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Revisão Revisão Revisão Revisão (Alguns conceitos básicos de Estatística)(Alguns conceitos básicos de Estatística)
Prof.a Dr.a Simone Daniela Sartorio de Medeiros
DTAiSeR-Ar
1
Estatística é a ciência que se ocupa de coletar, organizar, analisar e interpretar dados
a fim de tomar decisões.
O que é estatística?O que é estatística?
Elemento significa cada uma das unidades observadas no estudo que
Após a determinação dos elementos ou unidades experimentais...
vai gerar cada dado.
Dependendo da área, também conhecida como: parcela; unidade experimental; ou unidade amostral.
2
medi-los, observá-los, contá-los .
O que fazer com os elementos? O que fazer com os elementos?
Surgindo um conjunto de respostas (dados)
que receberá a denominação de
variávelvariável.
Pode-se:
VariávelVariável
3
VariávelVariávelCaracterísticas de interesse observadas que assumem valores
diferentes em diferentes indivíduos, locais, situações ou objetos, ou seja, apresentam variabilidade ou variação. Notação: Variável de interesse:
Y (letra maiúscula); Valores por ela assumidos: y (letra minúscula).
Quando os valores assumidos por uma variável são o produto de fatores causais e estes não podem ser preditos com exatidão, esta é
chamada de variável aleatória.
Tipos de variáveisTipos de variáveis
qualitativa
Nominal
Ordinal
Variável
Apresentam como possíveis realizações uma qualidade ou
atributo do indivíduo pesquisado. • Escala da gravidade de uma doença;
• Escolaridade;• Qualidade das refeições de um restaurante.
• Sexo;• Naturalidade;
• Profissão;• Diagnóstico.
Exemplos:
Exemplos:
• n.º de leitos, • quantidade de funcionários de uma empresa.
• n.º de brotos de pés de laranja.
Discreta (Contagem)
Contínua(Mensurações)
Variável
quantitativa
Apresentam como possíveis realizações
números resultantes de uma contagem ou
mensuração.
Exemplos:
• Peso, • Altura, • Temperatura,
• Pressão• Idade• IMC
Exemplos:
4
Os conjuntos de trabalho da estatísticaOs conjuntos de trabalho da estatística
PopulaçãoConjunto de elementos que tem pelo menos uma característica (variável) em comum.
Amostra Subconjunto de elementos de uma
população.
OBS: Seus elementos devem ser representativos da população.
OBS: Esta característica deve delimitarcorretamente quais são os elementos da população
(que podem ser animados ou inanimados).
ou
A Estatística trabalha com dados, os quais podem ser obtidos por meio:
5
representativos da população. (que podem ser animados ou inanimados).
Na grande maioria das situações, não é possível realizar o censo de umapopulação, porque ou a população é muito grande ou é de tamanho infinito.
Para contornar este problema, o pesquisador pode retirar uma amostra dapopulação e a partir desta amostra caracterizar a população de onde a amostrafoi retirada sem nenhum viés.
Mundo Real (população)
Amostra
Estimativa
^
Amostragem
ParâmetroParâmetro: Característica numérica que se calcularia a partir da população
e que descreve uma característica de interesse.
EstimativaEstimativa: Característica numérica que é calculada a partir da amostra (valor), por meio de
um estimador (fórmula).
Valor fixo e “desconhecido”Valor variável
(depende da amostra obtida) e conhecido (para a amostra obtida)
ParâmetroEstimativa
Inferência
6
Exemplos de estimadores:
• média aritmética amostral, m (ou x, ou µ), que é usada para estimar a média populacional m (ou µ); e
^ ^
Para alcançar este objetivo deve-se usar fórmulas estatísticas, conhecidascomo estimadores, que apresentem características estatísticas desejáveis, taiscomo não-tendenciosidade, variância mínima, fornecer estimativas que seaproximem do valor paramétrico à medida que o tamanho da amostra aumenta, eetc..
• variância amostral, s2 (ou σ , ou ), que é usada para estimar a variância populacional 2.
• correlação amostral , r, que é usada para estimar a correlação populacional .
^2)(ˆ XV
7
O parâmetro é sempre um valor constante, pois para a obtenção do mesmo são usados todos os elementos da população.
Por outro lado, o estimador representa uma variável aleatória, pois os seus valores
Observe que algumas vezes a simbologia usada para representar os parâmetros eseus respectivos estimadores é muito parecida. A diferença entre o parâmetro e o seuestimador é o chapéu que existe no símbolo usado para representar o estimador.
Isto parece ser uma diferença mínima, mas do ponto de vista estatístico, a diferença conceitual entre parâmetro e estimador é enorme.
Por outro lado, o estimador representa uma variável aleatória, pois os seus valores mudam de amostra para amostra. Isto acontece porque os elementos que pertencem a
uma amostra geralmente não são os mesmos em outras amostras.
Estes diferentes valores que um estimador assume são também conhecidos como estimativas.
Consequentemente, é possível estabelecer uma distribuição de probabilidades para os valores de um estimador. Para o parâmetro, isto
não é possível, pois se assume que ele tem um valor constante.8
Teste de hipótesesTeste de hipóteses
Os testes de hipóteses fazem parte de um conjunto de procedimentos Os testes de hipóteses fazem parte de um conjunto de procedimentos inferenciais usados em estatística.
O uso de tais procedimentos permite ao pesquisador fazer inferências a respeito de uma população a partir de uma ou mais amostras
representativas da população da qual as amostras foram retiradas.
9
No dia a dia usamos de inferência para tomarmos certas decisões.
Exemplo (o princípio básico do teste de hipóteses)
Quando vamos a feira para comprar abacaxi e um feirante nos oferece um pedaço de abacaxi. Qual o nosso procedimento?
• Se aquele pedaço de abacaxi for doce...concluímos que...
• Por outro lado, se o pedaço for azedo, inferimos que ...
Porém, em ciência é necessário que todos os procedimentos sejam padronizados e bem especificados. Assim, é fornecer os conceitos teóricos fundamentais para um correto uso dos testes de hipóteses.
• Por outro lado, se o pedaço for azedo, inferimos que ...
É lógico que podemos tomar decisões erradas devido à amostragem.Por exemplo, corremos o risco de levar abacaxi azedo para casa, mesmo que anossa prova tenha sido doce. Isto pode acontecer por um dos dois motivos...
10
Conceitos fundamentais em testes de hipótesesConceitos fundamentais em testes de hipóteses
1.1. ParâmetroParâmetro
É possível caracterizar uma população por meio de duas medidas principais:
As medidas de posição
As medidas de dispersão
11
Medidas de posiçãoMedidas de posição
São também conhecidas como medidas de tendência central, São também conhecidas como medidas de tendência central, pois elas indicam em que posição, a distribuição dos valores de
uma população tendem a se concentrar.
Exemplos: a média aritmética (m = µ = E(X)), a mediana (Md); e a moda (Mo).
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Dentre as medidas de posição é considerada a mais importante. É a melhor representação para dados simétricos.
Se os dados são de uma amostra, a média é
representada por: ou x
Se os dados são de uma população, a média é
representada por: m ou
a) Média aritméticaa) Média aritmética
OBS: Pode-se também ter interesse na obtenção da média
m̂
OBS: Pode-se também ter interesse na obtenção da média associada a alguma outra variável. Por exemplo, média por curso.
13
aa..11)) MédiaMédia AritméticaAritmética simplessimples::
DefiniçãoDefinição::
Se x1, ..., xn são os valores (distintos ou não) da variávelX, a média aritmética de X é dada por:
n
x
m
n
ii
1ˆ
ExemploExemplo 11))
Suponha que uma empresa possui cinco funcionários e que cada um receba em R$:
400,00 545,00 610,00 475,00 5500,00.
Média salarial: m = R$ 1506,00^
Interpretação:A média é o ponto de equilíbrio,
OBSOBS::
A média não nem sempre é uma medida adequada para a
representação de um conjunto de dados. Principalmente quando
temos a presença de algum outlier.
14
A média é o ponto de equilíbrio, ou “centro”, da configuração
Medidas de dispersãoMedidas de dispersão
Indicam quanto os valores de uma população estão Indicam quanto os valores de uma população estão dispersos em torno de sua média.
Exemplos: a variância amostral (s2); e o desvio-padrão amostral (s).
15
)ˆ(
2
1
1
2
1
2
2
n
x
xmx
s
n
iin
ii
n
ii
OBS: esse é o melhor
estimador para a variância
N tamanho populacionaln tamanho amostral
Fórmula Fórmula alternativa alternativa
((mais usadamais usada))
a) Variância amostral a) Variância amostral (s2) ou estimativa da variância populacional (σ2)É a média dos quadrados dos desvios em relação a média aritmética
amostral
11
nnsvariância
populacional (dividir por n-1)
((mais usadamais usada))
Vantagem :Vantagem :
A interpretação é mais fácil, pois possui a mesma unidade dos dados originais. Já na variância, a unidade é elevada ao quadrado.
2ss
b) Desvio padrão amostral b) Desvio padrão amostral (s ou n-1)
É a raiz quadrada da variância amostral (s2)
16
TarefaTarefa 11
Sejam Y a variável peso (em tonelada) e 2 tipos de colheitadeira. Retirou-se umaamostra de tamanho 4 de cada colheitadeira, os dados se encontram na tabelaabaixo. Calcule as medidas de posição (média, mediana e moda) e variação(variância e desvio padrão) das observações relativas a cada colheitadeira: A e B.
Interprete as medidas e baseada nelas, comente sobre o desempenho de cada colheitadeira.
Tabela 1. Porcentagem de quebra em quatro amostras de sementes de milho de espigas
colhidas por duas colheitadeiras
Colheitadeira
repetição A B
1 5 10
2 4 5
3 5 0
4 6 5
17
colhidas por duas colheitadeiras
a<- c(5,4,5,6) b<- c(10,5,0,5)mean(a); median(a); var(a); sd(a) mean(b); median(b); var(b); sd(b)
No R:
Tarefa 2Tarefa 2
a) Instale o software R em seu computador.
SiteSite: http://www.r-project.org
Download R 3.6.1 for Windows
Ultima versão:
18
A interface do R é composta de três janelas principais:A interface do R é composta de três janelas principais:
ii) o “editor” que é o processador básico de texto
i) a “console”, que é a interface de programação;
iii) a quartz, onde é apresentado os gráficos;19
Tarefa 3Tarefa 3
b) Em seguida, instale o software Rstudio em seu computador (precisa ser nessa ordem!)
SiteSite: https://www.rstudio.com/products/rstudio/download/
iv) Memória RAM;
20
ii) o “editor” que é o processador básico de texto
i) a “console”, que é a interface de programação;
iii) a quartz, onde é apresentado os
gráficos;
Algumas distribuições Algumas distribuições probabilísticas contínuas probabilísticas contínuas
importantesimportantesimportantesimportantes
a) Distribuição Normal (ou Gaussiana);
b) Distribuição Qui-Quadrado;
c) Distribuição t-Student;
d) Distribuição F de Snedecor.
21
a) Distribuição Gaussiana (ou normal)a) Distribuição Gaussiana (ou normal)
Modelo fundamental em probabilidade e inferência estatística.
Representa grande parte das variáveis aleatórias contínuas.
Alguns motivos para seu uso:
Muitos testes e modelos estatísticos têm como pressuposição a “normalidadedos dados”, isto é, que os dados seguem uma distribuição Normal;
Muitas variáveis biométricas tendem a ter distribuição Normal;
A distribuição das médias amostrais de uma variável aleatória qualquertendem a ter distribuição Normal, mesmo que a variável em si não tenhadistribuição Normal.
22
Modelo NormalModelo Normal
Dizemos que a v.a. Y tem distribuição Normal com parâmetros m e 2,
se sua função densidade é dada por:
Notação: Y ~ N(m , 2) E(Y) = m V(Y) = 2
yparaeyfmy
,2
1)(
2
2
2
)(
2
Notação: Y ~ N(m , 2) E(Y) = m V(Y) = 2
Propriedades: Propriedades: 1) f(y) tem forma de sino:
unimodal e simétrica em relação à m;
2) Não possui Limite inferior ou superior: f(y) → 0 quando y→ ;
3) O valor máximo de f(y) se dá quando y = m . my
f(y)
23
Propriedades da Distribuição NormalPropriedades da Distribuição Normal
4) Dois parâmetros: média (m) e desvio padrão ()
m1 < m2 < m3
m1 m2 m3
1
2
1 < 2 < 3
_ A média () controla a localização do centro da distribuição, é o ponto de simetria.
m1 < m2 < m3
m-3m-2
m-
m+3m+2
m+
m
2
3_ O desvio padrão () controla a dispersão da curva ao redor da média.
1 < 2 < 3
5) Unidade padrões: o desvio padrão define “unidades padrões” na distribuição a partir da média, isto é, a dispersão dos dados é controlada pelas “unidades de desvio padrão”.
68%
95%
99,7%
24
Como calcular a probabilidade, por exemplo, de um intervalo (a, b) qualquer de uma v.a.c. Y que segue uma
distribuição normal?
b my
dyebYaP2
2
2
)(
22
1)(
Muita CALMA
nessa hora!!!
Para calcular probabilidades precisamos resolver a integral:
a
22hora!!!
Esta integral só pode ser resolvida de modo aproximado. Então essas probabilidades podem ser calculadas através
do uso de tabelas ou pelo computador.
SÓ QUE para cada valor de m e 2 diferentes, obtemos uma distribuição (função) diferente, ou seja, teremos
INFINITAS TABELAS!!!!25
Calcular probabilidades no modelo Normal Calcular probabilidades no modelo Normal
Para calcular probabilidades precisamos resolver a integral:
Para se utilizar apenas uma tabela, utiliza-se uma transformação da variável
b
a
my
dyebYaP2
2
2
)(
22
1)(
Para se utilizar apenas uma tabela, utiliza-se uma transformação da variável Y que conduz sempre ao cálculo de probabilidades com uma variável normal
com parâmetros (0,1), isto é, média igual a 0 e variância igual a 1.
Essa variável Z transformada terá distribuição N(0,1) e será denominada
de distribuição Normal Padrão.
Notação: Z ~ N(0 , 1)
mXZ
26
Para determinar a probabilidade Y [a. b], procedemos da seguinte forma:
E então olhamos na tabela e obtemos as probabilidades
da distribuição Normal
mbZ
maP
mbmYmaP
mbmYmaPbYaP )()(
Tabela da Normal Padrão Tabela da Normal Padrão
Como a distribuição Normal é simétrica, apresenta-se na tabela
apenas os valore de P(0 Z z). A probabilidade de estar acima (ou abaixo
de zero) é 0,5.
27
Tabela da distribuição normal padrão (Z). Tabela da distribuição normal padrão (Z).
28
Sabendo-se que Z ~ N(0,1), calcule:
Exercício 1Exercício 1
a) P(0 < Z < 2,14) = ?b) P(–2,17 < Z < 1,5) =? c) P(Z > 0) = ?d) P(Z < –1) = ?
Tarefa 4Tarefa 4
29
Seja X v.a.c. peso com média 59,6 kg e variância 16 kg2. Calcule a probabilidade:
Exercício 2Exercício 2
a) P(X 70) = ?
b) Distribuição b) Distribuição QuiQui--quadradoquadrado
Definição: Definição: Seja a v.a. X tal que, fazendo-se no modelo gama = /2 e = 2, com > 0
inteiro, tem-se a distribuição qui-quadrado, com graus de liberdade e densidade dada por:
2
)(1
222
2
2
1 ~... v
v
iiv ZZZZX
Sejam {Z1, Z2, ..., Zv} uma amostra aleatória de v elementos retirados de uma distribuição normal padronizada, isto é, N(0, 1).
Então, a v.a.
Ou então, podemos obter a qui-quadrado pela seguinte relação:
Notação: X ~ 2()
30
Grau de liberdade Grau de liberdade é, em estatística, , podem ser qualquer número real maior que zero.
Geralmente considera-se = n – 1 Ilustração:
Sem 0.3
00.3
50.4
0
Sem escolha!
x=0.9x=3x=5x=10x=20x=30x=50
0.0
00.0
50.1
00.1
50.2
00.2
50.3
0
0 10 20 30 40 50 60 70 80 31
c) Distribuição c) Distribuição tt--StudentStudent
É uma distribuição de probabilidade para dados contínuos, sua curva é simétrica, semelhante à curva normal padrão (N(0,1)) , porém com caudas mais largas, ou seja, uma simulação da t de Student pode gerar valores mais extremos que uma simulação
da normal.
Difere da curva normal padrão pois tem apenas um parâmetro chamado de grau de liberdade que alteram a forma da curva.
x=0.05
0.4
x=0.05x=0.25x=0.50
x=1x=10x=InfinitoNormal padrão
0.0
0.1
0.2
0.3
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
Quanto menor o grau de liberdade, maior é a área nas caudas da distribuição (probabilidade).
Quanto maior os graus de liberdade, mas a
distribuição t-Student se aproxima da normal
padrão.
32
DefiniçãoDefinição:Uma v.a. X tem distribuição t-Student se a função densidade de
probabilidade é dada por:
• Sendo – < x < +• são os graus de liberdade da distribuição
e = n – 1• (.) represente a função gama
Ou então, podemos obter a distribuição t-Student pela seguinte relação:
Essa distribuição é utilizada para dados
contínuos, simétricos, que a amostra é pequena, ou
seja, n < 30.
Sejam Z ~ N(0, 1) e Q ~ 2()
v.a.’s independentes. Então, a variável:
Notação: X ~ t()
)(~
tQ
ZX
Ou então, podemos obter a distribuição t-Student pela seguinte relação:
33
d) Distribuição Fd) Distribuição F
A distribuição F de Fisher-Snedecor, mais conhecida como distribuição F de Fisher (em honra a Ronald Fisher) ou distribuição F de Snedecor (em honra a Georde W. Snedecor) mede a razão entre duas qui-quadrados independentes
Sejam U e V duas v. a. independentes, cada uma com
distribuição qui-quadrado, com e graus de liberdade,
Ronald Fisher
Georde W. Snedecor
1 e 2 graus de liberdade, respectivamente.
Então, a v.a.
),(
2
1
21~
/
/
F
V
UW
Notação: W ~ F(1, 2)
34
Definição:Definição:Uma v.a. W tem distribuição F de Snedecor, com 1 e 2 graus de
liberdade, se possui a densidade dada por:
Ou então, pela definição teórica:
CALMA!!!Para obter as probabilidades também
utiliza-se uma Tabela.
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Função densidade FFunção densidade F
W ~ F(8, x)
Distribuições F(8,x)
x=0.05x=0.25x=0.50x=1
0.8
0.9
1.0
Distribuições F(x,8)
1.4
1.6
1.8
W ~ F(x, 8)
x=1x=10x=Infinito
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 1 2 3 4 5 6
x=0.8x=2
x=3x=10x=20x=Infinito
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
0 1 2 3 4 5 6
36
Intervalo de ConfiançaIntervalo de ConfiançaIntervalo de ConfiançaIntervalo de Confiança
37
Nível de confiança: = 1 – ;
Nível de significância: (o quanto se permite errar);
Ambos assumem valores entre 0 e 1.
Para uma amostra de tamanho n, quanto maior o exigido para o IC, maior será a amplitude deste.
População Normal
a) Se a variância populacional 2 é conhecida. Para qualquer n :
b) Se a variância populacional 2 é desconhecida. Amostra pequena (n 30):
1) Intervalo de confiança para a média1) Intervalo de confiança para a média
nzmmIC
2/ˆ%)100;(
n
stmmIC n )1(ˆ%)100;(
c) Se a variância populacional 2 é desconhecida Amostra grande (n > 30) :
n
n
szmmIC 2/ˆ%)100;(
38
E ainda temos outros IC, por exemplo:
2) IC para proporção (p); 2) IC para proporção (p); 3) IC para a variância (3) IC para a variância (22)), entre outros...
A distribuição dos pesos de pacotes de sementes de milho, enchidos automaticamente por uma certa máquina, é normal, com desvio padrão ()
conhecido e igual a 0,20kg. Uma amostra de 15 pacotes retirada ao acaso apresentou os seguintes pesos, em kg:
ExemploExemplo
20,05 20,10 20,25 19,78 19,69
19,90 20,20 19,89 19,70 20,30
19,93 20,25 20,18 20,01 20,09
kgm 02,20ˆ
- +0
(0,1)N
95%
z-z
2,5%2,5%
?1,96
12,20;92,19%)95;( mIC
Construa um intervalo de confiança de 95% para o peso médio dos pacotes de sementes de milho.
Portanto, com 95% de confiança, podemos dizer que o peso médio dos pacotes de semente de milho é um valor entre 19,92 kg e 20,12 kg.
nzmmIC
2/ˆ%)100;(
39
Para re-lembrar:
_ Conceitos básicos.
_ Como entrar com os dados na calculadora científica?
_ Notação usada e descrever as contas.
_ Como era as principais representações gráficas de estatística descritiva, como fazer elas e sua interpretação?
40
Tarefa 5Tarefa 5Os dados abaixo são referentes à altura de 100 plantas de milho, amostradas ao acaso.
158 194 215 163 212 219 218 174 178 213
213 210 218 169 214 175 190 232 201 200
201 211 199 187 167 201 182 217 195 154
197 209 219 188 192 158 206 183 213 158
178 202 174 196 198 167 216 214 167 203
159 205 168 202 191 178 157 156 169 233
176 198 192 217 206 187 159 198 218 222
189 186 195 223 216 221 185 189 229 199
Proceda ao sorteio (usando a amostra aleatória simples sem reposição) de duas amostrasformadas por 15 plantas e obtenha:a) As medidas de posição (média, mediana);b) As medidas de dispersão (variância, desvio padrão, variância e erro padrão da média);c) A tabela de distribuição de frequências (considere 6 classes);d) O histograma de frequências absolutas;e) O gráfico boxplot (interpretando-os em relação a variável observada).g) Intervalo de confiança para a média e variância populacional de cada amostra ao nível de 5%
de significância e interprete-os.
259 177 217 195 225 219 231 169 207 183
289 185 203 215 193 201 177 166 204 195
41
Teste de hipóteseTeste de hipótese
42
a) a) UmaUma populaçãopopulação
b) b) DuasDuas populaçõespopulações
c) c) Três ou maisTrês ou mais populaçõespopulações
Teste de HipóteseTeste de Hipótesea) Paramétrico; a) Paramétrico;
b) Não paramétrico.b) Não paramétrico.b) Não paramétrico.b) Não paramétrico.
43
Para qualquer tipo de teste de hipótese, existem três “pensamento” diferentes para se realizar um TH:
a) Método teórico;b) Valor-p;c) Procedimento “mecânico” (por estatística).
A construção de um teste de hipóteses requer a especificação de duas hipóteses, denominadas:
Hipótese Nula (H0):
É a hipótese que sugere um valor para o parâmetro populacional ou a igualdade dos parâmetros em teste.
Geralmente expressa o conceito de ‘nenhuma diferença’.
Hipótese alternativa (H1 ou Ha):
É a hipótese que sugere que a afirmação que estamos fazendo na hipótese nula é falsa.
Geralmente, H1 representa a suposição que o pesquisador quer provar, sendo que H0 é formulado com o propósito de ser rejeitada.
A construção da hipótese alternativa depende das informações que se têm do problema em estudo.
44
DefiniçõesDefinições
Na realidade
H0 é Verdadeira H0 é falsa
DecisãoRejeitar H0 Erro tipo I Decisão Correta
Aceitar H0 Decisão Correta Erro tipo II
Assim, é necessário
quantificar os possíveis erros
associados a essa decisão.
(1 – ) é o coeficiente de Erro Tipo IErro Tipo I::= P(erro tipo I) = P(Rejeitar H0| H0 é verdadeira)
Nível de significância ou nível descritivo do teste. Ao realizar-se um teste de hipóteses, parte-se de um dado
valor pré-fixado de .
Erro Tipo IIErro Tipo II::
= P(erro tipo II) = P(Aceitar H0 | H0 é falsa)
(1 – ) é o coeficiente de confiança
(1 – ) é denominado depoder do teste
45
Teste de hipóteses para média de populações normaisTeste de hipóteses para média de populações normais
a) A afirmação diz respeito a uma média populacional.
Objetivo: avaliar afirmações sobre média(s) populacional(is).
Existem, basicamente, 3 tipos de afirmações que se podem fazerquando se estudam médias populacionais:
b) A afirmação diz que as médias de duas populações são todas iguais.
c) A afirmação diz que as médias de três ou mais populações são todas iguais.
46
Teste para Teste para médiamédia de de umauma
1 população normal
população normalpopulação normal
47
1.1.oo PassoPasso: Defina a hipótese de nulidade (H0) e a hipótese alternativa (Ha), em que m0 é um valor constante que se deseja testar.
Teste sobre a Teste sobre a médiamédia de de umauma populacionalpopulacional
H : m = m H : m = m H : m = m
Teste unilateralà esquerda
Teste unilateralà direita
Teste bilateral
H0: m = m0
Ha: m < m0
H0: m = m0
Ha: m > m0
H0: m = m0
Ha: m m0
48RA: Região de Aceitação de H0
RR: Região de Rejeição de H0
Procedimento “mecânico”
49
2.2.oo PassoPasso: Escolher a estatística adequada para julgar a hipótese H0
População Normal
a) Se a variância populacional 2 é conhecidae n é qualquer:
)1,0(~ˆ
2
0 N
n
mmZ
Teste sobre a Teste sobre a médiamédia de de umauma populacionalpopulacional
Estatística
b) Se a variância populacional 2 é desconhecida e a amostra é pequena (n 30)
c) Se a variância populacional 2 é desconhecida e aamostra é grande (n > 30) :
)1(2
0 ~ˆ
nt
n
s
mmT
)1,0(~ˆ
2
0 N
n
s
mmZ
OBS: Serve também para uma população com distribuição qualquer e tamanho da amostra grande 50
33..oo PassoPasso: Fixar a probabilidade e usar esse valor para construir a regiãocrítica (RC) com os valores tabelados (zc ou tc).
Teste sobre a Teste sobre a médiamédia de de umauma populacionalpopulacional
44..oo PassoPasso: Usar as informações da amostra para encontrar o valor da estatística(valor calculado ou observado) que definirá a decisão do teste.
51
5.5.oo PassoPasso: Concluir: Se o valor amostral observado (zcal ou tcal) pertencer à região de rejeição(RR) determinada pelo(s) ztab ou ttab, então rejeita-se H0, concluindo que
m m0 (ou m m0 , ou m m0).
Se o valor amostral observado (zcal ou tcal) pertencer à região de aceitação(RA) determinada pelo(s) ztab ou ttab, então aceita-se H0, concluindo que m = m0.
ExemploExemplo
Foi retirada uma amostra de tamanho 10, da população de pesos aos 210 dias de bezerros da raça Nelore. Os valores, em kg, foram os seguintes:
Desconfia-se que o peso médio é menor que 186, teste as hipóteses ao nível de significância de 5%.
Teste sobre a média de uma população com variância desconhecida
178 199 182 186 188 191 189 185 174 158
nível de significância de 5%.
Aceita-se H0 ao nível de 5% de significância, concluindo que o peso dos bezerros é
igual a 186 kg. 52
valor-pouou
p-value
53
O valorO valor--p p (ou p-value)
É o nome que se dá à probabilidade de se observar um resultado tão ou mais extremo do que o obtido pelo pesquisador (por meio da amostra), supondo que a
hipótese nula seja verdadeira:
valor-p = P(rejeitar H0 usando o valor da amostra como corte| H0 é verdadeira)
OBS: O valor p é calculado com base na amostra, enquanto que é o maior valor p que leva à rejeição da hipótese nula.
Regra prática:
Se o valor-p < Rejeita-se H0
Se o valor-p > Aceita-se H0
Um valor p pequeno significa uma das duas situações:1) Ou o pesquisador observou umresultado pouco provável de ocorrer,supondo a H0 verdadeira; ou2) A H0 é falsa.
54
peso<- c(178, 199, 182, 186, 188, 191, 189, 185, 174, 158) length(peso)
t.test(peso, mu=186, alternative="less", conf.level = 0.95)
1 populaçãopopulação
Exemplo 1:Exemplo 1: Pesos aos 210 dias de bezerros da raça Nelore
# One Sample t-test## data: peso# t = -0.8482, df = 9, p-value = 0.2092# alternative hypothesis: true mean is less than 186# 95 percent confidence interval:# -Inf 189.4839# sample estimates:# mean of x # 183
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Álgebra de matrizesÁlgebra de matrizesÁlgebra de matrizesÁlgebra de matrizes
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Álgebra matricialÁlgebra matricial
Para a estatística ser usada (teórica ou aplicada), alguma álgebra matricial é necessária. Todo software estatístico “entende” as informações do experimento
(dados) por meio de matrizes, por essa razão é útil, se não essencial, ter pelo menos algum conhecimento nesta área da matemática.
A primeira vista, a notação de álgebra matricial é um pouco amedrontadora.No entanto, não é difícil entender os princípios básicos, desde que algunsdetalhes sejam aceitos na fé.detalhes sejam aceitos na fé.
a) Matrizes e vetoresa) Matrizes e vetores
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
.
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.
.
am1 am2 ... amn
A(m n) =
Uma matriz m n é um arranjo de números com m
linhas e n colunas, considerado como uma
única entidade, da forma:
Se m = n então ela é uma matriz
quadrada.
c1
c2
.
.
.
cm
c(m 1) =
Se existe somente uma coluna, tal como:
então ela é chamada um vetor coluna.
O negrito é usado para indicar matrizes e
vetores.
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Se existe somente uma linha, tal como:
ou
r(1 n) =
então ela é chamada um vetor linha.
r1 r2 ... rn
r = (r1, r2, ..., rn)
a11 a21 ... am1
a12 a22 ... am2
.
.
.
.
.
.
...
...
...
.
.
.
a1n a2n ... amn
A’(n m) =
A transposta de uma matriz é obtida trocando-se as linhas pelas colunas. Então atransposta da matriz A já vista é:
a1n a2n ... amn
Também a transposta de um vetor c é:
c’ = (c1, c2, ..., cn),
e a transposta do vetor linha r é o vetor coluna r’.
