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Rio Grande/RS, Brasil, 23 a 25 de outubro de 2013.

TRANSFORMADAS DE LAPLACE APLICADAS A EQUAÇÕES DE

TRANSPORTE.

PERES, Luciano Medina (autor). RODRIGUEZ, Bábara Denicol do Amaral (orientadora).

EMMENDORFER, Leonardo Ramos(Coorientador). lmperes@bol.com.br

Evento: Econtro de Pós-Graduação.

Área do conhecimento: 10104003 Matemática Aplicada. Palavras-chave: Equação de transporte, Equações íntegro-diferencial, Transformada de Laplace.

1 INTRODUÇÃO

A resolução de problemas reais (sistemas físicos, sistemas biológicos,

sistemas sociais entre outros sistemas) necessitam de um ferramental matemático para que possam ser modelados. Entre os matemáticos que se notabilizaram na história por desenvolverem soluções para estes problemas, destaca-se o matemático francês Pierre Simon Laplace (1749-1827) [4], que nos seus estudos desenvolveu um método para resolução de equações diferenciais como se fossem equações algébricas [5].

As transformadas de Laplace, sob esta ótica, são de ampla utilização nas áreas citadas, [1] a transformação de Laplace é um método poderoso para resolver as equações diferenciais lineares que surgem nos equacionamentos matemáticos; entre os problemas que podem ser resolvidos por esta técnica temos as equações íntegro-diferenciais. Conforme [2] uma equação íntegro-diferencial é uma equação integral na qual várias derivadas da função incógnita 𝑌(𝑡) podem também estar presentes.

No estudo desta técnica dois pontos são essenciais: a existência da Transformada de Laplace e a existência da inversa da Transformada de Laplace, conforme [5] para existência da transformada e da inversa é necessário que a integral convirja e seja contínua, ou contínua por partes.

Com base nesta teoria e, como motivador do estudo e aplicações destas técnicas recorremos aos resultados constantes em [3]:

“Na primeira década do século 21, surgiu na literatura, o método

𝐿𝑇𝑆𝑁 que resolve, analiticamente, a equação de ordenadas discretas (𝑆𝑁) em uma placa plana pela técnica da transformada de Laplace. ... Aqui, solução analítica significa que nenhuma aproximação é feita ao longo do processo de derivação da solução. Antes disso, a transformada de Laplace vinha sendo aplicada, na solução da equação de transporte, na variável tempo. [Rodriguez, 2007].”

Entender como a Transformada de Laplace se aplica à equação de transporte será o suporte, para compreender, o comportamento da inversa da transformada de Laplace, que nem sempre é analítica, assim necessitando de aproximações numéricas.

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Rio Grande/RS, Brasil, 23 a 25 de outubro de 2013.

2 PROCEDIMENTO METODOLÓGICO

A utilização das Transformadas de Laplace como método resolutivo requer a revisão de teoremas como: Teorema da Linearidade [5], Teorema do deslocamento [5], Teorema de existência [5], Teorema da unicidade [5], entre outros resultados. Também será alvo deste trabalho apresentar alguns resultados constantes na literatura.

3 RESULTADOS e DISCUSSÃO

O trabalho se encontra num estágio incipiente, assim os resultados ainda não

têm a expressividade e a consistência necessária para que sejam comparados, ou estendidos a outros problemas.

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS

A pesquisa pode apresentar resultados de suma importância no campo de resolução de equações integro-diferencial. Têm-se como proposta de sequência da pesquisa o desenvolvimento e o estudo da complexidade de algoritmos para o cálculo de inversas da Transformadas de Laplace, estendendo a aplicações dos resultados obtidos.

REFERÊNCIAS

[1] KREYSZIG, E.. Matemática Superior – Volume 1. LTC Editora Ltda. Rio de Janeiro – RJ. 1972. [2] SPIEGEL, M., R.. Transformadas de Laplace. Editora McGraw-Hill. Rio de Janeiro – RJ. 1971. [3] RODRIGUEZ, B. D. A.. Metodologia para a Obtenção da Solução da Equação de Transporte de Boltzmann Considerando Espalhamento Compton Simulado por Klein-Nishina. Tese de Doutorado. PROMEC/UFRGS. Porto Alegre. 2007. [4] Laplace. Disponível em: < http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/person/laplace.htm >. Acesso em 23 junho 2013. [5] FIGUEIREDO, D. G., NEVES, A. F.. Equações Diferenciais Aplicadas. Editora IMPA. Rio de Janeiro – RJ. 2012.