SỞ GIÁO D ỤC & Đ Ạ ƯỚ TR ƯỜ Ộ Ổ TOÁN · sỞ giÁo d Ục & ĐÀo t Ạo bÌnh ph ƯỚc tr ƯỜng thpt l Ộc thÁi

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC TRƯỜNG THPT LỘC THÁI

TỔ TOÁN

TÀI LI ỆU ÔN TẬP HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN

Họ và tên học sinh: .................................................... Lớp:............................................................................

Lộc Thái, tháng 11 năm 2015.

Tài liệu ôn tập học kì 1 Năm học: 2015 - 2016

Trang 1

CẤU TRÚC ĐỀ KIỂM TRA H ỌC KÌ 1 NĂM HỌC: 2015 – 2016

Câu 1: (1đ) Tìm tập xác định, tính chất của hàm số. Câu 2: (2đ)

- Lập bảng biến thiên và vẽ parabol - Xác định hàm số bậc hai, tìm giao điểm của đường thẳng và

parabol Câu 3: (3đ)

- Giải phương trình quy về phương trình bậc hai có chứa căn - Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu - Giải hệ phương trình bậc nhất gồm 2 hoặc 3 ẩn (không được

dùng MTBT) Câu 4: (3đ)

- Các phép toán về vectơ, tọa độ của vectơ - Tính giá trị lượng giác theo giá trị hàm số lượng giác cho trước - Biểu thức tọa độ của tích vô hướng hai vectơ, hệ thức lượng

trong tam giác. Câu 5: (1đ) Chứng minh bất đẳng thức. Chỉ sử dụng 2 phương pháp:

- Sử dụng bất đẳng thức Cauchy - Biến đổi bất đẳng thức tương đương.


Trang 2

PHẦN I HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

I. Ôn tập về hàm số Dạng: Tìm tập xác định của hàm số

1 11) : 0 2) : 0 3) 0DK A A DK A A

A A→ ≠ → ≥ → >

Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số

a) y=f(x)= 3x − b) y=3

2x + c) y= 1 1x x+ + −

Dạng: Sự biến thiên của hàm số Cho f(x) xác định trên khoảng K. Khi đó: f đồng biến ( tăng) trên K ⇔∀x1;x2∈K ; x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2) f nghịch biến ( giảm) trên K ⇔∀x1;x2∈K ; x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2) Bảng biến thiên: là bảng tổng kết chiều biến thiên của hàm số (xem SGK) Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

2 2) 2 3 ) 3 4 ) 2 5 ) 2 3a y x b y x c y x x d y x x= − = − = − + = − + − 1. Dạng. Tính chẵn lẻ của hàm số + f gọi là chẵn trên D nếu ∀∀∀∀x∈∈∈∈D ⇒⇒⇒⇒ −−−−x ∈∈∈∈D và f(−−−−x) = f(x), đồ thị

nhận Oy làm trục đối xứng. + f gọi là lẻ trên D nếu ∀∀∀∀x∈∈∈∈D ⇒⇒⇒⇒ −−−−x ∈∈∈∈D và f(−−−−x) = −−−− f(x), đồ thị

nhận O làm tâm đối xứng. Ví dụ: Xét tính chẵn lẻ của hàm số

a) 4 22 3y x x= − + b) 35 2y x x= − 2) 3 1c y x x= − + BÀI TẬP Bài 1.1 Tìm tập xác định của các hàm số sau

a) y= 3x3− x+2 b) 3 12 2x

yx

−=− +

c) y= 3 2x −

d) y= 2 1 1x x− + − − e) y=22 1

2 1

x

x x

+− +

f) y=1

1xx

+ + g) y= 2 1x + h) 2

1

4 5y

x x=

+ +

KQ:


Trang 3

a) R b) { }\ 1R c) 2

;3 +∞

d/ ∅ e) { }\ 1R

f) [ ) { }1; \ 0− +∞ g) R h)R

Bài 1.2. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) ( )( )2 5

2 1 2

+=− +

xy

x x

b) ( )( )1 3

2 3 4

+=+ −

xy

x x

c) 2

2 1

3 2

+=− +x

yx x

d) 3 5= − + −y x x

e) 2 1

2 46

−= − +−

xy x

x

f) ( )3 7 1

2 1

− −= −− +

x xy

x x x

g) 5

10

−=−

xy

x

h) 1 1= − + +y x x

k) 2 1 1 2= − + −y x x

l) 3 25 1= − + −y x x

m) 13 4 7 22= − + − +y x x

n) 1 2

4 8

−=− −

xy

x

k) 3 32 31= − + − −y x x x

s) 4

7 1 3 4 28= −

− −x x

yx x

t) 1

2 3 18= +

− −x

yx x

u) 2

1

1=

+ +y

x x

Bài 1.3. Cho hàm số y=g(x)3 8

7 2

vôùi x < 2 vôùi x

x

x

− +

+ ≥.

a) Tìm TXĐ b) Tính các giá trị g(−3); g(0); g(1); g(2); g(9) HD:

a)TXĐ: D = R b)g(-3) = 17 ; (0) 8g = ;

(1) 5g = ; (2) 3g = ; (9) 4g =


Trang 4

Bài 1.4: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau: a) 23 1= −y x

b) 36=y x

c) ( ) ( )2014 20142 2 2 2= − + +y x x

d) 4 24 2= − +y x x

e) 32 3= − +y x x

f) ( )21= −y x

g) 2= +y x x

h) 2 1=

+x

yx

i) ( )21= −y x

j) 24 5 3= − + −y x x

k) 45 3 8= − − +y x x

l) 2

4

4+= xy

x

m) 2 1 2 1= + + −y x x

n) 1 1

1 1

+ + −=

+ − −x x

yx x

o) 22= −y x x

p) 2 9= +y x

q) 2 2= + − −y x x

r) 225 4= −y x

s) 2 2= + − −y x x x x

t) 1

22

= + +−

y xx

h) 2 2+ − −

=x x

yx

2. Dạng: Hàm số bậc nhất Bài tập 2.1. Xác định a, b để đồ thị của hàm số y= ax+b, biết: a) Đi qua M(−1;3) và N(1;2); b) Đi qua M(2;3) và song song y=3x−2 ;

c) Đi qua A(2

3;−2) và B(0;1); d) Đi qua C(−1;−2) và D(99;−2);

e) Đi qua P(4;2) và Q(1;1).

KQ: a/ 1 5

2 2y x

−= + b/ 3 3y x= − c/9

12

y x−= + d/ y=-2 e)

1\ 3 2 \ 3y x= + Bài tập 2.2 Xác định a và b sao cho đồ thị hàm số y = ax +b , biết a) đi qua hai diểm (-1;-20) và (3;8) KQ : 7 13y x= +

b) đi qua (4;-3) và song song với đường thẳng y= 3

2x−+1.

KQ: 2 1

3 3y x

−= −


Trang 4

3. Dạng: Hàm số bậc hai 1. Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức y= ax2 + bx + c với a ; b; c∈ R và a ≠ 0

+ Tập xác định D=ℝ + Đỉnh I (2

b

a− ;

4a

∆− ) với ∆ = b2−4ac

+ Trục đối xứng là đường x = 2

b

a−

2. Sự biến thiên

3. Cách vẽ đồ thị

-Xác định đỉnh : I

∆−−a2a

b4

; ; 2 4b ac∆ = − (không có '∆ )

(Sau khi tính xI =2

b

a− ⇒⇒⇒⇒ yI = 2

I Iax bx c+ + . Khi đó I(xI ; yI ))

-Vẽ trục đối xứng 2b

xa

= −

- Xác định các điểm đặc biệt (thường là giao điểm của parabol với các trục tọa độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục đối xứng) - Căn cứ vào tính đối xứng , bề lõm và hình dáng parabol để nối các điểm đó lại (Đồ thị hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c cũng là một parapol)

Ví dụ: Xác định hàm số bậc hai 22y x bx c= + + biết đồ thị của nó

1/Có trục đối xứng là x=1 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 4. 2/Có đỉnh là (-1;-2) 3/Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm (1;-2). Tìm tọa độ giao điểm Cho hai đồ thị (C1) : y = f(x); (C2) y = g(x).Tọa độ giao điểm của (C1)

và (C2) là ngiệm của hệ phương trình

=

=

)(

)(

xgy

xfy. Phương trình f(x) =

g(x) (*) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2). Ta có: + Nếu (*) vô nghiệm thì (C1) và (C2) không có giao điểm. + Nếu (*) có n nghiệm thì (C1) và (C2) có n giao điểm.


Trang 5

+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (C1) và (C2) tiếp xúc nhau. BÀI TẬP Bài 3.1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau a) y= −x2 + 2x−2 b) y= 2x2 + 6x+3 c) y = x2−2x

d) y = −x2+2x+3 e) y = −x2+2x−2 f) y = −2

1x2+2x-2

Bài 3.2. Xác định parapol y=2x2+bx+c, biết nó: a) Có trục đối xứng x=1 vá cắt trục tung tại điểm (0;4);

Đáp số: b= −4, c= 4 b) Có đỉnh I(−1;−2); Đáp số: b= 4, c= 0 c) Đi qua hai điểm A(0;−1) và B(4;0);

Đáp số: b= −31/4, c=−1 d) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua điểm M(1;−2).

Đáp số: b= −8, c= 4 Bài 3.3. Xác định parapol y=ax2−4x+c, biết nó: a) Đi qua hai điểm A(1;−2) và B(2;3); Đáp số: a= 3, c= −1 b) Có đỉnh I(−2;−1); Đáp số: a= −1, c= −5 c) Có hoành độ đỉnh là −3 và đi qua điểm P(−2;1);

Đáp số: a= −2/3, c= −13/3 d) Có trục đối xứng là đường thẳng x=2 vá cắt trục hoành tại điểm M(3;0). ĐS a=1 Bài 3.4. Tìm parapol y = ax2+bx+2 biết rằng parapol đó: a) đi qua hai điểm M(1;5) và N(-2;8) Đáp số: a=2, b=1

b) đi qua điểm A(3;-4) và có trục đối xứng x=4

3−

Đáp số: a=− 4

9, b=− 2

3

c) có đỉnh I(2;-2) Đáp số: a=1, b=4

d) đi qua điểm B(-1;6), đỉnh có tung độ −4

1

KQ: a=16,b=12hoặc a=1, b=−3 Bài 3.5. Xác định parapol y=a x2+bx+c, biết nó: a) Đi qua ba điểm A(0;−1), B(1;−1), C(−1;1)

Đáp số: a=1, b=−1, c= −1 b) Đi qua điểm D(3;0) và có đỉnh là I(1;4).

Đáp số: a=−1, b=2, c=3


Trang 6

c) Đi qua A(8;0) và có đỉnh I(6;12) Đáp số: a=−3, b=36, c=−96

d) Đạt cực tiểu bằng 4 tại x=−2 và đi qua A(0;6). Đáp số: a=1/2, b=2, c=6

Bài 3.6. Tìm toạ độ giao điểm của các hàm số cho sau đây. Trong mỗi trường hợp vẽ đồ thị các hàm số này trên cùng hệ trục toạ độ:

a) y = x-1 và y = x2-2x-1 b) y = -x+3 và y = -x2-4x+1 c) y = 2x-5 và y = x2-4x+4 d) y = 2x – 1 & y = x2 – 3x + 5 e) y = x - 2 & y = x2 – 5x + 2

HD: a) Giao điểm (0;-1);(3;2) b) (-1;4); (-2;5) c) (3;1) Bài 3.7. Tìm hàm số y = ax2+bx+c biết rằng hàm số đạt GTNN bằng 4

tại x=2 và đồ thị hàm số đi qua điểm A(0;6).

HD: Đỉnh (2;4)I và a > 0; 1

, 2, 62

a b c= = − =

Bài 3.8. Tìm hàm số y = ax2+bx+c biết rằng hàm số đạt GTLN bằng 3 tại x=2 và đồ thị hàm số đi qua điểmA(0;−1).

HD: Đỉnh (2;3)I và a < 0; 1, 4, 1a b c= − = = −

Bài 3.9. Tìm Parabol y = ax2 + bx + 2 bieát : 1) Parabol qua A(1;2) vaø B(-1;0)

2) Parabol qua M(2;-4) vaø coù truïc ñoái xöùng x= 2

5−

3) Toïa ñænh cuûa Parabol I(-3;0) 4) Parabol tieáp xuùc vôùi truïc hoaønh taïi x = -1 5) Haøm soá y = f(x) ñaït cöïc ñaïi baèng 12 taïi x = 3

Bài 3.10. Tìm Parabol (P) : y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) bieát : 1) (P) qua ba ñieåm A(1;0) , B(-1;6) , C(3;2) 2) (P) qua A(2;3) coù ñænh S(1;7/2) 3) (P) caét truïc hoaønh taïi hai ñieåm coù hoaønh ñoä laø -1, 2 vaø caét truïc

tung taïi ñieåm coù tung ñoä – 4 . 4) (P) qua hai ñieåm M(2; -5) , N(-1; 16) vaø coù truïc ñoái xöùng x = 4 5) (P) caét truïc tung taïi D(0;4) vaø tieáp xuùc truïc hoaønh taïi x = 2


Trang 7

PHẦN II. PHƯƠNG TRÌNH-H Ệ PHƯƠNG TRÌNH

II.1. Đại cương về phương trình BÀI TẬP Bài II.1.1. Tìm điều kiện của các phương trình

a) 2

23

4

xx

x= −

− b)

41

2

xx

x

+ = −−

c) 1

2 1xx

+ =

d) 2

2

23 1

2 1

xx x

x

+ = + ++

e) 2

1 3

x

x x=

− + f)

2

2 31

4

xx

x

+ = +−

Đáp số a) x≤ 3, x≠ ± 2 b) Không có giá trị x thỏa c) x≥−1/2 và x≠0 d) ∀ x ∈ Re) x>1 f) x≥−1 và x≠2 Bài II.1.2. Chứng tỏ các phương trình sau vô nghiệm

a) 3 1

32

xx

x

+ = −− +

b) 4 3 4x x x− − = + −

Bài II.1.3. Giải các phương trình sau

a) 1 3 1x x x+ + = + + b) 5 2 5x x x− − = + −

c) 2 1 3

3 3

x x

x x

+ +=− −

d) 22 8

1 1

x

x x=

+ +

ĐS: a) x=3 b) Vô nghiệm c) Vô nghiệm d) x=2 Bài II.1.4 Giải các phương trình sau

1 2 1) (2)

1 1

xa x

x x

−+ =− −

2

32

2

1)

−−=

−+

x

x

xxb (VN)

03)23() 2 =−+− xxxc (3) 01)2() 2 =+−− xxxd (-1,2)

Bài II.1.5 Giải các phương trình sau bằng cch bình phương hai vế

) 3 9 2 (4) ) 1 3(5) ) 2 | 1| 2(0;4)

)| 2 | 2 1(1)

a x x b x x c x x

d x x

− = − − = − − = +− = −

Bài II.1.6 Tìm nghiệm nguyên của mỗi phương trình sau bằng cách xét điều kiện

a) 4 x− - 2 = x - x(0,2,4) b) 3 2x+ = 2 x− + 2 2 (0)


Trang 8

II.2. PHƯƠNG TRÌNH QUY V Ề PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI

II.2.1.Giải phương trình dạng ax2+bx+c = 0(a 0≠ ) Nếu ∆ > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt

x = 2

b

a

− − ∆ ∨ x =

2

b

a

− + ∆

Nếu ∆ = 0 : phương trình có nghiệm kép : x = 2

b

a

−

Nếu ∆ < 0 : phương trình vô nghiệm II.2. 2. Định lí Vi−−−−ét Nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c = 0 (a≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì tổng (S) và tích (P) của hai nghiệm đó là:

S = x1+x2 = a

b−

P = x1.x1 = a

c

Ngược lại, nếu hai số u, v có S=u+v; P=u.v thì u, v là nghiệm của phương trình x2-Sx+P = 0. Ví dụ 1: Tìm hai số biết S =19 , P = 84 KQ: 7 và 12. * Chú ý: điều kiện để phương trình x2-Sx+p =0 có nghiệm là S2≥ 4P . Đây cũng là điều kiện để tồn tại hai số có tổng là S, tích P. * Ứng dụng

PSxxxxxx 22)( 221

221

22

21 −=−+=+ ;

P

S

xx=+

21

11

PSSxxxxxxxx 3)(3)( 32121

321

32

31 −=+−+=+ 4 41 2x x+ = ( )22 2 2 2

1 2 1 22x x x x+ − =(S2−2P)2−2P2

Ví dụ 1: Cho phương trình x2−4x+m−1= 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thoả 2 2

1 2x x+ =10.

Ví dụ 2: Xác định m để phương trình x2-4x+m-1= 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa xệ thức 403

231 =+ xx

* Xét dấu các nghiệm phương trình bậc hai Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì:

x1< 0 < x2 ⇔ P < 0 (hai nghiệm trái dấu)


Trang 9

x1≤ x2 < 0 ⇔

<≥∆>

0

0

0

S

P

( hai cùng âm)

0 < x1≤ x2 ⇔

>≥∆>

0

0

0

S

P

(hai cùng dương)

Ví dụ: Cho phương trình 2 5 3 1 0x x m+ + − = (1)

a) Tìm các giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm trái dấu KQ: m < 31

b) Tìm các giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm âm phân biệt

KQ: 31

1229 <<m

II.2.3. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai A. Phương trình trùng phương Phương trình dạng ax4 + bx2 + c =0 Cách giải:

+ đặt t=x2, đk: t≥ 0. + Giải phương trình: at2 + bt + c=0 + kết hợp điều kiện ⇒ x

Ví dụ : Giải phương trình x4−8x2−9 = 0 KQ: x = 3± .

B. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn (phương trình vô tỉ) Cách giải: - Bình phương hai vế + đặt điều kiện ⇒ để làm mất căn - Đặt ẩn phụ Các dạng cơ bản

Dạng 1: ( ) ( )f x g x= , ta sử dụng phép biến đổi tương đương

( ) 0

( ) ( )( ) ( )

f xf x g x

f x g x≥= ⇔ =

(có thể chọn điều

kiện g(x)≥0)

Dạng 2: ( ) ( )f x g x= , ta sử dụng phép biến đổi tương đương

2

( ) 0( ) ( )

( ) ( )

g xf x g x

f x g x

≥= ⇔ =


Trang 10

Ví dụ: Giải phương trình 2 7 4x x+ = − KQ: x = 9.

Dạng 3: ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0f x g x f x g x+ = ⇔ = =

* Chú ý: Biến đổi phương trình đã cho về dạng cơ bản (nếu được) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài II.2.1 Giải các phương trình

a/ x4 − 4x2 + 3 = 0 b/ x4 + 10x2 + 9 = 0 c/ (1 − x2)(1 + x2) + 3 = 0

HD: a) 1; 3x x= ± = ± b) VN

c) (1 − x2)(1 + x2) + 3 = 0 4 4 0x⇔ − = 2x = ± Bài II.2.2. Cho phương trình (m2 - 3m)x + m2 - 4m +3 = 0, định m để: a/ Phương trình có nghiệm duy nhất. b/ Phương có nghiệm duy nhất x = 2. c/ Phương trình vô nghiệm. d/ Phương trình có vô số nghiệm.

KQ: a/ 0, 3m m≠ ≠ b/ 1

3,3

m m≠ = c/ m = 0 d/ m=3

Bài II.2.3. Tìm hai số có: a) Tổng là 19, tích là 84 b) Tổng là 5, tích là -24 c) Tổng là -10, tích là 16.

KQ: a/ (12,7) b/ (8,-3) c/ (-2,-8) Bài II .2.4. Cho phương trình x2+(2m−3)x+m2−2m=0 a) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm và tích của chúng bằng 8? Tìm các nghiệm trong trường hợp đó.

Đáp số: a) m<9/4; b) m=−2; 1,2

7 17

2x

±=

Bài II.2.5. Cho phương trình mx2+(m2−3)x+m = 0 a) Xác định m để phương trình có nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó. b) Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn

1 2

13

4x x+ =

Đáp số: a) m= ± 1; m= ± 3; b) m=−4; m=3/4 (câu b khi tìm m xong thế vào ∆ kiểm tra lại) Bài II.2.6. Cho pt: x2 – (m + 1)x + m -3 = 0 a/ CMR pt luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b/ Tìm m để pt có hai nghiệm trái dấu


Trang 11

c/Tìm m để pt có hai nghiệm dương phân biệt KQ: b/ m < 3 c/ m >3 Bài II.2.7. Cho phương trình: (m + 1)x2 – 2(m –1)x + m –2 = 0 (m là tham số) a) Tìm m để pt có hai nghiệm phân biệt. b) Tìm m để pt có một nghiệm bằng 3. Tính nghiệm kia. c) Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 sao cho 4(x1 + x2 ) = 7x1.x2.

(ĐS:m= 1) Bài II.2.8 a. Cho phương trình: x2 + (m –1)x + m + 6 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 sao cho: 102

221 =+ xx (ĐS: m = -3)

b. Cho phương trình: x2 – 2mx + 3m-2 = 0 ( m là tham số). Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 sao cho: 2 2

1 2 1 2 4x x x x+ = +

(ĐS: m = 2 v m = ¼) c/ Cho phương trình: x2 - 3x + m -2 = 0 ( m là tham số).Tìm m để pt có hai nghiệm x1 và x2 sao cho: 3 3

1 2 9x x+ = (ĐS: m = 4)

Bài II.2.8. Giải các phương trình sau

a) 2 4 9 5x x− − = b) 2 7 10 3 1x x x− + = − c) 2 3 3x x+ = −

d) 3 4 3x x− = − e) 21 2 3 2x x x+ − + =

f) 22 3 7 2x x x+ + = + g) 23 4 4 2 5x x x− − = +

a/ 6 2

2x

+= b) x=1 c) Vô nghiệm

d) x=(9 29) / 2+ e) (1 7) / 2+

f) Vô nghiệm g) x= −1; 3 Bài II.2.10. Giải các phương trình sau

a) 583 =+++ xx { }1

b) 265123 =+−+ xx { }1− c) 093 22 =+−+−− xxxx { }0,1

d) 641282 22 −−=+− xxxx { }2;6−

e/ 4 1x7x2 ++ = x2 + 7x + 4 { }7;0;1; 8− −

f/ x2 − 3x − 13 = 7x3x2 +− { }3;6−


Trang 12

C. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU Bài tập II.11: Giải các phương trình sau:

a) 2

1 1 2 1

1

x x

x x x x

− −− =+ +

b) 2

2 3 3 1

1

x x x

x x x x

− − ++ =− −

c) 1 1

01 5 2x x

− =− +

d) 2 2

03 1 2 1

x x

x x

+ −− =+ −

e) 2 5 3 2

53

x x

x x

+ −+ =+

f) 2

4 32 3

1 1

xx

x x

++ + =− −

g) ( )2

2

3 13 1 1

1 1 1

xx

x x x

+− − =− + −

h) 24 3

13 2

x xx

x

− + = −−

k) ( )( )23 5 1

3 2 3

x x

x x x

− + =− + −

l) ( )( )2 8 8

2 4 2 4

x x x

x x x x

+− =− + − +

m) 3 2 2

3 2

7 6 30 16

1 1

x x x x x

x x x

+ + − − +=− + +

n) 2

4 3 2

9 1 17

1 1

x x

x x x x

+ − =− + + +

p) ( )( )2

2 4 11 2

1 2 1

x x x

x x x

+ − −=− + −

q) 2

3

14

8 2

x x x

x x

+ =+ +

r) 2

2 12

1 1

x

x x− =

− +

s) 5 7 11

2 2 3x x+ =

− +

t) ( )( )2 10 50

12 3 2 3x x x x

+ = −− + − +

u) 2

15 2

2 2

x x

x x x

−=− −

Bài tập II.12. Giải các phương trình sau:

1/ −− + =

− −2 2x 2

x 1x 2 x 2

2/ 3x2x7

3x1

1−

−=−

+

3/ ( )− − =+ −

x 2 1 2x 2 x x x 2

4/ + − =+

2x x 210

x 2

5/ −+ =

− −4 3x 2

xx 2 x 2

6/ + + =− −

x 1 3x4

2x 2 2x 3

7/ + + =− −

x 1 3x4

2x 2 2x 3

8/ + −− + =− −

x 1 2x 13 0

x 1 x 2

9/ − −= −+ −

2x 5 3x 11

x 1 x 1

10/ − ++ =+ −

2x 4 x 33

x 1 2x 1


Trang 4

II.3. BÀI TOÁN L ẬP PHƯƠNG TRÌNH Bài II.3.1. Tìm tuổi của một học sinh, biết rằng sau 7 năm nửa tuổi của em sẽ bằng bình phương sồ tuổi của em cách đây 5 năm .

(ĐS: 9 tuổi) Bài II.3.2. Tuổi của anh hiện nay gấp đôi tuổi của em, biết rằng sau 48 năm nữa tuổi của anh bằng bình phương số tuổi của em hiện nay. Hỏi tuổi của em hiện nay?

(ĐS: 8 tuổi) Bài II.3.3.. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông biết cạnh dài nhất hơn cạnh thứ hai là 2m và cạnh thứ hai hơn cạnh ngắn nhất là 23m.

(ĐS: 12m ; 35m ; 37m) Bài II.3.4. Chu vi một hình thoi bằng 34cm , hiệu hai đường chéo bằng 7cm. Tính độ dài hai đường chéo?

(ĐS: 8cm ; 15cm) Bài II.3.5. Một miếng đất hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Nếu tăng chiều rộng thêm 3m và chiều dài tăng 4m thì diện tích miếng đất tăng gấp đôi. Hỏi kích thước miếng đất lúc đầu?

(ĐS: 6m ; 12m) Bài II.3.6. Một miếng đất hình vuông. Nếu tăng một cạnh thêm 30m thì được miếng đất mới hình chữ nhật có diện tích gấp 3 lần diện tích lúc đầu. Hỏi cạnh của miếng đất lúc đầu?

(ĐS: 15m) Bài II.3.7. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông có chu vi bằng 30m, biết hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7m?

(ĐS: 5m ; 12m ; 13m) Bài II.3.8. Tìm độ dài ba cạnh của một tam giác vuông biết chu vi và diện tích của tam giác lần lượt bằng 120m và 480m2 .

(ĐS: 20m ; 48m ; 52m) II.4. PHƯƠNG TRÌNH VÀ H Ệ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN 1. Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn Định nghĩa: Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng :

′=′+′=+

(6)

(5)

cybxa

cbyax

* Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số :


Trang 5

Cho hệ phương trình :

′=′+′=+

cybxa

cbyax với a và b ; a/ và b/ không

đồng thời bằng 0

Lập các biểu thức : D = ba

ba

′′ = ab/ - a/b

Dx = bc

bc

′′ = cb/ - c/b Dy =

ca

ca

′′ = ac/ - a/c

Nếu D ≠ 0 : Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x , y) với :

D

Dx x= và

D

Dy y=

Nếu D = 0 : + Nếu Dx ≠ 0 hoặc Dy ≠ 0 thì hệ phương trình vô nghiệm + Nếu Dx = Dy = 0 thì tập nghiệm của hệ phương trình là nghiệm của phương trình bậc nhất ax + by = c.

Ví dụ : Giải hệ phương trình

=+=−

247

1332

yx

yx ⇔

−=−==

===

329

87

229

58

D

Dyy

D

Dxx

2. Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn

* Hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x+b y+c =d

a x+b y+c =d

a x+b y+c =d

Mỗi bộ (x0;y0;z0) nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ gọi là một nghiệm của hệ.

Ví dụ: Giải hệ phương trình

a)

2 3 4

3 2 3 9

4 5 8 15

x y z

x y z

x y z

+ + = − − − = − − =

Đáp án: x=2; y=−3; z=1

b)

2 2 4

4 3 3 4

6 5 4 4

x y z

x y z

x y z

+ − = − + + = + + =

Đáp án: x=1; y=−2; z=2


Trang 6

BÀI TẬP Bài II.4.1. Giải các hệ phương trình sau:

a.

=+=−

1838

1925

yx

yx b.

−=−

=+

222

3

3

2

132yx

yx c.

=−−+=−++

13)2(7)2(2

11)2(4)2(522

22

yyxx

yyxx

d.

=−

−

−=−

+

21

23

81

12

yx

yx e.

=++=−+14415

1312

yx

yx f.

=+−−=++−111522

71223

yx

yx

g.

=−++−=−−+121725

21523

yx

yx h/

=+=+3yx2

7y3x822

22

ĐS:a.(3;-2) b.(-6;12) c.(1; 1),(-3; 1) d.

−4

3;

2

1 e. (1; 1),(-3; 1) f. VN

g. (-3; 2), (-3; 0), (-1; 2), (-1; 0) h. VN Bài II.4.2./ Giải các hệ phương trình sau:

a.

=++=++

=+−

2275

17423

0

zyx

zyx

zyx

b.

=++=++=++

72

62

32

zyx

zyx

zyx

c.

−=−+=+−=+−

333

733

432

zyx

zyx

zyx

d.

=++=+−=++

233

63

22

zyx

zyx

zyx

ĐS: a. (1;3;2) b. (-1;2;3) c. vn d. (x,y,z) tùy ý Bài II.4.3. Giaûi caùc phöông trình heä phöông trình sau:

1) − =

− =

5 4 3

7 9 8

x y

x y 2)

+ = − = −

8 1

2 3 16

x y

x y 3)

+ =− + =

10 5

3 16

x y

x y

4) − =

− + =

3 2 5

6 4 7

x y

x y 5)

− = + =

3 7 4

4 3 5

2 2 2

5 7 9

x y

x y

6) − = −

− + =

3 4 6

5 13

x y

x y

7) − =

+ =

6 13

10 3 3

x y

x y 8)

− = −− + =

3 10 24

6 4 8

x y

x y 9)

+ = − − =

11 6 23

7 10 13

x y

x y


Trang 7

10)

− = + = −

3 2 1

4 5 2

1 4 1

2 5 3

x y

x y

Bài II.4.4. Giaûi heä phöông trình

1) − + =

− + + = − + + =

2 3 2 4

4 2 5 6

2 5 3 8

x y z

x y z

x y z

2) − + − = − − + = − − = −

3 2 2

5 3 2 10

2 2 3 9

x y z

x y z

x y z

3) − + =

− + =− + + = −

2 12

2 3 18

3 3 2 9

x y z

x y

x y z

4) + + =

− + = − + =

7

3 2 2 5

4 3 10

x y z

x y z

x y z

5) + − =

− + + = + − =

3 4 5 12

4 2 7 7

5 6 4 12

x y z

x y z

x y z

6) − + =

− + + = − + =

0,3 4,7 2,3 4,9

2,1 3,2 4,5 7,6

4,2 2,7 3,7 5,7

x y z

x y z

x y z

3. Hệ phương trình có pt bậc nhất Dạng

hai pt baäc:(2)nhaát pt baäc:(1)

*Cách giải : từ phương trình bậc nhất ta rút một ẩn theo ẩn còn lại rồi thế vào phương trình bậc hai.

Ví dụ: Giải hệ

=+=+

(2) 42

(1) 84 22

yx

yx KQ: (2;1).

4. Hệ phương trình đối xứng Loại 1: Hệ đối xứng loại 1 là hệ mà ta thay đổi x thành y và y thành x nhưng hệ không thay đổi.

Phương pháp: Đặt S x y

p xy

= + =

Ví dụ 1: Giải hệ

−=+−−+=++

31)(2

1122 yxxyyx

yxyx HD: hệ VN


=−=+2

16422

yx

yx

HD: đặt t =-y ; nghiệm (10;8) , (-8;10)


Trang 8


==−90.

9

yx

yx

HD: đặt t =-y ; nghiệm (15;6) , (-6;-15) Bài II.4.5.. Giải các hệ phương trình sau:

a/ 2 2

3

2

x y xy

x y xy

+ + = + =

(1,1) b)2 2 3

5

x y x y

xy x y

+ + + = + + =

(1,2),(2,1)

c) 2 2

4 4

( ) 78

97

x y xy

x y

+ =

+ =(3,2),(2,3),(-3,-2),(-2,-3)

d) ( )( ) + = − − =

2 265

1 1 18

x y

x y e)

( ) + = +

+ =

2 22 2

6

x y xy

x y

f) + = + + =

2 26

5

x y xy

xy x y g)

( ) + = + =

3 32

2

x y

xy x y

Loại 2: Hệ đối xứng loại 2 là hệ mà ta thay đổi x thành y và y thành x thì phương trình này trở thành phương trình kia. Phương pháp: Lấy phương trình này trừ pt kia vế theo vế Bài II.4.6.. Giải các hệ phương trình sau:

a)

2

2

2

2

23

23

yy

x

xx

y

+= + =

b)3

3

3 8

3 8

x x y

y y x

+ =

+ =

c)

43

43

yx y

xx

y xy

− = − =

d) = +

= +

3

3

2

2

x x y

y y x

Bài II.4.7. Giải các hệ phương trình sau 2 2 5

) 2 4

x ya

x y

+ =

+ =

2x -xy 24b)

2x-3y 1

=

=


Trang 9

2 23 2 3 6 0)

2 3

x xy y x yc

x y

− + + + − =

− =

2( ) 49)

3 4 84

x yd

x y

− =

+ =

Đáp số: a) (2;1) b) (-9;-19/3); (8;5) c) (2;1); (3;3) d) (16;9); (8;15) Bài II.4.8.Giải các hệ phương trình sau

2 2 2 2

11 4) )

2( ) 31 13

x xy y x ya b

x y xy x y x xy y

+ + = + =

+ − − + = − + + =

2 2 2 2

4 5) )

28 8

xy xy x yc d

x y x y x y

= + + =

+ = + + + =

e) = +

= +

2

2

3 2

3 2

x x y

y y x f)

− = +

− = +

2 2

2 2

2 2

2 2

x y x y

y x y x

Đáp số:

a) VN b) (1;3); (3;1) c) (3 5;3 5); ( 3 5; 3 5)− + − − − + d) (1;2); (2;1) Bài II.4.8. Giải các hệ phương trình sau

2 29 x y 164) b)

90 x-y 2

x ya

xy

− = + = = =

2 2

2 2

3 4) )

6 ( 1) ( 1) 2

xy x y x y x yc d

x y x y xy x x y y y

− + = − + + − =

+ − + + = − + + − =

Đáp số: a) (15;6); (-6;-15) b) (10;8); (-8;-10) c) (0;-3); (3;0) d)

( 2; 2); (1;2);( 2; 1)± ± − − II.5. Bài toán lập hệ phương trình: Bài II.5.1. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 188 và nếu lấy số lớn chia cho số nhỏ ta được thương bằng 5 và số dư bằng 2. KQ: (157,31) Bài II.5.2. Số công nhân ở hai xí nghiệp tỉ lệ với 2 và 3. Nếu số công nhân ở xí nghiệp I tăng 80 người và số công nhân ở xí nghiệp II tăng 40 người thì số công nhân mới ở hai xí nghiệp tỉ lệ với 3 và 4. Hỏi số công nhân lúc đầu ở mỗi xí nghiệp?KQ: (400,600) Bài II.5.3. Tìm một số gồm hai chữ số biết: nếu đem số đó chia cho tổng số của hai chữ số đó ta được thương là 6; nếu đem cộng tích của hai chữ số đó với 25 ta được số đảo lại.KQ: 54


Trang 10

Bài II.5.4. Hai công nhân phải làm một số dụng cụ bằng nhau trong cùng một thời gian. Người I mỗi giờ làm tăng 2 dụng cụ nên công việc hoàn thành trước 2 giờ. Người II mỗi giờ làm tăng 4 dụng cụ nên công việc hoàn thành trước 3 giờ và còn làm thêm 6 dụng cụ. Tính số dụng cụ mỗi công nhân phải làm và thời gian phải hoàn thành công việc?

KQ:I(120,8),II(126,9) Bài II.5.5. Một số tự nhiên có hai chữ số. Nếu lấy số đó trừ đi hai lần tổng các chữ số của nó thì được kết quả là 51. Nếu lấy hai lần chữ số hàng chục cộng với ba lần chữ số hàng đơn vị thì được 29. Tìm số đã cho? Bài II.5.6. Một giáo viên chủ nhiệm trong buổi làm quen với lớp phát hiện ra rằng tuổi của mình gấp ba lần tuổi của môtị học sinh, nếu lấy tuổi của mình cộng 3 thì bằng bình phương hiệu số cuat tuổi học sinh đó và 5. Hỏi số tuổi của học sinh đó và giáo viên là bao nhiêu?


Trang 11

PHẦN III BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: BẤT ĐẲNG THỨC 1. Định nghĩa Số thực a gọi là lớn hơn b, kí hiệu a > b nếu a−b > 0. Khi đó ta cũng

kí hiệu b<a (b nhỏ hơn a) a > b ⇔ a-b > 0 (b−a<0) 2. Các tính chất Rdcba ∈∀ ,,, ta có : 1) a > b ⇔ a+c > b+c (cộng 2 vế bất đẳng thức cùng 1 số) 2) a > b+ c ⇔ a−c > b (chuyển vế)

3) a > b ⇔ ac bc > > < <

neáu c 0ac bc neáu c 0

(nhân hai vế cùng 1 số)

4) dbcadc

ba+>+⇒

>>

5) bdacdc

ba>⇒

>>>>

0

0

6) Với n nguyên dương: a > b ⇔ a2n+1 > b2n+1

a > b>0 ⇒ a2n > b2n

7) Nếu b>0 thì a>b ⇔ a b> ; a>b ⇔ 3 3a b>

8) cacb

ba>⇒

>>

(bắc cầu)

9) a > b ⇔

<>

><

0 ab neáu b1

a1

0ab neáu a1

b

1

10) a > b > 0 ⇒ an > bn ( n +∈ N )

11) a > b > 0 ⇒ nn ba > ( n +∈ N ) Chú ý: Không có quy tắc chia hai vế bất đẳng thức cùng chiều


Trang 12

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH B ẤT ĐẲNG THỨC Ví dụ: Chứng minh rằng

a) Nếu a,b≥ 0 thì a+b≥ ab2 b) Chứng minh a2+b2-ab ≥ 0. Khi nào thì đẳng thức xảy ra.

3. Bất đẳng thức Côsi

a/ Định lý: Nếu a≥ 0, b≥ 0 thì abba ≥+

2 hay a+b ≥ ab2 .

Dấu '=' xảy ra ⇔ a=b b/ Các hệ quả: b.1. Nế a≥ 0,b≥ 0 có a+b=const (hằng số) thì a.b max ⇔ a = b b.2. Nếu a≥ 0,b≥ 0 có a.b = const thì a + b là min ⇔ a = b b.3. Nếu a1, a2, a3,…..,an ≥ 0 thì:

nn

n aaaan

aaa....

...3.21

21 ≥+++

b.4. 1

2aa

+ ≥ , a > 0

* Ý nghĩa hình học: + Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất. + Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

Ví dụ 1: cho hai số a, b> 0. Chứng minh rằng 2≥+a

b

b

a

Ví dụ 2: Chứng minh rằng với a,b>0 thì (a+b)(ab+1) ≥ 4ab

5. Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối

Định nghĩa: |x| =

<≥

0x neáu x-0x neáu x

;

Rba ∈∀ , ta có

baba +≤+ , dấu '=' xảy ra ⇔ a.b≥ 0

baba +≤− , dấu '=' xảy ra khi a.b 0≤

baba +=+ ⇔ a.b≥ 0; baba +=− ⇔ a.b 0≤

Ví dụ: chứng minh rằng | x-y | + | y-z | ≥ | x- z| Giải. Ta có |x-y|+|y-z|≥ |x-y+y-z|=|x-z| => đpcm


Trang 13

BÀI TẬP Bài III.1. Cho a, b, c, d là những số dương; x, y, z là những số thực tùy ý. Chứng minh rằng: a) 4 4 3 3y yx x y x+ ≥ +

b) 2 2 24y 3 14 2 12 6x z x y z+ + + > + +

HD: 2 2 2( ) ( 1) (2 3) ( 3. 3) 1 0 b x y z⇔ − + − + − + >

c)* a b

a bb a

+ ≥ +

d) 1 1 4a b a b

+ ≥+

e)* 4

4a b c d

abcd+ + + ≥ (bđt Cô-si cho 4 số)

f) 1 1 1 1 16a b c d a b c d

+ + + ≥+ + +

g) 2 1a 2b a

b+ ≥

(Áp dụng bđt Cô-si cho 2 số dương a2b, 1/b) h) ( )( )( ) 8a b b c c a abc+ + + ≥

(Áp dụng bđt Cô-si cho a, b và b, c và c, a)

i) ( )2

2 2( )a b a b ab+ ≥ +

(Khai triển hằng đẳng thức rồi áp dụng bđt Cô-si cho ( )a b+ và 2 ab )

j) 1 1 1 9a b c a b c

+ + ≥+ +

Bài III.2. Chứng minh các bất đẳng thức sau

a) Với x>−3. Chứng minh 4

23

x

x

+ ≥+

(HD: 4 2 3x x+ ≥ + Áp dụng bđt Cô-si cho 1 và x+3)

b) Với 2 2y

14 9

x + = . CM |x.y|≤3

(HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 2

4

x,

2y

9)

c)* Với a, b, c≥0 và a+b+c=1. Chứng minh: b+c ≥ 16abc


Trang 14

HD: b+c ≥ 2 bc ⇔ (b+c)2 ≥ 4bc (1)

a+(b+c) ≥ 2 ( )a b c+ ⇔ 1≥ 4a(b+c) (2).

lấy (1)x(2) ta được⇒ đpcm d) Cho a, b, c, d ≥ 0. Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1) ≥ 32abcd

HD: Áp dụng bđt Cô-si cho: abc và 2; bc và 2; a và d; d và 1

e) Cho a,b,c >0. CMR : 8)1)(1)(1( ≥+++a

c

c

b

b

a

HD: Áp dụng bđt Cô-si cho 1, ; 1, ; 1,a b c

b c a

f) Với a,b,c,d không âm. CMR : (a+b)(b+c)(c+d)(d+a)≥ 16abcd. (HD: Áp dụng BDT Cô-SI)

g) Cho a,b,c > 0. CMR : 2b

ca abc

+ ≥ (HD: Áp dụng BDT Cô-Si)

h) Cho a,b,c > 0. CMR : (a+b+c)(cba

111 ++ ) ≥ 9(Áp dụng BDT Cô-Si)

k) Cho a,b > 0. CMR : (a+b)(1 1

a b+ ) ≥ 4 (HD: Áp dụng BDT Cô-Si)

l) Cho a,b,c > 0. CMR : 4

22

a bcab

c

+ ≥

(HD: 4

22 2

2 2a bc a

ab bc abc c

+ ≥ ⇔ + ≥ )

m) Cho a,b,c > 0 và a+b+c =1. CMR : 64)1

1)(1

1)(1

1( ≥+++cba

(Áp dụng BDT Cô-Si)

n) Cho a > 1 . CMR : 2

1a

a ≤−

HD: bình phương 2 vế

o) Cho a,b,c >0 . CMR : 1 1 1 1 1 1

a b c ab bc ac+ + ≥ + +

(Áp dụng BDT Cô-Si) Bài III.3. Chứng minh các bất đẳng thức

a) Chứng minh rằng nếu a > b > 0 thì 1 1b a

>


Trang 15

b) 2 2 2a , a,b,cb c ab bc ca+ + ≥ + + ∀ ∈ℝ . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra? c) 2 2a 0, ,b ab a b+ + ≥ ∀ ∈ℝ . Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra.? d) (a+b+c)2 ≤ 3(a2+b2+c2) với mọi a,b,c∈ℝ . e) a2b+ab2 ≤ a3+b3 , với a, b dương. Đẳng thức xảy xảy ra khi nào ? Bài III.4 . Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với 53 ≤≤− x . Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất?KQ: 1x = Bài III.5 / Tìm già trị nhỏ nhất của các hàm số sau

a) f(x)= 0x vôùi x3x >+ ( min 2 3= , 3x = )

b) f(x)= 1

1

−+

xx với x > 1 (min 3, 2)x= =

Bài III.6 *. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 4 9

1x x+

− với 0<x<1

HD: 4 9 4( 1 ) 9( 1 )

1 1

x x x xy

x x x x

+ − + −= + = +− −

2

(min 25,5

x= = )

Bài III.7. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

1/ 1 1 1a b c

bc ca ab a b c+ + ≥ + + (a, b , c > 0)

2/ ab bc ca

a b cc a b

+ + ≥ + + (a, b , c > 0)

3/ 2 2 1 12( )x y x y

x y+ + + ≥ + (x , y > 0)

4/ 1 1a b b a ab− + − ≤ ∀a, b ≥ 1

5/ 4 1 4 1 4 1 5a b c+ + + + + < với a + b + c = 1 và a, b, c ≥ -1

4

6/.Tìm GTLN của hàm số sau: 1. y = (x + 5)(7 – x) với -5 ≤ x ≤ 7 (maxy = 36 khi x = 1)

2. y = (2x - 3)(10 – 3x) với 3 10

2 3x≤ ≤

3. y = 4

2

x

x

− với x ≥ 4 (maxy =

1

8 khi x = 8)

4. y = x + 28 x− (maxy = 4 khi x = ± 2)


Trang 16

Phần IV. HÌNH H ỌC VECTƠ Chủ đề 1. Chứng minh các đẳng thức Vectơ

VD1. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :

a) + = +�� AB CD AD CB b) − = +

�� AB CD AC DB

c) + + = + +�� AD BE CF AE BF CD

HD: Dùng các quy tắc cộng hay trừ VD2. Cho tam giác ABC với M, N, P là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Chứng minh rằng :

a) + + =�� AN BP CM O b) = +

�� AN AM AP

c) + + =�� AM BN CP O

HD:

a) Thay = +�� 1

( )2

AN AB AC , vv

b) AMNP là hình bình hành c) Thay =

�� AM PN

VD3. Cho hai điểm A, B. a) Cho M là trung điểm A, B. Chứng minh rằng với điểm I bất kì ta

có : + =��

2IA IB IM . b) Với điểm N sao cho = −

�� 2NA NB . CMR với I bất kì :

+ =��

2 3IA IB IN

c) Vơi điểm P sao cho =��

3PA PB . CMR với I bất ki :

− = −��

3 2IA IB IP .

HD: b) Chèn điểm I vào đẳng thức =��

3PA PB c) Tương tự câu b) VD3. Cho tam giác ABC và G là trọng tâm của tam giác.

a) Chứng minh rằng + + =��

0AG BG CG .

Với I bất kì ta có : + + =��

3IA IB IC IG .

b) M thuộc đoạn AG và = 1

4MG GA .

CMR: + + =��

2MA MB MC O . Với I bki + + =��

2 4IA IB IC IM . c) Cho hai tam giác ABC và DEF có trọng tâm là G và G1. Chứng

minh rằng :

+ + + =��

13AD BE CE GG

+ Tìm điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.


Trang 17

HD: b) Từ = 1

4MG GA suy ra M là trung điểm của AK, K là trung điểm

của BC

d) + Chèn G, G1 vào vế trái đẳng thức + + =��

13AD BE CE GG

+ ĐK: CM + + =��

0AD BE CE VD4. Cho hình bình hành ABCD tâm O.

CMR : + + + =�� AO BO CO DO O , Với I bất kì + + + =

�� 4IA IB IC ID IO

HD: +Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của chúng + Chèn I vào ý 1 VD5. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N là trung điểm của AB và CD . CMR :

a) + =��

2AD BC MN b) + =��

2AC BD MN

c) Tìm vị trí điểm I sao cho + + + =�� IA IB IC ID O

d) Với P bất kì, CMR : + + + =��

4PA PB PC PD PI HD: a) Chèn hai điểm M,N vào VT b) Như câu a)

c) + + + =�� IA IB IC ID O ⇔ + = ⇔ + = ⇔

�� 2 2 0 0IM IN IM IN I là trung điểm

của MN d) Chèn P vào VT bài c) VD6. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA. Gọi K là trung điểm MN.

a) CMR : = +�� 1 1

4 6AK AB AC .

b) D là trung điểm BC. CMR : = +�� 1 1

4 3KD AB AC

HD: Ta có = − ⇔ =�� 1

23

NC NA AN AC

a) Hãy phân tích ��AK theo

��AB và

��AC ; = +�� 1

( )2

AK AM AN =?

b) Tương tự câu a)


Trang 18

BÀI TẬP: Bài tập IV.1.1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC, B’ là điểm đối xứng với B qua O. Chứng minh rằng 'AH B C=

��

Bài tập IV.1.2. Cho tam giác ABC. Vẽ D đối xứng với A qua B, E đối xứng với B qua C và F đối xứng với C qua A. Gọi G là giao điểm giữa trung tuyến AM của tam giác ABC với trung tuyến DN của tam giác DEF. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của GA và GD. Chứng minh: a) AM NM=��

b) MK NI=��

Bài tập IV.1.3. Cho tam giác ABC và M là một điểm không thuộc các cạnh của tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC và CA. Vẽ điểm P đối xứng với M qua D, điểm Q đối xứng với P qua E, điểm N đối xứng với Q qua F. Chứng minh rằng MA NA=��

. Bài tập IV.1.4. Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. a) Hãy phân tích AG

�� theo hai vectơ ,AB AC

�� .

b) Gọi E, F là hai điểm xác định bởi các điều kiện: 2EA EB=��

, 3 2 0FA FC+ =��

. Hãy phân tích vectơ EF��

theo ,AB AC

�� .

Bài tập IV.1.5. Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh: AB CD AD CB+ = +��

Bài tập IV.1.6. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh rằng: 2AC BD AD BC EF+ = + =

��

b) Gọi G là trung điểm của EF. Chứng minh rằng: 2GA GB GC GD EF+ + + =

�� .

Bài tập IV.1.7. Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Chứng minh rằng: a) 0DA DB DC− + =��

b) 0OA OB OC OD+ + + =��

Bài tập IV.1.8. Cho 4 điểm A, B, C, D tùy ý. Chứng minh rằng: a) AB CD AD CB+ = +��

b) AC BD AD BC+ = +��


Trang 19

c) AB CD AC BD− = −��

Bài tập IV.1.9. Cho 5 điểm A, B, C, D, E tùy ý. Chứng minh rằng:

a) AB CD EA CB ED+ + = +��

b) CD EA CA ED+ = +��

Bài tập IV.1.10. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh rằng: a) AB CD AD CB+ = +��

b) AB CD AC DB− = +��

c) AD BE CF AE BF CD+ + = + +��

d) Nếu AC BD=

�� thì AB CD=��

Bài tập IV.1.11. Cho 7 điểm A, B, C, E, F, G. Chứng minh rằng:

a) AB CD EA CB ED+ + = +��

b) AB CD EF GA CB ED GF+ + + = + +��

c) 0AB AF CD CB EF ED− + − + − =��

Bài tập IV.1.12. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H. Chứng minh rằng:

AC BF GD HE AD BE GC HF+ + + = + + +��

Bài tập IV.1.13. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là điểm bất kỳ. Chứng minh

rằng: 0+ + =�� AM BN CP và + + = + +

�� OA OB OC OM ON OP

Bài tập IV.1.14. Cho tứ giác ABCD và M,N , I lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng ,BCAB,CD . Chứng minh rằng:

a/ + = + =�� CA DB CB DA 2MN

b/ + + + =�� AD BD AC BC 4MN

c/ ( )+ + + =��

2 AB AI NA DA 3DB

Bài tập IV.1.15. Cho tam giác ABC. Gọi E là trung điểm của đoạn BC. Các điểm M, N theo thứ tự đó nằm trên cạnh BC sao cho E là trung điểm đoạn MN. Chứng minh rằng:

+ = +�� AB AC AM AN Bài tập IV.1.16.


Trang 20

1/ Cho hình bình hành ABCD. Gọi I là trung điểm của AB và

M là một điểm thỏa =�� IC 3IM . Chứng minh rằng:

= +��

3BM 2BI BC . Suy ra B, M, D thẳng hàng 2/ Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng:

− =�� AB BC DB ; − + =

�� DA DB DC 0

3/ Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng + + =

�� BC OB OA 0

4/ Cho hình bình hành ABCD, gọi I là trung điểm của CD. Lấy M trên đoạn BI sao cho BM = 2MI. Chứng minh rằng ba điểm A, M, C thẳng hàng

5/ Cho hình bình hành ABCD có tâm O, gọi M là trung điểm

BC. Chứng minh rằng: = +�� 1AM AB AD

2

6/ Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Với điểm M tùy ý hãy chứng minh rằng: + = +

�� MA MC MB MD

7/ Cho tam giác ABC. Bên ngoài của tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng:

+ + =�� RJ IQ PS 0

Bài tập IV.1.17. Cho tam giác ABC, vẽ bên ngoài các hình bình

hành ABIF, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng: 0+ + =�� RF IQ PS

Bài tập IV.1.18. Cho tam giác MNP có MQ là trung tuyến của tam giác. Gọi R là trung điểm của MQ . Chứng minh rằng:

a) + + =��

2RM RN RP 0 b) + + =ON 2OM OP 4OR , với O bất kì c) Dựng điểm S sao cho tứ giác MNPS là hình bình hành.

Chứng tỏ rằng:

+ − =�� MS MN PM 2MP

d) Với điểm O tùy ý, hãy chứng minh rằng: + = +

�� ON OS OM OP ;

+ + + =�� ON OM OP OS 4OI

Bài tập IV.1.19. Cho tam giác ABC có trọng tâm G. Gọi M thuộc cạnh BC sao cho MB=2MC. Chứng minh rằng:


Trang 21

a) 2 3+ =�� AB AC AM

b) 3+ + =�� MA MB MC MG

Bài tập IV.1.20. Cho tứ giác ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD, O là trung điểm của IJ và M là điểm bất kỳ. Chứng minh rằng: a) 2+ =�� AD BC IJ

b) 0+ + + =�� OA OB OC OD

c) 4+ + + =�� MA MB MC MD MO

Bài tập IV.1.21. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA và G là trung điểm của FH, M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng:

a) 0+ + + =�� AF BG CH DE

b) 4+ + =�� AB AC AD AG

c) + + + = + + +�� MA MB MC MD ME MF MG MH

Bài tập IV.1.22. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm của AD. Chứng minh rằng:

a) 0+ + + =�� OA OB OC OD

b) 2 3+ + =�� EA EB EC AB

c) 2 4+ + =�� EB EA ED EC

Bài tập IV.1.23. Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi M, N lần là các trung điểm của đoạn thẳng BC, CD. Chứng minh rằng:

3

2+ + + =

�� AB AM NA DA DB

Bài tập IV.1.24. Cho tứ giác ABCD có AB và CD không song song. Gọi M, N, P, Q lần lượt theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC, DB.

a) Chứng minh rằng: ( )1

2= +

�� MN AB DC và ( )1

2= −

�� PQ AB DC

b) Chứng minh các điểm M, N, P, Q là 4 đỉnh của một hình bình hành. c) Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng MN và O là điểm bất kỳ.


Trang 22

Chứng minh: 0+ + + =�� IA IB IC ID và

4+ + + =�� OA OB OC OD OI Bài tập IV.1.25. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, DC. Chứng minh rằng:

a) 0+ + =�� OA OM ON

b) ( )12

2= +

�� AM AD AB

c) 3

2+ =

�� AM AN AC

Bài tập IV.1.26. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Gọi H, G, O lần lượt là trực tâm, trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, D là điểm đối xứng với A qua O. a) Chứng minh rằng BHCD là hình bình hành. Từ đó hãy tính tổng

+�� HB HC b) Chứng minh rằng: 2+ + =

�� HA HB HC HO và

+ + =�� OA OB OC OH c) Có nhận xét gì về 3 điểm O, G, H? Bài tập IV.1.27. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA. Gọi K, D lần lượt là trung điểm của MN và BC. Chứng minh rằng:

a) 1 1

4 6= +

�� AK AB AC

b) 1 1

4 3= +

�� KD AB AC

Bài tập IV.1.28. Cho tứ giác ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Chứng minh rằng:

2+ =�� AB CD IJ Bài tập IV.1.29. Cho tam giác đều ABC có tâm là O. Gọi M là điểm thuộc miển trong của tam giác và D, E, F lần lượt là hình chiếu của M lên ba cạnh của tam giác.

Chứng minh rằng: 3

2+ + =

�� MD ME MF MO


Trang 23

Bài tập IV.1.30. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và điểm M tùy ý. Chứng minh rằng:

a) + =�� DO AO AB

b) − =�� CO OB BA

c) − =�� AB BC DB

d) − = −�� DA DB OD OC

e) 2+ = + =�� MA MC MB MD MO

f) 0+ + + =�� OA OB OC OD

Bài tập IV.1.31. Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng:

a) 0+ + =�� AB BC CA

b) 0+ + =�� MN NP PM

c) 0+ − =�� AN CM PB

d) 0+ + =�� AP BM MP

e) 1

2+ =

�� AP BM AC

f) 0+ + =�� AM BN CP

g) + + + =�� AP BM AN BP PC

Bài tập IV.1.32. Cho hình thang OABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:

a) 1

2= −

�� AM OB OA

b) 1

2= −

�� BN OC OB

c) ( )1

2= −

�� MN OC OB

Bài tập IV.1.33. Cho tứ giác ABCD và M,N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AB,CD . Chứng minh rằng:

a/ + = + =�� CA DB CB DA 2MN

b/ + + + =�� AD BD AC BC 4MN

c/ Gọi I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:


Trang 24

( )+ + + =��

2 AB AI NA DA 3DB

Bài tập IV.1.34. Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến, I là trung điểm của AM. a) Chứng minh: 2 0+ + =

�� IA IB IC

b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: 2 4+ + =�� OA OB OC OI

Chủ đề 2. Tìm độ dài (mô đun) vectơ

Bài tập IV.2.1. Cho tam giác ABC đều cạnh là a. Tính độ dài các vectơ ,AB BC AB BC+ −

��

Bài tập IV.2.2. Cho hình vuông ABCD cạnh là a.

Tính AB AC AD+ +��

Bài tập IV.2.3. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy biểu diễn các vectơ , , ,AB BC CD DA

�� theo hai vectơ ,AO BO

�� .

Bài tập IV.2.4. Cho tam giác ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài các vectơ , , .HA HB HC

��

Bài tập IV.2.5. Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài các vectơ AB AD+

�� , AB AC+��

, AB AD−��

. Bài tập IV.2.6. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB=AC= 2

(cm). Tính +�� AB AC

Bài tập IV.2.7. Cho tam giác ABC đều cạnh a, trọng tâm G. Hãy tính:

a) −�� AB AC

b) +�� AB AC

c) +�� GB GC

Bài tập IV.2.8. Cho hình chữ nhật ABCD có AB=5 (cm), BC=

10cm. Tính + +�� AB AC AD

Bài tập IV.2.9. Cho tam giác ABC vuông tại A có � 060=B , BC=2

(cm). Tìm ,�� AB AC , ,+ −

�� AB AC AC AB


Trang 25

Bài tập IV.2.10. Cho tam giác ABC vuông tại A có � 030=B , AB=a. Gọi I là trung điểm của AC.

Hãy tính , , ,+�� AC AI AB AC BC

Bài tập IV.2.11. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC= 15 cm,

AC=5 cm. Tính ,+ −�� CA BC BC BA

Bài tập IV.2.12. 1/ Cho tam giác ABC đều cạnh 3a . Tính

− +�� AB AC ; AB AC

2/ Cho tam giác ABC đều cạnh bằng 8, gọi I là trung điểm

BC. Tính −�� BA BI

3/ Cho tam giác ABC đều, cạnh a, tâm O. Tính

− −�� AC AB OC

4/ Cho hình chữ nhật ABCD, tâm O, AB = 12a, AD = 5a.

Tính −�� AD AO

5/ Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 4, BC = 3, gọi I là

trung điểm BC. Tính − +�� IA DI ; IA IB

6/ Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của −

�� BC AB ; +

�� OA OB

7/ Cho hình vuông ABCD có tâm O, cạnh bằng 6 cm. Tính độ

dài các vectơ sau: = + = +� �� u AB AD; v CA DB


Trang 26

Chủ đề 3. TOẠ ĐỘ Baøi tập IV.3.1. Cho tam giaùc ABC. Caùc ñieåm M(1; 0), N(2; 2), P(-1;3) laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh BC, CA, AB. Tìm toïa ñoä caùc ñænh cuûa tam giaùc HD: ANMP là hình bình hành AP NM⇒ =

�� (0;5)A⇒ , tương tự cho

B,C Baøi tập IV.3.2. Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1). Tìm m ñeå 3 ñieåm A, B, C thaúng haøng HD:Tìm m để ,AB AC

�� cùng phương 1m⇒ =

Baøi tập IV.3.3. Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0). Tìm toïa ñoä ñieåm D neáu bieát: a) AD��

– 2 BD��

+ 3 CD��

= 0�

b) AD��

– 2 AB��

= 2 BD��

+ BC��

c)ABCD hình bình haønh d) ABCD hình thang coù hai ñaùy laø BC, AD vôùi BC = 2AD HD: Gọi D ( ; )a b . a) Tìm toạ độ các vectơ

( )1; 2AD a b= + −��

,

( 3; 4) 2 ( 2 6; 2 8)BD a b BD a b= − + ⇒ − = − + − −��

,

( 5; ) 3 (3 15;3 )CD a b CD a b= − ⇒ = −��

,

AD��

– 2 BD��

+ 3 CD��

= ( 2a-8;2b-10)

AD��

– 2 BD��

+ 3 CD��

=2 8 0 4

02 10 0 5

a a

b b

− = = ⇔ ⇔ − = =

�⇒D(4;5)

b) Tương tự

c) ABCD là hình bình hành AB DC⇒ =��

d) 2BC AD=��

Baøi tập IV.3.4. Cho hai ñieåm I(1; -3), J(-2; 4) chia ñoïan AB thaønh ba ñoïan baèng nhau AI = IJ = JB a) Tìm toïa ñoä cuûa A, B b) Tìm toïa ñoä cuûa ñieåm I’ ñoái xöùng vôùi I qua B c) Tìm toïa ñoä cuûa C, D bieát ABCD hình bình haønh taâm K(5, -6) HD: a) (4; 10)AI IJ A= ⇒ −

�� , tương tự cho B


Trang 27

b) B là trung điểm của II’ I ′⇒ c) K là trung điểm của AC C⇒

Baøi tập IV.3.5. Cho a�

=(2; 1) ; b�

=( 3 ; 4) vaø c�

=(7; 2) a) Tìm toïa ñoä cuûa vectô u

�= 2 a�

- 3 b�

+ c�

b) Tìm toïa ñoä cuûa vectô x

� thoûa x

� + a�

= b�

- c�

c) Tìm caùc soá m ; n thoûa c

� = m a

�+ n b�

HD: b) x

� + a�

= b�

- c�

x b c a⇔ = − −� � � �

c) Tìm toạ độ của m a

�+ n b�

và sử dụng kiến thức hai vectơ bằng nhau Baøi tập IV.3.6. Cho tam giaùc ABC vôùi A ( 1; 1) ; B(2;3) ; C(5; -1). a) Chöùng minh raèng tam giaùc vuoâng b) Xaùc ñònh taâm ñöông troøn ngoaïi tieáp c) Tính dieän tích tam giaùc vaø dieän tích ñöôøng troøn ngoaïi tieáp tam giaùc HD:

a) (1;2), (4; 2)AB AC= = −��

, . 0AB AC=��

b) Trung điểm của BC

c) 21. ;

2ABCS AB AC S Rπ∆ = =

Baøi tập IV.3.7. Cho A (-1 ; -1) vaø B (5; 6) a) Tìm M ∈ x’Ox ñeå tam giaùc ABM caân taïi M b) Tìm N ∈ y’Oy ñeå tam giaùc ABN vuoâng taïi N HD: a) M ( ;0)Ox M a∈ ⇒ ,

2 2 59( 1 ) 1 (5 ) 36

12MA MB a a a= ⇔ − − + = − + ⇔ =

b) (0; ); . 0 5 65N Oy N b NA NB b∈ ⇒ = ⇔ = ±��

Baøi tập IV.3.8. Cho hai điểm M(–3;2) và N(4 ; 3 ). Tìm P trên Ox sao cho tam giác PMN vuông tại P .


Trang 28

MỘT SỐ BÀI TẬP BỔ SUNG Bài tập 1: Cho 3 điểm −A(1;2),B( 2;6),C(4;4) 1/ Chứng minh A, B, C không thẳng hàng 2/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB 3/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC 4/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành 5/ Tìm tọa độ điểm N sao cho B là trung điểm của đoạn AN 6/ Tìm tọa độ các điểm H, Q, K sao cho C là trọng tâm của

tam giác ABH, B là trọng tâm của tam giác ACQ, A là trọng tâm của tam giác BCK

7/ Tìm tọa độ điểm T sao cho hai điểm A và T đối xứng nhau qua B, qua C

8/ Tìm tọa độ điểm U sao cho = = −�� AB 3BU;2AC 5BU

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có −M(1;4),N(3;0),P( 1;1) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ A, B, C Bài tập 3: Trong hệ trục tọa độ cho hai điểm −A(2;1);B(6; 1) . Tìm tọa độ: 1/ Điểm M thuộc Ox sao cho A, B, M thẳng hàng 2/ Điểm N thuộc Oy sao cho A, B, N thẳng hàng Bài tập 4: Cho bốn điểm A(1;1), B(2;-1), C(4;3), D(16;3). Hãy

biểu diễn vectơ ��AD theo các vectơ

��AB và

��AC .

Bài tập 5: Cho bốn điểm A(0;1), B(2;0), C(-1;2), D(6;-4). Hãy biểu diễn vectơ

��AD theo các vectơ

��AB và

��AC .

Bài tập 6: Cho hai điểm A(-1;1), B(1;3).

a) Tìm tọa độ điểm M sao cho ( )3;0=��BM

b) Tìm tọa độ điểm N sao cho ( )1;1=��NA

Bài tập 7: Cho ba điểm A(1;-2), B(0;4), C(3;2).

a) Tìm tọa độ các vectơ , ,�� AB AC BC

b) Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB. c) Tìm tọa độ điểm M sao cho: 2 3= −

�� CM AB AC

d) Tìm tọa độ điểm N sao cho: 2 4 0+ − =�� AN BN CN


Trang 29

Bài tập 8: Cho ba điểm A(1;-2), B(2;3), C(-1;-2) a) Tìm tọa độ điểm D đối xứng với A qua C. b) Tìm tọa độ điểm E là đỉnh thứ tư của hình bình hành có 3 đỉnh là A, B, C. c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác. Bài tập 9: Cho ba điểm A(-2;1), B(3;-2), C(0;3)

a) Tìm tọa độ của 3 2= + −��

u AB BC CA b) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác và tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ điểm D sao cho 2 3= +�� CD AB BC.

d) Tìm tọa độ điểm E sao cho ABCE là hình bình hành. Tìm tâm của hình bình hành đó. Bài tập 10: Cho ba điểm ( ) ( ) ( )2;3 , 1;1 , 6;0A B C− .

a) Tìm tọa độ vectơ 4 3 2u AB AC BC= + −��

b) Chứng mình rằng A, B, C không thẳng hàng và tìm tọa độ

trọng tâm G của tam giác ABC. c) Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành.

Tìm tâm của hình bình hành đó. Bài tập 11: Trong mp tọa độ Oxy cho ba điểm A(-3;6), B(1;-2), C(6;3). a) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tìm tọa độ trọng tâm G của ∆ABC b) Tìm tọa độ điểm E thỏa mãn đẳng thức 2 3= −

�� CE AB AC

c) Tìm tọa độ điểm F thỏa mãn 2 4 0+ − =�� AF BF CF

Bài tập 12: Cho hai điểm ( ) ( )4;4 ; 0;1 .A B Tìm điểm C trên Oy sao

cho trung trực của đoạn AC qua điểm B. Bài tập 13: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có

( ) ( )1;1 , 5;3A B− , đỉnh C nằm trên trục tung Oy và trọng tâm G của

tam giác thuộc trục hoành Ox. Tìm tọa độ điểm C và tính diện tích tam giác ABC. Bài tập 14: Trong mp tọa độ Oxy, cho các điểm sau và chứng minh chúng thẳng hàng: a) A(-1;4), B(-1;6), C(-1;2)


Trang 30

b) ( ) ( ) ( )1;3 , 2;5 , 4;9A B C

c) A96;2),B(-2;2), C(0;2) d) A(0;4), B(3;2), C(-9;10) Bài tập 15: Cho ba điểm A(x;3), B(-4;2), C(3;5). Tìm x để A, B, C thẳng hàng. Bài tập 16: Cho ba điểm A(4;y), B(2;-3), C(6;3). Tìm y để A, B, C thẳng hàng. Bài tập 17: Cho ba điểm A(4+2x;-3), B(2;-3+5y), C(6;3). Tìm x; y để A, B, C thẳng hàng. Bài tập 18: Cho A(1;1), B(-2;1), C(m+1; 2m+3). Tìm m để ba điểm A, B, C thẳng hàng. Bài tập 19: Trong mặt phẳng Oxy, cho ba điểm A(-3;4), B(1;1), C(9;-5) a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng. b) Tìm tọa độ điểm D sao cho A là trung điểm của BD c) Tìm tọa độ điểm E trên trục hoành Ox sao cho A, B, E thẳng hàng. Bài tập 20: Trong mp Oxy cho ba điểm ( ) ( ) ( )1;4 , 3; 2 , 2;3A B C− − .

a) Chứng minh A, b, C là ba đỉnh của một tam giác và tìm các vectơ trung tuyến tương ứng.

b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. c) Tìm điểm E trên trục tung Oy sao cho ba điểm A, C, E

thẳng hàng. Bài tập 21: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm ( )1;4A − ,

( )3; 2B − − , ( )4;2C −

a) Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. c) Tìm tọa độ điểm ( );6E x sao cho ba điểm A, B, E thẳng

hàng. Bài tập 22: Trong mặt phẳng Oxy cho ba điểm ( )6;2A − , ( )2;6B ,

( )7;8C − .

a) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng


Trang 31

b) Tìm tọa độ trọng tâm G và tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ điểm H sao cho ABGH là hình bình hành. Bài tập 23: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(2;1), B(6;-1) a) Tìm điểm ∈M Ox sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng. b) Tìm điểm ∈N Oy sao cho ba điểm A, B, N thẳng hàng. c) Tìm điểm P khác với B sao cho A, P, B thẳng hàng và

2 5=PA Bài tập 24: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A(-1;-4), B(3;4) a) Tìm điểm ∈M Ox sao cho ba điểm A, B, M thẳng hàng. b) Tìm điểm ∈N Oy sao cho ba điểm A, B, N thẳng hàng. c) Tìm điểm P khác với B sao cho A, P, B thẳng hàng và

3 5=PA


Trang 32

PHẦN V. LƯỢNG GIÁC Bài tập 5.1. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:

a) 1

sin ,4

β β= nhọn

b) 1

cos3

α = −

c) ( )0 05cos 90 180

13α α= − < <

d) tan 2 2=x

e) ( )0 04sin 0 180

5α α= < <

f) ( )0 01cot 0 90

2α α= − < <

Bài tập 5.2. Biết 0 6 2sin15

4

−= .

Tính 0 0 0 0 0cos15 , tan15 ,cot15 ,cos75 ,cos105 Bài tập 5.3. Biết giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị lượng giác của một biểu thức:

a) Biết 1

sin3

=x , 0 090 180< <x . Tính tan 3cot 1

tan cot

+ +=+

x xA

x x

b) Biết tan 2α = .

Tính 3 3

sin cos

sin 3cos 2sin

α αα α α

−=+ +

B , 3sin cos

sin cos

α αα α

−=+

C

c) Biết 3

sin2

=x . Tính cot tan

tan cot

α α−=+

Ax x

e) Biết cot 3= −x . Tính 2 2

2 2

sin 2sin .cos cos

2sin 3sin .cos 4cos

+ +=− +

x x x xE

x x x x

Bài tập 5.4. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính các giá trị lượng giác còn lại:


Trang 33

a) 1

sin ,4

β β= nhọn

b) 1

cos3

α = −

c) ( )0 05cos 90 180

13α α= − < <

d) tan 2 2=x

e) ( )0 04sin 0 180

5α α= < <

f) ( )0 01cot 0 90

2α α= − < <

Bài tập 5.5. Biết 0 6 2sin15

4

−= .

Tính 0 0 0 0 0cos15 , tan15 ,cot15 ,cos75 ,cos105 Bài tập 5.6. Biết giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị lượng giác của một biểu thức:

a) Biết 1

sin3

=x , 0 090 180< <x . Tính tan 3cot 1

tan cot

+ +=+

x xA

x x

b) Biết tan 2α = .

Tính 3 3

sin cos

sin 3cos 2sin

α αα α α

−=+ +

B , 3sin cos

sin cos

α αα α

−=+

C

c) Biết 3

sin2

=x . Tính cot tan

tan cot

α α−=+

Ax x

e) Biết cot 3= −x . Tính 2 2

2 2

sin 2sin .cos cos

2sin 3sin .cos 4cos

+ +=− +

x x x xE

x x x x


Trang 34

PHẦN VI. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 1) a=5 ; b = 6 ; c = 7. Tính S, ha, hb , hc . R, r

2) a= 2 3 ; b= 2 2 ; c= 6 . Tính 3 goùc

3) b =8; c=5; goùc A = 600. Tính S , R , r , ha , ma

4) a = 21; b =17;c =10.Tính S, R , r , ha , ma

5)A = 600; hc = 3 ; R = 5 . tính a , b, c

6) A=1200; B =450 ;R =2. tính 3 caïnh

7) a = 4 , b = 3 , c = 2. Tính SABC, suy ra SAIC ( I trung ñieåm AB)

8) C = 3 , b = 4 ; S = 3 3 . Tính a

9) S = p (p – c). Với p + +=

2

a b c. Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì

HD:

9) = − ⇔ − − − = −2 2( ) ( )( )( ) ( )S p p c p p a p b p c p p c

⇔ − − = − ⇔ + − =⇔ + =2 2 2

( )( ) ( )p a p b p p c pa pb ab pc

a b c

10) S = 1

4(a + b – c)(a + c - b). Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì

HD: = + − + −1( )( )

4S a b c a c b

⇔ + + + − = + − + − ⇔ + =2 2 2( )( ) ( )( )a b c b c a a b c a c b b c a

11) acosB = bcosA. Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì

HD: + − + −= ⇔ = ⇔ =2 2 2 2 2 2

2 2cos cos

2 2

a c b b c aa B b A a b a b

ac bc

12) mb2 +mc

2 = 5ma2 . Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì


Trang 35

HD: Dùng công thức tính độ dài các đường trung tuyến:

+ = ⇔ + =2 2 2 2 2 25

b c am m m b c a

13) =sin2.cos

sin

AC

B. Tam giaùc ABC laø tam giaùc gì

HD: + −= ⇔ = ⇔ =2 2 2

2 2sin2cos 2

sin 2

A a a b cc b c

B b ab


Trang 36

10 ĐỀ KIỂM TRA TH Ử HỌC KÌ I Đề số 1:

Câu 1 (1đ): Tìm tập xác định của hàm số: 1

53

xy x

x

−= + −−

.

Câu 2 (2đ): a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số 2 4 3 y x x= − + b) Xác định Parabol (P) y = ax2 + bx + 2 biết Parabol đi qua điểm

A(1;0) và có trục đối xứng 3

2x =

Câu 3 (3đ):

a) Giải phương trình: 26 4 4x x x− − = +

b) Giải phương trình: 2

2 12

1 1

x

x x− =

− +

c) Giải hệ phương trình:

1 37

2 1

5 43

2 1

x y

x y

− = + − + = − + −

Câu 4 (3đ) 1. Cho tam giác ABC. Gọi I là một điểm trên cạnh BC sao cho IB = 3IC.

a) Chứng minh 4 3AI AB AC= +��

.

b) Gọi D là trung điểm AI. Chứng minh 4 3 0DA DB DC+ + =��

.

2. Cho sinx = 3

4 và 900 < x < 1800. Tính giá trị cosx; tanx

3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A(3; 1), B(4, 2).

Tìm tọa độ điểm M sao cho: AM = 2 và ( ) 0; 135AB AM =��

Câu 5 (1đ) Cho 1, 1a b≥ ≥ . Chứng minh: 1 1a b b a ab− + − ≤


Trang 37

Đề số 2: Câu 1 (1 điểm): Xét tính chẵn lẻ của hàm số: = + − −( ) 1 1f x x x

Câu 2 (2 điểm): a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số = − +2

4 3y x x b) Xác định hàm số bậc hai y = ax2 – 4x + c, biết đồ thị của hàm số có trục đối xứng x = 2 và cắt trục hoành tại điểm A(3; 0) Câu 3 (3 điểm)

a) Giải phương trình: + + = +24 2 10 3 1x x x

b) Giải phương trình: + −− + =− −

x 1 2x 13 0

x 1 x 2


+ = + − + = − + −

5 72

1 2

3 21

1 2

x y

x y

Câu 4 ( 3 điểm ) . a) Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm hai đường chéo.

Chứng minh: + + =��

4AB AC AD AO .

b) Cho α α= < < ��3sin (0 90 )

5.Tính giá trị biểu thức :

αα

−= 1 tan

1+tanP

c) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-2; 3), B(5; 2). Tìm tọa độ điểm C trên Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C và điểm C có hoành độ âm. Câu 5: (1 điểm) Chứng minh rằng với ba số a, b, c dương ta có:

+ + + ≥

8a b c

a b c abcb c a


Trang 38

Đề số 3: Câu 1 (1đ): Xét tính chẵn lẻ của hàm số = − − +2 2y x x . Câu 2 (2đ): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số :

= − + +2 4 5y x x

b) Xác định hàm số = + +2: y ax bx c , biết đồ thị của nó đi qua ba điểm

( )0;2 ,A ( )1;0 ,B ( )−1;6C .

Câu 3 (3đ):

a) Giải phương trình: + + = −22 4 2x x x

b) Giải phương trình: ++ =

− +2 5 3

13 3

x x

x x


− = + − + = + −

1 11

4 5 2

3 410

4 5 2

x y

x y

Câu 4 (3đ): a) Cho tứ giác ABCD, E là trung điểm AB, F là trung điểm CD.

Chứng minh: = +��

2EF AC BD

b) Cho góc x với sinx = 1

3 và 00 ≤ ≤ 0

90x . Tính giá trị của biểu thức:

P = 2sin2x + 3cosx -3 c) Cho tam giác ABC với A(-1, 3), B(0, 4) và C(2; 1). Xác định tọa độ điểm M trên trục Ox sao cho tam giác MAB cân tại M.

d) Cho ABC biết a = 6 cm, b = 2cm, c =(1 + 3 )cm . Tính góc ̂B , chiều cao ha và độ dài đường phân giác trong BD .

Câu 5: Với mọi a, b, c > 0 Chứng minh: + + ≥ + −

1 1 12

a b c

bc ca ab a b c


Trang 39

Đề số 4:

Câu 1 (1đ): Tìm tập xác định của hàm số sau: = − +−

12 4

5y x

x

Câu 2 (2đ): a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số :

= − + +2 4 5y x x

b) Xác định parabol = + +2y ax x c , biết rằng parabol đó đi qua

điểm ( )−1; 2A và cắt trục tung tại điểm ( )0;5B .

Câu 3 (3đ)

a) Giải phương trình: + + = −22 1 2 3x x x

b) Giải phương trình: + −+ =+

2 5 3 25

3

x x

x x


+ = − − − = −

21

1

43 13

1

yx

yx

Câu 4 (3đ): 1) Trong mặt phẳng oxy cho: −(1;2), ( 3;4), (5;6)A B C

a) Chứng minh ba điểm , ,A B C không thẳng hàng. b) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC .

2) Cho α là góc có α =tan 5 , tính giá trị của biểu thức α αα α

+=−

2sin 7cos

3cos 5sinP

3) Cho ABC có: BC = 2 , AC = 2, trung tuyến AM = 7 . Tính độ dài AB, số đo góc A và diện tích tam giác ABC.

Câu 5: CMR: (a + b).(1 + ab) ≥ 4ab với a, b dương


Trang 40

Đề số 5 Câu 1 (1đ): Xét tính đơn điệu của hàm số: f( x) = x2 – 2x + 3 trên khoảng ( )+∞1;

Câu 2 (2đ): Cho hàm số 2y = 2x x +13− (1). a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1). b) Xác định các giá trị của tham số thực m để đường thẳng (d):

= +y x m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.

Câu 3 (3đ):

a) Giải phương trình: = ++212x x

b) Giải phương trình: + + =+2 1

3( 2)

x

x x x


− = − + + = − +

3 24

5 3 3 1

2 37

5 3 3 1

x y

x y

Câu 4 (3đ): 1)

a) Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đường

chéo AC và BD. Chứng minh: −→ −→ −→

+ = 2.AB CD MN

b). Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A ( - 1; 0 ), B ( 2; 3 ). Tìm tọa độ điểm N trên trục tung sao cho N cách đều hai điểm A và B.

2) Cho góc nhọn α thỏa α = 12sin

13.

Tính α αcos ; tan và giá trị biểu thức α α= −2 22sin 7cosP .

3) Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A ( - 1; 0 ), B ( 2; 3 ). Tìm tọa độ điểm N trên trục tung sao cho N cách đều hai điểm A và B. Câu 5A: Cho > >0, 0a b . Chứng minh rằng : + ≥3 52 3 5a b ab


Trang 41

Đề số 6:

Câu 1 (1đ): Tìm tập xác định của hàm số: −= +

− − −2

1 1

2 3

xy

x x x

Câu 2 (2đ): a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: = − +2

2 4 1y x x b) Tìm giao điểm đường thẳng = −( ) : 3 2d y x và parabol

= − +2( ) : 2 4 1P y x x . Câu 3) (3đ)

a) Giải phương trình − + = −22 5 3 1x x x

b) Giải phương trình: − + −− =

+ +2

12 3 5

2 2

x x

x x x x


+ = + − − = − + −

3 411

1 1

5 67

1 1

x y

x y

Câu 4: (3đ) 1) Trong mp toạ độ Oxy cho A(1;2); B(–2;6); C(9;8).

a) Tìm = −��

2 3x a b biết =��

a ABvà =��

b AC . b) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng.

2) Cho góc α là góc tù và sin α = 3

5 . Tính cosα, tanα, cotα và

α α= +2 2sin 3cosP

3) Cho tam giác ABC vuông tại B, =AB a . Tính tích vô hướng ��

.AB AC Câu 5 (1đ)

Cho a>0; b>0. Chứng minh rằng + ≥ +a ba b

b a. Đẳng thức xảy

ra khi nào?


Trang 42

Đề số 7

Câu 1 (1.0 điểm): Tìm tập xác định của hàm số −= + −−

35 2

2 5

xy x

x

Câu 2 (2,0 điểm): 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số = + +2

2 3y x x 2. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng = − −3 3y x với Parabol

(P) = + −22 3y x x

Câu 3 (3,0 điểm)

1. Giải phương trình − + − =23 1 1x x x

2. Giải phương trình: −+ =

− −1 7 2

13 3

x

x x

3. Không dùng máy tính, hãy giải hệ phương trình

+ = − + + = − +

1 73

3 2 3 1

7 36

3 2 3 1

x y

x y

Câu 4 (3,0 điểm) 1. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(-1; 4); B(5; 2)

a) Tìm toạ độ điểm C sao cho tam giác ABC có trọng tâm G( 1; -1).

b) Tìm toạ độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành

2. Cho = 2sin

3x . Tính giá trị của biểu thức = +2 2

3sin 5cosP x x

3. a) Trong mặt phẳng Oxy, cho ( )0;2A và ( )2;4M .

Tìm trên trục Ox điểm B sao cho tứ giác OBMA nội tiếp được một đường tròn.

b) Cho tam giác ABC có b=7; c=4; góc A=600. Tính S, R, m

Câu 5 (1đ) Cho a, b là hai số dương. .Chứng minh ( ) + + ≥

24

2

aa b a

b


Trang 43

Đề số 8:

Câu 1 (1đ): Tìm tập xác định của hàm số: − += +

+5 3 1

3

x xy

x x


2 6 3y x x

b) Tìm phương trình parabol (P): = + +2y ax bx 2 biết rằng (P) qua

hai điểm ( )A 1; 5 và ( )−B 2; 8

Câu 3 (3đ): a) Giải phương trình: + = −4 2x x

b) Giải phương trình: − + −− =

+ +2

12 3 5

2 2

x x

x x x x


− = − − − + = − −

3 219

2 5 5 2

1 522

2 5 5 2

x y

x y

Câu 4 (3đ): 1) Cho A(1, 1) ; B(5, 3) ; C(0, -1)

a) Chứng minh A, B, C không thẳng hàng

b) Gọi I là trung điểm AB. Tìm M sao cho = −��

2IM AB BC

2) Cho góc α< <0 090 180 và α = 48

sin55

. Tính cosα, tanα, cotα và


3) a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm A( 3;-2) và B( 1;1).Tìm điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C.

b) Cho tam giác ABC có cạnh = 2 3a , = 2b và ɵ = 030C . Tính góc A

và đường cao bh của tam giác đó.

Câu 5 (1đ) Chứng minh rằng với mọi a, b > 0 ta có:

( ) + + ≥

1 14a b

a b


Trang 44

Đề số 9:

Câu 1 (1đ): Xét tính chẵn lẻ của hàm số: ( ) + −=

24 2

3

x xf x

x


2 5y x x b) Tìm giao điểm đường thẳng − − =( ) : 6 2 0d x y và parabol ( )P . Câu 3: (3đ)

a) Giải phương trình: + = −1 5x x

b) Giải phương trình: + =− − +2

6 3 15

1 1 1x x x


− = − + + = − − +

3 847

3 5 4 1

2 718

3 5 4 1

x y

x y

Câu 4 (3đ): 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có −( 1;2)A ,

(2;1)B , (1;3)C a) Tìm tọa độ trung điểm I của cạnh AB và trọng tâm G của tam

giác ABC. b) Tìm tọa độ D sao cho hình thang ADBC có cạnh đáy = 2BD CA

2) Cho góc α là góc tù và α = 65sin

72 . Tính cosα, tanα, cotα và


3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-2; 3), B(5; 2). Tìm tọa độ điểm C trên Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C và điểm C có hoành độ âm. Câu 5 (1đ):

Chứng minh rằng nếu x,y,z là số dương thì + + + + ≥1 1 1( )( ) 9x y z

x y z


Trang 45

Đề 10:

Câu 1 (1 điểm): Xét tính chẵn lẻ của hàm số: −=

21x

yx

Câu 2 (2 điểm): a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số: : = − + +2

3 1y x x

(P) b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và đường thẳng (d): = −2 3y x

Câu 3 (3 điểm):

a) Giải phương trình: + + = +24 2 10 3 1x x x

b) Giải phương trình: − − = −

−1 3 5

2( 1) 2

x x

x x


− = + + + = − + +

3 841

2 1 3 5

2 514

2 1 3 5

x y

x y

Câu 4 (3 điểm): 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A( -2 ; 1 ); B( 1;3); C ( 0 ; 1)

a) Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AC và tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ điểm M biết − =��

2 3MA BM AC

2) Cho góc α , biết α = 36cos

77 và α< <0 0

90 180 . Tính

α α= −sin 3tanP 3) Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1,2), B(-2;1), C(-1;4). Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC Câu 5 (1 điểm)

Cho ba số dương a,b,c chứng minh rằng: + + + ≥

1 1 1 8a b c

b c a

Documents

SỞ GIÁO D ỤC & Đ Ạ ƯỚ TR ƯỜ Ộ Ổ TOÁN · sỞ giÁo d Ục & ĐÀo t Ạo bÌnh ph ƯỚc tr ƯỜng thpt l Ộc thÁi