Embed Size (px)
Citation preview
REOLOŠKI MODEL PUZANJA MATRIKSA MEKE STIJENE
Zvonko TOMANOVIĆ
ORIGINALNI NAUČNI RAD
UDK:624.54.001.572:512.643=861
UVOD
Osnovni zadatak pri matematičkom opisivanju vremenski zavisnih deformacija nekog materijala je definisanje deformacije kao funkcije vremena, napona i temperature. U cilju formulisanja reološkog modela vremenski zavisnih deformacije mekih stijena, koji se prezentuje u ovom radu, izvedeni su laboratorijski testovi puzanja na laporcu. Eksperimentalno istraživanje puzanja laporca je izvedeno u uslovima ograničene promjene sobne temperature, imajući u vidu da su i promjene temperatura za uobičajene građevinske potrebe tunelogradnje takođe ograničene. Stoga u daljoj analizi, koja se ovdje prezentuje, deformacija puzanja će se smatrati veličinom nezavisnom od temperature.
Kod stijena neki materijalni parametri koji opisuju mehaničko ponašanje uopšte, pa i puzanje, pored napona i temperature, zavise i od vlažnosti stijenskog materijala, promjene vlage, pa čak i vlažnosti okolnog vazduha. U eksperimentalnom istraživanju koje je provedeno na uzorcima cementnog laporca uticaj ovih efekata je minimiziran (parafiniranjem uzoraka, čime je usporena i ograničena promjena vlažnosti i spriječen direktan kontakt sa vazduhom) radi izolovanog proučavanja naponskih efekata i fenomena na deformacije pri dugotrajnom opeterećenju.
Većina do sada publikovanih eksperimentalnih istra-živanja u svijetu vezana za ponašanja stijene u uslovima dugotrajnog opterećenja pri sobnim temperaturama provedena je na uzorcima kamene soli (Gimm, 1968; Dreyer, 1974; Baar 1977; Carter at all., 1982; Wallner 1983, Hunche, 1994, 1995; prezentovano kod Cristescu N.D & Hunsche U. /1998/, Wallner /1983/ i mnogi drugi). Neuporedivo je manji broj publikovanih eksperimentalnih istraživanja proveden pri sobnim temperaturama na laporcu ili sličnim mekim stijenama koje karakterišu zna-
MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 50 (2007) 1-2 (3-19) 3
Adresa autora: Doc. dr Zvonko Tomanović,dipl.ing.građ. Građevinaski fakultet Podgorica Cetinjski put bb 81000 Podgorica E-mail: [email protected]
čajne deformacije puzanja (glinoviti-laporac,Cristescu, /1988/; laporac, Kharchafi i Descoeudres, /1995/), i koje prestavljaju realnu radnu sredinu pri izgradnji brojnih podzemnih objekata.
Eksperimentalno istraživanje na uzorcima laporca, čiji dio se prezentuje u ovom radu, u uslovima kratkotrajnog i dugotrajnog opterećenja i rasterećenja je provedeno zbog nedovoljne eksperimentalne istraženosti ponašanja mekih stijena i materijalnih parametara neophodnih za postavljanje adekvatnih reoloških modela pri tretiranju naponski i deformaciono zavisnih fenomena u stijenskoj masi. Naime, za postavljanje adekvatnog reološkog modela i numeričkog proračuna naponsko-deformaciskog stanja u stijeni oko tunelskog otvora, neophodno je fenomenološki poznavati ponašanje stijene u uslovima vremenski zavisnih deformacija. Takođe, jednako važno i neophodno je obezbjediti i odgovarajuće materijalne parametre samog stijenskog matriksa, što je eksperimentalno istraživanje imalo za cilj, kroz testiranje laporca kao izbarane reprezentativne stijene iz grupe mekih stijena.
Formulacija reološkog modela stijene generalno je limitirana brojem materijalnih parametara ili konstanti stijenskog materijala kojim se model opisuje. Tako se zadatak usložnjava, sa jedne strane zahtjevom da se matematičkim modelom obuhvati što više osobina materijala, a sa druge strane broj parametara i konstanti materijala koje te osobine kvantifikuju je ograničen realnom mogućnosti da se do parametara, odnosno materijalnih konstanti dođe mjerenjima "in situ" ili na uzorcima u laboratoriji.
Modeliranje stijenske mase zbog navedenog prestavlja izuzeteno kompleksan problem pa je pri formulisanju matematičkog modela, bez obzira koliko kompleksnog, neophodno učiniti izvjesne aproksimacije. Nivo aproksimacija, sa jedne strane, u modelu treba da obezbjedi neophodnu tačnost rezultata razmatranog naponsko-defomacijskog fenomena stijenske mase, a sa druge strane treba da omogući jednostavno određivanje materijalnih konstanti i parametara koje se koriste u matematičkom modelu.
Jedan broj matematičkih modela kojim se definiše puzanja stijena publikovan je od strane različitih autora,
baziran uglavnom na rezultatima testova na kamenoj soli koja ima izraženo deformisanje u toku vremena. Znatno manji broj razvijenih konstitutivnih relacija, koje uključuju puzanje stijene, po svojoj opštosti može biti primjenjen za korektno opisivanje različitih fenomena u mehanici stijena, kako u pogledu vrste stijenskog materijala, tako i u pogledu putanje napona i naponskih stanja. Zbog navedenog, neophodno je ispitati ponašanje različitih vrsta stijena i kao primarni cilj razviti što opštije konstitutivne modele, koji adekvatno opisuju njihovo naponsko deformacijsko ponašanje pri dugotrajnom opterećenju.
1 PONASANJE STIJENE PRI DUGOTRAJNOM KONSTANTNOM OPTERECENJU
Dijagram tipičnog deformacijskog ponašanja stijene pri dugotrajnom konstantnom opterećenju prikazano je na sl.1. Ako je na stijenu aplicirano opterećenje koje uzrokuje neko naponsko stanje niže od naponskog stanja definisanog “kratkotrajnim” uslovom plastičnosti, tada se kao prvi "odgovor" materijala na naponsku promjenu indukuje odgovarajuća trenutna deformacija
, kako je prikazanona dijagramu sl.1. Protokom vremena razvijaju se deformacije, bez promjene uspostavljenog naponskog stanja, koje predstavljaju vremenski zavisnu deformaciju tj. puzanje.
Sσ
elε
Vremenski zavisne deformacije - puzanje stijene, kao i većine drugih materijala, kada je naponsko stanje ispod uslova popuštanja ( , sl.1.) karakterišu komponente primarnog i sekundarnog puzanja. Kada
naponski nivo dostigne granicu plastičnosti ( , sl.1.) dilatacija puzanja pored primarne i sekundarne komponente dobija i tercijarnu komponentu, koja nakon dovoljno dugog vremena vodi lomu materijala.
Fσ<σ
Fσ≥σ
2 TOK I REZULTATI PROVEDENIH JEDNOAKSI-JALNIH TESTOVA PUZANJA NA LAPORCU
Jednoaksijalni test puzanja laporca u eksperi-mentalnom istraživanju koje se prezentuje proveden je u tri faze na po dvije grupe po tri prizmatična uzorka dimenzija 15x15x40cm. (Ovoj glavnoj grupi uzoraka-testova prehodila je probna “nulta” serija od šest uzoraka na kojima je izveden test puzanja u toku tri mjeseca za testiranje mjerne tehnike i dobijanje preliminarnih vrednosti mjerenih veličina.) Za opterećivanje i “čuvanje” sile u toku vremena korišćen je uređaj sa “mrtvim” opterećenjem i sistemom poluga, sl.2. Svaki uređaj je opremljen prstenastim mjeračima sile (konstruisanim od autora ovog rada) koji su obezbjeđivali da varijacije sile na uzorak u toku testa budu manje od 0.3%.
Ispitivani laporac prema hemijskom sastavu sadrži CaCO3 u granicama 48.10-48.30%, dok je sadržaj nerastvornog ostatka (glinovito+kvarc) u granicama 51.03-51.87%. U pogledu minerološkog sastava domi-nantne mineralne faze prestavljaju kalcit (46-48%) i kvarc (12-13%), dok su u okviru glinovite faze ilit+smektit, montmorijonit, kaolinit, glaukonit, transformisani feldspat i liskun. Vlažnost uzoraka se kretala od 8-11%, a jednoaksijalna čvrstoća materijala oko . MPa8.8c =σ
Sl. 1. Primarno, sekundarno i tercijalno puzanje pri jednoaksijalnom testu
MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 50 (2007) 1-2 (3--19) 4
MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 50 (2007) 1-2 (3-19) 5
Sl. đaj za jednoaksijalno opterećivanje pri testu puzanja
2. Ure
Tok testa za obije grupe uzoraka je prikazan na dijagramu deformacija–vrijeme i napon-vrijeme, sl.3. Test je proveden u tri faze: opterećivanje, rasterećenje i ponovno opterećenje, na veći nivo napona, uz održavanje konstantnog napona nakon naponskih promjena. Opterećivanje uzoraka je vršeno u inkrementima od 25%, od definisanog nivoa napona za test puzanja, za svaku grupu uzoraka. Opterećivanje svakog pojedinačnog uzorka je trajalo oko jedan sat.
Nakon dostizanja definisanog nivoa napona za test puzanja (2.0 ili 4.0MPa, što je oko 25% i 50% od jednoaksijalne čvrstoće ispitivanog laporca) uzorci su čuvani pod konstantnim naponom narednih 180 dana, što čini prvu fazu testa puzanja. U drugoj fazi testa uzorci su rasterećeni: prva grupa uzoraka je potpuno raterećena sa 2.0MPa na 0.0MPa, a druga grupa uzoraka je sa 4.0MPa rasterećena na 2.0MPa. Ovo naponsko stanje je održavano narednih 30 dana. Treća faza testa je doopterećevanje uzoraka: prva grupa uzoraka je doopterećena u inkrementima do 4.0MPa, a druga grupa do 6.0MPa. Deformacija puzanja je praćena narednih 150 dana.
Nakon opterećivanja, mjerene su deformacije puzanja u pravcu vertikalne (podužne) i horizontalne ose uzorka (na četiri neopterećene stranice uzorka) kako je prikazano na sl. 4a. Mjerenja su mehaničkim deformetrom (tipa “Pfhender”, tačnosti 1/1000mm), obavljana nakon 1,3,6,12 i 24 sata od nanošenja opterećenja, zatim nakon 3,7 i 15 dana, a u preostalom periodu svakih 30 dana. Intervali mjerenja su odabrani tako da razlike predhodne i tekuće mjerene deformacije budu približno jednake.
Sl. 3. Dijagram toka testa puzanja jednoaksijalno opterećenih prizmatičnih uzoraka
MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 50 (2007) 1-2 (3--19) 6
b)
Sl. 4. Prizmatični uzorak: a) šema mjernih mjesta; b) uzorci u toku testa puzanja
matičnim uzorcima nakon opterećenja
a su manje i priraštaj def
toku vreme
eće kod uzoraka opt
pona od 6.0MPa prikazani “tačkasto” na dijagramu sl. 8.
Sl.5. Uporedni dijagram puzanja u aksijalnom pravcu pri različitim naponima
2.1 Rezultati testa puzanja na priz
Rezultati mjerenja deformacija puzanja na prizmatičnim uzorcima, pri aksijalnom naponu od 2.0MPa i 4.0MPa prikazani su na sl.5. Na dijagramu se jasno izdvaja zona intenzivnog puzanja materijala u aksijalnom pravcu u prvih dvadeset dana nakon opterećivanja. Priraštaj deformacija u ovom vremenskom periodu je nelinearana, u odnosu na vrijeme. Nakon ovog perioda, deformacije puzanj
ormacija je približno linearan. Uporedni dijagram aksijalne deformacije opterećenih
prizmatičnih uzoraka pri aksijalnom naponu od 2.0 i 4.0 MPa (sl. 5), ukazuje da je gradijent prirasta deformacije
naponom pritiska. Uočava se da je rasipanje rezultata mjerenih vremenskih deformacija v
u
erećenih nižim naponom pritiska. Značajno je naglasiti da deformacija puzanja koja se
razvije u toku 6 mjeseci dostiže red veličine trenutne deformacije koju indukuje inicijalna promjena napona. Tako pri naponu od 2.0MPa prosječna deformacija indukovana u toku nanošenja opterećenja iznosi 1.41
o/oo, a prosječna vremenska deformacija 0.98o/oo, dok pri naponu 4.0MPa prosječna deformacija indukovana u toku nanošenja opterećenja iznosi 3.27o/oo, a prosječna vremenska deformacija 2.74 o/oo. Slični odnosi inicijalne i deformacije puzanja su zadržani i pri nivou na
na veći kod uzoraka opterećenih većim
0.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
7.0
0 25 50 75 100 125 150 175 200 [dani]
dila
taci
ja [o / oo
]
4.0 MPa
2.0 MPa
2.2 Rezultati testa puzanja nakon potpunog ili djelimičnog rasterećenja
U drugoj fazi testa opterećeni prizmatični uzorci su rasterećeni za 2.0MPa, tako da je grupa uzoraka na kojoj je vršen test puzanja pri naponu 2.0MPa rasterećena do nule, a druga grupa uzoraka je sa napona 4.0MPa rasterećena na napon od 2.0MPa. Na sl.6 je prikazan uporedni dijagram puzanja nakon rasterećenja u aksijalnom pravcu ove dvije grupe prizmatičnih uzoraka. Na ovom dijagramu se jasno uočava da pri rasterećenju pored trenutne elastične deformacije postoji i značajna vremenski zavisna deformacija – povratno puzanje. Deformacija puzanja kod uzoraka koji su potpuno rasterećeni sa protokom vremena konvergira nekoj horizontalnoj asimptoti, tako da su dalje deformacije puzanja zanemarive nakon 15 dana od trenutka rasterećivanja.
Deformacija puzanja kod djelimično rasterećenih uzoraka ima drugačiji tok. U prvih sedam dana prirast deformacije puzanja ima isti znak kao i elastična povratna deformacija uzrokovana djelimičnim rasterećenjem. Nakon sedam dana prirast deformacije puzanja mjenja znak, a deformacija puzanja se razvija pod uticajem preostalog napona nakon djelimičnog rasterećenja. Dalji prirast deformacije puzanja pod naponom nakon djelimičnog rasterećenja od 2.0MPa je manji od prirasta deformacija puzanja kod, pod istim naponom, inicijalno opterećenih uzoraka. Dakle, dolazi do usporenje sekundarnog puzanja nakon inicijalnog testa puzanja na većem naponskom nivou.
Prosječna povratna elastična deformacija pri rasterećenju uzoraka sa 4.0MPa na 2.0MPa iznosi 0.49o/oo, dok kod rastrećenja sa 2.0MPa na 0.0MPa iznosi 0.89o/oo, skoro dva puta više. Prosječna povratna deformacija puzanja 7 dana nakon rasterećenja sa 4.0MPa na 2.0MPa iznosi
0.53o/oo, dok kod rasterećenja sa 2.0MPa na 0.0MPa iznosi 0.59 o/oo. Dakle, pri istoj naponskoj razlici rasterećenja (djelimično i potpuno rasterećenje) maksimalna prosječna povratna deformacija puzanja ima približno iste vrednosti, dok se povratna elastična deformacija bitno razlikuje.
3 OSNOVNE PRETPOSTAVKE ZA FORMULACIJU KONSTITUTIVNOG ZAKONA PUZANJA STIJENE U DOMENU NAPONA ISPOD GRANICE PLASTIČNOSTI
Kada je obezbjeđena stabilnost podzemnog-tunelskog otvora (bilo dovoljnom “nosivošću” stijene ili podgradnom konstrukcijom) naponsko-deformacijska analiza se obično ograničava na domen u kom se ponašanje stijenske mase može preuzeti kao kvazi-elastično. Kvazi-elastično ponašanje stijene podrazumjeva da su, pri stanju napona ispod granice popuštanja, deformacije potpuno reverzibilne. Kod dugotrajnog opterećenja deformacije sadrže i zaostale – plastične deformacije, iako naponsko stanje nije dostiglo uslov popuštanja pri “kratkotrajnom” opterećenju (opterećenje nanijeto u toku nekoliko minuta do nekoliko sati).
Uobičajene konstitutivne veze koje razmatraju i vremenski zavisne deformacije zasnivaju se uglavnom na predpostavci linearno elastičnog ponašanja materijala za t=to (u toku nanošenja opterećenja) i puzanju materijala za t>to. Ukupna deformacija je zbir elastične
deformacije (za t=to) i deformacije puzanja (za t>to):
elε tε
tel ε+ε=ε (1)
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0 5 10 15 20 25 30vrijeme [dani]
dila
taci
ja [o / oo
]
PR-7 PR-8PR-9Pr-10PR-11PR-12
4.0MPa =>2.0MPa
2.0MPa =>0.0MPa
Sl.6. Uporedni dijagram puzanja nakon potpunog ili djelimičnog rasterećenja prizmatičnih uzoraka u aksijalnom pravcu
MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 50 (2007) 1-2 (3-19) 7
Kada je naponski nivo ispod granice plastičnosti ( , sl.1.) dilatacija puzanja je ograničena na primarno i sekundarno puzanje, pa je ukupna dilatacija zbir elastične dilatacije, dilatacija primarnog i sekundarnog puzanja:
Fσ<σ
spel ε+ε+ε=ε (2)
Konstitutivne jednačine koje opisuju vremenski zavisne efekte koje će biti predmet dalje analize ne uključuju efekte volumetrijske promjene ili polomljene stijenske mase. Dakle, predmet analize su stijena i stijenske mase, odnosno fenomeni u mehanici stijena, za koji se može preuzeti pretpostavka o kontinualnosti. Kod razmatranja problema puzanja stijenske mase koja uključuje diskontinuitete, ovdje uspostavljene konstitutivne veze mogu biti korišćene pri analizi deformacija stijenskog monolita, dok se za ponašanje diskontinuiteta moraju formulisati posebne veze pomjeranje, napona i deformacija.
Pri formiranju opštih konstitutivnih jednačina u troosnom polju napona koje uključuju vremenski zavisne deformacije uvodi se izvjestan broj početnih pretpostavki proizašlih iz analize rezultata eksperimenata. Tako za opšte konstitutivne jednačine, u polju trodimenzionalnih napona, Cristescu /1998/, postavlja sljedeće pretpostavke modela (principjelno sadržane i u modelu Wallner-a /1983/):
• Posmatra se samo homogena i izotropna stijena. Što za posledicu ima da konstitutivne jednačine zavise samo od invarijanti napona i deformacija. Od svih mogućih invarijanti napona najveći uticajni efekat ima srednji glavni napon:
)(31
321 σ+σ+σ=σ (3)
i oktaedarski normalni napon:
21
13322123
22
21 )(ˆ σσ+σσ+σσ+σ+σ+σ=σ (4)
ili oktaedarski smičući napon:
2
1
'II32ˆ
32ˆ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=σ=τ σ (5)
gdje je druga invarijanta devijatorskog dijela tenzora napona.
'IIσ
• Preuzima se pretpostavka o malim pomjeranjima i rotacijama materijala, pa je moguće ukupnu brzinu promjene deformacije prikazati kao zbir komponenti:
lE ε+ε=ε &&& (6)
gdje je brzina prirasta elastične reverzibilne
deformacije, a brzina promjene nepovratne deformacije koja opisuje primarnu i/ili sekundarnu deformaciju puzanja.
Eε&lε&
• Konstitutivne jednačine važe u određenom domenu koji je ograničen kratkotrajnom površi loma, koja je inkorporirana u konstitutivne jednačine.
• U toku primarnog i sekundarnog puzanja ne dolazi do volumetrijske promjene.
4 KONSTITUTIVNI MODEL WALLNER-A
Zbog opštosti u pogledu svojstava stijene koje je moguće obuhvatiti i formulacije pri troosnom stanju napona, ovdje se prikazuje konstitutivni zakon Wallner-a /1983/ (razvijen na bazi testova na kamenoj soli) kao pogodna osnova za opisivanje naponsko-deformacijskog ponašanja različitih vrsta stijenskog materijala. U daljoj analizi izvršena je provjera pogodnosti i adekvatnosti ovog modela za opisivanje vremenski zavisnih deformacija laporca tj. mekih stijena nakon opterećenja i nakon rasterećenja, kao izabrane reprezentativne stijene iz grupe mekih stijena.
Mehanički model konstitutivnog zakona Wallner-a za jednodimenzionalno stanje napona i deformacija, (modifikovan od strane Kiehl-a, Erichen-a i Doring-a, /1998/, inkorporiran u programski paket FES03, WBI: Dr.-ing. W. Wittke, Aachen, Njemačka), prikazan je na sl.7. Mehanički model se sastoji od pet različitih
Sl. 7. Mehanička šema reološkog modela Wallner-a prilagođena za programski paket FES03 prema Kiehl-u, Erichen-u i Döring-u
MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 50 (2007) 1-2 (3-19) 8
reoloških tijela i svako od njih opisuje odgovarajuću deformacijsku komponentu.
Elastična opruga opisuje elastično ponašanje ; elεViskoplastičnu komponentu deformacija
(deformaciono ojačanje – element sa trenjem vezan paralelno sa cilindrom sa viskoznim fluidom) opisuje primarno puzanje ; pε
Viskozna deformaciona komponenta (cilindar sa viskoznim fluidom) opisuje sekundarno puzanje ; sε
Viskoplastičnu komponentu deformacija (deformaciono omekšanje – element sa trenjem vezan paralelno sa cilindrom sa viskoznim fluidom) opisuje tercijalno puzanje ; terε
- Viskoplastičnu komponentu deformacija (sljedeće deformaciono omekšanje – element sa trenjem vezan paralelno sa cilindrom sa viskoznim fluidom) opisuje ponašanje nakon dostizanja smičućeg loma (lom puzanjem) ili loma zatezanjem ; NSε NZε
Sve komponente deformacija su ireverzibilne osim
elastične komponente. Zapreminska deformacija se javlja u elastičnom domenu, u toku tercijalnog puzanja i u toku loma zatezanjem. Navedena zakonitost važi kada nema volumetrijske promjene u toku primarnog i sekundarnog puzanja.
4.1 Elastična komponenta deformacija
Veza napona i deformacija u domenu elastičnosti u opštem obliku se formuliše diferencijalnom jednačinom:
[ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∂σ∂
=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
∂ε∂
tC
t
e (7)
gdje su: ε - vektor komponentnih deformacija σ - vektor komponentnih napona - matrica koeficijenata fleksibilnosti [ ]CKad je naponsko deformacijska veza nezavisna od
vremena jednačina (7) se svodi na jednačinu
{ } [ ] { } [ ]{ }σ=σ=ε − CD 1 (8)
Za slučaj proizvoljnog prostornog stanja napona i defomacija važe jednačine generalisanog Hook-ovog zakona.
4.2 Primarno puzanje
Opšti oblik veze napona i defomacija primarnog puzanja u trodimenzionalnom slučaju, prema modelu Wallner-a, opisuje se diferencijalnom jednačinom:
{ } ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
σ∂σ∂
η=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
∂ε∂ eff
p
pG1
t (9)
gdje su:
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ε−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ= p
eff
m
p
effp EEG ; (9.1)
( )2zx
2yx
2xy
2z
2y
2xeff 222SSS
23
σ+σ+σ+++=σ ; (9.2)
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ε+ε+ε+ε+ε+ε=ε 2zx
2yx
2xy
2z
2y
2xeff
p
21
21
21
32
; (9.3)
pE - modul deformacionog ojačanja
pη - viskoznost (za primarno puzanje) m - eksponent napona (za primarno puzanje) Primarno puzanje opisuju tri karakteristična
materijalna parametra ,pE pη i m . Komponente devijatorskog dijela tenzora napona
xS , yS , zS , xyσ , yzσ , zxσ i devijatorskog dijela tenzora
deformacija xε , ,yε zε , , , definisani su
izrazima (10) do (14), xyε yzε zxε
Za plastični potencijal usvojena je jedna invarijanta devijatorskog dijela tenzora napona
(
effσ
okteff2
3τ=σ , gje je oktτ - oktaedarski smičući napon)
i opisuje odstupanje od hidrostatičkog stanja napona ( 321 σ=σ=σ ), dok je odgovarajuća invarijanta devijatorskog dijela tenzora deformacija. Plastični potencijal
effpε
effσ i definisani su komponentama devijatorskog dijela tenzora napona, odnosno komponentama devijatorskog dijela tenzora deformacija.
effpε
Kao što je poznato iz teoriji elastičnosti tenzor napona [ ]σ je moguće razložiti na sferni i devijatorski dio:
[ ] [ ] [ ]sfdev σ+σ=σ (10)
Odnosno u razvijenom obliku:
[ ]sfdevzzzyzx
yzyyxy
xzxyxx
zzzyzx
yzyyxy
xzxyxx
000000
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σσ
σ+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σ−σσσσσ−σσσσσ−σ
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σσσσσσσσσ
=σ (11)
MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 50 (2007) 1-2 (3-19) 9
gdje je ( 32131
σ+σ+σ=σ
MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 50 (2007) 1-2 (3-19) 10
) srednji normalni napon
(prva invarijanta tenzora napona). Ukoliko se uvedu oznake: σ−σ= xxxS , σ−σ= yyS i σ−σ= zzS
devijatorski dio tenzora napona se može napisati u obliku:
[ ]devzzyzx
yzyyx
xzxyx
dev
SS
S
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
σσσσσσ
=σ (12)
Tenzor deformacija je takođe moguće razdvojiti na devijatorski i sverni dio [ ] [ ] [ ]sfdev ε+ε=ε . Devijatorski dio tenzora deformacija u razvijenom obliku glasi:
[ ]devzzzyzx
yzyyxy
xzxyxx
dev⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
ε−εεεεε−εεεεε−ε
=ε (13)
gdje je ( 32131
ε+ε+ε=ε ) oktaedarska sverna
deformacija. Ako se uvedu oznake ε−ε=ε xxx ,
ε−ε=ε yy i ε−ε=ε zzz , devijatorski dio tenzora
deformacija se može napisati u obliku:
[ ]devzzyzx
yzyxy
xzxyx
dev⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
εεεεεεεεε
=ε (14)
4.3 Sekundarno puzanje
Opšti oblik veze napona i deformacija sekundarnog puzanja opisuje diferencijalna jednačina:
{ } ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
σ∂σ∂
η=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
∂ε∂ eff
s
sH1
t ; (15)
gdje su:
n
o
effo P
PH ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ= ; (15.1)
aPo
s =η ; (15.2) MPa0.1Po =
a - parametar puzanja n - eksponent napona (za sekundarno puzanje) Sekundarno puzanje opisuju dvije parametarske
konstante materijala i . a nKomponente reološkog modela koje se javljaju
nakon dostizanja uslova popuštanja nisu predmet ovog istraživanja, pa nisu detaljno izložene (za detalje čitalac se upućuje na radove Walner-a,1983 i Doring-a i Kiehl-a, 1995).
5 DEFINISANJE MATERIJALNIH PARAMETARA PRIMARNE I SEKUNDARNE KOMPONENTE PUZANJA KONSTITUTIVNOG MODELA WALLNER-A IZ REZULTATA JEDNOAKSIJALNIH TESTOVA PUZANJA
Provedeni testovi puzanja na laporcu ukazuju da vremenski zavisne deformacije prestavljaju značajnu komponentu ukupnih deformacija i pri naponima ispod granice popuštanja. Tako, pri jednoaksijalnom testu puzanja i pri sasvim niskim naponima, oko 25% od vršne čvrstoće materijala, nakon 6 mjeseci vremenski zavisne deformacije dostižu nivo deformacija indukovanih inicijalnom naponskom promjenom. Zbog toga je neophodno u konstitutivnom modelu koji opisuje naponsko-defomacijsko ponašanje ove vrste stijena što doslednije modelirati vremenski zavisnu deformacijsku komponentu.
Da bi matematički konstitutivni model mogao biti korišćen pri proračunima za konkretanu stijenu neophodno je na osnovu rezultata testova definisati-odrediti materijalne konstante i parametre reološkog modela. Verifikacija postavljenog reološkog modela provodena je kroz komparativnu analizu matematičkim modelom sračunatih deformacija i rezultatata mjerenja na uzorcima i/ili modelima.
Primarno i sekundarno puzanje opisuje pet karakterističnih materijalnih parametra pa je za njihovo definisanje potrebno izvršiti mjerenje deformacija na uzorcima opterećenim konstantnim opterećenjem u toku dužeg vremenskog perioda. Za razliku od materijalnih parametara kojim se opisuje elastično ponašanje materijala koje je moguće definisati iz mjerenja sila i deformacija, materijalni parametri koji opisuju puzanje materijala se ne mogu na isti način izmjeriti, već se dobijaju regresionom analizom iz krive puzanja - dijagrama dilatacija – vrijeme. Test puzanja je potrebno izvesti pri različitim naponskim stanjima, da bi se definisao uticaj naponskog stanja na deformacije puzanja.
U cilju definisanja materijalnih parametara puzanja, zbog različitih naponskih stanja koje karakteriše određeni tip testa, neophodno je diferencijalne jednačine (9) i (15), koje opisuju primarno i sekundarno puzanje za proizvoljno trodimenzionalno stanje napona, svesti na specijalne slučajeve koji odgovaraju naponskom stanju pri kome su provedeni testovi puzanja.
Imajući u vidu da su provedeni laboratorijski tetovi puzanja izvedeni pri jednoaksijalnom stanju napona, od interesa za analizu koja slijedi je da se iz opštih jednačina prema modelu Wallner-a, dođe do jednačine puzanja za ovaj specijalan naponski slučaj. Nakon uvrštavanja jednoaksijalnog stanja napona i odgovara-jućih sređivanja jednačina (7) i (15), dobija se jednačina koja opisuje puzanje pri jednoaksijalnom stanju napona:
=ε +σ1E1
23
m
p
1
E ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛− η
− tE
32
p
p
e1 + a (16) ( ) tn1σ
gdje prvi član opisuje elastičnu, drugi primarno puzanje, a treći član sekundarno puzanje. Jednačina (16) se može upotrebiti za definisanje materijalnih parametara
m ,pE , pη , a i iz dijagrama puzanja koji je dobijen iz mjerenja deformacija u toku vremena, pri jednoaksijalnom
n
testu puzanja. Za definisanje nepoznatih materijalnih parametara ispitivanog laporca korišćeni su rezultati jednoaksijalnih laboratorijskih testova na prizmatičnim uzorcima – testovi puzanja nakon opterećivanja i nakon potpunog ili djelimičnog rasterećenja.
Za iznalaženje materijalnih parametara koji daju najmanje odstupanje teoretske funkcije puzanja od mjerenih vrijednosti, korišćena je regresiona analiza uz primjenu metode najmanjih kvadrata, tj. izvršeno je iznalaženje optimalnih parametara prema postojećim mjerenim podacima. Dakle, konstitutivna funkcija (16) je zavisna od vremena i napona i sadrži pet materijalnih parametara koje treba odrediti iz rezultata testova. Testovi puzanja su provedeni za tri naponska nivoa 2.0, 4.0 i 6.0MPa, a deformacija je mjerena ukupno n puta u toku testa puzanja (ranije opisani vremenski interval, dio 2). Vrijednosti traženih materijalnih parametara se određuju, prema metodi najmanjih kvadrata, tako da daju minimum funkcije
MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 50 (2007) 1-2 (3-19) 11
0
2
4
6
8
10
12
0 25 50 75 100 125 150 175 200
Vrijeme [dani]
Dila
taci
ja [o / o
o]
Pv=2.0MPa
Pv=4.0MPa
Pv=6.0MPa
∑∑∑=σ
=
=σ
=
=σ
=ε−ε+ε−ε+ε−ε=
MPa0.6
n,1t
21
MPa0.4
n,1t
21
MPa0.2
n,1t
21 )()()(f (17)
gdje je: ε - vrijednost dilatacije prema jednačini (17) za dati
napon σ i vrijeme it
1ε - vrijednost mjerene dilatacije za dati napon σ i vrijeme mjerenja . it
Pri traženju minimuma funkcije (17) korišćen je “protprogram Solver” (Mikrosoft Excel) koji variranjem vrijednosti pet traženih parametara nalazi minimum zadate funkcije.
5.1 Puzanje nakon nanošenja opterećenja
Za iznalaženje optimalnih materijalnih parametara teoretske funkcije (16) korišćeni su rezultati testova puzanja na jednoaksijalno opterećenim uzorcima pri naponu 2.0, 4.0 i 6.0MPa u toku 180dana (“tačkasto” prikazane vrijednosti na dijagramu sl.8).
Pri iznalaženju optimalne empirijske funkcije tj. definisanja parametara primarnog i sekundarnog puzanja neophodno je definisati inicijalne deformacije indukovane naponskom promjenom. Za iznalaženje komponente deformacija indukovane naponskom promjenom usvojen je linearno elastičan model. Pri tome su korišćene vrijednosi sekantnih modula deforma-bilnosti dobijeni pri jednoaksijalnom testu za određene naponske nivoe. U tabeli 1 su prikazane karakteristične vrijednosti ovih modula koje su korišćene pri iznalaženju optimalnih parametara funkcije (16) za laporac.
Tabela 1. Vrijednosti sekantnih modula deformabilnosti
laporca pri definisanju parametara primarnog i sekundarnog puzanja
Karakteristični napon 2.0 4.0 6.0 [MPa]
Sekantni modul deformabilnosti 1.45 1.38 1.06 [GPa]
Uporedni dijagram mjerenih deformacija (“tačka-
ste”vrijednosti) i deformacija prema jednačini (16) za naznačeni napon pritiska (pune linije) pri testu puzanja prikazan je dijagramu sl. 8. Vrijednosti optimalnih materijalnih parametra određenih regresionom analizom, kada su dilatacije izražene u promilima, prikazane su u tabeli 2. Dobijene vrijednosti pet traženih parametara za laporac definišu primarno i sekundarno puzanje nakon opterećenja. U istoj tabeli su, kao uporedne, date i vrijednosti matrijalnih parametara za kamenu so, kao najčešće korišćene stijene za analizu puzanja.
Nivo napona pod kojim se stijena nalazi značajno utiče na puzanje, tj. vremenske deformacije materijala. U konstitutivnom modelu za stijenu sekundarno puzanje ima oblik pa dominantnu ulogu na deformaciju pri nekom naponskom nivou ima parametar
koji za ispitivani laporac ima vrijednost
ta n1
s1 σ=ε
n 5.2n = (vidi tabelu 2). Za kamenu so ovaj parametar je dva puta veći i iznosu 5n = /Kiehl, Erichen i drugi, 1998/.
Sl.8. Teoretska funkcija puzanja laporca
Tabela 2. Vrijednosti matrijalnih parametara laporca primarnog i sekundarnog puzanja nakon opterećenja
Prametri primarnog puzanja
Parametri sekundarnog
puzanja
Parametar pE
[MPa] pμ
[MPa.d] m
a [1/d]
n
Laporac 225 425 0.06 2.71*10-4 2.5
Kamena so 180 900 2 3,40*10-10 5
5.2 Puzanje nakon redukcije napona (smanjenja opterećenja)
Sa dijagrama puzanja laporca nakon redukcije napona (sl.6) se vidi da nakon potpunog rasterećenja deformacija puzanja teži nekoj horizontalnoj asimptoti. Nakon oko trideset dana povratna deformacija puzanja se iscrpljuje (teži horizontalnoj asimptoti) i po intenzitetu dostiže vrednost povratne elastične deformacije. Nakon djelimične redukcije napona, sa 4.0 na 2.0MPa, u prvih sedam dana se dešava povratna deformacija puzanja (rastezanje), a zatim materijal pod tekućim naponom od 2.0MPa počinje da puže u suprotnom smjeru (skupljanje pod preostalim naponom ptritiska).
Model Wallner-a pokazuje da dobro aproksimira puzanje laporca nakon povećanja napona – opterećivanja, ukoliko se regresionom analizom odrede optimalni parametri na osnovu mjerenih vrijednosti ukupnih deformacija (naponski indukovane + vremenske), kako je prikazano u dijelu 4.1. Međutim, ponašanje materijala nakon redukcije napona nije moguće dosledno opisati primjenom konstitutivnog modela Wallner-a ili modifikovanih modela Kiehl-a, i dr. za programski paket FES-03. Naime, prema modelu Wallner-a sve komponente deformacija osim elastične su irevirzibilne, pa se nakon redukcije napona ne može pojaviti vremenski zavisna povratna deformacija, što je u suprotnosti sa eksperimentalnom evidencijom izloženom u dijelu 2.2, koja ukazuje na značajnu povratnu deformaciju puzanja laporca.
Pored prezentovane eksperimentalne evidencije u dijelu 2.2., povratne deformacije puzanja pri testu na halitu (BGR, Hanover), nakon djelimičnog rasterećenja, sl. 9. (preuzeto od J. R. Kiehl, C. Erichsen, Doring, /1998/) ukazuje da učinjena aproksimacija o ireverzibilnosti deformacija puzanja nije korektna. Naime, na dijelu dijagrama (mjerene vrednosti deformacije puzanja) nakon djelimičnog rasterećenja sa 20 na 17MPa postoji izvjesno povratno puzanje koje ne egzistira u teoretskom modelu. Zbog toga je sračunata deformacija, prema konstitutivnom modelu Wallner-a za kamenu so koji je inkorporiran u programski paket FES03, na tom dijelu precjenjena (nema reverzibilne vremenske deformacije).
Pretpostavka o irevrezibilnosti vremenskih deformacija modela Wallner-a razvijenog na bazi testova
na kamenoj soli se ne može primjeniti na laporac. Sa jedne, strane postoje znatne vremenske deformacije nakon rasterećenja pa pretpostavka da su one jednake nuli nije korektna, a sa druge strane pokušaj da se vremenske deformacija nakon redukcije napona opišu ovim modelom (ista funkcija primarnog puzanja samo različit predznak) nije dalo prihvatljive rezultate. Zbog navedenog, za zadovoljavajuće matematičko opisivanje deformacijskog ponašanja laporca nakon redukcije napona bilo je neophodno izvršiti korekcije-ispravke konstitutivnog modela.
Analizom rezultata puzanja laporca, pri jednoaksijalnom testu, nakon redukcije napona došlo se do zaključka da primarno puzanje (ili bolje rečeno zakašnjela elastičnost) ne zavisi od aktuelnog nivoa napona, kako je formulisano u konstitutivnom modelu Wallner-a, već zavisi od naponske promjene kojom je puzanje indukovano (opterećivanjem ili rasterećivanjem). Naime, ukoliko se primarno puzanje (označeno sa ) stijene shvati kao zakašnjela elastičnost, onda je “smjer” te komponente vremenske deformacije saglasan “smjeru” elastične deformacije. Ukoliko opterećenje koje uzrokuje pritisak raste, deformacija zakašnjele elastičnosti je deformacija skupljanja (dijagram sl. 10.a). A ukoliko se radi o potpunom ili djelimičnom rasterećenju (redukciji napona) deformacija zakašnjele elastičnosti ima smjer reverzibilne elastične deformacije (širenje), kako je šematski prikazano na dijagramu sl.10.b.
pε
Za slučaj kada je naponska promjena prirast od nule do nekog napona pritiska model ostaje potpuno nepromjenjen jer je naponska razlika (prirast napona) jednaka apliciranom naponu, pa osim formalnog zapisa (zamjena napona sa naponskom promjenom) u tom dijelu konstitutivnog modela nema korekcija.
Kod redukcije napona je napuštena, do sada činjena pretpostavka, da je reverzibilna jedino elastična deformacija pa egzistira i reverzibilno primarno puzanje. Primarno puzanje u novo predloženom modelu zavisi od naponske promjene (a ne od tekućeg naponskog stanja kao figuriše u modelu Wallnera), a nakon redukcije napona ima suprotan predznak u odnosu na primarno puzanje nakon prirasta napona, kao što je prikazano na dijagramu sl.10.b. Sekundarno puzanje zavisi od aktuelnog napona pritiska i uvijek za napon pritiska ima pozitivan predznak (skupljanje), kao što je prikaano na dijagramima sl.10.
Za ovako definisan konstitutivni model regresionom analizom su definisani optimalni materijalni parametri za jednačinu (16), a na osnovu mjerenja vremenske deformacije nakon redukcije napona, druga faza testa na prizmatičnim uzorcima. Naime, u toku predistorije, tokom puzanja na većem naponskom nivou dolazi do izvjesnog očvršćavanja – prekonsolidacije prirodnog stijenskog materijala. To ima za posledicu da se nakon redukcije napona moraju koristiti izmjenjene vrijednosti parame-tara koji opisuju primarnu i sekundarnu komponentu puzanja ( ,pE pμ , m i , ). Ograničena eksperimen-talna evidencija sugeriše da uticaj na promjenu parametara imaju nivo napona i dužina trajanja opterećenja u predistoriji.
ˆ a n
MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 50 (2007) 1-2 (3-19) 12
Sl. 9. Uporedni rezultati triaksijlanog testa puzanja na halitu – BGR Hannover Njemačaka i sračunate deformacije puzanja prema teoretskom modelu J. R. Kiehl-a i C. Erichsen-a.
Sl. 10. Komponente deformacije puzanja nakon: a) povećanja napona; b) redukcije napona
MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 50 (2007) 1-2 (3-19) 13
Na dijagramu sl.11. prikazani su krive puzanja laporca prema novopredloženom konstitutivnom modelu nakon redukcije napona (pune linije). Na istom dijagramu “tačkasto” su označene vrijednosti mjerenih vremenskih deformacija nakon redukcije napona.
Pri redukciji napona koristi se povratni (reverzibilni) modul elastičnosti koji se razlikuje od početnog modula elastičnosti tj. modula koji se koristi pri optere-ćivanju. Prosječna vrijednost reverzibilnog modula ela-stičnosti je veća od vrijednosti početnog modula elasti-čnosti, pa su reverzibilne deformacije manje u odnosu na inicijalne pri istoj naponskoj promjeni. U tabeli 4. su prikazane vrijednosti reverzibilnog sekantnog modula elastičnosti korišćenog pri definisanju materijalnih parametara puzanja laporca nakon rasterećenja.
rE
U tabeli sl.3. su prikazane regresionom analizom dobijene vrijednosti traženih parametara za laporac koji definišu primarno i sekundarno puzanje nakon redukcije napona. Ovi parametri, strogo uzevši, važe jedino nakon iste predistorije u pogledu naponskog stanja i trajanja puzanja.
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0 5 10 15 20 25 30
Vrijeme [dani]
Dila
taci
ja [o / o
o]
PR-7
PR-8
PR-9
PR-10
PR-11
PR-12
emp.2.0=>0.0MPaemp.4.0=>2.0MPa
Sl.11. Teoretska funkcija puzanja nakon redukcije napona
Tabela 3. Vrijednosti parametara primarnog i sekundarnog puzanja nakon redukcije napona
Prametri primarnog puzanja Prametri sekundarnog puzanja
Parametar pE′ [MPa]
pμ′ [MPa.d]
m′ a′ [1/d] n′
Laporac 225 150 0.008 1.48*10-4 2.5
Kamena so - - - - -
Tabela 4. Vrijednosti reverzibilnih sekantnih modula deformabilnosti laporca pri definisanju
parametara primarnog i sekundarnog puzanja nakon redukcije napona
Karakteristični napon 2.0 4.0 ŠMPaĆ
Sekantni reverzibilni modul deformabilnosti 2.33 4.12 ŠGPaĆ
MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 50 (2007) 1-2 (3-19) 14
6 REOLOŠKI MODEL MEKIH STIJENA BAZIRAN NA TESTOVIMA NA LAPORCU
Kod vremenski zavisnih deformacija indukovanih naponskim stanjem koje se nalazi ispod uslova plastičnosti neophodno je definisati dvije komponente: deformaciju zakašnjele elastičnosti (primarno puzanje) i deformaciju sekundarnog puzanja. Eksperimentalni rezultati testova puzanja laporca, provedeni u okviru istraživanja koje se prikazuje, ukazuju da prva komponenta vremenskih deformacija – zakašnjela elastičnost zavisi od naponske promjene koja je predhodila, dok druga komponenta zavisi od aktuelnog naponskog stanja.
Na sl.12. prikazan je dijagram jednoaksijalnog puzanja prema modelu M. Wallner-a i prema predloženom modelu autora ovog rada. Kao što se vidi sa dijagrama (sl.12) model Wallner-a zanemaruje povratne vremenske deformacije nakon rasterećenja. Ovdje predloženi model tj. formulisane komponente vremenskih deformacija dozvoljavaju da se adekvatno modeliraju kako puzanje nakon prirasta napona pritiska, tako i puzanje nakon djelimične redukcije napona pritiska ili potpunog rasterećenja, kao što je opisano u dijelu 4.2, a što je u skladu sa eksperimentalnom evidencijom prikazanom u dijelu 2.2.
Sl.12. Vremenski zavisne deformacije nakon opterećenja i rasterećenja prema modelu M. Wallner-a i model autora ovog rada
Mehanički model ponašanja stijene prema autoru
ovog rada prikazan je na sl.13 (uporedno zbog lakseg poređenja dat je i model M. Wallner-a). Model se sastoji od pet različitih reoloških tijela i svako od njih opisuje odgovarjuću deformacijsku komponentu, kako slijedi:
I. Prva komponenta deformacija - opruga predstavlja trenutni deformacijski odgovor materijala indukovan naponskom promjenom (u kratkom vremenskom periodu potrebnom da se nanese opterećenje). U blok dijagramu, sl.13. trenutni odgovor stijenske mase indukovan naponskom promjenom označen je oprugom i oznakom i zavisi samo od naponske promjene E σΔ . Ovdje je prikazana linearno elastična aproksimacija trenutnog odgovora, ali generalno može biti opšteg nelinearnog tipa.
II. Druga komponenta – zakašnjela elastičnost (primarno puzanje) prestavljena je paralelnom vezom Newton-ovog viskoznog fluida i idealno kruto plastičnog Saint-Venant-ovog tijela. Ova komponenta deformacije je funkcija vremena i naponske promjene koja je predhodila. Istog je znaka kao prva komponenta. Deformacija zakašnjele elastičnosti nije apsolutno
povratna pri rasterećenju, već samo djelimično, zbog promjene vrijednosti materijalnih parametara u toku predhodno ostvarenog procesa prekonsolidacije u toku puzanja nakon prvog opterećenja.
III. Treća komponenta deformacija je sekundarno puzanje i predstavljena je Newton-ovim viskoznim fluidom, pa je kao takva nepovratna pri potpunoj ili djelimičnoj redukciji opterećenja - napona. Ova komponenta deformacije zavisi od aktuelnog naponskog stanja i vremena. Uvijek je pozitivnog znaka (skupljanje) kada je opterećenje pritisak.
IV. Četvrta komponenta (tercijalno puzanje) predstavljena je paralelnom vezom Newton-ovog viskoznog fluida i idealno kruto plastičnog Saint-Venant-ovog tijela. To su vremenske deformacije koje se razvijaju nakon dostizanja uslova plastičnosti i zavise od naponskog stanja i vremena.
V. Peta komponenta (plastične deformacije) predstavljena je paralelnom vezom Newton-ovog viskoznog fluida i idealno kruto plastičnog Saint-Venant-ovog tijela. Deformacije nakon dostizanja uslova plastičnosti (četvrta i peta komponenta) nisu bile uži predmet ovog istraživanja.
MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 50 (2007) 1-2 (3-19) 15
Sl. 13. Mehanički model konstitutivnih jednačina naponsko-deformacijskog ponašanja stijene prema M. Wallner-u i autoru ovog rada
Druga, četvrta i peta komponenta deformacija sadrže
idealno kruto plastično Saint-Venant-ovo tijela što ukazuje da se ove komponente jednake nuli sve dok napon ne prekorači naponski prag za njihovu pojavu. Kod četvrte i pete komponente to je “kratkotrajni” uslov popuštanja (plastičnosti), a kod druge komponente to je neko niže naponsko stanje, koje može biti i nulto.
7 MATEMATIČKA FORMULACIJA DEFORMACIJA STIJENE - ELASTIČNE I DEFORMACIJE PRIMARNOG I SEKUNDARNOG PUZANJA
Za praktičnu primjenu prezentovanog konstitutivnog modela neophodan je matematički opis ponašanja reološkog modela stijenske mase. Matematička formulacija reološkog modela laporca, kada su naponi ispod granice plastičnosti, sumirana je u tabeli 5. Jednačine definišu komponente deformacija i date su generalno za trodimenzionalni slučaj. Imajući u vidu da su deformacije vremenaki zavisne, jednačine su date kao izvodi po vremenu.
Za plastični potencijal effσ usvojena je jedna invarijanta devijatorskog dijela tenzora napona koja opisuje odstupanje od hidrostatičkog stanja napona ( ). Promjena plastičnog potencijala pri
naponskoj promjeni od do označena je sa 321 σ=σ=σ
iσ jσ effσΔ ,
odnosno . Odgovarajuća invarijanta
devijatorskog dijela tenzora deformacija je (saglasno jednačinama prezentovanim u dijelu 3).
iσj −σ=σΔ
effpε
Ukupna deformacija pri naponima koji su ispod uslova plastičnosti se dobija kao zbir komponentalnih deformacija:
spe ε+ε+ε=ε , (18)
gdje su: eε - elastična deformacija (indukovana napon-skom promjenom)
pε - deformacija primarnog puzanja (zakašnje-la elastičnost)
sε - deformacija sekundarnog puzanja
8 ZAKLJUČAK
Uporedna analiza rezultata mjerenih vremenskih deformacija pri testu puzanja na uzorcima laporca nakon opterećivanja i vremenskih deformacija sračunatih na osnovu postojećeg reološkog modela Wallner-a, ukazuje da se ovim reološkim modelom mogu korektno opisati vremenske deformacije laporca nakon opterećivanja. Materijalni parametri laporca, definisani na osnovu jednoaksijlanih testova puzanja na prizmatičnim uzorcima, značajno se razlikuju od materijalnih parametara za kamenu so, kao najčešće ispitivani stijenski materijal.
Postojeći reološki modeli puzanja stijena zasnivaju se na pretpostavci da su sve komponenete deformacija osim elastične ireverzibilne, pa se nakon redukcije napona ne može pojaviti vremenski zavisna povratna deformacija, što je u suprotnosti sa eksperimentalnom evidencijom. Naime, rezultati testova puzanja nakon
MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 50 (2007) 1-2 (3-19) 16
h,
~ ~ ~
s E h,
• ,AAAA- I-- I-
f---j f---j f---j
D(e.~.S)/F",(5)
e~"/e"7. I
F(e~.s)H(S)G(e~s)
I Ncpovmtno I
~e::;::::'o~II===e:==e.~==o==:;-;:11==e;=,<o==;-I~I :::::e;~==o=,e':;:::<o~1E(DS) H(S) F(e~.s) D(~.. S)/F>:D(S)
o 0 -,:::=0=,-'------,=0==,e'_----'=:::"e=m/e'==,"IDjclimicno INcpo"mtnopo"mtno
rastrećenja, na soli, ukazuju da postoji izvjesno povratno puzanje, dok kod laporca vremenska deformacija povratnog puzanja ima isti red veličine kao i povratna elastična deformacija. Zbog navedenog je neophodno korigovati postojeće modele i u njih inkorporirati povratnu vremensku deformaciju puzanja nakon rasterećenja.
Sprovedeno istraživanje ukazuje da postojeći
reološki modeli stijene, u izvornom obliku, ne mogu korektno opisati povratne vremenske deformacije nakon rasterećenja, jer oni polaze od pretpostavke da komponenta primarnog puzanja zavisi od trenutnog naponskog stanja, pa pri potpunom rasterećenju ova komponenta postaje nula. Analizom rezultata testova puzanja laporca nakon rasterećenja uočeno je da primarno puzanje (zakašnjela elastičnost) zapravo zavisi
Tabela 5. Pregled konstitutivnih jednačina stijene pri naponskom stanju ispod uslova plastičnosti
Mehanički model Funkcija komponenti defromacije
Elastičnost ][ elε
[ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∂σ∂
=∂ε∂
tD
t
e (1)
]D[ - matrica elastičnih koeficijenata
Primarno puzanje (zakašnjela elastičnost)
][ pε
{ } ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
σ∂σΔ∂
η=
∂ε∂ )(G1t
eff
p
p (2)
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡εΔ−⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σΔ= p
eff
m
p
effp E
EG ;
( )2zx
2yx
2xy
2z
2y
2xeff 222SSS
23
τΔ+τΔ+τΔ+Δ+Δ+Δ=σΔ ;
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ γΔ+γΔ+γΔ+εΔ+εΔ+εΔ=εΔ 2zx
2yx
2xy
2z
2y
2xeff
p
21
21
21
32
;
gdje su: pE - modul deformacionog ojačanja
pη - viskoznost (za primarno puzanje) m - eksponent napona (za primarno puzanje)
Sekundarno puzanje ][ sε
{ } ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
σ∂σ∂
η=
∂ε∂ eff
s
sH1
t (3)
n
o
effo P
PH ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ= ;
aPo
s =η ; MPa0.1Po = ;
gdje su: ( )2zx
2yx
2xy
2z
2y
2xeff 222SSS
23
τ+τ+τ+++=σ
a - parametar puzanja n - eksponent napona (za sekundarno puzanje)
Č - u mehaničkom modelu označava materijalni parametar nakon redukcije napona od naponske relaksacione promjene koja je predhodila povratnom puzanju, a ne od stanja napona u kom se materijal nalazi nakon relaksacije, kako sugerišu postojeći reološki modeli.
Navedeni eksperimentalni fenomeni su obuhvaćeni u korigovanom reološkom modelu, prema predlogu autora ovog rada, tako da deformacija indukovana naponskom
promjenom (elastična komponenta) i komponenta primarnog puzanja zavise od naponske promjene koja je prethodila puzanju materijala, a ostale komponente zavise od trenutnog naponskog stanja. Predloženi reološki model je moguće primjeniti za korektno opisivanje vremenskih deformacija i nakon opterećenja i nakon potpunog ili djelimičnog rasterećenja, što je od posebnog značaja za naponsko-deformaciono stanje u stijenskoj masi oko tunelskog iskopa. Pri tome je
MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 50 (2007) 1-2 (3-19) 17
MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 50 (2007) 1-2 (3-19) 18
neophodno definisati materijalne parametre za opisivanje puzanja nakon opterećenja, ali i materijalne parametre za opisivanje puzanja nakon rasterećenja, jer dolazi do izvjesne prekonsolidacije materijala u toku puzanja nakon opterećenja.
9 LITERATURA
[1] Bergues J. & Nguyen D., Hoetit N. Time dependent behaviour of hard marls, The Geotechnics of hard Soils-Soft Rock, Evangelista & Picarelli, Balkema, Rotterdam, 1998.
[2] Cristescu N.D: Rock Rheolgy, Kluwer Academic Publishers, 1988.
[3] Cristescu N.D & Hunsche U. Time effects in Rock Mechanics, John Willey &Sons, 1998.
[4] Doring T., Kiehl J.R. Das primare, sekundare und tertiare Kriechen von Steinsalz - Ein dredimensionales rheonomes Stoffesetz. Geotehnick 1996/3, 194-199;
[5] Ewy R.T., Cook N.G.W. "Deformation and Fracture Around Cylindrical Openings in Rock - I", Int. J. rock Mech. Min. Sci.,Vol. 27. No 5. pp. 387-407, 1990.
[6] Gudehus G. Finite Elements in Geomehanics, John Wiley&Sans,1977.
[7] Jaeger J.C. & Cook N.G.W. Fundamentals of Rock Mechanics, Chapman and hall Ltd. And Science Paperbanks, 1971.
[8] Keihl J.R., Reim J. Athree-dimensional constitutive law for rock salt including transient, steady state and accelereted creep, failer asa well as post failer behaviour. Proc. 9th ISRM Congres, Vol. 2, Paris, 917-920.
[9] Kemeny J.M, Cook N.G.W. Time-dependent borehole stabilty under mechanical and termal stress: Aplication to undergaound nuclear waste storage, Rock Mechanics as a Multidisciplinary Science, Bal;kema, Roterdam, pp997-986, 1991.
[10] Kharchafi M., Descoedres F. Comportement differe des roshes marneuses encaissant les tunnels (Behaviour of tunnels in creeping marls), Ecole Polytechnicque federale de Lausane, Laboratoire de Mecanique des Roshes, Suisse,1995
[11] Ladanyi B., Gill D.E. Tunnel Lining in a Creeping Rock, Canadian Tunneling Canadien, 1996.
[12] Pande G.N., Beer G. & Williams J.R Numerical Methods in Rock Meshanics, John Wiley & Sons Ltd., 1995
[13] Tomanović Z., "Rheological model of soft rock based on test on marl", Int. J. Mechanics of Time-Dependent Materials, Springer, 2006, pp. 135-154.
[14] Wallner M. Stability calculation concerning a room and pillar desing in rock salt, International Congres for Geotechnics, Melbourne, 1983.
[15] Wittke W. Rock Mechanics - Theory and Applications with case Histories, Springer-Verlag, 1990.
MATERIJALI I KONSTRUKCIJE 50 (2007) 1-2 (3-19) 19
REZIME
REOLOŠKI MODEL PUZANJA MATRIKSA MEKE STIJENE
Zvonko TOMANOVIĆ U cilju formulisanja reološkog modela vremenski
zavisnih deformacija mekih stijena, koji se prezentuje u ovom radu, izvedeni su laboratorijski testovi puzanja na laporcu. Osnovni zadatak pri matematičkom opisivanju vremenski zavisnih deformacija nekog materijala je definisanje deformacija kao funkcije vremena, napona i temperature. Eksperimentalno istraživanje puzanja laporca je izvedeno u uslovima ograničene promjene sobne temperature, imajući u vidu da su i promjene temperatura za uobičajene građevinske potrebe tunelogradnje takođe ograničene. Stoga, u analizi koja je ovdje provedena, deformacije puzanja su smatrane veličinom nezavisnom od temperature.
Predmet istraživanja je naponsko-deformacijsko ponašanje stijene oko podzemnih iskopa, pri dugotrajnom opterećenju. Centralno mjesto istraživanja zauzima sopstveno laboratorijsko eksperimentalno istraživanje puzanja na laporcu, uzetom iz raskrivke “Rudnika uglja” - Pljevlja, kao izabranoj reprezentativnoj stijeni iz grupe mekih stijena. Izvedeni su laboratorijski testovi, pod dejstvom kratkotrajnog i dugotrajnog opterećenja i rasterećenja, u uslovima jednoaksijalnog, biaksijalnog i triaksijalnog rotaciono simetričnog stanja napona, u cilju definisanja uticaja naponskog stanja na deformacijsko ponašanje ispitivanog materijala.
Uporednom analizom vremenskih deformacija laporca nakon opterećivanja, ustanovljeno je da reološki modeli Wallner-a, baziran na rezultatima testiranja kamene soli, dobro aproksimira puzanje laporca. Definisani su materijalni parametri laporca koji opisuju elastičnu komponentu i komponente primarnog i sekundarnog puzanja. Uporednom analizom vremenskih deformacija nakon potpunog ili djelimičnog rasterećenja, ustanovljeno da model ne obuhvata povratnu deformaciju puzanja, kao posledica pretpostavke da primarno puzanje zavisi od tekućeg stanja napona.
Prema predlogu autora ovog rada formulisan je modifikovani reološki model koji opisuje ponašanje meke stijene, nakon opterećivanja i nakon potpunog ili djelimičnog rasterećenja. U modelu je primarno puzanje formulasano kao funkcija zavisna od naponske promjene koja je predhodila puzanju. Definisani su materijalni parametri laporca koji opisuju puzanje nakon potpunog ili djelimičnog rasterećenja.
SUMMARY
RHEOLOGICAL MODEL OF MATRIX OF SOFT ROCK CREEP
Zvonko TOMANOVIC
In order to formulate the rheological model of time dependent deformations of soft rocks, which is presented in this paper, laboratory tests on marl creep have been carried out. Basic task in mathematical description of time dependent deformations of a certain material is to define deformations as a function of time, stress and temperature. Experimental research on marl creep has been carried out in the conditions of limited change of the room temperature, having in mind that changes of temperature for usual needs in building works of tunnel-construction are also limited. Thus, in further analysis, which is presented in this paper, creep deformation will be treated as a value independent from temperature.
The subject of this research is stress-deformation behaviour of rock around the underground openings at long-term loading. Central part of research are the laboratory experiments on creep of the marl samples, taken from the uncover of the coal mine “Rudnik uglja” - Pljevlja, as the chosen representative rock from the group of soft rocks. Laboratory tests are carried out under the influence of short-term and long-term loading and unloading in the conditions of one-axial, biaxial and triaxial symmetrical stress state, where the final goal was defining the stress state influence on deformation behaviour of tested material.
By comparative analysis of time dependent marl deformations after loading, it was concluded that Wallner’s rheological models, based on the results of salt-rock tests, approximate the marl creep behaviour well. Material parameters of marl behaviours are defined and they describe elastic components and also the components of primary and secondary creep. By the comparative analysis of time-deformations after total or partial unloading, it was concluded that the cited model does not include reversible deformation of creep, as the result of the assumption that primary creep depends only on current stress state.
As suggested by the author of this paper, a modified rheological model, describing soft rock behaviour after loading and total or partial unloading, is formulated. Primary creep in the model is formulated as a function dependent from the stress change which preceded the creep. Material parameters of marl behaviour, describing the creep after total and partial unloading, are defined.
