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Reaktionsdiffusionsgleichung
𝑢 = 𝑓 𝑢 + ∇ ⋅ 𝐷∇𝑢
𝑢 = 𝑓 𝑢 − ∇ ⋅ 𝑱
Kontinuitätsgleichung
𝑱 = −𝐷∇𝑢
Fourier‘sches Gesetz, Erstes Fick‘sches Gesetz
„Von nichts kommt nichts“
u: Dichte einer Größe
f: Reaktionsterm (z. B. chemische Reaktion, Mitose, …)
falls 𝑓(𝑢) ≡ 0: u ist eine lokal erhaltene Größe
(Masse, Impuls, Energie, Ladung, …)
J: Stromdichte von u
Divergenz von J negativ → Senke → Zufluß aus Umgebung
Divergenz von J positiv → Quelle → Abfluß in Umgebung
„Fluß(-dichte) ist proportional zum
Wärme-/Konzentrationsgradienten.“
D: Diffusionstensor(-/koeffizient)
Reaktion Diffusion
Reaktionsdiffusionsgleichungen
𝑢 = 𝑢′′ + 𝑢 1 − 𝑢
Fisher-Kolmogorov-Gleichung (1D)
Anwendung: Populationsdynamik
http://www.uni-muenster.de/Physik.AP/Purwins/RD/struktur-e.gif
𝑢 = 𝑓 𝑢, 𝑣 + 𝐷𝑢∇2𝑢
𝑣 = 𝑔 𝑢, 𝑣 + 𝐷𝑣∇2𝑣
Aktivator-Inhibitor-Systeme
𝒖 = 𝒇 𝒖 + ∇ ⋅ 𝐷∇𝒖
RD-System
https://homepages.warwick.ac.uk/
staff/D.Barkley/Research/
spiral_spectra/node1.html
Mit ∇2𝑢 = Δ𝑢 = 𝛻 ⋅ 𝛻𝑢 = 𝑖𝜕2𝑢
𝜕𝑥𝑖2 (Laplace-Operator)
Bewegung von Bakterien, Zellen etc.
Stylonychia
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Stylonychia_Side_view.jpg
Zufällig, „Random Walk“: Diffusion Zielgerichtet: Taxis-Term
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Random_walk_25000_not_animated.svg
Taxis
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Chtxphenomen1.png
Außerdem
- Galvanotaxis
- Aerotaxis
- Anemotaxis
- Barotaxis
- Durotaxis
- Gravitaxis
- Hydrotaxis
- Magnetotaxis
- Phototaxis
- Rheotaxis
- Thermotaxis
etc.
(Chemo-)Taxis-Modell
𝑱chemo = 𝜒(𝑢1, 𝑢2)∇𝑢2
𝑱diff = −𝐷∇𝑢1
𝑱 = 𝑱diff + 𝑱chemo 𝑢1 = 𝑓 𝑢1, 𝑢2 + ∇ ⋅ 𝐷∇𝑢1 − ∇ ⋅ 𝜒 𝑢1, 𝑢2 ∇𝑢2
Reaktion Diffusion Chemotaxis
In Kontinuitätsgleichung:
𝑢2 = 𝑔 𝑢1, 𝑢2 + ∇ ⋅ 𝐷∇𝑢2
Reaktion Diffusion
Ziel: 𝑢1 (Zellen, Bakterien) soll sich entlang des Gradienten von 𝑢2 bewegen
mit
und
Chemosensitvität
Keller-Segel-Modell (Keller & Segel 1970)
(Problem: Blow-Ups/Singularitäten:
Partikeldichte kann beliebig groß werden)
𝑱chemo = 𝜒 𝑢1, 𝑢2 ∇𝑢2
𝜒 𝑢1, 𝑢2 =𝑘1𝑢1
𝑘2 + 𝑢22
Lapidus & Schiller 1976
Woodward et al. 1995
(empirisch, „phänomenologisch“)
𝜒 𝑢1, 𝑢2 = 𝑘1𝑢1
𝑛 = 𝐷𝑛∇2𝑛 − ∇ ⋅
𝑘1𝑛
𝑘2 + 𝑐 2∇𝑐 + 𝑘3𝑛 𝑘4
𝑠2
𝑘9 + 𝑠2− 𝑛
Diffusion Chemotaxis Proliferation, Nekrose
𝑐 = 𝐷𝑐∇2𝑐 + 𝑘5𝑠
𝑛2
𝑘6 + 𝑛2− 𝑘7𝑛𝑐
Diffusion Produktion Verbrauch/Aufnahme
𝑠 = 𝐷𝑠∇2𝑠 − 𝑘8𝑛
𝑠2
𝑘9 + 𝑠2
Diffusion Verbrauch
Budrene & Berg 1995
Death rate prop. to n
Birth rate ~ Logistic growth
Nahrungsaufnahme ~ Proliferation
Zelldichte
Chemo-
attraktor
Stimulans
Mathematical Biology II, S. 260ff
Vereinfachtes Modell
𝑏 = 𝐷𝑏∇2𝑏 − 𝑘1∇ ⋅
𝑏
𝑘6 + 𝑛 2∇𝑛 + 𝑘2𝑏
𝑘3𝑛2
𝑘4 + 𝑛2− 𝑏
Proliferation, NekroseDiffusion Chemotaxis
𝑛 = 𝐷𝑛∇2𝑛 − 𝑘5𝑏
𝑛2
𝑘4 + 𝑛2
VerbrauchDiffusion
𝑏: Bakterienkonzentration (relativ, 𝑏0 ∈ 0, 1 m−2)
𝑛: Nährstoffkonzentration (relativ, 𝑛0 ∈ 0, 1 m−2)