Risque opérationnel: Modèle de mise àl’échelle de la ... · − La perte totale due au risque opérationnel pour une banque dépend de deux composantes: une composante commune

4 avril 2011 – Risque opérationnel: modèle de mise à l’échelle de la sévérité des pertes opérationnelles – Edlira KOSPIRI

Risque opérationnel : Modèle de mise à l’échelle

de la sévérité des pertes opérationnelles

� Introduction

� Modèle de mise à l’échelle de la sévérité des pertes opérationnelles

� Résultats de l’application du modèle à une base de données de pertes

� Fréquence des pertes opérationnelles et capital réglementaire

� Conclusions

Edlira Kospiri

Encadrement par :

Antoine Frachot et Fabien Ramaharobandro


� Introduction




� Conclusions




Le cadre général

� Le risque opérationnel dans le système financier

� Sujet plus mature dans le secteur bancaire qu’assuranciel

- Description plus détaillée sous Bâle II que Solvabilité II

- Plus des données disponibles

- Néanmoins beaucoup de points en communs

� Quantification par des modèles internes

� Besoin de données historiques de pertes opérationnelles

- Données internes insuffisantes

- Recours à des données provenant de sources externes

- Nécessité de mettre ces données externes à l’échelle interne de l’institution


� Définition du risque opérationnel par Bâle II :

« Le risque de perte résultant de carences ou de défaillance attribuables à des procédures, personnes, systèmes internes ou événements extérieurs »

- inclut le risque juridique

- exclut le risque stratégique et d’atteinte à la réputation

� 7 types de risques :- Fraude interne (FI)

- Fraude externe (FE)

- Pratiques en matière d’emploi et sécurité sur le lieu de

travail (PE&ST)

- Clients, produits et pratiques commerciales (CP&PC)

- Dommages aux actifs corporels (DAP)

- Dysfonctionnements de l’activité et des systèmes (DAS)

- Exécution, livraison et gestion des processus (EL&GP)

� 8 lignes d’activité :- Financement des entreprises

- Négociation et vente

- Banque de détail

- Banque commerciale

- Paiement et règlement

- Fonctions d’agent

- Gestion d’actifs

- Courtage de détail

Bâle II et le risque opérationnel


� Nouveauté de Bâle II : approche globale du risque opérationnel comme une catégorie distincte de risque, couvert par des fonds propres spécifiques

� Trois approches pour le calcul des fonds propres par ordre croissant de complexité :

– L’Approche de l’Indicateur de Base : KBIA = produit annuel brut * α(Basic Indicator Approach )α = 15%

– L’Approche Standard : KTSA = Σ produit annuel brut 1-8 * β1-8

(Standard Approach)

– Les Approches de Mesure Avancées (AMA) : Modèle interne utilisant des données internes, des données externes, l’analyse des scénarios et les facteurs de l’environnement et de contrôleinterne

» L’approche Loss Distribution Approach (LDA)

» L’approche des scénarios

» L’approche Bayesienne

Les approches Bâle II de calcul du capital


� La perte annuelle totale d’une banque due au risque opérationnel est le résultat de

la combinaison de deux éléments : la fréquence et la sévérité

� On modélise chacune sous la forme d’une distribution de probabilité

� On combine les deux distributions distribution de pertes agrégées

� Le capital réglementaire = la VaR à 99,9% et à un an

Loss distribution approach (LDA)

Distribution de

la sévérité

Distribution de

la fréquence

Distribution de

pertes agrégées


Modèle interne et données de pertes

� Base de données de pertes internes indispensable pour la mise en place d’un modèle interne

� La constitution des bases de données internes un processus récent

nécessité de compléter avec des données de pertes externes

� Les données externes proviennent de banques de caractéristiques différentes et concernent des types de risque différents

nécessité de mise à l’échelle afin de rendre les données externes homogènes aux données internes d’une banque particulière

Approches de mesure

avancéesModèle interne

Données

externes

Mise à

l’échelle


� Introduction

�Modèle de mise à l’échelle de la sévérité des pertes

opérationnelles



� Conclusions




� Shih, Samad-Khan et Medapa (2000)

− Le montant de la perte opérationnelle est le résultat de la multiplication d'un terme de puissance

de la taille de l'institution et un autre terme résiduel non expliqué par les fluctuations de la taille :

L= Rα × F(θ)

� Hartung, T. (2004)

− Formule pour calculer l’équivalent d’une perte externe pour une banque donnée

� Na and al. (2005)

− La perte totale due au risque opérationnel pour une banque dépend de deux composantes : une

composante commune à toutes les banques et une composante idiosyncratique, propre à la

banque particulière

� Dahen H. (2006)

− Fait intervenir d’autres facteurs que la taille de la banque dans les paramètres d’échelle (le lieu, la

ligne d’affaires, les types de risque )

. ( )1 1

. ( )

b

adjadj org

org

Param échelle PertePerte Perte a

Param échelle Perte

= + −

{

11 17

i 0 1 i 2 i 3 i 4 i5 12ln (composante commune)

ln (g(composante Idiosyncratique))

ln(pertes) = a + a Taille + a USA + a Can + a Eur + j ij j ij ij j

a UA a TR e= =

+ +∑ ∑14444444444444244444444444443

Revue de la littérature


Méthodologie (1/2)

Definitions :

� Chaque montant de perte (yi) de la base de données externes est une observation de la distribution de sévérité de

la banque où la perte est survenue

� L’opération de mise à l’échelle consiste à transformer une perte en provenance de la base externe en une perte

mise à l’échelle, comme si cette perte mise à l’échelle avait été tirée dans la loi des données internes

Distribution de la sévérité pour la

banque A

0 5 1 0 1 5

x 1 04

0

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

3x 1 0

- 5

0 5 10 1 5

x 104

0

0 .2

0 .4

0 .6

0 .8

1

1 .2

1 .4x 10

-5

y*n

Distribution de la sévérité pour

une banque de référence

0 5 10 15

x 104

0

1

2

3x 10

-5

Distribution de la sévérité pour la

banque Z

Hypothèses :

� La sévérité du risque opérationnel peut être modélisée par un type de distribution commun à toutes les institutions bancaires

� Ce sont les paramètres de la loi qui traduisent le type de risque et les caractéristiques de chaque institution

y*1

Banque A

Banque Z

Mise à l’échelle

Mise à l’échelle

y1

yn


Méthodologie (2/2)

� Il est nécessaire de définir :

� Une famille de distributions de probabilité :

Nous avons choisi la famille de la distribution log-normale :

� Une fonction de mise à l’échelle qui permette de rester dans la même famille de loi :

� Une relation entre les paramètres de la loi log-normale et les caractéristiques de la banque :

Nous supposons une relation linéaire entre les paramètres de la loi log-normale et le logarithme

des caractéristiques suivantes : revenus, nombre d’employés, situation géographique (à travers

une variable binaire)

2

2

1 (ln )( , , ) exp( )

22

yf y

y

µµ σσσ π−= × −

iaiii yby ×=*

1 2 3 4 5( ) ln(Re ) ln( )X v NbrEmp EU Amµ α α α α α= + + + +2

6 7 8 9 10ln( ( )) ln(Re ) ln( )X v NbrEmp EU Amσ α α α α α= + + + +

� Si l’on note :- XR le vecteur de caractéristiques de la banque de référence

- Xi le vecteur de caractéristiques de la banque où la i-ième perte de la base externe est survenue

−=

)(

)(*)()(exp

i

RiRi X

XXXb

σσµµ

)(

)(

i

Ri X

Xa

σσ

=On obtient : et


Données de pertes utilisées pour le calibrage du modèle

OpBase

Données

Aon

Données

publiques

– Information quantitative et qualitative

– 16,500 données de pertes

– 1,600 institutions financièresDonnéesutilisateur

� OpBase : Base de données de pertes externes dues au risque opérationnel

� OpBase comme toute base de données est sujet à des biais différents : - biais de sélection

- biais d’échelle …

� Travail préliminaire sur les données :

− Extraire les données relatives aux pertes survenues aux banques de valeur non nulle et pour lesquelles les revenus de l’institution concernée sont renseignés

− Revaloriser par l’inflation les montants de pertes et les montants de revenus des institutions (valeur 2009)− Regrouper les données dans 7 groupes correspondant aux 7 types de risque définis par Bale II

Type d'événement Bâle II

N° de cas de perte non nulle et indic d'expo renseignés

BANQUECP&PC 460PE&ST 858

EF 817DAC 675

FI 336EL&GP 185

DAS 15

Total 3 346

FI = Fraude interneFE = Fraude externe PE&ST = Pratiques en matière d’emploi et sécurité sur le lieu

de travailCP&PC = Clients produits et pratiques commerciales DAC = Dommages aux actifs corporels DAS= Dysfonctionnements de l’activité et des systèmes EL&GP = Exécution, livraison et gestion des processus


Méthodes statistiques utilisées pour le calibrage du modèle

� Le calibrage du modèle se fait en estimant les paramètres des relations1 10...α α

1 2 3 4 5( ) ln(Re ) ln( )X v NbrEmp EU Amµ α α α α α= + + + +2

6 7 8 9 10ln( ( )) ln(Re ) ln( )X v NbrEmp EU Amσ α α α α α= + + + +

( )

1 10

1 10 1 10

1 10

1 10

1 10...

... ...11

2

2...1

...

( ... )

( ) ( ( ( ))

( , )1 1ln exp

2 ( , )( , ) 2

( ,1( , )

2

n

n n

i iii

ni i

i i ii

i ii

Max L

Max ln f Y Max ln f Y

lnY XMax

Y XX

lnY XMax ln X

α α

α α α α α α

α α α

α α α

α α

µ ασ ασ α π

µ ασ α

= = ==

= =

=

=

= =

− = × −

−= − −

∑∏

∑

( )2

21

)

( , )

n

i iXσ α=

∑

� Problème d’optimisation à 10 variables => résolu sous Matlab avec l’algorithme de Nelder-Mead

et un point de départ obtenu par la méthode des MCO :

54321'51

'1 )ln()ln(Re)ln(min...

5,...1

ααααααααα

+×+×+×+×−= iiiiiestest AmEUNbrEmpvYArg

)ln()ln()ln(Re]))()ln[(ln(min),...,( 2109876

2

10...6,

'10

'6 iiiiiestii

iestest AmEUNbrEmpvXYArg

i

εαααααµααα

+++++−−==

1 10( ... )α α α=L’estimateur converge fortement vers 1 10( ... )α α α=

Il est asymptotiquement gaussien11

( ) (0, ( ))dnn N I

nα α α−− → ×

22

1 1 10' '

( ( ))( ... )

( ) ( )i

n in

f YL

I E Eα αα αα

α α α α−

∂∂ = − = −

∂ ⋅∂ ∂ ⋅∂

∏

par le maximum de vraisemblance :

où

Propriétés de l’estimateurMaximum de vraisemblance


� Introduction


� Résultats de l’application du modèle à une base de

données de pertes


� Conclusions




Résultats : valeurs des estimateurs

� Résultats du programme de maximisation de la vraisemblance et du test de la

significativité statistique des coefficients (par le test du rapport de vraisemblance

: )02 ( ( ) ( ))n n n n nL Lξ α α= × −

CP&PC FI FE EL&GP PE&ST DAC

Revenus α 1 0,7594 0,2808 0 0 0 0,3088

Nbr d'emp α 2 0 0 0 0,2312 0,0925 0

EU α 3 0 0 -1,4560 0 -0,8614 -4,5311

Am du Nord α 4 -0,3442 0 -0,7346 -1,4071 1,1092 -1,9361

Cnst α 5 9,9314 11,1772 11,4005 8,9580 6,0322 9,8450

Revenus α 6 0,2679 0,0973 0,1192 0 0 0

Nbr d'emp α 7 -0,1405 0 0 0 0,0778 0

EU α 8 0 1,0134 0,4731 0 0,3783 0

Am du Nord α 9 0,6785 0,5744 1,2318 0 1,0319 0

Cnst α 10 0 0 -0,5797 1,4626 0,5946 1,1271

mu(

X)

Ln[s

igm

a(X

)]


Revenus α 1 0,7594 0,2808 0 0 0 0,3088

Nbr d'emp α 2 0 0 0 0,2312 0,0925 0

EU α 3 0 0 -1,4560 0 -0,8614 -4,5311

Am du Nord α 4 -0,3442 0 -0,7346 -1,4071 1,1092 -1,9361

Cnst α 5 9,9314 11,1772 11,4005 8,9580 6,0322 9,8450

Revenus α 6 0,2679 0,0973 0,1192 0 0 0

Nbr d'emp α 7 -0,1405 0 0 0 0,0778 0

EU α 8 0 1,0134 0,4731 0 0,3783 0

Am du Nord α 9 0,6785 0,5744 1,2318 0 1,0319 0

Cnst α 10 0 0 -0,5797 1,4626 0,5946 1,1271

mu(

X)

Ln[s

igm

a(X

)]


Revenus α 1 0,7594 0,2808 0 0 0 0,3088

Nbr d'emp α 2 0 0 0 0,2312 0,0925 0

EU α 3 0 0 -1,4560 0 -0,8614 -4,5311

Am du Nord α 4 -0,3442 0 -0,7346 -1,4071 1,1092 -1,9361

Cnst α 5 9,9314 11,1772 11,4005 8,9580 6,0322 9,8450

Revenus α 6 0,2679 0,0973 0,1192 0 0 0

Nbr d'emp α 7 -0,1405 0 0 0 0,0778 0

EU α 8 0 1,0134 0,4731 0 0,3783 0

Am du Nord α 9 0,6785 0,5744 1,2318 0 1,0319 0

Cnst α 10 0 0 -0,5797 1,4626 0,5946 1,1271

mu(

X)

Ln[s

igm

a(X

)]


Pour une banque de référence de caractéristiques :

� Les paramètres de la distribution de sévérité (log-normale) sont calculés :

� La fonction de mise à l’échelle a été définie en calculant

� Les montants de pertes d’OpBase ont été mis à l’échelle de la banque à travers la fonction

définie :

� Test de l’hypothèse de log-normalité pour chaque type de risque avec le test de

Kolmogorov-Smirnov (K-S)

Revenus (M $) 6 333Nbr d'employés 38 128Emplacement Amérique du Nord

CP&PC FI FE EL&GP PE&ST DACmu 11,413 13,635 10,666 7,545 8,118 10,612

sigma 2,161 2,040 2,335 2,082 3,399 1,757

espérance 934 679 6 693 167 654 680 16 518 1 082 948 190 158écart type 9 606 803 53 232 761 9 976 394 143 354 349 803 540 869 491

−=

)(

)(*)()(exp

i

RiRi X

XXXb

σσµµ )(

)(

i

Ri X

Xa

σσ

=et

- XR le vecteur de caractéristiques de la

banque de référence

- Xi le vecteur de caractéristiques de la

banque où la i-ième perte de la base

externe est survenue

iaiii yby ×=*

Résultats : application à une banque de référence

*sup ( ) ( , )Y

x

KS n F y F yα= −

* ( )Y

F y

( , )F y α

est la fonction de répartition empirique des

données échelonnéesest la fonction de répartition de la loi log

normale testée


Résultats : le test de la log-normalité

� L’hypothèse de log-normalité est retenue à un niveau

de confiance de 95% pour 3 types de risque:

-Fraude interne

-Exécution, livraison et gestion des processus

-Dommages aux actifs corporels

� Pour le type de risque

"Pratiques en matière d’emploi et sécurité sur le lieu

de travail", la distribution log-normale s’ajuste bien

aux données mises à l’échelle à partir d’un certain

seuil

Ex.:

Dommages aux

actifs corporels

� Pour les types de risque "Clients produits et

pratiques commerciales" et " Fraude externe "

l’hypothèse de la loi log-normale est rejetée à

un niveau de confiance de 95%

Ex.:

Clients produits

et pratiques

commerciales

102

104

106

108

1010

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

y

F(y

)

Fonctions de répartition

empirical cdfLog Normal cdf

100

105

1010

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

y

F(y

)

Fonctions de répartition

empirique cdfLog Normale cdf

100

105

1010

1015

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

y

F(y

)

Fonction de répartition

empiric cdfLog Normal cdf


� Introduction



� Fréquence des pertes opérationnelles et capital

réglementaire

� Conclusions




Fréquence des pertes opérationnelles et capital réglementaire (1/3)

� Selon l’approche LDA, le capital réglementaire relatif au risque opérationnel = quantile de

niveau 99,9% de la distribution des pertes annuelles globales

� Pour la distribution agrégée des pertes, besoin d’estimer la loi de fréquences des pertes

opérationnelles pour chaque type de risque et la mettre à l’échelle de la banque de référence

� Impossible d’estimer la loi de la fréquence à partir de notre base de données car on ne peut

pas définir le périmètre des pertes opérationnelles dans la base (seuil de collecte)

� On se propose d’estimer à quelle fréquence implicite correspondrait le capital réglementaire

obtenu par l’approche de base Bâle II (15% des revenus de la banque), pour notre banque

de référence, si ce même montant de capital était le résultat de l’application de la LDA

� Pour notre banque de référence de revenus = 6 333 M $, le capital réglementaire selon

l’approche de base Bâle II serait 950 Millions de dollars



� Selon le dernier exercice de collecte de données (2009) du Comité de Bâle la répartition de

nombre total des pertes par type de risque est :

� Si l’on suppose que la fréquence pour chaque type de risque peut être modélisée par la loi

de Poisson et si l’on note le nombre moyen de pertes totales (que l’on cherche à estimer)

on peut définir le paramètre de la loi de Poisson pour chaque type de risque

� Méthode de Monte Carlo pour le calcul de la distribution des pertes opérationnelles totale

et de son quantile => on essaie plusieurs valeurs de fréquence annuelle totale en entrée,

jusqu'à obtenir un quantile d’environ 950 Millions de dollars



� Pour notre banque de référence on obtient un niveau d’environ 150 pertes opérationnelles

par an

� Niveau de fréquence inférieure aux benchmarks de fréquence annuelle estimée par rapport

à un indicateur de taille, donnés par le Comité de Bâle : environ 315 pertes pour notre

banque de référence

� Plusieurs explications possibles :

� Des benchmarks de fréquence pas pertinents

� La fréquence implicite estimée par notre modèle ne prend pas en compte des

pertes de petits montants, inférieures aux franchises des contrats d’assurance

� L’approche de l’indicateur de base de Bâle II sous-estime le montant de capital

nécessaire pour couvrir le risque opérationnel


� Introduction




� Conclusions




Conclusions

� La mise à l’échelle des données externes afin de les homogénéiser aux données internes d’une banque est un processus indispensable pour le calcul du capital réglementaire couvrant le risque opérationnel

� Les résultats numériques montrent que les caractéristiques d’une banque telles que les revenus, le nombre d’employés et la position géographique sont statistiquement significatives en ce qui concerne la sévérité des pertes opérationnelles

� Nous avons regardé que l’hypothèse de log-normalité n’a pas été retenue pour tous les types de risque par le test de Kolmogorov Smirnov, il serait donc intéressant d’étudier quelles autres type de distribution seraient compatibles avec le modèle

� Le calcul d’une fréquence implicite à l’approche de base Bâle II pour une banque de référence est considérablement inférieure à la fréquence annuelle totale qui devrait correspondre à cette banque selon des benchmarks de fréquence annuelle, donnés par le Comité de Bâle II

� D’autres points tels que le seuil de collecte des données, les corrélations entre les types de risque et entre la fréquence et la sévérité sont d’autres questions qui demanderaient d’être traitées de façon appropriée

Documents

Risque opérationnel: Modèle de mise àl’échelle de la ... · − La perte totale due au risque opérationnel pour une banque dépend de deux composantes: une composante commune