Resueltos IntegralesDeLinea 12014 (2) (4)

rgeraldop

Universidad Tecnica Federico Santa Marıa

Departamento de Matematica R.Geraldo

Coordinacion de Matematica IV (MAT024)

Ejercicios Resueltos: Integrales de lınea

A continuacion encontrara el enunciado de una serie de ejercicios, y sus respectivas soluciones en hojas posteriores.Las formas de resolver (la mayorıa de) los problemas, casi nunca es unica, por eso es importante que primero intenteusted resolver los problemas por si mismo, y posteriormente mirar la solucion.La mayor parte de estos ejercicios han formado parte de evaluaciones anteriores, ya sea en algun Control o Certamen.

PROBLEMAS

(Pr. 1). Calcular

ˆ

γ

px ` yq ds, donde γ es la recta dada por la interseccion de los planos 2x ` y ´ z “ 1 y

x ` y ` z “ 2 entre los puntos p´1, 3, 0q y p1, 0, 1q

(Pr. 2). Calcule

ˆ

γ

a

2y2 ` z2 ds siendo γ la interseccion entre las superficies S1 y S2, donde

S1 “ tpx, y, zq P R3 : x2 ` y2 ` z2 “ a2, a ą 0 u y S2 “ tpx, y, zq P R

3 : x “ y u

(Pr. 3). Calcule la integral de lınea

ˆ

γ

xa

x2 ´ y2 ds, siendo γ la curva de ecuacion`

x2 ` y2˘2 “ 4

`

x2 ´ y2˘

,

x ě 0.

(Pr. 4). Calcular

ˆ

γ

pyez `xzq ds, donde γ es la curva interseccion entre la esfera x2 `y2 `z2 “ 1 y el plano y “ 0.

(Pr. 5). Calcule

ˆ

γ

x dx` dy `y dz, donde γ es la curva interseccion entre el plano z “ 3`2y y el paraboloide

2z “ x2 ` y2 ` 6, y la curva esta orientada de manera tal que su proyeccion sobre el plano x y se recorreen sentido contrario a las agujas del reloj.

(Pr. 6). Calcular

ˆ

γ

y dx ` z dy ` x dz, donde γ es la curva interseccion entre la superficie z “ xy y el cilindro

x2 ` y2 “ 1 orientada positiva cuando se mira desde el punto (0,0,1).

(Pr. 7). Sea γ la curva interseccion entre el plano x ` z “ 1 y el elipsoide x2 ` 2y2 ` z2 “ 1, orientada de maneraque su proyeccion sobre el plano x y se recorre en sentido antihorario.

Calcule directamenteˆ

γ

1

2y2 dx ` z dy ` x dz

(Pr. 8). Considere el campo vectorial Fpx, yq “ pcxy, x6y2q, c ‰ 0, actuando sobre una partıcula que se muevedesde el origen de coordenadas, hasta la recta x “ 1 siguiendo la curva determinada por el grafico de lafuncion y “ axb, con a y b positivos. Determine el valor de c en terminos de a y de b para que el trabajorealizado por F sea nulo.

(Pr. 9). Sea el campo vectorial Fpx, y, zq “ px ` z ,´py ` zq , x ´ yq. F es conservativo.

(a) Encuentre una funcion potencial para F.

(b) Calcule

ˆ

Γ

Fpx, y, zq ¨ dr siendo Γ la curva interseccion de las superficies z “ xy y x2 ` y2 “ 1, con

x ě 0 e y ě 0, orientada de manera que su proyeccion sobre el plano x y se recorre en sentido positivo.

MAT024 (Ejercicios Resueltos: Integrales de Lınea) 1

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(Pr. 10). Sea

Fpx, yq “ e2x`3y pa senpxq ` a cospyq ` cospxq , b senpxq ` b cospyq ´ senpyq q

(a) Determine a, b P R tales que el campo F sea conservativo.

(b) Para los valores de a y b encontrados en (a), calcule una funcion potencial para el campo F

(c) Sea Γ la curva formada por los segmentos de recta que unen consecutivamente los puntos p0, 0qcon p1, 1q, p1, 1q con p2, 1q, p2, 1q con p3, 0q, p3, 0q con p2,´1q, p2,´1q con p1,´1q yfinalmente p1,´1q con p1, 0q.

Calcule

ˆ

Γ

F ¨ dr

Ayuda:ˆ

eαx senpβxqdx “ eαx

α2 ` β2pα senpβxq ´ β cospβxqq

ˆ

eαx cospβxqdx “ eαx

α2 ` β2pα cospβxq ` β senpβxqq

(Pr. 11). Sean"

P px, yq “ p2x fpxq ´ 2x3q y2 ` 6x2y

Qpx, yq “ y fpxq ` 2x3

donde fpxq es una funcion diferenciable.

(i) Hallar la funcion fpxq mas general posible de manera que˛

γ

P px, yqdx ` Qpx, yq dy “ 0

sobre cualquier curva cerrada.

(ii) Para la funcion encontrada en el apartado (a), hallarˆ

β

P px, yqdx ` Qpx, yq dy

donde β es cualquier curva que va desde A “ p0, 0q a B “ p2, 1q.

(Pr. 12). El campo

F px, yq “ˆ

2 ` y2

pxy ´ 2q2 ,2 ` x2

pxy ´ 2q2˙

es conservativo en cierta region D Ď R2.

(i) Encuentre una funcion potencial para F en D.

(ii) Calculeˆ

γ

p2 ` y2q dx ` p2 ` x2q dypxy ´ 2q2

siendo γ es el trozo de la hiperbola xy “ ´1 que une los puntos p1,´1q con`

3,´ 1

3

˘

.

(Pr. 13). Considere el campo vectorial

Fpx, y, zq “ p2xy ` 2xz, x2 ` z2, 2yz ` x2q

El campo F es conservativo.

(a) Determine una funcion escalar fpx, y, zq, tal que ∇f “F.

(b) Sea γ la curva interseccion entre las superficies y “ x2 y z “ 2 ´ x2 ´ y2, con z ě 0.

Calcule

ˆ

γ

F ¨ dr (usted elige orientacion).


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(Pr. 14). Sea P px, yq una funcion con derivadas parciales continuas en R2 tal que

BPBx “ 2px ` yq y P p0, 1q “ 0.

(i) Determinar P px, yq sabiendo queˆ

γ

P px, yqdx ` x2 dy

es independiente del camino en R2.

(ii) Calcular la integral de lınea anterior usando el Teorema de Green, siendo P px, yq la funcion determi-nada en el apartado (a) y γ el trozo de circunferencia de ecuacion x2 ` y2 “ 1, que va desde el puntop1, 0q al punto p´1, 0q por el primer y segundo cuadrante.

(Pr. 15). (a) Sea f una funcion dos veces diferenciable con continuidad en el dominio simplemente conexo D Ă R2

que verifica la condicionB2f

Bx2` B2f

By2 “ 0 en D.

Pruebe que si γ Ă D es cualquier curva cerrada, entonces˛

γ

BfBy dx ´ Bf

Bx dy “ 0

(b) Calcular el valor deˆ

γ

y

px ` 1q2 ` y2dx ´ x ` 1

px ` 1q2 ` y2dy

(b.i) siendo γ la circunferencia de radio1

2centrada en el origen, orientada positivamente.

(b.ii) siendo γ la circunferencia de radio 2 centrada en el origen, orientada positivamente.

(Pr. 16). Sea γ la curva frontera de la region S del plano R2, orientada positivamente, donde

S “

px, yq P R2 : x2 ` y2 ď 2y ^ x2 ` y2 ď 1 ^ x ě 0

(

Calcule

ˆ

γ

xy dx ´ ey2

cos y dy

(Pr. 17). Sea Fpx, yq “ˆ

x

x2 ` y2´ y ,

y

x2 ` y2` x

˙

.

Calcule

ˆ

Γ

F ¨dr, siendo Γ la curva frontera del triangulo de vertices p´2,´2q, p2,´2q y p0, 2q, recorridaen sentido positivo.

Ayuda: recuerde que si F1 y F2 son campos vectoriales, entoncesˆ

C

pF1 ` F2q ¨ dr “ˆ

C

F1 ¨ dr `ˆ

C

F2 ¨ dr.

(Pr. 18). Calcular la integral de lıneaˆ

γ

´

2x ex2`2y2 ´ y

¯

dx `´

4y ex2`2y2 ` x2

¯

dy

donde γ es el arco de la curva y “ 2 ´ x2 que va desde el punto A “ p1, 1q al punto B “ p´1, 1q.

(Pr. 19). Calcular la integral de lıneaˆ

γ

´

ex2 ´ y3

¯

dx `´

ey2 ` x3

¯

dy

donde γ es la curva frontera, orientada positivamente, de la region limitada por las circunferencias

x2 ` py ´ 1q2 “ 1 y x2 ` py ´ 2q2 “ 4.


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(Pr. 20). (a) Sea γ el segmento de recta que une el punto px1, y1q con px2, y2q. Pruebe que

ˆ

γ

ýdx ` xdy “ x1y2 ´ x2y1

(b) En sentido antihorario, los vertices de un polıgono son

px1, y1q, px2, y2q, px3, y3q, . . . , pxk, ykq. Pruebe que el area del polıgono esta dada por

A “ 1

2rpx1y2 ´ x2y1q ` px2y3 ´ x3y2q ` ¨ ¨ ¨ ` pxk´1yk ´ xkyk´1q ` pxky1 ´ x1ykqs

(Pr. 21). Considere I “ˆ

γ

ˆ

´ y

x2 ` 4y2´ y

˙

dx ` x

x2 ` 4y2dy

(a) Calcule I directamente siendo γ la semielipse x2 `4y2 “ 1 que va desde el punto p1, 0q al punto p´1, 0qpor el semiplano y ě 0.

(b) Calcule I usando el Teorema de Green siendo γ el arco de circunferencia

x2 ` y2 “ 4 que va desde el punto p2, 0q al punto p´2, 0q por el semiplano y ě 0.

(Pr. 22). Calculeˆ

γ

ey2

dx `´

2xyey2 ` x ` ey

3¯

dy

siendo γ la curva formada por el segmento de recta que une los puntos p0, 0q y p1, 1q, seguido del segmentoque une p1, 1q con p2, 0q.

(Pr. 23). Sea γ una curva cerrada simple, suave, que no contiene al origen y que intersecta con cada recta que pasapor el origen en, a lo sumo , dos puntos.

Calcule todos los valores posibles de la integral de lınea

ˆ

γ

´ y3

px2 ` y2q2dx ` xy2

px2 ` y2q2dy

(Pr. 24). Sea ~r “ px, yq y r “ }~r}, definimos la funcion

F px, yq “ˆBplnprqq

By ,´ BplnprqqBx

˙

.

Considere la curva regular, simple C contenida en el anillo 1 ă x2 ` y2 ă 25. Determine todos los valores

posibles de la integral de linea

ˆ

C

F dα.

(Pr. 25). Considere el campo Fpx, yq “ py2, x2q.Determine todas las circunferencias contenidas en el plano R

2 tales que la integral de lınea del campo Fa lo largo de dichas circunferencias sea cero.

(Pr. 26). Sea C1 la semicircunferencia centrada en p1, 0q, de radio 1, situada en el primer cuadrante y recorridadesde el punto p2, 0q hasta el origen de coordenadas. Calcule

ˆ

C1

`

ex cospyq ` px ´ 1q2y3˘

dx ´`

ex senpyq ` px ´ 1q3y2˘

dy

(Pr. 27). Usando el Teorema de Green, calcular la integral de lınea

ˆ

γ

´

cos´πy

2

¯

` x2

¯

dx `´

4x3py ´ 1q4 ` π

2pπ ´ xq sen

´πy

2

¯¯

dy


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donde γ es el arco de circunferencia x2 ` py ´ 1q2 “ 1, que va del origen de coordenadas al punto p0, 2qpor el primer cuadrante (orientada positivamente).

Ayuda: Formula de Wallis:

ˆ π{2

0

cosnpxq dx “

$

&

%

1¨3¨5¨¨¨¨¨pn´1q2¨4¨6¨¨¨¨¨n

π2

si n es par

2¨4¨6¨¨¨¨¨pn´1q1¨3¨5¨¨¨¨¨n si n es impar

(Pr. 28). Use el teorema de Green para calcular

I “ˆ

γ

p f 1pxq senpyq ´ 3y q dx ` p fpxq cospyq ` 8xq dy,

donde f es una funcion con derivada continua en R y γ es una curva simple y suave a trozos que, sin cortara la recta y “ x y estando por debajo de ella, une los puntos A “ p0, 0q y B “ pπ, πq y que, cerrandolamediante el segmento AB, determina un recinto de area S.

(Pr. 29). Sean upx, yq, vpx, yq funciones con derivadas parciales continuas. Se define

ˆ

C

udv “ˆ

C

uvxdx ` uvydy.

Demuestre que para fpx, yq y gpx, yq con derivadas continuas y C una curva cerrada que no pasa por losceros de f , se cumple

ˆ

C

1

fdg ´ g

f2df “ 0.

Ayuda: comience considerando u “ 1

f, v “ g

(Pr. 30). Sean upx, yq y vpx, yq dos funciones escalares de clase C1 en un abierto que contiene al disco R “ tpx, yq :x2 ` y2 ď 1u. Sean

F px, yq “ pvpx, yq, upx, yqq , Gpx, yq “ˆBu

Bx ´ BuBy ,

BvBx ´ Bv

By

˙

Calcule

¨

R

F ¨ GdA, sabiendo que sobre la frontera de R se tiene upx, yq “ 1 y vpx, yq “ y.

Ayuda: Piense en las derivadasB

Bxpu ¨ vq yB

By pu ¨ vq

(Pr. 31). Sea el campo vectorial Fpx, yq “´

y3

3x, ey

2

¯

. Calcule

ˆ

γ

F ¨ dr, siendo γ la frontera de la region R Ď R2,

R limitado simultaneamente por las curvas 3x2 “ πy, 3x2 “ 2πy, y2 “ 2x e y2 “ 4x.

(Pr. 32). Sean P px, yq y Qpx, yq dos campos escalares de clase C1, tales queBPBy “ BQ

Bx para todo punto px, yq PR

2 ´ ta, b, cu. Sean C1, C2 y C3 tres cırculos, orientados en sentido antihorario, que encierran a a, b y c

respectivamente, sin intersectarse entre ellos.

C1

C2 C3

a

b c

Γ

Sea Ii “‰

Ci

P px, yqdx ` Qpx, yqdy y suponga que I1 “ 4, I2 “ 2 y I3 “ 1


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(a) Hallar el valor de

ˆ

Γ

P px, yqdx ` Qpx, yqdy siendo Γ la figura en forma de ocho que encierra a C2 y a

C3.

(b) Dibuje una curva cerrada Γ1, que encierre a los tres puntos, de tal manera que

ˆ

Γ1

P px, yqdx `Qpx, yqdy “ 1. Justifique su respuesta.

(c) Pruebe que si I1 “ 4, I2 “ 2 y I3 “ 2, no existe curva cerrada α, que encierre a los tres puntos, tal

que

ˆ

α

P px, yqdx ` Qpx, yqdy “ 1

Observacion: en el apartado (b) debe olvidarse de la curva Γ


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SOLUCIONES.

(Pr. 1). Para determinar la recta debemos encontrar el espacio solucion del sistema (de infinitas soluciones)

2x ` y ´ z “ 1x ` y ` z “ 2

Sumando estas ecuaciones se obtiene y “ 3

2´ 3

2x, y reemplazando en la segunda ecuacion se sigue

z “ 1

2` 1

2x.

Por lo tanto, la recta es L :“ `

x, 3

2´ 3

2x, 1

2` 1

2x˘

, x P R(

.

Una parametrizacion para esta recta es rptq “`

t, 3

2´ 3

2t, 1

2` 1

2t˘

, de donde }r1ptq} “?14

2.

Los puntos p´1, 3, 0q y p1, 0, 1q se alcanzan para t “ ´1 y t “ 1 respectivamente, por lo tanto la integralrequerida es

ˆ

γ

px ` yq dS “ˆ

1

´1

„

3

2´ t

2

?14

2dt “ 3

?14

2

�

(Pr. 2).S1 X S2 “ tpx, y, zq P R

3 : x2 ` y2 ` z2 “ a2 ^ y “ x u

La proyeccion de esta curva sobre el plano y z es 2y2 ` z2 “ a2.

Una parametrizacion para la curva es

rpθq “ˆ

a?2cospθq ,

a?2cospθq , a senpθq

˙

, 0 ď θ ď 2π

Si llamamos fpx, y, zq “a

2y2 ` z2, entonces la integral pedida queda

ˆ

γ

fpx, y, zq ¨ ds “ˆ

2π

0

fpprθqq }r1pθq} dθ “ˆ

2π

0

?a2

?a2 dθ “ 2πa2

�

(Pr. 3). Usando coordenadas polares x “ r cos θ, y “ r sen θ la ecuacion de la curva queda r “ 2a

cosp2θq,con ´π

4ď θ ď π

4, pues cosp2θq ě 0 cuando ´π

2ď θ ď π

2.

La curva correspondiente se muestra a continuacion (lınea azul):

-0,5 -0,25 0 0,25 0,5 0,75 1

-0,5

-0,25

0,25

0,5


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De este modo, una parametrizacion de la curva es

rpθq “´

2a

cosp2θq cos θ , 2a

cosp2θq sen θ¯

, ´π

4ď θ ď π

4

Entonces

r1pθq “˜

´2 senp2θq cospθq ´ 2 senpθq cosp2θqa

cosp2θq,

´2 senp2θq senpθq ` 2 cospθq cosp2θqa

cosp2θq

¸

Esto es equivalente a

r1pθq “˜

´2senp3θqa

cosp2θq, 2

cosp3θqa

cosp2θq

¸

de donde }r1pθq} “ 2a

cosp2θq

La integral que buscamos

ˆ

γ

xa

x2 ´ y2 ds, reemplazando lo anterior queda

“ˆ π{4

´π{4

2 cospθqa

cosp2θqa

4 cos2pθq cosp2θq ´ 4 sen2pθq cosp2θq 2a

cosp2θqdθ

“ 8

ˆ π{4

´π{4

cospθq cosp2θq dθ “ 8

ˆ π{4

´π{4

`

cospθq ´ 2 sen2pθq cospθq˘

dθ “ 16?2

3

�

(Pr. 4). La curva se muestra en la figura, en color rojo

Una parametrizacion de la curva es

rptq “ pcosptq, 0, senptqq 0 ď t ď 2π, se tiene entonces r1ptq “ p´ senptq, 0, cosptqq y esto implica que}r1ptq} “ 1.

La integral pedida quedaˆ

γ

pyez ` xzq ds “ˆ 2π

0

´

0 ¨ esenptq ` senptq cosptq¯

¨ 1 ¨ dt “ 0

�


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(Pr. 5). Buscamos primero la proyeccion de la curva interseccion sobre el plano x y; para ello reemplazamos elvalor de z “ 3 ` 2y en el paraboloide, con lo que 2p3 ` 2yq “ x2 ` y2 ` 6, de donde obtenemos que laproyeccion de la curva interseccion es el conjunto tpx, yq : x2 ` py´2q2 “ 4 u, el cual puede ser descritoen coordenadas polares, con la orientacion pedida, por r “ 4 sen θ, con 0 ď θ ď π.

Resulta ahora facil parametrizar la curva usando coordenadas polares:

x “ r cos θ “ 4 sen θ cos θ “ 2 senp2θq ùñ dx “ 4 cosp2θq dθy “ r sen θ “ 4 sen2 θ ùñ dy “ 8 sen θ cos θ dθ “ 4 senp2θq dθz “ 3 ` 8 sen2 θ ùñ dz “ 16 sen θ cos θ dθ “ 8 senp2θq dθ

La integral requerida queda entonces:

ˆ

γ

x dx ` dy ` y dz “ˆ π

0

p8 senp2θq cosp2θq ` 4 senp2θq ` 64 sen3 θ cos θq dθ

y esta ultima integral es igual a

2 sen2p2θqˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

π

0

´ 2 cosp2θqˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

π

0

` 16 sen4 θ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

π

0

“ 0 ` 0 ` 0 “ 0

Por lo tanto

ˆ

γ

x dx ` dy ` y dz “ 0

�

(Pr. 6). La curva se muestra a continuacion

Una parametrizacion de la curva es (proyectando obviamente en el plano xy):

rptq “ pcosptq, senptq, senptq cosptqq, 0 ď t ď 2π

Con esta parametrizacion tenemos

dx “ ´ senptq, dy “ cosptq, dz “ cosp2tq

Reemplazando en la integral quedaˆ

γ

y dx ` z dy ` x dz “ˆ 2π

0

`

´ sen2ptq ` senptq cos2ptq ` cosptq cosp2tq˘

dt “ ´π

�


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(Pr. 7). Vemos a continuacion una imagen de la curva (en color azul):

Para buscar una parametrizacion, nos deshacemos de una variable (z en este caso) para encontrar laproyeccion de la curva sobre alguno de los planos (x y en este caso):

x2 ` 2y2 ` z2 “ 1x ` z “ 1

ùñ x2 ` 2y2 ` p1 ´ xq2 “ 1 ùñ`

x ´ 1

2

˘2 ` y2 “`

1

2

˘2 p˚q

Las curva esta formada por todos los puntos de la forma px, y, 1 ´ xq, con x e y satisfaciendo (*).

Si hacemos x “ 1

2` 1

2cospθq, y “ 1

2senpθq, con 0 ď θ ď 2π, entonces, una parametrizacion de la curva

γ esta dada por

rpθq “ pxpθq, ypθq, zpθqq “ˆ

1

2` 1

2cospθq, 1

2senpθq, 1

2´ 1

2cospθq

˙

, 0 ď θ ď 2π

Se tiene

dx “ ´1

2senpθq, dy “ 1

2cospθq, dz “ 1

2senpθq

La integral pedida esˆ

γ

1

2y2 dx ` z dy ` x dz

“ˆ

2π

0

ˆ

1

8sen2pθq

ˆ

´1

2senpθq

˙

`ˆ

1

2´ 1

2cospθq

˙

1

2cospθq `

ˆ

1

2` 1

2cospθq

˙

1

2senpθq

˙

dθ

Desarrollando esta integral llegamos finalmente a

ˆ

γ

1

2y2 dx ` z dy ` x dz “ ´π

4

�

(Pr. 8). Parametrizamos la curva porrptq “

`

t, atb˘

, 0 ď t ď 1

La integral que nos interesa es

ˆ

1

0

Fprptqq ¨ r1ptq dt “ˆ

1

0

´

ctatb, t6`

atb˘2¯

¨`

1, abtb´1˘

dt “ˆ

1

0

`

actb`1 ` t5`3ba3b˘

dt

“ˆ

actb`2

b ` 2` t6`3b

6 ` 3ba3b

˙

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

1

0

“ ac

b ` 2` a3b

6 ` 3b


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Para deteminar c debemos resolver la ecuacion acb`2

` a3b6`3b

“ 0

ac

b ` 2` a3b

6 ` 3b“ 0 ðñ ac “ á3b

3ðñ c “ á2b

3

�

(Pr. 9). (a) Buscamos fpx, y, zq talque ∇fpx, y, zq “ Fpx, y, zqEntonces

fpx, y, zq “ˆ

px ` zq dx ` gpy, zq ùñ fpx, y, zq “ x2

2` xz ` gpy, zq

Ahora

BfBy “ ý ´ z ðñ gypy, zq “ ý ´ z ðñ gpy, zq “ ý2

2´ yz ` hpzq

Entonces fpx, y, zq “ x2

2` xz ´ y2

2´ yz ` hpzq

BfBz “ x ´ y ðñ x ´ y ` h1pzq “ x ´ y ðñ hpzq “ cte.

Por lo tanto, una funcion potencial para F es fpx, y, zq “ x2

2` xz ´ y2

2´ yz

(b) La curva Γ se puede parametrizar por

rpθq “ pcospθq, senpθq, senpθq cospθqq, 0 ď θ ď π

2

Como el campo es conservativo, entonces

ˆ

Γ

Fpx, y, zq ¨ dr “ f´

r´π

2

¯¯

´ f pr p0qq “ fp0, 1, 0q ´ fp1, 0, 0q “ ´1

2´ 1

2“ ´1

�

(Pr. 10). Sean

P px, yq “ e2x`3y pa senpxq ` a cospyq ` cospxqqQpx, yq “ e2x`3y pb senpxq ` b cospyq ´ senpyq q

(a) Para que el campo sea conservativo debe cumplirse queBPBy “ BQ

BxTenemos

BPBy “ 3e2x`3y pa senpxq ` a cospyq ` cospxqq ` e2x`3ypá senpyqq

BQBx “ 2e2x`3y pb senpxq ` b cospyq ´ senpyqq ` e2x`3ypb cospxqq


rgeraldop



Efectuando los calculos respectivos se obtiene

BPBy “ BQ

Bx ðñ 3pa senpxq ` a cospyq ` cospxqq ´ a senpyq “ 2pb senpxq ` b cospyq ´ senpyqq ` b cospxq

Es decir

BPBy “ BQ

Bx ðñ p3a ´ 2bq senpxq ` p3a ´ 2bq cospyq ` pa ´ 2q senpyq ` pb ´ 3q cospxq “ 0

de donde a “ 2 y b “ 3.

(b) Buscamos ahora una funcion escalar fpx, yq tal queBfBx “ P px, yq ^ Bf

By “ Qpx, yq, reem-

plazados a por 2 y b por 3.

Entonces

fpx, yq “ˆ

P px, yqdx ` gpyq “ e2x`3y psenpxq ` cospyqq ` gpyq

AhoraBfBy “ Qpx, yq

ðñ e2x`3y p3 senpxq ` 3 cospyq ´ senpyqq ` g1pyq “ e2x`3y p3 senpxq ` 3 cospyq ´ senpyqqSe sigue entonces que g1pyq “ 0, de donde gpyq “ cte.

Una funcion potencial para Fpx, yq es fpx, yq “ e2x`3y psenpxq ` cospyqq ` K.

(c) Sea α “ ΓYγ1 siendo γ1 el segemento recto que une los puntos p1, 0q con p0, 0q. La curva α es cerrada.

Γ

γ

Como F es conservativo, entonces

ˆ

α

F ¨ dr “ 0

De esta manera

ˆ

Γ

F ¨ dr `ˆ

γ

F ¨ dr “ 0, de donde

ˆ

Γ

F ¨ dr “ ´ˆ

γ

F ¨ dr

Ahora, es facil calcular la integral del lado derecho de la ultima igualdad, recurriendo al Teorema Funda-mental de las Integrales de Lınea, con el campo escalar calculado en el apartado (b):

´ˆ

γ

F ¨ dr “ ´ pfp0, 0q ´ fp1, 0qq “ ´“

1 ´ e2 psenp1q ` 1q‰

“ e2 senp1q ´ e2 ´ 1

Por lo tanto

ˆ

Γ

F ¨ dr “ e2 senp1q ´ e2 ´ 1


rgeraldop



�

(Pr. 11). (i) Para que la integral de lınea

˛

γ

P px, yqdx`Qpx, yq dy de como resultado cero para toda curva cerrada,

el campo F px, yq “ pP px, yq, Qpx, yqq debe ser conservativo. Esto es

BBy

``

2xfpxq ´ 2x3˘

y2 ` 6x2y˘

“ BBx

`

yfpxq ` 2x3˘

Desarrollando lo anterior se llega a la siguiente ecuacion diferencial para fpxq:

f 1pxq ´ 4xfpxq “ ´4x3

La solucion de esta ecuacion es

fpxq “ x2 ` 1

2` Ce2x

2

(ii) Como el campo es conservativo, basta encontrar una funcion potencial del campo F px, yq “ pP px, yq, Qpx, yqq,en este caso, usando la fpxq obtenida en (a):

P px, yq “´

x ` 2Ce2x2¯

y2 ` 6xy2, Qpx, yq “ y

ˆ

x2 ` 1

2` Ce2x

2

˙

2x3

Una funcion potencial para este campo es

upx, yq “ y2ˆ

x2

2` C

2e2x

2

˙

` 2x3y ` y2

4

Por lo tanto

ˆ

β

P px, yqdx ` Qpx, yq dy “ up2, 1q ´ up0, 0q “ 73

4` Ce8

2

�

(Pr. 12). (i) Para encontrar una funcion potencial upx, yq, hacemos

upx, yq “ˆ

2 ` y2

pxy ´ 2q2 dx ` gpyq ùñ upx, yq “ ´p2 ` y2qypxy ´ 2q ` gpyq p˚˚q

Ahora,

BuBy “ 2 ` x2

pxy ´ 2q2 ðñ ´2y2pxy ´ 2q ` p2xy ´ 2qp2 ` y2qy2pxy ´ 2q2 ` g1pyq “ 2 ` x2

pxy ´ 2q2Desarrollando lo anterior, se tiene

2y2 ` 4xy ´ 4

y2pxy ´ 2q2 ` g1pyq “ 2 ` x2

pxy ´ 2q2

de donde

g1pyq “ 2 ` x2

pxy ´ 2q2 ´ 2y2 ` 4xy ´ 4

y2pxy ´ 2q2 “ x2y2 ´ 4xy ` 4

y2pxy ´ 2q2 “ pxy ´ 2q2y2pxy ´ 2q2


rgeraldop



Simplificando se llega a

g1pyq “ 1

y2ùñ gpyq “ ´1

y

Hemos tomado C “ 0, pues esta satisface lo requerido en el enunciado.

Por lo tanto, reemplazando gpyq “ ´ 1

yen (**), una funcion potencial es

upx, yq “ ´p2 ` y2qypxy ´ 2q ´ 1

y

(ii) Como el campo esta bien definido en el cuarto cuadrante, podemos usar el Teorema Fundamental delas Integrales de Lınea, con la funcion potencial obtenida en (1):

Entonces

ˆ

γ

p2 ` y2q dx ` p2 ` x2q dypxy ´ 2q2 “ u

ˆ

3,´1

3

˙

´ up´1, 1q “ 8

9

�

(Pr. 13). (a) Buscamos fpx, y, zq que satisfaga

BfBx “ 2xy ` 2xz,

BfBy “ x2 ` z2,

BfBz “ 2yz ` x2

Entonces

fpx, y, zq “ˆ

p2xy ` 2xzq dx ` gpy, zq ùñ fpx, y, zq “ x2y ` x2z ` gpy, zq p˚˚q

Esta funcion satisface la primera de las condicionesBfBx “ 2xy ` 2xz. Debemos determinar gpy, zq.

Ahora

BfBy “ x2 ` z2 ùñ x2 ` gypy, zq “ x2 ` z2

de donde gypy, zq “ z2, lo que implica que gpy, zq “ yz2 ` hpzq.Se tiene entonces fpx, y, zq “ x2y`x2z ` yz2 `hpyq, y esta funcion satisface las primeras dos condicionesenunciadas al principio. Solo nos resta determinar hpzq.Para ello, hacemos

BfBz “ 2yz ` x2 ùñ x2 ` 2yz ` h1pzq “ 2yz ` x2 ùñ hpzq “ cte.

Por lo tanto, una funcion potencial para F es

fpx, y, zq “ x2y ` x2z ` yz2 ` C

(b) Para encontrar la curva interseccion, reemplazamos y “ x2 en la segunda ecuacion y obtenemosz “ 2 ´ x2 ´ x4. Entonces, una parametrizacion para esta curva es rptq “ pt, t2, 2 ´ t2 ´ t4q. Como se


rgeraldop



exige que z ě 0, buscamos t tal que 2 ´ t2 ´ t4 “ 0. Las soluciones de esta ecuacion son t “ 1 y t “ ´1.Por lo tanto

rptq “ pt, t2, 2 ´ t2 ´ t4q, ´1 ď t ď 1

Es claro que esta parametrizacion satisface z ě 0.

Para calcular la integral, usaremos como punto final rp1q “ p1, 1, 0q y como punto inicial rp´1q “ p´1, 1, 0q;con esto se tiene

ˆ

γ

F ¨ dr “ fp1, 1, 0q ´ fp´1, 1, 0q “ 1 ´ 1 “ 0

�

(Pr. 14). (i) Para que sea independiente del camino (dadas las condiciones del campo) basta con que

BBy pP px, yqq “ B

Bxpx2q

o seaBPBy “ 2x. Entonces P px, yq “ 2xy ` gpxq. Esto implica que

BPBx “ 2y ` g1pxq.

Se tiene entonces

2y ` g1pxq “ 2x ` 2y ðñ g1pxq “ 2x ðñ gpxq “ x2 ` C

Ası, P px, yq “ 2xy ` x2 ` C. Como P p0, 1q “ 0, entonces C “ 0.

Por lo tantoP px, yq “ x2 ` 2xy

(ii) Debemos calcularˆ

γ

px2 ` 2xyq dx ` x2 dy

Note que P px, yq “ x2 ` 2xy, y Qpx, yq “ x2 implican queBQBx ´ BP

By “ 0

Para usar el Teorema de Green, hacemos Γ “ γ ` γ2 siendo γ2 la recta que une los puntos p´1, 0q y p1, 0q.Entonces

ˆ

Γ

px2 ` 2xyq dx ` x2 dy “ˆ

γ

px2 ` 2xyq dx ` x2 dy `ˆ

γ2

px2 ` 2xyq dx ` x2 dy “¨

R

BQBx ´ BP

By “ 0

Se tiene entonces que

ˆ

γ

px2 ` 2xyq dx ` x2 dy “ ´ˆ

γ2

px2 ` 2xyq dx ` x2 dy

Parametrizando γ2 por rptq “ pt, 0q, ´1 ď t ď 1, se sigue


rgeraldop



ˆ

γ

px2 ` 2xyq dx ` x2 dy “ˆ 1

´1

t2 dt “ ´2

3

�

(Pr. 15). (a) f satisface las hipotesis del Teorema de Green en D, entonces, anotando R como la region encerradapor γ, tenemos

˛

γ

BfBy dx ´ Bf

Bx dy “¨

R

ˆ BBx

ˆ

´ BfBx

˙

´ BBy

ˆBfBy

˙˙

dA “ ´¨

R

ˆB2f

Bx2` B2f

By2˙

dA “ ´¨

R

0 dA “ 0

(b)

(i) Sea D una region que encierra a la circunferencia de radio1

2centrada en el origen, pero tal que

p´1, 0q R D; entonces, si hacemos

BfBy “ y

px ` 1q2 ` y2,

BfBx “ x ` 1

px ` 1q2 ` y2

tenemos queB2f

Bx2` B2f

By2 “ 0 y luego, por (a)

˛

γ

y

px ` 1q2 ` y2dx ´ x ` 1

px ` 1q2 ` y2dy “ 0

(ii) En este caso la curva γ (circunferencia de radio 2 centrada en el origen) contiene al punto p´1, 0q ensu interior, por lo que no podemos aplicar inmediatamente el Teorema de Green.

Sea γ˚ la curva formada por la curva original γ mas la curva γ1 correspondiente a una circunferencia deradio ǫ, ǫ ă 1

2, centrada en p´1, 0q. Orientamos la curva γ˚ positivamente. Sea R la region limitada por

γ˚ , es decir, R es la region al interior de la circunferencia de radio 2 centrada en el origen y exterior a lacircunferencia de radio ǫ centrada en p´1, 0q.

Esta region satisface las condiciones del Teorema de Green y del apartado (a), por lo tanto

˛

γ˚P px, yq dx ´ Qpx, yq dy “

¨

R

ˆ

´ BQBx ´ BP

By

˙

dA “ 0


rgeraldop



donde P px, yq “ y

px ` 1q2 ` y2, Qpx, yq “ ´ x ` 1

px ` 1q2 ` y2

Por lo tanto

˛

γ˚P px, yq dx ´ Qpx, yq dy “ 0, pero

˛

γ˚P px, yq dx ´ Qpx, yq dy “

‰

γ

P px, yq dx ´ Qpx, yq dy ´‰

γ1

P px, yq dx ´ Qpx, yq dy “ 0

de donde

‰

γ

P px, yq dx ´ Qpx, yq dy “‰

γ1

P px, yq dx ´ Qpx, yq dy

Calculemos entonces

‰

γ1

P px, yq dx ´ Qpx, yq dy

Parametrizamos la curva por x ` 1 “ ǫ cos t, y “ ǫ sen t, con 0 ď t ď 2π; la integral correspondientequeda

ˆ 2π

0

ˆ

ǫ sen t

ǫ2p´ǫq sen t ´ ǫ cos t

ǫ2ǫ cos t

˙

dt “ˆ 2π

0

p´1q dt “ ´2π

por lo tanto

˛

γ

y

px ` 1q2 ` y2dx ´ x ` 1

px ` 1q2 ` y2dy “ ´2π

�

(Pr. 16). La curva se muestra en la figura, encerrando a la region sombreada R:

ˆ ?3

2, 12

˙

Usando el Teorema de Green, para P px, yq “ xy y Qpx, yq “ ´ ey2

cos y tenemos

ˆ

γ

P dx ` Qdy “¨

R

ˆBQBx ´ BP

By

˙

dA “¨

R

´x dA

Para calcular esta ultima integral, usaremos coordenadas polares, dividiendo la region R es dos partes:

¨

R

´x dA “ˆ π{6

0

ˆ

2 sen θ

0

´r cospθq r dr dθ `ˆ π{2

π{6

ˆ

1

0

´r cospθq r dr dθ “ ´ 1

24´ 1

6“ ´ 5

24

�


rgeraldop



(Pr. 17). La curva Γ es la frontera de la region sombreada que se muestra a continuacion:

p2,´2qp´2,´2q

p0,2q

Γ

Hagamos F “ F1 ` F2, donde

F1px, y, zq “ˆ

x

x2 ` y2,

y

x2 ` y2

˙

, F2px, y, zq “ pý, xq

y se T la region triangular encerrada por Γ

Para el campo F2, aplicamos inmediatamente el Teorema de Green:

ˆ

ý dx ` x dy “¨

T

ˆ BBxpxq ´ B

By pýq˙

dA “¨

T

2 dA “ 2

¨

T

dA “ 2 ˚ 8 “ 16

Sobre el campo F1 no podemos aplicar directamente el teorema de Green. Para poder usarlo, vamos aencerrar el origen por la curva γ, una circunferencia centrada en el origen de radio 1

2, y la orientamos en

sentido antihorario, tal como muestra la figura siguente:

p2,´2qp´2,´2q

p0,2q

Γ

γ

En este caso, siendo P px, yq “ x

x2 ` y2, Qpx, yq “ y

x2 ` y2y T ˚ el triangulo T menos la circunferencia

centrada en el origen y radio 1

2, se tiene

ˆ

Γ

P px, yq dx ` Qpx, yq dy ´ˆ

γ

P px, yq dx ` Qpx, yq dy “¨

T˚

ˆBQBx ´ BP

By

˙

dA “ 0

Entonces

ˆ

Γ

P px, yq dx ` Qpx, yq dy “ˆ

γ

P px, yq dx ` Qpx, yq dy


rgeraldop



Para calcular la integral de la derecha en la igualdad anterior, parametrizamos γ por rpθq “ˆ

1

2cospθq, 1

2senpθq

˙

,

0 ď θ ď 2π. Tenemos entonces

ˆ

γ

P px, yq dx ` Qpx, yq dy “ˆ 2π

0

p´ senpθq cospθq ` senpθq cospθqq dθ “ 0

Por lo tanto

ˆ

Γ

Fpx, y, zq ¨ dr “ˆ

Γ

F1px, y, zq ¨ dr `ˆ

Γ

F2px, y, zq ¨ dr “ 16 ` 0 “ 16

�

(Pr. 18). Para resolver este problema usaremos el teorema de Green sobre la region R que corresponde a la regionencerrada por γ y γ˚ como se ve en la figura.

1

2

1´1

γ

γ˚

Tomando P px, yq “ 2x ex2`2y2 ´ y y Qpx, yq “ 4y ex

2`2y2 ` x2 se tieneBPBy “ 8xy ex

2`2y2 ´ 1 y

BQBx “ 8xy ex

2`2y2 ` 2x y esto implica queBQBx ´ BP

By “ 2x ` 1.

El Teorema de Green asegura que

ˆ

γ˚

´

2x ex2`2y2 ´ y

¯

dx `´

4y ex2`2y2 ` x2

¯

dy “¨

R

ˆBQBx ´ BP

By

˙

dA “¨

R

p2x ` 1q dA

con γ˚ “ γ Y γ1.

Por lo tanto

ˆ

γ

P px, yq dx ` Qpx, yq dy `ˆ

γ1


R

p2x ` 1q dA

de donde

ˆ

γ


R

p2x ` 1q dA ´ˆ

γ1


Ahora¨

R

p2x ` 1q dA “ˆ 1

´1

ˆ 2´x2

1

p2x ` 1q dy dx “ˆ 1

´1

p´2x3 ´ x2 ` 2x ` 1q dx “ 4

3


rgeraldop



Por otro lado, para calcular

ˆ

γ1

P px, yq dx ` Qpx, yq dy parametrizamos la curva γ1 por γ1ptq “ pt, 1q con

´1 ď t ď 1. Se sigue que dx “ dt y dy “ 0. De esta manera

ˆ

γ1

´

2x ex2`2y2 ´ y

¯

dx `´

4y ex2`2y2 ` x2

¯

dy “ˆ 1

´1

´

2tet2`2 ´ 1

¯

dt “ ´2

Por lo tanto

ˆ

γ

´

2x ex2`2y2 ´ y

¯

dx `´

4y ex2`2y2 ` x2

¯

dy “ 4

3´ p´2q “ 10

3

�

(Pr. 19). Sean P px, yq “ ex2 ´ y3 y Qpx, yq “ ey

2 ` x3. Vamos a usar el Teorema de Green, para la region R

encerrada entre las dos circunferencias:

ˆ

γ

P px, yqdx ` Qpx, yqdy “¨

R

ˆBQBx ´ BP

By

˙

dA

que en este caso corresponde a

ˆ

γ

´

ex2 ´ y3

¯

dx `´

ey2 ` x3

¯

dy “¨

R

`

3x2 ` 3y2˘

dA

Escribiendo la region R en coordenada polares, obtenemos¨

R

`

3x2 ` 3y2˘

dA “ˆ π

0

ˆ 4 sen θ

2 sen θ

3r2 r drdθ “ 180

ˆ π

0

sen4 θ dθ “ 135π

2

Por lo tanto

ˆ

γ

´

ex2 ´ y3

¯

dx `´

ey2 ` x3

¯

dy “ 135π

2

�

(Pr. 20). (a) Parametrizamos el segmento de recta por

rptq “ px1, y1q ` tpx2 ´ x1 , y2 ´ y1q, 0 ď t ď 1

Con esto, la integral quedaˆ

1

0

r´ py1 ` tpy2 ´ y1qq px2 ´ x1q ` px1 ` tpx2 ´ x1qq py2 ´ y1qs dt

“ px2 ´ x1qˆ 1

0

pý1 ´ tpy2 ´ y1qq dt ` py2 ´ y1qˆ 1

0

px1 ` tpx2 ´ x1qq dt

“ px2 ´ x1qˆ

ý1 ´ y2 ´ y1

2

˙

` py2 ´ y1qˆ

x1 ` x2 ´ x1

2

˙


rgeraldop



“ 1

2ppx1 ´ x2qpy1 ` y2q ` py2 ´ y1qpx1 ` x2qq “ x1y2 ´ x2y1

(b) Sea Γ “ γ1,2

Y γ2,3

Y ¨ ¨ ¨ Y γk,1

, i “ 1, 2, . . . , k, k ` 1 “ 1, donde γi,i`1

es el segmento que une pxi, yiqcon pxi`1, yi`1q.La curva Γ es cerrada. Vamos a usar el Teorema de Green para el campo F px, yq “ pý, xq y la curva Γ.Sea R la region encerrada por Γ (o sea el polıgono en cuestion).

Se tiene entonces

‰

Γ

ýdx ` xdy “¨

R

ˆ BBxpxq ´ B

By pýq˙

dA “ 2

¨

R

dA

Es decir

ApRq “ 1

2

‰

Γ

ýdx ` xdy

Pero, como Γ “ γ1,2

Y γ2,3

Y ¨ ¨ ¨ Y γk,1

,

ApRq “ 1

2

˜

‰

γ1,2

ýdx ` xdy `‰

γ2,3

ýdx ` xdy ` ¨ ¨ ¨ `‰

γk,1

ýdx ` xdy

¸

Por lo demostrado en el apartado anterior,

ApRq “ 1

2rpx1y2 ´ x2y1q ` px2y3 ´ x3y2q ` ¨ ¨ ¨ ` pxky1 ´ x1ykqs

�

(Pr. 21). (a) La curva γ es la que se muestra a continuacion:

1´1

Una parametrizacion de la curva es rpθq “`

cospθq, 1

2senpθq

˘

, 0 ď θ ď π. Entonces r1pθq “`

´ senpθq, 1

2cospθq

˘

.

La integral buscada queda

I “ˆ π

0

ˆˆ

´1

2senpθq ´ 1

2senpθq

˙

p´ senpθq ` cospθq12cospθq

˙

dθ

“ˆ π

0

ˆ

sen2pθq ` 1

2cos2pθq

˙

dθ “ 3π

4

(b) Para aplicar el Teorema de Green, anotaremos Γ “ γ Y γ1 Y γ2 Y γ3, donde γ1 es el segmento de rectaque une p´2, 0q con p´1, 0q, γ2 es la semielipse x2 ` 4y2 “ 1 que va desde p´1, 0q a p1, 0q con y ě 0 y γ3


rgeraldop



es el segmento de recta que une p1, 0q con p2, 0q. Sea R la region encerrada por Γ junto a la porpia curvaΓ. La curva Γ esta orientada en sentido antihorario.

1 2´1´2

R

γ

γ2

γ1 γ3

Anotando,

P px, yq “ ´ y

x2 ` 4y2´ y Qpx, yq “ x

x2 ` 4y2

Por el Teorema de Green, tenemos

˛

Γ


R

ˆBQBx ´ BP

By

˙

dA

que en este caso, con Γ “ γ Y γ1 Y γ2 Y γ3, toma la forma

ˆ

γ

P dx ` Qdy `ˆ

γ1

P dx ` Qdy `ˆ

γ2

P dx ` Qdy `ˆ

γ3

P dx ` Qdy “¨

R

dA

Esto implica que

ˆ

γ

P dx ` Qdy “¨

R

dA ´ˆ

γ1

P dx ` Qdy ´ˆ

γ2

P dx ` Qdy ´ˆ

γ3

P dx ` Qdy

Ahora, el area de R corresponde al area de la semicircunferencia, menos el area de la semielipse, por lo

tanto

¨

R

dA “ 7π

4

Por otro lado, parametrizando γ1 por r1ptq “ p´2`t, 0q, 0 ď t ď 1 y γ3 por r3ptq “ p1`t, 0q, 0 ď t ď 1,se obtiene

ˆ

γ1

P dx ´ Qdy “ˆ

γ3

P dx ` Qdy “ 0

Notamos ahora que γ2 es la misma curva del apartado (a), pero recorrida en sentido contrario, por lotanto

ˆ

γ2

P dx ` Qdy “ ´3π

4

Por lo tanto

ˆ

γ

P dx ` Qdy “ 7π

4´ 0 ´

ˆ

´3π

4

˙

´ 0 “ 10π

4

�


rgeraldop



(Pr. 22). Para resolver el ejercicio usaremos el Teorema de Green. Para ello debemos cerrar la curva. Seanγ “ γ1 Y γ2, Γ “ γ Y γ3 y T la region encerrada por Γ.

1

1 2

T

γ3

γ1 γ2

Sean P px, yq “ ey2

, y Qpx, yq “ 2xyey2 ` x ` ey

3

.

El Teorema de Green establece que (el signo negativo debido a la orientacion de la curva)

´ˆ

Γ


T

ˆBQBx ´ BP

By

˙

dA

que en este caso toma la forma

ˆ

γ


γ3

P px, yq dx ` Qpx, yq dy “ ´¨

T

dA

Como el area del triangulo T es 1, lo anterior queda

ˆ

γ

P px, yq dx ` Qpx, yq dy “ ´1 ´ˆ

γ3


Para calcular

ˆ

γ3

P px, yq dx ` Qpx, yq dy, parametrizamos γ3 por

rptq “ p2 ´ t, 0q, 0 ď t ď 2.

Entonces, reemplazando x “ 2 ´ t, y “ 0, dx “ ´dt, dy “ 0 en la integral,

ˆ

γ3

P px, yq dx ` Qpx, yq dy “ˆ 2

0

p´1q dt “ ´2

Por lo tanto

ˆ

γ

P px, yq dx ` Qpx, yq dy “ ´1 ´ p´2q “ 1

�

(Pr. 23). Sean P px, yq “ ´ y3

px2 ` y2q2y Qpx, yq “ xy2

px2 ` y2q2

De acuerdo a las condiciones del problema, existen dos tipos de curvas tıpicas; aquellas que contienen alorigen y aquellas que no lo contienen.


rgeraldop



(I): Supongamos que γ no contiene al origen. En este caso podemos aplicar sin problemas el Teorema deGreen, pues las derivadas parciales

BPBy “ ´3y2x2 ´ y4

px2 ` y2q3,

BQBx “ y4 ´ 3y2x2

px2 ` y2q3

son continuas en cualquier conjunto que no contenga al origen.

Sea R la region encerrada por γ junto a la propia curva γ.

Entoncesˆ

γ


R

ˆBQBx ´ BP

By

˙

dA “¨

R

0 dA “ 0

(II) Supongamos ahora que la curva γ encierra al origen. No podemos aplicar directamente el Teorema

de Green, pues en este caso las derivadas parcialesBPBy y

BQBx no resultan continuas en el punto p0, 0q.

Para resolver la integral, encerramos el origen por una circunferencia de radio ε lo suficientemente pequenapara que quede en el interior de la region determinada por γ; llamamos a esta circunferencia γ1.

Supondremos que la curva γ esta orientada en sentido antihorario y que γ1 esta orientada en sentidohorario..

Sea Γ “ γ Y γ1 y R˚ la region interior a γ y exterior a γ1 junto a las propias curvas. Γ esta orientadapositivamente.

Entonces, el Teorema de Green en este caso asegura

ˆ

Γ


R˚

ˆBQBx ´ BP

By

˙

dA “ 0

Es decir

‰

γ

P px, yqdx ` Qpx, yqdy `fi

γ1


O sea,

‰

γ

P px, yqdx ` Qpx, yqdy “ ´fi

γ1

P px, yqdx ` Qpx, yqdy

Parametrizando γ1 por rptq “ pε senptq, ε cosptqq, 0 ď t ď 2π, se obtiene

‰

γ

P px, yqdx ` Qpx, yqdy “ ´ˆ

2π

0

ˆ

´ε3 cos3ptqε4

ε cosptq ´ ε senptqε2 cos2ptqε4

ε senptq˙

dt

“ ´ˆ

2π

0

`

´ cos4ptq ´ sen2ptq cos2ptq˘

dt “ˆ

2π

0

cos2ptqdt “ π

Obviamente, si la curva esta orientada en sentido horario, el resultado sera ´π.

Por lo tanto

ˆ

γ

´ y3

px2 ` y2q2dx ` xy2

px2 ` y2q2dy “

$

&

%

0 si γ no encierra al origen˘π si γ encierra al origen.

El signo depende de la orientacion.

�


rgeraldop



(Pr. 24). r “a

x2 ` y2 ùñ lnprq “ 1

2lnpx2 ` y2q ùñ F px, yq “

´

yx2`y2 ,´ x

x2`y2

¯

.

Si P px, yq “ yx2`y2 ùñ Py “ x2ý2

x2`y2 y Qpx, yq “ ´ xx2`y2 ùñ Qx “ x2ý2

x2`y2 .

El campo F es conservativo y esta definido @px, yq P R2 ´ tp0, 0qu.

Tenemos los siguientes casos:

(a) La curva C no encierra al origen, podemos usar el teorema de Green

ˆ

C

Fdα “¨

D

pQx ´ PyqdA “ 0.

(b) La curva C encierra al origen y es recorrida en sentido positivo, no podemos usar el teorema deGreen porque la region no es simplemente conexa.

Sea γ la circunferencia x2 ` y2 “ 1 y R la region limitada por C y γ; entonces ahora podemos usarel teorema de Green

¨

R

pQx ´ PyqdA “ 0 “ˆ

CYγ

Fdα “ˆ

C

Fdα `ˆ

γ

Fdγ ùñˆ

C

Fdα “ ´ˆ

γ

Fdγ

Es decir,ˆ

C

Fdα “ˆ

´γ

Fdγ

Parametrizamos ´γ por x “ senptq, y “ cosptq, t P r0, 2πs, entoncesˆ

´γ

Fdγ “ˆ

2π

0

dt “ 2π.

(c) La curva C encierra al origen y es recorrida en sentido negativo.

Analogamente al caso anterior,

ˆ

C

Fdα “ ´2π.

Por lo tanto, los valores que puede tomar

ˆ

C

Fdα son : 0, 2π, ´2π.

El analisis anterior corresponde a una curva cerrada.

Suponga que la curva no sea cerrada y sea A yB sus puntos inicial y final respectivamente. Dado queel campo es conservativo, podemos encontrar su potencial, que en este caso es fpx, yq “ arctan

`

yx

˘

, y laintegral vale arctanpBq ´ arctanpAq.

�

(Pr. 25). Sea px ´ x0q2 ` py ´ y0q2 “ k2, con k ą 0, una circunferencia arbitraria del plano, que denotamos por C.

Una parametrizacion de esta circunferencia es

x “ x0 ` k cos θ, y “ y0 ` k sen θ, 0 ď θ ď 2π

Calculando directamente la integral:ˆ

C

F ¨ dr

“ˆ 2π

0

`

y20 ` 2y0k sen θ ` k2 sen2 θ , x2

0 ` 2x0k cos θ ` k2 cos2 θ˘

¨ p´k sen θ , k cos θq dθ

“ˆ 2π

0

`

´ky20 sen θ ´ 2k2y0 sen2 θ ´ k3 sen3 θ ` kx2

0 cos θ ` 2x0k2 cos2 θ ` k3 cos3 θ

˘

dθ


rgeraldop



“ ´2k2y0

ˆ 2π

0

sen2 θ dθ ` 2k2x0

ˆ 2π

0

cos2 θ dθ

“ ´2k2y0π ` 2k2x0π “ 2k2π px0 ´ y0qSe tiene entonces

ˆ

C

F ¨ dr “ 0 ðñ 2k2π px0 ´ y0q “ 0 ðñ x0 “ y0

Podemos concluır que la integral

ˆ

C

F ¨ dr “ 0 sobre todas las circunferencias centradas en puntos de la

forma px0, x0q, de radio cualquiera.

Observacion: tambien es posible resolver este problema usando el Teorema de Green. En este caso,usando C como arriba tenemos:ˆ

C

F ¨ dr “¨

R

2px ´ yq dA “ˆ 2π

0

2 px0 ` r cos θ ´ y0 ´ r sen θq drdθ

Integrando se llega a la misma expresion que en la otra forma de solucion.

�

(Pr. 26). Sea Γ “ C1 Y C2, donde C1 y C2 son como se ve en la figura

C1

C2

Sea P px, yq “ ex cospyq ` px ´ 1q2y3 y Qpx, yq “ ex senpyq ` px ´ 1q3y2.Como la curva Γ es cerrada, y tanto P px, yq como Qpx, yq tienen derivadas parciales continuas, entoncespodemos aplicar el Teorema de Green

‰

Γ


R

ˆBQBx ´ BP

By

˙

dA

siendo R la region encerrada por Γ, que en este caso queda

ˆ

C1


C2


R

´6px ´ 1q2y2 dA

Es decir

ˆ

C1


R

´6px ´ 1q2y2 dA ´ˆ

C2

P px, yq dx ` Qpx, yq dy p˚˚q

Calculamos ahora las dos integrales:


rgeraldop



(i) para calcular

¨

R

´6px ´ 1q2y2 dA hacemos

x ´ 1 “ r cospθq, y “ r senpθq, 0 ď r ď 1, 0 ď θ ď π

y nos queda

¨

R

´6px ´ 1q2y2 dA “ˆ π

0

ˆ 1

0

´6r5 cos2pθq sen2pθq drdθ “ ´π

8

(ii) para calcular

˛

C2

P px, yq dx ` Qpx, yq dy parametrizamos la curva C2 mediante rptq “ pt, 0q, 0 ďt ď 2, y obtenemos

˛

C2

P px, yq dx ` Qpx, yq dy “ˆ

2

0

`

et cosp0q ` pt ´ 1q303˘

dt ´`

et senp0q ` pt ´ 1q302˘

dt

y desarrollando˛

C2

P px, yq dx ` Qpx, yq dy “ e2 ´ 1

Reemplazando estos dos resultados en (**):

˛

C1

P px, yq dx ` Qpx, yq dy “ ´π

8´ e2 ` 1

�

(Pr. 27). Consideremos

γγ2 R

Sea Γ “ γ Y γ2.

Hacemos

P px, yq “ cos´πy

2

¯

` x2 , Qpx, yq “ 4x3py ´ 1q4 ` π

2pπ ´ xq sen

´πy

2

¯

Por el Teorema de Green, tenemos

ˆ

Γ


R

ˆBQBx ´ BP

By

˙

dA

que en este caso es

ˆ

γ


γ2


R

ˆBQBx ´ BP

By

˙

dA


rgeraldop



de dondeˆ

γ


R

ˆBQBx ´ BP

By

˙

dA ´ˆ

γ2


Mas precisamente

ˆ

γ


R

12x2py ´ 1q4 dA ´ˆ

γ2

P px, yqdx ` Qpx, yqdy

Para calcular estas integrales hacemos:

R :x “ r cospθq 0 ď r ď 1

y ´ 1 “ r senpθq ´π2

ď θ ď π2

γ2 : rptq “ p0, 2 ´ tq, 0 ď t ď 2

Con esto lo anterior queda

ˆ

γ

P px, yqdx ` Qpx, yqdy “ˆ

π2

´ π2

ˆ 1

0

12r2 cos2pθqr4 sen4pθq r dr dθ `ˆ 2

0

π2

2sen

ˆ

πp2 ´ tq2

˙

dt

“ 67π

32�

(Pr. 28). Sea Γ “ γ Y γ2, siendo γ2 la recta que une los puntos pπ, πq con p0, 0q y sea R la region encerrada por Γ.Ademas, areapRq “ 11S.

Entonces, por el Teorema de Green

ˆ

Γ


R

ˆBQBx ´ BP

By

˙

dA p˚q

Hacemos P px, yq “ f 1pxq senpyq ´3y y Qpx, yq “ fpxq cospyq `8x con lo que se obtiene BQBx ´ BP

By “ 11

De esta manera, (*) toma la forma

ˆ

γ

P px, yqdx ` Qpx, yqdy `ˆ

γ2


R

11 dA

o sea,

ˆ

γ


γ2

P px, yqdx ` Qpx, yqdy ` 11S p˚˚q

Para concluır, solamente nos falta calcular

ˆ

γ2

P px, yqdx ` Qpx, yqdy.

Para calcularla, parametrizamos la recta que une pπ, πq con p0, 0q por

rptq “ pπ ´ t, π ´ tq, 0 ď t ď π

Ası, xptq “ π ´ t, dx “ ´dt, yptq “ π ´ t, dy “ ´dt


rgeraldop



Reemplazando en la integral

ˆ

γ2

P px, yqdx ` Qpx, yqdy “ˆ π

0

`

´f 1pπ ´ tq senpπ ´ tq ´ fpπ ´ tq cospπ ´ tq ´ 5pπ ´ tq˘

dt

“ˆ π

0

`

´f 1pπ ´ tq senpπ ´ tq ´ fpπ ´ tq cospπ ´ tq˘

dt ´ 5

ˆ π

0

pπ ´ tqdt

“ pfpπ ´ tq senpπ ´ tqqˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

π

0

` 5

ˆpπ ´ tq22

˙

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

π

0

“ ´5π2

2

Reemplazando en (**), se obtiene finalmente

ˆ

γ

P px, yqdx ` Qpx, yqdy “ 5π2

2` 11S

�

(Pr. 29). Considerando u “ 1

fy v “ g en la definicion se tiene

ˆ

C

1

fdg “

ˆ

C

gx

fdx ` gy

fdy

Considerando ahora u “ gf2 , v “ f en la definicion se tiene

ˆ

C

g

f2df “

ˆ

C

g fx

f2dx ` g fy

f2dy

Restando las dos expresiones obtenidas antes

ˆ

C

1

fdg ´ g

f2df “

ˆ

C

gx

fdx ` gy

fdy ´

ˆ

C

g fx

f2dx ` g fy

f2dy

de donde se sigueˆ

C

1

fdg ´ g

f2df “

ˆ

C

f gx ´ g fx

f2dx ` f gy ´ g fy

f2dy

Si hacemos P px, yq “ f gx´g fxf2 , Qpx, yq “ f gy´g fy

f2 , notamos que el campo F px, yq “ pP px, yq, Qpx, yqqes un campo conservativo con funcion potencial hpx, yq “ g

f, y como C es una curva cerrada

ˆ

C

1

fdg ´ g

f2df “

ˆ

C


C

F px, yq ¨ dr “ 0

�

(Pr. 30). Debemos calcular

I “¨

R

„ˆBuBx ´ Bu

By

˙

vpx, yq `ˆBv

Bx ´ BvBy

˙

upx, yq

dA

Note que lo anterior es equivalente a

I “¨

R

„ˆBuBx vpx, yq ` upx, yq Bv

Bx

˙

´ˆBu

By vpx, yq ` upx, yq BvBy

˙

dA


rgeraldop



“¨

R

ˆ BBx pu vq ´ B

By pu vq˙

dA

Poniendo P px, yq “ u v, Qpx, yq “ u v, se tiene que I “¨

R

ˆBQBx ´ BP

By

˙

dA.

Por el Teorema de Green, si γ es la curva frontera de R,

ˆ

γ


R

ˆBQBx ´ BP

By

˙

dA “ I

Solo debemos calcular

ˆ

γ

P px, yqdx ` Qpx, yqdy.

Ahora, como se indica que sobre la frontera de R, es decir sobre γ, se cumple upx, yq “ 1 y vpx, yq “ y,tenemos lo siguiente

ˆ

γ


γ

y dx ` y dy

Parametrizando γ por rpθq “ pcospθq, senpθqq, con 0 ď θ ď 2π, la integral del lado izquierdo de la ultimaigualdad:

ˆ

γ

y dx ` y dy “ˆ

2π

0

´ sen2pθq dθ ` senpθq cospθq dθ “ ´π

Por lo tanto I “ ´π

�

(Pr. 31). Para resolver esta integral usaremos el Teorema de Green, que en este caso toma la forma

ˆ

γ

y3

3xdx ` ey

2

dy “¨

R

ý2

xdA

Para resolver esta ultima integral, usaremos un cambio de variable.

u “ y2

x, 2 ď u ď 4

v “ yx2 ,

3

2πď v ď 3

π

La region R se muestra a continuacion

0 1 2 3

1

2

3

Entonces

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

´ y2

x2

2yx

´ 2yx3

1

x2

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ 3y2

x4


rgeraldop



El jacobiano para este cambio de variable es J “ 1

3v2

De este modo

¨

R

ý2

xdA “

ˆ

2

0

ˆ

3{π

3{2π

´ u

3v2dv du “ ´2π

3

�

(Pr. 32). (a) Haremos Γ “ α Y β, donde

β C2 b αC3c

Note que

¨

R

ˆBQBx ´ BP

By

˙

dA “ 0.

Sean Rα la region exterior a C3 e interior a α y Rβ la region exterior a C2 e interior a β

Por el Teorema de Green:

ˆ

α

P px, yqdx ` Qpx, yqdy ´ˆ

C3


Rα

ˆBQBx ´ BP

By

˙

dA “ 0

de donde

ˆ

α


C3

P px, yqdx ` Qpx, yqdy “ I3 “ 1

De la misma manera

´ˆˆ

β


C2

P px, yqdx ` Qpx, yqdy˙

“¨

Rβ

ˆBQBx ´ BP

By

˙

dA “ 0

y entonces

ˆ

β


C2

P px, yqdx ` Qpx, yqdy “ Í2 “ ´2

Por lo tanto

ˆ

Γ


α


β

P px, yqdx ` Qpx, yqdy “ 1 ´ 2 “ ´1


rgeraldop



(b) Sea Γ1 “ γ1 Y γ2 como en la figura:

C1

C2 C3

a

b c

γ2

γ1

Separando como antes, y usando el teorema de Green:

´ˆˆ

γ1

`ˆ

C2

`ˆ

C3

˙

“ 0 ùñˆ

γ1

P px, yqdx ` Qpx, yqdy “ Í2 ´ I3 “ ´3

ˆ

γ2

´ˆ

C2

“ 0 ùñˆ

γ1

P px, yqdx ` Qpx, yqdy “ I1 “ 4

De esta forma

ˆ

Γ1


γ1


γ2


(c) Si existiera tal curva, entonces existen enteros x, y y z (que representan el numero de vueltas de I1,I2 e I3 respectivamente) tales que 4x ` 2y ` 2z “ 1.

Pero entonces, 2x ` y ` z “ 1

2, y esto no puede ser, pues x, y y z son enteros.

�


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