RM-1BIM-5to sec.doc

Consorcio Educativo “El Carmelo” RAZONAMIENTO Colegios Pre Universitarios con Formación Humanista MATEMÁTICO 5to año

CAPÍTULO I

Se dice que cuatro hombres se fugaron con sus amadas, pero al llevar a cabo sus planes se vieron

forzados a cruzar un río en un bote que sólo podía llevar a

dos personas a la vez. En el medio de la corriente había una

pequeña isla. Parece que los jóvenes eran tan celosos que

ninguno de ellos permitía que su futura esposa permaneciera

ni un segundo en compañía de otro hombre u hombres a

menos que también él mismo estuviera presente.

Tampoco ninguno de ellos se avenía a embarcarse sólo en el

bote cuando hubiera una muchacha sola, en la isla o en la costa, si esta muchacha no era aquella con

la que estaba comprometido. Este hecho nos hace sospechar que las muchachas también eran

celosas y temían que sus compañeros huyeran con alguna de las otras si se les daba la oportunidad.

Bien, fuera como fuese, el problema consiste en descubrir cuál es la manera más rápida de hacer

cruzar el río a todo el grupo.

Supongamos que el río tiene doscientas yardas de ancho y una isla en el medio en la que pueden

permanecer todos. ¿Cuántos viajes debe hacer el bote para cruzar a todas las parejas según las

condiciones impuestas?

LÓGICA RECREATIVA

Así como hay ejercicios físicos específicos para un atleta, cuando empieza su entrenamiento,

análogamente, empezaremos el curso desarrollando algunos ejercicios sencillos en los cuales usted

deberá pensar en la forma de resolver sin emplear teoremas y fórmulas, pues estos ejercicios están

diseñados para iniciarte en el Razonamiento Matemático; luego abordaremos temas con un mayor

grado de abstracción.

PROBLEMAS

1. El piso de la cocina tiene cuatro ángulos, en cada ángulo está un gato, además, frente a cada gato hay tres gatos. En cada rabo está sentado un gato. ¿Cuántos gatos gay como mínimo en la cocina?

Rpta. .........................................

2. Si el planeta A tarda 4 años (terrestres) en dar una vuelta completa al sol y el planeta B tarda dos años.¿Cuántos años deberán transcurrir como mínimo, para que los dos tomen la posición inicial?

Rpta. .........................................

3. En una reunión familiar se encuentran las siguientes relaciones de parentesco entre los presentes: padre, madre, hijo, hija, tío, tía, hermano, hermana, primo, prima, sobrino, sobrina; sin embargo, sólo habían 4 personas.¿Cómo puede ser posible?

Rpta. .........................................

4. Dos profesores de matemática discutían acaloradamente sobre la escritura de una operación elemental por un niño de 10 años. “Esta operación está correcta”, decía uno. “¡No!, está equivocada por completo”, decía el otro; ¿cómo podían dos

1


expertos tener un desacuerdo tan absoluto acerca de una operación simple?

Rpta. .........................................5. Calcular la medida del ángulo formado por las líneas punteadas.

Rpta. .........................................

6. Una llave está construida con 10 cerillos, en ella se cambia de lugar 4 cerillos, de manera que resulten 3 cuadrados iguales.

7. Distribuir los dígitos del 1 al 6 en los círculos de la siguiente figura (un dígito en cada círculo), de tal manera que la suma de los dígitos en cada uno de los lados del triángulo sea 9.

8. Una señora compra carne por un valor de S/. 3 y paga con un billete de S/. 10. El carnicero que no tenía cambio, cruza la calzada y de dirige hacia la Botica, cambia el billete en dos de S/. 5, cruza nuevamente la calzada y cambia en la Panadería uno de los billetes de S/. 5 en monedas de S/. 1; con lo cual consigue dar vuelto. Luego de algunos minutos el boticario le devuelve el billete de S/. 10, pues era falso y el carnicero compungido le entrega un billete de S/. 10 verdadero. ¿Cuánto perdió el carnicero?¡No!, la respuesta no es S/. 20, ni tampoco S/. 17.

Rpta. .........................................

9. A continuación mostramos un cuadrado compuesto de 8 monedas. Se le pide que cambiando de lugar a cuatro monedas, forme un cuadrado que presente cuatro monedas en cada lado.

3 4 5

2 6

1 8 710. Hagamos referencia ahora a un ejemplo sumamente interesante y divertido. Escribe seis veces la cifras (1) y tres veces el signo de adición en una fila de modo tal que obtengas como suma un total de 24.

11. Dos personas contaron durante una hora a los transeúntes que pasaron junto a ellos, por la acera. Una contaba desde la puerta de su casa y la otra yendo y viniendo por la acera.¿Quién contó más transeúntes?

Rpta. .........................................

12. Un campo cuadrangular está rodeado por un foso de ancho constaste, Emmanuel desea cruzarlo, pero sólo dispone de dos tablones muy resistentes cada uno de los cuales tiene un largo exactamente igual al ancho del foso. ¿Cómo haría para cruzar el foso, utilizando únicamente estas dos tablas? (no tiene ni clavos, ni martillos, ni nada por el estilo)

Rpta. .........................................

13. Distribuir los dígitos del 1 al 7 usándolos una sola vez para conseguir que la suma de los números que ocupan cada fila sea 12.

14. Ubicar los dígitos del 1 al 8 en los círculos, de modo que no haya dos números consecutivos en dos círculos directamente conectados por líneas. Calcular el cuadrado de la suma de los números que ocupan los círculos sombreados.

2


Rpta. .........................................

15. Tres alumnas: Daniela, Tania y Sonia responden verdadero (V) o falso (F) en un examen de tres preguntas de la siguiente manera:

Daniela Tania Sonia

1° Pregunta

2° Pregunta

3° Pregunta

V

V

F

V

F

F

F

F

V

Se sabe que una de ellas contestó todas correctamente; otra falló en todas y la otra sólo falló en una pregunta. ¿Quién acertó todas las preguntas?

Rpta. .........................................

16. Las cifras del 1 al 9 hay que distribuirlas en la rueda de la figura, una cifra debe ocupar el centro del círculo y las demás los extremos de cada diámetro, de manera que tres dígitos de cada diámetro sumen siempre 15.

17. Cierta clase de microbio tiene la propiedad de duplicarse en cada minuto. Si hay un recipiente y lo llena por la mitad a los 28 minutos.¿En que tiempo se llenará el recipiente?

18. ¿Cuántos palitos como mínimo se debe cambiar de posición para obtener una igualdad correcta?

19. ¿Cuántas monedas del mismo tamaño a las del gráfico, sin necesarias para colocar como mínimo alrededor, de tal manera que sean tangentes entre sí y tangentes a las monedas del gráfico?

20. ¿Cuál es el mayor número de cuadrados que se puede formar con 12 palitos de fósforo de tal manera que el lado de cada cuadrado sea igual a la de un palito?

21. Si en los círculos de la figura escribimos los números naturales del 3 al 11, de manera que los números en cada lado del triángulo sumen 25, ¿cuál es la suma de los números que se escriben en los círculos etiquetados con X, Y, Z?

X

Z Y

22. Divida la figura en dos partes que tengan la misma forma, igual número de cuadrados y sumen lo mismo.

7 5 5 7

4 1 6 2

4 2 4 3

8 9 6 5

De cómo respuesta la mitad de la suma de una de las partes.

23. En el siguiente cuadrado los 16 primeros números son pares, además al sumar en forma vertical, horizontal o diagonal resulta el mismo valor.

Halle: a + b + c + d

a b

.

d C

3


24. Un cuadrado mágico multiplicativo es tal que el producto de los números en cada fila, columna, diagonal sea el mismo; si las casillas del cuadrado del diagrama se llenan con enteros positivos de modo que se forma un cuadrado mágico multiplicativo. ¿Cuál es el valor de X?

5 X

4

1

CAPÍTULO II

CURIOSIDADES12 = 1

112 = 121

1112 = 12321

11112 = 1234321

111112 = 123454321

1111112 = 12345654321

11111112 = 1234567654321

111111112 = 123456787654321

1111111112 = 12345678987654321

RAZONAMIENTO INDUCTIVO – DEDUCTIVO

1. INDUCCIÓN

La inducción es definida como un método de

razonar que consiste en sacar de los hechos

particulares una conclusión general, así:

CC A

C A SC A S OA S OS OO

nI . II . III ….

RAZONAMIENTO INDUCTIVO

Ejem: ¿Cuantas bolitas hay en la siguiente pila?

1 2 3 98 99 100

2. DEDUCCIÓN

Es un modo de razonar donde a partir de una información general llegamos a establecer cuestiones particulares.

Caso 1

4


Caso CASOS 2 PARTICULARES

CASO GENERAL

Caso 3

Ejem: Halle la última cifra del resultado de:

E = 367431 + (82519 + 1) (262 + 1)

5


PROBLEMAS

1. ¿Cuántos puntos de contracto hay en la siguiente gráfica de circunferencias?

1 2 3 4 .......... 48 49 50

a) 3765 b) 3675 c) 6732d) 3670 e) 37679

2. Hallar la suma de cifras del producto siguiente.

P = 777 .... 777 x 999 .... 999

50 cifras 50 cifras

a) 450 b) 460 c) 480 d) 490 e) N.A.

3. ¿Cuántos apretones de manos se producirán al saludarse 40 personas asistentes a una reunión?

a) 780 b) 760 c) 765 d) 640 e) 798

4. Halle la suma de la fila 10 en la siguiente figura:

f1 = 1f2 = 1 3f3 = 1 3 5f4 = 1 3 5 7f5 = 1 3 5 7 9……………………………………f1.0 = 1 3 5 7 9 ... 19

a) 100 b) 200 c) 300 d) 150 e) 240

5. ¿Cuántas bolitas se pueden contar en total en la siguiente figura?

1 2 3 . ....... 98 99 100

a) 172 b) 102 c) 103 d) 1002 e) N.A.

6. Calcular el resultado de operar:

M = (a – n) (b – n) (c – n) .... (x – n)

a) 1 b) 0 c) 24n

d) (x – n)4 e) N.A.

7. Calcular:24 cifras

E = 35 + 3535 + ... + 3535 ... 35 12 1212 1212 ... 12

24 cifras

a) 25 b) 75 c) 35 d) 35 e) N.A. 12

8. Calcule la suma de las cifras del resultado de la siguiente expresión:

S = (111 ...11 + 222 ....22 + 333 ....33)2

100 cifras 100 cifras 100 cifras

a) 100 b) 870 c) 900 d) 810 e) 800

9. ¿Cuántos triángulos hay en total en f20?

f1 f2 f3

10. Indicar la suma de las cifras del resultado, al efectuar la siguiente operación:

(666 .... 666)2

666 cifras

a) 1998 b) 1332 c) 6998 d) 5994 e) 1292

11. Calcular:

2001

2 __________________________________ 3 . 5 . 17 . 257 ... (2001 factores) + 1

a) 2001 b) 1999 c) 2000 d) 1 e) 2

12. Calcular:

1 + 1 + 1 + .... 1__1. 2 2. 3 3. 4 n (n+1)

a) 1 b) 1_ c) 1_ n n+1 n2 +1

d) n_ e) n_ n+2 n+1

13. Calcular:

32 ________________________________________________

(2 + 1) (22 + 1) (24 + 1) (28 + 1) (216 + 1) + 1

a) 16 b) 18 c) 4 d) 2 e) 1

6


7


CAPÍTULO III

Cierta vez un matemático llamado H. Ardí al visitar a su amigo Ramanuján, quien estaba enfermo en

un hospital, le dijo: “Vine en el taxi 1729, el número me pareció muy banal y espero que no sea de

mal agüero”. Al contrario, contestó Ramanuján, el número es muy interesante es el menor número

que se puede expresar como suma de 2 cubos en dos forma distintas.

1729 = 13 + 123 = 93 + 103

Debemos saber que Ramanuján al responder instantáneamente no lo hizo por arte de magia, sino

como trabajaba constantemente con los números sabía de los cubos perfectos de memoria; solo tuvo

que percatarse que dos de ellos sumasen 1729.

¿Podrás hacerlo tú?

99952 – 99942 =....................

Obs:

a2 – b2 = .....................

HABILIDAD OPERATIVA

1. MULTIPLICACIÓN POR 5

Para multiplicar por 5, al número se le agrega un cero a la derecha y el resultado se divide entre 2.

426 x 5 =

23 x 5 =

976 x 5 =

4783 x 5 =

7114 x 5 =

648 x 5 =

9737 x 5 =

419971 x 5 =


Para multiplicar por 25, al número se le agrega dos ceros a su derecha y el resultado se divide entre 4.

426 x 25 =

229 x 25 =

798 x 25 =

3697 x 25 =

124 x 25 =

645 x 25 =

8


4797 x 25 =

3. DIVISIÓN POR 5

Para dividir por 5, al número se le multiplica por 2 y el resultado se divide entre 10, es decir, se cancela un cero o se corre la coma decimal un lugar hacia la izquierda.

385 5 =

32140 5 =

4318 5 =

8125 5 =

94540 5 =

71853 5 =


1°

8 5 7 2 x 11 = 9 4 2 9 2 V V V + + +

2°

3° 4°

5°

79 x 11 =

4599 x 11 =

790047 x 11 =

987543g x 11 =

5. MULTIPLICACIÓN POR 9; 99; 999; 9999;….

Para multiplicar cualquier número natural (N) por otros número natural que está formado

íntegramente por cifras 9, al otro número (N) hay que agregarle a su derecha tantos ceros como cifras nueves hay, y al número que resulte le restamos el mismo número (N).

ES DECIR:

N x 99 .... 99 = N00 .... 00 – N |________| |__________| “n” cifras “n” cifras

N representa a cualquier número natural.

123 x 99 =

746 x 999 =

3785 x 999 =

844371 x 99999 =

87 x 99 =

23 x 9999 =

501 x 999 =

1007 x 99999 =

6. MULTIPLICACIÓN DE 2 NÚMEROS DE 2 CIFRAS CADA UNO

8 1

2 1 x x x x

1 4_____

2 9 4

8 + 1

41 x 12 =

23 x 21 =

64 x 43 =

34 x 46 =

9


53 x 67 =

87 x 77 =

98 x 93 =

7. CUADRADO DE UN NÚMERO DE 2 CIFRAS

Obs: __( ab )2 = a2 . 2(ab) . b2

342 =

522 =

862 =

932 =

352 =

8. CUADRADO DE UN NÚMERO QUE TERMINA EN CIFRA 5.

__ 2 ________N5 = 25

X (N+1)

552 =

1052 =

7852 =

99952 =

852 =

2352 =

5552 =

10052 =

PROBLEMAS RECREATIVOS

1. Forma los números 1, 2, 3, 4, 5 con 3 cifras “cinco”

5 __

1 = 5 5 = 5 = 5 5 – 5

5

2 =

3 =

4 =

5 =

2. Coloca convenientemente los paréntesis y los símbolos + ; – ; x ; sobre las líneas punteadas para obtener los resultados dados.

3 ...... 3 ...... 3 ...... 3 = 1

3 ...... 3 ...... 3 ...... 3 = 2

3 ...... 3 ...... 3 ...... 3 = 3

3 ...... 3 ...... 3 ...... 3 = 4

3 ...... 3 ...... 3 ...... 3 = 5

3 ...... 3 ...... 3 ...... 3 = 6

3 ...... 3 ...... 3 ...... 3 = 7

3 ...... 3 ...... 3 ...... 3 = 8

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Si:

_____x2x , 2 = 606

5

Obtener el valor de “x” haciendo uso de los criterios aprendidos.

a) 2 b) 1 c) 3 d) 4 e) 5

2. Si:________

548 x 99 = ........ xy

Calcular “x – y”

10


a) 7 b) 5 c) 3 d) 1 e) 4

3. Si:

_______

(145)2 = abc25

Calcular: “abc”

a) 0 b) 2 c) 1 d) 4 e) 8

4. Si:________ _______

8q4mn x 11 = 9rop41

Calcular: “p + q”

a) 15 b) 13 c) 10 d) 12 e) 14

5. Hallar el valor de “x” ______ ________

( 2 x 5 )2 = 42 x 25

a) 2 b) 4 c) 3 d) 0 e) 1

6. Si:(x + y + z + w)2 = 4 (x + z) (y + w)

Calcule:

3x + 3z – y – w x + z – 3y – 3w

M = 3

a) 6 b) 1 c) 3 d) 1 e) N.A. 6 3

7. Efectúa y da como respuesta la suma de cifras del resultado.

A = 25 + 2525 + 252525 + ..... + 25 ... 25 37 3737 373737 37 ... 37

111 sumandos

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

8. Calcula: a + b, si:

________ (1 x 3 x 5 x 7 x ...... )4 = ......... ab

1999 factores

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

9. Si: 6 __

x – y = y – z = 6

Calcula el valor de:

A = (x – z) 6 + (y – z) 6 + (x – y) 6 66

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

10. Halla “x + y”

__ __Si: x – y = 2

x – y = 16

a) 33 b) 34 c) 35 d) 36 e) 37

11. Calcula el valor de:

__ + x ; Si x yAdemás:

________2x2 + 4 + 2 2 (2 + x2) = 48

a) 3 b) 7 c) 6 d) 4 e) 2

12. Si: x + 1 = 2 x

Halle A + B, si:

A = x20 + x19 + x18 + x17 + .... + x2 + x

A = x-20 + x-19 + x-18 + .... + x-2 + x-1

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

13. Si: __ __ x + 1 = 7 x

Halla x3 + 1_ x3

a) 100 b) 110 c) 120 d) 130 e) 140

14. Si:________ ____...... 3518 9999 = abcd

Calcula:E = 5. [a x b x c x d] a + b + c + d

a) 94 b) 95 c) 97 d) 96 e) 98

15. Simplifica:

______________E = 3 256 x 264 + 16 x 2_

123 x 137 + 49 3 4

a) 3 b) 4 c) 5 d) 2 e) 1

11


16. Calcula el valor de M, en:

4 ______________________M = 2 x 4 x 10 x 82 x 6562 + 1

a) 80 b) 81 c) 82 d) 83 e) 84

17. Calcula “x + y”, si:

y x + y = x 8/3 ; x + y > 0

a) 3 b) 2 c) 4 d) 2 e) 5 4 3 3 5 2

18. Determina el valor de:

xn

x A = n

x n

. .

n __ n-1 __ n+1 __ __ x __

a) x b) x c) x d) x e) n

19. Simplifica:

3 ___ 3 ___ 3 ____ 3

E = 16 + 54 + 128

a) 1542 b) 1243 c) 1458 d) 2432 e) N.A.

20. Halla la suma de cifras del resultado de:

A = 7777777 x 999999999

a) 81 b) 60 c) 70 d) 40 e) N.A.

CAPÍTULO IV

¿Cuáles son las raíces de la ecuación 2x = x2 ?

Dos de esas raíces son equivalentes: x = 2 y x = 4.

Más trazando los gráficos de las funciones y = 2x y y = x2, constatamos que hay una raíz negativa,

como se ve en la figura siguiente:

y y = 2x y = x2

16

4

0 2 4 x

ECUACIONES

12


ECUACIÓN: Es una igualdad entre dos

expresiones algebraicas que toman el mismo

valor numérico sólo para un determinado

sistema de valores algebraicos asignados a

sus variables. Además a las variables que

intervienen en una ecuación se les denomina

incógnitas y a los valores que satisfacen la

igualdad se llaman soluciones de la ecuación.

Así:

Dadas 2 expresiones algebraicas relacionadas

de la siguiente manera:

M (x ; y ; z ; ....) = N (x ; y ; z)

1° miembro 2° miembro

Luego:

M (x ; y ; z ; ....) – N (x ; y ; z) = 0

F(x ; y ; z ; ....) = 0

Forma general de una ecuación.

1. ECUACIONES LINEALES

Se denomina ecuación lineal a la ecuación polinomial de la forma.

ax + b = 0 a 0

Donde C.S. = – b a

Ejem:

1.- 3x – 9 = 0

2.- 5x – 7 = 0

3 Halle “x” en: 2x + 10 = x + 30

4.- Calcule “x” en:

x + 10 = x + 203 3

5.- Halle x en:

2x – [-2x – 2 + 10] = 2(10 – x) + x

6.- Calcule x en:

x + 1 + x = x + 1

2 3 2 6

7.- Calcule el valor de “a” en:

a + m + a + n = 1 m n

8.- Halle x en:

x = x + x + x + x + 9 6 12 7 2

9.- Halle x en:

5x – (3x – 2) = 8x – (3 – 9x) – 5

10.- Halle x en:

x + x + x – x = 233 4 6

2. ECUACIONES CUADRÁTICAS

Se denomina ecuación cuadrática a la ecuación polinomial de la forma.

ax2 + bx + c = 0 a 0

Fórmula General:

_______x(1;2) = – b b 2 – 4ac

2a

Ejem:

1. Resuelva:

x2 – 7x – 8 = 0

2. Resuelva: ___ ___ __x2 – 2x – 3x + 6 = 0

3. Resuelva:

4x2 – 5x – 51 = 0

4. Halle el menor valor de x

x2 + 10 = 3x + 28

5. Halle el mayor valor de x

x + 14 = 9 x

6. Halle x en:

x (3x + 4) = 15

7. Halle x en:

13


x2 – (m + n)x + m.n = 0

8. Halle x2 en:

3x + x + 3x = x x 3

9. Halle “x” en:

x (x + 1) = 6

10. Halle “x” en:

1 + 1 = 1_x x + 40 15

SISTEMA DE ECUACIONES

Se denomina sistema de ecuaciones al conjunto de ecuaciones cuyas soluciones comunes se pretende obtener en caso que existan.

La solución del sistema de ecuación es todo conjunto de valores de las incógnitas que verifican a la vez todas las ecuaciones del sistema.

Ejem:

1. Si x + y = 28y + z = 12

Halle x – z

2. Si 2x + y = 26x – y = 10

Halle x . y

3. Si x2 – y2 = 12x – y = 2

Halle el valor de x

4.- Halle “x” en:

3x + 2y = 134x + 5y = 27

5. Calcule “z” en:

x + y = 9x + z = 6

y + z = 1

6. Calcular “x” en:

1 + 1 = 1_x y 12

1 + 1 = _1_y z 20

1 + 1 = _1_x z 15


I. Halle el valor de x en cada caso:

1. 2x + 1 = x – 1 3 3

2. 4x + 1 = 2 + x a a

3. xb – a = xa – b a b

4. (m + x) (n – m) = 1

5. x – [m(-n + 1)] + mx

6. 2 + 3 = 10 x 2x

7. 8x – (3x – 20) – [5 – 2x – (7x - 30)] = 125

_____8. 184 + x – 2 = 14

9. 9x – (5x + 1) – [2 + 8x – (7x – 5)] + 9x = 0

10. 5 – 4x + 1 = 16x – 12x + 1 2 4

II. Despeje x en cada una de las siguientes ecuaciones cuadráticas.

14


1. 30x2 + x2 = 202 + (50 – x)2

2. x (x – 1) = 66 2

3. x + 16x 2 + 2 = 2x2

9

4. (100 – x) 20 = 15x__ 3x 100 – x

5. (x – 1)2 + x2 + (x + 1)2 = (x + 2)2 + (x + 3)2

III. Resuelva los siguientes sistemas de ecuación.

1. 3x + y = 8x – y = 4

2. 8x + 7y = 227x – 8y = 50

7

_____3. x + y = 6

_____ x – y = 2

__ __4. a + b = 4

__ __2 a + 3 b = 12

5. Si: _____ _____ a + b – a – b = 2 _____ _____ a + b + a – b = 6

6. a + b = 10b + c = 12a + c = 8

7. x + y + z = 12x – y + z = 8 z = 4

8. 1 + 1 = 1x y 8

1 + 1 = 1y z 2

1 + 1 = 1z x 4

IV. Resuelva para valores enteros (dé la solución general)

1. 49x + 99y = 1034

2. 33x + 32y = 553

3. 18x + 17y = 55

4. 3x + 7y = 83

5. 9x + 5y = 101

CAPÍTULO V

Un problema muy remoto que se solían plantear los juristas romanos decía:

“Una viuda estaba obligada a repartirse con el hijo que debía nacer una herencia de 3500 monedas

que le dejó su marido.

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Si nacía una niña, la madre, de acuerdo a las leyes romanas, debería recibir el doble de la hija. Si

nacía un niño, la madre recibía la mitad de la parte de hijo. Pero ¡Nacieron mellizos un niño y una

niña!”

El reparto debe efectuarse del siguiente modo:

Niña 500

Mamá 1000

Niño 2000

Veamos con una ecuación:

Niña Mamá Niño

x + 2x + 4x = 3500

7x = 3500

x = 500

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PLANTEO DE ECUACIONES

Plantear un ecuación es:

1 Leer cuidadosamente la situación planteada (problema) y tratar de entender a que se refiere.

2 Identificar las magnitudes (todo que se pueda medir) dadas, como datos y que nos piden (incógnita).

3 Simbolizar la incógnita con una variable (x, y, z, ...) y tratar de relacionar con los datos mediante las operaciones dadas (multiplicación, adición, ....) es decir plantear la ecuación.

4 Finalmente resolver la ecuación (despejar la incógnita).

RESUMEN:

ENUNCIADO(forma verbal)

EXPRESIÓN MATEMÁTICA

-La suma de dos números consecutivos más 3 (X) + (X + 1) + 3

-Yo tengo S/. 20 soles más que tú Yo: 20 + xTú: x

-El cuadrado de la suma de dos números x é y

-La suma de dos cuadrados x é y

-El cuádruple de lo que tengo, aumentado en 20

-A excede a B en 4A es mayor que B en 4El exceso de A sobre B es 4B es excedido por A en 4La diferencia entre A y B es 4-A es el doble de B A es dos veces BB es la mitad de A-A es a B como 3 es a 5La relación entre A y B es 3/5A y B están en razón de 3 a 5A es a 3 como B es a 5-Por cada 3 fichas rojas tengo 4 fichas azules

-Tres menos dos veces un número es x

-El producto de cinco números consecutivos es m

-Tu tienes el doble de mi dinero que es S/. 30 más que el dinero de él

El:Yo:Tu:

-Si tú me das S/. 20, entonces tendremos igual cantidad de dinero

Yo: S/. aTu: a + 40

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Lenguaje común (enunciado)

LeerInterpretarSimbolizar

-Lenguaje matemático (ecuación)

-Resolución de la ecuación



1. Carlos dice a Pedro: Dame 5 de tus canicas y tendremos tanto el uno como el otro, Pedro responde: mejor dame 10 de las tuyas y tendré el triple de las que te quedan.

a) 20 y 25 b) 30 y 35 c) 25 y 35

d) 40 y 50 e) N.A.

2. Halle un número entero positivo, sabiendo que el exceso del cuadrado de dicho número sobre 119 es igual al décuplo del exceso del número sobre 8.

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

3. En una fiesta, la relación de mujeres y hombres es de 3 a 4. En un momento dado se retiran 6 damas y llegan 3 hombres con la que la relación es ahora de 3 a 5. Indique cuántas mujeres deben llegar para que la relación sea de 1 a 1.

a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24

4. Si subo una escalera de 4 en 4 escalones, doy 3 pasos más que subiendo de 5 en 5 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?

a) 40 b) 50 c) 60 d) 65 e) 70

5. Si compro 7 cuadernos y 3 lapiceros, gasto S/. 44; pero si compro 7 lapiceros y 3 cuadernos, gasto S/. 36, ¿cuánto cuesta 1 cuaderno y cuanto 1 lapicero?

a) 5 y 3 b) 4 y 6 c) 7 y 2 d) 5 y 4 e) 3 y 4

6. El papá de José acude al hipódromo con S/. 4300 y cuando ya ha perdido S/. 700 más de lo que no ha perdido, apuesta lo que le queda y lo triplica. ¿ganó o perdió?, ¿cuánto?

a) 1000 b) 1100 c) 1200 d) 1400 e) 1500

7. Halle dos números consecutivos cuya suma es igual a la cuarta parte del primero más los cinco tercios del segundo. Dé como respuesta el consecutivo del mayor de dichos números.

a) 10 b) 11 c) 7 d) 12 e) 13

8. En una granja se observa 40 animales y 100 patas, entre cerdos y gallinas. ¿Cuál es la diferencia del número de animales de cada especie?

a) 60 b) 50 c) 30 d) 20 e) 10

9. Tengo 56 soles entre monedas de 10 y 2 soles. Si el número de monedas de 10 soles excede en 2 al número de monedas de 2 soles, halle la cantidad de monedas que tengo.

a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11

10. Un matrimonio dispone de una suma de dinero para ir al teatro con sus hijos. Si compra entradas de S/. 8, le faltaría S/. 12 y si adquiere entradas de S/. 5, le sobran S/. 15, ¿cuántos hijos tiene el matrimonio?

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

11. Si cada niño de los que tengo le entregó tantos caramelos, como niños hay, me faltan 12 caramelos; pero si le entregó a cada uno 2 caramelos menos, entonces me sobraría lo mismo que me falta. ¿Cuántos niños tengo?

a) 12 b) 13 c) 14 d) 15 e) 16

12. Al jugar naipes con un amigo, me doy cuenta al final, de que él tiene el triple de dinero de lo que yo tenía cuando él tenía el doble de lo que tengo. Si juntamos lo que él tenía y lo que yo tengo, obtendríamos S/. 60 ¿cuánto tenemos entre ambos?

a) 20 b) 30 c) 60 d) 50 e) N.A.

13. Carlita recibió 4 soles y tuvo entonces 4 veces lo que hubiera tenido si hubiera perdido S/. 2. ¿Cuánto tenía al principio?

a) 6 b) 8 c) 4 d) 10 e) 12

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14. Un holgazán duerme normalmente todas las horas de cada día menos las que duerme. ¿Cuántas horas permanece despierto diariamente?

a) 24 b) 6 c) 12d) Absurdo e) Ninguno

15. En una reunión hay 40 personas, cuando se retiran 8 varones y 6 damas, la diferencia entre ellos y ellas es 10. ¿cuántos varones quedaron?

a) 20 b) 14 c) 26 d) 18 e) 8

16. Un tonel lleno de vino vale S/. 900, si se sacan de el 80 litros vale solamente S/. 180. ¿Cuál es la capacidad del tonel?

a) 80 b) 150 c) 180 d) 100 e) 900

17. En un banquete, habían sentados 8 invitados en cada mesa, luego se trajeron 4 mesas más y entonces se sentaron 6 invitados en cada mesa. ¿Cuántos invitados habían?

a) 32 b) 64 c) 36 d) 21 e) 96

18. Preguntado a un alumno por su nota en un examen responde: Si cuadruplico mi nota y le resto 40 tendría lo que me hace falta para obtener 20. ¿Qué nota tiene?

a) 12 b) 14 c) 17 d) 16 e) 15

19. ¿Cuál es el número cuyo cuádruplo sumado al mismo es igual al doble del número, más el triple del mismo?

a) 2 b) 3 c) 1 d) 0,5 e) Todo valor 4

20. En una granja se tienen: palomas, loros y gallinas, sin contar las palomas tenemos 6 aves, sin contar los loros tenemos 9 aves y sin contar las gallinas tenemos 7 aves. ¿Cuál es el número de palomas de dicha granja?

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

21. En un triángulo rectángulo el triple del cateto menor excede en una unidad al cateto mayor, pero le falta una unidad para ser igual a la hipotenusa. ¿cuál es la longitud del cateto mayor?

a) 35 b) 25 c) 37 d) 12 e) 24

22. Tres docenas de limones cuestan tantos soles como limones dan por S/. 1600, ¿cuánto vale la docena de limones?

a) 80 b) 160 c) 180 d) 240 e) 280

23. Cuatro hermanos tienen 45 soles. Si el dinero del primero es aumentado en 2 soles, el del segundo reducido en 2 soles, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de soles. ¿Cuánto dinero tenía cada uno?

a) 4 ; 10 ; 5 y 26 b) 7 ; 12 ; 6 y 20

c) 6 ; 14 ; 7 y 18 d) 8 ; 12 ; 5 y 20

e) 7 ; 10 ; 4 y 2424. Un comerciante compra maletas al precio de S/. 20 cada una además le regalan 4 por cada 19 que compra, recibiendo en total 391 maletas. ¿cuál fue la inversión del comerciante?

a) 323 b) 217 c) 6460 d) 900 e) 720

25. Un caballo y una mula caminaban juntos llevando sobre sus lomos pesados sacos. Lamentaba el jamelgo de su enojosa carga, a lo que la mula dijo: de que te quejas, si yo tomara un saco, mi carga sería el doble que la que te queda. En cambio si te doy un saco tu carga se igualará a la que me queda. ¿cuántos sacos llevaban entre los dos?

a) 9 b) 13 c) 12 d) 16 e) 19

26. Al ser preguntado Daniel por el número de chocolates que compró respondió: “compré 2 más que la raíz cuadrada, del triple de los que compré disminuido en 2”.¿Cuántos chocolates compró?

a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 20

27. Un grupo de monos está dividido en dos bandos: la octava parte de ellos al cuadrado se solaza en el bosque, mientras que los otros doce juegan en el campo. La mayor cantidad de monos que podemos tener es:

a) 56 b) 64 c) 32 d) 48 e) 8

28. En un baile Emilio dice a Verónica, somos el doble o el triple de ustedes. Ella le dice: “Mira allí vienen mis 5 amigas con las cuales nadie quedará sin bailar”. ¿Cuántos hombres hay en la fiesta?

a) 10 b) 12 c) 13 d) 14 e) 50

29. El producto de tres números enteros consecutivos es igual a 35 veces el segundo, la suma de ellos es:

a) -6 b) 6 c) 18 d) 19 e) N.A.

30. Martha está leyendo un libro de 350 hojas, si lo que ha leído es la tercera parte de los que falta. ¿Cuál es la próxima página que leerá?

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a) 58 b) 88 c) 99 d) 176 e) 220

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Documents

RM-1BIM-5to sec.doc