REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR

INSTITUTO PEDAGÓGICO “RAFAEL ALBERTO ESCOBAR LARA”

Es un procedimiento expresado a manera de regla o

de fórmula por medio del cual se obtiene un valor

numérico denominado Estimación.

Ejemplo: sí 𝑥 = 𝒙𝒊

𝒏 , representa el método para

determiner la media muestral, este será el

estimador pero el resultado numérico que se

obtiene da una estimación de la población.

Estimador

Estimador Puntual: Es un solo valor numérico utilizado

para estimar parámetros correspondientes a la población.

Estimador por intervalo: Consta de dos valores

numéricos que define a un intervalo, con un grado

específico de confianza, se considera que incluye el

parámetro por estimar.

𝒙 ∓𝒛 𝟏−𝜶/𝟐 .𝝈𝒙

TIPOS DE ESTIMADORES

Un fisioterapeuta desea estimar con un 99% de confianza, la

media de la fuerza máxima de un musculo particular de un cierto

grupo de individuos. Se inclina a suponer que los valores de dicha

fuerza muestran una distribución normal con una varianza de 144.

Una muestra de 15 individuos que participaron presento una media

de 84,3.

Para α = 0,01, se va a la tabla de z y se busca el área bajo la curva 𝛼

2=0,005, se obtiene z= 2,58; 𝜎𝑥 =

𝑠

𝑛=

12

15= 3,0984

El intervalo será 84,3 ∓ 2,58x3,0984

Estará entre 76,3 y 92,3 (intervalo de confianza)

Ejemplo

Inferencia Estadística: Es el procedimiento por medio del cual

se llega a conclusiones acerca de una población con base a la

información que se obtiene a partir de una muestra seleccionada

de la misma.

Estimadores para hacer Inferencias: Cuando se conoce la

varianza de la población se utiliza la Distribución Normal

𝑧 =𝑥 − 𝜇

𝑠/ 𝑛

Estimación para la Inferencia Estadística

Cuando no se conoce la varianza Poblacional, se utiliza la

Distribución t de student

Comparación de Varianza para dos muestras, se utiliza la Distribución de

Fisher.

Distribución Ji Cuadrado:

χ2 =𝑛 − 1 . 𝑆2

𝜎𝑜2

α/2 α/2

α

α

Prueba de Significación de una y dos Colas

TIPOS DE COMPRARACIONES MUESTRALES

Para dos medias muestrales se tiene que analizar los datos

obtenidos, que pueden ser no apareados o apareados.

No Apareados: Dos conjuntos de datos formados por resultados

obtenidos de muestras independientes extraídas de una misma

fuente.

Apareados: Dos conjuntos de datos consistentes en resultados

obtenidas de una muestra medida en diferentes situaciones.

ESTADÍSTICO DE PRUEBA

No Apareados:

a) Con varianzas iguales:

𝑡𝑐 =𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐵

𝑆𝑝1𝑛𝐴 + 1

𝑛𝐵

𝑆𝑝 =𝑛𝐴 − 1 𝑆𝐴

2 + 𝑛𝐵 − 1 𝑆𝐵2

𝑛𝐴 + 𝑛𝐵 − 2

b) Con varianzas diferentes:

𝑡𝑐 =𝑥 𝐴 − 𝑥 𝐵

1𝑛𝐴 + 1

𝑛𝐵

𝑡𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 =𝑤𝐴𝑡𝐴 +𝑤𝐵𝑡𝐵𝑤𝐴 + 𝑤𝐵

𝑤𝐴 =𝑆𝐴2

𝑛𝐴 y 𝑤𝐵 =

𝑆𝐵2

𝑛𝐵

Ejemplo de (a): los resultados que se dan a continuación son de monedas

recogidas en dos regiones de EE.UU, para determinar la masa por métodos

diferentes.

Muestra A 3,080 3,094 3,107 3,056 3,122 3,023 3,198

Muestra B 3,025 3,024 3,028 3,127 3,028 3,174

𝑋 𝐴 = 3,097 𝑆𝐴2 = 0,00306; 𝑋 𝐵 = 3,068 𝑆𝐵

2 = 0,00434

Supuesto: Los datos constituyen muestras aleatorias simple de una población

de monedas. Primero hay que utilizar la prueba de Fisher:

Hipótesis 𝐻0: 𝑆𝐴2= 𝑆𝐵

2 ; 𝐻1: 𝑆𝐵2 > 𝑆𝐴

2

Estadístico de prueba: 𝐹𝑐 =𝑆𝐵2

𝑆𝐴2 = 1,4183

Regla de decisión: Se rechaza 𝐻0 sí 𝐹𝑐 > 𝐹 𝐶𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 , para α= 0.05

Para una cola con grados de libertad para el numerador igual a 5 y el denominador igual a

6.

Se busca el valor en la distribución de Fisher para 0,95; 𝐹 𝐶𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜= 4,39

Decisión: como 𝐹𝑐 ≯ 𝐹 𝐶𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜, se acepta 𝐻0 para α= 0.05

Conclusión: las muestras son de varianzas iguales.

Se aplica la prueba t de student.

𝐻𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑖𝑠: 𝐻0 : 𝑋 𝐴 = 𝑋 𝐵 ; 𝐻1 : 𝑋 𝐴 ≠ 𝑋 𝐵 (Dos colas)

Estadístico de prueba: 𝑡𝑐 =𝑥 𝐴−𝑥 𝐵

𝑆𝑝1𝑛𝐴 +1

𝑛𝐵

; 𝑆𝑝=𝑛𝐴−1 𝑆𝐴

2+ 𝑛𝐵−1 𝑆𝐵2

𝑛𝐴+𝑛𝐵−2

𝑆𝑝 = 0,0603 𝑡𝑐 = 0,86 𝑡𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜=2,01 para 11 g.l y 0,975 de probabilidad

Decisión: como 𝑡𝑐 ≯ 𝑡 𝐶𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜, se acepta 𝐻0 para α= 0.05; no existe diferencia significativa

entre las medias muestrales. Los métodos son indiferentes para calcular la masa de las

monedas.

Ejercicio para (b): vamos a suponer que ya se hizo la prueba de

Fisher como resultado del análisis de dos muestras dando

varianzas diferentes:

𝑋 𝐴 = 86,83 𝑆𝐴2 = 0,1024 𝑛𝐴 = 6

𝑋 𝐵 = 82,71 𝑆𝐵2 = 4,6656 𝑛𝐵 = 6

Hipótesis: 𝐻0: 𝑋 𝐴 = 𝑋 𝐵 ; 𝐻1: 𝑋 𝐴 ≠ 𝑋 𝐵 (dos colas)

Estadístico de prueba: 𝑡𝑐 =𝑥 𝐴−𝑥 𝐵

1𝑛𝐴 +1

𝑛𝐵

=4,622

Regla de decisión: se rechaza 𝐻0 sí 𝑡𝑐 > 𝑡𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜, para α= 0,05

𝑡𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 =𝑤𝐴𝑡𝐴 + 𝑤𝐵𝑡𝐵𝑤𝐴 + 𝑤𝐵

𝑡𝐴 = 2,5706 𝑔𝑙 = 𝑛𝐴 − 1 y 𝑡𝐵 = 2,5706 𝑔𝑙 = 𝑛𝐵 − 1 𝑡𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 = 2,5706

Decisión: Como 𝑡𝑐 > 𝑡𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 , para α=0,05 se concluye que hay diferencia

significativa entre las dos muestras.

Datos apareados: estadístico de prueba , se usa la distribución t de student

𝑡𝑐 =𝑑 . 𝑛

𝑆𝑑; donde 𝑑 = 𝑋𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 1- 𝑋𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 2

Una muestra de 11 estudiantes se sometió a dos pruebas para saber si el rendimiento

era el mismo:

Muestra: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Algebra: 129,5 89,6 76,6 52,2 110,8 50,4 72,4 141,4 75,0 34,1 60,3

Cálculo: 132,3 91,0 73,6 58,2 104,2 49,9 82,1 154,1 73,4 38,1 60,1

d: 2,8 1,4 -3 6 -6,6 -0,5 9,7 12,7 -1,6 4 -0,2

𝑑 = 2,25 𝑆𝑑=5,63 𝑡𝑐=1,33

Hipótesis: 𝐻0: 𝑑 =0; 𝐻1: 𝑑 ≠0 (dos colas)

Regla de decisión: Se rechaza 𝐻0 sí 𝑡𝑐 > 𝑡𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜, para

α= 0,05

𝑡𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜, para α= 0,05 y 10 g.l es igual a 2,23

Decisión: Como 𝑡𝑐 ≯ 𝑡𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜, no se rechaza la hipótesis

nula para α= 0,05

Conclusión: El rendimiento en las dos asignatura es el

mismo.