Análise

Moisés Toledo∗

11 de abril de 2012

Solução de exercícios: 8.1 – 8.7 - Seção 8

Exercício 1. O cone C = {(x, y, z) ∈ R2; z ≥ 0, x2 + y2 − z2 = 0} é homeomorfo aR2.

Demonstração.

(i) Seja a função bijetiva

ϕ : C −→ R2

(t · cos θ, t · sin θ, t) 7−→ (t, tan(x2− π

2))

(ii) A inversa fica definida

ϕ−1 : R2 −→ C(t, µ) 7−→ (t · cos(π + 2arctanµ), t · sin(π + 2arctanµ), t)

Exercício 2. Estabeleça um homeomorfismo entre Rn+1 − {0} e Sn × R.

Demonstração.

(i) Seja a função bijetiva

ϕ : Rn+1 − {0} −→ Sn × Rx 7−→ ( x|x| , ln |x|)

(ii) A inversa fica definida

ϕ−1 : Sn × R −→ Rn+1 − {0}(z, t) 7−→ et · z

∗Universidade Federal da Paraíba

2

Exercício 3. Para cada c > 0, o hiperboloide de revolução H = {(x, y, z) ∈ R2;x2+y2 − z2 = c} é homeomorfo a S1 × R

Demonstração.

(i) Seja a função bijetiva

ϕ : S1 × R −→ H(cos θ, sin θ, t) 7−→ (

√c cosh(t) cos θ,

√c cosh(t) sin θ,

√c sinh(t))

(ii) A inversa fica definida

ϕ−1 : H −→ S1 × R(√c cosh(t) cos θ,

√c cosh(t) sin θ,

√c sinh(t)) 7−→ (cos θ, sin θ, t)

Exercício 4. O quadrante P = {(x, y) ∈ R2;x ≥ 0, y ≥ 0} é homeomorfo ao semi-plano superior S = {(x, y) ∈ R2; y ≥ 0}.

Demonstração.

(i) Seja a função bijetivaϕ : P −→ S

(x, y) 7−→ (lnx, y)

(ii) A inversa fica definida

ϕ−1 : S −→ P(x, y) 7−→ (ex, y)

Exercício 5. Os conjuntos X = {(x, y) ∈ R2; y = 0, 0 < x < 1} e Y = {(x, y) ∈R2; y = 0} são homeomorfos mas não existe um homeomorfismo h : R2 → R2 tal queh(X) = Y .

Demonstração.

(i) Seja a função bijetiva

ϕ : X −→ Y(x, 0) 7−→ (tan(πx− π

2), 0)

3

(ii) A inversa fica definida

ϕ−1 : Y −→ X(x, 0) 7−→ (1

2+ 1

π· arctan(x))

(iii) Não existe um homeomorfismo h : R2 → R2 tal que h(X) = Y pois se as-sim fora, então como h([0, 1], 0) é compacto, em particular é limitado, dai comoh((0, 1), 0) ⊂ h([0, 1], 0) então h((0, 1), 0) é limitado o qual é uma contradiçãoao fato que h((0, 1), 0) não é limitado.

Exercício 6. Estabeleça um homeomorfismo entre os conjuntos X = {x ∈ Rn; 0 <|x| ≤ 1} (bola unitária fechada menos a origem) e Y = {y ∈ Rn; |y| ≥ 1} (comple-mentar da bola unitária aberta).

Demonstração.

(i) Seja a função bijetivaϕ : X −→ Y

x 7−→ e1|x|−1 · x|x|

(ii) A inversa fica definida

ϕ−1 : Y −→ Xy 7−→ y

|y|·(ln(|y|)+1)

Exercício 7. A figura 8 é a reunião de dois círculos tangentes externamente emR2. Defina uma bijeção contínua de R sobre a figura 8 e mostre que sua inversa édescontínua.

Demonstração.Sejam c, a > 0 números reais fixos, e T o gráfico da figura oito (lemniscata).

(i) Seja a função bijetiva

ϕ : R −→ Tx 7−→ (x, cx(a2 − x2)1/2)

(ii) A inversa não fica definida em (0, 0).