Riccarda Rossi - unibs.it...,o£yex} Riccarda Rossi (Universit`a di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 16 / 177 2- ¥×yokay = ft o×¥×ydg)d× =f1x 5÷@ay)d×-Fyftoghtxytf

Esercizi su integrali doppi: formule di riduzione

Riccarda Rossi

Universita di Brescia

Analisi Matematica B

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Integrali doppi – Riduzione Analisi Matematica B 1 / 177

Formule di riduzione (1)

Domini normali rispetto all’asse x

T = {(x , y) 2 R2 : a x b, ↵(x) y �(x)}

Si ha ZZ

Tf (x , y) dx dy =

Z b

a

Z �(x)

↵(x)f (x , y) dy

!dx


Formule di riduzione (2)

Domini normali rispetto all’asse y

T = {(x , y) 2 R2 : c y d , �(y) x �(y)}

Si ha ZZ

Tf (x , y) dx dy =

Z d

c

Z �(y)

�(y)f (x , y) dx

!dy


Es. 1.

I =

ZZ

T

1

1 + xdx dy ,

ove dove T e il dominio limitato da y = x2 e x = y2.


ayCOE- : saivere

T come

domino✓nqn.aleTeiw@eedsaeeeefounnleodu2houeaisp.aYsneakT-sa.yyftxsbwuispon.d4s.y

< put }


. A =0

.b e- ascissu del punt di intersez

.

free(

Y=×2y=x2 e x=y2

ask.s.fi#a. dcxt XZ

q@

.pcxi :t.y2.my#x.N=BVxe[ 91 ]

×z<f× PH


I {

[email protected]

.sn#ssEE*= ft ( one - n¥ ) d×=IiIz


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=L'

EE dstrxttx

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EE .

ds =2f¥f÷ds

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as }=2fs . ariana]=


In =2 - M

2

I= fo'

¥,

da

= so'

⇐hI÷d⇐= So

'c x -

Ddxtfoljfxdx= ( Cxzttthghtxtffetzfog G)


I In - Iz= E- Iz - bogk)






Es. 2.

I =

ZZ

T

x2

1 + xydx dy

ove T e il triangolo di vertici (0, 0), (1, 0), e (1, 1).


try ¥ : Schivery=BH* T come1-

(•

dominieT novnalecisp . Y

• • 7 eapplrcare×

edcowpsp.

Formulanduznne

T={uyKR4o£× es

,o£yex}


2- § ¥×yokay= ft §o×¥×ydg)d×

=f1x§5÷@ay)d× -

Fyftoghtxytf


fix [ eight '*yDgy→dx

=f'

x [ logatxzthogal]dx= fo

'x light 'eld×

g=e+×2dS=2xdx

2 → ×dx=1zdS=f

,

log 's) dsz =


-

nz ( sbgists ] ?=

?zf 2 eogcz) - 2+s]= logcz) -12










Es. 3.

I =

ZZ

Txy dx dy

ove T e il triangolo di vertici (�1, 0), (0, 1), e (2, 0).


^ it F- I VTZ

ze

'Union e drz

domini noanaliTn Tz bsp.

all 'are

- s

.

z ? x

KII Aefz . Be- definite a tuek ;cambia definition in 0 )Didncendo in ×

, douuispezsofel'

integral .


Convene interpretive T

come domino nounale

hookmassey 0 <yes

µturnmy ) <xepiy )* >

×th

2

.

Per aeleohere x consider lbp .della

Alta fne ft,

01 e ( 0, 1) : Y =×t1

⇒ x=y - I = xcy )


p , ratafia ' T'

: eyes( z.de ( o ,D

y= -21×+1 4- lexszzyK

- }x=y-k⇒x=2-2y=piy )

f{ xydxoey -

µµn?y%§y


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= t'

y a Ewing¥01Y ( 4 try E ( y - it ] dy

. 3£ t'

yEYy!t+,

Ms 312 ( tz

,

- § + 12 ] . 3g ?¥6 = 11g












Es. 4.

I =

ZZ

Tx2 dx dy

ciao

ciao

ciao

ciao


^

T=Q - @•

2 2 1

•

1 Qz=f2R]xFzD• • • •

z >

-27

.

1 ×

-1

• Q=EH]×E' D- z


Pee be fofuete' oh

' adolikmite '

dell '

integral ,

§ Rdxdy = ffyx

?

dxdg -

§Edxdy

( rnfalt : Qz=Qs OffalUni one disgiumte )

ssaftsaftkaal


By

×2dxdy=02ffqyidxdy

y^. 9 simm . zrsp . assey

1. fcx , yl = XZ 5 PARL in

x

>con

1' '

giant >n}

.Out e- smm

. osp arsex

• fcxiyh x2 I PARI in y


[email protected]_fgQett_eaDxeaD7doh.N

own. Tsp apex

wsp .am y

$qx2dxdy= 4 ffq # dxdy =


= 4 fote (fotxzdx] oy

*. (fo

'x2dx ) . ( Hedy)

= 4-3


FAITOGENERARESYPOMgo oh

'

integrate.su um zeetemgolo R= G. b) xfgd ]

. UmenfvnzruneFay ) pwololtodiUma fz . deeae solo x

- una fz . della sole y

fcxiyt gin hey)

He.

.by?ighYldoy=(ftg*dx)(fdhyldy)


EI : pwvare e dimosianq( bare A fownnle dzidutione

,

indifferent mente rrspeetoall '

one xlaney )


I = $g×2d×dyQ= f- 2,2 ]xE2R]

I4 $g++×' dxdy

pasrmmetaiq Qz#=fqz]×t92]= 4. (fo&x2d× ) . ( fohkdy)

=

643


I = $ × 'd*dy=QIQS

=

64g - 4g =20

.







Simmetrie (I)

Supponiamo che T sia simmetrico rispetto all’asse delle y

e che f sia pari in x , cioe

f (x , y) = f (�x , y) 8 (x , y) 2 T .

Allora ZZ

Tf (x , y) dx dy = 2

ZZ

T+f (x , y) dx dy


Simmetrie (I)

Supponiamo che T sia simmetrico rispetto all’asse delle y

e che f sia DISpari in x , cioe

f (x , y) = �f (�x , y) 8 (x , y) 2 T .

Allora ZZ

Tf (x , y) dx dy = 0.


Simmetrie (II)

Analogamente per T simmetrico rispetto all’asse delle x

e f pari (DISpari) in y ....


Es. 5.

I =

ZZ

Tx cos(y3) dx dy

conT =

�(x , y) 2 R2 : x2 + y2 2


-

=D

^

y osrmmetwaksp .assex

fcx ,- ytx . eoskyp )

T= × cosfy 3)

>= xwsy3=f↳ . g)

V2 ×PARI in y

osrmmeieia wsp . asse y• f EDRSPARI in se














Es. 6.

I =

ZZ

[�1,1]⇥[�1,1]

�x2 + y2 + x sin(x2 + y4)

�


^ y

1 § xsimex2y4|

as-1 L. -

y

, 1


.

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'

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0

ffx . g) = fxlsrnltxtty 4)=

- xsrm ( x4y6 )

= - fcx . Y )Packet Rdominio I Simm

.

zrsp .arose y


€ : wsando A fownnledr niduzone

,Verifone

Che

$en]×enY*dtff"paying

×2dxdyIt #qndxei.is/zdxdy=&l38M¥ 2. 4. Headed











Es. 7.Calcolare il volume V compreso fra i grafici delle funzioni

f (x , y) = x2, g(x , y) = x2 + y

sul triangolo di vertici (�1, 0), (0, 0), (0, 1).


.-

^Z

(2)y€D¥±bEEa÷:* .

z

ywpidaenoeoL f§×2= volume

×cgiune wmpreee

frebesnpuf . zose epnanot -0 .


V = §@tyfdxdyfftidxoy

may¢ Y day =

¥#ftT

T : d normale

osp . asse x :

7× #SO

TaperEgo ) e

° £Year( 1) : Y = ×e1= pcx)


= f. Mayag) dx

= teatime=

12 µ Cxti )2

else

= z # P ]a°= %













Es. 8.

I =

ZZ

[0,2]⇥[0,1]sin(|y � x |) dx dy


fixyksrmay .at/him4 →

F×zosrmfly . xD

X 11

^ srmltt )srmexy )

k

ycxsrmcxy )

y


^ Y r Y = ×

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T2

• • >1 2

×

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Is =T n { yz×g←

Gfe' data do

fcxyt srnly - x )

T2=T a { Y

Ex} tee fcayk an * Y )


Per lladolitwie ' deel ' integral

§ srm Ay - xl ) dx=

ffzsrmcy- × )

dxdy+ §zsrncx . y )dxdy

€ :

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*dxdy =4 - Smk )


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Tz come nozmaee Esp . assex ;

B douusse essae def . atnak ;e '

integrate s spear role.

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[email protected]

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Es. 9.

I =

ZZ

Tx2y dx dy ,

con

T =n(x , y) 2 R2 : x2 + y2 � 1 0 e x + y � 1 � 0

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Es. 10.

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assex


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Es. 11.

I =

ZZ

T(5xy2 + 6) dxdy

doveT =

�(x , y) 2 R2 : x2 + y2 < 1 , x � 0 , y � �x














Es. 12.

I =

ZZ

T

p4� x2 � y2 dxdy

conT =

�(x , y) 2 R2 : x2 + y2 4
















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