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resistencia de materiais- critérios
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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - II
TEORIA
Critério de Falha
2
Os critérios de falha determinam a
segurança do componente, embora os
coeficientes de segurança “arbitrários” não
garantem um projeto seguro;
Compreensão clara do(s) mecanismo(s)
de falha (modos de falha);
Aspectos de confiabilidade;
Relação custo x benefício.
Critério de Falha
3
Os modos de falha podem se dar por:
deslocamentos excessivos;
escoamento;
fratura;
critérios operacionais;
Critério de Falha por Escoamento
4
o estado de tensões em um ponto pode ser
escrito em termos de suas tensões principais
(σ1, σ2, σ3);
o material não pode ultrapassar σesc ;
deve existir uma função que permita verificar
se o escoamento ocorreu;
válido para materiais dúcteis;
a tensão de cisalhamento desempenha o
papel mais importante para o início do
escoamento ocorrer.
Critério de Falha por Escoamento
5
Critérios mais comuns:
Teoria da máxima tensão cisalhante –
TMTC (TRESCA).
Teoria da máxima energia de distorção –
TMED (von Mises).
Critério de Tresca (τmax)
6
Quando a tensão de cisalhamento máxima no
ponto crítico do componente atingir o mesmo
valor da tensão de cisalhamento máxima do
corpo de prova no momento do seu
escoamento, num ensaio de tração, tem-se o
limite de referência do critério;
Ocorre deslizamento durante o escoamento ao
longo de planos criticamente orientados;
Teoria adequada para materiais dúcteis.
Critério de Tresca (τmax)
7
Quando uma chapa de um material dúctil,
como aço carbono, é ensaiada à tração,
observa-se que o mecanismo que é
realmente responsável pelo escoamento é o
deslizamento. Ou seja, cisalhamento ao
longo dos planos de tensão cisalhante
máxima, a 45º em relação ao eixo do
elemento.
Critério de Tresca (τmax)
8
O escoamento inicial está associado ao
aparecimento da primeira linha de
deslizamento na superfície do corpo de
prova e, conforme a deformação aumenta,
mais linhas de deslizamento aparecem até
que todo o corpo de prova tenha escoado.
Se este deslizamento for considerado o
mecanismo real de falha, então a tensão que
melhor caracteriza esta falha é a tensão
cisalhante nos planos de deslizamento.
Critério de Tresca (τmax)
9
Deste modo, se for postulado que em um
material dúctil sob qualquer estado de
tensão (uniaxial, biaxial ou triaxial) a falha
ocorre quando a tensão cisalhante em
qualquer plano atinge o valor de σy/2, então
o critério de falha para a teoria da tensão
cisalhante máxima pode ser enunciado
como:
Critério de Tresca (τmax)
10
Critério de Tresca (τmax)
11
Portanto, a tensão de cisalhamento máxima
não deve ultrapassar a metade da tensão
limite de tração, obtida no ensaio de tração
simples:
Considerando a tensão admissível como a
tensão limite de tração, o elemento de
tensão é avaliado por intermédio da
condição da equação:
𝜏𝑚á𝑥 ≤𝜎𝑒
2
𝜏𝑚á𝑥 ≤ 𝜏 =𝜎
2
𝜎
Critério de Tresca (τmax)
12
Em que a tensão de cisalhamento admissível
é constante e igual à metade da tensão
normal admissível:
𝜏
Critério de Tresca (τmax)
13
Para o estado plano de tensão,
considerando-se a tensão principal σ3 nula,
as tensões principais σ1 e σ2 podem ser
determinadas com a equação:
Critério de Tresca (τmax)
14
Critério de Tresca (τmax)
15
Critério de Tresca (τmax)
16
Critério de Tresca (τmax)
17
Critério de Tresca (τmax)
18
Critério de Tresca (τmax)
19
Critério de Tresca (τmax)
20
Critério de Tresca (τmax)
21
Portanto, para o caso de tensão plana, o
critério de falha da tensão cisalhante máxima
pode ser enunciado em termos das tensões
principais que atuam no plano σ1 e σ2 como
se segue:
Critério de Tresca (τmax)
22
As equações acima podem ser
representadas graficamente:
Critério de Tresca (τmax)
23
Para um elemento sob tensão plana, o
estado de tensão em todos os pontos do
corpo pode ser representado por um ponto
de tensão (σ1, σ2) no plano σ1 - σ2, como
indicado na figura. Se o estado de tensão
para qualquer ponto no corpo corresponde a
um ponto de tensão que se situe fora do
hexágono da figura ou em sua fronteira, diz-
se que ocorreu a falha, de acordo com a
teoria da tensão cisalhante máxima.
24
Critério de Tresca (τmax)
25
Critério de Tresca (τmax)
26
Critério de Tresca (τmax)
27
Critério de Tresca (τmax)
28
Critério de Tresca (τmax)
29
Critério de Tresca (τmax)
30
Critério de Tresca (τmax)
31
Critério de Tresca (τmax)
32
Critério de Tresca (τmax)
33
Critério de Tresca (τmax)
Critério de Von Mises
34
Embora a teoria da tensão cisalhante máxima
forneça uma hipótese razoável para o escoamento
em materiais dúcteis, a teoria da energia de
distorção máxima se correlaciona melhor com os
dados experimentais e, deste modo, é geralmente
preferida. Nesta teoria, considera-se que o
escoamento ocorre quando a energia associada à
mudança de forma de um corpo sob carregamento
multiaxial for igual à energia de distorção em um
corpo de prova de tração, quando o escoamento
ocorre na tensão de escoamento uniaxial, σy.
Critério de Von Mises
35
Quando a energia de distorção no ponto crítico
do componente atingir o mesmo valor da
energia de distorção do corpo de prova no
momento do seu escoamento, iniciará também o
escoamento do componente naquele ponto;
Baseado nos conceitos de energia, energia de
dilatação + energia de distorção;
Largamente aceito para tratar materiais dúcteis,
isotrópicos.
Teoria adequada para materiais dúcteis.
Critério de Von Mises
36
Os estados mais perigosos são os estados de
tensão que se afastam do estado hidrostático, ou
seja, são as diferenças entre as tensões e as
tensãos principais que causam a ruína do material.
37
Critério de Von Mises
Representa-se o estado de tensão como sendo um
vetor:
Critério de Von Mises
38
Critério de Von Mises
39
40
Critério de Von Mises
41
Critério de Von Mises
42
Critério de Von Mises
43
Critério de Von Mises
Por se tratar de uma energia associada a
deformação, pode-se determinar de forma
experimental a deformação limite εlimite
44
Critério de Von Mises
45
Critério de Von Mises
46
Critério de Von Mises
47
Critério de Von Mises
48
Critério de Von Mises
49
Critério de Von Mises
50
Critério de Von Mises x Tresca
51
Critério de Von Mises x Tresca
52
A tensão normal desempenha o papel
mais importante para a ruptura ocorrer;
Válido para materiais frágeis, os quais
apresentam maior resistência à
compressão.
Critério de Falha por Fratura
53
Critério mais comum é o da Teoria da
máxima tensão normal – TMTN
(RANKINE).
Critério de Coulomb.
Critério da envoltória de Mohr
Critério de Falha por Fratura
54
Um material frágil, quando submetido a um
teste de tração, falha subitamente por
fratura, sem escoamento prévio.
Critério de Rankine
55
Já a fratura de um corpo de prova dúctil (aço
laminado a quente), ocorre em um ângulo de
45º com o eixo da amostra (tipo copo –
cone) e é devida a componente de tensão
cisalhante atuante na superfície.
Critério de Rankine
56
Por outro lado, quando um elemento
constituído por um material frágil é
submetido a um teste de torção, ocorre falha
por fratura mas em planos de máxima tensão
trativa. Desta forma, conclui-se que
elementos frágeis são menos resistentes em
tração do que em cisalhamento, enquanto
elementos dúcteis são menos resistentes em
cisalhamento.
Critério de Rankine
57
Quando a tensão principal no ponto crítico
do componente atingir o mesmo valor da
tensão de ruptura do corpo de prova, a
ruptura do componente ocorrera;
não ocorrem grandes deformações, ou
deslizamentos devidos a cisalhamento.
teoria adequada para materiais frágeis.
Critério de Rankine
58
Testes experimentais têm mostrado que o valor da
tensão normal no plano de fratura para um estado
biaxial de tensões não é significativamente
diferente da tensão da fratura σu em um teste de
tração uniaxial. Portanto, a hipótese da teoria da
tensão normal máxima considera que um elemento
constituído de material frágil falha quando a tensão
principal máxima no material atinge a tensão
normal máxima que o material pode suportar em
um teste de tração uniaxial. Esta teoria também
admite que falhas em compressão ocorrem na
mesma tensão máxima que as falhas em tração.
Critério de Rankine
59
Para o caso de tensão plana, o critério da tensão
normal máxima é dado pelas equações:
Critério de Rankine
60
Critério de Rankine
61
Critério de Rankine
σ2
σ1
+σrup
+σrup
-σrup
-σrup
Seguro
62
Critério de Coulomb
63
Critério de Coulomb
64
Este critério, estabelecido por Mohr, é aplicável a
materiais frágeis quando os resultados de diversos
tipos de ensaios estão disponíveis. Não
constituindo propriamente um critério, mas sim
uma metodologia de análise, permite uma
avaliação de resistência suficientemente precisa
em qualquer ponto de um dado corpo, quando são
conhecidos os resultados dos seguintes ensaios:
Critério de Mohr
65
Critério de Mohr
66
Este critério é particularmente interessante para
materiais que apresentam resistências diferentes
quando solicitados à tração e à compressão. Este
tipo de comportamento, em geral, é apresentado
pelos materiais frágeis.
A proposição deste critério e que os estados são
igualmente perigosos quando forem tangentes à
reta apresentada na figura.
Critério de Mohr
67
Com os resultados destes ensaios, traçam-se os
círculos de Mohr correspondentes a cada um dos
três estados de tensão. Desenha-se uma curva
envolvente aos 3 círculos (o processo é geralmente
feito graficamente). Nestas circunstâncias, um
dado estado de tensão é um estado de tensão
situado abaixo do limite de resistência se o maior
dos 3 círculos de Mohr que se podem desenhar a
partir das 3 tensões principais, σ1, σ2 e σ3, se
encontra totalmente contido na área limitada pela
envolvente anteriormente traçada.
Critério de Mohr
68
A tensão equivalente para este critério é:
Critério de Mohr
69
Obtém-se experimentalmente uma envoltória-limite
que, em geral, é uma parábola.
Para avaliar a resistência do material é analisado o
discriminante Δ da equação do segundo grau,
resultante da equação da reta-limite (Coulomb) ou
da envoltória-limite (Mohr) e a equação do círculo
de Mohr, que indica se o círculo intercepta a
envoltória, sendo possíveis três situações:
Critério de Mohr
70
1. Δ > O, existem duas raÍzes reais para σθ. Significa que o
círculo intercepta a reta-limite (Coulomb) ou a envoltória-
limite (Mohr) em dois pontos, indicando que o elemento de
tensão excede os limites. 2. Δ = O, existe uma raiz real dupla para σθ e o círculo
tangencia a reta-limite (Coulomb) ou a envoltória-limite
(Mohr). O elemento de tensão está na iminência de exceder
os limites.
3. Δ < O, não existem raÍzes reais. O elemento de tensão
não excede os limites, pois o círculo não intercepta a reta-
limite (Coulomb) ou a envoltória-limite (Mohr).
Critério de Mohr
71
Critério de Mohr
Baseia-se na idéia do atrito interno entre as
partículas do material que compõem o corpo.
É apropriado para os materiais frágeis, em
que:
A tensão de cisalhamento máxima não deve
ser maior do que uma tensão de
cisalhamento limite:
em que a tensão varia linearmente.
72
Critério de Coulomb
73
Exercício
O primeiro passo é calcular as tensões
principais:
74
Solução
75
Solução
76
Solução
77
Solução
Verificar se o elemento de tensão excede os limites
admissíveis pelos seguintes critérios:
a) von Mises
b) Tresca Dado: tensão normal admissível σadm= 130 MPa ou 13kN/cm2.
c) Rankine Dados: tensão normal de tração admissível σt = 150 MPa; tensão normal de
compressão admissível I σc l = 600 MPa.
78
Exercício
79
Exercício
Cálculo das tensões principais: Considera-se σ3 = 0 no estado plano de tensão,
sendo que as tensões principais σ1 e σ2 são
determinadas com a Equação:
Substituindo os valores dados no problema:
Temos:
80
Solução
Critério da energia de distorção máxima (von Mises):
Para não exceder os limites admissíveis, a seguinte
condição deve ser respeitada:
No estado plano de tensão σ3 =0 e a tensão ideal é
calculada através da seguinte equação:
A máxima tensão admissível deve ser:
(Materiais dúcteis)
81
Solução
Substituindo os valores dados no problema:
Portanto, pelo critério de von Mises, o elemento de tensão
não excede os limites admissíveis.
82
Solução
Critério da tensão de cisalhamento máxima (Tresca):
A máxima tensão admissível deve ser:
(Materiais dúcteis)
Para o sistema:
três possibilidades devem ser analisadas:
83
Solução
84
Solução
Do cálculo das tensões principais:
85
Solução
Esta situação se enquadra na 1ª possibilidade, na
qual deve ser respeitada a condição:
86
Solução
Ou utilizando-se a condição da Equação
Com
Temos:
𝜎𝑖 = 𝜎𝑚á𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜎
𝜎𝑚á𝑥 = 𝜎1
𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝜎3 = 0
87
Solução
88
Solução
89
Solução
Portanto, pelo critério de Tresca, o elemento de
tensão excede os limites admissíveis.
90
Solução
Critério das tensões normais máximas (Rankine)
o elemento de tensão corresponde a um estado plano de tensão (σ3 = O) e pode ser analisado no
sistema σ1 x σ2. As tensões principais σ1 =
14kN/cm2 > 0 e σ2 =4kN/cm2 >0 definem um ponto
no 1º quadrante no qual devem ser respeitadas as
seguintes condições:
91
Solução
Portanto, pelo critério de Rankine, o elemento de
tensão não excede os limites admissÍveis.
92
Exercício
Verificar se o elemento de tensão excede os limites
admissíveis pelos seguintes critérios:
a) von Mises b) Tresca
Dado: tensão normal admissível sadm = 180 MPa.
c) Rankine d) Coulomb
Dados: tensão normal de tração admissível sadmt =
80 MPa; tensão normal de compressão admissível
sadmc = 400 MPa.
93
Exercício
Cálculo das tensões principais: Considera-se σ3 = 0 no estado plano de tensão,
sendo que as tensões principais σ1 e σ2 são
determinadas com a Equação:
Substituindo os valores dados no problema:
Temos:
94
Solução
Critério da energia de distorção máxima (von Mises):
Para não exceder os limites admissíveis, a seguinte
condição deve ser respeitada:
No estado plano de tensão σ3 =0 e a tensão ideal é
calculada através da seguinte equação:
A máxima tensão admissível deve ser:
(Materiais dúcteis)
95
Solução
Substituindo os valores dados no problema:
Portanto, pelo critério de von Mises, o elemento de tensão
não excede os limites admissíveis.
96
Solução
Critério da tensão de cisalhamento máxima (Tresca):
A máxima tensão admissível deve ser:
(Materiais dúcteis)
Para o sistema:
três possibilidades devem ser analisadas:
97
Solução
98
Solução
Do cálculo das tensões principais:
99
Solução
Esta situação se enquadra na 3ª possibilidade, na
qual deve ser respeitada a condição:
100
Solução
Ou utilizando-se a condição da Equação
Com
Temos:
𝜎𝑖 = 𝜎𝑚á𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜎
101
Solução
102
Solução
Portanto, pelo critério de Tresca, o elemento de
tensão excede os limites admissíveis.
As tensões principais s1 = 6 kN/cm2 > 0 e s2 = -14
kN/cm2 < 0 definem um ponto no 4º quadrante
103
Solução
Critério das tensões normais máximas (Rankine)
o elemento de tensão corresponde a um estado plano de tensão (σ3 = O) e pode ser analisado no
sistema σ1 x σ2. As tensões principais σ1 = 6kN/cm2
> 0 e σ2 = -14kN/cm2 <0 definem um ponto no 4º
quadrante no qual devem ser respeitadas as
seguintes condições:
104
Solução
Portanto, pelo critério de Rankine, o elemento de
tensão não excede os limites admissÍveis.
105
Exercício
Respeitando-se os sentidos das tensões,
determinar o valor admissível da tensão p. O
material segue o critério das tensões de
cisalhamento máximas (Tresca).
Dado: tensão normal admissível sadm = 100 MPa
Cálculo das tensões principais: Considera-se σ3 = 0 no estado plano de tensão,
sendo que as tensões principais σ1 e σ2 são
determinadas com a Equação:
Substituindo os valores dados no problema:
106
Solução
Critério da tensão de cisalhamento máxima (Tresca):
A máxima tensão admissível deve ser:
(Materiais dúcteis)
Para o sistema:
três possibilidades devem ser analisadas:
107
Solução
108
Solução
Do cálculo das tensões principais:
109
Solução
Esta situação se enquadra na 3ª possibilidade, na
qual deve ser respeitada a condição:
110
Solução
Ou utilizando-se a condição da Equação
Com
Temos:
𝜎𝑖 = 𝜎𝑚á𝑥 − 𝜎𝑚𝑖𝑛 ≤ 𝜎
111
Solução
112
Exercício
Respeitando-se os sentidos das tensões,
determinar o valor admissível da tensão p. O
material segue o critério das tensões de
cisalhamento máximas (von Mises).
Dado: tensão normal admissível sadm = 120 MPa
Cálculo das tensões principais: Considera-se σ3 = 0 no estado plano de tensão,
sendo que as tensões principais σ1 e σ2 são
determinadas com a Equação:
Substituindo os valores dados no problema:
113
Solução
Critério da energia de distorção máxima (von Mises):
Para não exceder os limites admissíveis, a seguinte
condição deve ser respeitada:
No estado plano de tensão σ3 =0 e a tensão ideal é
calculada através da seguinte equação:
A máxima tensão admissível deve ser:
(Materiais dúcteis)
114
Solução
Substituindo os valores dados no problema:
Portanto, pelo critério de von Mises, o elemento de tensão
não excede os limites admissíveis.
115
Solução
116
Exercício
Portanto:
Para considerar os sentidos das tensões indicados e
respeitar a condição de resistência do material, os valores
da tensão p podem variar no intervalo de 0 < p < 49,0 MPa.
Portanto, o valor admissível vale p = 49,0 MPa.
Verificar se o elemento de tensão excede os
limites admissíveis pelos seguintes critérios:
a) von Mises
b) Tresca Dado: tensão normal admissível σadm= 130 MPa ou 13kN/cm2.
117
Exercício
Cálculo das tensões principais: Considera-se σ3 = 0 no estado plano de tensão,
sendo que as tensões principais σ1 e σ2 são
determinadas com a Equação:
Substituindo os valores dados no problema:
Temos:
118
Solução
Critério da energia de distorção máxima (von Mises):
Para não exceder os limites admissíveis, a seguinte
condição deve ser respeitada:
No estado plano de tensão σ3 =0 e a tensão ideal é
calculada através da seguinte equação:
A máxima tensão admissível deve ser:
(Materiais dúcteis)
119
Solução
Substituindo os valores dados no problema:
Portanto, pelo critério de von Mises, o elemento de tensão
não excede os limites admissíveis.
120
Solução
Critério da tensão de cisalhamento máxima (Tresca):
A máxima tensão admissível deve ser:
(Materiais dúcteis)
Para o sistema:
três possibilidades devem ser analisadas:
121
Solução
122
Solução
123
Solução
Para este caso a possibilidade é a seguinte:
Substituindo os valores do problema:
s1=14kN/cm2 ≥ 13kN/cm2
Portanto, pelo critério de Tresca o elemento de tensão
excede os limites admissíveis.