Revisão de Circuitos Elétricos com Interruptores · Circuitos de Primeira Ordem. Circuito de Roda-Livre: Campus de Ilha Solteira. Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 17/134

Revisão de Circuitos Elétricos com Interruptores

Campus deIlha Solteira

Laboratório deEletrônica de Potência

Slide 1/134

Prof. Dr. Guilherme de Azevedo e MeloUNESP – Campus de Ilha Solteira

LEP – Laboratório de Eletrônica de Potência

Material desenvolvido por: Prof. Dr. Carlos Alberto Canesin

Circuitos de Primeira Ordem

Circuito RC em Série com um Tiristor:


Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 2/134

• Supondo que o tiristorT está bloqueado e que ocapacitorC encontra-se inicialmente descarregado,o que ocorre quandoT é levado à condução?

• Como ficam as formas de onda de tensão e correnteassociadas aR e C? É possível determiná-las deforma teórica?



( ) . ( )Rv t R i t=

. ( ) ( )CE R i t v t= +

⇓

( ) ( )R CE v t v t= +



( ) ( )R CE v t v t= +

• Em t = t0, o tiristor é levado à condução.

• vC(t0) = 0

• Equacionando a malha de tensão, tem-se:

( )Ci i t=

( ) . ( )C C

di t C v t

dt=

. ( ) ( )CE R i t v t= +

. ( ) ( )C CE R i t v t= +

. . ( ) ( )C C

dE R C v t v t

dt= +

⇓

⇓



. . ( ) ( )C C

dE R C v t v t

dt= +

( ) ?Cv t =

⇓

( )1 . . . ( )C

Es R C V s

s= +

( )( )C

EV s =

+



C

• Para resolver o problema, é possível usara Transformada de Laplace.

( )0. . . ( ) ( ) ( )C C C

ER C sV s v t V s

s= − +

0. . . ( ) ( ) . . ( )C C C

Es R CV s V s R C v t

s= + −

0

( )( )

. 1 . .CV ss s R C

=+

( )( )

. 1 . .C

EV s

s s R C=

+

( ).( )

. 1 . .

.

C

E

R CV ss s R C

R C

=+



.( )1 . .

.

C

ER CV s

s R Cs

R C

=+ ⋅

( )11 ate−⋅ −

( )1

+⇔

• Para retonar ao domínio do tempo, aplica-se a Anti-Transformada de Laplace. Parao caso em questão:



1.1

( ) 11..

tR C

C

Ev t e

R CR C

− ⋅

= ⋅ ⋅ −

( )/ .( ) 1 t R CCv t E e−= ⋅ −

1( )

1. ..

C

EV s

R Cs s

R C

= ⋅ +

1( )

1 . .. .. .

C

EV s

s R CR C sR C R C

= ⋅ +

( )1 ea

⋅ −( ).s s a+

⇔



• Outra forma de se obter a Anti-Transformada de Laplace é trabalhando a equação atravésda técnica de Frações Parciais.

• http://www.ncsu.edu/felder-public/kenny/papers/partial.html

( )E

V s =



( ) ( ).

. 1 . . 1 . .

E x yE

s s R C s s R C

= + + +

• Aplicando quaisquer dos métodos paradeterminação de frações parciais, tem-se:

1

.

x

y R C

= = −

( )1

( ) .1 . .C

RCV s E

s s R C

= − +

1 1( ) .

1.

CV s Es

sR C

= −

+

( )( )

. 1 . .C

EV s

s s R C=

+

Guilherme

Note

http://www.felderbooks.com/papers/partial.html



1 1( ) .

1CV s Es

= −

11 ⇔

• Para o caso em questão:



( ) .1.

CV s Es s

R C

= − +

1s

⇔

ate−

( )1

s a+⇔

( )/ .( ) 1 t R CCv t E e−= ⋅ −

• Para retonar ao domínio do tempo, aplica-se a Anti-Transformada de Laplace. AAnti-Transformada deve ser aplicada aosdois termos que contêm o operadors, deforma individual.



( )/ .( ) 1 t R Cv t E e−= ⋅ −

( ) . ( )C C

di t C v t

dt=

⇓

( ) ( )/ .( ) . . 1 t R CC

d di t E C e

dt dt− = −



( )/ .( ) 1 t R CCv t E e−= ⋅ −⇓

( )( )/ .( ) . 1 t R CC

di t C E e

dt−= ⋅ −

( )/ .( ) . . 1 t R CC

di t E C e

dt−= −

( )/ .1( ) . . 0 .

.t R C

Ci t E C eR C

− = − −

/ .( ) t R CC

Ei t e

R−= ⋅





/ .( ) t R CC

Ei t e

R−= ⋅

( )/ .( ) 1 t R CCv t E e−= ⋅ −


Circuito RL em Série com um Tiristor:



• Supondo que o tiristorT está bloqueado e que oindutor L encontra-se inicialmente descarregado, oque ocorre quandoT é levado à condução?

• Como ficam as formas de onda de tensão e correnteassociadas aR e L? É possível determiná-las deforma teórica?



( ) . ( )R Lv t R i t=⇓

( ) ( )R LE v t v t= +



( ) ( )R LE v t v t= +

• Em t = t0, o tiristor é levado à condução.

• iL(t0) = 0


( ) . ( )L L

dv t L i t

dt=

. ( ) ( )L LE R i t v t= +

. ( ) . ( )L L

dE R i t L i t

dt= +

⇓

⇓



. ( ) . ( )L L

dE R i t L i t

dt= +

( ) ?Li t =

⇓

( ). . ( )L

ER s L I s

s= +

( )( )

. .L

EI s

s s L R=

+



L

• Para resolver o problema, é possível usara Transformada de Laplace.

( )0. ( ) . . ( ) ( )L L L

ER I s L s I s i t

s= + −

0

0. ( ) . . ( ) . ( )L L L

ER I s s L I s L i t

s= + −

( )( )

. .LI ss s L R

=+

( )( ). .L

ELI s

s s L R

L

=+

1( )

.L

EI s

RL s sL

= ⋅ +



1( )

.L

EI s

RL s sL

= ⋅ +

.1( ) 1

Rt

LL

Ei t e

RLL

−

= ⋅ ⋅ −



( )11 ate

a−⋅ −

( )1

.s s a+⇔

• Para retonar ao domínio do tempo, aplica-se a Anti-Transformada de Laplace. Parao caso em questão:

L

( ). /( ) 1 R t LL

Ei t e

R−= ⋅ −



( ). /( ) 1 R t LEi t e−= ⋅ −

( ) . ( )L L

dv t L i t

dt=

⇓

( ) ( ). /( ) 1 R t LL

L d dv t E e

R dt dt− = ⋅ ⋅ −

( )L R



( ). /( ) 1 R t LL

Ei t e

R−= ⋅ −⇓

( ). /( ) . 1 R t LL

d Ev t L e

dt R− = ⋅ −

( ). /( ) 1 R t LL

E dv t L e

R dt−= ⋅ ⋅ −

( ). /( ) 0 . R t LL

L Rv t E e

R L− = ⋅ ⋅ − −

( ). /( ) . R t LL

L Rv t E e

R L− = ⋅ ⋅

. /( ) R t LLv t E e−= ⋅





. /( ) R t LLv t E e−= ⋅

( ). /( ) 1 R t LL

Ei t e

R−= ⋅ −





• Ao fim da carga do indutor, o tiristor nãose bloqueia. Para tanto, é necessárioutilizar circuitos de comutação forçada.


Circuito de Roda-Livre:



• Suponha que o interruptorS estejafechado já há algum tempo e que oindutorL esteja plenamente carregado.


( ) ( ) 0L Rv t v t+ =

. ( ) . ( ) 0L L

dL i t R i t

dt+ =




• Ao realizar a abertura do interruptor, emt = t0, a correnteiL(t) tende a manter seusentido original, levandoD à condução.

( )0. . ( ) ( ) . ( ) 0L L LL s I s i t R I s− + =

0. . ( ) . ( ) . ( ) 0L L Ls L I s R I s L i t+ − =

( ) 0. . ( ) . ( )L Ls L R I s L i t+ =

( )0. ( )

( ).

LL

L i tI s

s L R=

+



( )0. ( )

( ).

LL

L i tI s

s L R=

+• Para retonar ao domínio do tempo, aplica-

se a Anti-Transformada de Laplace. Parao caso em questão:



( )

0. ( )

( ).

L

L

L i t

LI ss L R

L

=+

0( )( ) L

L

i tI s

Rs

L

= +

ate−

( )1

s a+⇔

. /0( ) ( ). R t L

L Li t i t e−=



• Para a tensão sobre o indutor, tem-se:

( ) . ( )L L

dv t L i t= . /( ) ( ) R t LR

v t L i t e− = ⋅ ⋅ − ⋅



( ) . ( )L Lv t L i tdt

=

( ). /0( ) . ( ). R t L

L L

dv t L i t e

dt−=

( ). /0( ) . ( ). R t L

L L

dv t L i t e

dt−=

0( ) ( )L Lv t L i t eL

= ⋅ ⋅ − ⋅

. /0( ) . ( ). R t L

L Lv t R i t e−= −



• No início, foi consideradoque o indutor

. /0( ) ( ). R t L

L Li t i t e−=. /( ) R t L

L

Ei t e

R−= ⋅

. /0( ) . ( ). R t L

L Lv t R i t e−= −. /( ) R t L

L

Ei t e

R−= ⋅



• No início, foi consideradoque o indutorestava totalmente carregado. Então:

0( )L

Ei t

R=

. /( ) . R t LLv t E e−= −





. /( ) R t LLv t E e−= ⋅

( ). /( ) 1 R t LL

Ei t e

R−= ⋅ −





. /( ) R t LL

Ei t e

R−= ⋅

. /( ) . R t LLv t E e−= −

. /( ) R t LL

Ei t e

R−= ⋅



( ). /( ) 1 R t LL

Ei t e

R−= ⋅ −

. /( ) R t LL

Ei t e

R−= ⋅



. /( ) . R t LLv t E e−= −

. /( ) R t LLv t E e−= ⋅



• A desmagnetização deL é tanto maisrápida quanto maior for o valor deR.

Por que?



• Durante a roda-livre, a energia acumuladaemL é transformada em calor emR.

[ ]2

0

1( )

2 LW L i t= ⋅ ⋅

Por que?



• Desta forma, quanto maior é o valor de R,mais energia é dissipada para uma dadacorrenteinstantânea.

Porque o indutor armazena energia emforma de corrente elétrica, que nestesistema é dissipada somente através doelemento resistivo.



correnteinstantânea.



• Caso não houvesse o diodoD no circuito,no instante do bloqueio deS, o indutor Lprovocaria uma sobretensão no circuito, emfunção do elevado valor dedi/dt resultanteda brusca interrupção da corrente.

( ) ( )S LE v t v t= +

• No instante do bloqueio deS:

( ) ( )S Lv t E v t= −



( ) . ( )L L

dv t L i t

dt=

( ) . ( )S L

dv t E L i t

dt= −

⇓

• Contudo, de acordo com a forma de ondada corrente, no instante do bloqueio ovalor dediL(t)/dt é negativo e possui valormuito elevado (tendendo a infinito, nocaso ideal). Desta forma, aparecerá umasobretensão emS que poderá levar ocomponente à destruição.


Circuito de Roda-Livre com Recuperação:

1( ) 0Lv t E+ =

1. ( ) 0L

dL i t E

dt+ =

• Em muitas aplicações práticas, pode serimportante reaproveitar a energia inici-almente acumulada no indutor.



• Suponha que, no instante da abertura deS, a corrente no circuito sejaI0.

( ) 10. . ( ) ( ) 0L L

EL s I s i t

s− + =

I0

10. . ( ) .L

Es L I s L I

s− = −

10.

( ).L

EL I

sI ss L

−=



10.

( ).L

EL I

sI ss L

−=

1 1E

10( )L

Ei t I t

L= − ⋅



10 2

1 1( )L

EI s I

s L s= ⋅ − ⋅

11

s⇔

t2

1

s⇔



0

1f

It L

E= ⋅



10( )L

Ei t I t

L= − ⋅

?ft =

10( ) 0L f f

Ei t I t

L= − ⋅ =

• Quanto maior for o valor deE1, menorserá o tempo de recuperaçãotf .


Circuito de Recuperação com Transformador:

• Quando não se dispõe de uma segunda fonte para absorver a energia armazenada naindutância, pode-se empregar uma configuração com transformador, de tal forma quepermita a devolução de energia para a própria fonte.



• Este método é empregado em fontes chaveadas com transformadoresde isolamento e noscircuitos de ajuda à comutação dos conversores CC/CC de grandes correntes.



• QuandoS está fechado, a energia é armazenada naindutância magnetizante do transformador.

• A polaridadedo enrolamentosecundáriofaz com



• A polaridadedo enrolamentosecundáriofaz comqueD mantenha-se bloqueado durante esta etapa.

• QuandoS é bloqueado, a polaridade da tensão noenrolamento secundário se inverte.

• D entra em condução e transfere a energiaacumulada no campo magnético de volta paraE.



• Para a análise quantitativa da topologia, utiliza-se o circuito equivalente do transformador ,desprezando-se as resistências de perdas e a indutância de dispersão.



⇒



• Primeira etapa:

• Supondo queSseja bloqueado emt = t1:



( ) 0Lmv t E− =

1( )m

Ei t t

L= ⋅

⇓

1 1 1 1( )m

Ei t I t

L= = ⋅



• Segunda etapa:

• Com o bloqueio deS, a corrente emLm

tende a manter seu sentido de circulação,fazendo com queD entre em condução.ReferindoLm para o secundário, tem-se:

• No início desta etapa, emt = t1:

1( )N

i t I I

= = ⋅



⇓

222

1

'm m

NL L

N

= ⋅

12 1 2 1

2

( )N

i t I IN

= = ⋅



• Segunda etapa:

• Supondo queL’m seja completamentedescarregado emt = t2:

2 2 2 2( ) 0E

i t I t= = − ⋅



• No circuito referido ao secundário:

2 2( )'m

Ei t I t

L= − ⋅

' ( ) 0L mv t E− =

⇓

2 2 2 2( ) 0'm

i t I tL

= = − ⋅

2 2

'mLt I

E = ⋅


12 1

NI I

N

= ⋅


2 2

'mLt I

E = ⋅

22 1

2 1221

m

m

L E N Nt t

E L NN

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅



2 12

I IN

= ⋅

1 1m

EI t

L= ⋅

• Variando-se a relação de transformação,pode-se variar o tempo de recuperaçãot2.

222

1

'm m

NL L

N

= ⋅

222

1 12 1

2

m

m

NL

N N Et t

E N L

⋅

= ⋅ ⋅ ⋅

21m N

⇓2

2 11

Nt t

N

= ⋅



• Análise da evolução da tensão sobre S:

• Primeira etapa: • Segunda etapa:



• Sestá em condução, portanto:

( ) 0Sv t =

• Sestá bloqueado, sendo que:

1( )Sv t E V= +

11

2

NV E

N= ⋅⇓

1

2

( ) 1S

Nv t E

N

= ⋅ +



• Análise da evolução da tensão sobre S:

• É possível considerar ainda a existênciade uma terceira etapa, onde tantoSquanto D estão bloqueados eLm estátotalmente descarregado:



( )Sv t E=• Nesta etapa:


Carga de um Capacitor à corrente Constante:

• Considere o seguinte circuito: • No instantet = t0, Sé levado à condução,fazendo com queD seja bloqueado eIpasse a fluir através deC:



• Inicialmente, o capacitorC está comple-tamente descarregado a correnteI circulaatravés deD:

( ) . ( )C C

di t C v t

dt=

1( ) ( )C Cv t i t dt

C= ⋅ ∫



• Então, a tensão sobreC evolui de formalinear, com inclinação definida pelo termoI/C. QuandovC(t) = E, em t = t f, entãocessa o fluxo de corrente através desseramo, levandoD à condução.

I



• Para o caso em questão:

( ) ( )teCi t I C= =

1( )Cv t Idt

C= ⋅ ∫

( )C

Iv t t

C= ⋅

( )C f f

Iv t E t

C= = ⋅

f

Et C

I= ⋅



( )C

Iv t t

C= ⋅ f

Et C

I= ⋅



Revisão de Circuitos Elétricos com Interruptores - Circuitos de Segunda

Ordem


Laboratório deEletrônica de Potência

Slide 43/134

Ordem

Prof. Dr. Carlos Alberto CanesinUNESP – Campus de Ilha Solteira

LEP – Laboratório de Eletrônica de Potência

Circuitos de Segunda Ordem

Circuito LC submetido a Degrau de Tensão:

• Supondoqueo interruptorSestáinicialmente



• Supondoqueo interruptorSestáinicialmentebloqueado, o que ocorre quandoS é levado àcondução?

• Como ficam as formas de onda de tensão e correnteassociadas aC e a L? É possível determiná-las deforma teórica?



⇓

( ) ( )L CE v t v t= +

( ) . ( )L L

dv t L i t

dt=

. ( ) ( )L C

dE L i t v t= +



( ) ( )L CE v t v t= +

• Em t = t0, Sé levado à condução.

• iL(t0) = 0

• vC(t0) = 0


( ) ( ) . ( )L C C

di t i t C v t

dt= =

⇓

⇓

. ( ) ( )L CE L i t v tdt

= +

. . ( ) ( )C C

d dE L C v t v t

dt dt = +

2

2. . ( ) ( )C C

dE L C v t v t

dt= +



2

2. . ( ) ( )C C

dE L C v t v t

dt= +

( ) ?Cv t =



C

⇒

• Para resolver o problema, é possível usar a Transformada deLaplace.

20

0

. . . ( ) . ( ) ( ) ( )C C C Ct

E dL C s V s s v t v t V s

s dt =

= − − +

2 00

( ). . . ( ) . ( ) ( )L

C C C

i tEL C s V s s v t V s

s C = − − +

⇓ ( ) ( ) . ( )L C C

di t i t C v t

dt= = ( )

( ) LC

d i tv t

dt C=



2 00

( ). . . ( ) . ( ) ( )L

C C C

i tEL C s V s s v t V s

s C = − − +

2 00

( ). . . ( ) . . . ( ) . . ( )L

C C C

i tEs L CV s s L C v t L C V s

s C = − − +



0. . . ( ) . . . ( ) . . ( )C C Cs L CV s s L C v t L C V ss C

= − − +

2 00

( ). . . ( ) ( ) . . . ( ) . . L

C C C

i tEs L C V s V s s L C v t L C

s C+ = + +

( )20 01 . . . ( ) . . . ( ) . ( )C C L

Es L C V s s L C v t L i t

s+ = + +

( ) ( ) ( )0 0

2 2 2

. . . ( ) . ( )( )

. 1 . . 1 . . 1 . .C L

C

s L C v t L i tEV s

s s L C s L C s L C= + +

+ + +



( ) ( ) ( )0 02 2 2

1 1( ) ( ) . ( )

. 1 . . 1 . . 1 . .C C L

sV s E L C v t L i t

s s L C s L C s L C= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅

+ + +

1 1s



( ) ( ) ( )0 02 2 2

1 1. . .( ) ( ) . ( )

. 1 . . 1 . . 1 . .

. . .

C C L

sL C L C L CV s E L C v t L i t

s s L C s L C s L C

L C L C L C

= ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅+ + +

0 02 2 2

1 1. .( ) ( ) ( )

1 1 1.

. . .

C C L

sL C L CV s E v t L i ts s s s

L C L C L C

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + + +

• Para retonar ao domínio do tempo, aplica-se a Anti-Transformada de Laplace.


0 02 2 2

1 1. .( ) ( ) ( )

1 1 1.

. . .

C C L

sL C L CV s E v t L i ts s s s

L C L C L C

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + + +

1


1 1



2 1

.L Cω =

1 cos( . )tω−( )2

2 2.s s

ωω+

⇔ cos( . )tω( )2 2

s

s ω+⇔ sen( . )tω( )2 2s

ωω+

⇔

0 02 2 2

1 11. ..( ) ( ) ( )

1 1 1.

. . .

C C L

s L C L CL CV s E v t L i ts s s s

L C L C L C

⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

+ + +

2 1

.L Cω = 2 1

.L Cω =



0 02 2 2

1 11. ..( ) ( ) ( )

1 1 1.

. . .

C C L

s L C L CL CV s E v t L i ts s s s

L C L C L C

⋅= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅

+ + +

11



2 1

.L Cω =

1 cos( . )tω−( )2

2 2.s s

ωω+

⇔ cos( . )tω( )2 2

s

s ω+⇔ sen( . )tω( )2 2s

ωω+

⇔

2 1

.L Cω = 2 1

.L Cω =

0 02 2 2

11..( ) ( ) ( )

1 1 1.

. . .

C C L

s L L CL CV s E v t i tCs s s s

L C L C L C

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + + +

1

.L Cω =⇒



2ω s ω

0 02 2 2

11..( ) ( ) ( )

1 1 1.

. . .

C C L

s L L CL CV s E v t i tCs s s s

L C L C L C

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ + + +



1 cos( . )tω−( )2

2 2.s s

ωω+

⇔ cos( . )tω( )2 2

s

s ω+⇔ sen( . )tω( )2 2s

ωω+

⇔

• Portanto, com a Anti-Transformada de Laplace:

( ) 0 0( ) . 1 cos( . ) ( ).cos( . ) . ( ).sen( . )C C L

Lv t E t v t t i t t

Cω ω ω= − + +

( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L

Lv t E v t E t i t t

Cω ω= + − +



( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L


Cω ω= + − +

• Checagemdeunidades:



( ) [ ]Cv t V→

[ ]E V→

( )0( ) [ ]Cv t E V− →

0( ) [ ]L

Li t V

C⋅ →

• Checagemdeunidades:

???



0( ) [ ]L

Li t V

C⋅ →

• Reatância indutiva: . . [ ]LX j Lω= → Ω

1= → Ω



( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L


Cω ω= + − +

• Reatância capacitiva:1

[ ]. .CXj Cω

= → Ω

2. ..

. .L C

j L LX X

j C C

ωω

= = → Ω

2L

C → Ω [ ]

L

C→ Ω⇒



• Supondo que o interruptorSestá inicialmentebloqueado,o queocorrequandoS é levadoà



bloqueado,o queocorrequandoS é levadoàcondução?

• Como ficam as formas de onda de tensão e correnteassociadas aC e a L? É possível determiná-las deforma teórica?

( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L


Cω ω= + − +





( ) ( ) . ( )L C C

di t i t C v t

dt= =

( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L


Cω ω= + − +⇓

( )0 0( ) . ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )L C L

d Li t C E v t E t i t t

dt Cω ω

= + − +



( )0 0( ) . ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )L C L

d Li t C E v t E t i t t

dt Cω ω

= + − +

⇓

cos( . ) sen( . )d

t tdt

ω ω ω= − ⋅



( ) ( ) ( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L

Li t C v t E t i t t

Cω ω ω ω

= ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

⇓sen( . ) cos( . )

dt t

dtω ω ω= ⋅

( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L


Cω ω ω ω

= ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅



( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L


Cω ω ω ω

= ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

( )( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L

i t C v t E t i t tω ω ω

= ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅



( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L


Cω ω ω

= ⋅ ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅

1

.L Cω =⇓

( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . ).

L C L

C Li t v t E t i t t

CL Cω ω

= ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅

( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L


L Cω ω

= ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅



( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L


L Cω ω

= ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅



( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L

Ci t v t E t i t t

Lω ω= − ⋅ − ⋅ + ⋅

( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L


Cω ω= + − +



• Supondo que o as condições iniciais sãonulas, ou seja:

0( ) 0Cv t =



( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L

Ci t v t E t i t t

Lω ω= − ⋅ − ⋅ + ⋅

( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L


Cω ω= + − +

0( ) 0Li t =

( ) sen( . )L

Ci t E t

Lω= ⋅ ⋅

( )( ) . 1 cos( . )Cv t E tω= −

⇒

⇒

• Então:

0 0

00





( ) sen( . )L

Ci t E t

Lω= ⋅ ⋅

( )( ) . 1 cos( . )Cv t E tω= −

.tω π=. 2.tω π=

( ). .t L Cπ=( )2. . .t L Cπ=

.C

EL

.C

EL

−

.2

tπω = 3

.2

tω π=





( ) sen( . )L

Ci t E t

Lω= ⋅ ⋅

( )( ) . 1 cos( . )Cv t E tω= −

.tω π= . 2.tω π=

.C

EL

.C

EL

−

. 3.tω π= . 4.tω π=



• Supondo que:

0( ) 0Cv t ≠

0( ) 0Li t =



( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L

Ci t v t E t i t t

Lω ω= − ⋅ − ⋅ + ⋅

( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L


Cω ω= + − +

⇒

⇒

• Então:

0

0

( )0( ) ( ) .cos( . )C Cv t E v t E tω= + −⇒

( )0( ) ( ) sen( . )L C

Ci t v t E t

Lω= − ⋅ − ⋅⇒





.tω π= . 2.tω π=( ). .t L Cπ=

( )0( )C

CE v t

L⋅ −

( )0( ) ( ) .cos( . )C Cv t E v t E tω= + −

( )0( ) ( ) sen( . )L C

Ci t v t E t

Lω= − ⋅ − ⋅

• Se: ;0( ) 0Cv t > 0( )Cv t E<

( )0( )C

CE v t

L− ⋅ −



• Caso 1: 0

0

( )

( ) 0C

L

v t E

i t

= =

Trabalho Extra-Classe:

• Analisar os seguintes casos:



0( ) 0Li t =

0

0

( )

( ) 0C

L

v t E

i t

> =

0

0

( ) 0

( ) 0C

L

v t

i t

< =

• Apresentar um relatório, contendo as equações e as formas de onda devC(t) e de iL(t),para cada um dos caso analisados.

• Adicionalmente, apresentar as justificativas para o comportamento de cada uma dasformas de onda.

• Caso 2:

• Caso 3:



• Supondo que:

0( ) 0Cv t =

0( ) 0Li t ≠



???



???

• vC ≠ 0:



???

• iL ≠ 0:



• Supondo que:

0( ) 0Cv t =

0( ) 0Li t ≠



???



• Supondo que:

0( ) 0Cv t =

0( ) 0Li t ≠



No exato instante em queS1 é fechado,S2 é aberto.



• Supondo que:

0( ) 0Cv t =

0( ) 0Li t ≠



( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L

Ci t v t E t i t t

Lω ω= − ⋅ − ⋅ + ⋅

( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L


Cω ω= + − +

⇒

⇒

• Então:

0

0

⇒

⇒

( ) 0( ) . 1 cos( . ) . ( ).sen( . )C L

Lv t E t i t t

Cω ω= − +

0( ) sen( . ) ( ) cos( . )L L

Ci t E t i t t

Lω ω= ⋅ ⋅ + ⋅





• Se: 0( ) 0Li t >

( ) 0( ) . 1 cos( . ) . ( ).sen( . )C L

Lv t E t i t t

Cω ω= − +

0( ) sen( . ) ( ) cos( . )L L

Ci t E t i t t

Lω ω= ⋅ ⋅ + ⋅

.tω π= . 2.tω π=



• Existe alguma outra forma de analisar as grandezasvC(t) e iL(t), sem que haja anecessidade de recorrer a gráficos de funções do tempo?

• Tendoemvista queexistetrocade energiaentreo indutor e o capacitor,existealguma



• Tendoemvista queexistetrocade energiaentreo indutor e o capacitor,existealgumaforma de realizar a representação gráfica deste fenômeno?

Plano de Fase



• Tomando-se as equações devC(t) e iL(t) determinadas anteriormente:

( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L


Cω ω= + − +



( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L


Cω ω= + − +

( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L


L Cω ω

= ⋅ − − ⋅ + ⋅ ⋅

( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L

L Li t v t E t i t t

C Cω ω⋅ = − − ⋅ + ⋅ ⋅



( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L


Cω ω= + − +

• Multiplicando a equações de por “j” e adicionando-a à equação devC(t), tem-se:( )L

Li t

C⋅



( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C Lv t E v t E t i t tC

ω ω= + − +

( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L

L Lj i t j v t E t j i t t

C Cω ω⋅ ⋅ = − ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

( ) ( )C L

Lv t j i t

C+ ⋅ ⋅ = ( ) ( )

( )

0

0

( ) cos( . ) .sen( . )

( ) cos( . ) sen( . )

C

L

E v t E t j t

Li t j t t

C

ω ω

ω ω

+ − ⋅ − +

+ ⋅ ⋅ ⋅ +


( ) ( )

( )

0

0

( ) cos( . ) .sen( . )

( ) cos( . ) sen( . )

C

L

E v t E t j t

Li t j t t

C

ω ω

ω ω

+ − ⋅ − +

+ ⋅ ⋅ ⋅ +


L

( ) ( )C L

Lv t j i t

C+ ⋅ ⋅ =



( ) . . ( )C L

Lv t j i t

C+ = ( ) ( )0

0

( ) . cos( . ) .sen( . )

sen( . ). . ( ). cos( . )

C

L

E v t E t j t

L tj i t t

C j

ω ω

ωω

+ − − +

+ +

( ) . . ( )C L

Lv t j i t

C+ = ( ) ( )

( )

0

0

( ) . cos( . ) .sen( . )

. . ( ). cos( . ) .sen( . )

C

L

E v t E t j t

Lj i t t j t

C

ω ω

ω ω

+ − − +

+ −

1j

j= −⇓



( ) . . ( )C L

Lv t j i t

C+ = ( ) ( )

( )

0

0

( ) . cos( . ) .sen( . )

. . ( ). cos( . ) .sen( . )

C

L

E v t E t j t

Lj i t t j t

C

ω ω

ω ω

+ − − +

+ −



( )0. . ( ). cos( . ) .sen( . )Lj i t t j tC

ω ω+ −

( ) ( )0 0( ) . . ( ) ( ) . . ( ) . cos( . ) .sen( . )C L C L

L Lv t j i t E v t E j i t t j t

C Cω ω

+ = + − + −



( ) ( )0 0( ) . . ( ) ( ) . . ( ) . cos( . ) .sen( . )C L C L

L Lv t j i t E v t E j i t t j t

C Cω ω

+ = + − + −

L



( ) ( ) . . ( )C L

LZ t v t j i t

C= +

. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +⇒( )1 0 0( ) . . ( )C L

LZ v t E j i t

C= − +

. . cos( . ) .sen( . )j te t j tω ω ω− = −



Círculo noPlano Complexo



. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +

Plano Complexo

Centro Raio

.tω



. .( ) . j tZ t E Z e ω−= +


( ) ( ) . . ( )C L

LZ t v t j i t

C= +

( )( ) . . ( )L

Z v t E j i t= − +



1( ) .Z t E Z e= +

Centro Raio

( )1 0 0( ) . . ( )C L

LZ v t E j i t

C= − +


⇓Cte

⇓Cte

• Então, a variação emZ(t) no plano complexo é dada pelo termo:




• Assim, no plano complexo:

.0. 0 cos(0) .sen(0) 1jt e jω −= ⇒ = − =




. 0 cos(0) .sen(0) 1t e jω = ⇒ = − =

.2. cos .sen

2 2 2

jt e j j

ππ π πω− = ⇒ = − = −

.. cos( ) .sen( ) 1jt e jπω π π π−= ⇒ = − = −

323 3 3

. cos .sen2 2 2

jt e j j

πω π π π

− ⋅ ⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ =

.2.. 2. cos(2. ) .sen(2. ) 1jt e jπω π π π−= ⇒ = − =




. .. 0 1j tt e ωωπ

−= ⇒ =




. .

. .

.

. .

.2

. 1

3.

2

. 2. 1

j t

j t

j t

j t

t e j

t e

t e j

t e

ω

ω

ω

ω

πω

ω π

ω π

ω π

−

−

− ⋅

−

= ⇒ = −

= ⇒ = −

= ⋅ ⇒ =

= ⇒ =

. .j te ω−




. .. 0 1j tt e ωωπ

−= ⇒ =




. .

. .

.

. .

.2

. 1

3.

2

. 2. 1

j t

j t

j t

j t

t e j

t e

t e j

t e

ω

ω

ω

ω

πω

ω π

ω π

ω π

−

−

− ⋅

−

= ⇒ = −

= ⇒ = −

= ⋅ ⇒ =

= ⇒ =

. .j te ω−

.tω




. .. 0 1j tt e ωωπ

−= ⇒ =




. .

. .

.

. .

.2

. 1

3.

2

. 2. 1

j t

j t

j t

j t

t e j

t e

t e j

t e

ω

ω

ω

ω

πω

ω π

ω π

ω π

−

−

− ⋅

−

= ⇒ = −

= ⇒ = −

= ⋅ ⇒ =

= ⇒ =

. .j te ω−

.tω




. .. 0 1j tt e ωωπ

−= ⇒ =


. .j te ω−



. .

. .

.

. .

.2

. 1

3.

2

. 2. 1

j t

j t

j t

j t

t e j

t e

t e j

t e

ω

ω

ω

ω

πω

ω π

ω π

ω π

−

−

− ⋅

−

= ⇒ = −

= ⇒ = −

= ⋅ ⇒ =

= ⇒ =

.tω




. .. 0 1j tt e ωωπ

−= ⇒ =




. .

. .

.

. .

.2

. 1

3.

2

. 2. 1

j t

j t

j t

j t

t e j

t e

t e j

t e

ω

ω

ω

ω

πω

ω π

ω π

ω π

−

−

− ⋅

−

= ⇒ = −

= ⇒ = −

= ⋅ ⇒ =

= ⇒ =

. .j te ω−

.tω






. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +

Plano Complexo

Centro Raio

.tω



( ) ( ) . . ( )C L

LZ t v t j i t

C= +




( ) . .0 0( ) . . ( ) ( ) . . ( ) . j t

C L C L

L Lv t j i t E v t E j i t e

C Cω−

+ = + − +

( ) ( ) . . ( )C LZ t v t j i tC

= +

( )1 0 0( ) . . ( )C L

LZ v t E j i t

C= − +

. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +

Centro Raio



( ) . .0 0( ) . . ( ) ( ) . . ( ) . j t

C L C L


C Cω−

+ = + − +

. .. 0 1j tt e ωω −= ⇒ = ( )( ) . . ( ) ( ) . . ( )L L

v t j i t E v t E j i t+ = + − +



. .

. .

. .

.

. .

. 0 1

.2

. 1

3.

2

. 2. 1

j t

j t

j t

j t

j t

t e

t e j

t e

t e j

t e

ω

ω

ω

ω

ω

ωπω

ω π

ω π

ω π

−

−

−

− ⋅

−

= ⇒ =

= ⇒ = −

= ⇒ = −

= ⋅ ⇒ =

= ⇒ =

( )0 0( ) . . ( ) ( ) . . ( )C L C L

L Lv t j i t E v t E j i t

C C+ = + − +

0 0( ) . . ( ) ( ) . . ( )C L C L

L Lv t j i t v t j i t

C C+ = +

0

0

( ) ( )

. 0. . ( ) . . ( )

C C

L L

v t v t

t L Lj i t j i t

C C

ω=

= ⇒ =



0

0

( ) ( )

. 0. . ( ) . . ( )

C C

L L

v t v t

t L Lj i t j i t

C C

ω=

= ⇒ =





( ) . .0 0( ) . . ( ) ( ) . . ( ) . j t

C L C L


C Cω−

+ = + − +

. .. 0 1j tt e ωω −= ⇒ =



. .

. .

. .

.

. .

. 0 1

.2

. 1

3.

2

. 2. 1

j t

j t

j t

j t

j t

t e

t e j

t e

t e j

t e

ω

ω

ω

ω

ω

ωπω

ω π

ω π

ω π

−

−

−

− ⋅

−

= ⇒ =

= ⇒ = −

= ⇒ = −

= ⋅ ⇒ =

= ⇒ =

( )

0

0

( ) . ( ).

2. . ( ) . ( )

C L

L C

Lv t E i t

Ct

Lj i t j E v t

C

πω

= +

= ⇒ = −

( )0 0( ) . . ( ) . ( ) . ( )C L L C

L Lv t j i t E i t j E v t

C C+ = + + −



0

0

( ) ( )

. 0. . ( ) . . ( )

C C

L L

v t v t

t L Lj i t j i t

C C

ω=

= ⇒ =



( )

0

0

( ) . ( ).

2. . ( ) . ( )

C L

L C

Lv t E i t

Ct

Lj i t j E v t

C

πω

= +

= ⇒ = −

.tω



( )

0

0

( ) . ( ).

2. . ( ) . ( )

C L

L C

Lv t E i t

Ct

Lj i t j E v t

C

πω

= +

= ⇒ = −



.tω

0

0

( ) 2. ( )

.. . ( ) . . ( )

C C

L L

v t E v t

t L Lj i t j i t

C C

ω π= −

= ⇒ = −



0

0

( ) 2. ( )

.. . ( ) . . ( )

C C

L L

v t E v t

t L Lj i t j i t

C C

ω π= −

= ⇒ = −



.tω

( )

0

0

( ) . ( ).

2. . ( ) . ( )

C L

L C

Lv t E i t

Ct

Lj i t j v t E

C

πω

= −

= ⇒ = −



( )

0

0

( ) . ( ).

2. . ( ) . ( )

C L

L C

Lv t E i t

Ct

Lj i t j v t E

C

πω

= −

= ⇒ = −



.tω

0

0

( ) ( )

. 2.. . ( ) . . ( )

C C

L L

v t v t

t L Lj i t j i t

C C

ω π=

= ⇒ =



• Casos particulares:

• E > 0;vC(t0) = 0; iL(t0) = 0:



. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +

.tω



. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +


1) E > 0;vC(t0) = 0; iL(t0) = 0:



1( ) .Z t E Z e= +

• Com base no gráfico, quanto vale|Z1|?:

.tω

.tω



. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +

1) E > 0;vC(t0) = 0; iL(t0) = 0:




1( ) .Z t E Z e= +

0 0

1Z E= −

(= raio da circunferência)1Z E=

.tω

. .( ) .(1 )j tZ t E e ω−= −

( )1 0 0( ) . . ( )C L

LZ v t E j i t

C= − +



. .( ) .(1 )j tZ t E e ω−= −

• Para :.2

tπω =

. .j te jω− = − ( ) .Z t E j E= +⇒

L

1) E > 0;vC(t0) = 0; iL(t0) = 0:




( )

.2 . . ( ) .

C

L

v t E

t Lj i t j E

C

πω=

= ⇒ =

( ) ( ) . . ( )C L

LZ t v t j i t

C= +

( )

.2 ( )

C

L

v t E

t Ci t E

L

πω=

= ⇒ = ⋅

.tω



1) E > 0;vC(t0) = 0; iL(t0) = 0:


Solução original:



( ) sen( . )L

Ci t E t

Lω= ⋅ ⋅

( )( ) . 1 cos( . )Cv t E tω= −

.tω π= . 2.tω π=

.C

EL

.C

EL

−

. 3.tω π= . 4.tω π=



• E > 0;vC(t0) = 0; iL(t0) = 0:



.tω π= . 2.tω π=

.C

EL

.C

EL

−

. 3.tω π= . 4.tω π=

.tω



2) E > 0; 0 <vC(t0) < E; iL(t0) = 0:


. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +



.tω

.tω

1( ) .Z t E Z e= +

• Com base no gráfico, quanto vale|Z1|?:




( ) . .0( ) ( ) . j t

CZ t E E v t e ω−= − −

2) E > 0; 0 <vC(t0) < E; iL(t0) = 0:



.tω

( )0( ) ( ) .CZ t E E v t e

.tω π= . 2.tω π=( ). .t L Cπ=

( )0( )C

CE v t

L⋅ −

( )0( )C

CE v t

L− ⋅ −




3) E = 0;vC(t0) > 0; iL(t0) = 0:



.tω

.tω


Circuito LC submetido a Degrau de Tensão, com Tiristor em Série:









Supondo E > 0;vC(t0) = 0; iL(t0) = 0:

. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +



.tω

.tω



Supondo E > 0;vC(t0) = 0; iL(t0) = 0:

. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +



.tω

.( ) 2.C t

v t Eω π==


Inversão da Polaridade em um Capacitor:

Supondo E = 0;vC(t0) < 0; iL(t0) = 0:

. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +

. .( ) ( ). j tZ t v t e ω−=



.tω

0.( ) ( )C Ct

v t v tω π== −

. .0( ) ( ). j t

CZ t v t e ω−=


Inversão da Polaridade em um Capacitor:

Supondo E > 0;vC(t0) < 0; iL(t0) = 0:

. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= +

( ) . .( ) ( ) . j tZ t E E v t e ω−= − −



.tω

0.( ) 2. ( )C Ct

v t E v tω π== −

( ) . .0( ) ( ) . j t

CZ t E E v t e ω−= − −


Aumento da Tensão de um Capacitor – Primeiro Circuito:

• Suponha que os tiristores T1 e T2 estão



• Suponha que os tiristores T1 e T2 estãoinicialmente bloqueados e que tantoC quantoL estão totalmente descarregados.

• Como ficam as formas de onda de tensão e correnteassociadas aC e a L, ao acionarmosT1 e T2 deforma sucessiva e complementar?



( ) ( )L CE v t v t= +

• QuandoT1 entra em condução:

2

. . ( ) ( )d

E L C v t v t= +



2. . ( ) ( )C C

dE L C v t v t

dt= +

( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L

Ci t v t E t i t t

Lω ω= − ⋅ − ⋅ + ⋅

( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L


Cω ω= + − +



0 ( ) ( )L Cv t v t= +

• QuandoT2 entra em condução:



0 ( ) ( )L Cv t v t= +

( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L

Ci t v t E t i t t

Lω ω= − ⋅ − ⋅ + ⋅

( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L


Cω ω= + − +

00

0



( )C

( )0 0( ) ( ) .cos( . ) . ( ).sen( . )C C L


Cω ω= + − +



( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L

Ci t v t E t i t t

Lω ω= − ⋅ − ⋅ + ⋅

( ) ( ) . . ( )C L

LZ t v t j i t

C= +

. .1( ) . j tZ t E Z e ω−= + ⇒ ( )1 0 0( ) . . ( )C L

LZ v t E j i t

C= − +


⇓

Centro Raio



( ) . .0 0( ) ( ) . . ( ) . j t

C L

LZ t E v t E j i t e

Cω−

= + − +

Centro Raio



Centro Raio



• QuandoT1 é comandado à condução pela primeira vez, temosvC(t0) = 0 eiL(t0) = 0.



• QuandoiL(t) retorna a zero,T1 é bloqueado.



• Supondo queT2 é comandado à condução no mesmo instante em queT1 é bloqueado:



0

0

( ) 2.

( ) 0C

L

v t E

i t

= =




• Supondo queT1 volte a ser comandado à condução, no instante em queT2 é bloqueado:



0

0

( ) 2.

( ) 0C

L

v t E

i t

= − =







0

0

( ) 4.

( ) 0C

L

v t E

i t

= =







0

0

( ) 4.

( ) 0C

L

v t E

i t

= − =






π . 2.tω π= 3.π 4.π


Aumento da Tensão de um Capacitor – Segundo Circuito:

• Supondo condições iniciais nulas:

− ao acionarT1, nada acontece;

− ao acionarT2:



( ) . .0 0( ) ( ) . . ( ) . j t

C L


Cω−

= + − +

Centro Raio



• Mudando as condições iniciais:

0

0

( ) 0

( ) 0C

L

v t

i t

> =

− aoacionarT , nadaacontece;



− aoacionarT1, nadaacontece;

− ao acionarT2:

( ) . .0 0( ) ( ) . . ( ) . j t

C L


Cω−

= + − +

Centro Raio



• Mudando as condições iniciais:

0

0

( ) 0

( ) 0C

L

v t

i t

< =

− aoacionarT :

( ) . .0 0( ) ( ) . . ( ) . j t

C L


Cω−

= + − +



− aoacionarT1:

Centro Raio

1.tω



0

0

( ) 0

( ) 0C

L

v t

i t

< =

− T2 é acionadoantesque iL(t) = 0,

( ) . .0 0( ) ( ) . . ( ) . j t

C L


Cω−

= + − +



− T2 é acionadoantesque iL(t) = 0,quandot = t1;

− T1 é bloqueado instantaneamente.

1.tω

Centro Raio





( ) . .0 0( ) ( ) . . ( ) . j t

C L


Cω−

= + − +

• Em t = t1, quandoT2 é levado à condução:

. .0( ) ( ). j t

CZ t v t e ω−=

( )0( ) . . ( ) ( ). cos( . ) .sen( . )C L C

Lv t j i t v t t j t

Cω ω+ = −

1 0 1

1 0 1

( ) ( ).cos( . )

. . ( ) . ( ).sen( . )

C C

L C

v t v t t

Lj i t j v t t

C

ω

ω

=

= −

1.tω



1.tω



( ) . .1 1( ) ( ) . . ( ) . j t

C L


Cω−

= + − +

• Em t = t1, quandoT2 é levado à condução:

1 0 1

1 0 1

( ) ( ).cos( . )

. . ( ) . ( ).sen( . )

C C

L C

v t v t t

Lj i t j v t t

C

ω

ω

=

= −

( )2 1 1( ) . . ( )C L

LZ v t E j i t

C= − +

Raio daCircunferência⇓



2( )C fv t E Z= +

( )2 1 1( ) . . ( )C L

LZ v t E j i t

C= − +

1.tω



( )2

2

2 1 1( ) . ( )C L

LZ v t E i t

C

= − +

( ) ( )2 2

2 0 1 0 1( ).cos( . ) ( ).sen( . )C CZ v t t E v t tω ω= − + −

( )2 2 22 0 1 0 1( ).cos( . ) ( ).sen ( . )C CZ v t t E v t tω ω= − +

⇒

( )2 2 20 1 0 1( ) ( ).cos( . ) ( ).sen ( . )C f C Cv t E v t t E v t tω ω= + − + ⇒ ( )C fv t E≥

1 0 1

1 0 1

( ) ( ).cos( . )

. ( ) ( ).sen( . )

C C

L C

v t v t t

Li t v t t

C

ω

ω

=

= −


Circuito RLC com pouco Amortecimento:



• Condições iniciais nulas: • Condições iniciais nulas:

.tω .tω





• Condições iniciais nulas: • Condições iniciais nulas:

.tω .tω



0

1

.L Cω =

2.

R

Lα =

2 2 20ω ω α= −

atanωϕα =



( )0 00

( )( ) . .sen( . ) ( ). . .sen( . )

.C t t

L L

E v ti t e t i t e t

Lα αωω ω ϕ

ω ω− −−

= − +

( ) 0 00

( )( ) ( ) . . .sen( . ) . .sen( . )

.t tL

C C

i tv t E E v t e t e t

Cα αω ω ϕ ω

ω ω− −= − − + +

2.L α



. . .1( ) . t j tZ t E Z e eα ω− −= +



.tω


Circuito LC submetido a uma Fonte de Tensão e a umaFonte de Corrente:

( ) ( )L CE v t v t= +

( ) ( )L Ci t I i t= +



( ) ( )0 0( ) ( ) sen( . ) ( ) cos( . )L C L

L L Li t I v t E t i t I t

C C Cω ω⋅ = ⋅ − − ⋅ + ⋅ − ⋅

( ) ( )0 0( ) ( ) cos( . ) ( ) sen( . )C C L

Lv t E v t E t i t I t

Cω ω= + − ⋅ + ⋅ − ⋅



. .0 1( ) . j tZ t Z Z e ω−= +

Centro Raio



( ) ( )1 0 0( ) ( )C L

LZ v t E j i t I

C= − + ⋅ ⋅ −

0

LZ E j I

C= + ⋅ ⋅

Centro Raio



( ) ( )1 0 0( ) ( )C L

LZ v t E j i t I

C= − + ⋅ ⋅ −

0

LZ E j I

C= + ⋅ ⋅



1 0 0C LC

. .0 1( ) . j tZ t Z Z e ω−= +

Centro Raio

.tω



• Caso particular:E = 0



.tω⇒

Lista de Exercícios Propostos

Na Apostila do curso ELETRÔNICA DE POTÊNCIA 2, o aluno encontrará uma Lista de Exercícios Propostos para a revisão e análise de circuitos com interruptores.

Propõe-se aos alunos que a lista seja resolvida por completo, considerando-se o embasamento e revisão necessários para a



considerando-se o embasamento e revisão necessários para a continuidade das disciplinas na área. Entretanto, a entrega da resolução da lista é facultativa e não irá computar para o cálculo da média final de aprovação.

Apesar da consideração anterior, recomenda-se fortemente que a Lista seja resolvida com todo o empenho acadêmico.

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Revisão de Circuitos Elétricos com Interruptores · Circuitos de Primeira Ordem. Circuito de Roda-Livre: Campus de Ilha Solteira. Circuitos de Primeira e Segunda Ordens Slide 17/134