Que entiende por SistemaEs una combinacin de componentes que
funcionan en conjunto para lograr un objetivo en comn. Los
componentes se definen como unidades especficas entorno a un
sistema.Que es un diagrama CausalEs una representacin que agrupa
los elementos principales del sistema, por medio, de bucles de
retroalimentacin y sus relaciones causales entre los
integrantes.Que es un diagrama ForresterEs un diagrama grfico que
permite interpretar el diagrama causal en trminos para validar un
modelo; en donde, se ubican los diferentes elementos que forman
parte considerando cuando estos representen una acumulacin, una
razn de cambio o un clculo intermedio entre la razn de cambio o la
acumulacin.Describa en forma resumida el metodo numrico de EulerEs
un mtodo para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias por
medio de la integracin numrica. Se utilizan un valor inicial
conocido.
Consiste en incrementar paso a paso (h) la variable
independiente (x)y encontrando la imagen (y) siguiente por medio de
la derivada. De la primera derivada se tiene una estimacin directa
de la pendiente
Donde f(xi,yi) es la ecuacin diferencial evaluada en xi, yi; por
tanto, esta estimacin se reemplaza en siguiente ecuacin
obteniendo
Por tanto, se ha determinado un valor nuevo de y empleando la
pendiente, que no es ms que, la primera derivada de la funcin en el
valor inicial de x.
Describa en forma resumida el mtodo numrico de Runge-KuttaSe
determina como un conjunto de mtodos numricos iterativos para la
resolucin aproximada de ecuaciones diferenciales ordinarias con
valor inicial. Entonces se tiene una ecuacin ordinaria
Con valor inicial
Este mtodo en la forma ms general se tiene
Donde h es el paso de iteracin o incrementos evaluados con un
mximo de iteraciones y se tiene
Resolviendo se tiene la ecuacin
Para n =0,1,.n-1; con la solucin que se da en un intervalo
dadoPor tanto
De esta manera, el valor siguiente y(n+1) es encontrado con el
valor presente (yn) mas el producto del rango del intervalo h, por
la pendiente en cuestin y la pendiente es un promedio ponderado de
pendientes.
EJERCICIOSa) EJERCICIO 1Un pndulo simple representa las
siguientes caractersticas: m=1[kg], g=9,8[m/s2], l=1[m],
B=2[Nm/(rad/s), J=1.5[kgm2]. La ecuacin que representa el modelo
del sistema es:
Se pide:
Simular el sistema en VENSIM mediante un diagrama de Forrester
con un torque de entrada de T=0[Nm]. Comentar los resultados.
Se obtienen los siguientes diagramas en funcin del tiempo de
aceleracin (variacin de la velocidad), velocidad (variacin del
desplazamiento) y desplazamiento angular
Con los resultados obtenidos en las grficas se observa que al no
existir un fuerza exterior sobre el pndulo (Torque = 0), el
movimiento mantiene sus condiciones de reposo, por lo cual, se
mantiene una lnea horizontal en 0, tanto para el desplazamiento,
velocidad, as como aceleracin. Cambiar el torque de entrada por una
funcin escaln a un tiempo t=3[s], la cual tendr un valor de
T=2[Nm]. Comentar los resultados.
Aceleracin
Velocidad
Desplazamiento
Debido a que existe el torque a partir de los 3 segundos, las
grficas tanto de aceleracin, velocidad y desplazamiento inician sus
variaciones a partir de la funcin escaln.El pndulo se encuentra en
su posicin de equilibrio, en donde, el ngulo es cero hasta los 3
[s], sin embargo, por la aplicacin del Torque constante el pndulo
comienza a oscilar en un rango de 12 [s] hasta la posicin mxima de
0.3 [rad] y cambia hasta mantenerse en una nueva posicin de
equilibrio producida por el torque de 0.2 [rad], en donde, deja de
moverse.Para la velocidad, de similar manera, el movimiento inicia
a los 3 [s], alcanza la velocidad mxima de aproximadamente 0.4
[m/s] en la primera oscilacin, sin embargo, a medida que transcurre
el tiempo hasta los 15 [s] la velocidad en las oscilaciones
disminuye hasta equilibrarse y mantenerse en reposo.La aceleracin,
de igual forma, debido al impulso inicial de torque, comienza con
intensidad para generar el movimiento. La aceleracin es mxima al
inicio del movimiento.La velocidad as como la aceleracion son
opuestas, es decir, cuando la aceleracion es casi cero, es cuando
la velocidad es la mxima, y cuando la velocidad es cero, la
aceleracion es la mxima Esto ocurre cuando hay cambio de direccin
en el desplazamiento de las oscilaciones del pendulo.Se nota que el
desplazamiento y la aceleracion son inversas, mientras que, con el
desplazamiento las curvas se desfasan por 1 [s].
Cambiar el torque de entrada por una funcin senoidal con
respecto al tiempo: T=1.2sen(t)[Nm]. Comentar los resultados.
Aceleracin
Velocidad
Desplazamiento
Debido al factor externo del torque senoidal, el desplazamiento
es peridico y no se equilibra con el tiempo, por el contrario, las
funciones son continuas y tienden con las oscilaciones del pndulo
hasta que se quite el torque.Se observa que aproximadamente a los 5
[s] las oscilaciones del pendulo se mantienen peridicas uniformes;
ya que, al inicio del movimiento tanto para el desplazamiento,
velocidad y aceleracion fluctan con valores mayores al resto del
movimiento.En la primera oscilacin del pendulo alcanza la mayor
amplitud con 0.2 [rad], por tanto, en este punto velocidad cambia
de direccin y es cero, mientras que la aceleracion alcanza su mayor
valor con 0.3 [m/s2].Debido a que tanto el torque con el
desplazamiento son funciones que no se desfasan, en el retorno de
la primera oscilacin, para compensarse el movimiento tiende a
reducir su velocidad, por lo cual, su variacion hace que disminuya
la aceleracion y la amplitud de oscilacin se reduce hasta
mantenerse peridico en la siguiente ida del pendulo.De esta forma,
el movimiento se equilibra en una funcin senoidal tanto para
desplazamiento y aceleracin en la misma fase con amplitud inversa,
y la velocidad desfasada por 1 [s].
Cambiar el torque de entrada por una funcin que tiene la
siguiente tendencia y comentar los resultados obtenidos:
Aceleracin
Velocidad
Desplazamiento
El anlisis se determina dentro de un rango de la tala de valores
[0,9] [s]. El torque da la lnea de tendencia para el desplazamiento
que es variable y creciente en cada segundo.Las oscilaciones de
desplazamiento se realizan en un solo lado fuera de la posicin de
equilibrio cero, y se mantiene a 0.5 [rad] de amplitud. Estas
oscilaciones permite identificar que cada vez que hay un cambio de
direccin en las oscilaciones, es donde se produce que la velocidad
sea nula y la aceleracion sea mxima, lo que permite continuar con
el movimiento.La aceleracion como la velocidad no mantienen
oscilaciones peridicas a medida que aumenta la amplitud en la
oscilacin la velocidad aumenta, sin embargo la aceleracion
disminuye.Debido a que el torque dentro de 4 a 6 [s] disminuye,
existe la mayor oscilacin, entonces aumenta la velocidad y la
aceleracion
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONESCONCLUSIONESPor medio de la
estructuracin y separacin correcta de las partes que conforman un
problema, al aplicar una secuencia correcta de procedimientos como
son los diagramas, se obtienen soluciones ordenadas para analizar
el entorno de un sistema.La diagramacin con Forrester permite
visualizar adecuadamente la resolucin en funcin del tiempo y las
variables involucradas dentro del problema con tiles herramientas
para hallar un resultado para su interpretacin La herramienta
Vensim permite la interpretacin de resultados por medio de grficas
en funcin del tiempo, las cuales, resultan convenientes debido a
que se pueden estudiar el comportamiento variado de un sistema a lo
largo del intervalo de tiempo que sea adecuado.El warning que
aparece se debe a que el rango de tiempo considerado en las
opciones iniciales fue de 24 horas con el valor inicial de 1 hora,
sin embargo, al introducir los valores de tiempo para la
temperatura ambiental se determin que el rango inicio a partir de
las 0 horas hasta las 23 horas. Por tanto, el programa necesitaba
calcular hasta el valor 24, pero, nuestros valores llegaban hasta
las 23 horas, es por eso, que se activa el warning.Para la solucin,
se configura el tiempo en las opciones iniciales 23 horas, mas no,
24.
RECOMENDACIONESAnalizar correctamente el tipo de variables que
se van a utilizar y la funcin que representan en el problema, sean
acumuladores, flujo o auxiliares para construir el diagrama
Forrester.Examinar las herramientas del paquete VENSIM y sus
funcionalidades para resolver acertadamente los diagramas y sus
relaciones dentro del problema.
