as - Elon Lages Lima

5/10/2018 as - Elon Lages Lima

1/99

.IsometrtasElon Lages Lima

Sociedade Brasileira de Matematica


2/99

Copyright , 1996 by Elon Lages Lima

Coleeao do PROFESSOR DE MATEMATICA:1.Logaritmos . Elan Lages Lima2. Analise Combinatoria e Probabilidade - Augusto C. Morgado, Joao BoscoPitombeira de Carvalho, Paulo Cezar Pinto Carvalho e PedroFernandez3. Medida e Forma em Geometria - Elon Lages Lima4. Meu Professor de Matematica e outras Historias - Elan Lages Lima5. Coordenadas no Plano - Elon Lages Lima6. Trigonometria, Numeros Complexos - Manfredo P. do Carmo, Augusto C.Morgado, Eduardo Wagner (Notas Historicas de Joao Bosco Pitom-

beira)7. Coordenadas no Espaco - Elan Lages Lima8. Progressoes e Matemdtica Finaneeira -Augusto C. Morgado, EduardoWagner e Sheila C. Zani9. Construcoes Geometricns - Eduardo Wagner (colaboracao de Jose Paulo Q.Carneiro)10. Introduciio a Geometria Espaciai - Paulo Cezar Pinto Carvalho11. Geometric Euclidiana Plana - Joao Lucas Marques Barbosa12. Isometrics - Elon Lages Lima

Capa: Rodolfo CapetoIlustracoes: Tina Velho

Diagramacao, composicao e fotolit~~JlIo...1LGRAFTEX Comunicacrao VisualRio de Janeiro. Tel. 512.5726 Fax. 274.9944web site: hitp.Ll iouno.graftex.eom.bre-mail: [email protected]
mailto:[email protected]:[email protected]


3/99

Prefacio

o presente texto constitui 0 conteudo basico de urn eursoque lecionei para professores reunidos na aprazivel LaCumbre, Provincia de Cordoba, Argentina, em novernbro de1995.Seu objetivo eo de cIassificar as isometrias (transformacoesque preservam a distancia euclidiana) e analisar ascompostas dessas transformaeoes. Esse estudo e feitosucessivamente na reta, no plano e no espaco. Nasdiferentes dimensoes, 0 desenvolvimento do assunto seguea mesma ordem de ideias, Isto permite uma adaptaeaogradual a complexidade crescente e, ao mesma tempo,simplifica alguns argumentos mediante 0 usa de resultadosanalogos ja provados em dimensoes mais baixas.o ponto de \ vista adotado nesta exposicao epredominantemente (mas nao exclusivamente) sintetico,Em cada caso (reta, plano -e espaco) e dada uma breveexplicacao de como 0 assunto pode ser tratado tambemmediante 0 usa de coordenadas. Alem disso, coordenadassao utilizadas para mostrar, de modo rapido, que reflexoesnao resultam de movimentos sem recorrer a urn ambientecom uma dimensao a mais.


4/99

Minhas justificativas para a divulgacao destas notas sao asimplicidade da exposicao, a raridade de publicacoes sabreo assunto (especialmente no caso tri-dimensional) e,principalmente, 0 tratamento que apresento para asisometrias proprias, comoconsequencias de movimentos noplano ou no espaco, conforme 0 caso. Acho que essaabordagem corresponde mais fielmente a nossa intuicao esimplifica consideravelmente a exposicao, tornando-a maisgeometriea e natural.Para finalizar, e com grande prazer que registro meusagradecimentos a Juan Carlos Dalmasso e a NormaPietrocola pelo convite, pela hospitalidade e por todas asgentilezas comque me brindaram.

Ria de Janeiro, dezembro de 1995Elan Lages Lima


5/99

Corrteudo

1. Isometrias na reta 12. Usando coordenadas na reta 8 .3.Orientacao na reta 10

Exercicios 114. Isometrias no plano 135. Isometrias pr6prias e impr6prias no plano 306. Composicao de isometrias no plano 357. Usando coordenadas no plano 42

Exercicios 478. Isometrias no espaco 529. Isometrias pr6prias e impr6prias no espaco 6510. Classificacao das isometrias do espaco 7211. Composicao de isometrias no espaeo 8012. Usando coordenadas noespaco 87

Exercicios 92


6/99

1Isometrias na Reta

Seja r uma reta. Todo ponto A E T determina em r duas semi-retasopostas 0 "1, O "z. Tem-se ITl U IT z =r e 0"1 n IT z ={A}. Diz-se que A ea origem dessas duas semi-retas.

A rFigura 1

Dados 3 pontos distintos A, B, C sobre a reta r, diz-se que Cesta entre A e B quando A e B pertencem a semi-ret as distintas(logo opostas) de origem C..~.

A c B rFigura 2

o segmento de reta AB e, por deflnieao, 0 conjunto dos pontosde T situ ados entre A e B , mais os pontes A e B. Quando C r t ABdiz-se que A e B estao do mesmo lado de C.

Admitimos que foi fixada uma unidade de comprimento e in-dicamos com AB 0 comprimento do segmento de reta AB. Escre-veremos tambem d(A, B) em vez de AB e diremos que se tratada diettincia do ponto A ao ponto B. Tern-se sempre AB:;:O,comAS =0 se, e somente se, A =B.


7/99

Vale AB =AC + CB 8e, e somente se, C E AB. Caso sejaC fi AB, vale AB =AC - BC ou AB =Be - AC, conforme AC;,:BCouAC~BC.

A C B A B c c A BFigura 3

Podernos resumir dizendo que AB =AC + CB quando C estaentre A e Be AB = lAC - Be) quando C r J _ AB.

Numa semi-reta de origem A exists, para cada mimero reald > 0 , urn unico ponto X tal que AX = d . Segue-se que, sobreurna reta r, existern exatamente dois pontos X o . X l situ ados a umadistancia d > de urn ponto dado A E r: urn em eada semi-reta deorigem A. Tern-se XOX l = XoA + AX l = d + d = 2d e A chama-seoponto media do segmento XoX 1

Quando A e 0 ponto media do segmento de reta XoX 1 , diz-seque X l e 0 simetrico de Xo relativamente a A. 0 simetrico de Arelativamente a A e, por conveneao, 0proprio ponto A. Assim, Yeo simetrico de X relativamente a A quando dry, A) =d[X, A) > ou entao quando X = Y=A.

d dA Xl rFigura 4

Uma isometria da reta r na reta 5 e uma funeao T:r ~ 5 quepreserva a distancia entre pontos. Mais preeisamente, se doispontos quaisquer X, Y E r sao transformados por T nos pontesX ' =T(X) e Y' =T(Y) em 5, entao X'Y' =XY.1. Toda isometria T: r ~ 5 e uma funcao bijetiua, cuja inuersaT- 1: S ~ re ainda uma isometria.

Com efeito, dados X,Y E r, ponhamos X' =T{X) e Y'=T(Y).


8/99

ls om e tr la . n a R lla 3

Entaox f = Y =} XY > 0 =} X'V' =XY > 0 =} X ' f = v,

LogoT e injetiva. Para provar que T e sobrejetiva, tomemosurn ponto arbitrario YES e mostremos que existe X E r tal queT{X) =Y. Para iS80, tomemos urn ponto qualquer A Ere ponha-mas A' = T(A). Seja d =A'Va distancia de A' ao ponto Y. Sefor d =0 entao A' =YeA e o ponto X procurado. Se d > 0, exis-tern dois pontos X o , X l em r, situados a distancia d do ponto A.Sendo injetiva, a isometria T transforma Xo e X 1 nos dais unicospontos de s situados a distancia d do ponto A'. Como urn destes eY, segue-so que se tern T(Xo) =You T(Xl) =Y,

T~d d d

A T A' yFigura 5

Finalmente, dados X,YES, temos X = T(Xo), Y=T(Yo), ondeX o =T-1 (X l e Yo=T-1 (Y ). En ta o

d(X, Y) = d(T(XoL T(Yo)l = d(Xo, Yol = d(T-1(X), T-l(y)),logo T--1; 5 - - - - + r e uma isometria. Evidentemente, a funcao composta de duas isometrias e ainda

uma isometria.2. A imagem do segmento de reta X Y c rpor uma isometria T: r - - - - +s e 0 segmento de reta X 'Y ' C s, onde X ' =T(X) e Y ' =T{Y).Com efeito, dado a ponto Z E T, escrevamos Z' =T{Z). Entao

Z E XY {=} XY =XZ + ZY{=} X 'Y ' =X ' Z ' + Z'Y'{=} Z' E X/Y ' .


9/99

4 l sometr la s 0 1 1 Rela

Segue-so que se 0 ponto Z nao pertence ao segmento XV, suaimagem Z' =T(Z) nao pertence ao segmento X'Y'. Nautras palav-ras, se X e Y estao do mesmo Iado de Z em r entao suas imagensX ' e Y ' estao do mesmo lade de Z' =T(Z) em s.OBSERVACAO: A isometria T, que transforma 0 segmento de retaXY no segmento de reta X'Y', leva necessariamente 0ponto mediaMrie Xv no ponto medio M' =T(MJdeX'Y'. Comefeitod(M',X') =d(M, X l = diM, V)=d(M', V').EXEMPLO 1.


10/99

Iso_Ilia. n . Rei. 5

3. Urna isometria T: r~ rque possui dois pontos fixos distintos ea funcao identidade.

Com efeito, sejam A e B pontos de r tais que T(A) = A eT{B}=B. Se existisse urn ponto X E r tal que X'=T{X} :I Xentao,como se tern d[A, X i =d(T{A), T{X)) = d(A, X'), A seria 0 pontomedia do segmento XX'. Analogamente, B seria tambem a pontomedia desse mesmo segmento. Logo A =B. Isto mostra que umaisometria T:T ~ T diferente da identidade possui no maximo urnponto fixo. 4. Sejam S, T: r ~ s isometrias. Se existirem pontos A i = B em Ttais que 5(A) =T(A) e 5(B) =T(B) entiio S = T, ieto e, 5(X) =T(X)para todo X E r.Com efeito, nesse caso a isometria R =T-1 05: T - - - - - f T e tal queR(A) =A e R(B) =B, logo R =identidade, ou seja, 5 =T. 5. Se a isometria T: T - - - - - f rpossui urn ponto fixo A entiio ou Teafunciio identidade ou Tea reflexiio em torno de A

Com efeito, se T nao e a funeao identidade entao existe algumponto B E r (necessariamente diferente de A) tal que T(B) =B' i-B. Temos d(A, B') = d(T(A), T(B}) = d(A, B}, logo A e a pontomedia do segmento BB'. Entao a isometria T coincide com a re-flexao RA nos pontos distintos A e B. Segue de 4 que T = RA.

H ' rA HFigura 7

6. Sejam S, T: r ~ s isometrias. Se existir urn ponto A E r tal que5(A) =T(A) entiio au 5 =T ou S =T 0 RA, onde RA: r ~ Teareflextio em torno do ponto A.

Com efeito, a isorne tria U =T-1 0 5:r - - - - - + T admite 0 ponto fixoA, logo, por 5, OU U =identidade (e 5 =T) ou U =RA e, neste caso,5 =To RA.


11/99

6 I slm e t ria s n a Beta

OBSERVACAO: Se tivessemos tornado V =S 0T-1: S - - - - - t s, teriamosconluido que 5 = T au 5 = RA' 0T onde RA': 5 - - - - - t 5 e a reflexao emtomo do ponto A' = S(A) = T(A). E facil ver diretarnente que,quando T(A) = A', tern-se To RA=RA' 0 T.EXEMPLO 2. tTranslacao.) Tornemos dais pontos distintos A, Bsabre a reta r. A translactio TAB:r -+ rea funcao que faz corres-ponder a cada ponto X E r 0 ponto X , = TAS(X) tal que XX ' =ABe, alem dis so, 0 sentido de percurso de X para X' e 0mesmo de Apara B. A nocao de "sentido de percurso" sabre uma reta e Intuiti-varnente clara. Em tennos matematicos mais precisos, dizer qued(X, X') =d(A, B) e que os sentidos de percurso A -+ B e X --1 X'coincidern equivale a afirmar que 0 ponto medic M do segmentoAX' e tambem ponto media do segmento BX.

rA B M x

Figura 8Para provar que toda translacao e uma isometria, observamos

inicialmente que se TAB(X} =X' e TAS(Y} =Y' entao d(X,X') =dry, V') = dlA, B). Dados X, YET, para mostrar que se ternd(X', V') = d(X, V), consideraremos dais casas, expressos pelas fi-guras abaixo:

r rx x' y y' x X' Y y'

Figura 9No primeiro caso, as segmentos XX' e yyl nao tern pontos in-

teriores em comum e, no segundo, tern. Entao valem, respectiva-mente, as relacoes

d(X', V ') =d(X', Y) + dry, Y') = d(X', Y) + d(X, X') =d(X, Y)


12/99

l som e tr la s n . Rei. 7

aud(X', V ') = d(Y, V ') - d(X', Y ) = d(X, X ') - d(X', YJ=d(X, YJ.

Em qualquer caso, d(X', V ') =d(X, V).OBSERVACAO: Se AB e CD sao segrnentos da reta r, tern-se TAB =Teo se, e sornente se, AB e CD tern a mesma comprimento e 0sentido de percurso A - - + B e a mesmo C - - + D. Neste caso, diz-se__,que ABe CD determinam 0mesma vetor v =AB = CD e escreve-seT v em vez de TAB.

Determinaremos agora todas as isometrias de uma reta.7. Se T: r - - + r e uma isometria, entiio Tea func;ao identidade ouuma translacao ou a reflexao em torno de um ponto de r.

T TA A ' A " A=A" M A'

Figura 10Com efeito, se T nao e a funcao identidade, existe A E r tal que

AI =T(A) i = A. Seja Afl =T(A'). Como T e uma isometria, tern-se d(A', A") = d{A, AI) > O. Ha duas possibilidades: au A" I- Aau A" = A. No prirneira caso, AI e a ponto media do segmentoAAfI logo T coincide com a translacao TAN nos pont os distintos Ae A', portanto T = TAN. em virtude de 4. No segundo caso, sechamarmos de M 0 ponto media do segmento AA', veremos qued(T(M),A') = d(M,A) =d(M,A') =d(T(M),A") =d(T(M],A),

logo T(M) e o ponto media de AA', au seja, T(M) =M. Assim Tcoincide, nos dais pontes distintos A e M. com a reflexao R M emtorno do ponto M. Segue-se de 4 que T=RM.


13/99

2Usando Coordenadas na Reta

Para introduzir urn sistema de coordenadas na reta r tomamosurn ponto 0 E T, que chamaremos de origem, e escolhemos umadas semi-retas de r determinadas par 0, it qual chamamos desemi-reta positioa: Comisso estabelecemos uma correspondenciabiunivoca f: r ......,R entre a reta reo conjunto lR dos mimeros reais.A cada ponto X E r corresponde 0numero real f[X) = x, chamado acoordenada do ponto X , definido do seguinte modo: se X pertencea semi-reta positiva entao x = f[Xl = d[X,O). Caso contrario,x=f(X) =-d(X, 0). Evidentemente, a origem 0 tern coordenadafrO) = .

A correspondencia biunivoca f: r -1F t permite que substitua-mos, em alguns raciocinios, 0 ponto X da reta T pelomimero x quee a sua coordenada. Nesta ordem de ideias, uma transformacaoT:r ......, pode ser pensada como uma funeao real T: 1 F t . . . . . . , J R . Sex E 1 R e a coordenada do ponto X E r entao ' 1 ' ( x) e a coordenada deT(X).

Por exemplo se a e a coordenada do ponto A E T, a reflexiioRA: r ......,corresponde it funcao Po: lR......,R,dada por Po[x) =la-x.Com efeito, como A e 0 ponto media do segmento cujos extre-mas sao X e RA(X) , sua coordenada a e a media aritmetica a =[x+ Pu{x)1/2 entre a coordenada x doponto Xe a coordenada Pa(x)do ponto RA(X). Segue-se imediatamente desta igualdade quePo[x) =Zc - x.

, A formula Pa(x) =20 - x mastra imediatamente que Pu{x) =x #x=a e que Pa(Pa(x]) =x para todo x E J R , au seja, que Ae 0 unico ponto fixoda reflexiio RA e que RA =(RAJ - T. Quanta a


14/99

U B id D C oD rd en ad as n a R eta 9

translaeao TAS: r --'I r, se a e b sao respectivamente as coordenadasde A e B, com b = a + d, entao a translaeao TAB: T --'I T correspondea funcao '1'd: IR --'I IR , dada par 'td(X) =x + d. Com efeito, para todoponto X E T, sejam X ' = TAs(Xl e x, x' respectivamente as coorde-nadas de X e X'. Entao a ponto media do segmento AX' coincidecom 0 ponto media do segmento BX . Em termos de coordenadas,isto significa que ~(a+x') =~(a + d + x), au seja, x'=x+ d.o numero d = b - a chama-se a coordenada do vetor AB.

Mais uma vez, vemos que a translaeao TAB: T --'I T nao depende. _ _ _ , .especificamente dos pontes A e B mas apenas do vetor AB. Noteainda que (TAB)-l =TBA.


15/99

3Orlentacao na Reta

Orientar uma reta r significa escolher urn sentido de percurso emr e chama-lo depositivo. 0 sentida oposta sera denorninado nega-tivo. Para dar consistencia e significado matematico a essa nocaointuitiva de "senti dode percurso", diremos que urn sentido de per-curso em r e dado por uma semi-reta (JC r. Duas semi-retas (I' ea" em r definem a mesma sentido de percurso quando uma delasesta contida na outra.

cr' cr '

0 ' ' 'semi-retas demesmo sentido

cr"semi-retas de sentidos opostos

Figura 11

Urn par ordenado (A, B) de pontos distintos da reta r tambemserve para orientar a reta r. Com efeito esse par determina asemi-reta AB, de origem A, que contem 0 ponto B. 0 sentido depercurso A - - - + Be, par definieao, aquele definido pela semi-ret aAB,de origem A. Como ja observamos antes, dados os pares (A, B) e(C) D), a afirmaeao de que os pontos medias dos segmentos ADe Be coincidern equivale a dizer que AB =CD e que as sentidosA - - - + Bee --? D sao 0mesmo.

Urna reta na qual foi fixado urn sentido de percurso (au seja,urna reta orientada) chama-se urn eixo, Graficamente, esse sentidode percurso e indicado comuma seta.


16/99

O ri8llta 'fi 0 I R e ll 11

rFigura 12 - Urn eixo.

Diz-se que uma isometria T:T - - - + T preserva orientaciio (au epropria) quando, dado qualquer par ordenado (X , Y) de pontos deT, 0 sentido de percurso X - - - + Y coincide com a sentido X ' - - - + Y',onde X ' =T(X) e Y' =T(Y). Caso contrario, diz-se que T inverteorientactio (ou que e impropria).

Como se ve facilmente, a identidade e as translacoes sao iso-metrias que pereservam orientacao enquanto que as reflexoes in-vertem.r rx y x' x Y M

uma translacao uma reflexaoFigura 13

Evidentemente , a composieao de isometrias respeita as se-guintes regras:

(propria) 0 (propria) =propria(propria) 0 (impropria) =mpropria(imprdpria) 0 (impropria) = propria(imprdpria) 0 (propria) =impropria

Assim e claro que a composicao de duas reflexoes da como re-sultado uma translacao au a identidade, enquanto que a compostade uma reflexao com uma translacao, em qualquer ordem, e umarefiexao,EXERCiclOSAs isometrias nos exercicios de 1 a 10tern lugar todas na mesmareta T.


17/99

12 O rle nl_po n a B e ta

1. TA B 0 TB C =TAc.2. TA B 0 TCD=TCDo T A B .3. RB 0 TA B = RM . M = ponto media do segmento AB.4. R A 0 TA B =RN, N =ponto medic de AA', TAs(A'] =A .5. Como determinar R B 0 TpQ com P , Q E r arbitrarios?6 . TASo R A =RM , M =ponto medio de AB.7. Determine, em geral, TPQ 0RA e, em particular, TPA 0R A .8. R 8 0 RA =TPQ. Determine P e Q.9. RA 0 R s = (R s 0 RA)-l .10. Toda isometria T: r -+ r e uma reflexao OU se exprime comocomposta de duas reflexoes, Examine a composta de tres reflexoes.11. Sejam A, B Ere A', B' E s tais que AB =A'B'. Prove queexiste uma isometria T: r -+ s tal que T(A) =A' e T(B} = B'.


18/99

4Isometrias no Plano

Continuamos admitindo fixada uma unidade de comprimento eindicando com d(A, B) au A13a distancia do ponto A ao ponto B noplano Tl, au seja, 0 comprimento do segmento de reta AB.

Lembramos que a ponto C pertence ao segmento de reta A1se, e somente se,

d(A,8) =d(A, C) + d(C, BJ.Uma isometria entre as planas n e Il' e uma funcao T: n ~ Il'

que preserva distancias, Isto significa que, para quaisquer pontosX,YEn, pondo X ' = T(X) e yl = T(Y), tem-se d(X', Y') = d(X, YJ.

Toda isometria T:n ~ Il' e uma funeao injetiva paisx :I Y =} d(X, Y) > 0 =} d(X', Y') =d(X, Y) > 0 =} X' # Y' .Uma isometria e tambem sobrejetiva. Isto sera provado a

seguir.8. Toda isometria T: n~ Tl' transforma retas em retas.

Com efeito, seja r C n uma reta. Tomemos dais pontos dis-tintos A e 8 em r, ponhamos A' =T(A), 8' = T{B}e chamemos der' a reta no plano Il' que passa por A' e 8'. Dado qualquer X E r,urn dos tres pontos A, 8 eX esta entre as outros dais. Digamosque B esteja entre A e X, au seja, que B E AX. (Os outros dais ca-sas sao tratados analogarnente.) Entao AX =AB + 8X logo, pondoX ' = T(XJ,vern A ' X ' = A'B' + B /X portanto 13'pertence ao segmentoA'X'. Assim as pontos A', B' e X' sao colineares. Isto mostra queX E r ~ X ' E r'. Logo a restrieao de Tar e wna isometria en-tre r e r'. Como toda isometria entre retas e sobrejetiva, tem-se


19/99

14 1 9 0 m et ri aS lO P la n .

T(r) ='.

n

T

T~

r'

Figura 14n'

9. Uma isometria T: n - - - + TI ' transforma retas perpendiculares emretas perpendiculares.sD

T_ _ _ _ _ .r

B A Cn n'Figura 15

Com efeito, dadas as retas perpendiculares res em Tl, consi-deremos: 0 ponto A de interseeao de r e 5, dois pontos B e C emT, equidistantes de A, e urn ponto qualquer D sobre s. A isome-tria T transforma a mediana AD do triangulo isosceles BCD namediana A'D' do triangulo isosceles B'C'D', logo A'D' e perpendi-cular a B'C', au seja, r' e perpendicular as'. 10. Toda isometria T: Tl - - - + n' e uma bijectio, cuja tnoersaT- T : Tl' - - - + n e ainda uma isometria.


20/99

I Se ll alr fa s 1 10 P la n a t5

Comefeito.ja vimos que T e injetiva. Para provar a sobrejeti-vidade, tomamos urn ponto arbitrario X ' E IT ' e procuramos deter-minar urn ponto X E ITtal que T(X) = X'. Para Isso, tracamos umareta qualquer T em IT. A imagem de r por T e uma reta r' no planoIT'.Se X' E r' entao, por definicao de imagem, existe urn ponto X E rtal que T(X) =X '. Caso contrario, seja s' a perpendicular baixadade X I sobre T. Chamemos de Y' 0 ponto de intersecao de r' comS'. Como Y' E r', existe Y E y tal que T(Y) =V'. Seja s a retaperpendicular a T passando por Y. A imagem de s pela isometriaT e perpendicular a r' e contem V'. Logo T( s) =S'. Como X' E s',existe XES tal que T(X) =X'.

T_,..

IT IT'

E evidente que se T: IT ---;I IT ' e 5: IT' ---;I IT" sao isometrias entreplanes entao a composta SoT: IT ---;I n i l e tambem uma isometria.o exemplo mais 6bvio de isometria e a funcao identidadeId: IT- - - - - t IT.Vejamossagora alguns outros.

Figura 16

EXEMPLO 3. (Simetria em torno de um ponto.) Tomemos urn pontoA noplano IT.A simetria em torno de A e a funeao SA: IT ~ ITassimdefinida: SA(A) =A e, para X o j : A, 5A(X) =X' e 0 simetrico deX relativamente a A. Noutras palavras, A e 0 ponto media dosegmento de reta XX'. Para ver que S A e uma isometria, basta ver


21/99

16 Isorutrlas nl PlallD

x y

Figura 17que, dados X,YEn, os triangulos AXYe AX'Y' sao congruen-

tes, pois AX =AX', AY=Ay' e as angulos X A Y , X' A Y ' sao opostospelo vertice. Logo Xy =X'V'.EXEMPLO4. (Reflexao em torno de uma reta.) Seja r uma reta noplano n. A retlexao em torno do reta Tea funcao RT:n ~ ITassimdefinida: Ry(XJ =Xpara todo X E T e, para X r t T. Rr(X) =X' e talque amediatriz dosegmento XX ' e a reta T. Noutras palavras, sejaYo p e da perpendicular baixada de Xsabre T. Entao Yeo pontomedia do segmento xx',

Figura 18Para provar que R T e uma isometria, consideramos dois casas.

Primeiro: X e Yestao do mesmo Iado da reta T no plano n . Entaotracamos as segmentas XA e X'A', paralelos a T, comA e A' sabreYY'. Os triangulos retangulos XAY e X' A/Y' tern os catetos com 0mesma comprimento logo0mesmo ocorre com suas hipotenusas,isto e, Xy =X/Y'.


22/99

. . . . . . I r l . . . , _ . 17

r

Figura 19Segundo caso: Xe Yestao em lados opostos da reta T. Sejam A

e B as pontos de Intersecao de XYe XX, com a reta T. OS triangulosretangulos ABX e ABX' te rn 0 cateto AB em comum e BX=BX'.Logo suas hipotenusas tern 0 mesmo comprirnento: AX = AX'.Analogamente, AY =AV'. Assim os triangulos AXX' e AYY' s a oisosceles, portanto suas rnedianas sao bissetrizes: oc=(x' e 1 3 = 1 3 ' Por outro lado, ()(= { 3 Icomo angulos opostos pelo vertiee.

X '

y'

r

yFigura 20

Entao IX+ (X' = 1 3 + ( 3 ' . Como ( 3 + (3 ' e 0 suplemento do angulox X Y ', segue-se que (X+ (x' tambem e , logoX', A eY' sao colineares,Portanto

X'V' = X'A+ AY' =XA + AY =XV.


23/99

18 Ise .... la SiD P la n.

as pontos fixos da reflexao Rr:Il ---t n sao os pontos da reta r.Para todo X E n tem-se R A R T ( X ) ) =X, logo R T 0R T =identidade,ou seja, ( R , . . l ~ J =R , . . .Urn fato geometrico import ante a respeito da reflexao R T: Tl ---tn e que ela transforma 0 triangulo ABC num triangulo A'B'C' no

quaI 0 sentido de rotaeao dos vertices At ---t 8' -? C' e a oposto dosentido A - - - - 1 B ---t C. c

,r--,.C B'-...A_/ ABI 'I(A\ A~B' rc' B'


24/99

lullllltrt. no P I . . . 19Esta definieao de TAB(X)se aplica apenas quando A, B eX DaO

sao coline are s. Se X pertence a reta AB, sua imagem X' = TAB(X)ja foi definida quando estudamos as isometrias da reta. Qualquerque seja a posieao de X no plano n, sua imagem X ' =TAB(XJficainteiramente caracterizada pelo fato de que os segmentos de retaAX' e BXtern a mesmo ponto media M. Assim, se quisermos cons-truir X' geometricamente a partir de A, B e X tomamos 0 pontomedia M do segumento BX e prolongamos 0 segmento AM ate X 'de modo que M X ' =AM.

r rA B M x x'

Figura 23E importante observar que, na defmicao de TAB, e essencial

levar em conta a ordem em que sao mencionados os pontos A eB. A translaeao TBAe diferente de TAB. Na realidade, como se vefacihnente, tem-se TBA= (TAS)-l. Mencionaremos 0 segmento dereta orientado AB para significar que 0 ponto A foi tornado comoorigem eo ponto B como extremidade. 0 segmento orientada BA(oposto de AB) tern B como origem e A como extremidade.Salientemos que a translaeao TABnao pas sui pontos fixos. Narealidade, para todo ponto X En, com T(X) =X', tem-se d(X, X') =d(A, B).

Para mostrar que a translacao TAB:n -?n e uma isometria,tomemos dais pontos arbitrarios X,YEn e suas imagens

Se a reta T que contem X eYe paralela au igual a reta s quecontem AB entao TAB,restrita a T, e a translaeao Txx': T -?r, logod(X/, VI) =d(X, Y). Se r nao e paralela nem igual a s entao X X ' eYY' sao lados opostos de um paralelogramo, logo a mesmo ocorrecom XYe X'V'. Segue-se que d(X', V') =d(X, V).


25/99

20 .......... n o 'lal'

y'

AFigura 24

A nocao de translaeao esta intimamente relaeionada com acanceito de uetor (doLatim "vehere" =ransportar), Na realidade,podemos definir os vetores do plano a partir das translaeoes. Di-remos que dais segmentas orientados ABe CD, no plano IT,saoequipolentes quando TAB =Tco, Ista corresponde a definieao tra-dicional pois TAB =Teo se, e somente se, os segmentos AB e CDsao paralelos, tern 0mesmo coroprimento e 0mesmo sentida (auseja, se, e somente se, os pontos medias de AD e Be coincidem).- -m seguida, diremos que 0 vetor v = AB, de origem A e extre-midade B . eo conjunto dos segmentos orientados equipolentes aAB. Entao podemos escrever T v em vez de TAB e dizer que T v e atranslacao de uetor v.

Dados 0segmento orientado ABe aponto Pno plano Il, existeurn unico ponto Q em n tal que os segmentos arientados AB e

------+ --->PQ sao equipolentes, isto e, PQ = AB=v. Q e a quarto vertice do

A pFigura 25


26/99

paralelogramo que tern ABe AP como lados. Escreve-se Q =P+v---+e diz-se que 0 vetor v =AB transportou a ponto P para a posicao

Q. Naturalmente, Q = TAB{ P) =Tv{P) .Vetores no plano n podem ser somados. Dados os vetores u__,. - -e v, com u = AB, toma-se urn ponto Q tal que BQ =v e poe-se_ _ _ , . - - - - - -u, + v =AQ. Alternativamente, podemos tamar C tal que AC =v- -definir u +v =AD, onde D e 0 quarto vertice do paralelogramo

que tern AC e A B como lados.

cAFigura 26

E conveniente introduzir a uetor nulo (au vetor zero) indicado_ _ _ .com 0, pondo =AA (vetor para a qual a origem coincide com aextremidade). Isto corresponde a incluir a funcao identidade comotranslacao: T o =identidade.

Observe que TuD Tv = v 0 Tu =Tu+v.- -ar definieao, se v =AB, escreve-se -v = BA. Entaor r . r ' = T-vAlem de somados, as vetores podem tam bern ser multiplicados- -ar mimeros reais. Dados 0 vetor v = AB e a numero real t > 0, a- -roduto de tpor v e 0vetor tv=ABt onde Bteo ponto da semi-retaAB tal que ABt/AB = t. Se t < 0, poe-se tv = -Itlv e se t = 0,tem-se 0 . v =0=AA.EXEMPLO 6. iRotactu) Sejam 0 urn ponto tornado no plano r T e(X = ADB um angulo de vertice O. A rotactio de angulo C( em torno


27/99

22 ... . ltrIu no,lao

do ponto 0 e a funeao pO,a; Il ---t ITassim definida: Po,(O) = 0 e,para todo ponto Xi- 0 emn, PO,JX) =X I eo ponto do plano ITtalque

e 0 "sentido de rotacao" de A para B e 0 mesmo de X para X'.A condicao xox- = ocsignifica, em termos geometricos, que se

oFigura 27

tomarmos os pontos A e B tais que OA=OB=OX = OX' entaoAB = XX' . A exigencia de que 0 sentido de rotaeao de X para X 'seja 0mesmo que 0 sentido de A para B e clara intuitivamente epode ser formulada em termos precisos dizendo-se que os angulos

oFigura 28


28/99

I s o .. . . . . . . n o , . . . . 23

BOXe A O X ' tern a mesma bissetriz. Dados as pontos X,Y E IT,diferentes de 0, sejam X ' e Y ' suas imagens pela rotaeao P O , I X 'Com as angulos X'OY e XOY ' tern a mesma bissetriz, segue-seque XOY = X'OY ' . Sendo OX = OX ' e OY = OY ' , concluimosque as triangulos XOY e X 'OY ' sao eongruentes (caso LAL). LogoX'Y ' =XY , au seja, Po I X e uma isometria, cujo tinico ponto fixoe a .

Quandoo angulo'lX =ABB e rasa, au seja, quando OA e OBsao semi-reta.s opostas, a rotacao Po ,I X coincide coma simetria So ,em torno do ponto O. (Exemplo 3.)OBSERVACAO: A fim de que a rotacao Po ,a, de centro 0 e anguloI X =AGB, esteja bern definida, e necessario que a ordem das semi-retas OA e OB seja levada em conta: OA e a primeira e OB ea segunda. Diz-se entao que I X = ADB e urn dngulo orientado.Ele e considerado diferente do angulo orientado -(X= BOA. Narealidade tem-se Po,-a= (Po ,J-1, como se ve facilmente.EXEMPLO 7. (Reflexao com deslizamento.) Sejam v =ABurn vetornao-nulo e r uma reta paralela a v no plano n .

vBx , A

r

Figura 29A reflexao com deslizamento, determinada pelo vetor v e pela

reta T. e a isornetria T =Tva R1':n - - -7 IT,obtida fazendo a translaeaoTv seguir-se a reflexao RT A reflexao com deslizamento, como atranslaeao Tv , nao possui ponte fixo.


29/99

OBSERVACAO. Levando em conta que v e paralelo a r, mostra-sefacilmente que Tv 0 RT =RT 0 Tv .11. Se uma isometria T: Il ---t npossui tres pontos fixos niio coli-neares entao T=dentidade.Com efeito, sejam A, Bee pontos nao coline ares no plano Il,tais que T(A) =A, T(8) =Be T(C) =C. Considere as retas r= ABe s =AC.

Figura 30A imagem da reta r pela isometria Tea reta que passa pelos

pontos T(A] =A e T(B) = B. Logo T(r) = T. Assim, a restriciioTIT e uma isometria da reta T, com dois pontos fixos distintos Ae B. Par 8, tem-se T( X ) = X para todo X E r. Analogamente seve que T(Y) =Y para todo ponto YES. Seja agora Z um pontoqualquer do plano IT. Faeamos passar par Z uma reta t que cortares respectivamente nos pontos X e Y. Como T(X) =X e T(Y)=Y, concluimos que T deixa fixos todos as pantos da reta t. Emparticular, T(l) ::;:Z : Senda l urn ponto arbitrario de n, resultaque T=dentidade.12. Sejam S , T : n - - - - - t TI' isometrias. Se existirem em TI tree pontosntio-colineares A, 8 e C tais que S(A) = T(A), 5(8) =T(8) e S(C] =T(C), tem-se S =T, isto e, S(X) = (X ] para todo X E n.

Com efeito, nas condieoes acima a isometria 5-1 0 T:IT ---t ndeixa fixos os pontes A, Bee, logo 5-1 0 T =dentidade, dandeS =T.


30/99

I B lm e fr la s n o P la rta 25

13. Se uma isometria T: IT - - - - - 1 npossui dois pontes fixos distintoeentiio ou Tea identidade ou e a reflexao em torno da reta quecontem. esses pontos.

Com efeito, sejam A - I - B pontos de IT tais que T{A) = A eT(B) = B. Entao T deixa fixos todos as pontos da reta r = ABFixemos urn ponto C no plano Tl, fora da reta r. Se T(C) =C entaoT=identidade porque tern tres pontos fixos nao-colineares: A, Be C. Se, entretanto, for C' =T(C) o f - C entao, como AC = AUe Be = BC', a reta Tea mediatriz do segmento CC' portanto

cr

B

C'Figura 31

C' =Rr(C) , Portanto T coincide, nos pontos nao-colineares A, B eC, com a reflexao em tomo de R, logo T=Rr.14. Sejam 5) T: n - - - - - 1 TI' isometrics. Se existent em n dois pontosdistintos A, B tais que 5(A) =T(A) e 5(B) = T(B) enttio OU S=Tou 5=ToRr? onde Rr: n - - - - - 1 TI e a reflexiio em lorna da reta r =AB.Com efeito, T- 10 5:n - - - - - 1 n e uma isometria com dais pontosfixos distintos A e B. Logo, ou T-1 0 S = identidade (e T = S) auentao T- 1 0 5=R, , donde S = 'To R, .OBSERVACAO: Como se v e facilmente, pondo s = T[T) tern-se ToR , =R s 0 T.15. Existem apenas quatro tipos de isometrias T:IT - - - - - 1 n do plano


31/99

26 lsontrlas 10Plan.

Il, alem da funciio identidade, a saber: translaciio, rotacao, reflexaoe reflexiio com deslizamento.

Com efeito, seja T:n ~ Tl uma isometria diferente da iden-tidade. Existe urn ponto A Ental que A' = T(A) = 1 = A. SejaA" = T(A'). Evidentemente A'A" = AA' > O. Ha tres casos aconsiderar.PRIMEIRO CASO: A, A' e A" sao nao-colineares.

,,A

Figura 32A imagem do triangulo AA'A" pela isometria T e urn triangulo

que tern A' e A" como vertices. Como os lados desse triangulotern medidas iguais as dos lados de AA' A" , existem duas pos i eo e spossiveis, B1 e B2, para 0 seu terceiro vertice, conforme ele e 0ponto A estejarn ou nao do mesmo lade da reta A'A". Na primeira

A'

A

,,,,,,,Figura 33

hip6tese, 0ponto B1 =T(A") forma com A, A' e A" a poligonal con-


32/99

ls om e bia s n o P illn o 27

~xa !::._A'A"B" na qual os lados tern a mesma medida e os angulosA' e A" sao iguais, logo ela pode ser inscrita numa circunferenciade raio OA, cujo centro a e 0 ponto de encontro das mediatrizesdos segmentos AA', A'A" e A"B,. Seja 0' = T(O). Entao, comoOA =OA' =oA" , temos 0' A' = 0' A" = O'B 1 , logo 0' pertenceas mediatrizes dos segmentos A'A" e A"B 1 , dande 0' =O. Assim,se considerarmos a rotacao p de centro 0e angulo ABA', teremosp(A) = A' = T{A), ptA") = A" = T{A') e p(A"] = B, = T(A").Segue-se entao de 12 que T = p e uma rotacao.

Na segunda hip6tese temos urn paralelogramo no qual AA' eA"B2 sao lados opostos e At A" e uma diagonal.

Figura 34Segue-se que as pontos medias M, PeN desses tres segmentos

estao sabre urna reta T. Se considerarmos a isometria 5 =TM NORr,-ccompost a da translaeao TM N com a reflexao em torno de r. vermosque 5 e T coincidem nos pontes nao-colineares A, At e A", logoT = S, em virtude de 12. Concluimos entao que T e uma reflexaocom deslizamenta. Isto encerra a discussao do Primeiro Caso.SEGUNDO CASO: A, At e A" sao pontos distintos e coline ares.Como AA' = AIA", vemos que A' e 0 ponto media do segmentoAA". Areta T, que contem as tres pontos dados, e transfarmadaem si mesma pela isometria T. AleID disso T coincide, nos pontosA e A I com a translaeao TAA ': T - - - - - 1 T. Segue-se de 4 que, em todosos pontos de r, T coincide com esta translaeao, Consideremos urnponto B fora da reta T.


33/99

28 ... lI tr ia s n o P la no

r

Figura 35

o triangulo AA'B e transformado pela isometria T noutrotriangulo que tern A' e All como vertices e lados com as mesmasmedidas que as de AA'B. Existem duas posicoes possiveis, B, eB2, para 0 terceiro vertice desse triangulo, conforme ele e Bestejam do mesmo lade au em lados opostos da reta r. Na primeirahip6tese, AB e A'B, sao lados opostos de urn paralelogramo logo,considerando a translaeao T.\N: IT - - - - - t Il, vemos que ela coincidecom a isometria T nos pontos nao-colineares A, A' e B. Segue-sede 12 que T =TAN, logo T e uma translaeao.

N a segunda hip6tese, como 0 ponto B 2 e a simetrico de B , emrelaeao a reta r, considerando a reflexao com deslizamento S =TAN o R ,n - - - - - t Tl, vemos que S(A) = T(A) =A , S tA 'l = T(A') =A"e 5(B) = T(B) = Bz, logo 5=T. em virtude de 12. Assim T e umareflexao com deslizamento. lata encerra a discussao do SegundoCaso.

TERCEIRO CASO: A" =A. Neste caso, a isometria T transforma 0segmento de reta AA' em si mesmo, logo T (M 1 = M se M e 0pontomedic de AA'. A mediatriz s desse segmento e entao transformadaem si mesma par T.


34/99

1a .e1r ia . n o P la no 29

A M A' r

s

B '

FIgura 36Seja Bum ponto dessa mediatriz, diferente de M. Ha duas possi-bilidades: ou T(B) =B ou T(B) =B', ponto simetrico de B relati-vamente a reta T = AA'. Na primeira hipotese, T coincide com areflexao Rs:n ---t n nos pontos A, A' e B, logo T=Rs. Na segundahipotese, T coincide com a rotacao p: n ---t ITem tomo do pontoM, comAngulo de 1800, nos pontos nao-colineares A, B e M, logoT = p. Portanto, neste terceiro caso, T e urna translaeao ou umarotacao de 1800(simetria em tomo de urn ponto).


35/99

5Isometrias Proprlase lmproprlas -no Plano

Uma translacao T:Tl - - - - - 1 Tle uma refiexao R : Tl~ Tltransformama mesmo trifmgulo ABC c Il nos triangulos A'B'C' e A,B,C,. Eintuitivamente plausivel que se pode passar continuamente de

T

B ,

Figura 37ABC para A'B'C' mas, sem sair do plano, nao e possivel deslocarABC ate A, B , C,. Esta observacao estabelece a distineao entreuma isometria propria euma impropria. Vejamos os fatos demodopreCISO.

Urn mooimento no plano n e urna colec;aode isometriasHt:Tl ~ Il, uma para cada numero real t E [0,1], tal que Ho =identidade e, para eada ponto PEn fixado, a ponto HdP) variaeontinuamente em funcao de t, quando t vai de 0a 1.


36/99

ls em e lrl .. P riip rlls e I mpri ,Ir ia s ItO PIII IO 31

Uma isometria T: TI -7n chama-se propria quando existe ummovimento Ht: TI - - -1 TI , O . :% ; t~ l , tal que Hl =T. Noutras palavras,uma isometria chama-se propria quando e a etapa final de urnmovimento. Par outro lado, a isometria T chama-se impr6priaquando nenhurn movimento no plano Tl termina com T.EXEMPLO 8. (As translacoes sao proprias.) Dada a translacaoT: Il -7 TI, consideramos 0 movirnento Ht:n -7 TI, definido porH o = identidade e H t = T tv:n - - + Tl, para 0 < t~ 1 . Para todo PEnfixado, quando t varia de 0 a 1 0 ponto Ht(P) = Ttv{P) percorrecontinuamente 0 segmento de reta PQ , Q = Tv( P ), comeeando comP e terminando com Q. Ternos H1 =Tv, logo Tv e pr6pria.EXEMPLO g, (As rotaciies sao proprias.) Seja p = PO,a: Il - - -1 na rotaeao de centro 0 e angulc a =ADB. Para cada t, como < t~l , seja Bt0ponto do segmento de reta AB tal que ABt! AB =t. Chamemos de at 0 Angulo AOBt. Consideremos as rotacoes

Figura 38Ht = PO,a: n -7 n,0 < t~ l e ponhamos H o = identidade :n -7 n.Para cada PEn fixado, quando t varia de 0 a 1, 0 ponto Ht(P}descreve continuamente 0 arco de circulo com centro 0 e raio OP,que vai de P a Q = PO,ClJP). Logo Ht, O~t~l , e urn movirnento quetermina na rotaeao p.


37/99

32 Iso me bia s P ro pria . e Im pn }prla s n o P la no

EXEMPLO 10. (As reflexoes sao impr6prias.) Para provar isto, va-mos usar coordenadas. Precis amos saber que a area do trianguloABC, com A = (a1' all. B = (b1, bl) e C = (cr, Cl) e igual ao valorabsoluto da expressao

1 .~(ABC) = : 2 [(b1 - a1 )(Cl - a21 - (bl - al)(c1 - a11].Evidentemente, ~(ABC) depende continuamente de A, Be C.

Dada a refiexao R = R r, tomamos urn sistema de coordena-das no qual 0 eixo das abcissas seja a reta T. Consideremos 0triangulo retangulo ABC, com A = (0,0), B=(1,0) e C = (0,1).

rA B

c'

Figura 39Temos R(A) = A, R(B) = 13e R(C) = C' = (0,-1). Notamosque ,1(ABC) =j e .6(A13C f) =-j. Durante urn movimento Hj,com Ht(A) =At, HdB) =B, e HtfC) = Ct, 0 valor L1(At13tCtlcomeca igual a 112 (quando t=), varia continuamente e tern va-lor absolute igual a 1/2 (=area de At 13tCt) para todo t E [0,1]. Logo,1(AtBtCtl e constante (independe de t), igual a 112.Como L1(ABe') =1/2, segue-se que nao pode existir urn mo-vimento no plano ITterminando com a reflexao R.16. Se S, T: n .~Tl sao isometrics proprias entiio a composta SoTe as inuersas S-\ T-1 sao proprias.


38/99

Ison Ir" Pr6prlas I...ropr.. IIPlano 33

Com efeito, se Kt:n -+ ITJ It: IT -+ IT (O , .; ; ; ; t~ 1) sao rnovimentosem IT que terminam respectivamente em 5 e T entao Ht = K t 0It: IT -+ IT e urn movimento que tennina em 50 T e (Kt)-l:IT -+IT, (It)-I: IT -+ IT sao movimentos que terminam em 5-1 e T-1respectivamente.17. Sejam 5, T: IT -+ n isometrias. Se uma delas e propria e aoutra e impropria entdo a composta SoT: n -+ IT e impropria.

Com efeito, digamos que 5 seja pr6pria. Se a compost a SoTfosse propria entao T=S-1 a (S a T) seria propria, par 16.EXEMPLO 11. (Asreflexoee com deslizamento silo improprias.) Istoresulta imediatamente de 17.18. A composta 5aT: n ~ ITde duas isometrias improprias e umaisometria propria.

Para provar este fato, usaremas as seguintes lemas:LEMA 1. Dados A , B, C, DEn com AB =CD, existe uma isometriapropria Ll.Tl -+ ITtal que UtA) =C e U(B) = D.

Figura 40

DEMONSTRACAO DO LEMA 1: Atranslacao TAC: IT-+ ITtransformaAB no segmento CB', que faz a angulo I X = B 'CD com CD. Arotacao p = Pc,~ leva B' em 0 e deixa C fixo. Logo, a compostaU =p o TAC e uma isometria propria (por 16 e pelos Exemplos 8 e9) tal que UrAl =C e U(B) '=D. (Se B f =D, nao ha necessidadede considerar p.)LEMA 2. Se S: n -+ IT e uma isometria impropria entiio, para toda


39/99

34 Ist.atrla, Pr6prl_ II I.. rliprlasnilP.o

reflexao Rr: Il - - - + n, as isometrias compostas S 0 R, e R, 0 5 saopr6prias.DEMONSTRACAO DO LEMA 2: Seja ABC um triangulo cujos verti-ces A e B pertencem a reta r. Consideremos 0 ponto D = Rr(C) .Sejam ainda A' =S(A), B' = SiB), C' = S(C), D' =SiD] e r' = Sir).

c 5--. T'B '

Figura 41: I t claro que 5 0R, leva as pontos A e B respectivamente em

A' e B' mas transforma C em D' e D em C'. Pelo Lema 1, existeuma isometria propria U:n -+ n tal que U r A l =A' e U{B) = B'.Como AI e B' sao equidistantes de D' e C', a reta r' e a mediatrizdo segmento C'D'. Como rea mediatriz de CD e U e uma isome-tria. segue-sa que U leva CD em CD'. Em particular. U(C)=C'au U(C) = 0'. Se fosse U(C) =C'. teriamos U =S e U seriaimpropria, Entao deve ser L lf C)=D' e daf U = So R. De modoanalogo se mostra que R0 S e propria.

Para encerrar a demonstracao de 18basta tamar uma reflexaoarbitraria Re Iembrar que R0R=dentidade. LogoSoT =50R0R oT = (S 0 R)0 (R0 TJ =composta de duas isametrias proprias,pelo Lema 2. Portanto So t e propria, em virtude de 16.


40/99

6Composi980 de Isometrias no Plano

A isometria S =Top, composta da translacao T =TAB: IT --t IT coma rota~ao P=Po, e x : n -tn e propria, pois T e P 0 sao. Assim, ouS e uma rotacao ou e urna translacao. Na realidade, porem, estaultima possibilidade nunca ocorre. Com efeito, se S fosse umatranslaeao entao para quaisquer pontes X, Y em n, com X'=S { X )e Y' = SlY), os segmentos X X I e YYI seriam equipolentes mas istonao e verdade quando 5 = TAB 0 PO,Ct. Basta tomar X tal que-.. - -p( X ) O = AS, logo X=TABfp(X)) =0 e

BA/ y'x

p ( X )

Figura 42-- -----+Y = O. (Se oc=1800, tem-se XX' = -yy/.)

Seria natural mostrar demaneira rnais positiva que a isome-tria composta S = TA B 0Po,CX: Il --t IT e uma rotacao construindogeometricamente 0 centro da mesma e verificando que 0 anguloda rotaeao S e ainda igual a ct. Isto se faz assim: sem perda degeneralidade, podemos supor que 0 e 0 ponto medio do segmento


41/99

38 CeIlIl"'!;10 d e ISometrIas .,1 PI_no

AB.p B s

TP o , O C (P)=Q A

Figura 43Por A e B traeamos respectivamente as retas T e s, perpendicu-

lares a A B. Em seguida, tornamos Q Ere PES tais que OP =0 Qe P D Q =x. Entao Q =p(P) e S(P) = TAB(Q) =P, logo P eo centroda rotacao 5. Alem disso, 5(0) =TAB(O) = 0' e tal que OPOI = L X ,logo (X e 0 angulo da rotacao p, Se for ex=1800, ve-se facilmenteque B e 0 centro da rotacao S, a qual e tambem de 1800

Outro exernplo interessante e a composieao R, 0 R T de duasreflexoes,

Evidentemente, se s = T temos R T a R T = identidade. SUPO-nhamos agora que T e s sejam retas paralelas. Para determinara composta R s 0 R T neste caso, tomamos um ponto A Ere urn ponto

2v 8v r

8'Figura 44 -E 5 tal que AB seja perpendicular are a s. Ponhamos v = AB.

Entao R , 0 R T coincide com T2v em todos as pontos da reta T e dareta 51 =R T { S ) . Logo R s a R T =T2v.


42/99

CI.posl~ dllsoIIIIIrlall II PIMa 37

Em seguida, sejam Te 5 retas concorrentes, com 0 ponto 0 emcomurn.

Lembrernos urna definieao: 0 angulo da reta Tpara a reta s

Figura 45e 0 Angulo orientado nao-obtuso jX =ADB, onde A E T e B E s.Neste caso, a lingulo de s para Te B O A =-oc.

Observemos que se 0 angulc de r para 5 e IX e 0 angulo de spara t e ( 3 entao 0 angulo de T para t e ex+ ( 3 .

Posta esta definicao, afirmamos que R, 0 R, = PO,lp;OU seja, acomposta das duas reflexOes R . . . e R r (nesta ordem) e a rotacao decentro 0 e angulo igual ao dobro do angulo de T para s. Com efeito,R, 0 R, coincide com a rotaeao PO,l.xem todos as pontos X E Teemtodos as pontos Y E 5', onde 5'=Rr{s) ,

T

Figura 46


43/99

38 e ol lf D Sl 9l o c it l som e tr la s nl PlllIO

A igualdade R s 0 R , =Tzv, valida quando res sao paralelas,pode tambem ser lida da direita para a esquerda. Ela nos dizentao que toda translaeao T v pode exprimir-se como a composta deduas reflexoes em tomo de retas paralelas situadas uma da outraa uma distaneia igual a metade docomprimento dovetor v. Essasretas podem ser tomadas em qualquer parte do plano, desde quemantenham essa distancia, que sejam perpendiculares a v e queosentido do vetorv seja da reta T para a reta 5.Analogamente , podemos escrever PO,(X: = R s R , e dizer que

toda rotaeao do plano pode ser expressa como a composta de duasreflexoes em tome de retas que se cortam no centro da rotacao eformam entre si urn lingulo igual a metade do angulo da rotacao.A composieao R , oR r deve ser tomada na ordem certa, de modoquect seja 0 dobro do Angulo da reta r para a reta s (e nao de s parar). Uma dessas retas pode ser tomada arbitrariamente, desde quepasse por O.

Analisemos agora a composicao de duas rotaeaes doplano.Em primeiro Iugar, se as rotaeoes PO,oc e PO,13 tern 0 mesmo

centro 0, e evidente que PO,(X:0 PO,[3=PO,j3o PO ,oc= PO ,oc+!3 ' (Aquiconvencionamos que PO,oc+t3= identidade quando C( + 1 3=360.)

Consideremos, emseguida, 0caso deduas rotaeoes P o , cte PO', i3de centros distintos 0eO'. Seja r a reta 00'. Tomemos a reta 5,passando par 0, talque 0 angulo de r para 5 seja 0(,/2, ea reta t, pas-sando por 0', de modo que a angulo de t para r seja 1 3 / 2 . HAduaspossibilidades, conforme 5 e t sejam concorrentes ou paralelas

r

Figura 47


44/99

CDII,aII1\ l iD d B Iso ma Ir la s II Plln D 39

(ou, equivalentemente, confonne a o f - -13 au IX = -13). Se set seencantram no ponte 0", escrevemos

dandePo .~ o PO '.R >=R , 0 R T 0 R r 0 R t =R , 0 R t.

Ora, R , 0 R t e a rotaeao em torno de 0" com ngulo igual aodobro do Angulo da reta t para a reta s, 0 qual e igual a (+ ( 3 ) /2.Assim R, aRt e a rataeao em torno de 0" com cingula a+ [ 3 , ou seja,

Po.",o PO' , j3= PO"."'+(3-Analogamente se ve que

P O ' .1 30Po.(\ =PO"', ~+ { 3 .onde 0'" e 0 simetrico de 0" em relacao a reta r.

Caso as retas set sejam paralelas, pondo Po,,,, = R, a R, ePo ' ,13=R, 0 R t vern Po.~ 0 Po ' ,13=R, 0 RT como antes, mas agora

----->R s 0 Rt e a translaeao T2v, onde v =AB e a vetor perpendicular aset, com A E T e B E s. Entao Po,,", a Po ' ,13=Tzv . Por outro Iado,Po ' ,130 PO,IX=R~2v , como se ve facilmente.Portanto, a compost a de duas rotacoes do plano com centrosdistintos e ngulos ct, J 3 pode ser urna rotacao com urn terceirocentro de angulo I X + ( 3 au pade ser uma translacao, caao se tenha( 3 =-a. (E import ante lembrar que, para efeito de rotaedes j3 =-C( eo mesmo que oc+ j3 =360.)

A composieao de rotaeoes pode ser usada para provar 0 se-guinte teorema, atribuido a Napoleao Bonaparte. Sobre cada ladede urn triangulo arbitrario ABC construamos urn tringulo equi-latero, Sejam 0, P e Q as centros desses triangulos equilateros. 0teorema de Napoleiio diz que 0 triangulo OPQ e equilatero.

Para provar esta afirmaeao, consideremos as rotaeoes Po , Pp,PQ. com as centres indicados, e angulos orientados AOB,


45/99

40 Compell,io iliaInmetrlll no '''II

A ',,,(I I Q

Figura 48Ere e eQA respectivamente, todos medindo 120, com Po(A) =E,pp(B) =e e PQ (C ) =A. A isometria PQ 0 pp 0 Po deixa fixo 0 pontoA. Pelo que vimos acima, a composta Dp 0 Po e a rotaeao de 240

Figura 49cujo centro X e tal que as angulos XOP e POX medem 60. Logo 0triangulo OPX e equilatero, Como 0 angulo da rotacao PQ mais 0iingulo de pp 0 Po somam 360D segue-se tambem do que foi vistaacima que, se as rotacoes PQ e pp 0 Po tiverem centros distintos, acomposta PQ 0 Pp 0 Po sera uma translaeao, Ora, urna translacaonao tern ponto fixo e sabemos que (PQ 0 pp 0 Po)(A) =A. Logo acentro X da rotaeao pp 0Po coincide com 0 centro Q da rotacao PQ.Portanto OPQ e urn triangulo equilatero,


46/99

Comp o . l, ia d. .. .. 11ri.9 n o P la ia 41

Para interessantes aplicaeoes das isometrias no plano a pro-blemas de desenho geometrico, vej a 0 livre "Construcocs Geometri-cas," por Eduardo Wagner. (Coleeao do Professor de Matematica,S.B.M., 1993.)


47/99

7Usando Coordenadas no Plano

Vm dos metodos mais difundidos no estudo da Geometria e 0metodo das coordenadas, que leva a Geometria Analitica. Mostra-remos agora como ele pode ser empregado para abordar questoesreferentes a isometrias noplano. Uma amostra ja foi dada quandoprovarnos que as reflexoes sao isometrias improprias,

Urn sistema de coordenadas e introduzido no plano Il quandose toma urn par de eixos perpendicular ax e O'r', com a origemcornum O. ox chama-se a eixo das abcissas e OY a eixo das orde-nadas.

x x

y

Figura 50Os pontos de ox e OY possuem coordenadas, comovimos na

Seeao 2. Lernbrernos que a notacao R? representa 0 conjunto dospares ordenados (x,lJ) demimeros reais. A eseolha dos eixos ox eOY permite definir uma bijecao n ---t ]R2 que assoeia a eada pontoPEn apar (X , 1 J ) E ]R2, onde X (aabcissa de P) e a coordenada dopeda perpendicular baixada de P sabre ax enquanto y (a ordenadade P) e a pe da perpendicular baixada de P sabre a eixo OY.

Assim, uma vez fixado 0 par de eixo OX e O)", as pontos do


48/99

l I Ia n d D C O D r d e n a d a s 110 P l a l la 43

plano npodem ser representados por pares ordenados demimerosreais e, de fato, escreveremos simples mente P=(x,yJ para signi-ficar que x e a abcissa eye a ordenada do ponto P.

Nestas condieoes, dada uma isometria T:n - - - + Tl, se 0 pontoX' = [x', y') =T{X)e imagem par T do ponto X= [x, ul, e naturalindagar de que modo as coordenadas x' e y' de X' se exprimem emfuncao das coordenadas x e y de X.

Vejamos alguns exemplos.Seja Rr:n - - - + n a reflexao em torno da reta r C n. Podemos

tamar no plano n um sistema de coordenadas no qual 0 eixo dasabcissas coincida coma reta r. Entao, para cada ponto X=(x,y),temos Rr (X) = X ' =(x', Y'), onde x' = x ey' = -y. Este sistema de

x

y

Figura 51

coordenadas e particularmente bern adaptado para estudar a re-flexao Rr.Por exemplo, levando em conta a expressao

para a distaneia entre as pontes X = (Xl, Xl] e Y = (Yl) Yl] doplano, e 6bvio que a distancia entre os pontos Rr (X l =Xl) -Xl) eRr(Y) = (Yl, -Y2) e igual a d(X,Y), logoconcluimos facilmente queR, e uma isometria.


49/99

44 usa.do Curd a da s n . PlIIIII

Suponhamos entretanta que nao se tenha liberdade para es-colher 0 sistema de eixos, a qual ja foi fixado, e que a equacaoda reta T nesse sistema e y = ax, au seja, que os pontos de Tsao aqueles cujas coordenadas sao (x, ax). Como determinar as

,'.X'=(x',y')

Figura 52coordenadas x'; y' do ponto X ' =R, . (X) em funcao das coordenadasX ,y do ponto X?

Comeca-se observando que 0 ponto medic do segmento XX ' ,cujas coordenadas sao

epertence a reta r, logoy +y' =a(x+x'). Em seguida observamosque 0 segmento de reta XX ' , cuja inclinacao e (y ' - y)/(x' - x), eperpendicular a reta r, cuja inclinacao ea. Logo (y' -y)/{x' = x) =-1/ a. Ternos entao as duas equacoes

{y + y' =a(x + x')I 1 (' )y -y =-0: x -x

de onde tiramos imediatamente as expressoes de x' e y':

{

' 1_oZ + 20X =+oZx l+ozY, 20 1-0211 =+oZx - 1+0211


50/99

IJ A ndu ta or de na da s .1 P lln a 45

Estas formulas permitem localizar 0 ponto X' = ( X ' , - y ' ) =Rr{X) imagem do ponto X = (x,u) pela reflexao R r em torno dareta r, quando a equaeao desta reta e y =ax.

Podemos ainda lembrar urn pouco deTrigonometria edar novoaspecto as formulas acima. Sabe-se que a inclinaeao ada reta r ea tangente trigonomstrica do angulo IX que ela forma com 0 eixodas abcissas: a =g ex.Sao tambem conhecidas as expressoes decosla e sen la em funcao de a=g IX:

1 - 0.2cos 2 e x . =1 2 '+a 20.sen 2ex= 1 2 .+0Isto nos da para a reflexao em torno de r as equacoes

x' =x cos 2 1 X + - y sen 2a- y ' = sen 2a_ - - y cos 2a.

Estas equacoes fornecem as coordenadas (x', - y ' ) doponto X ' =Rr(X) quando X = (x,u), a reta r passa pela origem e forma urnAngulo a com0 eixo das abcissas.

Consideremos em seguida a rotacao P = Po , n : n ---t Tl, deangulo a, em torno do ponto o. Tomemos urn sistema de coor-denadas em n que tenha 0 ponto 0 como origem e consideremos

FiguraS3ainda uma reta T, passando pela origem e formando urn anguloal2 com a eixo das abcissas. (Mais precisamente, 0:.12 eo angulo


51/99

46 IJ s8ndo CDorden adas ID P lano

do eixo das abcissas para a reta T.) Entao, se chamarmos de R arefiexao em torno do eixo das abcissas e de R T a refiexao em tornoda reta T, temos p = R, 0 R. Como Rtx, Y) = (x, -y) e, pelo queacabamos de ver, R, (x,y) =(x",y'), com x' =x cos e x - + y sen e x - e'Y ' = sen O C - Y cos e x - , segue-se que, para todo X=x, 'Y ) E Il tern -sep[X) =X'=(x', y') onde

{X' = cos o c - 'Y sen iXy' = sen oc+ y cos 0::.

Estas sao portanto as equaeoes da rotaeao p, com centro naorigem do sistema de coordenadas.

Finalmente, estabeleeamos as equaeoes de uma translaeaoTAB: Tl - - - - - 1 n. Sejam A = (a, b) e B=(a + !x, b + ( 3 ) as coordenadasdos pontes A e B num dado sistema.

Figura 54Urn ponto qualquer X=x,l,J) no plano n e transfonnado por

TAB no ponto X ' = (x',y') tal que os segmentos X X ' e AB sejamequipolentes, isto e , que 0ponto medic

M =( a + x' b + y ' )2 ' 2

do segmento AX ' seja tambem ponto medic do segmento BX, auseja, que

M=(a+iX +X o+a+y)2 ' 2 .


52/99

U sa ndo Co ord.na da s no Pla ne 47

Entao deve-se tera +x'2

a+a+x2 e

b +y'2

b+j3+y2

donde vern imediatamente: x' =x + ex,y' =y + f J .Estas sao as equaeoes da translacao TAB. Os numeros exe 1-----tsao chamados as coordenadas do vetor v =A B .

Urn estudo das isornetrias do plano baseado em coordenadase feito no livro "Coordenadas no Plano", do autor. (Colscao doProfessor deMatematica, S.B.M., 1992.)EXERCicIOS.1 . Toda isometria T: n - - + I l transfonna retas paralelas r, S C ITem retas paralelas r') s ' c Il'.2. Sejam A, B, C E Il pontos nao-colineares. Se os pontos X e Yno plano nsao tais que X A = YA , X B =YB e X C =YC , prove queX=Y .3 . Sejam ABC cn e A'B 'C ' cn' t r iangulos tais que AB =A'B ' ,AC =A'C' e BC =B'C'. Prove que existe urna, e somente uma,isornetria T:n --7 n' tal que T(A) =A', T(B) =B' e T(C) = C'.4 . Uma figura plana Fe urn subconjunto de urn plano n . Diz-seque duas figuras planas fen e F ' c Tl' sao congruentes quandoexiste uma bijec;ao f:F --7 P tal que d(f{X), fry)) =d(X, Y) paraquaisquer X,Y E F. Prove que as figuras Fen e F' c TI' saocongruentes se, e somente se, existe uma isometria T: TI - - - + Il' talque T(F) = P.5. Seja T:n - - - - - t n uma isometria. Se existe urn ponto A tal queT(A) o f A e T(T[A)) = A entao Tea simetria em tomo de A ou areflexao em torno de uma reta que contem A.6. Vma isometria qualquer T:n --7 Il e uma reflexao, a compostade duas reflexoes ou a composta de tres reflexoes,7 . Seja p =Po,oc: ' Se a reta r cantern a ponto 0, prove que as


53/99

48 U s a n d o Coord lna l l l . no PI...

compostas R , ope p c R , sao respectivamente as reflex6es R , e R t,onde s n T =t fr r ={O} e as angulos de s para r e de T para tsao ambos iguais a (){/2. Considere as casos particulares R, a So eSo 0Rr.8. Seja p = PO,CI:' Se 0 ponto a nao pertence a reta T, prove quea composta R , 0pea reflexao com deslizamento TAB a R s, onde Beo pe da perpendicular baixada de 0 sobre T, A e a ponto tal quep(A) =B e sea reta que liga 0 ponto A ao ponto B.9. Com a notaeao do exercicio anterior, mostre que a compost ap 0R , e a refiexao com deslizamento TBC0R t, onde C =p{B) e s ea reta que liga os pontos C e B.10. Seja T:n ~ n uma isometria impr6pria. Dados pontos ar-bitrarios X, Ye Z em TI, com X' = T(X), Y' =T(Y) e Z' = T(Z),prove que os pontos medics dos segmentos XX', YY' e ZZ' sao coli-neares.11. Use 0exercicio anterior parajustificar a seguinte experiencia:recorte, em cartolina, urn poligono qualquer de vertices A , B , C , .... . . ,L e use-o como molde para marcar, no quadro-negro au sabreurn papel, a posieao de seus vertices. Depois vire 0 outro ladeda cartolina e, com a molde assim invertido, marque novamente,numa outra posieao, as vertices A', B",C', ... ,L'. Verifique queos pontos medics dos segmentos AA', BB' , . .. ,l L' estao em linhareta.12. Para identificar a composta TAB0Rr,suponha (sem perda degeneralidade) que A E T. Se AB for perpendicular a r, mostre queexiste uma reta s, paralela a T, tal que TAB0R, =Rs. Se AB naoe perpendicular a r, determine a reta s e 0 ponto C E r tais queTABoR , =TACOR s e uma reflexao com deslizamento.13. Estabeleea resultados analogos aos do exercicio anterior paraa composta R T 0TAB.14. Mostre que R , 0TAB=TABa R r se, e somente se, AB e paraleloa r,


54/99

U s an ll ll D e o .,d e na da s I 1D P ll no 49

15. Sejam 5,T: Tl ---t Il isometrias. Prove que T e 5- loT 0 5 saoisometrias domesmo tipo (translacoes, rotaeoes, reflexoes au re-fiexoes comdeslizarnento). Levando em conta que To 5=5-10 (50T) 05, conc1uaque as isometrias To 5 e SoT sao sempre domesmotipo.16 . Duas rotaeoes P = PO,IX e P' =Po' ,1 3comutam (isto e , p op' =pi 0 p) se, e somente se 0=0'.17. Justifique a seguinte construcao (alternativa para a que foidada no texto) que exibe a composta TAB 0Po ,0(. comouma rotaeao.Peloponto 0, trace a reta s, perpendicular it reta AB e, sem perdade generalidade, suponha que A E s. Seja T a reta que contemo e e tal que 0 angulo de T para s e igual a a12. Trace a reta t,paralela a s passando pelo ponto medic de AB. Seja A' 0 ponto deinterseeao de tcom r. Entao TA B 0 Po ,0(. e a rotaeao de angulo aemtomo doponto 0'. (Sugestao: exprima TA B e P O , e < : comocornpostasde reflexoes.)18. Faca uma construcao analoga it do exercicio anterior paraidentificar Po, IXa TA B .19. Diz-se que a isometria T: n ~ n e involutiva (ou que T e umainooluciio) quando ToT =identidade, isto e , quando T =T-I.Determine as involucoes pr6prias e improprias de urn plano.20. Seja T:n ---t n uma isometria. Para toda reta r em n, aspontos medios d o s segmentos XX ' com X E T e X ' =T(X) , estaotodos sabre a mesma reta s. Se a isometria T for impropria, a retasea mesrna, seja qual for T.21 . Dada a isometria T: n ---t I l, escrevamos X ' =T(X) para todoX E Tl. Se existirem urn triangulo ABC e ummovimento H t: Tl ---t I ltais que H1(A) =A', Hl(B) =B' e H1(C) =C' entao T e pr6pria.22. Sejam 5, T:n ---t ITisometri as proprias e A, B pontos distintosem n. Se S(A) =T(A) e 5(B) =T[8) entao 5=T.


55/99

50 IJsudo ClClnltNdas It Plane

23. Dada a isometria T:n - - - - 7 Tl, escreva X' = T(X) para todo- - - -En. Se, para X, YEn arbitrarios, tivennos X'yf = XY entao T- - -a identidade ou uma translaeao, Se, entretanto, for X'V' = -XVpara quaisquer X e Y entao Tea rotacao de 1800 em torno de algumponto de n .24. Quais isometrias do plano transformam toda reta noutra retaparalela?25. A composta S8 0SA de duas simetrias e igual it tranalacao Tv,- -ndev =2AB.26. A fim de que a isometria T:n ---t n sej a uma rotacao de Anguloct (em torno de algum ponte de Fl) e necessario e suficiente que,para quaisquer pontas distintos X,YEn, a Angulo da reta XYpara a reta X'V' (onde X'=T(X) e Y' = T(Y)) seja igual a ct.27. Beja T = TA B 0 Rr:n ---t n uma reflexao com deslizamento.Dado arbitrariamente 0 ponto 0 E T, seja s a mediatriz do seg-mento 00', onde 0' =T(O). Prove que T e igual a rotacao de 1800em torno de 0 seguida pela reflexao em torno de s.28. Sejam T, 5 e tretas paralelas no plano Tl. Prove que a COID-posta Rt0 R s 0 R r e a reflexao em torno de uma reta u, paralela a r,set.29. DUBS das retas r, s, t sao paralelas e a autra e concorrentea elas. Prove que a composta Rt0R, 0R, e uma reflexao comdeslizamento. (Sugestao: substituindo, se necessaria, Rt 0R, porR u 0R T" com r' paralela a r, pode-se admitir que s nao e a retaconcorrente. Use a Exercicio 12.)30. Sejam r, set retas que se cortam, duas a duas, em tres pon-tos distintos. Prove que a composta Rt 0 R s 0 R T e uma reflexaocom deslizamento. (Sugestao: substitua R ( ) R s por R u 0 RT, , com r'paralela a T, e reduza a questao ao Exercicio 12.)31. (Solueao alternativa para 0 exercicio anterior.) Sejam r, s

~, e t retas que sao os prolongamentos dos lados de urn triangulo,


56/99

Uund t t:oorUIIaIMSIIO PlaIt 51

Chame de A 0pe da perpendicular baixada sobre re partir do ponte0, interseeao de s com t, e de B0p e daperpendicular baixada sobret a partir do ponto P, interseeao de r com s. Prove que a compostaR , 0R s aR t e a reflexao com deslizamento ReDo R u, onde u e a retaAB, C =Ru{O) e D =Rr{O).


57/99

8Isometrias no Espa~o

Indicaremos comE a espaco euclidiano tri-dimensional. Nossa re-ferencia basica sobre Geometria no espaeo e 0 livro"Introdueao a Geometria Espacial", por Paulo Cezar Pinto Car-valho. (Coleeao do Professor de Matematica, S.B.M" 1993.),

Uma funeao T: E ~ E chama-se uma isometria quando pre-serva a distancia entre pontos de E, isto e, quando d(T(X), T(Y)) =d(X, Y) para quaisquer X , Y E E . (Como antes, d (X , Y) representaa distancia entre os pontos X e Y, ou seia, 0 comprimento XY dosegmento de reta XY.)

Toda isometria T:E ~ E e uma funeao injetiva, poisT(X) =T(Y) =} d(T(X), T(Y)) =0

=} d{X, Y) = d(T(X), T(Y)) = 0 =} X= .Seja T:E ~ E uma isometria. Dados A, B, C E E , comA#- B.

sejam A' = T{A), H' = T(8) e C' = T(C). Se 0 ponto C pertenceao segmento ABentao d{A,B)= d(A, C)+d(C, B), logo d(A', B') =d(A/,C/) + df C', B'), portanto C' E AlB'. Assim, a isometria Ttransforma pontos colineares em pontos colineares. Chamando der a reta que contem os pontos A, 8 e r' a que contem AI, B', vemosentao que T(r) C r', logoa restricao de Tar e uma isometria entreas retas r e r'. Por 1, segue-se que T( r) =r'. Portanto a imagemde uma reta por meio de uma isometria T:E ~ E e uma reta.19. A imagem de um plano IT c E par uma isometria T: E ~ E eum plano n' c E .

Comefeito, sejam res retas noplano nque se cortam nopontoA, As imagens dessas retas pela isometria T sao retas r' e S' que


58/99

INmet rJa s 00&1898 53

se cortam no ponto A' = T(A), Seja TI'0 plano determinado parr' e 5'. Afirmamos que X E TI =} X ' = T(X) En', De fato, dadourn ponto arbitrario Xnoplano Tl,facamos passar par ele uma reta

Figura 55

ten, que nao seja paralela a r nem a 5 e que nao passe por A,Areta t corta r no ponto Xes no ponto Y, comX i- Y. Logo suaimagem t' e uma reta em E que contem X' e passa pelos pontosY'=T(Y)e Z' =T(Z). Como Y' e Z' pertencem a IT', segue-se quet' cIT', donde X' E TI'. Assim T(TI) c TI'. A restrieao de Tan euma isometria entre n e TI', Como toda isometria entre planes esobreietiva, temos T(TI) =Il'.

Duas retas r1 5 C E sao perpendiculares quando tern umpontoA em comum e, alem disso, tomando-se pont as B Ere C E S,vale a relacao de Pitagoras d(A, 8)2 + drAt e)2 =d(B. e)Z, Segue-se imediatamente que toda isometria T:E ---t E transforma retasperpendiculares em retas perpendiculares.

Uma reta r, que corta a plano n no ponto A, diz-se perpendi-cular a esse plano quando e perpendicular a toda reta de ITquepassa par A. Para que isso aconteca basta que T seja perpendiculara duas retas distintas contidas em TI e passando par A.


59/99

54 ......... "110-.

Figura 56

20. Seja T: E -) E uma isometria. Se a reta r e perpendicularao plano n enuio sua imagem r' =T(T) e perpendicular ao planoIT ' = T(TI1.

Com efeito, se set sao retas distintas em IT,passando peloponto A, mtersecao de T com n, entao r'=T(r1e s' = T(51sao retas

T

IT

Figura 57distintas no plano Tl', passando par A' = T(Al. Como T e ITsaoperpendiculares, segue-se que 5 e tsao perpendiculares a T, logo S' et' sao perpendiculares a r', portanto r' e perpendicular ao plano IT'.21. 1bda isometria T; E -) E e uma bijerao, cuja inuersaT- 1;E-) E e ainda uma isometria.


60/99

_1I"rlas 10_IP 55

Comefeito, dado urn ponto arbitrario X' E E , a fimdeobter urnponto X E E tal que T(X) = X', consideramos urn plano qualquerTl e chamamos de Tl' sua imagem por I l. Se X ' E Tl' entao existeX E n com T(X) =X'. Se X TI', tomamos a reta r', perpendicular

x X'Ii.Figura 58

ao plano TI' passando por X'. Seja A' a mterseeao de r' com Il'.Como n' = T(n), existe A Ental que T(A) =A'. Seja r a per-pendicular ao plano TI levantada pelo ponto A. Segue-se de 20 queT(r) = r'. Como X' E r', deve haver urn ponto X E r comT(X) =X'.Fin almente , dados quaisquer X, Y E E temos X = T(T-1(X)) eY=T(T-1(Y)),logo

d(X, Y) = d(T (T-1 (X)), T(T-1 [ X ) ) =d((T-1 )X.T-1 (Y))portanto T- 1:E - - - - - 1 E e uma isometria.

Vejamos agora alguns exemplos de isometrias no espaco. Pos-teriormente, mostraremos que nao ha outras isometrias alem des-tas.EXEUPLO 11. (Simetria em torno de urn ponto ..) Fixado um pontoA no espaeo E , a simetria em torno de A e a funeao SA : E - - - - - 1 Eque faz corresponder a cada ponto X E E 0 ponto X I = SA(X) talque A e 0 ponto media do segmento XX'. Para ver que SA e uma


61/99

isometria, basta observar que, dados X , Y E E, se X , YeA forem

x Y

Y ' X 'Figura 59

nao-colineares eles determinam urn plano Il, restrito ao qual SA eainda a simetria em torno deA, logo d(SA(X), SA[Y)) =d(X, Y) peloExemplo 3. Se X, YeA forem colineares, esta igualdade segue-sedo Exemplo 1.EXEMPLO 12. tRefiexao em torno de um plano ..) Seja neE urnplano. A refiexiio em torno de Tl e a funcao Rn:E ~ E que as-socia a eada ponto X E E 0 ponto X' = Rn(X) tal que n e 0 plano

Figura 60mediador dosegmento XX'. Isto signifiea que XX'e perpendicularan e, alem disso, se {A}= XX'nn entao XA = AX'. Entao, paratodo ponto BEn tem-se tambem XB=BX', Para mostrar que a


62/99

1__ lrias nl Espa!to 57

reflexao Rn: E - - - - - t E e uma isometria, sejam X e Y pontos quaisquerdo e spa eo , com X' =Rn (X ) e yl=Rn(Y) ..Se X e Yestao ambos em nentao X' =X e Y' = Y logo d(X', yl) = d(X, V). Se urn desses pontos,digamos X , nao esta em F l, consideremos 0 plano Tl' contendo aperpendicular X X ' e 0 ponto Y . Seja r =Tl n Tl'. Restrita ao planorr', R n coincide com a re fle x a o R T: TI ' - - - - - t rr, em torno de r. Segue-sedo Exernplo 4 que se tern d(X', Y'] =d(X, V).EXEMPLO 13. (Rota~tio em torno de uma reta.) Sejam r uma retae oc= ABB urn angulo cujo vertics 0 pertence are cujos ladosestao sabre urn plano perpendicular a r. Como no Exemplo 6, 0angulo tX e considerado orientado, isto e, subentende-se que OA eo primeiro lado e 0 B e a segundo. Isto posto, definimos a rotaciiode tuigulo o cem torno da reta r como a fun ca o P =PT , C (; E - - - - - t E quefaz corresponder a cada ponto X 0 ponto X ' = p(X) determinadopelas seguintes condicoes:

r

Figura 611) X' pertence ao plano n que passa par X e e perpendicular a r;2) se 0 e 0ponto de intersecao desse plano n com r, tern-se 0X =

OX",3) 0 angulo orientado xox ' e igual a tx.Para provar que a rotacao p = P r, a : E -1E e uma isometria,tomemos dais pontos arbitrarios X,Y E E. ponhamos X' =p(X],Y' = pry) e mostremos que X'Y' = XV. Seja no plano perpendiculara r que contem os pontos X e X'. Consideremas as pontos Y o e Y~,


63/99

58 IscJmetrias 10 Espa~

projecoes ortogonais sobre n dOBpontos Ye Y ' respectivamente.T y'

Figura 62o segmento de reta XY e a hipotenusa de urn tria n gulo re ta n -

gulo cujos catetos sao XY o e YoY. Analogamente, X 'V ' e hipotenusado triangulo retangulo X'Y'Yb, cujos catetos sao X'Yb e Ybyl. Ora,X ' Y b =XYoporque p, restrita aoplano n, euma isometria (rotaeaode centro 0 =rnne angulo cc). Alem disso, YVo=V ' V o pois Y e Y'pertencem aomesmo plano perpendicular a r. Logo X'V ' =XY .EXEMPLO 14. iTronslacao.) Assim como no caso do plano, 0 con-ceito de translacao T:E - - - - - 1 E equivale ao de vetor no espaco. Re-cordemos esta nocao, Dais segmentas de reta AB e CD no espacochamam-se equipolentes quando tern 0mesmo comprimento, saoparalelos (au entao colineares) e a sentido A - - + B coincide comasentido C - - - - - 1 D. Estas condicoes se resumem numa unica: a de queos pontos medios dos segmentos de reta AD e B e coincidam. No-vamente salientamos que, para falar emequipolencia e nccessarioque se considerem segmentos orientados, au seja, que se distingaentre AB eBA (e, naturalmente, entre CD eDC). Se AB eCDsaoequipolentes, escreve-se AB = CD e diz-se que estes segmentos

__, ----->determinam 0mesmo vetor v =A B =CD. -----+Quando A =B, considera-se 0 vetor nulo 0 = AA. Evidente------+mente, XX =0 para todo XEE.


64/99

I Sl Imab l as n il Espa lf ll 5

Sejam A, Bpontos distintos doespaco. A translaciio TAB: E - -E e a funeao que faz corresponder a cada ponto X E E 0 ponto Xtal que XX'=AB, au seja, tal que XX'=AB, XX' e paralelo a Aeo sentido de percurso X - - - - - t X' coincide com0 sentido A - - - - - t B.

A xFigura 63

Evidentemente, os segmentos AB e CD sao equipolentes (oseja, AB=CD) se, e somente se, TA B=TeD. Podemos escrever Tem vez de TAB se v =AB.A soma u.+v de dois vetores e definida assim: seja u, =AB

___,. ------>Tomamos a ponto C tal que v=Be e pornos u +v =AC.

AFigura 64

E claro que Tu 0 Tv = Tv 0 Tu = Tutv , ou seja, a composta dastranslacoes Tu, e Tv e a translacao Tu+v' ._---+Analogamente, dado a vetor v = AB, definirnos 0 vetor -v___, .pondo -v = BA e vemos que v+ (-vl = (vetor nulo), que T-v =(T v) - 1. A relacao Tv 0T-v = identidade nos leva a considerar afuncao identidade como uma translacao Tv de vetor nulo v =0


65/99

60 ls em atrla s n o E sp aoo

ou seja, identidade =TA A . Entretanto, salvo aviso em contrario,quando nos referirmos a translacao TA B estaremos supondo A i-B.

Seja T A B : E ---t E uma translaeao, Dados os pontos X e Y, com-----> -----> ----->

X' = TAB(X) e Y ' =AB(Y) , temos X X , = AB = YY' , logoos segmen-tos XX' e YY' sao equipolentes, ou seja, os pontos medias de XY' eX 'V coincidem. Isto significa tambem que X'V' e XY sao equipolen-tes. Em particular, XV' = XV. Portanto, toda translaeao e umaisometria.

I xFigura 65

EXEMPlO 15. (Isometria helicoidal.) Vma isometria helicoidalT: E ---t E e a composta T = TAB 0 Pr,/X = Pr,/X 0 TAB de uma rotacaoem tomo da reta ream uma translacao TA B. onde 0 segmento ABe paralelo a reta r ou esta contido nela.

c J T X1=TAB(P(X))I v Br p ( X )A XFigura 66


66/99

1 s 0 0 0 0 a t r la s n C l E S ~ I J 6

A isometria helicoidal de fato preserva distancias pois e a composta de duas isometrias. Podemos sempre tamar A, BET.EXEMPLO 16. iReflexao com deslizamento.) A reflexiio com desli-zamento e uma isometria do tipo R=TAB 0Rn =Rn a TAB, ondeRn:E - - - - - + E e a reflexao em tomo de urn plano Fl e TABe 0 segmentoAB e paralelo ao plano IT ou esta con t i do nele.

A B

Figura 67

EXEMPLO 17. (Rotm;dQ refletida.) Uma rotaciio refletida T: E - - - - - + E ea composta T = Rn Pr,ox = Pr,ox o Rn, onde Rn e a reflexao em tomode urn plano n e P - r ,IX e a rotacao de angulo exem torno de uma retar perpendicular an . Quando ex=1800, a rotacao refletida coincide

r

Figura 68


67/99

62 I s.m e trl as n il E$pa~D

com a simetria em torno do ponto 0, intersecao de ITcom r, con-forme definida no Exemplo 11.

Vma translacao, uma isometria helicoidal e uma reflexao comdeslizamento sao exemplos de isometrias no espaco desprovidas depontos fixos. A rota c a D em torno de uma reta deixa fixos todos aspontos daquela reta. A reflexao em torno de urn plano deixa todosas pontos desse plano fixos. Urna rotacao refletida tern urn (micaponto fixo, a saber, a intersecao do plano de refiexao com a reta derotacao.22. Uma isometria do espaco que deixa fixos quatro pontos ruiocoplanares e a funcao identidade.

Com efeito, sejam A. B, CeO pontos nao coplanares deixadosfixos pela isometria T: E - - - - - 1 E. Indiquemos com n e 0' respectiva-mente as planos determinados pelos pontes A, B, Ce A, C, D. A iso-metria T, em virtude de 11, deixa fixos todos os pontos de 0 e de 0'.

Figura 69Seja agora X urn ponto do espaeo, nao pertencente a n nero a IT'.Facamos passar por X wna reta que nao seja paralela a nenhumdesses dais planes. Ela encontra n no ponto P e 0' no ponto Q.Entao T(P) =P e T(Q) =Q. Segue-se de 3 que T, restrita a essareta, e a identidade, logoT(X)=X. Assim T deixa fixo todos aspontos do espaco, au seja, Tea funcao identidade.


68/99

I sD m e tr ia s n o E sp a'. !D 6

23. Sejam S, T: E - - - - - ' I E isometrias: Se existem quatro pontos ruiocoplanares A, B, CeO tais que S(A) =T(A), S(B) =T(B), SiC)T(C) e S(O) = 1(0) eniiio S{X) = T(X) para todo ponto X E E,ouseja, S=1.Comefeito, nestas condicoes a isometria S- loT: E - - - - - ' I E deixfixos os quatro pontos dados, logo S- loT =identidade e dai S = T24. Se uma isomeiria do espaco deixa fixos tres pontos ruio-colineares entiio ela e a fum;ao identidade au a reflexiio em torno dplano determiruido par esses pontos.

Comefeito, sejam A, B,Cpontos nao-colineares, deixados fixopela isometria T: E - - - - - ' I E. Emvirtude de 11, todos ospontos doplann, determinado por A, Bee, sao fixos par T. Consideremas urponto qualquer X fora de F l, sua imagem X ' =Rn (X j pela reflexao

. . - - - - ~- - - j - : - -Figura 70

R n eo ponto 0, intersecao de n coma reta T, perpendicular de npassando par X e X'. Como T(0) =0, a isometria T transforma reta T em si mesma, em virtude de 9. Restrita a T, T e umaisometria com 0 ponto fixo O. Logo, ou e a identidade T --7 T oa reflexao em torno de O. (Vide 7.) No primeiro caso, T: E - - - - - ' Icoincide coma identidade E - - - - - ' I Enos quatro pont as nao-colinearesA, B, CeO. No segundo, coincide com a reflexao R n nos mesmospontos. A afirmacao alegada segue-se portanto de 22.25. Se as isometrias S, T: E - - - - - ' I E coincidem nos Ires pontes ruiocolineares A, Bee entiio S =Tau S = Rn' 0T, onde Tl'eo plano


69/99

64 I s o m e tr ia s n o E s p a f ; O

determinado pelos pontos AI =S(A) =T(A), B' = S(B) =T(B) eC' =S(C) =T(C).

Com efeito, SoT 1: E --7 E e uma isometria que deixa fixos ospontos A', B' e C'. Recaimos entao em 24.


70/99

9Isometrias Propriase lmprcprtas no Espa~o

Urn movimento no espaeo e uma familia de isometrias Ht: E - - -7 E,uma para cada tE [0,1], com as seguintes propriedades: 1) Ho =identidade; 2) Para cada ponto P fixado no espaeo, as pontos Ht{P}variam continuamente com t, descrevendo uma curva, quando tvai de 0 a 1.

Uma isometria T: E - - -7 E chama-se propria quando e 0 resul-tado final de urn movimento, ou seja, quando existe urn movirnentoH t: E - - -7 E tal que H l =T.E irnediato que se K t, I t: E -?E sao movimentos entao a corn-posta H , = K , 0I t e urn rnovimento e as inversas Kt',Lt" ' saomovimentos.Resulta d a i que a cornposta 5 a T: E -?E de duas isometriasproprias S,Tea inversa T- 1 de uma isometria propria T sao aindaisometrias proprias. Por outro lado, se uma das isometrias S, Te propria e a Dutra e Impropria entao a composta R =SoT eimpr6pria. Com efeito, se ReS fossem pr6prias, T =RoS- , tambemseria.EXEMPLO 18. (Tranelacoes, rotacoes e isometrias helicoidais saoproprias.) Com efeito, dada a translacao TAB:E -?E, definimos ummovimento Ht:E -?E pondo, para cada t E [0, 1 J , H, =TABt, ondeB , e 0 ponto do segmento AB tal que AB t! AB =t. (Como B o =A,estamos considerando TAA=dentidade.) Tem-se B . = B, logoH, =TAB. Quanto it rotacao P = Pr,oc: E -?E de angulo ex=ADB,em torno da reta r, definimos inicialmente, para cada t E [0,1 0


71/99

& 6 l IDme tr i. P rl Ip riB le lmp r iip J1 . n o b paQC I

angulo O C t =AOBt )onde B, E AB e tal que ABd AB=t.r B

Figura 71Em seguida, definimos 0 movimento Ht:E - - - - 7 E pondo, para

cada t E [0 ) 1], H t = Pr,Q:t (rotacao de angulo OCt em torno de r).Entao Ht e urn rnovirnento cujo resultado final e a rotacao dada:HI =Pr,o:. 0 movimento Ht desloca cada ponto P do espaco aolongo de urn arco de circunferencia situado num plano perpendi-cular a reta r, sendo x 0 angulo central subtendido par esse area.

Quanta it isometria helicoidal, ela e pr6pria por ser a compostade uma rotacao com uma translacao, ambas isometrias proprias,EXEMPLO 19. (Reflex6es, reflexoee com deslizamento e rot~6es re-fletidas sao isometrias improprias.) Basta provar esta afirmaeaopara 0 caso de uma reflexao, ja que a composta de uma isometriapropria comuma impropria e impropria, Comono caso do plano,faremos uso decoordenadas. Admitiremos conhecido que 0volumedo paralelepipedo comarestas AB, AC eAD, onde A=(nj , a2, a3),B = (bl,bl,b3),C ={Cl,cZ,c3)eD = (dl,dl,d3),eovalorabsolutodo determinante

~(ABCD) = Cl - aldl-01 C2 - 02dz - eLl(Vide E.L. Lima, "Coordenadas no Espaco", pag. 95 e seg.)


72/99

Is o II &trll. Priipria 8 Impr6prll' noEsp_liD 67

Evidentemente, L\(ABCD) depende continuamente das coordena-das de A, B, C e D. Dada a reflexao R=Rn, tomamos urn sistemade coordenadas no qual Tl seja 0 plano z =0. Consideremos 0

D -- __G

Figura 72cuboXdeterminado pelas arestas AB, AC eAD, onde A= (0,0,0),B=(1,0,0), C=(0,1,0) e D=(0,0,1), A imagem deste cubo pelarefiexao R=Rn e 0 cuba X I, montado sabre as arestas AS, AC eAD', onde D'=-1,0, OJ.Ternos L\(ABCD) =1e L\(ABCD') =-1.Dado urn movimento Ht: E - - - - - i E, sejam At =HdA), B, =Ht(B),C,=Ht(C) eD,=Ht{D). Quando tvaria de 0a I, 0determinanteLl(AtBtCtDd varia continuamente com t. Ele e igual a 1 quandot = 0e, para todos os valores de t, seu valor absoluto e sempre 1porque, sendo Ht uma isometria, 0paralelepipedo de arestas At Bt.AtCt eAtDt e urn cubo de aresta unitaria. Logo 6(AtBtCtDt} =1para todos os valores de t E [0,1]. Em particular, nao pode serLl(A1B1C1D1) =-1. Noutras palavras, a refiexao Rnnao pode sero resultado final de urn rnovimento no espaeo, Trata-se portantode uma isometria impropria.EXEMPLO 20. Vimos no Exemplo 10que nao existe urn movimento


73/99

6 8 l se m a lr la s P r6 p rl as e lQ r 6 p r1 a s 11 0 Espa90

no plano Tlque transfonne 0 triangulo ABC C Il na sua imagemA'B'C' pela reflexao em tomo da reta T, de modo que 0 ponto A sesobreponha aA' Ba 8' e Ca c t . Mas eintuitivamente claro que tal

cr

B

nFigura 73

movimento e possiveI, se permitirmos que ele tenha Iugar no es-paco E . Maternaticamente, a situacao se poe assim: considerandoTlr. E, existem duas isometrias do espaco E que Ievam os pontosA, 8 e C sobre os pontos A' 8' e C' respectivamente. Elas sao arotacao p: E - - - - - t E de 180

0em torno da reta rea reflexao R: E - - - - - 1 Eem torno do plano Tl', perpendicular a Tl passando por T. Como

p e propria, existe urn rnovimento Ht: E - - - - - t E que termina em p.Entao, quando tvaria de 0 a 1, 0 triangulo AtBtCt de verticesAt = Ht(A), 8t =Ht(B) e C, =Ht(C) descreve uma trajetoriacontinua que comeca em ABC e termina em A1B1C1 = p(ABC) =A'B'C'. Analogamente, nao existe em E urn movirnento que leveurn tetraedro ABCD sobre sua imagem A'B'C'O' pela refiexao emtorno de urn ponto, de modo que A caia sobre A', B sobre B', etc.Mas se imaginarmos E dentro de urn espa~ a quatro dimensoes,urn tal movimento eposstvel, demodoanalogo aoargumento usadoacima para dimensoes rnais baixas.26. Duas isometrias pr6prias que coincidem em tres pontos ruio-colineares do espaco coincidem em todos os pontos, isto e, silo iguais.


74/99

h J O m eir la s P ro pr iis e I m pn ip rl as 10 EsII.~ 69

Com efeito, par 25) se elas nao fossem iguais, uma seria acomposta da outra por uma reflexao, logo nao poderiam ser amhaspr6prias.

Do mesmo modo se mostra que duas isometrias impropriassao iguais quando coincidem em tres pontos nao-colineares.27. Sejam ABC e A/B'C' triangulos no espaco, com AB =A'B',AC =A/C' e BC =8'C'. Existe uma unica isometria propria T:E-)E tal que T(A) =A', T(8) =B' e T( C) =C.

Obteremos a isometria procurada comoacomposta T=T3 0T20Tl de tres isometrias proprias, Tamaremos Ti =TAN, a translacaoque leva A em A'. (Se for A = A' poremos simplesmente Ti =identidade.) Sejam 81 =TdB) e C1 = TdC). Be for B1 = B', to-maremos Tz = identidade. Caso contrario, poremos T2 = rotacao

c c'

Figura 74de angulo B1A'8 ' em tarno da reta que passa por A' e e perpendi-cular ao plano BIB'A'. Entao T2 T1 leva A em A' e Bern 8'. (SeA Ifor 0ponto medic do segmento B IB I, tomaremos qualquer planocontendo 8" B eA.) Finalmente, seja C2 = Tz(Cd . Se C z = C'tomaremos T3 =identidade. Be Cz 'IC' entao tomaremos T3 =rotacao em torno da reta A'B', com angulo t X = angulo do planoBICzA' com 0 plano B'C'A'. Com B'(2 =8'C, tem-se T3(C2) =C'.Assim, a composta T =T3 0 T2 Q Tl e uma isometria propria doespaeo, tal que T(A} =A', T{B) =B' e T(C) = C'. A unicidade deT decorre de 26.


75/99

7 0 ls em e trl .. P r6 pr 11 1 e I lI II rip rla l n o E sp a ~ a

28. A composta SoT: E - - - - - 1 E de duas isometrias improprias5) T: E - - - - - 1 E e uma isometria propria.

Para a demonstracao deste fate, necessitamos do seguinteLEMA. Seja S: E -1E uma isometria impropria. Para toda reflexiioR n: E - - - - - 1 E , as compostas R n 0 S e S 0 R n sao pr6prias.DEMONSTRACAO DO LEMA: Seja ABCO urn tetraedra que tern os

oF '

5

Figura 75vertices A. Bee no plana O. Consideremos 0ponto F=R n ( O ) e asimagens A'. B') C', 0', F' dOBpontos A, B, C, 0 e Fpela isometriaS . E claro que S 0 R n transfonna A, Be C respectivamente emA',B' e C' mas leva D em F ' e F em DI. Por 27, existe uma isometriapropria U:E - - - - - 1 E tal que UtA) = Af, U(B) = B' e U(C) =c / oObservamos agora que 0 plano 0' =S(O) contem os tres pontosA', 8' e C', cada urn deles equidistante de 0' e F '. Logo0' eo planomediador do segmento OfF', isto e, perpendicular a este segmentopelo seu ponto media. Como n tambem e perpendicular a DF porseu ponto medio, segue-se que a isometria U transforrna OF emD/F' , logo se tern U(O) =0' au U(D) =P. Se fosse U(O) =O f, U coincidiria com5 nos quatro pontos nao-colineares A, B, C,0, portanto teriamos U = S, urn absurdo pois U e propria e 5 efmpropria. Segue-se que UfO) = F' e entao U coincide com S 0 R nnos pontos A, B, CeO. Concluimos que S 0 R n =U e que 5 0 R ne propria. U rn argumento an a l ogo mostra que R n 0 5 tambem epropria.


76/99

IB f lm atr las Pr6pr las I I"prOpr las 10 Espal l ' 71

Provado 0 lema, mostremos que SoT e propria. Para isto, con-sideramos a reflexao Rn: E ~ E, em torno de urn plano arbitrarioFl. Sabemos que So R n e R n 0T sao isometrias proprias, A l em disso,Rno Rn =dentidade. Logo SoT =5a (Rna Rn) 0T=(Sa Rn) a (Rna T)e propria, como composta de duas isometrias proprias,


77/99

10Classifica980 das Isometrias do Espa90

Mostraremos agora que as isometrias do espaco definidas nos E-xemplos 12 a 17 sao as unicas que existem, alem da funeao iden-tidade. Isto decorre das proposicoes a seguir.29. Uma isometria propria, diferente da identidade, que admitealgum ponto fixo e a rotaciio em torno de uma reta.Comefeito, sejam T:E --t E uma isometria propria diferente daidentidade, e 0 urn ponto tal que T{O]=O. ComoT f- identidade,existe urn ponto A com A' = T(AJ o f . A. Seja A" = T(A/). EntaoAA' =A'A", logo A" i- A'. Examinemos as posieoes relativas dospontos A, A' eA". A priori, ha tres situacoes possiveis, embora narealidade somente duas possam ocorrer. Vejarnos quais sao elas.1") A, A' e A" sao pontos distintos, situados sabre a mesma retar.

A A' An r

aFigura 76

Neste caso, a reta r seria transformada em si mesma por T. Arestrieao de Tar seria uma isometria r --+ r. Como A" i- A, essaisometria nao seria a reflexao em torno de urn ponto de r. Logoseria a translaeao TAN:r --t r. (Vide 7.) Como TANnao tern pontofixo, 0 nao pertence a r. Sendo OA = OA' = OA" > 0, as tres


78/99

Classtflca~ das Isol letrlas do EspaI,jO 73

pontos colineares A, A' e A" estariam na mesma cireunferenciade centro 0, a que e absurdo. Logo essa primeira situacao naoocorre realmente.2'!) A" =A. Veremos que, nesta situacao, Tea rotacao de 1800em torno de uma reta. Com efeito, sejam r a reta que contem A eA' eM a ponto media do segmento AA'. Restrita a reta T, Tea re-flexao em tarno de M.0 plano Il, perpendicular a reta T passandopar M e transformado em si mesmo par T. Logo a restrieao T' deT a IT e uma isometria desse plano, que admite a ponto fixo M .Em virtude de 15, T' pode ser a identidade n - - - - - 1 Il, uma rotaeaoem torno de Mou a reflexao em tomo de uma reta 5 en, comME s. Se T' fosse a identidade entao, tomando urn ponto Ai- Mem r e tres pontes nao-colineares E, C e D em Tl, veriamos que Tcoincidiria com a reflexao Rn nesses quatro pontos, donde T = Rn eT seria impropria. Se T': IT~ ITFosse uma rotacao de angulo a = 1 = 0em torno de M entao, tomando em n urn ponto B diferente de M,

B~B

rA"=A M A'

Figuranveriamos que T coincidiria, nos quatro pont os nao-coplanares A,M, B e B', com a rotacao refletida Rn 0 T'. logo seria impropria,


79/99

74 CIIISSIIIC8!!iod a s 'sem.trlal 1 1 1 0 Espa~

Resta a possibilidade de T' ser a reflexao em tomo de uma retas c TI. Entao T coincide, nos pontos A, A' e em todos os pontosde 5, com a rotacao de 1800 em torno de 5. Logo, por 26, tern-saT =Ps,180o.3~) Os pontos A, A' e A" sao nao-colineares, Seja Tl0 plano de-terminado pelos pontos A, A' e A", Se0ponto fixo0pertence a Tlentao, como

GA =~A' = GAffe

AA' =A'A",

Figura 78vemos que as triangulos OAA' e OAIA" tern as lados respectiva-mente iguais, logo

ADA' =A'GA" = tx,Assim, a isornetria propria T coincide, nos tres pontos nao-coli-neares A, AI e A", com a rotacao de angulo IX em torno da retaperpendicular ao plano n passando par O. Segue-se que T e iguala essa rotaeao.

Se 0 ponto 0 nao pertence a plano Tl,consideramos a reta T,perpendicular ao plano TI baixada de O. Seja Po pe dessa perpen-dicular.


80/99

Classi licavlio lias I SO l 1e l li a s d o Espa~ o 15

F igura 79

Os triangulos retangulos OPA e OPAl tern a cateto OP emcomurn e as hipotenusas OA e OA' de igual cornprirnento, logoPA =PA'. Analogarnente se v e que PA' =PAil. Como AA' =A'A", vemos que os triangulos PAA' e

Documents

as - Elon Lages Lima