Sadr«â€zaj - Prirodoslovno-matemati¤†ki fakultet ...mapmf.pmfst.unist.hr/~skresic/Algebra/Z.Stojakovic...¢ 

  • View
    0

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of Sadr«â€zaj - Prirodoslovno-matemati¤†ki fakultet...

  • Sadržaj

    Predgovor 3

    I GRUPE 5

    1.1 Pregled definicija i teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.2 Primeri i aksiomatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    1.3 Osnovne osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

    1.4 Homomorfizam, izomorfizam . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

    1.5 Cikličke i Abelove grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

    1.6 Grupe permutacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

    1.7 Podgrupe, normalne podgrupe i faktor grupe . . . . . . . . . 81

    1.8 Direktan proizvod grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

    1.9 Komutatori, rešive grupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

    1.10 Teoreme Silova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

    1.11 Automorfizmi grupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

    II PRSTENI 129

    2.1 Pregled definicija i teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

    2.2 Primeri i aksiomatika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

    2.3 Osnovne osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

    2.4 Ideali i homomorfizmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

    2.5 Maksimalni i prosti ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

    2.6 Prsten polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

    2.7 Simetrični polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

    1

  • 2 SADRŽAJ

    IIIPOLJA 223

    3.1 Pregled definicija i teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

    3.2 Primeri i osnovne osobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

    3.3 Proširenja polja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

    3.4 Teorija Galoa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

    Pregled oznaka 275

    Literatura 276

  • Predgovor

    Ova zbirka primera, zadataka i problema je namenjena studentima matematike, ali može biti od koristi i studentima drugih fakulteta, pre svega tehničkih, inženjerima, fizičarima, hemičarima i svim onima koji žele da se upoznaju sa teorijom grupa, prstena i polja.

    Knjiga je podeljena u tri dela. U prvom delu je obrad̄ena teorija grupa, u drugom teorija prstena i u trećem teorija polja. Na početku svakog dela je naveden pregled teorije, definicije i teoreme čije poznavanje potrebno za rešavanje zadataka koji slede. Većina zadataka je rešena, za neke su data uputstva, a jedan deo zadataka je ostavljen čitaocu za samostalno rešavanje. Autori su nastojali da se izborom i redosledom zadataka ostvari postupnost u izlaganju materije. U zbirku je u uključen i izvestan broj zadataka iz ma- tematičkih časopisa i uz takve zadatke navedena je literatura koja čitaocu omogućuje da se detaljnije upozna sa pojedinim problemima.

    Autori se zahvaljuju recenzentima dr Ratku Tošiću i dr Biljani Janevoj, kao i dr J. Ušanu koji su pregledali rukopis i dali niz korisnih sugestija i primedbi.

    Novi Sad, 10. februar 1998.

    Autori

    3

  • 4

  • I

    GRUPE

    1.1 Pregled definicija i teorema

    1.1. Funkcija f : S×S → S, gde je S neprazan skup, naziva se binarna operacija na skupu S.

    Dakle, binarna operacija f definisana na skupu S pridružuje svakom ured̄enom paru elemenata iz S jedan element iz S. Da ured̄enom paru (a, b) odgovara element c zapisujemo sa f(a, b) = c ili a f b = c.

    Često se ovako definisana binarna operacija naziva unutrašnja binarna operacija (za razliku od spoljašnje binarne operacije koja se definǐse kao preslikavanje g : S × T → R, gde su S, T i R neprazni skupovi).

    1.2. Ako je n prirodan broj, S neprazan skup i Sn = S × . . .× S︸ ︷︷ ︸ n puta

    , onda

    se funkcija f : Sn → S naziva n-arna operacija na skupu S. Broj n naziva se dužina ili arnost operacije f. n-arna operacija se za n = 1 naziva unarna, a za n = 3 ternarna (za n = 2 dobija se ranije definisana binarna operacija).

    1.3. Ako je S skup na kome je definisana binarna operacija ∗, a T podskup od S takav da za svako a, b ∈ T

    a ∗ b ∈ T,

    onda kažemo da je skup T zatvoren u odnosu na operaciju ∗ . 1.4. Ako je na skupu G definisana binarna operacija ∗, onda se ured̄en

    5

  • 6 I. GRUPE

    par (G, ∗) naziva grupoid. Kaže se, takod̄e, da je G grupoid u odnosu na operaciju ∗ .

    Često ćemo, kada se podrazumeva o kojoj je operaciji reč, govoriti samo ,,grupoid G” (umesto ,,grupoid (G, ∗)”) .

    1.5. Binarna operacija ∗ definisana na skupu G je asocijativna ako i samo ako je za svako a, b, c ∈ G

    a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c.

    Operacija ∗ naziva se komutativna ako i samo ako je za svako a, b ∈ G a ∗ b = b ∗ a.

    1.6. Grupoid (G, ∗) naziva se polugrupa ako i samo ako je ∗ asocijativna operacija.

    1.7. Ako je (G, ∗) grupoid i postoji element e ∈ G takav da za svako a ∈ G važi

    a ∗ e = e ∗ a = a, onda se e naziva neutralni (ili jedinični) element grupoida (G, ∗).

    Ako je element e′ ∈ G takav da za svako a ∈ G važi a ∗ e′ = a,

    onda se e′ naziva desni neutralni element, a ako je element e′′ ∈ G takav da za svako a ∈ G važi

    e′′ ∗ a = a, onda se e′′ naziva levi neutralni element grupoida (G, ∗).

    1.8. Grupoid (G, ∗) u kome za svako a, b ∈ G jednačine a ∗ x = b, y ∗ a = b,

    imaju jedinstveno rešenje po x i y u G, naziva se kvazigrupa.

    Kvazigrupa sa neutralnim elementom naziva se lupa.

    1.9. Grupoid (G, ∗) se naziva grupa ako i samo ako važe sledeći aksiomi: G1. Za svako a, b, c ∈ G

    a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c,

  • 1.1. Pregled definicija i teorema 7

    (operacija je asocijativna).

    G2. Postoji element e ∈ G tako da je za svako a ∈ G e ∗ a = a,

    (postoji levi neutralni element).

    G3. Za svako a ∈ G postoji element a−1 ∈ G tako da je a−1 ∗ a = e,

    (svaki element a ima levi inverzni element a−1).

    1.10. Sa definicijom 1.9 je ekvivalentna definicija grupe koja se dobija iz 1.9 na sledeći način: u G2 se zahteva egzistencija desnog neutralnog elemen- ta (umesto levog), u G3 se zahteva egzistencija desnog inverznog elementa (umesto levog), a sve ostalo u 1.9 ostaje neizmenjeno.

    1.11. Grupa (G, ∗) u kojoj je operacija ∗ komutativna naziva se komu- tativna grupa ili Abelova grupa.

    1.12. Ako je (G, ·) grupa (definicija 1.9), onda važi (pri tom, kada operaciju označavamo znakom · pisaćemo često umesto a · b skraćeno ab) :

    a) Ako je e levi neutralni element, onda je e i desni neutralni element, tj. e je neutralni element.

    b) Neutralni element je jedinstven.

    c) Ako je a−1 levi inverzni element elementa a, onda je a−1 i desni inverzni element elementa a (dakle, a−1 je inverzni element za a).

    d) Svaki element grupe ima jedinstven inverzni element.

    e) Za svako a ∈ G

    (a−1)−1 = a.

    f) Za svako a, b ∈ G, (ab)−1 = b−1a−1.

    g) Za svako a, b, c ∈ G ac = bc ⇒ a = b i ca = cb ⇒ a = b,

  • 8 I. GRUPE

    (važe zakoni desne i leve kancelacije (skraćivanja)).

    h) Za svako a, b ∈ G jednačine ax = b i ya = b

    imaju jedinstveno rešenje po x i y u G.

    1.13. Red grupe G je kardinalni broj skupa G i označavamo ga sa |G|. Ako je |G| konačan broj grupa se naziva konačna.

    Sa |S| označavaćemo i kardinalni broj proizvoljnog podskupa S grupe G.

    1.14. Red elementa a grupe G je najmanji prirodan broj n za koji je an = e, ako takvo n postoji. Ako takav prirodan broj ne postoji, a je beskonačnog reda. Red elementa a označavaćemo sa |a|.

    1.15. Ako je (G, ·) grupa, podskup H grupe G naziva se podgrupa grupe G ako i samo ako je H grupa u odnosu na restrikciju operacije · na H.

    U grupi G skup koji sadrži samo jedinični element {e} i sama grupa G su podgrupe i te podgrupe nazivaju se trivijalne. Ostale podgrupe nazivaju se netrivijalne.

    Podgrupe grupe G različite od G nazivaju se prave.

    1.16. Neprazan podskup H grupe G je podgrupa ako i samo ako za svako x, y ∈ H, xy−1 ∈ H.

    1.17. Konačan neprazan podskup H grupe G je podgrupa ako i samo ako za svako x, y ∈ H, xy ∈ H.

    1.18. Homomorfizam grupe (G1, ∗) u grupu (G2, ·) je preslikavanje f skupa G1 u skup G2 za koje za svako x, y ∈ G1 važi

    f(x ∗ y) = f(x) · f(y).

    Jezgro homomorfizma f je skup svih elemenata izG1 koji se preslikavaju u neutralni element e2 grupe G2. Jezgro homomorfizma f označavaćemo sa Kerf, dakle,

    Kerf = {x | x ∈ G1 i f(x) = e2}.

    Sa Im f (ili sa f(G1)) označavaćemo skup

    Im f = f(G1) = {y | y ∈ G2 i (∃x ∈ G1)f(x) = u}

  • 1.1. Pregled definicija i teorema 9

    i taj skup nazivamo slika homomorfizma f .

    Ako je f surjektivno preslikavanje (tj. f(G1) = G2), G2 se naziva homo- morfna slika grupe G1. U tom slučaju homomorfizam se naziva epimorfizam.

    Homomorfizam koji je injektivno preslikavanje naziva se monomorfizam.

    Ako postoji monomorfizam grupe G1 u grupu G2, kažemo da se G1 može potopiti u G2.

    1.19. Homomorfizam koji je epimorfizam i monomorfizam (tj. bijekcija) naziva se izomorfizam. Grupa G1 je izomorfna grupi G2 ako i samo ako postoji izomorfizam f : G1 → G2. Da je grupa G1 izomorfna grupi G2 označavaćemo sa G1 ∼= G2.

    1.20. Homomorfizam kojim se gru

View more >