S A L V A T O RE P I N C H E R L E Colnmenlorazione di UGO AMALDI (a Ilonla) (i).

SAI~¥ATORE PINCHERLE si ~ spento in Bologna la sera del 10 luglio dello

scorso anno. Corrispondente Linceo dal 1887, Socio Naziona, le dal 1901, era

oramai il decano dei matematici italiani e, fra le nuove generazioni, reeava

aneora F eco diret~a degli elevati insegnamenti dei grandi promotori della

rinaseita ma~ematica in Italia.

Nato 1'11 marzo [853 a Trieste, era stato portato nella prima infanzia a

Marsiglia, dove il padre, per sottrarsi alle crescenti vessazioni poliziesche,

eui ne l l a citt~ nativa lo esponevano i suoi sentimenti d' i talianith, apertamente

manifestati e difesi, si era indott0 a ce rca re un nuovo centro ai suoi corn-

merci; ed ivi il lPINCttERLE trascorse la faneiullezza e l 'adolescenza, in un

ambiente famigliare modesto e raccolto, dove l'.intimita degli affetti era rin-

sa lda ta dalla tristezza dell' esilio e dall' appassiona~a, attesa degli eventi storici,

ehe in qnegli anni, f r a i l '59 e il ~70, preparavano l 'unificazione della Patria.

Compinti i primi studi sotto la guida della madr% donna di alto sentire e

di fine cult ura, s ' i sc r i sse a quel Lieeo Imperiale, e, mentre dapprincipio

pareva inclinare verso le discipline nmanistiche, acquistb, v e r s o la fine delle

Classi speeiali, Ia consapevoIezza della. Sun vocazione per le scienze esatte.

Scelta la via, fu senza incertezze deciso in famiglia ch' Egli dovesse eontinuare

gli studi presso nn 'Univers i t~ i taliana; e, sul finire del '69, appena sedicenne,

laseib la casa paterna per raggiungere Pisa, dove per concorso si aggiudic6

nn posto di alunno inferno in quella Scuola Normale Superiore.

Vi dominava l ' a l ta f igura del BE~I , che, in quegli anni, tornando dalla

Fisica matemat ica all 'Analisi, poneva le basi della Topologia generale, mentre~

accanto a lui, il D I ~ , conchiuso ancor giovanissimo il primo cielo della sun

attivit'~ nel campo della @eometria differenziale, si era volto con fervore alla

elaborazione dei suoi Fondamenti per la teorica delle funzioni di variabile reale

e a quel nuovo indirizzo ispirava il suo geniale insegnamento. Le elevate

(i) Commemort~zione let ta davan t i alia Classe di Seienze fisich% matematiche e natura l i del la Reale Accademia Nazionale dei L ince i ne l l ' adunanza del 5 d icembre 1937-X-VI.

Annctli di Matematicv~, Serie IV, Tomo XVII. 1

U. A)IALm: Salvatore Pincherle

suggestioni di quei Maestri insigni trovarouo immediata rispondenza nella

mente aperta e versatile, nell 'entusiasmo speculativo del PINCKERLE, che, compiuto briltantemente il Suo quadriennio di studi, consegul nel 1874 la

Laurea in Scienze fisico-matematiche e FAbilitazione all 'insegnamento con

le due successive pnrti di una dissertazione teorico-sperimentale sulle su.

perficie di capillarit/~ e le relative costanti caratteristiche. Gli si apriva cosi, larga di promesse, la via alla carriera scientifica; ma

per proseguirla tcanquiilamente avrebbe dovuto ricorrere ancora agli aiuti paterni, e, posto dinnanzi at dilemma di chiedere nuovi sacr if ic iai Suoi Carl

o d' imporre a se stesso la via pifi dura, prescelse decisamente di entrare

nell' insegnamento secondario. Per Sun ventura fu destinato a Pavia, dove la Facolt~ di Scienze doveva

l 'anno seguente accogliere nel suo seno il BELTRAMI e gi~ contava fra i suoi

Maestri il CASORA~I, chc, al pari del BETTY, era conoscitore profondo e di-

vulgatore geniale delle concezioni del RIE~Axx e, d' altra parte, per una certa propensione a problemi di natura operatoria, direttamente rispoudenti alla mentalit~ del PI~C~EnLE, era destinato ad esercitare su di Lui un fascino

particolare. Cosi, in quella sede tranquilla, iI PINCHEgLE trovava nuovi sussidi culturali, nuove suggestioni al Suo orientamento scientifico; e, nella fre-

schezza delle Sue energie giovanili, apprendew ad imporsi quella severn di-

sciplina di lavoro, che poi costantemente osservb nella Sua lunga v i t a e che allora Gli consenti di non deviate dalla ricerca, put tra le cure dell'inse-

gnamento liceale, cui dedicava quell'indefesso fervore, che sempre Egli recb

nella Scuola. Deeisivo fu per Lui F anno accademico 1877-78, che, grazie ad una borsa

di perfezionamento, pot~ passare a Berlino. A1 Suo appassionato interesse eultnrale quel grande centre scientifico offriva le pifi larghe soddisfazioni; ma Egli si concentrb soprattutto nel seguire le lezioni del -~¥-EIERSTRASS, alle quali gli studi precedenti Lo avevano particolarmente preparato; e,

tornato a Pavia, vi tenne, per invito dei professori di quell'Universith, un

corso, in cui, per ]a prima volta in Italia, venivano sistematicamente esposti i principi dell'Analisi secondo il WETEnS~RASS, fino all'applicazione della teoria generale delle funzioni analitiche alle funzioni ellittiche. Quet corso,

da Lui riassunto in un Saggio, pubblicato net Giornctle del BA~AC~LINI, ebbe larga risonanza e richiamb vivamente F attenzione dei matematici italiani sulla forte tempra del giovane autore, che, conseguita per concorso nella primavera del 1880 la cattedra di Algebra compIementare e Geometria analitica nell 'Universith di Palermo, era:, nel successivo autunno, chiamato, per lo

stesso insegnamento, a quetla di Bologna.

U. A~IALDI: Salvatore Pincherle

Ancora era, viva in quelle aule l 'eco della parola incitatrice del CRE-

MO~A; e il PI~C~EnLE, formatosi helle elevate tradizioni delle Seuole di Pisa

e di Pavia, aceolse come una missione, eui poi sempre tenne fede, it pro-

posito di resti tuire anehe la Seuola matematiea di Bologna al l 'ant ieo pre- stigio. Gli erano eompagni in quel fervore di entusiamo giovanile dub Suoi

eondiseepoli di Pisa, pur essi giunti allora alla eattedra in quello stesso

Ateneo, C. ARZEL£ e L. DO~AT~; e i tre giovani, assoeiando i lore sforzi,

ottennero anche a Bologna quel eompletamento dell' ordine degli studi per

la Laura in Matematiea, ehe gi~ era state promosso, ma non raggiunto, dal CR]~fO~A, daI CIIELINI, dal BEL~I~A~t.

Cosi nel 1882 il PI~W~ERLE assumeva per incarieo quelFinsegnamento di seeondo bienni% ehe poi eonservb ininterrot tamente ,per quarantaset te anni.

Sorretto da una eul tura eceezionale , ehe mai eessb di approfondire e di

estendere, anche fuori del Sue campo preferito di lavoro ed oltre i eonfini stessi della Matematiea, variava di anne in anne l' argomento delle Sue lezioni,

put mirando sempre nile scope d ' i l lustrare la teoria generale delle funzioni

analitiche nel sue sviluppo storieo, nei suoi diversi orientamenti, nei suoi rapporti con gli altri rami detl'Analisi. Alle trattazioni s tret tamente mono- grafiche prefert generalmente lo sviluppo a grandi linee di intere dottrine,

/

spesso di due teorie ehe a vice~da s ' i l luminassero; e, pronto eom'e ra a eo-

gliere ogni nuovo atteggiamento di pensiero, reeava nella Scuola i pi{t reeenti apporti di metodi e di risultati, dope averli sottoposti ad una profonda riela-

borazione personale. Le lezioni cosl aeeura tamente preparate esponeva con

impeeeabile nobilth di f o r m a e vi trasfondeva ttn fervore di entusiasmo~ un

ealore di emozione estetiea, ehe risultavano tanto pih eomunicativi quanto pifl erano eontenuti e quasi dissimulati.

Altrettanto meditati e suggestivi erano i Suoi eorsi di primo biennio,

che Egli, costantemente dominate dalla preoeeupazione delte contrastanti esigenze degli allievi ingegneri e degli aspiranti alle Laure seientifiehe~ non si stanch mai eli r imaneggiare e perfezionare sia nell 'assetto generale, ehe in ogni pipit minuta partieolarit~t di sviluppo; e la Sun raffinata perizia didattica

r~sta doeumentata dalla serie di trattati~ in eui via via riassunse le linee

fondamentali del Sue insegnamento 4i ogni grade, dalle l~Iatematiehe ele- mentari alla teoria delle funzioni analitiche, dalle lezioni di Algebra eomple-

mentare a quelle di Caloolo, che, gig preparate di iunga mane, pubblieb quando, seomparso prernaturamente, nel 1912~ FARzELk, ue assunse la cat- tedra di Analisi infinitesimale.

Col volgere degli anni, il creseente prestigio personale e la r inomanza seientifiea via via pih larga Lo designavano a sempre nuovi e pi~t gravi

U. A)~LI)I: Salvatore Pi.ncher~e

doveri di u ffiei aecademici ; ma trovava tempo a tutto e mai negb di asse-

eondare fat t ivamente qualsiasi iniziativa diretta al vantaggio della Scienza

o della Seuola. Dal 1918 in poi parteeipb con assidua cura alla direzione

degli ; net 1928, stt mandato conferitogli a Toronto dai

Delegati dei Comitati aderenti a lFUnione Matematica Internazionale, orga-

nizzb e presiedette il Congresso di Bologna.

E, intanto, Gli erano venuti, da l l ' I ta l ia e dall 'estero, molteplici onori

accademici ; e~ come gi/~ nel 1889 l 'Accademia dei Lineei Lo aveva designato a

dividere con L. BIA~ccHI il Premio Reale, che, per la prima volta, si assegnava

a matematici ; cosi, al Suo collocamento a riposo iI Comune di Bologna Gli

conferiva il Premio >; destinato ad onorare i Maestri pifi insigni

e pifi benemeri t i di quello Studio glorioso. Ma a chi ebbe la ~'entura, di conoscer~'e a rondo F animo e le intime

aspirazioni~ tutto cib non appare che estrinseco episodio in una vita,~ che,

fuori di ogni preoccupazione di personale interesse~ fu tutta raccolta e tesa

in un perenne sforzo di elevazione inteltettnale, in una completa dedizione

alla r icerea scientifica. Come generalmente accade, anche il PI~C~ERI~E, nei primi passi della

Sun attivith scientifica, aveva traversato un periodo d ' ineer to orientamento,

e~ pur essendosi decisamente volto dalla Fisica, cui s ~era dapprineipio indi-

rizzato, all~Analisi pura, aveva cercato la Sua via in direzioni svariate:

superficie ad area minima ed equazioni algebrico-differenzial i ; relazioni fra

coefficienti e radici di una t rascendente intera~ riprese pi~'~ taMi dal MAILLE~;

funzioni monodrome dotate di un teorema di moltiplicazione bilineare e fun-

zioni a moltiplieatori~ quali punto di partenza per una teoria delle funzioni

ellittiche, che per quel la stessa via fu, molti anni dopo, sviluppata dal

RAUSENBERGER.

Ma la Sua personali ta matematica si deline~) precisa dopo il viaggio a

Berlino. Del WEI]~RS~RASS Egli arab sempre eonsiderarsi discepolo; e in

~erita ne risenti for temente l ' in f lusso; tut tavia gli impulsi~ ehe ne aveva

tratto~ si erano in Lui composti con quelli, ch% a Pisa e a Pavia~ aveva rieevuto dal B]~TI e dal CASORATI in senso prevalentemente r iemanniano;

mentre gin la Sua prima formazione eul turale L o aveva naturalmente con-

dotto, fin ~dalFinizio dei Suoi studi matematici, a famigliarizzarsi con gli indirizzi della Scuola franeese. Di qui il largo eclettismo di metodi e di ~edute, che Egli sempre reei~ nella teoria delle funzioni di variabile com-

plassa e che, in particolare~ si r ispeechia nel tipo dei problemi, da Lui

U. A3I&LDI: Salvatore Pincherle

a,ffrontati nel dodieennio dall '82 al '94, in eui il' Suo pensiero matematieo,

traverso una progressiva evoluzione, doveva raggiungere la sua piena ma.

tariff .

Era apparsa nell '80 la elassic~ ) iemoria del W~IEn.S~ASS Zur Funktio.

nenlehre, che col celebre teorema sulle serie uniforrnemente convergenti di

funzioni analit iche aveva aperto la via a superare il teenicismo delle serie

di potenze- e il PINCttEERLE, intuendo aeutamente i nessi profondi, che in- tercedono f r a i l problema, eosi sollevato, dello s 'dluppo di unu funzione in

serie ordinata secondo le funzioni di un sistema prestabilito e i l problema

del l ' inversione degli integrali definiti nel campo complesso; concepi un vasto

programma di ricerche, dirette a indagare sistematicamente i rapporti fra le

singotarit'~ di una funzione e quelle degli elementi funzionali di r i ferimento

adottati per una sua rappresent~zione analit ica si~ mediante lo sviluppo in s e r i e di funzioni prefissate, sia mediante un integrale curvilineo. E si pub notate come nella na tura stessa di tali questioni Egli trovasse un incentivo ad applieare eonsiderazioni di quel ripe operatorio, verso eui dove~.a in seguito orientarsi sempre pifi deeisamente.

Degli sviluppi in serie, sotto ipotesi svariate circa, il sistema base, si

oceup6 in tutta una . r i eca serie di lavori, the per lo stesso tipo dei problemi e dei risultati, sfuggono alla possibilit~t di un rapido riassunto; ma gih, in

quelle r ieerehe giovanili colpisee l 'ingegnosa, novith, di ta.luni concerti e di

taluni spedienti, ehe assai pifi tardi dovewno entrare ne lFuse corrente: tali In nozione di suecessione di funzioni equilimitate, l ' in tervento di relazioni net tamente pertinenti ~lla teoria dei determinant i infiniti, in quel tempo

nemmeno abbozz/~ta, l 'esplicito enuneiato e l 'applieazione, nel easo delle regioni piane, di quel leorema, di copertura, che un ventennio dopo fu ri- trovato e messo in valore dal BOREL.

Seguono in quello stesso per iodo di tempo - - e pit~ precisamente dall '85 in poi - - le r ieerehe sull ' inversione degli integrali definiti nel campo com- plesso. S eeondo l a nomencia tura odierna, i problemi da Lui affrolttati per

primi in questo campo si rieonnettono alla risoluzio'ne di uotevoli elassi di equazioni integrali di prima specie; ma in ogn i singolo easo Egli fissa pifi

part ieolarmente la~ Sua attenzione sull 'operazione funzionale, rappresentata

dMl ' integrale a primo membro, e n e . indaga le proprieth analit iehe sia in rapporto al nueleo o, corn' Egli allora diceva~ della funzione caratteristica --, sia, in relazione al campo funziona.te, cui 1' operazione s ' in tende applicata.

Ed anche qui taluni Suoi r i su l t a t i precorsero i tempi: eercando le operazioni integrali, la eui inversa ammette una analoga rappresentazione analitiea, fu eondotto a quei nuclei, ehe eon~servano ta derivazione, e che pi~;l tardi, nel

6 U. AsLx~m: Salvatore Pincherle

campo reale, si r ipresentarono nella teoria della eomposizione del VOLTERRA, il quale, ecru'6 ben note, li chiam6 del ciclo chiuso.

Ma sul l 'ul ter iore sviluppo del pensiero del PISrCHERLE un pi~?t decisive

influsso ebbero gli studi da Lui eompiuti sulle proprieth intr inseehe e sulle

applieazioni di talune fra le pifi importanti operazioni funzionali classiehe,

in ispeeie sulla trasformazione di LaPLA.CE-A~EL Egli per primo rieonobbe

come questa trasformazione, indipendentemente da ogni sua espressione ana-

litica, si possa univoeamente definire per mezzo di eerte due proprietor

operatorie - - relative al sue comportamento di fronte alia derivazione e alia moltiplicazione per la variabile indipendente - - e mise in luce come 1' espres-

sione, ehe per tale operazione va adottata, dipenda ease per case dalla na tura analit iea della elasse funzionale~ in cui essa ~ destinata ad operare. Cosi

svineolata da eontingenti particolarith~ di forma, la trasformazione aequista una maggiore agilit~ algoritmiea e una pifi larga possibilit~ di applieazioni, ehe il PISrC~tERLE illustrb in direzioni svariate; e fra i molti e notevoli

risultati eosi eonseguiti va ricordata una inattesa e riposta dualit'~ fra le

due generalizzazioni del l 'equazione differenziale l ineare ipergeometrica, do- vute al POCIKttA~tNEIt e al GOI;rtlSA'P, alla quale Egti pervenne, movendo dalFosservazione (da Lui per primo rilevata netla sua forma esplicita e ge-

nerale) e h e l a trasformazione di I~API~ACE-ABEL stabilisce una corrispondenza biunivoea fra le equazioni differenziali l ineari a eoefficienti razionali e le

analoghe eqnazioni alle differenze. Ritrovava eosi suI Sue cammino i] vecehio Caleoto delle differenze, al

quale, in quegli stessi anni, era state ricondotto anche il PO*>~CA~E nelte SUB

eelebri r icerche sulle eqxmzioni differenziali l ineari a integrali i rregolari ; e il PINCHERLE~ r iesumando quel l 'ant ico ordine di questioni alla luce dei metodi e delle vedute della teoria delie funzioni di variabile eornplessa, vi

consegui taluni dei Suoi risultati pig importanti e pig origiuali. Tornando dapprima sugli sviluppi in serie seeondo le funzioni di un

sistema prestabilito, ravvist) nella ricor~'enza lineare, quale risulta definitt~ fra le funzioni di uu tale sistema da un 'equazione l ineare alle differenze, un presupposto part ieolarmente a t t o a consentire, nello studio di quegli sviluppi, conetusioni precise; ed, esaurito rapidamente il ease delle r ieorrenze del primo ordine, si troy6, con quelle del seeondo, di fronte atFalgori tmo

delle frazioni continue algebriche, the indagb in sense inverse a quetto prima di Lui considerate, eio6 mirando a risalire dalle pr0prieth analit iche delle ridotte di una frazione continua eonvergente, data a priori~ a quelle della funzione eosi definita. Ma ben pif~ ardue di[ficoltg si presentavano nel ease delle r ieorrenze d 'ord ine superiore, dove si trattava di scoprire Ia wia

l~[. A)IA_LDI: Salvtdore Pi~+cherle

a quella generalizzazione dell' algoritmo delle frazioni continue algebriehe,

the gi~ era stata inut i lmente cercata da E. IIEISTE, sulla traeeia del tentative

eompiuto in sense s tret tamente aritmetico dallo stesso JACOBI; e i l PINCtIERLE risolse la questione iu mode definitive e geniale, introdneendo, come analogo

del valore della frazione continua, l ' in tegra le da Lui ehiamato distinto, the quel l ' in tegra le del l 'equazione l ineare alle differenze, caratterist iea della

r ieorrenza eonsiderata, il cui rapporto ad ogni altro integrale della stessa equazione converge allo zero al tendere al l ' inf ini te del l ' indi te . Non ~ qui

possibile render eonto degli importanti svi!uppi , ehe il PINe~ERLE dedieb alla determinazione di siffatto integrale e a l l a sun @plicazione al problema

della migliore approssimazione di una data funzione per mezzo di combina- zioni lineari, a coeffieienti polinomiali, di prefissate serie di potenze. Basti

ricordare, come una delle pifi profonde Nemorie del PI~C~ERJ~E, quella del

tome 16 ° degli Acla Malemcdica sulla generazione di sistemi rieorrenti per mezzo eli equazioni differenziali lineari, nella quale estende agli sviluppi di

una funzione analit ica seeondo serie proeedenti per gli elementi di un si-

stema rie0rrente le eondizioni per la sviluppabilith seeondo i denominatori delle ridotte di una frazione continua algebriea e pone in evidenza le

proprieth asintotiehe dei sistemi rieorrenti eostituiti dai eoeffieienti dello sviluppo del TAYLOR degli integrali delle equazioni differenziali l ineari di tipo regolare.

In tutte queste r icerehe le equazipni lineari alle differenze, pur consi- derate nel campo complesso, intervenivano aneora sotto il tore originario

aspetto di semplici relazioni di r ieorrenza; ma il PINO~ER~.]~, seguend_o il

naturale orientamento del Sue pensiero, fu eondotto a superare quella con. eezione ristretta det Calcolo delle differenze e ' a considerarlo un partieolare

capitolo del Caleolo funziona.le nel europe complesso. Come tale lo ricostrui sistematieamente, raccogliendo dapprima le teorie formali in un'Algebra delle forme lineari alle differenze, poi volgendosi ai problemi analitiei veri e propri, fine ad una prima risoluzione anali t iea delle equazioni l ineari alle differenze, da Lui conseguita per mezzo di serie operatorie, eli aeeertata convergenza, ordinate secondo le potenze del l 'operatore del CASORATI.

Con questo vasto e ben connesso gruppo di r ieerche ill PINOtliERLE con- tribui, forse piit di ogni altro, a promuovere ed avviare quelI 'indirizzo, per eui il Calcolo delle differenze, useendo dal primitive sue stadio puramente formale ed aritmetico, 6 oramai entrato in mode organieo nel quadro della teoria generale delle funzioni anali t iche; e, se a quel nuovo ordine d ' indagini pifi deeisivi eontributi sono Stati in seguito reeati da tutta una sehiera eli altri ricereatori, fra cui primeggia il NSRLU~D~ basta scorrere le magistrali

U. A~=~LDI: Salvatore Pincherle

Vorlesungen ~gtber Differenzenrechnung dell ' insigne matematieo danese per r iconoseere come, anehe in an assetto definitive della teoria, le vedute e i

risultati del PIXCI~ERLE conservino immutata la lore fondamentale importanza.

Tuttavia, nella progressiva evoluzione del Sue pensiero, le r icerche da Lui compiute sine allora costituirono soprattutto il prodromo ad una pi~i

larga visione di problemi e a un pil] elevate programma di lavoro. Sulla base del rieco materiale di osservazioni, di raffron~i, di risultati eoncreti,

raceolto nei preeedenti Suoi studi su svariate elassi di operazioni funzionali, e traverse una larga indagine storica sui vecehi metodi di Calcolo simbolieo,

il P~SrC~ERLE concepi, interne al 1894, il disegno di costruire neI eampo

eomplesso una teoria generale delle operazioni funzionali lineari, o, come

Egli preferi dire, distributive, la quale, eonservando l 'agil i th di quegli antiehi metodi formali, conducesse a procedimenti di effettiva validita, eontrollabile,

quanto meno ease per ease, cosi da costituire un nuovo ramo della teoria

delle funzioni analitiehe. Fu qnello per Lui il periodo di pil~ aeeeso fervore di rieerea, sieeh6 gih nel 1897 pot6 presentare nel Mdmoire sur le caicul fonetion~el distributif ((( Nath. Anaalen ~>, XLIX) lo schema organico della Sua teoria sintetiea delle eperazioni funzionali; poi, sperimentato in ripetuti

eorsi universi tar i lo sviluppo sistematieo delle Sue idee, ne curb una tratta- ~ione divulgativa net volume su Le operazioni distributive e le lore applica. zioni all'Analisi, pubblicato nel 1901.

A fondamento della Sua teoria Egli pose quel concerto di spazio fun. zionale, the, da Lui per primo definite e fecondamente Studiato, doveva poi evolversi in forme pi~t lavghe o pii~ determinate, fine a costituire oramai una delle nozioni fondamental i e, in un eerto sense, earatterist iehe dell 'Analisi

eontemporanea. Per il PISTCn]~RLE si t rat tava di quegli spazi affini, o megtio vetloriali, ad una infinit~ numerabi le di dimensioni, ehe eostituiscono un' imma- gine geometrica degli insiemi lineari di funzi0ni analit iche sviluppabili seeondo

le funzioni di an prestabilito sistema, quando agli elementi di un tale sistema si at tr ibuisea l 'uff ieio di vettori fondamental i di u n a base di riferimento.

Gih nel ease di un nt~mero finite di dimensioni sorgono per le operazioni

distributive, the trasformano in s6 un tale spazio - - e ehe i vettorialisti ehiamarono pi/t tardi omografie vettoriali - , interessanti problemi di elassi- ficazione; e, per quanto, astrazion fatta dalla particolare interpretazione, gutto sostanzialmente si r iduea alla classica diseussione del l 'equazione earat- teristica di una sostituzione lineare, la trattazione sintetiea datane dal PZN- C]~ERLE e, in ispeeie, una Sua caratterizzazione operatoria dei divisori elementar:i presentano, rispetto alle molte trattazioni congeneri, singolari pregi di sem-

pliei[a e di eleganza.

U . A ~ A L D I : S a l v a t o r e P i n c h e r l e

Negli spazi funzionali ad un ' inf ini th di dimensioni, e, in particolare, in quello delle serie di potenze, cui pifi spesso si riferiva il PI~CI-IERLE, 0gni operazione distributiva assume la forma di un'affinit/~ omogenea su infinite variabili, onde risult~b per l 'operazione, una prima rappresentazione analitica per mezzo di una malrice infinila; e di questo tipo di rappresentazione (di- venuta pifi tardi famigliare, oltre the ai matematici, ai f isiei teoriei) Egli si valse a pifi riprese, soprattutto per earatterizzare e studiare quelle operazioni, da Lui dette normali, che generalizzano sotto l 'aspet to geometrico le eosid- dette deformazioni pure, sotto l 'aspetto analitieo le forme differenziali lineari della classe del FucI4s, e che, nel gruppo totale delle operazioni distributive, eostituiscono un sottogruppo di partieolare interesse per le eleganti proprietA, di cui gode, e per le applicazi0ni, largamente illustrate dal PI~OttEm~E, di cui ~ suscettibile. E va rilevato eome fin dal 1897 il PII'~CHEI~LE, in base a siffatta rappresentazione di un'operazione per mezzo di una matrice infinita, assoeiasse sistematicamente, sotto ipotesi di larga generalith, al fascio del. l 'operazione e del l ' ident i th quel determinante infinito, ehe doveva poi as- sumere un uffieio essenziale nella teoria del FRED~OL~I; e, assodatone il earattere di traseendente intera rispetto al parametro del fascio, ne dedu- eesse quegli elementi, ehe oggi diconsi gli autovalori e le autofunzioni del- l' operazione.

Ma allo sviluppo della teoria oeeorreva si assegnasse per le operazioni distributive qualche altra rappresentazione pifl maneggevole; e i l Pn,~C~EaLE vi pervenne, movendo da una geniale osservazione algoritmica. Not5 the, se per una qualsiasi operazione distributiva si va lu ta lo scarto dalla permuta- bilit~ rispetto ad un'operazione fissa, si perviene ad una nuova operazione, la cui deduzione da quella df partenza presenta una eompleta analogia algoritmica con l 'ordinaria derivazione delle funzioni. Assumendo, percib, c o n e derivala funzionale di un' operazione il sue scarto dalla permutabilit~ rispetto alla moltiplicazione per la variabile indipendente, pot~ stabilire ehe ogni operazione distributiva, nelI ' intorno di una generiea funzione, ~ rappre. sentabile formatmente con una serie di potenze operatorie della derivazione ordinaria, perfettamente analoga alla serie del TAYLOR per le funzioni.

l~on sfuggi naturalmente al PI~CKt~RLE the tali serie operatorie, gih da Lui prima incontrate nell ' inversione delle forme differenziali lineari (o, se si vuole, nell ' integrazione delle equazioni differenziali lineari non omogenee), hanno di regola un eampo funzionale di effettiva validit~ piuttosto ristretto; ma non mancb di mostrare (e di questo essenziale complemento non si sempre tenuto il debito eonto) ehe, con un ingegnoso trasporto di quegli stessi spedienti, che al W~I]~RS~RASS e al MI~TA~-L]~LER avevano con-

Annatl di Matematica, Serie IV, Tomo XVII . 2

l0 U. A]~IALDI: Satvatore Pincherle

sentito di assicurare la convergenza degli svilappi di una funzione analitica in prodotto infinito e in seric di frazioni semplici, ~ possibile, caso per caso, ampliare quel primitivo campo funzionale di convergenza.

Ad ogni modo a questa rappresentazione di un'operazione con una serie di potcnze della derivazione spetta, nella teoria del PINC~ERLE, un uffici0 in qualche modo sussidiario, giacch~ per Lui ogni operazione ~un ' entith astratta, caratterizzata, indipendentemente da ogni e sp ress ione analitica, dalle .sue pi'oprieth operatorie intrinsechc, che, quanto meno nei casi p i f l noti, si tra- ducono in equazioni simboliche assai semplici; e la legge di 19ermanenza di tali proprieth eonsente, in gencrale, di prolu;,gcere l 'operazione oltre i limiti del suo primitivo campo funzionale di definizione. Di queste Sue vedute, cui giustamentc il PIk~CHERLE annetteva particolare importanza, diede un'espressiva applicazione, discutendo in modo esauriente il problema della derivazione di indice complesso qualsiasi , su cui gi~ avevano fermato la loro attenzione~ fra gli a l t r i , il LIOUVIL~E, il RIEMA~, l' HOL~(~RE~ il BOURLE~.

D'altro canto, uno studio approfondito delle analogie, che intercedono fra le affinit~ vettoriali ordinarie e lc operazioni distributive agenti in uno spazio ad infinite dimensioni condussc il PI~C]{ERLE a riconoscerc fra i due casi una differenza esse:nziale, che~ rimasta allor~ pressoch~ inavvertita~ fu nuovamente rilevata per le operazioni integrali da HELL:[N(~En e TOEPLtTZ quindici anni pifl tardi. In uno spazio ad un numero finito di dimensioni ogni operazione distributiva degenerc gode insieme delle due proprieti~ di trasformare l ' intero spazio in uno spa~io ad un numero minore di dimensioni e di possedere, come i l t)INCI-IERLE diceva, qualche vettore radice, cio5 qualche vettore, cui corrisponde il vettore nutlo. Orbene, quando si passa alle ope- razioni distributive in uno spazio ad infinite dimensioni, queste due proprieth, pu t trovandosi talvolta associate, possono anche prescntarsi separatamente, talch6 si hanno due tipi distinti di degenera~ione; ed ~ manifesto come risulti essenzialmente diverso il problema d ' inversione per le operazioni degeneri del l 'una o del l 'a l t ra specie. Di queste opera~ioni degeneri il PINC~ERLE indagb largamente le proprietY. In particolare, introdotta netlo spazio fun- zionale l'omogeneit~t e sostituita a lFimmagine vettoriale quella puntuale~ stabill, pel tramite di convenienti operazioni degeneri, l 'esistenza di spazi lineari, pur 'ess i a infinite dimensioni, ma nieno comprensivi di quello totale, cui competono tutte le proprietor di ineidenza e di appartcncnza che carat- terizzano gli iperpiani ordinari; e, definite per questi iperpiani dello spazio funzionale pur.teggiato opportune coordinate omogenee, aventi carattere con- tragrediente rispetto a quelle puntuali , pervenne ad una corrispondenza per

U. Alvl;,LDI: Scdvatore Pincherte 11

dualitdt, the Gli consenti di associare ad ogni operazione un 'operazione eor- relativa~ la quale generalizza, con le rispettive proprieth caratteristiehe, tanto l'aggiunta del LAG-RANGE~ quanto quel l 'u l t ra operazione analoga, ehe, sotto il medesimo home, lo stesso PIlgGHERLE aveva introdotto nel Calcolo delle

differenze. Della. Geometria dello spazio funzionale consider{) anche altri problemi,

pi{t tardi ripresi~ Motto punti di vista diversi, da var1 ricereatori (curve e va- rieth non lineari dello spazio funzionale, lore spazi osculatori dei vari ordini,

gruppi continui di operazioni e lore operazioni infinitesime, eta.); ma non vi

si indugib, giacchb rifuggiva dalle generalizzazioni, the potessero apparire scope a se stesse; e si volse, invece, ad i l lustrate operosamente le applica.

zioni, di cui la Sua teoria era suscettibite nel eampo delle funzioni anali t iehe: operazioni normali, come atte ad aggiungere o. togtiere ad una funzione sin- golaritg di natura determinata, onde risultarono ehiariti nella lore origine profonda i teoremi dell'HADAMA~D e del D~_RBoux sulle singolaritg delle

serie di potenze; ind~tgine approfondita delle dipendenze fra le singolarit/~ di una funzione determinante e quelle della eorrispondente generatrice; teoria generale del l ' inversione delle operazioni integrali del eielo ehiuso nel campo eomplesso; classificazione delle equazioni funzionali l ineari di seconda specie nei tre grandi tipi del VoL~m~_~, del F~ED~tOL~, dell' HIL:BES~.

A queste ricerehe, d i re t tamente legate al progressive sviluppo delle SuB idee, altre ne intercala:va di carat tere eollaterale o, in qualehe modo~ sussi- diari0. Cosi, in relazione alla risoluzione anali t ica delIe equazioni l ineari alle differenze, r iprendeva quelle serie di fattoriali e del NEw,eel, ehe gih aveva incontrate in un Sue preeedente studio sulla interpolazione nel campo com- plesso, e n e indagava le propriet~ di eonvergenza, pervenendo per primo alle condizioni neeessarie e sufficienti affinch6 una data funzione ammetta uno

sviluppo in serie newtoniana. Inoltre, da una ricerca, per se stessa molto no,cycle, su taluni nuclei analitici era. condotto a svariati problemi d ' i tera- zione, in particolare a quello fondamentale dell ' i terazione > delle funzioni razionali, che doveva poi essere ul ter iormente approfondito dal JULIA, dal FA~OU, dal RI~.

Nell' ultimo periodo della Sua vita ebbe l ' in t imo eompiaeimento di veder confermate l ' impor tanza e la vitalitg delle Sue vedate sintetiehe sutle ope- razioni funzionali non soltanto da recen~i sviluppi di Analisi~ ma pitt anoora da nuovi e inaspet tat i nessi coi concerti e i procedimenti algoritmici impostisi ai teorici della, nu0va Fisica. Con rinnovata fiducia torni~ sui principi della, Sua teoria e forse vagheggi6 l ' idea di r ielaborarla su basi pitt larghe, eh~

12 U. ASJ:ALDI: Salva tore P incher l e

ad un tale disegno sembra r ispondere l 'u l t ima Sua Memoria, e h e l a morte

interuppe e fu pubbl ica ta postuma (~), quasi auspicio di ulteriori sviluppi per

il Suo retaggio d ' idee.

Quale posto Egli at t r ibuisse alle Sue ricerche e ai Suoi coutributi nel

quadro generale degli indirizzi congeneri fu da Lui stesso chiarito neI magi-

strale articoto sulle equazioni e otierazioni funzionali per la grande Enci-

clopedia delle Scienze matematiche (~). Ma nella rigida Sua obbiettivith

scientifica, nel Suo scrupoloso senso delle proporzioni fini con l ' essere severo

con se stesso; e ben pifi alta e pifi giusta valutazione del l 'opera Sua fu

solennemente espressa a Bologna, nel 1928, da J. HADA~ARD, che, delineando da par suo in una larga sintesi le origini, gli sviluppi, i futur i presumibil i

orientamenti del Calcolo funzionale (3), additb nel PI~CHERLE uno degli ini- ziatori ed uno dei cultori pifi insigni di quel promettente e caratterist ico

indirizzo della Matematica contemporanea. A questo giudizio autorevolissimo nul l ' a l t ro andrebbe aggiunto; m a i l

vecchio discepolo, ehiamato al l 'onore di parlare di Lui in ques t ' a l t a sede,

non pub negare a se stesso di r ievocarne qui la lnminosa figura morale,

quale gli apparve f in dagli anni lontani della giovinezza. Pensoso e parco di

parole, pareva che, soprattut to di fronte ai discepoli, amasse naseondere la

Sua personalith dietro un fitto velo di geloso riserbo. Ma appunto per questo i giovani, con pi~ intenso sforzo di comprensione e di reverente simpatia,

scrutavano oltre quel velo le sue note profondamente umane: il culto tene-

rissimo degli affetti famigliari, il fervido amor patrio~ il mnlt iforme interesse

per ogni indirizzo speculativo, la raff inata sensibilit'~ per ogni forma d~Arte,

par t icolarmente per la Musica. Era ambito privilegio di pochissimi l ' essere

ammessi nell'intimiti~ della Sua casa, dove, in piceola cerchia, reeava nella

conversazione, con arguzia garbata e senz' ombra di pesantezza, tutte le risorse

della Sua vastissima cul tura ; e talvotta sedeva al pianoforte per int.erpretarvi, con una Sua earat ter is t ica [inezza di passione contenuta, le musiche classiche,

(t) C~ntributo alla teoria degli operatori tineari, ia questi ~ Annali ,, serie IV, t. XV, 1936-XV, pp. 243-308. Solo ora (febbraio 1938) dalla eleva~a ed esauriente Comm~morazione, che del PI~CttERLE tenne il prof. ETTOR~ BORTOLOTTI all'Aeeademia di Bologna (~ Rendi- conto delle Sessioni, Sez. di Sc. Fis. e 1Kat. ,, anne 1936-37)~ apprendo ehe fra i manoscritti inediti det PI~CgERLE furono trovati i primi otto Capitoli di una nuova opera sulla teoria generali delle oper~zioni lineari.

(~) ~edasi specia]mente l'edizione francese: Equations et operations fonctionnelles, t. III, 5me vol., pp. 1-81~ Paris 1912.

(~) Le ddveloppement et le q'Sle scientifique du Calcul fonctionnel~

U. ~k~LDI: Scdvatore Pincherle 13

the pifl Gli crane care, e alle quali mai cess6 di dedicar quotidianamente

qualche era, nemmeno nei periodi di pi/1 intensa attivit~ scientifica, quasi

vi cereasse, pifi the uno svago, una fonte d ' ispirazione intellettuale. In ogni

circostanza Egli conservava quel Sue contegno di composta superiorit/t, in

eui si r if let teva I ' inter iore equilibrio, da Lui raggiunto fra le ingenite incli-

nazioni di un ' indole affet t iva e sensibil issima e la coneezione elevata ed

austera, ehe della vita e dei rapporti umani aveva imposto a se stesso. Cosi

alla p~ofonda modestia, che Gli era istintiva~ si associava in Lui un alto

sense di dignith pe rsona le ; l ' e s t rema mitezza del l 'animo si "armonizzava con

la s icura [ermezza delle convinzioni, con la severith ret t i l inea dei criteri

morali ; e chi pifi Gli era vicino ben sapeva come, ad ogni richiamo della

coscienza, Egli fosse pronto ad assumere la responsabili t~ di atteggiamenti o

di decisioni, che par ferivano la Sua sensibilith. Ma non ebbe nemici, n~ mai

suscitb interne a s~ risentimento o r~,ncore, perch~ ia rigidezza della Sua

dir i t tura era temperata dalla larga tolleranza di chi dalla stessa saldezza

delle proprie convinzioni sa trar motive a comprendere chiunque bat ta altre

vie con pari purezza di cuore, e da ogni Sue atto traspariva limpidamente,

come unica norma, l 'ossequio incondizionato al dover% cui sempre seppe sacrificare per primo se stesso.

Fu soprattutto per sentimento del dovere che, alieno per indole da ogni

ufficio di comando e gih quasi set tantacinquenne, accettb a Toronto l"arduo

compito di preparare e presiedere il Congresso di Bologna, col precise mandate,

confermatoGli dal Governo Nazion~le, di restaurarvi, per la prima volta dope

ta Grande Guerra, ia completa internazionalit~t delle adesioni e degli inter-

venti. Gli animi crane turbati e divisi; e al di 1"~ delle Alpi p~rve dapprima

che, salt ' una e su l l ' a l t ra sponda,~ quel tentative di r iavvicinamento non fosse

destinato che ad esasperare le real sopite passioni, ad approfondire i dissensi

tenacemente superstiti . M a i l PIS=CI~E]~;~E, convinto di servire insieme la causa

della Scienza e la secotaxe tradizione di universalith culturale dell ' I tal ia,

non si scoraggib. Ai contrasti e. alle amarezze, che non Gli furono rispar.

relate, oppose Ia Sua dignitosa serenith; le difficolth ost inatamente risorgenti domfnb e superb con un mirabile sforzo di tatto, di energia, di saggezza; e

mai si ebb% in ques t 'Europa senza pace, un pifi largo e pfih concorde raduno

di scienziati di ogni nazione. Fu quello il coronamento ideale della Sua vita;

e, assolto il nobile mandate, scese, in silenzioso accoramento, dalla cattedra, che aveva onorato pe r quasi cinquant~anni.

0:iusto compenso alla Sua perenne spiritualitY, non conobbe l 'angoscioso declinare delF attiviti~ in~ellettuale; e conservb intatti, nella vegeta vecehiezza,

l ' in teresse per la ricerca, l'a gioia del lavoro, la fede nella missione pro-

t4 U. AlVIALDI: Salvatore Pincherte

g r e s s i w d e l l a S c i e n z a . Cosi, a n e h e n e l F u l t i m o S u e g io rno , i n e u r a n t e di

q u a l c h e o s c u r o p r e s a g i o d e W i n c o m b e n t e e r a s u p r e m a , t o r n 6 a lF u s a t o l avoro ,

si r a c c o l s e a n c o r a u n a v o l t a a m e d i t a r e s u l ! a M e m o r i a c h e d o v e v a l a s c i a r e

i n e o m p i u t a , a n c o r a u n a v o l t a n e l l a s e r e n a i n t i m i t ~ d o m e s t i c a i r r a d i b f r a i

S u o i Car l l ' i n e s a u s t a S u n a f f e t t i v i tg , q u a n d o , al c a l a r d e l l a no t r e s u l t a g ior-

n a t a ope rosa , q u a s i d ~ i m p r o v v i s o il p u r e e f e rv ido c u o r e si a r r e s tb .

Ma E g l i r i v e n e l l a S u n o p e r a di S e i e n z i a t o e di Maes t ro , r i v e n e l l a l u c e

d e l l a i n c o n t a m i n a t a S u a n o b i l t g m o r a l e .

E l e n c o c r o n o l o g i e o d e l l e p u b b l i e a z i o n i d i S a l v a t o r e P i n c h e r l e (~).

1874 - 1875 - 1876 -

1877 -

1878 -

1879 -

1880 -

1881 - 1889 -

1883 -

188~-

Sulle superficie di capillarit&. {II ~uovo Ciment% s. 2 a, vol. XII~ Pisa). Sulle costanti di capiIlarit&. (I1 ~uovo Cimento, s. 2a, voL X I V , Pisa). Sulle superficie d' area mi~,ima. (P~'ogramma del R. Liceo , Foseolo ~, Pavia). Sopra atcuni probtemi retatiVi atle SUl)e~ficie d' area minima. (Rend. Lomb., s~ 2 a, t. IX). Sulle equazioni algebrico-differenziali di prim'ordine e primo grade a primitiva ge.

nerale algebrica. (Rend. Lomb., s. 2 a, t. X). Relazioni fra i coefficienti e le radiei d i u n a funzione intern trascendente. (Rend.

Lomb.. s. 2 a, t. XI). Sulte funzioni monodrome aventi un'equazione caratteristica. (Rend. Lomb., s. 2 a, t. XII) . Rieerehe sopra una classe importante di funzioni monodrome. (Giorn. di Mat.,, XVI I ,

~apoli). Saggio di una introduzione aIla teoria delle funzioni analitiche secondo i principi

di C. WEIERSTI~d~SS. (@iorn. di Mat, X V I I [ , ~apoli). Geometria pura elementare. Milano, Hoepli; 8 ~ ediz., 1918. Sopra alcuni sviluppi in serie per funzioni analitiche. (Mere. Bol., s. IV~ t. I I I ) . Geometvia metrica e trigonometria. Milano, Hoepli; 9 ~ ediz, 192"2. Alcuni teorem.i sopra gli sviluppi in serie per funzioni anatitiche. (Rend. Lomb., s. 2 a,

t. XV). Sopra una applirazione delle funzioni sferiehe al teorema di )/[ITTAG-LEFFLER~ e al~a

determinazione di funzioni a spazi laeunari. (Rend. Bol, anne acead. 1882-83). Una formula sui determinanti. (Rend. Bol, anne acead. 1882-83). Sui prodotti infiniti per funzioni analitiche. (Rend, Bet , ann0 accad. 1882-83). Sui sistemi di funzioni analitiehe e le retie formate col medesimi. 1Viemoria I. (Ann.

di MaL~ s. I I , t. X I I , Milano). D i u n a generalizzazione della derivazione nolle funzioni anaIitiehe. (Giorn. di Mat.,

XXII~ ~ apoli). Algebra elementare. Milano, tIoepli; 13 a ediz., 1920. Alcune osservazioni sugli ordini d'infinito delte funzioni. (Mere. ]3ol, s. IV~ t. V).

(1) A b b r e v i ~ z } o n i : Bo l l . U . ~ . I . - ]~olle~tino d e l l a U n i o n e M a t e m u t i e a I t a l i a n a ; ~ e m . Be1. ~ ) J [ emor i e d e l l a R . A c c a d e m i a de l l e S c i e n z e d e l l ' I s t i t a t o d i B o l o g n a ; R e n d . B o L ~ R e n d i c o n t o de l l e s e s s i o n i d e l l a R . A e e a d e m i a de l l e S c i e n z e d e l P I s t i t u t o d i B o l o , : n a ; R e n d , L i n c e i ~ A t t l de l l a B e a l e A c e a d e m i a R~azionale de i L inee i~ R e n ~ i e o n t i d e l l a C l a s s e d i S c i e n z e f i s i c h e , m a t e m a t i c h e e n a t n r a l l ; R e n d . I m m b . ~ R e n d i c o n t i d e l R . I s t t t u t o L o m b ~ r d o d i S e i e n z e o L e f t e r e ; R e n d . P a l . = R e n d i c o n t i d e l C i r c o l o ) [ a t e m a t i e o d i P ~ l e r m o .

l : H n g r a z i o v i v ~ m e n t e i l p r o f . A . ] K ~ m m ~ b e h e e o r t e s e m e n t e h a colnla¢O a l c u u e lam~ne r i m a s r e n e l F e l e n c o

d a m e p r i m i t i v a m e n t e p r e p a r a ~ o .

17. A~ALDI: S a l v a t o r e P i n c h e r l e 15

1884 - Sui gruppi l ineari di funzioni . (Mere. Bol, s. IV, t. VI). ~ - Su i sistemi di funz ion i anali t iche e gli svi luppi in serie [brmati cog medesimi. ){e-

moria I L (Ann. di Mat,, s. I I , t. XII~ Milano). 1885 - Note sur une intdgrale d~finie. (Acta Math, VII~ Stockholm).

~ - Sopra una formula del sig. HERSIITE. (Rend. Lincei, s. ~a vol. I). ,) - Alcune osservazioni generali sk i gruppi di funzioni . (Mem. Bol, s. IV~ t. VI).

1886 - AIcune osse~u)azioni sui pol inomi dot prof. APPELL. (Rend. Lincei~ s. ~a, vol. II) . )> - S tud i sop~'a alcune operazioni funziona! i . (Mere. Bol , s. IV, t. VII) , ~ - Sur une formule dans la thdorie des fonctions, (Ofversigt af K, Vetenskaps-Akademiens

FSrhandlingar, n. ° 37 Stockholm). ,~ - Sopra u n a tras[brmazione delle equazioni differonziaIi l ineari in equazioni nile dif-

ferenze, e viceversa. (Rend. Lomb, s. 2a~ t. XIX). 1887 - Sur certaines opdrations fonctionnelles reprdsentdes p a r des intdgrales definies. (Aeta

~J[ath, X, Stockholm). ~, - Costruzioni di nuove espressioni anali t icho atte a ~'appresentare funz ion i con un

numero in f in i te di p u n t i singolari. (Rend. Lineei, s. 4a~ vol. I I I ) . )> - Sul confronto delle s ingolari th di due funz ioni analitiche. (Rend. Lincei~ s. la~ vol. I I I ) . ,~ - Della trasformazione di LAPLACE e di alcune sue applicazioni. (Mere. Be], s. IV, t. VI I I ) . ~, - Su l la risoluzione dell' equazione ~, hv ~(x -~ ~ ) ..... f(x) a coefficienti oostanti. (Rend.

Bol., anne acead. 1887-88). ~ - Sul l ' inversiono degli integral i definiti. (Rend. Lomb.~ s. 9a~ L X X ) .

i888 - S~l carattere aritmetico dei coeffioienti delle serie che soddisfano ad equa~ioni dif. ferenzial i o alle differenze. (Rend. t)al , II) .

>> Una trasformazione di serie. (Rend. Pal. , II) . ~> - Sopra certi in tegral i definiti. (~end. Lincei~ s. 4a~ Yoh IV). ~ - Sulle funz ion i ipergeometriche generalizzate. ~ote I e I I . (Rend. Lintel, s. 4 a, vol. IV). - ~%{,ove osservazioni sui sistemi ~'icorrenti di pr imo e di secondo grade. (Rend. Lincei~ s. 4% re!. V).

~ - Alcuni teoremi sulle f raz ioni continue. (Rend. Lincei, s. ~a, vol. ¥). ~, - S u alcune forme approssimate per la rappresentazione di ft,,nzioni. (~iem. Bol,

s. IV, t. X). ,> - Quelques applicat ions des f, 'actions continues. (Comptes Rendus~ 29 avril, Paris).

Di un' estensione dell' algoritmo dello f raz ioni contiuue, (Rend. Lomb, s. ~a vol. XXII) . ,~ - S u r los f~'actions continues algdbriques. (Ann. seient, de l']~e. ~orm. Sup, s. I I I ,

t. ¥ I , Paris). 1890 - Sul la tras formazione di t t ~ E . (Rend. Pal , IV).

~) - Su alcuni integral i part icolar i delle equazioni dif ferenziati l ineari non omogenee. (Rend. Lincei~ s. 4a~ vol, V/).

7, - S a g g i o di una gene~atizzazione delle f raz ion i continue algebriche. (Mere. Bol, s. IV, t. X).

16 U. A~[~LD:~: S a l v a t o r e P i n c h e r l e

t890 -

t891 -

1892 -

1893 -

1891 =

>> -

1895 = >> -

1896 -

S u l l a ral)presentc~zione a p p r o s s i m ~ t a di u n a f unz ione med ian t e irrcezionali qua- drat ici . (Rend. IJomb.: s. 2a~ t. X X I I I ) .

Un teorema sulle f r a z i o n i continue. (Rend. Lincei~ s. 4 a, vol. VII ) . Un s i s t ema d ' i n t e g r a l i etI i t t ici cons idera t i come f u n z i o n i d e t t ' i n v a r i a n t e assolulo.

(Rend. Lincei, s. 4 ~, voL VII) . >> - Una n u o v a estensione delle f u n z i o n i sferiche. (Mere. ]3ol.. s. V, t. I). ,, - S u l l a genera l i z zaz ione delle f u n z i o n i sferiche. (Rend. Bol., anno acead. 1891-9"2). >, - S ~ l l a genera l i z zaz ione delle f r a z i o n i cont inue atgebriche. (Ann. di Mat., s. I I , L X I X ) . ,~ - Sopra certe superficie r a z i o n a l i che s' i ncon t rano in ques t ioni d' anal i s i . (Rend. Lomb.,

s. 2~ t. XXIV) . ), - S o p r a u n a t r a s f o r m a z i o n e helle equaz ion i d i f f e renz ia t i t ineari . (Rend. Lomb, s. 2a~

t. XXV). Gli elementi di a r # m e t i c a ad use delle setlole secondarie inferiori. Bologna, Zanichelli. S u r la gdndrat io~ de syst~mes rdcurrents a u m o y e n d~une dquat ion diffdrentielle.

(Acta Math.~ XVI) . ,~ - Su l le for me d i f f e renz ia l i l ineari . (Rend. Lincei, s. 5 ~, vol. I). ~, - Contr ibuto a l l a in t egraz ione delle equaz ion i d i f f e redz ia l i l i near i med ian t e in t egra l i

def in i t i . (Mere. Bol., s. V, t. I I ) . >> - App l i caz ione a l l a geometr ia di u n a osservazione d i ar i tme t ica . (Rend. Bol., anne

accad. 1892-93). Su l l ' i n t e r po l a z i one . (Mem. Bol., s. V~ t. I I I ) . Su l l e serie di potenze. (Ann. di Mat , s. I I , t. XXI) . S u r les sdries de fonct ions. (Jornal de Scieneias mathematicas e astronomicas, Coimbr G XI). Consideraz ioni geometriche su l n u m e r o delle rad ic i reali di u n ' c q u a z i o n e algebrica.

(Rivista di Mat., I I I} . Algebra Complementare~ I : A n a l i s i algebrica. )¢Iilano, I-[oepli; 4 a ediz, 1920. Sul le equaz ion i alle dif ferenze. :Note I e I I . (Rend. Lincei, s. 5 a, vol. I I I ) . Contributo a l t a genera l i z zaz ione delle f r a z i o n i cont inue. (Mere. Bol , s. V~ t. IV). L'AIgebra delle forme l i near i al le dif ferenze. (Rend. BoI, anno accad. 1894-95). Delle f u n z i o n i ipergeometriche, e di var ie quest ioni ad esse a t t inen t i . (Giorn. di

)/fat, X X X I D. Algebra Complementare, H : Teor ia deIle equazioni . Milano~ Hoepl i ; ~a ediz., 1920. Sul le operaz ioni f u n z i o n a l i d is tr ibut ive . (Rend. Lineei~ s. 5a~ -~ol. IV). S~ll, e so lnz ion i coniugate helle equaz ion i d i f f e renz ia l i e al le dif ferenze. (Rend. Lineei,

s. 5 a~, vol. IV). >~ - L 'A lgebra delle forme l inear i al le dif ferenze. (Mere. Bol , s. 5 a, t. V). >> - Sopra alcune equaz ion i simboliche. (Mere. Bol , s. 5 a, t. V). ,~ - S u l l e operaz ion i d i s t r ibu t i ve commutab i l i con u n a operazione da ta . (Atti della R.

Aeead. delle Sc. di Torino~ vol. X X X ) . Su l lo sp ir i to ar i tmet ico ne l la Matemat ica . Traduzione di nn opuseolo di F. KLnlN.

(Rend. Pal., X). ., - Delia v a l i d i t ~ e f fe t t iva d i a l cun i s v i l upp i in serie di f unz ion i . (~end. Lineei, s. 5a~ vol. V). >> - Operazioni d i s t r ibu t i ve : l ' i n t egraz ione successiva. (Rend. Lincei, s. 5 a, ~=oI. V). ,> = Operazioni d i s t r ibu t ive : le equaz ion i d i f f e renz ia l i l inear i non omogenee. (Rend. Lincei:

s. 5 a, vol. V) ~> - Sn l l e equaz ion i d i f f e renz ia l i l i near i non omogenee e le operaz ion i f u n z i o n a l i che esse

definiscono. (Rend. ]3ol., anno accad. 1895-96). >> - Le operaz ioni d i s t r ibu t ive e le omografie. (Rend. Lomb., s. 2 a, t, X X I X ) ,) - Rdsumd de quelques rdsultq, ts re tat i f s ~ la thdorie des syst~mes rgcurrents de fonct ions.

(Math. papers read at the Int . math. eongress~ Chicago).

U. A2~[ALDI: S a l v a t o r e P i n c h e r l e 17

1896 - E s e r c i z i s n l l ' A l g e b r a e l e m en tare . Milano, Hoepli; 3 a ediz., 1921. 1897 - S u l l e se~'ie p r o c e d e n t i secondo le d e r i v a t e success ive di u n a f u n z i o n e . (Rend. Pal., XI).

~, - S u l l a g e n e r a l i z z a z i o n e d e l l a p r o p r i e t & del d e t e r m i n a n t e w r o n s k i a n o . (Rend. Linee% s. 5 ~, vol. VI).

~, Cenno s u l l a G e o m e t r i a del lo s p a z i o f u n z i o n a l e . (Rend. ]3oi., ~r S., I). ,, - C o m m e m o r a z i o n e d i C. ~¥nIERSTR~S8. (~end. ]3el., ~ . S., I). ., - A p p u n t i d i calcolo f u n z i o n a l e d i s t r i b u t i v e . (Rend, Lomb., s. 2 a, vol. X X X ) . ,, - M d m o i r e s u r le C a l c u l f o n c t i o n n e l d i s t r i b u t i f . (Math. Annalen, XLIX). ,~ - E s e r c i z i s u l l a G e o m e t r i a e t e m e n t a r e . )[ilano, Hoepli; 2 a ediz.; 1915~

1898- D i u n a e s t ens ione del concerto d i d i v i s i b i l i t ~ p e r u n p o l i n o m i o . (Rend. Lineei, s. 5 a, vol. VI i ) .

- S u l l a r i s o l u z i o n e a p p r o s s i m a t a del te e q u a z i o n i a l le d i f f e renze . (Rend. Lineei, s. 5 ~, vol. VII),

,~ - S u l concerto d i p i a n o i n u n o s p a z i o a d i n f i n i t e d i m e n s i o n i . (Rend. Bol, N. S , II). - S u l c o n f r o n t o delle s i n g o l a r i t 4 del le f u n z i o n i a n a l i t i c h e . (l~end. ]3ol, iY. S , II)~

~, - S u l l ' o p e r a z i o n e a g g i u n t a . (Rend. ]3ol, lV. S., II). ,~ - S u r la t r a n s f o ~ m d e d' EuL~u. (Crelle, C X I X ) .

1899 - S o p r a u n p r o b l e m a d ' i n t e r p o l a z i o n e . (Rend. Pa l , XIV). ,, - D i u n ' e q u a z i o n e f u n z i o n a l e s i m b o l i c a e d i a l c u n e sue conseguenze . {Rend. ~incei,

s. 5~ vol. VI I I ) . ~, - S u l l e s i n g o I a r i t ~ di u n a f u n z i o n e che d i p e n d e d a due f u n z i o n i da te . (Rend. Lineei,

s. 5% vol. ¥ i I I ) . ,~ - A p r o p o s i t o d i u n reeente t e o r e m a del sig. HADA~AUD. (Rend. ]3ol, N. S , I I I ) . ,, - S u r les sdries de p u i s s a n c e s t o u j o u r s d i ve rgen te s . (Comptes Rendus, 13 fe~rier, Paris). , - P o u r !a b i b l i o g r a p h i e de la thdor ie des o p d r a t i o n s d i s t r i b u t i v e s . (]3ibliotheea ~[athe-

matiea~ hOUr, s, XI I I ) . ,~ - S u l l a e o n t i n u i t & det le f u n z i o n i . (Rend. BoI., N. S., IV).

1900 - C o m m e m o r a z i o n e d i ]~. ]3ELTRAML (Rend. ]3o1., ]~. S, V). ~ - S u l l a s e o m p o s i z i o n e di u n a f o r m a d i f f e r e n z i a l e l i n e a r e i n u n p r o d o t t o d i o p e r a z i o n i .

(Rend. Bol, N. S , ¥-). ,~ - D i a l c u n e o p e r a z i o n i a t t e a d a g g i u n g e r e o togl iere s ingolar i tCt i n u n a f u n z i o n e a n a .

l i t ica . (Ann. di Mat . , s. 3 a, t. IV). 1901 - C o m m e m o r a z i o n e d i CH. ]::[ERMITE. (Rend. ]3o1.~ ~. S., ~v').

,, - L a t r a s f o r m a z i o n e d i LAPLACE e le ser ie d i ve rgen t i . (Rend. ]3o1.~ N. S , V). ,, - L e o p e r a z i o n i d i s t r i b u t i v e e le lore a p p t i c a z i o n i a t l ' A n a t i s i , in eollab, con U. A~IALDI.

Bologna, Zanichelli. 1902 - S u l l e ser ie d i f a t t o r i a l i . Note I e I I . (Rend. Linee% s. 5a~ vol. XI).

,, - S u l l e d e r i v a t e a d i n d i c e q u a t u n q u e . (])~[em. ]3oi, s. 5 a, t. IX). . - A l e u n e f o r m u l e d i A n a l i s i cornb ina tor ia . (@iorn. di Mat., XL).

1903 - S u r u n e sdr ie d~ABEL. (Acta Math., XXVII I ) . ~ - S u l l a s v i l u p p a b i l i t ~ d i u n a f u n z i o n e i n serie d i f a t t o r i a l i . (Rend. Linee% s. 5 a,

vol. XII) . ~ - S u l l e f u n z i o n i m e r o m o r f e . (Rend. Lineei~ s. 5a~ vol. XII) . ~ - D i u n a n u o v a o p e r a z i o n e f t t n z i o n a l e e d i q u a l c h e s u a a p p l i c a z i o n e . (Rend. :Bol.,

N. S,, VII) . ,, - S o p r a u n ' e s t e n s i o n e d e l l a f o r m u l a d i TAYLOR ne l calcolo detle o p e r a z i o n i . (Rend.

]3ol., ~. S., VII) . ,~ - S u r l ' a p p r e x i m a t i o n des f o n c t i o n s p a r des i r r a t i o n n e l l e s q u a d r a t i q u e s . (Comptes

Rendus~ 9 novembre, Paris). 1904 - R i s o l u z i o n e d i u n a c lasse d i e q u a z i o n i f u n z i o n a l i . (Rend. Pal., X V I I I I.

A~aali di Mc~tematfcc% Serie IV, Tome X~'II. 3

18 U. AMALDI: S a l v a t o r e P i n c h e r l e

190~ -

1905 -

1906 -

)) -

)> -

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1908 -

1909 -

1910 -

1911 -

t912 -

)) -

I913 -

1914 -

SugIi svi luppi asintotici e le serie sommabili . (Rend. Lincei, s. 5a~ vol, XI I I ) . Sui l imit i della convergenza di alcune espressioni analit iche. (Rend. Bo], ~ . S , VI I I ) . Studio sopra nn teorema del PoI~cAn~ relativo aIle equazioni ~'ico~renti. (Rend. Bot.~

N. S., IX). Sur les fonctions ddtermi~antes. (Ann. sc. de l']~c. Norm. Sup., s. 3a~ t. XXII ) . Sutle equazioni fu.~zionali lineari. (Rend. Lineei, s. 5 a, volo XIV). Sulle singoIarit~ di una funzione cite dipende da due funz ion i date. (Rend. Lineei,

s. 5% vol. XV). Sulle equazioni funz ional i lineari. (Mem. ]3ol, s. 6a~ t. I I I ) . S~dl'inversione anal i t ica degli integral i definiti. (Rend. Bo] , N. S , XI}. Funkt ionaloperat ionen und Gleiehungen. (Enc. der math. W i s s , Bd. II~ A. 11). Lezioni di Algebra complementare: ~na l i s i algebrica. Bologna, Zanichelli ; 3 a ediz., 1924. Sopra l'estensione agli sviluppi asintotici di un teorema del sig. HUnWlTZ. (Rend.

Lincei~ s. 5a~ vol. XVI) . ~) - Sull ' inversione degli integrali definiti. (Atti della Soc. It. delle Sc., detta dei XL~

s. 3a~ t. XV). Commemorazione di ~. P. RUFF~I. (Rend. BoL, ~N. S., XII ) . Su i fasci di omografie. (Rend. Lomb, s. 2 ~, t. XLI) . Sul la teoria dei limiti. (Per. di Mat. e Boll. di (~ Mathesis ,>~ anno XXII I ) . Alcune spigolatu~'e nel campo delle funz ioni determinanti . (Atti del I V Congr. Intern.

dei ~Iatematici (Roma, 1908), vol. I I ) . ~) - S u l nuovo sistema pei Concorsi alle Cattedre delle Scuole Medie. (Boll, di Mat.,

A_nno VII).

Atcune osservazioni suite funz ioni determinanti . (Rend. Bol., ~ . S , XII[} . Sopra certe equazioni integrati. (Rend. Lincei, s; 5~ vol. X V I I I ) . Lezioni di Algebra complementare: Teoria delle equazioni. Bologna. Zanichelli;

2 a ediz~ 1921 S~t coneetto di divisibilit~ in generale. (Rend. Bol., ~ . S., XIV) . Sopra alcune omografie dello spazio funzionale. (Re~d. Lincei~ s. 5 a, ~ol. XX). Appun t i di Calcolo funzionale. (~em. Bol , s. 6 ~, t . V I I I ) . Sopra un'estensione del concerto di divisibitit~. (Giorn. di Mat., X L V I I I ) . Sugli s tudi per la L a u r e a in matemat ica e sut la Sezione detle Scuole di magistero.

Comm. intern, per l ' insegnamento matematieo. (~t t i della Sottocomm. itsliana). QueIques observations sur les fonctions ddterminantes. (Acta Math, XXXVI) . Sulle operazioni lineari~ e sul la teoria delle equazioni integrali. (Rend. Lincei,

s. 5a~ vol. XXI). ~ - Alcune osservazioni sopra i siste~ni di ['unzioni associate e sopra un gruppo di ope-

raz ioni lineari. (Mera. Bol., s. 6a~ t. IX). ~> - Commemorazione di C. ~-RZEL£. (Rend. ]3ol, ~ . S.~ XVI) .

- Lo spazio funzionale e le sue omografie. (Giorn. di Mat., L). ~) - Equations et opdrations fonctionnelles. (Enc. des Se. math6matiques~ t. II~ 5 me ¥O1.~

Paris-Leipzig) . Recensione dell' opera: ~, Theorie der l inearen Differenzengleichungen ,~ di ~ALLE~-

B E R G - e G U L D B E R G - .

Un'appl icazione della convergenza in media. (Rend. IAneei, s. 5a~ vol. XXII ) . Alcune osservazioni ed wna rettifica alla Memoria : ,~ Appun t i di Calcolo funzionale ~.

(Rend. Bol., N. S., X V I I I ) . Sull 'operazione aggiunta di LhG-tCANC-E. (Ann. di ~Iat., s. 3 a, t. XXI) . Alcune osservazioni sull'ite,vata di una funzione data. (Rend. :Bol., ]N ~. S , X V I [ I ) . Sulle serie di fat toriaI i generalizzate. (Rend. Pal., X X X V I I ) .

U. d~)IALDI: S a l v a t o r e P i n c h e r l e ~9

1915 - L a M a t e m a t i c a e i l f u t u r o . Diseorso inaugurale. (Annuario della [£. Univ. di Bologna). , - L e z i o n i d i Calcolo I n f i n i t e s i m a l e . Bologna~ Zanichelli; 3 a ediz. in due vot l , 1926-27.

1916 - S o p r a a l c u n i n u c l e i a n a I i t i c i . (Rend. ]3ol, 2(. S.~ XX). ~ - I I Calcolo del le probabil i t¢~ e l' i n t u i z i o n e . (Rivista (( Scientia ~: XIX).

1917 - A p p u n t i s u a l c u n i p r o b l e m i d ' i t e r a z i o n e . (Rend. Bol , 2(. S , XXI) . 1918 - S u l l e r a d i e i r e a l i del le e q u a z i o n i i t e r a t e d i u n ' e q u a z i o n e q u a d r a t i c a . (Rend. Lincei~

s. 5 a, vol. XXVII ) . ,) - S u l l ' i t e r a z i o n e d e l l a f u n z i o n e x "2 - - a . (Rend. Lincei, s. 5 a, vol. XXVII ) . ,, - S u l l e c a t e n e d i r a d i c a l i qucedrat ic i . (Rend. Bol , ~ . S., XXII ) . ,, - S u l l e c a t e n e d i r a d i c a l i q u a d r a t i e i . (Atti della R. Acead. delle Sc. di Torino~ vol. L I I I ) . ~, - C o m m e m o r a z i o n e d i E. "E. LE¥I. (Semin . ) f a t . del l 'Univ, di Roma).

- L a c r i s i d e l l a S c u o l a m e d i a . (Rivista pedagogiea~ anno XI). 1919 - Un t e o r e m a s u . l t ' i t e r a z i o n e de l la [ u n z i o n e q u a d r a t i c a . (Rend. Bol., 2(. S , X X I I I ) .

~, C o m m e m o r a z i o n e d i U. DI~I. (Period. dl Mat. e Boll. di ~ i~[athesis ,). 1920 - L ' i t e r a z i o n e c o m p l e t e d i x 2 - - 2 . (Rend. Lineei~ s. 5 ~, ~ol. XXIX).

,, - S u l l a f u n z i o n e i t e r a t e d i u n a ~ 'az ionale i n t e r n . 2(ore I e I I . (Rend. Lincei. s. 5 ~, vol. XXIX) .

~, - S o p r a a l c u n e e q u a z i o n i f u n z i o n a l i . (Rend. IJincei, s. 5a~ ~zol. X X I X ) . ,, - S u l l ' i t e r a t a d i u n p o l i n o m i o q 'az ionale in te ro . (Rend. Bol , 2(. S , XXIV). ,, - C o m m e m o r a z i o n e d i A. RAZZABO~I. (Rend. Bol , 2(. S , X X V ) .

1921 - S u r n n e d q u a t i o n i n t d g r a l e d e n s le d o m a i n e complexe . (Comptes Rendus~ 6 juin, Paris). - Sobre la i t e r a c i o n a n a l i t i c a . (R.e~ista mathem~.tica hispano-americana~ 3{adrid).

,~ U n ' i n t e r p r e t a z i o n e g e o m e t r i c a e u n ' e s t e n s i o n e de l la d i v i s i b i l i t ~ de i p o l i n o m i . (Per. di 5Ia~., s. IV, voI. I).

,, - S p i g o l a t u r e n e l c a m p o del Calcolo f u n z i o n a l e . (Atti della Soc. It. per il Progr. delle Se., X I Rinnione, Trieste).

,, - S u l l a p r e p a r a z i o n e deg l i I n s e g n a n t i . (Rivista Pedagogica, anno XIV). 1922 - S t r u t t u r a d i u n o s p a z i o i n v a r i a n t e h e l l e t eo r ia del le o p e r a z i o n i l i near i . (Rend. Bol.,

2(. S , X X V I ) .

,, - S u l l e o p e r a z i o n i l i n e a r i p e r m u t a b i l i co l in d e r i v a z i o n e . (Re~d. Bol , 2(, S , X X V I I I ) . ~) - R e c e n s i o n e d e l l ' o p e r a : ~ Darstel lnng und Begri indung eiaiger nenerer Ergebnisse

der Funktionentheorie )) di E. LA~DAC. (Boll. U. M. I , anno I). ~, - S u l t e o p e r a z i o n i l i n e a r i p e r m u t a b i l i co l ta d e r i v a z i o n e . (Boil. U. M I.~ anno I). ,, - Gl i e l~men t i d e l l a t e o r i a delle f u n z i o n i a n a l i t i c h e . T. I, Bologna, Zanichelli.

1923 - O p e r a z i o n i f u n z i o n a l i p e r m u t a b i l i eo t la d e r i v a z i o n e . (Boll. U. M~. I., anno II) . 1924 - S u l l e f u n z i o n i t ~ a s e e n d e n t i s empl i e i . (Rend. IAncei, s~ 5 a, ~oi. X X X I I I ) .

- A n c o r a s u l l e f u n . z i o n i t~ 'ascendent i s emp t i c i . (Rend. Lincei, s. 5a~ ~ol. X X X I I I ) . ,, - S u u n a s e p a r a z i o n e d i s i n g o l a r i t & i n u n a f u n z i o n e a n a l i t i c a . (YCend. Lincei~ s. 5 a,

vol. X X X I I I ) . , - S u l l a g e n e r a l i z z a z i o n e d i a l c u n e t r a s e e n d e n t i c lass iche . (Rend. Bol , 2(. S , X X V I I I ) . ~, - R e l a z i o n e del ]Presidente a l l ' a d u n a n z a pub 'b l ica so l enne d e l l ' A c c a d e m i a del 22 g i u g n o

1924. (Mem. Bol , s. V I I I , t. I). ,~ - R e c e n s i o n e d e l l ' o p e r a : ,, Einflihrung in die Theorie der algebraischen Funkt ionen

einer Veranderl iehen ,~ di H. W. E. JuxG. (Boll. U. M. I , anno I I I ) . 1925 - D i a l c u n e t r a s f o r m a z i o n i f u n z i o n a t i . (Rend. Lincei, s. 6 a, vo]. I}.

~, - R e c e n s i o n e d e l l ' o p e r a : ~ L e calcul des probabilit6s ~ la portge de tous ,~ d i FRECHET e tIALBWACHS. (Boll. U. BI. I;, anno IV).

- C o m m e m o r a z i o n e d i A. )].ERLANL (Rend. BoI.~ N. S., XXIX). 19"26 - S u r la r d s o l u t i o n de l' d q u a t i o n f o n c t i o n n e l l e ~ h~ ~ ( x ~ ~ ) =:- f(x) 4 coef f ic ients con.

s t a n t s . (Acre Math., X L V I I I ) .

20 U. AMALDI: S a l v a t o r e P i n c h e r l e

1926 - S~,lle ser ie d i p o t e n z e n e g a t i v e d i u n a v a r i a b i l e . (Rend. Bol , N. S., X X X ) . ~ - I I Calcolo delle d i f f e r e n z e f in i te . (Bol l U. M. I., anne V). ~ - No t i ce s u r les t r a v a u x de S. PII~CI-IEaLE. (Aeta Math., XLVI) .

19"27- U n a c lasse s p e c i a l e d i f o r m e d i f f e r e n z i a l i l i n e a r i d ' o r d i n e i~ f i~ i to . (Mere. Bol., s. 8 ~, IV).

1928 - R e c e n s i o n e d e l l ' o p e r a : di I-L LEBESGUE. (Boll. U. ~¢J[. I.,

anne V I I I ) . ~, - R e c e n s i o n e d e l l ' o p e r a : ~ Lecans sur les dqnations lindaires aux diffdrences f i n i e s ,

di ~. E. N(iRr~UND. {Boll. U. M. I., anne VI I I ) . - O p e r a z i o n i f ~ n z i o n a l i l i n e a r i e s v i l u p p i del lo zero. (Rend. Lincei, s. 6a~ vo]. IX).

~ - S o p r a u n ' e s t e n s i o n e de t concet to d i d i v i s i b i l i t Y . {Rend. del Semin. Mat. di Milano, I I I j . ~ - U n a g e n e r a l i z z a z i o n e d e l l a d i v i s i b i l i t ~ a lgebr i ea (con relat iva traduzione in francese)

Bologna~ Za~ichelli. ,) C o m m e m o r a z i o n e del socio I~RA~CESCO BRIOSCtII. (Atti della Soc. It . delle Se , delta

dei XL, s. 3a~ t. X.XIII) . ,~ - O s s e r v a z i o n i s u l t a t r a s f o r m a z i o n e d i EULEI~-LINDEL~iF. (Rend. B a l , ~ . S., X X X I I I ) .

- O s s e r v a z i o n i s o p r a ~ i u ~ a e lasse d i opeq 'az ioni l i near i . (ACti del Congr. Int. dei MaL (Bologna-1928L t. I I I ) .

t930 - S u i coe f f ic ien t i d i f a t t o r i a l i . (Ann. di ) I a t , s. 4 a, t. VII) . , - S'~lle ser ie o r d i n a t e p e r le p o t e n z e success ive d e l l ' i n t e g r a z i o n e . (Rend. Bol., 1~. S ,

X~CXIV). ~, - S u g l i a u t o t r a s f o r m a t o ~ ' i . {Rend. Bal., ~ . S , XXXIV) . ~ - Recens ione d e l l ' o p e r a : ~ Darstel lung und Begriindung einiger neuerer Ergebnisse der

Funkt ionenthear ie (Zweite Auflage) ~ d i E. LANI)AU. {B011. U. M. I., anna IX). - P a r o l e d ' a p e r t u r a a l l ' a d u n a n z a p u b b l i c a d e l l ' A c e a d e m i a del 80 n o v e m b r e 1930.

(Mere. Bol, s, V I I I , ~. VIII). 1931 - S o p r a u n o spec ia le o p e r a t o re l i neare , ~o te I , i i e I I L {Rend. Lineei, s. 6% vall.

XIII~ XIV). >~ - L e f u n z i o n i a n a t i t i c h e d a u n p u n t o d i v i s t a e l e m e n t a r e . (Eneielopedia Matem. ele-

mentari, val. I). ~> - S u l l o s c a r t o d e l l a p e r m u t a b i l i t d he l le o p e r a z i o n i l i near i . (I~end. Bol., 2~. S , XXV). ), - S u l l a p e r m u t a b i l i t ~ n e g l i o p e r a t o r i l i n e a r i . (Atti Sacieti~ I ta l iana Pragr . Scienze,

X X Rinnione~ vol. I I ) . ~ - D e t e r m i n a n t i . (Eneielopedia Italiana~ vol. XII) . ~ - R e c e n s i o n e d e l l ' o p e r a : ~ Integralgle ichungen >>~ di @. KOWALEWSKI. (Bolt. U. M. I ,

anne X). i932 - U n ' a p p l i c a z i o n e de l m e t o d o s imbol ico . {Boll. U. M. I , anne XI).

G e n e r a l i z z a z i o n e d e l l a t e o r ia del le e q u a z i o n i d i f f e r e ~ z i a l i l i n e a r i a coe f f i c ien t i eos tan t i .

(Mere. Bol , s. V I I I , t. IX). ), - R e c e n s i o n e d e l l ' o p e r a : ,~ Lemons sur les fonctions enti~res ou monodrames, , d i

~o. )~O:NTEL. {Boll. U. M. I , anna XI). ,~ - C o m m e m o r i a z i o n e di GIUSEPPE VITALI. {Rend. Bol., N. S , XXXVI) . , - R e c e n s i o n e del l ' o p e r a : ~, Knaten~hearie ~ d i K , REIDE~IEISTEI¢. {Ball. U. M. I , anne XI).

l J . AN:ALDI: S a l v a t o r e P i n c h e r l e 21

1933 - S u l l ' i t e r a z i o n e d e l l ' o p e r a t o r e xD. (Boll. U. M. I , anno XII}. ,~ - O p e r a t o r i t i n e a v i e coe f f i c ien t i d ! f a t t o r i a l i . (Rend. Lineal , s. 6 a, vol. X V I I I ) . ~> - O p e r a t o r i n o r m a l i d i t a n g o u n o he l lo s p a z i o della ser ie d i po te~ze . (Rend. ]3ol, ~ . S ,

X X X V I I ) . ,> - R e c e n s i o n i della opera: di C. C. MAC-DUFFEE; d i H. v. I~IA?CGOLDT'S (VOI. I I I , edizione curata da X. K~oI, t)); ~, Cours d 'Alg~bre (h t ' usage des classes de 3~m% 2de et 16re de 1' ense ignement secondaire} >, d i R . EST~]VE e ]-I. ~ITAULT. (Boll. U. M. I., anno XII).

,, - F u n z i o n i no tevo t i . (Enciclopedia italiana~ voI. XVI) - 1934 - S u u n a d e c o m p o s i z i o n e i n f a t t o r i degl i o p e r a t o r i n o r m a l i (Rend. B o l , s. ~a, t. X X X V I I I } .

,, - R e c e n s i o n e d e l l ' o p e r a : ~ Topologie I. Espaees of matrices ,~ d i C. C. MAC-DUFFEE. (Boll. U. M. I , anno X I I I ) .

1935 - Una g e ~ e r a l i z z a z i o n e de t c o n c e r t o d i d i v i s i b i l i t 4 . {Boll. U. M. I , anno XIV) . ~, - A l c u n e o s s e r v a z i o n i s u g l i o p e r a t o r i n o r m a l i +tello s p a z i o del le serie d i po t enze , (Rend.

BoI., N. S., N:XXIX). ~ - R e c e n s i o n e d e l l ' o p e r a : , di t I . DuLAc; > di R . ESTEVE e H. MI~rAULT. (BolI. U. M. I.~ anne XIV) .

>~ - R e e e n s i o n i del le opera: ,~ Quelques proprigt~s des varigtds algdbriques se rat tachant aux th~orie de l 'Alg~bre moderne ,> d i P . D U B R E U I L ;