s3_13_3 Matematiques Gs Solucions 09.Indd

Prova d’accés a Cicles formatius de grau superior de formació professional, Ensenyaments d’esports i Ensenyaments d’arts plàstiques i disseny 2009

S3_13_3 MATEMATIQUES GS SOLUCIONS 09

MatemàtiquesSèrie 3

Instruccions

• Trieu i resoleu CINC dels set exercicis que us proposem.

• Indiqueu clarament quins exercicis heu triat. Només se n’avaluaran cinc.

• Cada exercici val 2 punts.

SOLUCIONS,

CRITERIS DE CORRECCIÓ

I PUNTUACIÓ

S3_13_3 MATEMATIQUES GS SOLUCIONS 09.indd 1S3_13_3 MATEMATIQUES GS SOLUCIONS 09.indd 1 25/03/09 17:1725/03/09 17:17

2

1. Calculeu de manera exacta i, si es pot, simplifiqueu el resultat:[2 punts: 0,5 punts per cada apartat]

a) 2 5 − 3( ) −3 2 3 − 5( ) = 2 5 −2 3 −6 3 + 3 5 = 5 5 −8 3

b) 52 ⋅ 2 − 18 = 5 2 −3 2 = 2 2

c) 4 − 3( )

2

= 16 −8 3 + 3 = 19 −8 3

d)

73

−7

12=

4 7 − 712

=3 712

=74

2. Resoleu:[2 punts: 1 punt per cada apartat]

a)

x(x −3)5

=x +15

10; 2x2−6x = x +15; 2x2 −7x −15 = 0;

x = 5; x = −

32

b)

x −3y = −2

3x −2y = 8

⎧ ⎨ ⎩

; x = −2 + 3y ; 3(−2 + 3y )−2y = 8; −6 +7y = 8; y = 2; x = 4

Podeu admetre altres maneres de resoldre el sistema.


3

3. Volem calcular l’alçària d’un edifici que és a una certa distància d’on ens trobem nosaltres. Des d’on som, n’observem el punt més alt amb un angle de 35º. Si ens apropem 200 metres a l’edifici, aleshores l’angle és de 47º.[2 punts: 0,5 punts per l’apartat a i 1,5 punts per l’apartat b]

a) Feu un esquema del problema.

b) Quant fa l’alçària de l’edifici?

tg 47 =hx

tg 35 =h

200 + x

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

;h = x ⋅ tg 47

h = (200 + x) ⋅ tg 35

⎧ ⎨ ⎩

; x ⋅ tg 47 = (200 + x) ⋅ tg 35

x ⋅ tg 47 = 200 ⋅ tg 35 + x ⋅ tg 35 ; x ⋅ (tg 47 − tg 35) = 200 ⋅ tg 35

x =

200 ⋅ tg 35tg 47− tg 35

= 376,29 m; h = 376,29 ⋅ tg 47 = 403,52 m


4

4. Donats el punt del pla P = (3, –2) i la recta r: y =

34

x + 2, calculeu:[2 punts: 0,5 punts per cada apartat]

a) Un punt qualsevol i el pendent de la recta r.

Punt: per exemple, (0, 2)

Pendent: m =

34

b) Un vector director de la recta i un vector que sigui perpendicular al vector director.

Vector director: m =

v2

v1

=34

; v = (4, 3)

Vector perpendicular: per exemple, v = (−3, 4)

c) L’equació de la recta paral·lela a r que passa per P.

x −34

=y + 2

3o bé 3x − 4y −17 = 0 o bé y =

34

x −174

d) L’equació de la recta perpendicular a r que passa per P.

x−3−3

=y + 2

4o bé 4x−3y −6 = 0 o bé y = −

43

x + 2


5

5. Feu un esbós d’una funció que tingui, simultàniament, totes les característiques següents:[2 punts: es descomptaran 0,5 punts per cada condició que no es verifiqui]

— No té cap asímptota vertical, ni horitzontal ni obliqua.— És creixent en (–∞, 0) i en (6, +∞).— És decreixent en (0, 6).— Té extrems relatius només en els punts (0, 1) i (6, –3).— Té un únic punt d’inflexió en (3, –1).

6. Determineu els punts de discontinuïtat de la funció següent i indiqueu de quin tipus són.[2 punts: 1 punt per trobar els punts de discontinuïtat i 1 punt per indicar el tipus de discontinuïtat de cada punt]

f (x) =

x2− 4x2− x −2

x2− x −2 = 0; x =

1± 1+ 82

=2

−1

⎧ ⎨ ⎩

limx→2

x2− 4x2− x −2

=(x + 2) (x −2)(x −2) (x +1)

=43⇒ Discontinuïtat evitable en x = 2

limx→−1

x2− 4x2− x −2

=−30

= ∞

⇒ Discontinuïtat asimptòtica en x = –1


6

7. La taula de freqüències següent correspon a l’edat de la població d’una ciutat petita de Catalunya.[2 punts; 0,5 punts per cada apartat]

a) Completeu la taula.

EdatFreqüència absoluta

Marca de classe

xi · ni

Freq. absol. acumulada

Graus

[0, 20) 3 400 10 34 000 3 400 61,2

[20, 40) 3 800 30 114 000 7 200 68,4

[40, 60) 5 500 50 275 000 12 700 99

[60, 80) 5 800 70 406 000 18 500 104,4

[80, 100) 1 500 90 135 000 20 000 27

Total 20 000 964 000 360

b) Calculeu la mitjana aritmètica.

Mitjana =

964 00020 000

= 48,2 anys

c) Indiqueu quines són la classe modal i la classe de la mediana.

Classe modal = [60, 80)Classe de la mediana = [40, 60)

d) Dibuixeu un gràfic de sectors.

EDAT DE LES PERSONES

[0, 20)

[20, 40)

[40, 60)

[60, 80)

[80, 100)


7


L’Institut d’Estudis Catalans ha tingut cura de la correcció lingüística i de l’edició d’aquesta prova d’accés


Documents

s3_13_3 Matematiques Gs Solucions 09.Indd