IPN ESIME CULHUACAN

Sistema de Levitación Electromagnético

Control Clásico

6EM1

Introducción

Llamamos levitación magnética al fenómeno por el cual un material puede levitar gracias a la repulsión existente entre los polos iguales de dos imanes o bien debido a propiedades de los superconductores. La levitación magnética es un método por el cual un objeto es mantenido a flote por acción únicamente de un campo siempre y cuando dicho campo sea lo suficientemente fuerte.

El fundamento de este principio son los campos electromagnéticos debido a las fuerzas originadas entre cargas eléctricas en movimiento. Con este principio, se iniciaron los estudios sobre el aprovechamiento de los campos eléctricos y magnéticos en distintos materiales. Lo anterior propició el diseño de sistemas de transporte en la década de 1970, año en el cual en la ciudad de Hamburgo, fue habilitado el primer tren a levitación magnética o maglev para el transporte de pasajeros.

Actualmente, el tema de la levitación magnética ha tenido grandes avances y desarrollos tecnológicos. Tal es el caso, que en grandes universidades como el Massachusetts Institute of Technology (MIT) ha diseñado programas mediante los cuales la levitación interactúa con el medio con el fin de controlar sistemas de cámaras flotantes, aplicaciones astrológicas e inclusive sistemas de entretenimiento.

Antecedentes teóricos

Campo Magnético

Los primeros fenómenos magnéticos observados fueron, los relacionados con los llamados imanes naturales, que son trozos de un mineral de hierro. Durante muchos años el estudio de los fenómenos magnéticos se limitó a los imanes obtenidos de este modo. Hasta 1819, el físico danés Hans Christian Oersted, observó que un imán que puede girar alrededor de un eje se desvía al encontrarse en la proximidad de un hilo conductor que transporta una corriente.

Actualmente se cree que los llamados fenómenos magnéticos proceden de las fuerzas originadas entre cargas eléctricas en movimiento donde el campo magnético generado en cargas en movimiento ejerce una fuerza sobre una segunda carga en movimiento.

Para crear un campo magnético a partir de una corriente eléctrica, se necesita que una corriente circule por un conductor y con ello se generará dicho campo. El valor del campo dependerá de la intensidad de corriente eléctrica que circule por el

1

conductor, considerando la distancia y forma del mismo. Las líneas de fuerza del campo magnético estarán presentes alrededor del conductor empleado.

Electroimanes

Así como su nombre lo indica, un electroimán es un imán que funciona gracias a la electricidad. Se compone de un material ferromagnético denominado núcleo, alrededor del cual se ubica un cable conductor de forma espiral (solenoide). Los estudios antes mencionados por parte de Oersted, ayudaron al inglés William Sturgeon a descubrir que al atravesar corriente en un conductor enrollado sobre una barra de hierro en forma de herradura, se formaba un electroimán.

Control

Los sistemas de control emplean frecuentemente componentes de diferentes tipos, por ejemplo, componentes mecánicos, eléctricos, hidráulicos, neumáticos y combinaciones de éstos.

Existen dos formas básicas de sistemas de control, una es la denominada en lazo abierto y la otra en lazo cerrado. Con un sistema en lazo abierto la entrada se elige con base en la experiencia que se tiene con dichos sistemas para producir el valor de salida requerido. Esta salida, sin embargo, no se ve modificada por el cambio en las condiciones de operación externas. Los sistemas de control que operan mediante mecanismos de temporización preestablecidos son sistemas de lazo abierto.

Con un sistema de control en lazo cerrado se tiene una señal de realimentación hacia la entrada desde la salida, la cual se utiliza para modificar la entrada de modo que la salida se mantenga constante a pesar de los cambios en las condiciones de operación. Los sistemas en lazo cerrado tienen la ventaja de ser capaces de igualar los valores reales a los requeridos. No obstante, si existen retrasos propician que la acción correctiva requerida llegue demasiado tarde, y como consecuencia se obtienen oscilaciones en la entrada e inestabilidad. Los sistemas de lazo cerrado son más complicados que aquellos en lazo abierto y más costosos, con una gran posibilidad de descompostura debido a la gran cantidad de componentes.

Levitación Magnética

La levitación magnética consiste en mantener objetos suspendidos sin existir contacto mecánico gracias a la fuerza magnética. Este proceso es por naturaleza inestable y no lineal, esto hace que el control sea desafiante. Además se hace obligatoria la utilización del control en lazo cerrado para mantener la levitación.

2

Existen dos métodos para obtener la levitación magnética: suspensión electromagnética y suspensión electrodinámica.

Un método para la solución de la levitación es el uso de materiales diamagnéticos. Las sustancias diamagnéticas rechazan el campo magnético, este efecto se puede utilizar para crear la levitación de objetos ligeros.

Otro método es la suspensión electrodinámica, en el cual se usan campos electrodinámicos. Aquí las cargas producen magnetismo y los imanes móviles producen electricidad (principio campo electromagnético).

Desarrollo

Material

1 balín de acero. Base de madera MDF. Vernier modificado 1 cilindro sólido de acero (d= 2cm, l=7cm) 600 vueltas alambre magneto de calibre 16 AWG 1 resistencia 1 KΩ. 1 resistencia 10 KΩ a ½ W. 1 resistencia 220 KΩ. 1 Tripo 1MΩ. 1 LED infrarrojo. Transistor IR (PT1302B) Circuito Integrado LM358N, LM741 Fuente alimentación + 15 V CD, y 5V CD, 20V CD a una corriente de 3.5Amp

Construcción del sistema

Para la base de nuestro levitador, fue utilizada madera MDF para dar un soporte rígido al electroimán, ya que el peso del mismo es de consideración. Esta base integra asimismo al vernier modificado, el cual fue colocado a un costado de la base para tener un mejor manejo del balín. Para el vernier, fue insertada una base en la cual, el balín es depositado tomando en cuenta que debe de estar por debajo del núcleo de la bobina.

3

Caracterización de la bobina

La bobina que requerimos para este caso, tiene las siguientes características: 600 vueltas y el alambre magneto de calibre 16 AWG. Para el núcleo fue utilizado un cilindro sólido de acero de 1.8 cm de diámetro y 7 cm de longitud. Para la caracterización de la bobina, medimos la inductancia de la bobina directamente al analizador de inductancias. Al tener la medición de la inductancia propia de la bobina, fue colocada en la base y tomamos las mediciones correspondientes con el balín situado por debajo del núcleo de la bobina. El procedimiento fue tomar mediciones variando 1 milímetro de distancia entre el balín y el núcleo, aquí se muestran los resultados obtenidos.

Distancia(mm)

Inductancia(mH)

0 20.81 20.782 20.473 20.294 20.175 20.046 19.977 19.98 19.859 19.8110 19.7711 19.7412 19.7113 19.6914 19.6715 19.6516 19.6417 19.6318 19.6219 19.6220 19.61

4

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2019.6

19.8

20

20.2

20.4

20.6

20.8

Distancia (mm)

Indu

ctan

cia

(mH)

Teniendo como el punto a= 5mm (distancia constante, análoga a la constante de tiempo en un circuito RC)

La variación de la inductancia entre estos dos extremos se representa como:

L(x)= L1 + L0 e-x/a

L1= 19.61mHy (inductancia en ausencia del balín)

L0= 20.8mHy – 19.61mHy= 1.19mHy

5

Caracterización del sensor.

Posterior a la caracterización de la inductancia, procedemos a armar un circuito que ayude a tener un mejor posicionamiento del balín con respecto a la bobina. Lo anterior para que el sistema cuando haga su función de levitación, el balín este en la posición exacta y no haya algún tipo de error.

El procedimiento de caracterización de la bobina se repite ahora para el sensor de nuestro circuito.

6

Conexión entre sistema y analizador de inductancias.

Realizamos las mediciones correspondientes variando la distancia entre núcleo de la bobina y balín. Los resultados fueron los siguientes:

Distancia en (mm) Voltaje (v)0 0.021 0.022 0.023 0.054 0.075 0.076 0.077 0.098 0.879 1.9410 3.811 512 513 5

7

Ajuste la salida de voltaje delLF353v, con la ayuda del tripot,

hasta logar un voltaje de 5v.

Con el calibrador montado sobre la base del levitador y montado sobre

la base del calibrador el balín, se procede a tomar mediciones de

voltaje en la salida o terminal uno del LF353v. a partir que el balin

toque el nucleo de la bobina (distancia cero), hasta que marque

en el volmetro el voltaje de 5v

Registre los datos en una tabla y gráfique.

Al graficar los resultados, buscamos el punto medio de la recta mas pronunciada, que es donde tomaremos como referencia, ya que en este punto es la distancia de levitación del balín.

0 2 4 6 8 10 12 140

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

Teniendo como voltaje de referencia en 3.5v, a una distancia de levitación (d) aprox. de 9.8mm

Teniendo la pendiente más pronunciada es los puntos:

P1(8, 0.88), P2(11, 5)

Por lo tanto la función de transferencia Gs=∆ v∆ x=

5−0.8811−8 = 1.373V/mm

Pasando de mm a m, tenemos que:

Gs=1373V/m

La información del fototransistor es procesado por un compensador Proporcional- Integral –Derivativo para regular la corriente de entrada i en la bobina a través de un amplificador de potencia, con el propósito de mantener el balín en el punto de equilibrio:

8

Calculo de la corriente

Con los datos obtenidos, podemos calcular la corriente de alimentación para la bobina.

Sabemos que:

I=√ 2∗M ∗g∗a

L0∗e−da

Sustituyendo datos:

I=√ 2∗0.020 kg∗9.81m /s2∗0.005m

0.00119mHy∗ e−9.85

≈ 3.3 Amp

Variable Valor daL0

Gs

M(masa del balín)g(constante de la gravedad)I

9.8mm5mm1.19mHy1373V/m0.020Kg9.81m/s2

3.3Amp

9

Modelo matemáticoSabemos que la función de transferencia de la planta (relación de la corriente de la bobina y la posición del balín) esta expresada, como:

X (s )I ( s ) =

2∗gI

s2− ga

* Gs

Donde

X(s) representa la posición del objeto levitante en función del voltaje.

I(s) representa la corriente eléctrica a través de la bobina.

La posición del balín es medida a través del sensor de IR, que produce un voltaje proporcional a la posición de la esfera.

Sustituyendo datos:

X (s )I ( s ) =

2∗9.813.3

s2− 9.810.005

*1373

X (s )I ( s )

= 8183.08s2−1962

= 8183.08(s−44.29 ) (s+44.29 )

Compensador PIDLa acción del controlador automático m(t) alimenta a un amplificador de potencia, el cual se amplifica para poder manipular la posición de la esfera por medio de una variación de corriente. El elemento de medición es un dispositivo que convierte la variable de posición en una variable de voltaje adecuado, que se utilizara para compararla con la señal de entrada, como se muestra en la siguiente figura.

10

Un PID en un circuito electrónico está formado por amplificadores operacionales (en este caso se utilizaron LM741). De acuerdo a lo mostrado en la figura, la señal m(t) es la acción del controlador PID, esta actua sobre la señal de error e(t), como se muestra en la siguiente ecuación:

m(t)= kp*e(t) + kpTi ∫0

1

e ( t )dt + kp*Td*d e ( t )dt

aplicando transformada de Laplace, tenemos:

Gc(s)=M ( s )E (s )

= Kp(1 + 1

Ti∗S + Td *s)

Dónde:

Kp (ganancia proporcional), Ti (tiempo integral), y Td (tiempo derivativo) son parámetros del controlador.

La configuración del PID a desarrollar es el siguiente:

Teniendo como función de transferencia:

E0Ei

= R 4 (R1∗C1+R 2∗C 2 )R3∗R 1C 2 [1 + 1

s (R1∗C 1+R2∗C 2 ) + R1∗C 1∗R2∗C 2R1∗C 1+R2∗C2s]

11

Donde:

Ganancia proporcional:

Kp=R 4 (R1∗C1+R2∗C 2 )

R3∗R1C 2

Tiempo integral:

Ti=R1∗C1+R2∗C2

Tiempo derivativo:

Td= R1∗C 1∗R2∗C 2R1∗C1+R2∗C2

La función de transferencia de la planta tiene dos polos, una en la parte estable y otro en la parte de la inestabilidad. Por lo que se busca un polo dominante.

Proponiendo lo siguiente:

Un tiempo de establecimiento (ts) del 2% y teniendo polos en s+0.7071±j0.7071 a una frecuencia nominal de 1rad/s. con estos datos se obtiene un factor de amortiguamiento (δ) de 0.7 teniendo como consecuencia un máximo sobre impulso (Mp) del 4.5%, con un tiempo de establecimiento de 1s, con estos datos se obtiene la frecuencia natural no amortiguada (ωn) de 5.7143 rad/s.

Para satisfacer lo propuesto, los polos dominantes deben ser:

s= -4 ± j4

Esto nos permite obtener información sobre la respuesta transitoria y la respuesta en frecuencia. Esto implica que el funcionamiento deseado puede no lograrse solo con realizar ajustes de ganancia, por lo que se necesita modificar la forma del lugar geométrico de las raíces.

Los valores de s que cumplen las condiciones de ángulo y magnitud, son las raíces de la ecuación característica o polos de lazo cerrado., teniendo como ecuación característica:

1+G(s)H(s)= 0

Donde

G(s)= Gc(s)Gp(s)…(1)

12

Se considera a H(s)=1, debido a que el sistema es de realimentación unitaria. La condición de ángulo se define como:

(ángulo)G(s)H(s)= ±1800(2k + 1) con k= 0, 1, 2, …

(ángulo)ceros – (ángulo)polos= 1800

El dispositivo a insertar con el fin de satisfacer las necesidades deseadas, se denomina compensador, el cual mejora las deficiencias de funcionamiento y error en estado estacionario.

El compensador a usar es un PID (proporcional-integrador-derivativo).

Para obtener los valores del PID se realiza lo siguiente:

1. De la ecuación 1 muestra que al introducir el PID en el sistema de lazo cerrado, este aumenta su tipo en uno y se le agregan dos ceros. Debemos lograr que la contribución en ángulo de todos los polos y ceros de lazo abierto. Los polos dominantes de lazo cerrado sea de ±1800. Los polos de la planta contribuyen con 1800, el polo en el origen del compensador tiene una contribución de 1350, por lo tanto las contribuciones en angulo de los polos de lazo abierto es de 3150. Se requiere que la suma de todos los ángulos sea de ±1800.

El ángulo del polo dominante:180 -Tan-1 4/4= 180-450 =1350

2. Se propone que los dos ceros del compensador contribuyan con el mismo ángulo. Del polo estable, se valora a s con el polo dominante:S + 44.24|-4+j4 =40.29 + j4Tan-1 4/40.29= 5.660

Para el polo inestable:180- 5.660= 174.340

Teniendo como sumatoria de los ángulos:135 + 5.66 + 174.34= 315Y el cero:315-180= 1350

Con estos datos, se propone la función de transferencia del PID:

Gc(s)= k (s+a )2

sDónde, ( s+a )2= 135

( s+a )2|-4+j4= 135

−4+ j 4+a =67.5Realizamos la relación de ángulo:

13

Tan-1 4/a-4= 67.50

4/a-4= Tan67.54/a-4= 2.41a= 4 + 9.64/ 2.41a= 5.6597Sustituyendo en la función de transferencia:

Gc(s)= k (s+5.6597 )2

s3. Para obtener la ganancia con la que el lugar geométrico de las raíces

pasara por el punto deseado, considerando la condición de magnitud de G(s)H(s)= 1. En nuestro caso para el levitador:Gc(s)Gp(s)|s=-4+j4=1

Gc(s)Gp(s)|s=-4+j4=k (s+5.6597 )2

s * 8183.08

(s−44.29 ) (s+44.29 ) =k (s+5.6597 )2∗8183.08s (s−44.29 ) ( s+44.29 )

Despejando a k:

K=s (s−44.29 ) ( s+44.29 )(s+5.6597 )2∗8183.08 | s=-4+j4

K=(−4+ j 4 ) (−4+ j 4−44.29 ) (−4+ j 4+44.29 )

(−4+ j 4+5.6597 )2∗8183.08 = (−4+ j 4 ) (40.29+ j 4 ) (−48.29+ j 4 )

(3.3+ j 4 )2∗8183.08 = (4 √2 ) (40.48 ) (48.45 )

18.75∗8183.08

K=0.07230

Teniendo como función de transferencia:

Gc(s) =0.07230 (s+5.6597 )2

s=0.07230∗ (s+5.6597 )2

s=

0.07230s + 0.8183 + 2.3157(1/s) Derivador Proporcional Integrador

Factorizando:

14

Gc(s)= 0.8183(1 + 10.3533 s

+0.08835 s)

Hacienda la analogía de Gc(s) =M ( s)E (s )

Tenemos que:

Kp= 0.8183 Td= 0.08835 Ti=0.3533

4. Haciendo la analogía con las ganancias de los parámetros del controlador PID electrónico, se determinan los valores de resistencias del circuito.

Se proponen C1= C2= 10uF

Sabemos que:

Ti=0.3533= C1R1 + C2R2

C1*C2*R1*R2= 0.08835(0.3533)= 0.03121

(C1*R1)(C2*R2)=(0.176)(0.176)

R1*C1=0.176

R1=0.176/10x10-6

R1=R2= 17.6KΩ

Para el valor de R4, se propone a R3= 1kΩ.

Sabemos que:

Kp= 0.8183= 2*R4/ R3

R4= (0.8183/2)(1000)

R4=409.15Ω

Resultados Simulando el sistema en simulink, tenemos lo siguiente.

15

El sistema, el cual representa solo la planta, como se había mencionado es inestable, lo cual se corrobora en la siguiente gráfica:

Teniendo en cuenta que el voltaje de referencia se mantuvo en 3.5V (práctico y propuesto), se considera como la magnitud del step, obtenemos lo siguiente

16

Se aprecia que el sistema se estabiliza, teniendo un Mp del 26%

Y un tiempo de estabilización de aproximadamente 1.5s

17

Resultados Fotográficos

El voltaje de referencia se mantuvo en los

3.5V.

Conexión completa del sistema

18

Conexión sensor-PID-actuador

Conclusión

No necesariamente se tuvo que seguir la relación de núcleo-balín, ya que en nuestro caso la esfera era más pequeña que el núcleo. Otro factor a considerar para que se logre la levitación es que el sistema de censado (sensores) deben estar lo más alineado posible, ya que si no se logra esto el sistema no cumplía el objetivo, ya que la masa a levitar siempre se pegaba al núcleo.

Momentos previos a el cumplimiento del objetivo, existieron errores, esto localizado en el bloque del PID, ya que en la implementación de las resistencias calculadas, daban errores no comerciales de resistencias por lo que se realizó un arreglo de resistencias, pero debido a que estas tienen tolerancias en cuanto a su valor nominal, el arreglo no daba la resistencia deseada, por lo que fue necesario reemplazarlas por trimpots.

Debido a la corriente demandada (3.3Amp) fue necesario como actuador el TIP142 G406FVWCHNG4, además de un disipador de calor.

Bibliografía

[1] Física, Francis W. Sears, Mark W. Zemansky, Editorial Aguilar pp. 645-651.

[2] Ingeniería de Control Moderna, Katsuhiko Ogata Editorial Pearson, Tercera Edición pp. 1-8

19

[3] http://www.hiperinnovacion.com/2012/05/lvitacion-magnetica-en-el-mit-media-lab/

20