REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L�ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA

RECHERCHE SCIENTIFIQUE

Université Mentouri de Constantine

Faculté des Sciences de l�Ingénieur

Département d�Electronique

THESE

Présentée en vue de l'obtention du diplôme de Doctorat en-Science En Electronique

Par

Amel BOUFRIOUA

Maître assistante à l�Université de Constantine

Intitulée

CONTRIBUTION A L'ETUDE DES ANTENNES A PATCH RESISTIF ET PARFAITEMENT CONDUCTEUR TENANT COMPTE D'UNE

SOURCE D'EXCITATION ET DES NOUVELLES FORMES ASYMPTOTIQUES DE COURANT

Soutenance prévue pour Novembre 2006 May 2006

Devant le jury :

Président : Mme. Saida LASSOUED Prof. U. Constantine

Rapporteur : Mr. Abdelmadjid BENGHALIA Prof. U. Constantine

Examinateurs : Mr. Noureddine DOGHMANE Prof. U. Annaba

Mr. Mohamed Lahdi RIABI Prof. U. Constantine

Mr. Tarek FORTAKI M C. U. Batna

AVANT PROPOS

Ce travail a été effectué à la faculté des Sciences de l'Ingénieur au sein de l'Institut d'Electronique, Laboratoire d'Hyperfréquence et Semi Conducteur, sous la direction de Monsieur le Professeur Abdelmadjid Benghalia. J�exprime toute ma gratitude à Monsieur Abdelmadjid Benghalia Professeur à l�université de Constantine pour m'avoir accueilli dans son laboratoire et pour avoir assurer la direction de cette thèse avec une grande compétence, pour ces conseils et son aide précieuse et efficace, et pour tout l �intérêt qu�il porte à la recherche scientifique, je tiens à lui exprimer tous mes respects. J�exprime ma profonde reconnaissance et mes chaleureux remerciements à Madame Saida Lassoued, Professeur à l�Université de Constantine, de me faire l �honneur de présider le jury de cette thèse. J�adresse mes profonds remerciements à M onsieur Noureddine Doghmane Professeur à l�Université de Annaba pour avoir accepté de participer à ce jury. Je lui témoigne toute ma gratitude. J�exprime mes sincères remerciements et ma grande estimation à Monsieur Mohamed Lahdi Riabi Professeur à l�université de Constantine, d'avoir accepté de m �honorer de sa présence dans ce jury ainsi que son aide efficace durant ma première année de recrutement. J�exprime mes sincères remerciements à Monsieur Tarek Fortaki maître de conférence à l�université de Batna, pour avoir accepté de participer à ce jury. Je remercie vivement Monsieur Mohamed Essaaidi Professeur à l �Université Abdelmalek Essaadi Tetuan, Maroc et Monsieur Sattar B Sadkhan à l �université de Al-Nahrain Baghdad, Irak pour l�intérêt porté à ce travail qui a été pour moi un grand encouragement et qui m�ont donné pleinement satisfaction. Un grand merci à tous mes collègues et amies du Centre Nationale des Techniques Spatiale CNTS, et j'associe particulièrement à ces remerciements Monsieur Bekhti chef du projet ALSAT1, Monsieur Arezki chef du laboratoire, l'ensemble des chercheurs, techniciens et secrétaire du la boratoire d'Instrumentation Spatiale pour leur accueil, leur aide, leur bonne humeur et leur gentillesse et surtout pour leur esprit scientifique et humain. Une mention spéciale à mes collègues de bureau qui j'ai eu beaucoup de discussions enrichissantes et conviviales et pour les nombreuse et précieux conseils. Je remercie infiniment Messieurs Belarbi, Benia, Soltani, et je tiens à exprimer ma gratitude à Madame Benabdelaaziz, Madame et Monsieur Bouchmat et Madame et Monsieur Marir Je remercie tout particulièrement mes pare nts qui m'ont soutenu pendant toute ma vie et qui m'ont mis sur le bon chemin, j'adresse aussi mes remerciements les plus sincères à mes frères et s�urs.

C'est avec un plaisir non dissimulé que j'exprime ma reconnaissance à Madame Mounira Amro-iyache, son mari et toute son aimable famille ainsi que Serief Chahira. J'exprime ma reconnaissance plus particulièrement à Madame Chafika Aissaoui pour sa disponibilité sa discussion enrichissantes mais aussi et surtout ses conseils et sa gentillesse. J'exprime mes chaleureux remerciements à ma très chère Maya Lakhdara pour son aide précieuse et efficace et ses encouragements tout le long de ce travail elle m �a été d�un grand apport moral surtout durant mon existence à Oran et je porte une profonde estime à ma très chère Nacéra Larbi. Je remercie très sincèrement Messieurs Farid Bouttout, Mounir Hajras pour l �aide certain qu�ils m�ont apporté et je n�oublie pas aussi de remercier Messieurs, Djamil Rachem, Djamel Khedrouche et Houssine Bourouba. Je pense particulièrement à Lynda Benjamaa et Nedjma Abdenabi et je leurs souhaite bonne chance. A Zoubeida Messali, Hind Djerloud, Lamia Semra, Fadéla Benmeddour, Soumeya Cherouat et à toutes mes amies. J'exprime ma reconnaissance à Tarzi Samia secrétaire du département d'électronique pour sa gentillesse. Je souhaite faire part à tous mes collègues qui m'ont partagé ces années d'étude au département d'électronique de l'université de Constantine bon courage à tous et je voudrais pouvoir exprimer mes remerciements à toutes les personnes qui ont pu contribuer directement ou indirectement à ce travail.

TABLE DES MATIERES

INTRODUCTION GENERALE 01

CHAPITRE 1

APERÇU GENERAL SUR LES ANTENNES PATCHES

I. Introduction���..���������������������������.... 05

II. Méthode d'analyse���...����������������������..��. 06

II. 1. Le modéle éléctromagnétique�����.������.����������.�.. 07

II.1. 1. La Méthode des différences finies������������.�..�����....� 07

II.1. 2. La Méthode des moments��������..����������..���.�... 08

III. Description des antennes patches���������������..��...���... 09

IV. Les matériaux diélectriques utilisés ����������..�����������. 10

IV. 1. Critères de choix du substrat�������..������...��������� 10

IV. 2. Caractéristiques des matériaux diélectriques ������������.�...���. 10

- Les matériaux céramiques�����������������������... 10

- Les matériaux semi-conducteurs���������������������. 11

- Les matériaux ferrimagnétiques���������������������.. 11

- Les matériaux synthétiques�����������������������. 11

- Les matériaux photoniques�����������������������.. 11

- Les matériaux chiraux�������������������������.. 12

- Les matériaux T.M.M (Thermoset Microwave Material) �����������... 12

- Les matériaux RO3000������������������������� 12

- Les matériaux composites������������������������ 12

IV. 3. Anisotropie du substrat���������������������..���� 12

V. Excitation par onde de surface�����������������������.... 15

VI. Alimentation des antennes patches��..�..�����������...����.�� 16

VI.1. Différentes méthodes d'alimentation��������.�����������.� 16

VII. Choix du type de lignes de transmission planaire ��..��������..����� 19

VII.1. Effet de la dispersion dans Les lignes microrubans��������������.. 20

VII.2. Discontinuités sur les lignes microrubans ��������������.���� 20

VIII. Conclusion�����..�������������.�����������... 20

CHAPITRE 2

CARACTERISTIQUES DE RESONANCE ET DE RAYONNEMENT DES ANTENNES

A PATCH RECTANGULAIRE ET CIRCULAIRE

I. Introduction���������������������..���������� 22

II. Mise en équation du problème����..�������������������.. 22

II.1. Détermination du tenseur spectral de Green�������...����������. 22

II.2. Equation intégrale du champ électrique (EFIE)�����.������������ 26

II.3. Fréquence de résonance�������.������������������.. 29

II.4. Diagramme de rayonnement��������������...���������. 31

II.5. Directivit������������������������������. 32

III. Résultats et discussion��������������.������������.. 32

IV. Conclusion�����..�������������������������... 41

CHAPITRE 3

ANALYSE D'UNE ANTENNE PATCH RECTANGULAIRE AVEC EXCITATION

I. Introduction��������������������������...................... 43

II. Système à une seule couche intégré, alimentation par contact (Type ouvert) �.����... 43

II.1. L'alimentation par ligne microstrip ���������������������.. 43

II.2. L'alimentation coaxiale�������������������������� 44

III. Système à double couche intégré, alimentations par proximité (Type fermé). �����. 45

III.1. Couplage par fente ���������������������������. 46

III. 2. Conception d'une antenne microstrip alimentée par proximité ����������. 47

IV. Choix de l�alimentation�������...������������������. 48

V. Théorie����������������������������.����... 49

VI. Les différents modes de courant��..��������������������.. 52

VI.1. Courants sur la ligne microstrip d'excitation ���������������.�� 52

VI.1. 1. Courant de déplacement d'onde sur la ligne d'alimentation ����������... 53

VI.1. 2. Courant de chevauchement (Overlap currents) �������..����...��� 54

VI.2. Courant du patch���������������������������� 55

VII. Impédance d'entrée�������������������.��������.. 57

VIII. Résultats et discussion��������������������...�����. 58

VIIII Conclusion����...�...������������������������ 61

CHAPITRE 4

ANALYSE D'UNE ANTENNE PATCH RECTANGULAIRE PAR DES

NOUVELLES FORMES ASYMPTOTIQUES DES FONCTIONS DE BASE

I. Introduction�����������������..�������������� 63

II. Théorie��������������������������������� 63

III. Formes exactes des courants������������������������. 64

III.1. Fonction de base Sinusoïdal sans condition de bord ��������������.. 65

III.2. Fonction de base Sinusoïdal avec condition de bord ��������������.. 65

III.3. Polynômes de Chebyshev avec condition de bord ���������������.. 66

III.4. Les fonctions roof top�������������������������� 67

IV. Formes asymptotiques des courants ��������������������� 69

IV.1. Fonction de base Sinusoïdal sans condition de bord ��������������.. 69

IV.2. Fonction de base Sinusoïdal avec condition de bord ��������������.. 69

IV.3. Polynômes de Chebyshev avec condition de bord ���������������. 70

V. Résultats numériques����������.�����������������. 70

VI. Conclusion�����..������.�������������������.. 78

CHAPITRE 5

EFFETS DU PATCH RESISTIF ET DU SUBSTRAT A ANISOTROPIE UNIAXIALE

SUR LES CARACTERISTIQUES DE RESONANCE ET DU RAYONNEMENT D'UNE

ANTENNE MICRORUBAN RECTANGULAIRE

I. Introduction��.����������������������������� 80

II. Théorie��������������������������������� 81

II.1. Définition du RCS���������������������������� 84

II.2. RCS solution par la méthode des moments ������������������.. 84

III. Résultats numériques���������������������������. 86

VI. Conclusion������..�.�����������������������.. 99

CONCLUSION GENERALE 100

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

ANNEXE A

SEPARATION DES MODES TM ET TE ET CALCUL DU CHAMP ELECTROMAGNETIQUE

117

ANNEXE B

CALCUL DE LA DIRECTIVITE

121

ANNEXE C

MATRICE DE TOEPLITZ

125

ANNEXE D

LES MODES D'ONDE DANS UN DIELECTRIQUE ISOTROPE D'UNE ANTENNE A PATCH RESISTIF

127

ANNEXE E

LISTE DES FIGURES

Figures Titre Page

CHAPITRE 1

Fig. 1. Présentation d'une antenne patch. 09

Fig. 2. Spectre des modes de propagation. 15

CHAPITRE 2

Fig. 1. Chemin d�intégration dans le plan complexe. 30

Fig. 2. Partie réelle de la fréquence de résonance normalisée en fonction de

l'épaisseur du substrat pour le mode TM01 (sans condition de bord).

33

Fig. 3. Partie imaginaire de la fréquence de résonance normalisée en fonction de

l'épaisseur du substrat (sans condition de bord).

33

Fig. 4. Directivité des antennes patches rect angulaire et circulaire en fonction de la

constante diélectrique relative du substrat. h = 0.159cm, freq = 2.4Ghz.

36

Fig. 5. Fréquence de résonance en fonction de la constante diélectrique du substrat

(a) cas carrée, (b) cas circulaire.

37

Fig. 6. Fréquence de résonance en fonction de dimensionnement de patch a: (a) cas

carrée, (b) cas circulaire r =2.5, h=0.159cm, a=b.

38

Fig. 7. Directivité des antennes patches rect angulaire et circulaire en fonction de la

fréquence h = 0.159cm, r = 2.5.

39

Fig. 8. Directivité en fonction de la fréquence de résonance: (a) cas carrée, (b) cas

circulaire r varie, h=0.159cm, a=b=2.0cm.

40

CHAPITRE 3

Fig. 1. Alimentation par ligne microruban. 44

Fig. 2. Alimentation par sonde coaxiale. 44

Fig. 3. Couplage par fente. 46

Fig. 4. Couplage par proximité en sandwich. 47

Fig. 5. Couplage par proximité en sandwich, vue de dessus. 49

Fig. 6. Système d'alimentation par proximité. 50

Fig. 7. Disposition des modes de déplacement d'onde sur la ligne d'alimentation. 54

Fig. 8. L'effet de la largeur de la ligne d'alimentation wf sur: (a) la fréquence de

résonance, (b) la résistance d'entrée.

59

Fig. 9. La résistance d'entrée en fonction de la fréquence de résonance. 60

CHAPITRE 4

Fig. 1. Géométrie de l'antenne patch rectangulaire. 63

Fig. 2. Fonction roof top sur le patch rectangulaire. 67

Fig. 3. Formes exacte et asymptotiques des fonctions de base sinusoïdale sans

condition de bord en fonction de la fréquence.

74

Fig. 4. Formes exactes et asymptotiques des fonctions de base avec condition de

bord en fonction de la fréquence, (a), sinusoïdales, (b) Chebychev.

75

Fig. 5. Fréquences de résonance du patch rectangulaire par l'utilisation des

différents formes asymptotiques des fonctions de base, h = 0.1 cm,

35.2r , a=1.5cm, b=1.0cm.

77

CHAPITRE 5

Fig. 1. Partie réelle de la fréquence de résonance normalisée en fonction de

l'épaisseur du substrat pour des substr ats d'anisotropie uniaxiale positive,

négative et les substrats isotropes; a=1.5 cm, b=1.0 cm.

87

Fig. 2. Partie imaginaire de la fréquence de résonance normalisée en fonction de

l'épaisseur du substrat pour des substr ats d'anisotropie uniaxiale positive,

négative et les substrats isotropes; a=1.5 cm, b=1.0 cm.

88

Fig. 3. Diagramme de rayonnement en fonction de l'angle d'un patch

parfaitement conducteur pour les substrats d'anisotropie uniaxiale positive,

négative et isotropes au plan 0 , a=1.5 cm, b=1.0cm, h=0.2cm.

90

Fig. 4 a. RCS normalisé en fonction de l'angle pour un patch parfaitement

conducteur pour un substrat d'anisotropie uniaxiale positive, négative et

isotrope au plan 0 .

91

Fig. 4 b. RCS normalisé en fonction de l'angle pour un patch parfaitement

conducteur pour un substrat d'anisotropie uniaxiale positive, négative et

isotrope au plan 0 ; a=1.5cm, b=1.0 cm, h=0.2 cm.

92

Fig. 5. RCS normalisé du substrat isotrope en fonction de l'angle pour

différentes valeurs de la résistance de surface à la fréquence 5.95 Ghz, ( a =

1.5 cm, b = 1.0 cm, h= 0.2cm, r = 5.0, 0 ).

93

Fig. 6. RCS normalisé en fonction de l'angle pour un patch résistive pour un

substrat d'anisotropie uniaxiale positive, négative et isotrope au

plan 0 , a=1.5 cm, b=1.0 cm, h=0.2 cm, Rs =60 .

94

Fig. 7. Diagramme de rayonnement en fonction de l'angle d'un patch résistif

pour les cas isotropes, anisotropie uniaxiale positive et négative à 0 ,

une fois z changé (a = 1.5 cm, b = 1.0 cm, h = 0.2cm, Rs=60 ).

95

Fig. 8. Diagramme de rayonnement en fonction de l'angle d'un patch résistif

pour les substrats d'anisotropie uniaxiale positive, négative et isotropes à

0 , x change (a = 1.5 cm, b = 1.0 cm, h = 0.2cm, Rs=60 .

96

Fig. 9. Diagramme de rayonnement du substrat isotrope en fonction de l'angle

pour différentes valeurs de la résistance de surface à la fréquence 5.95 Ghz,

(a = 1.5 cm, b = 1.0 cm, h = 0.2cm, r = 5.0, 0 ).

97

Fig. 10. RCS du substrat isotrope en fonction de la directivité pour différentes

valeurs de la résistance de surface.

98

LISTE DES TABLEAUX

Tableaux Titre Page

CHAPITRE 1

Tableau 1 Principaux substrats utilisés dans le domaine des hyperfréquences. 14

Tableau 2 Différents types d'alimentation d'une antenne patch. 18

CHAPITRE 2

Tableau 1 a Paramètres dimensionnelles et électriques des patches circulaires. 34

Tableau 1 b Comparaison des fréquences de résonance mesurées et calculées des

patches circulaires présentées en tableau1 a.

35

CHAPITRE 3

Tableau 1 Comparaison des fréquences de résonance et des résistances d'entrée

mesurées et calculées.

58

Tableau 2 Résistance d'entrée en fonction de la distance de chevauchement. 60

CHAPITRE 4

Tableau 1 Comparaison des fréquences de résonance mesurées et calculées d'une

antenne microstrip rectangulaire.

71

Tableau 2 Fréquences de résonances d'un patch rectangulaire par l'utilisation de

deux systèmes de fonctions de base (Roof top, Entire domain).

72

Tableau 3 Fréquences de résonances en fonction de la constante diélectrique

(x,

z).

73

Tableau 4 Variation de la fréquence de résonance en fonction de la constante

diélectrique relative ( x , z ) pour différente fonction de base.

73

CHAPITRE 5

Tableau 1 Fréquence de résonance d'un patch parfaitement conducteur z =2.35. 89

Tableau 2 Fréquence de résonance d'un substrat isotrope ( x = z =2.35),

anisotropie uniaxiale positive ( x =1.88, z =2.35) et négative ( x =2.82,

z =2.35), a=1.5cm, b=1.0cm.

89

Tableau 3 RCS en fonction de la fréquence d 'un patch parfaitement conducteur

imprimées sur un substrat isotrope.

91

RESUME

ne étude théorique de structures d'antennes microrubans de géométries

rectangulaire et circulaire a été réalisée dans cette thèse. Une analyse

rigoureuse basée sur une équation intégrale du champ électrique constitue l'outil

théorique de caractérisation pour ces structures.

L'équation intégrale du champ électrique est formulée en terme du tenseur

spectral de Green en utilisant la méthode des moments, la procédure de Galerkin a

permis la discrétisation de cette équation pour donner lieu à un système d'équations

homogènes. Dans la procédure de résolution par la méthode des moments, le choix

des fonctions de base constitue une originalité du fait que l'effet de différents

paramètres sur la directivité est pris en compte. L'exactitude du modèle développé

montre un accord très précis entre les résultats obtenus et ceux de la littérature.

Le courant de patch rectangulaire est calculé par l'application des différentes

fonctions de base, l'étude d'un nouveau type de fonction de base nous a permis une

formulation algébrique simplifiée et un temps de calcul très réduit. Les formes

asymptotiques développées sont du type: fonction de base sinusoïdales sans condition

de bord et avec condition de bord, polynômes de Chebychev avec la condition de

bord, et les fonctions roof top.

Aussi nous avons développé un modèle de calcul par l'application des fonctions

de base sinusoïdales pour une antenne patch rectangulaire excité par une ligne

microruban, les courants sur cette dernière sont développés et la résistance d'entrée est

calculée.

Notre propre logiciel a été établi pour calculer les grandeurs macroscopiques

caractéristiques telles que la fréquence de résonance, la résistance d �entrée, le

diagramme de rayonnement, la directivité �

Une forme variationnelle pour l'impédance d'entrée est obtenue donnant des

résultats qui s'accordent bien avec les mesures.

Aussi la formulation théorique de l'antenne patch rectangulaire excité par

couplage électromagnétique (proximité) est donnée, finalement l'étude d'un nouveau

modèle de calcul qui tient compte de l'effet de la résistance de surface ainsi que l'effet

de l'anisotropie uniaxial du substrat est présentée. Les termes nécessaires pour

représenter la résistance de surface du patch rectangulaire sont dérivés et incluses

U

dans l'équation intégrale sous forme d'une matrice de résistance, les résultats prouvent

que l'addition d'une telle résistance diminue l'énergie dispersée de l'antenne.

RESUME

theoretical study of a rectangular and circular microstrip antennas was carried

out in this thesis. A rigorous analysis based on an electric field integral

equation was used for the characterization of these structures.

The integral equation of the electric field is formulated in term of the Green

spectral tensor by using the moment method, based on the Galerkin's procedure which

discretizes this equation to give place to a system of homogeneous equations. In the

procedure of resolution by the moment method, the choice of the basic functions

constitutes originality owing to the fact that the effect of various parameters on

directivity is taken into account. The exactitude of the developed model shows a very

precise agreement between the results obtained and those of the literature.

The current of a rectangular patch is calculated by the application of a various

basic functions, the study of a new type of basic function allowed us to a simplified

algebraic formulation and a much reduced computing time. The developed asymptotic

forms are of the type: sinusoid basis function without and with edge condition,

Chebychev polynomials with the edge condition, and the roof top functions.

Also we developed a model of calculation by the application of the sinusoid

basis functions for a rectangular patch antenna excited by a microstrip line, the

currents on this line are developed and the input resistance is calculated.

Our own software was established to calculate the macroscopic characteristic

such as the resonant frequency, the input resistance, the radiation, the directivity �

A variational form for the input impedance is obtained giving results which

agree well with measurements.

Also the theoretical formulation of the rectangular patch antenna excited by an

electromagnetic coupling (proximity) is given, finally the study of a new model of

calculation which take into account the effect of the surface resistance as well as the

effect of the uniaxial anisotropy in the substrate is presented. The necessary terms to

represent the surface resistance of the rectangular patch are derived and included in

the integral equation in the form of a resistance matrix; the results prove that the

addition of such a resistance decreases the antenna dispersed energy.

A

.

.

Green .

)Galerkin(

.

)directivité(

.

:

)Chebychev(

roof top .

.

)directivité.(

) (

.

)matrice( .

.

1

INTRODUCTION GENERALE

2

INTRODUCTION GENERALE

e domaine des télécommunications connaît actuellement une croissance sans

précédent. Le rythme de cette expansion ne devrait pas fléchir pendant de

nombreuses années. En effet, l�émergence de nouvelles technologies assure le

renouvellement des produits et étoffe les services proposés aux clients toujours plus

exigeants. Dans un système de communication, l'antenne est un composant à part

entière qui nécessite une étude. Tout en cherchant à optimiser les performances

radioélectriques d'une antenne, on doit l'adapter aux applications les plus récentes.

Pendant les deux dernières décennies les antennes microruban ont évolué

comme une activité innovatrice majeure dans le domaine des antennes. Jusqu'au début

des années 1990, les technologies microruban étaient employées spécialement pour

les applications militaires. Depuis, on constate un changement rapide vers les

applications commerciales. Un grand nombre de produits destinés aux technologies

sans fil sont apparus sur le marché . Les antennes microruban ont quelques

particularités qui les rendent idéales pour plusieurs applications commerciales. Basées

sur la technologie des circuits imprimés, elles sont très peu dispendieuses à produire.

La production en grande quantité est facile. Leur profil plat leur permet d'être montées

dans le même boîtier que le produit qu'elles servent. Souvent elles peuvent être

intégrées sur la plaque qui contient le circuit radiofréquence ou micro-onde.

Notre ambition nous ramène à développer notre propre logiciel basé sur la

méthode des moments afin d �analyser les différentes structures d �antennes imprimées.

Dans le premier chapitre introductif, nous avons présenté les antennes patches,

les différents matériaux et substrat utilisés pour ces types d'antennes. Nous évoquons

aussi l'influence de l'apparition des modes de substrat sur les caractéristiques de

rayonnement et le choix que nous allons faire afin de limiter leur excitation. Ainsi que

les différentes méthodes d'alimentation rencontrées dans la littérature. Enfin nous

présentons les méthodes d'analyse utilisées pour traiter ce genre d'antenne. Le second

chapitre a pour but de présenter la méthode que nous allons utiliser afin de synthétiser

la géométrie rectangulaire et circulaire par la suite nous explicitons une étude

comparative entre ces deux géométries. Le troisième chapitre a pour objectif de

présenter les différentes formes de courants ainsi que leurs formes asymptotiques, de

plus nous présentons une étude comparativ e entre ces formes asymptotiques, enfin,

nous exposons les résultats obtenus en fais ant introduire l'effet de l'anisotropie

L

3

uniaxiale. Dans le quatrième chapitre nous présentons brièvement les quatre types

d'alimentation les plus utilisées, ensuite nous traitons l'antenne patch rectangulaire

alimentée par ligne microstrip et par couplage électromagnétique (par proximité),

nous explicitons enfin les considération qui nous ont permis de choisir ces types

d'alimentation. Le cinquième chapitre a pour objectif d'étudier l'antenne patch

rectangulaire tenant compte de l'effet de la résistance de surface. Nous présentons

également la méthode mise en �uvre afin de pouvoir caractériser une antenne à patch

résistif implanté sur un substrat isotrope ou anisotrope.

4

CHAPITRE 1

APERÇU GENERAL SUR LES ANTENNES PATCHES

5

I. INTRODUCTION

ans un système de communication l �antenne est un composant à part entière qui

nécessite une étude, tout en cherchant à optimiser ces performances

radioélectriques, il est donc nécessaire de concevoir des antennes bien adaptées.

Depuis les années soixante dix, on constate un essor considérable des micro

antennes ou antennes plaques, favorisé par le progrès de la technologie micro

électronique dans le domaine de la miniaturisation et de l �intégration électronique.

Dans les applications aéronautiques, aérospatiales et militaires où le faible volume, le

faible poids, le faible coût, les hautes performances et la facilité de mise en �uvre

sont les principales exigences, les antennes faiblement profilées sont une nécessité.

Aujourd'hui, avec l'explosion des télécomm unications, ces contraintes se retrouvent

dans des applications commerciales sans fil. Les antennes microrubans ont été

proposées pour répondre à ces exigences. La décennie passée a été témoin d �un usage

rapide de ces antennes en communication et en système radar. Elles ont reçu

beaucoup d�attention ces dernières années, et trouvent plusieurs applications dans une

large gamme de fréquence. Elles allient à la fois petite taille, simplicité, facilité de

fabrication et de mise en �uvre. En outre, elles s'adaptent facilement aux surfaces

planes et non planes et présentent une grande robustesse lorsqu'elles sont montées sur

des surfaces rigides. Elles sont également très performantes en terme de résonance, de

polarisation, d'impédance d'entrée et de diagramme de rayonnement [1-6]. Les

inconvénients majeurs des antennes microrubans résident dans leur faible pureté de

polarisation, une bande passante étroite qui es t typiquement de l'ordre de quelque pour

cents [1, 7-13].

Cependant, des méthodes utilisées pour l'augmentation de l'épaisseur du

substrat, la diminution de la permittivité relative, permettent d'améliorer le rendement

de l'antenne jusqu'à 90% en réduisant les ondes de surface et permettent également

d'augmenter la bande passante jusqu'à 35% [14]. Toutefois, en augmentant l'épaisseur

du substrat, on crée des ondes de surface qui représentent des pertes et diminuent par

conséquent le rendement de l'antenne. Ces ondes de surfaces peuvent être éliminées

tout en maintenant une large bande passante par l'introduction de fentes sur l'élément

rayonnant.

Il est évident que les études menées sur les antennes microbandes soient

orientées pour mieux perfectionner leurs avantages et de remédier à leurs

inconvénients.

D

6

La plus part des méthodes utilisées pour la caractérisation radioélectrique des

antennes microbandes nécessitent en général des calculs longs et fastidieux. Les

antennes microbandes peuvent prendre des formes quelconques, cependant, les formes

régulières sont les plus utilisées afin de faciliter l �analyse.

Depuis la naissance de ce type d'antenne, des approches utilisées pour l �analyse

et la conception de celles-ci sont nombreuses (APLAC, PCAAD, ENSEMBLE,

HFSS�), or nous avons uniquement la possibilité de modéliser des structures

stockées dans les banques de données de ces logiciels. Pour ces raisons, notre

ambition nous conduit à développer notre propre logiciel basé sur la méthode des

moments afin d�analyser les différentes structures d �antennes.

II. METHODES D'ANALYSE

Depuis l�avènement des antennes microbandes, plusieurs méthodes d �analyse

ont été utilisées, allant des modèles analytiques simples jusqu �aux méthodes

numériques rigoureuses.

Les méthodes analytiques sont basées sur des suppositions physiques posées au

préalable, qui aboutissent généralement à des formules analytiques simples, menant à

une meilleure compréhension physique du phénomène, et bien compatible avec la

C.A.O. Le modèle de la ligne de transmission est le plus simple, il donne de bonnes

interprétations physiques mais modélise difficilement le couplage [11, 14]. Le modèle

de la cavité rayonnante est quant à lui plus précis que le modèle de la ligne de

transmission mais en même temps plus complexe. Cependant il donne une bonne

interprétation physique, mais approche au ssi difficilement le couplage bien qu'il

donne de bons résultats pour des épaisseurs faibles [1-14]. Cependant, ces modèles

sont fondés sur des approximations qui peuvent donner lieu à des résultats inexacts,

notamment pour des applications qui requièrent un substrat épais ou une constante

diélectrique élevée.

Pour y remédier, on a eu recours à des méthodes dites méthodes d �analyse

rigoureuses (Full-Wave Analysis). Lorsqu'il est appliqué correctement, ce modèle est

très précis, très souple et traite les éléments isolés aussi bien que les réseaux, les

formes arbitraires et le couplage. Cependant c'est le modèle le plus complexe [11, 13-

17]. Ces méthodes sont basées sur le problème aux frontières des grandeurs

électromagnétiques, qui aboutissent à une équation intégrale en faisant appel aux

fonctions tensorielles de Green, soit dans le domaine spectral, ou directement dans le

7

domaine spatial. Ces méthodes ne souffrent d �aucune approximation et s �avèrent être

très rigoureuses, puisque aucune supposition initiale n �est considérée. En outre, ces

méthodes permettent d �étudier des antennes de formes très variées, mais font appel à

des formulations ou calculs plus complexes et des temps de calcul plus importants.

Comme il est important de noter que, le choix des fonctions de test et l �intégration

dans le plan complexe sont des étapes critiques durant le processus de résolution

numérique [11, 13-21].

II.1. LE MODELE ELECTROMAGNETIQUE

Les méthodes électromagnétiques consistent à résoudre directement les

équations de Maxwell dans l'espace [13, 15-17]. Ces méthodes numériques sont des

processus qui transforment un problème continu en un problème discret constitué d'un

assemblage discret d'éléments comportant chacun un nombre fini d'inconnues. Alors

la nécessité d�avoir une analyse rigoureuse des microbandes a contraint les chercheurs

à mettre en �uvre une méthode d�analyse précise basée sur des équations intégrales.

Cette méthode fut adoptée dans de nombreux travaux de caractérisation des structures

d�antennes microbandes. Bien qu �il existe plusieurs variantes de méthodes intégrales

on peut cependant, les classer en deux grandes catégories, celles correspondant à une

formulation dans le domaine spectral et celles relatives à une formulation dans le

domaine spatial. Pour les deux classes, l �inconnue à déterminer sera les courants

électriques surfaciques sur les conducteurs mé talliques. Une fois ces courants sont

déterminés, on peut calculer les grandeurs macroscopiques caractéristiques telles que

la fréquence de résonance, l�impédance d�entrée, le diagramme de rayonnement�

La méthode des différences finies et la méthode des moments sont parmi les

méthodes électromagnétiques les plus utilisées.

II.1. 1. LA METHODE DES DIFFERENCES FINIES

Parmi les méthodes de résolution numérique, nous avons la méthode des

différences finies qui résout les équations de champs en des points discrets, définis

d'une façon ordonnée dans le domaine complet de la structure. Elle résout directement

les équations de Maxwell sous leur forme différentielle en remplaçant les opérateurs

différentiels par des opérateurs de différence, réalisant ainsi une approximation par

discrétisation [11, 22].

8

Dans la famille des méthodes de différe nces finies, on trouve la FDTD (Finite

Différence Time Domaine) qui a pour point de départ, la discrétisation directe des

équations locales de Maxwell. Cette Méthode est applicable à des structures

quelconques sans modification de l'algorithme de base. L'évolution de la puissance de

calcul des ordinateurs a entraîné un regain d'intérêt pour ces méthodes de différences

finies. Par ailleurs, afin de réduire le volume de calcul, d'autres méthodes hybrides ont

été développées. Parmi celles ci, la Méthode de Ligne MoL (Method of Line) qui est

une combinaison de la méthode des différences finies dans le domaine fréquentiel

avec une méthode analytique.

II.1. 2. LA METHODE DES MOMENTS

La méthode des moments est une technique numérique qui permet de résoudre

efficacement le système d'équations intégrales en le transformant en un système

matriciel [2, 4, 6, 11, 13, 17-25]. Elle est basée sur le critère de nullité d'une

fonctionnelle constituée à partir d'une intégrale des résidus, générée par la différence

entre la solution approximative (fonction d'essai) et la solution exacte, pondérée par

des fonctions de poids (fonctions de test). La fonction d'essai est exprimée sous forme

de série de fonctions de base connues dont les coefficients de pondération sont

déterminés en résolvant le système linéaire. Cette équation fonctionnelle peut être

transformée en un système d'équations algébriques en développant les vecteurs

densités de courant sous la forme de série de fonctions de base. La détermination de la

solution se réduit donc à celle des coeffici ents inconnus des fonctions de base. Les

fonctions d'essai doivent converger vers la solution exacte lorsque les nombres N et M

des fonctions de base tendent vers l'infini. Pour un nombre fini de fonctions de base, il

en résulte une erreur résiduelle définie comme étant la différence entre la solution

exacte et la fonction d'essai. Le système d'équations linéaires de la méthode des

moments correspond au cas où la fonctionnelle définie par l'erreur résiduelle est

rendue orthogonale à l'espace des fonctions de test. Il en résulte que plus cette

fonctionnelle est orthogonale à des fonctions de test, meilleur est l'approximation . Le

cas particulier où les fonctions de base sont identiques aux fonctions de test

correspond à la méthode de Galerkin [6, 11, 14, 20]. Pour appliquer cette méthode aux

structures, on utilise la procédure de résolution par la méthode des moments des

fonctions de bases partielles. Autrement dit, chaque région de gravures et d'ouvertures

est maillée en sous régions finies, lesquelles constituent les supports des fonctions de

9

bases partielles. Ces fonctions de base sont nulles en dehors de leurs sous régions. Le

système d'équations linéaire à résoudre peut s'écrire pour tout type de maillage sous

une forme matricielle [11, 13, 17-20].

Dans notre travail, seul sera traité le modèle électromagnétique qui inclue les

équations intégrales et la méthode des moments.

III. DESCRIPTION DES ANTENNES PATCHES

Dans sa structure de base, une antenne patch est constituée d'un fin conducteur

métallique (habituellement de 17,5 à 35 µm d'épaisseur en hyperfréquence) de forme

arbitraire, appelé élément rayonnant, déposé sur un substrat diélectrique dont la face

inférieure est entièrement métallisée pour réaliser un plan de masse.

Fig 1. Présentation d'une antenne patch

Dans la pratique, les formes des éléments rayonnants les plus souvent utilisées,

de dimensions réduites (de l'ordre de 0/2 à 0), sont le carré, le rectangle, le disque et

l'anneau. Des géométries plus élaborées sont toutefois employées pour répondre à des

contraintes spécifiques sur l'antenne. Le substrat diélectrique de faible épaisseur

(h<< 0) sert de support à l'antenne, mais surtout influe directement sur ses

performances. On préférera des matériaux de faible permittivité ( r < 3), évitant ainsi

le confinement des champs à l'intérieur de la cavité, et de faibles pertes diélectriques

(tan < 2.10-3) favorisant un meilleur rendement de l'aérien [1, 6, 14, 26].

Plaque conductrice

h

X

Z

Substrat diélectrique

Plan de masse

Y

10

IV. LES MATERIAUX DIELECTRIQUES UTILISES

Le substrat joue un rôle double dans la technologie microruban. Il est à la fois

un matériau diélectrique, où viennent se graver les circuits, et une pièce mécanique,

car il supporte la structure. Cela implique des exigences à la fois sur le plan

mécanique et électrique parfois difficiles à concilier, d �épaisseur généralement faible

devant la longueur d �onde de fonctionnement ( h << 0), le substrat diélectrique affecte

le comportement et les performances électromagnétiques de l �antenne. On préfère

souvent utiliser des substrats à faibles pertes diélectriques (tan < 10-3) qui favorisent

le rendement de l�antenne et ceux à permittivité relative faible ( r <3) qui améliorent

le rayonnement tout en diminuant les pertes par ondes de surface pour une hauteur

donnée.

IV.1. CRITERES DE CHOIX DU SUBSTRAT

La conception des antennes microrubans dans le domaine des ondes

millimétriques est guidée par les critères suivants pour le choix du substrat:

(a) Possibilité d'excitation par onde de surface.

(b) Effets de la constante et de la tangente de perte diélectrique sur la dispersion.

(c) Importance des pertes par diélectrique et par conducteur.

(d) Anisotropie dans le substrat.

(e) Effets de l'environnement tels que la température, l'humidité, �

(f) Conditions mécaniques: Physiquement, le matériau doit résister aux contraintes

mécaniques, conserver sa forme originelle. Son facteur d'expansion doit être voisin de

celui de la métallisation, car il est confronté à de fortes températures lors des

soudures. Enfin, son état de surface doit être le plus parfait possible.

(g) Coût de fabrication.

IV.2. CARACTERISTIQUES DES MATERIAUX DIELECTRIQUES

Les matériaux diélectriques se divisent en différentes catégories, et le détail des

caractéristiques de chacune de ces familles de matériaux est donné ci-dessous [8, 14,

18, 26-28]:

- Les matériaux céramiques: Couramment employés pour les circuits microrubans,

dont le plus répandu est sans doute l'alumine (Al 2O3) avec une permittivité relative

11

autour de 10. D'un point de vue mécanique, ces substrats disposent généralement

d'excellentes qualités de surface et de rigidité, mais sont cassants et donc fragiles.

Leurs permittivités sont pour la plupart élevées et ils présentent de faibles pertes (tan

< 10-3).

- Les matériaux semi-conducteurs: De type Arséniure de Gallium (GaAs) ou

Silicium (Si) permettent couramment la fabrication des circuits M.M.I.C. La surface

disponible, généralement réduite pour réaliser des antennes, destinées à des

applications dans le domaine millimétrique.

- Les matériaux ferrimagnétiques: Ces matériaux comprennent les substrats Ferrite

et YIG. L�effet gyromagnétique est mis à profit pour concevoir des circulateurs, des

isolateurs ou encore des antennes plaques rayonnant naturellement une onde en

polarisation circulaire. Ce sont des matériaux anisotropes à forte permittivité relative

(de 9 à 16) et à faibles pertes diélectriques.

- Les matériaux synthétiques: La plupart de ces matériaux possèdent d'excellentes

propriétés électriques, une permittivité proc he de 2 avec de faibles pertes (tan #

0,003). A ceux-ci viennent s�ajouter aujourd�hui les mousses ROHACELL dont la

permittivité relative est proche de l �air ( r ~1), cependant les pertes deviennent vite

importantes lorsque l �on monte en fréquence (tan > 0.01 à 26.5 GHz) un exemple de

ces matériaux: le polyéthylène, le polyester, le téflon, le polypropylène, etc...

- Les matériaux photoniques: Depuis le début des années nonante, un nouveau type

de matériaux, les cristaux photoniques (matériaux à permittivité périodique) font

l'objet d'une grande effervescence dans le monde scientifique. Or, la grande majorité

des recherches portant sur ces matériaux ont été effectuées par des physiciens dans le

cadre d'études de dispositifs optiques. Actuellement les chercheurs s'intéressent à une

application dans le domaine des microondes. Il s'agit de concevoir une antenne

imprimée sur une cavité constituée par des matériaux photoniques, ces derniers

peuvent réduire les ondes de surface.

12

- Les matériaux chiraux: Les propriétés de chiralité ou de bi-isotropie que possèdent

certains matériaux, notamment dans le domai ne des microondes et de l'optique, font

depuis plusieurs années l'objet d'intenses recherches. Récemment, A. Bossavit prédit

qu'on peut construire des matériaux chiraux en incluant périodiquement dans une

matrice de matériau diélectrique des inclusions de matériau fortement conducteur. Le

comportement souhaité s'obtient alors à la limite 0 où désigne la taille de la

cellule de périodicité. Un des points clé pour aboutir au comportement chiral est que

la conductivité des inclusions doit être te lle que la profondeur de peau dans ces

matériaux est de l'ordre de . A. Bossavit a proposé une loi de comportement

équivalente à l'aide de techniques formelles à base de développements de Taylor

locaux.

- Les matériaux T.M.M (Thermoset Microwave Material): Ces matériaux

constitués de résines chargées de différents composants céramiques, génèrent une

gamme de substrats TMM-3, TMM-4, TMM-6, TMM-10 de faibles pertes (tan <

0,0018) pour des permittivités respectivement égales à 3,25 ; 4,5 ; 6,5 ; 9,8. Rigides et

moins cassants que les céramiques, ils c onservent leurs dimensions et leurs

permittivités à des températures élevées.

- Les matériaux RO3000: Ces matériaux sont de permittivité relative stable en

température et en fréquence. Ils sont fabriqués par ajout de poudre céramique au

Téflon et peuvent être utilisés à haute fréquence (> 30 GHz).

- Les matériaux composites: Ce type de matériaux s'obtient en combinant les

qualités radioélectriques et mécaniques d �un substrat. En ajoutant aux matériaux

plastiques de la fibre de verre (cas du DUROID 5870, du TLC, ARLON 320) ou de la

poudre de céramique (ARLON 340) les propriétés mécaniques sont améliorées et l'on

peut, suivant le dosage, ajuster la permittivité. Des produits comme le DUROID sont

couramment utilisés pour réaliser des antennes imprimées.

IV. 3. Anisotropie du substrat: L'anisotropie est définie comme étant la dépendance

de la constante diélectrique du substrat sur l'orientation du champ électrique appliqué.

Pour obtenir les propriétés électriques et mécaniques nécessaires, des matériaux de

remplissage appropriés sont généralement ajoutés pendant le processus de la

13

fabrication du substrat. Ces remplisseurs ont une tendance de supposer des

orientations préférées. Ceci peut mener aux effets d'anisotropies à quelques substrats

pratiques, comme le Saphir et le PTFE [8, 14]. La valeur de la constante diélectrique

citée par le fabricant est généralement pour le cas où le champ électrique appliqué est

perpendiculaire à la plaque conductrice, qui est habituellement suffisante pour la

plupart des antennes microrubans. Le concepteur devrait, cependant, soigneusement

vérifier les effets anisotropes du substrat avec lequel il travaille. Si z > x , on a une

anisotropie uniaxiale positive, et si z < x on a une anisotropie uniaxiale négative. La

plupart des substrats utilisés dans le dom aine des micro-ondes sont d'anisotropie

uniaxiale négative avec des rapports d'anisotropie z / x moins de 1.4 [14].

D'après la littérature plusieurs antennes ont été réalisées sur différents substrats.

Les matériaux composites offrent un très bon compromis, les concepteurs choisissent

d�utiliser des substrats de la famille de s DUROID car ils proposent non seulement des

bonnes propriétés électriques et une très faible variation de leur permittivité relative

pour des températures comprises entre -55°C et 100°C, mais aussi des faibles pertes:

- le DUROID 5880 ( r = 2,2 ± 0.04 et tan = 0,0015 à 10 GHz et 23°C)

- le DUROID 6200 ( r = 2,94 ± 0.04 et tan = 0,0015 à 10 GHz et 23°C)

De plus, une mesure des pertes sur le DUROID 6002, a montré que la tangente

de pertes ne dépassait pas 3.10 -3 à 37 GHz. Les pertes de ce type de substrat présentent

donc l�avantage de ne pas augmenter considérablement avec la fréquence.

Nous présentons ici un tableau récapitulatif (tableau 1) de matériaux

couramment utilisés. Les caractéristiques des s ubstrats fournis par les fabricants sont

généralement données à 10 GHz.

14

Matériau r à 10 Ghz rr tan à 10

Ghz Fournisseurs

MY1 2.17 1% 0.0013

ISOCLAD 917 2.17 1% 0.0011 CUCLAD 217 2.17 1% 0.0008

RT/DUROÏD 5880 O 2.2 1% 0.0009 DICLAD 880 2.2 2% 0.0009

RT/DUROÏD 5870 O 2.33 0.85% 0.0012 DICLAD 870 2.33 1.7% 0.0012 CUCLAD 233 2.33 0.85% 0.0014 ISOCLAD 933 2.33 0.85% 0.0014 DICLAD 527 2.5 1.6% 0.0019

TACONIC TLX * 2.55 1.5% 0.0019 RT DUROÏD 6002 O 2.94 1.35% 0.0012

RO 3003 O 3.0 1.33% 0.0013 TACONIC TLC * 3.2 1.5% 0.003

ARLON 320 3.2 1.5% 0.0029 TMM3 O 3.25 2.5% 0.0016

RO4003 O 3.38 1.5% 0.002 ARLON 350 3.5 4.5% 0.0026

VERRE EPOXY 4.4 1.5% 0.02 TMM4 O 4.5 2.5% 0.0017

RT/DUROÏD 6006 O 6.15 2.5% 0.002 TMM6 O 6.5 2.5% 0.0018

TMM10 O 9.8 2.5% 0.0017 ALUMINE (Al2O3) 9.8 0.0003 RT/DUROÏD 6010 O 10.2-10.5-10.8 2.5% 0.0024

SILICE 11.9 0.0024 GaAs 13.0 0.0006

:METCLAD

O : MB ELECTRONIQUE

: P2M

: CCI EUROLAM

Tableau. 1: Principaux substrats utilisés dans le domaine des hyperfréquences

Il n'y a pas de matériau idéal et universel dans le domaine des hyperfréquences.

Toutefois la palette de substrats proposée par les fournisseurs est aujourd'hui

relativement large. Le choix des matériaux diélectriques s �est avéré très important

pour les antennes microrubans et l �emploi de ces différents substrats peut se révéler

plus ou moins intéressant en fonction des performances désirées.

15

V. EXCITATION PAR ONDE DE SURFACE

Les ondes de surface sont les modes de propagation soutenus seulement par le

substrat, c. à. d pendant que l'antenne patch rayonne, une portion de l'énergie totale du

rayonnement direct se bloque le long de la surface du substrat. Deux types d'ondes de

surface des modes sont possible, le mode transversal magnétique TM et le mode

transversal électrique TE. Pour les deux t ypes, les composantes de champ changent

sinusoïdalement avec z dans le substrat, et diminuent exponentiellement dans la

direction z en dehors du substrat. En géné ral, le spectre de mode d'un substrat

diélectrique contenant des modes TM et TE est représenté sur la figure 2. L'intervalle

entre les fréquences de coupure de deux modes des ondes de surface successifs est

donné par [14, 18]:

14 ri h

cf

Où c est la vitesse de la lumière, h et r sont respectivement, l'épaisseur et la

constante diélectrique du substrat.

TM0 TE0 TM1 TE1 TM2 TE2 fi 0 fréquence de coupure

Fig. 2. Spectre des modes de propagation

Le mode TM0 a une fréquence de coupure nulle, ce mode est toujours présent

dans le substrat, indépendamment des valeurs de l'épaisseur et de la constante

diélectrique du substrat. Pour ce mode, la composante y du champ électrique est forte,

particulièrement si le substrat est électriquement épais ou a une constante diélectrique

élevée. Cette caractéristique affecte les performances de conception des antennes

patches.

Les modes des ondes de surface d'ordre plus supérieur peuvent être non

propagatrice en choisissant des faibles valeurs pour h et r . Les faibles valeurs de h et

r diminuent, aussi l'amplitude du mode TM0 [11, 14, 18, 19].

(1)

16

Alternativement, le concepteur [14, 29], peut utiliser la formule suivante comme

critère pour choisir h.

14 rufch

Dans l'équation (2), fu est la fréquence maximale à partir de laquelle l'antenne

fonctionne. Cette équation peut être employée pour choisir h, (indépendamment du

type d'antenne), à condition que la constante diélectrique du substrat soit déjà choisie.

VI. ALIMENTATION DES ANTENNES PATCHES

L�alimentation des antennes microbandes est assurée par plusieurs techniques, la

structure d�alimentation présente un élément essentiel dans la conception des antennes

microbandes, sans une alimentation adéquate, l �antenne réelle ne peut pas fonctionner

correctement alors une étude théorique sur les différents techniques d �alimentations a

été menée.

Le but de notre travail est d �analyser des antennes microbandes par une méthode

de niveau de complexité élevée et de mettre au point les algorithmes correspondant

pour calculer les caractéristiques de rayonne ment tenant compte de la source

d�alimentation.

VI.1. DIFFERENTES METHODES D'ALIMENTATION

Les différentes méthodes d'alimentation des antennes patches peuvent être

regroupées en deux grandes catégories [14]: les alimentations par contact (par sonde

ou ligne microruban) et les alimentations par proximité (couplage électromagnétique

par ligne ou fente). La technique utilisée peut modifier de façon importante le

fonctionnement de l'antenne, les avantages et les inconvénients des principales

méthodes de base rencontrées dans la littérature sont présentés dans le tableau suivant

[26]:

(2)

17

Avantages Inconvénients

-Pas des pertes par rayonnement de

ligne.

-Sélection possible d'un mode

privilégie.

-Obtention de l'impédance d'entrée par

positionnement de la sonde

-Prédiction aisée de l'impédance

d'entrée pour des substrats de faible

hauteur

-Technique de perçage simple jusqu' à

10Ghz

-Rayonnement parasite de la sonde de

type monopolaire.

-Partie selfique ramenée par l'âme du

connecteur à prendre en compte.

-Technique de perçage et de soudure

plus délicate en millimétrique.

-Rapidement cher et compliqué

industriellement pour exciter chaque

élément d'un réseau à forte directivité.

-Procédé technologique plus simple

par gravure sur la même face de

l'antenne et du circuit d'alimentation.

-Adaptation de l'aérien possible par

contact pénétrant.

-Rayonnement parasite de la

discontinuité ligne aérienne.

-Rayonnement parasite possible du

circuit de distribution en millimétrique

- Structure figée après gravure

-Procédé technologique plus simple

par gravure sur la même face de

l'antenne et du circuit d'alimentation.

-Rayonnement parasite possible du

circuit de distribution en millimétrique

- Structure figée après gravure

-Paramétrage du positionnement relatif

de la ligne nécessaire pour adapter

l'antenne.

-Dessin du circuit d'alimentation

modifiable par rapport aux aériens

-Bande passante plus large par

augmentation de la hauteur

(h1+h2>h1)

- Deux couches de substrat requises.

-Difficulté pour l'intégration de

dispositifs actifs et pour la dissipation

de chaleur.

18

- Procédé technologique simple.

- facilités pour intégrer des dispositifs

actifs et dissiper la chaleur résultante.

-Rayonnement arrière parasite possible

de la fente

- Transition fente-ligne de transmission

-Mêmes avantages que le cas de la

ligne à fente.

- Faible rayonnement arrière

-Transitions simples pour l'intégration

des dispositifs actifs et de circuit

MMIC.

-Génération de modes de propagation

parasites sur les guides d'onde

coplanaires.

-Réalisation du circuit de distribution

et de l'aérien indépendante.

-Séparation électromagnétique des

deux couches.

-Possibilité d'élargir la bande en

associant la résonance de l'élément

rayonnant à celle de la fente.

-Technologie plus coûteuse et

complexe (positionnement des deux

couches, quatre faces de métallisation)

-Intégration sur un support mécanique

nécessitant des précautions

-Rayonnement arrière parasite de la

fente lorsque celle-ci résonne au

voisinage de l'élément.

-Même avantages que le cas du

couplage par fente

- Rayonnement arrière nul

- Technologie très coûteuse

-Apparition possible de modes

parasites microstrip de propagation

entre le ruban conducteur et le plan de

masse de la fente.

Tableau. 2: Différents types d'alimentation d'une antenne patch

19

VII. CHOIX DU TYPE DE LIGNES DE TRANSMISSION PLANAIRE

Dans le cas d'application fort gain, l'alimentation des différents éléments

s'effectue le plus souvent par l'intermédia ire de ligne de transmission type microruban.

Plus la fréquence augmente, plus l'étude de la ligne doit être minutieuse, puisqu'elle

contribue à un rayonnement parasite souvent dû à sa géométrie. Alors le choix

d�utiliser une technologie associée à la réalis ation de lignes de transmission de type

microruban est justifié au regard des considérations suivantes:

- Pertes Ohmiques à très haute fréquence (facteur de perte prépondérant): les

lignes « microruban » permettent de minimi ser leur impact au regard des autres

lignes.

- Influence de l�épaisseur des conducteurs: les lignes « microruban » y sont moins

sensibles.

- Effets dispersifs: Dispersions des caractéristiques électriques avec la fréquence.

- Influence de l�environnement sur les caractéristiques des fonctions réalisées: les

circuits réalisés en technologie microruban y sont moins sensibles puisque la présence

d�un plan de masse permet une isolation arrière intrinsèque.

- Excitations des modes de substrat : ces modes ont la possibilité d �être excités

quelle que soit la technologie choisie. Néanmoins, les contraintes sur les

caractéristiques de substrat, liées à leur non- excitation, sont moins importantes pour la

technologie microruban.

- Rayonnement des lignes et discontinuités de géométrie: ce phénomène est plus

important pour la technologie microruban. Lorsque ce phénomène est maîtrisé il est

plutôt favorable s �il est associé au rayonnement d �une antenne planaire. Par contre, il

nécessite un choix judicieux de la topologie des discontinuités et de la géométrie des

lignes lorsque l�on désire le minimiser, par exemple, lorsque l �on désire limiter les

effets perturbateurs associés à une alimentation d �antenne de type patch par ligne

microruban.

- Pré dimensionnement à l�aide d�outils de simulations électromagnétiques

disponibles: la simulation de circuits microruban est plus aisée car leur excitation est

relativement simple, ce qui n �est pas forcément le cas pour des fonctions réalisées en

d'autres technologie.

20

VII.1. Effet de la dispersion dans Les lignes microrubans

L'atténuation des signaux au cours de leur propagation sur les circuits

microrubans est principalement due à quatre causes [1, 14, 30]:

- les pertes ohmiques du conducteur (ou pertes par effet Joule),

- les pertes diélectriques,

- les pertes par ondes de surface; (piégées dans le diélectrique).

- les pertes par rayonnement principalement dues aux discontinuités. Notant que ces

pertes par rayonnement sont à prendre en compte dès que l'on monte en fréquence.

VII.2. Discontinuités sur les lignes microrubans

Les lignes de transmission dans les circuits ne sont jamais droites et uniformes,

elles comportent des discontinuités comme des changements de direction, de largeur,

des intersections. Ces discontinuités peuvent être à l'origine de l'apparition de modes

supérieurs. Ces modes s'atténuent rapidement lorsque l'énergie s'éloigne de la

discontinuité, si la fréquence de travail est inférieure à la fréquence de coupure, ce qui

peut ne plus être le cas lorsque les fréque nces de travail augmentent. De plus, toujours

pour des fréquences élevées, le mode dominant devient dispersif et la discontinuité est

à l'origine d'un rayonnement parasite [31]. Ainsi, si les discontinuités ne semblent pas

avoir d'influence aux basses fréquences ( f<20 GHz), de nombreux problèmes de

dispersion, de pertes et de rayonnement sont à l'origine d'une baisse des performances

(principalement pertes sur le gain des antennes) particulièrement aux hautes

fréquences.

VIII. CONCLUSION

Dans ce chapitre, nous avons présenté brièvement les antennes patches, les

différents matériaux et substrat utilisés, aussi nous avons évoqué l'influence de

l'apparition des modes de substrat sur les caractéristiques de rayonnement et la

limitation de leur excitation. Ainsi que les différentes méthodes d'alimentation

rencontrée dans la littérature, nous avons également discuté les avantages et les

principales contraintes imposées à la réalisation de ces structures d'alimentation, de

plus nous avons explicité les considérations du choix de la ligne d'alimentation du

type microruban et les principales discontinuités sur ces lignes. Finalement nous

avons présenté les méthodes d'analyse utilisées pour traiter ce genre d'antenne, on se

basant sur les modèles électromagnétiques notamment la méthode des moments.

21

CHAPITRE 2

CARACTERISTIQUES DE RESONANCE ET DE RAYONNEMENT DES ANTENNES A PATCH

RECTANGULAIRE ET CIRCULAIRE

22

I. INTRODUCTION

ne conception précise des antennes à patch rectangulaire et circulaire imprimé

sur un substrat épais peut être faite en utilisant la méthode des moments [2-6],

qui s'est avérée être un outil très utile et précis pour l'analyse et la conception des

structures microruban. Une équation intégrale peut être formulée en utilisant la

fonction de Green sur un substrat diélectrique épais afin de déterminer le champ

électrique à un point quelconque. La solution d'une équation intégrale est finalement

obtenue par la méthode des moments avec un système donné des conditions de bord.

À partir de cette analyse, la distribution du courant sur le patch est déterminée [6, 11,

13, 14, 17-20, 34], le choix du domaine entier défini sur la plaque conductrice est

illustré pour développer les courants inconnus sur cette dernière. Puisque l'effet de

différents paramètres sur la directivité d'une antenne microruban n'a pas été encore

traité, un certain nombre de résultats concernant ce cas sont présentés dans cette

étude, aussi il est important de comparer la directivité entre la forme rectangulaire et

circulaire.

II. MISE EN EQUATION DU PROBLEME

L�étude théorique est basée sur une équation intégrale, résolue dans le domaine

spectral à l�aide de la méthode des moments. Les courants de surface sont

décomposés sur une base de fonctions orthogonales dont le choix est un critère

important pour la convergence des intégral es mises en jeu [11, 13, 14, 17-20, 34]. Les

fonctions de test sont prises identiques aux fonctions de base (méthode de Galerkin)

[6, 14, 20]. Ces fonctions utilisent les modes TM et TE, le champ électrique tangentiel

est calculé à partir des fonctions dya diques de Green [6, 11, 13-21, 33, 35, 36, 42, 46,

50] et des courants de surface. La géométrie considérée est donnée en figure 1 du

chapitre précèdent, avec une plaque conductri ce soit de forme rectangulaire ayant des

dimensions (a, b) selon respectivement, les deux axes x et y, ou de forme circulaire de

rayon a.

II. 1. DETERMINATION DU TENSEUR SPECTRAL DE GREEN

Plusieurs techniques et méthodes sont utilisées pour la détermination du tenseur

spectral de Green, l�approche adoptée dans ce chapitre pour le calcul de ce tenseur est

basée sur l�étude de la discontinuité du champ magnétique H à l�interface du

conducteur et les composantes tangentielles qui seront directement déduites via les

U

23

équations de Maxwell. Cette étude mène à une relation matricielle entre les

composantes tangentielles spectrales de E et celles de J .

La condition de bord sur la plaque conductrice est donnée par [66]:

0incscat EE

incE Composante tangentielle du champ électrique incident

scatE Composante tangentielle du champ électrique dispersé

Tenant compte des équations de Maxw ell dans le domaine spectral, les

composantes transversales électriques et magnétiques sont données par [13, 17, 19,

21]:

szj

szj

ss eez kBkAkE zz kk,~

szj

szj

sss eekz kBkAgkH zz kk,~

Avec :

A et B sont deux vecteurs à deux composantes à déterminer [19].

g représente l�admittance caractéristique des modes TM et TE.

0

0

0

0

z

z

r

kkg

TEz

TMz

kk

00

zk

TEz

TMzz kkk

221

2sz kkk , rkk 01 et 000k

k0 et k1 représentent les constantes de propagation dans l �espace libre et dans le

substrat respectivement.

(2)

(3)

(1)

24

Cas rectangulaire sk = sk , ( sk est le vecteur d'onde transverse)

zEzE

zs

ETs

sMT

sss ,~

,~,~

kk

kE , zHzH

zs

ETs

sMT

sss ,~

,~,~

kk

kH

Les composantes transverses du champ électromagnétiques sont obtenues en

utilisant une formulation par les transformées vectorielles de Fourier:

zdzEzE

z ssssssy

sxss ,~,

41

,,

, 2 kErkFkrr

rE

zdzHzH

z ssssssx

syss ,~,

41

,,

, 2 kHrkFkrr

rH

Cas circulaire sk = k , ( k est le nombre d'onde transverse)

zkEzkE

zk TE

TM

s ,~,~

,~E , zH

zHz TE

TM

s ,~,~

,~kk

kH

Les composantes transverses du champ électromagnétiques dans ce cas sont

obtenues en utilisant une formulation par les transformées vectorielles de Hankel:

0

,~,,,

, zkkkkdezEzE

z sni

s EHE

0

,~,,,

, zkkkkdezHzH

z sni

s HHH

Avec

ss rkF , , ,kH sont les noyaux de transformée vectorielle de Fourier et de

Hankel respectivement.

(5-a)

(5-b)

(5)

(4)

(4-b)

(4-a)

25

L�élimination de A et B dans les équations (2) et (3) mène aux calculs des

composantes tangentielles des champs électriques et magnétiques d �une interface z2

en fonction de celle existante sur l �interface z1.

ss

s

s

s

kJkHkE

IggI

kHkE

~0

,~,~

cossinsincos

,~,~

1

11

2

2

zz

hkhkjhkjhk

zz

zz

zz

Avec I matrice unité d�ordre 2.

En appliquant les conditions aux limites pour la structure considérée et après

quelques développements algébriques le tenseur spectral de Green s �écrit :

ET

MT

GG

00

G

Avec :

zzzr

zMT

khkkjhkG

cot1cos

10

0

10

0

cot1cos1

zzzz

ET

khkkjhkG

Avec:

hkkk zz cos01

Ce tenseur est factorisé en une matrice diagonale ayant toujours la même forme,

indépendante de la géométrie de la plaque rayonnante [13, 19]. Il contient donc toutes

les indications concernant la structure étudiée.

(7)

(8.b)

(8.a)

(6)

26

II. 2. EQUATION INTEGRALE DU CHAMP ELECTRIQUE (EFIE)

Les composantes tangentielles du champ électrique sont données selon le

formalisme des transformées vectoriel de F ourier dans le cas d'un patch rectangulaire

[17, 19, 21, 34, 49] et selon le formalisme des transformées vectoriel de Hankel dans

le cas d'un patch de forme circulaire [34, 39-44, 55].

La solution des problèmes de propagation (dispersion) est parmi les applications

majeures des méthodes intégrales. Dans de tels problèmes, l �onde incidente frappe un

objet provoquant un courant qui circule sur la surface de ce dernier et à son tour, ce

courant produit une onde appelée l �onde de dispersion (the scattered wave) [22].

Ainsi, ces méthodes intégrales permettent de trouver la solution d �un problème de

propagation en déterminant les distributions de courant ou de champ sur une surface

particulière qui est en général une surface de discontinuité (dans notre cas c �est

l�interface de la plaque conductrice).

Dans le domaine spectral et en représentation (TM, TE) le champ électrique

tangentiel nE~ sur l�interface de la plaque conductrice est lié au courant skJ~ de

cette dernière par :

ssss kJkGkE ~~

où G est la fonction spectrale dyadique de Green donnée par l'équation (7) et

skJ~ est le courant sur le patch qui est reliée à la transformée vectorielle de Fourier

de J(rs) dans le cas d'un patch rectangulaire [49] et à la transformée vectorielle de

Hankel dans le cas d'un patch de forme circulaire [42].

Le patch rectangulaire de longueur a et de largeur b est imprimé sur un substrat

diélectrique qui a une épaisseur uniforme h. En utilisant la procédure de Galerkin le

courant de surface sur le patch peut être développé en une série de fonctions de base

connues Jxn et Jym.

M

m symm

N

n

sxnns J

bJ

a11

00 rr

rJ

(10)

(9)

27

Avec an et bm sont les coefficients inconnus à déterminer dans les directions x et

y respectivement.

Les fonctions de base sont en rapport direct avec la géométrie de la plaque

conductrice, généralement pour la plaque conductrice résonnante, le développement

des courants du domaine entier mènent à la convergence rapide et peuvent être liés à

un type d'interprétation du modèle de la cavité [49]. Dans ce chapitre les fonctions

sinusoïdales sans conditions de bord ont été choisies pour la géométrie rectangulaire.

Les courants dirigés suivant x et y ont été employés avec les formes suivantes [33,

50].

2sin 1 ax

a

nJ

xn sr

2cos 2 by

b

n

2cos 1 ax

a

mJ

ym sr

2sin 2 by

b

m

Dans le cas d'une antenne patch circulaire les transformées vectorielles de

Hankel de mnk et pnf ont été utilisés [42].

a

bam p

pnpnmnmnn

01 1

fkk

Où

pnmn fk et sont donnés par:

a

anin

mn

n

mn

0

J

J

mn

mn

k

(11)

(12)

(14)

(13)

28

a

ani

pnn

pnnpn

np

0

J

J

f

knJ : fonction de Bessel de première espèce d'ordre n et d'argument k .

knJ : dérivée de la fonction de Bessel par rapport à l'argument.

Avec:

Mmamnn ,3,2,1pour 0J , Papnn ,3,2,1ppour 0J

L'équation intégrale décrivant le champ E du patch rectangulaire ou circulaire

peut être discrétisée par la matrice suivante:

01

1

M

N

MMNM

MNNN

ba

ZZ

ZZ

43

21

Dans le cas rectangulaire les éléments de la matrice impédance sont donnés par:

sxnsxkTE

yTM

xs

s JJGkGkk

d kkkZ1~ ~1 22

2

symsxkTETM

s

yxs JJGG

kkk

d kkkZ2~ ~

2

sxnsylTETM

s

yxs JJGG

kkk

d kkkZ 3~ ~

2

symsylTE

xTM

ys

s JJGkGkk

d kkkZ4~ ~1 22

2

(17.c)

(17.d)

(17.a)

(17.b)

(15)

(16)

29

Dans le cas circulaire les éléments de la matrice impédance sont donnés par:

kkkkkd mnT

jn1 KGKZ ~~

0

kkkkdk pnT

jn2 FGKZ ~~

0

kkkkdk mnT

kn3 KGFZ ~~

0

kkkkdk pnT

kn4 FGFZ ~~

0

Dans l'équation (17), J~ est la transformée de Fourier qui sera donnée

ultérieurement, Dans l'équation (18), KF ~,~ sont les transformées de Hankel de F et K

respectivement.

II.3. FREQUENCE DE RESONANCE

Puisque le système d�équations est homogène, sa solution non triviale est

atteinte quand le déterminant de la matrice Z disparaît.

0det Z

La fréquence de résonance complexe peut être déterminée par la recherche

numérique de la racine de l'équation aux valeurs propres précédentes

ir fjff

Où la partie réelle rf est la fréquence de résonance de la bande résonatrice (patch

résonateur) et if traduit les pertes par rayonnement.

La conception de la fréquence complexe, qui était introduite pour la première

fois par Itoh et al [20] dans le calcul des fréquences de résonance, et le facteur de

(18.a)

(18.c)

(18.b)

(18.d)

(19)

(20)

30

qualité Q des antennes planaires ont été la base pour l �analyse de plusieurs types de

radiateurs microbande [20], [45]. Malheureusement dans tous ces travaux, il parait

que les intégrales des éléments de la matrice impédance ont été évaluées le long de

l�axe réel, bien que ce type d�intégration est acceptable sous certaines conditions;

c.à.d substrat mince, fréquence basse et un faible permittivité [20], ce problème a été

résolu et publié par Assailly et al [20] où ils présentent le chemin correct d �intégration

dans le but d�éviter les pôles des ondes de surface sur l �axe réel.

Durant l�évaluation numérique des éléments de la matrice Z , nous avons

rencontré le problème des singularités ou pôles, correspondant aux ondes de surface

électrique et magnétique, donc il fallait trouver le chemin correct d �intégration pour

éviter ces pôles. Dans la recherche des zéros du système d �équations linéaires les

fréquences de résonances peuvent être complexes et avoir une partie imaginaire

négative et petite. La fonction sMT kG contient des singularités dans le segment

r00 , kk ; [11, 13, 46-48], donc le chemin d �intégration doit être légèrement

déformé afin que, les chemins de la migration de ces singularités ne traversent pas le

chemin d�intégration.

Dans le plan complexe de la variable spectrale sk , la méthode classique utilisée

pour détourner ces singularités consiste à déformer le contour d �intégration de l �axe

réel C vers le contour C1 qui contourne les pôles par des petits demi-cercles. Voir

Figure 1.

Fig. 1. Chemin d�intégration dans le plan complexe

rk0 0k Pôle skRe

skIm

gk

Point de branchement

Chemin original d�intégration (C)

Chemin déformé d�intégration (C1)

31

Pour h petit, il y�a un seul pôle dans la région susmentionnée, correspondant au

mode TM dans le substrat diélectrique et peut être facilement localisé. La méthode

utilisée pour localiser ce pôle converge rapidement si une bonne estimation initiale

pour l�emplacement de ce dernier est donnée.

Pour h petit et 1r , l�emplacement du pôle gk est donné approximativement

par [48] :

22300 12 rrg hkkk

Cette dernière équation sert comme une bonne estimation initiale à

l�emplacement du pôle.

La proximité de l�emplacement du pôle au chemin d �intégration est nuisible aux

évaluations numériques effectives des intégrales il est avantageux de retrancher

dehors la singularité du pôle et l �intégrer analytiquement. L �intégrale obtenue est une

fonction régulière et peut être intégrée efficacement en utilisant la quadrature de

Gauss. Cependant, pour un substrat épais, plusieurs pôles peuvent exister, et

l�élaboration analytique des intégrales autour des demi-cercles peut se compliquer si

deux ou plusieurs pôles sont très proches [13, 19, 55]. Le nombre total des pôles est

déterminé par la fréquence du fonctionnement et les paramètres dimensionnels du

substrat [13, 47, 55]. Il peut être montré [11] que si 2

1 210 rhk alors le

dénominateur de sET kG n�a aucun zéro par contre celui de s

MT kG a un seul.

II.4. DIAGRAMME DE RAYONNEMENT

Pour déterminer les champs lointains E et E , on utilise la méthode classique

de la phase stationnaire [17, 19, 21, 36], après avoir trouvé les coefficients du courant

sur le patch par la détermination du vecteur propre minimal de la matrice impédance.

Les expressions des champs lointains s'écrivent:

ET

MT

ET

MT

JJ

GG

rrkj

kjEE

~~

cos00

2exp 0

0

(21)

(22)

32

II.5. DIRECTIVITE

La directivité ou le gain en directivité est le rapport de l'intensité du

rayonnement dans une direction donnée sur l'intensité du rayonnement d'une antenne

de référence qui est supposée être une source isotrope. La directivité de l'antenne est

donnée par l'expression suivante [6, 14, 53, 54, 95]:

2

0 0

sin,

,4,ddF

FD

Où:

,F : L'intensité du rayonnement, voir annexe B.

III. RESULTATS ET DISCUSSION

Une analyse rigoureuse est présentée pour obtenir la fréquence de résonance

complexe d'une antenne patch rectangulaire, la procédure de Galerkin de la méthode

des moments avec des fonctions de base sinusoïdales sans condition de bord du

domaine entier est étudiée. Les dimensions de l'antenne patch rectangulaire sont de

1.5 cm 1 cm, le substrat a une constante diélectrique relative de r = 2.35. Le mode

TM01 est considéré dans ce travail, les parties réelle et imaginaire normalisées de la

fréquence de résonance complexe pour cette structure sont données en fonction de

l'épaisseur h, la normalisation est faite par rapport à la fréquence de résonance f0 du

modèle de la cavité (figures 2, 3). Une étude comparative montre un accord précis

entre nos résultats et ceux disponibles dans la littérature [51].

(23)

33

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.84

0.86

0.88

0.9

0.92

0.94

0.96

0.98

1 This paper

Results of [4]

Fig. 2 Partie réelle de la fréquence de résonance normalisée en fonction de l'épaisseur

du substrat pour le mode TM01 (sans condition de bord).

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

This paper

Results of [4]

Fig. 3 Partie imaginaire de la fréquence de résonance normalisée en fonction de

l'épaisseur du substrat (sans condition de bord).

h (cm)

Imag ( f / f0 )

h (cm)

Réel ( f / f0 )

Nos résultats

Résultat de [51]

Nos résultats

Résultats de [51]

34

Le tableau 1 montre une étude comparative entre les données calculées et

mesurées présentées par [19, 55] et les résultats calculés à partir de notre modèle.

Pour des patches parfaitement conducteurs de différentes paramètres dimensionnelles

et électriques, on constate un très bon accord entre nos résultats et l'expérience, il est

important de noter que le mode étudiée dans ce travail est le mode dominant TM11.

No d'antenne a (cm) h (cm) r

1 3.493 0.1588 2.50

2 1.270 0.0794 2.59

3 3.493 0.3175 2.50

4 13.894 1.2700 2.70

5 4.950 0.2350 4.55

6 3.975 0.2350 4.55

7 2.990 0.2350 4.55

8 2.000 0.2350 4.55

9 1.040 0.2350 4.55

10 0.770 0.2350 4.55

Tableau. 1 a: Paramètres dimensionnelles et él ectriques des patches circulaires

Il est important de noter que le mode la normalisation de la fréquence de

résonance dans le tableau 1 est par rapport à f0 du modèle de la cavité, le mode étudié

dans ce travail est le mode dominant TM01.

35

Fréquence de résonance (Ghz)

Résultats de [55] Résultats de [19]

mesurées calculées modèle de

la cavité

mode de

Chebychev

Nos

résultats

1 1.570 1.555 1.560 1.545 1.544

2 4.070 4.175 4.188 4.142 4.145

3 1.510 1.522 1.528 1.510 1.512

4 0.378 0.370 0.370 0.366 0.367

5 0.825 0.825 0.824 0.815 0.818

6 1.030 1.027 1.023 1.011 1.015

7 1.360 1.358 1.352 1.334 1.343

8 2.003 2.009 1.995 1.966 1.990

9 3.750 3.744 3.683 3.626 3.748

10 4.945 4.938 4.825 4.750 5.000

Tableau. 1 b: Comparaison des fréquences de résonance mesurées et calculées des

patches circulaires présentées en tableau1 a.

36

Fig. 4. Directivité des antennes patches rectangulai re et circulaire en fonction de la

constante diélectrique relative du substrat. h = 0.159cm, freq = 2.4Ghz

La figure 4 montre l'effet de la constante diélectrique relative du substrat sur la

directivité pour une antenne patch fonctionnent à 2.4 Ghz avec un substrat d'épaisseur

h=0.159 cm, on note qu'une augmentation de la constante diélectrique relative du

substrat cause une diminution de la directivité, donc il est préférable de travailler avec

des substrats de faible constantes diélectriques. La même remarque est faite pour le

cas d'un patch carrée (a=b=2.0cm) et circulaire (a=2.0cm), figure (5. a, b) avec un

substrat d'épaisseur h=0.159cm; c. à. d l'augmentation de la constante diélectrique du

substrat cause une diminution de la fréquence de résonance, mais on note que pour les

mêmes paramètres dimensionnelles la gamme de fréquence dans le cas carrée est

beaucoup plus important que pour le cas circulaire on note aussi d'après la courbe (6.

a, b) que pour le même substrat diélectrique h=0.159 cm, r =2.5 la fréquence de

résonance du patch carrée est très élevée par rapport au cas circulaire. On constate

aussi d'après ces courbes que le travail avec des antennes microstrip à des fréquences

élevées offre la possibilité de leur miniaturisation ce qui est en accord avec ceux déjà

publies dans [48].

(dB)

Rectangulaire Circulaire

37

(a)

Fig. 5. Fréquence de résonance en fonction de la constante diélectriq ue du substrat

(a) cas carrée, (b) cas circulaire

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 4.6

4.8

5

5.2

5.4

5.6

5.8

6

6.2 (Ghz)

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

2.6

2.7

2.8

2.9 (Ghz)

38

Fig. 6. Fréquence de résonance en fonction de dimensionnement de patch a

(a) cas carrée, (b) cas circulaire r =2.5, h=0.159cm, a=b=2.0cm

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 (Ghz)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5 (Ghz)

(cm)

(cm) (a)

(b)

39

La figure 7 montre qu'une augmentation de la fréquence cause une augmentation

de la directivité. On constate aussi d'après cette figure que dans le cas d'un patch

circulaire on a une légère augmentation de la directivité comparée au cas du patch

rectangulaire, nous pouvons voir sans peine à pa rtir de ces deux courbes que l'antenne

patch circulaire est plus directive par rapport à l'antenne patch rectangulaire et

deviennent plus significatifs lorsque la fréquence diminue.

Fig. 7. Directivité des antennes patches rectangulai re et circulaire en fonction de la

fréquence h = 0.159cm, r = 2.5

(dB)

(Ghz)

Rectangulaire

Circulaire

40

Fig. 8. Directivité en fonction de la fréquence de résonance

(a) cas carrée, (b) cas circulaire r varie, h=0.159cm, a=b=2.0cm

4.6 4.8 5 5.2 5.4 5.6 5.8 6 6.2 (Ghz)

6

6.5

7

7.5 (dB)

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 (Ghz)

6

6.5

7

7.5 (dB)

41

Les courbes de la figure 8 montrent l'allure de la directivité d'une antenne patch

de forme carrée et circulaire avec la variation de la fréquence, en note qu'une

augmentation dans la fréquence se traduit par une augmentation dans la directivité,

alors pour améliorer la directivité on travaille à des fréquences élevées.

IV. CONCLUSION

La technique de la méthode des moments a été développée pour les deux cas de

géométrie rectangulaire et circulaire. La directivité peut être trouvée par l'intégration

numérique du modèle du champ lointain. Une technique efficace de la fonction

dyadique de Green est présentée, l'étude comparative entre ces deux différentes

formes est faite et elle est comparée avec d'autres résultats disponibles dans la

littérature. L'effet des différents paramètres sur la fréquence de résonance et sur la

directivité est étudié.

Les résultats du modèle développé montre un accord très précis entre nos

valeurs et celles disponibles dans la littérature.

42

CHAPITRE 3

ANALYSE D'UNE ANTENNE PATCH RECTANGULAIRE AVEC EXCITATION

43

I. INTRODUCTION

e but de ce chapitre est d�analyser l'antenne microbande par une méthode de

niveau de complexité élevée et de me ttre au point les algorithmes correspondant

pour calculer les caractéristiques de rayonne ment tenant compte de la source

d�alimentation.

L�alimentation des antennes microbandes est assurée par plusieurs techniques.

La structure d�alimentation présente un élément essentiel dans la conception des

antennes microbandes. Sans une alimentation adéquate, l �antenne réelle ne peut pas

fonctionner correctement alors une étude théorique sur les différentes techniques

d�alimentations a été menée dans ce travail.

Les différentes méthodes d'alimentations des antennes patches peuvent être

regroupées en deux grandes catégories:

II. SYSTEME A UNE SEULE COUCHE INTEGRE, ALIMENTATION PAR

CONTACT (TYPE OUVERT)

Dans ce système, le mécanisme d'alimentation et l'élément rayonnant sont placés

sur une seule couche diélectrique du substrat. L'élément peut être alimenté soit à partir

d'un bord du patch en utilisant une ligne microstrip ou en arrière du substrat en

utilisant une sonde d'alimentation.

II.1. L'alimentation par ligne microstrip

La ligne microstrip d'alimentation constitue également un élément rayonnant

mais dont la largeur est généralement très inférieure par rapport à celle du patch

(figure 1). Ce type d'alimentation est facile à mettre en �uvre et permet une

adaptation d'impédance facile par simple positionnement du point de contact. Par

contre, on a un rayonnement parasite qui peut devenir considérable, aux hautes

fréquences; le paramètre additionnel qui doit être considéré est les pertes (par

longueur d'onde). Ces pertes additionnelles sont dues à l'excitation par onde de

surface. Dans une certaine mesure on peut é liminer ces pertes par la galvanoplastie

[14].

L

44

Fig. 1. Alimentation par ligne microruban

II.2. L'alimentation coaxiale

L'alimentation coaxiale où le conducteur intérieur est attaché au patch et le

conducteur externe au plan de masse est largement utilisée (figure 2). Ce type

d'alimentation est facile à mettre en �uvre et à adapter. Mais il offre une bande

passante étroite et il est difficile à modéliser particulièrement pour des épaisseurs du

substrat supérieures à 002.0 [14]. L'avantage de cette alimentation est qu'elle occupe

moins d'espace que l'alimentation par ligne microstrip. La réactance offerte par la

sonde est un facteur constitutif dans la conception de l'alimentation, lorsque la

fréquence augmente, cette réactance (de la sonde) devient excessive en comparant

avec l'impédance d'entrée de l'antenne, et par conséquent l'alimentation par sonde n'est

pas convenable pour les hautes fréquences à moins que quelques autres dispositions

soient prise pour éliminer cette réactance due à la sonde par l'accord avec les stubs

capacitifs.

Fig. 2. Alimentation par sonde coaxiale

Plan de masse Cable coaxial

Patch

Substrat

Plan de masse

Ligne microstrip

Patch

Substrat

45

L'alimentation par ligne microruban ou par câble coaxial présente une asymétrie

qui génère une composante croisée. Pour remédier à cet état de fait, l'alimentation par

proximité a été introduite [14, 56-59] .

III. SYSTEME A DOUBLE COUCHE INTEGRE, ALIMENTATIONS PAR

PROXIMITE (TYPE FERME)

L'alimentation par contact a traité des structures d'alimentation situées sur le

même substrat que l'élément rayonnant. Les limitations de ce type d'alimentation

sont :

- dans ces structures, l'alimentation occupe une place considérable et peut obstruer le

rayonnement à partir des éléments de réseau,

- le rayonnement parasite de la structure d'alimentation intervenant avec l'élément

rayonnant, causant la détérioration au niveau de la polarisation croisée (cross

polarisation) du réseau principal.

- l'adaptation parfaite de la ligne d'alimentation à l'élément de l'antenne n'est pas

toujours possible.

On peut éliminer toutes ces difficultés da ns l'alimentation en utilisant l'alimentation

dans un autre type de configuration à double couche. Bien que le système devient

encombrant dû à une autre couche, cette structure est meilleur parce qu'elle élimine

tous les inconvénients des configurations ouvertes. Le couplage électromagnétique

EMC est parmi les différents types de ce système d'alimentation .

La conception des antennes patches par couplage électromagnétique EMC telles que

le couplage par proximité et le couplage par fente ont beaucoup d'avantages par

rapport à l'alimentation par contact "l'excitation coaxial et l'excitation aux extrémités

directes du patch". Parmi ces avantages:

- aucun contact physique entre la ligne d'alimentation et l'élément rayonnant.

- pas besoin d'un perçage

- moins de rayonnement parasite

- meilleur pour les réseaux

- bonne suppression des modes d'ordre supérieur

- une meilleure performance à haute fréquence

46

III.1. Couplage par fente

Fig. 3. Couplage par fente

Dans le couplage par fente, l'énergie RF de la ligne d'alimentation est couplée à

l'élément rayonnant par une ouverture commune sous forme d'une fente rectangulaire,

en 1985 Pozar a proposé ce type d'alimentation [60].

Ce type d'alimentation est le plus difficile à mettre en �uvre. De plus, il présente

une bande passante étroite et présente un rayonnement parasite faible. Il se compose

de deux substrats séparés par un plan de masse sur lequel est pratiqué la fente. La

ligne d'alimentation se situe sur la face libre du substrat inférieur et l'élément

rayonnant se trouve sur la face libre du substrat supérieur. Cette configuration permet

une optimisation indépendante entre la ligne d'alimentation et l'élément rayonnant. En

général un diélectrique avec une permittivité élevée est utilisé pour le substrat

inférieur et un diélectrique épais avec une permittivité faible est utilisé pour le substrat

supérieur. Le plan de masse isole la ligne d'alimentation de l'élément rayonnant et

limite l'interférence du rayonnement parasite sur le diagramme de rayonnement et

offre ainsi une plus grande pureté de polarisation. Pour cette structure, les paramètres

électriques du substrat, la largeur de la ligne d'alimentation et la taille de la fente

Plan de masse

Ligne microstrip

Patch

Fente dans le plan de masse

Substrat d'alimentation

Substrat d'antenne

47

peuvent être utilisés pour optimiser l'antenne. L'adaptation d'impédance s'effectue en

agissant sur la largeur de la ligne d'alimentation et sur la longueur de la fente.

III.2. Conception d'une antenne microstrip alimentée par proximité

Le couplage par proximité est un autre type d'alimentation EMC. Ce type

d'alimentation (figure 4) offre la meilleure bande passante (environ 13%) [14]. Il est

facile à modéliser et présente un rayonnement parasite faible. La distance entre la

ligne d'alimentation et le patch peut être utilisée pour adapter l'impédance de

l'antenne. Le principal inconvénient de ce type d'alimentation est qu'il est difficile à

mettre en �uvre.

Fig. 4. Couplage par proximité en sandwich

L'antenne couplée par proximité se compose de deux couches: la couche

d'alimentation qui est une ligne microstrip de 50 avec un plan de masse et la

couche supérieur qui contient le patch rayonnant.

Le niveau du couplage peut être ajusté en changeant la longueur de la distance s

de chevauchement (figure 4). D'après G. Splitt et al, [14] un couplage maximum se

produit quand la distance de chevauchement est approximativement égale à la moitié

de la longueur du patch.

Plan de masse Ligne microstrip

Patch

b

s

wf

a h2

h1

x

y

z

48

Pour une conception typique la fréquence de résonance décale vers le haut par 1

à 2 % pour un chevauchement de b/2, ainsi les dimensions du patch devraient être

conçues à une plus basse fréquence [14].

IV. CHOIX DE L�ALIMENTATION

Plusieurs méthodes ont été exposées. Les plus utilisées sont :

La ligne microstrip, la sonde coaxiale, le couplage par fente, le couplage par

proximité.

En effet, l�utilisation d�une alimentation microruban (figure 1) crée une

discontinuité entre la ligne microruban et l �élément rayonnant. Ceci augmente le

coefficient de réflexion S 11, par suite l�adaptation de l�impédance d�entrée de

l�antenne se dégrade. De plus cette méthode donne une bande plus étroite [14] .

Les deux autres méthodes possibles, à savoir l �alimentation par fente ou

l�alimentation par sonde coaxiale, malgré leur large bande, sont compliquées et donc

ne vérifient pas la contrainte de simplicité de la structure. Finalement, le couplage par

proximité (en sandwich) réunit la simplicité et la large bande. Son inconvénient est le

rayonnement parasite de la partie non masquée de la ligne d �alimentation.

Dans ce travail nous nous intéressons à l'alimentation par ligne microruban et

l'alimentation par proximité.

49

V. THEORIE

Le mécanisme d'excitation des antennes microstrip de forme rectangulaire

excitée par couplage électromagnétique est fourni par une ligne de transmission

incluse à l'intérieur du substrat (figure4, 5) qui couple l'énergie parasite à l'antenne

microstrip.

Fig. 5. Couplage par proximité en sandwich, vue de dessus

Ce type de couplage électromagnétique a été proposé la première fois par

Oltman pour les dipôles suspendus et plusieurs analyses théoriques et études

expérimentales ont été faites [61, 62] . Le couplage électromagnétique des dipôles

microstrip [63, 64] ont été étudiés par des techniques empiriques et par des analyses

approximatives, et un modèle très approximatif a été dérivé pour l'antenne microstrip

rectangulaire [62, 63]. Cependant puisque le mécanisme de couplage est fortement

affecté par l'existence de diélectrique [14], les caractéristiques de l'antenne telles que

l'impédance d'entrée et la fréquence de résonance peuvent être tout à fait différentes

de celle d'un milieu homogène. Dans ces analyses théoriques un milieu homogène a

été proposé. Puisque le mécanisme de rayonnement d'un dipôle microstrip est très

semblable à celui d'un microstrip patch [63], le modèle développé dans le cas de

dipôle [63] est applicable à l'analyse et à la conceptions des éléments microbande qui

sont de forme rectangulaire mais avec une largeur plus petite que la longueur de

l'élément (patch). Récemment, les chercheurs ont rapportés une analyse rigoureuse

dans laquelle une équation intégrale est résolue [ 62, 63]. Le patch microstrip avec la

ligne de transmission considérée ici est montré dans la figure ci-dessus. Dans ce cas

de couplage par proximité (en sandwich), la ligne d'alimentation microstrip est sur un

a

b

s

50

substrat d'épaisseur h1, couvert de superstrat d'épaisseur h2 (h2=d-h1), le substrat et le

superstrat sont considérés, ayant la même constante diélectrique. Alors que pour le cas

d'alimentation par ligne microruban, nous avons simplement placé le patch et la ligne

d'alimentation sur le même substrat d'épaisseur h1, pour enlever efficacement le

superstrat. La ligne d'alimentation est encastrée par distance s de l'extrémité du patch,

c'est ce chevauchement (des modes d'expansion) qui fournit la continuité du flux du

courant de la ligne d'alimentation au patch. Le flux du courant sur le patch est

augmenté en terme de la direction x et y du courant, puisque les courants sont toujours

continus dans la direction du flux de courant. La solution est déterminée en imposant

les conditions aux limites sur le patch et sur la ligne d'alimentation.

On suppose que t1 et t2 (les épaisseurs du patch et de la ligne de transmission

respectivement) sont très petits par rapport à la longueur d'onde dans le diélectrique

( gtt 21 , ), on suppose aussi que les courants suivant le patch et la ligne

d'alimentation circulent sur les fonds de surface S1 et S2.

Le système d'antenne est séparé dans trois régions (figure 6):

Fig. 6. Système d'alimentation par proximité

La région I est une ligne microstrip utilisée comme une ligne d'alimentation,

La région II représente le chevauchement de l'antenne et de la ligne

d'alimentation. Cette région est une ligne de transmission couplée asymétrique dans

un milieu inhomogène. Dans cette région, existent deux modes indépendants avec

différentes valeurs des constantes de pr opagation, le mode C, correspondant au mode

pair dans une ligne couplée symétriques et le mode qui est semblable à un mode

impaire [62], pour chaque mode nous avons deux impédances caractéristiques

correspondant aux patch supérieur et inférieur. Au moyen de la théorie de réseau

Plan de masse

Ligne microstrip

Patch

s a-s

a

51

micro-onde [62], toutes ces impédances et constantes de propagations peuvent être

trouvées dans la région de recouvrement [62].

La région III est une ligne microstrip suspendue représentant la partie

désaccouplée de l'antenne patch.

La méthode rapportée dans ce travail est basée sur une équation intégrale dont le

champ électrique est donné par:

dsrrrv

viv

i

2,1JGE

Dans le domaine spectral et en représentation (TM, TE) ce champ électrique

tangentiel qui est lié au courant est écrit sous cette forme:

2,1

~v

svsivs

i kkk JGE

Où

Ei est le champ électrique dans le milieu i (i=1 l'air, i=2 les diélectriques),

Giv est la fonction dyadique de Green dans le milieu i, dû à la source v (v=1: patch,

v=2: la ligne de transmission), ce tenseur est factorisé en une matrice diagonale ayant

toujours la même forme et indépendante de la géométrie de la plaque rayonnante. Il

contient donc toutes les indications concernant la structure étudiée.

La méthode des moments procédure de Galerkin permet la décomposition de la

solution d'une équation intégrale suivant un développement de fonction de base grâce

à l'application d'un produit intérieur sur ces fonctions de base.

Puisque les largeurs du patch et la ligne de transmission sont des fractions de la

longueur d'onde dans le diélectrique, il peut être supposé que les courants sont

continus et parallèles à l'axe x, par conséquent, on suppose que les densités de courant

de surface J1 et J2 respectivement sur les éléments rayonnant 1 et 2 (le patch et la

ligne d'alimentation) peuvent s'exprimer au moyen d'un développement des modes de

courant et de fonctions connues.

Le vecteur de courant dans l'équation (1) peut être écrit sous plusieurs modes:

(1)

(2)

52

VI. LES DIFFERENTS MODES DE COURANT

Puisque les courants sont toujours continus dans la direction du flux de courant,

la solution est exprimée en imposant les conditions aux limites sur le patch et la ligne

d'alimentation:

0tantanscatinc EE

Où inctanE est le champ électrique tangentiel d'un courant de déplacement

électromagnétique (traveling wave current) quasi-transverse d'une onde (TEM) sur la

ligne microstrip. scattanE est le champ tangentiel dispersé dû aux courants sur le patch et les courant non-

TEM sur la ligne d'alimentation et le patch. Les courants sur la ligne d'alimentation et

le patch sont développés selon trois types de modes [ 65, 66]:

Courant de déplacement d'onde sur la ligne d'alimentation (Traveling Wave

Current),

Courant de chevauchement (Overlap Currents),

Courant du patch,

VI.1. COURANTS SUR LA LIGNE MICROSTRIP D'EXCITATION

Pour des petites largeurs de la ligne d'alimentation, la composante transversale

du courant électrique sur la ligne est trop petite par rapport à la composante

longitudinale et peut être négligée [65]. Par conséquent, seulement une composante

est considérée dans l'analyse. Le courant électrique longitudinal sur la ligne

d'alimentation est développé selon deux modes: les modes de déplacement d'onde

(traveling wave current) du domaine entier suivant la ligne semi infinie (SIM) et les

modes sinusoïdaux secondaires (piecewise sinusoidal) à proximité de l'extrémité

ouverte (PWS) [66, 68]:

(3)

53

VI.1. 1. Courants de déplacement d'onde sur la ligne d'alimentation

Elles sont données par l'équation suivante:

xfRjxfRygyxJ scfxf 11,

Où

yg f est la distribution transversale du courant qui peut inclure l'effet de bord

(premier cas) ou être supposé simplement en tant que constante pour une ligne

d'alimentation étroite (deuxième cas) [ 14, 65, 66], donc on a deux formes possibles:

Une distribution constante au large de la ligne:

ailleurs

wypourwyg

f

ff 20

1

Une distribution tenant compte de la condition de bords:

ailleurs

wypour

wywyg

f

fff 2

0

21

22

R est le coefficient de réflexion suivant la ligne à déterminer,

wf est la largeur de la ligne d'alimentation.

Les expressions xf c , xf s dans l'équation (4) sont:

,cos xkxf ec pour ekx 2

,sin xkxf es pour 0x

gek 2 est la constante de propagation de la ligne microstrip, ke est calculée à

travers une analyse rigoureuse (Full-Wave Analysis) [66, 67] dans le cas de

(4)

(5)

(6)

54

l'alimentation par proximité, l'effet du superstrat sur ke doit être inclus (la différence

entre l'alimentation par proximité et l'alimentation par ligne microstrip) [66, 67]. La

figure7 montre la disposition des modes de déplacement d'onde sur la ligne

d'alimentation.

Ce choix des modes pour l'alimentation est efficace parce qu'ils modélisent

exactement les courants de déplacement d'onde loin des courants non uniforme à la

jonction ligne d'alimentation.

Puisque ke est choisi comme constante de propagation du microstripline, les

champs tangentiels à partir de ces courants des modes de déplacement d'ondes sont

automatiquement zéro sur la ligne d'alimentation (au moins loin des extrémités).

Pour des cas pratiques la longueur de la ligne d'alimentation est finie et égale à

Lf (au lieu d'être semi infini), en prenant des expressions de Balanis et al [52], dans ce

cas la disposition des modes de déplacement d'onde sur la ligne d'alimentation est

donnée par cette figure.

Fig. 7. Disposition des modes de déplacement d'onde sur la ligne d'alimentation

Supposant le patch est centré à l'origine

Lf est la longueur finie de la ligne d'alimentation, cette longueur devrait être choisie

comme multiple de 2

e [66, 67] de sorte que les discontinuités non physiques

n'existent pas à la fin du mode [66, 67].

VI.1. 2. Courant de chevauchement overlap currents

Dans le cas ou la ligne d'alimentation entre en contact avec le patch, ou dans le

cas du couplage par proximité ou la ligne d'alimentation se termine, le courant sera

non uniforme en raison de la discontinuité, les modes piecewise sinusoïdal PWS ont

été utilisés pour modéliser ce non uniformité:

Ligne microstrip Patch a

a/2

a/2

Lf

55

fN

n

fn

fnf

fn xfIygyxJ

1

,

avec:

xf fn donnée par cette expression:

,sin

sin

fe

ffefn hk

hnxhkxf pour ff hhnx

Où

Nf : l'ensemble des modes PWS sur la ligne d'alimentation. f

nI : sont les coefficients de ces sous section de fonctions de base.

hf : est la longueur de sous section de la fonction de base rooftop sinusoïdale.

Le nombre d'onde du mode PWS est arbitraire, mais a été choisi aussi ke, pour la

simplicité

Dans le cas d'une alimentation entrante en contact, les modes de PWS

recouvrent la ligne d'alimentation et le patch et ainsi fournit la continuité du flux du

courant.

VI.2. Courant du patch

Théoriquement, il existe plusieurs systèmes des fonctions de base pour

modéliser le courant du patch, mais dans la pratique on utilise qu �un nombre limité.

Ces fonctions de base sont en rapport direct avec la géométrie de la plaque

conductrice, les courants de type entire domain mènent à une convergence rapide et

peuvent être lies à un type d'interprétation du modèle de la cavité. Les courants

suivant les directions x et y ont été utilisé avec les formes qui seront données en détail

dans le prochain chapitre.

L'étude d'une antenne microstrip avec le système d'excitation, par la méthode

spectrale fait appel au calcul des transformées de Fourier de chacun des modes

précédents.

(7)

(8)

56

Les coefficients de développement des modes précédents sont inconnus. Le

nombre d'inconnues à déterminer est égale à ( yxf NNN1 ).

Le patch et la ligne d'alimentation sont divisés en N v+1 segments avec v=1, le

patch et v=2, la ligne d'alimentation. En utilisant les formes spectrales des courants

pour l'évaluation des éléments de la matrice impédance et après un développement

mathématique pénible on aboutie à un système d'équations linéaires de cette forme:

i

mvn

vinm VIZ

Pour 2,12,1

vi

et NnMm

...3,2,1

...3,2,1

Où i

mV est le vecteur d'excitation, vnI est le vecteur des inconnus, et vi

nmZ est la

matrice impédance qui peuvent être divisées dans quatre régions, dont les éléments

sont donnés par:

22

21

12

11

224

223

124

123

222

221

122

121

214

213

114

113

212

211

112

111

VVVV

baIR

ZZZZZZZZZZZZZZZZ

m

n

fn

Avec: 11

1Z , 112Z , 11

3Z , 114Z sont les éléments de la matrice impédance propre de l'élément

rayonnant 1. 22

1Z , 222Z , 22

3Z , 224Z sont les éléments de la matrice impédance propre de l'élément

rayonnant 2

( 211Z , 21

2Z , 213Z , 21

4Z ), ( 121Z , 12

2Z , 123Z , 12

4Z ) sont les éléments de la matrice

impédance mutuelle entre les éléments rayonnant 1 et 2.

Il faut noter que les expressions de ces éléments sont au cours de publication.

Si on considère la ligne d'alimentation comme le premier élément rayonnant et

le patch comme le deuxième élément rayonnant, alors les termes 122Z par exemple de

(9)

(10)

57

la matrice impédance représentent l'impédance entre un mode sinusoïdal du domaine

entier suivant x sur le patch et un mode de PWS sur la ligne d'alimentation.

Les termes dans le vecteur de tension résultent du mode de déplacement d'onde

incidente quasi TEM sur la ligne d'alimentation, par conséquent l'amplitude de cette

onde se prend égale à l'unité, l'amplitude de l'onde du courant réfléchi est une inconnu

R, qui est le coefficient de réflexion de te nsion, les autres modes ont des coefficients,

mnf

n baI ,,

Où f

nI : est le coefficient de l'ensemble de Nf des modes PWS sur la ligne d'alimentation

na : est le coefficient de l'ensemble de Nx des modes sinusoïdaux (entire domain)

suivant la direction x des courants sur le patch.

mb : est le coefficient de l'ensemble de Ny des modes sinusoïdaux (entire domain)

suivant la direction y des courants sur le patch.

Après la détermination des inconnus, l'impédance d'entrée peut être calculée à

un point quelconque sur la ligne d'alimentation.

VII. IMPEDANCE D'ENTREE

Dans le domaine spectral l'impédance d'entrée pour une antenne s'exprimera à

l'aide des fonctions spectrales [69] et il est indispensable de connaître la distribution

du courant et le champ tangentiel.

Connaissant les courants de surface sur les éléments rayonnants, nous pouvons

déterminer l'impédance d'entrée Z in comme étant la réaction du courant d'alimentation

avec les courants existant sur les éléments rayonnants [69], dans le cas d'un courant

source d'intensité I 0. L'impédance d'entrée Zin de l'antenne s'écrit:

N

nnnin VI

IZ

120

1

Avec:

N: représente la somme du nombre total de fonction de base sur l'ensemble des deux

éléments rayonnants.

I0: étant le courant d'alimentation, on le prend égale à 1.

(11)

58

VIII. RESULTATS ET DISCUSSION

Pour la validation de la méthode numérique nous avons pris les données

expérimentales de la référence [70]. La comparaison est faite sur le tableau 1 pour la

fréquence de résonance et la résistance d'entrée mesurée par la même référence [70],

et la référence [72] calculée par la méthode des moments ainsi que pour notre modèle,

on voit bien que la fréquence de résonance augmente en fonction de la miniaturisation

de dimensionnement du patch, il ya bien concordance entre nos résultats et la mesure

[70] ainsi que les fréquences calculées par [72], cependant on note que la résistance

d'entrée mesurée [70] et calculée par notre modèle ne présente pas la même variation,

bien que celle calculée par [72] concorde bien avec notre résultat. Il faut noter que le

tableau 1 est effectué pour un chevauchement nulle entre la ligne d'alimentation et la

plaque conductrice.

Mesuré [70] [72] Nos résultats r h

(mm)

b

(mm)

a

(mm)

wf

(mm) Freq

(Ghz)

R

( )

Freq

(Ghz)

R

( )

Freq

(Ghz)

R

( )

10.2 1.27 20 30 1.19 2.26 335 2.25 350 2.21 365

10.2 1.27 9.5 15 1.19 4.43 339 4.50 350 4.60 342

10.2 2.54 19 30 2.38 2.18 363 2.33 420 2.80 342

2.22 0.79 25 40 2.42 3.92 136 3.92 130 3.69 157

2.22 0.79 12.5 20 2.42 7.56 152 7.60 160 7.49 155

2.22 1.52 25 40 4.66 3.82 119 3.80 143 3.75 155

2.22 1.52 12 20 4.66 7.72 69 7.75 145 7.75 146

Tableau. 1: Comparaison des fréquences de résonance et des résistances d'entrée

mesurées et calculées

On choisissant une antenne patch carrée de dimension a=b=4.02cm, imprimée

sur un substrat isotrope de permittivité relative r =2.55 et d'épaisseur h=0.159cm,

avec une ligne d'alimentation centrée le long du bord de rayonnement pour un

chevauchement nulle, on a représenté la variation de fréquence de résonance (figure 8.

a) ainsi que la variation de la résistance d'entrée (figure 8. b) en fonction de la largeur

de la ligne d'alimentation wf .

59

Fig. 8 L'effet de la largeur de la ligne d'alimentation wf sur

(a) la fréquence de résonance, (b) la résistance d'entrée

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 (mm)

3.51

3.52

3.53

3.54

3.55

3.56

3.57

3.58 (Ghz)

(a)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 (mm)

262

262.2

262.4

262.6

262.8

263

263.2

263.4

263.6

263.8

264

(b)

( )

(a)

(b)

60

La figure 9 montre la variation de la résistance d'entrée en fonction de la

fréquence pour la même structure, on note que la résistance d'entrée diminue en

fonction de l'augmentation de la fréquence.

Fig. 9. La résistance d'entrée en fonction de la fréquence de résonance

(wf varie, s=0)

On reprend la même structure traitée dans les figures précédentes, mais cette

fois au lieu de changer la largeur de la ligne d'alimentation (wf =1.23 cm) on ne

modifie que la distance de chevauchement s de la ligne d'alimentation au patch,

d'après le tableau 2 on voit bien que la résistance d'entrée diminue. Elle devient nulle

au milieu du patch, ensuite augmente de façon symétrique, mais la fréquence reste

constante c. à. d que le changement de s n'affecte pas la fréquence (freq= 10.4 Ghz).

s (cm) 0.0 1.0 2.0 3.0 3.2

R ( ) 153.38 76.69 0.0 76.69 100.39

Tableau. 2: Résistance d'entrée en fonction de la distance de chevauchement

a=1.65cm, b=4cm, h=0.297cm, r =2.32

3.51 3.52 3.53 3.54 3.55 3.56 3.57 3.58 (Ghz)

262

262.2

262.4

262.6

262.8

263

263.2

263.4

263.6

263.8

264 ( )

61

Dans le tableau 2 nous avons trouvé que la résistance d'entrée de l'antenne

concorde bien avec la littérature [14] qui montre qu'un couplage maximum se produit

quant la distance de chevauchement est approximativement égale à la moitié de la

longueur du patch.

VIIII. CONCLUSION

L'alimentation d'une antenne patch rectangulaire par le couplage

électromagnétique et par la ligne microruban a été étudiée dans ce chapitre. Une

analyse rigoureuse est menée en utilisant la formulation par la fonction de Green où le

problème de valeurs aux frontières est réduit à un système d'équations intégrales

vectorielles couplées en utilisant le formalisme des transformées vectoriel de Fourier.

La méthode de Galerkin est utilisée dans le domaine spectral pour résoudre les

équations intégrales ainsi obtenues. Dans le cas de l'alimentation par ligne microruban

l'effet de la largeur de la ligne d'alimentation ainsi que le chevauchement sur la

fréquence de résonance et la résistance d'entrée sont présentés. Finalement, il faut

noter que la formulation théorique de l'alimentation par proximité a été effectuée mais

dans ce travail on ne dispose pas de résultats de simulation pour cette alimentation qui

reste une de nos futurs travaux, une étude comparative entre nos résultats et les

mesures montre une très bonne concordance.

62

CHAPITRE 4

ANALYSE D'UNE ANTENNE PATCH RECTANGULAIRE PAR DES NOUVELLES

FORMES ASYMPTOTIQUES DES FONCTIONS DE BASE

63

I. INTRODUCTION

'antenne patch rectangulaire est la configuration la plus largement répandue

parce que cette forme nécessite une analyse théorique simple, la méthode de

Galerkin est utilisée dans le domaine spectral où deux types de courants sont

employés. Le premier type est basé su r l'ensemble complet de modes orthogonaux

d'une cavité cylindrique, et l'autre utilise des polynômes de Chebyshev avec condition

de bord [73]. Puisque l'utilisation des courants asymptotiques pour l'analyse des

antennes microruban n'a pas été encore traitée, dans certain nombre de nos résultats

nous avons utilisé les formes asymptotiques du courant par une combinaison des

polynômes de Chebyshev et les formes asymptotiques de fonction de base

sinusoïdales (entire domain) avec et sans condition de bord.

II. THEORIE

Considérons un patch rectangulaire parf aitement conducteur de dimensions

ba imprimé sur un substrat diélectrique d'épaisseur uniforme h et de constante

diélectrique r , représenté par la figure 1.

Système d'axe translaté

Fig. 1. Géométrie de l'antenne patch rectangulaire

L

x

y

z

h

Plaque conductrice

Plan de masse

(2)

(1)

0

a

b

x

y

0 x0

y0 b

a

64

Le vecteur de transformée vectorielle de Fourier est exprimé par:

sss rJr,kFrkJ ss d~

Où

sr,kF s est le noyau de la transformée vectorielle de Fourier [33].

skJ~ est le courant sur le patch qui s'est reliée au vecteur de la transformée de

Fourier J(rs) [49]. Ce courant de surface peut être développé selon une série connue

de fonctions de base Jxn et Jym.

Le choix des fonctions de base est très important pour une convergence rapide

vers les solutions exactes, nous avons choisi quatre types de fonctions de base sur le

patch.

La fonction de base sinusoïdale sans condition de bord du domaine entier

La fonction de base sinusoïdale du domaine entier avec la condition de bord.

Courant d'un patch rectangulaire par une combinaison des polynômes de

Chebyshev avec condition de bord.

Les fonctions roof top.

Une étude comparative entre ces quatre fonctions de bases avec leurs formes

asymptotiques a été développée.

III. FORMES EXACTES DES COURANTS

Les fonctions de base sinusoïdales du domaine entier sont employées pour

développer les courants inconnus sur le pa tch. Beaucoup d'analyses impliquent les

fonctions de base du domaine entier qui sont limitées aux formes canoniques telles

que les géométries rectangulaires, circul aires et elliptiques. Cependant il y a peu

d'analyse théorique concernant l'utilis ation des fonctions de base par des

combinaisons des polynômes de Chebyshev pour modéliser le courant sur le patch.

(1)

65

III.1. Fonction de base Sinusoïdal sans condition de bord

Pour la bande conductrice (patch) résonnante, le développement de courant par

le système de fonction de base du domaine entier mène à une convergence rapide et

peut être lié à un type d'interprétation physique [66] formé par le système de modes

transverses magnétiques (TM) et transverses électriques (TE) d'une cavité cylindrique

de murs magnétiques latéraux et de murs électriques au sommet et à la base [73]. Ces

courants ont été employés, avec les formes suivantes [33]:

2cos2sin 21 bybnaxa

nJxn sr

2sin2cos 21 bybmaxa

mJ ym sr

La transformée de ces fonctions de base (2.a) et (2.b) peut être écrite sous cette forme:

2/

2/

22/

2/

1

2cos.

2sin~ 00

b

b

yika

a

xikykxkixn

byb

nedyaxa

nedxeJ yxyxsk

2/

2/

22/

2/

1

2sin.

2cos~ 00

b

b

yika

a

xikykxkiym

byb

medyaxa

medxeJ yxyxsk

III.2. Fonction de base Sinusoïdale avec condition de bord

Le deuxième système de fonctions de ba se inclut la condition de bord pour les

courants du patch, les calculs peuvent être effectués très efficacement si les fonctions

de base satisfont la condition de bord [50]. Ces fonctions sont données par:

2cos

2sin

/21

1 21

2

byb

naxa

n

byJ xn sr

2sin

2cos

/21

1 21

2

byb

maxa

m

axJ ym sr

(2. a)

(2. b)

(3. a)

(3. b)

(4. a)

(4. b)

66

En utilisant l'équation (1), les transformées de Fourier de (4.a) et (4.b) sont

exprimées par:

22/

2/

2

2/

2/

1

/212

cos

2sin~ 00

bybyb

nedy

axa

nedxeJ

b

b

yik

a

a

xikykxkixn

y

xyxsk

2/

2/

2

22/

2/

1

2sin

/212

cos~ 00

b

b

yik

a

a

xikykxkiym

byb

medy

axaxa

medxeJ

y

xyxsk

III.3. Polynômes de Chebyshev avec condition de bord

Les fonctions de base du domaine entier sont utiles pour analyser les patches

rectangulaires ou circulaires, mais deviennent encombrantes pour d'autres

formes.Quelques travaux ont été publiés concer nant l'utilisation des fonctions de base

par les polynômes de Chebyshev pour modéliser le courant des antennes patches qui a

été rapproché dans les directions x et y par des combinaison des polynômes de

Chebyshev du premier et du deuxième espèce T n(x), Un(x) avec un facteur de

pondération additionnel choisi pour incorporer la condition de bord [73, 74, 92].

byTaxUby

axrJ nnsxn 22

21

21212

2

byUaxTax

byrJ mmsym 22

21

21212

2

Les transformées de Fourier de ces fonctions de base (6. a) et (6. b) sont données

par:

(5. a)

(5. b)

(6. a)

(6. b)

67

22

124

~1

12

12

0021 akJak

nbkJeiabJ xn

x

ynykxkinn

xnyx

sk

22

124

~1

22

21

0021 bkJbk

makJeiabJ ym

y

xmykxkimm

ymyx

sk

III.4. Les fonctions roof top

Le système de fonctions de base roof top est utilisé pour modéliser la

distribution de la densité de courant sur le conducteur. Les fonctions roof top sont

caractérisées par leur forme triangulaire le long de la direction du flux du courant et

de section croisée rectangulaire dans la direction orthogonale [75]. Le patch

rectangulaire est divisé en ( M +1) (N +1) cellules le long des directions x et y,

chaque cellule ayant les dimensions de x et y . La taille des fonctions roof top pour

les éléments de courants dirigés suivant l'axe des x à les dimensions 2 x et y dans

les directions x et y respectivement, tandis que la taille des fonctions roof top pour les

éléments de courants dirigés suivant l'axe des y à les dimensions x et 2 y dans les

directions x et y respectivement [75]. La figure 2 illustre la discrétisation et la

disposition de fonction roof top pour le patch rectangulaire. Les centres des fonctions

roof top dirigés suivant x sont identifiés par des cercles et les centres des fonctions

roof top dirigés suivant y sont identifiés par des croix.

Fig. 2. Fonction roof top sur le patch rectangulaire

(7. a)

(7. b)

b

a

x

y

Jxmn

Jymn

(xm, yn)

(xm, yn)

68

Mathématiquement, les fonctions de ba se roof top pour les composantes du

courant sont décrites par:

yrectxIJ nm

M

m

N

n

mnxx

1

1

1sr

xrectyIJ mn

M

m

N

n

mnyy

1

1 1sr

Les fonctions et rect sont les fonctions "triangle" et "rectangle" respectivement.

La transformée des densités de courant de (8. a) et (8. b) est donnée par:

ss kk mnx

M

m

N

n

mnxx KIJ ~~

1

1

1

ss kk mny

M

m

N

n

mnyy KIJ ~~ 1

1 1

Avec:

2/exp2sin

2sin

8~2

2

yjkyjkxjkk

yk

k

xk

xK ynymx

y

y

x

xmnx sk

2/exp2sin

2sin

8~2

2

yjkyjkxjkk

yk

k

xk

yK ynymx

y

y

x

xmny sk

Où

1Max et 1Nby

nm yx , coordonnée d'un mode (m, n) de courant.

12

mxxm

12

nyyn

(8. a)

(8. b)

(9. a)

(9. b)

(10. a)

(10. b)

69

IV. FORMES ASYMPTOTIQUES DES COURANTS

Aux grands arguments ks les transformées de Fourier asymptotique, des quatre

fonctions de base précédentes sont calculées.

IV.1. Fonction de base Sinusoïdale sans condition de bord

Les formes asymptotiques des fonctions de base (3. a), (3. b) pour des grands ks

sont données par:

y

bykin

y

byki

x

axkin

x

axki

kkxn kkkkaniJ eeee yyxx

22

2

2

2

21 ,

0

2

00

1

0

yx 11 ~sk

2

2

2

2222,k

0

2

00

1

0

x 11 ~y

bykim

y

byki

x

axkim

x

axki

kymkkkkb

miJ eeee yyxx

ysk

IV.2. Fonction de base Sinusoïdale avec condition de bord

Aux grands ks les formes asymptotiques de (5. a) et (5. b) sont exprimées par

y

byik

n

y

byik

x

axik

n

x

axik

nkkxn

ki

k

kkbii

anJ

ee

ee

yy

xx

22

2

2

2

21

,

0

2

0

0

1

0

2

yx

1

12

12

~sk

2

2

2

2

222

,

0

2

0

0

1

0

2

yx

1

12

12

- ~

y

byik

m

y

byik

x

axikm

x

axikm

kkym

ki

k

ki

kaii

bmJ

ee

ee

yy

xx

sk

(11. a)

(11. b)

(12. a)

(12. b)

70

IV.3. Polynômes de Chebyshev avec condition de bord

Aux grands ks (7. a), (7. b) produire les formes asymptotiques suivantes:

y

byik

n

y

byik

x

axikn

x

axiknn

kkxn

ki

k

ki

kn

abJ

ee

ee

yy

xx

22

3

2

3

2

1 ,

0

2

0

0

1

0

21

yx

1

1112

- ~sk

3

2

3

2

22

2 ,

0

2

0

0

1

0

21

yx

1

1112

- ~

y

byikm

y

byik

x

axikm

x

axikmm

kkym

ki

k

ki

km

baJ

ee

ee

yy

xx

sk

En utilisant la méthode de Galerkin l'équation intégrale décrivant le champ E

dans le domaine spectral peut être discrétisée sous une forme matricielle [15, 17-21].

V. RESULTATS NUMERIQUES

Des programmes de simulation ont été mis au point pour évaluer les éléments de

la matrice impédance et résoudre alors l'équation matricielle. Pour valider nos

programmes de simulation, des comparaisons sont montrées dans le tableau 1 entre

les données calculées et mesurées présentées par [49] et les résultats calculés de notre

modèle, pour différents patches parfaitement conducteur sans substrats diélectriques

(air). Il est important de noter que la normalisation est faite par rapport à la fréquence

de résonance f0 du modèle de la cavité, le mode étudié est le mode TM01. Les

résultats calculés montrés dans le tableau 1 concordent très bien avec les résultats

expérimentaux obtenus par d'autres auteurs, la différence maximum entre les résultats

expérimentaux et numériques est moins de 7%, ce décalage peut indiquer des

tolérances physiques de dimensions du patch ou des paramètres du substrat

diélectrique.

(13. a)

(13. b)

71

a

(cm)

b

(cm)

h

(cm)

Measuré

[49], (f/f0)

James

(f/f0)

Hammerstad

(f/f0)

[49]

(f/f0)

Nos résultats

(f/f0)

5.70 3.80 0.317 0.893 0.889 0.920 0.919 0.882

4.55 3.05 0.317 0.897 0.866 0.900 0.903 0.863

2.95 1.95 0.317 0.841 0.816 0.861 0.859 0.816

1.95 1.30 0.317 0.773 0.754 0.810 0.805 0.765

1.70 1.10 0.317 0.761 0.724 0.785 0.773 0.740

1.40 0.90 0.317 0.705 0.683 0.750 0.722 0.710

1.20 0.80 0.317 0.673 0.662 0.733 0.684 0.693

1.05 0.70 0.317 0.651 0.633 0.710 0.620 0.672

1.70 1.10 0.152 0.881 0.835 0.878 0.876 0.834

1.70 1.10 0.317 0.761 0.724 0.785 0.773 0.739

Tableau. 1: Comparaison des fréquences de résonance mesurées et calculées d'une

antenne microstrip rectangulaire

Les résultats calculés pour les deux systèmes de fonctions de base montrés dans

le tableau 2 sont bien conformes aux résultats expérimentaux et ceux obtenus par

d'autres auteurs (tableau 1), les résultats numériques montrent que les fonctions de

base roof top fournissent de très bons résultats dans l'évaluation de la fréquence de

résonance avec une amélioration significative dans le temps d'exécution des

programmes de simulation et moins d'itéra tions comparativement aux fonctions de

base sinusoïdales du domaine entier, il convi ent de noter que la convergence de la

solution a été étudiée en changeant le nombre de sous-sections. Le nombre de

subdivisions dans le cas des fonctions de base roof top a été choisi par M = 7, N = 8.

Il faut noter aussi qu'aucune amélioration significative des résultats numériques n'a été

trouvé quand on augmente le nombre M et N au delà de 7 et 8, aussi la solution de

notre modèle dans le cas du domaine entier converge très bien en utilisant M=1, N=0.

Des comparaisons sont montrées dans le tableau 3 pour les données calculées

présentées par [78] et nos résultats obtenus par les deux systèmes de courants. Quand

72

la constante diélectrique le long de l'axe optique z est changée et la constante x

reste constante les résultats montrent une large variation dans la fréquence de

résonance, d'autre part, nous avons trouvé une légère variation dans la fréquence de

résonance quand la constante diélectrique x est changée et z reste constante. Ces

comportements sont conformes très bien à ceux obtenus par [78], avec une légère

variation dans la fréquence entre les résu ltats des fonctions roof top et celles du

domaine entier, aussi il faut noter qu'il est nécessaire de considérer la variation de x

et z pour prévoir les variations de la fré quence, parce que le rapport d'anisotropie

(AR = zx ) seul n'est pas suffisant pour prédire le changement de la fréquence.

h (cm) 0.317 0.317 0.317 0.317 0.317 0.317 0.317 0.152 0.317

a (cm) 5.70 4.55 2.95 1.95 1.40 1.20 1.05 1.70 1.70

b (cm) 3.80 3.05 1.95 1.30 0.90 0.80 0.70 1.10 1.10

Roof top 0.854 0.839 0.801 0.761 0.718 0.707 0.691 0.815 0.741Nos

résultats

(f/f0) Entire domain 0.882 0.863 0.816 0.765 0.710 0.693 0.672 0.834 0.739

Tableau. 2: Fréquences de résonances d'un patch rectangulaire par l'utilisation de

deux systèmes de fonctions de base (Roof top, Entire domain).

73

Fréquences de résonances (Ghz)

Nos résultats

Permittivité

relative

x

Permittivité

relative

z

Rapport

d'anisotropie

AR= zx Résultats

de [78] Entire domain Sub-domain

2.32 2.32 1 4.123 4.121 4.072

4.64 2.32 2 4.042 4.041 3.963

2.32 1.16 2 5.476 6.451 5.311

1.16 2.32 0.5 4.174 4.171 4.143

2.32 4.64 0.5 3.032 3.028 3.032

Tableau. 3:Fréquences de résonances en fonction de la constante diélectrique (x,

z)

Les figures 3, 4, montrent les différentes formes des fonctions de base en

fonction de la fréquence pour une antenne patch rectangulaire ayant les dimensions

physiques, a=1.5 cm, b=1.0cm. Pour s'assurer que les programmes de simulation sont

corrects, des comparaisons sont montrées dans le tableau 4 pour les données calculées

et présentées par [78] et nos résultats effectués par différentes formes de courants.

Notons que les résultats calculés montrés dans le tableau 4 sont conformes très bien à

ceux obtenus par [78].

Fréquences de résonances (Ghz)

Forme asymptotique

x

z

AR [78] Forme exacte

Sb-with Sb-with Sb-without Cheby-pol

2.32 2.32 1 4.123 4.121 4.035 4.420 4.398

2.32 1.16 2 5.476 6.451 5.990 6.143 6.142

2.32 4.64 0.5 3.032 3.028 3.145 2.966 2.910

Tableau. 4: Variation de la fréquence de résonance en fonction de la constante

diélectrique relative ( x , z ) pour différente fonction de base.

74

Avec:

x constante diélectrique relative le long de l'axe x,

z Constante diélectrique relative le long de l'axe optique

AR = zx rapport d'anisotropie.

Sb-with: fonction de base sinusoïdale avec condition de bord.

Sb-without: fonction de base sinusoïdale sans condition de bord.

Cheby-pol: polynôme de Chebyshev avec condition de bord.

Fig. 3. Formes exacte et asymptotiques des fonctions de base sinusoïdale sans

condition de bord en fonction de la fréquence

1.15 1.155 1.16 1.165 1.17 1.175 1.18 1.185 1.19 1.195 1.2 x 10

10 0

1

2

3

4

5

6

7 x 10

-8

Forme asymptotique

Forme exacte

(Hz)

(A/m2)

75

Fig. 4. Formes exactes et asymptotiques des fonctions de base avec condition de bord

en fonction de la fréquence, (a), sinusoïdales, (b) Chebychev

1.15 1.155 1.16 1.165 1.17 1.175 1.18 1.185 1.19 1.195 1.2 x 10

10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4 x 10

-8

Forme asymptotique

Forme exacte

(A/m2)

(Hz)

1.15 1.155 1.16 1.165 1.17 1.175 1.18 1.185 1.19 1.195 1.2 x 10

10 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6 x 10

-8

Forme asymptotique

Forme exacte

(A/m2)

(Hz) (b)

(a)

76

La figure 5 présente les fréquences de résonance d'un patch rectangulaire de

dimensions ba avec a = 1.5cm, b= 1.0 cm, imprimé sur un substrat isotrope de

constante diélectrique relative 35.2r et d'épaisseur h = 0.1 cm.

Nous comparons l'utilisation des formes asymptotiques pour les fonctions de

base sinusoïdales avec et sans condition de bord ainsi que les formes asymptotiques

de polynômes de Chebyshev avec nos résultats calculés à partir des formes exactes

des fonctions de base sinusoïdales et les résultats de [79].

Il est clair que la convergence est meilleure mais lente et lourde quand les

formes asymptotiques des fonctions de base sinusoïdales avec condition de bord sont

utilisées comparées aux formes asymptotiques des fonctions de base sinusoïdaux sans

condition de bord, bien que le développement sinusoïdal avec condition de bord exige

un chemin plus court d'intégration pour atteindre la convergence numérique. Par

conséquent l'existence de la condition de bord est un état utile [50], mais non essentiel

pour la convergence. Alors que les fonctions de base par la combinaison des

polynômes de Chebyshev avec condition de bord sont utilisées nous avons une

convergence plus rapide comparée à la forme asymptotique des fonctions de base

sinusoïdales sans condition de bord avec moins d'itérations. Notons que l'accord entre

nos résultats en utilisant la forme exacte des fonctions de base sinusoïdales sans

condition de bord et ceux obtenus par [79] est très bon, mais il faut noter que nous

avons un temps de compilation et d'exécution du programme long pour la forme

exacte comparée à la forme asymptotique pour les trois types des fonctions de base

précédentes. Nous pouvons noter que la différence entre les résultats obtenus pour les

fréquences de résonance quand nous utilisons les formes asymptotique des fonctions

de base sinusoïdales avec condition de bord et ceux obtenus quand nous utilisons la

forme exacte du courant atteint 2.03 %, quand b/h = 2, cependant, la différence entre

les résultats obtenus pour les fréquences de résonance quand nous utilisons les formes

asymptotiques des fonctions de base sinusoïdales sans condition de bord atteint 5.49

%. Il est clair aussi que les fréquences de résonance pour le polynôme de Chebyshev

sont beaucoup plus grandes et atteignent 8.01 %, autrement dit les solutions des

fonctions de base sinusoïdales sont issues du modèle de la cavité, alors ils sont plus

proche de l'aspect physique de l'antenne que les fonctions de Chebychev qui sont

purement mathématiques, également il est nécessaire de noter que nous avons une

meilleure convergence quand b/h est grand.

77

Fig. 5. Fréquences de résonance du patch rectangulaire par l'utilisation des différents

formes asymptotiques des fonctions de base, h = 0.1 cm, 35.2r , a=1.5 b.

Formes asymptotiques des fonctions de base par la combinaison des

polynômes de Chebyshev.

Formes asymptotiques des fonctions de base sinusoïdale sans condition de

bord

Formes asymptotiques des fonctions de base sinusoïdale avec condition de

bord

Formes exactes des fonctions de base sinusoïdale sans condition de bord

Résultats de [79].

0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

b / h

78

VI. CONCLUSION

Nous avons calculé les fréquences de résonance d'un patch rectangulaire en

utilisant la transformée vectorielle de Fourier, où quatre types de fonctions de base et

de leurs formes asymptotiques sont utilisés: les fonctions roof top, polynômes de

Chebyshev et fonctions sinusoïdales avec et sans condition de bord. Les résultats

numériques montrent que les formes asymptotiques fournissent des résultats précis

avec moins d'effort dans l'exécution du programme de calcul. L'utilisation de la forme

asymptotique des polynômes de Chebyshev fournit une amélioration significative du

temps de calcul avec moins d'itérations dans l'évaluation de la fréquence de résonance

d'une antenne microruban comparée à la forme asymptotique des fonctions de base

sinusoïdales sans condition de bord. Cependant la forme asymptotique sinusoïdale

sans condition de bord présente une c onvergence rapide comparativement aux

fonctions sinusoïdales avec condition de bord, ainsi la condition de bord n'est pas

essentielle. Aussi il est important de noter que nous avons un long temps de

compilation et d'exécution du programme pour les formes exactes comparés aux

formes asymptotiques.

79

CHAPITRE 5

EFFETS DU PATCH RESISTIF ET DU SUBSTRAT A ANISOTROPIE UNIAXIALE

SUR LES CARACTERISTIQUES DE RESONANCE ET DU RAYONNEMENT D'UNE ANTENNE MICRORUBAN RECTANGULAIRE

80

I. INTRODUCTION

es propriétés de propagation des rubans métalliques dans l'espace libre sont bien

connues et beaucoup de travaux de recherche sur la théorie électromagnétique

de ce type de rubans sont discutées. Bala nis [89, 91] discute la propagation des bandes

parfaitement conductrices dans l'espace libre avec des polarisations TE et TM. Une

variété de méthodes a été employée pour examiner de telles bandes. Ces méthodes

incluent la physique optique, la théorie de la physique de diffraction, et la méthode

des moments. Ces dernières années, l'étude des rubans résistifs a suscité beaucoup

d'attention. Senior [88, 89] a examiné la propagation des bandes résistives par

l'utilisation des techniques de diffraction. Senior [85, 87, 89] a également formalisé

les conditions aux limites nécessaires pour modéliser correctement les bandes

résistives. Senior et Liepa [86, 89] ont employé des techniques de diffraction afin

d'étudier des rubans non constants. Ray et Mittra [89] ont employé la méthode des

moments pour analyser des rubans avec une résistance constante chargée sur les bords

de ruban. Haupt et Liepa [89] ont montré pour certains cas, que pour les rubans

résistifs dans l'espace libre, les méthodes de solution de la physiques optique peuvent

donner des résultats qui sont proches des résultats donnés par la méthode des

moments et le cône résistif placé sur le ruban peut être employé pour commander

l'exécution de dispersion du ruban. Hall et Mittra [89] ont développé l'analyse de base

de la méthode des moments pour inclure des rubans dans un environnement infini de

réseau. Peters et Newman [89] ont examiné la propagation du mode TM par une

feuille résistive située dans un substrat diélectrique avec l'utilisation de la méthode des

moments et des fonctions de Green dans le domaine spectral. Bailey [89] a employé

des techniques semblables afin d'examiner les rubans parfaitement conducteurs dans

un substrat diélectrique pour prévoir les propriétés des antennes microruban. Les

matériaux supraconducteurs peuvent présenter des propriétés semblables à ceux des

rubans résistifs, et ont été récemment examinés [89] (les matériaux supraconducteurs

possèdent de très petites résistances de surfaces par rapport aux matériaux classiques,

l'oxyde de cuivre YBaCuO est le matériau supraconducteur le plus répandu

actuellement). Richmond et al [90] ont examiné les ondes de surface sur une feuille

résistive mince, David Shively [89] a examiné la propagation d'une onde de surface

dans un substrat diélectrique couverte de feuille résistive. Les résultats présentés par

Shively [90] sont aussi valides pour un substrat diélectrique couvert des deux côtés

L

81

par une feuille résistive. Il montre que les deux modes d'ordre supérieur TM x

commencent à se propager quant la résistivité de surface augmente.

Ce chapitre décrira l'analyse dans le domaine spectrale des antennes patches

résistive en utilisant les fonctions de base sinusoïdale (entire domain) pour modéliser

la densité de courant de la bande conductrice. L'étude des substrats anisotropes est

d'intérêt, pratiquement beaucoup de substrats ont une quantité significative

d'anisotropie qui peut affecter les performances des antennes et des circuits imprimés,

et ainsi la caractérisation et la conception précises doivent tenir compte de cet effet

[36]. On constate que l'utilisation de tels matériaux peut avoir un effet bénéfique sur

les caractéristiques du rayonnement des antennes [36]. Il y a eu très peu de travaux sur

le radar cross section (RCS) des antennes imprimées dans la littérature, qui tient

compte de l'effet de la résistance de surface et l'effet d'un substrat d'anisotropie

uniaxial. Dans ce chapitre, nous développerons et calculerons le radar cross section

(RCS) d'une antenne patch résistive de forme rectangulaire sur un substrat

d'anisotropie uniaxial.

II. THEORIE

Les couches minces d'un matériau à pertes sont d'intérêt évident pour la

réduction de la section croisée, un modèle mathématique d'une telle couche est une

feuille résistive. Une feuille électriquement résistive est simplement une feuille de

courant électrique dont la force est proportionnelle au champ électrique tangentiel sur

sa surface. Pendant ces dernières années la propagation de ce type de feuille a été

intensivement explorée, il a trouvé beaucoup d'applications utiles et il peut être aussi

bien nécessaire d'inclure cette feuille résis tive [85]. Levi-Civita [85] remarque que ses

propriétés électromagnétiques sont complètement indiquées par sa résistance de

surface R en ohm.

On suppose que le patch est imprimé sur un substrat diélectrique infini, et on

suppose que le plan de masse est électrique ment parfaitement conducteur. Le patch

résistif de forme rectangulaire avec la longueur a et la largeur b est imprimé sur un

substrat diélectrique contenant des matériaux isotropes ou anisotropes avec l'axe

optique perpendiculaire au patch et ayant une épaisseur uniforme h (voir figure1 du

chapitre4), on suppose que tous les matériaux diélectriques sont non magnétiques

82

avec une perméabilité0

µ . Pour simplifier l'analyse, l'alimentation d'antenne ne sera

pas prise en considération.

La condition de bord pour le champ électrique sur une feuille résistive mince a

été examinée par senior [85] et elle est valide tant que la feuille est électriquement

mince. En utilisant ce type de conditions aux limites, plusieurs auteurs ont examiné la

réponse de propagation des bandes résistives . Cette approche a été aussi employée

afin d'étudier les surfaces sélectives de fréquence (frequency selective surfaces) [23].

La condition au limite sur la surface du patch est donnée par [85, 89]:

JREE sincscat

sR Résistance de surface sur l'antenne patch

incE Composante tangentielle du champ électrique incident. scatE Composante tangentielle du champ électrique dispersé.

J Courant de surface sur la bande conductrice.

JRs Représente le champ absorbé par le patch.

La résistance de surface s

R est en général, une fonction de x et y et elle est

égale à zéro pour un patch parfaitement conducteur.

L'étude des substrats anisotropes est d'intérêt, cependant, les concepteurs

devraient, soigneusement vérifier les effets des matériaux à utiliser, en évaluant les

effets de l'anisotropie. Mathématiquement, la constante diélectrique d'un substrat à

anisotropie uniaxiale peut être représentée par un tenseur dyadique de forme [36]:

zxx,,diag.

0

0est la constante diélectrique de l'espace libre.

Dans le domaine spectral le courant et le champ électrique sur le patch sont

donnés par [49] avec G est la fonction spectrale dyadique de Green qui est

efficacement déterminées par la représentation (TM, TE).

(1)

(2)

83

L'équation intégrale du champ électrique qui impose les conditions aux limites

donnée par l'équation (1) peut être discrétisée sous la forme matricielle suivante [80]:

0

0

0

1

1

1

1

M

N

MM

NN

M

N

MMNM

MNNN

b

a

R

R

b

a

ZZ

ZZ

4

1

43

21

iZ Les termes de la matrice impédance, i = 1, 2, 3, 4

jR Les termes de la matrice de résistance représentant la résistance de surface sur le

patch j = 1, 4.

Avec:

sxnsxkTE

yTM

xs

s JJGkGkk

d kkkZ1~ ~1 22

2

symsxkTETM

s

yxs JJGG

kkk

d kkkZ2~ ~

2

sxnsylTETM

s

yxs JJGG

kkk

d kkkZ3~ ~

2

symsylTE

xTM

ys

s JJGkGkk

d kkkZ4~ ~1 22

2

et

dydxyJxJyJxJyxR mmy

nnx

lmy

knxs ,1R

dydxyJxJyJxJyxR mnx

nmy

lnx

kmys ,4R

Une fois la matrice impédance et la matrice de résistance ont été calculées, les

résultats sont ajoutés pour former un système des équations simultanées. Le système

résultant des équations est alors résolu pour trouver les coefficients inconnus des

courants sur le patch.

(3)

(5.a)

(4.c)

(4.d)

(4.a)

(4.b)

(5.b)

84

II. 1. Définition du RCS

La définition du radar cross section (RCS) ou la surface équivalente radar

s'articule sur une comparaison de deux densités de puissance, une mesurée à

l'émetteur et l'autre au récepteur [93]. Elle caractérise généralement la capacité de la

cible à rayonner l'énergie électromagnétique vers le radar.

Le RCS est l'expression d'un rapport entre l'énergie ré-émise sur la densité

d'énergie reçue par unité de surface. Ce facteur a été traité pour fournir une résolution

significative sur les détails du mécanisme de rayonnement [93], il décrit la façon dont

un objet reflète une onde incidente. Pour un objet arbitraire, le RCS dépend fortement

de la direction d'onde incidente ainsi que la longueur d'onde.

Il ya très peu de travail sur l'étude du RCS des antennes imprimées dans la

littérature [36, 76], récemment ce paramètre a été traitée par [76, 93].

II. 2. RCS solution par la méthode des moments

La solution de l'équation intégrale du champ électrique par l'intermédiaire de la

méthode des moments a été un outil très utile pour prévoir exactement le RCS dans le

domaine fréquentiel [76].

Dans cette section, nous développerons la théorie du RCS d'une antenne patch

rectangulaire sur un substrat isotrope et uniaxial, y compris l'effet du patch résistif.

Soit une onde plane incidente Einc se propageant dans la direction du vecteur

unitaire. L'onde difractée par l'obstacle est notée Escat Le RCS mono statique est

définie par [36, 76, 93]:

2

2

24liminc

scat

r E

Er

10log10RCS

Pour calculer aisément la limite précédente, on utilise une représentation

intégrale du champ difracté. Dans le cas d'une résolution par équation intégrale, cette

représentation intervient dans la formulation du problème à résoudre et est effectuée à

l'aide des courants électriques J. le RCS est donné par cette équation pour un champ

électrique incident unitaire:

(6)

(7)

85

224 scatEr

Le calcul de la diffraction d'ondes par la méthode des équations intégrales

(EFIE) demande généralement un volume de stockage mémoire considérable, notant

que la symétrie de la structure dans le plan y=0 et la polarisation de l'onde permettent

de réduire la taille du système final à résoudre. Lorsque le champ électrique incident

est dans le plan de symétrie, les courants à travers une arête et l'arête symétrique sont

égaux. Lorsque le champ électrique incident est orthogonal au plan de symétrie, ces

courants sont opposés.

(8)

86

III. RESULTATS NUMERIQUES

La technique de la méthode des moments a été développée pour examiner la

fréquence de résonance, le rayonnement et le radar cross section d'une antenne patch

rectangulaire avec une résistance de surf ace non nulle. La condition de bord pour le

champ électrique a été utilisée pour dériver une équation intégrale pour le courant

électrique, les termes nécessaires pour représenter la résistance de surface sur le patch

ont été dérivées et incluses dans l'équation sous forme d'une matrice de résistance. Il

faut noter que les termes de la matrice de résistance ne dépendent pas de la fréquence,

la procédure de Galerkin de la méthode des moments avec les fonctions sinusoïdales

de base du domaine entier (entire domain) sans condition de bord est étudiée.

L'influence de l'anisotropie uniaxiale du substrat sur la fréquence de résonance

d'une antenne patch rectangulaire de dimension (a = 1.5cm, b = 1.0 cm) avec les

différentes paires de la constante diélectrique relative (x,

z) est montrée dans la

figure 1. La partie réelle de la fréquence de résonance complexe normalisée, est tracée

en fonction de l'épaisseur h qui est normalisée par rapport au cas isotrope fri, L'étude

comparative montre le très bon accord entre nos résultats et ceux obtenus par d'autres

auteurs [78]. Les résultats obtenus montrent une large variation dans la fréquence de

résonance quand la constante diélectrique z change et la constante diélectrique

x

reste constante, d'autre part, nous avons trouvé une légère variation dans la fréquence

de résonance quand la constante diélectrique x est changée et

z reste constante. Ces

résultats sont conformes à ceux présentés par Bouttout et al [78].

87

Fig. 1. Partie réelle de la fréquence de résonance normalisée en fonction de l'épaisseur

du substrat pour des substrats d'anisotropie uniaxiale positive, négative et les

substrats isotropes; a=1.5 cm, b=1.0 cm.

x=

z= 5,

x= 5,

z= 3.6,

x= 5,

z= 6.4

x= 3.6,

z= 5,

x= 6.4,

z= 5

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1.25

(h / b)

(fr / fri)

88

Fig. 2. Partie imaginaire de la fréquence de résonance normalisée en fonction de

l'épaisseur du substrat pour des subs trats d'anisotropie uniaxiale positive,

négative et les subs trats isotropes; a=1.5 cm, b=1.0 cm.

x=

z= 5,

x= 5,

z= 3.6,

x= 5,

z= 6.4

x= 3.6,

z= 5,

x= 6.4,

z= 5

Nos résultats numériques sont également comparés à ceux de Nelson et al [82],

pour le cas d'une bande conductrice étroite ( b = 1.0 cm, a = 0.2 cm) avec une

épaisseur du substrat h = 0.158 cm, seul une fonction de base a été utilisée (N=1,

M=0), le tableau 1 montre qu'il y a une très bonne concordance entre les deux

résultats, les résultats de Nelson et al montrés dans le tableau sont déduits de [82, Fig.

4], et le rapport d'anisotropie est défini par z

x

z

x

nn .

Dans le tableau 2 le cas d'une faible constante diélectrique est aussi étudié. Dans

ce tableau nous avons comparé nos résultats à ceux de Wong et al obtenus à partir de

[33, Fig. 3(a)]. Les variations de la partie réelle de la fréquence due à l'anisotropie

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035 (fi / fri)

(h / b)

89

uniaxiale peuvent être remarquées. Par conséquent, une bonne concordance entre nos

résultats et ceux de Wong et al [33] est obtenue. Les résultats obtenus montrent que la

constante diélectrique z le long de l'axe optique est le facteur le plus important dans

la détermination de la fréquence de résonance, pour des épaisseurs inférieur et

supérieur du substrat quand la paire (x,

z) change. Les mêmes remarques se

tiennent pour la partie imaginaire de la fréquence de résonance, du rayonnement et du

radar cross section figures (2, 3, 4(a), 4(b)).

Rapport

d'anisotropie

Fréquence de résonance

(Ghz) [82]

Nos résultats

(Ghz)

2 8.13 8.148

1 9.63 9.639

1.5 8.85 8.870

Tableau. 1: Fréquence de résonance d'un patch parfaitement conducteur z =2.35

h (cm) x Wong [33],

(f/f0)

Nos résultats,

(f/f0)

2.82 0.910 0.9161

2.35 0.915 0.9213

0.1

1.88 0.925 0.9269

2.82 0.835 0.8469

2.35 0.850 0.8573

0.2

1.88 0.865 0.8687

Tableau. 2: Fréquence de résonance d'un substrat isotrope ( x = z =2.35), anisotropie

uniaxiale positive ( x =1.88, z =2.35) et négative ( x =2.82, z =2.35),

a=1.5cm, b=1.0cm

90

Fig. 3. Diagramme de rayonnement en fonction de l'angle d'un patch parfaitement

conducteur pour les substrats d'anisotropie uniaxiale positive, négative et

isotropes au plan 0 , a=1.5 cm, b=1.0cm, h=0.2cm.

x=

z= 5,

x= 5,

z= 6.4,

x= 6.4,

z= 5

x= 5,

z= 3.6,

x= 3.6,

z= 5

Tableau 3 montre le RCS mesuré [36] et calculé à partir de notre modèle en

fonction de la fréquence d'un patch parfa itement conducteur ayant les dimensions

a=2.6cm, b=3.66cm, imprimées sur un substrat diélectrique isotrope d'épaisseur,

h=0.158cm, et de permittivité r =2.17 avec ii , = (60deg, 45deg), on constate une

très bonne concordance entre nos résultats et l'expérience [36].

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6 sxE

Angle (deg)

91

Freq (Ghz) 2.2 3.2 5.1 6.0 7.3

[36] -60 -58 -54 -45.5 -55.2 RCS

(dBsm) Nos résultats

-60.4 -57.8 -54.3 -46 -55.9

Tableau. 3: RCS en fonction de la fréquence d 'un patch parfaitement conducteur

imprimées sur un substrat isotrope

Notant que 1 m2 correspond à 0 dBsm et la valeur en dBsm d 'une fraction est négative (par exemple: 0.01 m2 =-20 dBsm)

Fig. 4 a. RCS normalisé en fonction de l'angle pour un patch parfaitement

conducteur pour un substrat d'anisotropie uniaxiale positive, négative et isotrope au

plan 0

x=

z= 5,

x= 5,

z= 6.4,

x= 5,

z= 3.6

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5 (dB)

Angle (deg)

92

Fig. 4 b. RCS normalisé en fonction de l'angle pour un patch parfaitement

conducteur pour un substrat d'anisotropie uniaxiale positive, négative et isotrope au

plan 0 ; a=1.5cm, b=1.0 cm, h=0.2 cm.

x=

z= 5,

x= 3.6,

z= 5,

x= 6.4,

z= 5

Le radar cross section des trois différe nts patches rectangulaires, chacun avec

une résistance de surface constante, a été calculé. Les dimensions du patch de ces

antennes rectangulaires sont de 1.5 cm 1.0 cm. Le substrat a une constante

diélectrique relative r=5.0. La figure 5 montre que le radar cross section normalisé a

été tracé en fonction de l'angle au plan 0 et en fonction de la résistance de

surface à la fréquence 5.95Ghz. Il est clair que le niveau d'amplitude du RCS diminue

quand la résistance de surface sur le patch augmente. Par conséquent, l'addition de la

résistance sur la surface d'une antenne patch diminue l'énergie dispersée de l'antenne.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0 (dB)

Angle (deg)

93

Fig. 5. RCS normalisé du substrat isotr ope en fonction de l'angle pour différentes

valeurs de la résistance de surface à la fréquence 5.95 Ghz, ( a = 1.5 cm, b = 1.0 cm,

h= 0.2cm, r = 5.0, 0 ).

Le RCS pour un patch résistif imprimé sur un substrat uniaxial est montré dans la

figure 6, où les substrats isotropes, les subs trats d'anisotropie uniaxiale positive et les

substrats d'anisotropie négative sont considérés. Il est important de noter que les

réponses obtenues ont été normalisées par rapport au cas isotrope avec un patch

parfaitement conducteur. Comme exemple, pour un patch résistif, nous prenons la

résistance de surface Rs=60 avec les dimensions a = 1.5 cm, b = 1.0 cm et une

épaisseur du substrat h = 0.2 cm. On observe aussi que pour le patch résistif la

constante diélectrique z a un effet plus fort sur le radar cross section que la constante

diélectriquex.

Rs = 0 Rs = 30

Rs = 60

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0 (dB)

Angle (deg)

94

Fig. 6. RCS normalisé en fonction de l'angle pour un patch résistive pour un

substrat d'anisotropie uniaxiale positive, négative et isotrope au plan 0 .

a=1.5 cm, b=1.0 cm, h=0.2 cm, Rs =60 .

x=

z= 5,

x= 5,

z= 3.6,

x= 5,

z= 6.4

x= 3.6,

z= 5,

x= 6.4,

z= 5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 -50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0 (dB)

Angle (deg)

95

Les diagrammes de rayonnement d'une antenne patch résistive sont montrés

dans les figures (7, 8), où les substrats isot ropes, les substrats d'anisotropie uniaxiale

positive et négative sont considérés. Comme exemple, pour un patch résistif, nous

prenons la résistance de surface Rs=60 . Nous observons que la constante

diélectrique z (figure7) a un effet plus fort sur le rayonnement que la constante

diélectrique x (figure 8).

Fig. 7. Diagramme de rayonnement en fonction de l'angle d'un patch résistif pour

les cas isotrope, anisotropie uniaxiale positive et négative à 0 , une fois z changé

(a = 1.5 cm, b = 1.0 cm, h = 0.2cm, Rs=60 ).

(x=

z= 5)

(x= 5,

z= 6.4), (

x= 5,

z= 3.6)

0.5

1

1.5

2

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

96

Fig. 8. Diagramme de rayonnement en fonction de l'angle d'un patch résistif pour

les substrats d'anisotropie uniaxiale positive, négative et isotropes à 0 ,

x change (a = 1.5 cm, b = 1.0 cm, h = 0.2cm, Rs=60 )

(x=

z= 5)

(x= 6.4,

z= 5), (

x= 3.6,

z= 5)

La figure 9 montre les propriétés de dispersion de la composante E du champ

électrique qui varie en fonction de l'angle , pour le plan 0 et en fonction de la

résistance de surface à la fréquence 5.95 Ghz pour un patch rectangulaire avec des

dimensions ba = cmcm 15.1 imprimé sur un substrat isotrope d'épaisseur h =

0.2 cm et une constante diélectrique 5r . Quand la résistance de surface sur le patch

est augmenté, il est clair que l'amplitude de la composante E diminue, cependant il

est important de noter que nos résultats pour la composante E ne changent pas avec

la résistance de surface pour le plan 0 , on conclue que l'addition d'une résistance

0.5

1

1.5

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

97

sur la surface de la plaque conductrice microruban diminue la composante E à

0 .

Fig. 9. Diagramme de rayonnement du substrat isotrope en fonction de l'angle pour

différentes valeurs de la résistance de surface à la fréquence 5.95 Ghz, ( a = 1.5 cm, b

= 1.0 cm, h = 0.2cm, r = 5.0, 0 ).

Rs=0, Rs=30 , Rs=60

La figure 10 montre la variation du radar cross section RCS en fonction de la

directivité d'un patch rectangulaire avec des dimensions ba = cmcm 15.1

imprimé sur un substrat diélectrique isotrope d'épaisseur h = 0.2 cm et une constante

diélectrique 5r , pour une fréquence de 5.95 Ghz au plan 0 , quand la

résistance de surface sur le patch augmente l'énergie dispersée de l'antenne diminue

ainsi que la directivité. On constate alors que l'addition d'une résistance sur la surface

d'une antenne patch diminue l'énergie de rayonnement ainsi que la directivité.

0.5

1

1.5

30

210

60

240

90

270

120

300

150

330

180 0

98

Fig. 10. RCS du substrat isotrope en fonction de la directivité pour différentes valeurs

de la résistance de surface

4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 -80

-79

-78

-77

-76

-75

-74

-73

-72

-71

Rs=60

Rs=30

Rs=0

(dBsm)

(dB)

99

IV. CONCLUSION

Une méthode de computation efficace tenant compte de l'effet de la résistance

de surface ainsi que l'effet d'anisotropie uniaxiale est présentée dans ce chapitre.

L'étude a été effectuée dans le domaine spect ral. Les fonctions de base sinusoïdales du

domaine entier sans condition de bord ont été introduites pour développer le courant

inconnu sur les patches métalliques. La condition de bord pour le champ électrique a

été utilisée pour dériver une équation intégrale pour le courant électrique. Puisque

l'effet de la résistance de surface non nulle sur le radar cross section RCS d'une

antenne microruban imprimée sur un substrat uniaxial n'a pas été encore traité même

pour un substrat isotrope, un certain nombre de nos résultats concernant ce cas sont

présentés dans ce chapitre. Il a été constaté que l'utilisation de tels substrats affectent

de manière significative la caractérisation des antennes microruban . Les résultats

numériques montrent que la constante diélectrique z le long de l'axe optique a un

effet plus fort sur le rayonnement, la fréquence de résonance et le radar cross section

des antennes rectangulaires microruban pour un patch résistif ou parfaitement

conducteur. D'ailleurs les résultats prouvent que l'addition d'une résistance sur la

surface d'une antenne patch diminue l'énergie dispersée de l'antenne. Une étude

comparative entre nos résultats et ceux disponibles dans la littérature montre une très

bonne concordance.

100

CONCLUSION GENERALE

101

CONCLUSION GENERALE

e travail de recherche repose sur cinq axes principaux liés à la conception d'une

antenne patch par l'application de la méthode des moments dans le domaine

spectrale qui est parmi les différentes techniques de caractérisation de l'antenne

microstrip. Nous avons développé une méthode d'analyse très complète permettant de

prendre en compte tous les paramètres géométriques et physiques de la structure.

Dans cette étude, l'épaisseur du ruban métallique est considérée comme étant nulle.

Le premier axe est l'étude théorique des st ructures rectangulaire et circulaire. Le

calcul rigoureux de la structure microruban par l'intermédiaire de la méthode de

Galerkin est présenté, les fonctions dyadiques de Green du problème sont

efficacement déterminées par la représentati on (TM, TE). Le choix des fonctions de

base pour chaque géométrie est très important, une étude comparative entre ces deux

géométries a été établie. Récemment, beaucoup de travaux de recherche ont été

publiés concernant les propriétés de rayonne ment des antennes microruban sur divers

types de géométries. Pratiquement, tous ces travaux ont été effectués avec des

fonctions de base du domaine entier pour développer le courant sur le patch. Dans ce

travail le choix de quatre types de fonctions de base et de leurs formes asymptotiques

définies dans le domaine de la plaque conductrice a été illustré pour développer les

courants inconnus sur cette dernière. La fréquence de résonance d'une antenne patch

rectangulaire utilisant ces différentes f onctions de base ainsi que ces formes

asymptotiques a été étudiée, aussi l'effet de l'anisotropie uniaxiale sur la fréquence de

résonance est présenté pour ces courants asym ptotiques. Des comparaisons sont faites,

et montrent que l'utilisation de la fonction de base asymptotique fournit une

amélioration significative du temps de calcul par rapport à la forme exacte pour

l'évaluation de la fréquence de résonance d'une antenne microruban. Les résultats pour

la forme exacte de la fonction de base sinusoïdale sans condition de bord, sont en bon

accord avec ceux obtenus dans la littérature.

La structure d'alimentation présente un élément essentiel dans la conception des

antennes patches. Nous avons développé un modèle de calcul pour une antenne patch

rectangulaire avec l'utilisation d'une ligne microruban d'alimentation. La formulation

théorique de l'alimentation par proximité et par la ligne microruban a été effectuée.

Pour cette dernière alimentation nous avons présenté l'effet de la structure

d'alimentation sur la fréquence de résonance ainsi que la résistance d'entrée.

C

102

Enfin la technique de la méthode des moments est développée pour examiner les

propriétés de propagation d'une antenne patch rectangulaire avec une résistance de

surface non nulle. La condition de bord pour le champ électrique est utilisée pour

dériver l'équation intégrale. Les termes nécessaires pour représenter la résistance de

surface du patch rectangulaire sont dérivés et inclus dans l'équation intégrale sous

forme d'une matrice de résistance. Le radar cross section (RCS) d'une antenne

microruban, y compris l'effet de la résistance de surface et l'effet d'un substrat uniaxial

sont analysés. Il faut noter que les fréquences calculées ne dépendent pas de la

résistance de surface.

L'effet de l'anisotropie uniaxial du substrat sur la fréquence de résonance

complexe d'une antenne microruban est également étudié. Les résultats numériques

montrent que la résistance de surface affecte d'une manière significative le RCS ainsi

que le rayonnement de l'antenne patch rectangulaire. De plus on a prouvé que la

constante diélectriquez a un effet plus fort sur la fréquence de résonance, le

rayonnement et le radar cross section que la constante diélectriquex.

Comme perspectives pour des travaux futurs, un travail expérimental doit être

effectué pour étudier ce type d'antenne afin de le confronter avec nos résultats de

simulation.

103

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

104

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116

ANNEXES

117

ANNEXE A

Séparation des modes TM et TE et calcul du champ électromagnétique

page 116-119

ans cette annexe, les champs électriques et magnétiques sont développés dans

le domaine de Fourier.

Le champ électrique E et magnétique H sont caractérisés par leurs composantes

cartésiennes selon (x, y et z) et qui sont reliées par les équations de Maxwell.

L�équation de Maxwell-Ampere s�écrit sous la forme:

EjtEHrot

Avec:

ueEEeEE rkjkk

tjk et

Le rotationnel du champ magnétique H s�exprime par :

yH

xH

xH

zH

zH

yH

HHH

z

y

x

Hrot

xy

zx

yz

z

y

x

L�équation de Maxwell-Faraday s �écrit sous la forme :

HjtHErot 00

Avec:

ueHHeHH rkjkk

tjk et

D

(A-1)

(A-2)

(A-3)

(A-4)

(A-5)

118

Alors:

yE

xE

xE

zE

zE

yE

EEE

z

y

x

Erot

xy

zx

yz

z

y

x

Pour aboutir à l'équation d'onde on appliquant les autres équations de Maxwell:

0Ediv

0Hdiv

Après un certain calcul on obtient:

0202

2

2

2

2

2

zzz

z

xzz EkzE

yE

xE

0202

2

2

2

2

2

zzz

z

xzz HkzH

yH

xH

Avec:

000k

La séparation des modes TM et TE revient à exprimer les composantes

transversales du champ électromagnétique en fonction des composantes normales Ez

et Hz.

Les dérivés du champ électrique et magnétique en y et en x des équations

précédentes sont décomposables en onde plane: zkjykjxkj zyx eee

Dans le domain spectral:

(A-6)

(A-7)

(A-8)

(A-9)

(A-10)

119

dydxeezyxEkkkE ykjxkjzyx

yx,,,,~

yxykjxkj

zyx dkdkeekkkEzyxE yx,,~4

1,, 2

et

dydxeezyxHkkkH ykjxkjzyx

yx,,,,~

yxykjxkj

zyx dkdkeekkkHzyxH yx,,~4

1,, 2

Avec:

iE~ , iH~ est la transformée de Fourier de Ei et Hi respectivement

et

i=x, y ou z

Alors dans le domaine spectral on a:

xkjx

ykjy

zkjz

tjt

Après un certain calcul mathématique on obtient:

zs

yz

sx

xzx H

kk

zE

kkj

E ~~

~20

2

zs

xz

sx

yzy H

kk

zE

kkj

E ~~~20

2

(A-13)

(A-14)

(A-11.a)

(A-11.b)

(A-12.a)

(A-12.b)

120

zH

kkj

Ek

kH z

s

xz

s

yzx

~~~

220

zH

kkj

Ek

kH z

s

yz

s

xzy

~~~22

0

Avec: 222yxs kkk

220

2sxz kkk pour le mode TE.

zsxxz kkk 220

2 pour le mode TM.

, : permittivité et perméabilité du milieu

: pulsation

yx kk , constante de propagation selon x et y respectivement

Pour les ondes polarisées TM il n' existe pas des composantes en Hz et la structure

est infinie en z et on peut écrire le rotationnel du champ électrique tel que:

00000

00 y

xz

z

y

x

z

HH

jx

Ey

E

HH

jE

z

y

x

Erot

Dans le cas d'une onde polarisée TE on peut écrire le rotationnel du champ

magnétique sous la forme suivante:

00000

y

xz

z

y

x

z

EE

jx

Hy

H

EE

jH

z

y

x

Hrot

(A-16)

(A-15)

(A-17)

(A-18)

121

ANNEXE B

Calcul de la directivité

Page 120-123

a densité de puissance d'une onde électromagnétique rayonnée d'une antenne est

donnée par le vecteur de Poyting. Pour des variations sinusoïdales du champ, ce

vecteur s'écrit:

HEP Re21

La puissance totale rayonnée sur une surface S est donnée par l'intégrale:

dydxHEHE

dsHEP

*xy

*yx

srad

Re21

Re21

Notant qu'en zone lointaine le champ électrique et magnétique sont reliés par

cette équation:

0

EH

1200 : Impédance d'onde dans le vide

Par définition, la directivité est le rapport entre l'intensité maximale du

rayonnement et l'intensité maximale du rayonnement d'une antenne de référence. Une

antenne isotrope est d'habitude choisie comme antenne de référence. A partir de la

définition on a:

,,,

0FFD

L (B-1)

(B-2)

(B-3)

(B-4)

122

Où

D est la directivité,

F : est l'intensité maximale du rayonnement

F0 : est l'intensité d'une antenne isotrope

Pour une antenne isotrope la puissance est la même dans toute les directions,

donc le vecteur de Poyting est constant pour tous les angles. la puissance totale

rayonnée s'écrit:

04 FPrad

En utilisant cette dernière expression la directivité peut être exprimée comme:

radPFD ,4,

Prad : représente la puissance rayonnée par unité d'angle solide.

A grande distance r d'une antenne supposée à l'origine du système de référence,

l'onde rayonnée est sphérique et présente une onde plane, dans une direction , ,

la densité de puissance rayonnée par unité d'angle solide F est alors reliée au champ

électrique par la relation:

,,, 2 rPrF

Avec:

P : la puissance de rayonnement donnée par:

,,2

1,, 2

0

rErP

Et comme la densité de puissance dépend de 1/ r2 l'intensité de rayonnement

dépend seulement de la direction , et non pas de la distance r, on obtient:

(B-5)

(B-6)

(B-7)

(B-8)

123

,,2

1, 22

0

EEF

Dans le domaine spectrale on aboutie à:

yx*xy

*yxrad dkdkHEHEP ~~~~Re

81

2

D'après l'annexe A et après un certain développement mathématique on abouti à:

kDkDhkJkJkkkj

kDhkJkkJkk

ekkkE

me

brryyxxax

e

brryyxxx

hzkj

rzyxx

a

22sin1~~sin~~

1,,~

220

0

kDkDhk

JkJkkkjkD

hkJkkJkk

ekkkE

me

brryyxxax

e

brrxyxyy

hzkj

rzyxy

a

22sin1~~sin~~

1,,~

220

0

kDkDhk

JkJkk

kDhk

JkejkkkH

me

brryyxxY

e

brrya

hzkj

rzyxx

a

22sin1~~

sin~,,~

kDkDhk

JkJkk

kDhk

JkejkkkH

me

brryyxxx

e

brrXa

hzkj

rzyxy

a

22sin1~~

sin~,,~

Avec:

hkkjhkkkD bbbrae cossin

(B-9)

(B-10)

(B-11)

(B-12)

(B-13)

(B-14)

(B-15)

124

rbbbam hkkhkkjkD sincos

Avec: 20

222 kkkk xsza

20

222 kkkk xzsxzb

222yxs kkk

Les champs lointains sont données par:

zyxyzyxx kkkEkkkEE ,,~sin,,~cos,

zyxyzyxx kkkEkkkEE ,,~cos,,~sincos,

Avec:

cossin0kk x

sinsin0kk y

(B-16)

(B-17)

(B-18)

125

ANNEXE C

Matrice de Toeplitz

'évaluation numérique des éléments de la matrice impédance est parmi les étapes

critiques rencontrées dans l'analyse des antennes patches par la méthode

spectrale.

Il convient de noter que dans notre étude chacun des quatre sous matrice

impédance est une forme de bloc modifiée de Toeplitz. Ceci signifie que seulement la

première rangée de chaque sous matrice doit être calculée par une intégration

numérique. Les termes restants de chaque sous matrice peuvent être remplis par les

termes de première rangée, de ce fait en réduisant le temps nécessaire pour calculer la

matrice impédance.

les matrices de Toeplitz sont largement utilisées en informatique, car il est

possible de montrer que l'addition de deux matrices de Toeplitz peut être réalisé en un

temps en fonction de n et que le produit matriciel de deux matrices de Toeplitz peut

être fait en un temps en fonction de n log n [97].

Ces matrices sont aussi étroitement liées aux séries de Fourier, car l'opérateur de

multiplication par un polynôme trigonométrique, restreint à un espace de dimension

finie, peut être représentée par une telle matrice.

En algèbre linéaire, une matrice de Toeplitz (d'après Otto Toeplitz) ou matrice

diagonales constantes est une matrice dont les coefficients sur une diagonale

descendant de gauche à droite sont les mêmes. Par exemple, la matrice suivante est

une matrice de Toeplitz [97, 98] :

afghjbafghcbafgdcbafedcba

L

(C-1)

126

Toute matrice A (m×n) de la forme suivante est une matrice de Toeplitz:

Si l'élément (i,j) de A est noté Ai,j, alors on a :

Ai,j = ai j

En général, une équation matricielle: Ax = b, correspond à un système de n

équations linéaires à résoudre. Si A est une matrice de Toeplitz, alors le système est

particulier : Sa dimension est 2n 1 au lieu de n2 dans le cas général et est donc plus

facile à résoudre.

(C-2)

(C-3)

127

ANNEXE D

Les modes d'onde dans un diélectrique isotrope d'une antenne à patch résistif

ans cette annexe on veut déterminer les modes d'onde dans un diélectrique

isotrope d'une antenne à patch résistif; c. à. d le cas d'un matériau à perte de

longueur a et b suivant les axes x et y respectivement et ayant une constante

diélectrique m . Les conditions aux limites vont imposer les différentes classes de

solutions possibles. Dans l'annexe A on a traité le cas d'un métal parfait, et on a

montré qu'il n'ya pas de couplage entre les composantes longitudinales Ez et Hz; c. à. d

qu'il n'existe pas de relations entre ces deux composantes, on définit ainsi deux

familles de modes: les modes TE (transverse électrique) et les modes TM (transverse

magnétique). Dans le cas d'un métal réel, les champs sont non nuls dans le matériau et

les conditions de continuité vont imposer un couplage; c. à. d les composantes

tangentielles des champs électromagnétiques aux interfaces sont reliées par la

résistance de surface Rs par cette expression [87]:

zHRE s �

Où

z� est le vecteur unitaire normale à l'interface entrant dans le métal.

La résistance de surface aux interfaces diélectrique-métal s'exprime en fonction

de la constante diélectrique du métal [87]:

Notant que la constante diélectrique m prend des valeurs complexes, alors le

vecteur d'onde (kz) doit être aussi complexe, l'équation d'onde pour Ez et Hz d'après

l'annexe A devient:

0,,,, 2

2

2

2

2

2

2

yxEkz

yxEy

yxEx

yxEz

zzz

D

(D-1)

(D-2)

128

0,,,, 22

2

2

2

2

2

yxHkz

yxHy

yxHx

yxHz

zzz

Avec:

Ckkk z22

02

Dans un plan de section droite, il est possible d'écrire les fonctions E et H sous

la forme d'un produit de fonctions à variable séparées comme suit:

yExEyxE 21, et yHxHyxH 21,

On substituant ces expressions dans l'équation d'onde du champ

électromagnétique (D-3), (D-4) et après un certain calcul mathématique on obtient:

0000

0, yyjyyjxxjxxj eeeeEyxE

0000

0, yyjyyjxxjxxj eeeeHyxH

Avec: 20

222 kk z

: vecteur d'onde suivant x.

: vecteur d'onde suivant y.

En appliquant les équations de Maxwell avec les conditions aux limites

imposées par l'équation (D-1) et après un certain calcul mathématique en aboutit à:

000

0000

2200

2200

000000

xjzs

xjzs

xjxjxjz

xjz

ekkHRekkHR

eHeHeEkeEk

000

0000

00

0022

0022

00

xjz

xjs

xjz

xjs

xjz

xjz

eHkeER

eHkeERekkEekkE

000

0000

20

20

20

20

000000

xajzs

xajzs

xajxajxajz

xajz

ekkHRekkHR

eHeHeEkeEk

(D-3)

(D-5)

(D-6)

(D-7)

(D-8)

(D-9)

(D-4)

129

0000

000

20

20

20

200

000xaj

zxaj

zxaj

zs

xajs

xajzs

xajs

ekkEekkEeHkR

eEReHkReER

000

0000

20

20

20

20

000000

jzs

jzs

jjz

jjz

ekkHRekkHR

eHeEkeHeEk

000

0000

20

20

20

20

0000j

zj

z

js

jzs

js

jzs

ekkEekkE

eEReHkReEReHkR

000

0000

20

20

20

20

000000

ybjzs

ybjzs

ybjybjz

ybjybjz

ekkHRekkHR

eHeEkeHeEk

0000

000

20

20

20

200

000ybj

zybj

zybj

s

ybjzs

ybjs

ybjzs

ekkEekkEeER

eHkReEReHkR

Ce système peut être s'écrit sous une forme matricielle, avec A donné par

l'équation (D-15) qui constitue le vecteur des inconnues, le système ainsi constitué

n'admet de solutions non triviales que lorsque son déterminant est nul, pour une

fréquence donnée, notant que le détermin ant de la matrice n'est fonction que

de et , Alors pour trouver les modes dans le diélectrique il faut trouver le couple

complexe , .

A=

0

0

0

0

0

0

0

0

yj

xj

yj

xj

eHeHeEeE

(D-10)

(D-11)

(D-12)

(D-13)

(D-14)

(D-15)