1
2
1
2
1
2
y
1c.
x 2 1 1
2 0
1
2 1 2
y 8 1 1
8 0
1
8 1 8
2 1 1
2
1
21 2
x
8
1
1
8y
1e.
x 2 1 1
2 0
1
2 1 2
y 32 1 1
32 0
1
32 1 32
2 1 1 2x
32
32
y
3. 6
1f x
x es la B; 8
1g x
x es la A.
5a.
1 4 9 16x
1
2
3
4
y
5b.
1 16x
1
2
y
7. 4 gramos 9. 20
7P 11a. T s 11b. 33
2T s 13. 270 kg 15. 1.35 atmósferas
17. 45.33 kg 19. Si 2r cm, 32V cm3; Si 3r cm, 108V cm3; 34V r
23. La 1.6.7 pues a medida que d aumenta, I disminuye.
Sección 1.7
1a. 32 5 1.5f g x x x , 32 3 1.5f g x x x , 4 3 22 3 4 6f g x x x x x ,
32 4
1.5
f x xx
g x
; El dominio de f g , f g y f g es el conjunto de todos los números reales;
el dominio de f
g es real : 1.5x x .
1c. 1f g x , 4 1f g x x , 2 4f g x x x , 2 4
1 4
f x xx
g x
; El dominio de
f g , f g y f g es real : 0x x . El dominio de f
g es
1 real : 0 y
4x x x
.
3.
x
y
5a.
f g
1 2 3 4x
2
1
1
2y
5b.
f g
1 2 3 4x
2
1
1
2y
7.
1
21
x
1
4
1
y
1 2x
1
4
y
De la Figura 1.7.5 De la Figura 1.7.6
9.
x
y
11. 1
2f g x x
13a. 1
2 13c. 2 13e. 2 15. 5f g x x , 6f g x x
17a.
x 1 2 3 4
f g x 3 4 6 10
x 0 1 2 3
g f x 2 3 5 9
x 1 2 3 4
f g x 1
2
1
3
1
5
1
9
x 1
4
1
3
1
2 1
g f x 9 5 3 2
19.
x 1 2 3 4 5
f g x 4 5 no def 2 3
x 1 2 3 4 5
g f x 0 5 1 2 3
21a. 2
2f g x x , 2 2g f x x 21c. f g x x , g f x x
21e. f g x x , g f x x 21g. 3f g x x , 2 3
2
xg f x
21i. 2f g x x , 2 si 0
0 de otro modo
x xg f x
23a. ( ) 1h x x , 2g x x 23c. ( ) 1h x x , 3g x x
23e. 2( ) 1h x x , 3g x x ó 2( )h x x , 3
1g x x
23g. ( )h x x , 1
g xx
ó 1
( )h xx
, g x x 23i. ( ) 2xh x , 1
g xx
25a.
x 1 1
2 0
1
2 1
3
2 2
g f x 1 0 0 0 1 0 0
25c.
1 1
2
1
21 3
22
x
1
y
27a. f g
2 1 1 2x
1
2
y
g f
2 1 1 2x
1
2
y
27c. f g
2 1 1 2x
1
2
y
g f
2 1 1 2x
1
1
y
29a. 0 0f g , 1 2f g , 2 0f g 29c. Intervalo 0,2
29e. No pues f g x f g x y f g x está en el rango de f siempre que g x esté definida.
Pero el rango de f es 0,2 . Por lo tanto 0 2f g x para todo x en su dominio.
29g. El rango de f g es 0,2 .
31a. El dominio de g f es 3
1,2
. El rango de g f es 2,3 .
31b. El dominio de f g es 1,2 . El rango de f g es 2,4 .
33a. Sí pues: x en dominio de f g f g x está definido f g x está definido
g x está definido x está en el dominio de g.
33c. Sí pues: x en rango de f g Hay entrada u tal que f g u x
x f g u x es la salida de f para la entrada g u
x está en el rango de f.
35a. 0A f x , 0B f x , 0C g f x 35b. 0 0,P x g f x
37a. La gráfica de h x f x c se obtiene trasladando la gráfica de f hacia la izquierda si 0c , y
hacia la derecha si 0c .
37b. La gráfica de k x f x c se obtiene trasladando la gráfica de f hacia la arriba si 0c , y
hacia abajo si 0c .
39a. 2 3 2h x x x 39c. 2 3 3h x x x 39e. 2h x x x 39g. 24 2h x x x
41. Suponer que f y g son funciones lineales. Entonces hay números reales a, b, c, d tal que
f x ax b y g x cx d . Entonces f g x f g x f cx d a cx d b
ac x ad b . Por lo tanto, f g es una función lineal.
43.a
x 2 1 0 1 2
f g x 6 5 2 4 0
x 3 2 1 0 1
g f x 5 4 1 3 1
43.c
x 2 1 0 1 2
f g x 7 6 3 5 1
x 4 3 2 1 0
g f x 5 4 1 3 1
43.e
x 2 1 0 1 2
f g x 10 8 2 6 2
x 1 1
2 0
1
2 1
g f x 5 4 1 3 1
43.g
x 2 1 0 1 2
f g x 15 12 3 9 3
x 2
3
1
3 0
1
3
2
3
g f x 5 4 1 3 1
43.i
x 2 1 0 1 2
f g x 5 4 1 3 1
x 1 2 3 4 5
g f x 1 3 1 4 5
45a.
t 3 2 1 0 1 2 3
g u t 1 1 1 2 2 2 2 45c.
2 si 0
1 si 0
tg u t
t
Sección 1.8
1a. f no es invertible pues dos entradas diferentes producen la misma salida: 0 5f f pero 0 5 .
1b.
x 0 1 2 3 4 5
1f x 4 3 2 0 5 1
3a. 2 3f 3c. 1 3 2f 3e. 1 2 2f f 3g. 1 3 3f f
5. 1 1
1f f n f f n f n
n
n
7.
1 1 1 211 2 11 1 1
21 111 1 21
11 1
x x x x
x x xx x xf f x f f x f xx xxx x
xx x
9. Tanteando, 3 5f , por lo tanto 1 5 3f . 11. 1 5 0f , 1 2 1f
13a.
La gráfica de f aparece a la derecha. Parece ser creciente.
Si se cambia la ventana gráfica, acercándose ó
alejándose del origen, la gráfica sigue pareciendo la de
una función uno a uno.
13b.
Acercando la ventana al intercepto al eje x se obtiene la
gráfica de al lado. Puede verse que aproximadamente
0.445 0f con un error menor que 0.005. Por lo
tanto, aproximadamente 1 0 0.445f .
0.50 0.48 0.46 0.44 0.42 0.40
15a. 1 1f x x , 1x 15b. 1 1f x x , 0x 15c. 1f x x , 0x
17a. 1Dom 0,3f , 1Rango 0,4f 17b. 1 0 4f , 1 1 2f , 1 2 1f
19a. (Observe que en la figura, 0a ) ,A a b , ,B a b , ,C a b 19b. C es la reflexión
del punto ,a b a través de la diagonal ( y x ).
21. La a y la b. 23a. No es invertible.
23c.
x
1
y
23e.
3, 3
5,0x
y
25a. f no pasa la prueba de la recta horizontal; intervalo 1,1 25c. Intervalo 3, 1
27a. 1x , 1x 27c. No pues f no es uno a uno. 29. No pues 2 0 3f f pero 2 3 .
31. f no es uno a uno pues, por ejemplo, 1 1 1 1 1f f pero 1 1 .
33. Dada f x , solo hace falta que el sistema pueda resolver una ecuación para una variable. Se usa el
sistema para resolver y f x por x. De aquí se obtiene 1x f y . Luego, si se quiere se
intercambian las variables y se tiene 1y f x .
35a. 1A f D , 1B f D , C D 35b. B A , C f A , D f A
37a. 0A x , 1
0B f x , 1
0C f x 37b. 1
0 0,x f x
39a. 0 0,P x x , 1
0 0,Q f x x , 1 1
0 0,R f x f x , 1
0 0,S x f x 39b. Se intercambian.
41. 1 4 1g x x , 4x .
43. Suponer que f es invertible. Entonces:
x en Dom f existe y tal que f x y existe y tal que 1f y x x en 1Rango f
Sección 2.1
1a. Traslación vertical 1 unidad hacia arriba 1b. Traslación vertical 1 unidad hacia abajo
3a.
1x
1
y
3c.
Las gráficas en las partes (a) y (b) son diferentes.
Cuando se hacen dos transformaciones horizontales
una detrás de la otra, el orden en que se hacen las
transformaciones es importante.
5.
Tiempo
Distancia al norteMillas
135 155 175 195
1
2
La transformación es una traslación horizontal de 135
unidades (una hora y 15 minutos) a la derecha.
7.
Tiempo
Distancia al norteMillas
20 40 601
4
3
4
La transformación es una traslación vertical de 1
4 de
unidad hacia abajo.
9.
Tiempo
Distancia al norteMillas
60 80 100 120
1
2
Tiempo 60 80 100 120
Distancia
al norte 0 1 1 0
La transformación es una traslación horizontal de 60
unidades (una hora) a la derecha.
11a. 1 7g 11c. 2 0g
13a.
2 4 6 8x
4
3
5
7
y
13c.
2 2 4 6x
4
3
5
7
y
x −2 0 2 4 6
( )h x 0 5 7 3 4
15a. El dominio de h es diferente del de f. El rango se queda igual. Una traslación horizontal mueve cada
punto ,x y de la gráfica de f a un punto ,x c y donde c depende de la traslación. Observe que las
salidas (coordenadas y) no se afectan.
15c. En este caso el dominio y el rango de f y de h son iguales. La reflexión horizontal lleva cada punto
,x y en la gráfica de f al punto ,x y . El rango nunca se afecta con una reflexión horizontal pues
las coordenadas y se quedan igual. En este caso el dominio de f (el intervalo 2,2 ) es simétrico con
respecto al origen así que tampoco cambia. Si f hubiese tenido un dominio como digamos 3,2
entonces el dominio hubiese cambiado pues su reflexión horizontal tendría dominio 2,3 .
17. Creciente 19a. eje x: 2, 3 ; eje y: 2,3 ; diagonal: 3, 2
19c. eje x: 3,2 ; eje y: 3, 2 ; diagonal: 2, 3
21. No, por ejemplo: reflexión vertical traslacion 1 unidad hacia arriba0,1 0, 1 0,0 . Otro ejemplo es:
1 1x
2
1
1
2y
1 1x
2
1
1
2y
1 1x
2
1
1
2y
Reflexión vertical Traslación
Original
1 1x
2
1
1
2
y
1 1x
2
1
1
2
y
Traslación Reflexión vertical
23. La gráfica se traslada 2 unidades hacia la
derecha.
Distancia (cm) Intensidad de luz (mW/cm2)
12 0.266
22 0.067
32 0.030
42 0.019
25. La b.
27a. 1t x x 27c. 5t x x 27e. t x x 27g. ( ) 2 1t x x
29a. 12xt x 29c. 2 5xt x 29e. 2xt x 29. 2( ) 2 1xt x
31a. 1f x : traslación horizontal de 1 unidad hacia la derecha
31c. f x : reflexión horizontal (Para esta función en particular la gráfica se queda igual.)
31e. 1f x : reflexión vertical seguida de traslación vertical de 1 unidad hacia arriba
31g. 1f x : reflexión horizontal seguida de traslación horizontal de 1 unidad hacia la derecha.
33a.
1x
1
y
33c.
1x
2
3
y
35a. y x 35c. y x 35e. 1y x 35g. 1y x
37a.
1 2x
1
2
y
37c.
1
1 1x
y
1y f x 1y f x
37e. 1 2
x
1
y
37g.
1
1 1x
y
y f x 1y f x
39a. Traslación horizontal de 1 unidad hacia la derecha, 1y f x
39c. Traslación horizontal de 1 unidad hacia la izquierda, 1y f x
39e. Traslación vertical de 1 unidad hacia abajo, 1y f x
41a. Reflexión horizontal seguida de una traslación vertical de 1 unidad hacia abajo; 1y f x
Estas dos transformaciones podrían hacerse en el otro orden. También se puede obtener de tres
transformaciones: Reflexión vertical, seguida de traslación horizontal de 1 unidad hacia la izquierda,
seguida de una traslación vertical de 1 unidad hacia arriba; 1 1y f x
41b. Reflexión vertical; y f x
43a. 1
1yx
c. 1
11
yx
e. 1
yx
45a.
1
1
x
y
45c.
1
1
1x
y
45e.
1x
2
y
y f x 1y f x 1 1y f x
47a. 2 1y x 47c. 2 1y x
49. 1, 5
51. 2, 7
53a. par 53c. ninguna 53e. impar 53g. impar 53i. ninguna 53k. ninguna
55a. no 55c. no 55e. no
57a
.
x
y
57b
.
x
y
59a.
x –4 –3 –2 –1
f (x) 2 2 1 1
59c.
x
y
61. Sí. Si la función es impar y 0 está en el dominio de f, 0 estará elevado a una potencia impar, o a una
suma de términos con potencias impares así que al evaluar en 0 nos da 0.
63a. b 63c. b+1
Sección 2.2
1a.
Tiempo
Distancia al norteMillas
20 40 60
3
2
Tiempo, t 0 20 40 60
Distancia al
norte, f t 0
3
2
3
2 0
La gráfica de y f t es un estiramiento vertical de la gráfica original, y d t ; 3
2f t d t .
1b.
Tiempo
Distancia al norteMillas
5 10 15
1
Tiempo, t 0 5 10 15
Distancia al
norte, f t 0 1 1 0
La gráfica de y f t es un encogimiento horizontal de la gráfica original, y d t ;
4f t d t .
3. El rango se queda igual. Cuando una gráfica se estira horizontalmente, se multiplica la coordenada x
de cada punto de la gráfica por un factor fijo. La coordenada y se queda igual, por lo tanto el rango se
queda igual.
5a.
x 0 3 6 12 24
( )f x -96 -48 -24 -12 -6
5c.
x 0 12 24 48 96
( )f x -32 -16 -8 -4 -2
5e.
x 0 9 18 36 72
( )f x 64 32 16 8 4
7a.
2 3
2 2 2
3
22
x
3
3
y
7c.
4 3 2 2 3 4x
1
1
y
7e.
2 3
2 2 2
3
22
x
2
4
y
9a.
2 8x
9
y
9c.
6 24x
3
y
11a.
2 5x
14
y
11c.
4 10x
7
y
13a.
4 2 2 4x
16
8
8
16
24y
13c. 16 8 8 16
x
4
2
2
4y
15a.
2 4 6 8
4
3
5
7
15c. g es un estiramiento vertical de f por un factor de 1.5.
15e. h es un encogimiento horizontal de f.
15g. k es un estiramiento horizontal de f.
17.
f t M tD t
5 10 15 20 25 30 40 50 60 80 100
1
2
3
19. si 0 10
10
3 si 10 30
2 20
tt
f tt
t
, si 0 5
5
3 si 5 15
2 10
tt
D tt
t
, si 0 20
20
3 si 20 60
2 40
tt
M tt
t
21.
t 0 1
2 1
3
2 2
5
2
( )D t 2 5 8 11 14 17
t 0 2 4 6 8 10
( )M t 2 5 8 11 14 17
23. 6 1D t t , 3
12
M t t
25a. Encogimiento horizontal, 24y x .
25c. Estiramiento vertical por un factor de 2, seguido de traslación horizontal de 1 unidad a la derecha (ó
el otro orden), 2
2 1y x .
27a. 2 4g 27b. 2 8g
29a. Encogimiento horizontal, 2y f x 29b. Estiramiento vertical, 2y f x
31. Cualquier transformación vertical seguida de una transformación horizontal.
33a. 2
4y
x 33c.
2
1
9 2y
x
35a.
3
8
xy 35c.
327 2y x
37a. 2y f x es un encogimiento horizontal de y f x . Todas las coordenadas x de la gráfica
original se multiplican por ½.
37c. 1
12
y f x es un encogimiento vertical por un factor de 1
2, seguido de una traslación horizontal
de 1 unidad a la derecha.
39a. 2 43x
4
2
y
39.c 7
3.5 4.54
1x
y
2 2 3y x 2 4 1y x
41a.
1 2x
2
y
41c.
1 21
x
1
y
41e.
3 21 2x
1
y
41g.
1 21
x
1
y
43a. Estiramiento horizontal, 1
2y f x
43b. Estiramiento vertical por un factor de 2, 2y f x .
45a. 1
1x
y
45c. 1
1 2x
y
45e. 1
2x
y
y u x 2y u x
2
xy u
47a. 2s f t es un encogimiento horizontal a la mitad, por lo tanto la altura máxima no se afecta, se
queda igual, y el tiempo que se toma el proyectil en golpear el suelo se acorta a la mitad.
47c. 2s f t es un estiramiento horizontal al doble, por lo tanto la altura máxima no se afecta, se
queda igual, y el tiempo que se toma el proyectil en golpear el suelo se duplica.
49. Se comienza con una función y f x . Se la hace un estiramiento ó encogimiento vertical y se
obtiene y cf x donde 1c . Luego se hace una traslación vertical y se obtiene y cf x d
donde 0d . En el otro orden, si primero se hace la traslación vertical se tiene, y f x d , y si se
sigue esto con un estiramiento ó encogimiento vertical se obtiene, y c f x d cf x cd .
Pero cf x d cf x cd pues 1c y 0d . Por lo tanto el orden en que se hacen dos
transformaciones verticales consecutivas produce diferentes resultados.
51. Se comienza con una función y f x . Se la hace una reflexión horizontal y se obtiene y f x .
Luego se hace una traslación horizontal y se obtiene y f x c f x c donde 0c . En el
otro orden, si primero se hace la traslación horizontal se tiene, y f x c , y si se sigue esto con
una reflexión horizontal se obtiene, y f x c . Pero x c x c pues 0c , y en general,
puede esperarse que haya algún valor de x para el cual f x c f x c . Podría ser cierto, por
ejemplo para funciones constantes ó para funciones periódicas, que se estudiarán luego, que
f x c f x c , para todo x. Pero en general, el orden en que se hacen dos transformaciones
horizontales consecutivas puede ser que produzca diferentes resultados.
Sección 2.3
1a. Sí 1c. No 1e. No 1g. No 1i. No
3. Si se resuelve por y se tiene 2y x . La variable y ni siquiera es una función de la variable x pues
para una entrada 0x hay dos posibles salidas y. Por ejemplo, si 2x , 4y . Si se resuelve por x
se obtiene x y . La variable x no siquiera es una función de la variable y. Por ejemplo, si 4y ,
2x .
5. 21
1 43
y x 7a. 21
3 116
y x 7c. 3
42
y x x
9a. 2 1y x 9c. 2 2y x 11a. 210y x 11b. 21
100y x
13a. 2
3 4y x 13c. 2
7 2y x 13e.
21 8
33 3
y x
13g.
23 49
24 8
y x
13i.
21 17
24 8
y x
15. 2a , 2h , 1k 17. 24
,2 4
b ac b
a a
19. Ecuación Interceptos x 2 9y x 3,0 , 3,0
2 8y x No hay interceptos al eje x.
23 18y x 6,0 , 6,0
2
2y x 2,0
2
1 4y x 3,0 , 1,0
2
24 2 5y x 5 2 3,0 , 5 2 3,0
21a. Estiramiento vertical por un factor de 3, seguido de una traslación horizontal de 2 unidades hacia
la izquierda, seguido de una traslación vertical de 2 unidades hacia abajo, 2
3 2 2y x .
21b. Encogimiento vertical por un factor de 1
2, seguido de reflexión vertical, seguido de traslación
horizontal de 1 unidad hacia la izquierda, seguido de traslación vertical de 3 unidades hacia
arriba, 21
1 32
y x .
23a. 2
4 1y x 23c. 21
3 44
y x ó equivalentemente, 1
1 74
y x x
25.
12
x
12
32
y
12
2x
1
7
y
27. 531.129 29a. En 1,5 , el valor máximo es 14, el mínimo es 5. 29c. En 3,5 , el valor
máximo es 6, el mínimo es 5. 31. 105 pies 33a. El intercepto y es la altura en el tiempo 0, o
sea, la altura a la que se suelta la pelota. 33b. En términos de la situación del problema, el tiempo
es positivo por lo que hay un solo intercepto x al que adjudicar significado. Éste representa la
cantidad de tiempo desde que se lanza la pelota hasta que ésta llega a una altura 0, o sea, cae a tierra.
35. La región rectangular debe tener dimensiones de 20 pies por 40 pies. 37. Se toma 2.5x y .
39. El jardín rectangular grande (que comprende los dos jardines pequeños) debe medir 100 metros por
150 metros.
41. El cargo por habitación para maximizar sus ingresos debe ser $78 por habitación. De hecho, si cobra
$77 por habitación tendrá el mismo ingreso pero 1 cuanto más que limpiar.
43. 21
8 188
y x para 0 16x . 45. 5.12H metros 47. 4.35H metros
49. Interceptos x: 2,0 , 10,0 ; vértice: 6, 16
51. Suponer que r y s son números reales. La gráfica de f x x r x s es una parábola que cruza
el eje x cuando x r y x s . Entonces, por simetría de la parábola, la coordenada x del vértice está
en el medio de r y s, o sea, en 2
r s.
Otro argumento es 2f x x r x s x r s x rs . Entonces la coordenada x del vértice es
2 2
b r sx
a
.
53. 0x , 2x 55a. 3
Sección 3.1
1. a. 52 b. 5 38 c. 5 24 1d. 124
3. Si la masa inicial es M , la masa después de t años es 1
( ) .2
t
m t M
La vida media es de un año. Se
calcula
51
(5)2 32
Mm M
.
5. Tabla 3.1.6: 9
( ) 0.3 , (9) 0.3x
y x y
Tabla 3.1.7 9( ) 3 , (9) 3xy x y
Tabla 3.1.8 9( ) 7 4 , (9) 7 4xy x y
Tabla 3.1.9 9
( ) 2 1.1 , (9) 2 1.1x
y x y
Tabla 3.1.10
91 1
( ) 50 , (9) 502 2
x
y x y
Tabla 3.1.11 9( ) 5 7 , (9) 5 7xy x y
7. 1
3b
9. 24 43 ; 2 3 12
3 3
xf x f
11.
a. f es creciente,
x -2 0 10
f x 24 04 1 104
b. f es creciente,
x -2 0 10
f x 23 4 03 4 3 103 4
c. f es creciente,
x -2 0 10
f x 23 4 03 4 3 103 4
d. f es constante,
x -2 0 10
f x 212 1 12 012 1 12 1012 1 12
e. f es decreciente,
x -2 0 10
f x 2
0.2
0
0.2 1 10
0.2
f. f es decreciente,
x -2 0 10
f x 2
3 0.2
0
3 0.2 3 10
3 0.2
g. f es creciente,
x -2 0 10
f x 2
1.1
0
1.1 1 10
1.1
h. f es creciente,
x -2 0 10
f x 2
3 1.1
0
3 1.1 3 10
3 1.1
i. f es decreciente,
x -2 0 10
f x 2
3 1.1
0
3 1.1 3 10
3 1.1
j. f es decreciente,
x -2 0 10
f x 2
0.99
0
0.99 1 10
0.99
k. f es decreciente,
x -2 0 10
f x 2
1035 0.99
0
1035 0.99 1035 10
1035 0.99
k. f es creciente,
x -2 0 10
f x 2
1035 0.99
0
1035 0.99 1035 10
1035 0.99
13
a
x
y
13
b x
y
13
c x
y
13
d x
y
13
e x
y
13
f x
y
13
g
x
y
13
h
x
y
15a
0 2; 2 5, f f asíntota horizontal 1y
x
y
15b
1
0 ; 2 2, 2
f f asíntota horizontal 0y
x
y
15c
0 2; 2 8, f f asíntota horizontal 0y
x
y
15d
0 2.5; 2 5, f f asíntota horizontal 0y
x
y
15e
0 2; 2 5, f f asíntota horizontal 0y
x
y
17
a. 5 7 xf x b. 3
5 5
x
f x
c. 9
8 16
x
f x
d. 5
4 8
x
f x
e. 1
1 5
x
f x
f. 2 2 xf x
19. = 1
ntr
A t Pn
, sustituyendo los valores dados:
2 100.0425
10 =1500 1 2,284.22
A
Sección 3.2
1a. 2.71e b. = 1
ntr
A t Pn
c. 0,1
3.
3a
0 2; f asíntota horizontal 1y
x
y
3b
0 4; ln5 0, f f asíntota horizontal 5y
x
y
3c
0 2; f asíntota horizontal 0y
x
y
3d
0 4; f asíntota horizontal 0y
x
y
3e
0 7; f asíntota horizontal 5y
y
3f
5
0 3; ln 0,2
f f
asíntota horizontal 5y
x
y
3g
0 7; f asíntota horizontal 5y
y
3h
0 1; f asíntota horizontal 0y
x
y
3i Reflejo de la gráfica 3h sobre el eje y.
3j Se traslada una unidad hacia abajo la gráfica 3i.
5. Se utiliza la fórmula ,rtA t Pe sustituyendo los valores correspondientes
0.07 510000 $7,046.88Pe P
7. a. 0 100; g b. La población no puede ser mayor de 200, porque la función 5100 te es creciente y
su asíntota horizontal es la recta 0 y y luego trasladada 200 unidades hacia arriba; c. La población
máxima es 200.
9. La función que modela el problema es la función g, la función f es creciente.
11. a. 0 2000; N b. 10 296830; N
c.
x
y
d. Aproximadamente 3.62
13. a. 1.05; b. 1.1; c. 1.5;
15. a. crecimiento, 48% c. decrecimiento, 0.399201% e. crecimiento, 300%
g. decrecimiento, 80% i. decrecimiento, 10%
Sección 3.3
1. a. 3; b. -6; c. ½; d.
3. a. Si, la gráfica de y corta al eje X; b. Si, el rango de Y son todos los números reales; c. No, el dominio
de y son los reales negativos; d. No.
5. 2
1log ,
5f x x
verifique; 2
1160 log 160 5
5f
7.
a. Asíntotas verticales: 2, 3;x x dominio , 2 3, ; rango ,
b. Asíntotas verticales: 0, 4;x x dominio ,0 4, ; rango ,
c. Asíntotas verticales: 1, 1;x x dominio , 1 1, ; rango ,
d. Asíntotas verticales: 2, 2;x x dominio , 2 2, ; rango ,
e. Asíntotas verticales: 1, 1;x x dominio , 1 1, ; rango ,
f. Asíntotas verticales: 1, 1;x x dominio , 1 1, ; rango ,
g. Asíntota horizontal: 4;y dominio , ; rango 4,
h. Asíntota horizontal: 100;y dominio , ; rango ,100
i. Asíntota horizontal: 8;y dominio , ; rango 8,
j. No asíntotas; dominio [1, ); rango [0, )
k. No asíntotas; dominio ( , 1] [1, ); rango [0, )
l. No asíntotas; dominio [0, ); rango [0, )
9. 1/ 4logf x x
11. a. 1 1ln 1
2f x x ; b. 1
22 log 3f x x ; c. 1 13 1
2
xf x ; d. 1 2 4xf x e
13.
a. 5log ;f x x dominio 0, ; rango , ; b. 4log ;f x x dominio 0, ; rango , ;
c. 1/ 5log ;f x x dominio 0, ; rango , ; d. 4log 2 ;f x x dominio 2, ; rango
, ; e. 5log 1 ;f x x dominio 1, ; rango , ; f. log 1;f x x dominio
0, ; rango ,
17. Dominio f: 1, ; 1 1 3xf x ; dominio 1 : ,f ;
19. 1
2log1
yf x
y
; dominio 0,1
21. 2 3 4log10 ,log10 ,log10 ,log10 ,a a a a
23. ln
logln10
xx
Sección 3.4
1. a. 5/ 2; b. 0; c. 2; d. 2
3. a. 327 3 ; b. 2112 ;
144
c.
21
9 ;3
d. 43 ;x e. 4
9 3 ; f. 264 8n n
5. a. log log 2log ;b b bx y z b. log log 2 log ;b b by x c. 1
log 4log ;5
b bx y
d. 1
log log 3log ;2
b b by z x e. 1
4log 2log 5log ;3
b b bx y z f. 1 1
log log 2 log 2log4 3
b b b by x z
7. a. 1.38021; b. 2.07918; c. -0.63009; d. 0.97197; e. 0.86967; f. -0.35709
9. 1.7924815
Sección 3.5
1. a. 3;x b. 35 ;x c. 4;x d. 1;x e. 2;x f. 2;x g. 6;x h. 1x
3. a. 7;x b. 1;x c. 4;x d. 2;x e. 1;x f. 100;x g. 3 29
;2
x
h. 3, 2;x x
i. 48 2305
;32
x
j. 17x
5. 19.4t años
7. a. 32 ;F b. 10
32 0.85 ;F
c. 1.52t minutos
9. a. 0; b. 10; c. creciente
11. No son iguales
13. 1
ln 2k
15. a. 2, ln3;M k c. ln 2
1,ln3
M k
Sección 4.1
1a. Polinómica. 47 2f x x x ;
4x
b. No es una función polinómica pues el término
1
3 3x x tiene exponente fraccionario.
c. Polinómica, 5 3 23 3 8 3F x x x x ;
53x
d. Polinómica, 29 32 20G x x x ;
29x
e. No es una función polinómica pues el término 2
2
33x
x
tiene exponente negativo.
f. Polinómica, 1 4 2 52 2 3
6R x x x x
;
1 42 x
g. No es una función polinómica pues el término
1
3
3
33x
x
tiene exponente fraccionario y negativo.
3a. Cuarta gráfica b. Tercera gráfica c. Primera gráfica d. Segunda gráfica
5a. Sí, curva suave, continua ( no tiene saltos y está definida para todo x), extremos tienden a ó .
b. No, extremos tienden a 0.
c. No, tiene un cambio brusco en un valor de x, no es suave.
d. Sí, suave, continua, extremos tienden a ó .
e. No, extremos tienden a valores constantes.
f. No, los extremos tienden a 0 .
g. Sí, curva suave continua, extremos tienden a ó .
h. No, tiene un salto en 0x .
i. Sí, suave, continua, extremos tienden a ó .
Sección 4.2
1. Segunda gráfica 3. Tercera gráfica 5. 5, 3, 6 (multiplicidad 3) 7. 1
0, , 23 (multiplicidad 2)
9. 7
2(multiplicidad 2) 11.
5
2 (multiplicidad 3), 5 (multiplicidad 2)
13.
56 3
3240
6 3
100
Vista desde lejos El intervalo 6, 3 desde cerca
15.
2 13
17.
3.5
19.
52
5
21.
1 2 3
Los ceros reales son, 1 , 2, 3
23.
2 12
25.
3 2
1
2( multiplicidad 2), 2 (multiplicidad 2) 3 (multiplicidad 2), 2 (multiplicidad 3)
Sección 4.3
1. 2
3 8x x ; residuo 2 3. 3
2x ; residuo 5 5. 3 2
2 5x x x ; residuo 3
7. 4 3
1x x x ; residuo 0 9. 3x 11. 2, 2x x 13. 1, 2x x
19. 23 9 3 54f x x x x 21. 3 2
3 3 3 4f x x x x x
25. 2 1
,3 4
27. 3, 2 3, 2 3 29. 5 1
102 2
k
Sección 4.4
1. 2
5 3. 3 5. 1 7.
1 1 3 1 3, ,
3 2 2
9.
1
2 ( multiplicidad 2),
1
2( multiplicidad
2)
11. 4 5
, , 2, 25 2
13. 1 1
2,0, ,3 2
15. 36 17. 4, 24a b 19. 81
32a
Sección 4.5
1. a. ;i b. 6 2 ;i c. ;a b d. 6 2i
3. a. si; b. no; c. si; d. si
5. a. 2 ;i b. 3
;4 2
c. 8 4
;5 5
i d. 3 3
;10 5
i e. 5 12
;13 13
i f. 8 14
;13 13
i g. 5
;5
i h. 5 12
;169 169
i
i. 11 10
;13 13
i j. 22 4
;25 25
i k. 3 18
;37 37
i 3 l. 4 3
5 5i
Sección 4.6
1. a. 8; b. 0, 4; c. 2; d. 4 ,2i
3.
a. Ceros 1,2 2;
x
y
c. Ceros 2,3 / 2,2;
x
y
e. Ceros 2, 1,5 / 3;
x
y
g. Ceros
5, 1,2 (multiplicidad 2); x
y
i. Ceros
1,3 / 4,2 (multiplicidad 2);
x
y
k. Ceros 3,2, 2 ;i
x
y
m. Ceros
5 / 2,2 (multiplicidad 2), ;i
y
5.a. 2 2 5 ;ax ax a b. 2 2 10 ;ax ax a c. 3 22 4 8 ;ax ax ax a d. 3 2 15 17 ;ax ax ax a
e. 4 3 26 4 8 ;ax ax ax ax a f. 4 3 23 5 10 ;ax ax ax ax a
g. 4 3 24 8 16 16 ;ax ax ax ax a 5 / 8;a h. 4 3 23 9 54 ;ax ax ax ax a 8 / 3;a
Sección 4.7
1. a. si; b. si; c. no; d. si; e. no; f. si
3.
a. Asíntota vertical 0x
Asíntota Horizontal 0y
Interceptos: no tiene x
y
b. Asíntota vertical 0x
Asíntota Horizontal 0y
Interceptos: no tiene x
y
c. Asíntota vertical 0x
Asíntota Horizontal 0y
Interceptos: no tiene x
y
d. Asíntota vertical 0x
Asíntota Horizontal 3y
Interceptos: Eje y no tiene
Eje x 1/3x
x
y
e. Asíntota vertical 0x
Asíntota Horizontal 2y
Interceptos: no tiene
x
y
f. Asíntota vertical 2x
Asíntota Horizontal 0y
Interceptos: no tiene
x
y
g. Asíntota vertical 4x
Asíntota Horizontal 5y
Interceptos: Eje y 6y
Eje x 24/5x
x
y
h. Asíntota vertical 2x
Asíntota Horizontal 3y
Interceptos: Eje y 2y
Eje x 2
23
x
x
y
