Microsoft PowerPoint - Fibonaccijev niz7. kongres nastavnika matematike Republike Hrvatske,
Zagreb, 29. lipnja 2016. – 1. srpnja 2016.
POJAM I ZADAVANJE NIZA
realitetna terapija teorija izbora – osnovne ljudske potrebe suradniko uenje
Projekt “itanje i pisanje za kritiko mišljenje”
Aritmetiki niz – 3. razred programa za zanimanje ekonomist
POJAM I ZADAVANJE NIZA – 2 SATA (GROZDOVI) – 1
kreiranje grozdova u timovima (25 minuta) predznanje (tj. spoznaje i uvjerenja)
uenika o nizovima, na koje e se nadograivati nove informacije
poticanje razmišljanje uenika prije obrade teme
izrada grafikih prikaza razvija znatielju i kreativnost
uenici biljee pojmove koje povezuju, te primjere nizova
POJAM I ZADAVANJE NIZA – 2 SATA (GROZDOVI) – 2
nastavnik orijentacijska podrška pri kreiranju
grozdova usmjeravanje uenika na meusobnu
komunikaciju
izlaganje predstavnika timova poster usporeivanje grozdova
POJAM I ZADAVANJE NIZA – 2 SATA (GROZDOVI) – 3 posteri – grozdovi (šk. 2015. / 2016. god.)
Grupa: Latice
Grupa: Magini
Grupa: Magini
uvoenje pojma niza funkcija koja svakom prirodnom broju
pridruuje lan niza zadavanje niza formulom opeg lana rekurzivno zadavanje niza zadane su vrijednosti prvih nekoliko lanova niza, a opi lan izraen je pomou prethodnih lanova Fibonaccijev niz
MATEMATIAR FIBONACCI I FIBONACCIJEV NIZ (VOENO ITANJE) – 1
voeno itanje (45 minuta)
uenici samostalno itaju tekst (u dijelovima – do oznaenih mjesta) diskusija – pitanja otvorenog tipa usmjeravanje kritikog razmišljanja
uenika
Opišite povijesne okolnosti u Europi u razdoblju ranog srednjeg vijeka. Prisjetite se gradiva iz povijesti (iz 1. razreda).
Objasnite napredak Italije u 12. stoljeu.
MATEMATIAR FIBONACCI I FIBONACCIJEV NIZ (VOENO ITANJE) – 3
Kakav se brojevni sustav upotrebljavao u to vrijeme u zapadnoj Europi? Navedite njegove prednosti i nedostatke.
(slika desno: Zapis s urezanim rimskim brojevima)
MATEMATIAR FIBONACCI I FIBONACCIJEV NIZ (VOENO ITANJE) – 4
Osim metodom pisanja, raunalo se i upotrebom ploica, tj. okvira sa icama na kojima su nanizane kuglice. Kako se nazivaju ovakve sprave za raunanje? Procijenite da li su mogle zadovoljiti potrebe ondašnjih trgovaca, koji su razmjenjivali svoju robu na sajmovima.
Što mislite da e uiniti Fibonacci?
MATEMATIAR FIBONACCI I FIBONACCIJEV NIZ (VOENO ITANJE) – 5
Da li su se vaše pretpostavke o raunanju u 12. stoljeu na Mediteranu, te o doprinosima matematiara Fibonaccija, ostvarile?
Kako su arapski trgovci potaknuli razvoj znanosti u zapadnoj Europi?
Koja je svrha Fibonaccijeve knjige? Koje informacije bi mogla sadravati? Procijenite kako je primljena u Europi?
MATEMATIAR FIBONACCI I FIBONACCIJEV NIZ (VOENO ITANJE) – 6
Analizirajte sadraj Fibonaccijeve Knjige raunanja i usporedite ga s vašim pretpostavkama.
Da li je vaša procjena o prihvaenosti knjige realna?
Na koji je nain Fibonacci mogao doi do otkria niza brojeva, po kojem je danas najpoznatiji?
MATEMATIAR FIBONACCI I FIBONACCIJEV NIZ (VOENO ITANJE) – 7
Fibonacci je mogao doi do otkria niza brojeva:
prouavajui odgovarajue omjere u Keopsovoj piramidi (bio je u Egiptu) (Lorena)
prouavajui matematike odnose kompleksa piramida u Gizehu (Klara)
analizirajui Pitagorinu ostavštinu, tj. istraujui pravila glazbene harmonije (Ivana)
istraujui matematike zakone koji objašnjavaju gibanje nebeskih objekata (Sandra)
prouavajui geometrijske probleme u prirodi (Tea) istraujui stari perzijski kalendar kojeg je reformirao
matematiar i pjesnik Omar Hajjam (Kaja) prouavajui „Tibetanski kota ivota“ (Nikolina)
MATEMATIAR FIBONACCI I FIBONACCIJEV NIZ (VOENO ITANJE) – 8
Neki je ovjek stavio par zeeva u prostor okruen zidovima sa svih strana. Koliko parova zeeva moe nastati od tog para u godinu dana, ako se pretpostavi da svaki par svakog mjeseca zane novi par, koji postaje plodan od drugog mjeseca?
Novonastali niz brojeva je: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233.
Problem razmnoavanja zeeva
MATEMATIAR FIBONACCI I FIBONACCIJEV NIZ (VOENO ITANJE) – 9
Da li su se vaša predvianja o otkriu Fibonaccijevog niza ostvarila?
Analizirajte problem razmnoavanja zeeva. (Pokušajte prebrajati!)
→ nakon 1. mjeseca – još uvijek jedan par zeeva → za dva mjeseca – dva para → nakon tri mjeseca – tri para (priplod e dati samo
prvi par; drugi je star tek mjesec dana) → za etiri mjeseca – pet parova (od tri para priplod
daju dva starija, dok trei još nije napunio dva mjeseca starosti)
→ itd. (Lorena, Ivana i Ognjen)
MATEMATIAR FIBONACCI I FIBONACCIJEV NIZ (VOENO ITANJE) – 10
Na koji biste nain zadali niz? Opišite njegove lanove. Da li je Fibonaccijev niz konaan?
→ → rekurzivno zadavanje niza
(lat. recurrere – natrag trati) (Tea i Igor) → Svaki sljedei lan niza zbroj je dvaju prethodnih
lanova. (Nikolina) → Fibonaccijev niz je beskonaan. (Patrik)
3, ,1
Istaknite nekoliko zanimljivih svojstava Fibonaccijevog niza.
→ Svaki trei Fibonaccijev broj je paran, svaki etvrti djeljiv je s tri, svaki peti s pet, a svaki šesti s etiri, odnosno osam. (Doris i Klara)
→ Svaka dva susjedna lana niza meusobno su prosti brojevi. (Igor)
→ lan djeljiv je lanom ako je n djeljiv s m. (Sandra)
→ Najvea zajednika mjera (djelitelj) dvaju Fibonaccijevih brojeva i jednaka je Fibonaccijevom broju iji poloaj u nizu odreuje najvea zajednika mjera od n i m. (Kaja)
na
na
ma
ma
Izraunajte vrijednosti omjera susjednih lanova. Što zakljuujete?
→ Omjeri susjednih lanova (1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, 233/144, …) pribliavaju se broju φ = 1,618, tj. zlatnom broju.
(Tea i Klara)
Razmislite o prihvaenosti Fibonaccijeve ostavštine.
MATEMATIAR FIBONACCI I FIBONACCIJEV NIZ (VOENO ITANJE) – 14
Da li su se vaše pretpostavke o odnosima Fibonaccija i ostalih uenjaka, te o prihvaenosti Fibonaccijevih djela ostvarile?
MATEMATIAR FIBONACCI I FIBONACCIJEV NIZ (VOENO ITANJE) – 15
Navedite primjere zlatnog reza u prirodi.
→ jabuka (cvijet, sjemenke) (Klara) → suncokretov cvat, cvat ananasa, cvatovi malina i jagoda,
cvatovi ivanice, tratinice i kamilice (Lorena, Igor i Tea)
→ ešeri (Patrik) → rast cvjetova (npr. latice rue) i listova (javor, breza, lipa;
oko stabljike kukuruza) (Doris i Kaja) → „raspored“ ruinih bodlji (Nikolina) → kuice pueva, školjke (npr. Nautilus) (Ognjen) → rojevi pela (Patrik) → molekule DNK; ljudski embrij (Ivana i Sandra)
MATEMATIAR FIBONACCI I FIBONACCIJEV NIZ (VOENO ITANJE) – 16
uenici su navikli na pitanja s jednim moguim (tonim) odgovorom
na poetku voenog itanja bili su nesigurni i šutljivi
za verbaliziranje misli, te izraavanje i oblikovanje, a i doradu ideja, potrebno je odreeno vrijeme
MATEMATIAR FIBONACCI I FIBONACCIJEV NIZ (VOENO ITANJE) – 17
prihvaanje i uvaavanje mišljenja – aktivna ukljuenost uenika u kritiku analizu (na temelju vlastitih iskustava i iskustava drugih)
svako je mišljenje pojedinca vrijedno (jaanje samopouzdanja)
uspješna komunikacija – aktivno slušanje, suzdravanje od kritiziranja
konstruktivan rad – intelektualna znatielja, odnosi pozitivne ovisnosti
POJAM I ZADAVANJE NIZA – 2 SATA (INKVINE) – 1 pisanje inkvina u parovima (20 minuta) saimanje informacija, uz prezentaciju
INKVINA – pjesma od pet stihova 1. stih: opis teme u jednoj rijei 2. stih: opis teme u dvije rijei (pridjevi) 3. stih: tri rijei koje opisuju radnju
(glagolske imenice) 4. stih: fraza od etiri rijei – osjeaji u
vezi s temom 5. stih: jedna rije koja saima, tj. ini bit
teme
NIZOVI KONANI, BESKONANI ZADAVANJE, ODREIVANJE, RAST TAJANSTVENA FORMULA U PRIRODI FIBONACCI
(Kaja i Sandra)
NIZ rastui, padajui zadavanje, opisivanje, prebrojavanje slavni problem sa zeevima Fibonacci
(Ivana i Nikolina)
Zlatni rez u umjetnosti i arhitekturi
SAMOVREDNOVANJE
kriteriji samovrednovanja uenici ocjenjuju suradnju u grupi, ali i svoje
rezultate
procesu uenja
svijetu znanosti!