교육학석사학위논문

호도법의 의의에 대한 고찰

및 학습지도방안 탐색

2018년 2월

서울대학교 대학원

수학교육과

임 장 미

호도법의 의의에 대한 고찰

및 학습지도방안 탐색

지도교수 최 영 기

이 논문을 교육학석사학위논문으로 제출함

2017년 11월

서울대학교 대학원

수학교육과

임 장 미

임장미의 석사학위논문을 인준함

2018년 12월

위 원 장 권 오 남 (인)

부 위 원 장 조 한 혁 (인)

위 원 최 영 기 (인)

- i -

국문초록

호도법의 의의에 대한 고찰

및 학습지도방안 탐색

호도법은 호의 길이를 이용하여 각을 측정한다는 아이디어를 내포하

고 있다. 그러나 학생과 예비교사들은 호도법을 단순히 육십분법의 변환

으로만 생각하는 등 호도법의 의의를 깨닫지 못하는 경향이 있다. 이에

본 연구에서는 호도법의 중요성을 알아보고자, 호도법에 내재된 수학구

조와 삼각함수의 그래프를 다룰 때 호도법의 의의를 알아보았다. 중학교

수학의 근간이 되는 유클리드 기하에서 선을 이용하여 각을 측정하기 위

해서는 (호의길이)/(반지름의 길이)와 같은 ‘길이의 비율’이 필요하다. 이

때 반지름의 길이와 상관없이 ‘길이의 비율’이 일정한 이유에는 원주율이

상수()라는 유클리드 기하 고유의 구조가 내재되어 있다. 이는 그 기원

이 우연적이고 문화적인 육십분법과 다른 호도법의 의의이다. 또한 호도

법은 삼각함수를 다룰 때에도 중요한 역할을 한다. 삼각함수의 정의역을

각을 나타내는 호로 두는 것은 삼각함수를 실함수로 만들고, 삼각함수의

그래프, 합성, 극한과 같은 학교수학의 내용을 직관적으로 설명할 수 있

게 한다. 반지름이 1인 원의 선택과 함께 라디안 단위의 사용은 삼각함

수의 정의역을 호의 길이로 둘 수 있게 하는 가장 간결한 방법이다.

이 같은 고찰을 바탕으로 호도법 아이디어와 삼각함수에서 호도법의 의

의에 대해 교과서에서 어떻게 다루는 지 분석하였다. 1차 교육과정부터

2009개정 교육과정까지의 교과서를 분석한 결과 교육과정이 변함에 따라

- ii -

호도법 아이디어 및 삼각함수에서 호도법의 의의 관련 내용을 다루는 교

과서들이 점점 늘어났으나, 여전히 이에 대해 다루는 교과서가 적고, 다

루는 내용도 파편적으로 흩어져 있음을 알 수 있었다. 또한 본 연구에서

는 학생과 예비교사의 호도법 아이디어와 삼각함수에서 호도법의의에 관

한 이해를 조사하였다. 그 결과 학생과 예비교사는 호도법 아이디어를

적용하면 직관적으로 해결할 수 있는 문항에도 호도법 아이디어 보다는

공식을 이용하여 해결하는 것을 선호하였으며, 단위원에서 호의 길

이가 삼각함수의 정의역이 됨을 즉각적으로 파악함에 익숙하지 않다는

것을 알 수 있었다. 이러한 연구를 바탕으로 본 고는 호도법 아이디어

및 삼각함수에서 호도법의 의의를 강조하는 학습지도 방안에 대해 제언

하였다.

주요어: 호도법, 유클리드 기하, 삼각함수

학 번: 2016-21569

- iii -

목 차

Ⅰ. 서론 ·····················································································1

Ⅱ. 호도법에 내재된 수학구조 ···········································4

1. 호도법에 관한 기존 연구 ··························································· 4

2. 유클리드 기하 ················································································ 5

3. 호도법 아이디어에 내재된 수학구조 ······································ 6

가. 유클리드 기하 고유의 성질을 내재한 호도법 아이디어 ·········6

나. 도와 라디안의 차이 ·········································································9

Ⅲ. 호도법과 삼각함수 ······················································· 11

1. 삼각함수의 역사와 호도법 ·····················································11

가. 원호와 삼각함수 ·············································································11

나. 삼각함수의 역사에서 볼 수 있는 호도법의 의의 ···················13

2. 삼각함수에서 호도법의 의의 ···················································14

가. 삼각함수의 정의역 ·········································································14

나. 삼각함수의 정의역으로 호도법의 의의 ·····································16

다. 삼각함수를 다룰 때 도와 라디안의 차이 ·································20

Ⅳ. 호도법 내용에 대한 교과서 분석 ···························· 22

1. 교과서 분석 기준 ······································································23

2. 교육과정별 교과서 분석 ···························································27

가. 1차 교육과정 ···················································································28

- iv -

나. 2차 교육과정 ···················································································29

다. 3차 교육과정 ···················································································30

라. 4차 교육과정 ···················································································33

마. 5차 교육과정 ···················································································36

바. 6차 교육과정 ···················································································38

사. 7차 교육과정 ···················································································40

아. 7차 개정 교육과정 ·········································································45

자. 09 개정 교육과정 ···········································································51

3. 교육과정별 교과서 분석 결과 시사점 ··································53

가. 교육과정 변화에 따른 시사점 ·····················································53

나. 세부기준별 분석에 따른 시사점 ·················································56

다. 교과서에서 다룬 내용에 따른 시사점 ·······································57

Ⅴ. 학생과 예비교사의 호도법 및 삼각함수 이해 ····· 58

1. 연구 방법 및 절차 ······································································58

가. 연구 참여자 ·····················································································58

나. 조사 절차 ·························································································58

다. 조사 도구 ·························································································59

라. 분석 방법 ·························································································60

2. 연구 결과 및 논의 ······································································61

가. [문항 1] 응답 분석 ········································································61

나. [문항 2] 응답 분석 ········································································64

다. [문항 3] 응답 분석 ········································································66

라. [문항 4] 응답 분석 ········································································68

마. 논의 ···································································································73

Ⅵ. 결론 및 제언 ·································································· 75

- v -

참고문헌 ·················································································· 81

<부록A> 호도법 및 삼각함수 이해 조사지 (학생용)

·············································································· 91

<부록B> 호도법 및 삼각함수 이해 조사지 (예비교사

용) ········································································ 94

ABSTRACT ········································································· 97

- vi -

표 목 차

<표 Ⅲ-1> 도를 사용할 때와 라디안을 사용할 때의 사인 미분 ······· 20

<표 Ⅳ-1> 교과서 분석 기준 ·······································································26

<표 Ⅳ-2> 분석 자료 ·····················································································27

<표 Ⅳ-3> 1차 교육과정 교과서 분석 ·······················································28

<표 Ⅳ-4> 2차 교육과정 교과서 분석 ·······················································30

<표 Ⅳ-5> 3차 교육과정 교과서 분석 ·······················································31

<표 Ⅳ-6> 3차 교육과정 지도서 분석 ·······················································32

<표 Ⅳ-7> 4차 교육과정 교과서 분석 ·······················································34

<표 Ⅳ-8> 4차 교육과정 지도서 분석 ·······················································35

<표 Ⅳ-9> 5차 교육과정 교과서 분석 ·······················································36

<표 Ⅳ-10> 5차 교육과정 지도서 분석 ·····················································37

<표 Ⅳ-11> 6차 교육과정 교과서 분석 ·····················································38

<표 Ⅳ-12> 7차 교육과정 교과서 분석 ·····················································41

<표 Ⅳ-13> 7차 교육과정 지도서 분석 ·····················································42

<표 Ⅳ-14> 7차 개정 교육과정 교과서 분석 ···········································46

<표 Ⅳ-15> 7차 개정 교육과정 지도서 분석 ···········································49

<표 Ⅳ-16> 2009개정 교육과정 교과서 분석 ···········································52

<표 Ⅳ-17> 2009개정 교육과정 지도서 분석 ···········································53

<표 Ⅳ-18> 교육과정별 세부기준 반영 교과서 수 ···································54

<표 Ⅳ-19> 교육과정별 서술 세부기준 수 ···············································55

<표 Ⅴ-1> 조사항목 및 출처 ·········································································60

<표 Ⅴ-2> [문항 1] 응답 분석 ······································································61

<표 Ⅴ-3> 호도법 아이디어 외의 방법을 활용하여 문제를 해결한 경우····· 62

<표 Ⅴ-4> [문항 2-1] 응답 분석 ··································································64

<표 Ⅴ-5> [문항 2-2] 응답 분석 ··································································64

- vii -

<표 Ⅴ-6> [문항 3] 응답 분석 ····································································66

<표 Ⅴ-7> [문항 3]에서 부채꼴의 중심각 도출 후 문제해결방법 ········ 67

<표 Ⅴ-8> 학생용 [문항 4-1] 응답 분석 ····················································68

<표 Ⅴ-9> 학생용 [문항 4-2] 응답 분석 ··················································69

<표 Ⅴ-10> 학생용 [문항 4-3] 응답 분석 ················································70

<표 Ⅴ-11> 예비교사용 [문항 4-2] 응답 분석 ··········································70

<표 Ⅴ-12> 예비교사용 [문항 4-2] 응답 분석 ··········································73

그 림 목 차

[그림 Ⅱ-1] 삼각비 ····························································································8

[그림 Ⅱ-2] 단위 구 ··························································································9

[그림 Ⅲ-1] 사인 값 ························································································12

[그림 Ⅲ-2] 반지름을 단위로 한 단위원 ····················································16

[그림 Ⅲ-3] 호의길이가 정의역인 삼각함수 ··············································17

[그림 Ⅲ-4] 삼각함수의 그래프 ····································································18

[그림 Ⅲ-5] sinsin의 설명 ··········································································19

[그림 Ⅲ-6] lim→

sin의 설명 ··········································································19

[그림 Ⅳ-1] 3A교과서의 T-A설명 ·································································31

[그림 Ⅳ-2] 4C교과서의 C-R1, C-S설명 ·····················································34

[그림 Ⅳ-3] 6H교과서의 삼각함수 그래프 ···················································40

[그림 Ⅳ-4] 7N교과서의 삼각함수 그래프 ···················································41

[그림 Ⅳ-5] 7L'지도서에서 C-U를 이용한 C-R2의 설명 ························43

- viii -

[그림 Ⅳ-6] 7K'지도서에서 T-A관련 내용 ·················································44

[그림 Ⅳ-7] 7L'지도서의 T-A관련 내용 ······················································45

[그림 Ⅳ-8] 개7K 교과서의 호도법관련 설명 ·············································48

[그림 Ⅳ-9] 개7K 교과서의 T-A관련 설명 ·················································48

[그림 Ⅳ-10] 개7K 교과서의 T-G관련 설명 ···············································48

[그림 Ⅴ-1] 호도법 아이디어를 적용한 T6의 응답 ···································62

[그림 Ⅴ-2] 공식을 이용한 T1의 응답 ·························································62

[그림 Ⅴ-3] 중심각과 호의 길이가 비례함을 이용한 T8의 응답 ··········· 62

[그림 Ⅴ-4] 도() 단위 로 변환 시도한 S4(위), S6(아래)의 응답 ········63

[그림 Ⅴ-5] 도()단위 생략한 S22의 응답 ·················································63

[그림 Ⅴ-6] 도() 단위 사용하여 해결한 S18의 응답 ·····························63

[그림 Ⅴ-7] 호와 반지름의 길이 비율 일정하기 때문이라고 한 T10의 응답 65

[그림 Ⅴ-8] 호와 반지름의 길이가 비례이기 때문이라고 한 S3의 응답 ·65

[그림 Ⅴ-9] 닮음이기 때문이라고 한 S5의 응답 ····································65

[그림 Ⅴ-10] 공식 이용하여 답한 T19의 응답 ···········································66

[그림 Ⅴ-11] 사인 이용한 T10의 응답 ·························································67

[그림 Ⅴ-12] 삼각비 이용한 T2의 응답 ·······················································67

[그림 Ⅴ-13] 정삼각형의 높이 이용한 T18의 응답 ···································67

[그림 Ⅴ-14] 그래프 이용한 S8의 응답 ························································69

[그림 Ⅴ-15] 대입하여 해결한 S3의 응답 ····················································69

[그림 Ⅴ-16] 추측으로 해결한 S1의 응답 ····················································69

- 1 -

Ⅰ. 서론

우리는 각의 크기를 측정하기 위한 방법으로 주로 육십분법과 호도법

을 사용한다. 육십분법은 원의 중심각을 360등분 한 것을 1도( )라고 하

고, 도( )를 단위로 각을 측정하는 방법으로, 교육과정에서는 초등학교

과정인 《수학 4-1》에서 처음 도입된다. 호도법은 교과서에서‘반지름

의 길이가 인 원주에 길이가 인 호를 잡을 때 이 호에 대한 중심각의

크기를 1라디안(radian)이라 하고, 각을 측정하는 데에 이 라디안을 단위

로 사용하는 방법’으로 설명된다. 또한 호도법(弧度法)은 단어자체의 뜻

처럼‘호의 길이로 각을 측정하는 방법’이라는 아이디어1)를 갖고 있다.

09개정 교육과정에서 호도법은 고등학교 과정인《미적분 Ⅱ》에서 처음

도입된다.

각의 측정에 대해 학습할 때 학생들은, 육십분법에 대해서는 별다른

어려움을 느끼지 못하는 반면, 호도법에 대해서는 그 이해가 부족한 경

향이 있다. 예를 들어 윤종관과 이덕호(2002)는 학생들이 육십분법과 호

도법을 변환하는 알고리즘에만 치중한 나머지 호도법을 단순히 육십분법

의 또 다른 표현으로만 이해하는 등 호도법 개념의 의미를 파악하지 못

한다고 하였다. 강윤수와 박수정(2003)도 학생들이 호도법과 육십분법의

차이를 인식하지 못한다고 하였다. 그리고 학생들뿐만 아니라 예비교사

도 호도법에 대한 이해가 부족하다고 기존연구들은 지적한다. Topçu 외

(2006)와 Akkoc(2008)은 예비교사들이 도( )와 라디안을 변환하는 측면

에만 초점을 맞추는 경향이 있다고 하였으며, 강향임과 최은아(2015)도

1) 호의 길이로 각을 측정한다는 호도법의 아이디어를 이하에서는 호도법 아이디어

라 칭할 것이다.

- 2 -

예비교사들이 라디안에 대해 정의보다는

로 기억한다고 하였다(강

향임, 최은아, 2015).

학교수학에서 호도법은 삼각함수를 학습하기 전에 도입된다. 그리고

삼각함수의 정의역을 육십분법보다는 주로 호도법을 사용하여 나타낸다.

그러나 학생들은 삼각함수의 정의역을 나타낼 때 육십분법의 도 단위와

호도법의 라디안 단위를 혼용하는 등 일관적이지 않은 경향을 보이며,

어떤 단위로 삼각함수의 정의역을 나타내야 할지에 대해 혼란스러워 한

다(강윤수, 박수정, 2003).

이처럼 호도법 및 삼각함수에서 호도법 사용에 대한 이해가 부족한 것

은 호도법 아이디어와 호도법의 중요성이 강조되지 않았기 때문이라 여

겨진다. 이에 본 고에서는 호도법 아이디어에 내재된 수학 구조를 살펴

보고, 이를 통해 호도법이 갖는 수학적 의의를 알아보고자 한다. 또한 삼

각함수의 정의역을 나타낼 때 호도법이 갖는 의의를 알아보고 호도법의

중요성을 다시금 상기 해보고자 한다. 그리고 이와 같이 고찰한 내용을

바탕으로 교과서에서 호도법 아이디어에 대해 어떻게 다루는지 살펴볼

것이다. 교과서는 우리나라의 교육과정별로 분석함으로써, 각 교육과정별

로 호도법에 관한 내용을 어떻게 다루었으며, 어떠한 변화가 있었는지에

대해서도 알아 볼 것이다. 또한 현재 학생들과 예비교사들이 호도법 아

이디어 및 삼각함수에서 호도법 사용에 대해 어떻게 이해하고 있는지 알

아 볼 것이다. 그리고 이러한 연구를 바탕으로 학교수학에서 호도법의

의의를 강조하여 지도하는 방안에 대해 제언 하고자 한다.

본 연구의 목적을 담고 있는 구체적인 연구문제는 다음과 같다.

- 3 -

1) 호도법에 내재된 수학구조와 삼각함수에서 호도법이 갖는 의의는

무엇인가?

2) 우리나라 교과서는 호도법 아이디어 및 의의를 어떻게 다루고 있는

가?

3) 호도법 아이디어 및 의의에 대한 학생 및 예비교사의 이해는 어떠

한가?

4) 호도법 아이디어 및 의의를 강조 하는 학습지도 방안은 무엇인가?

- 4 -

Ⅱ. 호도법에 내재된 유클리드기하구조

1. 호도법에 관한 기존 연구

호도법 개념에 대한 학생들의 이해를 조사한 연구들은 학생들이 호도

법의 의미를 파악하지 못한 채 육십분법과 호도법을 변환하는 과정에만

초점을 맞춘다고 지적한다(윤종관, 이덕호, 2002; 강윤수, 박수정, 2003;

송은영, 2008). 또한 예비교사들도 도()와 라디안 단위를 변환하는 측면

에만 초점을 맞추고(Topçu et al, 2006; Akkoc, 2008), 라디안을 정의보

다는

로만 기억한다고 지적하였다(강향임, 최은아; 2015).

이에 남진영과 임재훈(2008)은 라디안의 효과적인 지도를 돕고자, 라디

안 개념의 본질을 ‘각의 측도’와 ‘동질량의 비’ 두 가지로 나누어 분석하

였다. 이 중 ‘동질량의 비’는 호도법 아이디어를 반영한 접근으로서, 부채

꼴의 호의 길이 와 반지름의 길이 의 비, 즉 에 초점을 두는 접근이

다. 이와 같은 접근은 분자와 분모의 길이 단위가 약분되어 그 결과 남

는 것은 ‘수’가 되고, 이는 학교수학과 물리학에서 라디안 단위의 생략

및 삼각함수의 합성과 극한을 설명할 수 있다고 주장한다(남진영, 임재

훈, 2008). 이에 대하여 김완재(2009)는 라디안은 각일뿐이라고 지적하며,

삼각함수의 합성 및 극한에 대한 설명은 단위원의 호로 접근해야 하는

것이라고 반박한다.

또한 Moore(2013) 및 최은아와 강향임(2015)은 교수실험을 통해 호의

길이로 각을 측정하는 아이디어에 대한 학생들의 이해의 변화를 조사하

였다.

- 5 -

2. 유클리드 기하

기원전 300년경, 유클리드는 기하학적 명제들이 연역적 추론에 의하여

세워져야 한다는 사조를 바탕으로, 기하학 용어 23개를 정의(Definition)

하고, 기하학의 내용을 전개할 때 자명한 원리로 받아들이는 상식

(Common notions)과 공준(Postulates)을 각각 다섯 개씩 가정한 후, 이

를 바탕으로《Euclid 원론》을 저술하였다.

《Euclid 원론》은 후대 수학자들에게 많은 영감을 주었는데, 특히 유

클리드 공준 중 다섯 번째 공준은 그 모호함으로 인하여 많은 수학자들

의 관심을 끌었다. 수학자들은 유클리드의 다섯 번째 공준을 좀 더 간단

한 명제로 대체하기 위해 노력하였으며, 그 결과 다섯 번째 공준과 동치

인 다수의 명제들을 찾을 수 있었다. 그 중 대표적인 것이 플레이페어의

공준이라 부르는 것으로 평행선의 유일성을 말하고 있는 명제이다.2) 최

영기(1999)는 중학교 수학의 기하영역에 기초를 제공하는 다음의 네 가

지 명제가 유클리드의 평행공리와 동치인 사실을 지적하고, 평행선의 유

일성에 내재된 수학적 원리가 학교수학에서 가지는 중요성에 대해 강조

하였다.

명제 1. 임의의 직각삼각형에서 피타고라스의 정리가 성립한다.

명제 2. 직사각형이 존재한다.

명제 3. 임의의 삼각형의 내각의 합은 이다.

명제 4. 임의의 삼각형 ABC와 임의의 주어진 선분 DE에 대하여 대응각의 크

2) 플레이페어의 공준은 다음과 같다. “한 직선 과 위에 있지 않은 한 점 P가 주

어질 때 P를 지나서 과 평행한 직선 이 유일하게 존재한다.” 이 공준은 유클리

드 기하학을 또 다른 평행공준(예를 들어, 평행공준의 부정)위에서 세워진 다른 기

하학과 구별시키기 때문에 유클리드의 평행공리라고도 부른다(Greenberg, 1990).

- 6 -

기가 서로 같은 닮은 삼각형 DEF가 존재한다(p. 8).

이 외에도 최영기와 홍갑주(2008)는 원주율의 상수성이 평행공리를 만족하

는 유클리드 기하3)의 고유한 성질임을 재음미 해보며 원주율의 상수성이 학

교수학에서 가지는 의미에 대해 고찰한 바 있다.

학교수학의 근간이 되는 기하는 평행공리를 가정한 유클리드 기하이다. 학

교수학에서 다루는 다양한 수학내용에 내재된 유클리드 기하의 구조에 대하

여 고찰해 보는 것은, 현재 우리가 다루고 있는 수학 주제들의 본질을 더욱

심도 있게 알 수 있도록 하며, 단순히 수학적 사실이라 여겼던 내용들에 대

하여 그 의의 및 중요성을 깨닫게 하는 계기가 될 것이다.

3. 호도법 아이디어에 내재된 수학구조

각과 선(또는 선분)은 질적으로 다르다. 따라서 각의 크기를 선의 길이

를 이용하여 측정하는 것은 당연하게 여겨질 현상은 아니다. 하지만 호

도법을 사용하면 호의 길이를 이용하여 각의 크기를 정할 수 있다4). 이

장에서는 호도법과 같이 선의 길이를 이용하여 각의 크기를 측정하는 아

이디어에 내포된 수학구조에 대하여 알아본다.

가. 유클리드 기하 고유의 성질을 내재한 호도법 아이디어

각의 크기를 선의 길이를 이용하여 측정할 수 있다는 것은 두 양을 일

3) 통상적으로 평행선 공준을 가정한 기하를 유클리드기하라 하고, 평행선 공준을

만족하지 않은 기하를 비유클리드 기하라 한다.

4) 호도법 아이디어는 라디안을 단위로 사용하는 호도법뿐만 아닌 도( )를 단위로

사용하는 육십분법에도 포함되어 있다(남진영, 임재훈, 2008). 이 장의 논의는 호도

법 아이디어를 포함하고 있는 호도법 이외의 개념들에도 적용 가능하다.

- 7 -

대일대응 시킬 수 있다는 것을 의미한다. 즉, 다음과 같은 함수가 존재한

다.

모든 각의 크기에 관한 집합을 라 하자. 각의 크기 ∈에 대하여 함

수 → �가 존재하여, 와 대응하는 함숫값 는 선의 ‘길이’를

이용하여 나타낸 것이다 .

유클리드 기하를 근간으로 하는 학교수학에서 각의 크기를 나타내기

위해 선의 길이를 이용하는 방법에는 호도법과 삼각비가 있다. 이 중 호

도법은 호의 길이를 이용하여 각의 크기를 측정한다. 즉, 원의 중심각과

이 중심각()의 크기에 대응하는 호의 길이()와 관련된 양을 일대일대응

시킨다. 이 때 원의 반지름의 길이()가 달라지면 크기가 같은 중심각에

대응하는 호의 길이는 달라진다. 때문에 각의 크기와 호의 길이를 바로

대응시킬 수 없다. 예를 들어, 중심각이

인 경우, 반지름이 인

원에서는 이 중심각에 대응하는 호의길이

이지만, 인 경우에는

가 된다. 이로 인해 반지름의 길이에 관계없이, 같은 크기의 중심

각에 대응하는 호의 길이와 관련된 양을 일정하게 하기 위한 길이의 변

형이 필요하다. 호도법에서는 이 변형으로 호의길이를 반지름의 길이로

나눈 것인 호와 반지름의 ‘길이의 비율’을 이용한다. 마찬가지로 삼각비

의 경우에도, 유클리드 기하에서는 닮은 삼각형이 존재하기 때문에 크기

가 같은 각에 대응하는 변의 길이가 무수히 많이 존재하여, 삼각형의 ‘길

이의 비율’을 이용하여 각을 측정 한다5).

5) [그림 Ⅲ-1]과 같이 빗변과 밑변 사이에 끼인 각이 인 직각삼각형 ∆ABC에서

각 를 변의 길이를 이용하여 나타내기 위해서는 다음과 같은 삼각비, 즉 ‘길이의

비율’이 필요하다.

- 8 -

즉, 유클리드 기하에서는 각의 크기와 선의 길이를 일대일대응 시킬

때, 길이를 바로 대응시킬 수 없고, ‘길이의 비율’이라는 조작이 필요하다

는 것을 알 수 있다. 이는 유클리드 기하의 고유한 특징으로, 쌍곡기하

및 구면기하와 대조된다. 예컨대, 쌍곡기하에서는 “두 삼각형이 닮음이면

합동이다”라는 명제가 성립하여 정삼각형의 각이 변의 길이를 유일하게

결정한다. 또한 구면기하에서도 마찬가지로 각의 크기가 변의 길이를 유

일하게 결정한다(Greenberg, 2009 : 163). 그러나 유클리드 기하에서는

닮은 삼각형이 존재하므로 정삼각형의 한 내각이 변의 길이를 유일하게

결정할 수 없다.

이 같은 논의를 위에서 언급한 함수 와 관련지어 간단하게 다음과 같

이 표현할 수 있다.

모든 각의 크기에 관한 집합을 라 하자. 각의 크기 ∈에 대하여 각의

크기와 선의 길이를 대응시키는 다음과 같은 함수 → �가 존재한다.

길이 쌍곡⋅구면기하의 경우

길이의 비 유클리드기하의 경우

또한 여기서 함수 가 정의되기 위해서는, 모든 ∈에 대하여 의

값이 유일해야한다6). 즉, 호도법에서는 크기가 같은 중심각에 대응하는

A

B

C

a

b

c

[그림Ⅱ-1]

삼각비

sin 빗변의길이

높이

,cos 빗변의길이

밑변의길이

, tan밑변의길이

높이

- 9 -

‘길이의 비율’인반지름의 길이

호의 길이 가 일정해야한다. 호도법에서 ‘길이의 비

율’이 일정한 이유는 원주의 길이와 반지름의 길이의 비율인 원주율이

반지름의 길이에 관계없이 항상 상수()이기 때문이다. 원주율의 상수성

은 유클리드 기하만의 고유한 특징이다. 원주율의 상수성에 대하여 최영

기와 홍갑주(2008)는 평행공리를 가정한 유클리드 기하만이 원주율의 상

수성을 보장하며, 구면기하에서는 원주율이 상수가 아님에 대하여 살펴

본 바 있다. 즉, 구면기하에서는 반지름의 길이가 다른 원들은 원주율이

달라 ‘길이의 비율’인반지름의길이

호의길이 가 일정하지 않기 때문에 호도법을 정

의할 수 없다7). 이와 같이 중심각의 크기와반지름의길이

호의길이 를 일대일대응

시키는 함수가 정의 가능한 것, 다시 말해 호도법을 사용할 수 있는 것

은 원주율이 상수인 유클리드기하이기에 가능한 것이라 볼 수 있다.

나. 도와 라디안의 차이

Ⅲ장의 1절에서 다룬 내용은 호도법 아이디어에 초점을 맞추어 논의를

전개하였다. 이 절에서는 호도법의 라디안 단위와 육십분법의 도 단위를

비교해 보고자 한다.

라디안은 호도법의 단위이다. 라디안을 정의하게 된 배경에는 Ⅱ-3절

에서 논의한대로, 유클리드 기하의 구조가 내포되어있다. 이에 반하여 육

6) 함수가 되기 위한 조건인 “ 이면 ”을 만족해야 한다.

P

[그림Ⅱ-2] 단위 구

7) 원주율이 상수가 아닌 단위 구면 위에서는 한 중심각에 대

응하는 호의 길이를 반지름의 길이로 나눈 값은 원의 반지

름의 길이에 따라 달라진다. 예컨대, [그림 Ⅲ-2]와 같이 단

위구면에서의 원을 살펴보자. 반지름이 인 원에서 중심각

에 대응하는 호의 길이를 , 반지름이 인 원에서 중

심각 에 대응하는 호의 길이를 라 하면 이다. 그러

나 ≠

이다.

- 10 -

십분법의 도 단위의 기원은 바빌로니아인들이 원주를 360부분으로 나누

어 그 하나에 해당하는 중심각을 1도로 정의한 데에 있다. 그러나 단지

원주를 360부분으로 나누기만 하면 반지름이 다른 원에서는 1도에 해당

하는 호의 길이가 달라진다. 따라서 도 단위에서 호의 길이를 이용하여

각을 해석하기 위해서는 반지름의 길이로 호의 길이를 나누는 것과 같은

추가적인 조작이 필요하다. 이는 도 단위를 사용하며 호로 각을 해석할

수는 있지만, 도 단위는 원주율의 상수성과 같은 유클리드기하의 구조를

포함하고 있지 않기 때문에 추가적인 조작이 있어야 함을 보여준다. 따

라서 도 단위는 호에 의한 해석이 필수적이지 않으며 실제로 호에 의한

해석보다는 단지 각에 의한 해석을 주로 사용한다. 이처럼 도 단위와 달

리 라디안 단위에는 유클리드 기하의 구조가 내포되어있다는 사실은, 라

디안만이 갖는 수학적 의의라고 할 수 있다.

- 11 -

Ⅲ. 호도법과 삼각함수

수학과 교육과정에서 호도법에 대한 학습은 삼각함수 단원에서 사인함

수, 코사인함수 등과 같은 삼각함수의 학습 바로 이전에 이루어지며, 호

도법 학습 이후에는 호도법을 사용하여 삼각함수의 정의역을 나타낸다.

교육과정의 단원 배열에서도 볼 수 있듯이 호도법 개념과 삼각함수 개념

은 연관이 깊다. 이 장에서는 삼각함수에서 호도법이 갖는 의의에 대하

여 고찰해본다.

1. 삼각함수의 역사와 호도법

가. 원호와 삼각함수

삼각법(Trigonometry)은 그리스어로 삼각형을 의미하는 Trigonon과

측정을 의미하는 Metria의 합성으로, 삼각형의 닮음을 이용하여 길이를

측정한 것에 그 기원이 있다. 이후 고대 그리스에서는 천문학에서 실용

적인 계산을 위해 삼각비의 표를 최초로 만들었다. BC140년경

Hipparchus는 주어진 원호에 마주보는 현의 길이를 ‘사인’표로 나타내었

으며, 150년경 Ptolemy는 이 표에 근거하여 반지름이 60인 원에서

부터 까지 간격으로 오늘날의 사인 표에 해당하는 현의 표를

만들었다. 이 때 Ptolemy는 각의 크기 대신 원호를 사용하였으며(유재

근, 2014), 반지름을 단위로 한다면 이 호에 대응하는 사인의 값은 반현

- 12 -

이 된다(Freudenthal, 1983)8)9). 그 후 500년경 인도의 수학자 Aryabhata

는 Ptolemy의 표에 근거하여 원호가 아닌 각과 관련된 반현의 표를 만

들었으며 이로써 ‘각의’ 사인함수를 최초로 취급한 현대적인 사인 개념이

출현하였다(Crossfield et al, 2009: 126; 유재근, 2014에서 재인용).

역사적으로 삼각비를 계산할 때 원호를 이용한 것이 중심각을 이용한

방법보다 먼저 나왔다(이종희, 2001). 또한 Ptolemy는 원의 중심각 대신

원호를 사용하였는데도 각에 의하여 사인 값을 구한 오늘날의 사인과 같

은 것으로 해석되는데, 이는 원호의 길이와 중심각의 크기의 수치적 값

을 같게 둔 상태에서 사인의 값을 계산한 결과라 볼 수 있다.

이 때 Ptolemy는 육십분법 체계를 사용하였다. 또한 그는 육십분법 체

계에서 호의 길이와 중심각의 크기를 같게 하기 위해 반지름을 60으로

두고 삼각비 표를 만들었다. 육십분법 체계에서 호의 길이와 중심각의

크기를 같게 두려면 비례식 호의길이 각의 크기 을 이용

해 반지름의 길이를 구해야 한다. 이 비례식을 풀면 반지름은

으

로 으로 두고 반지름을 계산하면 57.2956455가 되어 Ptolemy가

반지름으로 사용한 60은 이 값에 근접한다. 그러나 근사할 뿐, 같지 않

기 때문에 정확한 값을 구하기 위해 호의길이를 측정하는 단위와 현의

길이를 측정하는 단위를 다르게 하여 반현의 길이(사인)를 구하였다. 이

에 Aryabhata는 사인의 값을 좀 더 정확하게 계산하기 위하여 반지름을

[그림 Ⅲ-1]

사인 값

8) [그림 Ⅲ-1]에서 sin

(Freudenthal, 1983: 518)

9) Ptolemy는 반지름이 60인 원에서 현의 길이를 구하였으므로 그의 표에서 반현의

길이를 반지름의 길이인 60으로 나눈 값이 오늘날의 사인 값이다.

- 13 -

′로 택하였다(Cajori, 1924). 이는 십진법 체계에서 계산하면

×

으로, 육십분법을 사용하였을 때 호의 길이와 중심각의

크기의 수치적 값을 같게 하는 반지름 길이인 57.2956455와 거의 일치한

다. 즉 Aryabhata는 반지름의 길이를 조정함으로써 측정 단위가 같은 상

태에서도 호의 길이와 각의 크기의 수치적 값을 같게 할 수 있었다.

삼각비는 대수와의 통합 및 해석학적 과정을 거쳐 추상화, 형식화 되

어 삼각함수로 발전하였다(유재근, 2014). 이 과정에서 수학자들은 라디

안 단위가 도입되기 약 200년 전부터, 삼각함수 내용을 전개할 때 각을

단위원에서의 원호로 두는 방법을 사용하였다. 예를 들어 Leibniz는 사

인함수의 무한급수 표현방법을 찾는 과정에서 단위원의 호의 길이를 각

의 변화량으로 생각하였다(Boyer, Merzbach, 2000b :653-654). 이처럼

수학자들은 호의 길이로 각을 해석하는 것을 자연스럽게 사용하였으며,

이를 반영하여 삼각함수와 관련된 다양한 수학적 내용을 전개하였다.

Whitehead(2009)는, 삼각함수의 기원에서 각의 크기는 원의 호의 길이에

의해 정의되었으나, 초등교재에서는 각의 크기를 정의하는 원의 호 개념

이 소홀히 취급된다고 지적하며, 이는 이론적 측면이나 설명을 명확히

하는 능률적 측면에서 바람직하지 못하다고 하였다.

나. 삼각함수의 역사에서 볼 수 있는 호도법의 의의

Ptolemy와 Aryabhata는 각의 측정이 되는 기본 단위로 육십분법의 도

단위를 사용하였다. 이 때문에 원호를 이용하여 사인의 값을 구할 때 각

의 크기와 호의 길이를 같게 두기 위해 반지름의 길이를 60이나 ′과

같이 비교적 단순하지 않은 수를 택하였다10). 또한 호에 대응하는 현의

10) 60은 육십진법을 토대로 한 육십분법 체계에서 간단하다 여길 수 있으나, 원의

반지름으로

대신에 60을 사용하였기 때문에, 호의 길이를 측정하는 단위와 현

- 14 -

길이의 절반을 구하였는데 이 반현의 길이가 오늘날의 사인과 같은 값을

갖기 위해서는 현의 길이를 반지름의 길이로 나누는 것과 같은 조작을

하여야 한다. 그러나 라디안을 단위로 사용하게 되면 원의 반지름의 길

이를 1이라는 단순한 수로 택하여도 각의 크기와 호의 길이의 수치적 값

이 같아진다. 또한 반지름의 길이가 1일 때에는 중심각의 두 배와 마주

보는 현의 길이의 절반이 특정한 조작 없이 바로 사인 값이 된다. 즉 원

호를 이용하여 사인의 값을 구할 때 라디안 단위를 사용하면, 중심각의

크기와 호의 길이를 같게 하기 위해 육십분법을 사용한 Ptolemy와

Aryabhata와 같이 반지름을 60이나 ′과 같이 복잡한 수를 쓰지 않

아도 되며, 사인의 값을 구하기 위해 반현의 길이를 반지름의 길이로 나

누는 것과 같은 조작을 하지 않아도 되는 장점이 있다. 또한 이러한 장

점은 현대의 해석적 삼각함수를 다룰 때에도 유용하게 사용되는데, 이

내용은 다음절에서 살펴 볼 것이다.

2. 삼각함수에서 호도법의 의의

가. 삼각함수의 정의역

학교수학에서 삼각함수는 주로 각을 나타내는 동경과 원이 만나는 교

점의 좌표를 이용하여 정의 되며, 삼각함수의 정의역은 라디안을 단위로

하거나 도를 단위로 한 ‘각’이 된다. 그러나 삼각함수의 정의역을 호의

길이로 두면 학교수학에서 다루는 삼각함수와 관련된 다양한 내용들을

직관적으로 설명할 수 있다(이에 대해서는 다음 절에서 알아보고자 한

다). 호도법은 각을 호의 길이로 측정할 수 있기 때문에 삼각함수의 정

의역을 호의 길이로 둘 때 유용하다. 예를 들어, 반지름의 길이가 1인 원

의 길이를 측정하는 단위를 다르게 하였다.

- 15 -

에서는 라디안 단위로 측정한 각의 크기와 호의 길이의 수치적 값이 같

다. 따라서 중심각과 호의 길이를 바로 일대일 대응 시킬 수 있고, 이 호

의 길이를 삼각함수의 정의역으로 둘 수 있다11).

또한 반지름이 1이 아닌 원과 같이 호의 길이 그 자체가 각의 크기를

나타내지 못하는 경우에는, 반지름의 길이를 호의 측정 단위로 두면 해

결 가능하다([그림 Ⅲ-2], Moore et al, 2016). 예를 들어 반지름의 길이

이고 호의 길이 일 때 반지름 1을 단위로 하면 호의 길이 측정

치 ′ 가 된다. 그러나 이고 일 때, 반지름 2를 단위로 측정

한 측정값 ′ 가 된다. 이와 같이 호의 길이로 각의 크기를 정할 때,

호의 길이의 측정 단위를 반지름의 길이로 둔다면, 반지름의 길이가 1이

아닌 원에서도 각의 크기와 호의 길이의 수치적 값이 같아져 반지름을

단위로 한 호의 길이를 각의 크기를 나타내는 것으로 해석할 수 있다

.12)13) 따라서 삼각함수의 정의역도 반지름의 길이를 단위로 한 호의 길

이로 둘 수 있으며, 이 때의 삼각함수의 값도 반지름을 단위로 측정한

값이 된다. 즉, 임의의 크기의 원에서도 각의 크기를 그것을 나타내는 호

의 길이로 취급하고 삼각함수를 정의할 수 있다.

11) 이에 대하여 Lane(1909)은, 를 각, 를 각을 나타내는 호의 길이라 할 때, 사

인함수를 다음과 같은 합성함수로 고려하자고 하였다.

→ → sin

12) 이에 Moore(2016)는 단위원을 반지름의 길이가 1인 원이 아닌, 반지름을 단위로

한 원으로 여기자는 주장을 하였다.

13) 이는 라디안 단위를 사용할 때만 가능한 해석이다. 예를 들어 육십분법을 사용

할 때 중심각의 크기와 호의 길이를 같게 하려면 반지름을

으로 두어야 한다.

그러나 반지름을

로 두고 이를 단위로 하면 에 대응하는 호의길이가 이

단위에서는

이 된다. 따라서 라디안만이 이 같은 해석을 할 수 으며, 이는 삼

각함수에서 육십분법 대신 호도법을 사용하는 이유 중 하나라 볼 수 있다.

- 16 -

[그림 Ⅲ-2] 반지름을 단위로 한

단위원(Moore et al., 2016)

나. 삼각함수의 정의역으로 호도법의 의의

호도법의 아이디어를 표면적으로 드러내어 삼각함수의 정의역을 각을

나타내는 호의 길이로 두면, 다음과 같은 학교수학의 다양한 내용들을

직관적으로 설명할 수 있다.

첫째, 삼각함수의 정의역이 실수가 됨을 설명할 수 있다. 이는 호도법

을 사용하여 삼각함수의 정의역을 ‘(각을 나타내는)호의 길이’로 둘 수

있고, 호의 길이는 실수로 나타낼 수 있기 때문이다.

둘째, 단위원 자체에서 삼각함수의 정의역과 치역의 관계를 직관적으

로 지도할 수 있고, 이는 삼각함수의 그래프를 그릴 때에도 유용하다. 예

를 들어 sin를 살펴보자([그림 Ⅲ-3]). 각 를 나타내는 동경과 단위원

의 교점을 P 라 하면, 동경이 에서 만큼 변할 때 축 위에 있던 점P

가 점 에서 시작하여 단위원의 원주를 따라 움직인다. 또한 이 때 P

가 움직인 호의 길이도 이므로, 호의 길이로 각을 나타낼 수 있다. 이

호의 길이 를 삼각함수의 정의역으로 두자. 그러면 점 P가 원주를 따

라 만큼 움직였을 때, 점P에서 축에 내린 수선의 발을 R라 하면 sin

의 값은 P의 의 좌표로서 PR 14)이 된다.

14) 또는 여기에 부호를 붙인 것. 이하의 논의에서도 마찬가지이다.

- 17 -

O

P

R

sin

[그림 Ⅲ-3]호의길이가 정의역인

사인함수

이 같은 설명은 단위원 위에서 와 sin의 관계를 시각적으로 보여준

다. 예를 들어 과 sin

의 관계를 살펴보자. sin

는 점P가 점 에

서 호의 길이

만큼 이동하였을 때, 그 점에서 축에 내린 수선의 길

이 이다. 따라서 호의 길이을 수선의 길이

에 대응시킬 수 있다.

이처럼 호의 길이와 수선의 길이를 대응시키는 관계는 사인함수의 그래

프를 그릴 때에도 정의역과 치역을 잘 나타내 준다. [그림 Ⅲ-4]과 같이

축에 호의 길이를([그림 Ⅲ-4]에서 ①), 축에 수선의 길이를([그림 Ⅲ

-4]에서 ②) 표시하여 사인함수의 그래프를 그린다면 정의역과 치역이

각각 호의길이와 수선의 길이를 의미한다는 것을 시각적으로 보여 준

다15). 이는 의 변화와 의 변화 사이의 관계를 뚜렷이 나타내주며(남진

영, 임재훈, 2008), 삼각함수의 그래프의 의미를 직관적으로 이해하게 해

준다.

15) 이는 코사인에서도 마찬가지이다. 코사인에서의 치역은 OQ 의 길이(또는 여기

에 부호를 붙인 것)이다.

- 18 -

P′ sin

R

P

O

Q

A O

①

②

Q′

[그림 Ⅲ-4] 삼각함수의 그래프

그리고 역으로, 단위원을 이용하여 삼각함수의 그래프를 그렸을 때, 주

어진 각의 크기에 대응하는 호의 길이도 작도할 수 있다. [그림 Ⅲ-4]에

서AQ의 길이는 점Q에 대응하는 사인함수 그래프 위의 점Q′16)의 좌

표 값이 된다.

셋째, sin sin와 같은 삼각함수의 합성과, lim→

sin과 같은 극한을

설명할 수 있다. 삼각함수의 정의역을 각으로만 생각한다면 sin sin에

서 sin 값이 실수이므로 sin(실수)가 되어 sin(각)으로는 설명할 수 없

다. 그러나 삼각함수의 정의역을 각을 나타내는 호의 길이로 두면, 는

호의 길이17)이고, sin의 값은 호의길이가 일 때 그 점에서 축까지의

수선의 길이이며, sinsin는 sin를 다시 호의 길이로 생각하여 호의

길이가 sin일 때의 그 점에서 축까지의 수선의 길이로 하여 설명할

수 있다([그림 Ⅲ-5]).

16) Q에서 사인함수 그래프의 축에 평행하게 선을 그어, 그 선이 사인함수 그래프

와 만나는 교점을 이용하여 Q′을 찾을 수 있다.

17) 이 때의 호의 길이는 동경을 나타내는 점이 단위원 위의 점 에서 시작하여

단위원을 따라 움직인 거리이다. 이 절의 이하의 논의에서도 마찬가지 이다.

- 19 -

O

P

R

sin

sinsin

[그림 Ⅲ-5] sinsin의 설명

lim→

sin의 경우에도, 삼각함수의 정의역인 를 각으로 생각한다면,

분자는 실수이고 분모는 각이 되어 분자와 분모가 다른 차원이 된다. 이

경우에도 를 호의 길이로 둔다면, 분자와 분모가 모두 실수가 된다. 또

한 이 극한에 대한 설명도, 의 값이 점점 작아짐에 따라 호의 길이와

그 점에서 축에 내린 수선의 길이가 점점 같아지기 때문에 그 비의 극

한인 lim→

sin의 값이 1이 됨을 설명할 수 있다([그림 Ⅲ-6])18).

O

sin

O

P

R

sin

O

sin

[그림 Ⅲ-6] lim→

sin의 설명

이처럼 정의역을 호의 길이로 두어 삼각함수의 합성과 극한을 다룬다

18) 이는 그리스의 기원전 2세기 경 Aristarchus가 주어진 원에서 호의 현에 대한

비는, 중심각이 로 작아짐에 따라 1에 가까워진다는 것을 파악한 방법(Boyer,

Merzbach, 2000a)과 유사하다.

- 20 -

면, 그 의미를 자연스럽게 설명할 수 있을 뿐만 아니라 훨씬 직관적인

방법으로 설명 가능하다.

다. 삼각함수를 다룰 때 도와 라디안의 차이

삼각함수를 다룰 때 라디안의 장점에 대하여 남진영과 임재훈(2008)은

다음과 같이 설명하였다. 우선 삼각함수의 그래프를 그릴 때 축과 축

의 단위 길이를 같게 한 경우, 도 단위를 사용하면 삼각함수 그래프가

밋밋해지지만, 라디안을 사용하면 덜 밋밋해진다. 또한 육십분법을 사용

하는 경우 lim→

sin

이 되는 반면, 라디안 단위를 사용하면

lim→

sin 이 된다. 따라서 도 단위와 라디안 단위를 각각 사용하여 사

인을 미분한 값은 <표 Ⅲ-1>과 같다.

도 단위를 사용한 사인 미분 라디안 단위를 사용한 사인 미분

sin′

lim→

sinsin

lim→

sincos cossin sin

lim→sin

coscos

sin lim→sincos

cos cos

cos

lim→sin⋅

sin⋅cos

sin

cos

cos

cos

sin′

lim→

sinsin

lim→

sincos cossin sin

lim→sin

coscos

sin lim→sincos

cos cos cos

lim→sin⋅

sin⋅cos

sin cos

cos cos

<표 Ⅲ-1> 도를 사용할 때와 라디안을 사용할 때의 사인 미분

<표 Ⅲ-1>에서 볼 수 있듯이 도 단위를 사용할 때와 달리 라디안 단

위를 사용하며 사인을 미분하면 상수(

)가 없이 코사인으로 나온다.

그리고 이는 코사인 등 다른 삼각함수도 마찬가지이다. 이처럼 삼각함수

- 21 -

를 미분하였을 때 상수가 없는 것은 삼각함수를 테일러급수로 나타낼 때

등 삼각함수와 관련된 다양한 내용을 간결하게 전개할 수 있게 한다. 또

한 라디안 단위를 사용할 때에는 사인과 코사인이 직교가 되어 주기함수

의 직교 기저로서 역할을 할 수 있으며, 이는 푸리에 급수를 쉽게 계산

할 수 있게 한다(유재근, 2017).

이 외에도 삼각함수에서 육십분법보다 호도법을 주로 사용하는 이유

는, 호도법의 아이디어가 삼각함수의 정의역을 각을 나타내는 호의 길이

로 둘 수 있게 만들어 삼각함수와 관련된 다양한 개념들을 전개가능하게

만들기 때문이다. 육십분법의 도 단위도 호의 길이를 이용하여 각을 측

정할 수 있지만, 도 단위와 달리 호도법의 라디안 단위만이 가지는 장점

이 존재하기 때문에 호의 길이로 각을 측정할 때는 주로 라디안 단위를

사용한다. 라디안 단위를 사용하면 원의 반지름의 길이를 1이라는 단순

한 수로 택하여도 각의 크기와 호의 길이의 수치적 값이 같아지기 때문

에 각의 크기와 호의길이를 바로 대응시킬 수 있다. 또한 sin의 값도

점에서 원주를 따라 반시계방향으로 호의길이를 만큼 이동한 점에

서 축에 내린 수선의 길이 자체가 되었다. 만약 도 단위를 사용하며 각

의 크기와 호의 길이가 같게 하려면 반지름의 길이를

와 같이 복잡

한 수로 두어야 한다. 또한 이렇게 반지름을 두더라도, 이 때 호의 길이

에 대응하는 수선의 길이는 ×sin가 된다. 따라서

를 나누는 것

과 같은 특정한 조작 없이는 [그림 Ⅲ-4]과 같이 호의 길이와 수선의 길

이를 이용하여 삼각함수를 그릴 수 없게 된다.

이 같은 사실 또한 삼각함수를 다룰 때 정의역으로 육십분법의 도 단

위가 아닌 호도법의 라디안 단위를 주로 사용 하는 이유 중 하나라고 볼

수 있다.

- 22 -

Ⅳ. 호도법 내용에 대한

교육과정별 교과서 분석

교과서는 학교에서 이루어지는 수학 교수-학습의 기본적인 틀을 제공

한다. 따라서 교과서에서 호도법 개념이 어떻게 다루어지고 있는지 분석

하는 것은, 학교에서 호도법 학습지도가 어떻게 이루어지는지 확인하는

단초가 된다. 이 장에서는, 본 논문에서 강조하고 있는 ‘호의 길이로 각

을 측정하는 호도법의 아이디어’와 관련된 내용에 초점을 맞추어, 교육과

정별로 교과서를 분석하고자 한다.

1. 교과서 분석 기준

본 논문에서 중점적으로 강조한 것은 호의 길이로 각을 측정하는 호도

법 아이디어와 여기에 내포되어 있는 수학 구조, 그리고 삼각함수에서

호도법을 이용하여 정의역을 호의 길이로 두는 내용이었다. 이에 대하여

교과서에서 서술하고 있는 내용을 분석하고자, 교과서 분석 기준을 크게

호도법 아이디어의 강조(C : Circular measure)와 삼각함수에서 호도법

의 의의(T : Trigonometric function)로 나누고, 각각을 세부기준으로 나

누어 분석하였다.

분석기준 C의 세부기준은 C-M(Meaning), C-C(Constant),

C-R1(Ratio), C-R2(Real number), C-S(Sexadecimal method), C-A(Arc

length), C-U(Unit Circle), C-I(Importance)로 나뉜다.

C-M은 호도법 단어자체의 의미를 설명하였는지에 대한 세부기준이다.

- 23 -

호도법을 학습할 때, 피상적으로만 학습하는 것이 아닌, 호도법을 사용함

으로써 호의 길이로 각을 측정할 수 있다는 내용이 강조될 필요가 있기

때문에 이를 분석하고자 한다.

C-C는 반지름의 길이에 관계없이

이 일정하다는 것을 언급하였는지

확인하고자 하는 세부기준이다. 호도법이 가능한 것은 중심각의 크기가

같을 때, 반지름의 길이에 관계없이

이 일정하기 때문이다. 또한 이러

한 내용에는 원주율이 상수인 유클리드 기하의 구조가 내포되어 있다.

따라서

이 반지름의 길이에 관계없이 일정하다는 언급이 교과서에 제

시되었는지 확인하고자 한다.

C-R1은

임이 강조되었는지 확인하고자 하는 세부기준이다. 유클

리드 기하에서 각의 크기를 선의 길이를 이용하여 나타내는 방법으로는

‘길이의 비율’을 이용하는 방법이 있다. 호도법을 사용함으로써 호의길이

와 반지름의 길이의 비율을 이용하여 각을 측정할 수 있는데, 이 사실이

수식 또는 문장으로 강조되었는지 확인하고자 한다.

C-R2는 호도법의 라디안 단위의 생략 이유를 호의 길이와 관련지어

설명하였는지 확인하고자 하는 세부기준이다. 대부분의 교과서는 단순히

라디안 단위는 생략가능하다고 설명한다. 그러나 하나의 규칙처럼 라디

안단위를 생략한다는 설명은 도 단위에서도 적용할 수 있기 때문에 올바

르다고 볼 수 없다. 라디안 단위가 생략되는 것은 중심각을 호의 길이를

이용하여 나타내는 호도법의 아이디어 때문에 가능하다. 또한 각을 호의

길이로 나타내는 과정은 도 단위보다 라디안 단위가 더 간단하다. 이에

호의 길이로 각을 해석할 때에는 주로 라디안 단위를 다룬다. 따라서 라

디안 단위만을 생략하는데, 이와 관련된 설명이 교과서에 제시되었는지

분석하고자 한다.

- 24 -

C-S는 호도법-육십분법의 변환 관계를 호도법의 아이디어로 설명하였

는지 확인하고자하는 세부기준이다. 예비분석 결과 대부분의 교과서에서

는 중심각과 호의 길이가 비례하는 사실을 이용하여 ‘1라디안=

’를

이끌어 낸다. 그러나 이러한 방법은 호의 길이로 각을 측정한다는 호도

법 아이디어 및 라디안의 정의를 반영하지 않는다. 따라서 교과서에서

호도법의 아이디어와 라디안 단위의 정의를 이용하여 육십분법과 호도법

의 관계를 이끌어 내는 방법을 사용하였는지 확인하고자 한다.

C-A는 부채꼴의 호의 길이 공식을 구할 때 호도법 아이디어를 활용했

는지 확인하고자 하는 세부기준이다. 예비분석 결과 대부분의 교과서에

서는, 호도법 아이디어를 반영하지 않고 중심각과 호의 길이가 비례하는

사실을 이용하여 부채꼴 호의 길이 공식을 도출하였다. 그러나 호의 길

이를 구하는 공식은, 호의 길이를 이용하여 각을 측정한다는 호도법의

아이디어와 라디안 단위의 정의를 이용하여 도출하는 하는 것이 가장 간

결하며 호도법의 의미를 표면적으로 드러낸 방법이다. 따라서 교과서에

서 이 같은 방법으로 부채꼴의 호의길이 공식을 도출하고 있는지 확인하

고자 한다.

C-U는 반지름의 길이가 1인 원에서 호의 길이와 각의 크기가 같음에

대한 언급이 있는지 확인하고자 하는 세부기준이다. 반지름의 길이가 1

인 원에서 중심각의 크기와 호의 길이가 같은 것은 육십분법과 비교되는

호도법만의 장점이다. 또한 이후에 이루어질 삼각함수영역 학습에서 삼

각함수의 정의역을 호의 길이로 둘 수 있다는 내용의 토대가 된다. 따라

서 이를 다루고 있는지 분석하고자 한다.

C-I는 호도법을 사용하는 이유 및 장점에 대한 설명 또는 육십분법과

호도법을 비교하는 내용을 다루고 있는지 확인하고자 하는 세부기준이

다. 학생들은 각의 측정방법으로 호도법을 배우는 이유와 육십분법과 비

- 25 -

교되는 호도법의 장점을 학습할 필요가 있다. 이 때, 호도법을 사용하면

단위를 생략할 수 있다는 내용과, 단위원에서 각의크기와 호의길이가 같

다는 내용은 각각 C-R2, C-U세부사항에 속하므로, 이 내용은 C-I에 포

함하지 않았다.

분석기준 T의 세부기준은 T-A(Arc length), T-C(Circular measure),

T-G(Graph)로 나뉜다.

T-A는 삼각함수를 호의 길이를 정의역으로 하는 (원)함수로도 설명하

였는지 확인하고자 하는 세부기준이다. 삼각함수의 정의역을 호의 길이

로 두면, 삼각함수의 정의역과 치역이 모두 길이로 차원이 같고,

lim→

sin와 삼각함수의 그래프 개형을 직관적으로 설명 할 수 있으며,

sin sin등과 같은 삼각함수의 합성을 설명할 수 있다. 따라서 삼각함수

의 정의역을 (각을 나타내는)호의 길이로 둘 수 있다는 내용을 교과서에

서 언급하였는지 확인하고자 한다.

T-C는 삼각함수를 다룰 때, 호도법을 사용하는 이유나 의의에 대하여

설명하였는지 또는 육십분법과 비교를 하였는지에 대하여 확인하고자 하

는 세부기준이다.

T-G는 삼각함수의 그래프를 그릴 때 정의역으로 호의 길이를 강조하

였는지 확인하고자 하는 세부기준이다. 삼각함수의 정의역을 호의 길이

로 두면, 삼각함수의 정의역과 치역이 모두 ‘길이’가 되어 둘의 관계를

직관적으로 파악하기 쉽다. 따라서 삼각함수의 그래프를 그릴 때, 호의

길이를 정의역으로 강조하여 다룬 교과서가 있는지 확인하고자 한다.

교과서 분석기준을 정리하면 <표Ⅳ-1>과 같다.

- 26 -

분석기준분석기준

의 내용

세부

분석기준세부분석기준의 내용

C

(Circular

measure)

호의

길이로

각을

측정한다

는

호도법의

아이디어

강조

C-M

(Meaning)호도법의 단어자체의 의미 설명

C-C

(Constant)

반지름의 길이에 관계없이 이일정하다는 것 언급

C-R1

(Ratio) 강조

C-R2

(Real

number)

호도법의 라디안 단위 생략 이유를 호의

길이와 관련지어 설명

C-S

(sexadecimal

method)

호도법-육십분법의 변환 관계를 호도법

아이디어를 이용하여 설명

C-A

(Arc length)

부채꼴의 호의 길이공식을 구할 때 호도법

아이디어를 이용하여 설명

C-U

(Unit Circle)

반지름의 길이가 1인 원에서는 호의길이와

각의 크기가 같음에 대한 언급

C-I

(Importance)

호도법을 사용하는 이유 및 장점에 대한

설명

(육십분법과 비교 포함)

T

(Trigonom

etric

function)

삼각함수

에서

호도법의

의의

T-A

(Arc length)

삼각함수에 대하여 호의길이를

정의역으로 하는 (원)함수로도 설명

T-C

(Circular

measure)

삼각함수에서 호도법을 사용하는 이유

또는 의의 설명

(육십분법과 비교 포함)

T-G

(Graph)

삼각함수의 그래프를 그릴 때 정의역으로

호의 길이 강조

<표Ⅳ-1> 교과서 분석 기준

- 27 -

교육과정 교과목 명 대상 분석자료 수 자료코드

1차 해석 고2 교과서 4종 1A~1D

2차 공통수학 고1 교과서 7종 2A~2G

3차 수학Ⅰ 고1 교과서 2종 및 지도서 4종3A,3B

(3A'~3E'19))

4차 수학Ⅰ 고1 교과서 5종 및 지도서 3종4A~4E

(4B',4C',4D')

5차 일반수학 고1 교과서 8종 및 지도서 5종5A~5H

(5A'~5H'20))

6차 공통수학 고1 교과서 18종 6A~6R

7차 10-나 고1 교과서 16종 및 지도서 16종7A~7P

(7A'~7P')

7차 개정

교육과정수학 고1 교과서 18종 및 지도서 11종

7개A~7개R

(7개A'~7개R'21))

2009개정

교육과정미적분Ⅱ

고2

이과교과서 9종 및 지도서 6종

09A~09I

(09A'~09I'22))

<표Ⅳ-2> 분석 자료

2. 교육과정별 교과서 분석

이번 절에서는 Ⅳ-1절의 분석기준을 바탕으로 1차 교육과정부터 09개

정 교육과정까지의 교과서 및 교사용 지도서를 분석하였다. 자료는 모두

한국교육개발원과 교과서연구재단에서 구할 수 있는 자료를 대상으로 하

였다. 각 교육과정에서 호도법을 다룬 교과목 명 및 대상, 그리고 분석자

료 수는 <표Ⅳ-2>와 같다.

분석하는 교과서와 지도서의 수가 많아, 자료를 쉽게 구분하기 위하여

자료 코드를 만들었다. 우선 교육과정을 구분하고자 맨 앞에 1, 2, 7개,

19) 3A', 3C', 3D', 3E'

20) 5A', 5B', 5E', 5G', 5H'

21) 7개C', 7개D', 7개E', 7개F', 7개H', 7개I', 7개J', 7개K', 7개L', 7개M', 7개Q'

22) 09B', 09C', 09D', 09G', 09F', 09I'

- 28 -

09등과 같은 숫자 및 글자로 교육과정을 나타내었다. 그리고 교과서는

A, B, C와 같은 알파벳 대문자로 표현하였으며, 지도서는 A', B', C'과

같이 알파벳 대문자 옆에 '표시를 덧붙였다. 교육과정이 같고, 저자 및

출판서가 같은 교과서와 지도서의 경우는 같은 알파벳을 사용하였다. 예

를 들어, 1A와 1A'은 각각 1차 교육과정의 A교과서, 1차 교육과정의 A'

지도서를 나타내며, 교육과정과 알파벳이 같으므로 출판사와 저자가 같

은 자료이다. 또한 교과서별로 대응하는 지도서가 있는 경우도 있고 없

는 경우도 있었으며, 지도서만 존재한 경우도 있었다. 따라서 지도서는

추가적으로 언급하는 정도로 분석하였다. 그리고 교과서의 내용을 똑같

이 담은 채 교과서의 내용을 설명한 지도서가 있었는데, 이런 지도서의

경우에는 교과서에 제시되어 있는 내용은 제외하고 분석하였다.

총 자료 수에서 해당 세부기준에 해당하는 자료의 수의 비율(%)을 구

할 때에는 소수 두 번째 자리에서 반올림 하였다.

가. 1차 교육과정

1차 교육과정 교과서 4종(1A~4D)의 분석 결과, C-M, C-R1, C-S,

C-A, C-U 관련 내용에 대해 서술한 교과서를 찾을 수 있었다(<표 Ⅳ

-3>).

C-M 관련하여 교과서 1A와 1B는, 한 원에서 호의 길이와 중심각의

크기는 비례하므로 호의 길이로써 각의 크기를 잴 수 있다고 설명하였

다. C-R1과 관련하여 교과서 1A는, 반지름의 길이가 일 때, 길이 인

AP에 대하는 중심각을 라디안이라고 하면

(라디안)임을 강조하였

다. 또한 C-S와 관련하여 1A는 “특히 이 반 둘레 이면

(라

디안)이 되는데, 이것은 60분법으로 말하면 에 해당한다. 곧 라디

- 29 -

안= .”와 같이 설명하였고, 1D는 “ × (Radian)

∴ (Radian)”과 같이 원주를 이용하여 설명하였다. C-A관련하여

1A는

이므로 라고 하였다. 즉, 호와 반지름의 길이로 각을 측

정할 수 있다는 내용을 바탕으로 공식을 이끌어 내었다. C-U관련

하여 1A, 1C모두 반지름의 길이가 1일 때, 호의 길이와 중심각의 크기가

같음을 언급하고 있다.

교육과정 1차 교육과정 교과서(총 4종)

기준 C T

세부기준

자료C-M C-C C-R1 C-R2 C-S C-A C-U C-I T-A T-C T-G

1A ○ ○ ○ ○ ○

1B ○

1C ○

1D ○

계(%)

2(50)

0(0)

1(25)

0(0)

2(50)

1(25)

2(50)

0(0)

0(0)

0(0)

0(0)

<표Ⅳ-3> 1차 교육과정 교과서 분석

1차 교육과정 교과서에서는 C-C, C-R2, C-I, T-A, T-C, T-G관련 내

용을 찾을 수 없었다.

나. 2차 교육과정

2차 교육과정 교과서 7종(2A~2G)의 분석 결과 C-R1, C-S, C-A관련

내용에 대해 서술한 교과서를 찾을 수 있었다(<표 Ⅳ-4>).

C-R1과 관련하여 교과서 2E는 “반지름이 인 원 O에 있어서, 길이가

인 호 AB를 생각하여, 호AB에 대한 중심각의 크기를 호도법으로 나타

낸 값이 라디안이라고 하면

이다.”라고 하며, C-A와 관련지어

- 30 -

임을 설명하였다. C-S와 관련하여 2A와 2F 모두 “반지름 인 원

의 전 원주는 이므로 전 원주에 대한 중심각은 즉 라디안

이다. 한편 60분법에서는 이므로, 라디안=

.”와 같이 설명하였

다.

교육과정 2차 교육과정 교과서(총 7종)

기준 C T

세부기준

자료C-M C-C C-R1 C-R2 C-S C-A C-U C-I T-A T-C T-G

2A ○

2B

2C

2D

2E ○ ○

2F ○

2G

계(%)

0(0)

0(0)

1(14.3)

0(0)

2(28.6)

1(14.3)

0(0)

0(0)

0(0)

0(0)

0(0)

<표Ⅳ-4> 2차 교육과정 교과서 분석

2차 교육과정 교과서에서는 C-M, C-C, C-R2, C-U, C-I, T-A, T-C,

T-G 관련 내용을 찾을 수 없었다.

다. 3차 교육과정

3차 교육과정 교과서 2종(3A~3B)의 분석 결과 C-M, C-R1, C-S,

C-A, T-A관련 내용에 대해 서술한 교과서를 찾을 수 있었다(<표Ⅳ

-5>).

C-M 관련하여 3B교과서는, 호도법 도입 시 “동점 P가 반지름의 길이

인 원 위를 회전할 때, P가 통과한 원호의 길이로 이 원호에 대한 중

심각의 크기를 나타낼 수 있다.”라고 시작 한다. C-R1, C-A관련하여 3B

- 31 -

교과서는 “길이가 인 원호에 대하는 중심각의 크기를 라디안이라 하면

과 는 비례하므로, (C-R1), 따라서 (C-A).”와 같이 설명하

고 있다. 또한 C-S관련하여 3B는 “반지름의 길이가 인 반원주의 길이

는 이므로 이에 대한 중심각의 크기를 호도법으로 나타내면,

(라디안). 한편, 이 중심각의 크기를 60분법으로 나타내면 이므로

라디안.”과 같이 설명하고 있다. T-A관련하여 3A교과서는 반지

름이 1인 원의 둘레 위를 움직이는 점을 이용하여, 호의 길이를 정의역

으로 하는 삼각함수(원함수)에 대하여 설명하였다([그림 Ⅳ-1]).

교육과정 3차 교육과정 교과서(총 2종)

기준 C T

세부기준

자료C-M C-C C-R1 C-R2 C-S C-A C-U C-I T-A T-C T-G

3A ○

3B ○ ○ ○ ○

계(%)

1(50)

0(0)

1(50)

0(0)

1(50)

1(50)

0(0)

0(0)

1(50)

0(0)

0(0)

<표Ⅳ-5> 3차 교육과정 교과서 분석

[그림 Ⅳ-1] 3A교과서의 T-A설명

그러나 기존에 각을 이용한 삼각함수의 정의와 호의 길이를 이용한

- 32 -

삼각함수의 정의를 호도법을 이용하여 연결 짓지 않았으며, 삼각함수를

그릴 때에도 정의역이 호의 길이인 것을 반영하지 않았다.

3차 교육과정 교과서에서는 C-C, C-R2, C-U, C-I, T-C, T-G 관련

내용을 찾을 수 없었다.

추가적으로, 교과서 3A에 대응하는 지도서 3A'과, 대응하는 교과서가

없는 지도서 3C', 3D', 3E'을 분석하였다(총 4종, <표 Ⅳ-6>). 대응하는

교과서가 없는 지도서를 분석한 이유는 3차 교육과정에 해당하는 분석

대상 교과서 수가 적은이유(2종)로 이를 보완하기 위해서 이다. 또한 지

도서를 통해 교과서에서는 명시적으로 드러나진 않았지만 저자가 의도했

던 바를 파악하기 위해서이다.

교육과정 3차 교육과정 지도서(총 4종)

기준 C T

세부기준

자료C-M C-C C-R1 C-R2 C-S C-A C-U C-I T-A T-C T-G

3A' ○

3C' ○ ○ ○

3D' ○

3E'

계(%)

0(0)

0(0)

1(25)

1(25)

1(25)

0(0)

0(0)

0(0)

1(25)

1(25)

0(0)

<표Ⅳ-6> 3차 교육과정 지도서 분석

C-R1, C-R2와 관련하여 지도서 3C'은, “육십분법에서는 각의 크기를

나타낼 때, 반드시 도(°), 분(′)등의 명수를 붙여서 나타내어야 하지만,

호도법은 각의 크기 를 , 즉 (길이)/(길이)의 비에 의하여 나타내므로

(C-R1), 는 명수를 붙이지 않고, 실수 자신으로 나타낼 수 있다(C-R2).

이것이 호도법의 편리한 점이며 이론적 연구에서 주로 사용되는 이유이

다.”라고 언급한다. C-S와 관련하여 3D'은 “반지름 인 원에서 원둘레의

- 33 -

길이는 이므로, 를 호도법으로 나타내면 ÷ 이다.”와 같

이 설명하고 있다. T-A관련하여 3A'은 삼각함수 해설과 지도 방법으로

“각의 크기를 호도법으로 나타낼 때 반지름의 길이가 1인 원에서 A

를 시점으로 하여 원둘레 위를 움직이는 점 P의 이동 거리와 이에 대한

일반각의 크기의 절댓값이 같다는 것을 이용해서 삼각함수를 정의할 수

있다는 것을 지도한다.”와 같이 설명하고 있다. T-C와 관련하여 3C'은

“사인 곡선을 그릴 때에는, 각의 단위가 도(°)이면, 가로축의 단위 눈금

와 세로축의 단위눈금 1과는 관련 없이 임의로 결정되므로, 사인 곡

선이 유일하게 그려지지 않지만, 각의 단위로 라디안을 잡으면, 라디안은

(길이)/(길이)로 정의되는 무명수이고, 또 sin도 (길이)/(길이)로 정의되

는 무명수이므로, 라디안과 사인은 같은 종류의 양으로 되어 가로축과

세로축의 단위 눈금을 같은 길이인 1로 잡을 수 있어서, 사인 곡선은 유

일하게 결정된다(T-C).”라는 내용이 명시되어 있다.

3차 교육과정에 따른 지도서에서는, 같은 교육과정 교과서 분석에서

볼 수 없었던 C-R2, T-C관련 내용에 대하여 찾을 수 있었다.

라. 4차 교육과정

4차 교육과정 교과서 5종(4A~4E)의 분석 결과 C-R1, C-S, C-A,

C-U, T-A관련 내용에 대해 서술한 교과서를 찾을 수 있었다(<표 Ⅳ

-7>).

C-R1관련하여 4C교과서는, 호의길이가 반지름의 길이와 같을 때의 중

심각을 1라디안이라고 정의하고 이를 이용하여 각의 크기를 나타내는 방

법을 호도법으로 정의한 후, 길이 인 호의 길이의 중심각을 라디안이

라고 할 때, 로 정의하였다([그림 Ⅳ-2]). C-S와 관련하여 2종(4B,

4C)의 교과서 모두 반원의 호의길이가 일 때, 그 중심각은 육십분법으

- 34 -

로 이고, 호도법으로는 이므로 로 설명하였다([그림

2]).

교육과정 4차 교육과정 교과서(총 6종)

기준 C T

세부기준

자료C-M C-C C-R1 C-R2 C-S C-A C-U C-I T-A T-C T-G

4A ○

4B ○

4C ○ ○ ○

4D ○

4E

계(%)

0(0)

0(0)

1(16.7)

0(0)

2(33.3)

1(16.7)

1(16.7)

0(0)

1(16.7)

0(0)

0(0)

<표Ⅳ-7> 4차 교육과정 교과서 분석

[그림 Ⅳ-2] 4C교과서의 C-R1, C-S설명

C-A와 관련하여서 4C교과서는 C-R1임을 이용하여 C-A를 바로 이끌

어 내었다. C-U와 관련하여 4D교과서는 “각도를 호도법으로 나타내면,

- 35 -

반지름의 길이가 1, 중심각의 크기가 인 부채꼴의 호의 길이는 이다.”

라고 명시하였다. T-A와 관련하여 4A교과서는 3A교과서와 마찬가지로

반지름이 1인 원의 둘레 위를 움직이는 점을 이용하여, 호의 길이를 정

의역으로 하는 삼각함수(원함수)에 대하여 설명하였다.

4차 교육과정 교과서에서는 C-M, C-C, C-R2, C-I, T-C, T-G과 관

련된 내용을 명시한 교과서를 찾을 수 없었다.

추가적으로, 4B, 4C, 4D에 해당하는 지도서 4B', 4C', 4D'을 분석하였

다(총 3종, <표Ⅳ-8>).

교육과정 4차 교육과정 지도서(총 4종)

기준 C T

세부기준

자료C-M T C-R1 C-R2 C-S C-A C-U C-I T-A T-C T-G

4B' ○ ○

4C' ○

4D' ○

계(%)

0(0)

0(0)

0(0)

0(0)

0(0)

0(0)

1(33.3)

2(66.7)

1(33.3)

0(0)

0(0)

<표Ⅳ-8> 4차 교육과정 지도서 분석

C-U, T-A와 관련하여 4B'은 일반각의 삼각함수 내용의 해설과 지도

방법에서 “각의 크기를 호도법으로 나타낼 때, 단위원에서 점 A 을

출발점으로 하여 원 둘레 위를 움직이는 점 P 의 원호의 길이는 일

반각의 크기 와 같음을 이용하여(C-U), sin , cos , tan로

삼각함수를 정의할 수 있음을 유의하여 지도해야 한다(T-A).” 로 명시

하고 있다. C-I와 관련하여 4C'은 “각의 크기를 나타내는 단위로서 라디

안을 사용하면, 육십분법과 다르게 십진 표시법으로 나타낼 수 있다

(C-I).”고 명시하였다. 또한 4D'은 호도법을 사용하면 원호의 길이, 원의

면적을 편리하게 나타 낼 수 있다고 하였다(C-I).

- 36 -

4차 교육과정에 속하는 지도서 분석 결과 교과서에 반영하지 않은 세

부기준 C-I를 설명하고 있음을 알 수 있었다.

마. 5차 교육과정

5차 교육과정 교과서 8종(5A~5H)의 분석 결과 C-S, C-U관련 내용에

대해 서술한 교과서를 찾을 수 있었다(<표Ⅳ-9>).

교육과정 5차 교육과정 교과서(총 8종)

기준 C T

세부기준

자료C-M C-C C-R1 C-R2 C-S C-A C-U C-I T-A T-C T-G

5A

5B

5C ○

5D

5E ○

5F

5G

5H

계(%)

0(0)

0(0)

0(0)

0(0)

1(12.5)

0(0)

1(12.5)

0(0)

0(0)

0(0)

0(0)

<표Ⅳ-9> 5차 교육과정 교과서 분석

C-S와 관련하여 5C교과서에서 “반지름의 길이가 인 반원의 호의 길

이는 이고, 그 중심각의 크기는 이므로 (라디안)이다.”라

고 설명하였다. C-U와 관련하여서는 5E 교과서에서는 “각을 호도법으로

나타내면, 반지름의 길이가 1, 중심각의 크기가 (라디안)인 부채꼴의 호

의 길이는 이다”라고 강조하였다. 그러나 이와 관련하여 호도법의 장점

및 삼각함수를 다룰 때 호도법의 장점에 대한 언급은 없었다.

5차 교육과정 교과서에서는 C-M, C-C, C-R1, C-R2, C-A, C-I, T-A,

T-C, T-G과 관련된 내용을 다루지 않았다.

- 37 -

추가적으로 교과서 5A, 5B, 5E, 5G, 5H와 대응하는 지도서 5A', 5B',

5E', 5G', 5H'을 분석하였다(5종, <표Ⅳ-10>).

교육과정 5차 교육과정 지도서(총 5종)

기준 C T

세부기준

자료C-M C-C C-R1 C-R2 C-S C-A C-U C-I T-A T-C T-G

5A' ○ ○

5B' ○

5E' ○ ○

5G' ○

5H' ○

계(%)

1(20)

0(0)

1(20)

1(20)

0(0)

0(0)

1(20)

2(50)

0(0)

1(20)

0(0)

<표Ⅳ-10> 5차 교육과정 지도서 분석

C-M과 관련하여 지도서 5B'은, 호도법을 정의할 때 “각의 크기를 원

호의 길이로서 나타내는 호도법을 정의한다.”로 설명하였다. C-R1,

C-R2관련하여 5E'은 “원래 ‘호도’는 원 위에서 점P의 위치의 변화량인

을 반지름의 길이 로 나눈 것으로 정의된

인 무명수(실수)이다

(C-R1, C-R2).”라고 설명하였다. C-U, T-C와 관련하여 5A'는 “반지름

과 같은 호의 길이에 대한 중심각의 크기를 단위로 택한 이유는, 단위원

에서 호의 길이와 각의 크기가 같게 되므로(C-U), 수학과 물리학에서

중요한 공식(특히, 삼각함수의 미분과 적분 공식 및 운동에서의 속도와

가속도 등)이 단순화 될 수 있다는 이점이 있기 때문이다(T-C).”라는 내

용을 명시하였다. C-I와 관련하여 지도서 5G'와 5H'는 각각 “호도법은

십진법의 측도임을 이해시킨다.”, “호도법을 사용함으로써 원호의 길이,

원의 넓이를 편리하게 나타낼 수 있음을 강조한다.”를 명시하였다.

5차 교육과정 자료 분석 결과, 교과서에서는 세부기준 중 C-S, C-U만

다루었지만, 지도서는 6항목(C-M, C-R1, C-R2, C-U, C-I, T-C)을 다

- 38 -

루는 등 교과서보다 더 다양한 내용을 다룬 것을 알 수 있다.

바. 6차 교육과정

6차 교육과정 교과서 18종(6A~6R)의 분석 결과 C-M, C-C, C-R1,

C-R2, C-S, C-A, C-U, T-G관련 내용에 대해 서술한 교과서를 찾을 수

있었다(<표Ⅳ-11>).

교육과정 6차 교육과정 교과서(총 18종)

기준 C T

세부기준

자료C-M C-C C-R1 C-R2 C-S C-A C-U C-I T-A T-C T-G

6A

6B

6C

6D ○ ○ ○

6E

6F

6G

6H ○

6I

6J ○ ○ ○ ○ ○

6K

6L

6M

6N

6O

6P

6Q

6R

계(%)

1(5.6)

1(5.6)

1(5.6)

1(5.6)

2(11)

1(5.6)

1(5.6)

0(0)

0(0)

0(0)

1

(5.6)

<표Ⅳ-11> 6차 교육과정 교과서 분석

C-M, C-C, C-R1, C-A와 관련하여 6J교과서는, 호도법을 “원의 호의

길이와 반지름의 길이의 비율로 각을 나타내는 방법(C-M)”으로 명시하

- 39 -

였으며, 호도법 내용 설명을 “반지름의 길이가 인 원에서 크기가 인

중심각에 대한 호 AB의 길이를 이라 할 때, 과 의 비 이 원의 크

기에 관계없이 항상 일정하다(C-C). 따라서 ∠AOB의 크기 를 라디

안으로 나타내기로 한다(C-R1).”와 같이 하였다. 또한 이를 이용하여

“반지름의 길이가 이고, 중심각의 크기가 (라디안)인 부채꼴 OAB에서

호 AB의 길이를 이라고 하면

, 즉 (C-A)”와 같이 호도법

아이디어를 바탕으로 부채꼴의 호의 길이 공식을 도출하였다. C-R2와

C-U관련하여 6D교과서는, 반지름의 길이가 일 때, 가 되므로

(C-U) 단위원에서 중심각을 라디안 단위로 측정한 값은 호의 길이를 나

타내는 실수와 같음(C-R2)을 언급한다. 또한 C-S와 관련하여 6D교과서

는 반지름이 1인 원 그림을 이용하여 “반지름의 길이 가 1인 경우

라디안. 라디안”으로 보였으며, 6J교과서는 “반지름의

길이가 인 반원에서 호의 길이가 이므로, 호도법으로 나타낸 중심각

은 라디안이며 육십분법으로 나타낸 중심각은 임을 이용하여

“ 라디안 .” 임을 도출하였다. T-G와 관련하여, 6H교과서는 삼각

함수의 그래프를 그릴 때 단위원의 호의 길이가 정의역이 되는 것을 강

조하였는데([그림Ⅳ-3]), 이는 지금까지 분석한 1~5차 교육과정 교과서

및 지도서에서는 찾을 수 없었던 내용이다.

6차 교육과정에 따른 교과서에서는 18종 중 3종만이 세부기준에 부합

하는 내용을 담고 있었다. 그렇지만 C-I, T-A, T-C를 제외한 모든 세부

기준의 내용을 담고 있는 것을 보아 이전 교육과정의 교과서들에 비해

더 다양한 세부기준 내용을 포함하고 있는 것을 알 수 있다.

- 40 -

(사진상 잘 드러나지 않아 강조는 연구자가 한 것임.)

[그림 Ⅳ-3] 6H교과서의 삼각함

수 그래프

사. 7차 교육과정

7차 교육과정 교과서 16종(7A~7P)의 분석 결과 C-M, C-R1, C-R2,

C-I, T-G관련 내용을 담고 있었다(<표Ⅳ-12>).

C-M과 관련하여 7A, 7I교과서는 각각 “호도법(弧度法)이란 용어는 호

(弧)의 길이로 각의 크기인 도(度)를 정한다는 뜻이다.”, “호도법은 호의

길이를 사용하여 각도를 나타내는 방법이라는 뜻이다.”와 같이 명시하였

다. C-R1, C-R2와 관련하여 7I 교과서는 부채꼴 호의 길이 공식을 도출

한 뒤 “ (C-R1)이므로 호도법으로 나타낸 각의 크기는 길이의 비인

실수이다(C-R2).”라고 설명하였다. C-I와 관련하여 7E교과서는 호도법

사용 시 부채꼴의 호의 길이와 넓이 등의 공식이 간단해 진다는 호도법

의 장점을 설명하며, 이를 육십분법과 비교하는 문제도 제시하였다. 마찬

가지로 7H교과서도 부채꼴의 호의 길이와 넓이 공식을 구한 후 “호도법

을 사용했을 때 편리한 점에 대하여 토의해 보자.”라는 문제를 제시함으

로써 호도법의 장점을 알 수 있도록 하였다. 또한 7I교과서도 호도법 사

용 시 부채꼴의 호의 길이와 넓이 등의 공식이 간단해진다는 호도법의

장점을 설명하였다.

- 41 -

교육과정 7차 교육과정 교과서(총 16종)

기준 C T

세부기준

자료C-M C-C C-R1 C-R2 C-S C-A C-U C-I T-A T-C T-G

7A ○ ○

7B

7C

7D

7E ○

7F

7G

7H ○

7I ○ ○ ○ ○ ○

7J

7K

7L ○

7M ○

7N ○

7O

7P

계(%)

2(12.5)

0(0)

1(6.3)

1(6.3)

0(0)

0(0)

0(0)

3(18.8)

0(0)

0(0)

5

(31.3)

<표Ⅳ-12> 7차 교육과정 교과서 분석

T-G와 관련하여 5종(7A, 7I, 7L, 7M, 7N)의 교과서가 그래프의 정의

역으로 호의 길이를 강조하였다. 이 때, 대부분의 교과서에서는 호의길이

가 부터 로 증가할 때를 다루는데, 7N교과서는 [그림 Ⅳ-4]와 같이

에서

으로 변할 때와,

에서 로 변할 때를 다루었다.

(사진상 잘 드러나지 않아 강조는 연구자가 한 것임.)

[그림 Ⅳ-4] 7N교과서의 삼각함수 그래프

- 42 -

7차 교육과정에 따른 교과서에서는 C-C, C-S, C-A, C-U, T-A, T-C

관련 내용을 다루지 않았으며, 18종의 교과서 중 7종이 세부기준에 해당

하는 내용을 다루고 있었다.

추가적으로 각 교과서에 해당하는 지도서 7A'~7P'을 분석하였다(16종,

<표 Ⅳ-13>).

교육과정 7차 교육과정 지도서(총 16종)

기준 C T

세부기준

자료C-M C-C C-R1 C-R2 C-S C-A C-U C-I T-A T-C T-G

7A'

7B' ○ ○

7C' ○ ○

7D'

7E' ○ ○ ○

7F' ○ ○ ○

7G'

7H' ○ ○ ○

7I' ○ ○ ○

7J'

7K' ○ ○ ○ ○

7L' ○ ○ ○ ○

7M' ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

7N'

7O' ○

7P' ○ ○

계(%)

1(6.3)

3(18.8)

4(25)

5(31.3)

0(0)

2(12.5)

8(50)

4(25)

2(12.5)

5(31.3)

0

(0)

<표Ⅳ-13> 7차 교육과정 지도서 분석

C-M 관련하여 7I'는 교과서 탐구활동을 해설하며 “호의 길이를 각의

크기의 단위로 사용한다는 호도법의 아이디어를 얻을 수 있다.”고 언급

하였다. C-C, C-R1와 관련하여 7H', 7I', 7M'은 “반지름의 길이가 인

원O에서 크기가 인 중심각에 대한 호AB의 길이를 이라고 할 때, 과

- 43 -

의 비의 값 은 원의 크기에 관계없이 항상 일정하다(C-C). 따라서 각

AOB의 크기 를 의 값을 이용하여 나타낼 수 있다(C-R1).”와 같이

설명하고 있다. 7F', 7M'지도서는 C-R1을 이용하여 C-R2를 이끌어 내

었다. 이들은 호도법으로 나타내어진 각의 크기는

이고(C-R1), 이

것이 ‘수’이므로 호도법에서 각의 크기를 나타내는 수는 실수라고 하였다

(C-R2). 또한 7C', 7K', 7L'은 C-R2를 설명하는 방식으로 C-U를 이용

하였는데, 이 지도서들은 단위원에서는 호의 길이와 각의 크기가 같으므

로(C-U), 호의 길이인 실수로 각을 나타낼 수 있다(C-R2)고 하였다([그

림 Ⅳ-5]).

[그림 Ⅳ-5] 7L'지도서에서 C-U를

이용한 C-R2의 설명

C-A와 관련하여 7M', 7O'은, 반지름의 길이가 인 원에서 중심각의

크기가 1라디안이면 호의 길이는 , 중심각의 크기가 라디안이면 호의

- 44 -

길이는 , 라디안이면 호의길이는 반지름의 길이의 배이므로 이며,

중심각의 크기가 라디안 이면 호의 길이는 반지름의 길이의 배이므로

라고 설명하고 있다. C-U와 관련하여 7B', 7E', 7H', 7M', 7P'은 호도

법을 사용하면 단위원에서 호의길이와 각의 크기가 같아진다는 것을 명

시하고 있다. C-I와 관련해서는 부채꼴의 호의 길이와 넓이 공식이 간단

해 진다는 내용과(7B', 7E', 7F') 각의 크기가 길이 개념으로 바뀌어 육

십진법에서 십진법으로 나타낼 수 있다는 내용(7B'), 그리고 호도법을

사용하면 각의 개념이 길이의 개념으로 바로 이용될 수 있는 이점이 있

으나 육십분법의 각을 그대로 길이의 개념으로 이용할 수 없다(7M')는

내용이 있다. T-A와 관련하여 7K'은 단위원에서 호의 길이가 정의역인

삼각함수를 도입한 뒤에, 호도법을 사용하면 단위원에서 호의길이와 각

의 크기가 같으므로, 각을 호의 길이(실수)로 만든 후, 각의 함수를 실수

에서 실수로 대응되는 함수로 만들었다([그림 Ⅳ-6]). 마찬가지로 7L'도

호의 길이가 정의역인 삼각함수를 도입한 뒤에, 정의역이 각인 삼각함수

를 호도법을 이용하여 호의길이가 정의역인 삼각함수로 연결 지었다([그

림 Ⅳ-7]).

[그림 Ⅳ-6] 7K'지도서의 T-A관련 내용

- 45 -

[그림 Ⅳ-7] 7L'지도서의 T-A관련 내용

7K'과 7L'은 처음으로 T-A를 호도법과 관련지어 설명하였다. T-C와

관련하여 7E', 7M', 7P'은 삼각함수의 미분과 적분공식이 간단해짐을 언

급하고 있으며, 7K', 7L'은 “호도법으로 표현된 각의 크기는 그 각이 단

위원과 만나서 이루는 호의 길이와 같아지므로, 라디안 단위의 각의 크

기로 표현된 삼각함수를 곧장 실수에 대한 삼각함수로 바꿀 수 있다.”라

고 언급하였다.

7차 교육과정 지도서에는 교과서에서 언급하지 않은 C-C, C-A, C-U,

T-A, T-C 내용을 포함하고 있음을 알 수 있다.

아. 7차 개정 교육과정

7차 개정 교육과정 교과서 18종(7A~7R)의 분석 결과 기준 C의 모든

세부 기준(C-M, C-C, C-R1, C-R2, C-S, C-A, C-U, C-I)에 대한 설명

이 있었으며, T-A, T-G관련 내용을 담고 있었다(<표Ⅳ-14>).

C-M 관련하여 7개C, 7개F, 7개J, 7개P, 7개R 교과서에서 호도법이 호

의 길이를 이용하여 각의 크기를 정하는 방법이라는 것을 명시하고 있

다. 특히, 7개J는 호도법 도입 시 “호의 길이와 반지름의 길이의 비로 각

의 크기를 나타내는 방법”으로 명시하고 있다.

- 46 -

교육과정 7차 개정 교육과정 교과서(총 18종)

기준 C T

세부기준

자료C-M C-C C-R1 C-R2 C-S C-A C-U C-I T-A T-C T-G

7개A

7개B

7개C ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

7개D

7개E ○ ○

7개F ○

7개G ○ ○ ○ ○ ○

7개H ○

7개I ○ ○

7개J ○ ○ ○ ○ ○ ○

7개K ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

7개L ○

7개M

7개N ○

7개O ○

7개P ○ ○ ○

7개Q ○

7개R ○ ○

계(%)

5(27.8)

3(16.7)

6(33.3)

2(11.1)

4(22.2)

3(16.7)

3(16.7)

5(27.8)

1(5.6)

0(0)

9

(50)

<표Ⅳ-14> 7차 개정 교육과정 교과서 분석

C-C관련하여 7개C교과서는 중심각의 크기가 같고 일 때,

의 값이 일정함을 보이고, 7개G교과서는 탐구활동을 통해 (호의

길이)/(반지름의 길이)가 항상 일정함을 보였으며, 7개J는 중심각의 크기

가 일 때, 과 의 비

은 항상 로 일정함을 보였다. C-R1과

관련하여 7개C, 7개G, 7개J, 7개K는 반지름이 인 원에서 호의 길이가

이 되도록 중심각을 택하면 이 중심각의 크기가 이 됨을 명시하였으

- 47 -

며, 7개E, 7개P는 “반지름의 길이가 일 때, 호의길이가 이면 중심각의

크기는 1라디안, 호의길이가 이면 중심각의 크기는 라디안, 호의 길

이가 이면 중심각의 크기는 라디안이다.” 와 같이 (호의길이)/(반지름

의 길이)가 각의 크기가 됨을 설명하였다(7개E, 7개P는 이를 도 단위의

각과 연관시키지 않았기 때문에 C-S에는 속하지 않는다). C-R2와 관련

하여 7개C와 7개K교과서는 라디안이 반지름에 대한 호의 길이의 비이므

로 실수이기 때문에 단위를 생략한다고 설명하였다. C-S관련하여 개7G,

개7O는 반지름의 길이가 인 반원의 호의 길이가 이므로 중심각

임을 보였고, 개7K는 단위원에서 반원의 호의길이가 이므로

임을 보였다. 개7C는 단위원에서 중심각과 호의 길이가 같음을

설명하고, “단위원에서 중심각이 일 때 호의길이

이므로

라디안과 같다.”와 같이 라디안과 도의 관계를 단위원에서 호

의 길이를 이용하여 설명하였다. C-A와 관련하여 개7C, 개7G, 개7J는

호도법에서

임을 이용하여 공식을 이끌어내었다. C-U와 관련

하여 개7C, 7개J, 7개K는 단위원에서 호의 길이와 각의 크기가 같음을

명시하였다. C-I와 관련하여 개7C, 개7H, 개7I, 개7K는 부채꼴의 호의

길이와 넓이 공식이, 개7G는 원과 관련된 공식이 간단해짐을 언급하였

다. T-A관련하여 개7K는, 단위원에서 호도법으로 나타낸 각의 크기는

그 각에 대한 호의 길이와 같으므로 일반각을 좌표평면위에 나타낼 때에

도 호도법을 이용하면 편리함을 보이고([그림 Ⅳ-8]), 이를 반영하여 호

의 길이를 이용한 삼각함수도 정의하였다([그림 Ⅳ-9]).

T-G내용을 포함하는 교과서는 9종(개7E, 개7I, 개7J, 개7K, 개7L, 개

7N, 개7P, 개7Q, 개7R)으로 50%의 교과서가 해당되었다. 그러나 개7K를

제외한 나머지 교과서는 모두 그래프를 그릴 때 단위원의 호의 길이를

- 48 -

정의역으로 강조하였을 뿐, 이에 대한 설명을 하지 않았다.

[그림 Ⅳ-8] 개7K교과서의 호도법관련 설명

[그림 Ⅳ-9] 개7K교과서의 T-A관련 설명

개7K교과서에서는 “원점 O를 중심으로 하는 단위원 위를 움직이는 점

P가 점A 을 출발하여 만큼 움직였을 때 도달한 점의 위치는 좌표

는 sin 이고, 좌표는 cos이다. 따라서 점P가 움직인 거리인 의 값을

가로축에 나타내고, 에 대응하는 sin의 값을 세로축에 나타내어 사인

함수 sin의 그래프를 그린다.”라고 명시하였다([그림 Ⅳ-10]).

[그림 Ⅳ-10] 개7K교과서의 T-G관련 설명

7차 개정 교육과정 교과서 분석결과 T-C를 제외한 모든 세부기준내용

- 49 -

을 포함하고 있었으며, 특히 7개C 교과서는 호도법 아이디어 기준(C)관

련 내용을 모두 포함하고 있음을 알 수 있다.

추가적으로 지도서 7개C', 7개D', 7개E', 7개F', 7개H', 7개I', 7개J', 7

개K', 7개L', 7개M', 7개Q'을 분석하였다(11종, <표Ⅳ-15>).

교육과정 7차 개정 교육과정 지도서(총 11종)

기준 C T

세부기준

자료C-M C-C C-R1 C-R2 C-S C-A C-U C-I T-A T-C T-G

7개C' ○

7개D' ○

7개E' ○ ○ ○ ○ ○ ○

7개F' ○ ○ ○

7개H' ○ ○ ○

7개I' ○ ○ ○

7개J' ○ ○

7개K' ○ ○

7개L'

7개M' ○ ○ ○ ○ ○ ○

7개Q'

계(%)

1(9.1)

1(9.1)

4(36.4)

3(27.3)

0(0)

1(9.1)

6(54.5)

5(45.6)

1(9.1)

4(36.4)

1

(9.1)

<표Ⅳ-15> 7차 개정 교육과정 지도서 분석

C-M과 관련하여 7개E'은 “호도법은 반지름의 길이에 대한 호의 길이

의 비로 각의 크기를 나타내는 방법이다.”라고 명시하고 있다. C-C와 관

련하여 7개M'은 “반지름의 길이가 인 원O에서 크기가 인 중심각에

대한 호의 길이를 이라고 할 때, 과 값의 비의 값 은 원의 크기에

관계없이 항상 일정하다.”고 언급하고 있다. C-R1관련하여 7개E'는 반지

름의 길이에 대한 호의 길이의 비율로 각의 크기를 나타낼 수 있음을 명

시하고 있으며, 7개F', 7개K', 7개M'은 각 를 의 값을 이용하여 나타

- 50 -

낼 수 있음을 설명하였다. 이를 반영하여 C-R2에 대하여 7개E', 7개F'

는 각각 “원이 단위원인 경우는 호의 길이로 각의 크기를 나타낼 수 있

어 단위인 라디안을 생략하면 실수체계와 같게 된다.”, “‘라디안’은 원둘

레 위에서의 점 P의 위치 변화량 을 반지름의 길이 로 나눈 것으로

정의된

인 수이다.”와 같이 언급하고 있다. 또한 7개K'은 “각의 크

기를 재는 것이나 그 각에 대한 호의 길이를 재는 것이나 마찬가지이다.

반지름의 길이가 인 원에서 호의 길이가 이면 두 값의 비인 실수 이

바로 각의 크기를 라디안으로 나타낸 것이다.”와 같이 명시하고 있다.

C-A관련하여 7개M'은 “반지름의 길이가 인 원에서 중심각의 크기가 1

라디안이면 호의 길이는 중심각의 크기가 라디안이면 호의길이는

, 중심각의 크기가 라디안이면 호의길이는 이다. 따라서 중심각의

크기가 라디안이면 호의 길이는 이다.”와 같이 설명할 것을 권고하고

있다. C-U관련하여 7개D', 7개E', 7개H', 7개I', 7개J', 7개M' 지도서 모

두 단위원에서는 호의길이와 각의 크기가 같음을 명시하였다. C-I와 관

련하여 7개C', 7개E', 7개I'는 부채꼴의 호의 길이와 넓이 공식이 간단해

진다고 설명하였으며, 7개M'은 수학과 물리학의 중요한 공식이 단순화

된다고 하였다. 또한 7개J'은 호도법은 십진법의 수임을 명시하였다.

T-A와 관련하여 7개M'은 “삼각함수를 단위원을 이용하여 다음과 같이

정의하기도 한다. 반지름이 1인 원에서 원주를 따라 만큼 회전한 점의

좌표를 cos sin로 정의 한다”는 것을 언급하였다. T-C와 관련하여

7개E', 7개F', 7개H', 7개I'은 삼각함수의 미분 값이 간단해짐을 언급하

였다. T-G와 관련하여 교과서(7개H)에서는 삼각함수 그래프의 정의역으

로 호의 길이를 강조하지 않았지만, 7개H의 지도서인 7개H'은 “사인함

수의 그래프를 그릴 때, 단위원을 이용하면 삼각함수의 값이 선분의 길

- 51 -

이로 주어지므로 곧바로 대응점을 좌표평면 위에 잡아 그릴 수 있다. 단

위원에서 는 호의 길이와 같으므로 단위원의 원주를 펼쳐서 축 위에

놓고, 호의 길이가 가 되는 점 의 좌표 값을 각 에 대응되도록

점가 나타내는 도형을 그리면 정의역이 ≤ 인 사인함수의 그

래프가 된다.”라고 명시 하였다.

7차 개정 교육과정에 따른 지도서에서는 교과서에서 언급하지 않은

T-C에 관한 내용을 다수(4종, 36.4%)포함하고 있었다.

자. 09 개정 교육과정

09 개정 교육과정 교과서 9종(09A~09I)의 분석 결과 C-A, C-U, T-A

를 제외한 모든 세부기준관련 내용을 포함하고 있었다(<표Ⅳ-16>).

C-M과 관련하여 09C, 09G, 09H 교과서에서는 호도법은 호의 길이로

각의 크기를 나타내는 방법임을, 09A 교과서는 “호도법의 호도는 호의

각도라는 뜻이다.”라고 명시하였다. C-C관련하여 09G교과서는, 호도법을

처음 도입할 때, 중심각의 크기가 이고 반지름의 길이가 1, 2, 3일

때 (호의 길이)/(반지름의 길이)를 각각 구해 봄으로써, (호의 길이)/(반

지름의 길이)가 일정한 것을 확인한다. C-R1, C-R2관련하여 09A, 09H

교과서는 이므로 반지름의 길이가 인 원에서 호의 길이가 인 부

채꼴의 중심각의 크기

라디안이 된다고 설명하며, 라디안이 길이의

비이므로 실수라고 하였다. C-S관련하여 09H교과서는 “반지름의 길이가

인 반원의 호의 길이는 이므로 그 중심각의 크기는 이다. 반원의 중

심각의 크기를 육십분법으로 나타내면 180°이므로 라디안이 성

립한다.”라고 설명하였다. C-I, T-C 관련하여서는 09B, 09H모두 부채꼴

의 호의 길이와 넓이 공식과(C-I), 삼각함수의 미적분 값이 간단해짐을

언급하였다(T-C). 세부기준 T-G는 55.6%의 교과서가 관련 내용을 실었

- 52 -

다. 09A, 09C, 09D, 09G는 그래프를 그릴 때 정의역이 호의 길이가 됨을

강조하였으며, 09H교과서는 그래프 상에는 정의역이 호의 길이가 됨을

강조하지 않았지만, “단위원 위를 움직이는 점 P가 점 A 을 출발하

여 양의 방향으로 만큼 회전하였을 때 도달한 점의 좌표는

P cos sin이다. 이때 점 P가 움직인 거리인 의 값을 가로축에 나타

내고, 에 대응하는 sin의 값을 세로축에 나타내면, sin의 그래프

를 그릴 수 있다.”와 같이 P가 움직인 거리(호의 길이)를 정의역으로 설

명하였다.

교육과정 2009 개정 교육과정 교과서(총 9종)

기준 C T

세부기준

자료C-M C-C C-R1 C-R2 C-S C-A C-U C-I T-A T-C T-G

09A ○ ○ ○ ○

09B ○ ○

09C ○ ○

09D ○

09E

09F

09G ○ ○ ○

09H ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

09I

계(%)

4(44.4)

1(11.1)

2(22.2)

2(22.2)

1(11.1)

0(0)

0(0)

2(22.2)

0(0)

2(22.2)

5

(55.6)

<표Ⅳ-16> 2009개정 교육과정 교과서 분석

추가적으로 09B', 09C', 09D', 09F', 09I'지도서(6종)을 분석하였다(<표

Ⅳ-17>).

C-C와 관련하여 09G'은 “주어진 각의 크기에 대하여 호의길이/반지름

의 길이가 일정한 것을 확인한 후, 이 값으로 각의 크기를 새롭게 정의

하는 라디안의 개념을 자연스럽게 도입하도록 지도한다.”로, 09B'은 “반

지름의 길이가 인 원O에서 크기가 인 중심각에 대한 호의 길이를 이

- 53 -

라고 할 때, 과 의 비의 값 은 원의 크기에 관계없이 항상 일정하

다.”라고 언급하며, 이를 C-R1와 연관지어 “이 각 를 의 값을 이용하

여 나타낼 수 있다.”라고 설명하고 있다.

교육과정 2009 개정 교육과정 지도서(총 6종)

기준 C T

세부기준

자료C-M C-C C-R1 C-R2 C-S C-A C-U C-I T-A T-C T-G

09B' ○ ○ ○ ○

09C' ○

09D'

09F'

09G' ○ ○ ○

09I' ○

계(%)

0

(0)

2

(33.3)

1

(16.7)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

3

(50)

3

(50)

0

(0)

0

(0)

0

(0)

<표Ⅳ-17> 2009개정 교육과정 지도서 분석

C-U와 관련하여 09B', 09G' 09H'모두 단위원에서는 부채꼴의 호의

길이와 각의 크기가 같음을 언급한다. C-I와 관련하여 09B', 09C', 09G'

모두 부채꼴의 호의 길이와 넓이 공식이 간단해 지는 것을 언급하고 있

다. 09개정 교육과정 지도서에서는 교과서에서는 없었던 C-U관련 내용

을 포함하고 있음을 알 수 있다.

3. 교육과정별 교과서 분석 결과 시사점

가. 교육과정 변화에 따른 시사점

각 교육과정별 세부기준내용을 반영한 교과서 수와 비율(%)은 <표 Ⅳ

-18>과 같다.

- 54 -

<표 Ⅳ-18>을 보면, 6차 교육과정 교과서에서 최초로 C-C, C-R2,

T-G와 관련된 내용을 다룬 것을 알 수 있다. 또한 6차 이후의 교육과정

에서 T-G관련 내용을 다루는 교과서 비율이 점점 늘어난 것(5.6% →

31.3% → 50% → 55.6%)을 볼 수 있다. 이는 삼각함수의 그래프를 다룰

때 정의역이 호의 길이가 된다는 내용에 주목한 교과서가 많아졌기 때문

이라 여겨진다. 7차 교육과정 교과서에서는 최초로 C-I와 관련된 내용을

다루었으며, C-I와 관련된 내용은 이후 교육과정 교과서에서도 꾸준히

다루고 있다. 09개정 교육과정 교과서에서는 T-C 관련내용을 처음으로

다룬 것을 알 수 있다.

기준 C T

세부기준

교육과정C-M C-C C-R1 C-R2 C-S C-A C-U C-I T-A T-C T-G

1차 2(50)

0(0)

1(25)

0(0)

2(50)

1(25)

2(50)

0(0)

0(0)

0(0)

0(0) 4

2차 0(0)

0(0)

1(14.3)

0(0)

2(28.6)

1(14.3)

0(0)

0(0)

0(0)

0(0)

0(0) 7

3차 1(50)

0(0)

1(50)

0(0)

1(25)

1(25)

0(0)

0(0)

1(25)

0(0)

0(0) 2

4차 0(0)

0(0)

1(16.7)

0(0)

2(33.3)

1(16.7)

1(16.7)

0(0)

1(16.7)

0(0)

0(0) 5

5차 0(0)

0(0)

0(0)

0(0)

1(12.5)

0(0)

1(12.5)

0(0)

0(0)

0(0)

0(0) 8

6차 1(5.6)

1(5.6)

1(5.6)

1(5.6)

2(11)

1(5.6)

1(5.6)

0(0)

0(0)

0(0)

1(5.6) 18

7차 2(12.5)

0(0)

1(6.3)

1(6.3)

0(0)

0(0)

0(0)

3(18.8)

0(0)

0(0)

5(31.3) 16

7차 개정 5(27.8)

3(16.7)

6(33.3)

2(11.1)

4(22.2)

3(16.7)

3(16.7)

5(27.8)

1(5.6)

0(0)

9(50) 18

09 개정 4(44.4)

1(11.1)

2(22.2)

2(22.2)

1(11.1)

0(0)

0(0)

2(22.2)

0(0)

2(22.2)

5(55.6) 9

계(%)

15(17.2)

5(5.7)

14(16.1)

6(6.9)

15(17.2)

8(9.2)

8(9.2)

10(11.5)

3(3.4)

2(2.3)

20(23) 87

<표Ⅳ-18> 교육과정별 세부기준 반영 교과서 수

삼각함수의 정의역이 호의 길이가 될 수 있음에 대한 기준인 T-A 관

련 내용은 모든 교육과정의 교과서를 통틀어 3종의 교과서 밖에 다루지

- 55 -

않는다. 그럼에도 6차, 7차, 7차 개정, 09개정교육과정의 교과서에서는 삼

각함수의 그래프를 그릴 때, 정의역이 호의 길이임을 강조한 것(T-G)을

볼 수 있다. 즉 삼각함수의 정의역이 호의 길이가 되는 이유를 명시적으

로 설명하지 않은 채로 그래프를 그릴 때 이를 반영하였다고 볼 수 있

다.

각 교육과정의 교과서에서 서술한 세부기준의 수를 보면(<표 Ⅳ-19>),

5차 교육과정이 2가지로 가장 적고, 7차 개정 교육과정이 10가지로 가장

많은 것을 알 수 있다. 또한 6차 교육과정부터 호도법 아이디어에 관해

더욱 다양한 내용을 다루기 시작하였고, 7차 개정 교육과정에서는 1가지

(T-C)를 제외한 모든 세부기준의 내용을 다루었음을 알 수 있다. 또한

7차 개정 교육과정의 교과서는 다른 교육과정에 비해, 각 세부기준의 내

용을 담고 있는 교과서의 비율도 높고, 교과서에서 다루고 있는 세부기

준의 수도 많은 것을 볼 수 있다(<표 Ⅳ-18>, <표 Ⅳ-19>). 그 차이는

7차 개정 교육과정에서 분석한 교과서의 수와 비슷한 수의 6, 7차 교육

과정의 교과서와 비교하였을 때, 확연히 드러난다. 그러나 09개정 교육과

정에서는 다룬 세부기준의 수가 8가지로 축소되었는데, 이는 아쉬운 면

이다.

교육과정 1차 2차 3차 4차 5차 6차 7차 7차개정

09개정

세부기준 수(총11) 5 3 4 5 2 8 5 10 8

<표Ⅳ-19> 교육과정별 서술 세부기준 수

교육과정 변화에 따른 분석을 바탕으로, 시간이 지날수록 교과서에서

다룬 세부기준의 수가 대체로 많아지는 것을 볼 수 있다. 이는 호도법의

아이디어와 의의에 대해 주목하는 교과서가 점점 많아지고 있기 때문이

라 여겨진다.

- 56 -

나. 세부기준별 분석에 따른 시사점

<표 Ⅳ-18>을 보면, T-G관련 내용은 총 87종의 교과서에서 20종

(23%)이 명시하여 세부기준 중 교과서에서 가장 많이 찾아볼 수 있는

내용이다. T-C관련 내용은 2종(2.3%)에서만 명시하여 교과서 반영 비율

이 가장 낮은 세부기준이다. 반영 비율이 20%가 넘는 세부기준은 T-G

하나뿐이다. 또한 10%이하인 것은 C-C, C-R2, C-A, C-U, T-A, T-C

이며, 이 중 T-A와 T-C관련 내용은 5%이하의 교과서에만 반영되어 있

다. 1가지를 제외한 대부분의 세부기준(10가지)에 대하여 교과서에서 반

영한 비율이 20%미만인 것을 보아 호도법의 아이디어가 교과서에 반영

된 비율이 낮다는 것을 알 수 있다.

또한 호도법 아이디어(기준 C)와 삼각함수(기준 T)관련 모든 세부기준

을 만족한 교과서는 찾을 수 없었다. 호도법 아이디어(기준 C)에 관한

모든 세부기준을 만족한 교과서는 1종(7개C)밖에 없었으며, 삼각함수(기

준 T)에 관한 모든 세부기준을 만족한 교과서는 없었다.

87종의 교과서에서, 호도법의 아이디어(기준 C)에 관한 세부기준 8가

지 중 5가지 이상을 만족한 교과서는 7종23)뿐이었다. 또한 세부기준을 1

가지만 만족하는 교과서도 있는데(22종24)), 이들 교과서에서 다룬 세부

기준은 각각 달랐다. 이를 통해 호도법 아이디어에 관하여 강조하는 것

이 교과서마다 파편적으로 흩어져 있음을 알 수 있다. 또한 호도법의 아

이디어에 관한 세부기준을 5가지 이상 만족하는 교과서 7종 중, 삼각함

수에 관한 세부기준을 2가지 이상 만족한 것은 2종(7개K, 09H)뿐 이었

다. 이는 호도법의 아이디어를 다수 다룬 교과서 중에서도, 호도법 아이

23) 1A, 6J, 7개C, 7개G, 7개J, 7개K, 09H

24) 1B, 1C, 1D, 2A, 2F, 3A, 4A, 4B, 4D, 5C, 5E, 7A, 7E, 7H, 7개E, 7개F, 7개H, 7

개I, 7개O, 7개R, 09B, 09C

- 57 -

디어를 삼각함수와 연계시킨 교과서가 드물다는 것을 시사한다. 삼각함

수에 관한 세부기준을 2가지 이상 만족한 교과서도 앞서 언급한 2종(7개

K, 09H) 밖에 없었는데, 이를 통해 삼각함수의 정의역으로 호의 길이를

두고, 이를 호도법과 연관 짓는 교과서가 드물다는 것을 알 수 있다.

다. 교과서에서 다룬 내용에 따른 시사점

호도법의 의의와 관련하여 C-I와 관련된 내용은 주로 ‘각의 크기를 나

타내는 단위로서 라디안을 사용하면, 육십분법과 다르게 십진 표시법으

로 나타낼 수 있다.’ ‘호도법을 사용하면 원호의 길이, 원의 면적을 편리

하게 나타낼 수 있다.’이며, T-C 관련 내용도 미적분 간단해진다는 설명

만 찾을 수 있었다. 하지만 호의 길이로 각을 측정할 때 및 삼각함수의

정의역을 호의 길이로 둘 때 호도법과 육십분법과 비교하는 교과서를 찾

을 수 없었던 것은 아쉬운 점이다.

삼각함수와 관련하여, 모든 교과서에서 삼각함수의 성질, 삼각함수의

그래프를 다룰 때 단위원을 사용하고 있었다. 즉, 단위원을 사용하면, 코

사인과 사인의 값이 , 좌표로 간단하게 다루어진다는 것을 반영한 것

이다. 그러나 이러한 내용 이외에도 단위원은, 호도법을 사용할 때, 각의

크기와 호의 길이가 같아져 호의 길이로 바로 각의 크기를 해석할 수 있

게 한다. 교과서에서는 단위원에서 호도법의 장점을 삼각함수와 연계하

여, 호도법과 단위원이 삼각함수를 다룰 때 중요한 역할을 한다는 것을

강조할 필요가 있다.

- 58 -

Ⅴ. 학생과 예비교사의

호도법 및 삼각함수 이해

이 장에서는 앞서 고찰한 호도법에 내재된 수학구조와 삼각함수에서

호도법의 의의, 그리고 교육과정별 호도법 내용에 대한 교과서 분석을

바탕으로 학생과 예비교사의 호도법에 대한 이해를 알아본다.

1. 연구 방법 및 절차

가. 연구 참여자

연구는 호도법을 학습한 경험이 있는 고등학교 3학년 이과 학생과, 예

비교사를 대상으로 이루어 졌다. 고등학교 3학년 학생의 경우, 경기도 소

재의 H고등학교 학생 25명을 대상으로 설문지 조사를 하였다. 예비교사

의 경우 서울 소재의 사범대학 수학교육과에 재학 중인 학부 학생 10명

과 교직경험이 없는 석사과정 학생 10명을 대상으로 설문지 조사를 하였

다.

나. 조사 절차

본 연구는 서울대학교 생명윤리 위원회(SNU IRB)의 승인을 받은 후

이루어졌다. 연구는 설문조사를 통해 학생과 예비교사들이 문제를 해결

할 때 호도법을 사용하는 방법과, 호도법에 대한 이해를 조사한다. 또한

호도법에 내재된 수학구조와 각을 나타내는 호의 길이를 삼각함수의 정

의역으로 파악 할 수 있는지에 대하여 알아본다. 설문은 모두 2017년 10

월 중순에 이루어졌다. 모든 설문은 동의서를 받은 후에 실시하였으며,

- 59 -

설문 전에 문제해결과정 및 본인의 생각을 자세히 적을 수 있도록 안내

하였다. 조사에 소요되는 시간은 약 15~20분 정도였고, 추가로 시간이 더

필요하다고 요청한 학생의 경우에는 5분정도 시간을 더 주었다. 설문 조

사 시에는 연구 참여자 상호간의 영향이 없도록 개별적으로 설문을 작성

하게 하였으며 설문 후에는 설문지를 모두 회수하였다.

다. 조사 도구

본 연구에 사용된 설문지는 4개의 문항으로 이루어져 있다(1번~4번). 설

문내용은 선행연구와 Ⅱ, Ⅲ, Ⅳ장에서 조사한 내용을 바탕으로 구성하였

다. 1번 문항은 문제해결에 호도법 아이디어를 적용할 수 있는지 묻고자

하였다. 2번 문항은 호도법에 내재된 수학 구조를 파악할 수 있는지 조

사하고자 하는 문항이다. 3번 문항은 단위원에서 호도법 아이디어를 적

용하여 호의 길이가 삼각함수의 정의역이 됨을 파악할 수 있는지 조사하

고자 하였다. 1~3번의 경우 학생과 예비교사의 문항이 같은 반면, 4번 문

항은 학생과 예비교사의 문항을 다르게 구성하였다. 학생용 4번 문항은

삼각함수 그래프에서 호의 길이를 작도하는 문제해결을 통해 삼각함수의

정의역을 호의 길이로 둘 수 있는지 조사하고, 또한 이를 응용하여 문제

를 해결할 수 있는지 알고자 하였다. 그리고 삼각함수에서 호도법을 사

용하는 이유에 대해 학생들의 생각을 조사하고자 하였다. 예비교사용 4

번 문항은 삼각함수의 정의역이 각의 크기여야 하는지, 호의 길이여야

하는지 의견을 묻는 문항과, 학생용과 마찬가지로 삼각함수를 다룰 때

호도법을 사용하는 이유에 대한 예비교사들의 생각을 조사하고자 하였

다. 문항 중 1번과 3번은 소 문항이 없으며, 2번 문항은 2개의 소 문항으

로 이루어져 있다. 4번의 경우 학생용은 3개의 소 문항, 예비교사용은 2

개의 소 문항으로 이루어져 있다. 문항들은 모두 서술형 문항으로 이루

- 60 -

어져 있다.

설문지는 수학교육과 교수 2인, 교사이며 박사과정학생 3인 이상, 교사

이며 석사과정 학생 2인 이상으로 이루어진 세미나에서 5회 이상의 의견

교환 및 검토 그리고 그에 따른 다수의 수정을 통해 구성하였다. 각 문

항의 내용은, 학생의 경우 <부록 A>, 예비교사의 경우 <부록 B>와 같

다. 각 설문 문항에 따른 조사 항목 및 출처는 <표 Ⅴ-1>과 같다.

번호조사 항목

출처학생용 예비교사용

1 문제해결 시 호도법 아이디어 적용

강향임·최은아

(2015)

문항참고

21)

호도법에 내재된 수학구조의 파악제작

2) 제작

3 단위원 위에 정의된 삼각함수에서 호도법 적용 제작

4

1)

호도법 아이디어를

이용하여 삼각함수의

그래프에 적용

삼각함수의 그래프의

정의역에 대한 이해제작

2)

호도법 아이디어를

이용하여 삼각함수관련

문제해결 여부

삼각함수에서 호도법의

의의 파악제작

3)삼각함수에서 호도법의

의의 파악제작

<표 Ⅴ-1> 조사항목 및 출처

라. 분석 방법

설문 문항에 따른 응답을 유형별로 분류하여 반응 유형에 따른 빈도수

를 분석하였다. 이 때 연구 대상자를 코드화 하여 학생의 경우 S1~S25,

예비교사의 경우 T1~T20에 대응시켜 분석 하였다. 각 응답 유형에서 세

부적으로 응답내용이 나뉘어 그 내용에 대한 설명이 필요한 경우와, 분

- 61 -

석과정에서 특이할만한 내용은 추가적으로 서술하였다. 설문지에 응답한

내용만으로는 학생 또는 예비교사가 의도한 바가 무엇인지 해석하기 어

려운 경우 추가적인 면담을 통해 그 내용을 확인하였다.

2. 연구 결과 및 논의

가. [문항 1] 응답 분석

[문항 1]은 문제해결 시 호도법 아이디어를 적용하여 각을 측정할 수

있는지 확인하고자 하는 문항이다. 정답률은 학생의 경우 44%(11명), 예

비교사의 경우 95%(19명)이다. 응답유형은 호도법 아이디어를 적용하여

문제를 해결한 경우와 호도법 아이디어 이외의 방법으로 해결한 경우,

그리고 오답으로 분류했으며, 그 결과는<표 Ⅴ-2>와 같다.

응답 학생 수 예비교사 수

호도법 아이디어를 활용하여 해결 0 1

호도법 아이디어 외의 방법을 활용하여 해결 14 18

오답 11 1

합계 25 20

<표 Ⅴ-2> [문항 1] 응답 분석

[문항 1]의 경우 ‘호의 길이가 반지름의 길이의 두 배이므로 답은 2rad

이다.’와 같이 호도법 아이디어를 반영하여 직관적으로 해결할 수 있는

문항이지만, 이 방법을 활용하여 해결한 학생과 예비교사는 각각 0명

(0%)과 1명(5%)으로 그 수가 매우 적다. 호도법 아이디어를 적용한 예

비교사(T6)의 응답은 [그림 Ⅴ-1]과 같다. 강향임과 최은아(2016)는 예비

교사 35명을 대상으로 같은 문항에 대해 조사하였는데, 그 결과 9명의

예비교사(25.7%)가 호도법 아이디어를 이용하여 문제를 해결하였다. 본

조사에서 호도법 아이디어로 문제를 해결한 연구 참여자의 비율은 강향

- 62 -

임과 최은아(2016)의 조사보다 더 낮은 것을 알 수 있다.

[그림 Ⅴ-1] 호도법 아이디어를 적용한

T6의 응답

호도법 아이디어 이외의 방법으로 문제를 해결한 경우는 <표 Ⅴ-3>과

같으며, 응답은 크게 라디안단위로 접근하는 경우와 도( )단위로 접근하

는 경우로 나뉘었다.

응답 학생 수 예비교사 수

라디안

이용

공식 이용하여 2rad 도출 13 17

중심각과 호의길이 비례 이용 0 1

도()

이용

도( )단위를 사용하며

×

중심각 으로 해결

1 0

합계 14 18

<표 Ⅴ-3> 호도법 아이디어 외의 방법을 활용하여 문제를 해결한 경우

라디안단위를 사용하여 문제를 해결하는 경우, 학생은 공식만을

이용하였다(13명, 52%). 예비교사의 경우에는 주로 공식을 이용하

였으나(17명, 85%)([그림 Ⅴ-2]), 이 방법뿐만 아니라 중심각과 호의 길

이가 비례하는 성질을 이용하여 해결한 학생(1명, 5%)도 있었다([그림

Ⅴ-3]).

[그림 Ⅴ-2] 공식을

이용한 T1의 응답

[그림 Ⅴ-3] 중심각과 호의 길이가

비례함을 이용한 T8의 응답

라디안 단위와 공식을 이용하여 값을 구한 경우에도, 이를 다시

- 63 -

육십분법으로 변환하려고 시도하는 것을 볼 수 있었는데, 학생의 경우 4

명이, 예비교사의 경우 1명이 라디안으로 구한 값을 도()단위로 다시

변환하였다. 추가적인 면담 결과 예비교사의 경우 도 단위 변환을 단순

히 추가적으로 한 것이나, 학생의 경우 2rad 값이 이상해서 육십분법으

로 변환을 시도하였다고 하였다. 이는 학생들이 라디안 단위로 측정한

각에는 항상 가 있어야 한다고 생각하는 경향이 있다는 기존 연구의(윤

종관, 이덕호, 2002)의 결과와 유사하다. 그리고 학생의 경우, 육십분법

으로 변환을 시도하였으나 값을 제대로 구하지 못하거나(S4, S6), 도( )

단위를 붙이지 않은 것(S22)을 볼 수 있었다([그림Ⅴ-4], [그림Ⅴ-5]).

[그림Ⅴ-4] 도( ) 단위 로 변환

시도한 S4(위), S6(아래)의 응답

[그림Ⅴ-5] 도( )단위 생략한

S22의 응답

도( ) 단위를 사용하여 문제를 해결한 연구대상자는 학생 1명으로, 이

학생은 ×

중심각 을 이용하여 중심각이

임을 구하였다. 그러나

이때 도 단위를 표기하지 않았다([그림Ⅴ-6]).

[그림Ⅴ-6] 도( )단위 사용하여

해결한 S18의 응답

- 64 -

나. [문항 2] 응답 분석

[문항 2]는 호도법에 내재된 수학구조를 파악할 수 있는지 조사하는

문항으로, 호도법의 원리를 이해하는데 도움을 주는 보조문항인 [문항

2-1]과, 호도법을 가능하게 하는 수학 원리에 대한 연구 참여자의 생각

을 적도록 하는 [문항 2-2]로 구성되어있다. [문항 2-1]의 경우에는 정답

과 오답으로 구분하였으며, 학생의 경우 정답 17명(68%), 예비교사의 경

우 정답 19명(95%)으로, 학생의 정답률은 [문항 1]보다 높았다(<표 Ⅴ

-4>).

응답 학생 수 예비교사 수

정답 17 19

오답 8 1

합계 25 20

<표 Ⅴ-4> [문항 2-1] 응답 분석

[문항 2-2]에 대한 응답의 경우, 수학 구조를 반영한 응답과 공식

( )을 이용한 응답, 그리고 문제와 관련 없는 응답을 하거나 무응답

인 기타 응답으로 나뉘었다(<표 Ⅴ-5>).

응답 학생 수 예비교사 수

수학

구조

호의길이와 반지름의 길이의 비율이

일정하기 때문0 2

중심각이 같을 때, 호의길이와

반지름의 길이는 (정)비례하기 때문8 4

닮음이기 때문 2 2

공식

이용

또는 이기 때문 4 11

기타(문제와 무관 및 미기재) 12 3

합계 26 22

<표 Ⅴ-5> [문항 2-2] 응답 분석

기타항목에 해당하는 응답을 한 연구 참여자는 학생의 경우 12명, 예

비교사의 경우 3명이다. 기타 항목을 제외한 항목에서는 중복하여 서술

- 65 -

한 학생과 예비교사가 있어 합계가 총 연구 참여자 수보다 늘어났다.

호도법이 가능한 이유에 대해 수학 원리 측면에서 접근한 내용으로는

‘호의길이와 반지름의 길이의 비율이 일정하기 때문이다(학생 0명, 예비

교사 2명).’라는 답변과([그림Ⅴ-7]), ‘중심각이 같을 때, 호의길이와 반지

름의 길이는 (정)비례하기 때문이다(학생 8명, 예비교사 4명)([그림Ⅴ

-8]).’, ‘닮음이기 때문이다(학생 2명, 예비교사 2명)([그림Ⅴ-9]).’라는 답

변으로 나뉘었다. 학생의 경우 [문항 2-1]의 정답자 17명중 10명이 호도

법이 가능한 이유에 대해 수학원리를 이용하여 설명하였다. 이기

때문에 호도법이 가능하다고 서술한 응답([그림Ⅴ-10])은 학생의 경우 4

명, 예비교사의 경우 11명이다. 그러나

공식은 호도법에 내재된 수

학 구조를 바탕으로 도출한 내용이기 때문에 호도법이 가능한 이유를 묻

는 질문에 대한 답변으로는 부적절하다고 볼 수 있다.

[그림Ⅴ-7] 호와 반지름의 길이 비율 일정하기

때문이라고 한 T10의 응답

[그림Ⅴ-8] 호와 반지름의 길이가 비례이기 때문이라고

한 S3의 응답

[그림Ⅴ-9] 닮음이기 때문이라고 한 S5의 응답

- 66 -

[그림Ⅴ-10] 공식 이용하여 답한 T19의 응답

다. [문항 3] 응답 분석

[문항 3]은 단위원 위에서 호의 길이가 삼각함수의 정의역이 될 수 있

음을 파악할 수 있는지 알아보고자 설계한 문항이다. [문항 3]의 정답률

은 학생의 경우 76%(19명), 예비교사의 경우 95%(19명)이다(<표 Ⅴ

-5>). 응답유형은 단위원에서 호의길이가 삼각함수의 정의역이 되고 수

선의 길이가 사인 값이 됨을 즉각적으로 파악한 경우와, 부채꼴의 중심

각을 도출 한 후에 수선의 길이를 구한 경우, 그리고 오답으로 분류하였

으며 그 결과는 <표 Ⅴ-6>과 같다.

응답 학생 수 예비교사 수

단위원에서 호의길이가 삼각함수의 정의역이

되고, 수선의 길이가 사인 값이 됨을 즉각적으로

파악하여 문제 해결

0 0

부채꼴의 중심각 도출 후 문제 해결 18 19

기타(오답 등) 7 1

합계 25 20

<표 Ⅴ-6> [문항 3] 응답 분석

분석결과 단위원에서는 호의 길이가 삼각함수의 정의역이 됨을 이용하

여 수선의 길이가 사인 값이 됨을 즉각적으로 파악한 연구참여자는 없었

다. 학생과 예비교사 모두 공식을 이용하여 부채꼴의 중심각 즉,

∠AOB가 임을 도출한 후에 문제를 해결하였다. 부채꼴의 중심각을 도

출한 연구대상자들이 [문항 3]의 의 값을 구하는 방법은 <표 Ⅴ-7>과

같다.

- 67 -

응답 학생 수 예비교사 수

공식을 이용하여

∠AOB 임을 도출

삼각함수 이용하여 의 값

이 sin

임을 구함

4 12

특수각의 삼각비 이용 14 6

정삼각형 내각의 합 이용 0 1

합계 18 19

<표 Ⅴ-7> [문항 3]에서 부채꼴의 중심각 도출 후 문제해결방법

연구대상자들은 삼각함수를 이용하여 의 값이 sin

임을 구하거나(학

생 4명, 예비교사 12명)([그림 Ⅴ-11]), 특수각의 삼각비를 이용 하였다

(학생 14명, 예비교사 6명)([그림 Ⅴ-12]). 예비교사 중 1명은 ∆AOB가

정삼각형이 됨을 이용하여, 정삼각형의 높이로 답을 도출하였다([그림 Ⅴ

-13]).

[그림Ⅴ-11] 사인

이용한 T10의 응답 [그림Ⅴ-12] 삼각비 이용한 T2의 응답

[그림Ⅴ-13] 정삼각형의 높이 이용한

T18의 응답

문제를 해결한 학생 17명 중 10명은 라디안 단위를 이용하여 부채꼴의

중심각을 구하고 나서도 육십분법으로 바꾸어서 해결하였다(예비교사는

19명 중 2명). 또한 학생들은 사인 함수를 이용하여 값을 구하기보다는

삼각비를 이용하여 문제를 해결한 경우가 많았는데, 이는 학생들이 호도

법과 삼각함수를 학습했음에도 불구하고 호도법보다는 육십분법을 사용

- 68 -

하고, 삼각함수보다는 삼각비 사용을 더 선호하는 경향이 있음을 보여준

다.

라. [문항 4] 응답 분석

[문항 4]는 학생용과 예비교사용으로 나뉜다.

학생용의 경우 [문항 4-1]은 삼각함수 그래프의 정의역을 호의 길이로

두었을 때, 이 호의 길이를 그래프 위에 작도할 수 있는지 묻는 문항이

다. [문항 4-1]의 정답자는 4명(16%)으로 그 수가 적었고, 오답자 중 정

답을 구하는 중간 과정인 Q'의 점을 찾는 과정은 6명으로 이 역시 그

수가 많지 않았다(<표 Ⅴ-8>). 이는 호의 길이를 이용하여 삼각함수의

그래프를 그리는 과정이 학생들에게 익숙하지 않기 때문이라 여겨진다.

학생 응답 수

정답 4

오답Q'의 좌표구함 6

기타 15

합계 25

<표 Ⅴ-8> 학생용 [문항 4-1] 응답 분석

학생용 [문항 4-2]는 와 sin그래프의 교점의 개수를 묻는 문

제로, 정답률은 40%(10명)이다. 이 문제의 경우 삼각함수의 정의역을 각

을 나타내는 호의 길이로 둔다면 호의 길이()가 항상 사인 값을 나타내

는 수선의 길이(sin)보다 길기 때문에 두 함수의 그래프의 교점이 1개

라고 간단하게 설명할 수 있다. 그러나 학생들의 응답 중에는 이를 활용

한 응답이 없었다. 학생들을 그래프를 그려 봄으로써 답을 구하거나(3명,

[그림Ⅴ-14]), 숫자를 대입하거나(2명, [그림 Ⅴ-15]), 단순히 추측하여(5

명, [그림Ⅴ-16]) 문제를 해결하였다(<표 Ⅴ-9>).

- 69 -

학생 응답(4-2) 수

교점 1개

그래프 이용 3

대입 2

기타(추측) 5

기타 (오답 등) 15

합계 25

<표 Ⅴ-9> 학생용 [문항 4-2] 응답 분석

[그림Ⅴ-14] 그래프 이용한 S8의 응답

[그림Ⅴ-15] 대입하여 해결한 S3의 응답[그림Ⅴ-16] 추측으로 해결한 S1

의 응답

학생용 [문항 4-1]과 [문항4-2]의 결과로 볼 때, 학생들은 삼각함수의

정의역을 호의 길이로 두는 것에 익숙하지 않으며 따라서 문제해결에도

이를 적용하지 못하는 것으로 보인다.

학생용 [문항 4-3]은 삼각함수의 정의역으로 육십분법에 비해 호도법

이 갖는 장점을 묻는 문항이었다. 학생들은 ‘호도법을 사용함으로써 삼각

함수의 정의역과 치역이 실수가 된다(5명).’, ‘호도법을 사용하여 육십분

법보다 숫자가 간결해진다(5명).’, ‘단위원에서 유용하다(1명).’, ‘미분이 간

단해진다(2명).’와 같이 응답하였으며, 삼각함수를 다룰 때 호도법의 장점

이외에 호도법만의 장점으로 ‘육십분법보다 부채꼴의 넓이를 구하기 쉽

다(1명).’와 같은 답변이 있었다(<표 Ⅴ-10>).

- 70 -

학생 응답 수

호도법을 사용하면 삼각함수의 정의역과 치역이 모두 실수가

됨/ 호도법을 사용하면 실수가 됨5

호도법은 육십분법보다 숫자가 작아짐 또는 간결해짐 5

단위원에서 유용함 1

호도법을 사용하면 미분이 편리함 2

(삼각함수 외) 부채꼴의 넓이 등을 구하기 쉬움 1

기타(논리적 모순 및 미기재) 14

합계 28

<표 Ⅴ-10> 학생용 [문항 4-3] 응답 분석

그러나 이 문항에 대하여 서술하지 않거나, 논리적으로 모순이 있도록

서술한 학생은 14명(56%)로, 절반이상의 학생이 삼각함수를 다룰 때 호

도법의 장점을 알지 못하는 것을 알 수 있다. 기타를 제외한 응답에는

중복응답이 있어 합계는 학생 수(25명)를 초과하였다.

예비교사용 [문항 4-1]은 삼각함수 그래프의 정의역으로 각의 크기를

강조한 교과서와, 호의 길이를 강조한 교과서를 보고 어떠한 표현이 더

타당한 것이라 생각하는지 연구 참여자의 의견을 묻는 문제였다. 예비교

사의 응답은 <표 Ⅴ-11>와 같다.

예비교사 응답(4-1) 예비교사 수

각의 크기이다. 18(4)

호의 길이이다. 1

둘 다 이다. 1

합계 20

<표 Ⅴ-11> 예비교사용 [문항 4-2] 응답 분석

삼각함수 그래프의 정의역이 각의 크기여야 한다는 응답이 18명(90%)

으로 가장 많았으며, 호의 길이라고 응답한 경우와 둘 다 된다고 한 경

우는 각각 1명(5%)이었다. 각의 크기라고 한 경우 그 이유에 대하여, ‘호

- 71 -

의 길이는 반지름의 길이가 1이 아닌 원에서는 성립하지 않는다(4명).’,

‘각이 더 직관적이다(2명).’, ‘삼각함수를 처음 배울 때 각에 관하여 배우

므로 호의 길이로 도입하면 혼란스러워 할 것이다(7명).’, ‘삼각비의 확장

이 삼각함수이고, 삼각비는 각에 의해 정의하므로 각의 크기로 도입해야

한다(1명).’, ‘가 0보다 작거나 보다 큰 경우에는 호의길이가 혼란스러

울 것이다(2명).’, ‘호의 길이는 양수만 가능하다(2명).’와 같이 응답하였

다.

그렇지만 삼각함수 그래프의 정의역이 각의 크기여야 한다고 주장한 예

비교사 중 T2, T9, T13는 호의 길이로 삼각함수의 정의역을 그렸을 때

의 장점도 언급하였다. T2 는 삼각함수의 초기에 각을 정의역으로 배우

니 각으로 다루는 것이 학생들에게 혼란을 주지 않을 것이나, 호의 길이

로 설명하는 것이 수학적으로 엄밀하다고 하다고 하였다. 추가적인 면담

을 통해 수학적으로 더 엄밀하다는 뜻을 물어본 결과, 각의 경우, 0 ,

360 , 720와 같은 각이 외관상 다 같은 형태여서 셋이 다른 것을 구분

하기 어려우나, 호의 길이로 두면 각 각도에 해당하는 호의 길이는 0,

, 가 되므로 셋이 명확하게 구분되고, 이에 정의역을 나타낼 때에도

혼란스럽지 않다는 것을 의미한다고 하였다. T9는 호의 길이가 더 구체

성이 강하나 앞으로 전개하는 내용이 각을 정의역으로 하는 것이 많기

때문에 각의 크기여야 한다고 하였다. T13은 호의 길이로 도입하는 것

이 삼각함수의 그래프를 그릴 때 더 편리하나, 나중에 삼각함수의 정의

역에 값을 대입할 때에는 호의 길이를 대입하는 것이 어색하기 때문에

각의 크기로 배우는 것이 좋다고 하였다. 또한 T19의 경우에는 각의 크

기와 호의 길이가 비례하기 때문에 어느 것으로 도입해도 상관없으나,

각의 크기가 좀 더 직관적이기 때문에 각의 크기로 배우는 것이 좋다고

하였다.

- 72 -

삼각함수 그래프의 정의역이 호의 길이라고 응답한 경우에는 그 이유

를 삼각함수의 정의역이 실수집합이기 때문에 호의 길이가 더 옳다고 하

였다. 또한 각의 크기와 호의 길이 둘 다라고 응답한 경우는 반지름이 1

인원에서는 각의 크기 일 때와 호의 길이일 때 둘 다 삼각함수가 성립하

기 때문이라고 그 이유를 서술하였다.

예비교사의 응답은 대부분 각의 크기와 호의 길이를 별개로 생각하고

삼각함수 그래프의 정의역에 대해 논하였다. 하지만 호도법을 아이디어

를 반영하여 호의 길이가 결국은 각을 나타내는 것이라는 것을 인지할

필요가 있다.

예비교사용 [문항 4-2]는 삼각함수의 정의역으로 육십분법과 비교되는

호도법의 장점에 대해 서술하는 문항이었다. 예비교사들은 ‘호도법을 사

용함으로써 삼각함수의 정의역과 치역이 실수가 된다(7명).’, ‘호도법을

사용하여 육십분법보다 숫자가 간결해진다(6명).’, ‘미분이 간단해진다(7

명).’, ‘도( )는 0 , 360 , 720 등의 각도가 외관상 같은 모양이라 혼란

스럽지만 호도법을 사용하는 경우 0, , 가 되어 받아들이기 쉽다(1

명).’, ‘호도법은 중심각과 호의길이를 연관 지어 생각할 수 있게 한다(1

명).’ 과 같이 응답하였으며, 삼각함수에서 호도법의 장점 이외에도 호도

법 만의 장점으로 ‘육십분법보다 부채꼴의 넓이를 구하기 쉽다(3명).’와

같은 답변이 있었다(<표 Ⅴ-12>).

예비교사의 경우에는 응답하지 않거나 논리적으로 모순된 답변이 없었

다. 그러나 ‘호도법을 사용함으로 인해 삼각함수의 정의역을 각을 나타내

는 호의 길이로 둘 수 있다’와 같은 내용은 없었다. 예비교사의 응답 경

우에도, 기타 응답을 제외하고 두 개 이상의 응답을 한 연구 참여자가

있어 총 응답수의 합계가 예비교사 수(20명)를 초과하였다.

- 73 -

예비교사 응답(4-2) 수

호도법을 사용하면 삼각함수의 정의역과 치역이 모두 실수가 됨/

호도법을 사용하면 실수가 됨7

호도법은 육십분법보다 숫자가 작아짐 또는 간결해짐 6

호도법을 사용하면 미분이 편리함 7

(삼각함수 외) 부채꼴의 넓이 등을 구하기 쉬움 3

도( )는 0 , 360 , 720 등의 각도가 외관상 같은 모양이라

혼란스럽지만 호도법을 사용하는 경우 0, , 가 되어 받아들이기

쉬움

1

호도법은 중심각과 호의길이를 연관 지어 생각할 수 있게 함 2

기타(논리적 모순 및 미기재) 0

합계 26

<표 Ⅴ-12> 예비교사용 [문항 4-2] 응답 분석

마. 논의

[문항 1] 분석결과 연구 참여자들은 호도법 관련 문제 해결 시, 호도법

아이디어를 이용하여 직관적으로 해결하기 보다는(학생 0명, 예비교사 1

명), 주로 공식을 사용하는 것(학생 13명, 예비교사 17명)을 알 수

있다. 이는 학생과 예비교사가 호도법 아이디어를 문제해결에 적용하는

것에 익숙하지 않음을 보여준다. 따라서 호도법 학습지도 시 호도법 아

이디어를 표면적으로 드러내어 강조하는 것이 필요하다.

[문항 2] 분석결과 부채꼴의 중심각의 크기가 같더라도 반지름의 길이

가 변함에 따라 호의 길이가 달라지지만 호의 길이로 각을 측정하는 방

법이 가능한 이유, 즉 호도법이 가능한 이유에 대하여 수학 구조적으로

접근한 응답은 학생 10건, 예비교사 8건으로 그 수가 많지 않음을 알 수

있다. 이는 호도법이 가능한 이유에 대하여 깊이 생각해 볼 기회가 없었

기 때문이라 여겨진다. 따라서 호도법을 학습할 때, 각의 크기를 호의 길

이로 측정하는 것이 가능한 이유에 대해 탐구해보는 활동이 필요하다.

[문항 3]의 분석 결과 학생과 예비교사 모두 반지름이 1인 부채꼴의

- 74 -

중심각의 크기를 구한 후에 문제를 해결한 것을 볼 수 있었다. 이를 통

해 그들이 단위원에서 호의길이와 수선의 길이가 각각 사인함수의 정의

역과 치역이 됨을 즉각적으로 파악하는 것에 익숙하지 않다는 것을 알

수 있다.

[문항 4]의 분석 결과, 삼각함수를 다룰 때 육십분법 보다 호도법이 갖

는 장점에 대하여 묻는 소 문항에 14명(56%)이 학생들이 대답하지 못한

것을 볼 수 있었다. 이는 삼각함수에서 호도법의 의의를 인지하지 못하

는 학생들이 많음을 시사한다. 따라서 학습지도 시 삼각함수에서 호도법

의 의의에 대해 지도할 필요가 있다.

본 조사는 추가적인 면담을 실시했음에도 불구하고, 설문 조사의 특성

상 주로 표면적으로 드러나는 학생의 풀이로만 응답을 분석했다는 제한

점이 있다. 예를 들어 [문항 1]과 [문항 3]의 경우 학생과 예비교사가 호

도법 아이디어를 갖고 있고, 삼각함수를 다룰 때에도 호도법을 이용하여

각을 나타내는 호의 길이를 정의역으로 둘 수 있음을 인지하고 있지만,

응답 시 이를 적용하지 않은 경우가 간과되었을 수 있다. 그러나 각 문

항 자체는 학생과 예비교사가 호도법의 아이디어를 직관적으로 사용할

수 있는지 확인하고, 삼각함수에서 호도법을 매개로 하여 호의길이를 정

의역으로 생각할 수 있는지 알아보고자 설정한 것이다. 그리고 이러한

목표에 따라 응답을 분석한 결과 학생과 예비교사들은 문제 해결 방법으

로 호도법 아이디어보다 공식을 선호하고, 단위원에서 삼각함수를 다룰

때 호도법을 이용해 호의 길이를 정의역으로 두는 것에 익숙하지 않음을

알 수 있다.

- 75 -

Ⅵ. 결론 및 제언

본 연구는 호의 길이로 각을 측정하는 호도법 아이디어에 초점을 맞추

어, 호도법에 내재된 수학구조와 삼각함수에서 호도법의 의의에 대해 알

아보았다.

유클리드 기하에서 각의 크기를 호의 길이로 나타내기 위해서는 ‘길이

의 비율’이 필요하다. 호도법에서는 중심각의 크기를 구하기 위해 ‘호의

길이와 반지름 길이의 비율’이 필요하다. 또한 호도법에서 같은 중심각에

대한 길이의 비율이 반지름의 길이에 관계없이 항상 일정한 이유에는 원

주율이 상수인 유클리드기하 고유의 구조가 내재되어 있다. 이로 인하여

단순히 원주를 360등분하는데 그 기원을 둔 육십분법의 도 단위와 달리,

호도법의 라디안 단위의 배경에는 유클리드기하 고유의 구조가 내재되어

있음을 알 수 있다.

또한 삼각함수를 다룰 때 호도법 아이디어를 반영하여 정의역을 ‘각을

나타내는 호의 길이’로 두면, 삼각함수의 그래프를 직관적으로 설명할 수

있고, sin sin와 같은 삼각함수의 합성과 lim→

sin와 같은 삼각함수의

극한을 설명할 수 있다. 그리고 사인함수의 발생과정에서도 볼 수 있듯

이, 육십분법의 도( ) 단위를 사용하여 각의 크기를 호의 길이를 이용하

여 구하고자 하는 경우, 각의 크기와 호의 길이를 같게 두기 위해 원의

반지름의 길이를

와 같은 복잡한 수로 두어야 하고, 이렇게 둔다 해

도 사인 값은 현의 길이의 절반을 다시

로 나누어야 한다. 하지만

호도법 및 라디안 단위를 사용하면 반지름의 길이가 단순히 1인 원에서

- 76 -

도 중심각과 호의 길이가 같아 호의 길이로 각을 해석하는 것이 용이하

며, 이 때 사인 값도 바로 수선의 길이가 된다. 이외에도 라디안 단위를

사용하면 도 단위에 비해 삼각함수의 미분 값이 간단해 지는 장점이 있

다. 때문에 삼각함수를 다룰 때에는 육십분법보다 주로 호도법을 사용하

는 것이다.

이러한 고찰을 바탕으로 교과서에서 호도법의 아이디어를 어떻게 그리

고 얼마나 다루는지 교육과정별로 살펴보고, 학생과 예비교사의 호도법

아이디어에 대한 이해를 조사하였다.

교과서 분석은 Ⅱ, Ⅲ장의 연구를 바탕으로 호도법 아이디어 및 삼각

함수에서 호도법의 의의에 대한 세부기준을 세워 분석하였다. 호도법 아

이디어(기준 C)에 관한 세부 기준(C-M, C-C, C-R1, C-R2, C-S, C-A,

C-U)과 삼각함수에서 호도법의 의의(기준 T)에 관한 세부 기준(T-A,

T-C, T-G)을 바탕으로 교과서를 분석한 결과, 모든 세부기준 내용을 담

고 있는 교과서는 찾을 수 없었다. 기준 C의 모든 세부 기준 내용을 담

고 있는 교과서는 1종뿐이었으며, 기준 T의 모든 내용을 만족한 교과서

는 없었다. 그리고 세부 기준 T-G(23%)를 제외하고 각 세부기준에 대

해 교과서에서 반영한 비율이 20%이하임을 볼 수 있었다. 이는 교과서

에서 호도법 아이디어와 삼각함수에서 호도법의 의의에 대하여 명시적으

로 다루고 있지 않음을 보여준다. 또한 교과서 분석 결과 호도법 아이디

어를 삼각함수와 연계시킨 교과서는 드물었다. 교과서 분석에는 교육과

정별 분석도 포함 되었는데, 교육과정이 변함에 따라 교과서에서 반영한

세부기준의 수와 비율이 대체로 늘었음을 볼 수 있다. 특히 T-G관련 내

용은 6차 교육과정에서 처음 찾아볼 수 있었고, 그 이후부터 반영 비율

이 점점 늘어나는 것을 볼 수 있다. 그러나 호의 길이를 정의역으로 둘

수 있다는 T-A관련 내용은 반영한 교과서가 3종뿐으로, 그 수가 매우

- 77 -

적었다. 이는 삼각함수의 정의역이 호의 길이가 되는 이유를 명시적으로

설명하지 않은 채 그래프를 그릴 때에만 이를 반영하였기 때문이라 볼

수 있다.

또한 호도법에 대한 학생과 예비교사의 이해를 조사한 결과, 연구대상

자 들은 호도법 아이디어를 적용하면 직관적으로 해결할 수 있는 문제의

경우에도 주로 공식을 사용하여 문제를 해결하였다. 이는 학생과

예비교사가 호도법 아이디어로 문제를 해결하는 것이 익숙하지 않음을

보여 준다. 또한 단위원 위에서 호의 길이가 삼각함수의 정의역이 됨을

즉각적으로 파악하는 것에도 익숙하지 않음을 볼 수 있다. 그리고 학생

의 경우에는 삼각함수에서 호도법을 사용하는 의의에 대하여 인지하지

못하는 경향이 있음을 알 수 있다.

이러한 논의를 바탕으로 본 연구에서는 호도법의 아이디어를 강조하는

학습지도 방안을 다음과 같이 제언한다.

첫째, 각의 크기를 호의 길이로 측정할 수 있다는 것을 강조하여 호도

법 내용을 전개한다. 우선, 중심각의 크기가 같은 부채꼴의 경우에는 반

지름의 길이가 다르더라도, 호의 길이와 반지름 길이의 비율이 항상 같

음을 파악하고, 이를 바탕으로 호의 길이와 반지름의 길이를 이용하여

각을 측정할 수 있음을 알 수 있게 한다. 그리고 이를 형식적으로만 학

습하는 것이 아닌, 육십분법의 도()단위로 각을 측정할 때 각도기를 사

용하는 것과 같이 호도법에서는 반지름의 길이와 호의 길이를 이용하여

각을 측정해보는 활동도 필요하다. 이 같은 활동은 호의 길이를 이용해

각을 측정하는 호도법 개념 이해를 더욱 공고히 할 것이다. 그리고 호도

법 개념설명 이후에 나오는 내용들, 즉 부채꼴의 호의길이 공식, 육십분

법과 호도법의 관계 등을 지도할 때에도 호도법 아이디어를 강조해야 한

다. 그리고 이 과정에서 호도법과 육십분법의 변환관계에만 초점을 맞추

- 78 -

는 것보다는 호도법의 의미를 파악하는 것에 더 중점을 두는 것이 무엇

보다 중요한 목표가 되어야 한다.

둘째, 호도법아이디어를 이용하여 삼각함수의 정의역을 각의 크기를

나타낸 호의 길이로도 정의할 수 있음을 지도한다. 삼각함수의 역사를

보면 정의역을 각으로 해석하는 것과 호로 해석하는 것이 혼재되어 있으

며, 삼각함수와 관련된 다양한 내용 중에는 각보다는 호의 길이를 정의

역으로 둔 상태에서 다루는 것이 더 자연스러운 경우가 많다. 이에 학생

들이 호의 길이를 정의역으로 하는 삼각함수에 대해 알 필요가 있는데,

이 과정에서 호도법 아이디어를 강조하는 것이 필요하다. 예를 들어 임

의의 원에서 중심각의 크기는 반지름을 단위로 하여 호의길이를 측정한

값이 되므로 이 측정치를 삼각함수의 정의역으로 둘 수 있고, 특히 반지

름이 1인 단위원에서는 중심각이 호의 길이 자체가 되므로 이 호의 길이

를 삼각함수의 정의역으로 둘 수 있다. 이처럼 호도법 아이디어를 반영

하여 삼각함수의 정의역을 각을 나타내는 호의 길이로 정의한 후 내용을

전개한다면, 삼각함수의 정의역이 실수가 되는 것을 설명할 수 있고, 삼

각함수 그래프의 정의역과 치역의 관계 및 삼각함수의 합성과 극한도 직

관적으로 설명할 수 있을 것이다.

셋째, 육십분법의 도 단위와 비교되는 호도법의 라디안 단위의 장점을

파악할 수 있도록 지도해야 한다. 이는 삼각함수의 역사를 살펴봄을 통

해서도 가능하다. 예를 들어 Ptolemy는 반지름이 60인 원에서 호의길이

에 따른 현의 길이를 사인함수 표로 만들었으며, 이 과정에서 도 단위를

사용하였기 때문에 호와 현(사인)의 길이 측정단위를 다르게 두었다. 그

러나 라디안 단위를 사용하면 반지름이 1인 원에서도 호의 길이와 각의

크기가 같아지는 장점이 있다. 즉, 라디안 단위는 호의 길이로 각을 측정

하는데 가장 적절한 단위이다. 또한 Leibniz 등의 수학자들은 라디안 단

- 79 -

위가 도입되기 전부터 반지름이 1인원에서 각의 크기를 호의 길이로 나

타내는 방법을 사용하여 삼각함수와 관련된 다양한 내용을 전개하고 증

명하였다. 그리고 이처럼 라디안 단위를 반영하여 삼각함수를 해석함으

로써 사인과 코사인의 미분이 각각 코사인과 사인으로 단순해지고, 이는

삼각함수의 테일러급수 표현 등 삼각함수와 관련된 다양한 수학 내용을

간결하게 표현할 수 있도록 하였다. 이러한 내용들을 학생의 수준에 맞

게 적절히 변형하여 라디안 단위의 장점을 학생들이 알 수 있도록 지도

할 필요가 있다.

넷째, 호도법이 당연하지 않으며, 호도법이 가능한 배경에는 수학구조

가 내포되어 있다는 것을 탐구할 기회를 주어야 한다. 이는 [그림 Ⅱ-2]

와 같은 단위구면위에서는 호도법이 성립하지 않음을 살펴봄을 통해 가

능하다고 사료된다. 또한 수학적 사고 능력이 높은 학생들에게는 호도법

이 성립하는 이유에 대하여 원주율이 상수이기 때문이라는 것을 알아보

도록 하는 것도 그들의 수학적 탐구심을 자극할 것이라 생각된다.

본 연구를 바탕으로 이후에는 호도법 아이디어를 강조한 학습지도가

학생들의 호도법 및 삼각함수 개념 이해에 어떠한 영향을 주는지 알아보

는 실천적인 연구가 이루어지기를 희망한다.

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<부록 A> 호도법 및 삼각함수 이해 조사지 (학생용)

호도법 및 삼각함수 이해 조사

번호 :

❀다음은 호도법 및 삼각함수에 대한 여러분의 이해를 조사하기 위한 문항입니다.

각 문제에 대한 답과 이유를 자세히 작성해 주세요. 잘 읽으시고 성실하게 답해 주시길 부탁드립니다. ❀

1. 그림은 중심이 O 이고, 반지름이 인 반원이다. AB OA 가 되도록 점 B를 잡을 때,

∠AOB의 크기를 구하시오.

2. 그림은 각각 반지름의 길이가 , , 이고 호의 길이는

,

, 인 세 개의 부채꼴이다.

물음에 답하시오.

1) 호도법을 사용하면 호의 길이를 이용하여 중심각의 크기를 구할 수 있다. 세 부채꼴의 중

심각의 크기를 각각 구하고, 그 크기를 비교하시오.

2) 같은 크기의 중심각에 대응하는 호의 길이가 다른 경우에도, 호의 길이를 이용하여 중심

각의 크기를 측정하는 것이 가능한 이유를 서술하시오.

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호도법 및 삼각함수 이해 조사

3. 그림은 반지름의 길이가 이고, AB

인 부채꼴AOB이다. 의 값을 구하시오.

O

A

BH

4. 호도법을 사용하면 단위원 에서 각의 크기와 호의 길이가 같아지므로, 삼각함수 그래프를

그릴 때 정의역을 호의 길이로 생각할 수 있다. 다음 물음에 답하시오.

1) 그림은 단위원을 이용하여 사인함수 그래프를 그린 것이다. 점 P와 P′을 참고하여, 단위원

위의 AQ 가 사인함수 그래프에 대응하는 축 위의 점을 그림에 나타내시오.

P′ sin

R

P

O

Q

A O

2) 두 함수 sin와 의 그래프가 만나는 점의 개수를 구하고 이유를 서술하시오(단,

미분을 사용하지 않고 구하시오).

1) 반지름의 길이가 인 원주에 길이가 인 호를 잡을 때 이 호에 대한 중심각의 크기를 1라디안

(radian)이라 하고, 각을 측정하는 데에 이 라디안을 단위로 사용하는 방법. 예) (rad), (rad)

2) 반지름이 1인 원

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호도법 및 삼각함수 이해 조사

3) 1)에서 호의길이를 정의역으로 하여 삼각함수 그래프를 그린 것을 바탕으로, 삼각함수 그래

프의 정의역을 나타낼 때, 육십분법 에 비해 호도법이 갖는 장점에 대해 서술하시오(<보

기>의 서술방식을 참고하시오).

<보기>

￮ 육십분법을 사용하는 경우 ~~ 지만, 호도법의 경우 ~~ 이다.

￮ 호도법은 ~~ 하여 육십분법보다 ~~하다.

❀ 성실하게 답변해 주셔서 감사합니다. ❀

3) 원의 중심각을 360등분 한 것을 1도( )라고 하고, 도( )를 단위로 각을 측정하는 방법이다.

예) ,

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<부록 B> 호도법 및 삼각함수 이해 조사지 (예비교사용)

호도법 및 삼각함수 이해 조사

학번 :

❀다음은 호도법 및 삼각함수에 대한 여러분의 이해를 조사하기 위한 문항입니다.

각 문제에 대한 답과 이유를 자세히 작성해 주세요. 잘 읽으시고 성실하게 답해 주시길 부탁드립니다. ❀

1. 그림은 중심이 O이고, 반지름이 인 반원이다. AB OA 가 되도록 점 B를 잡을 때,

∠AOB의 크기를 구하시오.

2. 그림은 각각 반지름의 길이가 , , 이고 호의 길이는

,

, 인 세 개의 부채꼴이다.

물음에 답하시오.

1) 호도법을 사용하면 호의 길이를 이용하여 중심각의 크기를 구할 수 있다. 세 부채꼴의 중

심각의 크기를 각각 구하고, 그 크기를 비교하시오.

2) 같은 크기의 중심각에 대응하는 호의 길이가 다른 경우에도, 호의 길이를 이용하여 중심

각의 크기를 측정하는 것이 가능한 이유를 서술하시오.

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호도법 및 삼각함수 이해 조사

3. 그림은 반지름의 길이가 이고, AB

인 부채꼴AOB이다. 의 값을 구하시오.

O

A

BH

4. 그림은 각각 A와 B교과서에서 삼각함수의 그래프를 그리는 과정에 대하여 서술한 내용을

발췌한 것이다.

A 교과서

B 교과서

1) 그림에서 볼 수 있듯이 삼각함수 그래프의 정의역(축)으로 교과서 A는 각의 크기를, 교과

서 B는 호의 길이를 강조하였다. 삼각함수 그래프의 정의역이 각의 크기여야 하는지, 호의

길이여야 하는지에 대하여 본인의 생각을 이유와 함께 서술하시오.

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호도법 및 삼각함수 이해 조사

2) 삼각함수의 정의역을 나타내는 방법으로, 육십분법에 비해 호도법 이 갖는 장점에 대해

서술하시오.

❀ 성실하게 답변해 주셔서 감사합니다. ❀

1) 원의 중심각을 360등분 한 것을 1도( )라고 하고, 도( )를 단위로 각을 측정하는 방법이다.

예) ,

2) 반지름의 길이가 인 원주에 길이가 인 호를 잡을 때 이 호에 대한 중심각의 크기를 1라디

안(radian)이라 하고, 각을 측정하는 데에 이 라디안을 단위로 사용하는 방법.

예) (rad), (rad)

호도법으로 각을 측정할 때, 단위원에서는 호의 길이와 각의 크기가 같다.

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ABSTRACT

A Study on the significance of the Circular Measure

and

Explore its learning-teaching method

Lim, Jangmi

Department of Mathematics Education

The Graduate School

Seoul National University

The circular measure implies the idea of measuring the angle using

the length of the arc. However, students and pre-service teachers

tend not to realize the significance of the circular measure by only

thinking of the circular measure as a transformation of the

sexadecimal method. In this study, we investigated the mathematical

structure embedded in the circular measure and significance of the

circular measure when dealing with the graph of the trigonometric

function in order to examine the significance of the circular measure.

To measure angles using lines in Euclidean geometry, which is the

basis of middle school mathematics, a ratio of length such as (length

of arc) / (length of radius) is needed. At this time, irrespective of the

length of the radius, the reason why the ratio of the length is

constant is the inherent structure of the Euclidean geometry, in which

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the circumference ratio is a constant (). This is the meaning of the

circular measure, and its origins are different from the coincidental

and cultural sexadecimal method. The circular measure also plays an

important role when dealing with trigonometric functions. Placing the

domain of a trigonometric function as an arc of angles makes the

trigonometric function a real function, and it allows intuitive

explanations of the contents of school mathematics such as graphs of

trigonometric functions, synthesis, and limitations. The use of radians

in conjunction with the choice of a circle with a radius of 1 is the

simplest way to make the domain of a trigonometric function be the

length of a arc. Based on these considerations, we analyzed how to

handle the idea of the circular measure and the significance of the

circular measure in the trigonometric function in the textbook. As a

result of analyzing the textbooks from the 1st curriculum to the 2009

revision curriculum, as the curriculum has changed, there have been

more and more textbooks dealing with the idea of the circular

measure and the significance of the circular measure in the

trigonometric function. However, there were still few textbooks to

deal with them, and the content of the textbooks was fragmented.

Also, students' and pre-service teachers' understanding of the idea of

circular measure and the significance of the circular measure in the

trigonometric function were investigated. As a result, the students

and the pre-service teachers preferred to solve the problem by using

the formula rather than the idea of circular measure for the

problem that can be intuitively solved by applying the idea of circular

measure. Also they were unfamiliar to instantly understand that the

arc length is the domain of the trigonometric function in the unit

circle. Based on these researches, this paper suggests a learning -

teaching method that emphasizes the idea of the circular measure and

the meaning of the circular measure in the trigonometric function.

Key Words : circular measure, Euclidean geometry, trigonometric

function.

Student Number : 2016-21569