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Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes. Plan. moteur 1. moteur 3. Sous caisse. sellerie 2. sellerie 4. mécanique 1. sellerie 6. mécanique 3. sellerie 8. mécanique 4. poste de conduite. porte. - PowerPoint PPT Presentation
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Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 1
Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes
Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 2
Plan
Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 3
Contexte industriel / Fabrication d'un véhicule
• 4 étapes : emboutissage, tôlerie, peinture, assemblage
• Processus de montage– Graphe de montage
moteur 1
moteur 3
sellerie 2 sellerie 4
Sous caisse
mécanique 3sellerie 6mécanique 1
poste de conduite
mécanique 4sellerie 8
porte
Résolution d’un problème d’agencement d’équipements par Programmation Par Contraintes 4
Contexte industriel / Description de l’atelier
• Manutention dans l’atelier :– Des magasins alimentent en pièces les tronçons avec
une flotte de véhicules de manutention
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Etat de l'art / Problématique et Evaluation
• Problématique générale du facility layout : Positionner des zones dans un espace défini de
manière à minimiser les flux, les encombrements, …Exemple : aéroports, hôpitaux, …
• Evaluation d'un agencement, 2 points de vue de modélisation: – « relationship chart » Max z = somme somme rij*xij
rij : score d'adjacence entre la zone i et la zone j xij : binaire 1 si i et j adjacents 0 sinon
– « from-to chart » Min z = somme somme fij*cij*dij fij : flux entre la zone i et j ; dij : distance entre i et jcij : coût en unité de flux et de distance entre i et j
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Etat de l'art
• Représentation graphique – Discrète (ensemble des positions déterminé par une
grille)– Continue (infinité de solution)
• Optimisation d’un agencement :– Représentation topologique– Représentation par graphe d’adjacence– Représentation par arbres de découpes– Affectation quadratique – Programmation linéaire en nombres entiers
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Etat de l'art / Optimisation
• Représentation topologique– Adaptées aux approches constructives (ex : SHAPE) et
recherche locale (ex : CRAFT)
• Graphes d'adjacences– Graphe dont les nœuds représentent une zone et les
arêtes les relations d'adjacences entre les zones
• Arbre de découpe (slicing tree)– Création d'un "floorplan" (une partition du rectangle
initial) qui peut se représenter par un arbre (binaire) dont chaque nœud correspond à un rectangle
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Etat de l'art / Optimisation
• Problème d'affectation quadratique (FAQ)– Affecter à chaque zone une et une seule position
Min z = Σ Σ Σ Σ fij.cij.dlk.xik.xjlfij : flux entre les zones i et j cij : coût entre les zones i et j dlk : distance entre la position l et k xik : 1 si la zone i est dans la position j, 0 sinon
• Programmation Linéaire en Nombres Entiers (PLNE)– Variables pour les coins de chacune des zones, pour les
informations entre deux zones (flux, coût, localisation)
m m m m
i=1 j=1 k=1l=1
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Etat de l'art / Synthèse
• Beaucoup de travaux dans la littérature
• Travaux présentés sont :– soit très génériques ne prennent pas en compte
certains aspects de notre problème– soit très spécifiques ils sont difficiles à réutiliser dans
d'autres contextes que celui spécifié
• Pas de travaux avec la Programmation par Contraintes
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Définition du problème
• Positionner les zones (tronçons et magasins) de manière à minimiser les coûts en fonction des flux réels transitant dans l’atelier en :– suivant le graphe de montage et de manutention– gérant l’entrée et la sortie de la chaîne sur l’atelier– créant un réseau d’allées pour l’approvisionnement
• Tronçons : forme rectangulaire, une entrée et une sortie à l’opposée sur les largeurs et donc 4 orientations (, , ,)
• Magasins : carrés, pas d’entrées ni de sorties donc pas d’orientations
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Spécificités du modèle
• Modélisation avec la Programmation Par Contrainte
• Evaluation : «from-to» chart
• Représentation graphique discrète
• Gestion du réseau d’allées avec un rajout d’une demi-allée pour chacune des zones
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Spécificités du modèle
• Calcul des distances par la méthode de Manhattan : permet de prendre en compte le réseau d’allées
• Pour éviter d’allonger la distance de convoyage entre l’entrée de l’atelier et le premier tronçon : nous collons l’entrée du tronçon à l’entrée du magasin
• Pour la sortie, la voiture étant terminée à la fin de la chaîne, la distance qui sépare le dernier tronçon de la sortie est moins important
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Données du problème
• Bx, By : longueur et largeur du bâtiment
• xs,ys : abscisse et ordonnée de la sortie de l’atelier
• xe,ye : abscisse et ordonnée de l’entrée de l’atelier• Li, li : longueur et largeur de chaque tronçon et
magasin (Li=li)• M : nombre de magasins • T : nombre de tronçons • aij : les positions d'arrivées sur la chaîne principale des
chaînes secondaires (entrées, centre ou sortie) • fij : flux entre 2 zones• cij : coût unitaire en unité de flux et de distance entre
2 zones
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Variables du modèle
• xi, yi : (≥ 0) : abscisse et ordonnée du centre de chaque zone
• hi, vi : {Li, li} : taille de la zone i en abscisse et ordonnée • eih, eiv : {-1, 0, 1} : entrée du tronçon i en abscisse et
ordonnée (-1 si inférieure au centre, 0 si égale et 1 si supérieur)
• Distances : en fonction des autres variables mais différentes en fonction du flux (production ou manutention)– Distance de manutention (magasin i et tronçon j)
dij = |xi - xj| + |yi - yj| – Distance de production
dij = |(xi - eih.hi/2) - (xj - aj.ejh.hj/2)| + |(yi - eiv.vi/2) - (yj - aj.ejv.vj/2)|
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Fonction objectif
• Manutention : flux Magasins - Tronçons • Production : flux Tronçons - Tronçons
– L : indice du dernier ronçon de la chaîne d montage– dls = |(xl - elh.hl/2) -xs| + |(yl - elv.vl/2) – ys|
Min z = Σ Σ fijcijdij + Σ Σ fijcijdij + flsclsdls T T
i=1 j=1
M T
i=1 j=1
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Contraintes
• Positionnement dans l'atelier– hi/2 ≤ xi ≤ Bx-hi/2 et vi/2 ≤ yi ≤ By-vi/2 i M T
• Dimensions et orientation des tronçons– si longueur verticale alors largeur horizontale et vice et
versa : hi + vi = Li + li i T
– orientation verticale ou horizontale : eih=0 <=> eiv!=0 i T– entrée du coté de la largeur : eih!=0 => hi=Li et eiv!=0 =>
vi=Li i T
• Non superposition des zones– si superposition horizontale alors non superposition verticale :
|xi-xj| < (hi+hj)/2 |yi-yj| ≥ (vi+vj)/2– si superposition verticale alors non superposition horizontale :
|yi-yj| < (vi+vj)/2 |xi-xj| ≥ (hi+hj)/2
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Approches de résolution
• Modèle présenté peut efficace partage de la résolution du problème en 3 sous problèmes:– Placement de la chaîne principale– Placement des chaînes secondaires– Placement des magasins
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Résolution de la chaîne principale
• Modèle présenté peut efficace partage de la résolution du problème en 3 sous problèmes:– Placement de la chaîne principale– Placement des chaînes secondaires– Placement des magasins
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Résolution des chaînes secondaires
• Modèle présenté peut efficace partage de la résolution du problème en 3 sous problèmes:– Placement de la chaîne principale– Placement des chaînes secondaires– Placement des magasins
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Placement des magasins
• Problème d’affectation des positions pour les magasins
• Modèle en PLNE : / Bx/5By/5 | Min z = ∑ ∑ ∑ fijcijdijkxik | i M j T k=1 | sujet à : | xik = 0 (i M,
| k une des case du magasin i occupée par un | tronçon ou hors de l’atelier)< Bx/5By/5 | ∑ xik =1 (i M) | k=1 | ∑ ∑ xij ≤ 1 (1 ≤ k ≤BxBy) | i M l L | où L est l’ensemble des case tel que k soit occupée si le \ magasin i est en l