Sistemas de Ecuaciones Lineales en Dos Variables …precalculo.carimobits.com/Material del Curso/PDF2/precalculo1... · Con referencia a un sistema de dos ecuaciones lineales en dos

ContenidoSistemas de Dos Ecuaciones Lineales en Dos Variables

Ejercicios Parte IEjercicios Parte II

Objetivos

Sistemas de Ecuaciones Lineales en DosVariables Reales

Carlos A. Rivera-Morales

Precalculo I

Rivera-Morales, Carlos A. Sistemas de Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales



Objetivos

Tabla de Contenido

Objetivos

1 Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales en Dos VariablesTipos de Sistemas de Ecuaciones LinealesInterpretacion GraficaMetodos de Resolucion

Metodo GraficoMetodo: IgualacionMetodo: SustitucionMetodo: Reduccion; Eliminacion; Suma o Resta

Sistemas Inconsistentes y Sistemas Dependientes

2 Ejercicios Parte I

3 Ejercicios Parte II




Objetivos

Tabla de Contenido

Objetivos









Objetivos

Tabla de Contenido

Objetivos









Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:

que es un sistema de ecuaciones lineales 2 x 2

tipos de sistemas de ecuaciones lineales 2 x 2

metodos de resolucion de sistemas lineales 2 x 2

aplicaciones




Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:




aplicaciones




Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:




aplicaciones




Objetivos

Objetivos:

Discutiremos:




aplicaciones




Tipos de Sistemas de Ecuaciones LinealesInterpretacion GraficaMetodos de ResolucionSistemas Inconsistentes y Sistemas Dependientes

Sistemas de Dos Ecuaciones Lineales en DosVariables

Definicion:

Un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables esde la forma:

{ax + by = cdx + ey = f

x e y son variables llamadas incognitas o desconocidas. Lasdemas letras representan numeros reales constantes.






Definicion:

Un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables esde la forma:

{ax + by = cdx + ey = f

x e y son variables llamadas incognitas o desconocidas. Lasdemas letras representan numeros reales constantes.






Ejemplos:

1

{3x + 2y = 5

x + y = 1

2

{3x− 2 = 1

3(11 + 5y)

x + 23(2y − 3) = −2

3

{0.2x− 0.1y = −1.2

x = 12y + 3

4

{y = 2x + 1

y = −3x + 6






Definicion: Una solucion de un sistema de dos ecuacioneslineales en dos variables es un par ordenado (x, y) de numerosreales que satisface cada ecuacion del sistema.

Ejemplo:






Definicion: Una solucion de un sistema de dos ecuacioneslineales en dos variables es un par ordenado (x, y) de numerosreales que satisface cada ecuacion del sistema.Ejemplo:






Definicion: Dos sistemas son equivalentes si tienen lasmismas soluciones.

Ejemplo: Los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en dosvariables son equivalentes.

{3x− 4y = 2

4x + y = 9

{3x− 4y = 2

16x + 4y = 36

El segundo sistema se obtuvo al multiplicar la segunda ecuaciondel primero por 4; la primera ecuacion se dejo igual.

Se puede verificar que el par ordenado (2, 1) es la unica solucionde cada sistema.






Definicion: Dos sistemas son equivalentes si tienen lasmismas soluciones.Ejemplo: Los siguientes sistemas de ecuaciones lineales en dosvariables son equivalentes.

{3x− 4y = 2

4x + y = 9

{3x− 4y = 2

16x + 4y = 36









{3x− 4y = 2

4x + y = 9

{3x− 4y = 2

16x + 4y = 36









{3x− 4y = 2

4x + y = 9

{3x− 4y = 2

16x + 4y = 36








Numero de soluciones de un sistema lineal con dos variables

Con referencia a un sistema de dos ecuaciones lineales en dosvariables, exactamente uno de los siguientes enunciados escierto.

1 El sistema tiene exactamente una solucion. (SistemaConsistente o Determinado)

2 El sistema no tiene solucion.(Sistema Inconsistente oIndeterminado)

3 El sistema tiene una cantidad infinita de soluciones.(Sistema Dependiente)








1 El sistema tiene exactamente una solucion.

(SistemaConsistente o Determinado)





















2 El sistema no tiene solucion.

(Sistema Inconsistente oIndeterminado)





















3 El sistema tiene una cantidad infinita de soluciones.

(Sistema Dependiente)
















Interpretacion Grafica:

Sistema Sistema SistemaConsistente Inconsistente Dependiente



























Metodos de Resolucion:

1 Grafico

2 Igualacion

3 Sustitucion

4 Suma o Resta; Eliminacion; Reduccion







1 Grafico

2 Igualacion

3 Sustitucion








1 Grafico

2 Igualacion

3 Sustitucion








1 Grafico

2 Igualacion

3 Sustitucion








1 Grafico

2 Igualacion

3 Sustitucion







Metodo Grafico:

Este metodo consiste en graficar cada ecuacion lineal en dosvariables en el mismo sistema cartesiano. Si las lıneasresultantes se intersecan, el sistema tiene solucion; lascoordenadas de cada punto de interseccion constituye unasolucion del sistema. Si las lıneas no se intersecan o cortan, elsistema no tiene solucion; es incosistente o indeterminado.






Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema usando el metodografico. {

−2x + y = −2

x + y = 7






{−2x + y = −2

x + y = 7

Solucion: x = 3; y = 4






{−2x + y = −2

x + y = 7







{−2x + y = −2

x + y = 7







Metodo de Igualacion:

Este metodo consiste en resolver cada una de las dos ecuacioneslineales para la misma variable. Luego, se forma una ecuacionusando los resultados obtenidos en ambas resoluciones.






Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema usando el metodo deigualacion. {

4x + 3y = 1

3x− 2y = −5

Se resuelve cada ecuacion para la misma variable, por ejemplo,x.







4x + 3y = 1

3x− 2y = −5








4x + 3y = 1

3x− 2y = −5







Se igualan ambas expresiones y se obtiene el valor de una de lasvariables; luego, se obtiene el valor correspondiente de lasegunda variable.
























Metodo: Sustitucion:

Se selecciona una de las ecuaciones y se despeja para una de lasvariables, por ejemplo x. El valor obtenido se sustituye por x enla otra ecuacion.






Metodo: Sustitucion:

Se selecciona una de las ecuaciones y se despeja para una de lasvariables, por ejemplo x. El valor obtenido se sustituye por x enla otra ecuacion.






Se sustituye el valor determinado de y en la primera ecuacion:


















Metodo: Reduccion; Eliminacion; Suma o Resta

Construyendo sistemas de ecuaciones equivalentes se consigueque una de las dos incognitas se cancele y ası obtengamos losvalores a determinar.

Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema usando el metodo dereduccion. {

4x + 3y = 1

3x− 2y = −5






Metodo: Reduccion; Eliminacion; Suma o Resta

Construyendo sistemas de ecuaciones equivalentes se consigueque una de las dos incognitas se cancele y ası obtengamos losvalores a determinar.

Ejemplo: Resuelva el siguiente sistema usando el metodo dereduccion. {

4x + 3y = 1

3x− 2y = −5






















Ejemplo 1: Resuelva el siguiente sistema usando el metodo deigualacion. {

−x + 3y = −6

6y = 2x + 6

Si se resuelve cada ecuacion para y obtenemos el siguientesistema equivalente al anterior.{

y = 13x− 2

y = 13x + 1








−x + 3y = −6

6y = 2x + 6


y = 13x− 2

y = 13x + 1








−x + 3y = −6

6y = 2x + 6

Si se resuelve cada ecuacion para y obtenemos el siguientesistema equivalente al anterior.

{y = 1

3x− 2

y = 13x + 1








−x + 3y = −6

6y = 2x + 6


y = 13x− 2

y = 13x + 1






Sistemas Inconsistentes y Sistemas DependientesAmbas ecuaciones estan en la forma pendiente-intercepto. Laslıneas correspondientes tienen la misma pendiente, perodiferente intercepto-y. Por lo tanto, al graficarse las ecuacionesen el mismo plano cartesiano, estas dan lugar a dos lıneasdiferentes y paralelas.

Por lo tanto, el sistema tiene no tiene solucion.







Por lo tanto, el sistema tiene no tiene solucion.







Por lo tanto, el sistema tiene no tiene solucion.Rivera-Morales, Carlos A. Sistemas de Ecuaciones Lineales en Dos Variables Reales





Sistemas Inconsistentes y Sistemas Dendientes

El conjunto solucion (C.S) es nulo o vacıo y se puede esribir delas siguientes formas:

C.S. = {}C.S. = ∅

Ejercicio: Resuelva el sistema anterior haciendo uso de losmetodos reduccion y sustitucion.






Sistemas Inconsistentes y Sistemas Dendientes

El conjunto solucion (C.S) es nulo o vacıo y se puede esribir delas siguientes formas:

C.S. = {}C.S. = ∅









y = −14x + 2

x + 4y = 8

Si se resuelve la segunda ecuacion para y obtenemos el siguientesistema equivalente al anterior.{

y = −14x + 2

y = −14x + 2








y = −14x + 2

x + 4y = 8

Si se resuelve la segunda ecuacion para y obtenemos el siguientesistema equivalente al anterior.

{y = −1

4x + 2

y = −14x + 2








y = −14x + 2

x + 4y = 8

Si se resuelve la segunda ecuacion para y obtenemos el siguientesistema equivalente al anterior.{

y = −14x + 2

y = −14x + 2







Ambas ecuaciones dan lugar a la misma lınea en el planocartesiando.

Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones.







Ambas ecuaciones dan lugar a la misma lınea en el planocartesiando.

Por lo tanto, el sistema tiene infinitas soluciones.







El conjunto solucion (C.S) se puede esribir de varias formas:

C.S. = {(x, y)|y = −14x + 2, x ∈ <}

C.S. = {(x, y)|x + 4y = 8, x, y ∈ <}C.S. = {(x, y)|y = −1

4 t + 2, t ∈ <}

Soluciones particulares: (0, 2); (8, 0); (−4, 3)









C.S. = {(x, y)|y = −14x + 2, x ∈ <}

C.S. = {(x, y)|x + 4y = 8, x, y ∈ <}C.S. = {(x, y)|y = −1

4 t + 2, t ∈ <}










C.S. = {(x, y)|y = −14x + 2, x ∈ <}

C.S. = {(x, y)|x + 4y = 8, x, y ∈ <}C.S. = {(x, y)|y = −1

4 t + 2, t ∈ <}







Ejercicio: Resuelva los siguientes sistemas lineales por elmetodo de su seleccion.

1

{2x− 4y = 8

y = 2x + 1

2

{6y = 14− 4x

0,2x = −0,3y − 0,7

3

{13x + 1

5y = 716x−

25y = −4

4

{2(x + 2y) = 20− y

−7(x− y) = 16 + 3y





Ejercicio: Resuelva el siguiente ejercicio haciendo uso de unsistema lineal.

Alina invirtio $27,000 en dos cuentas: una que paga 2 % deinteres simple y otra que paga 3 % de interes simple. Alcabo del primer ano, el total de dinero obtenido porconcepto de intereses fue de $685. ¿Cuanto invirtio Alinaen cada una de las cuentas?






Didi invirtio un total de $12,000 en dos cuentas: una quepaga 7.5 % de interes simple y la otra que paga 6 % almismo tipo de interes. Si al cabo de un ano, recibio $840por intereres, ¿ que cantidad invirtio en cada cuenta?






Una companıa de alquiler de autos alquila un carrocompacto cobrando $20 por dıa mas $0.25 por millarecorrida. Un auto de tamano intermedio se alquila por $30por dıa mas $0.20 por milla.a. Escriba una ecuacion lineal que represente el costo poralquilar un auto compacto.b. Escriba una ecuacion lineal que represente el costo porel alquiler de un auto de tamano intermedio.c. Determine el numero de millas para el cual es costo poralquilar cualquier auto sea el mismo.


Documents

Sistemas de Ecuaciones Lineales en Dos Variables …precalculo.carimobits.com/Material del Curso/PDF2/precalculo1... · Con referencia a un sistema de dos ecuaciones lineales en dos