Scienza Delle Costruzioni - 02 - Cinematica E Statica

2-1

CAPITOLO 2

CINEMATICA E STATICA DEL CORPO RIGIDO

2.1. Spostamenti rigidi piani

Alcuni dei problemi evidenziati nel precedente capitolo possono essere trattaticonsiderando il corpo come rigido, ovvero suscettibile di soli spostamenti e moti rigidi.Tale ipotesi operativa, che consente di risolvere in termini di reazioni vincolari alcunisemplici sistema, ha soprattutto il pregio di stabilire due criteri complementari divalutazione dell’efficacia della disposizione dei vincoli. Un aspetto fondamentale per lasicurezza strutturale.

Si definisce spostamento rigido o deformazione rigida (figura 2.1) la variazione diconfigurazione che lascia invariata la distanza tra una qualunque coppia di punti P0 e Q0

nella configurazione B0 che si spostano nella configurazione B assumendo le posizioni P eQ:

=−=− 00 PQPQ . (2.1)

P

Q

P0

0Q

e 2

Oe1

B0

0

B

2-2

Fig. 2.1. Spostamento rigido piano.

Si può dimostrare che lo spostamento è rigido se e solo se la funzione di deformazione èrappresentabile nella forma:

+

=+=1

1

2221

1211

2

1

pp

rrrr

uu

pRu)p(xt

tt , (2.2)

essendo tu un vettore, R una matrice ortogonale di rotazione, ovvero caratterizzata dalla

proprietà R R I , det R 1T = = . Lo spostamento risulta di conseguenza

ppRu)p(u −+= t . (2.3)

Tale rappresentazione evidenzia che lo spostamento rigido può essere decomposto in duecontributi, rotazione rigida u (p)r e traslazione rigida u t :

u(p)=u +u (p) , u (p)=Rp-pt r r . (2.4)

In figura 2.2 è riportata la decomposizione dello spostamento rigido dalla configurazioneB0 alla configurazione B mediante rotazione attorno al centro O (B0→B’) e successivatraslazione rigida (B’→B).

P

P0

u(p,t)p

u (t)t

_

_p

Rp__

O

e 2

1e B0

B

B '

'

Fig. 2.2. Decomposizione dello spostamento rigido in rotazionerigida con centro O (B0→B’) e traslazione rigida (B0→B’).

L'interpretazione geometrica dell'equazione che esprime lo spostamento ru delpunto P0 dovuto alla rotazione rigida attorno al centro O è fornita dalla figura 2.3. Siconsidera la rotazione rigida ϕ del segmento di lunghezza rappresentato dal vettore

O)(Pp 0 −= che lo porta a sovrapporsi al vettore pRO)(P''x =−= anch'esso di

2-3

lunghezza .

p___ _

αϕ

_u (p,t)

P0

_r2

1

O

e 2

1e

B '

p'x'

x'

B0x '=

Rp

Fig. 2.3. Rotazione rigida con centro O (B0→B’).

I vettori p e x vengono espressi in componenti mediante gli angoli α e ϕ che nemisurano l'inclinazione rispetto al versore e1:

αα

=

=sincos

pp

p2

1 ,

α+ϕα+ϕ

=

=)sin()cos(

x'x'

)p('x2

1 (2.5)

Si può quindi esprimere la seguente relazione:

ϕϕϕ−ϕ

=

αϕ+αϕαϕ−αϕ

=

=1

1

2

1

pp

cossinsincos

sincoscossinsinsincoscos

x'x'

)p('x , (2.6)

che consente di definire la matrice di rotazione piana:

ϕϕϕ−ϕ

=ϕcossinsincos

)(R . (2.7)

Tale matrice è ortogonale e quindi caratterizzata dalle seguenti proprietà:

R R=I , det R 1T = . (2.8)

Si può quindi porre:

x'=Rp , u'=Rp - p . (2.9)

Infine, la traslazione rigida ut è rappresentata in figura 2.4Si può osservare che la precedente descrizione, ottenuta considerando la rotazione

attorno ad un centro particolare O, può essere generalizzata.

2-4

P

O

u (t)t_

u (t)t__

O

e 2

1e

'p

x'

'

Fig. 2.4. Traslazione rigida (B0→B’).

Il moto rigido può essere descritto in termini di sovrapposizione di una traslazione rigidaalla rotazione rigida attorno ad un centro generico C la cui posizione può essere descrittadal vettore O)(Cc −= descritto in forma vettoriale { }1 2c= c c T . Infatti, se si aggiunge esi sottrae il vettore )ccR( − all'espressione dello spostamento, si ottiene:

)cp()cp(R)ccRu(ppRu)p(u t −−−+−+=−+= t , (2.10)

e, osservando che per la (2.10) risulta u u Rc-cc t= + e che per definizione di matrice Iidentica di ordine 2 vale p-c=I(p-c) , lo spostamento di un generico punto p vieneespressa come:

[ ] )cp(IRu)p(u −−+= c , (2.11)

in forma estesa:

−−

−ϕϕϕ−−ϕ

+

=

11

11

2

1

212

211

cpcp

1cossinsin1cos

uu

)p,(pu)p,(pu

c

c , (2.12)

che evidenzia come lo spostamento di un generico punto dipenda dalle componenti dispostamento del punto C e dalla rotazione rigida ϕ, oltre che dal vettore )cp( − . Il corporigido è quindi caratterizzato da tre gradi di libertà descritti complessivamente dal vettore:

ϕ= 2

1

uu

d c

c

.

Poiché in genere interessa analizzare il corpo in presenza di spostamenti e rotazionipiccole, si confonde nel seguito ϕ≈ϕsin , 1cos ≈ϕ , . L'equazione (2.12) assume la forma:

2-5

−−

ϕ

ϕ−+

=

11

11

2

1

212

211

cpcp

00

uu

)p,(pu)p,(pu

c

c , (2.13)

Introducendo la matrice W delle piccole rotazioni:

ϕ

ϕ−=

00

W , (2.14)

si può esprimere il contributo allo spostamento )p(u del generico punto dovuto alla

rotazione ϕ come ( )u (p)=W p-cr ; tale spostamento risulta normale al vettore )cp( − ,

come illustrato in figura 2.x. Infatti, posto a=p-c , la proiezione del vettore u (p)=War sulvettore a è espressa mediante il prodotto scalare:

0aWauauaua 2211 ===+ Tr

Trr , (2.15)

che essendo nullo dimostra quanto affermato.

C

_pO

c_ P0

ϕ_a

aW)cp(Wu =−=r

Fig. 2.5. Ortogonalità del vettore ur al vettore )cp( − .

In definitiva, lo spostamento del generico punto è costituito da un contributo checorrisponde allo spostamento del punto C e da un contributo associato alla rotazione che èortogonale al vettore (P0-O), come illustrato in figura 2.6.

Nell'analisi che segue risulta conveniente esprimere lo spostamento del puntogenerico p in termini dei tre gradi di libertà del corpo rigido. Sviluppando l'equazione(2.X) si ottiene:

d)cp(Suu

)c(p10)c(p01

)p(u 1

1

11

22 ,c

c

=

ϕ

−−−

= , (2.16)

Si può osservare che se si considerano moti rigidi con 0=ϕ , tale relazione fornisce

1 1 2 2u u , u uc c= = , mentre se si pone 1 2u u 0c c= = le componenti di spostamento sonoquelle descritte in figura 2.7.

2-6

C

c_V

C

r

P0P0

O

e 2

1e

2e

Oe1

ϕ

V_

Fig. 2.6. Piccoli spostamenti del corpo rigido:traslazione, rotazione attorno al punto C.

C ϕ

u = −ϕ (p − c )1 1

p − c2 2

P0

p − c1 1

22u = −ϕ (p − c )

O

e 2

1e c1 p1

2c

2p r1

r2

Fig. 2.7. Piccoli spostamenti del corpo rigido:rotazione attorno al punto C.

2-7

2.2. Analisi cinematica del corpo rigido vincolato

Si considera il problema dell'efficacia cinematica dei vincoli applicati ad un corporigido. Tale problema ha notevole rilevanza sul piano operativo, sia in fase progettuale, siache si debba esprimere un giudizio sulla sicurezza di una costruzione. Infatti, se si assimilaun sistema strutturale o un elemento strutturale ad un corpo rigido, è necessario disporreopportunamente i vincoli, sia in numero che in posizione ed orientamento, in modo daprevenire moti rigidi che non sono ammissibili per la sicurezza e la funzionalità dellacostruzione. E' necessario individuare una metodologia operativa che consenta diesprimere un giudizio obiettivo, che si traduce matematicamente nell'impossibilità dispostamenti rigidi, ovvero con l'annullarsi di tutte le componenti di spostamento rigidod=0 . In definitiva, si può esprimere il problema dell'analisi cinematica piana del corporigido:Dato un corpo rigido suscettibile di moti piani, verificare se i vincoli assegnati alcorpo sono sufficienti ad escludere piccoli spostamenti e quindi idonei a definireun'unica configurazione.

Per evidenziare il problema si consideri un corpo rigido rettangolare suscettibile dimoti piani, rappresentativo di una trave. In figura 2.8 sono rappresentate due modalità divincolo costituita da tre vincoli semplici, in numero pari ai gradi di libertà di corpo rigido.Come si vedrà in seguito solo lo schema di vincolo (a) è in grado di impedire spostamentirigidi, mentre lo schema di vincolo (b) non è efficace.

(a) (b)ζ_1

3ζ_2ζ_2ζ_1ζ_

_3ζ

Fig. 2.8. Possibili schemi di vincolo per un corporigido.

Si consideri un corpo rigido suscettibile di moti piani (figura 2.9), soggetto a mvincoli semplici. Si indichi con v il generico vincolo semplice, individuato dalla posizione:

1

2

pp

p

vv

v

=

,

e definito mediante il versore che denota la direzione efficace del vincolo:

2-8

ζζ=ζ v

vv

2

1 .

Cϕ

1

ζ1_

2ζ_ 3ζ_ rζ_

mζ_

cu

u

c

c

1

2

c_

O

e 2

1e

0B∂B0

2

1c

Fig. 2.9. Il corpo rigido vincolato..

La condizione di vincolo perfetto del v-esimo vincolo semplice si esprime come:

0)p(uu =ζ= vvTv , (2.17)

e ricordando la (2.16) diviene:

{ } 0uu

)c(p10)c(p01u 2

1

11

2221 =

ϕ

−−−ζζ= c

c

v

vvv

v . (2.18)

Sviluppando il prodotto matriciale tra i primi due fattori si ottiene l'equazione del v-esimovincolo:

{ } 0uu

)c(p)c(p 2

1

11222121 =

ϕ−ζ+−ζ−ζζ c

cvvvvvv . (2.19)

Esprimendo tale equazione per tutti gli m vincoli semplici, si ottiene il sistema di mequazioni lineari omogenee, nelle tre incognite componenti del vettore d :

2-9

=

ϕ

−ζ+−ζ−ζζ

−ζ+−ζ−ζζ

−ζ+−ζ−ζζ

=

=

0

0

0

uu

)c(p)c(p

)c(p)c(p

)c(p)c(p1

2

1

11222121

11222121

111

122

12

11

12

11

c

c

mmmmmm

vvvvvv

mv

v

v

. (2.20)

Posta A la matrice dei coefficienti, di m righe e 3 colonne, si procede a verificarel'efficacia dei vincoli in quanto capaci di garantire l'annullarsi delle componenti dispostamento rigido 0d = , incognite del problema lineare. Essendo il sistema di equazioniomogenee si osserva che:

(a) Condizione necessaria per escludere spostamenti rigidi è che 3m ≥ .

(b) Se la condizione necessaria è soddisfatta possono verificarsi diverse condizioni dirisolubilità del sistema a seconda del rango )A(ρ della matrice dei coefficienti Asecondo quanto enunciato dal teorema di Rouché- Capelli:

(b.1) ⇒=ρ= 3)A(m la soluzione esiste, è unica ed è quella banale 0d = epertanto i vincoli sono efficaci ad impedire spostamenti rigidi. Il corpo ècinematicamente isodeterminato.

(b.2) ⇒<ρ 3)A( la soluzione esiste, non è unica ed è indeterminata, ovvero nonnulla )0d( ≠ , e pertanto i vincoli non sono efficaci ad impedire spostamentirigidi. Il corpo è cinematicamente indeterminato o labile. Il corpo presenta

)A(3 ρ− gradi di libertà che devono essere soppressi.

(b.3) ⇒>=ρ 3,3)A( m la soluzione esiste, è unica ed è quella banale 0d = epertanto i vincoli sono efficaci ad impedire spostamenti rigidi. Poiché il numerodi vincoli semplici è maggiore dei gradi di libertà di corpo rigido si definiscecorpo cinematicamente iperdeterminato con grado di iperdeterminazione

)3( −m .

Di seguito sono riportati alcuni esempi applicativi di tale metodologia.

Esempio (1) Assegnato il corpo rigido di forma rettangolare di lati e h , discuterel'efficacia dei vincoli applicati e classificare cinematicamente il sistema.

2-10

ζ_1 3ζ_

2ζ_

C u

ϕ u

h

c2

c1

Si assume l'origine O ed il sistema di assi )x,(x 21 riportati in figura. Si assume il centro Cdi componenti { }h0c = . I vincoli semplici sono definiti come:

=

=ζ

=

=ζ

=

=ζ0

p,10

,0

p,01

,00

p,10 332211 ,

Pertanto il sistema di equazioni risulta:

321=v

⇒=

ϕ

0u

u

10h01010

2

1

c

c

0u30hu2

0u1

2

1

2

=ϕ+=ϕ+

=

c

c

c

)))

In questo caso si verifica che ⇒==ρ m3)A( (b.1) il corpo è cinematicamenteisodeterminato ( 0d = ).



=

=ζ

=

=ζ

=

=ζ0

p,10

,0

p,01

,00

p,01 332211 ,

2-11

ζ_1 3ζ_2ζ_

C

h


⇒=

ϕ

0uu

10

h01h01

2

1

c

c

0u30hu20hu1

2

1

1

=ϕ+

=ϕ+=ϕ+

c

c

c

)))

In questo caso si verifica che ⇒<=Αρ 32)( (b.2) il corpo è cinematicamenteindeterminato o labile e presenta 13)Α( =−ρ gradi di libertà che devono essere soppressi.Infatti i vincoli 1 e 2 comportano la stessa equazione di vincolo che non consente diannullare la rotazione rigida attorno al punto di coordinate ( ,0).



=

=ζ

=

=ζ

=

=ζ

=

=ζ00

p,10

0p,

10

,0

p,01

,00

p,01 44332211 .

ζ_1 3ζ_2ζ_

C

ζ_4 h


2-12

⇒=

ϕ

0uu

01010

h01

h01

2

1

c

c

0u40u30hu20hu1

2

2

1

1

==ϕ+=ϕ+=ϕ+

c

c

c

c

))))

In questo caso si verifica che ⇒=ρ= 3)Α(4 ,m (b.3) il corpo è cinematicamenteiperdeterminato e presenta 3 1m − = gradi di iperdeterminazione o vincoli semplicisovrabbondanti.



=

−

=ζ

=

=ζ

=

=ζ

=

=ζh

44332211 p,1

00

p,10

,0

p,01

,00

p,01

.

ζ_1 3ζ_2ζ_

C ζ_4


=ϕ+−

=ϕ+

=ϕ+=ϕ+

⇒=

ϕ

− 0u)40u)30u)20u)1

0uu

10100101

2

2

1

1

2

1

c

c

c

c

c

c hh

hh

⇒<=ρ 32)A( geometricamente indeterminato

In questo caso si verifica che ⇒<=Αρ 32)( (b.2) il corpo è cinematicamenteindeterminato o labile e presenta 13)Α( =−ρ gradi di libertà che devono essere soppressi.Infatti i vincoli 1 e 2 comportano la stessa equazione di vincolo che non consente di

2-13

annullare la rotazione rigida attorno al punto di coordinate ( ,0).

2.3. Analisi statica del corpo rigido vincolato

Si considera un corpo rigido nella configurazione B soggetto ad una distribuzionedi forze di superficie f t e di volume f b agenti sulla frontiera tB∂ e sul volume del corpostesso e si assume che tali forze non dipendano dal tempo. Ci si chiede se il corpo è inequilibrio e quindi se è in quiete o in moto uniforme o se invece tale sistema di forze nedetermina l'accelerazione. Nel caso di corpo rigido, ovvero caratterizzato dai moti rigiditrattati nei paragrafi precedenti, si dimostra dalla Meccanica Razionale, che:

Condizione necessaria e sufficiente per l’equilibrio di un corpo rigido in una dataconfigurazione è che il sistema di forze ad esso applicato sia equivalente a zero(sistema nullo).

Ciò implica che l'equilibrio può essere verificato o imposto mediante le Equazionicardinali della statica:

E∈∀== I,0(I),0r rm , (2.21)

essendo r e (I)rm il risultante ed il momento risultante delle forze esterne applicate alcorpo. Nel caso di sistemi piani di forze, le equazioni cardinali della statica divengono trescalari nelle componenti del riferimento ),( 21 ee scelto:

E∈∀=== I,0(I),0rr 21 rm . (2.22)

Valendo tali proprietà, è possibile ridurre distribuzioni di forze di superficie{ }tt B∂∈p,)p(f e di volume { }bb B∈p,)p(f o ad una coppia o ad un vettore risultanteapplicato nel centro della distribuzione. Nel primo caso è poi possibile decomporre lacoppia in termini di forze. Ciò consente di trattare il problema dell'equilibrio del corporigido considerando esclusivamente sistemi discreti di forze )1,;f,(A nhhh =F costituiti

da n forze, di cui hf è l'h-esimo elemento applicata in hA individuato dal vettore

{ }Thhh11 aaa = . Con riferimento a quanto esposto nell'Appendice 1, il risultante ed il

momento risultante del sistema di forze rispetto al polo I individuato dal vettore{ }T

21 iii = eguagliati a zero forniscono le equazioni di equilibrio del corpo rigido:

0f

frr

r2

1

12

1 =

=

= ∑ h

hn

h , (2.23)

2-14

[ ] 0)i(af)i(af(I) 1122211

=−+−−= ∑ hhhhn

hrm . (2.24)

In forma matriciale possono essere espresse come:

=

−−−=

∑000

f

f

)i(a10

)i(a01

(I)rr

2

1

11221

2

1

h

h

hh

n

h

rm. (2.25)

Si consideri, ad esempio, di voler verificare l'equilibrio del corpo rettangolare soggetto alsistema di forze illustrato in figura.

P2

P2

HH

3

P_

Ah

O=1

Osservando che { } { }TT 2PHf,00a 11 == , { } { }TT 2PHf,0a 22 −== ,

{ } { }TTh P0f,2a 33 −== , le equazioni cardinali (polo I) assumono la forma:

02P(2P0

P)(2P2P0H)(H

P0

2

1001

2P

H

01001

2PH

001001

(0)rr

2

1

=

−++−++

+−+=

−

−+

−

+

=

hmr

e risultano verificate. In alternativa, queste possono essere scritte direttamente sommandoper componenti le forze ed i rispettivi momenti rispetto al polo I:

=−==−+=

=−=

02P2P(0)0P2P2Pr

0HHr

2

1

rm .

Considerato l'interesse alla modellazione delle costruzioni, si rende necessario considerarela presenza di vincoli atti a impedire da un lato spostamenti rigidi e contemporaneamente agarantire l'equilibrio alle forze applicate, delle forze attive, impedendo comunquespostamenti di moto uniforme. Si considera quindi il problema dell'equilibrio del corporigido vincolato da m vincoli semplici, già descritti in notazione nel Capitolo 1 e nelprecedente paragrafo, illustrato in figura 2.10.

2-15

1

ζ1_

2ζ_ mζ_

vζ_a_

O

e 2

1e

0B∂B0

_i

h

i2

1i

ah2

1ha

Ah f h

I

_

Fig. 2.10. Il corpo rigido vincolato e soggetto alsistema di forze attive )1,;f,(A nhhh =F .

Mediante il postulato fondamentale della Meccanica, già introdotto nel capitolo 1,è possibile sostituire ai vincoli le reazioni vincolari, dette anche forze reattive, comeillustrato nella figura 2.11. Queste sono definite nell'ipotesi di vincolo sia perfetto ecoassiali al vettore direzione efficace vζ del vincolo stesso

vvv

vv ζ=

= zzzz

2

1 ,

dove l’intensità vz è la reazione del v-esimo vincolo che è incognita.

Il problema dell'analisi statica del corpo rigido consiste nel verificare l'idoneità deivincoli, ovvero delle forze reattive, ad equilibrare un generico sistema di forze attive equindi nel determinare, qualora possibile, i valori delle reazioni vincolaricorrispondenti ad un assegnato sistema di forze.

Le equazioni cardinali della statica per il sistema di forze attive )1,;f,(A nhhh =F

e reattive )1,;z,(p mvvvr =F descritte in figura 2.11 si scrivono:

[ ] [ ]

−ζ+−ζ−+−+−−=

=ζ+=

=ζ+=

∑∑

∑ ∑

∑ ∑

−

− −

− −

m

v

vvvvvhhhhn

hr

n

h

m

v

vvh

n

h

m

v

vvh

m1

1122211122211

1 1222

1 1111

)i(p)i(pz)i(af)i(af(I)

0zfr

0zfr

. (2.26)

Considerato che le forze attive costituiscono un dato del problema, si farà riferimento nel

2-16

seguito alle componenti del risultante ed il momento risultante così denotate:

[ ])i(af)i(af(I),fr,fr 1122211 11

e2

e211 −+−−=== ∑ ∑∑

− −

hhhhn

h

n

h

n

hr

hh m . (2.27)

1

ζ1_

va_

O

e 2

1e

0B∂B0

_i

hi2

1i

ah2

1ha

Ah f h

I

_z1= z1

z2_ =z 2ζ2 _

_=z_ z ζmmm

v_z ζz= _v

_

pv1

2vp

Fig. 2.11. Il corpo rigido soggetto al sistema di forze attive)1,;f,(A nhhh =F e reattive )1,;z,(p mvvv

r =F .

Le equazioni cardinali possono essere riscritte nella seguente forma matriciale:

0(I)

rr

z)i(p)i(p e

e2

e1

112221

1

1

1=

+

−ζ+−ζ−ζζ

∑r

v

vvvv

v

vm

v

m , (2.28)

che costituisce un sistema di tre equazioni lineari nelle m reazioni vincolari (zv, v=1,m)incognite. Per una discussone della risolubilità del sistema è conveniente porre le equazioninella forma:

=

−ζ+−ζ−−ζ+−ζ−−ζ+−ζ−

ζζζ

ζζζ

m

r

mmmmvvvv

mv

mv

z

z

z

)i(p)i(p)i(p)i(p)i(p)i(p

1

112221112221111

122

12

11

2212

1111

(2.29)

2-17

−−−

=)(

rr

2

1

m ,

Tale sistema di equazioni viene espresso in forma compatta:

rzB −= , (2.30)

dove si definisce la matrice B dei coefficienti di ordine m)( ×3

−ζ+−ζ−−ζ+−ζ−−ζ+−ζ−

ζζζ

ζζζ

=

)i(p)i(p)i(p)i(p)i(p)i(p

B

112221112221111

122

12

11

2212

1111

mmmmvvvv

mv

mv

,

(2.31)

z è il vettore delle incognite { }1z z z zTv m= e er è il vettore dei termini noti ovvero

delle componenti del risultante e del momento risultante definito i (2.27).Confrontando la matrice B del problema statico con quella A definita nel problemacinematico (2. 20) si può osservare che se si assume il polo I coincidente con il centro Cdefinito nell'analisi cinematica )ic( = , i quali si ricorda che sono punti arbitrari, lamatrice A e B sono legate dalla relazione di trasposizione:

B=AT ,aspetto che evidenzia la relazione tra la cinematica e la statica.

Si considerino ora le condizioni per l'esistenza della soluzione del problema lineareper qualunque condizione di carico. Dal teorema di Rouché-Capelli è possibile individuarele seguenti informazioni in relazione alla matrice B.

(a) Se il numero di vincoli semplici è 3m < non esiste soluzione. Infatti la matrice B ècostituita da tre righe ed un numero di colonne minore di tre e quindi ha rango minoredi tre, mentre la matrice completa ]rB[ −| , assumendo il vettore re valori arbitrari, ha

rango maggiore. Pertanto )rB()B( −ρ≠ρ | e quindi per il teorema di R.C. non esistesoluzione, ovvero non esistono reazioni vincolari in grado di equilibrare sistemiarbitrari di forze attive. L'equilibrio del corpo è impossibile per generiche condizionidi carico ed il sistema (di vincolo) è detto staticamente impossibile. Data lacorrispondenza tra la matrice B e A il sistema è denominato labile. Per equilibrare leforze attive è necessario aggiungere vincoli semplici opportunamente collocati e diretti.

(b) Se il numero di vincoli semplici è 3m < si rende necessario discutere la soluzione aseconda del rango della matrice B e del numero di vincoli semplici m:

2-18

(b.1) ⇒=ρ= 3)B(m )rB()B( −ρ=ρ | la soluzione esiste ed è unica. Le forzereattive sono in grado di equilibrare qualunque sistema di forze attive. Il sistemaè staticamente determinato per ogni condizione di carico o isostatico. I vincolisono efficaci.

(b.2) ⇒<ρ 3)B( )rB()B( −ρ≠ρ | pertanto non esiste soluzione. Il sistema èstaticamente impossibile - labile. Il numero dei vincoli sarebbe sufficiente agarantire l'equilibrio, ma la loro disposizione è inefficace: alcuni vincolireplicano prescrizioni sugli spostamenti espressi da altri vincoli.

(b.3) ⇒>=ρ 3,3)B( m )rB()B( −ρ=ρ | la soluzione esiste ed è unica ma èindeterminata. Infatti il numero di incognite m è maggiore delle tre equazioni. Ilsistema è staticamente indeterminato - iperstatico in quanto possono esistere m-3 soluzioni possibili che soddisfano le equazioni cardinali. I vincoli sono efficacie possono realizzare m-3 combinazioni di valori delle forze reattive persoddisfare l'equilibrio. Il modello di corpo rigido non è in grado di fornire unasoluzione determinata allo schema di vincolo considerato. L'eccesso di vincolipuò essere in generale a favore di sicurezza, tuttavia esistono casi in cui ciòviene contraddetto.

Se si considerano particolari condizioni di carico, può accadere che sistemi labili( 3)B( <ρ ) possano risultare staticamente determinati o indeterminati per la particolarecondizione di carico. Ciò accade se alcuni elementi del vettore dei termini noti er sono

nulli, riducendo così il rango della matrice completa ]rB[ −| , determinando la condizione

)rB()B( −ρ=ρ | . In questi casi il sistema, che è cinematicamente indeterminato –labile, risulta staticamente determinato ))Bρ(( =m o indeterminato ρ(B))( >m .

Di seguito sono riportati alcuni esempi di analisi statica di corpi rigidi.

Esempio (1) Assegnato il corpo rigido di forma rettangolare di lati e h , discutere ilsistema di vincolo e, se possibile, determinare le reazioni vincolari.

Si assume l'origine il polo I ed il sistema di assi )x,(x 21 riportati in figura. Si assume ilpolo I di componenti { }h0i = . I vincoli semplici sono definiti come:

=

=ζ

=

=ζ

=

=ζ0

p,10

,0

p,01

,00

p,10 332211 .

Si rimuovono i vincoli e si sostituiscono le reazioni vincolari z1, z2, z3. Si sostituiscono ivalori del problema nelle equazioni cardinali (2.29) o in alternativa si scrivonodirettamente le equazioni di equilibrio.

2-19

P

P

2P

1ζ_

ζ_2

_ζ3

I=C

2P

1z z 3

z 2

h

Il sistema di equazioni risulta:

02PzzI)

0Pzz)x

0P2z)x

32

312

21

=−+

=−+

=+

h

,

ovvero in forma matriciale:

−−−=

/2PPP2

zzz

0101010

3

2

1

h .

Essendo 3)B( ==ρ m risulta Sistema staticamente determinato per ogni condizione dicarico. Si risolve e si determinano le reazioni vincolari per la condizione di caricoprescritta:

P221P2

2PzPz;P2

21P2

2Pz;P2z 3132

−=−=−=

+=⋅+=−= hhhh .


Si assume l'origine il polo I ed il sistema di assi )x,(x 21 riportati in figura. Si assume il

2-20

polo I di componenti { }h0i = . I vincoli semplici sono definiti come:

=

=ζ

=

=ζ

=

=ζ0

p,10

,0

p,01

,00

p,01 332211 ,


P

P

2P

1ζ_ζ_2

_ζ3

2P

1z

z 3

z 2

h

C≡I

I


02

Pz)z(zI)

0Pz)x

0P2zz)x

321

32

211

=−++

=−

=++

h

,


−−−=

/2PPP2

zzz

100011

3

2

1

hh

Essendo 32)B( =<=ρ m risulta che l'equilibrio è impossibile per una generica condizionedi carico. Sistema staticamente impossibile o labile. Tentando la soluzione delle equazionie sostituendo la prima nella seconda ed infine nella terza risulta una condizione impossibilea meno di porre P=0 che costituisce una particolare condizione di carico (priva disignificato fisico).

2-21

02

PP(2P)I))x)x 12 =−+−⇒→+ h .



=

=ζ

=

=ζ

=

=ζ

=

=ζ00

p,10

,0

p,10

,0

p,01

,00

p,01 44332211 .

Si rimuovono i vincoli e si sostituiscono le reazioni vincolari z1, z2, z3, z4. Si sostituiscono ivalori del problema nelle equazioni cardinali (2.29) o in alternativa si scrivonodirettamente le equazioni di equilibrio.

P

P

2P

4ζ_

ζ_2

_ζ3

I=C

2P

1z

z 3

z 2

h

z 4

1ζ_


02

Pz)z(zI)

0Pzz)x

02Pzz)x

321

432

211

=−++

=−+

=++

h

,

2-22

ovvero in forma matriciale

−−−=

2PPP2

zzzz

010

100011

4

3

2

1

hh .

Essendo 43)B( =<=ρ m risulta che l'equilibrio è possibile per ogni condizione di carico eche essendo il numero di vincoli superiore al numero di equazioni il Sistema è staticamenteindeterminato - iperstatico. Infatti, mentre si possono determinare le reazioni

hP22Pz3 += , hP2

2Pz4 −= ,

rimangono indeterminate z1, z2.



=

−

=ζ

=

=ζ

=

=ζ

=

=ζh

44332211 p,1

0,

0p,

10

,0

p,01

,00

p,01

.

Si rimuovono i vincoli e si sostituiscono le reazioni vincolari z1, z2, z3, z4. Si sostituiscono ivalori del problema nelle equazioni cardinali (2.29) o in alternativa si scrivonodirettamente le equazioni di equilibrio.il sistema di equazioni risulta:

02

Pzz)z(zI)

0Pzz)x

02Pzz)x

4321

432

211

=−−++

=−−

=++

h

,


2-23

−=

−−

2PP

P2

zzzz

1100

0011

4

3

2

1

hh .

P

P

2P4ζ_

ζ_2

_ζ3

2P

1z

z 3

z 2

h

z 4

1ζ_

I

Essendo 2)B( =ρ e 34 >=m risulta che l'equilibrio è impossibile per una genericacondizione di carico e che pertanto il Sistema è staticamente impossibile - labile. Malgradoi vincoli siano in numero superiore a quelli necessari, risultano mal disposti e le forzereattive non possono equilibrare la forza applicata. Infatti, mediante sostituzioni si ottieneuna condizione impossibile:

1 2Px ) x ) I 2P P 0 P 2 02 2

h h + → ⇒ − + − = ⇒ − + =

a meno di porre P=0 che costituisce una particolare condizione di carico (priva disignificato fisico).


Si assume l'origine il polo I ed il sistema di assi )x,(x 21 riportati in figura. Si assume ilpolo I di componenti { }0i = . I vincoli semplici sono definiti come:

2-24

=

=ζ

=

=ζ

=

=ζ

=

=ζ00

p,10

,0

p,10

,0

p,01

,00

p,01 44332211 .


P

P

ζ_2

_ζ3

1z

z 3

z 2

h1ζ_ I

/2hP

2P / h

I


02P

2PI)

0Pz)x

02Pzz)x3

2

211

=⋅−⋅

=−

=++

hh

h

,


−=

0PP2

zzz

000

1001

01

3

2

1 h .

Come già visto nell'esempio (2) in sistema è labile. Tuttavia, se si considera la particolarecondizione di carico si può osservare che m| <=−ρ=ρ 2)rB()B( e che pertanto lasoluzione esiste ed è unica, ma indeterminata. Infatti, osservando che l'equazione diequilibrio alla rotazione è scritta rispetto ad un polo appartenente alla retta d'azione di tuttele forze reattive che risulta identicamente soddisfatta con il particolare sistema di forzeapplicato, emerge dalle equazioni di equilibrio alla traslazione che sono insufficienti adeterminare le tre reazioni vincolari. Il problema risulta staticamente indeterminato per laparticolare condizione di carico.

2-25



=

=ζ

=

=ζ0

p,01

,00

p,10 2211 .

Si rimuovono i vincoli e si sostituiscono le reazioni vincolari z1, z2. Si sostituiscono i valoridel problema nelle equazioni cardinali (2.29) o in alternativa si scrivono direttamente leequazioni di equilibrio.Il sistema di equazioni risulta:

02

Pz)I

0Pzz)x

00)x

2

212

1

=−

=−+

=

,

ovvero, in forma matriciale

=

2PP0

zz

011

00

2

1 .

2-26

P

P

1ζ_ _ζ2

1z z 2

h

I

Essendo 32 <=m il sistema risulta staticamente impossibile per una genericacondizione di carico e quindi labile. Tuttavia, per la particolare condizione di carico risulta

2)rB()B( ==−ρ=ρ m| e quindi la soluzione esiste ed è unica. Il sistema risultastaticamente determinato per la particolare condizione di carico. Le reazioni vincolarivengono ottenute risolvendo l'equazione di equilibrio alla traslazione nella direzione 2x edalla rotazione e valgono:

1 2P Pz = , z =2 2 .

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Scienza Delle Costruzioni - 02 - Cinematica E Statica