UNIVERSITA DEGLI STUDI DI BOLOGNA

DIPARTIMENTO DI FISICA

DOTTORATO DI RICERCA IN FISICA

RICORRENZE DI POINCARE

IN SISTEMI DINAMICI

A BASSA DIMENSIONALITA

Tesi per il Dottorato di Ricerca in Fisicadi

Enrico Lunedei

Relatore: Coordinatore del dottorato:

Chiar.mo Prof. Giorgio Turchetti Chiar.mo Prof. Roberto Soldati

Settore disciplinare di afferenza: FIS/01

Marzo 2006

Ai miei genitori Clara e Renato

ed a mio fratello Riccardo

NOTA ALLA RISTAMPA

In questa ristampa, del gennaio 2007, sono stati corretti gli erroridella versione originale riscontrati; in particolare, oltre a rettificare purierrori di stampa, s’e provveduto ad emendare taluni enunciati ed alcunedimostrazioni.

Ringraziamenti

Il dottorato di ricerca rappresenta certo un periodo importante perchi nutra il desiderio di dedicare le proprie energie alla ricerca scientifica.Se con la tesi di laurea si bussa alla porta del mondo della ricerca, e conquella di dottorato che si inizia a guardare al suo interno, a vedere le tantevie che si dipartono, girano, si intrecciano: alcune sono ampie e lastricate,altre nascoste e polverose, alcune in discesa altre ascendenti, su qualcunasplende il sole, su altre la nebbia e fitta. Capire quale sia il percorso giustoe la sfida: la via piu bella puo portare ad una piazza vuota, quella nebbiosapuo noscondere buche e crepacci, quella in discesa puo proseguire in salita,e la risposta puo celarsi dietro quell’angolo ove non si pensa di guardare.In questi anni ne ho percorse di vari tipi, giungendo spesso ad un incrocio:talora la svolta e stata giusta, talaltra no. Ogni tanto si trova una soluzione,e si gioisce, ma continuando il cammino si incontrano altri ostacoli, chesovente scoraggiano, al punto, talvolta, d’ingenerare la tentazione di cercarel’uscita piu vicina e lasciar perdere. E in tutto cio la bellezza di questomondo, che si ripete simile su tutte le scale: che sia ampio o ristrettol’ambito cui appartiene l’argomento di studio, e sempre difficile capire comesara il prossimo incrocio e quale sia la strada giusta.

Giunto alla fine di questo viaggio, bello e difficile, voglio quindi ringra-ziare tutti coloro che mi hanno accompagnato, sia per brevi tratti, che perlunghi tragitti.

Ringrazio anzitutto il prof. Giorgio Turchetti, per essere stato relatoredi questa tesi, cosı come di quella di laurea, indi il prof. Sandro Vaienti,del “Centre de Physique Theorique” (CPT) di Marsiglia, per l’interessemostrato, i numerosi suggerimenti e consigli e per l’ospitalita presso il CPT.

Ringrazio poi le dottoresse Anna Trevisan e Susanna Corti dell’“Isti-tuto di Scienze dell’Atmosfera e del Clima” (ISAC) del CNR di Bologna,per aver promosso la stimolante collaborazione con l’ISAC-CNR, presso cuiho potuto svolgere parte del mio lavoro, avendomi intorodotto alla dinami-

ca atmosferica, guidato nell’analisi dei dati sperimentali, fornito nozioni econsigli.

Ringrazio quindi il prof. Graziano Servizi, oltreche per il supporto“umano”, per i numerosi ed utili ausili e consigli in campo informatico,nonche i miei collegi, Luca Rossi e Carlo Benedetti, il primo per la proficuacollaborazione nello studio delle ricorrenze, il secondo per la cooperazionenell’uso del calcolatore parallelo, ed entrambi per l’amicizia dimostrata.

Rivolgo poi un pensiero riconoscente agli altri compagni di viaggio,Giuseppina Melchiorre, Alessandro Vivoli, Francesco Zanlungo, ed agli altrimembri del gruppo, tra cui il prof. Armando Bazzani e il dott. BrunoGiorgini, nonche Dario Bovina.

Un ringraziamento particolare lo riservo a tutti coloro che non citosingolarmente e che, entro e fuori gli ambienti di lavoro, in qualunque modo,mi sono stati vicini a causare o condivere la mie gioie od ad alleviare le mietristezze, grandi o piccole che fossero.

Cosı come nella mia tesi di laurea, lascio per ultima, volendo concioe esaltarne il primato, la mia famiglia. Nessuna espressione comunquecomplessa potrebbe esprimere il senso di gratitudine che sento e che sem-plicemente formulo con un: grazie. Grazie a mia madre, Clara, graziea mio padre, Renato, grazie a mio fratello, Riccardo, che sempre hannoappoggiato le mie scelte, senza il cui sostegno di certo non avrei raggiuntoquest’importante traguardo e il cui affetto, sempre essenziale, e stato l’unicoporto sicuro nelle non poche giornate di tempesta.

Indice

Introduzione

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PARTE PRIMA

Capitolo I • Introduzione alla teoria dei tempi di ritorno

§I.1. Introduzione I-1

§I.2. I tempi di ritorno I-3

§I.3. Spettri dei tempi di ritorno I-8

§I.4. Spettri limite dei tempi di ritorno I-13

§I.5. Il teorema di Hirata I-20

§I.6. Spettri limite d’un sistema mescolante I-24

§I.7. Spettri limite d’un sistema composto da piu regioni I-28

§I.8. Sullo studio numerico degli spettri I-31

Capitolo II • Ricorrenze nelle rotazioni sul cilindro

§II.1. La mappa II-2

§II.2. Studio analitico delle ricorrenze II-4

§II.3. Studio numerico dei tempi di ritorno: le distribuzioni F (k)II-6

§II.4. Studio numerico dei tempi di ritorno: le medie E II-12

§II.5. Conclusioni II-14

Capitolo III • Ricorrenze nella mappa del gatto di Arnold

§III.1. La mappa III-1

§III.2. Il primo tempo di ritorno III-5

§III.3. I tempi di ritorno successivi III-10

§III.4. Conclusioni III-16

i

Capitolo IV • Ricorrenze nella mappa di Lozi

§IV.1. La mappa IV-1

§IV.2. Il primo tempo di ritorno IV-5

§IV.3. I tempi di ritorno successivi IV-12

§IV.4. Conclusioni IV-17

Capitolo V • Ricorrenze nella mappa di Henon

§V.1. La mappa V-1

§V.2. Il primo tempo di ritorno V-6

§V.3. I tempi di ritorno successivi V-14

§V.4. I tempi d’entrata V-20

§V.5. Conclusioni V-26

Capitolo VI • Ricorrenze nel sistema di Lorenz

§VI.1. Il sistema di Lorenz VI-1

§VI.2. Il primo tempo di ritorno VI-8

Capitolo VII • Ricorrenze nei dati meteorologici

§VII.1. I dati VII-2

§VII.2. La distribuzione delle distanze VII-4

§VII.3. La ricerca dei gradi di liberta VII-6

§VII.4. Gli analoghi atmosferici VII-6

§VII.5. Ritorni e persistenze nelle distanze VII-8

§VII.6. Tempi di ritorno del geopotenziale negli spazi di EOF VII-10

§VII.7. Conclusioni VII-14

Capitolo VIII • Conclusioni

VIII-1

PARTE SECONDA

Capitolo IX • Sistemi dinamici discreti reali

§IX.1. Sistema dinamico autonomo a tempo discreto in Rd

IX-1

§IX.2. Orbite periodiche di una mappa IX-2

§IX.3. Gli esponenti di Liapunov per una mappa IX-4

§IX.4. Esponenti di Liapunov per una mappa autonoma del pianoreale IX-14

ii

Capitolo X • Sistemi dinamici continui reali

§X.1. Sistema dinamico a tempo continuo in Rd+1

X-1

§X.2. Mappe associate ad un flusso X-2

§X.3. Mappa di Poincare X-4

§X.4. Orbite periodiche di un flusso X-6

§X.5. Gli esponenti di Liapunov per un flusso X-9

§X.6. Esponenti di Liapunov su una sezione di Poincare X-12

Capitolo XI • Teoria dei tempi di ritorno

§XI.1. Introduzione XI-1

§XI.2. Spettri dei tempi di ritorno XI-9

§XI.3. Spettri limite dei tempi di ritorno XI-14

§XI.4. Il teorema di Hirata XI-25

§XI.5. Spettri limite d’un sistema mescolante XI-32

§XI.6. Spettri limite d’un sistema composto da piu regioni XI-43

§XI. Appendice A. Cenno alla trasformata di Laplace XI-49

§XI. Appendice B. Un paio di lemmi XI-50

Capitolo XII • Studio numerico dei tempi di ritorno:

questioni generali

§XII.1. Introduzione XII-1

§XII.2. La generazione delle condizioni iniziali XII-1

§XII.3. La determinazione dei punti periodici XII-2

§XII.4. Tempo medio e misure XII-3

§XII.5. Statistiche di primo ritorno ed interpolazione XII-3

§XII.6. L’estrapolazione a µ → 0+ XII-5

§XII.7. Statistiche dei ritorni successivi e delle entrate XII-7

§XII.8. La media del numero di viste XII-7

§XII.9. Gli strumenti di calcolo XII-8

Capitolo XIII • Rotazioni sul cilindro

§XIII.1. La mappa delle rotazioni sul cilindro XIII-1

§XIII.2. Diagonalizzazione ed esponenti di Liapunov XIII-3

§XIII.3. Le orbite periodiche XIII-5

§XIII.4. Studio analitico delle ricorrenze XIII-6

§XIII.5. Studio numerico dei tempi di ritorno: le distribuzioni F (k)XIII-6

§XIII.6. Studio numerico dei tempi di ritorno: le medie E XIII-21

§XIII.7. Conclusioni XIII-28

Capitolo XIV • Automorfismi algebrici del toro

§XIV.1. La mappa e le sue proprieta XIV-1

iii

§XIV.2. Diagonalizzazione, iperbolicita, esponenti di Liapunov edentropia XIV-2

§XIV.3. Le orbite periodiche XIV-6

§XIV.4. Il caso q = 1: la “mappa del gatto di Arnold” XIV-10

Capitolo XV • Tempi di ritorno della mappa del

gatto di Arnold

§XV.1. Introduzione XV-1

§XV.2. Il primo tempo di ritorno in A da A: alcuni punti generici XV-1

§XV.3. Il primo tempo di ritorno in A da A: i punti periodici XV-7

§XV.4. I tempi di ritorno successivi in A da A: alcuni punti generici XV-20§XV.5. I tempi di ritorno successivi in A da A: i punti periodici XV-25

§XV.6. Conclusioni XV-35

Capitolo XVI • La mappa di Lozi

§XVI.1. La mappa XVI-1

§XVI.2. Le orbite periodiche XVI-4

§XVI.3. Gli esponenti di Liapunov XVI-11

Capitolo XVII • Tempi di ritorno della mappa di Lozi

§XVII.1. Introduzione XVII-1

§XVII.2. Il primo tempo di ritorno in A da A: alcuni punti generici XVII-1§XVII.3. Il primo tempo di ritorno in A da A: i punti periodici XVII-7

§XVII.4. I tempi di ritorno successivi in A da A: alcuni puntigenerici XVII-16

§XVII.5. I tempi di ritorno successivi in A da A: i punti periodici XVII-21§XVII.6. Conclusioni XVII-28

Capitolo XVIII • La mappa di Henon

§XVIII.1. La mappa XVIII-1

§XVIII.2. Le orbite periodiche XVIII-4

§XVIII.3. Gli esponenti di Liapunov XVIII-15

§XVIII.4. Una forma alternativa XVIII-19

Capitolo XIX • Tempi di ritorno della mappa di Henon

§XIX.1. Introduzione XIX-1

§XIX.2. Il primo tempo di ritorno in A da A: alcuni punti generici XIX-1

§XIX.3. Il primo tempo di ritorno in A da A: i punti periodici XIX-10

§XIX.4. I tempi di ritorno successivi in A da A: alcuni punti generici XIX-20§XIX.5. I tempi di ritorno successivi in A da A: i punti periodici XIX-28

§XIX.6. I tempi di ritorno in A da V (o tempi d’entrata): alcuni

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punti generici XIX-38

§XIX.7. I tempi di ritorno in A da V (o tempi d’entrata): i puntiperiodici XIX-46

§XIX.8. Conclusioni XIX-54

Capitolo XX • Il sistema di Lorenz

§XX.1. Il sistema di Lorenz XX-1

§XX.2. I punti fissi XX-4

§XX.3. La sezione di Poincare su z = r − 1 XX-5

§XX.4. Le orbite periodiche XX-6

§XX.5. Gli esponenti di Liapunov XX-12

§XX. Appendice A. Il confinamento delle soluzioni XX-14

Capitolo XXI • Tempi di ritorno nel sistema di Lorenz

§XXI.1. Introduzione XXI-1

§XXI.2. Il primo tempo di ritorno in A da A: alcuni punti generici XXI-1

§XXI.3. Il primo tempo di ritorno in A da A: i punti periodici XXI-9

§XXI.4. Conclusioni XXI-17

Capitolo XXII • Introduzione all’analisi dei dati

§XXII.1. Il geopotenziale XXII-1

§XXII.2. Funzione di variabile aleatoria XXII-3

§XXII.3. Distanze di vettori aleatori XXII-6

§XXII.4. Distanze al quadrato di vettori gaussiani a componentieguali ed indipendenti: la distribuzione χ2

XXII-9

§XXII.5. Distanze di vettori gaussiani a componenti eguali edindipendenti XXII-11

§XXII.6. Applicazione alla ricerca del numero di gradi di liberta XXII-15

§XXII. Appendice A. Momenti XXII-18

Capitolo XXIII • Analisi di dati meteorologici

§XXIII.1. I dati XXIII-1

§XXIII.2. La distribuzione delle distanze XXIII-2

§XXIII.3. La ricerca dei gradi di liberta XXIII-6

§XXIII.4. La ricerca di M col metodo MVA sulla statistica delledistanze quadrate XXIII-8

§XXIII.5. La ricerca di M col metodo MVA sulla statistica delledistanze XXIII-8

§XXIII.6. Gli analoghi atmosferici XXIII-13

§XXIII.7. Ritorni e persistenze nelle distanze XXIII-13

§XXIII.8. Tempi di ritorno del geopotenziale negli spazi di EOF XXIII-19

v

§XXIII.9. Conclusioni XXIII-28

§XXIII. Appendice A. Calcolo dimensionale nel sistema di Lorenz XXIII-28

BIBLIOGRAFIA

Bibliografia

Bib-1

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Introduzione

Premessa

Il problema della prevedibilita dei fenomeni fisici nasce insieme allafisica stessa: la ricerca di regolarita o simmetrie, anche imperfette o di-storte, e stato fin dall’inizio l’elemento che ha guidato le osservazioni deifenomeni, gli esperimenti e la loro lettura in chiave geometrica. Tuttavia estato rapidamente compreso che in molti casi queste simmetrie mancano;ad esempio, negli urti ripetuti tra due corpi, piccole variazioni dello statoiniziale danno luogo a stati finali molto diversi. Questo aveva portato, giain epoca classica, a teorizzare che i moti degli atomi siano sostanzialmenteimprevedibili. Cio nonsostante, esistono forme di aggregazione in cui emer-gono strutture ordinate o stati coerenti, la cui evoluzione ha un caratterelargamente prevedibile. Inoltre, essendo la dissipazione inevitabile a livellomesoscopico, solo la presenza di forzature poteva condurre a moti persi-stenti. Anche se le idee di base sulla predicibilita non sono una scopertarecente, senz’altro lo e una corretta formulazione matematica. La mecca-nica di Newton e nata dallo studio dei sistemi hamiltoniani integrabili, chehanno una lunga scala di prevedibilita, in quanto la divergenza delle orbitee lineare. Con lo studio del problema dei tre corpi e la teoria cinetica, voltaa ridurre la termodinamica alla meccanica, e nata la moderna teoria deisistemi dinamici, che consente di descrivere sia sistemi integrabili e forte-mente prevedibili, sia sistemi caotici caratterizzati da una perdita rapidadell’informazione sulle condizioni iniziali; per quest’ultimi l’esistenza di mi-sure invarianti consente previsioni di natura statistica: alla conoscenza degliintegrali primi vengono sostituiti indicatori come gli esponenti di Liapunovo le entropie. Si distingue tra caos forte e caos debole, rispettivamente as-sociati a processi statistici senza memoria (o quasi), ovvero con memorialunga.

Nei sistemi con dissipazione e forzatura ci si interessa tipicamente alle

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dinamiche asintotiche su un attrattore, ch’e il supporto della misura in-variante, del quale e anzitutto importante stimare la dimensione, ossia ilnumero di gradi di liberta significativi, passaggio non scevro di difficolta,a causa soprattutto del livello di rumore insito nelle serie temporali, nu-meriche o sperimentali.

Dato un sistema dinamico, costituito da uno spazio delle fasi, unaevoluzione temporale ed una misura di probabilita invariante rispetto alladinamica, e possibile utilizzare un’ampia rosa di funzioni in grado di fornireindicazioni utili per la predicibilita e qualificazione del sistema. Una delleprime cose che si tenta di stabilire per un sistema e mostrare se esso siaergodico o mescolante; entro queste due classi, altre classificazioni sono pos-sibili, per meglio distinguere fra le proprieta transitive e ricorrenti delladinamica. Queste proprieta sono anche relative, nel caso l’evoluzione siauna mappa sufficientemente regolare su un varieta, alla struttura geometri-ca delle orbite sull’insieme invariante ed ad alcuni dei loro comportamentiglobali come l’iperbolicita e la stabilita strutturale.

Svariate quantita sono state introdotte nel tempo per classificare i dif-ferenti tipi di dinamica, con particolare riguardo al tentativo di renderetali indicatori invarianti sotto taluni tipi di coniugazione: alcuni sono le en-

tropie (metrica e topologica), gli esponenti caratteristici di Liapunov (ECL),le dimensioni, le modalita di decadenza delle correlazioni.

Nel quadro della grande famiglia di tali indicatori, descritti nella vastis-sima letteratura sull’argomento, da alcuni anni hanno trovato spazio glispettri dei tempi di ritorno, che permettono di quantificare il comporta-mento locale delle ricorrenze e dai quali si possono ricavare informazionisulla natura dell’attrattore. Per queste quantita sono stati provati strettilegami con molti altri indicatori, quali: la dimensione di Hausdorff, ladimensione di Afraimovic-Pesin, le dimensioni generalizzate, l’entropia diKolmogorv-Sinai, le entropie di Renyi, l’energia libera, gli ECL. In par-ticolare un legame profondo fra i tempi di ritorno e la misura invariantee evidenziato dal teorema di Kac, secondo il quale, nei sistemi ergodici, iltempo medio di primo ritorno in un insieme e l’inverso della sua sua misura.

In un sistema limitato, la dinamca riporta ogni punto infinite volte vi-cino quanto si voglia a se stesso: questo afferma il celeberrimo teorema di

Poincare. Si esprime in tal modo un concetto di regolarita molto forte,rafforzato ulteriormente, nella sua importanza, dalla generalita che lo con-traddistingue: basta disporre d’una misura invariante finita.

Come dicevo poc’anzi, la predicibilita dei moti, sia intesa in sensopuntuale o statistico, e ovviamente la meta sempre ambita dallo studioso

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della dinamica, cosicche le varibili che possano su essa gettar luce, fiocaod intensa, sono preziose e ricercate. Esistono, cosa a tutti familiare, motipredicibili in modo banale: quelli periodici. Non sorprende quindi come leorbite periodiche godano d’un interesse particolare, tanto da essere taloraqualificate come lo “scheletro” della dinamica. Appare naturale vedere,come gradino immediatamente inferiore nella scala della predicibilita, letraiettorie in un qualche senso “vicine” alle orbite periodiche: quelle che,dopo un certo tempo, tornano in prossimita del punto da cui son partite.L’importanza fisica di tali moti emerge qualora si rammenti la finitezza dellaprecisione nella misura fisica: al di sotto dell’incertezza, e indistinguibileun’orbita che si chiuda da una che torni in prossimita d’un suo precedentepunto, almeno limitatamente al primo ritorno od ad un certo numero diritorni.

Non e quindi difficile intuire come il concetto di ricorrenza possa gio-care un ruolo non secondario nello studio della dinamica. Qui sta la grandeimportanza del teorema di ricorrenza di Poincare: in un sistema finito, quasitutti i punti ritornano infinite volte in prossimita di se stessi, quindi, nonsolo ha senso definire la funzione tempo di ritorno, si tratti del primo o deisuccessivi ritorni, ma si ottiene in tal modo una quantita di grande signifi-cato statistico: ha valore finito su un insieme di misura piena. Tutto questorende non sorprendente l’interesse che le ricorrenze di Poincare suscitanonello studio dei sistemi dinamici, il quale, laddove si perda la capacita didescrizione puntuale, e volto proprio alla ricerca di rivelatori di regolaritadi tipo statistico.

Fra gl’innumerevoli esempi di moti complicati che la natura offre, ladinamica atmosferica e certo uno dei piu importanti. Fin dai tempi piuantichi l’interesse per essa e stato fortissimo, in quanto entita da cui dipendela nostra stessa esistenza: dall’andamento dell’agricoltura al funzionamentodei mezzi di trasporto, dalla consistenza delle risorse idriche ai livelli d’inqui-namento nelle citta, passando per eventi tragici prodotti dalle precipitazionie dagli uragani, non e diffcile comprendere quale ruolo centrale il climagiochi nell’esistenza quotidiana di ognuno.

I progressi tecnici e scientifici ci consentono ora di descrivere l’atmosfera“semplicemente” come un sistema dinamico, seppur di estrema complessita,il cui comportamento irregolare e fortemente sensibile alle condizioni inizialie manifestazione di una dinamica di tipo caotico. L’atmosfera presenta ineffetti una forte variabilita su ampie scale spazio-temporali: non tutti i gradidi liberta sono ugualmente importanti e le traiettorie, in intervalli di tempofiniti, non visitano tutti gli stati corrispondenti all’attrattore. La variabilitaclimatica di bassa frequenza a scala planetaria puo essere descritta da un

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numero finito di gradi di liberta, che rappresentano gran parte della varianzadel segnale.

L’utilizzo dei metodi dei sistemi dinamici al problema della previsioneha consentito progressi significativi; i vettori di Liapunov, ad esempio, con-sentono di individuare le direzioni in cui il tasso di crescita degli errori sullostato iniziale e piu significativo.

Essenza della ricerca

Argomento di questa tesi e lo studio degli spettri dei tempi di ritornoquali indicatori:

i) di proprieta di ergodicita, mescolamento e perdita delle correlazioni,ii) di periodicita, con particolare riguardo al loro rapporto con gli ECL.

Si tratta di quantificatori statistici delle ricorrenze, che si determinanosu sott’insiemi “piccoli” dello spazio delle fasi. Allo scopo di affrancarsidalla dipendenza dalla scelta dell’insieme, gia da tempo e stato ampiamentesviluppato il concetto di spettro limite: si tratta delle funzioni ottenute, nelsenso che provvedro a ben precisare, dagli spettri, allorquando si consideriil limite di misura infinitesima per l’insieme. Si hanno cosı delle funzionidefinite in ogni punto dello spazio delle fasi (precisamente del supportodella misura unito all’insieme dei punti periodici), dotate di interessantiproprieta, riguardo alle quali si trovera un contributo nella parte teoricadel lavoro.

Sotto il profilo analitico, ho posto un accento particolare sugli spettridi ordine superiore, ovvero quelli relativi ai ritorni successivi nel medesi-mo insieme; se invero, sotto ipotesi di larga generalita, le differenze frai ritorni successivi sono identicamente distribuite, esse non sono indipen-denti: l’ipotesi d’approssimata indipendenza, tipicamente legata ad una ve-loce perdita delle correlazioni, si riflette nella capacita di trovare espressionianalitiche degli spettri per tutti gli ordini. Si avra modo di vedere come larispondenza alla realta di tali espressioni sia proprio un indice di perditadelle correlazioni, indi di scarsa predicibilita. Una quantita qui introdottae la media limite del numero di visite, che si rivelera essere una funzionedi gran semplicita e generalita, nonche un indicatore di periodicita. Pro-prio sulla peridicita, di cui poco fa ho intessuto le lodi, si concentra moltolavoro, volto massimamente a stabilire un legame funzionale fra gli spettridei ritorni e gli ECL nei punti periodici: sovente, gli ECL assumono valoriparticolari sulle orbite periodiche.

Lo studio della forma degli spettri dei tempi di ritorno consente infinedi discriminare regimi di caos forte, in cui il decadimento e esponenziale, eregimi laminari “localmente mescolanti” o di caos debole, in cui il decadi-

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mento e a potenza.Dopo l’esposizione matematicamente rigorosa della struttura formale

dello studio delle ricorrenze, il lavoro si orienta ad applicarne i contenuti adalcuni sistemi dinamici di bassa dimensionalita:

le rotazioni sul cilindrola mappa del gatto di Arnoldla mappa di Lozila mappa di Henonla mappa di Poincare del flusso di Lorenz.Il primo e un sistema integrabile, in cui lo spazio delle fasi e foliato

da tori monodimensionali invarianti: e un tipico esempio di sistema noncaotico e non ergodico, ma dotato di una proprieta in qualche modo affineal mescolamento, che vi si differenzia in modo sostanziale per il suo carat-tere assai piu ristretto, e che viene chiamata “mescolamento locale”. Sutal sistema si puo ben vedere come gli andamenti degli spettri abbiano ilcarattere a legge di potenza, tipico di sistemi regolari o con caos debole,e come le correlazioni temporali si palesino nei loro effetti sugli spettri diordine superiore.

Le altre mappe, alcune mescolanti, altre che probabilmente lo sono oalmeno posseggono qualita affini, si caratterizzano tutte dall’esibire spettriesponenziali, carattere tipico di sistemi fortemente caotici e poco prevedibili;la veloce peridta delle correlazioni manifestasi in modo spettacolare suglispettri d’ordine superiore.

Si vedra, in tutti i casi, come le risultanze siano di carattere fortementequantitativo, grazie ad un accurato uso della simulazione al calcolatore, enon si limitino quindi ad osservazioni qualitative, che pure talora hanno uncerto ruolo.

Di particolare interesse, anche per l’originalita, sono le risultanze sulsistema di Lorenz: e un modello, pur nella sua estrema semplificazione, d’unfenomeno fisico e si differenzia da gran parte del lavoro svolto sulle ricor-renze in quanto si tratta d’un sistema continuo; se e vero che se ne estrae,attranverso la sezione di Poincare, una dinamica discreta, e altrettanto veroche tal dinamica eredita molte proprieta dal sistema che la genera. Che suesso sia proficuamente esportabile lo studio delle ricorrenze puo essere in-dice dell’utilita d’estendere questo tipo di studi a modelli fisici anche piucomplicati e quindi piu vicini alla effettiva descrizione di fenomeni naturali.Si puo considerare un primo passo perche essi possono uscire di confini dellapura speculazione matematica.

Un grande passo, e senz’altro un’avventura azzardata quanto intri-gante, si compie invece nell’ultima fase del lavoro, in cui ho tentato di

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trovare possibili modi per applicare strumenti affini a quelli or ora espostia dati reali, prodotti da uno dei piu complessi sistemi naturali conosciuti:l’atmosfera. Una delle quantita utilizzate dagli studiosi dell’atmosfera el’altezza geopotenziale, indicante la quota di una certa pressione atmosfe-rica; grazie alla collaborazione con l’ISAC-CNR posso disporre di una seriestorica di tali dati, riguardante 40 inverni a partire al 1958.

Non poche sono le differenze fra i numeri prodotti dall’evoluzione alcalcolatore di un sistema prestabilito ed i dati raccolti in natura. Un primoproblema e la riduzione dimensionale, a mezzo della scomposizione in fun-zioni ortogonali empiriche (EOF) e della stima del numero di gradi di libertaeffettivi. Successivamente si devono trovare delle quantita che siano affiniai concetti di ricorrenza di Poincare e che abbiano significato nello studiodel sistema dinamico atmosfera. Il grosso probelma che, al momento, costi-tuisce un insormontabile ostacolo e pero la limitatezza di dati disponibili: iltempo d’evoluzione e piccolo e la statistica delle condizioni iniziali povera.

Quanto si presenta e dunque il tentativo di stimare quantita simili aitempi di ritorno in atmosfera, limitandosi ai gradi di liberta che descrivonole caratteristiche fondamentali della circolazione e dei regimi atmosferici.Disponendo della scomposizione in EOF e delle relative componenti prin-cipali (ottenute dalla serie temporale di campi meteorologici forniti dellarianalisi), cerco anzitutto la dimensione di opportuni sottospazi, compostida un “piccolo” numero di EOF, esprimenti i gradi di liberta effettivi delsistema, indi estraggo gli “analoghi atmosferici”, cioe stati “vicini” secondouna particolare metrica; infine affronto lo studio delle ricorrenze riguardo aquantita intodotte ad hoc.

La natura stessa dei dati sperimentali fa sı che il concetto di “vicinanza”abbia un rapporto assai vago con l’idea di “insiemi infinitesimi” nell’ambitodelle mappe del piano: ci si trova a dover considerare “analoghi” stati ineffetti assai diversi fra loro. Oltre quindi a dover considerare insiemi moltograndi, la consistenza dei dati disponibili, fa sı che si renda necessario rivol-gere l’attenzione, relativamente alle ricorrenze, piu su quantita esprimentiandamenti generali nello spazio delle fasi, che non su singoli insiemi.

Le differenze e gli ostacoli sono in effetti numerosi, cosicche si vedrannorisultati di tipo molto qualitativo ed interpretabili piu che altro come indizi,proposte, spunti.

Struttura della tesi

Lo svolgimento di tal programma ha dato luogo ad una mole notevoledi risultati, analitici ma soprattutto, in misura assai superiore, numerici;non volendo, da una lato, omettere dettagli che possono essere utili, sia

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a meglio comprendere che soprattutto ad utilizzare, per i futuri sviluppi,quanto prodotto, e desiderando, dall’altro, non annoiare il lettore interes-sato all’essenza dei risultati, ho deciso di ripartire la tesi in due parti: laprima come riassunto della seconda.

La prima parte e destinata a chi voglia formarsi un quadro delle pro-blematiche sollevate e dei risultati prodotti. Ivi trovasi un’esposizione com-pleta ma compatta dei medesimi, priva di calcoli e dimostrazioni, nonchedi gran parte delle tabelle di risultati, sostituiti da brevi commenti e dauna selezione di figure, da cui, spero, si riescano a ben trarre gli elementiimportanti del lavoro. Specificamente, nel primo capitolo sono riassunte lededuzioni analitiche, nell’ambito dell’inquadramento formale del problema.Nei capitoli successivi si trova lo studio delle mappe sopra elencate, e, perultimo, il lavoro sui dati atmosferici. L’ottavo capitolo e deputato ad esporrele conclusioni.

Nella seconda parte si trovano i medesimi argomenti, contornati datutti i dettagli: i calcoli che ho svolto, le dimostrazioni di acluni teoremi,le tabelle con i dati ed i risultati dei calcoli numerici, che possono servire achi voglia ripetere queste simulazioni ed a chi si proponga di porre in essereun lavoro analogo su altri sistemi dinamici; ho voluto anche inserire unavasta collezione di grafici, un campionario della quale si trova nella primaparte, nell’intento di chiarire in dettaglio i diversi andamenti e le pecu-liarita rilevanti. Pur non potendo, per evidenti ragioni di spazio, fornire unquadro sui sistemi dinamci, per il quale rimando all’abbondante letteratura,i capitoli IX e X raccolgono alcune considerazioni utili sui sistemi discre-ti e continui. Segue un’accurata dissertazione sulla formalizzazione dellateoria delle ricorrenze, con le dettagliate dimostrazioni necessarie, noncheun’esposizone delle problematiche riscontrate nello svolgimento delle simu-lazioni numeriche e delle strade che ho scelto per superarle. Ad ogni sistema,eccetto le rotazioni che risolvonsi in uno solo, sono dedicati due capitoli: ilprimo ne raccoglie le proprieta che poi saranno usate nel seconodo, il qualeespone tutto il lavoro fatto sulle ricorrenze. Chiude la tesi l’esposizionesull’applicazione ai dati meteorologici.

La separazione fra le due parti e evidenziata anche da una scelta ti-pografica: la seconda parte e scritta con caratteri piu piccoli.

Consiglio quindi chi fosse interessato ad una panoramica generale, noncomunque decurtata dei risultati raggiunti, a limitarsi alla prima parte.

Chi volesse addentrarsi in dettagli tecnici, o saperne di piu sui metodiusati e sulla natura dei risultati, puo invece leggere direttamente la secondaparte: nulla di quanto scritto nella prima e omesso nella seconda, salvo le

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conclusioni generali costituenti il capitolo VIII, che quindi merita comunqueun’attenzione particolare.

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