Scomposizione in fattori dei polinomi · Trinomio speciale 4. ... del polinomio che vogliamo scomporre presentano un fattore ... discende direttamente dal teorema del resto che abbiamo

Scomposizione in fattori dei polinomi

Scomporre in fattori un polinomio significa esprimere quel polinomio come prodotto di altri polinomi di grado inferiore ad esso.

Questo procedimento può essere visto come l'inverso della moltiplicazione fra polinomi.

Esempio:

Infatti, svolgendo la moltiplicazione al secondo membro ottengo il polinomio di partenza:

x2−x=x⋅(x−1)

x⋅(x−1)=x2−x

Polinomi riducibili e irriducibili

Osserviamo che non tutti i polinomi possono essere scomposti in fattori. Si chiamano polinomi riducibili quelli che possono essere scomposti in fattori, mentre si chiamano polinomi irriducibili quelli che non possono essere scomposti in fattori.

POLINOMI

RIDUCIBILI(possono essere scomposti in fattori)

IRRIDUCIBILI(non possono essere scomposti in fattori)

Polinomi irriducibili

Osservazione importante:

In generale non è semplice capire quando un polinomio è irriducibile. Possiamo però facilmente intuire che tutti i polinomi di primo grado sono irriducibili; in particolare sono irriducibili tutti i polinomi della forma:

dove k rappresenta un qualsiasi numero reale (positivo, negativo o nullo).

Esempi:

(x+k )

x+1 x−2 x+ 13

x

Metodi di scomposizione in fattori

Esistono diversi metodi per scomporre in fattori un polinomio. In alcuni casi occorre applicare più di un metodo per riuscire a scomporre in fattori uno stesso polinomio. Elenchiamo di seguito questi metodi:

1. Raccoglimento totale

2. Raccoglimento parziale e raccoglimento totale

3. Trinomio speciale

4. Metodo basato sui prodotti notevoli

5. Metodo basato sul teorema di Ruffini

Metodo 1: raccoglimento totale

Il raccoglimento totale si può applicare quando tutti i termini del polinomio che vogliamo scomporre presentano un fattore comune: questo fattore comune può così essere raccolto o messo in evidenza. Questo procedimento è basato sulla proprietà distributiva della moltiplicazione:

Immaginiamo ora di applicare questa uguaglianza all'inverso:

Il fattore comune A è stato raccolto o messo in evidenza. Questo modo di procedere può essere applicato per scomporre in fattori dei polinomi, come mostrano gli esempi successivi.

A⋅(B+C)=A⋅B+A⋅C

A⋅B+A⋅C=A⋅(B+C)


Esempio 1:

NB: per verificare se la scomposizione è corretta basta eseguire la moltiplicazione e vedere se si ottiene il polinomio di partenza:

PROVA:

Esempio 2:

PROVA:

ax+2ay=a⋅(x+2 y)

a⋅(x+2 y)=ax+2 ay

2 x2−x=2 xx−x=x⋅(2 x−1)

x⋅(2 x−1)=2 x2−x


Esempio 3:

Osservazione: quando raccogliamo il fattore comune dobbiamo scrivere all'interno della parentesi che segue tutti i monomi del polinomio di partenza divisi per il fattore comune.

Esempio 4:

NB: in quest'ultimo caso il fattore comune è a sua volta un polinomio!

12a3−6 a2 b+9 ab=3a⋅(4 a2−2a b+3 b)

2a⋅(x−3 y)+5⋅(x−3 y)=(x−3 y)⋅(2a+5)

Metodo 2: raccoglimento parziale e totale

Consideriamo il seguente esempio:

Nel primo passaggio abbiamo effettuato un raccoglimento del fattore 3x tra i primi due termini e del fattore y fra il terzo e il quarto termine (questo procedimento si chiama raccoglimento parziale). Nel secondo passaggio abbiamo raccolto il fattore comune (a+b) mediante un raccoglimento totale.

3 ax+3 bx+ay+by=3 x⋅(a+b)+y⋅(a+b)=(a+b)⋅(3 x+y)

fattore comune:3x

fattore comune:y

fattore comune:a+b


In generale, il metodo del raccoglimento parziale e totale (detto per semplicità raccoglimento parziale) può consentire di scomporre un polinomio mediante un raccoglimento parziale e un successivo raccoglimento totale; questo metodo ha successo solo se dopo il raccoglimento parziale si forma un fattore comune che può essere messo in evidenza col raccoglimento totale (vedi esempio precedente).


Esercizi:

1)

2)

3)

4)

ax−a−2 bx+2 b

4 ax−4 bx+ay2−by2

ay−6 a−y+6

x3+x2+3 x+3

Metodo 3: trinomio speciale

Esempio: Consideriamo il seguente polinomio:

Si tratta di un trinomio di 2° grado con le seguenti caratteristiche:

1. il coefficiente del termine di 2° grado è 1;

2. il coefficiente del termine di 1° grado (5) è dato dalla somma dei due numeri 3 e 2 e il termine noto (6) è dato dal prodotto degli stessi due numeri precedenti 3 e 2.

Tale trinomio viene detto speciale e può essere facilmente scomposto in fattori come mostrano i seguenti passaggi:

x2+5 x+6

x2+5 x+6=x2+(2+3)x+2⋅3=x2+2 x+3 x+2⋅3==x⋅(x+2)+3⋅(x+2)=(x+2)⋅(x+3)


In generale possiamo indicare un trinomio speciale in questo modo:

con:

Allora, ripetendo il procedimento dell'esempio precedente si avrà:

Quindi abbiamo trovato una relazione per scomporre un trinomio speciale in fattori:

x2+sx+p

x2+sx+p=x2+(x1+x2)x+x1⋅x2==x2+x1⋅x+x2⋅x+x1⋅x2==x⋅(x+x1)+x2⋅(x+x1)==(x+x1)⋅(x+x2)

s=x1+x2 p=x1⋅x2

x2+sx+p=(x+x1)⋅(x+x2)


Esercizio svolto:

Cerchiamo due numeri interi x1 e x

2 tali che la loro somma dia -8 e il

loro prodotto dia 15; conviene iniziare a cercare due numeri il cui prodotto sia 15:

Fra tutte queste coppie cerchiamo quella la cui somma dia -8; è la coppia dell'ultima colonna. Quindi i valori cercati sono:

A questo punto procediamo come nell'esempio precedente:

x2−8 x+15

x1 +1 -1 +3 -3

x2 +15 -15 +5 -5

x2−8 x+15=x2+(−3−5)x+(−3)⋅(−5)==x2−3 x−5 x+(−3)⋅(−5)=

=x⋅(x−3)−5⋅(x−3)=(x−3)⋅(x−5)


(continuazione esempio slide precedente)

Esercizi:

1.

2.

3.

4.

NB: nell’esercizio 4 occorre fare prima un raccoglimento totale epoi scomporre ulteriormente uno dei due fattori come trinomio speciale

x2+4 x−5

x2+9 x+14

x2−x−12

3 x3+9 x2−30 x

Metodo 4: scomposizionemediante prodotti notevoli

Consideriamo le formule dei prodotti notevoli che abbiamo già avuto modo di studiare:

1.

2.

3.

4.

5.

(A+B)2=A2+2 AB+B2

(A−B)2=A2−2 AB+B2

(A+B)(A−B)=A2−B2

(A+B)3=A3+3 A2 B+3 AB2+A3

(A−B)3=A3−3 A2 B+3 AB2−A3


Se consideriamo le uguaglianze in senso inverso esse costituiscono delle utili regole per scomporre in fattori i polinomi:

1.

2.

3.

4.

5.

A2+2 AB+B2=(A+B)2

A2−2 AB+B2=(A−B)2

A2−B2=(A+B)(A−B)

A3+3 A2 B+3 AB2+A3=(A+B)3

A3−3 A2 B+3 AB2−A3=(A−B)3


Esempio svolto 1:

Esempio svolto 2:

Esempio svolto 3:

4 x2−y2=(2 x)2−(y)2=(2 x+y)(2 x−y)

a2 b4−6 ab2+9=(ab2)2−2(ab2)(3)+(3)2=(ab2−3)2

8 x3+12 x2 y2+6 xy4+y6=(2x)3+3(2 x)2(y2)+3(2 x)(y2)2+(y2)3==(2 x+y2)3


Esercizi:

1.

2.

3.

4.

4 a2+28 a+49

16 a4−1

8 a3−12a2 b+6 ab2−b3

9 x2−30 x+25

Metodo 5: scomposizionebasata sul teorema di Ruffini

Il metodo di scomposizione che stiamo per affrontare si può applicare a polinomi di grado qualsiasi in una sola variabile (di solito indicata con la lettera x). Questo metodo si basa sulla divisibilità del polinomio che vogliamo scomporre – che indichiamo con P(x) – con un binomio della forma (x – k); k rappresenta un numero di cui parleremo più avanti. Se il polinomio P(x) è divisibile per (x – k), eseguendo la divisione si ottiene un polinomio quoziente Q(x) e un resto nullo; allora risulta:

P(x) = Q(x)∙(x – k)

In questo modo abbiamo ottenuto una scomposizione in fattori del nostro polinomio P(x).


Il problema principale è trovare il divisore della forma (x – k) cioè trovare il giusto valore del numero k. Una volta trovato questo divisore, basta eseguire la divisione fra P(x) e lo stesso divisore per ricavare il quoziente Q(x) e scrivere , finalmente, la scomposizione in fattori:

P(x) = Q(x)∙(x – k)

Sintesi dei passi da seguire:● PASSO 1. Cerco un divisore della forma (x – k)● PASSO 2. Eseguo la divisione P(x):(x – k) e ricavo Q(x)● PASSO 3. Scrivo la scomposizione P(x) = Q(x)∙(x – k)


Il PASSO 1 è quello più delicato. Per stabilire se il nostro polinomio P(x) è divisibile per (x – k) si deve fare ricorso a un importante teorema, detto teorema di Ruffini, che discende direttamente dal teorema del resto che abbiamo già avuto modo di studiare. Il teorema di Ruffini afferma che:

P(x) è divisibile per (x – k) se e solo se P(k) = 0

Con k indichiamo l’opposto del termine noto del divisore e con P(k) indichiamo il valore che assume il polinomio P(x) quando sostituiamo alla x il valore k, cioè quando x = k.


Il teorema di Ruffini ci dà una importante indicazione per trovare il numero k: esso deve essere un numero che annulla il polinomio P(x); in altre parole, esso deve essere una radice del polinomio. Trovare un tale numero non è però facile; inoltre, molti polinomi non si annullano per nessun valore della x e per essi questo metodo di scomposizione non si può pertanto applicare. Per cercare una radice del polinomio (il giusto valore di k) utilizzeremo la seguente regola:

Una radice intera di un polinomio, se esiste, è un divisore del suo termine noto.


Questa regola mi suggerisce che devo cercare la radice del polinomio fra i divisori del suo termine noto. Quindi devo individuare tutti i divisori del termine noto e provare a vedere se qualcuno di essi annulla il mio polinomio sostituendo il valore al posto della x; se trovo questo valore allora lo assegno a k e posso proseguire con il PASSO 2; se non trovo nessun valore che annulla il polinomio devo abbandonare questo metodo di scomposizione.


ESEMPIO GUIDATO:Vogliamo scomporre in fattori il seguente polinomio:

1o passo.Scriviamo tutti i divisori del termine noto del polinomio:

divisori di (– 6): ±1, ±2, ±3, ±6;

Sostituiamo questi valori al posto della x per vedere se qualcuno di essi annulla il polinomio:

P(x)=x3−2 x2+3 x−6


ESEMPIO GUIDATO (continuazione):

Abbiamo trovato un valore che annulla il polinomio: x = 2.Allora, in base al teorema di Ruffini, il polinomio è divisibile per (x – 2).

P(1)=(1)3−2(1)2+3(1)−6=1−2+3−6=−4≠0

P(−1)=(−1)3−2(−1)2+3(−1)−6=−1−2−3−6==−12≠0

P(2)=(2)3−2(2)2+3(2)−6=8−8+6−6=0 OK



2o passo.Eseguo la divisione P(x):(x – 2). Posso usare la regola di Ruffini visto che il divisore ha la forma giusta!



3o passo.Una volta ricavati il divisore e il quoziente non mi resta che scrivere la scomposizione in fattori del mio polinomio:

x3−2 x2+3 x−6=(x2+3)⋅(x−2)

Esercizi:

1.

2.

3.

4.

x3−x2−5 x−3


2 x2+x−3

[(x−3)(x+1)2 ]

[(x2−x+2)(x+2)]

[(2 x+3)(x−1)]

x3+x2+4

x3−3 x2+x−3 [(x+3)(x+1)(x−1)]

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