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Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 13/11/01
Applicando il teorema cinematico dell’ analisi limite,determinare il carico di collasso Ps al variare del parametropositivo γ.
2/ p F L
ϑ 02πϑ< <
Comportamento el. pl. Von Mises
Applicando il Th. cinematico,determinare la migliore stima delcarico di collasso nella classe dimeccanismi assegnati
Domini di interazione N - M per travi elasto-plastiche.Definizione, proprietà, esempio.
2�
�
γ P
2�
P
0
0 costante
γ >M2�
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 8/01/02
�
2kk
p
Elementi finiti isoparametrici
Applicare il metodo diRitz per lo studio dellatrave di Timoshenkoin figura.
p
k� �
�
�
A
•Calcolare lospostamento delnodo A facendo usodi elementi CST
• ν = 0
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 25/01/02
A
P
k
�
32�
�
• ν = 0•1 EF CST1 EF a 4 nodi
Determinare lospostamentoverticale delpunto A
� �
�
�
p�
p Per la struttura infigura determinare ilvalore del carico dicollasso o una suaragionevoledelimitazione
Flessione elasto-plastica di travi
60°
324
k E=i
P
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 07/02/02
� �
� p
k�
1
1
�4EI
�2EI
�26EI
�312EI
�26EI
�26EI
�26EI
�312EI
A1
A2
A1
A2
σ2 L
σ−2 L
σ L
σ
σ
ε
ε
Impostare la soluzione del telaio in figura usando tre elementifiniti di trave di Eulero Bernoulli nell’ipotesi di aste inestensibili.
Determinare il diagramma di interazione M-N per lasezione in figura
Metodo misto per la determinazione di una delimitazionebilaterale del moltiplicatore di carico a collasso
=�
36EIk
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 21/02/02
Th. EPT, ECT: enunciati ed utilizzo nell’analisi strutturale
γ >0
0costanteM
Applicando il teoremacinematico dell’ analisilimite, determinare ilcarico di collasso Ps alvariare del parametropositivo γ.
�
2
�
γP
�
2
P
� 2
b b
b
b
pmax
p(x)
1 2
34
yx Determinare il vettore
dei carichi equivalentinodali per l’elementofinito in figura.
p(x) parabolico
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 15/04/02
A1 σ2 L
σ−2 L
σ
b
b
Th. Statico dell’analisi limite.Ipotesi, enunciato, dimostrazione, esempio.Soluzione mediante programmazione matematica.
Determinare il diagramma di interazione M-N per la sezione in figura
A2ε
b
Area b2
A1σ
A2σ L
ε
p
k2p
3
2
16
EA GA
EI GA
GAk
∗
∗
∗
=
=
=
Impostare la soluzione del telaio in figura usando due elementi finiti di trave di Timoshenko.
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 18/06/02
• g carico permanente
• P carico accidentale
• M0 costante
• Applicando il teorema cinematico determinare il meccanismo di collasso e il valore del carico a collasso al variare della posizione xpdel carico P
• Si assuma:
xp
4 4
3
5
βP [F]g [F/L]
α= = =0p2
M 60 ; P g ; x 4 ;g 11
Assemblare il sistema risolvente della struttura in figura utilizzando 3 elementi finiti CST.
Sul retro è riportata la matrice di rigidezza di un generico CST.
Problema piano negli sforzi
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
____
___
Sci
enza
del
le C
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ni 2
21
0DWULFH
�GL�ULJLGH]
]D�SHU�HOHPHQ
WR�&
67
() (
)(
)(
)(
)(
)(
)(
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)(
)(
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)(
)(
)(
)
+++
++
++
++
++
++
++
++
++
++
=
2 333
2 311
33
333
312
2 333
2 311
32
333
211
32
332
312
2 233
2 211
32
333
212
32
333
211
22
332
212
2 233
2 211
31
333
111
31
333
112
21
332
111
21
332
112
2 133
2 111
31
333
112
31
333
111
12
332
112
21
332
111
11
331
112
2 133
2 111
4
EG
FG
FE
GF
EG
FG
EG
VLPP
EE
GF
FG
FE
GF
EG
EG
FG
EF
GF
EG
FF
GE
EG
FE
GF
EG
FG
EG
EE
GF
FG
FE
GE
FG
EE
GF
FG
FE
GE
FG
EG
FG
EF
GF
EG
FF
GE
EG
FE
GF
EG
FF
GE
EG
FE
GF
EG
FG
EG
$W
.
.
()
()
()
()
()
()
1 12 1
33 1
1 12
2 13 1
1
2 21 2
31 2
3 22
3 22 2
1
[[
F[
[F
[[
F
[[
E[
[E
[[
E
−=
−=
−=
−=
−=
−=
(
)(
)(
) ∗+
=∗
−=
∗−
=∗
∗∗
∗
ννν
ν1
21
133
212
211
(G
(G
(G
,,
X1
X2
U4
U1
U2
U6
U3
U5
1
23
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 04/07/02
• g carico permanente
• P carico accidentale
• M0 costante
• β > 0
• Applicando il teorema cinematico determinare il meccanismo di collasso e il valore del carico a collasso al variare del valore del momento M0 α= =2
0M g ; P g ;
Risolvere il telaio in figura usando elementi finiti di trave di Eulero-Bernoulli nell’ipotesi di aste inestensibili.
= 3k 6EI
Introduzione al legame costitutivo elasto-plastico
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 18/07/02
Determinare il diagramma di interazione M-N per la sezione in figura
Risolvere il problema piano in figura utilizzando 2 elementi finiti CST (ν=0)
Il teorema cinematico del calcolo a rottura: enunciato, dimostrazione, esempio
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 10/09/02
• M0 costante
• β > 0
•
• Applicando il teorema cinematico determinare il meccanismo di collasso e il valore del carico a collasso al variare dell’angolo α.
α π≤ ≤0 2
Problemi a potenziale risolti mediante elementi finiti
Risolvere il telaio in figura usando elementi finiti di trave di Eulero-Bernoulli nell’ipotesi di aste inestensibili.
= =3 2k 3EI ; W 2p
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 12/11/02
γ≤ ≤0 1• M0 costante
•
a) Per g = 1/2: scelto un meccanismo lecito, determinare una delimitazione bilaterale del moltiplicatore di collasso applicando il metodo misto.
b) Applicando il teorema cinematico determinare il meccanismo di collasso e il valore del carico a collasso al variare del parametro g.
Calcolare il fattore di forma a della sezione in figura al variare del parametro g tra 0 e 1.Quanto vale a per gÆ1?
Problemi elastici piani nelle tensioni e nelle deformazioni
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 07/01/03
Utilizzando un EF quadrato a 4 nodi, discutere la soluzione al variare di r.
• Problema piano nelle tensioni
• Molla estensionale
• Cedimento[ [= ∈ +∞k rE 8, r 0,
ν= =t 1 , 1 3
µ = 8 p E
Risolvere la struttura in figura facendo uso di EF di trave di Eulero-Bernoulli
• aste inestensibili
• molla rotazionale
=h EI
Illustrare la procedura di creazione della matrice di rigidezza globale all’interno di un codice di calcolo ad Elementi Finiti per problemi piani con EF triangolari a deformazione costante
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 23/01/03
p
kA
p•Calcolare lo spostamento del nodo A facendo uso di elementi CST
• ν = 0
• k = ¾ E
•Per la struttura in figura determinare il valore del carico di collasso o una sua ragionevole delimitazione.
•Eseguire il calcolo per due meccanismi distinti.
• M0 costante
• g carico permanente2= 0g 2M
Elementi finiti isoparametrici
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 4/02/03
Risolvere il telaio in figura usando 3 EF di trave di Eulero-Bernoulli
• asta BD estensibile
• aste AB, BC inestensibili
• ϕ = =3
225 p I; A 4 ;9 EI
A1
A2 σ2 L
σ−2 L
σ− L
σ
σ
ε
ε
b b b
A1
A2
2b
b
Determinare il diagramma di interazione M-N per la sezione in figura
Lineamenti generali del metodo degli elementi di contorno
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 17/02/03
Risolvere il problema piano in figura sfruttando la simmetria del sistema
•
•
=A 2 t
=t 1
Calcolare il diagramma di interazione M-N per la sezione in figura
Teorema cinematico del calcolo a rottura: enunciato, dimostrazione, esempi.
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 18/02/03
Determinare il meccanismo e il moltiplicatore di collasso per la struttura in figura utilizzando il metodo cinematico
Risolvere il problema piano in figura sfruttando la simmetria del sistema
• n=0
• k=E/4
Comportamento elasto-plastico dei materiali
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 15/04/03
Sfruttando le simmetrie del problema, risolvere la struttura in figura facendo uso di elementi finiti piani CST (n=0)
Calcolare il diagramma di interazione M-N per la sezione in figura
Il teorema statico del calcolo a rottura: enunciato, dimostrazione
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 16/06/03
Applicando il metodo misto, calcolare il moltiplicatore di collasso od una sua ragionevole delimitazione.
Risolvere la struttura dell’esercizio 1 utilizzando EF di trave di Eulero-Bernoulli nell’ipotesi di aste assialmente rigide
Problemi a potenziale risolti mediante elementi finiti
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 30/06/03
Calcolare il diagramma di interazione M-N per la sezione in figura
Risolvere il problema piano in figura facendo uso di due EF CST (n=0)
Procedimento di analisi per sottostrutture
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 23/07/03
• Calcolare lo spostamento verticale del punto A facendo uso di EF piani
• Calcolare l’E.P.T. e l’energia elastica in soluzione
• Commentare i risultati
Per almeno due delle tre meshindicate in figura:
Calcolare il diagramma di interazione M-N per la sezione in figura
Teorema cinematico del calcolo a rottura
Scienza delle Costruzioni IIProva scritta del 19/09/03
Applicando il teorema cinematico del calcolo a rottura determinare il meccanismo di collasso e il valore del carico a collasso al variare del parametro g.
γ≤ ≤0 1• M0 costante
•
Calcolare matrice di rigidezza e vettore dei termini noti per lastruttura in figura facendo uso di EF di Eulero-Bernoulli nell’ipotesi di aste estensibili.
Modello di trave di Timoshenko: formulazione della teoria e del relativo elemento finito