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Algebra lineal seccion 10
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El equipo que llevo a cabo esta revista está
conformado por:
Gabriela Araujo (Escritora)
Sandy Guarcax (Editora y escritora)
Nicole Macías (Escritora)
Alma Real (Escritora)
Comentario y sugerencias a
¡ESPERA NUESTRA
PRÓXIMA EDICIÓN!
Contenido Pág
.
Entrevista con una matriz …………………………………………… 3
Operaciones con matrices …………………………………………… 5
Algebra matricial …………………………………………… 8
La inversa de una matriz …………………………………………… 10
Determinantes …………………………………………… 14
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Por: Gabriela Araujo.
Editora: Sandy Guarcax
Muchas veces nos preguntamos, ¿Qué es ser una matriz? ¿Qué hace? ¿Cómo son sus compañeros?
En esta entrevista, nos encargaremos de responder sus preguntas pues
platicamos con una matriz que nos dio una explicación general sobre
ciertos temas.
1. ¿Qué representa ser una matriz? Una matriz representa un arreglo rectangular de números llamados
entradas o elementos.
2. ¿Podría darnos un ejemplo de una matriz? Sí, este es un ejemplo de una matriz:
El tamaño de una matriz es la descripción de los números de
renglones y las columnas que tiene. Una matriz se llama m X n si tiene
m renglones y n columnas. Si una matriz es de 1Xn se llama matriz
renglón y una matriz de nX1 se llama matriz columna.
3. Oh, ok, entiendo. En algunas ocasiones he observado que hay matrices que las escriben como aij, ¿a qué se refieren con esto?
Sí, tienes razón. La notación de doble subíndice Indica la entrada de
la matriz en el renglón i y la columna j denotándola como aij. Por
ejemplo:
Entonces a13=-1 y a22= 5. Por tanto una matriz A se puede denotar
mediante [aij] o [aij] mxn si es importante especificar el tamaño de A.
4. En base a la explicación que nos ha dado, ¿Cuál sería entonces la representación de una matriz general A de m X n? Buena pregunta, la representación general se vería algo como esto:
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Ahora, si las columnas de A son los vectores a1, a2…….. an, entonces A
se puede representar como
Si los renglones de A son A1, A2,…, Am, entonces A se puede presentar
como
5. Si el número de renglones y columnas fuera el mismo, ¿la matriz tendría algún nombre especial? ¿Existen algunas otras matrices que tengan nombres especiales? Las entradas diagonales de A son a11, a22, a33, …, y si m=n entonces A
es una matriz cuadrada.
Una matriz cuadrada cuyas entradas no diagonales sean todas cero
es una matriz diagonal.
Una matriz diagonal cuyas entradas sean todas iguales es una matriz
escalar.
Si el escalar en la diagonal es 1, la matriz escalar es una matriz
identidad.
Dos matrices son iguales si tienen el mismo tamaño y si sus entradas
correspondientes son iguales.
6. Muchísimas gracias por la entrevista concedida. Creo que tanto yo como todos los lectores hemos aprendido más sobre las matrices. Gracias a ustedes, para mí ha sido un gusto compartir este tiempo y
dar a conocer las matrices de una forma más clara.
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Algunos conceptos Suma de matrices: para generalizar la suma de vectores, se define la suma
de matrices por componentes. Si A= [aij] y B= [bij] son matrices de m x n, su
suma A+B es la matriz de m x n que se obtiene al sumar las entradas
correspondientes. Por tanto: A+B= [aij + bij]
Diferencia de matrices: Si A y B tienen el mismo tamaño entonces A-B= A+
(-B)
Multiplicación por un múltiplo escalar: Si A es una matriz m x n y c es un
escalar, entonces el múltiplo escalar cA es la matriz m x n que se obtiene al
multiplicar cada entrada de A por c. De esta manera se tiene cA= c[aij]=
[caij]
Multiplicación de matrices: Si A es una matriz de m x n y B es una matriz de
n x r, entonces el producto C=AB es una matriz de m x r. La entrada (i, j) del
producto se calcula del modo siguiente: cij= a1j b1j + ai2 b2j +…+ ain bnj
Note que A y B no tienen que ser del mismo tamaño. Sin embargo, el número
de columnas de A debe ser igual al número de renglones de B. Si escribe
en orden los tamaños de A, B y AB, podrá ver antes de hacer cálculo
alguno, pues el número de renglones de AB es igual al número
de renglones de A, mientras que el número de
columnas de AB es igual que el número de
columnas de B.
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En base a los conceptos proporcionados realice la operación indicada.
Sea
Realice:
1. A+B
2. A*B
3. 5A
*Si alguna de las operaciones no puede realizarse indique el por qué.
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Potencias de matrices: Cuando A y son dos matrices de n x n, su producto
AB también será una matriz de n x n. Un caso especial ocurre cuando A =
B. Si A es una matriz cuadrada y r y s son enteros no negativos, entonces.
1. ArAs = Ar+s
2. (Ar)s= Ars
Traspuesta de una matriz: La traspuesta de una matriz A de m x n es la
matriz AT de n x m que se obtiene al intercambiar los renglones y columnas.
Esto es: la i-ésima columna de AT es el i-ésimo renglón de A para toda i.
Matriz simétrica: una matriz cuadrada A es simétrica si AT = A.
Intenta escribir una matriz cualquiera y luego escribe su matriz traspuesta:
¿Es la siguiente matriz simétrica?
Respuesta: Sí es simétrica
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Algunos conceptos Propiedades algebraicas de la suma y multiplicación escalar
matriciales:
Sean A,B y C matrices del mismo tamaño, y sean c y d escalares,
entonces…
a) A+B=B+A conmutativa
b) (A+B)+C=A+(B+C) asociativa
c) A+0=A
d) A+(-A)=0
e) c(A+B)=cA+cB distributiva
f) (c+d)A=cA+dA distributiva
g) c(dA)=(cd)A
h) 1A=A
La propiedad de asociatividad permite sin ambigüedades combinar la
multiplicación por un escalar y la suma sin paréntesis. Si A,B y C son
matrices del mismo tamaño, entonces…
(2A+3B)-C = 2A+(3B-C)
…Por lo tanto simplemente puede escribirse 2A+3B-C. Entonces si A1,
A2,…,Ak son matrices del mismo tamaño y c1,c2,…,ck son escalares puede
formarse una combinación lineal
Se puede definir espacio generado por un conjunto de matrices
como el conjunto de todas las combinaciones lineales de las
matrices.
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La independencia lineal también tiene sentido para matrices, se dice
que las matrices A1, A2,…,Ak del mismo tamaño son linealmente
independientes si la única ecuación tiene una solución…
C1A1+c2A2+…+ckAk=0
Es la trivial c1=c2=…=ck=0 Si no hay coeficientes triviales que
satisfagan entonces A1, A2,…,Ak se llama linealmente dependiente
Propiedades de la multiplicación de matrices:
- Sean A, B y C matrices cuyos tamaños son tales que pueden
realizarse las operaciones indicadas y sea k un escalar entonces…
a) A(BC)=(AB)C asociativa
b) A(B+C)=AB+AC distributiva izquierda
c) (A+B)C=AC+AB distributiva derecha
d) k(AB)=(kA)B=A(kB)
e) ImA=A=AIm, si A es m x n identidad multiplicativa
Ejemplo
Propiedades de la transpuesta
- Sean A, B y C matrices cuyos tamaños son tales que pueden
realizarse las operaciones indicadas y sea k un escalar entonces…
a) (AT)T=A
b) (A+B)T=AT+BT
c) (kA)T=(kAT)
d) (AB)T=BTAT
e) (Ar)T=(AT)r
para todos los enteros r no negativos
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Ejemplo
Por: Alma Lucía Real Edición: Sandy Guarcax
Los mejores consejos para reconocer, resolver y aprender más acerca de la inversa una matriz.
Seguramente que en algún momento de tu vida te has cruzado con una
matriz y te preguntaste ¿Será que esta matriz es invertible?, pero por la
falta de conocimiento no lo has podido determinar, pero ahora con
nuestra ayuda podrás encontrar la inversa de cualquier matriz que se
atraviese. Para eso lo primero que debes hacer es saber que es la inversa
de una matriz.
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1. Lo primero que debes de identificar es que si la matriz que te está
causando problema es una matriz cuadrada, es decir, tiene un
tamaño , ya que solo de esta manera podrás resolverla.
2. Ahora debes conocer a la matriz inversa
Si es una matriz de , una inversa de es una matriz de
con la siguiente propiedad
Donde es la matriz identidad. Si tal existe, entonces es
invertible
Debes de tomar en cuenta que si es invertible, entonces su
inversa es única.
3. Ya conoces a la inversa de una matriz, pero ¿Cómo saber si una matriz es invertible?, a continuación te lo indicamos.
Si
, entonces es invertible si , en cuyo caso
Si , entonces no es invertible.
4. ¿Qué más debes de saber acerca de las matrices invertibles?
Estas son algunas de las propiedades más importantes de las
matrices invertibles:
a. Si es una matriz invertible, entonces es invertible y
b. Si es una matriz invertible y es un escalar distinto de cero,
entonces es una matriz invertible y
c. Si y son matrices invertibles del mismo tamaño, entonces
es invertible y
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d. Si es una matriz invertible, entonces es invertible y
e. Si es una matriz invertible, encontes es unvertible para todo
entero no negativo y
5. Otro concepto a tomar en cuenta son las matrices elementales…
¿Qué es una matriz elemental?
Una matriz elemental es aquella matriz que puede obtenerse al
realizar una operación elemental con renglones sobre una matriz
identidad.
Cada matriz elemental es invertible y su inversa es una matriz
elemental del mismo tipo.
6. Por último te presentamos el teorema fundamental de las matrices
invertibles, para que siempre lo tengas presente.
Sea una matriz de . Los siguientes enunciados son
equivalentes:
a. es invertible.
b. tiene un asolución única para
todo en .
c. tiene sólo la solución trivial.
d. La forma escalonada reducida por
renglones de es .
e. es un producto de matrices
elementales.
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TIP EXTRA
Existe otra forma para determinar la inversa, este es el método de Gauss-
Jordan:
Es posible realizar operaciones con renglones sobre e simultáneamente al construir una “matriz superaumentada”, esto es . Si es equivalente por renglones a , entonces operaciones
elementales con renglones producirán
Ahora que ya sabes más acerca de la inversa de una matriz ya puedes
responder esa pregunta que te hacías, si una matriz es invertible o no,
prueba tus habilidades y conocimiento con los siguientes ejercicios.
1. Encuentra la inversa de
2. Demuestra que es la inversa de
3. Use la inversa de la matriz de coeficientes para resolver el sistema
lineal
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Algunos conceptos
El determinante de una matriz A es el escalar denotado por |A| o det A.
*Está definido solamente para matrices cuadradas.
El determinante de una matriz A…
1X1
Si A = [a], su determinante está dado por |A| = a
Ejemplo
A = [-5]
|A| = det A = -5
2X2
Si A =
entonces su determinante es |A| = a11a22 – a21a12
Ejemplo
B
|B| = det A = (4 x 6) - (-3 x -1) = 24 – 3 = 21
3X3
Método de las diagonales
Para calcular el determinante de una matriz de 3 x 3 utilizaremos un método que sólo es válido para matrices de este orden. Este método, análogo al
método para calcular el determinante de una matriz de 2 x 2.
Este consiste en:
1. copiar las primeras dos columnas de A a la derecha de la matriz
2. Se toman los productos de los elementos de las 6 diagonales. Los
productos de las diagonales descendentes se toman con signo + y
los productos de las diagonales ascendentes se toman con signo –.
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Ejemplo
c
=
det C = (2+0+0)-(0-15-16) = 2-(-31) = 33
nxn Expansión de Laplace
Esta consiste en la expansión por cofactores a lo largo de un renglón o de
una columna.
Se define el cofactor (i, j) de A como Cij = (–1)i+j detAij, donde Aij es la
submatriz de A obtenida mediante la eliminación del renglón i y la
columna j. Para cualquier matriz cuadrada A, detAij se denomina menor-
(i, j) que A.
El determinante de cualquier matriz A está dado por:
|A| = det A = (expansión por cofactores a lo largo del i-ésimo
renglón) ó |A| = det A = (expansión por cofactores a lo largo
de la j-ésima columna).
Ejemplo
C
Renglón 1:
det C = a11C11 + a12C12 + a13C13
Cofactores:
C11 = (-1)1+1 det
= 17
C12 = (-1)1+2 det
= 4
C13 = 0
det C = (1)(17) + (4)(4) + 0 = 33
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IMPORTANTE
Es conveniente utilizar el teorema de la expansión de Laplace cuando la
matriz contiene un renglón o columna con varios ceros.
TEOREMA
El determinante de una matriz triangular es el producto de las entradas
sobre su diagonal principal. Es decir, si A = [aij] es de n x n, entonces
det A = a11a22a33…ann.
Propiedades de los determinantes
Sea A una matriz cuadrada.
a. Si A tiene un renglón (o columna) cero, entonces det A = 0.
b. Si B se obtiene al intercambiar dos renglones (o columnas) de A,
entonces det B = – det A.
c. Si A tiene dos renglones (o columnas) idénticos,entonces det A = 0.
d. Si B se obtiene al multiplicar un renglón (o columna) de A por un
escalar k, entonces det B = k det A.
e. Si A, B y C son idénticas excepto que el i-ésimo renglón (columna) de
C sea la suma de los i-ésimos renglones (columnas) de A y B, entonces det
C = det A + det B.
f. Si B se obtiene al sumar un múltiplo de un renglón (columna) de A a otro
renglón (columna), entonces det B = det A.
Ejemplo
det E = 1 x 45 x 33 = 1485
det C x 5 x 9 = 1485
det C = 1485 / 45 = 33
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Calcule el determinante de
Respuesta: detA=5
Regla de Cramer
Esta regla proporciona una fórmula para encontrar la solución de ciertos
sistemas de n ecuaciones lineales con n variables. Completamente en
términos de determinantes.
Para una matriz A de n x n y un vector b en IRn, denotemos como Ai(b) la
matriz obtenida al reemplazar la i-ésima columna de A por b. Sea A una
matriz invertible de n x n y sea b un vector en IRn. Entonces, la única
solución del sistema Ax = b está dada por
para i = 1, 2, …,n
Ejemplo
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Utilice la regla de Cramer para resolver el sistema
x + y – z = 1
x + y+ z = 2
x – y = 3
Históricamente los determinantes precedían a las matrices, un hecho
curioso a la luz de la forma como se enseña el álgebra lineal en la
actualidad, con las matrices antes que los determinantes.
Algunos de los más grandes matemáticos de los siglos
XVIII y XIX contribuyeron al desarrollo de las
propiedades de los determinantes. La mayoría de los
historiadores coinciden en afirmar que la teoría de
los determinantes se originó con el matemático
alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) quien
fue con Newton, el co inventor del cálculo diferencial
e integral. Leibniz empleó los determinantes en 1693
con relación a los sistemas de ecuaciones lineales
simultáneas. No obstante hay quienes creen que el
matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos
10 años antes.
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