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Universidade Federal do ABC
Eng. de Instrumentação, Automação e Robótica
Circuitos Elétricos II
José Azcue, Prof. Dr.
Transformada de Laplace
Definição da Transformada de Laplace
Propriedades da Transformada de Laplace
2
Introdução à transformada de Laplace
Solução de Circuitos no Domínio do Tempo
Equações não-homogêneas apenas
Alguns tipos de excitação
Redes de ordem mais alta sistemas
De equações integro-diferenciais
Problemas de descontinuidade
Imposição de condições iniciais
3
R
( )ge t L
C
+
)(ti
)( 0tvC
Aplicação das Leis de Kirchhoff:
(Equação íntegro-diferencial)
Derivando:
(Equação diferencial não homogênea de
segunda ordem)
eg(t) → vários tipos de
excitação
Solução do circuito:
depende da energia
inicial armazenada →
vc(t0) e i(t0) –
condições iniciais
𝑅𝑖 𝑡 +1
𝐶 𝑖 𝑡 𝑑𝑡
𝑡
𝑡0
+ 𝑣𝑐 𝑡0 + 𝐿𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡= 𝑒𝑔(𝑡)
𝐿𝑑2𝑖(𝑡)
𝑑𝑡2 + 𝑅𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡+
𝑖(𝑡)
𝐶=
𝑑𝑒𝑔(𝑡)
𝑑𝑡
4
Solução de circuitos no domínio s
Transformada de Laplace
Derivadas Multiplicações
Integrais Divisões
Equações integro-diferenciais equações
Algébricas no campo complexo
Solução no Domínio da Frequência Complexa
Anti-transformadas solução da equação diferenciais
Inclui o problema do valor inicial (ou problemas de condições iniciais)
5
variável
t variável
s )(
)(
tv
ti
L{ }
Transformada
de Laplace
L-1 { }
Antitransformada
de Laplace
sistema
íntegro-
diferencial
sistema
linear
t - tempo (real)
s – frequência (complexa)
Solução de circuitos no domínio s
ℒ 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 = 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
0−
6
Definição da transformada de Laplace
(Transformada de Laplace unilateral)
Sendo: f (t) = função no domínio do tempo,
com f (t) = 0 ( para t < 0 )
segundos
Adimensional
s = + j = frequência [1/s] [variável complexa]
Domínio do tempo Domínio da frequência complexa
7
Sobre a transformada de Laplace
∃ Transformada Bilateral:
Unilateral mais apropriada para circuitos
Funções com impulso ou descontinuidade em t=0 integral
inclui, pois é tomada de t=0-
Unicidade !
Anti-transformação
ℒ−1 𝐹 𝑠 = 𝑓(𝑡)
𝐸𝑥. : 𝑒𝑒𝑡, 𝑒𝑡2
, 𝑡𝑡
Funções não transformáveis
𝐹 𝑠 = 𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
−∞
8
Transf. de Laplace da Função Degrau
u(t)
t
1
0
Função de Heaviside ou Função Degrau
𝐿 𝑢 𝑡 = 𝑈 𝑠 = 1𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
0−
=1
𝑠
𝐻 𝑡 = 𝑢 𝑡 = 0, 𝑡 < 01, 𝑡 ≥ 0
𝐿 𝑢 𝑡 = 1𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
0−
= −1
𝑠𝑒−𝑠𝑡
0−
∞
= −1
𝑠0 +
1
𝑠1 =
1
𝑠
9
Transf. de Laplace da Função Exponencial
Função Exponencial
𝐿 𝑒−𝑎𝑡𝑢 𝑡 = 𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
0−
= −1
𝑠 + 𝑎𝑒− 𝑠+𝑎 𝑡
0−
∞=
1
𝑠 + 𝑎
𝐿 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 = 𝑒−𝑎𝑡𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
0−
=1
𝑠 + 𝑎
10
Transf. de Laplace da Função Exponencial
Função Exponencial
As duas funções possuem a mesma transformada de
Laplace, porque a integral é calculada a partir de t=0-
11
Função Impulso
Função Impulso (ou Delta de Dirac)
d (t)
0
t
A função impulso existe somente em t = 0 e sua área é unitária.
𝛿 𝑡 = 0, para 𝑡 ≠ 0
𝛿 𝑡 𝑑𝑡∞
−∞
= 𝛿 𝑡 𝑑𝑡0+
0−
= 1
e
t
0
dt
tduna )(
12
Função Impulso
0
ua(t)
t
1
a1 a2 a3
1
1
a
a1
2
1
a
a2 a3
3
1
a
𝛿 𝑡 = lim𝑎→0
𝑑𝑢𝑎(𝑡)
𝑑𝑡
13
Propriedades da Função Impulso
𝑓 𝑡 𝛿 𝑡 𝑑𝑡∞
−∞
= 𝑓 0 𝛿 𝑡 𝑑𝑡∞
−∞
= 𝑓 0 𝛿 𝑡 𝑑𝑡∞
−∞
= 𝑓(0)
𝑓 𝑡 𝛿 𝑡 − 𝑡0 𝑑𝑡∞
−∞
= 𝑓 𝑡0 𝛿 𝑡 − 𝑡0 𝑑𝑡∞
−∞
= 𝑓 𝑡0 𝛿 𝑡 − 𝑡0 𝑑𝑡∞
−∞
= 𝑓(𝑡0)
Estas são conhecidas como a propriedade de amostragem da função impulso em t = 0 e em t = t0
14
Transf. de Laplace da Função Impulso
Função Impulso unitário
d (t)
0
t
𝐿 𝛿 𝑡 = 𝛿 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
0−
= 𝑒−𝑠.0 𝛿 𝑡 𝑑𝑡∞
0−
= 1.1 = 0
𝐿 𝛿 𝑡 = 𝛿 𝑡 𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡∞
0−
= 1
16
Transformada de Laplace de Funções
2 2
2 2
( )
1
1
-
( )
( )
1
cos
( )
at
f t
H t
e
sen t
F s
s
s a
s
st
s
t
d
𝑢(𝑡)
17
Operações com a transformada de Laplace
Indicam como operações matemáticas realizadas em
f(t) ou F(s) são convertidas para o outro domínio.
As operações de maior interesse são:
Multiplicação por uma constante
Adição e subtração
Diferenciação
Integração
Deslocamento no domínio do tempo
Deslocamento no domínio da frequência
Mudança de escala
Derivada da Transformada
18
Linearidade da transformada de Laplace
Multiplicação por uma constante: multiplicar f(t) por uma constante K
corresponde a multiplicar F(s) pela mesma constante (princípio da
homogeneidade).
Adição / subtração: a adição / subtração no domínio do tempo
corresponde a adição / subtração no domínio da frequência (princípio da
aditividade).
Linearidade: combinação dos dois princípios.
L[f(t)]=F(s) L[K.f(t)]=K.F(s)
𝐿 𝑓1 𝑡 = 𝐹1(𝑠)
𝐿 𝑓2 𝑡 = 𝐹2(𝑠)
𝐿 𝑓3 𝑡 = 𝐹3(𝑠)
𝐿 𝑓1 𝑡 + 𝑓2 𝑡 − 𝑓3 𝑡 = 𝐹1 𝑠 + 𝐹2 𝑠 − 𝐹3(𝑠)
𝐿 𝐾1𝑓1 𝑡 + 𝐾2𝑓2 𝑡 − 𝐾3𝑓3 𝑡 = 𝐾1𝐹1 𝑠 + 𝐾2𝐹2 𝑠 − 𝐾3𝐹3(𝑠)
19
Diferenciação no tempo
Teorema da Derivada
ℒ𝑑𝑓 𝑡
𝑑𝑡= 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓(0−)
Para ℒ𝑑2𝑓 𝑡
𝑑𝑡2 , seja 𝑔 𝑡 =𝑑𝑓 𝑡
𝑑𝑡
ℒ 𝑔(𝑡) = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓 0− = 𝐺(𝑠)
aplicando o teorema da derivada:
20
Diferenciação no tempo
• 𝐺 𝑠 = 𝑠𝐹 𝑠 − 𝑓 0− ; 𝑔 𝑡 =𝑑𝑓 𝑡
𝑑𝑡
• ℒ𝑑𝑔 𝑡
𝑑𝑡= ℒ
𝑑2𝑓 𝑡
𝑑𝑡2 = 𝑠𝐺 𝑠 − 𝑔 0−
= 𝑠2𝐹 𝑠 − 𝑠𝑓 0− −𝑑𝑓 0−
𝑑𝑡
Transformada de Laplace da derivada de ordem 2 de uma função f(t):
ℒ𝑑2𝑓 𝑡
𝑑𝑡2 = 𝑠2𝐹 𝑠 − 𝑠𝑓 0− −𝑑𝑓 0−
𝑑𝑡
21
Diferenciação no tempo
• Transformada de Laplace da derivada de ordem 𝑛 de
uma função f(t):
ℒ𝑑𝑛𝑓 𝑡
𝑑𝑡𝑛 = 𝑠𝑛𝐹 𝑠 − 𝑠𝑛−1𝑓 0− − 𝑠𝑛−2 𝑑𝑓 0−
𝑑𝑡
− 𝑠𝑛−3 𝑑2𝑓 0−
𝑑𝑡2 − … − 𝑑𝑛−1𝑓 0−
𝑑𝑡𝑛−1
22
Diferenciação no tempo
Caso Particular:
para condições iniciais nulas (ou quiescentes) c.i.q.
Derivada da função f(t)
resulta em produto por s
da transformada F(s)
𝐿 𝑓 𝑡 = 𝑠𝐹(𝑠)
𝐿 𝑓 𝑡 = 𝑠2𝐹(𝑠)
⋮𝐿 𝑓 𝑛 𝑡 = 𝑠𝑛𝐹(𝑠)
23
Integração no tempo
Teorema da Integral
Caso Particular:
Para c.i.q.:
Integral da função f(t) resulta em
divisão por s da transformada F(s)
condições
iniciais
quiescentes (ou
nulas)
𝐿 𝑓 𝜏 𝑑𝜏𝑡
0−
=𝐹 𝑠
𝑠+
𝑓 𝜏 𝑑𝜏0−
−∞
𝑠
𝐿 𝑓 𝜏 𝑑𝜏𝑡
0−=
𝐹 𝑠
𝑠
24
Deslocamento no domínio do tempo
H(t – a)
t
1
0 a
Exemplos:
f(t)
Teorema do Deslocamento
No campo real
𝐿 𝑓 𝑡 = 𝐹 𝑠 ⇒
𝐿 𝑓 𝑡 − 𝑎 = 𝑒−𝑎.𝑠𝐹(𝑠)
𝐿 𝐻 𝑡 =1
𝑠 𝐿 𝐻 𝑡 − 𝑎 =
𝑒−𝑎.𝑠
𝑠
25
Deslocamento no domínio da frequência
Exemplo:
ℒ 𝑒−𝑎𝑡cos (𝜔𝑡)
ℒ cos (𝜔𝑡) =𝑠
𝑠2 + 𝜔2
ℒ 𝑒−𝑎𝑡𝑓(𝑡) = 𝐹(𝑠 + 𝑎)
ℒ 𝑒−𝑎𝑡cos (𝜔𝑡) =𝑠 + 𝑎
(𝑠 + 𝑎)2+𝜔2
𝐿 𝑒−𝑎.𝑡𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠 + 𝑎)
26
Mudança de escala
ℒ 𝑓(𝑡) = 𝐹 𝑠 → ℒ 𝑓(𝑎𝑡) =
1
𝑎𝐹
𝑠
𝑎 𝑎 > 0
Exemplo:
𝐿 sin 𝑡 =1
𝑠2 + 1
𝐿 sin 𝜔𝑡 =1
𝜔
1
𝑠𝜔
2+ 1
=𝜔
𝑠2 + 𝜔2
27
Transformada de Funções Periódicas
Se f(t) é uma função periódica
Transformando cada termo, aplicando
a propriedade do deslocamento.
Obtemos:
𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 + 𝑓2 𝑡 + 𝑓3 𝑡 + ⋯
= 𝑓1 𝑡 + 𝑓1 𝑡 − 𝑇 𝑢 𝑡 − 𝑇
+𝑓1 𝑡 − 2𝑇 𝑢 𝑡 − 2𝑇 + ⋯
= 𝐹1 𝑠 [1 + 𝑒−𝑇.𝑠 + 𝑒−2.𝑇.𝑠 + 𝑒−3.𝑇.𝑠 + ⋯ ]
𝐹 𝑠 = 𝐹1 𝑠 + 𝐹1 𝑠 𝑒−𝑇.𝑠 + 𝐹1 𝑠 𝑒−2.𝑇.𝑠 +
𝐹1 𝑠 𝑒−3.𝑇.𝑠 + ⋯
28
Transformada de Funções Periódicas
Porém,
se, 𝑥 < 1
Portanto,
= 𝐹1 𝑠 [1 + 𝑒−𝑇.𝑠 + 𝑒−2.𝑇.𝑠 + 𝑒−3.𝑇.𝑠 + ⋯ ]
1 + 𝑥 + 𝑥2 + 𝑥3 + ⋯ =1
1 − 𝑥
𝐹 𝑠 =𝐹1 𝑠
1 − 𝑒−𝑇.𝑠
29
Derivada da Transformada
Aplicação para a função degrau:
ℒ [ H (t) ] = 1 / s
ℒ [ t . H (t) ] = 1 / s2
ℒ [ t2 . H (t) ] = 2 / s3
.
.
.
ℒ [ tn . H (t) ] = n ! / sn+1
𝐿 𝑓 𝑡 = 𝐹(𝑠)
𝐿 𝑡. 𝑓 𝑡 = −𝑑𝐹(𝑠)
𝑑𝑠
30
Tabela de Propriedades da Transformada
Função do tempo Transformada
𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠)
𝑐1𝑓1 𝑡 + 𝑐2𝑓2 𝑡 + ⋯ 𝑐1𝐹1 𝑠 + 𝑐2𝐹2 𝑠 + ⋯
𝑑𝑛𝑓(𝑡)
𝑑𝑡𝑛 𝑠𝑛𝐹 𝑠 − 𝑠𝑛−1𝑓 0− − 𝑠𝑛−2𝑓′ 0− − ⋯
− 𝑓 𝑛−1 (0−)
𝑓 𝜏 𝑑𝜏𝑡
−∞
𝐹 𝑠
𝑠+
1
𝑠 𝑓 𝜏 𝑑𝜏
0−
−∞
𝑡. 𝑓(𝑡) −
𝑑𝐹(𝑠)
𝑑𝑠
𝑒−𝑎.𝑡𝑓(𝑡) 𝐹(𝑠 + 𝑎)
𝑓(𝑡 − 𝑎) 𝑒−𝑎.𝑠𝐹(𝑠)
𝑓 𝑎. 𝑡 , 𝑎 > 0 1
𝑎𝐹(
𝑠
𝑎)
𝑓 𝑡 = 𝑓 𝑡 + 𝑇 , 𝑇 > 0, ∀ 𝑡 > 0 1
1 − 𝑒−𝑇.𝑠 𝑓 𝑡 𝑒−𝑠.𝑡𝑑𝑡𝑇
0−
31
Aplicação da Transformada de Laplace
Resolução de equação diferencial:
Dado: v(0) = 1; v’(0) = -2
Aplicando-se a transformada ℒ em cada termo na equação diferencial:
Equação algébrica em s
𝑑2𝑣(𝑡)
𝑑𝑡2 + 6𝑑𝑣(𝑡)
𝑑𝑡+ 8𝑣 𝑡 = 2𝑢(𝑡)
𝑠2𝑉 𝑠 − 𝑠𝑣 0 − 𝑣′(0) + 6 𝑠𝑉 𝑠 − 𝑣 0 + 8𝑉 𝑠 =2
𝑠
Substituindo: chega-se a 𝑣 0 = 1; 𝑣′ 0 = −2;
𝑠2 + 6𝑠 + 8 𝑉 𝑠 = 𝑠 + 4 +2
𝑠=
𝑠2 + 4𝑠 + 2
𝑠
𝑉 𝑠 =
14𝑠
+
12
𝑠 + 2+
14
𝑠 + 4 𝑣 𝑡 =
1
41 + 2𝑒−2𝑡 + 𝑒−4𝑡 𝐻(𝑡)
ℒ−1
32
Transformada de Laplace de Funções
A partir das Leis de Kirchhoff:
Aplicando Laplace:
Equação algébrica em V(s)
eg(t)
10Ω
2F
v(t)
v(0-)=5V
i(t)
𝑅 𝐶𝑑𝑣 𝑡
𝑑𝑡+ 𝑣 𝑡 = 𝑒𝑔(𝑡)
𝑅𝐶 𝑠𝑉 𝑠 − 𝑣 0− + 𝑉 𝑠 = 𝐸𝑔(𝑠)
𝑉 𝑠 =𝐸𝑔 𝑠 + 𝑅𝐶𝑣(0−)
(𝑠𝑅𝐶 + 1)=
1
𝑅𝐶
𝐸𝑔 𝑠 + 𝑅𝐶𝑣(𝑜−)
(𝑠 +1
𝑅𝐶)
eg(t)
10Ω
2F v(t)
v(0-)=5V
33
Transformada de Laplace de Funções
Para:
No domínio s:
Solução leva em conta a
condição inicial !
𝑒𝑔 𝑡 = 10𝐻 𝑡 [𝑉, 𝑠]
𝐸𝑔 𝑠 =10
𝑠
𝑅𝐶 𝑠𝑉 𝑠 − 𝑣 0− + 𝑉 𝑠 = 𝐸𝑔(𝑠) 10.2 𝑠𝑉 𝑠 − 5 + 𝑉 𝑠 =10
𝑠
𝑉 𝑠 =
10𝑠
+ 100
(20𝑠 + 1)=
5
𝑠
(𝑠 + 0,1)
(𝑠 + 0,05)=
10
𝑠−
5
(𝑠 + 0,05)
𝐿−1 ⇒ 𝑣 𝑡 = (10 − 5𝑒−0,05𝑡)H(t)
eg(t)
10Ω
2F v(t)
v(0-)=5V
34
Transformada de Laplace de Funções
Para
No domínio s:
Solução leva em conta a variação da
tensão inicial no capacitor, devido à
excitação impulsiva!
𝑒𝑔 𝑡 = 10𝛿 𝑡 [𝑉, 𝑠]
𝐸𝑔 𝑠 = 10
𝑅𝐶 𝑠𝑉 𝑠 − 𝑣 0− + 𝑉 𝑠 = 𝐸𝑔(𝑠)
𝑉 𝑠 =10 + 100
(20𝑠 + 1)=
5,5
(𝑠 + 0,05)
10.2 𝑠𝑉 𝑠 − 5 + 𝑉 𝑠 = 10
𝐿−1 ⇒ 𝑣 𝑡 = 5,5𝑒−0,05𝑡 𝐻(𝑡)
36
Referências
1. ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. “Fundamentos de
Circuitos Elétricos”, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013.
2. Slides da prof. Denise,
https://sites.google.com/site/circuitoseletricos2ufabc/profa-
denise/aulas, acesso em fevereiro de 2018.
3. ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. “Curso de Circuitos Elétricos”, Vol.
1( 2ª Ed. – 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo.
4. CONSONNI, D. “Transparências de Circuitos Elétricos I”, EPUSP.
5. NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. “Circuitos Elétricos”, 8ª Ed.,
Editora Pearson, 2009.