Geometra VectorialA continuacin se darn los conceptos y resultados mas utilizados en Geometra Vectorial. Estan

dados , en general ,para el trabajo en 3 , pero note que todo es similar en el espacio 2

Longitud de un vectorSea u a,b,c la longitud del vector u sera denotada poru a2 b2 c2

Vector unitarioSea u un vector, se define el vector unitario en la direccion de u, al vector u

u. Note que este

vector tiene longitud 1.

Producto interiorSea u a1,b1,c1 y v a2,b2,c2, denotaremos el producto interior entre u y v poru v a1a2 b1b2 c1c2

Proyeccin OrtogonalSean u,v vectores. La proyeccin ortogonal de u en v es el vectorproy v u u

vv2

v

ngulo entre vectoresSea u y v vectores, sera denotado por u,vQueda determinado pues sabemos que cos u v

uv.

(Como cos2 cos, para que no haya ambigedad se considera como el menor nguloformado por los vectores u y v)

Paralelismo y perpendicularidad entre vectoresuv 0 / u vuv u v 0

Producto vectorialSea u a1,b1,c1 y v a2,b2,c2, denotaremos el producto vectorial entre u y v poru v b1c2 c1b2,a2c1 a1c2,a1b2 a2b1(Observacin: u v es un vector ortogonal a u y a vAplicacin: u v es el rea del paralelogramo cuyo lados estan formados por los vectores u y

v

u v uv sin , donde u,v

Producto mixtoSea u,v,w vectores , el producto mixto es u v w u vwcos, u v,w Aplicacin : |u v w | es el volmen del paralelepipedo cuyos lados estan formados por los

vectores u,v,w

Cosenos directores de un vectorSea v a1,b1,c1 ,, son los respectivos ngulos formados por el vector v con los ejes

cartesianos , como muestra la figura:

cos a1v

, cos b1v

, cos c1v

Ecuacin de la RectaPara calcular ecuacin de la recta que pasa por los puntos Pa1,b1,c1 y Qa2,b2,c2, primero

Xx,y, z va a representar un punto arbitrario que esta en la recta , luegoPX PQ , X P Q PX Q P Px,y, z a2,b2,c2 a1,b1,c1 a1,b1,c1x,y, z a2 a1 a1,b2 b1 b1,c2 c1 c1

Ecuacin paramtrica. x a2 a1 a1,y b2 b1 b1,z c2 c1 c1,

Ecuacin Cartesianax a1a2 a1

y b1b2 b1

z c1c2 c1

(Note que es lo mismo para P,Q 2)

El vector director de la recta que pasa por los puntos P y Q es el vector PQ

Ecuacin del PlanoPara calcular la ecuacin del plano que definen los puntos Pa1,b1,c2,Qa2,b2,c2 y

Ra3,b3,c3no colineales :Primero consideremos los vectores PQ y PR, estos claramente estan en el plano que pasa por los

puntos P,Q,R . Llamaremos n PQ PR , el vector normal del plano. Recuerde que n esperpendicular a PQ y PR.

Sea Xx,y, z un punto arbitrario en el plano., luego el vector PX esta en el plano , y como n esperpendicular a PQ y PR., se debe tener que n es perpendicular a PX , por lo tanto

PX n 0 ,(con n n1,n2,n3)x a1,y b1, z c1 n1,n2,n3 0n1x n2y n3z n1a1 n2b1 n3c1 0

Asi el plano que pasa por los P,Q y R es : n1x n2y n3z n1a1 n2b1 n3c1 0donde n n1,n2,n3 vector normal del plano .

Los vectores directores del plano son PQ y PR

Angulos entre rectas, planos y rectas y planos .Sean L y L dos rectas con vectores directores u y u respectivamente, ademas sea y dos

planos con vectores normales n y nrespectivamente, entonces se tiene1. L,L u,u2. , n,n

3. L, u,n

Paralelismo y PerpendicularidadSean L y L dos rectas con vectores directores u y u respectivamente, ademas sea y dos

planos con vectores normales n y nrespectivamente, entonces se tiene1. LL uu2. nn3. LL uu4. nn5. L un6. L un

DistanciasDistancia entre puntos: sean P,Q dos puntos , la distancia entre P y Q esdP,Q PQ

Distancia de un punto a una recta: sea L recta con vector director u, sea Q un punto tal queQ L, y sea P un punto arbitrario que pertenece a la recta L. La distancia del punto Q a la recta Les

dQ,L u PQu

Distancia de un punto a un plano: sea plano con vector normal n, sea Q un punto tal queQ , y sea P un punto arbitrario que pertenece al plano . La distancia del punto Q al plano es:

dQ, n PQn

Distancia de un plano a un plano: sean 1 , 2 dos planos en 3, se tienen dos posibilidades1 2 o 1 2 .Si 1 2 esto equivale a que 12 , y asi d1,2 d1,P con P 2 (P punto

arbitrario que pertenece al plano 2)Si 1 2 , se tiene que d1,2 0

Distancia de una recta a un plano: sea L una recta y un plano en 3, se tienen dosposibilidades

L o L .Si L esto equivale a que L , y asi dL, dL,P con P (P punto arbitrario

que pertenece al plano 2)Si L , se tiene que dL, 0