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Renata Cristina Alves Matni

O ensino de problemas com as 4 operações por meio de atividades

Belém/PA 2014

Universidade do Estado do Pará Centro de Ciências Sociais e Educação Departamento de Matemática, Estatística e Informática Curso de Licenciatura em Matemática



Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do título de Licenciada em Matemática, Universidade do Estado do Pará. Orientador: Profº. Dr. Pedro Franco de Sá

Belém/PA 2014

Dados Internacionais de Catalogação na publicação

Biblioteca do Centro de Ciências Sociais e Educação da UEPA

Matni, Renata Cristina Alves

O ensino de problemas com as 4 operações por meio de atividades. / Renata Cristina Alves Matni. Belém, 2014.

Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2014.

Orientação de: Pedro Franco de Sá

1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Aritmética – Estudo e ensino. I. Sá, Pedro Franco de

(Orientador). II. Título.

CDD: 21 ed. 510.7



Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do título de Licenciada em Matemática, Universidade do Estado do Pará. Orientador: Profº. Dr. Pedro Franco de Sá

Data de Aprovação: 30/01/2014 Banca Examinadora: ______________________________ – Orientador

Prof. Dr. Pedro Franco de Sá

Doutor em Educação

Universidade do Estado do Pará

______________________________ Profª. Rosineide de Sousa Jucá

Mscª. Em Educação


______________________________

Profª Benedita das Graças Sardinha da Silva

Especialista em Matemática do Ensino Básico

Universidade Federal do Pará

Aos meus amores, com carinho:

Milton Monte (in memorian) e Mary

Monte, meus avós, minha base.

Maria da Graça Alves Matni, minha

mãe, minha vida.

Erick Matni, meu irmão e amigo.

E as minhas tias, primos e meus

amigos que sempre me apoiaram

nos momentos mais difíceis.

AGRADECIMENTOS

Primeiramente a Deus por ter me dado forças para continuar em meio às

dificuldades.

Ao homem que me acolheu de braços abertos, o pai que nunca tive que

me educou e me mostrou o caminho certo a seguir, pois sei que mesmo em outro

plano ele está me acompanhando nos momentos de tristeza e nos de alegria, como

este, meu vovô, Milton de Aguiar Monte (in memorian) e a minha vovó Mary Matni

Monte, minha segunda mãe, um de meus alicerces, que sempre ajudou em meus

estudos, me apoiou e nunca deixou desistir de meus sonhos, principalmente o de ter

ingressado no curso hoje tanto amo, a eles sempre serei grata e os amarei.

A minha mãe, meu maior alicerce, Maria da Graça Alves Matni, que

sempre esteve ao meu lado, me incentivando, querendo o melhor para mim e que

sempre pegou em minha mão quando eu achava que tudo estava perdido. E ao meu

irmão e conselheiro, Erick Luiz Alves Matni que também sempre me apoiou e torceu

pelas minhas vitórias, amo vocês!

A minha tia e madrinha, Mary Cristine Matni Monte, minha terceira mãe,

minha tia Mary Catarine Matni Monte e ao meu tio Maércio Matni Monte, por

ajudarem em meus estudos, pelo incentivo, carinho, proteção e conselhos.

Aos meus primos Márcio Augusto Monte Bezerra e Camila Andresa Monte

Bezerra pelo carinho, incentivo e por se preocuparem comigo.

Aos meus amigos, em especial e amiga Jéssica Fernandes, Anderson

Fernandes da Cunha, Tayssa Suellen, Sammya Sué da Conceição Barata Silva,

Erick Cristian Tourão Oliveira, Mariza Figueiredo, Sérgio Vinicius Quemel Silva e

Yasmin Lisboa que sempre me acompanharam nessa jornada e nos momentos em

que mais precisei, com palavras incentivadoras. Uma amizade que independe da

distância.

A minha melhor amiga Gisele Fernandes e ao meu melhor amigo Felipe

Yukihiro Lopes Watanabe, pela sinceridade, carinho, incentivo e apoio independente

da hora e distância. E ao povo espiritual de luz que me acompanha.

A tia Sara que sempre acreditou em mim e me cobrava o TCC pelos

corredores da UEPA. E aos meus professores pelas orientações acadêmicas.

Ao professor Pedro Franco de Sá pela orientação não apenas neste

trabalho, mas em outros, pela paciência, conselhos e amizade.

É preciso que o professor se esforce no sentido de dar um caráter concreto aos problemas que apresenta aos estudantes.

Huisman

RESUMO

MATNI, Renata Cristina Alves. O ensino de problemas com as 4 operações por meio de atividades. 2014. 111f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Licenciatura em Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2014. Este trabalho apresenta os resultados de uma pesquisa experimental sobre o ensino de problemas cujo objetivo foi avaliar os efeitos de uma sequência didática no ensino de resolução de problemas envolvendo as quatro operações com números naturais por meio de atividades. Para viabilizar esse estudo foi aplicada uma sequência didática com destaque na utilização de jogos e na tradução dos dados de problemas para linguagem simbólica, junto a 32 alunos do 6º ano de uma escola pública de Belém do Pará. Foi utilizado um questionário socioeconômico, um pré-teste e dois pós-testes correspondentes como instrumentos de coleta de dados. A pesquisa decompôs-se em quatro etapas distintas, a primeira foi o levantamento de informações com análise do questionário e pré-teste geral que se subdividiu em: pré-teste geral – problemas aditivos e pré-teste geral – problemas multiplicativos, seguida das etapas de construção e aplicação de uma atividade usando os jogos e das etapas comparativas do pré-teste geral e pós-teste aditivo, multiplicativo. O diagnóstico dos resultados fundamentou-se na categorização de problemas aritméticos e algébricos e critérios de análise proposto por teóricos renomados. Os resultados indicaram que o ensino dos problemas verbais por meio de atividades é um caminho que pode amenizar as dificuldades dos discentes e que o desempenho dos mesmos pode ser aprimorado se as atividades dessa sequência didática forem associadas a atividades para o domínio da tabuada e dos procedimentos de cálculo.

Palavras-chave: Educação Matemática. Ensino por atividades. Ensino de Problemas envolvendo as 4 operações.

ABSTRACT

MATNI, Renata Cristina Alves. O ensino de problemas com as 4 operações por meio de atividades. 2014. 111f. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Licenciatura em Matemática) – Universidade do Estado do Pará, Belém, 2014.

This work presents the results of an experimental research on teaching problems whose objective was evaluate the effects of an instructional sequence for teaching problem solving involving the four operations with natural numbers through activities. To achieve this study applied a teaching sequence with emphasis on the use of games and data translation problems for symbolic language, along with 32 students of the 6th year in a public school in Belém of Pará. A socioeconomic questionnaire, a pre-test and post-test two correspondents as instruments of data collection was used. The search decomposed into four distinct stages, the first was a survey of information with analysis of the questionnaire and general pre-test that was subdivided into: general pretest - additives and general problems pretest - multiplicative problems, followed the steps of building and implementing an activity using games and comparative stages of the overall pre-test and post-test additive, multiplicative. The diagnosis of the results was based on the categorization of arithmetic and algebraic problems and analysis criteria proposed by renowned theorists. The results indicated that the teaching of verbal problems through activities is one way that can ease the difficulties of students and their performance can be enhanced if the instructional sequence activities that are associated with activities for mastery of math facts and procedures calculation. Keywords: Mathematics Education. By teaching activities. Teaching Problems involving the 4 operations.

LISTA DE ILUSTRAÇÕES

IMAGEM 1: Problema de multiplicação .................................................................... 65

IMAGEM 2: Problema de divisão ............................................................................. 65

IMAGEM 3: Erro de escolha da operação na 2ª questão do teste multiplicativo ....... 72

IMAGEM 4: Erro de cálculo na 1ª questão do teste multiplicativo ............................ 72

IMAGEM 5: Erro de indeterminado na 4ª questão do teste multiplicativo ................ 73

IMAGEM 6: Erro na montagem da sentença na 4ª questão do teste aditivo ............ 73

IMAGEM 7: Erro de cálculo na 9ª questão do teste aditivo ...................................... 78

IMAGEM 8: Erro de cálculo na 2ª questão do teste multiplicativo ............................ 85

LISTA DE GRÁFICOS

GRÁFICO 1: Faixa etária dos alunos ....................................................................... 43

GRÁFICO 2: Escola em que estudou o 5º ano ........................................................ 44

GRÁFICO 3: Dependente ou repetente ................................................................... 45

GRÁFICO 4: Costuma fazer compras ...................................................................... 46

GRÁFICO 5: Escolaridade do responsável masculino ............................................. 47

GRÁFICO 6: Escolaridade do responsável feminino ................................................ 48

GRÁFICO 7: Profissão do responsável masculino ................................................... 49

GRÁFICO 8: Profissão do responsável feminino ..................................................... 50

GRÁFICO 9: Dificuldades em aprender matemática ................................................ 51

GRÁFICO 10: Auxílio nas tarefas de matemática em casa ...................................... 52

GRÁFICO 11: Como geralmente são as notas de matemática ................................ 53

GRÁFICO 12: Gosto pela matemática ..................................................................... 54

GRÁFICO 13: Ocorrência de distração nas aulas de matemática ........................... 54

GRÁFICO 14: Como acontece a maioria das aulas de matemática da escola ........ 55

GRÁFICO 15: Maneira que o professor (a) de matemática costuma ensinar para o

aluno entender melhor ............................................................................................. 56

GRÁFICO 16: Operações que o aluno tem mais dificuldade em efetuar ................. 57

GRÁFICO 17: Domínio da tabuada .......................................................................... 58

GRÁFICO 18: Costume de estudar matemática ...................................................... 59

GRÁFICO 19: Resultado do pré-teste geral – problemas aditivos ........................... 61

GRÁFICO 20: Resultado do desempenho geral – problemas aditivos ..................... 62

GRÁFICO 21: Resultado do pré-teste geral – problemas multiplicativos ................. 64

GRÁFICO 22: Resultado do desempenho geral – problemas multiplicativos ........... 66

GRÁFICO 23: Comparativo do desempenho dos alunos no pré-teste geral –

problemas aditivos e pós-teste aditivo ...................................................................... 68

GRÁFICO 24: Comparativo do desempenho dos alunos no pré-teste geral –

problemas multiplicativos e pós-teste multiplicativo ................................................. 70

GRÁFICO 25: Comparativo do desempenho geral por questão entre pré-teste geral

– problemas aditivos e pós-teste aditivo .................................................................. 74

GRÁFICO 26: Comparativo de acertos entre pré-teste geral – problemas aditivos e

pós-teste aditivo ....................................................................................................... 76

GRÁFICO 27: Comparativo de erros entre pré-teste geral – problemas aditivos e

pós-teste aditivo ....................................................................................................... 78

GRÁFICO 28: Comparativo do desempenho geral por questão entre pré-teste geral

– problemas multiplicativos e pós-teste multiplicativo .............................................. 80

GRÁFICO 29: Comparativo de acertos entre pré-teste geral – problemas

multiplicativos e pós-teste multiplicativo ................................................................... 82

GRÁFICO 30: Comparativo de erros entre pré-teste geral – problemas multiplicativos

e pós-teste multiplicativo .......................................................................................... 84

LISTA DE TABELAS

TABELA 1: Resultado do pré-teste geral – problemas aditivos ................................ 60

TABELA 2: Resultado do pré-teste geral – problemas multiplicativos ...................... 63

TABELA 3: Comparativo do desempenho dos alunos no pré-teste geral – problemas

aditivos e pós-teste aditivo ........................................................................................ 67

TABELA 4: Comparativo do desempenho dos alunos no pré-teste geral – problemas

multiplicativos e pós-teste multiplicativo ................................................................... 69

TABELA 5: Comparativo do desempenho geral por questão entre pré-teste geral –

problemas aditivos e pós-teste aditivo ..................................................................... 74

TABELA 6: Comparativo de acertos entre pré-teste geral – problemas aditivos e pós-

teste aditivo .............................................................................................................. 76

TABELA 7: Comparativo de erros entre pré-teste geral – problemas aditivos e pós-

teste aditivo .............................................................................................................. 77

TABELA 8: Comparativo do desempenho geral por questão entre pré-teste geral –

problemas multiplicativos e pós-teste multiplicativo ................................................. 79

TABELA 9: Comparativo de acertos entre pré-teste geral – problemas multiplicativos


TABELA 10: Comparativo de erros entre pré-teste geral – problemas multiplicativos


LISTA DE QUADROS

QUADRO 1: Faixa etária .......................................................................................... 43

QUADRO 2: Escola em que estudou o 5º ano ......................................................... 44

QUADRO 3: Dependente ou repetente .................................................................... 45

QUADRO 4: Costuma fazer compras ....................................................................... 46

QUADRO 5: Escolaridade do responsável masculino .............................................. 47

QUADRO 6: Escolaridade do responsável feminino ................................................ 48

QUADRO 7: Profissão do responsável masculino ................................................... 49

QUADRO 8: Profissão do responsável feminino ...................................................... 50

QUADRO 9: Dificuldades em aprender matemática ................................................ 51

QUADRO 10: Auxílio nas tarefas de matemática em casa ...................................... 52

QUADRO 11: Como geralmente são as notas de matemática ................................. 53

QUADRO 12: Gosto pela matemática ...................................................................... 53

QUADRO 13: Ocorrência de distração nas aulas de matemática ............................ 54

QUADRO 14: Como acontece a maioria das aulas de matemática da escola ......... 55

QUADRO 15: Maneira que o professor (a) de matemática costuma ensinar para o

aluno entender melhor ............................................................................................. 56

QUADRO 16: Operações que o aluno tem mais dificuldade em efetuar .................. 57

QUADRO 17: Domínio da tabuada .......................................................................... 58

QUADRO 18: Costume de estudar matemática ....................................................... 59

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 15

2 ESTUDOS SOBRE OS PROBLEMAS QUE ENVOLVEM AS QUATRO

OPERAÇÕES ....................................................................................................... 17

2.1 Um pouco sobre resolução de problemas e os problemas envolvendo as quatro

operações no campo dos números naturais............................................................. 17

2.2 O que são problemas aritméticos e problemas algébricos? ............................... 24

2.3 Os campos conceituais e alguns estudos sobre problemas verbais - problemas

envolvendo as quatro operações com os números naturais .................................... 29

3 PERCURSO METODOLÓGICO .......................................................................... 35

3.1 Metodologia ........................................................................................................ 35

4 EXPERIMENTO ................................................................................................... 39

4.1 Descrição do Experimento ................................................................................. 40

5 SISTEMATIZAÇÃO E ANÁLISE .......................................................................... 42

5.1 Sistematização e análise dos dados socioeconômicos ..................................... 43

5.2 Sistematização e análise das informações do pré-teste geral............................ 60

5.3 Sistematização e análise comparativa do pré-teste geral - aditivo e pós-teste

aditivo ...................................................................................................................... 66

5.4 Sistematização e análise comparativa do pré-teste geral - multiplicativo e pós-

teste multiplicativo ................................................................................................... 69

5.5 Sistematização e análise comparativa das modalidades de acertos e erros ..... 72

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................. 87

REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 88

APÊNDICES ............................................................................................................ 92

APÊNDICE A – Questionário Socioeconômico ........................................................ 93

APÊNDICE B – Questionário (Pré-Teste Geral) ....................................................... 96

APÊNDICE C – Questionário (Pós-Teste Aditivo) .................................................... 99

APÊNDICE D – Questionário (Pós-Teste Multiplicativo) ........................................ 101

APÊNDICE E – Pif-Paf das quatro operações ....................................................... 103

APÊNDICE F – Folha de cartas ............................................................................. 105

15

1 INTRODUÇÃO

O ensino de matemática vem sofrendo criticas de diversas naturezas e

origens. Uma delas é originada dos resultados dos testes de larga escala como a

Prova Brasil e o exame do Programme for International Student Assessment (PISA)

– Programa internacional de Avaliação de Estudantes que indicam uma ampla

dificuldade dos alunos dos anos inciais e finais do ensino fundamental brasileiro em

resolver problemas envolvendo as quatro operações com números naturais. A

pesquisa sobre o ensino dos problemas verbais tem um volume considerável de

trabalhos que procuram determinar os fatores que tornam um problema mais ou

menos difícil para os discentes de diferentes níveis de escolaridade e outros que

visam entender as relações entre aritmética e álgebra e a sua respectiva transição.

Entre esses, podemos citar Sá (2003), Lins e Gimenez (1996 apud SILVA, 2007) e

Coxford (1995 apud ROCHA, 2012).

Os resultados de estudos, como Jucá e Sá (2006), Chaquiam; Sá e

Souza (2002), Fossa e Sá (2008) e Carvalho (2009, 2010 apud LIMA, 2013), sobre o

ensino de problemas envolvendo as quatro operações fundamentais com números

naturais indicam que há uma expressiva dificuldade por parte dos discentes no

processo de ensino, aprendizagem e avaliação dos problemas em questão, no caso

do conhecimento, tem-se obstáculos principalmente quanto à compreensão e

interpretação dos problemas. A importância da habilidade de resolver tais questões

é inquestionável devido às mesmas surgirem no dia-a-dia das pessoas e em

situações profissionais também. Os problemas verbais quando trabalhados

pedagogicamente na maioria das escolas tendem a ser abordados de maneira que

se inicia com definição seguida de exemplos e exercícios, o que não tem indicado

ser a metodologia mais adequada em virtude do fato da maioria dos alunos

perguntarem ao resolver uma questão qual é a operação a ser realizada, isso é

relatado pelos docentes com muita frequência.

Para ajudar os alunos a superar essas dificuldades, procuramos métodos

diferenciados, deparando-nos assim, com os trabalhos de Polya (1967, 1995), Sá

(2003), entre outros, que nos apresentam alternativas metodológicas para o trabalho

pedagógico com a resolução de problemas envolvendo as quatro operações com

números naturais, sendo que a maioria desses estudos refere-se a turmas do 6º ano

do ensino fundamental. Porém, o professor deve está em constante formação para

16

saber utilizá-las de forma adequada, por conseguinte, poderá ajudar os educandos

na tradução dos dados dos problemas para a linguagem simbólica.

O núcleo desse trabalho é fundamentado na distinção entre problemas

aritméticos e problemas algébricos proposta por Sá (2003), a qual nos conduziu a

seguinte questão: os alunos modelando os problemas envolvendo as quatro

operações com números naturais conseguem melhorar seu desempenho na

resolução desses problemas? Face ao exposto, tivemos como objetivo avaliar os

efeitos de uma sequência didática no ensino de resolução de problemas

envolvendo as quatro operações com números naturais por meio de

atividades.

O presente trabalho está formatado de acordo com as normas de

Condurú e Moreira (2007) e fragmentado em quatro seções, a seguir, apresentamos

um breve resumo sobre cada uma delas:

A Seção I apresenta uma revisão bibliográfica acerca dos problemas

envolvendo as quatro operações.

A Seção II explicita o percurso metodológico desta pesquisa que se

dividiu em quatro etapas distintas: 1ª etapa com a aplicação do pré-teste geral

(quatro operações), 2ª etapa com construção da atividade, 3ª fase com a aplicação

da atividade e 4ª fase com o pós-teste aditivo e multiplicativo. Foram utilizados como

instrumento de coleta de dados questionários contendo problemas relativos a cada

etapa da pesquisa.

A Seção III apresenta a descrição do experimento, as dificuldades

encontradas durante a pesquisa e a execução das etapas metodológicas.

A seção IV expõe a sistematização e análise dos dados obtidos nos

testes, os quais diagnosticamos o desempenho dos alunos e o desempenho em

cada questão.

17

2 ESTUDOS SOBRE OS PROBLEMAS QUE ENVOLVEM AS QUATRO

OPERAÇÕES

Esta seção apresenta uma revisão bibliográfica de trabalhos sobre o

ensino de problemas envolvendo as 4 operações com os números naturais. A seção

subdividiu-se em três partes que apresentaremos a seguir.

2.1 UM POUCO SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E OS PROBLEMAS

ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES NO CAMPO DOS NÚMEROS

NATURAIS

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) das séries iniciais ou ciclos

do Ensino Fundamental apontam a importância de problemas envolvendo as quatro

operações com números naturais e procedimentos a serem utilizados, realizando a

ampliação da construção de significados das operações, baseando-se na utilização

de situação-problema que faça com que o aluno procure estratégias, tanto pessoais,

como convencionais para resolver. Portanto, nesta subseção, propomo-nos

apresentar uma revisão sobre estudos a cerca da resolução de problemas e da

resolução de problemas envolvendo as quatro operações.

Para o trabalho pedagógico no ensino fundamental dos conteúdos de

matemática há vários recursos recomendados, entre eles temos o ensino por

atividades, a resolução de problemas, o uso de jogos, entre outros. Segundo Brasil

(1998):

É importante destacar que as situações de aprendizagem precisam estar centradas na construção de significados, na elaboração de estratégias e na resolução de problemas em que o aluno desenvolve processos importantes como intuição, analogia, indução e dedução, e não atividades voltadas para a memorização, desprovidas de compreensão ou de um trabalho que privilegie uma formalização precoce dos conceitos. (p.63)

Ainda de acordo com Brasil (1998):

É consensual a ideia de que não existe um caminho que possa ser identificado como único e melhor para o ensino de qualquer disciplina, em particular, da Matemática. No entanto, conhecer diversas possibilidades de trabalho em sala de aula é fundamental para que o professor construa sua

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prática. Dentre elas, destacam-se a História da Matemática, as tecnologias da comunicação e os jogos como recursos que podem fornecer os contextos dos problemas, como também os instrumentos para a construção das estratégias de resolução. (p.42)

Sendo isso uma maneira de superar as dificuldades e despertar o

interesse dos alunos pela disciplina e pela busca do conhecimento, abordando o

assunto de uma forma dinâmica, com fatos que podem ser relacionados com o

cotidiano e não somente da maneira estática que normalmente é ensinada em sala

de aula.

O construtivismo, que é um dos métodos que o aluno pode aprender em

sala de aula, faz com que o mesmo construa seu próprio conhecimento fazendo o

docente identificar formas de conduzir sua aula, desmistificando assim, a ideia de

que o discente aprende somente por meio da transferência do conhecimento.

É interessante observar, no entanto, que as “condições de aprendizagem” do ensino tradicional, embora sejam predicadas com o propósito de facilitar a transferência de conhecimento, tendem a melhorar a atenção do aluno. Assim, fazem com que o aluno fique envolvido no processo de ensino-aprendizagem e, consequentemente, promova a construção do seu próprio conhecimento. Desta forma, o ensino tradicional também promove a aprendizagem, só que de forma menos eficiente do que práticas construtivas, pois o ensino tradicional é apenas marginalmente consoante com a natureza da aprendizagem. (FOSSA apud SÁ, 2009, p.11).

A construção da Matemática por atividades faz com que os discentes

possam utilizar informações de sua realidade cotidiana para relacionar com o

assunto trabalhado pelo professor, sendo que esse deverá administrar o modo de

elaboração dessas atividades que podem ser os jogos, pois, uma das ferramentas

didáticas que possui sucesso na busca pela construção do processo ensino-

aprendizagem e causa instigação, sem a cansativa formalidade, colocando o

discente como indivíduo principal na construção do conhecimento é o lúdico.

O Lúdico é um método didático ativo que estabelece relações sociais e

propõem comportamentos saudáveis de como lidar com a derrota e a vitória como

parte inerente ao ato de jogar. Neste sentido o educador tem um papel fundamental

de canalizar as energias de forma produtiva.

Outro motivo para a introdução de jogos nas aulas de matemática é a possibilidade de diminuir bloqueios apresentados por muitos de nossos

19

alunos que temem a Matemática e sentem-se incapacitados para aprendê-la. Dentro da situação de jogo, onde é impossível uma atitude passiva e a motivação é grande, notamos que, ao mesmo tempo em que estes alunos falam Matemática, apresentam também um melhor desempenho e atitudes mais positivas frente a seus processos de aprendizagem. (BORIN, 1996, p.9 apud ROMERO, [2007 ou 2008], p.1)

Segundo Malba Tahan (1968), ''para que os jogos produzam os efeitos

desejados é preciso que sejam, de certa forma, dirigidos pelos educadores''.

Além do lúdico, outro recurso que pode ser usado pelo docente é a

tendência matemática denominada de resolução de problemas, que pode ser

analisada como uma “perspectiva metodológica”, no caso de perspectiva, significa

“uma forma de ver”, “um ponto de vista”, ou seja, para se resolver problemas, não se

deve verificar somente a metodologia a ser utilizada, e sim, ao ler a questão, se

fazer questionamentos, verificando os vários métodos na qual a mesma pode ser

resolvida a partir da própria análise do discente.

[...] o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las; o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada [...] (BRASIL, 1997, p. 32)

Para resolver um problema, não se deve considerar somente o algoritmo,

que são os dados que já vêm explícitos na questão, mas também, a heurística que

são as possibilidades de se resolver a questão. Um dos objetivos de resolução de

problemas é não gerar somente situações didáticas – quando surge uma situação, e

sim, criar uma situação adidática – o problema surge a partir dos questionamentos

do aluno, não provem do professor.

Há muitas outras razões para focalizarmos o processo de resolução de problemas em sala de aula. Certamente uma aula na qual os alunos estão ajudando o professor a resolver problemas e (pelo menos aparentemente) contribuindo ativamente para as soluções é provavelmente mais dinâmica e motivadora do que uma que siga o modelo clássico “exposição e exercício”. Explicar aos alunos de onde vêm os argumentos – ou, melhor ainda, compreender os argumentos com eles, quando possível – pode ajudar a desmistificar a matemática e permitir-lhes enfrenta-la com menos medo e apreensão.

20

[...] Todos os momentos em sala de aula dão oportunidades para mostrar aos alunos como pensar matematicamente. (KRULIK ; REYS, 1997, p.22)

Em oposição ao ensino memorístico e expositivo, a presente metodologia

de ensino visa o desenvolvimento de habilidades metacognitivas, favorecendo a

todo o momento a reflexão e o questionamento. O discente aprende a pensar por si

mesmo, levantando hipóteses, testando-as, tirando conclusões e até discutindo-as

com os colegas.

Na Resolução de Problemas apresentam-se conceitos, propriedades,

regras e etapas que são utilizadas posteriormente para resolução de uma situação-

problema como término da linha de raciocínio. Utiliza-se a mesma e a partir dela

constrói conceitos e definições do tema proposto pelo problema, isto pode ser bem

executado na no momento em que lhe é proposta essa situação e seguindo o passo

a passo citado por Polya (1995) para resolver problemas, da seguinte forma:

compreensão do problema; estabelecimento de um plano; execução do plano e

retrospecto, conforme detalhamento abaixo:

Compreender o problema: é quando a pessoa que vai resolver deve

procurar entender o enunciado e os requisitos propostos no problema e, sobretudo

saber qual é o questionamento a ser respondido, ou seja, o aluno pode realizar o

seguinte procedimento:

Qual é a incógnita? Quais são os dados? Quais são as condições?

É possível satisfazer as condições?

Separar as condições em partes.

Esse processo de compreensão do problema foi subdividido por Polya

(1995) em familiarização e aperfeiçoamento da compreensão.

Estabelecimento de um plano: ocorre quando a pessoa que vai resolver

cria uma conexão entre os dados do problema e a incógnita, a fim de construir um

caminho que leve a solução. Talvez seja conveniente considerar problemas

auxiliares ou particulares, se uma conexão não for achada em tempo plausível. O

aluno pode usar isso para "montar" um plano ou estratégia de resolução do

problema. Logo, ele pode se fazer os seguintes questionamentos a seguir:

21

Já vi esse mesmo problema ou algum parecido?

Conheço teoremas ou fórmulas que possam me ajudar?

Ao olhar para a incógnita, tentar achar um problema familiar e que

tenha uma incógnita semelhante.

Consigo enunciar o problema de outra maneira?

Estou levando em conta todos os dados e todas as condições?

Execução do plano: é quando a pessoa que vai resolver tem que

colocar em prática o seu plano para encontrar a solução do problema, conferindo

cada passo dado e se consegue mostrar claramente que os mesmos estão corretos.

Frequentemente, essa é a etapa mais fácil do processo de resolução de um

problema. Contudo, a maioria dos principiantes tende a pular para ela

prematuramente, e consequentemente tem bons resultado. Outros elaboram

estratégias inadequadas e por consequência se complicando terrivelmente na

execução.

Retrospecto: o resolvedor deve examinar se o resultado obtido satisfaz

as condições e a pergunta do problema, se o mesmo pode obter a solução de outro

modo. E se ele consegue usar o resultado, ou o método, em algum outro problema.

Utilizando essas etapas a resolução de problemas se torna menos

complicada e mais satisfatória para o aluno e para o professor que poderá observar

a resolução do problema passo a passo.

É relevante distinguir problema de exercício, pois, segundo Dante (2007,

p.9) "problema é qualquer situação que exija o pensar do indivíduo para solucioná-

la”. E de acordo com Zeitz (1999, p.3 apud SÁ, 2004) exercício é uma questão que o

indivíduo sabe como resolver de imediato.

A partir desta distinção conclui-se que para o aluno tornar uma situação-

problema em um exercício, ele deve ter experiência na resolução do mesmo para

obter confiança e segurança no seu desenvolvimento.

Segundo Polya (1967 apud SÁ, 2004):

Os problemas são divididos em dois grandes grupos, a saber: os rotineiros e os não-rotineiros. Os rotineiros são os que exigem tão somente a aplicação de uma regra bem conhecida. Os não-rotineiros são os que exigem criatividade na resolução dos mesmos. (p.13, grifos do autor).

22

Para Polya (1967 apud SÁ, 2004) os problemas envolvendo as quatro

operações com números naturais sendo rotineiros, não desenvolvem em quase

nada o cognitivo do aluno. O que para Sá (2003), tal fato não se aplica, pois os

problemas rotineiros são tão importantes quanto os não-rotineiros.

De acordo com Mendonça (1999, p.16-17 apud SÁ, 2004):

Encontramos uma interpretação da expressão resolução de problemas dividida em três tipos, a saber: como um objetivo, um processo e um ponto de partida. Assim descritos: Como objetivo, a resolução de problemas significa que se ensina

matemática para resolver problemas; Como processo, a resolução de problemas significa olhar para o

desempenho/ transformação dos alunos como resolvedores de problemas. Analisando-se as estratégias dos alunos.

Como ponto de partida, os problemas são usados como recurso pedagógico para iniciar o processo de construção de um dado conhecimento específico. (p.15, grifos do autor)

Logo, após o conhecimento acima é oportuno fazermos uma relação entre

Polya (1995) e Mendonça (1999 apud SÁ, 2004), pois o método proposto por Polya

no aspecto de passo a passo pode ter vindo a servir de base para a utilização de

problemas como: objetivo, processo e ponto de partida de Mendonça.

Podemos então afirmar que a utilização dessas situações pelos dois

modelos tem significativa importância, pois a resolução de problemas como ponto de

partida é um método que utilizando o passo a passo de Polya poderá satisfazer

completamente a explicação do conteúdo e utilizando como objetivo servirá para

satisfazer a pós-explicação, isso será utilizado na execução de exercícios.

A partir do mencionado acima, podemos observar que a resolução de

problemas é um recurso metodológico que propicia um melhor aprendizado ao

educando, na medida em que o mesmo constrói conceitos matemáticos por meio de

investigações, curiosidades. Podendo assim, tentar resolver os problemas

envolvendo as quatro operações com números naturais, que além de ser a base

tanto para vida pessoal, como para a formação do discente, onde ele poderá

empregar em seu cotidiano, é um assunto no qual eles apresentam dificuldades

consideráveis, como as seguintes: a falta de realizar cálculos necessários - os

algoritmos, e principalmente no que se refere à interpretação do problema proposto,

entre outras.

23

Uma das maiores dificuldades dos alunos ao que se refere à resolução de problemas envolvendo as quatro operações fundamentais com os números naturais é a identificação da operação matemática que deve ser realizada com os dados de um problema para que seja encontrada a solução do mesmo. (JUCÁ; SÁ, 2006, p.02).

Desta forma, podemos inferir que isso ocorre porque durante as séries

iniciais, não é desenvolvido com as crianças a compreensão dos conceitos por trás

das operações e nem são criadas viabilidades para que as turmas ampliem a visão

sobre a Matemática. O aluno deveria ser estimulado a progredir de forma autônoma

na resolução dos problemas e assim poderia minimizar as dificuldades na resolução

de cada problema.

Também podemos notar outras dificuldades apresentadas pelos

educandos, que são as de armar e efetuar os cálculos das operações básicas,

sobretudo os que se relacionam à multiplicação e à divisão, que são problemas

usuais. Pesquisas realizadas por Chaquiam; Sá e Souza (2002, p.07) revelam que

na visão dos professores “o domínio das quatro operações está prioritariamente

interligada com a memorização de resultados (tabuada) e algoritmos (armar e

efetuar contas), simultaneamente [...]”.

as competências para o desenvolvimento de cálculos matemáticos são: Cálculo escrito (fazer os cálculos usando os algoritmos); Cálculo mental (fazer os cálculos usando estratégias que dispensem os algoritmos escritos); Estimativa (cálculo realizado sem compromisso com a precisão dos resultados); Calculadora (cálculo realizado com o auxílio da máquina de calcular). (BIGODE, 1998, p. 34 apud CHAQUIAM; SÁ e SOUZA, 2002, p.05)

Porém, tanto o cálculo mental, como o uso de tecnologias - calculadora e

computador, de acordo com as análises efetivadas não estão presentes na prática

escolar.

Estudos sobre os anos iniciais, como os de Carvalho (2009, 2010 apud

LIMA, 2013, p.01), “indicam que os conteúdos de multiplicação e divisão são

considerados pelos professores os mais complexos para trabalhar com os alunos

[...]”, pois os mesmos não atribuem significados aos algoritmos aplicados.

[...] o fraco desempenho dos alunos em problemas de divisão é fruto da limitação no estudo do campo multiplicativo, em que se enfatiza o campo dos números naturais [...], direcionando para a aprendizagem de

24

concepções equivocadas de que a “multiplicação sempre aumenta” e a “divisão sempre diminui”, assim como ensinar a multiplicação por meio da continuidade de raciocínio (uso do campo aditivo), isto é, da adição repetida ou da subtração sucessiva, para resolução de problemas que envolvem o campo multiplicativo. (CUNHA, 1997 apud LIMA, 2013, p.02)

Ainda para Cunha (1997 apud LIMA, 2013, p.02), “a utilização do

raciocínio do campo aditivo em situações-problema do campo multiplicativo fortalece

as continuidades do que já foi aprendido, impedindo que os alunos avancem em

termos conceituais”, ou seja, o discente resolve o problema por meio de lógicas, mas

não sabem identificar a operação correta a ser efetuada, não compreendendo o

sistema simbólico utilizado no contexto escolar, onde podemos observar os

obstáculos na construção dos conceitos de multiplicação e divisão ou do campo

conceitual multiplicativo.

Vergnaud (1990 apud CRUCIOL e SILVA, 2013, p.02) criou a Teoria dos

Campos Conceituais, que de acordo com o mesmo “as operações de multiplicação e

divisão compõem um único campo conceitual denominado campo conceitual

multiplicativo”, o qual veremos detalhadamente nos estudos sobre problemas

verbais.

Vale ressaltar que os problemas envolvendo as quatro operações

recebem várias denominações, dentre elas, a de problemas verbais, para Borasi

(1986 apud SÁ, 2003, p.18), tendo os seguintes detalhamentos: “contexto, todo

explicado no texto; formulação, única e explícita; solução, geralmente única e

exata; método de solução, combinação de algoritmos.” Doravante, essa mesma

denominação de Borasi adotaremos no desenvolvimento desta pesquisa e

utilizaremos também, outros referenciais como base.

2.2 O QUE SÃO PROBLEMAS ARITMÉTICOS E PROBLEMAS ALGÉBRICOS?

Existem distintas categorizações para resolução de problemas verbais. Sá

(2003) realizou uma ampla pesquisa sobre esses problemas, no qual, os divide em

dois grandes grupos: problemas aritméticos e problemas algébricos.

Conforme Sá (2003, p.68), podemos citar Filloy e Rojano (1989),

Linchevski e Hercovics (1996), Schmidt e Bednarz (1995), como estudiosos “[...] que

procuram determinar os fatores que tornam um problema mais ou menos difícil para

os discentes de diferentes níveis de escolaridade e outros que visam entender as

25

relações entre aritmética e álgebra e a sua respectiva transição”, pois não tem como

definir o conceito de problema aritmético ou algébrico isoladamente.

“A palavra Aritmética começa a ter seu atual significado no século XVI,

com a expansão do comércio europeu e a respectiva necessidade de formar

pessoas hábeis nas tarefas do comércio”. (EVES, 1995, p.299 apud SÁ, 2003, p.69).

Podemos defini-la como, os números e suas operações, porém, para Lins e

Gimenez (1996 apud SILVA, 2007), além disso, ela compreende:

[...] representações e significações diversas, pontos de referencias e núcleos, que ampliam a idéia simples do manipulativo (técnicas e algoritmos). Eles são importantes, mas precisam ser revestidos de significados que justifiquem o seu uso e torne esse uso adequado e racional. (p.02)

Diferentemente, a palavra Álgebra não tem um significado definido, ela é

uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr) que foi

usada no título de um tratado sobre equações do matemático de Bagdá Al-

Khowarizmi, por volta de 825 d.C., intitulado Hisab al-jabr w´al-muqabalah. Esse

título foi traduzido literalmente como ciência da restauração (ou reunião) e redução

(FERREIRA e NOGUEIRA, 2009 apud ROCHA, 2012), Ciência da Transposição e

da Oposição ou, mais livremente, como Ciência da Transposição e do

Cancelamento, que de acordo com Boher (s.d. apud ROCHA, 2012, p.17) “temos a

transposição de termos subtraídos para o outro membro da equação e o

cancelamento de termos semelhantes (iguais) em membros opostos da equação”. A

palavra al-jabr, na Europa, tornou-se Álgebra como sinônimo de ciência das

equações.

A álgebra é considerada uma generalização da aritmética, na qual esse

sistema permite que letras ou outros símbolos substituam os números, porém,

segundo Coxford (1995 apud ROCHA, 2012) ela tem um conceito mais amplo.

a arte de manipular somas, produtos e potências de números. As regras para essas manipulações valem para todos os números, de modo que as manipulações podem ser levadas a efeito com letras que representam os números. Revela-se então que as mesmas regras valem para diferentes espécies de números [...] e que as regras inclusive se aplicam a coisas [...] que de maneira nenhuma são números. (COXFORD, 1995, p.9 apud ROCHA, 2012, p.18).

26

Sá e Fossa (2008) ao avaliarem os problemas verbais em que após a

modelação da sentença, ou seja, a tradução dos dados para linguagem simbólica

eles realizam uma divisão em dois grupos: os problemas em que a

pergunta/incógnita está isolada em um dos membros da igualdade, essa, por sua

vez é utilizada para indicar o resultado da operação efetivada, isto é, ela representa

transformações ou resultados. E ao contrário desses, temos os problemas onde a

pergunta/incógnita não está isolada em um dos membros da igualdade, nesse caso,

a igualdade é utilizada para indicar a relação de equilíbrio exigida entre os dados.

Os dois tipos de problemas apresentam expressões que os definem como

problemas aritméticos ou algébricos, conforme exemplificado abaixo:

1º Grupo - Nos problemas que levam ao esquema a seguir, a operação a

ser efetuada é escolhida diretamente a partir do contexto do problema, por meio da

interpretação, ou seja, da transformação ocorrida com os dados, que está indicada

pelo enunciado do problema. E sua modelação resulta em uma expressão no qual o

valor desconhecido fica isolado no segundo membro da igualdade.

c + d = ?

c - d = ?

c ˣ d = ?

c ÷ d = ?

2º Grupo - Nos problemas que levam ao esquema a seguir, a escolha da

operação não é realizada diretamente a partir da conotação semântica, e sim, com

embasamento na propriedade da operação inversa. E sua modelação resulta em

uma expressão no qual o valor desconhecido não fica isolado. Sendo que, conforme

Nesher, Greeno, e Riley (1982 apud SÁ e FOSSA, 2008) os alunos têm mais

dificuldade nos problemas aditivos do 2º grupo – que usam uma operação, isso pode

deve-se:

[...] no fato de que esses problemas são apresentados, normalmente, após o ensino de cada uma das operações fundamentais e que essas são apresentadas com grande apelo ao seu significado semântico, não destacando as relações entre as operações (p.269).

27

? + c = d

? - c = d

c - ? = d

c ˣ ? = d

c ÷ ? = d

? ÷ c = d

A partir do exposto, podemos notar que há semelhanças entre esses dois

tipos de problemas, na medida em que ambos são modelados por sentenças

envolvendo incógnitas. E diferenças na modelagem dessas sentenças e em seu

processo de resolução.

Portanto, na resolução dos problemas do 1º tipo – de uma operação, os

quais a modelação é escolhida diretamente a partir do contexto/conotação

semântica do enunciado do problema, as propriedades aditivas e multiplicativas da

igualdade não são empregadas, diferente dos problemas do 2º tipo que essas

propriedades são utilizadas.

Nos problemas do 1º tipo, o isolamento da questão permite o simples registro do resultado (x=5) ou a iteração de registros (x=2+3=5). Nos problemas do 2º tipo, em contraste a operação inversa é usada para transpor valores de um lado da equação para o outro de tal forma a manter a validade da igualdade. Isto corresponde exatamente às raízes históricas da álgebra. (SÁ e FOSSA, 2003 apud BARBOSA e SANTOS, 2012, p.23)

Por conseguinte, Sá e Fossa (2008) apresentam as seguintes definições

em relação aos problemas aritméticos e algébricos:

DEFINIÇÃO 1: Problema Aritmético é aquele problema que, em sua

resolução operacional, não são usadas de maneira implícita ou explicita as

propriedades aditivas ou multiplicativas da igualdade.

Os problemas aritméticos se subdividem em simples e combinados.

DEFINIÇÃO 2: Os problemas aritméticos simples são aqueles que só

envolvem uma operação na sua resolução.

Exemplo: Marcos tinha 5 bolas de gude. Joana lhe deu 3 bolas. Com

quantas bolas de gude Marcos ficou naquele momento?

DEFINIÇÃO 3: Os problemas aritméticos combinados são aqueles

problemas aritméticos que envolvem duas ou mais operações ou a repetição de uma

28

mesma operação na sua resolução, porém o mesmo não será o enfoque da

pesquisa.

Exemplo: Um fazendeiro tinha 285 bois. Comprou mais 176 bois e depois

vendeu 85 deles. Quantos bois esse fazendeiro tem agora?

DEFINIÇÃO 4: Os problemas algébricos são aqueles problemas em que,

na sua resolução operacional, são utilizadas de maneira explícita ou implícita as

propriedades aditivas ou multiplicativas da igualdade. Eles são classificados da

seguinte forma: Imediato simples, Imediato combinado e Estruturado.

DEFINIÇÃO 5: Os problemas algébricos imediatos simples são aqueles

os quais, na sua resolução operacional, é usada apenas uma operação sem o uso

explícito de uma variável ou incógnita.

Exemplo: O preço de 12 canetas importadas é R$36,00. Quanto custa cada uma

dessas canetas?

DEFINIÇÃO 6: Os problemas algébricos imediatos combinados são

aqueles nos quais, na sua resolução operacional, são efetuadas mais de uma

operação sem o uso explícito de incógnita ou quando pode ser decomposto em

problemas aritméticos simples e problemas algébricos imediatos.

Exemplo: O preço de 12 canetas importadas é R$36,00. Quanto custa 07

dessas canetas?

DEFINIÇÃO 7: Os problemas algébricos estruturados são aqueles nos

quais, na sua resolução operacional, é necessário o uso de variáveis ou incógnitas,

para que fique explicita cada etapa da resolução.

Exemplo: Certo prêmio será distribuído entre três vendedores de modo

que o primeiro receberá R$ 325, 00; o segundo receberá R$ 60,00 menos que o

primeiro; o terceiro receberá R$ 250,00 menos que o primeiro e o segundo juntos.

Qual o valor total do prêmio repartindo entre os três vendedores?

No diagrama a seguir estão sistematizados os problemas envolvendo as

operações fundamentais da aritmética:

29

Diagrama 01: Tipos de Problemas das Quatro Operações

Fonte: Sá e Fossa (2008, p.272)

2.3 OS CAMPOS CONCEITUAIS E ALGUNS ESTUDOS SOBRE PROBLEMAS

VERBAIS - PROBLEMAS ENVOLVENDO AS QUATRO OPERAÇÕES COM OS

NÚMEROS NATURAIS

Fayol (1996 apud SÁ, 2003), menciona que Vergnaud (1982 apud SÁ,

2003) contribuiu consideravelmente para o entendimento dos problemas verbais, por

meio da teoria dos campos conceituais, supondo que o conhecimento conceitual tem

seu surgimento dentro das situações problemas. De acordo com esse autor, um

conceito deve ser visto como uma terna: o agrupamento de situações em que o

conceito está presente; o conjunto de invariantes que podem ser usados como

objetos de exame dessas situações e o conjunto de representações simbólicas que

podem ser usado para representar e indicar esses invariantes.

Segundo Magina, Merlini e Santos (2010), a teoria dos campos

conceituais pressupõe que os conceitos matemáticos descrevem seus sentidos,

30

sustentada em uma diversidade de situações e, usualmente, cada situação, não

pode ser analisada com o auxílio de apenas um conceito. E, não podemos nos

apropriar de um conceito a partir da experiência de uma única situação.

Para Vergnaud (1990, p.62 apud GONÇALVES, 2008, p.82) “Um campo

conceptual pode ser definido como um conjunto de situações, das quais o domínio

requer uma variedade de conceitos, procedimentos e representações simbólicas em

estreita conexão”. Ou seja, os discentes devem saber os significados matemáticos

das palavras: conceito de algarismo, número, antecessor, sucessor, adição,

subtração, transformação de tempo, relação de comparação e símbolos para

aprenderem em que situações podem aplicá-las.

Duval relaciona os aspectos semióticos encontrados nas representações matemáticas ao processo de ensino e aprendizagem da matemática, considerando que a utilização dessas representações está diretamente ligada ao processo de raciocínio, visualização e análise matemática, já que nesta ciência toda comunicação se dá por meio das representações. O estudo de linguagens matemáticas diversificadas, objeto de estudo das representações semióticas, deve ser vinculado ao currículo, buscando estimular a capacidade cognitiva do aluno. (ANDRADE FILHO, 2012, p.10)

Na Matemática é necessário dois campos conceituais devido esses,

serem a base de todos os outros conceitos matemáticos: o campo conceitual das

estruturas aditivas e o campo conceitual das estruturas multiplicativas. O campo

aditivo é descrito como um conjunto de situações que precisam em seu algoritmo da

operação de adição e/ou subtração. E o multiplicativo, como um conjunto de

situações que precisam da operação de multiplicação e/ou divisão. (VERGNAUD,

s.d. apud MAGINA; MERLINI e SANTOS, 2010).

Para que realmente o campo conceitual aditivo seja considerado como

saber para os alunos, é fundamental que as práticas de ensino sofram uma

modificação: do modelo do exercício, que oferece apenas a repetição de um mesmo

procedimento para a realização de cálculos; para o cenário e investigação

(SKOVSMOSE, 2008 apud ANDRADE; SOUZA e LUNA, 2010), no qual se

considera importante que os estudantes construam sentido para o que aprendem.

Com a finalidade de que isso ocorra, o docente pode propor diferentes ambientes a

fim de criar condições para a aprendizagem acontecer.

31

Nesse campo que envolve os problemas de adição e subtração, podemos

perceber os graus de dificuldades de acordo com cada categoria abaixo e entre elas,

propostas por Nesher; Greeno e Riley (1982 apud SÁ e FOSSA, 2008):

Combinação, aqueles que envolvem relações estáticas entre

quantidades, indagando sobre o todo ou sobre uma das parcelas.

Mudança, aqueles que detalham crescimento ou decrescimento de um

estado inicial, para produzir um estado final.

Comparação, aqueles que envolvem relações estáticas de

comparação entre quantidades.

Sá (2003) fez uma análise das dificuldades e das outras pesquisas que

discutem sobre problemas verbais, a saber, VERGNAUD (1983), BROWN (1981)

NESHER (1991), SCHWARTZ (1991), entre outros, a fim de responder, entre outras

questões, “por que alguns tipos de problemas, dentro da mesma categoria nos

campos conceituais, são mais difíceis que outros?” (SÁ, 2003, p.15, grifo do

autor). Propondo a definição de álgebra e aritmética mencionados na subseção

anterior.

Em relação ao campo multiplicativo, consoante Moreira (2002 apud

CRUCIOL e SILVA, 2013):

segundo a teoria dos campos conceituais “o conhecimento está organizado em campos conceituais que o indivíduo aprende ao longo da vida”. Assim, a teoria proporciona uma estrutura e um conjunto de princípios que orientam o estudo do desenvolvimento da aprendizagem de conhecimentos complexos, como é o caso dos conceitos matemáticos de multiplicação e divisão. (p.5)

Nessa perspectiva exposta, Vergnaud (2003 apud CRUCIOL e SILVA,

2013, p.5) diz que “as operações de multiplicação e divisão compõem um mesmo

conceitual e são definidas por um conjunto de situações cujo tratamento implica em

esquemas, conceitos e teoremas que estão conectados entre si”.

Porém, para amenizar essa complexidade, a Matemática admite a

representação de seus objetos das mais variadas formas, sendo que a escolha

adequada do sistema de representação pode auxiliar a construção do conhecimento

pelo aluno. Isso de se trabalhar um mesmo conteúdo com distintas representações é

abordada pela Semiótica, como já mencionado anteriormente.

32

[...] a utilização de diferentes registros de representações semióticas é uma maneira didática/metodológica que o professor pode usar quando ele busca a conceitualização, a aquisição de conhecimento. [...] Para isso, é necessário que o professor tenha claro o objeto matemático a ser ensinado: isso lhe possibilitará definir quais os registros de representação semiótica que possibilitarão a construção do mesmo. (DAMM, 2008 apud ANDRADE FILHO, 2012, p.10).

Segundo Damm (2008 apud ANDRADE FILHO, 2012, p.10), “a noção de

representação semiótica surgiu com um problema de modelização da linguagem”,

modelo esse que o discente faz ao representar a situação-problema dos problemas

verbais de forma aritmética ou algébrica.

Com referência aos problemas verbais diversas pesquisas foram

realizadas por teóricos, como as de: Sá (2003), Correia (2013), Santos e Souza

(1997 apud PINHEIRO e SÁ, 2002), Sá e Jucá (2006), Conceição e Silva Junior

(2011 apud SÁ, 2003), entre outros, os quais serão citados no decorrer da pesquisa.

Problemas não verbais são problemas que incluem apenas notações e fórmulas matemáticas e algumas frases matemáticas como «Resolve a equação». Em conformidade, por problemas verbais entendem-se problemas que contêm palavras que constituem termos matemáticos e que precisam de ser interpretadas matematicamente. (TOOM, 2010 apud CORREIA, 2013, p.30)

Situações de problemas verbais, onde exige dos estudantes o

envolvimento de várias operações cognitivas têm seu foco principalmente na

assimilação do enunciado, sendo que se essa etapa falhar, as outras ficam

gravemente comprometidas; nos métodos de resolução, “exigindo a construção de

dois tipos de representação (a construção do modelo da situação e o esquema do

problema) e convocam para a sua resolução quer o conhecimento conceptual, quer

o conhecimento processual”. (CORREIA, 2013, p.35)

A resolução de problemas verbais abrange uma relação limitada entre o

sujeito e o enunciado do problema, admitindo um papel de tarefa complexa, na qual

é necessário desenvolver transformações, não somente no plano material externo,

como também no aspecto mental interno.

Para se adequar ao primeiro ciclo de escolarização dos anos iniciais, em

que os discentes apresentam normalmente a faixa etária até 10 anos, Charles &

Lester (1984 apud CORREIA, 2013, p.36), citados em Borralho (1995), classificaram

33

os problemas referidos em três tipos: “problemas verbais de cálculo, problemas

verbais de processo e problemas verbais abertos”.

Os problemas verbais de cálculo requerem a tomada de decisão quanto à(s) operação(ões) a aplicar face aos dados apresentados no enunciado. Os alunos leem o problema, avaliam os dados do enunciado e o que é pedido na questão e, finalmente, efetuam uma ou mais operações que considerem apropriadas (Boavida et al., 2008 apud CORREIA, 2013, p.36). Neste âmbito, podem identificar-se problemas de um passo, i.e., problemas que podem ser resolvidos pela aplicação direta de algoritmos de uma das quatro operações fundamentais e problemas de dois ou mais passos, ou seja, problemas que requerem para a sua resolução duas ou mais das quatro operações aritméticas fundamentais. (CORREIA, 2013, p.36, grifos do autor)

Os problemas verbais de processo que são resolvidos não somente

pela seleção da(s) operação(ões) apropriada(s). Eles estão, normalmente,

introduzidos em contextos mais complexos e exigem um esforço maior para

compreender quais os procedimentos mais adequados para se chegar à resolução

(Boavida et al., 2008 apud CORREIA, 2013). Nessa categoria há apenas um

resultado possível.

A resolução adequada dos problemas verbais de processo reside, muitas vezes, na capacidade de compreender e identificar a estrutura matemática do problema. Neste tipo de problemas, pode haver ausência de informação que oriente as estratégias a desenvolver ou podem ser dadas indicações concretas sobre o resultado pretendido. (p.38)

Os problemas verbais abertos (ou de investigação) são aqueles que

têm mais de uma resposta correta e, como consequência, os alunos podem usar

várias estratégias para se chegar ao resultado final. A resolução desse tipo de

problemas leva à realização de explorações para descobrir regularidades e formular

pressupostos, recorrendo ao desenvolvimento do raciocínio, do espírito crítico e da

capacidade de reflexão. (CORREIA, 2013)

Santos e Souza (1997 apud PINHEIRO e SÁ, 2002) executaram uma

pesquisa diagnóstica sobre a aptidão de resolver problemas verbais envolvendo

mais de uma operação, realizada nas escolas públicas de Belém do Pará, obtendo

assim resultados não muito satisfatórios, os quais levaram os mesmo a procurarem

alternativas metodológicas, como os jogos, para alcançarem um bom rendimento

34

dos educandos. A partir disso Branelli (1996 apud PINHEIRO e SÁ, 2002) afirma

que intervir no processo de ensino-aprendizagem por meio de jogos, faz com que o

sujeito possa constatar os erros e lacunas da sua estratégia, criando assim, outras

táticas, sendo que o professor deve traçar um objetivo ao utilizar essa metodologia,

o que já expomos na primeira subseção.

A pesquisa de Almeida (2011 apud BARBOSA e SANTOS, 2012),

também possui as mesmas características deste trabalho, objetivou avaliar a

competência de 44 alunos da 5ª série de duas escolas diferentes, com idade entre 9

e 16 anos, todos frequentadores de escolas públicas, residentes do município de

Salvaterra, na resolução de problemas envolvendo as quatro operações

fundamentais. Os resultados obtidos foram um desempenho abaixo da expectativa,

sendo assim, eles não conseguem interpretar e resolver problemas aritméticos e

algébricos referente às questões que envolviam as quatro operações, porém nas

questões das operações multiplicação e divisão os discentes tiveram um

desempenho regular, enquanto que nas questões da adição e subtração o resultado

foi satisfatório.

Sá e Jucá (2006) apresentaram uma metodologia de ensino diferenciada,

com a finalidade de analisar o desempenho dos alunos na resolução de problemas

envolvendo as quatro operações com os números naturais sem o uso dos algoritmos

das quatro operações fundamentais da aritmética. A aplicação ocorreu no 6º ano de

uma escola localizada no Distrito de Icoaraci, em Belém do Pará, obtendo como

resultado uma melhora expressiva na resolução de problemas que envolvem apenas

uma operação; sendo que a quantidade de questões em branco, tanto de uma ou

mais de uma operação, diminuiu bastante; aumentou o número de erros em algumas

questões, principalmente nas questões que envolviam mais de uma operação.

Outro trabalho que também podemos citar foi o realizado por Conceição e

Silva Junior (2011 apud BARBOSA e SANTOS, 2012) que tinha a finalidade de

avaliar o processo de ensino dos problemas verbais, a fim de instigar a habilidade de

transpor enunciados em linguagem matemática por meio de jogos propostos por

atividade. O mesmo deu-se com 15 alunos do 5º ano de uma escola pública do

município de Salvaterra. A intervenção ocorreu através de jogos de cartas que

consiste na leitura e tradução de problemas matemáticos. O resultado da aplicação

de um jogo de cartas apontou que em 75% das questões os acertos se

sobressaiam. E também, com relação aos problemas aritméticos em escala segue

35

os seguintes parâmetros: insatisfatório, baixo, regular, bom e excelente, obteve-se

um percentual de 34% bom. Porém, nos algébricos têm-se um percentual de 67%

insatisfatório.

Face ao exposto, a metodologia desenvolvida também irá basear-se nos

trabalhos exibidos acima.

3 PERCURSO METODOLÓGICO

O objetivo desta seção é apresentar as etapas metodológicas da

pesquisa.

3.1 METODOLOGIA

No começo do ano de 2013 iniciamos as etapas metodológicas desta

pesquisa realizando o levantamento de literaturas sobre o ensino de problemas

envolvendo as quatro operações com números naturais, com o objetivo de obter

informações baseadas em estudos científicos a respeito do mesmo, para isso, foi

tomada como ponto de partida a tese de Sá (2003). E, paralelo a isso reunimos

problemas encontrados em trabalhos envolvendo esses tipos de questões que nos

serviram como base para essa pesquisa, e também, questões de livros didáticos do

6º ano, sendo que algumas foram adaptadas. No mês de julho categorizamos as

questões encontradas conforme a proposta de Sá (2003), em problemas aritméticos

e algébricos, logo após, produziu-se os testes geral, aditivos e multiplicativos de uma

operação, por fim, o jogo de cartas com o objetivo de verificar o efeito da utilização

do mesmo no desenvolvimento da habilidade de resolver os tipos de problemas

mencionados, de acordo com as colocações de Pinheiro e Sá (2002).

Devido à greve dos professores, somente podemos iniciar a aplicação do

experimento no final de novembro e encerramos quase em meados do mês de

dezembro, o que nos deu pouco tempo, impedindo-nos de realizar atividades de

fixação e revisão. Então, a mesma ocorreu em três encontros, dois dias com

duração de 135 minutos e um com 90 minutos, em uma turma do 6º ano de uma

escola pública estadual localizada em Belém do Pará, contando com a participação

de 32 alunos que se disponibilizaram a ser nossa fonte de pesquisa. E desenvolveu-

se por meio de quatro etapas, aplicação do pré-teste geral com as quatro operações,

36

construção da atividade baseada nas dificuldades dos estudantes que foram

observadas quando os mesmos resolviam o pré-teste geral, aplicação da atividade,

aplicação do pós-teste aditivo e multiplicativo que eram compostos pelas mesmas

questões, em sua maioria. Essas etapas serão detalhadas abaixo:

1ª etapa - pré-teste geral: nesta, houve a aplicação de um questionário

composto de perguntas referentes aos dados socioeconômicos dos alunos, por

exemplo: idade, sexo, escolaridade dos responsáveis, dificuldades em aprender

matemática, metodologia utilizada por seu (sua) professor (a), entre outros

questionamentos. As questões socioeconômicas (ver apêndice A) tiveram o objetivo

de auxiliar a construção do perfil dos alunos, associadas a um pré-teste geral com

os problemas verbais - problemas envolvendo as quatro operações com os números

naturais, com o intuito de avaliarmos o conhecimento prévio dos alunos acerca do

assunto em estudo, o qual foi disposto das seguintes questões:

1ª – Lourdes tinha alguns brincos. Deu 5 para Isabel. Agora Lourdes tem

3 brincos. Quantos brincos Lourdes possuía?

2ª – Em um cinema, há 18 fileiras com 19 cadeiras cada. Não sendo

permitido assistir filme em pé, quantas pessoas são necessárias para lotar o

cinema?

3ª – Marcos tinha 5 bolas de gude. Joana lhe deu 3 bolas. Com quantas

bolas de gude Marcos ficou naquele momento?

4ª – O preço de 12 canetas importadas é R$36,00. Quanto custa cada

uma dessas canetas?

5ª – Luís tinha 3 bolas. Meire lhe deu algumas. Agora Luís tem 18 bolas.

Quantas bolas Meire deu para Luís?

6ª – Tenho 120 bombons para distribuir em pacotes com 20 bombons

cada. Quantos pacotes de bombons conseguirei fazer?

7ª - Anderson tinha R$ 13,00. Emprestou R$ 6,00 para Márcia. Quanto

Anderson tem agora?

8ª – A quarta parte de um número vale 8. Qual é esse número?

9ª – Erick tem 3 carrinhos. Ganhou 11 carrinhos de seu irmão mais velho.

Quantos carrinhos Erick têm agora?

10ª - Se há três caminhos da cidade A para cidade B e 4 caminhos da

cidade B para cidade C, quantas maneiras diferentes há para se ir de A para C

passando B?

37

11ª – Rafael tinha 8 bolas. Deu 5 bolas a Leandro. Com quantas bolas

Rafael ficou?

12ª – O dobro de um número é igual a 192. Qual é esse número?

13ª – Iran tem 8 livros. Ele tem 5 livros a mais que Carlos. Quantos livros

têm Carlos?

14ª – Comprei uma bicicleta e vou pagá-la em 5 prestações iguais, ao

final das parcelas, terei pago um total de R$ 295,00 pela bicicleta. Qual foi o valor

das prestações por mês?

15ª – Marcela recebeu uma encomenda de 972 ovos de chocolate. Já

fabricou 413. Quantos ovos ela precisa fabricar para completar essa encomenda?

16ª – Uma doceira gasta 4 ovos em cada bolo. Ela faz 30 bolos. Quantos

ovos possui em seu depósito?

17ª – Uma pessoa nasceu em 1951 e faleceu em 1997. Quantos anos

essa pessoa viveu?

18ª – Se o preço de uma caneta é R$ 8,00. Quanto custa 15 dessas

canetas?

19ª - Joaquim tem 283 figurinhas de coleção e resolve dar 97 dessas

figurinhas para seu irmão. Quantas figurinhas Joaquim passou a ter?

20ª – Um barco se move 14 metros em 2 segundos. Quantos metros ele

percorreu por segundo em média?

2ª etapa – construção da atividade: como citado anteriormente usou-se

como referência os resultados da revisão da literatura e as análises dos resultados

do diagnóstico inicial para elaboração da atividade, a mesma foi um jogo

denominado de Pif-Paf das quatro operações (ver apêndice E) que se constituía de

60 cartas com problemas distribuídas em: 20 cartas com o enunciado, 20 cartas

sentença e 20 cartas resposta, sendo que cada um era dividido em 10 cartas com

modelos aritméticos e 10 algébricos.

3ª etapa – aplicação da atividade: nesta etapa da pesquisa foi proposta

a aplicação do jogo intitulado Pif-Paf, cujo objetivo consistiu em exercitar a tradução

dos dados para a linguagem simbólica e a resolução de questões das quatro

operações fundamentais da matemática, associando uma carta problema, a uma

carta contendo a expressão traduzida e uma carta resposta.

4ª etapa – pós-teste aditivo e multiplicativo: antes de aplicar os pós-

testes explicou-se aos alunos por meio de exemplos da atividade realizada (jogo de

38

cartas), o modelo de resolução de questões aritméticas e algébricas, para, por fim,

aplicar um pós-teste aditivo composto somente por questões das operações de

adição e subtração; e um pós-teste multiplicativo composto somente por questões

das operações de multiplicação e divisão, as mesmas utilizadas no pré-teste geral,

dentre as quais eram divididas em problemas aritméticos e problemas algébricos,

tendo em vista uma comparação entre os dados inicialmente encontrados antes de

qualquer intervenção e os dados coletados após todas as intervenções. Ressaltando

que os pós-testes foram aplicados no mesmo dia devido à falta de tempo, já que os

discentes tinham que retomar as suas atividades escolares normais, para poder

conclui o ano letivo que foi comprometido com a greve.

Os problemas aditivos e multiplicativos estão descritos a seguir:

Questões do pós-teste aditivo:

1ª – Lourdes tinha alguns brincos. Deu 5 para Isabel. Agora Lourdes tem

3 brincos. Quantos brincos Lourdes possuía?

2ª - Marcos tinha 5 bolas de gude. Joana lhe deu 3 bolas. Com quantas


3ª – Luís tinha 3 bolas. Meire lhe deu algumas. Agora Luís tem 18 bolas.


4ª - Anderson tinha R$ 13,00. Emprestou R$ 6,00 para Márcia. Quanto

Anderson tem agora?

5ª - Iran tem 8 livros. Ele tem 5 livros a mais que Carlos. Quantos livros

têm Carlos?

6ª – Erick tem 3 carrinhos. Ganhou 11 carrinhos de seu irmão mais velho.


7ª - Rafael tinha 8 bolas. Deu 5 bolas a Leandro. Com quantas bolas

Rafael ficou?

8ª – Mário tinha 7 moedas. Ele deu algumas de suas moedas para Kátia.

Agora ele tem 4 moedas. Quantas moedas ele deu para Kátia?

9ª - Uma pessoa nasceu em 1962 e faleceu em 1999. Quantos anos essa

pessoa viveu?

10ª - Renan tem 9 bolas. Bianca tem 6 bolas. Quantas bolas Renan têm a

mais que Bianca?

39

Questões do pós-teste multiplicativo:

1ª – Em um cinema, há 18 fileiras com 19 cadeiras cada. Não sendo

permitido assistir filme em pé. Qual o número máximo de pessoas que pode assistir

a um filme neste cinema em cada sessão?

2ª - O preço de 12 canetas importadas é R$36,00. Quanto custa cada

uma dessas canetas?

3ª – Tenho 120 bombons para distribuir em pacotes com 20 bombons

cada. Quantos pacotes de bombons conseguirei fazer?

4ª - A quarta parte de um número vale 8. Qual é esse número?

5ª – Se há três caminhos da cidade A para cidade B e 4 caminhos da


passando B?

6ª - O dobro de um número é igual a 192. Qual é esse número?

7ª - Comprei uma bicicleta e vou pagá-la em 5 prestações iguais, ao final

das parcelas, terei pago um total de R$ 295,00 pela bicicleta. Qual foi o valor das

prestações por mês?

8ª - Uma doceira gasta 4 ovos em cada bolo. Ela faz 30 bolos. Quantos


9ª – Se o preço de uma caneta é R$ 7,00. Quanto custa 12 dessas

canetas?

10ª - Um barco se move 12 metros em 3 segundos. Quantos metros ele


4 EXPERIMENTO

Nos primeiros contatos com a professora da turma do 6º ano que foi alvo

de nossa pesquisa, recebemos as seguintes informações sobre os alunos: apenas

um aluno fazia dependência, havia alguns que eram desinteressados na turma, a

maioria tinha um raciocínio rápido e todos respeitavam a professora. Diante dessa

realidade, começamos o experimento em uma turma contendo 32 (trinta e dois)

alunos.

40

4.1 DESCRIÇÃO DO EXPERIMENTO

1º dia de experimento: ocorreu no dia 27/11/2013

O experimento teve seu início em uma conversa realizada com os trinta e

dois alunos presentes, a mesma versou a respeito das atividades que seriam

desenvolvidas com eles.

Ao propor o questionário socioeconômico, os discentes mostraram-se

interessados em respondê-los, porém, alguns não sabiam responder certas

perguntas, como: a profissão de seus responsáveis, a metodologia de ensino da

professora, entre outros. Com relação ao pré-teste geral, os discentes se mostraram

agitados (três em especial mostraram o desinteresse conversando em quase toda a

atividade, mas a fizeram) e perguntavam se era prova e valia ponto, então houve a

necessidade de explicar que o teste era apenas para saber quais questões eles

sabiam resolver e que a professora decidiria se valeria ponto ou não como

complemento da prova da instituição.

Alguns educandos tinham muita dificuldade em ler e interpretar as

questões, não sabendo o significado de algumas palavras, como: “quarta parte”,

“dobro”, “triplo”, “prestações”, “sentença” (quando falei para eles mostrarem a

sentença – registro da questão - no papel). Ressaltamos que durante a aplicação

dessa atividade não houve intervenção, apesar dos alunos fazerem perguntas do

tipo: “como se resolve essa questão?”, “É de mais ou de menos?”, “É de

multiplicação ou divisão?”, “Como se divide isso?”, “Quanto é essa

multiplicação?”, “Adição é de vezes?”, mantive uma postura de espectadora,

observando o comportamento dos discentes e relembrando-os que não poderia

ajudá-los.

2ª dia de experimento: ocorreu no dia 10/12/2013

Essa atividade ocorreu com um espaçamento de tempo em relação a

primeira, maior, porque no dia 03/12/2013 a professora não pôde estar presente por

motivo de viagem, então os discentes tiveram aula de outra disciplina. Ao dar

prosseguimento, expliquei aos alunos que seria desenvolvido o jogo Pif-Paf das

quatro operações e as regras do mesmo, o material utilizado foi: folha de papel,

caneta ou lápis e 60 cartas do baralho com problemas verbais distribuídas em 20

cartas problemas, 20 cartas sentença e 20 cartas resposta.

Participantes: de 03 a 08

41

Regras do jogo:

As cartas são embaralhadas e distribuídas 9 (nove) para cada jogador,

uma a uma;

As cartas não usadas na distribuição serão colocadas sobre a mesa

com a face virada para baixo e constituirão o monte de compras;

O jogo inicia pelo jogador à esquerda de quem distribuiu as cartas;

Na sua vez o jogador compra uma carta, verifica se ela forma uma

trinca e descarta a que não servir;

Uma trinca é formada por uma carta com o enunciado, uma carta

sentença e uma carta resposta;

Ganha jogo quem primeiro formar 03 trincas.

A turma foi organizada em quatro grupos, cada um, com oito alunos,

durante o desenvolvimento dessa atividade foi preciso explicar mais de uma vez

para os alunos o que era para fazer, apesar de que o Pif-Paf é um jogo do cotidiano

e alguns falarem que já jogaram, porém, quando eles realmente foram para a

prática, conseguiram entender a atividade, havia dois grupos que estavam

entusiasmados, pois, os membros do mesmo conseguiam formar as trincas,

contrário dos outros dois que apenas depois de certo tempo, e ao ver que seus

outros colegas de classe formavam as trincas, prestaram mais atenção no jogo e

começaram a executá-la de forma adequada.

Observamos as diversas estratégias que os alunos montavam para jogar,

muitos em um primeiro momento apenas associavam os dados numéricos dos

enunciados com os dados numérico da sentença, no entanto em algumas questões

esta associação não poderia acontecer, pelo fato do enunciado conter dados a mais,

fazendo com que os mesmos reavaliassem a estratégia de jogo, o que levou os

alunos a criarem novas estratégias para jogarem, passando a fazerem o registro da

resolução das questões no papel.

O jogo em questão pode auxiliar o desenvolvimento do raciocínio lógico

dos discentes, onde ele traça uma estratégia que melhor lhe ajudará a formar as

trincas de cartas, mas ainda permite a interação entre os alunos uma vez que são

eles que verificam quando a trinca formada está correta, somente em caso de

dúvida, como no início da atividade, que era chamada com frequência, contudo, aos

poucos eles ganharam mais autonomia.

42

Para aumentar o nível de dificuldade do jogo e da interação entre eles, foi

pedido que os membros de cada grupo se unissem, com a finalidade de

encontrarem todas as trincas formadas pelas cartas, nesse processo, um aluno

auxiliava o outro.

3ª dia de experimento: ocorreu no dia 11/12/2013

A professora informou aos alunos que os pós-testes valeriam parte da

avaliação deles. Porém os estudantes já estavam cansados e não queriam mais

realizar a atividade, foi preciso insistir para que alguns fizessem e o fizeram

desmotivados.

Então, para finalizar os experimentos, iniciamos com a aplicação do pós-

teste aditivo, composto pelas mesmas questões aditivas do pré-teste geral. Quando

os alunos concluíram esse pós-teste, lhes foi entregue o pós-teste multiplicativo que

tinham as mesmas também tinham as mesmas questões multiplicativas do pré-teste

geral. Ambos eram iguais em relação ao pré-teste para que pudéssemos compará-

los, a fim de analisar o desempenho dos alunos nas aplicações de nossas

atividades.

Ressaltamos que os testes foram aplicados no mesmo dia, em uma aula

de 135 minutos, porque a docente dos alunos tinha que dar continuidade na matéria,

já que na outra semana iniciarão as provas.

Ao final do experimento, obtivemos muitas informações para serem

tabuladas, analisadas e comparadas com resultados de outras pesquisas que

serviram de suporte para o desenvolvimento da pesquisa em questão.

5 SISTEMATIZAÇÃO E ANÁLISE

Esta seção traz a sistematização das informações produzidas no

diagnóstico final em tabelas, quadros e gráficos. E, análise dos dados obtidos nos

pré e pós-testes da pesquisa, os critérios para a mesma foram estabelecidos com

base em Sá (2003), Jucá e Sá (2006) e Santos e Souza (1997 apud Sá, 2003). A

pesquisa realizou-se com o universo de 32 alunos, sendo que todos os discentes

analisados cursavam a 5ª série ou 6º ano de uma escola pública localizada no

município de Belém do Pará.

43

5.1 SISTEMATIZAÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS SOCIOECONÔMICOS:

Os alunos entrevistados eram compostos de 46,88% do sexo feminino e

53,12% do sexo masculino. E a partir disso obtemos os dados abaixo do

questionário socioeconômico, os quais, os resultados do mesmo são importantes

para entender o pós-teste da pesquisa.

Quadro 1: Faixa etária

Faixa etária Valor Absoluto Percentual de Alunos (%)

10 2 6,25

11 19 59,38

12 11 34,37

Total 32 100

Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.

Podemos visualizar os dados do quadro 1 no gráfico abaixo:

Gráfico 1: Faixa etária dos alunos


O gráfico nos informa que os alunos pesquisados têm idade variante entre

10 e 12 anos, entre eles, destacamos que o maior percentual está na faixa etária de

11 anos e 12 anos, com 59,38 % e 34,37%, respectivamente. E o menor percentual

de idade é de 6,25%, que corresponde a 10 anos.

Esse fato é considerado comum para a série em que se encontram, pois,

de acordo com Brasil (2013):

Artigo 6° - Para o ingresso no 1° ano do Ensino Fundamental, a criança deverá ter 6 (seis) anos de idade completos até o dia 31 de março do ano em que ocorrer a matrícula, conforme dita a Resolução 01/2010 do Conselho Nacional de Educação/Câmara Nacional de Educação Básica. (p.2)

6,25

59,38

34,37

0 20 40 60 80 100

10 anos

11 anos

12 anos

Porcentagem

Faixa Etária

44

Portanto, cumprindo esse artigo, ao ingressar no 6º ano, o aluno deverá

está entre 11 e 12 anos de idade, sendo que poucos alunos são repetentes ou

fazem dependência, em outras palavras, cursam o 6º e 7º ano ao mesmo tempo.

Os dados abaixo mostram o tipo de escola que os discentes estudaram

no 5º ano:

Quadro 2: Escola em que Estudou o 5º ano

Tipo de Escola Valor Absoluto Percentual de Alunos (%)

Estadual 25 78,13

Municipal 4 12,50

Particular 1 3,13

Outro 1 3,13

Em Branco 1 3,13

Total 32 100


Gráfico 2: Escola em que Estudou o 5º ano


Os dados do gráfico 2 mostram que 78,13% e 12,5% dos discentes, ou

seja, a maioria, estudou a série anterior a que se encontram, em escola pública,

estadual e municipal respectivamente, isso pode ser devido eles possuírem um

baixo poder aquisitivo. Às vezes, os alunos que estudam nesses tipos de escola

podem de certa forma se prejudicar em seus estudos devido às várias greves

realizadas pelos professores.

As informações apresentadas a seguir são referentes à repetência ou

dependentes do 6º ano:

78,13

12,5

3,13

3,13

3,13

0 20 40 60 80 100

Estadual

Municipal

Particular

Outro

Em Branco

Porcentagem

Tipo de Escola

45

Quadro 3: Dependente ou Repetente

Dependente ou Repetente

Valor Absoluto

Percentual de Alunos (%)

Sim

2

6,25

Não

29

90,62

Em Branco

1

3,13

Total

32

100


Segue abaixo o gráfico do quadro 3:

Gráfico 3: Dependente ou Repetente


Analisando o gráfico 3, observamos que 90,62% dos discentes não são

repetentes ou fazem dependência, mostrando que talvez possa não ter havido muita

dificuldade de aprendizagem na série em questão para os alunos que atualmente

estão no 7º ano. E apenas 6,25% fazem dependência ou são repetentes, o que pode

nos revelar a limitações na aprendizagem desses, aliada a uma série de fatores que

podem ser: familiares, culturais, estruturais e até mesmo emocionais.

As informações apresentadas a seguir se relacionam com o hábito dos

alunos de lidar com dinheiro.

6,25

90,62

3,13

0 20 40 60 80 100

Sim

Não

Em Branco

Porcentagem

Dependente ou Repetente

46

Quadro 4: Costuma Fazer Compras

Costuma Fazer Compras Valor Absoluto Percentual de Alunos (%)

Sim

9

28,12

Não

0

0,00

Às Vezes

22

68,75

Em Branco

1

3,13

Total

32

100


Os dados apresentados no quadro 4 estão descritos no gráfico a seguir:

Gráfico 4: Costuma Fazer Compras


Ao observamos o gráfico 4 notamos que dos discentes analisados

68,75% às vezes têm hábito de fazer compras, 28,12% sim e somente 3,13% não

responderam. Esse hábito serve para que eles relacionem a matemática com o

cotidiano.

Observaremos adiante os dados acerca da escolaridade dos

responsáveis masculino e feminino dos estudantes:

28,12

0

68,75

3,13

0 20 40 60 80 100

Sim

Não

Às Vezes

Em Branco

Porcentagem

Costuma Fazer Compras

47

Quadro 5: Escolaridade do responsável masculino

Grau de Escolaridade Valor Absoluto Percentual (%)

Não estudou 2 6,25

Ainda está estudando 2 6,25

Ensino Fundamental Menor completo (1ª a 4ª série) 3 9,38

Ensino Fundamental Maior completo (5ª a 8ª série) 2 6,25

Ensino Fundamental Incompleto (1ª a 8ª série) 2 6,25

Ensino Médio Completo 6 18,74

Ensino Médio Incompleto 3 9,38

Curso Superior Completo 2 6,25

Curso Superior Incompleto 2 6,25

Em Branco 8 25,00

Total 32 100 Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.

Gráfico 5: Escolaridade do responsável masculino


Por meio do gráfico 5, podemos perceber que 25% dos estudantes não

sabem informar o nível de escolaridade dos responsáveis masculinos, e que a

maioria dos responsáveis têm o ensino médio completo, com 18,74%, seguido do

ensino fundamental menor completo (1ª a 4ª série) e do ensino médio incompleto,

com 9,38%.

6,25

6,25

9,38

6,25

6,25

18,74

9,38

6,25

6,25

25

0 20 40 60 80 100

Não estudou

Ainda está estudando

Ensino Fundamental Menor completo…

Ensino Fundamental Maior completo…

Ensino Fundamental Incompleto (1ª a…

Ensino Médio completo

Ensino Médio Incompleto

Curso Superior Completo

Curso Superior Incompleto

Em Branco

Porcentagem

Grau de Escolaridade

48

Quadro 6: Escolaridade do responsável feminino

Grau de Escolaridade Valor Absoluto Percentual (%)

Não estudou 2 6,25

Ainda está estudando 1 3,13

Ensino Fundamental Menor completo (1ª a 4ª série) 1 3,13

Ensino Fundamental Maior completo (5ª a 8ª série) 3 9,38

Ensino Fundamental Incompleto (1ª a 8ª série) 5 15,62

Ensino Médio Completo 5 15,62

Ensino Médio Incompleto 3 9,38

Curso Superior Completo 4 12,49

Curso Superior Incompleto 0 0,00

Em Branco 8 25,00

Total 32 100 Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.

O próximo gráfico ilustra o quadro 6:

Gráfico 6: Escolaridade do responsável feminino


Analisando o gráfico 6 notamos que também 25% dos participantes da

pesquisa não sabem o grau de escolaridade do responsável feminino, entre essas

responsáveis, o maior percentual delas têm o ensino médio completo e o ensino

fundamental incompleto (1ª a 8ª série), com 15,62%. E destacamos que 12,49% têm

o ensino superior completo.

6,25

3,13

3,13

9,38

15,62

15,62

9,38

12,49

0

25

0 20 40 60 80 100

Não estudou

Ainda está estudando

Ensino Fundamental Menor completo…

Ensino Fundamental Maior completo…

Ensino Fundamental Incompleto (1ª a…

Ensino Médio completo

Ensino Médio Incompleto

Curso Superior Completo

Curso Superior Incompleto

Em Branco

Porcentagem

Grau de Escolaridade

49

Analisaremos agora os dados sobre a ocupação dos responsáveis, o

quadro abaixo apresenta a profissão dos responsáveis masculinos:

Quadro 7: Profissão do responsável masculino

Profissão Percentual (%)

Não Trabalha 9,38

Vigilante 15,63

Pedreiro 9,38

Porteiro 6,25

Outros 43,74

Em Branco 15,63 Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.

O quadro 7 está representado pelo gráfico a seguir:

Gráfico 7: Profissão do responsável masculino


O gráfico 7 indica que entre as profissões pesquisadas o maior percentual

encontrado está em outros (mecânico, pintor, comerciante, instrutor de auto escola)

com 43,74%, seguida de vigilantes com 15,63%, e esse mesmo percentual para os

9,38

15,63

9,38

6,25

43,74

15,63

0 20 40 60 80 100

Não Trabalha

Vigilante

Pedreiro

Porteiro

Outros

Em Branco

Porcentagem

Profissão

50

alunos que não souberam responder. Juntando todas essas categorias resultam na

metade dos homens analisados.

Quanto aos responsáveis femininos, temos os dados a seguir:

Quadro 8: Profissão do responsável feminino

Profissão

Percentual (%)

Dona de casa 46,87

Doméstica 9,38

Professora 6,25

Vendedora 9,38

Outros 21,87


Gráfico 8: Profissão do responsável feminino


Ao observamos as informações desse gráfico 8 , notamos que a maioria

dos responsáveis femininos é dona de casa, com o percentual correspondente a

46,87% e 21,87% trabalham em outras profissões, como: faxineira, fiscal de loja,

manicure, cozinheira, entre outros. Totalizado 68,74% dos responsáveis.

Os próximos dados apresentados referem-se à dificuldade que os

discentes têm em aprender matemática.

46,87

9,38

6,25

9,38

21,87

6,25

0 20 40 60 80 100

Dona de casa

Doméstica

Professora

Vendedora

Outros

Em Branco

Porcentagem

Profissão

51

18,74

78,13

3,13

0 20 40 60 80 100

Não

Um Pouco

Muito

Porcentagem

Dificuldades em Matemática

Quadro 9: Dificuldades em Aprender Matemática

Dificuldades em Matemática Percentual (%)

Não 18,74

Um Pouco 78,13

Muito 3,13

Total 100 Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.


Gráfico 9: Dificuldades em Aprender Matemática


O gráfico 9 nos mostra que mais da metade dos estudantes,

precisamente, 78,13% afirmam ter um pouco de dificuldade na disciplina e que

3,13% apresentam muita dificuldade.

Para os alunos, a principal razão do insucesso na disciplina de Matemática resulta desta ser extremamente difícil de compreender. No seu entender, os professores não a explicam muito bem nem a tornam interessante. Não percebem para que serve nem porque são obrigados a estudá-la. Alguns alunos interiorizam mesmo desde cedo uma auto-imagem de incapacidade em relação à disciplina. Dum modo geral, culpam-se a si próprios, aos professores, ou às características específicas da Matemática. (PONTE, 2011, p.1).

Face ao exposto devemos buscar novos métodos para ensinar, como no

caso dos jogos que é mencionado na seção que mostra os estudos sobre problemas

que envolvem as quatro operações, tornando a aula mais interessante para o

discente e “prendendo” a atenção do mesmo o estimulando a participar da aula.

As informações apresentadas a seguir são acerca de quem os auxilia nas

tarefas de matemática em casa.

52

Quadro 10: Auxílio nas Tarefas de Matemática em Casa

Auxílio nas Tarefas de Matemática em Casa Percentual (%)

Ninguém

12,49

Pai

12,49

Mãe

59,38

Irmão

3,13

Amigo

0,00

Professor Particular

6,25

Outro

9,38

Em Branco

3,13


Podemos observar os dados do quadro 10 no gráfico abaixo:

Gráfico 10: Auxílio nas Tarefas de Matemática em Casa


A partir do gráfico 10, podemos perceber que mais da metade dos alunos

são auxiliados em suas tarefas pela mãe, com 59,38%, talvez porque a maioria

delas é dona de casa, sendo que um percentual significativo tem o ensino superior

12,49

12,49

59,38

3,13

0

6,25

9,38

3,13

0 20 40 60 80 100

Ninguém

Pai

Mãe

Irmão

Amigo

Professor Particular

Outro

Em Branco

Porcentagem

Auxílio nas Tarefas de Matemática em Casa

53

59,37

37,5

3,13

0 20 40 60 80 100

Acima da Média

Na Média

Abaixo da Média

Porcentagem

Notas de Matemática

completo. Observando que 12,49% declaram não receber auxílio de ninguém e

alguns alunos são auxiliados por mais de uma pessoa.

No quadro a seguir temos os dados relacionados às notas dos discentes:

Quadro 11: Como Geralmente são as Notas de Matemática

Notas de Matemática Percentual (%)

Acima da Média 59,37

Na Média 37,50

Abaixo da Média 3,13 Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.

Gráfico 11: Como Geralmente são as Notas de Matemática


O gráfico 11 nos mostra que a maioria dos alunos informa que suas notas

estão acima da média, com 59,37% e 37,5% estão na média, o que não condiz ao

vermos os resultados obtidos nos pré-testes.

As informações apresentadas a seguir são sobre o gosto dos educandos

por matemática:

Quadro 12: Gosto pela Matemática

Categorias do Gosto pela Matemática

Percentual (%)

Sim

84,38

Não

15,62



54

Gráfico 12: Gosto pela Matemática


Ao analisar o gráfico 12 constatamos que uma quantidade expressiva de

alunos afirma gostar de matemática, totalizando 84,38%, apesar de que muitos

informaram que têm dificuldade na disciplina.

Nos dados subsequentes apresentaremos a ocorrência de distração nas

aulas de matemática:

Quadro 13: Ocorrência de Distração nas Aulas de Matemática

Ocorrência de Distração nas Aulas de Matemática

Percentual (%)

Não, eu sempre presto atenção. 31,25

Sim, eu não consigo prestar atenção. 3,13

Na maioria das vezes eu me distraio nas aulas de matemática

65,63


Gráfico 13: Ocorrência de Distração nas Aulas de Matemática


84,38

15,62

0 20 40 60 80 100

Sim

Não

Porcentagem

Categorias do Gosto pela Matemática

31,25

3,13

65,62

0 20 40 60 80 100

Não, eu sempre presto atenção

Sim, eu não consigo prestar atenção

Na maioria das vezes eu me distraio nasaulas de matemática

Porcentagem

Distração nas Aulas de Matemática

55

De acordo com o gráfico 13, observamos que o aluno afirma que na

maioria das vezes ele se distrai nas aulas de matemática e que alguns não

conseguem prestar nenhuma atenção nas aulas, dados esses que em percentual

temos 65,62% e 3,13% respectivamente. E juntos totalizam 68,75%, ou seja, há uma

quantidade significativa de discentes que se distraem durante a aula. Esse fato

talvez possa ocorrer porque como mencionado por Krulik e Reys (1997) quando nos

referimos à resolução de problemas, a aula torna-se mais interessante na medida

em que os alunos interagem com o professor ao resolver um problema, não

seguindo apenas o modelo clássico de “exposição e exercício”, o fazendo aprender

de forma dinâmica.

Os dados seguintes explanam como ocorre a maioria das aulas de

matemática na escola em que os alunos pesquisados estudam:

Quadro 14: Como Acontece a Maioria das Aulas de Matemática da Escola

Forma das Aulas de Matemática Percentual (%)

Começando pela definição seguida de exemplos e exercícios

71,88

Começando por uma situação problema para depois introduzir o assunto

18,75

Criando um modelo para situação e em seguida analisando o modelo

6,25

Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos 9,38


O quadro 14 está ilustrado por meio do gráfico abaixo:

Gráfico 14: Como Acontece a Maioria das Aulas de Matemática da Escola


71,88

18,75

6,25

9,38

6,25

0 20 40 60 80 100

Começando pela definição seguida de…

Começando por uma situação…

Criando um modelo para situação e em…

Iniciando com jogos para depois…

Em Branco

Porcentagem

Forma das Aulas de Matemática

56

O gráfico 14 nos detalha que 71,88% das aulas de matemática são

realizadas começando pela definição seguida de exemplos e exercícios, e que

raramente se começa de um modo diferente, mais dinâmico, ou seja, por uma

situação problema (18,75%), iniciando com jogos para depois sistematizar conceitos

(9,38%) ou criando um modelo para a situação e em seguida analisando-o (6,25%).

Logo, percebemos que essa realidade não é a que Brasil (1998) sustenta como

citado na subseção 2.1 ao destacar as bases das situações de aprendizagem, as

quais o educando consegue desenvolver seu cognitivo e não realiza apenas

atividades em que eles não conseguem compreender.

Em seguida analisaremos os dados sobre a metodologia utilizada pelo

professor (a) durante a explicação de um assunto.

Quadro 15: Maneira que o Professor (a) de Matemática Costuma Ensinar para o Aluno Entender

Melhor

Metodologia do (a) Professor (a) Percentual (%)

Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos 65,63

Apresentar jogos envolvendo o assunto 28,13

Mandar resolver os exercícios do livro didático 6,25

Não propor questões de fixação 3,13

Mandar que você procurasse questões sobre o assunto para resolver

9,38


Gráfico 15: Maneira que o Professor (a) de Matemática Costuma Ensinar para o Aluno Entender

Melhor


65,63

28,13

6,25

3,13

9,38

0 20 40 60 80 100

Apresentar uma lista de exercícios paraserem resolvidos

Apresentar jogos envolvendo o assunto

Mandar resolver os exercícios do livrodidático

Não propor questões de fixação

Mandar que você procurasse questõessobre o assunto para resolver

Porcentagem

Metodologia do Professor

57

A análise do gráfico 15 nos aponta que entre os alunos entrevistados

65,63% declararam que para entender melhor o assunto ensinado, o professor (a)

de matemática costuma apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos e

28,13% afirmaram que o docente apresenta jogos envolvendo o assunto. E 9,38%

informaram que o professor (a) mande que eles procurem questões sobre o assunto

para resolver. O que pode ser preocupante, pois novamente não condiz com o

processo de resolução de problemas, já que na maioria das vezes o aluno está

aprendendo apenas por meio de algoritmos, sem situações problema.

Para dar continuidade, os quadros e gráficos posteriores versam sobre o

entendimento do aluno em relação às quatro operações envolvendo os números

naturais:

Quadro 16: Operações que o Aluno tem Mais Dificuldade em Efetuar

Operações que o Aluno tem Mais Dificuldade em Efetuar

Percentual (%)

Adição 9,38

Subtração 6,25

Multiplicação 40,63

Divisão 43,75

Nenhuma Delas 9,38 Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.

Os dados do quadro 16 estão ilustrados no seguinte gráfico:

Gráfico 16: Operações que o Aluno tem Mais Dificuldade em Efetuar


9,38

6,25

40,63

43,75

9,38

0 20 40 60 80 100

Adição

Subtração

Multiplicação

Divisão

Nenhuma Delas

Porcentagem

Operações que o Aluno tem Mais Dificuldade em Efetuar

58

Ao avaliar o gráfico 16 podemos observar que um número expressivo de

alunos afirmou ter dificuldade em resolver operações de divisão e multiplicação, nos

gerando um percentual de 43,75% e 40,63%, respectivamente, ou seja, 84,38%

admite ter problemas ao resolver questões referentes ao campo multiplicativo. Esse

acontecimento nos confirma o que Moreira (2002 apud CRUCIOL e SILVA, 2013)

aborda na subseção 2.3 e Carvalho (2009, 2010 apud LIMA, 2013, p. 01) na

subseção 2.1, que o campo multiplicativo é um conhecimento complexo e que por

ser limitado, já que não conferem significados aos algoritmos, o aluno tem um baixo

rendimento na operação de divisão.

As próximas informações são referentes ao domínio da tabuada:

Quadro 17: Domínio da Tabuada

Domínio da Tabuada

Percentual (%)

Sim

53,13

Não

46,88



Gráfico 17: Domínio da Tabuada


53,13

46,88

0 20 40 60 80 100

Sim

Não

Porcentagem

Domínio da Tabuada

59

Ao observarmos o gráfico 17 podemos perceber que 53,13% dizem ter o

domínio da tabuada, enquanto que 46,88% informam que não têm esse domínio. O

que é contraditório ao vermos que no gráfico 16, eles expõem que apresentam

dificuldade nas operações, principalmente multiplicação e divisão e isso ficará

evidente adiante quando olharmos as análises dos testes.

Por fim, apresentaremos os dados a respeito do hábito de estudar dos

discentes:

Quadro 18: Costume de Estudar Matemática

Costume de Estudar Matemática

Percentual (%)

Só no período das provas

28,13

Só na véspera da prova

28,13

Todo dia

15,63

Só no fim de semana

28,13



Gráfico 18: Costume de Estudar Matemática


O gráfico 18 nos informa resultados semelhantes quanto ao costume dos

alunos de estudar para a disciplina, pois 28,13% tem o hábito de estudar só no fim

28,13

28,13

15,63

28,13

0 20 40 60 80 100

Só no período das provas

Só na véspera da prova

Todo dia

Só no fim de semana

Porcentagem

Costume de Estudar Matemática

60

de semana, só na véspera da prova e só no período das provas, sendo que apenas

15,63% estudam todo dia.

5.2 SISTEMATIZAÇÃO E ANÁLISE DAS INFORMAÇÕES DO PRÉ-TESTE

GERAL:

Baseados nos teóricos supracitados, utilizamos primeiramente os

seguintes critérios na análise dos dados:

Acerto: Apresentou uma resolução para a questão e o resultado estava

correto.

Erro: Apresentou uma resolução para a questão, mas o resultado

estava incorreto.

Em Branco: Não apresentou nenhuma solução para a questão.

Sem Registro: Apresentou resposta, mas não mostrou o algoritmo para

se chegar ao resultado.

Os percentuais apresentados a seguir, são em relação à avaliação

diagnóstica inicial, estes resultados foram obtidos por meio do pré-teste geral que

para efeito de análise será subdividido em aditivo e multiplicativo, onde analisamos

os problemas resolvidos por cada aluno, conforme os critérios descritos acima e

dispostos em tabelas e/ou gráficos. Enfatizamos que as questões do pré-teste geral

estão descritas na seção do percurso metodológico, a tabela abaixo apresenta o

desempenho por aluno.

Tabela 1: Resultado do pré-teste geral – Problemas Aditivos (continua)

Alunos Total de Acerto (%)

Total de Erro (%)

Sem Registro – Acertos (%)

Sem Registro – Erros (%)

Total em Branco (%)

A1 60 0 0 0 40

A2 60 10 60 10 30

A3 60 40 0 10 0

A4 70 30 0 0 0

A5 80 20 10 0 0

A6 100 0 0 0 0

A7 60 40 0 0 0

A8 30 60 0 0 10

A9 40 30 0 0 30

A10 80 20 20 0 0

A11 70 20 0 0 10

61

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

A1 A3 A5 A7 A9 A11 A13 A15 A17 A19 A21 A23 A25 A27 A29 A31

Po

rce

nta

gem

Alunos

Total de Acerto Total de Erro Sem Registro – Acertos Sem Registro – Erros Total em Branco

Tabela 1: Resultado do pré-teste geral – Problemas Aditivos (conclusão)

A12 50 50 20 30 0

A13 90 10 10 0 0

A14 30 30 0 0 40

A15 10 80 0 0 10

A16 80 10 0 0 10

A17 50 50 20 20 0

A18 80 20 0 0 0

A19 20 10 20 10 70

A20 80 20 0 0 0

A21 0 90 0 20 10

A22 30 70 0 0 0

A23 10 60 0 0 30

A24 20 80 0 0 0

A25 90 10 0 0 0

A26 30 30 0 0 40

A27 50 50 0 0 0

A28 40 20 20 10 40

A29 70 10 20 0 20

A30 20 40 0 0 40

A31 90 10 0 0 0

A32 60 30 10 10 10 Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.

Os dados da tabela 1 estão ilustrados no gráfico abaixo:

Gráfico 19: Resultado do pré-teste geral – Problemas Aditivos


62

Os dados do gráfico 19 nos mostram que o índice de acertos foi maior

que o número de erros, apenas um aluno (A6) acertou 100% do pré-teste, três

alunos (A13, A25, A31) obtiveram uma porcentagem acertos de 90% no pré-teste,

62,50% dos alunos resolveu corretamente uma variação de 50% a 100% do teste.

Três alunos obtiveram um índice de erros expressivo: A15 e A24, ambos com 80% e

A21 com 90%, sendo que esse deixou 10% do texto em branco, o que é um

quantitativo alarmante.

Observemos agora a comparação entre a média do número total de

acertos, erros e brancos, no gráfico 20:

Gráfico 20: Resultado do desempenho geral – Problemas Aditivos


Observamos que ao analisarmos a média do desempenho dos alunos nas

questões aditivas do pré-teste geral, podemos constatar o que foi mencionado

anteriormente, que o número de acertos (53,44%) é maior que o número de erros e

questões deixadas em branco, que juntos equivalem a um percentual de 46,56%.

Sendo importante ressaltar que no questionário socioeconômico os discentes

informaram não ter tanta dificuldade com problemas que envolvem as operações de

adição e subtração.

53,44%

32,81%

13,75%

0,00% 10,00% 20,00% 30,00% 40,00% 50,00% 60,00%

Nº de Acertos

Nº de Erros

Nº de Brancos

63

A seguir, na tabela 2, está ilustrado o resultado do pré-teste geral – problemas

multiplicativos de cada aluno.

Tabela 2: Resultado do pré-teste geral – Problemas Multiplicativos


Total de Erro (%)



Total em Branco (%)

A1 30 40 0 10 30

A3 30 60 20 40 10

A4 40 60 0 10 0

A5 50 50 40 20 0

A6 10 70 0 0 20

A7 10 60 0 10 30

A8 0 90 0 0 10

A9 0 10 0 0 90

A10 40 40 0 20 20

A11 0 80 0 20 20

A12 10 80 0 50 10

A13 20 30 0 0 50

A14 10 80 0 40 10

A15 0 80 0 0 20

A16 80 10 0 0 10

A17 10 90 10 80 0

A18 40 30 0 0 30

A19 0 30 0 10 70

A20 50 50 0 0 0

A21 0 70 0 10 30

A22 10 60 0 0 30

A23 0 50 0 0 50

A24 0 70 0 0 30

A25 70 20 0 0 10

A26 0 30 0 0 70

A27 0 70 0 0 30

A28 10 30 0 0 60

A29 0 30 0 0 70

A30 0 30 0 0 70

A31 40 50 0 0 10

A32 0 40 0 10 60


Os dados da tabela 2 estão ilustrados no gráfico abaixo:

64

Gráfico 21: Resultado do pré-teste geral – Problemas Multiplicativos


Por meio do gráfico 21, notamos que o índice de acertos foi

significativamente menor que o número de erros ou questões deixadas em branco,

nenhum aluno acertou 100% do pré-teste, 12,50% dos alunos resolveu corretamente

uma variação de 50% a 80% do teste e 43,75% não acertou nenhuma questão.

Apenas um aluno (A2) deixou 100% do teste em branco no que se relaciona a esses

tipos de questões, mas no pré-teste geral – campo aditivo esse mesmo discente

acertou 60% das questões sem ocorrência de registro das mesmas.

Sendo interessante observar que os problemas do campo aditivo e

multiplicativo estavam misturados no pré-teste geral e que os educandos obtiveram

mais erros ou deixaram em branco justamente nas questões que utilizam operações

de multiplicação e divisão, nas quais eles informaram ter mais dificuldade ao

responder o questionário socioeconômico, principalmente a última citada, já que o

campo multiplicativo é mais complexo. Confirmando a pesquisa de Almeida (2011

apud BARBOSA e SANTOS, 2012), onde o mesmo teve um resultado insatisfatório,

principalmente ao se tratar dessas operações.

Referente a essa dificuldade encontrada, sobretudo na divisão,

Starepravo e Moro (2005 apud GONÇALVES, 2008) diz que:

na multiplicação, a relação com a adição é bastante forte para as crianças e a ação de repetição é mais facilmente representada mentalmente, ainda que na escola sejam elas ensinadas a multiplicar por meio de algoritmos”.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100


Po

rce

nta

gem

Alunos

Total de Acerto Total de Erro Sem Registro – Acertos Sem Registro – Erros Total em Branco

65

Isso não ocorre na divisão que [...] mesmo sendo ensinada na escola por meio do algoritmo convencional, parece trazer uma dupla dificuldade para as crianças pois a divisão não mantém a mesma relação direta com a adição e além disso “exige uma inversão no raciocínio multiplicativo. (p.54)

As imagens 1 e 2 a seguir da resolução dos problemas abaixo de dois

alunos no pré-teste geral, explicitam o caso exposto:

O dobro de um número é igual a 192. Qual é esse número?

Imagem 1: Problema de multiplicação


Podemos constatar que o aluno em questão, relaciona a multiplicação

com a adição, como citado por Starepravo e Moro (2005 apud GONÇALVES, 2008).

O preço de 12 canetas importadas é R$36,00. Quanto custa cada uma

dessas canetas?

Imagem 2: Problema de divisão


Podemos constatar que o aluno além de não saber fazer a inversão

utilizando o raciocínio multiplicativo para ratificar sua resposta, como já foi citado por

Starepravo e Moro (2005 apud GONÇALVES, 2008), não consegue também dividir

quando em seu divisor tem mais de uma unidade. E ainda, ele não faz o retrospecto

da sua resolução, o qual Polya (1995) se refere.

A posteriori segue a comparação entre a média do número total de

acertos, erros e brancos, no gráfico 22:

66

Gráfico 22: Resultado do desempenho geral – Problemas Multiplicativos


Ao analisarmos a média do desempenho dos alunos nas questões

multiplicativas do pré-teste geral, podemos confirmar que o número de erros

(49,69%) e questões deixadas em branco (32,81%) é maior que o número de

acertos (17,50%), que corresponde a menos de um quarto das questões.

5.3 SISTEMATIZAÇÃO E ANÁLISE COMPARATIVA DO PRÉ-TESTE GERAL -

ADITIVO E PÓS-TESTE ADITIVO:

Apresentaremos os dados obtidos no pré-teste geral – problemas aditivos

e pós-teste aditivo constante no apêndice B aplicados em um universo de 32 alunos.

A análise fornecerá um comparativo do desempenho dos alunos nas questões do

campo conceitual aditivo: adição e subtração, após ser realizada a atividade do jogo

de Pif-Paf das quatro operações com números naturais. Abaixo está a tabela do

desempenho dos alunos nos referido testes.

17,50%

49,69%

32,81%

0,00% 10,00% 20,00% 30,00% 40,00% 50,00% 60,00%

Nº de Acertos

Nº de Erros

Nº de Brancos

67

Tabela 3: Comparativo do desempenho dos alunos no pré-teste geral – problemas aditivos e pós-

teste aditivo


Total de Erro (%)

Sem Registro –

Acertos (%)


Total em Branco (%)

PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS

A1 60 90 0 10 0 0 0 0 40 0

A2 60 40 10 10 60 0 10 0 30 50

A3 60 90 40 10 0 10 10 10 0 0

A4 70 80 30 20 0 0 0 0 0 0

A5 80 100 20 0 10 0 0 0 0 0

A6 100 90 0 10 0 0 0 0 0 0

A7 60 30 40 60 0 0 0 0 0 10

A8 30 30 60 70 0 0 0 0 10 0

A9 40 40 30 0 0 0 0 0 30 60

A10 80 90 20 10 20 0 0 0 0 0

A11 70 90 20 10 0 0 0 0 10 0

A12 50 70 50 30 20 10 30 0 0 0

A13 90 100 10 0 10 0 0 0 0 0

A14 30 40 30 60 0 0 0 0 40 0

A15 10 40 80 60 0 0 0 0 10 0

A16 80 80 10 10 0 0 0 0 10 10

A17 50 80 50 20 20 0 20 0 0 0

A18 80 80 20 20 0 0 0 0 0 0

A19 20 70 10 30 20 0 10 0 70 0

A20 80 90 20 10 0 0 0 0 0 0

A21 0 40 90 60 0 0 20 0 10 0

A22 30 90 70 10 0 0 0 0 0 0

A23 10 60 60 20 0 0 0 0 30 20

A24 20 20 80 30 0 0 0 0 0 50

A25 90 100 10 0 0 0 0 0 0 0

A26 30 40 30 30 0 0 0 0 40 30

A27 50 100 50 0 0 0 0 0 0 0

A28 60 80 0 20 0 20 0 10 40 0

A29 60 100 10 0 60 0 10 0 30 0

A30 60 20 40 10 0 0 10 0 0 70

A31 70 90 30 10 0 0 0 0 0 0

A32 80 60 20 20 10 0 0 0 0 20 Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.

Os dados da tabela 3 podem ser visualizados no gráfico 23:

68

Gráfico 23: Comparativo do desempenho dos alunos no pré-teste geral – problemas aditivos e pós-

teste aditivo


A partir do gráfico acima, obtivemos conclusões abaixo pontuadas:

A maior parte dos alunos aumentou o índice de acertos no pós-teste

aditivo, os índices de erros e brancos também decaíram em quase todos os casos.

A média de problemas com acertos, erros e em branco alterou de

53,44%, 32,81% e 13,75% para 69,37%, 20,63%, 10% respectivamente.

Destacamos o desempenho dos alunos A5, A13, A25, A27 e A29 que

antes haviam acertado uma faixa de 50% a 90%, agora aumentaram o índice de

acertos para 100%, sendo que desses, o A27 que havia acertado apenas metade do

pré-teste.

É interessante observar que houve uma melhora significativa de alunos

que não deixaram nenhuma questão em branco, pois no pré-teste era de 50% e no

pós-teste modificou para 71,88%, ou seja, alcançamos uma variação de 21,88%.

Houve um pequeno aumento de 62,50% para 68,75% dos alunos que

resolveram corretamente uma variação de 50% a 100% do teste.

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100


Po

rce

nta

gem

Alunos

Total de Acertos (%) - Pré Total de Acertos (%) - Pós

Total de Erros (%) - Pré Total de Erros (%) - Pós

Sem Registros - Acertos (%) - Pré Sem Registros - Acertos (%) - Pós

Sem Registros - Erros (%) - Pré Sem Registros - Erros (%) - Pós

Total em Branco (%) - Pré Total em Branco (%) - Pós

69

O índice de erro de A6 aumentou de 0% para 10%, sendo que ele não

deixou nenhuma questão em branco.

O índice de problemas em branco do A30 aumentou de forma

expressiva de 0% para 70%, sendo que antes o quantitativo de acerto do mesmo foi

de 60%.

5.4 SISTEMATIZAÇÃO E ANÁLISE COMPARATIVA DO PRÉ-TESTE GERAL -

MULTIPLICATIVO E PÓS-TESTE MULTIPLICATIVO:

Na subseção em questão será realizado um comparativo do desempenho

dos alunos nas questões do campo conceitual multiplicativo: multiplicação e divisão,

por meio de um diagnóstico dos dados obtidos no pré-teste geral – problemas

multiplicativos e pós-teste multiplicativo, ambos também aplicados em um universo

de 32 discentes, após ser executada a atividade do jogo de cartas com problemas

verbais.

Segue a tabela do desempenho dos alunos nos referidos testes.

Tabela 4: Comparativo do desempenho dos alunos no pré-teste geral – problemas multiplicativos e

pós-teste multiplicativo

(continua)


Total de Erro (%)



Total em Branco (%)

PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS

A1 30 50 40 40 0 0 10 0 30 10

A2 0 0 0 10 0 0 0 0 10 90

A3 30 10 60 0 20 10 40 0 10 90

A4 40 60 60 40 0 0 10 0 0 0

A5 50 60 50 40 40 0 20 0 0 0

A6 10 20 70 30 0 0 0 0 20 50

A7 10 0 60 40 0 0 10 20 30 60

A8 0 0 90 100 0 0 0 20 10 0

A9 0 10 10 30 0 0 0 0 90 60

A10 40 30 40 30 0 0 20 10 20 40

A11 0 40 80 60 0 0 20 0 20 0

A12 10 30 80 50 0 0 50 20 10 20

A13 20 0 30 10 0 0 0 0 50 90

A14 10 0 80 10 0 0 40 0 10 90

A15 0 0 80 90 0 0 0 30 20 10

A16 80 10 10 0 0 0 0 0 10 90

70

Tabela 4: Comparativo do desempenho dos alunos no pré-teste geral – problemas multiplicativos e


(conclusão)

A17 10 10 90 50 10 10 80 20 0 40

A18 40 50 30 20 0 0 0 0 30 30

A19 0 0 30 10 0 0 10 0 70 90

A20 50 60 50 40 0 0 0 0 0 0

A21 0 40 70 50 0 0 10 0 30 10

A22 10 10 60 50 0 0 0 10 30 40

A23 0 10 50 10 0 0 0 0 50 80

A24 0 0 70 70 0 0 0 0 30 30

A25 70 70 20 30 0 0 0 0 10 0

A26 0 0 30 30 0 0 0 0 70 70

A27 0 10 50 50 0 0 0 0 0 40

A28 10 30 30 50 0 0 0 30 60 20

A29 0 30 30 30 0 0 0 0 70 40

A30 0 0 30 30 0 0 0 0 70 70

A31 40 30 50 40 0 0 0 0 10 30

A32 0 0 40 40 0 0 10 10 60 60 Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.

A tabela acima está ilustrada no gráfico 24:

Gráfico 24: Comparativo do desempenho dos alunos no pré-teste geral – problemas multiplicativos e



0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100


Po

rce

nta

gem

Alunos

Total de Acertos (%) - Pré Total de Acertos (%) - Pós

Total de Erros (%) - Pré Total de Erros (%) - Pós

Sem Registros - Acertos (%) - Pré Sem Registros - Acertos (%) - Pós

Sem Registros - Erros (%) - Pré Sem Registros - Erros (%) - Pós

Total em Branco (%) - Pré Total em Branco (%) - Pós

71

O gráfico acima nos apresenta as seguintes conclusões:

Ao contrário do campo conceitual aditivo que teve uma melhora

relevante, o campo conceitual multiplicativo teve um desempenho abaixo da

expectativa, porque houve um pequeno aumento do índice de acertos e em branco

no pós-teste multiplicativo, enquanto que o quantitativo de erros teve pouco

decaimento.

A média de problemas com acertos, erros e em branco alterou de

17,50%, 49,69% e 32,81% para 20,94%, 36,88% e 42,19% respectivamente.

Houve um pequeno aumento de 12,50% para 18,75% dos alunos que

resolveram corretamente uma variação de 50% a 70% do teste.

Destacamos que houve 43,75% dos discentes que melhoraram seu

desempenho, dentre eles, o A11 e A21, os quais antes não haviam acertado

nenhuma questão e no pós-teste acertaram 40% do mesmo.

Ressaltamos que 9,38% dos educandos permaneceram com a

quantidade de acertos do diagnóstico inicial, porém, entre os mesmos, o quantitativo

dos que deixaram em branco diminuiu, pois eles tentaram resolver o problema,

contudo, não tiveram êxito, são os seguintes: A17, A22 e A25.

Nenhum aluno acertou 100% do pós-teste, sendo que o mesmo não

ocorreu no pré-teste. E alguns estudantes não acertaram nenhuma questão tanto do

pré, como do pós-teste.

É interessante observar 18,75% dos discentes deixaram 90% do pós-

teste em branco, mas isso não se deve somente a falta de tempo, considerando que

no pré-teste 21,88% deixaram em branco, uma faixa de 60% a 90% dos problemas.

Logo, por meio dos testes os alunos ratificaram as dificuldades nos

problemas do campo multiplicativo, conforme expuseram no questionário

socioeconômico, já que as operações de multiplicação e divisão são consideradas

difíceis por eles. No entanto a atividade das cartas teve um efeito à medida que

aumentou relativamente a quantidade de acertos.

No intuito de verificar mais detalhadamente os resultados pesquisados

faremos a análise das modalidades de acertos e erros ocorridos em todos os testes

por questão.

72

5.5 SISTEMATIZAÇÃO E ANÁLISE COMPARATIVA DAS MODALIDADES DE

ACERTOS E ERROS:

Realizaremos a análise comparativa por questão dos acertos e erros

sucedidos nos pré-teste geral de problemas aditivos e multiplicativos, e pós-testes

aditivos e multiplicativos. O diagnóstico baseou-se nos seguintes critérios:

Acerto: quando o resultado e procedimentos estavam corretos;

Erro: quando o resultado e procedimentos estavam incorretos;

Em branco: não apresentou nenhuma resolução para a questão;

Acerto Indeterminado: quando o resultado correto apresentado não era

acompanhado do cálculo (conta) pela qual se tinha obtido a resposta;

Erro na escolha da operação: quando o cálculo apresentava os valores

relevantes para o problema, mas a operação escolhida estava incorreta;

Erro no cálculo: quando apenas o cálculo do resultado estava incorreto;

Erro indeterminado: quando o resultado incorreto apresentado não era

acompanhado do cálculo (conta) pela qual se tinha obtido a resposta;

Erro na montagem da sentença: quando o cálculo não apresentava

todos os números relevantes para a questão ou o aluno montava a mesma

“queimando” etapas.

Vale destacar que os erros de cálculo parecem ter ocorrido por falta de

atenção ou domínio da tabuada ou até mesmo pelo domínio dos algoritmos de

cálculo das quatro operações. Observam-se abaixo algumas imagens ilustrativas de

cada categoria de erro:

Imagem 3: Erro de escolha da operação na 2ª questão do teste multiplicativo Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.

A imagem 3 é um exemplo de erro na escolha da operação, a resolução

correta solicitava a operação divisão, o cálculo seria 36 ÷ 12 = 3. A seguir temos o

erro de cálculo:

Imagem 4: Erro de cálculo na 1ª questão do teste multiplicativo Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.

73

A imagem 4 ilustra o erro de cálculo, particularmente, na operação

multiplicação, nos chamando atenção a forma que o aluno tenta efetuar a mesma,

pois, ao que parece é que o discente soma os valores de cima e repete o de baixo

da seguinte forma: 1 + 8 = 9 e repete 19, resultando em 199, enquanto o correto

deveria ser 18 ˣ 19 = 342. Segue-se o erro indeterminado:

Imagem 5: Erro indeterminado na 4ª questão do teste multiplicativo Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.

Esse tipo de erro, imagem 5, ocorreu abundantemente nos testes a priori,

o resultado é composto somente por um número, de modo que, não é possível obter

conclusões sobre quais cálculos que foram utilizados para encontrá-lo. Abaixo temos

um exemplo de erro na montagem da sentença:

Imagem 6: Erro na montagem da sentença na 4ª questão do teste aditivo Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.

A imagem 6 mostra um erro de montagem da sentença, a resolução do

problema em questão não considerou todos os números relevantes, a expressão

que levaria ao resultado correto seria 13 - 6 = 7.

Seguindo a ordem de análise dos testes, primeiramente apresentaremos

abaixo uma análise comparativa do desempenho geral por questão da seguinte

forma: acertos, erros e em branco. Posteriormente, detalharemos a comparação das

modalidades de acertos e erros por questão, encontrados nos testes aditivos.

74

Tabela 5: Comparativo do desempenho geral por questão entre pré-teste geral – problemas aditivos e

pós-teste aditivo

Questão Tipo de

Problema

Acerto (%) Erro (%) Em Branco (%)

PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS

Q1 Algébrico 56,25 68,75 34,38 25,00 3,13 9,38

Q2 Aritmético 81,25 90,63 9,38 9,38 3,13 0,00

Q3 Algébrico 43,75 56,25 34,38 21,88 6,25 18,75

Q4 Aritmético 46,88 59,38 25,00 18,75 15,63 15,63

Q5 Algébrico 25,00 50,00 28,13 34,38 28,13 12,50

Q6 Aritmético 56,25 84,38 25,00 12,50 3,13 3,13

Q7 Aritmético 59,38 87,50 9,38 9,38 12,50 0,00

Q8 Algébrico 31,25 62,50 59,38 18,75 6,25 15,63

Q9 Algébrico 31,25 43,75 31,25 34,38 31,25 18,75

Q10 Aritmético 31,25 75,00 31,25 18,75 28,13 6,25


Os dados da tabela acima seguem no gráfico abaixo:

Gráfico 25: Comparativo do desempenho geral por questão entre pré-teste geral – problemas aditivos

e pós-teste aditivo


0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Po

rce

nta

gem

Questões

Acerto (%) PRÉ Acerto (%) PÓS Erro (%) PRÉ

Erro (%) PÓS Em Branco (%) PRÉ Em Branco (%) PÓS

75

Os dados do gráfico 25 nos permite concluir que:

Houve uma melhora significativa de acertos do pré para o pós-teste,

após a realização da atividade do Pif-Paf, a média que era de 46,25% modificou

para 67,81%.

O quantitativo de questões erradas e deixadas em branco também

diminuiu de 28,75% para 20,32% e de 13,75 para 10,00%, respectivamente,

ratificando que a atividade aplicada entre o pré e pós-teste teve um efeito positivo.

O índice de acertos de problemas do tipo aritmético foi maior que os

algébricos, confirmando o que diz Nesher, Greeno, e Riley (1982 apud SÁ e FOSSA,

2008) que os alunos têm mais obstáculos com problemas algébricos devido os

esses darem ênfase ao significado semântico, sendo que a operação a ser realizada

no algoritmo de resolução não é apresentada diretamente no problema.

É importante observar que a Q2 (aritmética) no pré-teste foi a que mais

obteve acertos e no pós-teste melhorou seu índice de acertos para 90,63%,

diminuindo assim o número de erros para 9,38%, sendo que nenhum discente a

deixou em branco.

A Q5 (algébrica) teve um aumento de acertos de 25% para 50% e

diminuiu o quantitativo de pessoas que a deixaram em branco, de 28,13% para

12,50%, consequentemente aumentou o número de erros de 28,13% para 34,38%,

pois mais da metade dos alunos tentaram resolvê-la.

O número de discentes que deixaram em branco da Q7 diminuiu

expressivamente de 12,50% para 0,00% e o índice de erros da mesma permaneceu

com 9,38%.

A Q8 (algébrica) e Q10 (aritmética) tiveram um destaque do pré para o

pós-teste. A Q8 aumentou o índice de acertos de 31,25% para 62,50%, ou seja, uma

variação de 31,25% e diminuiu o quantitativo de erros de 59,38% para 18,75%,

porém, também aumentou o número de questões deixadas em branco de 6,25%

para 15,63%. E a Q10 aumentou a quantidade de acertos de 31,25% para 75,00%,

com uma variação de 43,75% e diminuiu significativamente o número de erros e

educandos que deixaram em branco.

A tabela 6 mostra os acertos ocorridos, inclusive das questões que não

tiveram registro, ou seja, o aluno não apresentou a resolução para se chegar à

resposta do questionamento.

76

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Po

rce

nta

gem

Questões

Acerto (%) PRÉ Acerto (%) PÓS

Acerto Indeterminado (%) PRÉ Acerto Indeterminado (%) PÓS

Tabela 6: Comparativo de acertos entre pré-teste geral – problemas aditivos e pós-teste aditivo

Questão Tipo de

Problema

Acerto (%) Acerto Indeterminado (%)

PRÉ PÓS PRÉ PÓS

Q1 Algébrico 56,25 68,75 3,13 0,00 Q2 Aritmético 81,25 90,63 6,25 0,00 Q3 Algébrico 43,75 56,25 9,38 3,13 Q4 Aritmético 46,88 59,38 9,38 3,13 Q5 Algébrico 25,00 50,00 12,50 0,00 Q6 Aritmético 56,25 84,38 15,63 0,00 Q7 Aritmético 59,38 87,50 15,63 3,13 Q8 Algébrico 31,25 62,50 0,00 3,13 Q9 Algébrico 31,25 43,75 0,00 0,00

Q10 Aritmético 31,25 75,00 0,00 0,00


A tabela 6 está ilustrada no gráfico a seguir:

Gráfico 26: Comparativo de acertos entre pré-teste geral – problemas aditivos e pós-teste aditivo


Os dados ilustrados no gráfico 26 nos permitem fazer a avaliação que se

segue:

77

O quantitativo de acertos indeterminados no pré foi maior que o do pós-

teste, ou seja, no pós-teste um número significativo de educandos mostrou os

cálculos realizados.

As questões Q1(algébrica), Q2 (aritmética), Q5 (algébrica) e Q6

(aritmética) tiveram uma redução de acertos indeterminados no pós-teste para

0,00%, concluindo-se assim, que os alunos que acertaram mostraram o processo de

resolução.

A Q2 (aritmética) e Q6 (aritmética) aumentaram a quantidade de

acertos com e sem o processo de resolução de 87,50% para 90,63% e de 71,88%

para 84,38%, respectivamente.

A Q5 (algébrica) mesmo somando no pré-teste o número de acertos

com acertos indeterminados que reduziu para 0,00% no pós-teste, como

mencionado anteriormente, totalizando 37,50% no pré-teste, aumentou no pós-teste

o quantitativo de acertos para 50%.

A Q7 (aritmética) somando todos os tipos de acertos no pré-teste

obteve um percentual de 75,01% e no pós-teste, esse valor aumentou para 90,67%,

o que mostra que os alunos quase não têm dificuldade com problemas aritméticos

simples – que envolvem uma operação.

Na Q8 (algébrica) teve um aumento de acertos indeterminados de

0,00% para 3,13%.

Agora nos ateremos aos erros ocorridos nos testes. A seguir temos a

tabela 7 que delineia os dados obtidos nessa apreciação:

Tabela 7: Comparativo de erros entre pré-teste geral – problemas aditivos e pós-teste aditivo

Questão

Tipo de Problema

Erro na Escolha da Operação (%)

Erro na Montagem da Sentença (%)

Erro no Cálculo (%)

Erro Indeterminado

(%)

PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS

Q1 Algébrico 21,88 18,75 90,63 68,75 34,38 25 3,13 0

Q2 Aritmético 0 6,25 0 9,38 9,38 9,38 0 0

Q3 Algébrico 15,63 18,75 65,63 56,25 34,38 21,88 6,25 0

Q4 Aritmético 3,13 12,50 0 15,63 25 18,75 3,13 0

Q5 Algébrico 25 28,13 46,88 81,25 28,13 34,38 6,25 3,13

Q6 Aritmético 9,38 3,13 0 0 25 12,50 0 0

Q7 Aritmético 6,25 6,25 0 12,50 9,38 9,38 3,13 0

Q8 Algébrico 28,13 21,88 90,63 71,88 59,38 18,75 3,13 0

Q9 Algébrico 12,50 34,38 40,63 37,50 31,25 34,38 6,25 3,13

Q10 Aritmético 6,25 18,75 0 12,50 31,25 18,75 9,38 0


78

A tabela acima está detalhada no gráfico seguinte:

Gráfico 27: Comparativo de erros entre pré-teste geral – problemas aditivos e pós-teste aditivo


A análise do gráfico 27 nos permite concluir que:

No pré-teste a maioria dos erros ocorreram no cálculo e na montagem

da sentença, sendo que de 79,07% dos erros cometidos, 28,75% referem-se ao

cálculo e 33,44% à montagem da sentença, que somadas essas duas categorias de

erros alcançam 62,19%.

No pós-teste o percentual de erros de cálculo e montagem da sentença

continuaram sendo os maiores, porém o erro de sentença se destacou com o valor

de 36,56%, um dos fatos de ambos os tipos de erros ocorrer deve-se porque os

alunos não prestaram atenção ao lerem os problemas e ao efetuar as operações do

campo aditivo, confundindo as operações que estão realizando, como mostra a

imagem a seguir:

Imagem 7: Erro de cálculo na 9ª questão do teste aditivo Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.

0102030405060708090

100

Po

rce

nta

gem

Questões

Erro na Escolha da Operação (%) PRÉ Erro na Escolha da Operação (%) PÓS

Erro na Montagem da Sentença (%) PRÉ Erro na Montagem da Sentença (%) PÓS

Erro no Cálculo (%) PRÉ Erro no Cálculo (%) PÓS

Erro Indeterminado (%) PRÉ Erro Indeterminado (%) PÓS

79

No pós-teste a média dos erros indeterminados diminuiu de 4,07% para

0,63%.

Podemos destacar os percentuais de erro das questões Q1 com

68,75%, Q3 com 56,25%, Q5 com 81,25% e Q8 com 71,88%, nas quais os erros

cometidos no pós-teste foram exclusivamente de montagem da sentença, vale

ressaltar que Q1, Q3, Q5 e Q8 são problemas algébricos, nos quais, na sua

tradução simbólica se obtém uma expressão no qual a incógnita não fica isolada,

conforme citado na subseção 2.2, o que é de difícil entendimento para o aluno.

No pós-teste apenas a Q5 (algébrica) e Q9 (algébrica) tiveram erro

indeterminado, porém os discentes aumentaram na Q2 (aritmética) o erro na

montagem da sentença de 0,00% para 9,38%. Na Q4 (aritmética) e Q10 (aritmética)

também não houve nenhum erro indeterminado e na Q8 o erro de cálculo diminuiu

expressivamente, pois no pré-teste foi de 59,38%, modificando no pós-teste para

18,75%.

Tais resultados indicam haver maior grau de dificuldade de Q5

(algébrica) em relação às outras questões do teste aditivo, pois apresentou um alto

percentual de erro de cálculo e erro na montagem da sentença. Portanto, Q5 parece

exigir um nível maior de compreensão das relações semânticas e operação

envolvida.

Essas conclusões confirmam o que é proposto por Sá (2003) e Sá e

Fossa (2008) a respeito do grau de dificuldades nos problemas aritméticos e

algébricos.

Aquém apresentaremos o diagnóstico comparativo do desempenho geral

por questão: acertos, erros e em branco. E depois, a comparação das categorias de

acertos e erros ocorridos por questão nos testes multiplicativos. Portanto,

mostraremos a tabela 8 que delineia os dados obtidos na primeira apreciação:

Tabela 8: Comparativo do desempenho geral por questão entre pré-teste geral – problemas

multiplicativos e pós-teste multiplicativo

(continua)

Questão Tipo de

Problema

Acerto (%) Erro (%) Em Branco (%)

PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS

Q1 Aritmético 15,63 15,63 78,13 59,38 3,13 21,88

Q2 Algébrico 12,50 18,75 53,13 50,00 21,88 28,13

80

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Po

rce

nta

gem

Questões

Acerto (%) PRÉ Acerto (%) PÓS Erro (%) PRÉ

Erro (%) PÓS Em Branco (%) PRÉ Em Branco (%) PÓS

Tabela 8: Comparativo do desempenho geral por questão entre pré-teste geral – problemas


(conclusão)

Q3 Aritmético 18,75 21,88 15,63 37,50 18,75 37,50

Q4 Algébrico 15,63 18,75 25,00 15,63 46,88 43,75

Q5 Aritmético 6,25 15,63 25,00 12,50 50,00 53,13

Q6 Algébrico 15,63 6,25 15,63 18,75 71,88 25,00

Q7 Algébrico 18,75 6,25 40,63 37,50 28,13 56,25

Q8 Algébrico 25,00 34,38 31,25 18,75 53,13 43,75

Q9 Aritmético 21,88 50,00 34,38 25,00 25,00 21,88

Q10 Aritmético 3,13 12,50 34,38 37,50 56,25 46,88


Os dados da tabela acima estão ilustrados no gráfico abaixo:

Gráfico 28: Comparativo do desempenho geral por questão entre pré-teste geral – problemas



Por meio do gráfico acima podemos inferir que:

81

Houve uma melhora reduzida de acertos do pré para o pós-teste, após

a realização da atividade do jogo de cartas, a média que era de 15,32% alterou para

20,00%.

No pré-teste o número de acertos de problemas do tipo algébrico foi

maior que os aritméticos, o que é interessante, pois os discentes veem o primeiro

tipo de problema como um obstáculo no momento de interpretar os dados fornecidos

na questão, traduzindo-os para uma linguagem simbólica. Entretanto, no pós-teste

os acertos do tipo de problema aritmético foi maior que os algébricos, assim como

nos testes aditivos, porém nos multiplicativos, isso pode ser devido à falta de

atenção dos alunos e também à dificuldade dos mesmos, em sua maioria, de

efetivar cálculos.

Ressaltamos que a Q1 (aritmética) não variou do pré para o pós-teste,

permanecendo com um percentual de acertos de 15,63% e diminiu

significativamente os erros de 78,13% para 59,38%, porém, o número de alunos que

deixaram em branco aumentou de 3,13% para 21,88%.

A Q5 (aritmética) e Q8 (algébrica) tiveram um aumento no número de

acertos em relação ao pós-teste, de 6,25% para 15,63% e de 25,00% para 34,38%,

respectivamente, ambos com uma variação de 9,38% e a Q10 (aritmética) aumentou

de 3,13% para 12,50%, ou seja, uma diferença de 9,37%. Porém o destaque é maior

para Q9 (aritmética), pois aumentou de 21,88% para 50,00%, ou seja, uma alteração

considerável de 28,12%.

Percebemos também que as questões Q6 (algébrica) e Q10

(aritmética) tiveram uma ampliação do quantitativo de erros de 15,63% para 18,75 e

de 34,38% para 37,50%, respectivamente. Contudo, essa ampliação se deu de

forma relevante na Q3 (aritmética), que no pré-teste teve um percentual de 15,63%,

modificando no pós-teste para 37,50%.

No pré-teste o maior percentual da média ocorreu em questões que

foram deixadas em branco com 37,50% e no pós-teste o que alterou apenas foi esse

valor do percentual que aumentou para 37,82% de alunos que deixaram questões

em branco. Observando que no pós-teste o número de questões aritméticas

deixadas em branco aumentou e algébricas reduziu.

A tabela 9 mostra as categorias de acertos ocorridos no pré e pós-teste.

82

0102030405060708090

100

Po

rce

nta

gem

Questões

Acerto (%) PRÉ Acerto (%) PÓS

Acerto Indeterminado (%) PRÉ Acerto Indeterminado (%) PÓS

Tabela 9: Comparativo de acertos entre pré-teste geral – problemas multiplicativos e pós-teste

multiplicativo

Questão Tipo de

Problema

Acerto (%) Acerto Indeterminado (%)

PRÉ PÓS PRÉ PÓS

Q1 Aritmético 15,63 15,63 0 0

Q2 Algébrico 12,50 18,75 3,13 3,13

Q3 Aritmético 18,75 21,88 3,13 0

Q4 Algébrico 15,63 18,75 0,00 0

Q5 Aritmético 6,25 15,63 3,13 0

Q6 Algébrico 15,63 6,25 0 0

Q7 Algébrico 18,75 6,25 0 0

Q8 Algébrico 25,00 34,38 3,13 0

Q9 Aritmético 21,88 50,00 6,25 3,13

Q10 Aritmético 3,13 12,50 6,25 0


A tabela 9 está ilustrada no gráfico a seguir:

Gráfico 29: Comparativo de acertos entre pré-teste geral – problemas multiplicativos e pós-teste

multiplicativo


Os dados ilustrados no gráfico 29 nos permitem concluir o seguinte:

83

No pós-teste em relação ao pré praticamente não houve acerto

indeterminado, tendo assim uma média de 0,63%, o que significa que os discentes

ao resolverem o problema, mostraram todo o processo para se chegar à resposta.

Na questão Q1 (aritmética) não houve alteração no percentual de

acertos do pré para o pós-teste, permanecendo assim o valor de 15,63%, não

havendo também acerto sem a “conta” em ambos os testes. Diferentemente da Q2

(algébrica) que modificou seu percentual de acertos de 12,50% para 18,75%,

conservando o valor de 3,13% em acertos indeterminados.

A Q10 (aritmética) somando as duas categorias de acertos do pré para

o pós-teste, aumentou seu valor percentual de 9,38% para 12,50%, com uma

variação de 3,12%, entretanto, a Q9 (aritmética) destacou-se, pois obteve uma

diferença maior entre os testes, de 25%, ao somar também as modalidades de

acertos.

Vale ressaltar que a maioria dos acertos indeterminados no pré-teste

ocorreram nos problemas do tipo aritmético. Enquanto que no pós-teste, houve um

equilíbrio, esse fato primeiramente relatado é interessante porque nesse momento,

percebemos que o discente mostrou os procedimentos para a resolução dos

problemas do tipo algébrico que são os que eles apresentam mais dificuldades.

Abaixo visualizaremos os tipos de erros ocorridos nos testes:

Tabela 10: Comparativo de erros entre pré-teste geral – problemas multiplicativos e pós-teste

multiplicativo

Questão

Tipo de Problema

Erro na Escolha da Operação (%)

Erro na Montagem da Sentença (%)

Erro no Cálculo (%)

Erro Indeterminado

(%)

PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS PRÉ PÓS

Q1 Aritmético 31,25 25,00 0,00 21,88 78,13 59,38 3,13 0,00

Q2 Algébrico 37,50 25,00 31,25 31,25 53,13 50,00 9,38 0,00

Q3 Aritmético 43,75 21,88 0,00 25,00 15,63 37,50 6,25 3,13

Q4 Algébrico 12,50 6,25 15,63 15,63 25,00 15,63 12,50 21,88

Q5 Aritmético 15,63 12,50 6,25 12,50 25,00 12,50 18,75 6,25

Q6 Algébrico 9,38 12,50 6,25 18,75 15,63 18,75 12,50 15,63

Q7 Algébrico 40,63 31,25 37,50 37,50 40,63 37,50 12,50 0,00

Q8 Algébrico 15,63 15,63 62,50 25,00 31,25 18,75 15,63 3,13

Q9 Aritmético 21,88 9,38 0,00 9,38 34,38 25,00 12,50 0,00

Q10 Aritmético 31,25 37,50 0,00 37,50 34,38 37,50 0,00 3,13


84

A tabela acima está detalhada no gráfico seguinte:

Gráfico 30: Comparativo de erros entre pré-teste geral – problemas multiplicativos e pós-teste

multiplicativo


O diagnóstico do gráfico 30 nos permite concluir que:

No pré-teste o maior percentual ocorreu nos erros de cálculo, sendo

que de 79,70% dos erros cometidos, 35,32% referem-se aos cálculos.

No pós-teste o valor percentual do quantitativo de erros de cálculo

alterou para 31,25%, mesmo assim continuou sendo o maior das modalidades de

erros, pois como citado antes, o problema dos alunos em não saber a tabuada é

relevante. E esse mesmo resultado foi obtido no trabalho de Jucá e Sá (2006), pois

de acordo com os mesmos:

[...] os estudantes tiveram dificuldades na realização da tarefa, devido alguns não dominarem a tabuada de multiplicar e como conseqüência realizarem os cálculos de divisão com erros de multiplicação ou por não dominarem o algoritmo da divisão. (p.8)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

Po

rce

nta

gem

Questões

Erro na Escolha da Operação (%) PRÉ Erro na Escolha da Operação (%) PÓS

Erro na Montagem da Sentença (%) PRÉ Erro na Montagem da Sentença (%) PÓS

Erro no Cálculo (%) PRÉ Erro no Cálculo (%) PÓS

Erro Indeterminado (%) PRÉ Erro Indeterminado (%) PÓS

85

O exposto acima confirma então o resultado do pós-teste aplicado em

nossa pesquisa. E para enfatizar o mesmo, segue a imagem 8:

Imagem 8: Erro de cálculo na 2ª questão do teste multiplicativo Fonte: Pesquisa de campo realizada em 2013, no município de Belém.

Outro fato que é importante ressaltar é o número de erros

indeterminados, que antes no pré-teste era de 10,31%, reduzindo no pós-teste para

5,32%.

Ressaltamos que na Q1 (aritmética) diminuiu significativamente os

erros de cálculo de 78,3% para 59,38%, tendo uma diferença de 18,75%, sendo que

o erro de montagem de sentença aumentou, de 0,00% para 21,88%.

Na questão Q3 (aritmética) os erros de cálculo cresceram entre os

testes de 15,63% para 37,50%, com uma variação de 21,87% e os erros na

montagem da sentença também elevaram de 0,00% para 25,00%.

E na Q8 (algébrica) o quantitativo de erros de montagem da sentença

reduziu expressivamente, com uma diferença entre os testes de 37,50%, talvez pelo

dos alunos tentarem traduzir o problema, conforme foi visualizado no jogo do Pif-Paf

e explicado a eles por meio de exemplos como é a modelagem de resolução de

problemas aritméticos e algébricos, antes da realização do pós-teste. Além disso, os

erros de cálculo também diminuíram de 31,25% para 18,75%, com a diferença de

12,50% e o erro de escolha da operação permaneceu o mesmo, com o valor de

15,63%.

No pré-teste os maiores erros de escolha de operação estão nas

questões Q2 (algébrica) – 37,5%, Q3 (aritmética) – 43,75%, principalmente, e Q7

(algébrica) – 40,63%. Porém no pós-teste o percentual diminuiu significativamente

na questão Q3 para 21,88%.

A média de erros indeterminados reduziu de 10,31% para 5,32%.

86

No geral, a média de erros na montagem da sentença foi a única que

aumentou do pré (15,94%) para o pós-teste (23,44%), sendo que a maioria desses

erros, se deu nos problemas do tipo algébrico em ambos os testes.

Os percentuais de erros não foram tão elevados quanto os dos testes

aditivos, porque como já foi apontado a maioria dos problemas foram deixados em

branco, talvez pelo fato dos alunos já estarem cansados, devido terem feito o pós-

teste aditivo primeiro.

87

6 CONSIDERAÇÕES FINAIS

Por meio dos estudos realizados em relação às quatro operações com

números naturais, os quais abordamos a resolução de problemas, distinção entre

problemas aritméticos e algébricos e campos conceituais, percebemos a extrema

dificuldade dos alunos ao interpretar problemas verbais, os quais são importantes na

vida deles, pois esses problemas são encontrados excessivamente em nosso

cotidiano.

Com as análises dos questionários socioeconômicos e dos pré-testes

ratificamos o exposto acima. Contudo, notamos que ao avaliar os efeitos de uma

sequência didática no ensino de resolução de problemas envolvendo as quatro

operações com números naturais por meio de atividades, no pós-teste tivemos

um resultado satisfatório em relação aos problemas do campo conceitual aditivo.

As dificuldades encontradas pelos alunos nos problemas aditivos foram

principalmente referentes à efetuação de cálculo e montagem da sentença, porém,

no pós-teste o problema de efetivar cálculo amenizou.

Em relação ao campo conceitual multiplicativo, o resultado foi um pouco

abaixo de nossa expectativa, devido os discentes além de apresentarem a

dificuldade de interpretação, não terem o domínio da tabuada, mostrando a

dificuldade de realizar cálculos, contradizendo o que os mesmos informaram no

questionário socioeconômico – que sabem a tabuada.

No que concerne aos grupos de problemas: aritméticos e algébricos, o

diagnóstico final apontou que de fato, realizar a tradução dos problemas que usam

uma operação ainda é um obstáculo, mas que pode ser amenizado se também, os

mesmos não forem ensinados de forma separada dos problemas de uma operação.

De forma geral verificamos que ao modelar corretamente os problemas

verbais, traduzindo os dados da questão para a linguagem simbólica, os alunos

apresentaram uma melhoria no seu desempenho ao resolver esses problemas,

respondendo assim à pergunta realizada no início da pesquisa.

No entanto a análise dos erros indica que esse desempenho pode ser

mais eficaz se as atividades da sequência didática forem associadas a atividades

para o domínio da tabuada e dos procedimentos de cálculo, já que nos testes o

percentual de erros de cálculo se destacou.

88

REFERÊNCIAS

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BRASIL. PORTARIA Nº 002/2013-GAB/SEDUC. Claudio Cavalcanti Ribeiro - Secretário de Estado de Educação. Governo do Estado do Pará - Secretaria Especial de Promoção Social. Secretaria de Estado de Educação. Secretaria Adjunta de Gestão, 2013. Disponível em: <www.seduc.pa.gov.br portal action=Lin arefaNoticia.dl idlin ... >. Acesso em: 11 jan. 2014 às 16h06min

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http://www.moodle.ufba.br/file.php/11468/resolu_o_de_problemas_em_matematica/T21_CC2089.pdf

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89

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LIMA, Rosemeire Roberta de. Refletindo sobre os conceitos de divisão revelados por alunos do 4º ano do ensino fundamental. In: XI Encontro Nacional de Educação Matemática. Anais... Curitiba: 2013.

MAGINA, Sandra Maria Pinto; MERLINI, Vera Lucia; SANTOS, Aparecido dos. O desempenho dos estudantes de 4ª série do ensino fundamental frente a problemas de estrutura multiplicativa. In: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 10. 2010, Salvador. Anais... Salvador: 2010. p.11. Disponível em: <http://www.lematec.net/CDS/ENEM10/artigos/CC/T3_CC1039.pdf>. Acesso em: 08 jan. 2014 às 15h24min.

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91

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SILVA, Rondinele Nunes da. Álgebra e Aritmética no ensino fundamental: Um Estudo de Como Ensiná-las de Forma Integrada e Com Base em Significados. Disponível em:<http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/22007/RondineleNunesdaSilva.pdf>. Acesso em: 14 de maio 2013 às 20h16min.

TAHAN, M. O homem que calculava. Rio de Janeiro: Record, 1968.

http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/22007/RondineleNunesdaSilva.pdf

92

APÊNDICES

93

APÊNDICE A – Questionário Socioeconômico

UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ

CENTRO DE CIENCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

Caro (a) Aluno (a), Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que contribuirá para a superação dos obstáculos de ensino e aprendizagem da matemática, encontrados por professores e alunos durante as atividades de sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração é de grande importância para o bom êxito do mesmo. As informações obtidas terão caráter confidencial, ou seja, sua identidade será preservada. Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho. Obrigado!

1. Idade:_______ 2. Sexo: ________ 3. Série: ___ 4. Número de chamada: _______

5. Você estudou a 4ª série em que tipo de escola? ( ) Estadual ( ) Municipal ( )

Particular ( ) Outra. Qual? __________________

6. Você é dependente ou repetente desta série? ( ) Não ( )Sim,

7. Você costuma fazer compras (comércio, mercearia, supermercado, açougue,

etc.)?

( ) sim ( ) não ( ) às vezes

8. Qual a escolaridade (até que série estudou) do seu responsável masculino?

( ) Não estudou

( ) Ainda está estudando. Informe a série ___________

( ) Ensino Fundamental Menor Completo (1ª a 4ª série)

( ) Ensino Fundamental Maior Completo (5ª a 8ª série)

( ) Ensino Fundamental Incompleto (1ª a 8ª série)

( ) Ensino Médio Completo

( ) Ensino Médio Incompleto

( ) Curso Superior Completo

( ) Curso Superior Incompleto

9. Qual a escolaridade (até que série estudou) da sua responsável feminina?

( ) Não estudou

( ) Ainda está estudando. Informe a série ___________

( ) Ensino Fundamental Menor Completo (1ª a 4ª série)

94

( ) Ensino Fundamental Maior Completo (5ª a 8ª série)

( ) Ensino Fundamental Incompleto (1ª a 8ª série)

( ) Ensino Médio Completo

( ) Ensino Médio Incompleto

( ) Curso Superior Completo

( ) Curso Superior Incompleto

10. Qual a profissão de seu responsável masculino? ________________________

11. Qual a profissão de seu responsável feminino? _________________________

12. Você tem dificuldades em aprender matemática? ( ) não ( ) um pouco ( ) muito

13. Quem o auxilia nas tarefas de matemática (trabalhos, exercícios, dúvidas) em

casa?

( ) ninguém ( ) pai ( ) mãe ( ) irmão ( ) amigo ( ) professor particular ( ) Outro.

Qual?_______________

14. Suas notas de matemática geralmente são: ( ) acima da média ( ) na média

( ) abaixo da média

15. Você gosta de matemática?

( ) Sim ( ) Não

16. Você se distrai nas aulas de matemática?

( ) não, eu sempre presto atenção

( ) sim, eu não consigo prestar atenção

( ) na maioria das vezes eu me distraio nas aulas de matemática

17. A maioria das aulas de matemática de sua escola acontece:

( ) Começando pela definição seguida de exemplos e exercícios

( ) Começando com uma situação problema para depois introduzir o assunto

( ) Criando um modelo para situação e em seguida analisando o modelo

( ) Iniciando com jogos para depois sistematizar os conceitos

18. Para você entender melhor o assunto ensinado, seu professor (a) de matemática

costuma:

( ) Apresentar uma lista de exercícios para serem resolvidos

( ) Apresentar jogos envolvendo o assunto

( ) Mandar resolver os exercícios do livro didático

( ) Não propor questões de fixação

( ) Mandar que você procurasse questões sobre o assunto para resolver

19. Quais as operações que você tem mais dificuldades em efetuar?

95

Adição ( ) Subtração ( ) Multiplicação ( ) Divisão ( ) Nenhuma delas ( )

20. Você tem domínio da tabuada? ( ) Sim ( ) Não

21. Você costuma estudar matemática: ( ) só no período das provas ( ) só na

véspera da prova ( ) todo dia ( ) só no fim de semana.

96

APÊNDICE B – Questionário (Pré-Teste Geral)


CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO



Caro (a) Aluno (a), Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que contribuirá para a superação dos obstáculos de ensino de problemas envolvendo as quatro operações, encontrados por professores e alunos durante as atividades de sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração é de grande importância para o bom êxito do mesmo. As informações obtidas terão caráter confidencial, ou seja, sua identidade será preservada. Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho. Obrigado!

Número na chamada:_________ Data:___________

Resolva as questões abaixo:

Questão 1 - Lourdes tinha alguns brincos. Deu 5 para Isabel. Agora Lourdes tem 3

brincos. Quantos brincos Lourdes possuía?

Questão 2 – Em um cinema, há 18 fileiras com 19 cadeiras cada. Não sendo

permitido assistir filme em pé, quantas pessoas são necessárias para lotar o

cinema?

Questão 3 – Marcos tinha 5 bolas de gude. Joana lhe deu 3 bolas. Com quantas


Questão 4 – O preço de 12 canetas importadas é R$36,00. Quanto custa cada uma

dessas canetas?

Questão 5 – Luís tinha 3 bolas. Meire lhe deu algumas. Agora Luís tem 18 bolas.


Questão 6 – Tenho 120 bombons para distribuir em pacotes com 20 bombons cada.

Quantos pacotes de bombons conseguirei fazer?

97

Questão 7 – Anderson tinha R$ 13,00. Emprestou R$ 6,00 para Márcia. Quanto

Anderson tem agora?

Questão 8 – A quarta parte de um número vale 8. Qual é esse número?

Questão 9 – Erick tem 3 carrinhos. Ganhou 11 carrinhos de seu irmão mais velho.


Questão 10 – Se há três caminhos da cidade A para cidade B e 4 caminhos da


passando B?

Questão 11 – Rafael tinha 8 bolas. Deu 5 bolas a Leandro. Com quantas bolas

Rafael ficou?

Questão 12 – O dobro de um número é igual a 192. Qual é esse número?

Questão 13 – Iran tem 8 livros. Ele tem 5 livros a mais que Carlos. Quantos livros

têm Carlos?

Questão 14 – Comprei uma bicicleta e vou pagá-la em 5 prestações iguais, ao final



Questão 15 – Marcela recebeu uma encomenda de 972 ovos de chocolate. Já

fabricou 413. Quantos ovos ela precisa fabricar para completar essa encomenda?

Questão 16 – Uma doceira gasta 4 ovos em cada bolo. Ela faz 30 bolos. Quantos


Questão 17 – Uma pessoa nasceu em 1951 e faleceu em 1997. Quantos anos essa

pessoa viveu?

Questão 18 – Se o preço de uma caneta é R$ 8,00. Quanto custa 15 dessas

canetas?

98

Questão 19 – Joaquim tem 283 figurinhas de coleção e resolve dar 97 dessas

figurinhas para seu irmão. Quantas figurinhas Joaquim passou a ter?

Questão 20 – Um barco se move 14 metros em 2 segundos. Quantos metros ele


99

APÊNDICE C – Questionário (Pós-Teste Aditivo)





Número na chamada:_______ data:___________

Resolva as questões abaixo armando e realizando as continhas e

apresentando a sua resposta:

Questão 01- Lourdes tinha alguns brincos. Deu 5 para Isabel. Agora Lourdes tem 3

brincos. Quantos brincos Lourdes possuía?

Questão 02- Marcos tinha 5 bolas de gude. Joana lhe deu 3 bolas. Com quantas


Questão 03- Luís tinha 3 bolas. Meire lhe deu algumas. Agora Luís tem 18 bolas.


Questão 04- Anderson tinha R$ 13,00. Emprestou R$ 6,00 para Márcia. Quanto

Anderson tem agora?

Questão 05- Iran tem 8 livros. Ele tem 5 livros a mais que Carlos. Quantos livros têm

Carlos?

Questão 06- Erick tem 3 carrinhos. Ganhou 11 carrinhos de seu irmão mais velho.


Caro (a) aluno (a), Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que contribuirá para a superação dos obstáculos de ensino de problemas com as quatro operações, encontrados por professores e alunos durante as atividades de sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração é de grande importância para o bom êxito do mesmo. As informações obtidas terão caráter confidencial, ou seja, sua identidade será preservada. Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho. Obrigado!

100

Questão 07- Rafael tinha 8 bolas. Deu 5 bolas a Leandro. Com quantas bolas

Rafael ficou?

Questão 08 – Mário tinha 7 moedas. Ele deu algumas de suas moedas para Kátia.

Agora ele tem 4 moedas. Quantas moedas ele deu para Kátia?

Questão 09- Uma pessoa nasceu em 1962 e faleceu em 1999. Quantos anos essa

pessoa viveu?

Questão 10- Renan tem 9 bolas. Bianca tem 6 bolas. Quantas bolas Renan têm a

mais que Bianca?

101

APÊNDICE D – Questionário (Pós-Teste Multiplicativo)





Número na chamada:_______ data:___________

Resolva as questões abaixo:

Questão 01- Em um cinema, há 18 fileiras com 19 cadeiras cada. Não sendo

permitido assistir filme em pé. Qual o número máximo de pessoas que pode assistir

a um filme neste cinema em cada sessão?

Questão 02- O preço de 12 canetas importadas é R$36,00. Quanto custa cada uma

dessas canetas?

Questão 03- Tenho 120 bombons para distribuir em pacotes com 20 bombons cada.

Quantos pacotes de bombons conseguirei fazer?

Questão 04- A quarta parte de um número vale 8. Qual é esse número?

Questão 05- Se há três caminhos da cidade A para cidade B e 4 caminhos da


passando B?

Questão 06- O dobro de um número é igual a 192. Qual é esse número?

Caro (a) aluno (a), Este instrumento tem como objetivo obter informações para um estudo que contribuirá para a superação dos obstáculos de ensino de problemas com as quatro operações, encontrados por professores e alunos durante as atividades de sala de aula. Nesse sentido, sua colaboração é de grande importância para o bom êxito do mesmo. As informações obtidas terão caráter confidencial, ou seja, sua identidade será preservada. Desde já agradecemos a sua colaboração com o nosso trabalho. Obrigado!

102

Questão 07- Comprei uma bicicleta e vou pagá-la em 5 prestações iguais, ao final



Questão 08- Uma doceira gasta 4 ovos em cada bolo. Ela faz 30 bolos. Quantos


Questão 09- Se o preço de uma caneta é R$ 7,00. Quanto custa 12 dessas

canetas?

Questão 10- Um barco se move 12 metros em 3 segundos. Quantos metros ele


103

APÊNDICE E – Pif-Paf das quatro operações

Objetivo

Exercitar a tradução dos dados para a linguagem simbólica e a resolução de

questões das quatro operações fundamentais da matemática.

Este jogo auxilia:

O desenvolvimento do raciocínio lógico, da habilidade de planejar e de

calcular.

Você vai precisar:

60 cartas do baralho de problemas distribuídas em: 20 cartas com o

enunciado, 20 cartas sentença e 20 cartas resposta.

Material para confecção do baralho:

Papel cartão

Cola branca

Tesoura

Folhas contendo as cartas impressas

Modo de fazer:

Colamos as folhas de cartas no papel cartão e depois recortamos no formato

de cartas de baralhos.

Participantes: de 03 a 08

Regras do jogo:

As cartas são embaralhadas e distribuídas 9 (nove) para cada jogador, uma a

uma;

As cartas não usadas na distribuição serão colocadas sobre a mesa com a

face virada para baixo e constituirão o monte de compras;

O jogo inicia pelo jogador à esquerda de quem distribuiu as cartas;

Na sua vez o jogador compra uma carta, verifica se ela forma uma trinca e

descarta a que não servir;

Uma trinca é formada por uma carta com o enunciado, uma carta sentença e

uma carta resposta;

Ganha jogo quem primeiro formar 03 trincas.

104

Observações: Quando uma carta descartada servir para um dos jogadores bater

ele poderá pegá-la mesmo que não seja sua vez de jogar e bater a rodada.

Na possibilidade de dois ou mais jogadores baterem com a última carta descartada

terá a preferência o jogador mais próximo de quem descartou o bate.

Sugestão: Inicie o jogo com o objetivo de formar uma trinca, para isso distribua três

cartas para cada jogador, na medida em que os participantes forem evoluindo

aumente o número de trincas.

105

APÊNDICE F - FOLHA DE CARTAS

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

Manoel possuía 8 revistas em

quadrinhos, e comprou mais 18. Quantas

revistas em quadrinhos Manoel

possui?

8+18 =?

26

Uma empresa tem

sede em São Paulo e filiais em outros

estados. Na sede trabalham 316

pessoas e nas filiais 1098 pessoas.

Quantas pessoas trabalham nessa

empresa?

316 + 1098 = ?

1414

106

Pedro e Marcus tem juntos 18 bolas. Pedro tem 3 bolas. Quantas bolas têm Marcus?

18 = 3 + ?

15

Uma pessoa nasceu em 1962 e faleceu em 1999. Quantos anos essa pessoa viveu?

1962 + ? = 1999

37

Marcela tem 8 brincos.

Ela tem 5 brincos a menos que Jorilma. Quantos brincos têm

Jorilma?

? – 5 = 8

50

107

Rafael tinha 63 moedas. Deu para

Jane 17 moedas. Rafa tem agora quantas

moedas?

63 – 17 = ?

46

Uma pessoa nasceu em 1966 e faleceu em

2000. Essa pessoa viveu quantos anos?

1966 + ? = 2000

34

Antônio tem 100 figurinhas. Resolveu

dar 33 para seu primo Paulo. Quantas

figurinhas eles Antônio tem agora?

100 – 33 = ?

67

108

Erick tem 14 carrinhos em sua coleção.

Ganhou 17 carrinhos de seu irmão mais

velho. Quantos carrinhos Erick têm

agora?

14 + 17 = ?

31

Antônio tem algumas

figurinhas. Paulo tem 5 figurinhas. Juntos eles

têm 14 figurinhas. Quantas figurinhas

têm Antônio?

? + 5 = 14

9

Talita tinha R$82,00 que repartiu

igualmente entre ela e sua prima. Com

quanto Talita ficou?

82 ÷ 2 = ?

41

109

e

O preço de 12 canetas importadas é R$36,00.

Quanto custa cada uma dessas canetas?

12 ˣ = 36

3

Se o preço de uma caneta é R$ 7,00. Quanto custa 12 dessas canetas?

7 ˣ 12 = ?

84

Lucas gastou R$ 15,00 comprando álbuns de

figurinhas. Cada álbum custou R$ 3,00.

Quantos álbuns Lucas comprou?

ˣ 3 = 15

5

110

Em um cinema, há 14

fileiras com 19 cadeiras cada. Não

sendo permitido assistir filme em pé.

Qual o número máximo de pessoas

que pode assistir a um filme neste cinema em

cada sessão?

14 ˣ 19 = ?

266

Luana comprou nove bolsas e gastou R$

900,00. Quanto custou cada bolsa?

9 ˣ = 900

100

Anderson tem 150 bombons para

distribuir em pacotes com 25 bombons

cada. Quantos pacotes de bombons

conseguirei fazer?

150 ÷ 25 = ?

6

111

A quinta parte de um número vale 35. Qual

é esse número?

? ÷ 5 = 35

175

Em um acampamento, há 7 cabanas. Em

cada cabana, há 12 acampados. Quantos

acampados há no acampamento?

7 ˣ 12 =

84

O triplo de um número é igual a 195. Qual é

esse número?

3 ˣ = 195

65

112


Centro de Ciências Sociais da Educação Curso Licenciatura em Matemática Tv Djalma Dutra, (91) 3244-8957

Belém-PA

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Renata Cristina Alves Matni - ccse.uepa.br