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FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC)
FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC)
COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA
Estrada da Caroba, 685, Campo-Grande/RJ - Tel: 3408-8450
Sites: www.feuc.br, www.sites.google.com/site/FEUCmat
E N A D E 2011
MATEMÁTICA
LICENCIATURA
QUESTÕES RESOLVIDAS
2
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I N T R O D U Ç Ã O
Estamos apresentando a resolução da prova do ENADE, pelos Professores Alzir
Fourny Marinhos e Rodrigo Neves Figueiredo dos Santos, aplicada em 2011 para os cursos de
Licenciatura em Matemática.
Este trabalho tem o objetivo de aproximar alunos e professores das Faculdades
Integradas Campo-Grandenses ao Projeto ENADE 2014.
Reconhecemos que fazemos um trabalho de qualidade. Isto fica determinado pela
nota 3,0 no ENADE 2008 e ENADE 2011. Mas, necessariamente, ao pensarmos que temos a
necessidade de expandirmos nossos conhecimentos estaremos no caminho progressivo.
Esperamos que, alunos e professores, possam colaborar informando sobre possíveis
erros que por ventura tenhamos cometido.
A digitação foi realizada pelo Professor Alzir Fourny Marinhos.
Dedicamos este trabalho aos alunos do Curso de Licenciatura em Matemática das
Faculdades Integradas Campo-Grandenses.
Alzir Fourny Marinhos
E-mail: [email protected]
Rodrigo Neves Figueiredo dos Santos
E-mail : [email protected]
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RESOLUÇÃO:
Em Ax = b, A representa uma matriz formada pelos coeficientes do sistema, x
representa a matriz das variáveis e b a matriz dos termos independentes.
Para nosso caso, b = 0 (sistema homogênio) e determinado. Apenas a solução
(0, 0, 0, . . .).
Veja, como exemplo, o sistema homogênio determinado. Apenas com a solução
(0, 0, 0):
6x = 0
2x + 5y = 0
3x – 3y + 7z = 0
4x + y – 2z = 0
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Representamos Ax = b como
0
0
0
0
.
214
733
052
006
z
y
x
As colunas da matriz A são linearmente independentes pois x( 6, 2, 3, 4) +
y(0, 5, -3, 1) + z(0, 0, 7, -2) = (0, 0, 0,0) tem como solução apenas x=0, y=0 e z=0,
chamada solução trivial . Para que a solução seja trivial as colunas da matriz A devem
ser linearmente independentes.
Veja que em 6x = 0 temos x = 0; se x = 0 temos em 2x + 5y = 0 o valor de y = 0; em
3x – 3y +7z = 0 temos x = 0, y = 0 e z = 0. Então para 4x + y – 2z = 0 teremos também
x = 0, y = 0 e z = 0.
Se existirem escalares x, y, z nem todos nulos, os vetores são linearmente
dependentes.
Análise da afirmação I: As colunas da matriz A são linearmente dependentes – Falso.
Análise da afirmação II: O sistema de equações lineares Ax = b tem infinitas soluções
– Falso. Tem uma única solução (dado na questão).
Análise da afirmação III: Se m > n, então a matriz A tem m-n linhas que são
combinações lineares de n linhas – Verdadeiro.
Quando m (número de linhas ou equações) menor que n (número de colunas ou
incógnitas) o sistema será sempre indeterminado.
Quando m (número de linhas ou equações) maior que n (número de colunas ou
incógnitas) tiver solução única, haverá m - n equações que são combinações lineares
de n linhas.
Veja, no sistema dado como exemplo, que 4x + y – 2z = 0 tem a mesma solução das
outras equações, com x = 0, y = 0 e z = 0, sendo então uma equação equivalente às
outras. Logo será uma combinação linear das outras três. Tem 1 linha (m – n linhas)
como combinação linear de 3 linhas (n linhas).
Se tivermos cinco linhas (m) e duas colunas (n) significa que teremos duas variáveis e
teremos duas equações para encontrarmos a solução trivial. Teremos três linhas
(m – n linhas) como combinação linear de duas linhas (n linhas).
Análise da afirmação IV: A quantidade de equações do sistema Ax = b é maior ou
igual à quantidade de incógnitas - Verdadeiro.
m (número de linhas ou equações) maior ou igual à n (número de colunas ou
incógnitas) é uma condição para que o sistema homogênio tenha solução única
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(determinado). A outra condição é que colunas da Matriz A sejam linearmente
independentes.
RESPOSTA: LETRA C
RESOLUÇÃO:
Note que dividindo todos os termos de e
nenn
e
en nn
n
! por n positivo
mantêm-se a desigualdade.
ne
nen
n
n
ne
en nnn
!
e
ne
n
n
e
e nnn
!
Vamos avaliar por parte:
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1- ee
e
e
e
e
e n
n
1lim
0
11
2- e
en nn
n
11
.lim
nlim
eee
en
n
n
n11
.1lim.
11
Veja que n
limee
een
n
n
n1
lim1
11
.
Pelo teorema do confronto:
e
ne
n
n
e
e n
n
n
n
n
n lim
!limlim
en
n
e
n
n
1!lim
1
Logo en
nn
n
1!lim
RESPOSTA: B
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RESOLUÇÃO:
Para o grupo de permutações S3 temos seis elementos:
.123
3210
231
321min
123
321
;213
321;
132
321;
312
321;
231
321;
321
321
5
43210
arDeter
f
ffffef
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1 leva ao 3 e 3 leva ao 2. Logo 1 leva ao 2.
2 leva ao 2 e 2 leva ao 3. Logo 2 leva ao 3.
3 leva ao 1 e 1 leva ao 1. Logo 1 leva ao 1.
Daí:
123
3210
231
321=
132
321
RESPOSTA: B
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RESOLUÇÃO:
Na figura I, o semicírculo formado pelo contorno de A1 tem diâmetro r (O lado do hexágono inscrito na circunferência é igual ao raio da circunferência).
Área do semicírculo acima = 8
)2
(2
1 22 rr
Na figura II o semicírculo formado pelo contorno de A2 tem diâmetro 2r . O lado
do quadrado inscrito na circunferência de raio r é igual a 2r .
Área do semicírculo acima = 4
)2
2(
2
1 22 rr
Se ligarmos os extremos de cada lúnula ao centro O, considerando o segmento que é lado tanto do hexágono regular em I como do quadrado em II, obteremos dois triângulos.
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No caso da figura I será um triângulo equilátero de lado r que é o lado do hexágono
regular inscrito. A altura do triângulo e também apótema do hexágono é 2
3r.
A área do triângulo é 2
2
3.r
r=
4
.32r
No caso da figura II será um triângulo retângulo isósceles de catetos r e hipotenusa
2r (lado do quadrado inscrito). A altura do triângulo é 2
2r.
A área do triângulo é 2
2
2.2r
r
2
.2r
Se ligarmos os extremos de cada lúnula ao centro O, considerando o arco da circunferência de raio r, obteremos dois setores circulares.
No caso da figura I o setor circular tem área igual a 0
02
360
60r =
6
2r.
No caso da figura II o setor circular tem área é igual a 0
02
360
90r = .
4
2r
Com os resultados acima podemos calcular as áreas A1 e A2 (área das lúnulas):
A1 = 24
)36(
44
3
8
2222 rrrr
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A2= 2424
2222 rrrr
Agora vamos determinar a razão entre as áreas A1 e A2 .
12
36
2
24
)36(
2
2
r
r
12
36 é irracional.
A razão entre as áreas A1 e A2 das lúnulas L1 e L2 não é um número racional.
Veja que A1 e A2 não são representadas da forma . q, onde q é racional. RESPOSTA: E
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RESOLUÇÃO:
Análise dos itens.
O item I é falso.
Na equação Z4 = 1 temos quatro soluções.
Veja que temos as soluções reais 1 e -1. As outras duas soluções são complexas.
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As quatro soluções estão distribuídas num quadrado ABCD inscrito numa
circunferência de raio 1 com uma diferença de 900.
O quadrado tem vértices em 1 (ponto D) e -1 (ponto B) no eixo real e tem vértices i
(ponto A) e –i (ponto C) no eixo imaginário (no Sistema Argand-Gauss).
A diagonal do quadrado vale 2 e é igual a L 2 .
Logo D = L 2
2 = L 2 e L = 22
2 .
Veja que as soluções de Z4 = 1 são os vértices de um quadrado de lado 2 e não 2.
O item II é verdadeiro.
IZI = 1.
Como IZI = 22 yx temos
22 yx = 1 e x2 + y2 = 1, que é uma circunferência de
raio 1.
O item III é falso.
Z = x + iy onde Re(Z) = x e Im (Z) = y.
Logo Re(Z) + Im(Z) = 1.
x + y = 1 e y = 1 – x.
A reta y = -x + 1 tem coeficiente angular -1.
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Observação: Nesta questão é colocado que o coeficiente angular é 4
3rad, que não
é correto. O ângulo4
3é a inclinação da reta e é dado por arc tg -1, correspondendo
ao ângulo que gera o coeficiente angular –1.
RESPOSTA: B
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RESOLUÇÃO:
O trabalho realizado ao longo de uma curva C (sentido horário) de uma partícula é
dado pela integral de linha T = C
dryxF ),( .
Como as derivadas parciais de
jxiyyxF ),( são contínuas, suaves e iguais
temos
jNiMF onde M = - y e N = x e ).(00 iguaisx
Me
y
M
O campo é conservativo e podemos usar o teorema de Green que afirma:
).(2
22)1(1()(),(
lagodoáreaL
dAdAdAdAy
N
x
MdryxFT
LLLLC
.
Logo T = 2L e L = .2
T
Como a área complementar ao lago é 2
T, temos P - L =
2
T.
Para P (área total do parque) temos:
P= 2
T+ L
P = 2
T +
2
T
P = T
Resposta: A
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RESOLUÇÃO:
Seja x o preço da tabela.
(x + 20% x) = 1320
(x + 0,2x) = 1320
x (1 + 0,2) = 1320
1,2 . x = 1320
x = 2,1
1320
x = 1100
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I – Entrada de 25%, resta 75% em 5 vezes. Cada parcela será 1655
1100.75,0
II – Entrada de 60%, resta 40% em 8 vezes. Cada parcela será 558
1100.40,0
RESPOSTA: A
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RESOLUÇÃO:
P(x) = M(x)
- 0,006 x2 + 0,8 x + 14 = 0,004 x2 + 0,9 x + 8
0,01 x2 + 0,1 x – 6 = 0
x2 + 10 x – 600 = 0
20
2
5010
2
250010
2
600.1.410010
x
x
RESPOSTA: C
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RESOLUÇÃO:
Devemos observar as regiões entre o gráfico da função y = x4 – 5 x2 + 4 e o eixo x.
Fazendo y = x2
y 2 – 5 y + 4 = 0
11
24
:
1
4
2
35
2
16255
2
1
x
x
Daí
y
y
y
O gráfico da função f(x) = x4 – 5 x2 + 4 é:
+ - + - +
-2 -1 1 2
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Observar que a região entre 0 e 1 está acima do eixo x e a região entre 1 e 2 está
abaixo do eixo x. Isso é possível atribuindo valores para x e verificando os sinais das
imagens.
Para x = 2
1temos y = 0
16
45
Para x = 2
3temos y = 0
16
35
Integrando:
.15
60
15
22
15
38)
15
38
15
16(
15
38)
3
60253(
15
12020096
15
60253
)43
5
5
1()8
3
40
5
32()4
3
5
5
1(
)43
5
5()4
3
5
5()()(
2
1
351
0
1
0
352
1
ua
xxx
xxx
dxxfdxxfA
RESPOSTA: D
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RESOLUÇÃO:
Item A
V = x3 então x = 3 V
2V = y3, então y = 3 2V
33
3
2
1
2
V
V
y
x; Não é racional.
Item B
Ry
Rx
2
2
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22
2 R
R
R
y
x
; É racional.
Item C
Ry
Rx
2
2
22
2 R
R
R
y
x ; Não é racional.
Item D
Ry
Rx
2
2
R
R
y
x
2
2; Não é racional.
Item E
ly
lx
2
22
l
l
y
x; Não é racional.
Resposta: B
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RESOLUÇÃO:
B(t) = 9t – 2.3t + 3
9t – 2.3t + 3 > 6
(3t)2 – 2.3t + 3 > 6
x = 3t
x2 – 2x + 3 > 6
x2 – 2x – 3 > 0
x2 – 2x – 3 = 0 tem -1 e 3 como raízes.
Veja o gráfico da função f(x) = x2 – 2x – 3
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+ +
-1 - 3
x < -1 (não serve).
Veja: 3t < -1 não tem solução para t.
Para x > 3:
3t > 3
t > 1
RESPOSTA: A
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RESOLUÇÃO:
I- Falso
Seja a = 3, b = 5 e c = 7.
a divide (b + c) e a não divide b; a não divide c.
II- Verdadeiro
Se mdc(a, b) = 1, eles não tem fatores primos em comum pois são primos entre si, daí
a não dividir b. Logo como a divide bc e a não divide b, então a tem que dividir c.
III- Falso
Seja a = 6 (não primo), b = 4 e c = 9.
a divide b.c, pois b.c = 4.9 = 36 e 6 divide 36, mas a não divide b (6 não divide 4) e a
não divide c (6 não divide 9).
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IV- Verdadeiro
Se a divide b significa que todos os fatores primos de a também estão em b. Mas, se
mdc (b, c) =1 é porque b e c não tem nenhum fator primo em comum e logo nenhum
comum em a e c. Daí mdc (a, c) =1.
RESPOSTA: D
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RESOLUÇÃO:
11722)(
124117113
)(
2'
23
xxxA
xxx
xA
x2 – 22 x + 117 = 0 tem raízes 9 e 13.
Sinal da derivada, isto é, da função A’(x) = x2 – 22 x + 117:
Sinal de A’(x) + - +
crescente 9 decrescente 13 crescente
Veja que A(x) representa a arrecadação mensal que é crescente até o nono mês, a
partir daí decrescendo até o décimo terceiro mês e a seguir retomando o
crescimento.
RESPOSTA: D
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RESOLUÇÃO:
ux = f’(x – 4y) . 1 + g’(x + 4y) . 1
uxx = f” ( x – 4y) . 1 + g” (x + 4y) . 1
uxx = f” ( x – 4y) + g” (x + 4y)
uy = f’(x – 4y) . (-4) + g’(x + 4y) . 4
uyy = f” ( x – 4y) . 16 + g” (x + 4y) . 16
uyy = 16 [ f” (x – 4y) + g” (x + 4y)]
uyy = 16 uxx
16xx
yy
u
u
RESPOSTA: E
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RESOLUÇÃO:
2a = 30 ; a = 15
2c = 50; c = 25
c2 = a2 + b2
252 = 152 + b2
625 = 225 + b2
b = 20
Vejamos a primeira afirmativa:
A diretriz de um foco é a reta perpendicular ao eixo focal que está a uma distância
c
a 2
do centro.
Como o foco F1 = (-25, 0) a reta diretriz será .2
c
ax
25
152
x .
Daí x = - 9 e x + 9 =0. Afirmativa verdadeira.
Vejamos a segunda afirmativa:
12
2
2
2
b
y
a
x
12015 2
2
2
2
yx
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1400225
22
yx
. A afirmativa é verdadeira.
RESPOSTA: A
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RESOLUÇÃO:
Os Itens A e B estão errados pois não consideram o comprimento AC fixo, podendo
ter várias situações.
O item C está correto pois vai existir um ângulo em que AB
ACsen e a curva y
interceptará BD num ponto (formando um triângulo BCA, retângulo em C).
O item D está errado pois quando diminuímos temos AB
ACsen , onde AC e AB
são fixos, e neste caso AC intercepta BD em dois pontos.
O item E está correto pois quando aumentamos temos AB
ACsen , onde AC e
AB são fixos, e neste caso AC não intercepta BD.
RESPOSTA: Os itens C e E estão corretos.
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RESOLUÇÃO:
I) Verdadeira pois é a definição de derivada parcial em relação a x.
II) Verdadeira, pois é a definição de derivada implícita com regra da cadeia ( só
vale pois F(x, y, z) = 0).
III) Falso.
Tome F(x, y, z) = 0; x + y = z = 0.
x = - y – z; 1y
x
y = - x – z; 1z
y
z = - x – y; 1x
z
x
z
z
y
x
x
.. = (-1).(-1).(-1) = -1
RESPOSTA: C
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RESOLUÇÃO
O Currículo ou plano de ensino é definido como um modelo que tem uma função
social (educação de uma sociedade) e que se desdobra conforme os seguintes
valores sociais:
- Valores sociais inerentes ao processo educativo, como o meio social em que está
inserido o currículo e o ensino com significado para os estudantes levando-os às
transformações sociais.
- Valores sociais que estabeleçam uma relação entre ensino e pesquisa visando o
desenvolvimento profissional docente. Veja que o desenvolvimento profissional
docente é uma transformação social.
Veja, também, que o currículo não pode ser uma determinação do Estado ou da
Escola, não viabilizando intervenções.
RESPOSTA: D
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RESOLUÇÃO:
O planejamento, desenvolvimento e avaliação são formados por tarefas ou funções
didáticas em que o professor tem que ser capaz de ter:
- conhecimento dos conteúdos da disciplina que leciona, bem como capacidade de
abordá-los de modo contextualizado. Não basta ter somente o domínio do conteúdo
abordado no livro didático adotado e sim, de forma muito mais ampla, do conteúdo
da disciplina. Ser capaz de explanar o conteúdo sem estar engessado ao livro
didático.
- domínio de diferentes métodos e procedimentos de ensino e capacidade de
escolhê-los conforme a natureza dos temas a serem tratados e as características dos
estudantes.
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Veja que o domínio de técnicas de elaboração de provas objetivas não reflete
conhecimentos e domínios esperados pelo professor no conteúdo da disciplina.
RESPOSTA: B
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RESOLUÇÃO:
Traçando linhas horizontais em 20 anos e 60 anos verificamos, nos gráficos, que as
populações aumentam nesta faixa etária e decrescem na faixa etária entre 0 e 20
anos, nos próximos 30 anos. Isso não significa, a priori, que haja a necessidade do
ensino na modalidade de Jovens e Adultos em larga escala.
RESPOSTA: D
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RESOLUÇÃO:
O uso do computador para favorecer o processo ensino aprendizagem deve ser feito
com atividades que tenham uma problemática com significado para os alunos e que
alcancem os objetivos de ensino e aprendizagem previamente definidos. Com
autonomia, os alunos devem desenvolver as atividades fazendo conjecturas,
conclusões e discutindo-as.
O planejamento para favorecer o ensino e aprendizagem no laboratório de
informática não deve ser para o estudo dos conteúdos dados em sala ou
apresentados nos livros didáticos e sim como um laboratório de pesquisa em que os
estudantes possam fazer suas descobertas entendendo de forma significativa o que
foi dado em sala como conteúdo.
RESPOSTA: A
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RESOLUÇÃO:
O professor ao ensinar um conteúdo deve saber o seu significado, o porquê está
ensinando aquele conteúdo e conhecer suas aplicações. Todo processo do ensinar
deve ser refletido e desenvolvido a partir de uma prática social. Devemos saber qual
conhecimento deve ser ensinado na escola atendendo seu contexto social,
possibilitando a compreensão e o seu uso para promover a transformação social.
RESPOSTA: D
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RESOLUÇÃO:
Ao escolher os algarismos 0, 3, 5 e 7 devemos fazer em duas etapas:
-Terminando por zero temos, pelo princípio multiplicativo, 3 x 2 x 1= 6 (números com
algarismos diferentes).
- terminando por 3, 5 ou 7 temos, pelo princípio multiplicativo, 2 x 2 x 3 = 12
(números com algarismos diferentes).
A resposta deve ser 6 + 12 = 18.
Ao escolher 2, 4, 7 e 8 temos 4 x 3 x 2 = 24 (números com algarismos diferentes).
Ao escolher 3, 4, 5 e 6 temos 4 x 4 x 4 = 64 (números com algarismos repetidos).
Ao escolher 1, 2, 3, 4 temos 4 x 4 x 4 = 64 (números com algarismos repetidos).
RESPOSTA: D
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RESOLUÇÃO:
O ensino de matemática para o público de jovens e adultos deve ter características e
modalidades adequadas às suas necessidades e disponibilidades. O ensino de
matemática deve ser significativo, devendo ser apresentado conforme o contexto e o
sujeito social. A relevância deve ser buscada a partir de situações cotidianas
promovendo a concepção da relevância do conhecimento matemático.
Linguagem matemática, notações matemáticas e visão científica não devem ser
priorizadas no Ensino de Jovens e Adultos.
RESPOSTA: C
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RESOLUÇÃO:
Os conceitos de cilindro envolvem translação de círculo; giro de uma região
retangular em torno de uma reta; perímetro e área de círculo; superfície de tubos,
etc.
Na situação I a área da seção transversal molhada no tubo representa a superfície
lateral do cilindro e na situação II temos o conceito de volume na unidade litro sendo
medido no cilindro.
Veja que na situação I temos a representação de cilindro.
Veja que interseção de cilindro com planos não são semicircunferências.
Veja que o volume do cilindro não será igual à soma dos volumes das jabuticabas
que cabem no cilindro.
RESPOSTA: E
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RESOLUÇÃO:
A Linearidade na organização do currículo de matemática impõe uma sequência de
conteúdos em que os alunos desenvolvem em cadeia. Não significa, por exemplo,
que não possamos estar falando de números racionais (frações) quando estamos
ensinando números naturais. As crianças veem frações e números naturais juntos em
seus contextos diários. Demos um exemplo em que a estrutura de números
necessariamente não tem conexão e hierarquia como apresentado no currículo.
A afirmação que os conteúdos matemáticos são dispostos dos mais simples para os
mais difíceis e que cada novo assunto pode ser assimilado pelo aluno é falso.
Necessariamente para resolver equações a partir do segundo grau, os alunos devem
conhecer o conjunto dos números complexos, não significando que o seu
entendimento seja mais fácil do que resolver uma equação com raízes complexas.
RESPOSTA : E
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RESOLUÇÃO:
O jogo, como produção de aprendizagem matemática de forma lúdica, busca a
exploração de conceitos e procedimentos matemáticos, análise de dados e
interpretação de soluções. Através de abstrações pode testar, validar e socializar o
seu aprendizado matemático.
Esquemas de ação são caminhos lógicos a serem seguidos para que possamos
alcançar um objetivo.
RESPOSTA: D
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AS QUESTÕES DISCURSIVAS TEM AS RESPOSTAS DADAS PELO INEP.
RESOLUÇÃO:
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RESOLUÇÃO:
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RESOLUÇÃO: