Sebenta ALGAN 2015-2016

Apontamentos de lgebra Linear e Geometria

Analtica ISEP - Licenciatura em Engenharia Mecnica

Maria da Graa Marcos;Marisa Oliveira;Pedro Guedes

2015-2016

2 EMECAN 2015/2016 ALGAN - ISEP

CONTEDO

Captulo 1 Matrizes Reais ................................................................................................................................................. 5

1.1 Conceitos gerais ........................................................................................................................................................... 5

1.1.1 Definio e representao de uma matriz .............................................................................................. 5

1.1.2 Alguns tipos de matrizes ................................................................................................................................ 6

1.2 Operaes com matrizes e suas propriedades ............................................................................................. 9

1.2.1 Adio de matrizes ............................................................................................................................................ 9

1.2.2 Multiplicao de uma matriz por um escalar .................................................................................... 10

1.2.3 Multiplicao de matrizes ........................................................................................................................... 11

1.3 Operaes elementares ......................................................................................................................................... 13

1.4 Inversa de uma matriz quadrada ..................................................................................................................... 14

1.4.1 Definio de matriz inversa ....................................................................................................................... 14

1.4.2 Propriedades da matriz inversa ............................................................................................................... 16

1.4.3 Clculo da matriz inversa ............................................................................................................................ 17

1.5 Caracterstica de uma matriz ............................................................................................................................. 20

1.5.1 Definio .............................................................................................................................................................. 20

1.5.2 Clculo da caracterstica de uma matriz .............................................................................................. 23

1.6 Exerccios ..................................................................................................................................................................... 25

1.6.1 Operaes com matrizes .............................................................................................................................. 25

1.6.2 Matriz inversa ................................................................................................................................................... 28

1.6.3 Equaes envolvendo matrizes ................................................................................................................ 31

1.6.4 Caracterstica de uma matriz..................................................................................................................... 33

1.6.5 Exerccios de concluso do captulo....................................................................................................... 35

Captulo 2 Determinantes ............................................................................................................................................. 38

2.1 Permutaes ............................................................................................................................................................... 38

2.2 Determinantes - definio e representao ................................................................................................ 40

2.3 Teorema de Laplace ................................................................................................................................................ 41

2.4 Propriedades dos determinantes ..................................................................................................................... 44

2.5 Exerccios ..................................................................................................................................................................... 50

2.5.1 Clculo de determinantes de 2 e 3 ordens ...................................................................................... 50

2.5.2 Teorema de Laplace ....................................................................................................................................... 51

2.5.3 Clculo de determinantes usando propriedades ............................................................................. 53

2.5.4 Exerccios de concluso do captulo....................................................................................................... 60

EMECAN 2015/2016 ALGAN - ISEP 3

Captulo 3 Sistemas de Equaes Lineares ........................................................................................................... 63

3.1 Definio e representao matricial ............................................................................................................... 63

3.2 Classificao de sistemas...................................................................................................................................... 66

3.3 Resoluo de sistemas ........................................................................................................................................... 68

3.3.1 Equivalncia de sistemas............................................................................................................................. 68

3.3.2 Mtodo de Gauss e de Gauss-Jordan ...................................................................................................... 69

3.3.3 Procedimento para a resoluo de sistemas ...................................................................................... 70

3.4 Sistemas homogneos............................................................................................................................................ 76

3.5 Sistemas de Cramer ................................................................................................................................................ 78

3.5.1 Definio .............................................................................................................................................................. 78

3.5.2 Resoluo matricial de sistemas de Cramer....................................................................................... 80

3.5.3 Resoluo pelas frmulas de Cramer .................................................................................................... 81

3.6 Discusso de sistemas com parmetros ....................................................................................................... 82

3.7 Exerccios ..................................................................................................................................................................... 88

3.7.1 Resoluo de sistemas na forma matricial .......................................................................................... 88

3.7.2 Sistemas Cramer .............................................................................................................................................. 93

3.7.3 Sistemas homogneos ................................................................................................................................... 96

3.7.4 Discusso de sistemas com parmetros............................................................................................... 98

3.7.5 Exerccios de concluso do captulo.................................................................................................... 106

Captulo 4 Espaos Vetoriais Reais ........................................................................................................................ 110

4.1 Definio e propriedades .................................................................................................................................. 110

4.2 Subespaos vetoriais ........................................................................................................................................... 115

4.3 Combinao linear e conjunto gerador de um espao vetorial....................................................... 117

4.4 Dependncia e independncia linear de vetores ................................................................................... 123

4.5 Bases, coordenadas e dimenso de um espao vetorial ..................................................................... 129

4.6 Exerccios .................................................................................................................................................................. 140

4.6.1 Espaos vetoriais .......................................................................................................................................... 140

4.6.2 Subespaos vetoriais .................................................................................................................................. 142

4.6.3 Combinao linear e conjunto gerador; dependncia e independncia linear .............. 145

4.6.4 Base e dimenso de um espao vetorial ............................................................................................ 150


Captulo 5 Transformaes Lineares .................................................................................................................... 160

5.1 Definio e propriedades .................................................................................................................................. 160

5.2 Ncleo e imagem de uma transformao linear .................................................................................... 164

5.3 Matriz de uma transformao linear ........................................................................................................... 169

5.4 Valores prprios e vetores prprios ............................................................................................................ 173


5.5 Exerccios .................................................................................................................................................................. 178

5.5.1 Transformaes lineares .......................................................................................................................... 178

5.5.2 Ncleo e imagem de uma transformao linear ............................................................................ 180

5.5.3 Matriz de uma transformao linear .................................................................................................. 182

5.5.4 Valores prprios e vetores prprios ................................................................................................... 184


Captulo 6 Geometria Analtica ................................................................................................................................ 189

6.1 Vetores ....................................................................................................................................................................... 189

6.1.1 Definio e conceitos gerais .................................................................................................................... 189

6.1.2 Operaes com vetores ............................................................................................................................. 191

6.1.3 Vetores em sistemas de coordenadas ................................................................................................ 193

6.2 Produto interno ou produto escalar ............................................................................................................ 196

6.3 Produto vetorial ou produto externo .......................................................................................................... 201

6.4 Equaes da reta e do plano ............................................................................................................................ 208

6.4.1 Equaes da reta........................................................................................................................................... 208

6.4.2 Equaes do plano ....................................................................................................................................... 211

6.5 Posies relativas de retas e planos ............................................................................................................. 215

6.5.1 Interseo de dois planos ......................................................................................................................... 215

6.5.2 Interseo de trs planos ......................................................................................................................... 218

6.5.3 Interseo duma reta com um plano .................................................................................................. 220

6.5.4 Interseo de duas retas ........................................................................................................................... 222

6.6 Distncias .................................................................................................................................................................. 224

6.6.1 Distncia entre dois pontos ..................................................................................................................... 224

6.6.2 Distncia de um ponto a um plano ...................................................................................................... 224

6.5.3 Distncia de um ponto a uma reta ....................................................................................................... 226

6.7 Exerccios .................................................................................................................................................................. 228

6.7.1 Produto escalar e produto vetorial num referencial ortonormado ..................................... 228

6.7.2 Equaes de retas e de planos ............................................................................................................... 230

6.7.3 Intersees e posies relativas de retas e planos. Distncias. ............................................. 234



CAPTULO 1 MATRIZES REAIS

1.1 CONCEITOS GERAIS

1.1.1 DEFINIO E REPRESENTAO DE UMA MATRIZ

Sejam ,m n e ija , 1, ,i m , 1, ,j n .

Definio 1.1 [Matriz sobre ]

Chama-se matriz do tipo m n , a todo o quadro que se obtm dispondo mn nmeros reais

segundo m linhas e n colunas.

Representao

A matriz A do tipo m n ser representada como

11 12 1

21 22 2

1 2

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

A (1.1)

podendo tambm ser representada abreviadamente por

ij m na

A (1.2)

ou por

1, , ; 1, ,ij i m j na

A (1.3)

O elemento ija , da matriz indica o elemento situado na linha i coluna j .

O conjunto m nM representa o conjunto de todas as matrizes com m linhas e n colunas

em que todos os elementos da matriz representam nmeros reais.


Exemplo 1.1 [Definio]

Seja 1 0 1

2 3 6

A . A matriz A uma matriz real do tipo 2 3 porque tem duas linhas

e trs colunas. Ento, 2 3M A . O elemento de A situado na linha 2 coluna 3 o

elemento 23 6a .

1.1.2 ALGUNS TIPOS DE MATRIZES

Sejam , , ,i j m n .

Definio 1.2 [Matriz linha]

A matriz ij m na M A diz-se matriz linha ou vetor linha se 1m , isto ,

11 11ij nna a a A (1.4)

Definio 1.3 [Matriz coluna]

A matriz ij m na M A diz-se matriz coluna ou vetor coluna se 1n , isto ,

11

1

1

ij m

m

a

a

a

A (1.5)

Definio 1.4 [Matriz retangular]

A matriz ij m na M A diz-se matriz retangular se m n .

Definio 1.5 [Matriz quadrada]

A matriz ij m na M A diz-se matriz quadrada se m n .

Definio 1.6 [Diagonal principal]

Seja ij n na M A . Chama-se diagonal principal da matriz sequncia dos elementos

11 22, , , nna a a de A .

Definio 1.7 [Matriz diagonal]

Seja ij n na M A . A matriz diz-se diagonal quando todos os elementos acima e

abaixo da diagonal principal so iguais a zero e pelo menos um elemento da diagonal

principal diferente de zero, isto ,


11

22

0 0

0 0

0 0 nn

a

a

a

A e 0iia , para algum i . (1.6)

Definio 1.8 [Matriz triangular superior]

Seja ij n na M A . A matriz diz-se triangular superior quando todos os elementos

abaixo da diagonal principal so nulos, isto ,

11 12 1

22 20

0 0

n

n

nn

a a a

a a

a

A (1.7)

Definio 1.9 [Matriz triangular inferior]

Seja ij n na M A . A matriz diz-se triangular inferior quando todos os elementos

acima da diagonal principal so nulos, isto ,

11

21 22

1 2

0 0

0

n n nn

a

a a

a a a

A (1.8)

Definio 1.10 [Matriz nula]

Seja ij m na M A . A matriz diz-se matriz nula e representa-se por m nO , se todos

os seus elementos so nulos, isto ,

0 0

0 0

O (1.9)

Definio 1.11 [Matriz identidade de ordem n ]

Seja ij n na M A . A matriz diz-se matriz identidade de ordem n e representa-se por

nI , se uma matriz diagonal em que todos os elementos da diagonal principal so iguais a 1,

isto ,


1 0 0

0 1 0

0 0 0 1

n

I (1.10)

Definio 1.12 [Matrizes do mesmo tipo]

Sejam A e B duas matrizes. As matrizes dizem-se do mesmo tipo se tm igual nmero de

linhas e de colunas.

Definio 1.13 [Elementos homlogos]

Sejam , m nM A B duas matrizes do mesmo tipo. Os elementos homlogos das duas

matrizes so os elementos que ocupam a mesma posio nas duas matrizes.

Definio 1.14 [Matrizes iguais]

Sejam A e B duas matrizes. As matrizes dizem-se iguais se so do mesmo tipo e os seus

elementos homlogos so iguais.

Definio 1.15 [Matriz transposta TA de A ]

Seja ij m na M A . Chama-se matriz transposta da matriz A matriz

T ij n mb M A em que ij jib a , 1, ,i n , 1, ,j m .

Exemplo 1.2 [Matriz transposta]

Seja 2 31 0 1

2 3 1M

A . Ento, trocando as linhas com as colunas na matriz A

obtemos a matriz 3 2

1 2

0 3

1 1

T M

A .

Definio 1.16 [Matriz simtrica]

Seja n nM A . Diz-se que A uma matriz simtrica quando coincide com a sua

transposta, isto , TA = A .

Exemplo 1.3 [Matriz simtrica]

A matriz 1 2

2 3

A uma matriz simtrica uma vez que 1 2

2 3

T

A = A .


1.2 OPERAES COM MATRIZES E SUAS PROPRIEDADES

1.2.1 ADIO DE MATRIZES

Definio 1.17 [Adio de matrizes]

Sejam ij m na M A e ij m nb M B . A soma da matriz A com a matriz B

uma matriz ij m nc M C , que se obtm somando os elementos homlogos das duas

matrizes, isto , C A + B se

, 1 , , 1, ,ij ij ijc a b i m j n (1.11)

Note-se que a adio de matrizes uma operao apenas possvel para matrizes do mesmo

tipo.

Exemplo 1.4 [Adio de matrizes]

Sejam 2 31 0 1

2 3 1M

A e 2 32 1 1

1 2 0M

B . Ento, usando a

igualdade (1.11) obtemos a matriz 1 2 0 1 1 1

2 1 3 2 1 0

A + B = , ou seja, a matriz

2 33 1 2

3 5 1M

C = .

Propriedades [da adio de matrizes]

Sejam , , m nM A B C . Ento, verifica-se

A1.1 A + B B + A (comutatividade da adio);

A1.2 A + B C A + B + C (associatividade da adio);

A1.3 m n m n A +O O A = A (elemento neutro);

A1.4 m n A + A A A O onde , 1, , ; 1, ,ija i m j n A =

(elemento oposto ou simtrico);

A1.5 T T T A + B A B .


1.2.2 MULTIPLICAO DE UMA MATRIZ POR UM ESCALAR

Definio 1.18 [Multiplicao de uma matriz por um escalar]

Sejam ij m na M A e . Da multiplicao do escalar pela matriz A , resulta

uma matriz ij m nb M B , que se obtm multiplicando cada elemento da matriz pelo

escalar , isto , B = A se

, 1 , , 1, ,ij ijb a i m j n (1.12)

Exemplo 1.5 [Multiplicao de uma matriz por um escalar]

Seja 2 31 0 1

2 3 1M

A . Ento, usando a igualdade (1.12) obtemos a matriz

2 1 2 0 2 12

2 2 2 3 2 1

A = , ou seja, a matriz 2 32 0 2

4 6 2M

B = .

Propriedades [da multiplicao de uma matriz por um escalar]

Sejam , m nM A B e , . Ento, verifica-se

E1.1 A + B A + B ;

E1.2 A A + A ;

E1.3 A A ;

E1.4 1 A A ;

E1.5 T T A A .


1.2.3 MULTIPLICAO DE MATRIZES

Definio 1.19 [Multiplicao de matrizes]

Sejam ij m pa M A e ij p nb M B . Chama-se produto da matriz A pela

matriz B e representa-se por A B , ou simplesmente por AB , matriz

ij m nc M C em que cada elemento obtido da seguinte forma

1

21 2 1 1 2 2

1linha de

coluna de

j

pj

ij i i ip i j i j ip pj ik kj

ki

pj

j

b

bc a a a a b a b a b a b

b

A

B

(1.13)

Exemplo 1.6 [Multiplicao de matrizes]

Sejam 2 31 0 1

2 3 1M

A e 3 3

1 0 2

1 1 0

0 1 1

M

B . O produto A B est

definido uma vez que o nmero de colunas da matriz A igual ao nmero de linhas da

matriz B , sendo igual a 3. Ento, a matriz A B uma matriz do tipo 2 3 porque a

matriz produto tem o nmero de linhas da matriz A e o nmero de colunas da matriz B .

Usando a igualdade (1.13) obtm-se

2 3

1 0 21 0 1

1 1 02 3 1

0 1 1

1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 2 0 0 1 1

2 1 3 1 1 0 2 0 3 1 1 1 2 2 3 0 1 1

1 1 1

1 2 5

A B

M

No entanto, o produto B A

no est definido, uma vez que B uma matriz do tipo 3 3

e A uma matriz do tipo 2 3 , ou seja, o nmero de colunas da matriz B no igual ao

nmero de linhas da matriz A .


Propriedades [da multiplicao de matrizes]

Sejam m pM A , p nM B , n mM C , p nM D , n qM E e

. Ento, so vlidas as seguintes igualdades

Definio 1.20 [Matrizes permutveis ou comutveis]

Duas matrizes , n nM A B dizem-se matrizes permutveis ou comutveis quando

AB = BA .

Exemplo 1.7 [Matrizes permutveis]

Sejam 1 2

0 1

A , 2 1

0 1

B e 1 2

3 4

C . As matrizes A e B so permutveis uma

vez que 2 3

0 1

AB BA = . No entanto, as matrizes A e C no so permutveis pois

AC CA . Tem-se 7 10

3 4

AC e 1 0

3 2

CA .

Observao: A partir do Exemplo 1.7 conclumos que o produto de matrizes no

comutativo, isto , no se verifica sempre AB = BA .

M1.1 AB C A BC ;

M1.2 A B D AB + AD ;

M1.3 B D E BE + DE ;

M1.4 AB A B = A B ;

M1.5 p mAI I A = A ;

M1.6 T T TAB B A .


Definio 1.21 [ k sima potncia de uma matriz]

Seja n nM A e k . Ao produto

vezesk

A A A (1.14)

chama-se k sima potncia da matriz A e representa-se por kA .

Verifica-se

T k

k TA A (1.15)

Exemplo 1.8 [ k sima potncia de uma matriz]

Seja 1 1

2 1

A . Ento, como a matriz A uma matriz quadrada possvel o clculo

da matriz 3A . Usando a igualdade (1.14) obtemos 33 3

6 3

A A A A = .

1.3 OPERAES ELEMENTARES

Definio 1.22 [Operaes elementares sobre as linhas da matriz]

Designam-se por operaes elementares sobre as linhas da matriz as seguintes operaes:

1. Troca entre si de duas linhas da matriz. A troca das linhas il e jl vai ser representada

por i jl l .

2. Multiplicao de uma linha da matriz por um escalar no nulo. A multiplicao da

linha il pelo escalar 0 vai ser representada por i il l .

3. A substituio de uma linha pela sua soma com outra linha multiplicada por um

qualquer escalar. A substituio da linha il pela sua soma com a linha jl

multiplicada pelo escalar vai ser representada por i i jl l l .

De forma anloga podemos definir as operaes elementares sobre as colunas da matriz.


Definio 1.23 [Matrizes equivalentes]

As matrizes , m nM A B dizem-se matrizes equivalentes quando se pode obter uma

atravs da outra realizando um nmero finito de operaes elementares. Simbolicamente

escrevemos A B .

Exemplo 1.9 [Operaes elementares]

Seja

0 0 3

1 1 0

1 0 2

A . A matriz A equivalente matriz

1 0 2

0 1 2

0 0 1

B uma vez que a

matriz B pode ser obtida da matriz A fazendo as seguintes operaes elementares

1 3 2 2 13 3

1

3

0 0 3 1 0 2 1 0 2 1 0 2

1 1 0 1 1 0 0 1 2 0 1 2

1 0 2 0 0 3 0 0 3 0 0 1l l l l l

l l

A

1.4 INVERSA DE UMA MATRIZ QUADRADA

1.4.1 DEFINIO DE MATRIZ INVERSA

Definio 1.24 [Matriz invertvel, no singular ou regular]

Seja n nM A . A matriz A diz-se invertvel, no singular ou regular quando existe uma

matriz n nM X que verifica a condio

nAX XA = I (1.16)

Verifica-se que

Se a matriz A no tem inversa, dizemos que A singular ou no invertvel.

No entanto,

se uma matriz for invertvel a sua inversa nica.

nem todas as matrizes quadradas so invertveis.


A matriz X que verifica a condio (1.16) chamada matriz inversa da matriz A e ser

representada por 1A .

Exemplo 1.10 [Matriz invertvel]

Seja 2 1

0 3

A e

1 1

2 6

10

3

X . Se fizermos os produtos AX e XA , obtemos

1 1

2 1 1 02 6

0 3 1 0 10

3

AX =

e

1 1

2 1 1 02 6

1 0 3 0 10

3

XA =

Conclui-se ento que a matriz A uma matriz invertvel uma vez que existe uma matriz

que verifica a condio (1.16), sendo a sua inversa a matriz 1

1 1

2 6

10

3

A .

Exemplo 1.11 [Matriz no invertvel]

Seja 1 0

1 0

A . Facilmente se verifica que no existe qualquer matriz 2 2M X

para a qual se verifique 2AX XA = I , ou seja, a matriz A no invertvel, ou singular.

De facto, seja 11 12

21 22

x x

x x

X e faamos o produto AX . Obtm-se

11 12 11 12

21 22 11 12

1 0

1 0

x x x x

x x x x

AX =

Igualando matriz identidade tem-se


11

1111 12

11 12 12

12

1

01 0

0 1 0

1

x

xx x

x x x

x

que um sistema impossvel, uma vez que 11x no pode verificar simultaneamente as

condies 11 1x e 11 0x .

1.4.2 PROPRIEDADES DA MATRIZ INVERSA

Sejam ,n m e \ 0k .

P1.1 Seja n nM A uma matriz invertvel e n nM B uma matriz que verifica

nAB I (respetivamente, nBA I ). Ento, 1B A e nBA I (respetivamente,

nAB I );

P1.2 Sejam , n nM A B duas matrizes invertveis. Ento, AB uma matriz invertvel

e 1 1 1 AB B A ;

P1.3 Seja n nM A uma matriz invertvel. Ento, 1

A uma matriz invertvel e

1

1

A A ;

P1.4 Seja n nM A uma matriz invertvel. Ento, m


1

1m

m

A A ;

P1.5 Seja n nM A uma matriz invertvel. Ento, T


1

1T

T

A A ;

P1.6 Seja n nM A uma matriz invertvel. Ento, 1

k


1 11

kk

A A .


1.4.3 CLCULO DA MATRIZ INVERSA

Seja n nM A . Sabendo que a matriz A admite inversa como proceder ao seu clculo?

1. A matriz inversa pode ser obtida pela definio 1.24 resolvendo a equao nAX = I

(ou nXA = I ) reduzindo-se dessa forma o clculo da inversa resoluo de um sistema de

equaes lineares.

Exemplo 1.12 [Clculo da inversa de uma matriz invertvel pela definio]

Seja 2 1

0 3

A uma matriz invertvel. Calcular a inversa 1

A da matriz A .

Resoluo

Pretendemos obter uma matriz X que verifique a igualdade 2AX I ou, alternativamente,

a igualdade 2XA = I (pela P1.1).

Seja 11 12

21 22

x x

x x

X . Ento,

11 12 11 21 12 222

21 22 21 22

2 22 1 1 0 1 0

3 30 3 0 1 0 1

x x x x x x

x x x x

AX I

Temos, ento, que resolver o sistema de equaes lineares

11 21

21

12 22

22

2 1

3 0

2 0

3 1

x x

x

x x

x

cuja soluo ,

11

21

12

22

1 2

0

1 6

1 3

x

x

x

x

Ento, 1 1 2 1 6

0 1 3

A = X = .


2. A matriz inversa pode ser obtida usando um processo designado por condensao de

matrizes.

Na prtica, este processo consiste em ampliar a matriz n nM A com a matriz nI

direita de A , e aplicar em simultneo as mesmas operaes elementares sobre as linhas das

duas matrizes. Isto ,

1

operaes elementares

sobre linhas

A I I A

Exemplo 1.13 [Clculo da inversa de uma matriz invertvel por condensao]

Seja 2 1

0 3

A uma matriz invertvel. Calcular a inversa da matriz A pelo mtodo de

condensao.

Resoluo

Comeamos por ampliar a matriz 2 1

0 3

A com a matriz 2I direita e de seguida

realizamos operaes elementares sobre linhas at que a matriz identidade surja do lado

esquerdo. A matriz 1A a matriz que se encontra do lado direito.

2 2 1 1 2

3 3

1 1

2 21

3

2 1 1 0 1 1 2 1 2 0 1 0 1 2 1 6

0 3 0 1 0 1 0 1 3 0 1 0 1 3

l l l l l

l l

Ento, 1 1 2 1 6

0 1 3

A = .

Se a matriz n nM A invertvel ento existe uma sequncia finita de operaes

elementares que tornam a matriz A igual matriz identidade nI . Esta mesma sequncia de

operaes aplicadas em nI transformam nI na matriz 1

A .

Vamos designar este processo por clculo da matriz inversa por condensao.


Exemplo 1.14 [Clculo da inversa de uma matriz invertvel por condensao]

Seja

1 2 3

1 1 3

0 0 1

A uma matriz invertvel. Calcular a inversa da matriz A pelo mtodo

de condensao.

Resoluo

2 2 1

1 1 2 1 1 3

2 2 3

2 96

1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0

1 1 3 0 1 0 0 1 6 1 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

1 0 9 1 2 0 1 0 0 1 2 9

0 1 6 1 1 0 0 1 0 1 1 6

0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1

l l l

l l l l l ll l l

Ento, 1

1 2 9

1 1 6

0 0 1

A .

Nota: Muitas vezes no se sabe de antemo se uma dada matriz A ou no invertvel. No

entanto, se A no for invertvel ento ser impossvel reduzir A a nI por operaes

elementares sobre linhas. Isso ser evidente durante o processo de condensao (por exemplo,

com o aparecimento de uma linha de zeros). Se isso acontecer paramos o processo de

condensao e conclumos que A no invertvel (mais frente ser visto como verificar se

uma matriz invertvel).

Exemplo 1.15 [Mtodo de condensao quando a matriz no invertvel]

Seja

1 2 3

1 6 9

1 2 3

A . Calcular 1

A , se possvel, pelo mtodo de condensao.

Resoluo

2 2 1 3 3 1

3 3 1

1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0 1 2 3 1 0 0

1 6 9 0 1 0 0 4 6 1 1 0 0 4 6 1 1 0

1 2 3 0 0 1 0 4 6 1 0 1 0 0 0 2 1 1l l l l l ll l l

Como obtivemos uma linha de zeros conclumos que a matriz A no invertvel uma vez

que, nestas condies, impossvel reduzir A a 3I usando operaes elementares sobre as

linhas da matriz A .


1.5 CARACTERSTICA DE UMA MATRIZ

1.5.1 DEFINIO

Definio 1.25 [Combinao linear das linhas de uma matriz]

Seja ij m na M A e tomemos k m linhas. Vamos formar com elas as matrizes-

linha

1 11 12 1 2 21 22 2 1 2n n k k k kna a a a a a a a a A A A

Chamamos combinao linear destas k linhas, a qualquer matriz 1 nM C definida

como

1 1 2 2 k k C A A A

onde, 1 2, , , k .

Definio 1.26 [Linhas linearmente dependentes]

As linhas 1 2, , , kA A A dizem-se linearmente dependentes se existirem escalares

1, , k , no todos nulos, tais que 11 1 2 2 nk k A A A O .

Definio 1.27 [Linhas linearmente independentes]

As linhas 1 2, , , kA A A dizem-se linearmente independentes se a igualdade

11 1 2 2 nk k A A A O , s for vlida quando 1 2 0k , 1, , k .

NOTA: estes conceitos so aplicveis s colunas de qualquer matriz ij m na M A .

Basta para isso utilizar as matrizes-coluna:

11 12 1

21 22 21 2

1 2

k

kk

m m mk

aa a

aa a

aa a

A A A


Exemplo 1.16 [Linhas linearmente independentes/dependentes de uma matriz]

Consideremos a matriz

1 1 2

3 1 1

2 1 1

2 2 3

A . Verificar se so linearmente independentes:

a) as trs primeiras linhas da matriz;

b) as 1, 2 e 4 linhas da matriz.

Resoluo

a) Faamos a combinao linear das trs primeiras linhas da matriz e igualemos matriz

linha nula.

1 2 3 1 2 31 1 2 3 1 1 2 1 1 0 0 0 , , ,

Resolvendo, obtemos

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1

1 2 3 2

31 2 3

3 2 2 0 0 0

3 2 0 0

0 0

02 0

ou seja, a igualdade s valida para 1 2 3 0 e, portanto, as linhas so linearmente

independentes.

b) Faamos a combinao linear das 1, 2 e 4 linhas da matriz e igualemos matriz linha

nula.

1 2 3 1 2 31 1 2 3 1 1 2 2 3 0 0 0 , , ,

Resolvendo, obtemos

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 3

1 2 3 2 3

1 2 3

3 2 2 2 3 0 0 0

3 2 0

2 0

2 3 0 0 0

ou seja, a igualdade admite vrias solues para alm da soluo 1 2 3 0 e,

portanto, as linhas so linearmente dependentes.


Definio 1.28 [Caracterstica de linha (ou de coluna) de uma matriz]

Seja ij m na M A . Chama-se caracterstica de linha da matriz A , lcar A ,

(respetivamente, caracterstica de coluna, ccar A ) ao numero mximo de linhas

(respetivamente, colunas) linearmente independentes de A .

Definio 1.29 [Caracterstica de uma matriz]

Seja ij m na M A . A caracterstica da matriz A , car A , corresponde sua

caracterstica de linha ou de coluna.

Tem-se ento que o nmero mximo de linhas linearmente independentes sempre igual ao

nmero mximo de colunas linearmente independentes que coincidem com a caracterstica da

matriz, ou seja,

l ccar car car A A A (1.17)

A caracterstica de linha e a caracterstica de coluna de uma matriz nula so iguais a zero.

Exemplo 1.17 [Clculo da caracterstica]

Calcular a caracterstica da matriz

1 1 2

3 1 1

2 1 1

2 2 3

A .

Resoluo

No Exemplo 1.16 verificamos que as trs primeiras linhas da matriz so linearmente

independentes. Logo, 3Alcar ou 4Alcar , uma vez que a matriz tem 4 linhas. Por

outro lado, 1 3ccar A , uma vez que no se trata da matriz nula e a matriz tem 3

colunas. Como a caracterstica de linha sempre igual caracterstica de coluna (1.17),

conclumos que 3car A .

Teorema 1.1

A caracterstica de linha e a caracterstica de coluna de uma matriz so iguais.


Consideremos a matriz quadrada n nM A . As seguintes afirmaes so equivalentes

1. car nA ;

2. A invertvel ou no singular;

3. as linhas de A formam um conjunto linearmente independente;

4. as colunas de A formam um conjunto linearmente independente.

1.5.2 CLCULO DA CARACTERSTICA DE UMA MATRIZ

Naturalmente que a caracterstica de uma matriz pode ser obtida calculando o nmero de

linhas ou de colunas linearmente independentes (ver Exemplo 1.17). Vamos ver uma forma

alternativa.

Teorema 1.4

Seja ij m na M A uma matriz no nula. Ento, aps a aplicao sucessiva de um

nmero finito de operaes elementares sobre as linhas/colunas da matriz A , esta pode

transformar-se numa matriz da forma

0

0 0

r

I

A

Ento, car rA .

Teorema 1.3

Para qualquer matriz ij m na M A , verifica-se Tcar carA A .

Teorema 1.2

A caracterstica de linha (respetivamente, de coluna) de uma matriz no se altera quando se

efetuam na matriz operaes elementares.


Definio 1.30 [Caracterstica da matriz usando condensao]

A caracterstica de uma matriz pode ser obtida fazendo a sua condensao, que consiste em

realizar uma sequncia finita de operaes elementares at que se obtenha uma matriz na qual

figure uma submatriz triangular cujos elementos da diagonal principal so no nulos e da

maior ordem possvel. A caracterstica da matriz igual ordem dessa submatriz.

Na prtica, comeamos a resoluo do problema com a escolha de uma das diagonais da

matriz, normalmente a diagonal que contm os elementos 11 22, , , rra a a , anulando-se, a

seguir, todos os elementos situados abaixo dessa diagonal. Qualquer linha nula deve ficar

abaixo das linhas no nulas. Assim,

0 0

S S

A ,

11 12 1

22 20

0 0

0 0 0 0

r

r

rr

s s s

s s

s

S = , 0, 1, ,iis i r e S uma matriz

qualquer que resulta do processo de condensao. Ento, car rA .

Exemplo 1.18 [Clculo da caracterstica de uma matriz por condensao]

Calcular a caracterstica da matriz

1 1 2

3 1 1

2 1 1

2 2 3

A usando o mtodo de condensao.

Resoluo

Comeamos por condensar a matriz efetuando operaes elementares.

2 2 1 2 3 4 4 3

3 3 1 3 3 2

4 4 1

32 42

1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2

3 1 1 0 4 7 0 1 5 0 1 5

2 1 1 0 1 5 0 4 7 0 0 13

2 2 3 0 4 7 0 4 7 0 0 0

l l l l l l l ll l l l l ll l l

A

A caracterstica da matriz igual ordem da submatriz assinalada, ou seja, 3car A .


1.6 EXERCCIOS

1.6.1 OPERAES COM MATRIZES

EXERCCIOS RESOLVIDOS

1. Seja 1 2 3 2 A ,

1 3

1 2

2 1

1 1

B e 2 5C . Calcule:

1.1 3 A B C ;

1.2 B AT T .

Resoluo:

1.1 Verificar se possvel efetuar o produto: :1 4A , : 4 2B . Logo o produto possvel

e :1 2 A B . Verificar se possvel efetuar a soma: :1 2 A B e :1 2C . Logo a soma

possvel e 3 :1 2 A B C

1 3

1 21 2 3 2

2 1

1 1

A B

1 1 2 1 3 2 2 1 1 3 2 2 3 1 2 1 9 0

3 3 2 5 6 15 C

Ento 3 9 0 6 15 3 15 A B C .

1.2

1 mtodo:

1 1 2 1

3 2 1 1

BT

e

1

2

3

2

AT .

Como : 2 4BT , : 4 1AT tem-se : 2 1 B AT T

1

1 1 2 1 2 9

3 2 1 1 3 0

2

B AT T


2 mtodo:

Usando a propriedade M6 e o resultado obtido na alnea anterior obtemos

9

9 00

B A A B

T TT T

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. Seja 1 0 2 1

0 1 0 2

A ,

1 0

2 1

0 1

1 1

B e In a matriz identidade de ordem n . Calcule, se

possvel:

1.1 A B 1.2 A BT 1.3 B AT 1.4 A BT

1.5 AT

T 1.6 A B

TT

1.7 A BT T 1.8 2AT

1.9 2A BT 1.10 4A I e 2 I A 1.11 B A 1.12 A B

1.13 A BT

1.14 A BT T 1.15 B AT T 1.16 2 I A B

1.17 A A B 1.18 2A 1.19 3

B AT T 1.20 20

5I

1.21 Que concluses se podem tirar dos problemas anteriores?

2. Seja 2 1 1

0 1 3

A ,

3 1

1 1

0 2

B e 3 1

2 1

C .

2.1 Determine a matriz 22 3 M A B C I .

2.2 Determine a matriz X que verifica 2 X C I .


EXERCCIOS SUPLEMENTARES

1. Seja 1 2 1 3

0 1 1 3

A , 0 1 2 1

1 1 0 0

B e 2 1

1 1

C .

1.1 Calcule B AT ;

1.2 Determine 13

X A B CT .

2. Sendo A e B duas matrizes quadradas da mesma ordem, em que condies se verifica a

igualdade 2 2 22 A B A AB B ?

Solues:

1.1 No possvel. 1.2 2 2 2 0

0 2 1 3

1.3 2 2 2 0

0 2 1 3

1.4

2 0

2 2

2 1

0 3

1.5 A 1.6 2 2 2 0

0 2 1 3

1.7 No possvel. 1.8

2 0

0 2

4 0

2 4

1.9 1 4 2 3

0 1 2 0

1.10 A 1.11

1 0 2 1

2 1 4 0

0 1 0 2

1 1 2 1

1.12 0 3

4 3

1.13 0 4

3 3

1.14

1 2 0 1

0 1 1 1

2 4 0 2

1 0 2 1

1.15 0 4

3 3

1.16 1 3

4 2

1.17 No possvel. 1.18 No possvel. 1.19 36 12

9 45

1.20 5I

2.1 4 5

5 4

M 2.2 1 5 1 5

2 5 3 5

X


3. Sejam U e V duas matrizes de ordem n simtricas. Prove que UV simtrica se U e V

so permutveis e vice-versa.

1.6.2 MATRIZ INVERSA


1. Calcule a inversa da matriz 3 6

1 4

A = , recorrendo definio de inversa de uma matriz.

Resoluo:

Vamos usar a Definio 1.24: 12

A A I .

3 6 1 2 3

3 6 1 0 3 6 3 6 1 0 3 6 0 1

1 4 0 1 4 4 0 1 4 0 1 6

4 1 1 2

a c a

a b a c b d b d b

c d a c b d a c c

b d d

Logo 12 3 1

1 6 1 2

A .

2. Calcule a inversa da matriz

0 0 2

2 1 1

1 1 1

B pelo mtodo da condensao.

Resoluo:

Para utilizarmos este mtodo devemos ampliar a matriz B com a matriz identidade e de

seguida aplicar operaes elementares sobre as linhas da matriz assim obtida at que a

matriz do lado esquerda seja a matriz identidade. A matriz inversa corresponde matriz

que surge do lado direito.

Solues:

1.1 3 0

3 1

1.2 3 0

1 4 3

X

2. Se A e B forem permutveis.


3 1

0 0 2 1 0 0 1 1 1 0 0 1

2 1 1 0 1 0 2 1 1 0 1 0

1 1 1 0 0 1 0 0 2 1 0 0

l l

22 2 1 1 1 2

1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1

0 1 1 0 1 2 0 1 1 0 1 2

0 0 2 1 0 0 0 0 2 1 0 0

l l l l l l

13

22 2 33

1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1

0 1 1 0 1 2 0 1 0 1 2 1 2

0 0 1 1 2 0 0 0 0 1 1 2 0 0

l l ll l

Ento, 10 1 1

1 2 1 2

1 2 0 0

B

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. Sejam 1 2

3 2

A e 2 1

1 1

B . Determine a matriz X que verifica 14 B X A .

2. Determine, se possvel, a matriz inversa das seguintes matrizes:

2.1

1 2 0

2 4 1

2 3 1

A 2.2

1 1 1

1 1 0

2 1 2

B 2.3

2 1 12

1 0 3

3 1 4

C

2.4

0 1 1

1 1 1

1 0 1

D 2.5

2 1 1

0 2 1

3 0 1

E 2.6

1 2 1

1 0 1

2 4 2

F

3. Seja 4A I e 42B I . Calcule 1

A e 1B .



1. Considere a matriz

2 1 1 1

3 2 0 1

1 1 3 2

0 1 2 1

A .

1.1 Mostre que 1

1 1 32

2 2 2

1 3 75

2 2 2

0 1 3 5

1 1 54

2 2 2

A a matriz inversa da matriz A .

1.2 Obtenha a matriz 1A pelo mtodo da condensao de matrizes.

Solues:

1. 5 3

8 4

X

2.1 1

7 2 2

4 1 1

2 1 0

A 2.2 1

2 3 1 1 3

2 3 0 1 3

1 1 0

B 2.3 1

3 16 3

5 28 6

1 5 1

C

2.4 1

1 1 2

0 1 1

1 1 1

D 2.5 1

2 1 31

3 1 25

6 3 4

E 2.6 No possvel.

3. 1

4 A I e 1 4

1

2

B I .


1.6.3 EQUAES ENVOLVENDO MATRIZES


1. Seja 1 1

3 2

A uma matriz invertvel.

1.1 Calcule 2A .

1.2 Resolva em ordem a X , matriz regular, a seguinte equao matricial:

1

2 1

A A X AT .

Resoluo:

1.1 2 1 1 1 1 4 3

3 2 3 2 9 7

A A A .

1.2 Como A uma matriz regular ento as matrizes 2

A e AT so tambm regulares e,

portanto existem 1

2

A e 1

AT .

1

2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2T T T T

P1.2 1.16 1.16 M1.5

A A X A A X A A A X A A A A A X I A A

1 1 1 1

1 1 1 1T T T T T T

1.16 1.16 M1.5 P1.3

A X A A A X A A IX A A X A A

1

11

T T

P1.2

X A A X A A .

Calculando 1A , obtm-se 1 2 1

3 1

A .

Fica ento: 2 1 1 3 1 4

3 1 1 2 2 7

X .

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. Resolva em ordem a X as seguintes equaes matriciais, supondo que todas as operaes

so vlidas e que as matrizes envolvidas so regulares:

1.1

1 1

A X AB AT

T ;

1.2 2 14 2 B BX O ;

1.3 X A A BT ;


1.4 XAB B CX IT

T , sendo X uma matriz simtrica;

1.5 X A B B IT T .


1. Resolva em ordem a X as seguintes equaes matriciais, supondo que todas as operaes

so vlidas e que as matrizes envolvidas so regulares:

1.1 1 XA B BA IT ;

1.2 1

1

F D XE FT

;

1.3 1 1

1 1

A X X A X A IT

T T T.

2. Mostre que sendo A e B matrizes regulares tais que AB C ento 1 1 A CB I .

Solues:

1.1 2 1 X A BT T

1.2 11

2

X B

1.3 1 X I A BT

T

1.4 1

1

X B A CT , se TA C admite inversa.

1.5 1 X B A BT T

Solues:

1.1 1 1 X A AB B AT

1.2 1

X EDT

1.3 1

X AT


1.6.4 CARACTERSTICA DE UMA MATRIZ


1. Calcule a caracterstica da matriz

1 2 0 3

2 3 1 2

1 1 1 0

1 0 2 1

A .

Resoluo:

Para o clculo da caracterstica da matriz pelo mtodo da condensao, vamos anular todos

os elementos que esto abaixo da diagonal principal.

22

2 2 1 3 3 23 3 1 4 4 24 4 1

1 2 0 3 1 2 0 3 1 2 0 3

2 3 1 2 0 1 1 4 0 1 1 4

1 1 1 0 0 1 1 3 0 0 0 1

1 0 2 1 0 2 2 2 0 0 0 6

l l l l l ll l l l l ll l l

Sempre que aparecer um zero na diagonal devemos, se possvel, troc-lo por um valor no

nulo e as linhas nulas devem aparecer depois de todas as linhas no nulas.

63 4 4 4 3

1 2 0 3 1 2 3 0 1 2 3 0

0 1 1 4 0 1 4 1 0 1 4 1

0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0

0 0 0 6 0 0 6 0 0 0 0 0

c c l l l

A matriz est agora condensada uma vez que temos uma submatriz triangular da maior

ordem possvel sem zeros na diagonal e as linhas de zeros aparecem depois de todas as

linhas no nulas. Como a ordem dessa submatriz 3 conclui-se que 3Acar .

2. Sendo

1

1 1 1

1 1

M

a b

b

, calcule a e b de modo que 2Mcar .

Resoluo:

Comeamos por condensar a matriz M .

1 2 2 2 1 2 33 3 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 0 1 1 0 1 1

1 1 1 1 0 1 0 0 0 1

l l l l l c cl l l

a b

a b a b b a

b b b b

Vamos ento determinar a caracterstica da matriz em funo de a e de b .


Se 1b ento 3, Mcar a , uma vez que temos uma submatriz triangular de

ordem 3 sem zeros na diagonal.

Se 1b obtemos a matriz

1 1 1

0 0 1

0 0 0

a . Condensando esta matriz temos

2 3

1 1 1 1 1 1

0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0

c ca a .

Neste caso, se 1a ento 2Mcar . Por outro lado, se 1a ento 1Mcar .

Finalmente, podemos dizer que para termos 2Mcar temos de fazer 1 1 b a .

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. Calcule a caracterstica das seguintes matrizes:

1.1

1 3 1 3

2 8 3 4

3 3 8 16

A 1.2

3 2 1 4

2 2 1 2

5 4 2 6

B

1.3

2 1 3 3

4 3 8 4

6 18 3 16

C 1.4

2 3 1

5 6 3

3 3 2

1 0 1

D

1.5

2 1 3 4 3 2

1 2 0 5 2 1

1 0 3 2 1 1

1 3 3 5 3 1

E 1.6

1 0 2

2 1 1

1 2 0

1 1 0

F

2. Sem efetuar clculos, diga qual a caracterstica das seguintes matrizes:

2.1 5A I 2.2

1 1 1

2 2 2

3 3 3

A 2.3

1 1 0

2 1 0

7 3 0

C 2.4

1 1 1

1 2 1

1 2 1

D

3. Seja

1 2 1 5

0 3 5 2

2 2 2

3 0 2 1

Ak

. Determine k de modo que 4Acar .


1.6.5 EXERCCIOS DE CONCLUSO DO CAPTULO

1. Considere as matrizes 1 1 0 0

2 1 3

3 1 1

AT

e

2 1 0

1 0 1

1 1 0

B .

1.1 Dada a seguinte equao matricial DYC I , sabendo que matriz D tem quatro linhas

e trs colunas e a matriz C tem cinco linhas, diga justificando, qual o tipo da matriz Y e

o nmero de colunas da matriz C .

1.2 Determine a matriz A , usando condensao.

1.3 Resolva a seguinte equao matricial 1 1 1( ) (3 ) BX A I T em ordem a X , supondo

que todas as operaes so vlidas e que as matrizes envolvidas so regulares.

2. Considere as matrizes

1 2 3

1 1 3

0 0 1

AT

e 1

2 1 0

1 0 1

1 1 0

B .

2.1 Dada a seguinte equao matricial DYC I , sabendo que a matriz D tem cinco

colunas, a matriz C tem trs linhas e quadrada, diga justificando, o tipo da matriz Y e

o nmero de linhas da matriz D .

2.2 Determine a matriz 1

A , usando condensao.

2.3 Resolva a seguinte equao matricial 11 3T A XB I em ordem a X , supondo


Solues:

1.1 3Acar 1.2 2Bcar 1.3 3Ccar

1.4 2Dcar 1.5 3Ecar 1.6 3Fcar

2.1 5Acar 2.2 1Bcar 2.3 2Ccar 2.4 2Dcar

3. 1k


3. Considere a seguinte matriz:

1 1 2

1 1

1 1

A a

b

.

3.1 Determine os valores de ,a b , para os quais a matriz regular.

3.2 Para 1a e 0b calcule, por condensao, 2A .

4. Considere as matrizes

1 0 1

1 1

2 4

A

k k

k k k

k k

e

1 0 2

2 1 1

1 2 0

1 1 0

B , k .

4.1 Discuta a caracterstica da matriz A , em funo da variao do parmetro k .

4.2 Para 0k , determine a matriz M , que verifica: M A B A B M I .

4.3 Resolva a equao matricial em ordem a X :

E X I I ECDT TT , supondo


5. Considere a matriz 1

2 1

Dp

.

5.1 Calcule a matriz C , permutvel com D e cujos elementos da 1 linha so todos iguais

a 1.

5.2 Faa 1p e calcule 1D .

6. Seja

0 1

1 0 1

1 0

A

a

a

, a ;

6.1 Determine o valor do parmetro a de modo que A seja regular.

6.2 Suponha 2a .

6.2.1 Sem efetuar clculos, indique a caracterstica de 1

7A . Justifique.

6.2.2 Resolva a equao matricial: 1

1 1

A X B I A B

TT

em ordem a X ,

supondo que todas as operaes so vlidas e que as matrizes envolvidas so

regulares.


7. Seja 1

1

Ap

q, ,p q .

7.1 Determine os valores de p e de q para os quais a matriz A singular.

7.2 Para 0p q , resolva em ordem a B a equao matricial: 1

22 3

B A I A AT T ,

supondo que todas as operaes so vlidas e que as matrizes envolvidas so regulares.

Solues:

1.1

: 3 5; :5 4 Y C 1.2

4 7 51

0 1 14

0 3 1

A 1.3 1

9 12 6

3 6 3 3

6 3 9

X A B

2.1 : 5 3; :3 5 Y D 2.2 11 1 0

2 1 0

9 6 1

A 2.3

1 1 3 1 3

5 3 2 3 1 3

4 3 4 3 1

X

3.1 2 1a b 3.2 2

2 1 2

1 2 1

1 0 2

A

4.1 3, Acar k 4.2 4 2 1 2

3 2 0

3 1 1 2

M 4.3 1 X CD E I

5.1 1 1

2 1

Cp

, \ 0p 5.2 11 1

2 1

D

6.1 \ 0a 6.2.1 1

37

Acar 6.2.2

1 X A B A I B

TT T

7.1 1

qp

, 0p 7.2 3 2

2 3

B


CAPTULO 2 DETERMINANTES

2.1 PERMUTAES

Sejam n e 1, 2, , nN n .

Definio 2.1 [Permutao]

Chama-se permutao do conjunto nN a toda a aplicao bijetiva : n np N N .

Designamos o conjunto de todas as permutaes de nN por nP . O nmero de permutaes do

conjunto nN dado por !n . Assim, 1 2 !, ,n nP p p p , onde , 1 ! ip i n , representa uma

permutao de nN .

Representao

Representamos a permutao ip de nN , 1 !i n , como

1 2

1 2i

i i i

np

p p p n

(2.1)

Exemplo 2.1 [Permutao]

i) Seja 2 1,2N . Existem 2! 2 permutaes de 2N .

Ento, 2 1 2,P p p onde

1

1 2

1 2p

, 21 2

2 1p

.

ii) Seja 3 1,2,3N . Existem 3! 6 permutaes de 3N .

Ento, 3 1 2 3 4 5 6, , , , ,P p p p p p p onde

1

1 2 3

1 2 3p

, 21 2 3

2 3 1p

, 31 2 3

3 1 2p

,

4

1 2 3

1 3 2p

, 51 2 3

2 1 3p

, 61 2 3

3 2 1p

.


Definio 2.2 [Sinal ou paridade da permutao]

Seja

1 2

1 2

np

p p p n

uma permutao de nN . Seja r o nmero de pares

ordenados ,i j com 1 i j n tais que p i p j . Chama-se sinal ou paridade da

permutao p ao nmero inteiro representado por sgn p , onde

1 se par

sgn1 se mpar

rp

r

(2.2)

Se sgn 1p a permutao diz-se par e se sgn 1p a permutao diz-se mpar.

Exemplo 2.2 [Sinal da permutao]

i) Seja 21 2

2 1p N

. Existe apenas um par ,i j com 1 2i j para o qual

p i p j que 1,2 . Logo 1r e, consequentemente, a permutao mpar.

ii) A permutao 31 2 3

1 2 3p N

par, porque no h nenhum par ,i j com

1 i j n que satisfaa p i p j . Logo 0r .

iii) Seja 31 2 3

3 2 1p N

. Os pares ,i j com 1 3i j para os quais p i p j

so 1,2 , 1,3 e 2,3 . Logo 3r e, consequentemente, a permutao mpar.

iv) No Exemplo 2.1i) a permutao 1p par e a permutao 2p mpar.

v) No Exemplo 2.1ii) as permutaes 1p , 2p e 3p so pares. As permutaes 4p , 5p e

6p so mpares.


2.2 DETERMINANTES - DEFINIO E REPRESENTAO

Definio 2.3 [Determinante]

Seja ij n na M A . Chama-se determinante da matriz A e denota-se por A ao

nmero assim definido

!

1 1 2 2

1

sgn i i i

n

i p p np n

i

p a a a

A (2.3)

onde ip uma permutao do conjunto nN .

O determinante de uma matriz A de ordem n representa-se por

11 12 1

21 22 2

1 2

A

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a

(2.4)

Assim,

Se 11aA ento 11aA

Se 11 12

21 22

a a

a a

A ento (ver o Exemplo 2.2iv))

1 1 2 21 2 11 22 12 211 1 2 2 1 1 2 2sgn sgnp p p pp a a p a a a a a a A

Se

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

a a a

a a a

A ento (ver o Exemplo 2.2v))

1 1 1 2 2 2

3 3 3 4 4 4

5 5 5 6 6 6

1 21 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

3 41 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

5 61 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

11 22 33 12 23 31 13 21 32 11 23 32 12 21 33 13 22 31

sgn sgn

sgn sgn

sgn sgn

p p p p p p

p p p p p p

p p p p p p

p a a a p a a a

p a a a p a a a

p a a a p a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

A


Para o clculo do determinante de ordem trs pode recorrer-se a uma regra prtica

denominada regra de Sarrus, que se encontra esquematizada a seguir.

11 12 13

21 22 23 11 22 33 21 32 13 31 12 23 13 22 31 23 32 11 33 12 21

31 32 33

11 12 13

21 22 23

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a

a a a

A

Exemplo 2.3 [Clculo do determinante pela regra de Sarrus]

Seja

1 0 2

1 1 0

0 1 1

A . Vamos calcular o determinante da matriz A usando a regra de

Sarrus.

Comeamos por ampliar o determinante acrescentando as duas primeiras linhas no fim e de

seguida fazemos o produto das diagonais.

1 0 2

1 1 0 1 1 1 1 1 2 0 0 0 2 1 0 0 1 1 1 0 1 3

0 1 1

A

1 0 2

1 1 0

2.3 TEOREMA DE LAPLACE

Definio 2.4 [Menor complementar]

Seja ij n na M A , 2n . Define-se menor complementar ijM do elemento ija como

sendo o determinante que se obtm suprimindo a linha i e a coluna j de A .

Definio 2.5 [Complemento algbrico]

Seja ij n na M A , 2n . Define-se complemento algbrico ijA do elemento ija da

seguinte forma

1 i jij ijA M

(2.5)

onde ijM representa o menor complementar do elemento ija .


Exemplo 2.4 [Menor complementar e complemento algbrico]

Seja

1 0 2

1 1 0

0 1 1

A .

i) O menor complementar do elemento 11a 111 0

1 1 0 1 11 1

M

. O

complemento algbrico do elemento 11a 1 1

11 11 111 1A M M

.

ii) O menor complementar do elemento 12a 121 0

1 1 0 0 10 1

M

. O

complemento algbrico do elemento 12a 1 2

12 12 121 1A M M

.

Teorema 2.1 [Teorema de Laplace (TL)]

O determinante de uma matriz ij n na M A , igual soma dos produtos que se

obtm multiplicando cada um dos elementos de uma das suas linhas (ou colunas) pelo

respetivo complemento algbrico.

Exemplo 2.5 [Teorema de Laplace (TL)]

Seja

1 0 2

1 1 0

0 1 1

A . Calcular o A , usando o Teorema de Laplace, desenvolvido

atravs da

i) 1 linha;

ii) 3 coluna.

Resoluo

i) 11 12 13TL 1 linha

1 0 2

1 1 0 1 0 2

0 1 1

A A A

A

1 1 1 311 131 1 2 1M M

1 1

1 0 1 11 1 2 1 1 2 3

1 1 0 1


ii) 13 23 33TL 3 coluna

1 0 2

1 1 0 2 0 1

0 1 1

A A A

A

1 3 3 313 33

1 1

1 1 1 02 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3

0 1 1 1

M M

Observao

A matriz inversa de uma matriz quadrada, caso esta exista, pode ser calculada usando o

determinante, da seguinte forma:

11 T

Adj A AA

onde Adj A representa a matriz adjunta da matriz A , que se obtm de A pelo seguinte

processo:

1) Calculam-se os complementos algbricos de todos os elementos de A ;

2) Substitui-se cada elemento de A pelo seu complemento algbrico.

Exemplo

Seja 1 2

3 4

A . Vamos calcular a matriz inversa de A usando a matriz adjunta.

1 24 6 2 0

3 4 A

1 111 1 4 4A

; 1 212 1 3 3A

; 2 121 1 2 2A

; 2 222 1 1 1A

Logo, 4 3

2 1Adj

A .

Ento, 12 1

4 313 1

2 122 2

T

A .


2.4 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES

Sejam , , n nM A B C , k e m . Ento, so vlidas as seguintes propriedades

P2.1 O determinante da matriz A e o da sua transposta so iguais, isto , TA A ;

P2.2 Se a matriz A possui uma linha (ou coluna) nula ento 0A ;

P2.3 Se a matriz A tem duas linhas (ou colunas) proporcionais ento 0A ;

P2.4 Se uma matriz B resulta da matriz A pela troca da posio relativa de duas

linhas (ou colunas) de A ento B A ;

P2.5 Se uma matriz B resulta da matriz A quando uma nica linha (ou coluna) de A

multiplicada por k ento kB A ;

P2.6 Se as matrizes A , B e C diferem somente numa linha (ou coluna), por exemplo,

na m sima linha (ou coluna), e se a m sima linha (ou coluna) da matriz A puder

ser obtida somando as entradas correspondentes das m simas linhas (ou colunas) das

matrizes B e C , ento

A B C (2.6)

P2.7 Se uma matriz B resulta da matriz A quando um mltiplo de uma linha (ou

coluna) de A somado a uma outra linha (ou coluna) de A ento B A ;

P2.8 O determinante de uma matriz A triangular superior, inferior ou diagonal igual

ao produto dos elementos da diagonal principal.

11 12 1 11 11

22 2 21 22 2211 22

1 2

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

n

nnn

nn n n nn nn

a a a a a

a a a a aa a a

a a a a a

(2.7)

P2.9 A matriz A invertvel se e s se 0A ;

P2.10 AB A B ;

P2.11 1 1 A

A, se A for uma matriz invertvel;

P2.12 car nA se e s se 0A .


Exemplo 2.6 [P2.1]

Seja

1 0 2

1 1 0

0 1 1

A . No Exemplo 2.5 verificamos que 3A . Vamos verificar que

3T A .

1 1 0

0 1 1

2 0 1

T

A . Ento 11 12 13TL 1 linha

1 1 0

0 1 1 1 1 0

2 0 1

T A A A

A

1 1 1 2

1 2

1 1 0 11 1 1 1 1 2 3

0 1 2 1

Exemplo 2.7 [P2.2]

Seja

1 0 2

0 0 0

0 1 1

A . Vamos verificar que 0A .

21 22 23TL 2 linha

1 0 2

0 0 0 0 0 0 0

0 1 1

A A A

A

Exemplo 2.8 [P2.3]

Seja

1 0 2

2 0 4

0 1 1

A , onde se verifica que 2 12 l l (isto , a linha dois proporcional

linha um). Vamos verificar que 0A .

1 1 1 311 12 13 11 13TL 1 linha

4 2

1 0 2

2 0 4 1 0 2 1 1 2 1

0 1 1

0 4 2 01 1 2 1 4 4 0

1 1 0 1

A A A M M

A


Exemplo 2.9 [P2.4]

Seja

1 0 2

1 1 0

0 1 1


3 A , onde A resulta da matriz A trocando a primeira linha com a segunda, isto ,

1 1 0

1 0 2

0 1 1

A .

31 32 33TL 3 linha

1 1 0

1 0 2 0 1 1

0 1 1

A A A

A

3 2 3 3

2 1

1 0 1 11 1 1 1 2 1 3

1 2 1 0

Exemplo 2.10 [P2.5]

Seja

1 0 2

1 1 0

0 1 1


5 3 15 A , onde A resulta da matriz A multiplicando a segunda linha por cinco,

isto ,

1 0 2

5 5 0

0 1 1

A .

13 23 33TL 3 coluna

1 3 3 3

5 5

1 0 2

5 5 0 2 0 1

0 1 1

5 5 1 02 1 1 1 10 5 15

0 1 5 5

A A A

A


Exemplo 2.11 [P2.6]

Seja

1 0 2

1 1 0

0 1 1

A . No Exemplo 2.5 verificamos que 3A .

Sejam

1 1 2

1 1 0

0 2 1

B e

1 1 2

1 0 0

0 1 1

C , ou seja, duas matrizes cuja soma dos

elementos da segunda coluna igual segunda coluna da matriz A e as restantes colunas

so iguais. Ento,

1 0 2 1 1 2 1 1 2

1 1 0 1 1 0 1 0 0

0 1 1 0 2 1 0 1 1

A B C .

Confirmemos,

1 3 3 313 23 33TL 3 coluna

2 2

1 1 21 1 1 1

1 1 0 2 0 1 2 1 1 1 60 2 1 1

0 2 1

A A A

B

1 3 3 313 23 33TL 3 coluna

1 1

1 1 21 0 1 1

1 0 0 2 0 1 2 1 1 1 30 1 1 0

0 1 1

A A A

C

Ento, 6 3 3 A B C .

Exemplo 2.12 [P2.7]

Seja

1 0 2

1 1 0

0 1 1

A . No Exemplo 2.5 verificamos que 3A . Seja B a matriz que se

obtm da matriz A multiplicando a primeira linha de A por quatro e somando com a linha

trs, isto , 3 3 14

1 0 2 1 0 2

1 1 0 1 1 0

0 1 1 4 1 9

A Bl l l

. Calculemos o determinante de B .

2 2 3 212 22 32TL 2 coluna

1 2

1 0 21 2 1 2

1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 34 9 1 0

4 1 9

A A A

B =

Ou seja, B A .


Exemplo 2.13 [P2.8]

Seja

2 1 3 4

0 1 2 0

0 0 5 1

0 0 0 1

A , uma matriz triangular superior.

1 111 21 31 41

TL 1 coluna

1 111 21 31 11

TL 1 colunaTL 1 coluna

1 111

2 1 3 41 2 0

0 1 2 02 0 0 0 2 1 0 5 1

0 0 5 10 0 1

0 0 0 1

1 2 05 1

2 0 5 1 2 1 0 0 2 1 2 1 10 1

0 0 1

2 1 5 2 1 5 1 1 2 1 5

A A A A

A A A A

A

A =

1 10

O determinante corresponde ento ao produto dos elementos da diagonal principal.

Exemplo 2.14 [Clculo do determinante usando as propriedades]

Seja

1 0 2

1 1 0

0 1 1

A . No Exemplo 2.5 verificamos que 3A . Vamos transformar o A

no determinante duma matriz triangular superior usando as propriedades dos determinantes

e de seguida aplicar a propriedade P2.8.

2 2 1 3 3 2

P2.7 2.7 2.81 0 2 1 0 2 1 0 2

1 1 0 0 1 2 0 1 2 1 1 3 3

0 1 1 0 1 1 0 0 3

P P

l l l l l l

A

Exemplo 2.15 [Clculo do determinante usando as propriedades]

Seja

5 0 1 3

2 3 1 1

4 1 2 1

3 3 1 1

A . Vamos transformar o A no determinante duma matriz

triangular superior usando as propriedades dos determinantes e de seguida aplicar a

propriedade P2.8.


1 3 2 2 1

3 3 1

4 4 1

4 4 2 2 3 3 3 2

2.4 2.7

2

2.7 2.4 2.7

3

5 0 1 3 1 0 5 3 1 0 5 3

2 3 1 1 1 3 2 1 0 3 7 4

4 1 2 1 2 1 4 1 0 1 6 5

3 3 1 1 1 3 3 1 0 3 8 2

1 0 5 3 1 0 5 3 1 0 5 3

0 3 7 4 0 1 6 5 0 1 6 51

0 1 6 5 0 3 7 4 0

0 0 1 2 0 0 1 2

P P

c c l l ll l ll l l

P P P

l l l l l l l l

A

4 4 3

3 3

2.5 2.7 2.8

1

11

0 11 11

0 0 1 2

1 0 5 3 1 0 5 3

0 1 6 5 0 1 6 511 11 11 1 1 1 3 33

0 0 1 1 0 0 1 1

0 0 1 2 0 0 0 3

P P P

l l ll l


2.5 EXERCCIOS

2.5.1 CLCULO DE DETERMINANTES DE 2 E 3 ORDENS


1. Calcule os determinantes:

1.1 2 1

3 5

1.2

3 1 2

1 1 0

2 4 1

Resoluo:

1.1 Determinante de 2 ordem. Regra prtica.

2 1

2 5 3 1 133 5

.

1.2 Determinante de 3 ordem. Vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus.

Comeamos por ampliar o determinante acrescentando as duas primeiras linhas no fim e de

seguida fazemos o produto das diagonais.

3 1 2

1 1 0 3 1 1 1 4 2 2 1 0 1 1 1 3 4 0 2 1 2 10

2 4 1

3 1 2

1 1 0

EXERCCIOS PROPOSTOS


1.1 12 3

4 5

1.2 2

1 2 1

2 0 3

1 1 1

1.3 3

1 4 0

3 1 2

1 0 1

Solues:

1.1 1 22 . 1.2 2 7 1.3 3 3




1.1 11 2

3 4 1.2 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1.3 3

2 0 0

0 2 0

0 0 2

2.5.2 TEOREMA DE LAPLACE


1. Calcule

1 2 1 0

2 3 1 1

1 1 4 2

1 1 1 0

, aplicando o teorema de Laplace.

Resoluo:

Aplicando o Teorema de Laplace 4 coluna vem:

14 24 34 44TL 4 coluna

1 2 1 0

2 3 1 10 1 2 0

1 1 4 2

1 1 1 0

A A A A

2 4 3 424 34 24 341 2 1 1 2 1

A A M M

11 11

1 2 1 1 2 1

1 1 1 1 4 2 1 2 3 1 11 2 11 33

1 1 1 1 1 1

Solues:

1.1 1 2 . 1.2 2 1 1.3 3 8


EXERCCIOS PROPOSTOS


4 1 0

1 2 3

2 3 4

A .

1.1 Indique o menor complementar e o complemento algbrico do elemento 32a de A .

1.2 Calcule A utilizando o teorema de Laplace.

2. Seja o determinante

1 1 2 3

0 3 2 0

2 1 3 0

4 2 1 1

. Calcule , aplicando o teorema de Laplace:

2.1 2 linha;

2.2 4 coluna.

3. Calcule o determinante

5 0 1 3

2 3 1 1

4 1 2 1

3 3 1 1

aplicando o teorema de Laplace.



3

2

32

A

nx nz ny n x

x y y n x

ny nx ny nx n x

.

1.1 Indique o menor complementar e o complemento algbrico do elemento 32a de A .

1.2 Calcule o valor do complemento algbrico do elemento 31a de A .

Solues:

1.1 324 0

1 3

M e 3 2

32 321A M

1.2 6

2.1 105 2.2 105

3. 33


2. Calcule os seguintes determinantes aplicando o teorema de Laplace:

2.1 11 2

3 4

2.2 2

0 2 5

1 0 2

1 2 3

2.3 3

2 1 0 3

0 2 1 4

2 2 1 1

0 1 3 1

2.5.3 CLCULO DE DETERMINANTES USANDO PROPRIEDADES


1. Considere o seguinte determinante

1 2 3 4

1 7 8 9

0 3 2 4

1 6 11 6

.

1.1 Sem calcular o determinante, represente um determinante de 3 ordem igual ao

determinante dado.

1.2 Calcule o determinante, aplicando apenas propriedades.

Resoluo:

1.1 Se aplicarmos o Teorema de Laplace a qualquer uma das linhas (colunas) do

determinante dado, obtm-se sempre uma soma de vrios determinantes e no um nico

como pretendido. Ento, vamos aplicar as propriedades dos determinantes de forma a

obtermos uma coluna com apenas um elemento no nulo.

7

1 1

TL 1 coluna2 2 14 14

1 2 3 4 1 2 3 45 5 5 5 5 5

1 7 8 9 0 5 5 51 1 3 2 4 3 2 4

0 3 2 4 0 3 2 44 8 2 4 8 2

1 6 11 6 0 4 8 2

P

l l ll l l

Solues:

1.1

3

32 2

nx nz n xM

x y n x e

3 2

32 321A M

1.2 31 0A

2.1 1 2 2.2 2 0 2.3 3 22


Ento

5 5 5

3 2 4

4 8 2

um determinante de 3 ordem igual ao determinante dado.

1.2 Vamos transformar o determinante no determinante duma matriz triangular superior

usando as propriedades dos determinantes e de seguida usar a propriedade P8.

2 2 1 2 2 4 3 3 2

4 4 1 4 4 2

4 4 33 3

2.7 2.7 2.7

34

2.5 2.7

1 20

11

1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

1 7 8 9 0 5 5 5 0 1 3 3 0 1 3 3

0 3 2 4 0 3 2 4 0 3 2 4 0 0 11 5

1 6 11 6 0 4 8 2 0 4 8 2 0 0 20 10

1 2 3 4 1 2 3 4

0 1 3 3 0 1 3 311 11

0 0 1 5 11 0 0 1

0 0 20 10

P P P

l l l l l l l l ll l l l l l

P P

l l ll l

2.8 1011 1 1 1 10

5 11 11

0 0 0 10 11

P

2. Mostre, utilizando apenas propriedades, que

1 5 4 2 1

2 1 3 5 1

04 9 11 1 3

0 2 1 0 0

1 1 1 1 1

.

Resoluo:

2.7 2.3

22 2 1

1 5 4 2 1 1 5 4 2 1

2 1 3 5 1 4 9 11 1 3

04 9 11 1 3 4 9 11 1 3

0 2 1 0 0 0 2 1 0 0

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

P P

l l l

.

3. Resolva a seguinte equao:

1 1

1 1 0

1 1

b

b

b

.

Resoluo:

Pela regra de Sarrus obtemos 3

1 1

1 1 0 3 2 0

1 1

b

b b b

b

, ou seja, temos que

determinar as razes de um polinmio do 3 grau.

Para evitarmos este mtodo, vamos usar propriedades para o clculo do determinante.


2.7 2.7 2.5

2

11 1 2 1 1 3 1

1 1 1 1 2 1 1 1

1 1 2 1 2 1 2 1 1

1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1

P P P

cc c c c c cc

b

b b b b b b

b b b b b b

b b b

2.7 2.7 2.8

2 2 1 3 23 3 1

1 1 1 1

2 0 1 1 2 0 1 1 2 1 1

0 1 0 0 0 1

P P P

l l l c cl l l

b b

b b b b b b b b b

b b

A equao a resolver ento:

2 1 1 0 2 1b b b b b (raiz dupla).

EXERCCIOS PROPOSTOS

1. Sem efetuar clculos, diga qual o valor dos seguintes determinantes, indicando as

propriedades utilizadas:

1.1 1

1 2 1

0 0 0

9 7 3

1.2 2

1 0 0

0 2 0

0 0 3

1.3 3

1 0 0

10 2 0

20 30 3

2. Sabendo que

1 2 3

2 1 4 5

0 3 5

, diga, justificando qual o valor dos determinantes:

2.1 1

1 2 6

2 1 8

0 3 10

2.2 2

1 2 3

2 1 4

0 6 10

2.3 3

2 4 6

4 2 8

0 6 10

2.4 4

2 1 3

1 2 4

3 0 5

2.5 5

2 1 4

0 3 5

1 2 3

3. Calcule os seguintes determinantes, utilizando apenas as propriedades:

3.1 1

1 2 5

1 0 2

1 2 3

3.2 2

1 1 0 3

2 1 2 1

2 1 1 1

0 1 3 1

3.3 3

2 1 0 3

0 2 1 4

2 2 1 1

0 1 3 1


3.4 4

4 0 1 3

0 2 2 1

2 2 1 1

0 1 0 1

3.5 5

1 0 0 0 0

2 1 0 0 0

0 2 1 2 0

0 0 2 1 2

0 0 0 2 1

4. Seja

2 2 3

6 0 2

2 1 1

A e

6 3 2

4 4 2

4 4 4

B . Sabendo que 1 10 A e que 2 24 B ,

diga qual o valor de:

4.1 3 A B 4.2 4 B A 4.3 1

5 A 4.4 Bcar

5. Seja

5 0 1 3

2 3 1 1

4 1 2 1

3 3 1 1

.

5.1 Calcule o determinante aplicando propriedades.

5.2 Com base no determinante dado encontre:

5.2.1 um determinante de 5 ordem sem elementos nulos e igual a ;

5.2.2 um determinante de 3 ordem, cujos elementos da 2 linha sejam todos iguais a

1 e igual a 2 .

6. Calcule os seguintes determinantes, utilizando apenas propriedades:

6.1 1

a b c

c a b

b a c

6.2 2

a b c d

a b c d

a b c d

a b c d

7. Decomponha o determinante

2

1 3

2 4

2

x x

x x

x x x

num produto de fatores.


8. Resolva as equaes:

8.1 1

02 1

3 2 1

x x x x

x x x

x x

x

8.2

1 1 1

2 1 0

6 1 11

x x

x x x

x


1. Sabendo que 3 0 2 1

1 1 1

x y z

calcule:

1.1 1 3 3 3 3 2

1 1 1

x y z

x y z

x y z

1.2 2

1 1 1

4 1 3

1 1 1

x y z

Solues:

1.1 1 0 1.2 2 6 1.3 3 6

2.1 1 10 2.2 2 10 2.3 3 40 2.4 4 5 2.5 5 5

3.1 1 4 3.2 2 30 3.3 3 22 3.4 4 22 3.5 5 7

4.1 3 240 4.2 4 240 4.3 51

10 4.4 3Bcar

5.1 33 5.2.1 Por ex.

1 2 4 2 2

5 5 5 1 3

2 2 5 1 1

4 4 3 2 1

3 3 6 1 1

5.2.2 Por ex.

0 10 24

1 1 1

0 5 3 13 5

6.1 1 a b c a b c b 6.2 2 8abcd

7. 1 2 2x x x x

8.1 0 1x x 8.2 5 3 1x x x


2. Decomponha os determinantes seguintes num produto de fatores:

2.1 1

2a a a

a b b a

a c b a

2.2 2

1 2

1 2

1 2

2 1

x y

x y

x y

y x

3. Com base no determinante 1 dado e sem o resolver, encontre um outro determinante 2 ,

apenas com elementos inteiros tal que 2 1k , com k real, e determine o valor de k .

1

2 3 1 6 2

1 2 3 4 1

1 3 4

4. Com base no determinante dado e sem o resolver, encontre um outro determinante de 4

ordem com valor simtrico do dado e apenas com elementos positivos.

2 3 1

1 2 4

4 1 2

5. Sem aplicar a regra de Sarrus nem o teorema de Laplace, mostre que:

2 3 2 2

2

8 4 7 1 4 7

2 4 2 8 2 1 2 2 8

3 2 1 9 3 1 9

x x x x

x x x

x

6. Sem calcular os determinantes 1 e 2 , escreva um outro determinante , de modo que

1 2 :

1

1 2 3 4

1 7 8 9

0 3 2 4

1 6 11 6

2

3 4 2

3 2 4

4 8 2

7. Recorrendo apenas s propriedades dos determinantes, demonstre que constante, sendo

2

2

2

1 0 2

2 4 4 4

3 5 6 5 1

y

y y

y y

.


8. Considere

1 2 1

1 4 3

1 2 1

. Sem calcular , escreva uma matriz A de ordem 4 tal que A

tenha um tero de , com elementos todos negativos e em que os elementos da terceira linha

sejam iguais a -3.

9. Mostre, utilizando propriedades, que 0x raiz da equao:

0

0 0

0

x a x b

x a x c

x b x c

, , ,a b c .

10. Considere o determinante:

1 1 0 1

1 3 1 2

1 3 2 1

1 1 4 0

. Mostre que 1 , aplicando o

teorema de Laplace terceira coluna.

11. Sendo

2 2

2 21

2 2

2

3

4

a a a

b b b

c c c

e

2 2

2 22

2 2

3 4

4 6

5 8

a a a

b b b

c c c

, verifique, sem resolver os determinantes,

que 2 12 .

12. Seja A uma matriz ortogonal, isto , 1 A AT . Mostre que 1 A .


2.5.4 EXERCCIOS DE CONCLUSO DO CAPTULO

1. Seja

1 0 1 1

2 1 1 3

0 1 1 2

1 1 2 1

A = e A .

1.1 Calcule , aplicando propriedades.

1.2 Com base no determinante escreva um determinante ' de 2 ordem que seja o

triplo de e com os elementos da 2 coluna iguais a 1.

2. Aplicando as propriedades dos determinantes, calcule:

1 2 3 4

2 2 3 4

2 3 2 1

2 3 4 1

.

Solues:

1.1 1 1 1.2 2 1

2.1 1 a a b c b 2.2 2 3 1 2 2x y x y x

3. 2

4 1 12

2 3 4

1 3 4

; 24k

4. Por ex:

1 4 4 4

1 2 1 3

1 3 3 7

1 6 2 5

6.

8 9 7

3 2 4

4 8 2

7. 4

8. Por ex:

4 9 1 3 7 9 2 3

3 3 5 7

3 3 3 3

5 3 5 5

A 10. 6 logo 66

11


3. Aplicando as propriedades, prove que

1 2 0 6

5 3 8 2

0 1 2 6

0 0 5 4

mltiplo de 3.

4. Seja

1 1 1

0 2 1

1 0 1

A e A . Com base no determinante escreva um determinante

1 de 4 ordem, que seja igual ao triplo de e sem elementos nulos.

5. Seja 1

1 5 2

3 0 2

0 3 4

e 2

1 1 1

3 0 2

0 3 4

. Com base nos determinantes 1 e 2 e sem

calcular os determinantes, escreva um determinante de 4 ordem tal que: 1 2 .

6. Considere a seguinte matriz:

3

3

3

a b

b a

b a

A , ,a b .

6.1 Calcule A utilizando apenas propriedades.

6.2 Com base na alnea anterior, condicione os valores de a e de b para que a

caracterstica da matriz A seja 3.

7. Seja

1 0 1 1

0 2 1 0

1 1 2 1

3 1 1 0

A e A .

7.1 Calcule aplicando propriedades.

7.2 Com base na alnea anterior e em , escreva um determinante de 3 ordem tal que

2 .

7.3 Utilizando o teorema de Laplace confirme que de facto 2 .


Solues:

1.1 32 1.2 Por ex. 126 1

30 1

2. 20

4. Por ex:

7 2 3 4

1 1 1 1

2 1 1 2

8 1 3 5

5. Por ex.

1 2 3 4

0 0 6 3

0 3 0 2

0 0 3 4

6.1 3 3a b b b a 6.2 3 0 3a b b a b

7.1 15 7.2 Por ex.

4 2 0

1 4 3

1 3 0


CAPTULO 3 SISTEMAS DE EQUAES LINEARES

3.1 DEFINIO E REPRESENTAO MATRICIAL

Sejam , , ,n m i j e ija , 1, , , 1, ,i m j n .

Definio 3.1 [Equao linear]

Chama-se equao linear nas incgnitas 1 2, , , nx x x , a uma equao do tipo

11 1 12 2 1n na x a x a x b (3.1)

onde 11 12 1, , , ,na a a b .

Os nmeros 11 12 1, , , na a a , so chamados coeficientes das incgnitas 1 2, , , nx x x e b o

termo independente da equao linear.

Exemplo 3.1 [Equao linear e no linear]

So lineares as equaes

1 0x ;

1 22 3x x .

No so lineares as equaes

21 0x ;

1 22 3x x .

Definio 3.2 [Soluo da equao linear]

Uma sequncia ordenada de nmeros reais 1 2, , , ns s s uma soluo da equao linear

(3.1) se se verificar 11 1 12 2 1n na s a s a s b .


Exemplo 3.2 [Soluo da equao linear]

A sequncia 1, 2 soluo da equao linear 1 22 0x x pois 2 1 2 0 .

Definio 3.3 [Sistema de equaes lineares]

Um sistemas de equaes lineares, S , com n incgnitas, um conjunto de m equaes

lineares consideradas simultaneamente,

11 1 1 1

21 1 2 2

1 1

n n

n n

m mn n m

a x a x b

a x a x bS

a x a x b

. (3.2)

Temos, ento, um sistema de m equaes lineares a n incgnitas, 1 2, , , nx x x , com

coeficientes ija , 1, , , 1, ,i m j n e com termos independentes ib , 1, ,i m .

O sistema S pode escrever-se na forma matricial como

AX B (3.3)

onde

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

, ,

n

n

m m mn n m

a a a x b

a a a x b

a a a x b

A X B = . (3.4)

A matriz A a matriz do sistema ou matriz dos coeficientes, a matriz X a matriz das

incgnitas e a matriz B a matriz dos termos independentes.

A matriz

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

m m mn m

a a a b

a a a b

a a a b

A A B (3.5)

chama-se matriz completa do sistema.


Exemplo 3.3 [Sistema de equaes lineares na forma matricial]

O sistema

1 2 3 4

1 2 3 4

1 3

1 2 4

1

1

2 0

2

x x x x

x x x x

x x

x x x

, escreve-se na forma matricial como

1

2

3

4

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 0 2 0 0

1 1 0 1 2

x

x

x

x

AX B .

A matriz completa do sistema a matriz

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

1 0 2 0 0

1 1 0 1 2

A = .

Definio 3.4 [Soluo e conjunto soluo do sistema de equaes lineares]

Diz-se que 1 2, , , ns s s uma soluo do sistema de equaes lineares (3.2) se satisfaz

todas as m equaes do sistema em simultneo. O conjunto de todas as solues de um

sistema de equaes lineares denominado conjunto soluo, CS .

Exemplo 3.4 [Soluo de um sistema de equaes lineares]

Dado o sistema 1 2

11 2

2 0

1

x xS

x x

, ento 1

1 2,

3 3s

uma soluo do sistema 1S uma

vez que

1 22 0

3 3

1 21

3 3

.


3.2 CLASSIFICAO DE SISTEMAS

Considere-se o sistema definido na forma matricial AX B .

A classificao de um sistema de equaes lineares com n incgnitas, representado

matricialmente por (3.3), pode fazer-se da seguinte forma

Tabela 3.1 Classificao de sistemas.

Sistema de

Equaes Lineares

AX B

Possvel

(tem pelo menos

uma soluo)

Determinado

SPD

(tem uma nica

soluo)

car car n

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Sebenta ALGAN 2015-2016