S I Capítulo 5 Representación de las LTEE (2).pdf

Sistemas Eléctricos I. Dr. Héctor Silvio Llamo Laborí. 150

Capítulo 5- Representación y análisis en estado estacionario de las líneas de transporte de energía eléctrica trifásicas balanceadas.

5.1- Introducción. La representación que se haga de las líneas de transporte de energía eléctrica (LTEE) como elementos de enlace en los sistemas eléctricos de potencia (SEP) depende del tipo de estudio que se vaya a realizar:

Si el estudio es considerando las líneas con sus desbalances, hay que representarlas mediante sus matrices (Z) y (Y). Esta es la representación de los flujos de carga trifásicos.

En este capítulo, se representarán los SEP balanceados, bien porque lo sean realmente o porque se pueda despreciar el desbalance. En estos casos, las líneas se representan monofásicamente, entre la fase “a” y un neutro ficticio por el que no circula corriente, mediante un circuito equivalente que depende de lo que se llamará su “longitud eléctrica”.

5.2- Línea larga. Circuito Π Equivalente (5). La figura 5.2.1 representa una línea con sus parámetros inductivos (z) y capacitivos (b′1) uniformemente distribuidos en toda su longitud. En cada uno de los elementos de longitud Δl, la tensión y la corriente son diferentes:

La tensión cambia debido a la impedancia serie. La corriente cambia debido a la admitancia paralela.

Por estas dos razones una representación rigurosa de la línea hace que sus parámetros no puedan representarse en forma concentrada, sino distribuida.

z

b’ U 2

z

b’U 3

z

b ’Un

•

•

•

•Δl

L (km)

Ue UR

Ie I 2 I3 IR

Neutro

Figura 5.2.1- Representación de una línea de transmisión con sus parámetros distribuidos.


Variación de la tensión con la longitud. Para obtener como varía la tensión con la longitud de la línea hay que resolver la ecuación diferencial (ED) de segundo orden:

0'12

2

=⋅⋅− Ubzdl

Ud (5.2.1)

Donde: U: Tensión de línea a neutro en volt. z = r +jx: Impedancia serie de la línea en Ω/km.

:0 '1

'1 bjb += Susceptancia capacitiva de la línea en S/km.

dl: Longitud de un diferencial de línea. La solución de la ED (5.2.1), si se conocen la tensión y la corriente del recibo es, para las tensiones y las corrientes del envío, donde l = L km: Ue= Cosh(p⋅L)⋅UR + ZC Senh(p⋅L)⋅IR (5.2.2) Ie= 1/ZC⋅Senh(p⋅L)⋅UR + Cosh(p⋅L)⋅IR (5.2.3) Donde: Ue e Ie: Tensión al nutro y corriente de línea en el envío (incógnitas) UR e IR: Tensión al nutro y corriente de línea en el recibo (datos)

:1'1

−⋅=+= kmbzjbap Constante de propagación. a: Constante de atenuación en Neper/km b: Constante de ángulo de fase en radianes/km L: Longitud total de la línea en km

Ω∠== τCC ZBZZ ´

1

: Impedancia característica de la línea.

Las expresiones (5.2.2) y (5.2.3) son generales, es decir, se cumplen para cualquier punto de la línea ubicado a una distancia menor o igual que su longitud total “L”. El circuito Π Equivalente es una representación exacta de las líneas de transmisión de cualquier longitud, pero sólo con respecto a los extremos de la línea (envío y recibo). La figura 5.2.1 es su representación circuital. Note su parecido a la letra griega Π lo que le da su nombre.


Aplicando las leyes de Kirchhoff a la figura 5.2.1:

• •

• •

U e

I e

U R

ZΠ

Y Π/2 YΠ/2

IR

Neutro

Figura 5.2.1- Circuito Π Equivalente de una línea de transmisión.

RRe IZUYZU ⋅+⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += Π

ΠΠ

21 (5.2.4)

RRe IYZUYZYI ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += ΠΠΠΠ

Π 21

41 (5.2.5)

Igualando los coeficientes de UR e IR en las ecuaciones (5.2.2) y (5.2.3) con los de las ecuaciones (5.2.4) y (5.2.5) se obtienen las relaciones:

LpCoshYZ⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + ΠΠ

21 (5.2.6)

LpSenhZ ⋅=Π (5.2.7)

LpSenhZ

YZYC

14

1 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + ΠΠ

Π (5.2.8)

Evaluación de los parámetros ZΠ y YΠ

En las ecuaciones (5.2.6) a (5.2.8) están los parámetros del circuito Π Equivalente en función del Senh pL y del Cosh pL donde la constante de propagación es el número complejo: pL = a + jb (5.2.9) El método más conveniente para evaluar las funciones hiperbólicas de argumentos complejos es mediante su desarrollo en series de potencia. Evaluando las funciones hiperbólicas como series de potencia y despejando los parámetros del circuito Π Skilling en el libro Electric Transmissión Lines muestra que dichas expresiones son:


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅++++=Π 0405

)(120

)(6

13´

12'

1'1 BZBZBZZZ (5.2.10)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⋅⋅+

⋅−+−=Π 16020

)(17120

)(12

13´

12'

1'1'

1BZBZBZBY (5.2.11)

Donde: Z = R + jX: y B’

1: Parámetros inductivos y capacitivos de la línea calculados en el Capítulo III. El término entre paréntesis es un coeficiente que modifica los parámetros concentrados para incluirle el efecto de la distribución uniforme. La tabla 5.2.1 muestra el efecto de dichos coeficientes sobre los parámetros concentrados para una línea de 400 km.

Parámetros. Resistencia (Ω) Reactancia (Ω) Susceptancia (S) Concentrados. 11,9 87,3 0,309⋅10-2

Distribuidos. 10,9 83,5 0,316⋅10-2

Diferencias. -8,4 % -4,4 % 2,27 % Tabla 5.2.1- Efecto de la distribución de los parámetros en una línea de 400 km. Si se desprecia el efecto de la distribución uniforme, los parámetros serie son ligeramente superiores y los paralelos ligeramente inferiores. Estos efectos se acentúan con el aumento de la longitud de la línea. Número de términos de la serie. La tabla 5.2.2 muestra el número de términos que debe tomarse de las series de potencia infinitas para evaluar las funciones hiperbólicas en función de la longitud de la línea:

Longitud de la línea Número de términos de la serie > 400 km Los 3 términos mostrados.

> 250 ≤ 400 km 2 términos. ≤ 250 km 1 término.

Tabla 5.2.2.- Número de términos de la serie que deben tomarse según la longitud de la línea.


5.3- Líneas de hasta 250 km. Circuito Π Nominal. Como se muestra en la tabla 5.2.2, si la línea tiene hasta 250 km de longitud, se toma un solo término de la serie (que es el número 1) lo que implica no modificar los parámetros por el efecto de su distribución surgiendo el circuito llamado Π Nominal que es una representación aproximada (nominal) de las líneas de transmisión porque se desprecia la distribución uniforme de sus parámetros (figura 5.3.1)

• •

• •

U e

I e

U R

Z

Y /2 Y/2

IR

Neutro

Figura 5.3.1- Circuito Π Nominal de una línea de transmisión. 5.4- Líneas cortas. Circuito Simple Impedancia. Cuando en una línea de transmisión la potencia reactiva capacitiva que “genera” la línea es despreciable frente a la que consume la carga, es decir:

10arg,

12 aCNomGen

QBUQ <⋅≅ (5.4.1)

Puede despreciarse la capacitancia de la línea ( '1B ) y surge el circuito Simple Impedancia que es

típico de las líneas a tensiones de 34,5 kV y menores (figura 5.4.1):

• •

• •

Ue

I

UR

Z

Neutro

B,1=0

Figura 5.4.1- Circuito simple impedancia para las líneas cortas.


5.5- Diagramas fasoriales de las tensiones y las corrientes en los circuitos Π y Simple Impedancia.

Los diagramas fasoriales de las tensiones y las corrientes de las líneas de transporte de energía eléctrica son de gran importancia porque ayudan a conocer el comportamiento de la línea frente a variaciones de la carga. Se presentan dos posibilidades: 1. Que se conozcan la tensión y la corriente del recibo. 2. Que se conozcan la tensión y la corriente del envío. Se dibujará el diagrama fasorial de la segunda condición por ser la más común y se les dejará la primera como trabajo independiente. Se supondrá que es una línea de transmisión con X>>R. Aplicando una ley de Kirchhoff para las tensiones en el circuito de la figura 5.5.1: UR = Ue-I⋅(R + jX) (5.5.1)

• •

• •

U e

I e

U R

R+jX IR

Neutro

(1) (2)

X>>RI ′ e I′ RjB’

1/2 jB’1/2

Figura 5.5.1- Circuito Π Equivalente o Nominal para dibujar el diagrama fasorial de la línea. En el nodo 1: Ie = I + I′e (5.5.2) ∴ I = Ie - I′e (A 90º en adelanto de Ue) (5.5.3) En el nodo 2: I = IR + I′R (5.5.4) ∴ IR = I - I′R (5.5.5) Pero se desconocerá su ubicación hasta que se ubique la tensión del recibo UR


En el diagrama fasorial de la figura 5.5.2:

Las corrientes disminuyen del recibo al envío por la capacitancia de la línea. Fenómeno idéntico a cuando se mejora el factor de potencia.

El ángulo entre las tensiones del envío y del recibo se llama ángulo de potencia y se designa por la letra griega “δ”. Su signo es negativo porque como se demostrará más adelante, la potencia activa siempre circula del mayor al menor ángulo.

ϕe y ϕR son los ángulos del factor de potencia del envío y del recibo. Éste puede mejorar o empeorar del envío al recibo, según el estado de carga de la línea.

La corriente capacitiva del recibo es menor que la del envío en este caso particular porque la tensión del envío es mayor que la del recibo.

I′e Está a 90º en adelanto de la tensión del envío Ue I′R Está a 90º en adelanto de la tensión del recibo UR

R ⋅I

jX⋅I

UR

-δϕe

ϕR

Ue

IR

Ie

I′eI′R<I′e

Figura 5.5.2.- Diagrama fasorial de una línea de transmisión representada por su circuito Π. Resumen. Las líneas de transporte de energía eléctrica se representan mediante circuitos equivalentes. El tipo de circuito que se escoja, depende de las características de la línea:

Si la línea tiene más de 250 km, se considera “eléctricamente larga” y no se puede despreciar ni la capacitancia ni que los parámetros están uniformemente distribuidos en toda su longitud. Para estas líneas se utiliza el circuito Π Equivalente.

Si la línea tiene hasta 250 km, se considera “eléctricamente media”, se desprecia que los parámetros están uniformemente distribuidos, no se desprecia la capacitancia y se utiliza el circuito Π Nominal.

Si la potencia reactiva capacitiva que “genera” la línea es despreciable frente a la que consume la carga, como ocurre en los circuitos a tensiones de 34,5 kV y menores, se considera “eléctricamente corta” y se utiliza el circuito Simple Impedancia.


Es importante recordar que el circuito Π Equivalente es una representación rigurosa o exacta que sirve para líneas de cualquier longitud, pero que se simplifica al circuito Π nominal para los cálculos manuales con las líneas medias. 5.6- Expresiones para la caída de tensión en una línea como enlace entre dos barras. La expresión más general para calcular la caída de tensión en la impedancia del enlace entre las barras (1) y (2) de la figura 5.6.1 es: ΔU12 = I⋅Z = I⋅(R+jX) Volt al neutro (5.6.1) La ecuación (5.6.1) se modifica para facilitar su utilización en los estudios de flujos de cargas radiales sustituyendo la corriente por su expresión en función de las potencias activa y reactiva.

R+jXP1 P2

Q1 Q2

(1) (1)

ΔU12U1=U1∠0 U2=U2∠-δ

Figura 5.6.1- Línea de transmisión como enlace entre dos barras de un SEP. Si se conocen la tensión y las potencias del envío 1 de la figura 5.6.1, la corriente es:

AmpereU

jQPUSI

1

11*1

*1 −== (5.6.2)

Donde U1 es el módulo de la tensión en el envío porque es la referencia y su ángulo es de 0o. Sustituyendo (5.6.2) en (5.6.1) y separando su parte real e imaginaria:

1

11

1

1112 U

RQXPjU

XQRPU ⋅−⋅+

⋅+⋅=Δ kV de L-L (5.6.3)

Donde: La caída de tensión está en kV de línea. P1: Potencia activa del envío en MW trifásicos Q1: Potencia reactiva del envío en Mvar trifásicos. U1: Módulo de la tensión del envío en kilovolt de línea a línea. R1: Resistencia eléctrica de la línea en Ohm. X1: Reactancia inductiva de la línea en Ohm.


La ecuación (5.6.3) muestra que la caída de tensión tiene una parte real llamada componente longitudinal y otra imaginaria llamada componente transversal. Para tensiones de 110 kV o más deben considerarse ambas componentes. Para tensiones de 34,5 kV y menores, puede despreciarse la componente transversal y la caída de tensión se convierte en el número real:

1

1112 U

XQRPU ⋅+⋅=Δ (5.6.4)

Que se utiliza en las redes de subtransmisión y distribución primaria y secundaria del SEN cubano. La tensión del recibo es la resta fasorial: U2 = U1 - ΔU12 kV de línea a línea (5.6.5) Si se conocen la tensión y las potencias del recibo (2) la caída de tensión es:

2

22

2

2212 U

RQXPjU

XQRPU ⋅−⋅+

⋅+⋅=Δ kV de L-L (5.6.6)

La tensión del envío es la suma fasorial: U1 = U2 + ΔU12 (5.6.7) Ejemplo numérico. En la línea Diezmero San José la tensión y la carga del Diezmero son 115 kV y 30+j10 MVA respectivamente, calcule la tensión en San José si la impedancia de la línea es de 4+j15 Ω Solución. Como la línea es a 110 kV, no se despreciará la componente transversal de la caída de tensión y la tensión en San José será:

)115

4101530115

1510430(115 ⋅−⋅+

⋅+⋅−= jU SJ

57.366.11257,334,2115 jjU SJ −=−−=

LíneaaLíneadekVU oSJ 81,172,112 −∠=

Debe notarse que, a pesar de ser una línea a 110 kV el ángulo de potencia (δ) es muy pequeño (sólo 1,81º) y que la parte transversal de la caída de tensión casi no influye en el módulo: 112,66 vs. 112,72 para una diferencia del 0,053 %.


La caída de tensión en porcentaje con respecto a la tensión nominal (110 kV) es, por definición:

%07,2100110

72,112115% =−

=ΔU

5.7- Pérdidas en una línea de transporte de energía eléctrica La expresión general para calcular las pérdidas de potencia activa y reactiva es: ΔS = 3⋅I2⋅Z⋅10-6 = ΔP+jΔQ MVA trifásicos (5.7.1) Sustituyendo en (5.7.1) el módulo de la corriente al cuadrado por su expresión en función de las potencias trifásicas en mega watt y mega var y la tensión en kilovolt de línea a línea:

( ) 12122

22

12 QjPjXRU

QPSi

ii Δ+Δ=++

=Δ MVA trifásicos (5.7.2)

Donde: “i” es 1 ó 2 según el lado de la línea donde se conozcan la tensión y las potencias y el resto de los términos tiene la misma definición hecha para la caída de tensión. 5.8- Balance de la potencia reactiva en una línea de transmisión. A continuación, tomando una línea de transmisión representada mediante un circuito Π con resistencia despreciable, se analizará cual es el balance de potencia reactiva. Este aspecto es de gran importancia para los ingenieros que trabajan en los despachos de carga eléctrica porque les da una idea de la influencia de las líneas de transmisión en el balance de potencia reactiva de la red de transmisión. PG Figura 5.8.1- Potencias reactivas “generadas” y consumidas en una línea de transmisión.

P e PR

Q G Q e QR

Q’e Q’

R U e U R

0+jX

ΔQ

jB’/2 jB’/2

GS


La línea de transmisión de la figura consume una potencia reactiva:

XUSX

UQPQ

RR

RR ⋅=⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +=Δ 2

2

2

22

Mvar trifásicos (5.8.1)

Y entrega una potencia reactiva:

( )2

'22 BUUQ ReGen ⋅+= Mvar trifásicos (5.8.2)

En ambas ecuaciones, las tensiones están en kV de línea y las potencias en MW y Mvar trifásicos. Potencia reactiva Neta (Qn) de una línea de transmisión. La potencia reactiva neta de una LT se obtiene a partir de la expresión: Qn = Qe – QR = QGen - ΔQ (5.8.3) De la relación entre la potencia reactiva del envío y del recibo depende que la línea entregue o consuma potencia reactiva de la generación del sistema y de ahí su importancia. La tabla 5.8.1 muestra los tres casos posibles:

Q en Mvar Envío Recibo

Potencia reactiva neta en Mvar

Estatus de la línea de transmisión:

20 18 20-18=+2 >0: Consume Q 22 28 22-28=- 6 <0: Entrega Q 17 17 17-17= 0 =0: Balance de Q

Tabla 5.8.1- Valores posibles de la potencia reactiva neta en una línea de transmisión. Cuando la Qn>0, la línea consume más de lo que entrega y los generadores del SEP tienen que entregarle potencia reactiva a la línea. Esta condición es típica de la hora de máxima demanda del Sistema. Cuando la Qn<0, la línea entrega más de lo que consume y la línea “ayuda” a los generadores del SEP en el balance de potencia reactiva. Esta condición es típica de las horas de la demanda mínima del Sistema. Representación gráfica de la potencia reactiva neta Qn. Si se sustituyen las ecuaciones 5.8.1 y 5.8.2 en la ecuación de la potencia reactiva neta, 5.8.3 y se supone que las tensiones del envío y del recibo son iguales entre sí e iguales a la nominal se obtiene la expresión:


SU

XBUSU

XBUQNom

NomNom

Nomn ⋅−⋅=⋅−= 2'2

2

'2

22 5.8.4

Cuya representación gráfica en un plano S vs. Q se muestra en la figura 5.8.2. QGen

ΔQ

S 0

a b

c

1

2

Q1

Q2

Figura 5.8.2- Representación gráfica de cómo varía la potencia reactiva neta de una línea de

transmisión cuando varía la transferencia por la misma. En la figura 5.8.2:

Para una potencia aparente oa , se tiene el punto 1 y la línea entrega la potencia reactiva capacitiva Q1.

Para una potencia aparente ob , se tiene el punto b y la línea ni consume ni entrega potencia reactiva.

Para una potencia aparente oc , se tiene el punto 2 y la línea consume la potencia reactiva inductiva Q2.


5.8.1- Sentidos correctos de la potencia activa y reactiva en una línea de transmisión. En este epígrafe se analizarán los factores que influyen en la transferencia de la potencia activa y reactiva entre dos nodos de un sistema eléctrico de potencia conectados por una línea con resistencia despreciable, como se muestra en la figura 5.8.1.1, porque la misma no influye en los resultados que se desean alcanzar y porque la impedancia que representa los transformadores y las líneas de alta y extra alta tensión es predominantemente inductiva. La capacitancia de la línea no aparece de forma explícita en el modelo de la figura 5.8.1.1, pero su efecto está representado implícitamente por la potencia reactiva neta transmitida. El análisis de la transmisión de potencia activa y reactiva a través de una reactancia inductiva es útil para conocer las características de los sistemas de transmisión de corriente alterna.

(e) (R)

jX Pe

Qe

PR

QR UR= UR∠0o Ue= Ue∠δe

Figura 5.8.1.1- Circuito representativo del enlace entre dos nodos de un SEP. La potencia compleja del recibo de la figura 5.8.1.1 es:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=⋅=−=

jXUUUIUjQPS Re

RRRRRR** (5.8.1.1)

Donde el signo menos de la potencia reactiva es porque se conjugó la tensión en lugar de la corriente. Las tensiones en forma binómica del envío y del recibo son: Ue= Ue⋅cosδe+jUe senδe (5.8.1.2) U*

R= UR-j0 (5.8.1.3) Sustituyendo (5.8.1.2) y (5.8.1.3) en (5.8.1.1)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅+⋅⋅=

jXUsenjUUUS Ree

RRδδcos (5.8.1.4)

Donde δ es el ángulo de potencia


Efectuando y separando su parte real (PR) e imaginaria (QR):

XsenUUP Re

Rδ⋅⋅

= (5.8.1.5)

XUUUQ RRe

R

2cos −⋅⋅=

δ (5.8.1.6)

Similarmente:

XsenUUP Re

eδ⋅⋅

= (5.8.1.7)

XUUUQ Ree

eδcos2 ⋅⋅−

= (5.8.1.8)

Si el ángulo δ del recibo no es cero, las ecuaciones se convierten a una forma más general:

)( eRRe

R senXUUP δδ −⋅

= (5.8.1.9)

XUUUQ ReRRe

R

2)cos( −−⋅⋅=

δδ (5.8.1.10)

)( ReRe

e senXUUP δδ −⋅

= (5.8.1.11)

XUUUQ ReRee

e)cos(2 δδ −⋅⋅−

= (5.8.1.12)

Las ecuaciones (5.8.1.5) a (5.8.1.12) describen como se transfiere la potencia activa y reactiva por un enlace reactivo como una línea de transmisión o un transformador. A continuación se analizará la dependencia de la transferencia de la potencia activa y reactiva entre dos fuentes de tensión considerando el efecto de sus módulos y sus ángulos por separado. El sentido de la potencia activa depende del signo de la resta (δe-δR) por lo tanto, la potencia activa circulará siempre del mayor al menor ángulo. En la expresión (5.5.1.12) dado que el cos(δe-δR) es siempre positivo, el sentido de la potencia reactiva dependerá del valor de los módulos de las tensiones y puede decirse que circulará del mayor al menor módulo con varias posibilidades: a)- Si los módulos de las tensiones son parecidos y el cos(δe-δR)<1 la potencia reactiva puede circular en cualquier sentido, incluso puede tener sentidos diferentes en ambas cabezas del enlace. b)- Si la diferencia entre los módulos de las tensiones es mayor que 1,0 kV, la potencia reactiva

circulará del mayor módulo al menor módulo.


c) Si las tensiones del envío y el recibo son iguales en módulo y ángulo, no hay transferencia de potencia reactiva por el enlace.

5.9- Cargabilidad de las líneas de transporte de energía eléctrica. La cargabilidad de las LTEE define su aptitud (“capability”) para transmitir potencia en condiciones técnicas y económicas satisfactorias y se define mediante dos indicadores: La Potencia Natural y la Capacidad Estática de la Transmisión. 5.9.1- Potencia Natural. La Potencia Natural es la potencia transmitida por una línea que tiene conectada en el recibo su impedancia característica. Cuando una línea transmite su potencia natural, los requerimientos de potencia reactiva de la carga son suministrados por la propia línea, el factor de potencia es constante del envío al recibo, la corriente y las caídas de tensión y las pérdidas son mínimas. Estas condiciones de transmisión casi óptimas han hecho que la potencia natural se considere una medida de la cargabilidad de las líneas de transmisión como se verá en el epígrafe 5.9.1.1. En el monolineal de la figura 5.9.1.1 la expresión para calcular la potencia natural es:

coscoscos22

TrifásiMWZ

UZUP

C

Nom

C

Rn ττ ≅= (5.9.1.1)

Donde: UR: Módulo de la tensión del recibo en kilovolt de línea a línea. UNom: Módulo de la tensión nominal en kilovolt de línea a línea si se desconoce la del recibo.

Ω−

∠=∠∠

=∠=290

90 'º'

θθτBZ

BZZZ CC (5.9.1.2)

θ∠= ZZ Impedancia serie de la línea en Ω u Ω/km B’ = B’∠90º: Susceptancia capacitiva de la línea en S o S/km El valor de la impedancia característica es independiente de la longitud de la línea. Por ejemplo, su módulo es ZC = 400 ± 40 Ω para las líneas simple circuito con un conductor por fase. La tabla 5.9.1.1 muestra algunos valores típicos de la potencia natural para varios niveles de tensión.

Pn

Z C UR

Env ío Recibo

Figura 5.9.1.1- Línea que transmite su potencia natural.


Tensión Nominal (kV) Potencia Natural (MW)

13,2 0,44 34,5 3,0 110 30 220 124

Tabla 5.9.1.1- Valores promedio de la potencia natural para varios niveles de tensión. La potencia natural da una idea de como está operando la línea con respecto a su balance de potencia reactiva:

Si PR>Pn la línea consume potencia reactiva de los generadores. Si PR<Pn la línea entrega potencia reactiva al sistema. Si PR=Pn la línea ni consume ni entrega potencia reactiva.

5.9.1.1- La Potencia Natural como una medida de la cargabilidad de las líneas de transmisión.

480160 800 km

L

Pn

2Pn

3Pn

Cargabilidad

Figura 5.9.1.1.1- La potencia natural como una medida de la cargabilidad de las líneas de

transmisión según StClair. Si una línea transmite su potencia natural, (PR = Pn), tiene las características siguientes:

Ni consume ni entrega potencia reactiva y por ende, el factor de potencia a lo largo de la línea es constante.

La circulación de potencia reactiva por la línea es mínima, las caídas de tensión y las pérdidas son mínimas por lo que la energía se transmite en las mejores condiciones.


La figura 5.9.1.1.1 muestra los resultados de un estudio realizado por StClair (5) que muestra que las líneas muy largas, mayores que 480 km, no pueden transmitir potencias mayores que la natural en condiciones técnicas y económicas adecuadas. Por estas razones es que se dice que la potencia natural da una medida de la cargabilidad de las líneas de transmisión. 5.9.1.2- Métodos para incrementar la potencia natural. Dado que cuando una línea transmite su potencia natural, la caída de tensión y las pérdidas son las menores posibles, mientras más cerca opere de dicha potencia mejor será y por ende, es conveniente incrementar dicha potencia, sobre todo en las líneas muy largas. La expresión de la potencia natural muestra que hay tres formas básicas para aumentarla:

1. Incrementar el nivel de tensión. 2. Utilizar más de un circuito. 3. Disminuir el valor de la impedancia característica.

El primer método es muy efectivo, pero tiene los inconvenientes de aumentar los costos de la inversión inicial, de la operación de la línea y de su impacto ecológico. El segundo método multiplica la potencia natural por el número de circuitos de la línea. Para reducir el valor de la impedancia característica se pueden utilizar varios métodos:

1. Instalar condensadores conectados en serie con la línea. (Opción algo costosa) 2. Compactar la línea con las ventajas adicionales que se estudiaron en el capítulo 3. 3. Utilizar más de un conductor por fase. 4. Compactar la línea y utilizar más de un conductor por fase.

Las tablas 5.9.1.2.1 y 5.9.1.2.2 muestran la influencia de los conductores múltiples y de la compactación en el valor de la potencia natural, o en la cargabilidad de las líneas de transmisión.

Número de conductores en el haz.

Calibre en mm2

mm2 de la fase

Potencia Natural a 220 kV (MW)

Incrementos:

O (1) 300 300 124 39 MW O O (2) 150 300 163 31 %

Tabla 5.9.1.2.1- Influencia de los conductores múltiples en la potencia natural.

Línea Pn a 220 kV (MW) Incrementos: Convencional: O (400 mm2)

153

175 MW

Compacta: O O (240 mm2)

237

78 %

Tabla 5.9.1.2.2- Influencia de la compactación y los conductores múltiples en la impedancia

característica y la potencia natural. En el primer caso, aunque la sección transversal por fase se mantiene, 300 mm2, la potencia natural se incrementa en un 31 %.


Es evidente que el incremento mayor ocurre cuando la línea, además de compactarse, se hace multiconductora pues es del 78 %. Esta solución tiene la ventaja adicional de reducir el ancho del derecho de vía lo que reduce los costos de la inversión inicial y evitar, en muchos casos, el paso de las altas a las extra altas tensiones. 5.9.2- Capacidad Estática de la Transmisión (CET) La potencia máxima que puede transmitirse por una línea de transmisión depende de cuatro aspectos: 1. De la caída de tensión máxima permisible. 2. Del valor de las pérdidas de Joule. 3. Del ángulo δ máximo permisible entre las tensiones del envío y del recibo. 4. Del límite térmico de los conductores o “ampacidad” (“ampacity’) La potencia del recibo de una línea de transmisión representada por su circuito Π es:

)(2

θδθ −⋅

+−= CosZUUCos

ZUP ReR

R (5.9.2.1)

Donde: UR: Tensión del recibo en kV de línea. Ue: Tensión del envío en kV de línea tomada como referencia (δe = 0o). Z = Z∠θ: Impedancia serie de la línea en ohm. θ: Ángulo de la impedancia serie que, dependiendo del nivel de tensión, varía entre 70 y 86o

δ: Ángulo entre las tensiones del envío y el recibo (ángulo de potencia) En la expresión 5.9.2.1 se observa que la potencia máxima del recibo es función del ángulo entre las tensiones del envío y del recibo llamado ángulo de potencia (δ). La potencia máxima que puede transmitir la línea se alcanza cuando: Cos (δ - θ) = 1, para δ = θ (5.9.2.2) Es fácil demostrar que si la línea tiene una resistencia despreciable (θ = 90º) la expresión (5.9.2.1) se simplifica a:

δsenXUUP Re

R⋅

= (5.9.2.3)

La figura 5.9.2.1 muestra que la expresión 5.9.2.3 representa una sinusoide con valor máximo:

XUU Re ⋅ Cuando δ = 90o (5.9.2.4)


Donde:

Si δ ≤ 90º la línea es estable porque a un incremento de δ le corresponde un incremento de la potencia del recibo.

Si δ > 90º la línea es inestable porque a un incremento de δ le corresponde un decremento de la potencia del recibo.

Se define la Capacidad Estática de la Transmisión (CET) como la potencia máxima que puede transmitirse por una línea de transmisión sin pérdida de la estabilidad estática. Esto ocurre cuando el ángulo δ vale 90º o sea:

XUUCET Re ⋅= (5.9.2.5)

Estable Inestable

δ = 90o

CET

MW

δ 0o 180o

Figura 5.9.2.1- Sinusoide que representa la expresión 5.9.2.3. Se muestran las zonas estable e

inestable. La CET es un valor teórico utilizado para comparar las líneas entre sí. En las líneas reales la resistencia no es cero y el ángulo δ es menor que 90º. Resumen. Las líneas de transmisión con longitudes mayores que 250 km, deben representarse mediante el circuito Π Equivalente que es un circuito riguroso o exacto porque considera los parámetros inductivos y capacitivos uniformemente distribuidos en la longitud total de la línea. Si la línea tiene hasta 250 km, puede representarse mediante un circuito Π Nominal que es una representación aproximada porque desprecia la distribución uniforme de los parámetros de la línea, es decir, los considera concentrados.


En las líneas a 34,5 kV y menores, puede despreciarse la capacitancia y representarlas por el circuito Simple Impedancia. Todos estos circuitos presuponen que el SEP está balanceado. Para considerar el desbalance del SEP hay que representar sus elementos trifásicamente y, en esos casos, las líneas se representan mediante sus matrices impedancia y admitancia formando circuitos Π matriciales. Las líneas terminadas en su impedancia característica son las más eficientes y por ello, la potencia natural se utiliza como una medida de su cargabilidad. Las líneas cortas y medias pueden transmitir potencias mayores que la natural en condiciones técnicas y económicas convenientes, sin embargo, las líneas muy largas sólo pueden transmitir en estas condiciones potencias próximas a la natural. Es posible aumentar la potencia natural aumentando el número de circuitos de la línea, aumentando el nivel de tensión, utilizando más de un conductor por fase, compactándola, o ambas. 5.10- Representación de los sistemas eléctricos de potencia en por unidad. Cuando un sistema eléctrico tiene un solo nivel de tensión, es posible trabajar con magnitudes absolutas, es decir con ohm, volt, ampere, mega volt ampere, kilo watt, etc. Sin embargo, cuando hay niveles de tensión diferentes, como en el 100 % de los SEP, hay que expresar todas sus magnitudes en Por Unidad o en una Base Común de Tensión. Se trabajará en Por Unidad por ser el método más conveniente y de mayor utilización en Cuba y en el mundo. Para obtener una magnitud cualquiera en por unidad, se utiliza la expresión:

BaseMagnitudalMagnitudpuenMagnitud Re

= (5.10.1)

La figura 5.10.1 muestra por que es necesario trabajar en por unidad cuando hay más de un nivel de tensión. El circuito es serie, por lo que la corriente debe ser la misma en el primario y en el secundario del transformador. Sin embargo, como la potencia es constante, y las tensiones son diferentes, realmente las corrientes son diferentes. Esta contradicción se resuelve si se trabajan todas las magnitudes del circuito en por unidad. Terminado el análisis, si se necesitan los valores absolutos, se obtienen sus valores en ampere, volt, etc., despejando la magnitud real en la expresión (5.10.1).

6,3 kV 118 kV

3 0 M V A

2 749 A 1 4 6 A

G S

Figura 5.10.1- Monolineal de un circuito radial para mostrar por que hay que trabajar con las

magnitudes expresadas en por unidad. El método Por Unidad se explicará resolviendo un ejemplo numérico.


Ejemplo numérico. Exprese en por unidad las magnitudes del circuito de la figura 5.10.2.

(1) ( 2) (3) (4)

(5)

169 MVA

1 5/121 kV

14,5 kV

125 MVA121 230

34,5

Reactor 11 Mvar

100+j30 MVA

Z =1,6+j40 Ω

B’1=j240 μS

p s

t

15 kVB 125 MVA B121 kVB 230 kVB Figura 5.10.2- Monolineal de un SEP sencillo para obtener sus magnitudes en pu. Introducción. Las cantidades bases para expresar las magnitudes de un SEP en por unidad son cuatro:

La potencia base (PB) que se da en MVA monofásicos o trifásicos si el sistema está balanceado y que es única.

B

Los tensiones base (UB) que se dan en kilovolt al neutro o de línea si el sistema está balanceado.

B

Las corrientes base que se dan en ampere y se calculan a partir de la potencia base y de la tensión base. Ejemplo:

AmpereU

PI

B

BB ⋅

⋅=

3103

(5.10.2)

Las impedancias bases, que se dan en ohm y se calculan a partir de la tensión base y de la

potencia base. Ejemplo:

Ω=B

BB P

UZ2

(5.10.3)

Conceptualmente, la potencia base es monofásica y las tensiones bases son al neutro, pero en los análisis de SEP balanceados puede tomarse trifásica y de línea a línea respectivamente.


Como las corrientes y las impedancias bases se calculan a partir de la potencia base y de las tensiones bases sólo se escogen como magnitudes bases la potencia y la tensión. Las otras dos magnitudes bases quedan definidas automáticamente. Solución. Primer Paso: Escoja la potencia base y las tensiones bases. La potencia y la tensión bases son magnitudes arbitrarias, pero deben escogerse de manera que se trabaje lo menos posible. Esto se logra, escogiéndolas no tan arbitrariamente, sino a partir de los valores nominales de los transformadores y/o los generadores del SEP. Lo anteriormente expuesto se ejemplificará durante la solución del problema. Selección de la potencia base. Por lo anteriormente expuesto, la potencia base debe escogerse igual a la potencia nominal del transformador de dos o de tres devanados. Como el transformador de tres devanados tiene tres impedancias, mientras que el transformador de dos devanados tiene sólo una, se escogerá como potencia base la del de tres devanados para trabajar menos, es decir 125 MVA. Debe recordarse que la potencia base es única para todo el SEP. Selección de los tensiones bases. Para trabajar menos, debe tomarse igual a la tensión nominal de alguno de los transformadores del SEP. En este caso pueden tomarse 15 kV en el lado de baja del transformador de 169 MVA. Una vez seleccionada la tensión base en un lado del circuito, deben calcularse las tensiones base del resto del circuito. En este caso es muy fácil porque coinciden con los nominales de los transformadores. Segundo Paso: Exprese todas las magnitudes del circuito en por unidad sobre la base de la potencia

y las tensiones base escogidas. La tensión de la barra (1), que es dato, expresada en por unidad es:

puU

UU o

B

al 0967,015

5,14Re1/01 ∠===

Cargas. En la barra (5) hay instalado un reactor de 11 Mvar cuya función es consumir la potencia reactiva de la línea en el caso de que éste provoque una subida de tensión no permisible. Esto ocurre cuando la transferencia por la línea es baja por ejemplo, por las madrugadas, en las horas de mínima demanda. Recuerde que a esa hora, el balance de potencia reactiva en la línea es a favor de la “generación” de potencia reactiva capacitiva, es decir la potencia reactiva neta (Qe-QR) es negativa porque la línea “genera” más que lo que consume y Qe<QR. Así el reactor en por unidad será:


puj

S R 088,0125

1101/0 =

+=

Carga en la barra (4)

pujj

S 24,08,0125

301001/04 +=

+=

Línea a 220 kV

095,00038,02,423406,1

125230

406,12

Re1/0 jjj

ZZZ

B

alL +=

+=

+== pu.

Noten que, en por unidad, la impedancia de la línea es muy pequeña.

pu

Z

BY

BB

B

al

B

al 102,02,4231024016ReRe

1 =⋅⋅=== −•

Con la susceptancia ocurre lo contrario. En pu es mayor que en siemen. Cambio de bases a las magnitudes en por unidad. Los fabricantes de los aparatos eléctricos utilizados en los SEP dan sus impedancias en porcentaje o en por unidad sobre las bases de sus valores nominales de tensión y potencia. Si alguna de las bases del SEP analizado es diferente a las de algún aparato del sistema (transformador, generador, carga, etc.) hay que cambiarle la base utilizando la expresión:

2

1/01/0 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅=

nB

dB

dB

nBdn U

UPP

ZZ (5.10.4)

Donde: Z0/1n: Impedancia en por unidad en la base nueva. Z0/1d: Impedancia en por unidad en la base dada. PBn: Potencia base nueva. PBd: Potencia base dada. UBd: Tensión base dada. UBn: Tensión base nueva. Esta expresión deben sabérsela o saber deducirla (vea el anexo III) y no olvidar su aplicación pues ello cambia radicalmente los resultados de cualquier tipo de cálculo en por unidad.


A continuación se obtendrán las magnitudes en por unidad de los aparatos eléctricos que dan sus datos en porcentaje. Transformador de dos devanados. Los fabricantes de los transformadores dan su reactancia de filtración en porcentaje referida a la potencia y las tensiones nominales del transformador. En este caso, 169 MVA, 15/121 kV, X=12 %. Donde X=12 % está en las bases de 169 MVA y 15 ó 121 kV porque en un transformador la reactancia en porcentaje o en por unidad es la misma referida al primario o al secundario (Vea el Anexo III). En este caso, hay que cambiarle la base de potencia porque es de 169 MVA y la potencia base es 125 MVA. Las bases de tensión se mantienen. Así:

1/0089,0169125

100%12

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=nTX

Transformador de tres devanados.

Primario Secundario Terciario Reactancias en porcentaje: 121 kV 230 kV 34,5 kV 1rio-2rio 1rio-3rio 2rio-3rio

125 MVA 125 MVA 63 MVA 12,1 36,1 22,1 Tabla 5.10.1- Datos de chapa del transformador de tres devanados. La figura 5.10.3 muestra el circuito equivalente de un transformador de tres devanados en el que se desprecian las pérdidas de vacío y la reactancia de magnetización.

• ••

•

p s

tUp

Ut

Us

Xt

XsXp

Neutro

Figura 5.10.3- Circuito equivalente de un transformador de tres devanados. En el anexo pueden estudiar como se calculan las reactancias transferenciales dadas como datos de chapa del transformador. Sólo se recordará, porque es importante para obtener las reactancias del circuito equivalente que:

Xps: Se mide por el primario: Está en las bases de 125 MVA y cualquiera de las tensiones. Xpt: Se mide por el primario: Está en las bases de 125 MVA y cualquiera de las tensiones.


Xst: Se mide por el secundario y en este transformador particular está en las bases de 125 MVA

y cualquiera de las tensiones. Las expresiones para calcular las reactancias del circuito equivalente son (vea el anexo III):

( stptpsp XXXX −+=21 ) (5.10.5)

( ptstpss XXXX −+=21 ) (5.10.6)

( ssstptp XXXX −+=21 ) (5.10.7)

Un aspecto importante que debe tenerse muy en cuenta es que para que se puedan sumar las reactancias de las expresiones (5.10.5) a (5.10.7) todas tienen que estar en las mismas bases de potencia y tensión. En este caso sí pueden evaluarse porque todas están en 125 MVA base y las tensiones no importan. Sustituyendo los valores de reactancia dados, divididos por 100:

( ) puX p 1305,0221,0361,0121,021

=−+=

( ) puX s 0095,0361,0221,0121,021

−=−+=

( ) puXt 2305,0121,0221,0361,021

=−+=

El signo menos de la reactancia del secundario (Xs) no es un error. Puede aparecer porque el circuito equivalente es matemático, no es físico, aunque sólo puede surgir en la reactancia del secundario. Para integrar este circuito equivalente al sistema analizado no hay que cambiarle alguna base a las reactancias calculadas porque la potencia base y las tensiones base del transformador de tres devanados y las del SEP coinciden. Si se hubiera tomado como potencia base 169 MVA se hubiera trabajado más porque aunque no se le hubieran hecho cambios de base a la reactancia del transformador de dos devanados, (una) hubiera habido que hacérsela a las del de tres devanados (3). Finalmente, el circuito equivalente o red de secuencia positiva del SEP es el de la figura 4. (4)(3)

(5)

(2)(1)j0,089 j0,1305 -j0,0095

j0,2305

0+j0,088

j0,102/2

0,0038+j0,095 0,80

0,24 0,966 pu (Dato)

j0,102/2

Figura 5.10.4.- Circuito con sus magnitudes en por unidad, listo para calcular un flujo de cargas.


Ventajas del método por unidad. Expresar las magnitudes de los SEP en por unidad para hacer estudios de flujos de cargas, cortocircuitos, estabilidad, etc. se ha impuesto por cuatro ventajas que tiene dicho método: 1. Los fabricantes de los aparatos eléctricos dan sus parámetros en por unidad. 2. Los aparatos eléctricos con características similares, tienen sus parámetros en por unidad de

valores similares. Por ejemplo, los transformadores de 110/34,5 kV tienen una reactancia del 0,105 pu para capacidades entre 25 y 100 MVA.

3. La reactancia en por unidad de los transformadores los generadores y los motores son independientes de su conexión en estrella o delta.

4. La reactancia de los transformadores en pu es la misma si se refiere al primario que si se refiere al secundario.

Aplicaciones del método Por Unidad: Flujo de Cargas.

FLUJO DE CARGAS

En redes radiales con uno o más niveles de tensión: Subtransmisión,

Distribución Primaria y Secundaria.

En redes complejas formados por varios lazos o mallas como en el llamado “Lazo de la Habana”.

Optimización de la operación

de los SEP.

Cálculo de cortocircuitos

en los SEP.

Cálculo de estabilidad en

los SEP.

Análisis de sensibilidad de la tensión, etc.

Figura 5.10.5-Los flujos de cargas como paso previo a otros estudios realizados en los SEP. De los diferentes tipos de trabajos que realizan los ingenieros electricistas, uno de los más importantes es el llamado Estudio de Flujo de Cargas porque como se muestra en la figura 5.10.5, es la base de otras tareas de gran importancia que se realizan en los SEP. Dicho de otra forma, los estudios de cortocircuito, estabilidad y optimización de la operación de los SEP parten del conocimiento previo de los resultados de un flujo de cargas. En este capítulo, se calcularán flujos de carga en tres tipos de redes:

1. En redes radiales con un nivel de tensión. 2. En redes radiales con varios niveles de tensión. 3. En redes complejas que forman lazos y mallas como por ejemplo el llamado “Lazo de la

Habana”.


5.11- Flujo de cargas en redes radiales. Introducción. Una red eléctrica es radial cuando hay un solo camino entre la fuente y la carga (vea la figura 5.11.1). Se utilizan fundamentalmente en la subtransmisión y en la distribución primaria y secundaria debido a que poseen tres ventajas:

1. Son muy sencillas. 2. Poseen un bajo costo de su inversión inicial y de operación y 3. Son fáciles de operar y de mantener por un personal de baja calificación.

En las redes radiales los flujos de cargas tienen dos tipos de solución: 1. Cuando se conocen la tensión y la carga del recibo. En este caso la solución es directa, no es

necesario iterar. Es una condición poco frecuente porque generalmente se conocen la demanda de la carga y la tensión de la subestación que la alimenta a varios kilómetros de distancia.

Z P 1=? P2

Q 1 =? Q2

( 1) (2)

B’ 1

U 1 =? U 2

Figura 5.11.1- Red eléctrica radial cuando se conocen la tensión y la carga del recibo. 2. Cuando se conocen la tensión del envío y la carga del recibo. Estas son las condiciones más

frecuentes: el ingeniero de una industria, conoce su demanda en la barra 2 y la tensión del sistema eléctrico en la barra 1, pero desconoce la tensión en la barra de la industria (U2). En este caso la solución es iterativa y tiene dos etapas en cada iteración:

1) Se supone un valor de tensión en el recibo y se calculan las pérdidas en cada tramo del

circuito con un movimiento hacia la subestación para conocer la potencia activa y reactiva en los envíos y los recibos de cada tramo en la primera iteración.

2) Como se conoce la tensión de la subestación (U1) que es dato y la carga de dicha subestación en la primera iteración, se calculan las tensiones de las barras con un movimiento de la subestación hacia el final del circuito en la primera iteración. Se comprueba la convergencia mediante la expresión:

dadaToleranciaUU i

kik ≤− −1 (5.11.1)

Donde:

:ikU Tensión de la barra “k” en la iteración” i”.

:1−ikU Tensión de la barra “k” en la iteración” i-1”.

k= 1, 2, 3,...N nodos. El valor de la tolerancia depende de la exactitud que se necesite para los resultados del flujo.


Z P 1=? P2

Q 1 =? Q2

( 1) (2)

B’

1

U 1 U 2 =? ( Dato)

Figura 5.11.2- Red eléctrica radial cuando se conocen la tensión del envío y la carga del recibo. 5.11.1- Flujo de cargas en redes radiales con varios niveles de tensión. La explicación de este tema se hará resolviendo un ejemplo numérico. Ejemplo numérico. Calcule los resultados de un flujo de cargas para el circuito radial de la figura 5.10.4 repetida aquí por comodidad si ahora, la tensión del nodo (1) es 15 kV.

(4) (3)

(5)

(2) (1) j0,089 j0,1305 -j0,0095

j0,2305

0+j0,088

j0,102/2

0,0038+j0,095 0,80

0,24 15 kV (Dato)

j0,102/2

Figura 5.11.1.1- Circuito con sus magnitudes en por unidad para calcular un flujo de cargas. Solución. Este tipo de problemas se resuelve con dos grandes pasos: 1) Se expresan todas las magnitudes del circuito en por unidad, paso que ya se realizó. 2) Se resuelve el problema de flujo de cargas con varios pasos que se analizarán a continuación. Recordando que la solución es iterativa, este método, llamado “recurrente” calcula las pérdidas de los tramos desde las cargas hacia la subestación y después calcula las tensiones de los nodos, desde la subestación hasta la última carga. Para calcular las pérdidas de la línea, hay que conocer la carga en su recibo y para ello, comenzando por la última barra del circuito, la (4), hay que conocer cual es la inyección de potencia reactiva de la capacitancia del recibo del circuito Π de la línea para hacer el balance de potencias en dicho nodo. La potencia reactiva “generada” en (4) es:


2

'12

4'4

BUQ ⋅= pu (5.11.1.1)

Donde se desconoce la tensión de la barra (4) y por ende hay que suponer un valor llamado “tensión de arranque” de la solución (U0

k). Es usual escoger la tensión nominal o la tensión base de la zona. En este caso se tomará la nominal (220 kV):

1/0047,00051,0230220 2

'4 jjQ =⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= Potencia reactiva generada en el nodo (4) en pu.

Donde:

U04= 230

220 =0,957 pu: Tensión de arranque del nodo (4) en pu.

.051,02102,0

2

'1 pujjB

== Susceptancia capacitiva del recibo de la línea (nodo 4)

En Mvar la potencia reactiva es: 0,047⋅125 MVAB= 5,88 Mvar B

Balance de potencias en la barra 4.

La potencia activa del recibo de la línea es idéntica a la de la carga (0,8 pu) La potencia reactiva será, la de la carga menos los 0,051 pu inyectados por el condensador del

recibo. Así: Q1

4=j(0,24-0,047)=j0,193 pu en la primera iteración (Vea la figura 5.11.1.2) Potencias en el envío de la línea. Para conocer las potencias en el envío de la línea, hay que calcular las pérdidas de la línea. Así:

( ) pujjjXRU

QPS 07,00028,0)095,00038,0(

230220

193,08,02

22

343424

24

241

34 +=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=+

+=Δ

De nuevo, como se desconoce la tensión de la barra (4), se toma la nominal en por unidad. Las potencias activa y reactiva del envío de la línea 3-4 en la primera iteración serán: Pe 3-4=0,8+0,0028=0,8028≅0,803 pu Qe 3-4=j(0,193+0,007)=j0,263 pu (vea la figura 5.11.1.2) Balance de potencias a la izquierda de la barra (3) Este punto del circuito es el recibo del secundario del transformador de tres devanados. La potencia activa es la misma porque no se representaron las pérdidas de activo del transformador.


Para conocer la potencia reactiva, hay que conocer cuanto reactivo capacitivo se genera en el envío de la línea 3-4. Como la tensión se desconoce, se supone la nominal, y como es igual que la de la barra (4) y la susceptancia capacitiva tampoco cambia, la potencia reactiva “generada” también es la misma. Así, para la primera iteración: Q1

R 2rio=j(0,263-0,047)=j0,216 pu (Vea la figura 5.11.1.2) Pérdidas en el secundario del transformador de tres devanados (rama 2’-3)

pujjS 0072,0)0095,0()230/220(

216,0803,02

22

3'21 −=−

+=Δ (Primera iteración)

Potencias en el envío del secundario del transformador de tres devanados (rama 2’-3) La potencia activa es la misma porque no se representaron las pérdidas de activo. Q1

e 2rio=j(0,216-0,0072)=j0,209 pu. Como una reactancia negativa es un condensador, en esta rama la potencia reactiva aumenta del envío al recibo de 0,209 a 0,216 pu. (Vea la figura 5.11.1.2) Pérdidas en el terciario del transformador de tres devanados (rama 2’-5)

pujjS 00195,0)2305,0()5,34/33(

088,02

2

5'21 ==Δ

En esta barra la tensión de arranque supuesta fue la nominal, 33 kV. En pu es U05=33/34,5=0,957

La potencia reactiva (no hay activa) en el envío del terciario es: Q1

e 3rio=j(0,088+0,00195)=j0,08995≅j0,09 pu (Vea la figura 5.11.1.2) Balance de potencia a la izquierda del nodo ficticio (2’) La potencia activa es la misma porque no hay pérdidas de activo. (Vea la figura 5.11.1.2) QR 1rio=j(0,2088+0,09)≅j0,299 pu (Vea la figura 5.11.1.2) Pérdidas en el primario del transformador de tres devanados (rama 2-2’) Como el circuito equivalente del transformador de tres devanados es matemático, el nodo (2’) es ficticio y su tensión no puede expresarse en unidades absolutas (volt o kilovolt) sólo en por unidad. Lo usual es suponer que su tensión de arranque es 1 pu. Así, las pérdidas del primario son:

pujjS 096,0)1305,0(1

299,0803,02

22

'221 =

+=Δ


Potencias en el envío del primario del transformador de tres devanados (rama 2-2’) La potencia activa es la misma porque no se representaron las pérdidas de activo. Q1

e 1rio=j(0,299+0,096)=j0,395 pu (Vea la figura 5.11.1.2) Pérdidas en el transformador de dos devanados (rama 1-2)

pujjS 086,0)089,0(

121110

395,0803,02

22

121 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+=Δ

En esta barra la tensión de arranque supuesta fue 110 kV que en pu es U02=110/121=0,909 pu.

Potencias en el envío del transformador de dos devanados (rama 1-2) La potencia activa es la misma, 0,803 pu, porque no se representaron las pérdidas de activo. Q1

e T 2 Dev=j(0,395+0,086)=j0,481 pu (Vea la figura 5.11.1.2) Como se observa en la figura 5.11.1.2 ya se tienen las potencias de los envíos y los recibos de todos los tramos en la primera iteración y puede pasarse a la segunda etapa: Calcular las tensiones de los nodos o barras. (4)(3)

(5)

(2) (1)

j0,089 j0,1305 -j0,0095

j0,2305

0+j0,088

j0,102/2=j0,051

0,0038 +j0,095

1,0 Pu (Dato)

0,80

0,193

0,8+j0,24

0,803

0,263

0,803

0,216

0,047 0,047

0,803

0,209

0,803

0,299

0,803

0,395

0,09

0,088

0,803

0,395

0,803

0,481

(2’)

15 kVB 121 kVB

34,5 kVB

230 kVB

• Figura 5.11.1.2- Monolineal con los resultados de las potencias en la primera iteración. Utilizando la expresión (5.6.6) generalizada a dos nodos “p” – “k” cualesquiera:

)(p

pkppkp

p

pkppkpppkp

ik U

RQXPj

UXQRP

UUUU⋅−⋅

+⋅+⋅

−=Δ−= pu (5.11.1.2)


Para el nodo 2, en la primera iteración:

)1

0481,0089,0803,01

089.0481,00803,0(1121

121 ⋅−⋅

+⋅+⋅

−=Δ−= jUUU

=1-0,043-j0,071=0,957-j0,071=0,959∠-4,24o pu => 0,959⋅121 kV=116,04∠-4,24o kV Debe aclararse que los 116,4 kV son de línea a línea, pero el ángulo es de la tensión de fase. Los resultados se dan así porque este es el ángulo que le interesa a los analistas del SEP por ser el que da una idea de la estabilidad estática del mismo. Validación de los resultados. Es conveniente validar los resultados según se van obteniendo:

La tensión del recibo es menor que la del envío: Resultado lógico pues hay una caída de tensión en la reactancia del transformador de dos devanados.

El ángulo de la tensión de la barra 2 es negativo: Resultado lógico porque la potencia activa va del mayor ángulo (0o) al menor ángulo (-4,24o)

La potencia reactiva circula del mayor módulo (1 pu) al menor módulo (0,959 pu) El ángulo encontrado es el verdadero pues se mide desde la referencia que es U1∠0o (vea el

diagrama fasorial de la figura 5.11.1.3) Para el nodo ficticio 2’ en la primera iteración: Observando la figura 5.11.1.2 se sustituyen los valores numéricos en la expresión (5.11.1.2) y se obtiene:

)959,0

01305,0803,0959,0

1305.0395,00(959,0'221

2'2

−⋅+

⋅+−=Δ−= jUUU

=0,959-0,0537-j0,109=0,905-j0,109=0,912∠-6,88o pu Esta tensión sólo puede expresarse en por

unidad porque este nodo no existe realmente en el SEP.

Ángulo real de U’2

En la expresión con la que se calculó U’

2 se sustituyó el módulo de U2, es decir se sustituyó con ángulo cero. Por esta razón, al ángulo de U’

2 hay que sumarle el de U2. Así: U’

2=0,912∠-6,88-4,24=0,912∠-11,12o (Vea el diagrama fasorial de la figura 5.11.1.3) Se deja al lector, la validación del resto de los resultados igual que se hizo con U2.


Para el nodo 5 en la primera iteración: A partir de la figura 5.11.1.2 se sustituyen los valores numéricos en la expresión (5.11.1.2) y se obtiene:

)912,0

00912,0

2305.009,00(912,0521'

251

'−

+⋅+

−=Δ−= jUUU

=0,912-0,023=0,889∠0o pu. En kilovolt sería 0,889⋅34,5=30,67∠0o kV. El resultado obtenido para el ángulo de U5 es lógico porque δ es el ángulo de potencia y en el terciario del transformador no circula potencia activa, porque está conectado un reactor con pérdidas nulas. Angulo real de U5 Por las razones ya explicadas, el ángulo real de la tensión del nodo 5 no es el obtenido: U1

5=0,889∠0-11,12o=0,889∠-11,12o (Vea el diagrama fasorial de la figura 5.11.1.3) Se deja al lector, demostrar que el valor de las tensiones U3 y U4 son las que aparecen en el diagrama fasorial de la figura 5.11.1.3. U1=1 ∠0 o

U2=0,959 ∠-4,24 o

U3=0,914∠-10,6 4 o

U’2=0,912∠-11,12o

U 5 =0, 88 9 ∠-11,12o

U4=0,887∠-15,95o

Figura 5.11.1.3- Diagrama fasorial de las cinco tensiones calculadas en el circuito. Los ángulos

indicados están medidos desde la referencia δ=0o. Análisis de la rama 2’ 3: Secundario del transformador de tres devanados. En este ejemplo, la reactancia del secundario del transformador de tres devanados tiene una reactancia negativa. Por estas razones, como se muestra en la figura 5.11.1.4 no se cumplen las reglas dadas para los sentidos de la potencia activa y reactiva. Por ejemplo:

La potencia activa circula de -11,12o a -10,64o, es decir del menor al mayor ángulo y no viceversa como se estableció en el epígrafe 5.8.1.

La potencia reactiva circula de 0,912 kV a 0,914 kV, es decir del menor al mayor módulo y no viceversa como se estableció en el epígrafe 5.8.1.


0,912∠-11,12o 0,914∠-10,64o

-j0,0095 puO O (2’) (3)

0,803

0,209

0,803

0,216

Figura 5.11.1.4- Secundario del transformador de tres devanados mostrando los resultados del flujo

de cargas. Todos los resultados están en por unidad. Una vez obtenidas todas las tensiones de la primera iteración el siguiente paso es comprobar su convergencia. Así: Nodo 2: /U0 – U1/ ≤ Tolerancia. En este caso, la tensión de arranque supuesta fue U0=UNom/UB+j0 = 110/121+j0 =0,909 +j0 pu B

Sustituyendo los valores numéricos: /0,909+j0 – (0,957-j0,071)/=/-0,048+j0,071/=0,086 pu Si la tolerancia supuesta fue 0,01 pu, aún no hay convergencia y hay que seguir iterando. Basta que en un solo nodo no se cumpla la convergencia, para que haya que seguir iterando. Segunda iteración. El procedimiento para realizar cualquier iteración después de la primera es muy sencillo: Primero, comenzando por el último poste, se calcula lo mismo que se calculó en la primera iteración, pero en lugar de suponer tensiones, se toman las tensiones acabadas de calcular en la iteración previa. Segundo, una vez que se llega a la subestación, se recalculan las tensiones de los nodos, pero, con la excepción de la tensión de la barra dada como referencia, la 1 en este caso, que no cambia, se calculan las caídas de tensión con las tensiones y las cargas acabadas de calcular en la iteración anterior. Tercero, se comprueba la convergencia para la tolerancia dada. Si la cumple se termina. Si no la cumple se continua iterando. Se deja al alumno calcular los resultados del flujo de cargas para la segunda iteración. Caídas de tensión en porcentaje. Una vez terminado el cálculo de las tensiones de los postes, es posible expresar las caídas de tensión de cada tramo del circuito en porcentaje de dos maneras diferentes:

Con respecto a la tensión del recibo: 100% ⋅−

=Δ −k

kpkp U

UUU (5.11.1.3)


Con respecto a la tensión nominal: 100% ⋅−

=Δ −Nom

kpkp U

UUU (5.11.1.4)

Donde. %ΔUp-k: Caída de tensión en el tramo ¨p-k” en porcentaje. Up: Módulo de la tensión del envío del tramo considerado. Uk: Módulo de la tensión del recibo del tramo considerado. UNom: Módulo de la tensión nominal del tramo considerado. Con respecto a las dos expresiones para la caída de tensión mostradas deben tenerse en cuenta varios aspectos de interés:

Ambas son definiciones y por eso, en las mismas aparece una resta de los módulos de las tensiones de las cabezas del tramo “p-k” considerado.

En la expresión 5.11.1.3, la referencia cambia con el tramo y por ende las caídas de tensión en porcentaje de los diferentes tramos no pueden ser sumadas.

En la expresión 5.11.1.4, la referencia es la misma para todos los tramos y por ende las caídas de tensión en porcentaje de los diferentes tramos pueden ser sumadas.

Ambas expresiones siempre pueden ser evaluadas si sus términos están expresados en por unidad. Por razones obvias, si están en unidades absolutas no pueden evaluarse si el tramo es un trasformador.

%51,4100121/110959,01% 21 =⋅

−=Δ −U Con respecto a la tensión nominal del tramo.

%28,4100959,0

959,01% 21 =⋅−

=Δ −U Con respecto a la tensión del recibo del tramo.

La caída de tensión en porcentaje en el secundario del transformador de tres devanados es:

%21,0100230/220

914,0912,0%32' −=⋅

−=Δ

−U Con respecto a la tensión nominal del tramo.

Se deja al estudiante explicar a que se debe el signo menos. Tramo Identificación del tramo. Caída de tensión Tensión del Recibo

1-2 Transformador de dos devanados. 4,51 % 116,04∠-4,240 kV 2-2’ Primario del transformador de tres devanados. 5,17 % 0,912∠-11,120 pu 2’-3 Secundario del transformador de tres devanados. -0,21 % 210,22∠-10,640 kV2’-5 Terciario del transformador de tres devanados. 2,40 % 30,67∠-11,120 kV 3-4 Línea de transmisión a 220 kV. 2,82 % 204,01∠-15,950 kV

Tabla 5.11.1.1- Caídas de tensión en porcentaje y tensiones en los recibos de los tramos.


La tabla 5.11.1.1 muestra los resultados de las caídas de tensión en porcentaje, con respecto a la tensión nominal, para los cinco tramos del circuito. Pérdidas en mega watt y en porcentaje. Por las características del SEP analizado, sólo hay pérdidas de potencia activa en la línea de transmisión, tramo “3-4”. Como ya se tiene la tensión de la barra (4) en la primera iteración, deben recalcularse las pérdidas para esta tensión por ser más exactas. La figura 5.11.1.5 muestra las diferencias con las calculadas con la tensión de arranque:

U14=0,887 ∠-15,95o≠ U0

4=220/230∠0o = 0,956∠0o La potencia reactiva “generada” por el nodo (4) es Q1

4=0,8872·0,051=0,04 pu y no 0,047 Las nuevas pérdidas de potencia activa son.

puP 0033,00038,0·887,0

2,08,02

222

43 =+

=Δ − Mayores en un 17,86 % que 0,0028 pu, que se calcularon

en la iteración anterior lo que no es despreciable.

Expresadas en porcentaje: %413,0100·08,0

0033,0100%4

43243 ==

Δ=Δ −

− PPP

Donde. ΔP3-4: Pérdidas de potencia activa del tramo 3-4 en pu. P4: Potencia activa en el nodo (4) en pu. Debe notarse que el valor de las pérdidas es despreciable (<<2 %) (4)(3)

j0,051

0,0038 +j0,095 0,80

0,20

0,8+j0,240,04

U14=0,887

Figura 5.11.1.5- Características de la barra (4) en la primera iteración. Si se necesitan las pérdidas en MW: ΔP=125·0.003= 0,375 MW= 375 kW. Cálculo de los factores de potencia en el envío y en el recibo de cada tramo.

Envío del tramo 1-2: 857,0936,0803,0

481,0803,0803,0cos

2221 ==+

==− SP

eϕ


Recibo del tramo 1-2: 897,0895,0803,0

395,0803,0803,0cos

224

421 ==

+==

−

−−

R

RR S

Pϕ

Como era de esperarse, siendo el tramo “1-2” inductivo puro, el factor de potencia mejora del envío al recibo. Este resultado es corroborado por el hecho de que la potencia reactiva del envío es mayor que la del recibo, mientras que la potencia activa permanece constante. La tabla 5.11.1.2 muestra los factores de potencia calculados. Se deja al alumno, interpretarlos adecuadamente.

Factor de potencia en el: Tramo Envío. Recibo.

1-2 0,857 0,897 2-2’ 0,857 0,937 2’-3 0,967 0,966 2’-5 0,000 0,000 3-4 0,950 0,972

Tabla 5.11.1.2- Factores de potencia de los envíos y los recibos de los cinco tramos del SEP

analizado. 5.11.2- Flujo de cargas en redes radiales con un solo nivel de tensión. Las redes de subtransmisión, a 33 kV en el SEN cubano, y de distribución primaria y secundaria, tienen un solo nivel de tensión en todos sus tramos por lo que se puede trabajar con magnitudes absolutas. Este tipo de flujo de cargas será retomado en la asignatura Sistemas Eléctricos II por lo que sólo se mostrará la solución de un ejemplo numérico. Ejemplo numérico. Calcule las tensiones de los nodos (barras) y las pérdidas totales de potencia activa en mega watt y porcentaje del circuito a 33 kV de la figura 5.11.2.1. La tabla 5.11.2.1 muestra los datos necesarios los conductores son AC185/24 en las fases y 3/8”40A en el cable protector. La tensión de la subestación es 34,0 kV.

Tramo. Impedancia del tramo en Ω Potencia en el nodo de recibo. Envío. Recibo. Resistencia. Reactancia. P en MW. Q en Mvar.

0 1 0,865 2,020 10,0 7,5 1 2 0,519 1,212 8,0 3,8 2 3 0,346 0,808 5,0 2,1

Tabla 5.11.2.1- Datos de la red de subtransmisión a 33 kV de la figura 5.11.2.1.


34,0∠0o kV

• • • (1)

(0) (2) (35 km 3 km 2 km

S

)

1 S2 S3

Figura 5.11.2.1- Monolineal de la red de subtransmisión estudiada. Solución. Como se conocen las cargas en las barras y la tensión de la subestación, U0, se aplicará el mismo método explicado en el problema anterior, pero no es necesario expresar las magnitudes en por unidad. La figura 5.11.2.2 muestra los resultados alcanzados en la primera iteración. Cálculo de las pérdidas y las potencias en los envíos y los recibos de los tramos. Suponiendo como tensiones de arranque 33∠0o kV, para la primera iteración, las pérdidas son:

MVAjjS 022,0009,0)808,0346,0(33

1,252

221

32 +=++

=Δ −

MVAjjS 229,0098,0)212,1519,0(33

902,509,132

221

21 +=++

=Δ −

MVAjjS 335,1572,0)020,2865,0(33

631,1307,232

221

10 +=++

=Δ −

Realizando las sumas y los balances correspondientes se obtienen las potencias activas y reactivas en los envíos y los recibos de los tramos (Vea la figura 5.11.2.2) Cálculo de las tensiones en los nodos en la primera iteración.

)34

865,0·966,14602,2·679,2334

02,2·966,14865,0·679,23(341100

11

−+

+−=Δ−= − jUUU

= 34-1,492-j1,026=32,508-j1,026= 32,524∠-1,8o kV

)524,32

519,0·131,6212,1·107,13524,32

212,1·131,6519,0·107,13(524,321211

112

−+

+−=Δ−= − jUUU

= 32,524-0,438-j0,391=32,086-j0,391= 32,088∠-0,697-1,8o = 32,088∠-2,497o kV


)088,32

346,0·102,2808,0·009,5088,32

808,0·102,2346,0·009,5(088,321322

113

−+

+−=Δ−= − jUUU

= 32,088-0,107-j0,103=31,981-j0,103= 31,981∠-0,185o-2,497o= 31,981∠-2,682o kV

• • 2,102

(3) 5,00

(2) 5,009 13,009

• 13,631 6,131

(1) 23,107 13,107

34,0∠0o kV 14,966

(0) 23,679

5,902 2,100 S3 10+j7,5 8+j3,8 Figura 5.11.2.2- Monolineal con los resultados del flujo. Las potencias están en MW y Mvar

trifásicos. La figura 5.11.2.3 muestra el diagrama fasorial de las tensiones. Se puede comprobar que los sentidos de las potencias activas y reactivas son correctos.

U0=34 ∠ 0 o

U1=32,524∠-1,8o

U2=32,088 -2,497o

U3 =31,981 ∠ -2,682o

∠

Figura 5.11.2.3- Diagrama fasorial de las tensiones en los nodos. Se deja al estudiante demostrar que si se desprecia la componente transversal de las caídas de tensión, los errores son, del -0,049 % en la tensión de la barra 1, del -0,006 % en la de la barra 2 y del 0,0 % en la de la barra 3. Pérdidas totales del circuito. Las pérdidas de potencia activa son, en la primera iteración: 0,009+0,098+0,572=0,679 MW que representan el 2,86 % del total. Las pérdidas de potencia reactiva son, en la primera iteración: 0,022+0,229+1,335=1,586 Mvar que representan el 10,59 % del total. Comprobación de la convergencia. Para el nodo 1: 33-32,524 = 0,466 kV Para el nodo 2: 33-32,088 = 0,912 kV Para el nodo 3: 33-31,981 = 1,019 kV Como se ve, las diferencias son altas y hay que seguir iterando.


5.12.- Flujo de cargas en redes complejas. Introducción. Durante mucho tiempo, el problema de flujo de cargas llamó la atención de los ingenieros y los matemáticos dando como resultado una gran cantidad de publicaciones técnicas sobre el tema. Antes del año 1929, los cálculos de flujo de cargas (FC) se realizaban por métodos manuales. En 1929 comenzaron a utilizarse los llamados Analizadores de Redes que primero fueron de corriente directa (CD) y después de corriente alterna (CA). En 1954 se publicó el primer artículo que describía un método de cálculo que utilizaba la computadora digital. Un método realmente exitoso fue desarrollado por Word & Hale en 1956. La mayoría de estos algoritmos iniciales se basaban en el método de Gauss Seydel que requiere poco almacenamiento en la memoria de la computadora y converge en pocas iteraciones para sistemas eléctricos de potencia (SEP) pequeños. La lenta convergencia de este método para SEP grandes y sus frecuentes fallos de convergencia para sistemas mal condicionados (radiales, poco mallados, muy cargados, etcétera) hizo que se desarrollara el método de la matriz impedancia, (Z). Este método tiene el inconveniente de ocupar mucha memoria porque la matriz impedancia es “llena”, es decir, carece de elementos desiguales de cero. Esta nueva dificultad condujo al método de Newton Raphson que fue desarrollado primero por Van Ness y Griffin y más tarde por otros autores. Las modificaciones realizadas al método convencional de Newton Raphson lo han convertido en un método rápido y exacto pudiendo ser utilizado para problemas “on line” y para el análisis de contingencias. Modificaciones posteriores han permitido su utilización en el cálculo del llamado “Flujo de Cargas Óptimo”. Otro desarrollo de interés en el problema del flujo de cargas (FC) es el “flujo de cargas probabilístico” donde la entrada y la salida de la red se toman como variables aleatorias teniendo en cuenta que los estudios de FC son de naturaleza estocástica, es decir, que algunos de sus datos de entrada están sometidos a la incertidumbre y por lo tanto, los datos de salida se pueden expresar como un conjunto de posibles valores con su correspondiente frecuencia de ocurrencia o como una función de distribución de probabilidades. Las incertidumbres asociadas con los datos del flujo se deben a varios aspectos:

A las incertidumbres en el pronóstico de la carga debidas a factores económicos y otros. A la variabilidad de la carga, debida a las condiciones atmosféricas y a su control. A la mayor o menor disponibilidad de la generación y/o la transmisión por la salida forzada de

generadores y/o líneas. A la demora de la puesta en marcha de nuevas instalaciones de líneas y/o generadores. A los cambios bruscos en la disponibilidad y los precios del combustible. A la utilización de nuevas técnicas en la generación y en la transmisión de energía eléctrica.

Actualmente se tiende a desarrollar programas de FC interactivos que permiten al analista del sistema modificar los datos sobre el “display” de forma gráfica. Si se establece como Régimen de Operación de un SEP a aquel que define el estado de los llamados parámetros del régimen (frecuencia, tensión en módulo y ángulo, potencia activa y potencia reactiva), el más importante es el llamado Régimen Estacionario Normal (REN) que es aquel en el cual, los parámetros del régimen no varían o lo hacen en forma lenta y aperiódica. Así, la principal función de un SEP es suministrar la potencia activa (P) y reactiva (Q) que demandan las cargas dentro de este régimen.


La operación de los sistemas eléctricos de potencia (SEP) en régimen estacionario normal puede dividirse en tres áreas: a) La que realiza los análisis de flujo de cargas. b) La que define las estrategias para obtener una generación óptima. c) La que estudia el control de la operación de los SEP. La gran importancia del control de la operación de los SEP hace que se le dediquen unas líneas a su estudio. Ajuste de la potencia activa. La potencia activa tiene un carácter global, es decir, su déficit en cualquier parte del sistema puede ser suplido, al menos teóricamente, por cualquier generador sin tener en cuenta cuan lejos esté del lugar donde se haya incrementado la carga. Esta característica facilita su control. Los dispositivos que se utilizan para controlar o redistribuir el flujo de potencia activa en los SEP son cuatro: a) El ajuste de la potencia activa que entregan los generadores del SEP accionando el gobernador

de la turbina. b) El ajuste de las derivaciones, “taps”, de los transformadores cuya relación de transformación es

un número complejo (k=a+jb) y cuya función, al modificar el ángulo de fase “δ” entre la tensión primaria y secundaria, modifica el flujo de potencia activa.

c) El control del bombeo del agua de las hidroacumuladoras. d) La desconexión de las cargas, por ejemplo, mediante la descarga automática por frecuencia

(DAF). Los ajustes a) y b) son a los que primero acuden los despachadores. El ajuste c) se utiliza por razones económicas. Con él, la potencia activa se modifica de la siguiente manera:

Por la madrugada, cuando la demanda es pequeña se bombea agua hacia un almacenamiento alto, lo que provoca un consumo que permite mantener algunos generadores operando como carga base con su mayor eficiencia.

Durante la demanda máxima la energía hidráulica almacenada en el embalse se utiliza para generar potencia activa.

La opción d) es indeseable porque interrumpe el servicio a los consumidores debiendo utilizarse sólo en última instancia. Ajuste de la potencia reactiva. Los dispositivos de control que se utilizan para controlar el flujo de potencia reactiva son más numerosos que los que se utilizan para controlar la potencia activa. La potencia reactiva es un fenómeno de carácter local. La circulación de potencia reactiva por las líneas sólo provoca caídas de tensión y pérdidas de potencia activa y reactiva por lo que su compensación debe realizarse de forma local o “por zonas”.


Los aparatos más utilizados para compensar la potencia reactiva son: a) Los generadores de potencia reactiva (generadores y condensadores sincrónicos): Para

lograr esta variación, los despachadores tienen que variar la corriente del campo o de la excitatriz. Si se varía dicha corriente la tensión tiende a variar en el mismo sentido de la variación de la corriente, pero como la máquina está en paralelo con el resto de los generadores del SEP lo que se produce es una variación en la generación de la potencia reactiva. La potencia reactiva que una máquina sincrónica puede entregar (sobreexcitada) o consumir (bajo excitada) depende de su curva de cargabilidad la cual determina los valores permisibles, teniendo en cuenta la potencia activa que está generando ya que la potencia aparente (S=P+jQ) es la que determina el calentamiento de la máquina (vea las figuras 5.14.1 y 5.14.2).

b) Los condensadores estáticos conectados en paralelo: Se utilizan para inyectar potencia reactiva en las barras. Esta compensación puede realizarse por pasos o de forma continua.

c) Los reactores conectados en paralelo: Se utilizan para compensar el efecto capacitivo de las líneas muy largas a EAT o de las líneas en circuito abierto o con poca carga (efecto Ferranti) Se instalan en los extremos de la línea, en puntos intermedios o en varios puntos.

d) Los cambios de las derivaciones “taps” de los transformadores cuya relación de transformación es un número real (k=a+j0) y cuya función es cambiar el módulo del tensión y por ende el flujo de potencia reactiva en los SEP mallados.

e) Las líneas largas de alta tensión: La potencia reactiva neta de una línea de transmisión es:

( ) 6222`'

1032

−⋅⋅−+=Δ−= XIUUeBQQQ RGenNeta Mvar (5.12.1)

Donde: QGen = Potencia reactiva “generada” por la línea. ΔQ = Potencia reactiva consumida por la línea o pérdidas de Q en la línea. La expresión 5.12.1 muestra que, dependiendo del estado de carga de la línea (corriente I), y de los valores de las tensiones del envío y del recibo (Ue y UR) la línea podrá entregar, QNeta=(Qe-QR)<0, o consumir potencia reactiva, QNeta=(Qe-QR)<0) f) Los condensadores conectados en serie: Se instalan en las líneas largas compensando la

reactancia serie de la línea entre un 25 y un 70%. Su introducción modifica el flujo de potencia reactiva porque reduce las pérdidas de potencia reactiva. Sus desventajas son:

Aumentan los niveles de cortocircuito. Provocan fenómenos transitorios severos debidos a las conmutaciones. Pueden provocar sobre tensiones peligrosas durante los cortocircuitos por lo que deben ser

sacados de servicio durante los mismos. g) Los compensadores estáticos (FACT): Dependiendo del valor de la tensión en el punto de

instalación pueden entrega o consumir potencia reactiva. Su respuesta es comparativamente rápida por lo que se instalan en las barras donde la regulación de la tensión es crítica como son aquellas donde hay hornos por arco eléctrico.

h) Ubicar el “tap” de los transformadores conectados en paralelo en valores diferentes para lograr que una parte de la potencia reactiva circule dentro del lazo que forman y no salga a las líneas.


5.12.1- Características de las redes eléctricas durante el cálculo de flujo cargas. Durante los cálculos de flujo de cargas las redes eléctricas se consideran lineales, balanceadas, con parámetros concentrados y fijas. Que sean fijas quiere decir que su topología no cambia durante los cálculos, es decir si se analiza el disparo de una línea, el proceso transitorio comprendido entre antes y después de abrirse la línea no entra en el análisis, es decir, se corre un flujo con la línea cerrada y otro con la línea abierta independientes entre sí. 5.12.2- Variables utilizadas en los estudios de flujo de cargas. Para un Nodo “i” cualquiera hay que definir ocho variables: Tensiones en módulo y ángulo: Ui = Ui∠ ±δi pu. Generación del Nodo “i” ------: SGi = PGi+jQGi pu. Demanda del nodo “i” ---------: Sdi = Pdi+jQdi pu Potencia Neta o del Nodo “i” -: Si = SGi-Sdi= Pi+jQi pu De las ocho (8) variables mostradas se trabaja sólo con cuatro (4) a partir de la definición de la potencia neta o de nodo. Éstas son: El módulo y el ángulo del tensión de la barra: Ui=Ui∠δi pu y La potencia neta activa y reactiva : Si = Pi + jQi pu. 5.12.3- Clasificación de las variables de los nodos. Las variables de los nodos se clasifican en:

Variables de estado: U∠δ y f (Tensión en módulo y ángulo y la frecuencia.) Variables de perturbación: Pd+jQd (La demanda o carga de los consumidores.) Variables de control: PG + jQG (La generación.)

Por ejemplo, un sistema eléctrico de potencia está operando en régimen estacionario normal (REN) definido por sus variables de estado (Ui, i =1, 2, 3,... N nodos) (no se incluye la frecuencia porque su variación no se analiza en los estudios de flujo de cargas). Si la demanda, Sd cambia, es decir, si existe una perturbación, el estado inicial del sistema se modifica pues las tensiones cambian tanto en módulo como en ángulo. La situación se controla modificando la generación SG. 5.12.4- Representación de los elementos del SEP en los estudios de FC. A continuación se analizará como se representan circuitalmente los diferentes elementos que constituyen un sistema eléctrico de potencia en los estudios de flujo de cargas.


Generación. La generación se representa mediante la potencia activa generada (saliendo del nodo) y la potencia reactiva consumida o entregada (entrando o saliendo del nodo) Figura 5.12.4.1.

(k)P Gk

QGk

GS

Figura 5.12.4.1- Representación de la generación en los estudios de FC. Líneas de transporte de energía eléctrica (LTEE). Las líneas se representan mediante su circuito Π Nominal si tienen hasta 250 km. Π Equivalente si tienen más de 250 km y Simple Impedancia si la potencia reactiva que genera puede despreciarse frente al balance de potencia reactiva de la zona. Vea la figura 5.12.4.2. Z i Z i

••

••

••

••Neutro Neutro

U e UR

I e

I’ e I’ R U RUe2

´1Bj

Figura 5.12.4.2- Representación de las líneas de transmisión en los estudios de flujo de cargas. Cargas o demanda eléctrica. Las cargas eléctricas se representan mediante su demanda siempre saliendo del nodo si son inductivas (factor de potencia en atraso) Vea la figura 5.12.4.3.

Pdk Qdk

(k) Figura 5.12.4.3- Representación de las cargas en los estudios de flujos de carga.


Condensadores estáticos y sincrónicos. Los condensadores estáticos y sincrónicos se representan mediante una generación o un consumo de potencia reactiva. El condensador estático sólo puede entregar potencia reactiva, mientras que el condensador sincrónico es un generador sincrónico que no puede entregar potencia activa, pero puede generar o consumir potencia reactiva. Vea la figura 5.12.4.4.

Qck

(k)

Qck

(k)

Condensador Estático Condensador Sincrónico

Figura 5.12.4.4- Representación de los condensadores estáticos y sincrónicos en los estudios de

flujos de carga. Resto de un sistema eléctrico de potencia o una parte de él (23). En los estudios de planeamiento, expansión y operación de los SEP, algunas partes de la red pueden ser representadas por los equivalentes externos porque, especialmente en tiempo real, se carece de la información necesaria para modelarlos adecuadamente lográndose una reducción de las dimensiones del problema que puede ser de flujo de cargas, cortocircuito, etcétera. Los análisis de contingencias en las líneas de transmisión y en los transformadores; la ubicación óptima de los bancos de condensadores y el planeamiento de la expansión de las redes de transmisión son problemas de análisis de redes que exigen una secuencia de solución de FC. Por ejemplo, durante los análisis de contingencias, para cada una de las fallas consideradas posibles, es necesaria la determinación de una solución de FC. Cuando se necesita, como en estos casos, una solución repetida de casos semejantes, una reducción de las dimensiones de la red utilizando equivalentes puede traer ventajas computacionales significativas. En estos casos el procedimiento consiste en partir de una solución inicial para la red completa (caso básico) y obtener una red reducida (red de interés más el equivalente externo) y analizar una secuencia de casos utilizando la red reducida. La figura 5.12.4.5 representa un SEP subdividido en tres partes: La red interna, (la que se quiere analizar), la frontera y la red externa. El área de interés es la red interna junto con la frontera. El objetivo básico de la red externa equivalente es el de simular sus reacciones cuando en la red ocurren alteraciones de interés provocadas por una contingencia en las líneas, los transformadores o los generadores. Para muchas perturbaciones, las reacciones de la red externa pueden ser insignificantes y en esos casos, la red externa puede representarse por una carga o una generación. Para otras perturbaciones, especialmente las que ocurren en las proximidades de la frontera, las reacciones de la red externas son importantes y exigen la utilización de equivalentes. Entre ellos están:


El método llamado Equivalente de Ward que puede ser lineal o no lineal Obtención del equivalente por el método de eliminación de Gauss. Método REI (“Radial Equivalent Independent”).

Red Interna

Red Externa

Frontera

Área de Interés

Figura 5.12.4.5- Descomposición de una red en red interna, frontera y red externa. Transformadores. Los transformadores que se instalan en los SEP son de dos tipos (12).

Los que modifican el ángulo de fase (δ) entre las tensiones del primario y el secundario. En ellos, la relación de transformación es un número complejo (k=a+jb) y como varían el llamado ángulo de potencia (δ) permiten variar el flujo de potencia activa como ya se explicó.

Los que modifican el módulo del tensión por uno de los lados del transformador. En este caso, la relación de transformación es un número real (k=a+j0) y se representan mediante el circuito Π que se muestra a continuación en la figura 5.12.4.6.

• • X12

(1) (2)

(2) (1)

ΔPT+jΔQT

(a-1)/a·Y12 (1-a)/a2·Y12

Y12/a Figura 5.12.4.6- Representación de un transformador con derivaciones fijas. En la figura 5.12.4.6:

:.1

1212 pu

jXY = Donde la reactancia del transformador es imaginaria pura.

X12: Reactancia de filtración del transformador en por unidad.


.100

(%)""1 puTapa += Si la derivación “Tap” se expresó como (± 2, 3, etc.) %.

.100

(%)"" puTapa = Si la derivación “Tap” se expresó como (98, 102 etc.) %.

ΔPT y ΔQT Son las pérdidas de potencia activa y reactiva en vacío del transformador que se

representan como una carga fuera del circuito equivalente del transformador. NOTEN que para los “taps” del 0% o del 100%, a=1 y el circuito se convierte en un circuito simple

impedancia como es usual para un transformador cuando se desprecia la reactancia de magnetización.

Al representar los transformadores en los estudios de flujos de cargas, se desprecia el desbalance introducido por los grupos de conexión en las conexiones ΔY porque si la red es radial no influye y si es mallada, los transformadores se conectan de forma tal que no haya un desfasaje neto en ningún lazo como se muestra en la figura 5.12.4.7.

GS

-30o

30o

0o

ΔY

YΔ YY

13,8 kV

230 kV

24 kV

Figura 5.12.4.7- Conexión de los transformadores en un lazo para compensar el desfasaje

introducido por cada transformador.


5.12.5- Clasificación de los nodos en los estudios de flujo de carga. Para los estudios de flujo de cargas existen tres tipos de nodos: 1- Nodos de Carga o Nodos PQ. Son aquellos nodos en los que se conoce la generación (SG) y la demanda (Sd) por lo que se conoce la potencia neta o de nodo que puede ser menor, mayor o igual a cero. Dada su definición, cualquier nodo puede ser de carga. Para ellos: Datos: La generación y la demanda (SG y Sd). Incógnitas: El módulo y el ángulo de las tensiones de los nodos (U∠δ) 2- Nodos de Tensión Controlada o PV. Antes de definir las características de los nodos de tensión controlada, debe explicarse como se controla la tensión en un nodo mediante una fuente de potencia reactiva controlable, es decir, un generador o un condensador sincrónico o un SVC (“Static Var Compensator). La figura 5.12.5.1 muestra dos nodos de una red eléctrica. En uno de los nodos hay un condensador sincrónico. La expresión para la tensión U2, despreciando la parte imaginaria o componente transversal de la caída de tensión porque influye poco en el módulo de U2 por estar a 900 es:

( cQQUXUU −−= 1

1

1212 ) (5.12.5.1)

En la expresión (5.12.5.1), si Qc aumenta, U2 aumenta porque (Q1-Qc) disminuye, es decir, se resta un valor menor de U1. Nótese que U2 aumenta aunque Qc se haga mayor que Q1 porque el signo cambia. Lo anterior indica que, una fuente de potencia reactiva controlable puede utilizarse para mantener la tensión de un nodo constante cuando la carga varía.

U 1 (Constante)

JX 12 (R12 ≈ 0)

(Q 1- Q c )

U2 QC

(1) (2)

Fuente de Q.

Figura 5.12.5.1- Enlace entre dos nodos de una red eléctrica con una fuente de potencia reactiva

controlable.


Datos: La demanda (Sd), la potencia activa generada (PG), las potencias reactivas máxima y mínima (QGmax y QGmin) porque las fuentes de potencia reactiva no son de capacidad infinita y el módulo de la tensión especificada en el nodo (UEsp) pues el analista del sistema fija que tensión desea tener en el nodo. Incógnitas: El ángulo de la tensión especificada en el nodo (δ ) y la potencia reactiva que tiene que generar la fuente de potencia reactiva del nodo (QG) para mantener el módulo de la tensión especificada. Para que un nodo pueda ser PV su potencia reactiva neta tiene que ser >0 y la potencia reactiva generada QG tiene que cumplir con la restricción

GmaxGGmin QQQ ≤≤ (5.12.5.2) 3- Nodo de Balance (“Slack Bus”). En los estudios de flujo de cargas en los sistemas eléctricos de potencia complejos, se define un nodo llamado de balance por dos razones: 1.- En cualquier sistema eléctrico se cumple la ecuación del balance de las potencias activas y

reactivas: ∑ ∑ ∑Δ+= SSS dG (5.12.5.3) Cuando se planifica el cubrimiento de la curva de carga diaria a partir de su pronóstico, es decir, cuando se le asigna a cada unidad generadora su plan de generación, se desconocen las pérdidas de potencia activa, reactiva y la potencia reactiva generada por las líneas por lo que cualquier solución tiene que dejar un nodo “suelto” (“slack”), al que no se le programa generación para que cubra las pérdidas y alguna generación (SG) que se haya dejado de asignar al resto de las estaciones generadoras del sistema. El nodo de balance es matemático no tiene que existir físicamente en el SEP analizado. 2.- Al nodo de balance se le especifica un valor de tensión tanto en módulo como en ángulo: UNB =1∠ 0o pu. Al fijarse la tensión de uno de los nodos, se elimina una de las ecuaciones evitándose la posible indeterminación de la solución matemática en redes poco malladas o radiales. En los estudios de FC existe un solo nodo de balance al que por comodidad para la formulación matemática se le asignará el número 1. Para que un nodo pueda ser escogido como de balance, su potencia neta tiene que ser mayor que cero pues si no fuera así, no tendría disponibilidad para entregar, por lo menos, las pérdidas de potencia activa y reactiva. Datos: La potencia demandada (Sd = Pd+jQd), la tensión en módulo y ángulo cero. (U1= U1∠0) y los límites de las potencias activa (Pmax) y reactiva (Qmax y Qmin) Incógnitas: Las incógnitas del nodo de balance son la generación de potencia activa y reactiva.


La tabla 5.12.5.1 es un resumen con las características de los tres tipos de nodos estudiados.

Nodo Tipo. Datos: Incógnitas PQ Sd SG U∠δ PV Sd PG UEspecificado Qmax Qmin QG δ Balance Sd U∠ 0 Pmax Qmax Qmin SG

Tabla 5.12.5.1.- Características de los nodos de un sistema eléctrico de potencias. 5.12.6- Formulación matemática del problema de flujo de cargas.

Y34Y14

I4

U4

U3U2U1∠0

(4)

(3) I3(2) Y23

I2(1) Y12

I1

Figura 5.12.6.1- Sistema eléctrico de potencia sencillo para ejemplificar la formulación de las

ecuaciones del flujo de cargas en redes complejas. El método más conveniente para resolver flujos de carga (FC) en los SEP es el método de las corrientes de nodo o nodal porque en él es más fácil simular los elementos que constituyen las redes eléctricas y además, el número de nodos no varía si lo hace el número de líneas en operación.


Para la red de 4 nodos de la figura 5.12.6.1, la ecuación de las corrientes nodales o netas es: (I) = (YB)(U) (5.12.6.1) B

Donde: (YB): Matriz admitancia de barra en pu. B

(U): Vector de las tensiones al neutro de cada nodo en pu. (I): Vector de las corrientes llamadas netas, nodales o inyectadas en los nodos en pu. El sentido de las corrientes de nodales puede variar en dependencia del signo de la potencia neta del nodo:

Si la potencia neta es positiva, porque la generación es mayor que la carga, la corriente es inyectada en el nodo.

Por el contrario, si la potencia neta es negativa, porque la demanda es mayor que la generación, la corriente sale del nodo.

Desarrollando la ecuación (5.12.6.1) se obtiene:

.

4

3

2

1

44

3433

242322

14131211

4

3

2

1

pu

UUUU

YYYYYYYYYY

IIII

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

(5.12.6.2)

Donde: Yii= Admitancia propia del nodo “i”= Suma de las admitancias conectadas al nodo “i”. Yik= Admitancia transferencial entre los nodos “i” y “k”=-yik= admitancia mutua física con el signo

cambiado

:1ik

ik Zy = Inverso de la impedancia serie de la línea en pu.

La matriz (YB) se representó triangular superior porque es simétrica al pertenecer a una red lineal, bilateral y pasiva.

B

Como la tensión del nodo de balance es conocida en módulo y ángulo, no entra en la solución matemática, es decir, para él no se escriben ecuaciones. Comenzando por el nodo 2 su corriente neta será, multiplicando la fila 2 por la columna 2, elemento a elemento:

.4243232221212 puUYUYUYUYI +++= (5.12.6.3) Donde, en este caso particular, todas las admitancias mutuas son desiguales de cero, pero pueden ser nulas si no hay un enlace eléctrico (líneas) entre los nodos.


La corriente neta se puede calcular también mediante la expresión:

.2

22 pu

USI ∗

∗

= (5.12.6.4)

Es decir, la conjugada de la potencia neta del nodo 2 entre la conjugada de la tensión del nodo. Sustituyendo (5.12.6.4) en (5.12.6.3) y despejando la tensión del nodo 2:

)(1424323121

2

2

222 UYUYUY

US

YU −−−= ∗

∗

(5.12.6.5)

La ecuación (5.12.6.5) tiene que ser resuelta por métodos numéricos e iterativos por tres razones: a) No es lineal dado que S = f (U2) b) Tiene dos funciones distintas de la misma tensión, U2 y U*

2. c) Hay que calcular cada tensión en función de otras desconocidas. 5.12.7- Método de Gauss Seydel (GS) El método de Gauss Seydel es un método iterativo propuesto en 1874 por Seydel, de la Academia de ciencias de Munich, para resolver sistemas de ecuaciones no lineales y por ende se puede aplicar al cálculo de flujos de carga en las llamadas Redes Complejas. Como para cada tipo de nodo (PQ, PV y Balance) las incógnitas y los datos son diferentes, su tratamiento matemático es diferente en cualquier método de solución. A continuación se verá como se tratan los tres tipos de nodos en este método. Nodo de Balance. La tabla 5.12.5.1 muestra que el módulo y el ángulo (δ=0) de la tensión son datos, por lo que no es necesario escribir su ecuación. Nodos de Carga (PQ) La tabla 5.12.5.1 muestra que las incógnitas de los nodos de carga son el módulo y el ángulo de la tensión del nodo. Dado que cada tensión es función del resto de las otras tensiones: Uk= f(U1, U2, Uk-1,···UN) (5.12.7.1) Y sólo se conoce la tensión del nodo de balance, para iniciar la solución, hay que suponer un juego de tensiones iniciales llamadas tensiones de arranque de la solución que en este método es usual suponerlas iguales a 1∠0 pu “arranque plano de tensiones” (“flat voltage start”). Así: U0

i= 1∠0 pu i = 2, 3, N≠1 pu. Donde “N” es el número de nodos del SEP y el superíndice (0) es el número de la iteración.


Rescribiendo la ecuación (5.12.6.5) para la primera iteración, (superíndice igual a 1):

( ) .1 0424

03231210

2

*2

22

12 puUYUYUY

U

SY

U⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−= ∗ (5.12.7.2)

( ) .1 0434

12321310

3

*3

33

13 puUYUYUY

U

SY

U⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−= ∗ (5.12.7.3)

( ) .1 1343

12421410

4

*4

44

14 puUYUYUY

U

SY

U⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−= ∗ (5.12.7.4)

Debe notarse que en cada iteración las tensiones se han ido refrescando (“updating”), es decir se sustituyen por las nuevas tensiones acabadas de calcular. Esta es la diferencia entre los métodos de Gauss y de Gauss Seydel. Las expresiones anteriores son evaluables porque se conocen las admitancias de la matriz (YB), se conoce la potencia neta del nodo porque para los nodos PQ se conocen la generación y la demanda y se conocen las tensiones de los nodos porque la del nodo de balance es conocida (especificada) y las otras son las tensiones de arranque o las recién calculadas. La expresión general es:

B

( ) ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−= ∑ ∑

−

= +=

−∗−

1

1 1

1

1

* k

p

N

kp

ipkp

ipkpi

k

k

kk

ik UYUY

U

SYIU (5.12.7.5)

Para la segunda iteración, la tensión del nodo 2 es:

( ) .1 1424

13231211

2

*2

22

22 puUYUYUY

U

SY

U⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−= ∗ (5.12.7.6)

Se deja al lector escribir las expresiones de las demás tensiones para la iteración 2 y de todas las tensiones para la iteración 9. ¿Cuándo se llega a la solución? Para conocer cuando se llega a la solución, en cada iteración “i” se comprueba la expresión:

)5,4,3(1 10 óik

ik dadaToleranciaUU −− =≤− (5.12.7.7)

k=1, 2, 3,…N nodos.

Y se itera mientras uno cualquiera de ellos no cumpla con la tolerancia dada.


Nodos de Tensión Controlada (PV) La tabla 5.12.5.1 muestra que las incógnitas de estos nodos son el ángulo de la tensión especificada en el nodo y la potencia reactiva que tiene que generar dicho nodo para mantener el módulo de la tensión del nodo en el valor especificado. Si se supone que el nodo 4 de la figura 5.12.5.1 puede ser PV, los pasos para resolver ese tipo de nodo en el método de Gauss Seydel son: 1. Se calcula la potencia reactiva neta del nodo. Para el nodo 4, en la primera iteración:

*14

044

14 ))(( IUdeimaginariaParteQ Esp δ∠= pu. (5.12.7.8)

Donde: UEsp

4: Módulo de la tensión especificada por el analista del sistema en el nodo PV. δ0

4= Ángulo de la tensión especificada que como se desconoce, se toma el de la iteración anterior (iteración i-1). En este caso es cero por ser la primera.

La corriente neta del nodo 4 en la primera iteración es:

( ) [ ] .04444

1343

1242141

14 puUYUYUYUYI Esp ∗∗

∠+++= δ (5.12.7.9) 2. Se calcula el ángulo de potencia de la tensión del nodo 4 (δ4) La expresión para la tensión del nodo 4 en la iteración 1 es:

[ ]111

34312421410

44

144

44

144

1 jFEUYUYUYU

jQPY

UEsp

Esp +=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−

∠

−=∠ ∗

δδ (5.12.7.10)

Donde, E y F son las partes real e imaginaria de la tensión calculada en la iteración “1”. Así:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= −

1

111

4 FEtgδ Es el ángulo buscado. (5.12.7.11)

3. Se comprueba si la potencia reactiva generada es permisible, es decir, después de obtenida la

convergencia, para que el nodo pueda ser PV, la potencia reactiva generada tiene que cumplir con las restricciones:

( )

44 max44min QQdQQ fI ≤−≤ Donde “If” es la iteración final (5.12.7.12)


Si se sobrepasa alguno de los límites dados, el nodo no podrá ser PV porque la tensión especificada es muy alta o muy baja. Por ejemplo:

Si la potencia reactiva generada es mayor que la máxima, es porque la tensión especificada es muy alta para la potencia reactiva que puede entregar la fuente de potencia reactiva del nodo.

Si la potencia reactiva generada es menor que la mínima, es porque la tensión especificada es muy baja para la potencia reactiva que puede consumir la fuente de potencia reactiva del nodo.

Nodo de balance (“slack bus”). La tabla 5.12.5.1 mostró que el resultado del nodo de balance es la generación. Después de alcanzarse la convergencia para la iteración final (If) la potencia neta del nodo de balance, el nodo 1 en este caso, es:

[ .4143132121111*111 puUYUYUYUYUIUS fIfIfI ∗

+++== ] (5.12.7.13) La generación es: SG1= S1+ Sd1= PG1 + jQG1 pu. (5.12.7.14) Para que el nodo escogido pueda ser de balance debe cumplir con las siguientes restricciones: PG1≤ Pmax

Qmin≤ QG1 ≤ Qmax Con este último resultado se completan los resultados primarios del flujo de cargas. Otros resultados importantes en los estudios de Flujo de Cargas. La solución primaria del algoritmo mostrado son las tensiones de los nodos en módulo y ángulo. A partir de ellos se calculan otros resultados de interés. Por ejemplo, para un enlace (i-k) entre dos nodos cualesquiera de un SEP que tiene una impedancia de enlace Zik, tensiones de nodo Ui ∠δi y Uk∠δk, las potencias de los nodos “i” y “k” son:

Si = Ui*Iik = .pujQPZ

UUU iiik

kii −=

− (5.12.7.15)

Sk = Uk*Iki = .pujQP

ZUUU kk

ik

ikk −=

− (5.12.7.16)

Las pérdidas de potencia activa y reactiva se calculan mediante la expresión:

.puQjPSSS ikikkiik Δ+Δ=+=Δ (5.12.7.17) La expresión (5.12.7.17) se cumple por el sentido supuesto para las corrientes y/o las potencias (Figura 5.12.7.2). Si las corrientes se calculan manteniendo el sentido envío-recibo en las dos cabezas, las pérdidas se calculan restando las potencias de los nodos (Si – Sk). La figura (5.12.7.2) muestra la ubicación de las potencias calculadas.


Z ik Δ S ik (i) (k)

P ik

Q ik

P ki

Q ki

U i

U k

Neutro.

Figura 5.12.7.2- Enlace entre dos nodos de un SEP con los principales resultados de un algoritmo de

flujo de cargas. 5.12.7.1- Convergencia y aceleración de la convergencia del método de Gauss Seydel. Figura 5.12.7.1.1- Oscilaciones del método de Gauss Seydel hacia la convergencia.

Solución

No. de Iteraciones

/ U k /

/U0k/

El método de Gauss Seydel tiene una convergencia lenta. La figura 5.12.7.1.1 muestra que la solución se alcanza después de varias oscilaciones del módulo de la tensión alrededor de la solución. Para que se comprendan mejor estas características, se modeló en el programa FLUCA (29) un sistema en anillo, de tres nodos, a 220 kV y se construyó la tabla 5.12.7.1.1 donde se muestran las oscilaciones de las tensiones en los nodos 1 y 2, ambos PQ, antes de converger en la octava iteración. Note que en las primeras iteraciones las tensiones disminuyen, luego aumentan y luego, para el número de cifras utilizado en la impresión, se mantienen constantes. El sistema se modeló con un factor de aceleración de 1,2 y convergió en 8 iteraciones porque las demandas fueron del orden de los 200 MW y es conocido que al método de Gauss Seydel los sistemas muy cargados convergen más lentamente.


Módulo de la tensión del nodo en por unidad (230 kV base)

Iteración No.

Nodo 2 (PQ) Nodo 3 (PQ) 1 1,045286 1,0387650 2 1,041226 1,0363061 3 1,040116 1,0358610 4 1,039991 1,0358430 5 1,040003 1,0358560 6 1,040010 1,0358600 7 1,040012 1,0358600 8 1,040012 1,0358600

Tabla 5.12.7.1.1- Oscilaciones del módulo de las tensiones de los nodos en el método de Gauss

Seydel. El nodo 1 es el de balance con una tensión de 1,043 pu. Un proceso convergente como éste puede ser acelerado. El método más común se basa en una extrapolación lineal de los resultados alcanzados en cada iteración aplicando la expresión:

( )1−−+= ik

ik

ikAceleradok

i UUUU α (5.12.7.1.1) Donde α es el llamado factor de aceleración. Pueden aplicarse factores de aceleración diferentes a la parte real y a la parte imaginaria de la tensión, pero en la práctica se utiliza un valor único para ambas partes. El paréntesis de la expresión (5.12.7.1.1) es la tendencia de la oscilación en la iteración “i”. La misma se incrementa según α y se suma o resta a la solución según su signo. La figura 5.12.7.1.2 muestra que el factor de aceleración puede perjudicar si no se escoge adecuadamente.

No. de Iteraciones.

No Converge.

α óptimo. α

Figura 5.12.7.1.2- Efecto del valor del coeficiente de aceleración sobre la convergencia.


La tabla 5.12.7.2.2 muestra la influencia del factor de aceleración en el número de iteraciones para obtener la convergencia en el Lazo de la Habana con 17 barras y 44 líneas. El mejor factor es 1,60. Su valor depende de las características del SEP analizado y sólo puede determinarse experimentalmente. Casas (24) indica que su valor varía entre 1,4 y 1,6, mientras que para Kundur (28) su valor está entre 1,4 y 1,7.

Factor de aceleración

Número de iteraciones

Factor de aceleración

Número de iteraciones

1,20 73 1,45 40 1,25 66 1,50 34 1,30 59 1,55 28 1,35 52 1,60 23 1,40 46 1,65 27

Tabla 5.12.7.2.2- Influencia del factor de aceleración ∝ en el número de iteraciones. 5.12.7.2- Factores que influyen en la convergencia del método de Gauss Seydel. Una de las principales desventajas del método de Gauss Seydel es que su convergencia es afectada por varios factores, entre ellos están: 1- Las características del sistema eléctrico analizado con respecto al número de nodos y su

topología: Por ejemplo, si el número de nodos aumenta, el número de iteraciones aumenta. Por otro lado, su convergencia, para los sistemas radiales es mala y buena para los mallados.

2- El valor de las tensiones de arranque: Influye, aunque lo hace satisfactoriamente con 1∠0o para todos los nodos.

3- El factor de aceleración: La experiencia muestra que debe incrementarse con el número de nodos del SEP analizado. Por ejemplo, de 2 a 8 nodos se recomienda 1,2. Con más de 15, el mejor es 1,6.

4- El valor de la tolerancia supuesta para las tensiones: Si la tolerancia disminuye, el número de iteraciones aumenta.

5- La posición geográfica del nodo de balance: Conviene que esté hacia el centro geográfico del sistema eléctrico. La tabla 5.12.7.2.3 muestra como varía el número de iteraciones con la posición geográfica del nodo de balance en el Lazo de la Habana.

Nodo. No. de iteraciones. Nodo. No. de iteraciones. Tallapiedra. 23 Mariel 110. 327 Regla. 26 Diezmero. 58 CTE-110. 230 Melones. 23 Mariel 220. 263 Guanabo. 222

Tabla 5.12.7.2.3- Variación del número de iteraciones con la posición geográfica del nodo de

balance en el Lazo de la Habana.


5.12.8- Método de Newton Raphson. El método de Newton Raphson (NR) para la solución de problemas de flujo de cargas en SEP posee varias características que lo han convertido en el más utilizado por su gran facilidad para converger independientemente de las características del SEP modelado. La base matemática del método de Newton Raphson para resolver sistemas de ecuaciones no lineales reales es el desarrollo en serie de Taylor de funciones de varias variables donde se desprecian las derivadas de orden superior. Tensiones de arranque o de inicio de la solución. Como se recordará, un método iterativo de solución parte de suponer valores iniciales para ciertas variables, en este caso dichas variables son las tensiones nodales. Stott (25) plantea que las características de la convergencia del método de NR hacen que haya que ser muy cuidadoso a la hora de escoger las tensiones iniciales. Con la figura 5.12.8.1 Stott da una idea del porque: Para la tensión de arranque U0

I, se alcanza la convergencia con un valor de tensión demasiado bajo. Sin embargo, con la tensión de arranque U0

II, se alcanza un resultado correcto. Figura 5.12.8.1- Representación gráfica de la convergencia del método de NR a dos soluciones, una

buena y otra mala según el valor de arranque escogido.

•

•

•

•

U Mala. U Buena.

U 0 I

U 0 II

U

Soluciones

Esta característica ha hecho que se utilicen otros métodos para escoger las tensiones iniciales de la solución.

Uno de ellos es utilizar una o do iteraciones del método de Gauss Seydel. El otro método es correr un flujo de cargas de corriente directa (CD)


A pesar de lo anteriormente expuesto, hay experiencias como la del Dr. M. Barroso que ha obtenido buenos resultados arrancando la solución con 1∠0 para todos los nodos. Este resultado no debe ser generalizado pues está en función del mejor o peor condicionamiento del SEP analizado. 5.12.8.1- Flujo de cargas de CD. Los resultados del flujo de cargas de CD son el módulo y el ángulo de las tensiones y las transferencias de potencia activa. El flujo de CD se utiliza:

Para realizar los análisis de contingencias es decir, valorar la seguridad de la operación de los SEP en régimen estacionario normal y postavería detectando si alguna línea viola el régimen de transferencia establecido.

Para calcular las tensiones de arranque del método de NR porque es más rápido que el Gauss Seydel.

En el despacho económico de cargas porque éste sólo tiene que ver con la potencia activa. En los estudios de desarrollo perspectivo, pues en ellos se desconocen las potencias reactivas y

sólo se necesitan las transferencias de potencia activa por las líneas. Representación de los elementos del SEP en los flujos de CD. Líneas de transmisión: Se representan mediante la parte predominante de la impedancia serie, es decir, la reactancia. Cargas: Se representan por la potencia activa. Ventajas y desventajas del flujo de CD. La ventaja del flujo de cargas de CD es su rapidez debida a lo sencillo que es su método de solución. Su desventaja es que su exactitud es mala debido al método de representación de los elementos del SEP.


5.12.8.2- Formulación matemática del método de NR. Se tiene un sistema de ecuaciones no lineales con “N” incógnitas dado por las ecuaciones: F1(x1, x2,···xN) = b1 (5.12.8.2.1) F2(x1, x2,···xN) = b2 (5.12.8.2.2) · FN(x1, x2,···xN) = bN (5.12.8.2.3) Si la solución se “arranca” con valores estimados o de arranque para las “N” incógnitas:

002

01 ,, Nxxx ⋅⋅⋅ (5.12.8.2.4)

Donde el superíndice “0” indica que son los valores de arranque estimados y además, Δx1, Δx2 ···,ΔxN (5.12.8.2.5) Son las correcciones o ajustes que necesitan los valores de arranque estimados para obtener la solución exacta, entonces, las ecuaciones (5.12.8.2.1) a (5.12.8.2.3) pueden reescribirse como:

10

2021

011 ),,,( bxxxxxxF NN =Δ+⋅⋅⋅Δ+Δ+ (5.12.8.2.6)

20

2021

012 ),,,( bxxxxxxF NN =Δ+⋅⋅⋅Δ+Δ+ (5.12.8.2.7)

· NNNN bxxxxxxF =Δ+⋅⋅⋅Δ+Δ+ ),,,( 0

2021

01 (5.12.8.2.8)

El desarrollo en serie de Taylor de la ecuación enésima del sistema de ecuaciones (5.12.8.2.6) a (5.12.8.2.8) es:

),,,( 02

021

01 NNi xxxxxxF Δ+⋅⋅⋅Δ+Δ+

iNN

iiiNi bx

xFx

xFx

xFxxxF =Δ

∂∂

+⋅⋅⋅+Δ∂∂

+Δ∂∂

+⋅⋅⋅= 0202

101

002

01 )()()(),,,( (5.12.8.2.9)

Donde los términos de un orden superior al primero fueron despreciados sobre la base de que los valores de arranque estimados fueron buenos, es decir, que están próximos a la solución. El nuevo sistema de ecuaciones lineales (28) resultante es, en forma matricial:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ⋅

ΔΔ

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

⋅⋅⋅∂∂

∂∂

⋅⋅⋅⋅∂∂

⋅⋅⋅∂∂

∂∂

∂∂

⋅⋅⋅∂∂

∂∂

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅−⋅

⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−

N

N

NNN

N

NNN

N

N

x

xx

xF

xF

xF

xF

xF

xF

xNF

xF

xF

xxxFb

xxxFbxxxFb

2

1

002

01

02

02

20

1

2

01

02

10

1

1

002

01

002

0122

002

0111

)()()(

)()()(

)()()(

),,,(

),,,(),,,(

(5.12.8.2.10)


En notación simbólica: (ΔF) = (J)·(ΔX) (5.12.8.2.11) Donde (J) es la matriz jacobiana. Si los valores supuestos para iniciar la solución iterativa fueran exactos, los errores ΔF y las correcciones Δx serian nulas, pero en la práctica son valores finitos. Las ecuaciones (5.12.8.2.10) y (5.12.8.2.11) dan una relación lineal (28) entre los errores ΔF y las correcciones Δx a través de la matriz jacobiana del sistema de ecuaciones simultáneas. La solución de la ecuación (5.12.8.2.10) (valores de las correcciones Δx) puede obtenerse aplicando cualquier método de solución para sistemas de ecuaciones lineales. Uno de los más utilizados es el método de Newton Raphson propuesto por Raphson (1648-1715). Los nuevos valores de xi se calculan mediante la expresión

iii xxx Δ+= 01 (5.12.8.2.12) Este proceso se repite hasta que el error ΔFi sea menor o igual que una tolerancia especificada. La convergencia de las iteraciones es cuadrática y la matriz jacobiana tiene que ser recalculada en cada iteración porque sus valores cambian Aplicación del método de NR a la solución de las ecuaciones de Flujo de Cargas. La mayoría de los programas de flujo de cargas utilizan las ecuaciones de potencia en forma polar (25)(26)(28) y por ello se desarrollarán así en este texto. La ecuación de la potencia neta inyectada en un nodo “k” de n SEP de “N” nodos es:

.* pujQPIUS kkkkk +== (5.12.8.2.13) Otra forma de expresar la corriente inyectada en el nodo “k” es:

∑=

=+⋅⋅⋅++=N

iikiNkNkkk UYUYUYUYI

12211 (5.12.8.2.14)

Sustituyendo (5.12.8.2.14) en (5.12.8.2.13): *

1)(∑

=

⋅=+N

iikikkk UYUjQP (5.12.8.2.15)

Con la nomenclatura usual para los elementos de la matriz admitancia de barra (YB): B

∑=

⋅−⋅=+N

iikikikkk UjBGUjQP

1

*)( (5.12.8.2.16)

∑=

−⋅⋅=+N

ikikiikkk jBGUUjQP

1

* )( (5.12.8.2.17)


Donde kikii jBGyU −* son las conjugadas de Ui y Yki respectivamente. El producto de las dos tensiones en la ecuación (5.12.8.2.17) puede ser expresado como:

ik ji

jkiikkik UUUUUU δδ εεδδ −⋅=−∠⋅∠=⋅ *

(5.12.8.2.18) )(cos)(kikiik

jik jsenUUUU ik δδε δδ +⋅=⋅= −

Donde: Uk y Ui: Módulos de las tensiones de los nodos “k” e “i” respectivamente en por unidad. δk y δi: Ángulos de las tensiones de los nodos “k” e “i” respectivamente en grados. δki =δk - δi: Resta de los ángulos de las tensiones en los nodos “k” e “i”. Como el desarrollo en serie de Taylor es para números reales, hay que separar las partes real e imaginaria de la ecuación (5.12.8.2.17). Así:

∑=

⋅⋅+⋅⋅=N

ikiikikiikikk senUBUGUP

1)cos( δδ (5.12.8.2.19)

∑=

⋅⋅−⋅⋅=N

ikiikikiikikk UBsenUGUQ

1)cos( δδ (5.12.8.2.20)

Las ecuaciones (5.12.8.2.19) y (5.12.8.2.20) muestran que las potencias activas y reactivas netas de cada nodo son función de los módulos y de los ángulos de las tensiones en todos los nodos del SEP. Aplicación a los nodos de carga (PQ). En los nodos de carga se conocen o se especifican la generación y la demanda y por ende, se conocen las potencias netas o de nodo: Sk = SGk-Sdk = Pk+jQk (5.12.8.2.21) Sustituyendo estas nuevas variables las ecuaciones del flujo de cargas serán:

EspNN PUUP 11,11 ),,,( =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ δδ (5.12.8.2.22)

· Esp

NNNN PUUP =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ),,,( 1,1 δδ (5.12.8.2.23) Esp

NN QUUQ 11,11 ),,,( =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ δδ (5.12.8.2.24) ·

EspNNNN QUUQ =⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ),,,( 1,1 δδ (5.12.8.2.25)


Donde el superíndice “Esp” quiere decir que dichas potencias han sido especificadas, es decir, que se conocen. Siguiendo el mismo procedimiento ya descrito para la aplicación del método de NR, la ecuación (5.12.8.2.10) se reescribe como:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

Δ⋅⋅

ΔΔ⋅⋅

Δ

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂⋅⋅⋅

∂∂

∂∂⋅⋅⋅

∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂∂

⋅⋅⋅∂∂

∂∂

⋅⋅⋅∂∂

∂∂

⋅⋅⋅∂∂

∂∂⋅⋅⋅

∂∂

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅∂∂

⋅⋅⋅∂∂

∂∂

⋅⋅⋅∂∂

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅⋅−

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−

N

N

N

NN

N

NN

NN

N

NN

N

NN

NN

NNNEspN

NNEsp

NNNEsp

N

NNEsp

U

U

UQ

UQQQ

UQ

UQQQ

UP

UPPP

UP

UPPP

UUQQ

UUQQUUPP

UUPP

1

1

11

1

1

11

1

1

11

1

1

11

1

1

001

001

001

00111

001

001

001

00111

),,,,,(

),,,,,(),,,,,(

),,,,,(

δ

δ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδδδ

δδ

(5.12.8.2.26)

En notación simbólica:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

UJJJJ

UUQQUPP

QP δδ

δ

δ

43

21 (5.12.8.2.27)

Donde:

J1, J2, J3, y J4 =( )( )∂∂ son las matrices Jacobianas del sistema de ecuaciones anterior que muestran

como varían la potencia activa y reactiva cuando varían el módulo y el ángulo de la tensión.

( ) ( ):QyP ΔΔ Vectores columna que representan las diferencias entre la potencia neta que existe realmente en cada nodo (y que como se vio es dato para los nodos PQ) y la que se calcula con la tensión de cada iteración. Estas diferencias se denominan “power mistmatch”.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) *][ ii

dG UYUSSQjP ∑−−=Δ+Δ (5.12.8.2.28) Donde los paréntesis indican que se están representando vectores y matrices y: ( ) ( ):dG SS − Potencia neta real pues se conoce para los nodos PQ. ( ) ( )( ) :][ *ii UYU ∑ Potencia neta calculada en cada iteración a partir de las tensiones.


¿Cómo se obtiene la convergencia? En el método de Newton Raphson la convergencia se obtiene a partir de las “power mistmatch” en lugar de con las tensiones como en el método de Gauss Seydel. Ejemplo. (ΔP) ≤ Tolerancia dada. (ΔQ) ≤ Tolerancia dada. Este método hace que la convergencia se alcance en muchas menos iteraciones que en el Gauss Seydel permitiendo, además, valores menores de tolerancia porque la referencia es una potencia neta real obtenida de los datos. Cálculo de las tensiones de los nodos. Si se expresa (5.12.8.2.27) en notación simbólica se obtiene: (ΔS)= (J)(ΔU) (5.12.8.2.29) Como para los nodos PQ las incógnitas son las tensiones, (ΔU)= (J)-1(ΔS) (5.12.8.2.30) Es decir, en cada iteración hay que invertir la matriz Jacobiana lo que consume un tiempo de ejecución relativamente alto. Esta característica llevó a los ingenieros a desarrollar dos Newton Raphson más rápidos y con menor consumo de memoria: Newton Raphson desacoplado (NRD) (26). Como ya se explicó, la potencia activa varía fundamentalmente con el valor del ángulo de potencia δ mientras que la potencia reactiva lo hace con los módulos de las tensiones en los nodos. Por estas razones, es posible despreciar los elementos mutuos de la ecuación (5.12.8.2.27), (J2) y (J3), porque influyen poco en los valores de (ΔP) y (ΔQ). Así, dicha ecuación puede rescribirse como: ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

UJJ

QP δ

4

1

00

(5.12.8.2.31)

Donde (J1) y (J4) son las matrices Jacobianas que dan la variación de la potencia activa P con el ángulo δ y de la potencia reactiva Q con el módulo de las tensiones de nodo. Esta nueva formulación se conoce con el nombre de “Newton Raphson Desacoplado” (NRD) porque faltan los elementos mutuos de la matriz Jacobiana siendo más rápido y menos consumidor de memoria que el NR acoplado porque calcula e invierte sólo dos matrices Jacobianas.


Limitaciones del NR desacoplado. La solución de este nuevo sistema de ecuaciones converge siempre que en las líneas se cumpla la relación X>>R lo que es cierto en los SEP de 110 kV o más teniendo problemas de convergencia en las redes a 33 kV y menores, donde X≅R. Newton Raphson Desacoplado Rápido (NRDR). El método de Newton Raphson Desacoplado Rápido (NRDR) conocido en inglés como “Fast Decoupled Load Flow” (FDLF) es una aproximación del método de NR. En el método de NR la matriz jacobiana se necesita para calcular los vectores (ΔU) y (Δδ), por consiguiente, la matriz jacobiana influye en la convergencia de la solución iterativa, pero no afecta directamente a la solución final. Las aproximaciones que se le hacen al NRDR resultan, generalmente, en un pequeño aumento del número de iteraciones, sin embargo, se reduce sustancialmente el trabajo computacional del algoritmo puesto que la matriz jacobiana no se calcula en cada iteración. Adicionalmente, se reducen los requerimientos de memoria. La convergencia del NRDR es lineal en lugar de cuadrática como la del método de NR. El NRDR es menos sensible que el NR a los valores supuestos para las tensiones de arranque y sigue siendo no adecuado para sistemas donde X>>R. Para la mayoría de las condiciones de los SEP, el NRDR ofrece soluciones rápidas con una buena exactitud. Sin embargo, debe utilizarse el NR acoplado normal en aquellos SEP con grandes ángulos de potencia en las líneas y métodos de control que influyan fuertemente en los flujos de las potencias activa y reactiva por las mismas. Análisis de sensibilidad utilizando la matriz jacobiana. La expresión (5.12.8.2.27) puede ser rescrita de la siguiente forma:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ΔΔ

)()(

)()(

][QP

UJ

δ (5.12.8.2.32)

La misma muestra que es fácil calcular los pequeños cambios del ángulo “δ” y del módulo de la tensión “U” cuando ocurren cambios pequeños en las potencias activas y reactivas (P y Q). Este tipo de información es útil para estimar los cambios esperados en las tensiones debidos a la compensación de la potencia reactiva. La matriz jacobiana también suministra una información muy útil sobre la estabilidad de la tensión. 5.13- Comparación entre los métodos de Newton Raphson y de Gauss Seydel (28). El método de Gauss Seydel es el más antiguo de los métodos de solución de flujo de cargas. Es un método simple, confiable y, generalmente, tolera las malas condiciones de las tensiones y las potencias reactivas. Adicionalmente, tiene pocos requerimientos de memoria. La figura 5.13.1 muestra esta última condición. Sin embargo, el tiempo de ejecución aumenta rápidamente cuando lo hace el tamaño del SEP. Este método converge lentamente y presenta problemas de convergencia cuando el SEP tiene grandes transferencias de potencia activa (vea la figura 5.13.2).


El método de NR tiene una razón de convergencia muy buena porque la misma es cuadrática. El tiempo de ejecución aumenta linealmente con el tamaño del SEP. La tabla 5.13.1 muestra la influencia del número de nodos del SEP en ambos métodos. Es evidente la poca influencia que esta condición tiene en el NR y su gran influencia en el GS.

No de Nodos.

Almacenamiento.

NR

GS

Figura 5.13.1- Comparaciones entre el GS y el NR con relación al almacenamiento necesario.

Número de Iteraciones. Número deNodos. GS NR

14 24 30 33 57 59 92 80 113 92

4

Tabla 5.13.1 Influencia del número de nodos en el número de iteraciones de los métodos de Gauss

Seydel y Newton Raphson. El método de NR tiene problemas con la convergencia cuando los valores supuestos para las tensiones de arranque son muy diferentes que los valores reales, por ende, como ya se indicó, no es adecuado para el llamado “arranque plano de tensiones” (“flat voltage start”), es decir, el que utiliza tensiones de arranque iguales a 1∠0o para todos los nodos. Como se vio en el epígrafe 5.12.8, esta condición desfavorable hace que se tomen las medidas ya mencionadas para mejorar las tensiones de arranque (flujo de CD o una o dos iteraciones de un GS). Sin embargo, una vez que la solución de las tensiones está próxima a la solución real, la convergencia es muy rápida. Las características de convergencia del método de NR complementan las del método de GS (28). Por consiguiente, varios programas de flujo de cagas tienen ambas técnicas de solución. Como ya se indicó, la solución puede iniciarse con un GS y luego cambiar al NR para obtener una buena solución. Así, el método de NR es muy adecuado para aquellas aplicaciones que comprendan SEP grandes que requieran una solución muy exacta y por ende, en cuanto a la confiabilidad de los resultados el método de NR es el más confiable pues si se utiliza una buena técnica para escoger las tensiones de arranque, la incertidumbre con respecto a la solución se elimina casi totalmente.


El GS es adecuado para analizar la operación de SEP desarrollados, bien interconectados, sin embargo, no es adecuado para ser utilizado por proyectistas y consultantes que analizan continuamente sistemas con situaciones nuevas donde se comprueban múltiples variantes de REN y RPA que pueden conducir a una falta de convergencia o peor aún, a la convergencia hacia resultados erróneos.

GS

No de Nodos.Sistemas Pequeños.

Tiempo de Solución.

NR

Figura 5.13.2- Comparación entre las velocidades de solución del GS y el NR según Stott. Si se comparan entre sí los métodos de GS y NR con respecto a la versatilidad de la solución, como este aspecto está relacionado con la incorporación de la solución de un flujo de cargas a un problema de otro tipo como por ejemplo, el control en tiempo real (“on line control”), los problemas de optimización, la estabilidad transitoria, el despacho económico de cargas, los análisis de sensibilidad, etcétera, el NR es más versátil porque su solución matemática es formal y porque las matrices Jacobianas dan una información útil sobre la variación incremental de las variables del sistema. Resumiendo, puede decirse que para la mayoría de los propósitos, el método de NR tiene grandes ventajas sobre el de GS principalmente en la confiabilidad de la solución, la velocidad de la convergencia y la versatilidad. 5.14- Aptitud de los generadores sincrónicos para entregar o consumir potencia reactiva. Uno de los aspectos que deben tenerse en cuenta para hacer el cubrimiento de las curvas de carga tanto activa como reactiva mediante la especificación de la generación de las máquinas sincrónicas de un SEP es su aptitud (“capability”) para entregar potencia activa y para entregar o consumir potencia reactiva. Los generadores sincrónicos son nominados en función de la generación máxima en MVA que pueden entregar continuamente sin sobrecalentarse, a un factor de potencia determinado (generalmente entre 0,85 y 0,90 en atraso). La generación de potencia activa está limitada por la potencia del motor primario y la de potencia reactiva por tres aspectos que se estudiarán someramente a continuación (28).


Límite de la corriente de armadura (Ia) El calor debido a las pérdidas de Joule provocadas por la corriente de armadura (I2

a⋅Ra) debe ser eliminado para limitar el aumento de la temperatura de los conductores del devanado de armadura. Así, uno de los aspectos que limita la capacidad de los generadores sincrónicos es la corriente máxima que la armadura puede conducir sin exceder los límites de calentamiento dados. La potencia compleja de salida de un generador sincrónico es: S=P+jQ= Ut⋅I*

t= Ut⋅It(cosϕ+jsenϕ) (5.14.1) Donde: ϕ: Ángulo del factor de potencia. Ut: Tensión Terminal del generador. It: Corriente terminal del generador. La expresión (5.14.1) representa un círculo de radio S en un plano P vs. Q operando en los cuadrantes 1 y 4 (vea la figura 5.14.1)

SNom

ϕNom

P

Q

Sobre Excitado

Bajo Excitado

Figura 5.14.1- Límite del calentamiento para la corriente de armadura. Límite de la corriente de campo (If) La corriente del campo magnético de las máquinas sincrónicas impone un segundo límite a la operación de los generadores sincrónicos debido al calentamiento que resulta de las pérdidas de Joule I2

f⋅Rf. Vea la figura 5.14.2. Limite térmico con el generador bajo excitado. El tercer límite que se impone a la operación de los generadores sincrónicos se debe al calor que se genera en los extremos de los devanados de la armadura. Este calor afecta la capacidad del generador cuando opera bajo excitado, es decir consumiendo potencia reactiva con factor de potencia en adelanto.


El flujo de filtración que existe en los extremos de los devanados de la armadura entra y sale perpendicularmente a las láminas del estator. Esto hace que las corrientes parásitas (“eddy currents”) concentren el calor en esta zona. Cuando la máquina está sobre excitada, la alta magnitud de la corriente de campo mantiene saturado el hierro de esta zona y por lo tanto, el flujo de filtración es pequeño. Sin embargo, cuando el generador trabaja bajo excitado, la corriente del campo es baja, el hierro no está saturado y el flujo de filtración en los extremos terminales de la armadura es alto. Además, en la condición de excitación baja, el flujo asociado con la corriente de armadura se suma al asociado con la corriente de campo y por consiguiente, el calentamiento adicional que se produce, puede limitar severamente la salida de los generadores, sobre todo los de rotor cilíndrico.

•

•

• •

A

B

D C

Q (pu.)

P (pu.) 1 (pu.)

Cos ϕ=0,60

Cos ϕ=0,85 (nominal)

Cos ϕ=0,95

Cos ϕ=0,95 Cos ϕ=0,85 Cos ϕ=0,60

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

-0,2

-0,4

-0,6

Sobre excitada.

Bajo excitada.

Figura 5.14.2- Curva de aptitud (“capability”) de un generador de 400 MVA a tensión de armadura

nominal. La figura 5.14.2 muestra las zonas de operación de estos tres límites para un generador sincrónico de 400 MVA, 22 kV, factor de potencia 0,85 en atraso para una tensión de armadura de 1,0 pu.(28) . El segmento AB representa el límite de temperatura para la corriente del campo. El segmento BC, el límite de temperatura para la corriente de armadura y el segmento CD, el límite para los extremos de los devanados de armadura cuando la máquina, bajo excitada, consume potencia reactiva. Se muestran también, las rectas de operación a factor de potencia constante. 5.15- Base de datos y resultados de los programas FLUCA y FLUJOPC. La gran complejidad y el desarrollo de los programas para calcular flujos de cargas en los SEP complejos hacen que sea muy difícil que un ingeniero tenga que hacer un programa de este tipo. Lo más común es que sea usuario de uno ya hecho y por ende, tiene que conocer como se le dan los datos, cuales son y sobre todo, como se interpretan correctamente los resultados.


Se analizarán las particularidades de los programas docentes FLUCA y FLUJOPC porque son los que se utilizan en los laboratorios de la asignatura Sistemas Eléctricos I y en el proyecto de Curso de Ingeniería Eléctrica IV respectivamente, pero puede utilizarse cualquier otro programa. Para simplificar la explicación, se utilizará el sistema de tres (3) nodos y tres (3) líneas mostrado en la figura 5.15.1 cuyos datos se dan en la misma figura y en la tabla 5.15.1. Base de datos. Los programas de flujo de cargas que se explicarán tienen sus datos divididos en dos grupos: Datos de las Líneas y Datos de los Nodos. Datos de las líneas. Se pide el número total de líneas, considerando los transformadores como si lo fueran: 3 en este caso. La tabla 5.15.2 muestra como se solicitan dichos datos (vea la figura 7.14.1). UNO DOS

TRES

(1) (2)

(3)

GS GS

GS

200+j85 MVA 90+j40 MVA

240+j180 MVA

P. Base: 100 MVA T. Base: 230 kV

Z12=0,00815+j0,0471 pu.

B´12 = j0,0089

Z23=0,00980+j0,0565 pu. B´

23 = j0,0107 B´13 = j0,0050

Z13=0,00450+j0,02505 pu.

Figura 5.15.1- Monolineal del SEP utilizado para ejemplificar la entrada de los datos y los

resultados de los programas de flujo de cargas.


Disponibilidad de la Generación. Carga en la barra o nodo. Nodo

Número. P (MW) Q (Mvar) Cos ϕ P (MW) Q (Mvar) Cos ϕ 1 225 139 0,85 200 85 0,92 2 200 124 0,85 90 40 0,91 3 240 148 0,85 240 180 0,80

Total: 665 411 ----- 530 305 ----- Tabla 5.15.1- Datos de disponibilidad y carga del SEP tomado como ejemplo.

Números Nombres Parámetros en Por Unidad. Línea No. Envío Recibo Envío Recibo R X B´

“Tap” en porcentaje

1 1 2 UNO DOS 0,00815 0,00890 0,0089 0,0 2 1 3 UNO TRES 0,00980 0,01070 0,0107 0,0 3 2 3 DOS TRES 0,00450 0,02505 0,0050 0,0

Tabla 5.15.2- Datos de las líneas para los programas FLUCA y FLUJOPC. En este caso no hay transformadores. Si lo hubiera, la resistencia y la susceptancia serían nulas y el programa pediría el valor de la derivación (“tap”) que puede ser cero, positiva o negativa según se desee. Datos de los nodos. Se pide el número total de nodos y la potencia base: 3 nodos y 100 MVA en este ejemplo. Para dar correctamente los datos de nodos que faltan, es necesario realizar dos análisis previos:

Comprobar si es posible servir toda la carga sin tener que dar apagones. En este caso sí es posible porque la disponibilidad de la generación es mayor que la demanda y

Calcular las potencias netas de los nodos para saber cuales nodos pueden ser de tensión controlada (PV) y de balance (B). La tabla 5.15.3 muestra los resultados.

Generación. Demanda. Potencia Neta. Nodo

No. P (MW) Q (Mvar) P (MW) Q (Mvar) P (MW) Q (Mvar) El nodo puede ser:

1 225 139 200 85 25 54 PQ, PV B 2 200 124 90 40 110 84 PQ, PV B 3 240 148 240 180 0 -32 PQ

Tabla 5.15.3- Potencias activas y reactivas netas de los nodos del SEP tomado como ejemplo. A continuación, se darán los datos de los nodos confeccionando un plan de generación que, en este caso, se hará tratando de reducir al máximo los flujos de potencia activa y reactiva por las líneas para reducir las pérdidas y mantener baja la generación del nodo de Balance. En los Despachos de Carga, el cubrimiento de las curvas de carga de potencia activa y reactiva se hace con algoritmos que lo optimizan teniendo en cuenta tanto los aspectos económicos como los ecológicos.


Para el nodo de balance, el programa solicita las potencias activas y reactiva máximas, la reactiva mínima (consumo) (vea el epígrafe 5.15) y la tensión especificada (235 kV en este caso) Se escogió el nodo 2 como nodo de balance por ser el de mayor potencia neta. Las tablas 5.15.5 y 5.15.6 muestran los resultados para los nodos y las transferencias por las líneas. La figura 5.15.2 muestra los resultados que el programa entrega para cada línea, de una forma más didáctica para que se visualicen los sentidos de los flujos y la tabla 5.15.4 muestra los datos de los nodos.

Carga. Generación. Nodo No.

Nombre P (MW) Q (Mvar) P (MW) Q (Mvar)

Tensión Base (kV)

Nodo Tipo.

1 UNO 200 85 225 139 230 PQ 2 DOS 90 40 ---- ---- 230 Bal. 3 TRES 240 180 240 148 230 PQ

Tabla 5.15.4- datos de los nodos para los programas FLUCA y FLUJOPC. Convergió en 8 iteraciones. Tolerancia: 0,0000010 Ficheros: CLASE y CLASE Factor de aceleración: 1,2 Potencia base; 100 MVA

Generación Carga Tensiones. Módulo y ángulo. Nombre Nodo. MW Mvar MW Mvar P. U. kV Grados

Nodo Tipo.

UNO 225 139 200 85 1,036 238,29 0,278 PQ DOS 65,157 16,613 90 40 1,022 235,00 0,000 BAL TRES 240 148 240 180 1,021 234,79 0,138 PQ Totales: 530,157 303,31 530 305 Ángulo máximo: 0,278o Nodo UNO

Pérdidas de: P. Activa = 0,157 MW (0,03 %) P. Reactiva = -1,69 Mvar (-0,56 %) Menor Tensión: Nodo TRES (234,79 kV) Mayor Tensión: Nodo UNO (238,29 kV) Tabla 5.15.5- Resultados de los nodos.

Nodos de: P. Activa (MW) P. Reactiva (Mvar) P. Aparente (MVA) Envío Recibo Envío Recibo Envío Recibo Envío Recibo

“Tap” (%)

UNO DOS 15,867 15,785 28,270 28,739 32,418 32,788 0,0 UNO TRES 9,133 9,063 25,730 26,454 27,303 27,963 0,0 DOS TRES -9,058 -9,063 5,052 5,547 10,371 10,625 0,0

Línea con mayor transferencia en el envío: (UNO) – (DOS) con 32,418 MVA Tabla 5.15.6- Resultados de las transferencias por las líneas. Finalmente, cualquiera de los dos programas, muestran para cada una de las líneas, los sentidos de las potencias activas y reactivas, las caídas de tensión en porcentaje, las pérdidas de potencia activa y reactiva, las cargas y las tensiones del envío y el recibo. La figura 5.15.2 muestra dichos resultados para la línea UNO – DOS.


[UNO] [DOS]

Carga Carga 200 MW 85 Mvar 90 MW 40 Mvar

238,29 kV 0,278o 235,00 kV 0,000o

ΔU = 1,431 % Cra. 230 kV

ΔQ = -0,469 Mvar

ΔP = 0,082 MW/0,52 % 15,867 MW 15,785 MW

28,270 Mvar 28,739 Mvar Figura 5.15.2- Resultados de la línea UNO – DOS que se muestran para todas las líneas. La figura 5.15.3 muestra el monolineal del SEP dado con todos sus resultados para facilitar las comprobaciones pertinentes. UNO (PQ) DOS (BAL)

TRES (PQ)

GS GS

GS

200+j85 90+j40

240+j180

15,867 MW

28,270 Mvar

15,785 MW

28,739 Mvar

225 65,157

139 16,313

25,730 9,133 5,052 9,058

9,063 5,547 9,063 26,454

148 240

U1=238,29 ∠0,278o U2=235,00 ∠0o

U3=234,79 ∠0,138o

Figura 5.15.3- Resultados de los programas FLUCA y FLUJOPC.


Comprobaciones de los resultados. Cada vez que se resuelve un caso de flujo de cargas hay que comprobar si los resultados obtenidos son correctos. Debe recordarse que el análisis humano es independiente de la confianza que se tenga en el algoritmo utilizado pues pueden existir errores en los datos que invaliden los resultados alcanzados. Sentidos de las potencias activas y reactivas.

Todas las potencias activas circulan del mayor al menor ángulo: Línea 1-2, de 0,278o a 0o. Línea 1-3, de 0,278o a 0,138o y Línea 2-3 de 0,138o a 0o.

Todas las potencias reactivas circulan del mayor al menor módulo de las tensiones: Línea 1-2, de 238,29 a 235,00 kV. Línea 1-3, de 238,29 a 234,79 kV y Línea 2-3 de 235,00o a 234,79 kV.

Los balances de potencia activa y reactiva en cada nodo son:

Nodo 1: 225-15,867-9,133-200= 0 MW 139-28,270-25,730-85= 0 Mvar Nodo 2: 65,157+15,785+9,058-90= 0 MW 16,313+28,739-5,052-40= 0 Mvar Nodo 3: 240+9,063-9,063-240= 0 MW 148+26,454+5,547-180= 0 Mvar

Debe recordarse que:

La potencia activa siempre tiene el mismo sentido en las dos cabezas de la línea. Con el sentido de la potencia reactiva puede ocurrir cualquier cosa, sobre todo cuando los

módulos de las tensiones del envío y del recibo son aproximadamente iguales. Siempre hay pérdidas de potencia activa (ΔP > 0) Con respecto a la potencia reactiva, pueden haber pérdidas o ganancias dependiendo de si las

líneas están transmitiendo por encima o por debajo de su potencia natural respectivamente. En el ejemplo mostrado, dadas las pequeñas transferencias por las líneas y teniendo en cuenta que la potencia natural de una línea a 220 kV es de unos 127 MW, todas las líneas están entregando más potencia reactiva capacitiva que la inductiva que consumen y por eso hay una ganancia de potencia reactiva de 1,69 Mvar.

5.16- Resumen del capítulo 5. Este capítulo es uno de los más amplios pues abarca la representación y el análisis en estado estacionario de las líneas de transporte de energía eléctrica y de los sistemas eléctricos trifásicos de potencia, balanceados, radiales y complejos. Lo expuesto se considera suficiente para una asignatura de pregrado pero si se desea ampliar hay suficiente bibliografía para ser consultada y ampliar los conocimientos al respecto.


5.17- Problemas del Capítulo 5 1. Diga mediante que tipo de circuito representaría una línea de transmisión con las características

siguientes: a) 80 km y 110 kV b) 240 km y 220 kV c) 700 km y 800 kV d) 5 km y 34,5 kV

Justifique sus respuestas. 2. Dibuje el diagrama fasorial cualitativo, pero con proporciones lógicas, de las tensiones y las

corrientes de una línea de transporte de energía eléctrica si se conocen las del recibo y tienen las características siguientes:

a) 125 km, 220 kV. b) 10 km, 34,5 kV.

3. Ídem si se conocen la tensión y la corriente del envío. 4. Determine cuál es el incremento en porcentaje de la potencia natural y de la CET de una línea de

transmisión a 220 kV, tipo portal, si su conductor, de 300 mm2 es sustituido por 4 conductores de 70 mm2 formando un cuadrado de 0,4 m de lado. Datos: Dab= 5 m, Dbc= 5 m y Dca=10 m. Altura promedio de los conductores 10 m. Suponga que la línea está transpuesta y que carece de cables protectores.

Datos de los conductores: AC300/39: r = 0,109 Ω/km, Diámetro = 24 mm y RMG = 9,74 mm AC70/11: r = 0,557 Ω/km, Diámetro = 11,4 mm y RMG = 1,56 mm 5- Diga cuál es el signo de la potencia reactiva neta de una línea con 35 MW de potencia natural si

la potencia del recibo es: 20, 40 y 35 MW. 6. Escoja las bases de potencia y tensión en la figura.

13,8/121 kV

125 MVA

121/230/34,5 kV

100 MVA

p s

t

Figura del problema 5- SEP sencillo para escoger las magnitudes bases. 7- Obtenga la reactancia de un transformador de 40 MVA, 230/34,5 kV cuya reactancia de

filtración es del 10 % en las bases de 125 MVA y 220 kV en el primario. 8- Durante el análisis de un sistema desbalanceado cuya tensión base es 115 kV de línea, se

encontró que la tensión de la barra 6 era de 0,982 pu. Obtenga su valor en kilovolt. 9- Obtenga el circuito equivalente de un transformador de tres devanados con los datos siguientes:

115/34,5/13,2 kV, 25/20/5 MVA todas en el orden primario, secundario, terciario. Xps= j9 % Xpt= j11 % Xst= j8 % 10- Obtenga el circuito equivalente del problema 9 en las bases de 100 MVA y 110 kV en el

primario. 11- Escriba la expresión de la tensión del nodo 6 en una red de 8 nodos en la iteración 9 por el

método de Gauss Seydel si el nodo es PQ. Explique que significa cada término.


12- Escriba las ecuaciones de los tres pasos para resolver el nodo 5 que es PV, en la iteración 8, de una red de 7 nodos, por el método de Gauss Seydel si el nodo de balance es el 4.

13- Para el circuito de la figura, calcule las tensiones de las barras en por unidad y kilovolt y las caídas de tensión en porcentaje de la tensión nominal. La tensión de operación de la barra 1 es 121 kV.

(1) (2) (3)

j0,0132 j0,0132

0,022+j0,089

j0,105

j0,105 110/34,5 kV

0,667 pu

1,111 pu

0,143 pu

Figura para el problema 13- Todas las magnitudes están en por unidad en las bases de 63 MVA y

110 kV en la barra 1. 14- Resuelva el problema 13 si se instala otra línea idéntica entre las barras 1 y 2. 15- Resuelva el problema 13 si uno de los dos transformadores sale de servicio. 16- Calcule las pérdidas de potencia activa en MW y porcentaje para los problemas 13, 14 y 15. 17- Diga que haría para comprobar si son correctos los resultados de los parámetros de una línea de

transporte de energía eléctrica obtenidos en por unidad. 18- Un SEP mallado con tensiones entre 33 y 220 kV tiene 40 barras y 90 líneas. De los cinco

métodos de solución posibles y enumerados a continuación. a) Gauss Seydel con un factor de aceleración de 1,6. b) Newton Raphson acoplado. c) Newton Raphson desacoplado. d) Newton Raphson acoplado rápido. e) Newton Raphson desacoplado rápido.

Diga cuál o cuáles pueden ser utilizados para resolver un flujo de cargas. Explique cuál de los que sirven es el más rápido y por que.


Anexo III: Método Por Unidad.

Cuando se realizan cálculos en sistemas con más de un nivel de tensión, es necesario expresar todas las magnitudes del circuito en por unidad. Para expresar una magnitud cualquiera en por unidad se utiliza la expresión:

UnidadPorBaseMagnitud

alMagnitudpuenMagnitud Re. = (III-1)

Las magnitudes bases son cuatro: Potencia Base (PB) en MVA, Tensión Base (UB BB) kilovolt, Corriente Base (IB) en Ampere e Impedancia Base (ZB BB) en ohm. Como todas estas magnitudes están relacionadas entre sí, lo que se hace es seleccionar la potencia base, que es única y una tensión base (generalmente igual a la tensión nominal de alguno de los aparatos eléctricos del sistema, generadores o transformadores).Dicha tensión base cambiará cada vez que se atraviese el primario, el secundario o el terciario de un transformador. A partir de los valores seleccionados se calculan las impedancias base y las corrientes bases. Así:

Impedancia Base: Ω=)(

)(2

MVAPkVUZ

B

BB (III-2)

Corriente Base: .)(3

10)( 3

AmperekVU

MVAPIB

BB = (III-3)

Es importante destacar que aunque las magnitudes bases son tensiones al neutro y potencias monofásicas, en los sistemas trifásicos balanceados pueden utilizarse los tensiones de línea y las potencias trifásicas. También, en la expresión de la impedancia base, si la tensión está en kV y la potencia en MVA el resultado estará en ohm, mientras que en la de la corriente base, para que de ampere, la potencia tiene que estar en MVA y la tensión en kV. Cambios de base a las magnitudes en por unidad. Los fabricantes de los aparatos eléctricos dan sus datos de chapa en porcentaje referidos a sus bases de potencia y tensión nominales. Para realizar cálculos de cortocircuitos en un sistema eléctrico, las magnitudes deben estar en pu referidas a las mismas bases de potencia y tensión, por lo que a veces es necesario cambiarle las bases de potencia y/o tensión a alguno o algunos de los aparatos eléctricos de la red. Para ello, se utiliza la expresión:

.2

UnidadPorUbUb

PbPb

ZpuZpun

d

d

ndn ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (III-4)

Su demostración es muy sencilla y deben recordarla por si se les olvida o tienen dudas en cuanto a su forma.


dB

dB

al

nB

nB

al

d

n

PU

ZPU

Z

ZZ

2Re

2Re

1/0

1/0

)(

)(

Ω

Ω

= (III-5)

Donde los subíndices “n” y “d” significan “nueva” y “dada” respectivamente. En un transformador, la reactancia en por unidad es la misma referida al primario o al secundario. Demostración: La impedancia del primario de un transformador puede obtenerse a partir de la del secundario a partir de la expresión:

Ω⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⋅= s

s

pspp Z

UU

ZkZ2

2 (III-6)

La impedancia del primario en por unidad, sobre la base de lo valores nominales del primario del transformador, es:

TrNom

p

p

rioB

pp

SU

ZZZ

Z 21

1/0)()( Ω

=Ω

=−

− (III-7)

La impedancia del secundario en por unidad, sobre la base de lo valores nominales del secundario del transformador, es:

TrNom

S

S

rioB

SS

SU

ZZZZ 2

21/0

)()( Ω=

Ω=

−− (III-8)

Sustituyendo la impedancia del primario dada por (III-7) en (III-6):

TrNom

S

S

TrNom

p

SS

p

p

SU

Z

SU

ZUU

Z 22

2

1/0)(

)(Ω

=Ω⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=− Lqqd (III-9)

Que como se ve, es idéntica a la expresión (III-8)


Ejemplo Numérico. Exprese en por unidad las magnitudes de un generador, un transformador y una línea, en las bases de 100 MVA y 10,3 kV en el generador. Datos: Generador: 60 MW factor de potencia 0,8, 10,3 kV, X´d = 9 % Transformador: 80 MVA 10,3/121 kV, XT = 10,5%. Línea: Z = 5 + j20 Ω B´= j0,0006 S. Solución. Debido a las bases de potencia y tensión dadas, solamente hay que cambiarle las bases de potencia al generador y al transformador.

Generador: .12,075

10009,0

8,060

100100

%9' puX d =⋅=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Transformador: .3131,080

100100

5,10 puX T =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Línea: Como los datos de la línea están en unidades absolutas, hay que llevarlas a pu en las bases

dadas. Así:

.1366,00341,041,146205

100121

2052 pujjjZ L +=

+=

+=

puZ

Z

B b

b

088,041,1460006,00006,010006,0

=⋅=⋅==

Transformadores de tres devanados.

•

•

•

•

•

• •

•

Xp

XtUs

Ut

Up

Neutro.

Xs

p s

t

Figura III-1- Transformador de tres devanados y red de secuencia positiva y negativa.


Al igual que en el caso de los transformadores de dos devanados, los de tres son circuitos estáticos por lo que sus redes de secuencia (+) y (-) son idénticas e independientes del tipo de conexión, como se muestra en la figura III-1. Los valores de las impedancias transferenciales del primario al secundario (Xps), del primario al terciario (Xpt) y del secundario al terciario (Xst) se obtienen de las pruebas de cortocircuito del transformador y a partir de ellas se pueden obtener las reactancias del primario (Xp), del secundario (Xs) y del terciario (Xt). La figura III-2 muestra las conexiones del primario, el secundario y el terciario que se establecen para medir los datos de chapa de los transformadores de tres devanados. De ellas se obtiene que: Xps = Xp + Xs: Se mide por el primario con el secundario en cortocircuito y el terciario abierto. Xpt = Xp + Xt: Se mide por el primario con el terciario en cortocircuito y el secundario abierto. Xst = Xs + Xt: Se mide por el secundario con el terciario en cortocircuito y el primario abierto.

• •

p s

t

p

•

•

t

s

•

•

t

s p

Figura III-2- Pruebas de cortocircuito a un transformador de tres devanados. A partir del sistema de ecuaciones obtenido de las pruebas señaladas en la figura III-2 se obtienen los valores de las reactancias del primario (Xp), el secundario (Xs) y el terciario (Xt). Así: Xp= ½ (Xps + Xpt - Xst) (III-10) Xs =½ (Xps + Xst - Xpt) (III-11) Xt= ½ (Xpt + Xst - Xps) (III-12) Los valores de las reactancias Xp, Xs y Xt deben expresarse en pu. En el caso de los transformadores de dos devanados los MVA del primario y del secundario son iguales, pero en los transformadores de tres devanados pueden ser diferentes. Se recomienda que sean cuidadosos y analicen bien por donde se midieron las reactancias transferenciales a la hora de expresarlas en por unidad. Ejemplo. Para un transformador de tres devanados de 121/230/34,5 y 64, 50 y 20 MVA para el primario, el secundario y el terciario respectivamente, las reactancias que se miden por el primario (Xpt y Xps) están en la base de 64 MVA, pero la que se mide por el secundario (Xst) está en la base de 50 MVA. Así, para calcular las reactancias, todas tienen que estar en 64 o en 50 MVA. Recuerden que con las tensiones no hay cambios porque, como ya se demostró, los valores de las reactancias del transformador en pu son independientes de él.


Ventajas del método Por Unidad. La representación de las magnitudes de los SEP en por unidad, tiene cuatro ventajas que han hecho que se imponga sobre el método de la Base Común de Tensión. 5. Los fabricantes de los aparatos eléctricos dan sus parámetros en por unidad. 6. Los aparatos eléctricos con características similares, tienen sus parámetros en por unidad de

valores similares. Por ejemplo, los transformadores de 110/34,5 kV tienen una reactancia del 0,105 pu para capacidades entre 25 y 100 MVA.

7. La reactancia en por unidad de los transformadores los generadores y los motores son independientes de que estén conectados en Y o Δ.

8. La reactancia de los transformadores en pu es la misma si se refiere al primario que si se refiere al secundario. Ejemplo.

Un transformador de 80 MVA, 110/34,5 kV que tiene una reactancia de filtración Xtp=19,216 Ω referida al primario y otra Xts=1,562 Ω referida al secundario tendrá en por unidad:

Referida al primario: .105,0

80110

881,152 puXt p ==

Referida al secundario: .105,0

805,34

562,12 puXts == Lqqd.

Problema propuesto. Obtenga y dibuje el circuito equivalente del transformador de tres devanados de la figura III-1 en las bases de 25 MVA y 33 kV en el secundario. Datos: Xps = 11 %, Xpt = 32 % y Xst = 21 % Tensiones: 6,0/34,5/2,4 kV En el orden primario, secundario y terciario. Potencias: 15/10/7,5 kV Ídem.

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S I Capítulo 5 Representación de las LTEE (2).pdf