Riccarda Rossi · 2019-12-09 · Riccarda Rossi (Universit`a di Brescia) Successioni di funzioni Analisi II 3/202. Esercizio 1. Stabilire l’insieme di convergenza puntuale e calcolare

Successioni di funzioni – 1

Riccarda Rossi

Universita di Brescia

Analisi II

Riccarda Rossi (Universita di Brescia) Successioni di funzioni Analisi II 1 / 202

Richiami di teoriaData una successione di funzioni fn : I ! R1. Convergenza puntuale Per x 2 I fissato, studio la successione

numerica {fn(x)}Si trovano l’insieme di convergenza

A =

⇢x 2 I : lim

n!+1fn(x) 2 R

�✓ I

e la funzione limite

f : A ! R , f (x) = limn!+1

fn(x) , 8 x 2 A .

2. Convergenza uniforme di {fn} ad f in A (o su un suo sottoinsieme)

Ad n 2 N fissato studio an = supx2A

|fn(x)� f (x)|

8<

:lim

n!+1an = 0 ) conv. unif. in A

limn!+1

an 6= 0 ) NO conv. unif. in A


Siano fn : I ! R, 8 n 2 N, ed f : I ! R.1. Se fn 2 C 0

(I ), 8 n, ed {fn} converge uniformemente ad f in I , alloraf 2 C 0

(I ).

2. Se I = [a, b], fn e integrabile in I , 8 n, e {fn} converge uniformemente

ad f in I , allora f e integrabile in I e

limn!+1

Z b

afn(x) dx =

Z b

af (x) dx

3. Se I e un intervallo, fn e derivabile in I , 8 na. fn ! f puntualmente in Ib. f 0n ! g uniformemente in I

dove g : I ! R, allorai. fn ! f uniformemente in Iii. f e derivabile in Iiii. f 0(x) = g(x), 8 x 2 I .


Esercizio 1.Stabilire l’insieme di convergenza puntuale e calcolare il limite di

fn(x) = (sin x)n 8 x 2 R.


Convery . pvntmale :

frssoxelRestuohshesuceessoineNvmERcot@ncxDNRicoroloRcaualteiedlllomaessioueCtmtneHtestyiPernoit-srniAktNpn.us

.tn = {^ ten

Has0 ltlc 1

¥ se ten


[email protected] )m=|1 • a

;¥=sX=uz+2KE,

kek

ftaa:#EE'÷÷ .

0 se lsrnexll < I

As XER,

×tEztkI ,KEK


Llinsremedr convergent e-

A={ XER / × # 3,2T +2kt, k←Z}

= R \ { 3zE+2keI kek }m A leg fun gone limit pvmtualee

'

definite old

fx\= {1 kxsltfeaen ,

KEZ

0 so xe A \ { t←2kI , kEk}


hon si he eke

fm → fun . for memento a A

peeled

f non e' continue su A

[email protected]

NI . : I a convoy . uniform e preserver be

eonknnita ).

Es. 2.Calcolare il limite puntuale di

fn(x) =arctan(nx)

n8 x 2 R.

Si ha convergenza uniforme?

Convergenza puntuale.


Fis so x ER e ealcolo

Que on Een cu x )h -7 co - .

N

figs avian end = { Izsea% casted

- tf Se x e o Cn x → - co )


Inogmr case

,

I arcionn Cn x ) I % .

Qwmdi, linings fuat

s buy, In aretom C hx ↳ o .

thereLie fungi one

d. mile punhuole e-

fexEo b- Eik


Sr he convergent uniform e se

e solo see

o = dung, type Ikea - fast

-

- buy. zig lare I

N

Ossorio che suptartan cu x ) I =

X ERI


pardon e- Airspace

= sup aoeiom C next )x ER

= sup axiom Chex )xp

=him arciomcux )

= if VineetX → too

↳ anciens e- crescent

Qwmdi syypplfn.us/=T-tmEHIn


c gwmdi

Ky I=

O

In

OK convoy. uniform e see tutto Rl.

Es. 3.Convergenza puntuale e uniforme di

fn(x) =x

1 + nx28 x 2 R.


.

Convoy . puntmale :

per ×=0 : fn ( 01=0 ttmett

⇒ fines fncoko

×t 0 : ftp.nxz.tnhim

. u÷a=QusaE÷⇐E%tn×=o


Llinsreme dr convey . puntuale e-

As R,

tx e R thugs fnut the 0

Findus beconvoy . uwfome :

OE lingua s×yp→/ Cnn

. FIT= Emmasafe Kanal


Studio qx - tot I

1×1 the PARIsup -

=

XER 1tNx2 ⇐xmfo

'

I ,e=s×uf . InStudio i phrdr Massimo di N 1 → ¥n×z )

connett finale- , per xeto ,tes)


1 . Gtmxz ) - xD mx

fntxt -

@tm×zF=

¥2 =o # * fn( tthx )20

x=f#(pocket xzo ]Ueido eke

fix ) 20 for xetoifn ]{ficxieopax > Fm ⇒ * trnephosntno


stuff fnai -

nxnogxoEH = fm ( fn )

11 1-= rn

sup I fnlx ) | -

XER tth.CAT= 1-ZFNQwmdi Ok convey .

vmtorree, pocket

Gingles sup lfnu ) / =bnm→. # 0

XGR

Esercizio assegnato

Convergenza puntuale e uniforme di

fn(x) =tanh(n2x)p

n8 x 2 R.



fn(x) = nxe�nx

su I = [0,+1[.


=g ( mx )e gltktet

Convergence pnntuale-

• per x=o , fnlot 0 HMEH

→ bnnfafnidso .

• per × > 0 : 01 : lingua m×=tA

,

fjmtotet . •} -→


per x > o Guys fncxt O

⇒ {fnlgn # converge puntualm . su

Cates a fxto

Fog .uniform

sxufolfnatfyjksyfoHejny


Rrcerco i ptidi mass .

di

fnkl, per xeto

,test

,m EH

frmatofnkxt men ×

+ mxtm ) e-n×

= men × ( e - nx ) to

# D x = In @ si he cke

fntxlso ttxeto , in ]fine ttxe tin ,

to )⇒phYI%nFss.


syugolfnuu I = fm ( Fn )= m .

In .

e-mi tn

=e-

1

f n Gtt⇒ Gas rypolfnu) 1 = e- 1

> o

→ notsi his convoy 0mi f. me to, tesf


Sr he peed convoy . uniform esulle

semi utte totted to > o

HmrLeath; frssos > o ,

to h snff . grande,R

Punto In done ueaede be Convery . umifoune "

non star price in to , test


frsso d so.

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tnxn In es Cinfaltr lastede pwmdi fr min

- Su Chi

lofted e Itn ,to ) fnkx ) a-good

Qwmdi fn D

×7fr.to/hatFETf,ade.q..,fmw=


= fn ( r ) = more - noe

linen.

more. no

- o

⇒has

.sup |fnu - foxy =0× c- totted

→ fn converge a ¥0Uniform

. sntr,

to ) .

torso


fn(x) =

s

x + nx2 sin2✓

1

n(x + 1)

◆.

su [0,+1).

Convergenza puntuale:


to, fmixtkt n→→•R z

fosso × > °

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=G→m.

my

#t2×%p-fMZ

eh.#I;zE÷r=o⇒fnu= F- → F

txsoto n→•


Convoy .

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- adf.MN/ismynl*..#- E¢Obietw : stim are

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=

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° < NTI, ,

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U- an

→ Okconvoy . uniform e

.

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