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Capıtulo 37 Relatividade
RODRIGO ALVES DIAS
Universidade Federal de Juiz de Fora - UFJFLivro texto: Fısica 3 - Eletromagnetismo
Autores: Sears e ZemanskyEdicao: 12a
Editora: Pearson - Addisson and Wesley
21 de outubro de 2014
Capıtulo 37 Relatividade
Objetivos de Aprendizagem
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Os dois postulados da teoria especial da relatividade de Einstein, e o raciocıniopor tras desses postulados.
I Por que observadores diferentes podem discordar sobre a simultaneidade ou naode dois eventos.
I Como a relatividade preve que os relogios se atrasarao, e evidenciasexperimentais que confirmam isso.
I Como a extensao de um objeto varia devido ao movimento do objeto.
I Como a velocidade de um objeto depende do sistema de referencia a partir doqual o objeto e observado.
I Como a teoria da relatividade modifica a relacao entre velocidade e momentolinear.
I Como resolver problemas envolvendo trabalho e energia cinetica para partıculasque se deslocam em velocidades relativısticas.
I Alguns dos conceitos-chave da teoria geral da relatividade de Einstein.
Capıtulo 37 Relatividade
Objetivos de Aprendizagem
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Os dois postulados da teoria especial da relatividade de Einstein, e o raciocıniopor tras desses postulados.
I Por que observadores diferentes podem discordar sobre a simultaneidade ou naode dois eventos.
I Como a relatividade preve que os relogios se atrasarao, e evidenciasexperimentais que confirmam isso.
I Como a extensao de um objeto varia devido ao movimento do objeto.
I Como a velocidade de um objeto depende do sistema de referencia a partir doqual o objeto e observado.
I Como a teoria da relatividade modifica a relacao entre velocidade e momentolinear.
I Como resolver problemas envolvendo trabalho e energia cinetica para partıculasque se deslocam em velocidades relativısticas.
I Alguns dos conceitos-chave da teoria geral da relatividade de Einstein.
Capıtulo 37 Relatividade
Objetivos de Aprendizagem
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Os dois postulados da teoria especial da relatividade de Einstein, e o raciocıniopor tras desses postulados.
I Por que observadores diferentes podem discordar sobre a simultaneidade ou naode dois eventos.
I Como a relatividade preve que os relogios se atrasarao, e evidenciasexperimentais que confirmam isso.
I Como a extensao de um objeto varia devido ao movimento do objeto.
I Como a velocidade de um objeto depende do sistema de referencia a partir doqual o objeto e observado.
I Como a teoria da relatividade modifica a relacao entre velocidade e momentolinear.
I Como resolver problemas envolvendo trabalho e energia cinetica para partıculasque se deslocam em velocidades relativısticas.
I Alguns dos conceitos-chave da teoria geral da relatividade de Einstein.
Capıtulo 37 Relatividade
Objetivos de Aprendizagem
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Os dois postulados da teoria especial da relatividade de Einstein, e o raciocıniopor tras desses postulados.
I Por que observadores diferentes podem discordar sobre a simultaneidade ou naode dois eventos.
I Como a relatividade preve que os relogios se atrasarao, e evidenciasexperimentais que confirmam isso.
I Como a extensao de um objeto varia devido ao movimento do objeto.
I Como a velocidade de um objeto depende do sistema de referencia a partir doqual o objeto e observado.
I Como a teoria da relatividade modifica a relacao entre velocidade e momentolinear.
I Como resolver problemas envolvendo trabalho e energia cinetica para partıculasque se deslocam em velocidades relativısticas.
I Alguns dos conceitos-chave da teoria geral da relatividade de Einstein.
Capıtulo 37 Relatividade
Objetivos de Aprendizagem
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Os dois postulados da teoria especial da relatividade de Einstein, e o raciocıniopor tras desses postulados.
I Por que observadores diferentes podem discordar sobre a simultaneidade ou naode dois eventos.
I Como a relatividade preve que os relogios se atrasarao, e evidenciasexperimentais que confirmam isso.
I Como a extensao de um objeto varia devido ao movimento do objeto.
I Como a velocidade de um objeto depende do sistema de referencia a partir doqual o objeto e observado.
I Como a teoria da relatividade modifica a relacao entre velocidade e momentolinear.
I Como resolver problemas envolvendo trabalho e energia cinetica para partıculasque se deslocam em velocidades relativısticas.
I Alguns dos conceitos-chave da teoria geral da relatividade de Einstein.
Capıtulo 37 Relatividade
Objetivos de Aprendizagem
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Os dois postulados da teoria especial da relatividade de Einstein, e o raciocıniopor tras desses postulados.
I Por que observadores diferentes podem discordar sobre a simultaneidade ou naode dois eventos.
I Como a relatividade preve que os relogios se atrasarao, e evidenciasexperimentais que confirmam isso.
I Como a extensao de um objeto varia devido ao movimento do objeto.
I Como a velocidade de um objeto depende do sistema de referencia a partir doqual o objeto e observado.
I Como a teoria da relatividade modifica a relacao entre velocidade e momentolinear.
I Como resolver problemas envolvendo trabalho e energia cinetica para partıculasque se deslocam em velocidades relativısticas.
I Alguns dos conceitos-chave da teoria geral da relatividade de Einstein.
Capıtulo 37 Relatividade
Objetivos de Aprendizagem
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Os dois postulados da teoria especial da relatividade de Einstein, e o raciocıniopor tras desses postulados.
I Por que observadores diferentes podem discordar sobre a simultaneidade ou naode dois eventos.
I Como a relatividade preve que os relogios se atrasarao, e evidenciasexperimentais que confirmam isso.
I Como a extensao de um objeto varia devido ao movimento do objeto.
I Como a velocidade de um objeto depende do sistema de referencia a partir doqual o objeto e observado.
I Como a teoria da relatividade modifica a relacao entre velocidade e momentolinear.
I Como resolver problemas envolvendo trabalho e energia cinetica para partıculasque se deslocam em velocidades relativısticas.
I Alguns dos conceitos-chave da teoria geral da relatividade de Einstein.
Capıtulo 37 Relatividade
Objetivos de Aprendizagem
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
Ao estudar este capıtulo voce aprendera:
I Os dois postulados da teoria especial da relatividade de Einstein, e o raciocıniopor tras desses postulados.
I Por que observadores diferentes podem discordar sobre a simultaneidade ou naode dois eventos.
I Como a relatividade preve que os relogios se atrasarao, e evidenciasexperimentais que confirmam isso.
I Como a extensao de um objeto varia devido ao movimento do objeto.
I Como a velocidade de um objeto depende do sistema de referencia a partir doqual o objeto e observado.
I Como a teoria da relatividade modifica a relacao entre velocidade e momentolinear.
I Como resolver problemas envolvendo trabalho e energia cinetica para partıculasque se deslocam em velocidades relativısticas.
I Alguns dos conceitos-chave da teoria geral da relatividade de Einstein.
Capıtulo 37 Relatividade
Introducao
Introducao
Criada por Albert Einstein:
I Teoria da relatividade especial(TRE) - 1905 .
I Teoria da relatividade geral (TRG) - 1916 .
Capıtulo 37 Relatividade
Introducao
Introducao
Criada por Albert Einstein:
I Teoria da relatividade especial(TRE) - 1905 .
I Teoria da relatividade geral (TRG) - 1916 .
Capıtulo 37 Relatividade
Introducao
Introducao
Criada por Albert Einstein:
I Teoria da relatividade especial(TRE) - 1905 .
I Teoria da relatividade geral (TRG) - 1916 .
I (TRE) → Invariancia das leis fısica por uma mudanca de referenciais comvelocidades relativas uniformes.
I (TRG) → Generaliza TRE para referenciais acelerados e incorpora a gravitacao.
Capıtulo 37 Relatividade
Introducao
Introducao
Criada por Albert Einstein:
I Teoria da relatividade especial(TRE) - 1905 .
I Teoria da relatividade geral (TRG) - 1916 .
I (TRE) → Invariancia das leis fısica por uma mudanca de referenciais comvelocidades relativas uniformes.
I (TRG) → Generaliza TRE para referenciais acelerados e incorpora a gravitacao.
Capıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Seculo XVI ao XVIII → construcao da Mecanica Classica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
Capıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Seculo XVI ao XVIII → construcao da Mecanica Classica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
Capıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Seculo XVI ao XVIII → construcao da Mecanica Classica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
1o Pressuposto: O tempo e:
I absoluto → Independente do observador.
I homogeneo → Flui uniformemente.
I isotropico → Passado ⇒ futuro eequivalente a futuro ⇒ passado.
Capıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Seculo XVI ao XVIII → construcao da Mecanica Classica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
1o Pressuposto: O tempo e:
I absoluto → Independente do observador.
I homogeneo → Flui uniformemente.
I isotropico → Passado ⇒ futuro eequivalente a futuro ⇒ passado.
Capıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Seculo XVI ao XVIII → construcao da Mecanica Classica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
1o Pressuposto: O tempo e:
I absoluto → Independente do observador.
I homogeneo → Flui uniformemente.
I isotropico → Passado ⇒ futuro eequivalente a futuro ⇒ passado.
Capıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Seculo XVI ao XVIII → construcao da Mecanica Classica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
1o Pressuposto: O tempo e:
I absoluto → Independente do observador.
I homogeneo → Flui uniformemente.
I isotropico → Passado ⇒ futuro eequivalente a futuro ⇒ passado.
2o Pressuposto: O espaco e:
I absoluto → Permanece imovel.
I homogeneo → Continuo e uniforme.
I isotropico → todas as direcoes saoequivalentes.
I euclidiano → Metrica euclidiana(Reta:menor distancia entre dois pontos).
Capıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Seculo XVI ao XVIII → construcao da Mecanica Classica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
1o Pressuposto: O tempo e:
I absoluto → Independente do observador.
I homogeneo → Flui uniformemente.
I isotropico → Passado ⇒ futuro eequivalente a futuro ⇒ passado.
2o Pressuposto: O espaco e:
I absoluto → Permanece imovel.
I homogeneo → Continuo e uniforme.
I isotropico → todas as direcoes saoequivalentes.
I euclidiano → Metrica euclidiana(Reta:menor distancia entre dois pontos).
Capıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Seculo XVI ao XVIII → construcao da Mecanica Classica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
1o Pressuposto: O tempo e:
I absoluto → Independente do observador.
I homogeneo → Flui uniformemente.
I isotropico → Passado ⇒ futuro eequivalente a futuro ⇒ passado.
2o Pressuposto: O espaco e:
I absoluto → Permanece imovel.
I homogeneo → Continuo e uniforme.
I isotropico → todas as direcoes saoequivalentes.
I euclidiano → Metrica euclidiana(Reta:menor distancia entre dois pontos).
Capıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Seculo XVI ao XVIII → construcao da Mecanica Classica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
1o Pressuposto: O tempo e:
I absoluto → Independente do observador.
I homogeneo → Flui uniformemente.
I isotropico → Passado ⇒ futuro eequivalente a futuro ⇒ passado.
2o Pressuposto: O espaco e:
I absoluto → Permanece imovel.
I homogeneo → Continuo e uniforme.
I isotropico → todas as direcoes saoequivalentes.
I euclidiano → Metrica euclidiana(Reta:menor distancia entre dois pontos).
Capıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Seculo XVI ao XVIII → construcao da Mecanica Classica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
1o Pressuposto: O tempo e:
I absoluto → Independente do observador.
I homogeneo → Flui uniformemente.
I isotropico → Passado ⇒ futuro eequivalente a futuro ⇒ passado.
2o Pressuposto: O espaco e:
I absoluto → Permanece imovel.
I homogeneo → Continuo e uniforme.
I isotropico → todas as direcoes saoequivalentes.
I euclidiano → Metrica euclidiana(Reta:menor distancia entre dois pontos).
Newton constroi sua mecanica sobre suas 3 leis fundamentais:
1. Lei da Inercia: Partıcula mantem seu estado(~v = C te) se ~FR = 0.
2. Lei da Forca: ~FR = d~pdt
; ~p = m~v ; Se m = C te ⇒ ~FR = m~a.
3. Lei da Acao e Reacao: ~Fij = −~Fji .
Capıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
I Seculo XVI ao XVIII → construcao da Mecanica Classica.
I Galileu Galilei e Issac Newton(Principia Mathematica).
1o Pressuposto: O tempo e:
I absoluto → Independente do observador.
I homogeneo → Flui uniformemente.
I isotropico → Passado ⇒ futuro eequivalente a futuro ⇒ passado.
2o Pressuposto: O espaco e:
I absoluto → Permanece imovel.
I homogeneo → Continuo e uniforme.
I isotropico → todas as direcoes saoequivalentes.
I euclidiano → Metrica euclidiana(Reta:menor distancia entre dois pontos).
Newton constroi sua mecanica sobre suas 3 leis fundamentais:
1. Lei da Inercia: Partıcula mantem seu estado(~v = C te) se ~FR = 0.
2. Lei da Forca: ~FR = d~pdt
; ~p = m~v ; Se m = C te ⇒ ~FR = m~a.
3. Lei da Acao e Reacao: ~Fij = −~Fji .
Referencial Inercial:
I E o referencial na qual a Lei da Inercia de Newton e valido.
Capıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
1o Pressuposto: O tempo e:
I absoluto → Independente do observador.
I homogeneo → Flui uniformemente.
I isotropico → Passado ⇒ futuro eequivalente a futuro ⇒ passado.
2o Pressuposto: O espaco e:
I absoluto → Permanece imovel.
I homogeneo → Continuo e uniforme.
I isotropico → todas as direcoes saoequivalentes.
I euclidiano → Metrica euclidiana(Reta:menor distancia entre dois pontos).
Newton constroi sua mecanica sobre suas 3 leis fundamentais:
1. Lei da Inercia: Partıcula mantem seu estado(~v = C te) se ~FR = 0.
2. Lei da Forca: ~FR = d~pdt
; ~p = m~v ; Se m = C te ⇒ ~FR = m~a.
3. Lei da Acao e Reacao: ~Fij = −~Fji .
Referencial Inercial:
I E o referencial na qual a Lei da Inercia de Newton e valido.
Movimento dos Corpos:[Tempo ; Posicao instantanea]
I “Qualquer conjunto de corpos em repouso relativo pode ser usado comoreferencial”(Metrica Euclidiana).
I “Qualquer fenomeno periodico pode ser usado como relogio”.
Capıtulo 37 Relatividade
Referenciais Inerciais
1o Pressuposto: O tempo e:
I absoluto → Independente do observador.
I homogeneo → Flui uniformemente.
I isotropico → Passado ⇒ futuro eequivalente a futuro ⇒ passado.
2o Pressuposto: O espaco e:
I absoluto → Permanece imovel.
I homogeneo → Continuo e uniforme.
I isotropico → todas as direcoes saoequivalentes.
I euclidiano → Metrica euclidiana(Reta:menor distancia entre dois pontos).
Newton constroi sua mecanica sobre suas 3 leis fundamentais:
1. Lei da Inercia: Partıcula mantem seu estado(~v = C te) se ~FR = 0.
2. Lei da Forca: ~FR = d~pdt
; ~p = m~v ; Se m = C te ⇒ ~FR = m~a.
3. Lei da Acao e Reacao: ~Fij = −~Fji .
Referencial Inercial:
I E o referencial na qual a Lei da Inercia de Newton e valido.
Movimento dos Corpos:[Tempo ; Posicao instantanea]
I “Qualquer conjunto de corpos em repouso relativo pode ser usado comoreferencial”(Metrica Euclidiana).
I “Qualquer fenomeno periodico pode ser usado como relogio”.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Transformacao de Galileu(TG)
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Transformacao de coordenadas.
x = x′
+ ut′
y = y′
z = z′
t = t′
Transformacao de coordenadas.
x′
= x − ut
y′
= y
z′
= z
t′
= t
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Transformacao de coordenadas.
x = x′
+ ut′
y = y′
z = z′
t = t′
Transformacao de velocidades, ~v = d~rdt
.
vx = v′x + u
vy = v′y
vz = v′z
Transformacao de coordenadas.
x′
= x − ut
y′
= y
z′
= z
t′
= t
Transformacao de velocidades, ~v′
= d~r′
dt′ .
v′x = vx − u
v′y = vy
v′z = vz
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Transformacao de coordenadas.
x = x′
+ ut′
y = y′
z = z′
t = t′
Transformacao de velocidades, ~v = d~rdt
.
vx = v′x + u
vy = v′y
vz = v′z
Transformacao de coordenadas.
x′
= x − ut
y′
= y
z′
= z
t′
= t
Transformacao de velocidades, ~v′
= d~r′
dt′ .
v′x = vx − u
v′y = vy
v′z = vz
Princıpio da relatividade de Galileo(PRG)
I “E impossıvel detectar por meio de uma experiencia mecanica o movimento deum referencial inercial”.
I “As leis da mecanica sao invariantes por uma transformacao de Galileu”.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Transformacao de coordenadas.
x = x′
+ ut′
y = y′
z = z′
t = t′
Transformacao de velocidades, ~v = d~rdt
.
vx = v′x + u
vy = v′y
vz = v′z
Transformacao de coordenadas.
x′
= x − ut
y′
= y
z′
= z
t′
= t
Transformacao de velocidades, ~v′
= d~r′
dt′ .
v′x = vx − u
v′y = vy
v′z = vz
Princıpio da relatividade de Galileo(PRG)
I “E impossıvel detectar por meio de uma experiencia mecanica o movimento deum referencial inercial”.
I “As leis da mecanica sao invariantes por uma transformacao de Galileu”.
Mostre que a 2a Lei de Newton, escrita abaixo, e invariante por uma TG.
~F′R = m
d~v′
dt′= −∇
′i
∑j
V (|~r′j −~r
′i |) ⇒ ~FR = m
d~v
dt= −∇i
∑j
V (|~rj −~ri |)
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Duas partıculas carregadas
Considere duas partıcula de carga q > 0 vistapor um referencial,
∑, em repouso.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Considere duas partıcula de carga q > 0 vistapor um referencial,
∑, em repouso.
Em t = 0 e do referencial,∑
, cada uma sofre
uma forca resultante, ~FR = ~Fe = q~E .
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Considere duas partıcula de carga q > 0 vistapor um referencial,
∑, em repouso.
Em t = 0 e do referencial,∑
, cada uma sofre
uma forca resultante, ~FR = ~Fe = q~E .
As mesmas partıcula vista por um
referencial,∑′
, com velocidade constante~u, em t = 0 sofre cada uma a forcaresultante,~F
′R = ~F
′e + ~F
′m = q~E
′+ q~u × ~B′
.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Considere duas partıcula de carga q > 0 vistapor um referencial,
∑, em repouso.
Em t = 0 e do referencial,∑
, cada uma sofre
uma forca resultante, ~FR = ~Fe = q~E .
As mesmas partıcula vista por um
referencial,∑′
, com velocidade constante~u, em t = 0 sofre cada uma a forcaresultante,~F
′R = ~F
′e + ~F
′m = q~E
′+ q~u × ~B′
.
I Existe alguma inconsistencia, ~FR 6= ~F′R . A dinamica e afetada por uma TG.
I Os fenomenos eletromagneticos sao descritos pelas Equacoes de Maxwell.
I Estas levam a uma equacao de onda para os campos eletrico e magnetico.
I Essas equacoes levam a uma velocidade da onda, v = c = 1√µ0ε0
.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Considere duas partıcula de carga q > 0 vistapor um referencial,
∑, em repouso.
Em t = 0 e do referencial,∑
, cada uma sofre
uma forca resultante, ~FR = ~Fe = q~E .
As mesmas partıcula vista por um
referencial,∑′
, com velocidade constante~u, em t = 0 sofre cada uma a forcaresultante,~F
′R = ~F
′e + ~F
′m = q~E
′+ q~u × ~B′
.
I Existe alguma inconsistencia, ~FR 6= ~F′R . A dinamica e afetada por uma TG.
I Os fenomenos eletromagneticos sao descritos pelas Equacoes de Maxwell.
I Estas levam a uma equacao de onda para os campos eletrico e magnetico.
I Essas equacoes levam a uma velocidade da onda, v = c = 1√µ0ε0
.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Considere duas partıcula de carga q > 0 vistapor um referencial,
∑, em repouso.
Em t = 0 e do referencial,∑
, cada uma sofre
uma forca resultante, ~FR = ~Fe = q~E .
As mesmas partıcula vista por um
referencial,∑′
, com velocidade constante~u, em t = 0 sofre cada uma a forcaresultante,~F
′R = ~F
′e + ~F
′m = q~E
′+ q~u × ~B′
.
I Existe alguma inconsistencia, ~FR 6= ~F′R . A dinamica e afetada por uma TG.
I Os fenomenos eletromagneticos sao descritos pelas Equacoes de Maxwell.
I Estas levam a uma equacao de onda para os campos eletrico e magnetico.
I Essas equacoes levam a uma velocidade da onda, v = c = 1√µ0ε0
.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Considere duas partıcula de carga q > 0 vistapor um referencial,
∑, em repouso.
Em t = 0 e do referencial,∑
, cada uma sofre
uma forca resultante, ~FR = ~Fe = q~E .
As mesmas partıcula vista por um
referencial,∑′
, com velocidade constante~u, em t = 0 sofre cada uma a forcaresultante,~F
′R = ~F
′e + ~F
′m = q~E
′+ q~u × ~B′
.
I Existe alguma inconsistencia, ~FR 6= ~F′R . A dinamica e afetada por uma TG.
I Os fenomenos eletromagneticos sao descritos pelas Equacoes de Maxwell.
I Estas levam a uma equacao de onda para os campos eletrico e magnetico.
I Essas equacoes levam a uma velocidade da onda, v = c = 1√µ0ε0
.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Considere duas partıcula de carga q > 0 vistapor um referencial,
∑, em repouso.
Em t = 0 e do referencial,∑
, cada uma sofre
uma forca resultante, ~FR = ~Fe = q~E .
As mesmas partıcula vista por um
referencial,∑′
, com velocidade constante~u, em t = 0 sofre cada uma a forcaresultante,~F
′R = ~F
′e + ~F
′m = q~E
′+ q~u × ~B′
.
I Existe alguma inconsistencia, ~FR 6= ~F′R . A dinamica e afetada por uma TG.
I Os fenomenos eletromagneticos sao descritos pelas Equacoes de Maxwell.
I Estas levam a uma equacao de onda para os campos eletrico e magnetico.
I Essas equacoes levam a uma velocidade da onda, v = c = 1√µ0ε0
.
Mostre que a Eq. Onda nao e invariante por TG.
∇′2ψ =
1
v2
∂2ψ
∂t′2⇒ ∇2ψ =
1
v2
∂2ψ
∂t2+
2
c2(~u · ∇)
∂ψ
∂t+
2
c2(~u · ∇)(~u · ∇)ψ
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Considere duas partıcula de carga q > 0 vistapor um referencial,
∑, em repouso.
Em t = 0 e do referencial,∑
, cada uma sofre
uma forca resultante, ~FR = ~Fe = q~E .
As mesmas partıcula vista por um
referencial,∑′
, com velocidade constante~u, em t = 0 sofre cada uma a forcaresultante,~F
′R = ~F
′e + ~F
′m = q~E
′+ q~u × ~B′
.
I Existe alguma inconsistencia, ~FR 6= ~F′R . A dinamica e afetada por uma TG.
I Os fenomenos eletromagneticos sao descritos pelas Equacoes de Maxwell.
I Estas levam a uma equacao de onda para os campos eletrico e magnetico.
I Essas equacoes levam a uma velocidade da onda, v = c = 1√µ0ε0
.
Mostre que a Eq. Onda nao e invariante por TG.
∇′2ψ =
1
v2
∂2ψ
∂t′2⇒ ∇2ψ =
1
v2
∂2ψ
∂t2+
2
c2(~u · ∇)
∂ψ
∂t+
2
c2(~u · ∇)(~u · ∇)ψ
Ondas Mecanicas: ok!
I A velocidade da onda depende da velocidade do meio de propagacao.
I Existe um referencial privilegiado.
I E aquele que esta em repouso em relacao ao movimento do meio na qual a ondase propaga.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Considere duas partıcula de carga q > 0 vistapor um referencial,
∑, em repouso.
Em t = 0 e do referencial,∑
, cada uma sofre
uma forca resultante, ~FR = ~Fe = q~E .
As mesmas partıcula vista por um
referencial,∑′
, com velocidade constante~u, em t = 0 sofre cada uma a forcaresultante,~F
′R = ~F
′e + ~F
′m = q~E
′+ q~u × ~B′
.
I Existe alguma inconsistencia, ~FR 6= ~F′R . A dinamica e afetada por uma TG.
I Os fenomenos eletromagneticos sao descritos pelas Equacoes de Maxwell.I Estas levam a uma equacao de onda para os campos eletrico e magnetico.I Essas equacoes levam a uma velocidade da onda, v = c = 1√
µ0ε0.
Mostre que a Eq. Onda nao e invariante por TG.
∇′2ψ =
1
v2
∂2ψ
∂t′2⇒ ∇2ψ =
1
v2
∂2ψ
∂t2+
2
c2(~u · ∇)
∂ψ
∂t+
2
c2(~u · ∇)(~u · ∇)ψ
Ondas Mecanicas: ok!
I A velocidade da onda depende da velocidade do meio de propagacao.
I Existe um referencial privilegiado.
I E aquele que esta em repouso em relacao ao movimento do meio na qual a ondase propaga.
Qual e o meio de propagacao das ondas Eletromagneticas?Qual e o referencial privilegiado? O ETER !
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
O Eter!
Propriedades Estranhas:
I Nao deveria possuir massa!(Onda EM no vacuo!)
I Elevada elasticidade! v =√
Bρ
= c = 3× 108m/s.
I E o referencial privilegiado das Ondas Eletromagneticas.
I No entanto, nao existia nenhuma comprovacao experimental para a existenciado Eter.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Propriedades Estranhas:
I Nao deveria possuir massa!(Onda EM no vacuo!)
I Elevada elasticidade! v =√
Bρ
= c = 3× 108m/s.
I E o referencial privilegiado das Ondas Eletromagneticas.
I No entanto, nao existia nenhuma comprovacao experimental para a existenciado Eter.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Propriedades Estranhas:
I Nao deveria possuir massa!(Onda EM no vacuo!)
I Elevada elasticidade! v =√
Bρ
= c = 3× 108m/s.
I E o referencial privilegiado das Ondas Eletromagneticas.
I No entanto, nao existia nenhuma comprovacao experimental para a existenciado Eter.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Propriedades Estranhas:
I Nao deveria possuir massa!(Onda EM no vacuo!)
I Elevada elasticidade! v =√
Bρ
= c = 3× 108m/s.
I E o referencial privilegiado das Ondas Eletromagneticas.
I No entanto, nao existia nenhuma comprovacao experimental para a existenciado Eter.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Propriedades Estranhas:
I Nao deveria possuir massa!(Onda EM no vacuo!)
I Elevada elasticidade! v =√
Bρ
= c = 3× 108m/s.
I E o referencial privilegiado das Ondas Eletromagneticas.
I No entanto, nao existia nenhuma comprovacao experimental para a existenciado Eter.
Possıveis solucoes ao problema:
1. As equacoes de Maxwell nao sao apropriadas para explicar os fenomenoseletromagneticos.
2. Existe um referencial privilegiado, O Eter, e que em outros referenciais asequacoes de Maxwell precisao de modificacoes.
3. As equacoes de Maxwell sao invariantes por uma troca de referenciais e a TGnao e apropriada para descrever essa troca.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Propriedades Estranhas:
I Nao deveria possuir massa!(Onda EM no vacuo!)
I Elevada elasticidade! v =√
Bρ
= c = 3× 108m/s.
I E o referencial privilegiado das Ondas Eletromagneticas.
I No entanto, nao existia nenhuma comprovacao experimental para a existenciado Eter.
Possıveis solucoes ao problema:
1. As equacoes de Maxwell nao sao apropriadas para explicar os fenomenoseletromagneticos.
2. Existe um referencial privilegiado, O Eter, e que em outros referenciais asequacoes de Maxwell precisao de modificacoes.
3. As equacoes de Maxwell sao invariantes por uma troca de referenciais e a TGnao e apropriada para descrever essa troca.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Propriedades Estranhas:
I Nao deveria possuir massa!(Onda EM no vacuo!)
I Elevada elasticidade! v =√
Bρ
= c = 3× 108m/s.
I E o referencial privilegiado das Ondas Eletromagneticas.
I No entanto, nao existia nenhuma comprovacao experimental para a existenciado Eter.
Possıveis solucoes ao problema:
1. As equacoes de Maxwell nao sao apropriadas para explicar os fenomenoseletromagneticos.
2. Existe um referencial privilegiado, O Eter, e que em outros referenciais asequacoes de Maxwell precisao de modificacoes.
3. As equacoes de Maxwell sao invariantes por uma troca de referenciais e a TGnao e apropriada para descrever essa troca.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Possıveis solucoes ao problema:
1. As equacoes de Maxwell nao sao apropriadas para explicar os fenomenoseletromagneticos.
2. Existe um referencial privilegiado, O Eter, e que em outros referenciais asequacoes de Maxwell precisao de modificacoes.
3. As equacoes de Maxwell sao invariantes por uma troca de referenciais e a TGnao e apropriada para descrever essa troca.
A resposta correta e a 3)! No entanto, os fısicos foram a procura do Eter.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Possıveis solucoes ao problema:
1. As equacoes de Maxwell nao sao apropriadas para explicar os fenomenoseletromagneticos.
2. Existe um referencial privilegiado, O Eter, e que em outros referenciais asequacoes de Maxwell precisao de modificacoes.
3. As equacoes de Maxwell sao invariantes por uma troca de referenciais e a TGnao e apropriada para descrever essa troca.
A resposta correta e a 3)! No entanto, os fısicos foram a procura do Eter.
Tres evidencias experimentais:
1. A experiencia de Maxwell e Morley. (Deslocamento das franjas de interferencia
nao observado). A Terra deve arrastar o Eter.
2. Aberracao da luz das estrelas(James Bradley-1725). Se a Terra arrastasse o Eternao seria observado esse efeito.
3. Experiencia de Fizeau-Fresnel. Sugere que o Eter nao e arrastado.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Possıveis solucoes ao problema:
1. As equacoes de Maxwell nao sao apropriadas para explicar os fenomenoseletromagneticos.
2. Existe um referencial privilegiado, O Eter, e que em outros referenciais asequacoes de Maxwell precisao de modificacoes.
3. As equacoes de Maxwell sao invariantes por uma troca de referenciais e a TGnao e apropriada para descrever essa troca.
A resposta correta e a 3)! No entanto, os fısicos foram a procura do Eter.
Tres evidencias experimentais:
1. A experiencia de Maxwell e Morley. (Deslocamento das franjas de interferencia
nao observado). A Terra deve arrastar o Eter.
2. Aberracao da luz das estrelas(James Bradley-1725). Se a Terra arrastasse o Eternao seria observado esse efeito.
3. Experiencia de Fizeau-Fresnel. Sugere que o Eter nao e arrastado.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Possıveis solucoes ao problema:
1. As equacoes de Maxwell nao sao apropriadas para explicar os fenomenoseletromagneticos.
2. Existe um referencial privilegiado, O Eter, e que em outros referenciais asequacoes de Maxwell precisao de modificacoes.
3. As equacoes de Maxwell sao invariantes por uma troca de referenciais e a TGnao e apropriada para descrever essa troca.
A resposta correta e a 3)! No entanto, os fısicos foram a procura do Eter.
Tres evidencias experimentais:
1. A experiencia de Maxwell e Morley. (Deslocamento das franjas de interferencia
nao observado). A Terra deve arrastar o Eter.
2. Aberracao da luz das estrelas(James Bradley-1725). Se a Terra arrastasse o Eternao seria observado esse efeito.
3. Experiencia de Fizeau-Fresnel. Sugere que o Eter nao e arrastado.
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Galileu(TG)
Possıveis solucoes ao problema:
1. As equacoes de Maxwell nao sao apropriadas para explicar os fenomenoseletromagneticos.
2. Existe um referencial privilegiado, O Eter, e que em outros referenciais asequacoes de Maxwell precisao de modificacoes.
3. As equacoes de Maxwell sao invariantes por uma troca de referenciais e a TGnao e apropriada para descrever essa troca.
A resposta correta e a 3)! No entanto, os fısicos foram a procura do Eter.
Tres evidencias experimentais:
1. A experiencia de Maxwell e Morley. (Deslocamento das franjas de interferencia
nao observado). A Terra deve arrastar o Eter.
2. Aberracao da luz das estrelas(James Bradley-1725). Se a Terra arrastasse o Eternao seria observado esse efeito.
3. Experiencia de Fizeau-Fresnel. Sugere que o Eter nao e arrastado.
Essas 3 experiencias impossibilitam a existencia do Eter.
Capıtulo 37 Relatividade
Invariancia das Leis Fısicas
Postulados da Relatividade Especial
1. As Leis da natureza, incluindo todos os fenomenos mecanicos eeletromagneticos, sao os mesmos em todos os referenciais que se movem commovimento uniforme relativo um ao outro.
2. A velocidade de luz no espaco vazio e a mesma em todos os sistemas dereferencia e e independente do corpo emissor.
Capıtulo 37 Relatividade
Invariancia das Leis Fısicas
Postulados da Relatividade Especial
1. As Leis da natureza, incluindo todos os fenomenos mecanicos eeletromagneticos, sao os mesmos em todos os referenciais que se movem commovimento uniforme relativo um ao outro.
2. A velocidade de luz no espaco vazio e a mesma em todos os sistemas dereferencia e e independente do corpo emissor.
Capıtulo 37 Relatividade
Invariancia das Leis Fısicas
Postulados da Relatividade Especial
1. As Leis da natureza, incluindo todos os fenomenos mecanicos eeletromagneticos, sao os mesmos em todos os referenciais que se movem commovimento uniforme relativo um ao outro.
2. A velocidade de luz no espaco vazio e a mesma em todos os sistemas dereferencia e e independente do corpo emissor.
Princıpio da Correspondencia
I Qualquer teoria nova proposta deve concordar com uma teoria antiga naprevisao dos fenomenos para os quais a teoria antiga fornece a previsao correta.
Capıtulo 37 Relatividade
Invariancia das Leis Fısicas
Postulados da Relatividade Especial
1. As Leis da natureza, incluindo todos os fenomenos mecanicos eeletromagneticos, sao os mesmos em todos os referenciais que se movem commovimento uniforme relativo um ao outro.
2. A velocidade de luz no espaco vazio e a mesma em todos os sistemas dereferencia e e independente do corpo emissor.
Princıpio da Correspondencia
I Qualquer teoria nova proposta deve concordar com uma teoria antiga naprevisao dos fenomenos para os quais a teoria antiga fornece a previsao correta.
Com essas hipoteses qual e a transformacao apropriada entre referenciais?
Capıtulo 37 Relatividade
Invariancia das Leis Fısicas
Transformacao de Lorentz(TL)
A TL nao pode mudar muito da TG, suponha que mude por uma constante γ.
x = γ(x′
+ ut′)
x′
= γ(x − ut)
Capıtulo 37 Relatividade
Invariancia das Leis Fısicas
Transformacao de Lorentz(TL)
A TL nao pode mudar muito da TG, suponha que mude por uma constante γ.
x = γ(x′
+ ut′)
x′
= γ(x − ut)
Dos postulados de Einstein: x = ct e x′
= ct′.
ct = γ(ct′
+ ut′) = γ(c + u)t
′
ct′
= γ(ct − ut) = γ(c − u)t
Capıtulo 37 Relatividade
Invariancia das Leis Fısicas
Transformacao de Lorentz(TL)
A TL nao pode mudar muito da TG, suponha que mude por uma constante γ.
x = γ(x′
+ ut′)
x′
= γ(x − ut)
Dos postulados de Einstein: x = ct e x′
= ct′.
ct = γ(ct′
+ ut′) = γ(c + u)t
′
ct′
= γ(ct − ut) = γ(c − u)t
Eliminando t ou t′, obtemos:
γ =1√
1− u2/c2
Capıtulo 37 Relatividade
Invariancia das Leis Fısicas
Transformacao de Lorentz(TL)
A TL nao pode mudar muito da TG, suponha que mude por uma constante γ.
x = γ(x′
+ ut′)
x′
= γ(x − ut)
Dos postulados de Einstein: x = ct e x′
= ct′.
ct = γ(ct′
+ ut′) = γ(c + u)t
′
ct′
= γ(ct − ut) = γ(c − u)t
Eliminando t ou t′, obtemos:
γ =1√
1− u2/c2
Para obter t ou t′,
x = γ[γ(x − ut) + ut′]
x′
= γ[γ(x′
+ ut′)− ut]
Capıtulo 37 Relatividade
Invariancia das Leis Fısicas
Transformacao de Lorentz(TL)
A TL nao pode mudar muito da TG, suponha que mude por uma constante γ.
x = γ(x′
+ ut′)
x′
= γ(x − ut)
Dos postulados de Einstein: x = ct e x′
= ct′.
ct = γ(ct′
+ ut′) = γ(c + u)t
′
ct′
= γ(ct − ut) = γ(c − u)t
Eliminando t ou t′, obtemos:
γ =1√
1− u2/c2
Para obter t ou t′,
t = γ[t′
+ x′u/c2]
t′
= γ[t − xu/c2]
Capıtulo 37 Relatividade
Invariancia das Leis Fısicas
Transformacao de Lorentz(TL)
A TL nao pode mudar muito da TG, suponha que mude por uma constante γ.
x = γ(x′
+ ut′)
x′
= γ(x − ut)
Dos postulados de Einstein: x = ct e x′
= ct′.
ct = γ(ct′
+ ut′) = γ(c + u)t
′
ct′
= γ(ct − ut) = γ(c − u)t
Eliminando t ou t′, obtemos:
γ =1√
1− u2/c2
Para obter t ou t′,
t = γ[t′
+ x′u/c2]
t′
= γ[t − xu/c2]
Transformacao de coordenadas de Lorentz.
t = γ(t′
+ x′u/c2)
x = γ(x′
+ ut′)
y = y′
z = z′
t′
= γ(t − xu/c2)
x′
= γ(x − ut)
y′
= y
z′
= z
Capıtulo 37 Relatividade
Invariancia das Leis Fısicas
Transformacao de Lorentz(TL)
A TL nao pode mudar muito da TG, suponha que mude por uma constante γ.
x = γ(x′
+ ut′)
x′
= γ(x − ut)
Dos postulados de Einstein: x = ct e x′
= ct′.
ct = γ(ct′
+ ut′) = γ(c + u)t
′
ct′
= γ(ct − ut) = γ(c − u)t
Eliminando t ou t′, obtemos:
γ =1√
1− u2/c2
Para obter t ou t′,
t = γ[t′
+ x′u/c2]
t′
= γ[t − xu/c2]
Mostre que a Eq. Onda e invariante por TL.
Transformacao de coordenadas de Lorentz.
t = γ(t′
+ x′u/c2)
x = γ(x′
+ ut′)
y = y′
z = z′
t′
= γ(t − xu/c2)
x′
= γ(x − ut)
y′
= y
z′
= z
Capıtulo 37 Relatividade
Invariancia das Leis Fısicas
Transformacao de Lorentz(TL)
Consequencias importantes da TL
1. Modificacao do conceito de simultaneidade.
2. Contracao do espaco.
3. Dilatacao do tempo.
Mostre que a Eq. Onda e invariante por TL.
Transformacao de coordenadas de Lorentz.
t = γ(t′
+ x′u/c2)
x = γ(x′
+ ut′)
y = y′
z = z′
t′
= γ(t − xu/c2)
x′
= γ(x − ut)
y′
= y
z′
= z
Capıtulo 37 Relatividade
Relatividade da Simultaneidade
Relatividade da Simultaneidade
I Dois eventos simultaneos em∑⇒ {x1 6= x2 e t1 = t2} .
I Em∑′
pela TL temos que:
Capıtulo 37 Relatividade
Relatividade da Simultaneidade
Relatividade da Simultaneidade
I Dois eventos simultaneos em∑⇒ {x1 6= x2 e t1 = t2} .
I Em∑′
pela TL temos que:
t′1 − t
′2 = γ(t1 − t2)−
γu
c2(x1 − x2)
t′1 − t
′2 =
γu
c2(x2 − x1)
Capıtulo 37 Relatividade
Relatividade da Simultaneidade
Relatividade da Simultaneidade
I Dois eventos simultaneos em∑⇒ {x1 6= x2 e t1 = t2} .
I Em∑′
pela TL temos que:
t′1 − t
′2 = γ(t1 − t2)−
γu
c2(x1 − x2)
t′1 − t
′2 =
γu
c2(x2 − x1)
Dois eventos simultaneos em∑
podem nao ser em∑′
.
Capıtulo 37 Relatividade
Relatividade dos Intervalos de Tempo
Relatividade dos Intervalos de Tempo
I Devemos medir um intervalo, T′
= t′1 − t
′2, em
∑′na mesma posicao, x
′1 = x
′2 ,
logo,
I Em∑
pela TL temos que:
Capıtulo 37 Relatividade
Relatividade dos Intervalos de Tempo
Relatividade dos Intervalos de Tempo
I Devemos medir um intervalo, T′
= t′1 − t
′2, em
∑′na mesma posicao, x
′1 = x
′2 ,
logo,
I Em∑
pela TL temos que:
t1 − t2 = γ(t′1 − t
′2)−
γu
c2(x
′1 − x
′2)
t1 − t2 = γ(t′1 − t
′2)
T = γT′
Capıtulo 37 Relatividade
Relatividade dos Intervalos de Tempo
Relatividade dos Intervalos de Tempo
I Devemos medir um intervalo, T′
= t′1 − t
′2, em
∑′na mesma posicao, x
′1 = x
′2 ,
logo,
I Em∑
pela TL temos que:
t1 − t2 = γ(t′1 − t
′2)−
γu
c2(x
′1 − x
′2)
t1 − t2 = γ(t′1 − t
′2)
T = γT′
Como γ ≥ 1 temos que T ≥ T′.
O tempo proprio,T′
, e aquele medido no referencial que esta parado em relacao ao
relogio.
Capıtulo 37 Relatividade
Relatividade dos Intervalos de Tempo
Relatividade dos Intervalos de Tempo
I Devemos medir um intervalo, T′
= t′1 − t
′2, em
∑′na mesma posicao, x
′1 = x
′2 ,
logo,
I Em∑
pela TL temos que:
t1 − t2 = γ(t′1 − t
′2)−
γu
c2(x
′1 − x
′2)
t1 − t2 = γ(t′1 − t
′2)
T = γT′
Como γ ≥ 1 temos que T ≥ T′.
O tempo proprio,T′
, e aquele medido no referencial que esta parado em relacao ao
relogio. Paradoxo dos Gemeos.
Capıtulo 37 Relatividade
Relatividade do Comprimento
Relatividade do Comprimento
I Devemos medir o comprimento, L = x1 − x2, em∑
no mesmo instante, t1 = t2,logo,
I Em∑′
pela TL temos que:
Capıtulo 37 Relatividade
Relatividade do Comprimento
Relatividade do Comprimento
I Devemos medir o comprimento, L = x1 − x2, em∑
no mesmo instante, t1 = t2,logo,
I Em∑′
pela TL temos que:
x′1 − x
′2 = γ(x1 − x2)− u(t1 − t2)
x′1 − x
′2 = γ(x1 − x2)
L′
= γL⇒ L = L′/γ
Capıtulo 37 Relatividade
Relatividade do Comprimento
Relatividade do Comprimento
I Devemos medir o comprimento, L = x1 − x2, em∑
no mesmo instante, t1 = t2,logo,
I Em∑′
pela TL temos que:
x′1 − x
′2 = γ(x1 − x2)− u(t1 − t2)
x′1 − x
′2 = γ(x1 − x2)
L′
= γL⇒ L = L′/γ
Como γ ≥ 1 temos que L ≤ L′.
O comprimento proprio, L′, do objeto e aquele medido no referencial que esta parado
em relacao ao objeto.
Capıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direcao x , em um
referencial∑
,pode ser escrita por:~E = E0 cos(kx − ωt )j
~B = B0 cos(kx − ωt)k
Capıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direcao x , em um
referencial∑
,pode ser escrita por:~E = E0 cos(kx − ωt )j
~B = B0 cos(kx − ωt)k
I Um segundo observador em um referencial∑′que se move com velocidade ~u = ui , vera:~E
′= E
′0 cos(k
′x′− ω
′t′)j
′
~B′
= B′0 cos(k
′x′− ω
′t′)k
′
Capıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direcao x , em um
referencial∑
,pode ser escrita por:~E = E0 cos(kx − ωt )j
~B = B0 cos(kx − ωt)k
I Um segundo observador em um referencial∑′que se move com velocidade ~u = ui , vera:~E
′= E
′0 cos(k
′x′− ω
′t′)j
′
~B′
= B′0 cos(k
′x′− ω
′t′)k
′
I Como a velocidade da onda deve ser a mesmaem qualquer referencial inercial temos que:
φ = kx − ωt = C te = φ′
= k′x′− ω
′t′
Capıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direcao x , em um
referencial∑
,pode ser escrita por:~E = E0 cos(kx − ωt )j
~B = B0 cos(kx − ωt)k
I Um segundo observador em um referencial∑′que se move com velocidade ~u = ui , vera:~E
′= E
′0 cos(k
′x′− ω
′t′)j
′
~B′
= B′0 cos(k
′x′− ω
′t′)k
′
I Como a velocidade da onda deve ser a mesmaem qualquer referencial inercial temos que:
φ = kx − ωt = C te = φ′
= k′x′− ω
′t′
dφ
dt= 0→ v = c =
ω
k
dφ′
dt′= 0→ v = c =
ω′
k′
Capıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direcao x , em um
referencial∑
,pode ser escrita por:~E = E0 cos(kx − ωt )j
~B = B0 cos(kx − ωt)k
I Um segundo observador em um referencial∑′que se move com velocidade ~u = ui , vera:~E
′= E
′0 cos(k
′x′− ω
′t′)j
′
~B′
= B′0 cos(k
′x′− ω
′t′)k
′
I Como a velocidade da onda deve ser a mesmaem qualquer referencial inercial temos que:
φ = kx − ωt = C te = φ′
= k′x′− ω
′t′
Capıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direcao x , em um
referencial∑
,pode ser escrita por:~E = E0 cos(kx − ωt )j
~B = B0 cos(kx − ωt)k
I Um segundo observador em um referencial∑′que se move com velocidade ~u = ui , vera:~E
′= E
′0 cos(k
′x′− ω
′t′)j
′
~B′
= B′0 cos(k
′x′− ω
′t′)k
′
I Como a velocidade da onda deve ser a mesmaem qualquer referencial inercial temos que:
φ = kx − ωt = C te = φ′
= k′x′− ω
′t′
x = γ(x′
+ ut′) ; t = γ(t
′+ ux
′/c2)
k′x′− ω
′t′
= kγ(x′
+ ut′)− ωγ(t
′+ ux
′/c2)
Capıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direcao x , em um
referencial∑
,pode ser escrita por:~E = E0 cos(kx − ωt )j
~B = B0 cos(kx − ωt)k
I Um segundo observador em um referencial∑′que se move com velocidade ~u = ui , vera:~E
′= E
′0 cos(k
′x′− ω
′t′)j
′
~B′
= B′0 cos(k
′x′− ω
′t′)k
′
I Como a velocidade da onda deve ser a mesmaem qualquer referencial inercial temos que:
φ = kx − ωt = C te = φ′
= k′x′− ω
′t′
x = γ(x′
+ ut′) ; t = γ(t
′+ ux
′/c2)
k′x′− ω
′t′
= kγ(x′
+ ut′)− ωγ(t
′+ ux
′/c2)
k′x′− ω
′t′
= γ(k − ωu/c2)x′− γ(ω − ku)t
′
Capıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direcao x , em um
referencial∑
,pode ser escrita por:~E = E0 cos(kx − ωt )j
~B = B0 cos(kx − ωt)k
I Um segundo observador em um referencial∑′que se move com velocidade ~u = ui , vera:~E
′= E
′0 cos(k
′x′− ω
′t′)j
′
~B′
= B′0 cos(k
′x′− ω
′t′)k
′
I Como a velocidade da onda deve ser a mesmaem qualquer referencial inercial temos que:
φ = kx − ωt = C te = φ′
= k′x′− ω
′t′
x = γ(x′
+ ut′) ; t = γ(t
′+ ux
′/c2)
k′x′− ω
′t′
= kγ(x′
+ ut′)− ωγ(t
′+ ux
′/c2)
k′x′− ω
′t′
= γ(k − ωu/c2)x′− γ(ω − ku)t
′
k′
= γ(k − ωu/c2)
ω′
= γ(ω − ku)
Capıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direcao x , em um
referencial∑
,pode ser escrita por:~E = E0 cos(kx − ωt )j
~B = B0 cos(kx − ωt)k
I Um segundo observador em um referencial∑′que se move com velocidade ~u = ui , vera:~E
′= E
′0 cos(k
′x′− ω
′t′)j
′
~B′
= B′0 cos(k
′x′− ω
′t′)k
′
I Como a velocidade da onda deve ser a mesmaem qualquer referencial inercial temos que:
φ = kx − ωt = C te = φ′
= k′x′− ω
′t′
x = γ(x′
+ ut′) ; t = γ(t
′+ ux
′/c2)
k′x′− ω
′t′
= kγ(x′
+ ut′)− ωγ(t
′+ ux
′/c2)
k′x′− ω
′t′
= γ(k − ωu/c2)x′− γ(ω − ku)t
′
k′
= γ(k − ωu/c2)
ω′
= γ(ω − ku)
k′
= kγ(1− ωu/c)
ω′
= ωγ(1− u/c)
Capıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direcao x , em um
referencial∑
,pode ser escrita por:~E = E0 cos(kx − ωt )j
~B = B0 cos(kx − ωt)k
I Um segundo observador em um referencial∑′que se move com velocidade ~u = ui , vera:~E
′= E
′0 cos(k
′x′− ω
′t′)j
′
~B′
= B′0 cos(k
′x′− ω
′t′)k
′
I Como a velocidade da onda deve ser a mesmaem qualquer referencial inercial temos que:
φ = kx − ωt = C te = φ′
= k′x′− ω
′t′
x = γ(x′
+ ut′) ; t = γ(t
′+ ux
′/c2)
k′x′− ω
′t′
= kγ(x′
+ ut′)− ωγ(t
′+ ux
′/c2)
k′x′− ω
′t′
= γ(k − ωu/c2)x′− γ(ω − ku)t
′
k′
= γ(k − ωu/c2)
ω′
= γ(ω − ku)
k′
= kγ(1− ωu/c)
ω′
= ωγ(1− u/c)
λ = λ′√
c − u
c + u
ω′
= ω
√c − u
c + u
Capıtulo 37 Relatividade
O Efeito Doppler para as Ondas Eletromagneticas
I Uma onda plana linearmente polarizada em y
se propagando na direcao x , em um
referencial∑
,pode ser escrita por:~E = E0 cos(kx − ωt )j
~B = B0 cos(kx − ωt)k
I Um segundo observador em um referencial∑′que se move com velocidade ~u = ui , vera:~E
′= E
′0 cos(k
′x′− ω
′t′)j
′
~B′
= B′0 cos(k
′x′− ω
′t′)k
′
I Como a velocidade da onda deve ser a mesmaem qualquer referencial inercial temos que:
φ = kx − ωt = C te = φ′
= k′x′− ω
′t′
x = γ(x′
+ ut′) ; t = γ(t
′+ ux
′/c2)
k′x′− ω
′t′
= kγ(x′
+ ut′)− ωγ(t
′+ ux
′/c2)
k′x′− ω
′t′
= γ(k − ωu/c2)x′− γ(ω − ku)t
′
k′
= γ(k − ωu/c2)
ω′
= γ(ω − ku)
k′
= kγ(1− ωu/c)
ω′
= ωγ(1− u/c)
λ = λ′√
c − u
c + u
T = T′√
c − u
c + u
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Velocidades
Transformacao de Velocidades
Das transformacao de Lorentz obtemos,
dt = γ(dt′
+ dx′u/c2)
dx = γ(dx′
+ udt′)
dy = dy′
dz = dz′
dt′
= γ(dt − dxu/c2)
dx′
= γ(dx − udt)
dy′
= dy
dz′
= dz
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Velocidades
Transformacao de Velocidades
Das transformacao de Lorentz obtemos,
dt = γ(dt′
+ dx′u/c2)
dx = γ(dx′
+ udt′)
dy = dy′
dz = dz′
Transformacao de velocidades, ~v = d~rdt
.
dt′
= γ(dt − dxu/c2)
dx′
= γ(dx − udt)
dy′
= dy
dz′
= dz
Transformacao de velocidades, ~v′
= d~r′
dt′ .
Capıtulo 37 Relatividade
Transformacao de Velocidades
Transformacao de Velocidades
Das transformacao de Lorentz obtemos,
dt = γ(dt′
+ dx′u/c2)
dx = γ(dx′
+ udt′)
dy = dy′
dz = dz′
Transformacao de velocidades, ~v = d~rdt
.
vx =dx
dt=
v′x + u
1 + v ′xu/c
2
vy =dy
dt=
v′y
γ(1 + v ′xu/c
2)
vz =dz
dt=
v′z
γ(1 + v ′xu/c
2)
dt′
= γ(dt − dxu/c2)
dx′
= γ(dx − udt)
dy′
= dy
dz′
= dz
Transformacao de velocidades, ~v′
= d~r′
dt′ .
v′x =
dx′
dt′=
vx − u
1− vxu/c2
v′y =
dy′
dt′=
vy
γ(1− vxu/c2)
v′z =
dz′
dt′=
vz
γ(1− vxu/c2)
Capıtulo 37 Relatividade
Momento Linear Relativıstico
Momento Linear Relativıstico
I A definicao nao relativıstica do momento
linear e,
~p = m~v
Capıtulo 37 Relatividade
Momento Linear Relativıstico
Momento Linear Relativıstico
I A definicao nao relativıstica do momento
linear e,
~p = m~v
I Para preservarmos a conservacao domomento relativıstico temos que definir quem = m(v) = γm0.
I Onde m0 e a massa propria, medida noreferencial que esta em repouso. Logo,
Capıtulo 37 Relatividade
Momento Linear Relativıstico
Momento Linear Relativıstico
I A definicao nao relativıstica do momento
linear e,
~p = m~v
I Para preservarmos a conservacao domomento relativıstico temos que definir quem = m(v) = γm0.
I Onde m0 e a massa propria, medida noreferencial que esta em repouso. Logo,
~p = γm0~v
~p =m0~v√
1− v2/c2
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
I Da definicao de trabalho, e considerando a
forca resultante temos que,
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt· ~vdt
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
I Da definicao de trabalho, e considerando a
forca resultante temos que,
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt· ~vdt
Wab =
∫ b
a~v · d~p
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
I Da definicao de trabalho, e considerando a
forca resultante temos que,
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt· ~vdt
Wab =
∫ b
a~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
I Da definicao de trabalho, e considerando a
forca resultante temos que,
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt· ~vdt
Wab =
∫ b
a~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
am0γ~v · d~v +
∫ b
am0~v · ~vdγ
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
I Da definicao de trabalho, e considerando a
forca resultante temos que,
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt· ~vdt
Wab =
∫ b
a~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
am0γ~v · d~v +
∫ b
am0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√1− v2/c2
+ m0
∫ b
av2d [(1− v2/c2)−1/2]
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt· ~vdt
Wab =
∫ b
a~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
am0γ~v · d~v +
∫ b
am0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√1− v2/c2
+ m0
∫ b
av2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c2∣∣∣v0
= γm0c2 −m0c
2
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt· ~vdt
Wab =
∫ b
a~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
am0γ~v · d~v +
∫ b
am0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√1− v2/c2
+ m0
∫ b
av2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c2∣∣∣v0
= γm0c2 −m0c
2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt· ~vdt
Wab =
∫ b
a~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
am0γ~v · d~v +
∫ b
am0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√1− v2/c2
+ m0
∫ b
av2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c2∣∣∣v0
= γm0c2 −m0c
2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:
K(v) = γm0c2 −m0c
2
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt· ~vdt
Wab =
∫ b
a~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
am0γ~v · d~v +
∫ b
am0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√1− v2/c2
+ m0
∫ b
av2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c2∣∣∣v0
= γm0c2 −m0c
2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:
K(v) = γm0c2 −m0c
2
A variacao da energia total e igual a somadas variacoes da energia cinetica epotencial,
dE = dK + dU
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt· ~vdt
Wab =
∫ b
a~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
am0γ~v · d~v +
∫ b
am0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√1− v2/c2
+ m0
∫ b
av2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c2∣∣∣v0
= γm0c2 −m0c
2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:
K(v) = γm0c2 −m0c
2
A variacao da energia total e igual a somadas variacoes da energia cinetica epotencial,
dE = dK + dU
Em uma regiao que a energia potencialnao varie,
dE = dK
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt· ~vdt
Wab =
∫ b
a~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
am0γ~v · d~v +
∫ b
am0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√1− v2/c2
+ m0
∫ b
av2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c2∣∣∣v0
= γm0c2 −m0c
2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:
K(v) = γm0c2 −m0c
2
A variacao da energia total e igual a somadas variacoes da energia cinetica epotencial,
dE = dK + dU
Em uma regiao que a energia potencialnao varie,
dE = dK
dE = d(γm0c2)
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt· ~vdt
Wab =
∫ b
a~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
am0γ~v · d~v +
∫ b
am0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√1− v2/c2
+ m0
∫ b
av2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c2∣∣∣v0
= γm0c2 −m0c
2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:
K(v) = γm0c2 −m0c
2
A variacao da energia total e igual a somadas variacoes da energia cinetica epotencial,
dE = dK + dU
Em uma regiao que a energia potencialnao varie,
dE = dK
dE = d(γm0c2)
E(v) = γm0c2
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt· ~vdt
Wab =
∫ b
a~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
am0γ~v · d~v +
∫ b
am0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√1− v2/c2
+ m0
∫ b
av2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c2∣∣∣v0
= γm0c2 −m0c
2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:
K(v) = γm0c2 −m0c
2
A variacao da energia total e igual a somadas variacoes da energia cinetica epotencial,
dE = dK + dU
Em uma regiao que a energia potencialnao varie,
dE = dK
dE = d(γm0c2)
E(v) = γm0c2
E(v) = K + m0c2
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt· ~vdt
Wab =
∫ b
a~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
am0γ~v · d~v +
∫ b
am0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√1− v2/c2
+ m0
∫ b
av2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c2∣∣∣v0
= γm0c2 −m0c
2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:
K(v) = γm0c2 −m0c
2
A variacao da energia total e igual a somadas variacoes da energia cinetica epotencial,
dE = dK + dU
Em uma regiao que a energia potencialnao varie,
dE = dK
dE = d(γm0c2)
E(v) = γm0c2
E(v) = K + m0c2
A energia de repouso de uma partıculasera,
E(v = 0) = E0 = m0c2
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt· ~vdt
Wab =
∫ b
a~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
am0γ~v · d~v +
∫ b
am0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√1− v2/c2
+ m0
∫ b
av2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c2∣∣∣v0
= γm0c2 −m0c
2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:
K(v) = γm0c2 −m0c
2
A variacao da energia total e igual a somadas variacoes da energia cinetica epotencial,
dE = dK + dU
Em uma regiao que a energia potencialnao varie,
dE = dK
dE = d(γm0c2)
E(v) = γm0c2
E(v) = K + m0c2
A energia de repouso de uma partıculasera,
E(v = 0) = E0 = m0c2
E = mc2
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Wab =
∫ b
a
~FR · d~r =
∫ b
a
d~p
dt· ~vdt
Wab =
∫ b
a~v · d~p
d~p = d(γm0~v) = γm0d~v + m0~vdγ
Wab =
∫ b
am0γ~v · d~v +
∫ b
am0~v · ~vdγ
Wab = m0
∫ b
a
vdv√1− v2/c2
+ m0
∫ b
av2d [(1− v2/c2)−1/2]
Wab = γm0c2∣∣∣v0
= γm0c2 −m0c
2
Wab = ∆K = K(v)− K(0)
Como K(0) = 0 para ~v = 0, obtemos:
K(v) = γm0c2 −m0c
2
A variacao da energia total e igual a somadas variacoes da energia cinetica epotencial,
dE = dK + dU
Em uma regiao que a energia potencialnao varie,
dE = dK
dE = d(γm0c2)
E(v) = γm0c2
E(v) = K + m0c2
A energia de repouso de uma partıculasera,
E(v = 0) = E0 = m0c2
E = mc2
m = γm0
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definicoes de energia e momento,E = γm0c
2
~p = γm0~v
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definicoes de energia e momento,E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E~v
c2
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definicoes de energia e momento,E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E~v
c2
p2 =v2E2
c4
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definicoes de energia e momento,E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E~v
c2
p2 =v2E2
c4
E2 =m2
0c4
1− v2/c2
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definicoes de energia e momento,E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E~v
c2
p2 =v2E2
c4
E2 =m2
0c4
1− v2/c2
E2 = (m0c2)2 +
E2v2
c2
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definicoes de energia e momento,E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E~v
c2
p2 =v2E2
c4
E2 =m2
0c4
1− v2/c2
E2 = (m0c2)2 +
E2v2
c2
E2 = (m0c2)2 + (pc)2
E =√
(m0c2)2 + (pc)2
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definicoes de energia e momento,E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E~v
c2
p2 =v2E2
c4
E2 =m2
0c4
1− v2/c2
E2 = (m0c2)2 +
E2v2
c2
E2 = (m0c2)2 + (pc)2
E =√
(m0c2)2 + (pc)2
I Se m0 = 0 (fotons), ou seja uma
partıcula com massa de repouso
nula,E = pc
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definicoes de energia e momento,E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E~v
c2
p2 =v2E2
c4
E2 =m2
0c4
1− v2/c2
E2 = (m0c2)2 +
E2v2
c2
E2 = (m0c2)2 + (pc)2
E =√
(m0c2)2 + (pc)2
I Se m0 = 0 (fotons), ou seja uma
partıcula com massa de repouso
nula,E = pc
I Vimos para ondas eletromagneticas,E = cB
u =1
2ε0E
2 +1
2µ0B2 = ε0E
2
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definicoes de energia e momento,E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E~v
c2
p2 =v2E2
c4
E2 =m2
0c4
1− v2/c2
E2 = (m0c2)2 +
E2v2
c2
E2 = (m0c2)2 + (pc)2
E =√
(m0c2)2 + (pc)2
I Se m0 = 0 (fotons), ou seja uma
partıcula com massa de repouso
nula,E = pc
I Vimos para ondas eletromagneticas,E = cB
u =1
2ε0E
2 +1
2µ0B2 = ε0E
2
~S =1
µ0
~E × ~B = uc~k
k
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definicoes de energia e momento,E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E~v
c2
p2 =v2E2
c4
E2 =m2
0c4
1− v2/c2
E2 = (m0c2)2 +
E2v2
c2
E2 = (m0c2)2 + (pc)2
E =√
(m0c2)2 + (pc)2
I Se m0 = 0 (fotons), ou seja uma
partıcula com massa de repouso
nula,E = pc
I Vimos para ondas eletromagneticas,E = cB
u =1
2ε0E
2 +1
2µ0B2 = ε0E
2
~S =1
µ0
~E × ~B = uc~k
k
~Pem =
∫(ε0µ0
~S)dV
~Pem =c
c2(
∫udV )~k/k
Capıtulo 37 Relatividade
Trabalho e Energia na Relatividade
Energia e momento.
Das definicoes de energia e momento,E = γm0c
2
~p = γm0~v
~p = E~v
c2
p2 =v2E2
c4
E2 =m2
0c4
1− v2/c2
E2 = (m0c2)2 +
E2v2
c2
E2 = (m0c2)2 + (pc)2
E =√
(m0c2)2 + (pc)2
I Se m0 = 0 (fotons), ou seja uma
partıcula com massa de repouso
nula,E = pc
I Vimos para ondas eletromagneticas,E = cB
u =1
2ε0E
2 +1
2µ0B2 = ε0E
2
~S =1
µ0
~E × ~B = uc~k
k
~Pem =
∫(ε0µ0
~S)dV
~Pem =c
c2(
∫udV )~k/k
~Pem =1
cUk → Pem =
U
c
Capıtulo 37 Relatividade
Mecanica Newtoniana e Relatividade
Mecanica Newtoniana e Relatividade
I Da definicao de forca resultante temos que,
~FR =d~p
dt=
d(γm0~v)
dt
Capıtulo 37 Relatividade
Mecanica Newtoniana e Relatividade
Mecanica Newtoniana e Relatividade
I Da definicao de forca resultante temos que,
~FR =d~p
dt=
d(γm0~v)
dt
~FR = m0~vdγ
dt+ γm0
d~v
dt
~FR = m0~vdγ
dt+ γm0~a
Capıtulo 37 Relatividade
Mecanica Newtoniana e Relatividade
I Da definicao de forca resultante temos que,
~FR =d~p
dt=
d(γm0~v)
dt
~FR = m0~vdγ
dt+ γm0
d~v
dt
~FR = m0~vdγ
dt+ γm0~a
Capıtulo 37 Relatividade
Mecanica Newtoniana e Relatividade
I Da definicao de forca resultante temos que,
~FR =d~p
dt=
d(γm0~v)
dt
~FR = m0~vdγ
dt+ γm0
d~v
dt
~FR = m0~vdγ
dt+ γm0~a
Capıtulo 37 Relatividade
Mecanica Newtoniana e Relatividade
I Da definicao de forca resultante temos que,
~FR =d~p
dt=
d(γm0~v)
dt
~FR = m0~vdγ
dt+ γm0
d~v
dt
~FR = m0~vdγ
dt+ γm0~a