Rekurzív sorozatok - - Matematikai Intézetweb.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_matelem/2012/szili_beata.pdf · Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Rekurzív

Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Rekurzív sorozatok

szakdolgozat

Készítette:

Szili Beáta

matematika BSc szak

matematikai elemző szakirány

Témavezető:

Mezei István

Alkalmazott Analízis és

Számításmatematikai Tanszék

Budapest

2011

Tartalomjegyzék

Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Valós sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1. Definíciók, példák . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2. Sorozatok elemi tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Sorozat határértéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. A határértékre vonatkozó alapvető tételek . . . . . . . . . . . . . . . 101.5. A Banach-féle fixponttétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Előzetes megjegyzések a rekurzív sorozatokról . . . . . . . . . . . 162.1. Fogalmak és elnevezések. Létezési- és egyértelműségi tétel . . . . . . . 162.2. Néhány példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3. Rekurzív sorozatok explicit előállítása . . . . . . . . . . . . . . . . 223.1. Elsőrendű lineáris rekurziók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2. A Fibonacci-sorozat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3. Másodrendű lineáris rekurziók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4. Az xn = rxn−1(1− xn−1) logisztikus rekurzió . . . . . . . . . . . . . . 33

4. Rekurzív sorozatok határértéke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.1. Elsőrendű lineáris rekurziók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2. Monoton sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3. Elsőrendű nemlineáris rekurziók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Irodalom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Bevezetés

A természetes számok halmazán értelmezett függvényt, vagyis sorozatot megad-hatjuk explicit módon, azaz megmondjuk azt, hogy egy természetes számhoz mitrendelünk. Megadhatjuk azonban úgy is, hogy megadjuk az első (néhány) tagját,a további tagokat pedig az előttük levő(k) felhasználásával definiáljuk. A ilyen ese-tekben azt mondjuk, hogy a sorozatot rekurzív módon adtuk meg.

A sorozat fogalma nehezen túlbecsülhető jelentőséggel bír nem csupán a ma-tematikában, hanem annak különböző, a mindennapi élet szempontjából is fontosalkalmazásaiban. A közelítő számítások algoritmusai (lásd például [2]-őt) is soroza-tok. Számos biológiai, közgazdasági és társadalomtudományi folyamat modellezhetőrekurzív sorozattal vagy más elnevezéssel differenciaegyenlettel (lásd például [3]-atvagy [8]-at).

A dolgozatban elsősorban rekurzív sorozatokkal foglalkozunk. Az alapvető ma-tematikai feladat az, hogy a sorozat

”viselkedését”, vagyis a tulajdonságait minél

pontosabban jellemezzük.

Az 1. fejezetben felsoroljuk a valós sorozatok legfontosabb tulajdonságait leírófogalmakat (monotonitás, korlátosság, periodicitás, határérték), valamint a vizs-gálatukhoz használtható alapvető tételeket.

A 2. fejezetben megadjuk a rekurzív sorozatok általános definícióját és meg-fogalmazzuk a létezés és egyértelműségre vonatkozó alaptételt. A 2.2. pontbanismertetünk egy-egy olyan matematikai-, közgazdasági- és biológia problémát, ame-lyek rekurzív sorozatokkal (differenciaegyenletekkel) modellezhetők.

A 3. fejezet néhány olyan rekurzív sorozatot tárgyal, amelynek az explicit alakjátelő lehet állítani.

A 4. fejezetben példákon keresztül ismertetünk néhány olyan alapvető módszert,amelynek segítségével rekurzív sorozatok tulajdonságai vizsgálhatók.

1. Valós sorozatok

Ebben a fejezetben felsoroljuk a valós sorozatokkal kapcsolatban tanult és akésőbbiekben felhasználandó fogalmakat és tételeket.

1.1. Definíciók, példák

1. definíció. A természetes számok halmazán (vagyis az N := {1, 2, 3, . . .} hal-mazon) értelmezett valós értékű függvényt számsorozatnak vagy röviden sorozatnaknevezzük.

Az a : N → R függvénynek az n ∈ N helyen felvett a(n) helyettesítési értékét az asorozat n-edik tagjának nevezzük és az an szimbólummal jelöljük, ennek megfelelőengyakran az (an) sorozatról beszélünk. Néha a tömör (an) helyett az oldottabba1, a2, . . . , an, . . . jelölést is használjuk.

Minden rögzített r egész szám esetén az {n ∈ Z | n ≥ r} → R függvényeketis sorozatoknak tekintjük. A további definíciók, tételek (az értelemszerű módosítá-sokkal) ezekre is érvényesek lesznek, de ezt külön nem fogjuk hangsúlyozni.

Egy (an) sorozat megadása tehát azt jelenti, hogy minden n ∈ N esetén megadjukan-et. Ez történhet explicit módon. Például:

• an := 2n2 + 3 n ∈ N,

• an :=

2

n+ 4, ha n = 1, 3, 5, . . .

√n3 + 2, ha n = 2, 4, 6, . . . .

Sorozatot megadhatunk azonban úgy is, hogy megadjuk a sorozat első (néhány)tagját, a további tagokat pedig az előttük lévő(k) felhasználásával definiáljuk. Azilyen esetekben azt mondjuk, hogy a sorozatot rekurzív módon adtuk meg. A teljesindukcióra való hivatkozással sorozatot adunk meg például az

• a1 := 1, an := a3n−1 − 2 (n = 2, 3, 4, . . .)

utasítással is. Ekkor a sorozat egy tagját az eggyel kisebb indexű tagjának fel-használásával számítjuk ki. Ezt akkor tehetjük meg, ha a szóban forgó index nem 1.Az a1 kezdőtagot külön definiáltuk. Sorozat ilyen megadását egylépéses rekurziónaknevezzük. További példák:

Adott α, d ∈ R esetén az

• a1 := α, an := an−1 + d (n = 2, 3, 4, . . .)

egylépéses rekurziót számtani sorozatnak nevezzük. Ennek n-edik tagját a teljesindukcióval bizonyítható

an = α + (n− 1)d (n ∈ N)

explicit képlettel is megadhatjuk.

1.1. Definíciók, példák 5

Legyen α, q ∈ R. Az

• a1 := α, an := qan−1 (n = 2, 3, 4, . . .)

sorozat az α kezdőértékű és q hányadosú mértani (vagy geometriai) sorozat, amelyreszintén egyszerűen igazolható az

an = αqn−1 (n ∈ N)

explicit formula.Kétlépéses rekurzióról beszélünk akkor, ha a sorozat egy tagját az előtte levő két

tag függvényében adjuk meg. Például:

• a1 := 1, a2 := 2, an := an−1 + an−2 (n = 3, 4, 5, . . .).

A rekurzív módon megadott sorozatok rendkívül fontosak a numerikus analízisszempontjából (is). Számos közelítő eljárás, numerikus módszer lényege egy rekurzívmódon definiált sorozat bizonyos tagjainak (a

”közelítő értékeknek”) a kiszámítása.

Számsorozat szemléltetésére két lehetőség kínálkozik. Egyrészt a számegyenesenábrázolhatjuk az (an) valós sorozat néhány tagját:

0 1a1 a2a3 a4a5 a6 a7

1. ábra

Mivel az (an) számsorozat speciális valós-valós függvény, ezért a szemléltetéshezhasználhatjuk a síkot is, vagyis a függvények szokásos ábrázolási módjánál alkalma-zott Descates-féle koordináta-rendszert:

-

-1

1

1

2

2

3

3

4

4 5 6 7

an

n

a4

2. ábra

1.1. Definíciók, példák 6

A Bevezetésben már megemlítettük azt, hogy számos biológiai és közgazdaságifolyamat írható le sorozatokkal. Az ilyen folyamat szemléltetésekor a megfelelőpontokat szakaszokkal is össze szokás kötni:

-

-1

1

1

2

2

3

3

4

4 5 6 7

an

n

3. ábra

Egy sorozatból többféleképpen gyárthatunk újabb sorozatokat. Ezek között kü-lönösen fontosak az úgynevezett részsorozatok.

2. definíció. Legyen a = (an) : N → R egy sorozat és i = (in) : N → N egyszigorúan monoton növekedő sorozat (az ilyen i-t indexsorozatnak fogjuk nevezni).Ekkor az

a ◦ i = (ain)

sorozatot az a sorozat i indexsorozat által meghatározott részsorozatnának nevezzük.

Sorozatokból algebrai műveletekkel is képezhetünk újabb sorozatokat.

3. definíció. Az (an) és a (bn) számsorozatok összegének az

(an) + (bn) := (an + bn),

szorzatának pedig az(an) · (bn) := (an · bn)

sorozatot nevezzük.Ha bn 6= 0 (n ∈ N), akkor (an) és (bn) hányadosán az

(an)

(bn):=

(

anbn

)

sorozatot értjük.

Végül kiemeljük még azt is, hogy a függvények egyenlőségére tett korábbi megál-lapodásunk nyilvánvaló következménye az, hogy az (an) : N → R és a (bn) : N → Rsorozat pontosan akkor egyenlő, ha bármely index esetén az azonos indexű tagokegyenlőek, azaz an = bn minden n ∈ N számra.

1.2. Sorozatok elemi tulajdonságai 7

1.2. Sorozatok elemi tulajdonságai

Sorozatokkal kapcsolatban az egyik legfontosabb feladat a”viselkedésének” minél

pontosabb leírása. Egy sorozat viselkedését különböző tulajdonságokkal jellemezhet-jük. Ebben a pontban a legegyszerűbbeket (monotonitás, korlátosság, periodicitás)soroljuk fel.

1. definíció. Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat monoton növekedő, ha mindenn ∈ N esetén an ≤ an+1. Ha itt ≤ helyett ≥ áll, a sorozatot monoton csökkenőnek,ha <, illetve > áll, szigorúan monoton növekedőnek, illetve szigorúan monotoncsökkenőnek nevezzük. Az (an) sorozat monoton, ha a fenti esetek valamelyikeáll fenn.

Deriválható valós-valós függvények monotonitásának a vizsgálatára több jól hasz-nálható általános módszert is megismertünk; ezek sorozatokra nem alkalmazhatók.A sorozatot megadó explicit- vagy rekurzív képletből általában nem lehet egyszerűenlátni azt, hogy az monoton-e. Gondoljunk például az

an :=

(

1 +1

n

)n

(n ∈ N)

sorozatra. Ilyen esetekben a sorozat első néhány tagjának a kiszámolásával alakítha-tunk ki egy sejtést a monotonitással kapcsolatosan, amit aztán már teljes indukció-val be is bizonyíthatunk. Gyakran hasznos lehet, ha a monotonitás definíciójábanszereplő egyenlőtlenség helyett egy vele ekvivalens egyenlőtlenséget próbálunk iga-zolni. Például:

an+1 ≥ an (n ∈ N) ⇐⇒ an+1 − an ≥ 0 (n ∈ N);

vagy ha an > 0 minden n ∈ N számra, akkor

an+1 ≥ an (n ∈ N) ⇐⇒ an+1

an≥ 1 (n ∈ N).

2. definíció. Az (an) sorozat alulról korlátos, ha van olyan k ∈ R szám, hogyminden n ∈ N indexre k ≤ an; felülről korlátos, ha létezik olyan K ∈ R, hogyan ≤ K minden n ∈ N esetén; korlátos, ha alulról is és felülről is korlátos.

Egyszerűen igazolható az, hogy az (an) sorozat pontosan akkor korlátos, halétezik olyan K pozitív valós szám, hogy |an| ≤ K minden n ∈ N index esetén.

Sorozat korlátosságát, például egy megsejtett felső korlátot sok esetben a teljesindukció módszerével igazolhatjuk.

3. definíció. Az (an) : N → R sorozat értékkészletének a szuprémumát [infi-mumát] a sorozat szuprémumának [infimumának ] nevezzük:

sup a := supRa = sup{an | n ∈ N}[

inf a := infRa = inf{an | n ∈ N}]

.

1.3. Sorozat határértéke 8

4. definíció. Az (an) : N → R sorozat periodikus, ha van olyan k ≥ 1 természetesszám, hogy

an+k = an (n ∈ N).

Ekkor azt mondjuk, hogy (an) k-periodikus sorozat.

Egyszerűen bebizonyítható az, hogy ha (an) egy k-periodikus sorozat, akkor azegyúttal p ·k-periodikus sorozat is minden p ∈ N esetén, tehát ha van egy periódusa,akkor végtelen sok periódusa is van; továbbá van legkisebb periódusa is.

1.3. Sorozat határértéke

A határérték az analízis alapvető fogalma. Sorozat határértéke a sorozatnak azt aszemléletes tulajdonságát fejezi ki, hogy a tagjai valamilyen szám körül sűrűsödnek.

1. definíció. Azt mondjuk, hogy az (an) sorozat konvergens, ha

∃A ∈ R, hogy ∀ ε > 0 hibakorláthoz ∃N ∈ N küszöbindex, hogy

∀n ∈ N, n > N indexre |an − A| < ε.

Az (an) sorozat divergens, ha nem konvergens, azaz

∀A ∈ R számhoz ∃ ε > 0 ∀N ∈ N küszöbindex után

∃n ∈ N, n > N, hogy |an − A| ≥ ε.

Igazolható, hogy ha a fenti definícióban szereplő A szám létezik, akkor az egyér-telmű. Ezt az A számot az (an) sorozat határértékének nevezzük, és azt is mondjuk,hogy az (an) sorozat az A számhoz tart. Ezt a tényt az alábbi szimbólumok valame-lyikével jelöljük:

limn→+∞

an := A, lim(an) := A, an → A (n → +∞).

A definíció alapján könnyen be lehet látni például azt, hogy

• lim(

1n

)

= 0,

• lim(

(−1)n

n

)

= 0,

• lim(

n+1n

)

= 1.

Ezekben az esetekben egy adott ε > 0 hibakorláthoz egyszerűen meg lehet hatá-rozni egy hozzá tartozó N küszöbindexet.

A definíciót felhasználva szintén egyszerűen meg lehet mutatni azt, hogy az alábbisorozatok mindegyike divergens:

• an := (−1)n (n ∈ N);

• an := (−1)nn2 (n ∈ N);

1.3. Sorozat határértéke 9

• an :=

{

n, ha n = 1, 3, 5, . . .

1, ha n = 2, 4, 6, . . .;

• an := (n + 1)2 (n ∈ N);

• an := n + 1n

(n ∈ N);

• an :=

{

n, ha n = 1, 3, 5, . . .

n2, ha n = 2, 4, 6, . . . .Az utolsó három sorozatnál megfigyelhető, hogy a divergencia mellett a sorozat

tagjai azt a határozott tendenciát mutatják, hogy”nagy” n index esetén az an értékek

”nagyok”; pontosabban: tetszőleges (nagy) P valós számra csak véges sok olyan tagja

van a sorozatnak, amelyik P -nél nem nagyobb. Az ilyen divergens sorozatoknak isdefiniáljuk a határértékét.

2. definíció. Az (an) sorozat a plusz végtelenhez tart (vagy plusz végtelen ahatárértéke), ha

∀P ∈ R számhoz ∃n0 ∈ N, hogy ∀n ≥ n0 indexre an > P.

Jelölés: lim(an) = +∞ vagy an → +∞ (n → +∞).

Hasonlóan értelmezzük a (−∞)-hez tartás fogalmát.

3. definíció. Az (an) sorozat a mínusz végtelenhez tart (vagy mínusz végtelen ahatárértéke), ha

∀P ∈ R számhoz ∃n0 ∈ N, hogy ∀n ≥ n0 indexre an < P.

Jelölés: lim(an) = −∞ vagy an → −∞ (n → +∞).

Azt mondjuk, hogy az (an) sorozatnak van határértéke, ha a sorozat konvergens(azaz véges a határértéke) vagy (+∞)-hez vagy (−∞)-hez tart. Ha (an)-nek nincshatárértéke, akkor az (an) sorozatot oszcillálva divergens sorozatnak nevezzük.

Egyetlen definícióban is megfogalmazhatjuk azt a tényt, hogy a sorozatnak vanhatárértéke. Ehhez a valós számok halmazának kibővítésére van szükség. A kibővítettvalós számok halmazát így definiáltuk:

R := R ∪ {−∞,+∞}.

Ezen a halmazon bizonyos algebrai műveleteket és rendezést értelmeztünk. A definí-ciókat itt nem soroljuk fel. Csupán azt emeljük ki, hogy az R halmazban bizonyosműveleteket nem értelmeztünk. Nem definiáltuk például a (+∞) + (−∞) összeget,a 0 · (+∞) szorzatot vagy a +∞

−∞ hányadost.

1.4. A határértékre vonatkozó alapvető tételek 10

Az R halmazon értelmeztük tetszőleges pont környezetét. Legyen A ∈ R és regy pozítiv valós szám. Az A pont r sugarú környezetét így definiáltuk:

Kr(A) :=

(A− r, A+ r), ha A ∈ R(

1r,+∞

)

, ha A = +∞(

−∞,−1r

)

, ha A = −∞.

4. definíció. Azt mondjuk, hogy az (an) számsorozatnak van határértéke, ha asorozat konvergens vagy (+∞)-hez vagy pedig (−∞)-hez tart. Ez azzal egyenértékű,hogy

∃A ∈ R, hogy ∀ ε > 0 hibakorláthoz ∃N ∈ N küszöbindex, hogy

∀n ∈ N, n > N indexre an ∈ Kε(A).

A fenti tulajdonsággal rendelkező A ∈ R elem egyértelműen meghatározott. Ezt asorozat határértékének nevezzük, és így jelöljük:

lim(an) = A ∈ R.

1.4. A határértékre vonatkozó alapvető tételek

Sorozatok határértékének a meghatározása a definíció alapján általában nemegyszerű feladat. A tanulmányaink során azonban több olyan tételt tanultunk, ame-lyek megkönnyítik az ilyen feladatok megoldását.

1. tétel. (A konvergencia egy szükséges feltétele.) Ha egy valós sorozat konver-gens, akkor korlátos is.

A korlátosság a konvergenciának egy szükséges feltétele. Ez a feltétel azonbannem elégséges, vagyis a korlátosságból általában nem következik a konvergencia.Erre példa a ((−1)n) sorozat, amelyik korlátos, de nem konvergens.

2. tétel. (Részsorozatok határértéke.) Ha az (an) sorozatnak van határértéke,akkor minden (ank

) részsorozatának is van, és limk→+∞

ank= lim

n→+∞an.

Gyakran hasznos a fenti állítás alábbi átfogalmazása: Ha egy valós sorozatnakvan két olyan részsorozata, amelyek határértéke különböző (vagy valamelyik nemlétezik), akkor a sorozatnak nincs határértéke.

3. tétel. (A műveletek és a határérték kapcsolata.) Tegyük fel, hogy az (an) ésa (bn) valós sorozatoknak van határértéke, és

lim(an) := A ∈ R, lim(bn) := B ∈ R.

Ekkor

1.4. A határértékre vonatkozó alapvető tételek 11

1o az (an + bn) sorozatnak is van határértéke, és

lim(an + bn) = A+B,

feltéve, hogy A+B értelmezve van;2o az (an · bn) sorozatnak is van határértéke, és

lim(an · bn) = A · B,

feltéve, hogy A · B értelmezve van;3o ha bn 6= 0 (n ∈ N), akkor az

(

anbn

)

sorozatnak is van határértéke, és

lim

(

anbn

)

=A

B,

feltéve, hogy AB

értelmezve van.

Határérték szempontjából a legegyszerűbbek a monoton sorozatok. Ezekre vonat-kozó alapvető állítások a következők.

4. tétel. 1o Ha az (an) valós sorozat monoton növekedő és felülről korlátos (vagymonoton csökkenő és alulról korlátos), akkor konvergens, és

lim(an) = sup{an | n ∈ N}(

lim(an) = inf{an | n ∈ N})

.

2o Ha az (an) valós sorozat monoton növekedő és felülről nem korlátos (vagymonoton csökkenő és alulról nem korlátos), akkor van határértéke, és

lim(an) = +∞(

lim(an) = −∞)

.

5. tétel. (Bolzano–Weierstrass-féle kiválasztási tétel.) Minden korlátos sorozat-nak van konvergens részsorozata.

6. tétel. Ha egy sorozat felülről nem korlátos, akkor van (+∞)-hez tartó mono-ton részsorozata; ha alulról nem korlátos, akkor van (−∞)-hez tartó monoton rész-sorozata.

A következő két állítás a rendezés és a határérték kapcsolatára vonatkozó alapvetőeredményeket tartalmazza.

7. tétel. (Közrefogási elv.) Tegyük fel, hogy az (an), (bn) és (cn) sorozatokrateljesülnek a következők:

(i) létezik olyan N ∈ N, hogy

an ≤ bn ≤ cn minden n ≥ N-re;

(ii) az (an) és a (cn) sorozatnak van határértéke és azok egyenlők:

lim(an) = lim(cn) =: A ∈ R.

Ekkor a (bn) sorozatnak is van határértéke, és lim(bn) = A.

1.5. A Banach-féle fixponttétel 12

8. tétel. Tegyük fel, hogy az (an) és a (bn) sorozatnak van határértéke.

1o Ha lim(an) > lim(bn), akkor van olyan N ∈ N, hogy an > bn teljesülminden n ≥ N indexre.

2o Ha van olyan N ∈ N, hogy an ≥ bn egyenlőtlenség fennáll minden n ≥ Nindex esetén, akkor lim(an) ≥ lim(bn).

Az eddig felsorolt tételek szükséges vagy elégséges feltételt adtak meg a határér-tékre. A Cauchy-féle konvergenciakritérium egy szükséges és elégséges feltételt adsorozat konvergenciájára. Ennek megfogalmazásához szükségünk lesz a Cauchy-sorozat fogalmára.

9. definíció. Az (an) valós sorozatot Cauchy-sorozatnak nevezzük, ha

∀ ε > 0 számhoz ∃N ∈ N : ∀m,n > N indexre |an − am| < ε.

Egy (an) sorozat tehát akkor Cauchy-sorozat, ha az”elég nagy” indexű tagjai

”tetszőlegesen közel” vannak egymáshoz.

10. tétel. (A Cauchy-féle konvergenciakritérium.) Egy valós sorozat akkor éscsak akkor konvergens, ha Cauchy-sorozat.

A tétel alapvető jelentőségű, mert lehetőséget ad arra, hogy sorozat konvergen-ciáját kizárólag a sorozat tagjainak a segítségével eldöntsük. Nincs szükség tehát akonvergencia definíciójában szereplő határérték ismeretére.

A Cauchy-féle konvergenciakritériumban konvergens (tehát véges határértékű)sorozatokról van szó. Végtelen határértékekre az analóg állítás nem igaz: az (n)sorozatnak például van határértéke (ez +∞), de ez nem Cauchy-sorozat.

1.5. A Banach-féle fixponttétel

Rekurzív sorozatok határértékének vizsgálatához egy sok esetben jól használhatóeszköz a fixpont-iteráció. Ennek alapja a Banach-féle fixponttétel. Itt csak a nekünkszükséges legegyszerűbb esetben fogalmazzuk meg a szóban forgó állítást.

1. tétel. (Banach-féle fixponttétel.) Tegyük fel, hogy az f : [a, b] → [a, b] függ-vény kontrakció, azaz létezik olyan q ∈ [0, 1) valós szám, amellyel teljesül az

|f(x)− f(y)| ≤ q|x− y|(

x, y ∈ [a, b])

(1)

egyenlőtlenség.

Ekkor a következő állítások érvényesek:

1o Az f függvénynek pontosan egy fixpontja van, azaz egyértelműen létezik olyanx∗ ∈ [a, b], amelyre x∗ = f(x∗).


2o Az{

x0 ∈ [a, b],

xn+1 := f(xn) (n = 0, 1, 2, . . .)

iterációs sorozat konvergens, és x∗ a határértéke.

3o Az (xn) sorozatra a következő hibabecslés érvényes:

|xn − x∗| ≤ qn

1− q|x1 − x0| (n = 1, 2, . . .).

Bizonyítás. (i) Az (1) feltételből következik, hogy az f függvény folytonos az[a, b] intervallumon.

(ii) Megmutatjuk, hogy (xn) egy Cauchy-sorozat. Ehhez először a sorozat kétegymás utáni tagjának különbségét vizsgáljuk. A sorozat definíciójának és az (1)egyenlőtlenségnek felhasználásával azt kapjuk, hogy:

|xn+1 − xn| = |f(xn)− f(xn−1)| ≤ q |xn − xn−1| = q |f(xn−1)− f(xn−2)| ≤

≤ q2 |xn−1 − xn−2| ≤ · · · ≤

≤ qn |x1 − x0| .

Most a sorozat két tetszőleges tagjának különbségét tekintjük. Tegyük fel, hogym,n ∈ N és m > n. Ekkor a háromszög-egyenlőtlenség ismételt alkalmazásával akövetkező adódik:

|xm − xn| = |(xm − xm−1) + (xm−1 − xm−2) + · · ·+ (xn+1 − xn)| ≤

≤ |xm − xm−1|+ |xm−1 − xm−2|+ · · ·+ |xn+1 − xn| ≤

≤ qm−1 |x1 − x0|+ qm−2 |x1 − x0|+ · · ·+ qn |x1 − x0| =

=(

qm−1 + qm−2 + · · ·+ qn)

|x1 − x0| =

= qn(

qm−1−n + qm−2−n + · · ·+ 1)

|x1 − x0| .

Most felhasználjuk azt a tényt, hogy a q ∈ [0, 1) feltételünk miatt a∑

qn geometriaisor konvergens. Ezért

|xm − xn| ≤ qn(

qm−1−n + qm−2−n + · · ·+ 1)

|x1 − x0| ≤

≤ qn ·+∞∑

k=0

qk · |x1 − x0| =qn

1− q|x1 − x0|.

Ebből következik, hogy (xn) valóban Cauchy-sorozat.


(iii) A Cauchy-féle konvergenciakritériumból következik, hogy az (xn) iterációssorozat konvergens. Legyen x∗ := lim(xn). Az x∗ ∈ [a, b] az f leképezés fixpontja.Valóban, a folytonos függvényekre vonatkozó átviteli elv szerint

x∗ = lim(xn) = lim (f(xn−1)) = f (lim(xn−1)) = f(x∗).

(iv) A fixpont egyértelműségének bizonyításáshoz tegyük fel, hogy y∗ ∈ [a, b] isolyan, hogy f(y∗) = y∗. Ekkor

|x∗ − y∗| = |f(x∗)− f(y∗)| ≤ q |x∗ − y∗| ,

amiből az következik, hogy

0 ≤ (q − 1) |x∗ − y∗| .

Mivel q − 1 < 0 és |x∗ − y∗| ≥ 0, ezért szorzatunk csak úgy lehet nemnegatív, ha|x∗ − y∗| = 0, azaz x∗ = y∗. Tehát egyetlen fixpont van csak.

(v) A hibabecslés bizonyításához induljunk ki a fentebb bizonyított, minden m >> n természetes számra fennálló

|xm − xn| ≤qn

1− q|x1 − x0|

egyenlőtlenségből. Ha itt n-et rögzítjük, és az m → +∞ határátmenetet vesszük,akkor az xm → x∗ miatt az

|x∗ − xn| ≤qn

1− q|x1 − x0|

egyenlőtlenséget kapjuk, ami a hibabecslés bizonyítását jelenti. �

Az (1) kontrakciós feltétel ellenőrzése általában nem egyszerű feladat. A Lagran-ge-féle középértéktétel felhasználásával azonban egyszerűen be lehet bebizonyítani akontrakcióra vonatkozó alábbi elégséges feltételt.

2. tétel. Tegyük fel, hogy az f : [a, b] → [a, b] függvény folytonos [a, b]-n és dif-ferenciálható (a, b)-n, továbbá van olyan 0 ≤ q < 1 szám, amellyel fennáll az

|f ′(x)| ≤ q(

x ∈ (a, b))

egyenlőtlenség. Ekkor f kontrakció.

Egy f : [a, b] → [a, b] függvény fixpontjának (vagyis az f(x) = x egyenlet megol-dásának) meghatározásához használt

x0 ∈ [a, b],

xn+1 : = f(xn) (n = 0, 1, 2, . . .)


iterációs sorozat szemléltetéséhez rendkívül hasznos az alábbiakban leírt pókhálódiagram.

Vegyünk egy derékszögű koordináta-rendszert a síkon, vízszintes tengelyét jelöljex, a függőlegeset pedig y. Rajzoljuk be a szokásos módon az y = x egyenletűegyenest, valamint az y = f(x) (x ∈ [a, b]) egyenletű görbét, vagyis az f függvénygrafikonját. Az f függvény fixpontja a szóban forgó görbék metszéspontja. Mérjükfel a vízszintes tengelyre az x0 ∈ [a, b] kezdőértéket. Állítsunk merőlegest az (x0, 0)pontban az x-tengelyre; ez az f függvény grafikonját az (x0, f(x0)) = (x0, x1) pont-ban metszi. Húzzunk ebből a pontból vízszintest az y = x egyenletű egyenesig; ametszéspont legyen (x1, x1). Ha ebből a pontból függőlegeset húzunk az y = f(x)grafikonig, akkor az (x1, f(x1)) = (x1, x2) pontot kapjuk. Ezt az eljárást folytatva,mindkét tengelyen megkapjuk az (xn) iterációs sorozatot.

x0

x0

x1

x1

x2

x2

x3

x3

x4

x4

y = f(x)

y = xy

x

4. ábra

2. Előzetes megjegyzések a rekurzív sorozatokról

2.1. Fogalmak és elnevezések.

Létezési- és egyértelműségi tétel

Rekurzív sorozatról akkor beszélünk, ha megadjuk a sorozat első m tagját, ésmegmondjuk azt, hogy egy tagját hogyan képezzük az előtte lévő m tag segítségével.A következő feladat fogalmazható meg.

Feladat. Rögzítsünk egy m(≥ 1) természetes számot. Tegyük fel, hogy adottakaz A0, A1, . . .Am−1 valós számok, valamint az

f : N×D → R (D ⊂ Rm)

függvény. Keressünk olyan (xn) valós sorozatot, amelyre a következők teljesülnek:

x0 = A0, x1 = A1, . . . , xm−1 = Am−1, (1)

xn = f(n−m, xn−1, xn−2, . . . , xn−m) (n = m,m+ 1, m+ 2, . . .). (2)

Ennek a feladatnak egy (xn) megoldását m-edrendű rekurzív sorozatnak nevez-zük. (1) a sorozat kezdőértékei (vagy a kezdeti feltételek), (2) a rekurziós összefüggésvagy a differenciaegyenlet. A feladatot m-edrendű rekurziónak vagy m-edrendű dif-ferenciaegyenletre vonatkozó kezdetiérték-problémának nevezzük.

Először a szóhasználathoz fűzünk néhány megjegyzést. A differenciaegyenlet el-nevezés a differenciálegyenletre emlékeztet bennünket. A tanulmányaink során lát-tuk, hogy számos gyakorlati probléma időbeli alakulását (közönséges) differenciál-egyenletekkel lehet leírni. Ekkor feltételeztük, hogy az időváltozó folytonos, és amodell felépítéséhez és tanulmányozásához használhatjuk a differenciál- és integrál-számítás módszereit. A gyakorlat azonban felvet olyan problémákat is, amelyek-ben ez a kényelmes egyszerűsítés nem alkalmazható. A következő pontban majdmutatunk néhány ilyen problémát. Ezekben a közös az, hogy a folyamatról csakdiszkrét időpontokban vannak (korábbi) információink, és később is szintén csakdiszkrét időpontokban érdekel bennünket a folyamat alakulása. Ilyen jelenségeknekegy általános matematikai modellje a fenti feladat, amelyek vizsgálatához a diffe-renciálegyenletek elméletében megismert módszerek nem alkalmazhatók. Kiderültazonban, hogy a problémafelvetés és az eredmények tekintetében számos hasonlóságvan a differencia- és a differenciálegyenletek között.

Az imént jelzett analógia alapján a fenti feladattal kapcsolatban a következőalapvető kérdéseket lehet felvetni. Elöljáróban itt megjegyezzük azt is, hogy afelsorolandó problémák sok esetben a differenciálegyenleteknél jóval egyszerűbbenkezelhetők.

2.1. Fogalmak és elnevezések. Létezési- és egyértelműségi tétel 17

• A megoldás létezésének a problémájaMilyen f függvény esetén lesz a (2) rekurziós összefüggésnek (vagy differencia-

egyenletnek) megoldása?

• A megoldás egyértelműségének a problémájaPéldákon keresztül majd látni fogjuk, hogy (2)-nek általában végtelen sok meg-

oldása van (ha egyáltalán van megoldás). A kérdés tehát az, hogy (2) megoldásaibólkiválasztható-e olyan, amelyik eleget tesz az (1) kezdeti feltételnek. Ha igen, akkoraz egyértelmű-e.

• Az előállítás problémájaHa van megoldás, akkor azt vajon elő lehet-e állítani explicit képlettel, és ha

igen, akkor hogyan. A differenciálegyenleteknél szerzett tapasztalataink azt mu-tatják, hogy erre csak bizonyos speciális esetekben (speciális f függvény esetén) vanlehetőség. A következő fejezetben mutatunk néhány ilyen példát.

• A megoldás jellemzésének a problémájaEgy adott probléma esetén persze a legfontosabb kérdés az, hogy létezés és

egyértelműség esetén mit mondhatunk az (xn) sorozatról, azaz hogyan jellemezhetőa megoldás. Egy (xn) valós sorozatot a monotonitás, korlátosság, határérték és pe-riodicitás segítségével lehet leírni. Ezt megtehetjük akkor, ha ismerjük a sorozat ex-plicit képletét, amire csak

”kevés” esetben van lehetőségünk. A rekurzív sorozatok

(differenciaegyenletek) elméletében kidolgoztak azonban olyan módszereket, ame-lyek segítségével az explicit alak ismerete nélkül lehet következtetéseket levonni amegoldássorozat viselkedéséről.

Az első két probléma igen általános feltételek mellett viszonylag egyszerűenmegoldható. A következő tétel azt állítja, hogy az f függvényre tett igen általánosfeltételek mellett biztosítható az m-edrenű rekurzió egyértelmű megoldhatósága.

1. tétel. (Létezés és egyértelműség.) Rögzítsük az m(≥ 1) természetes számot.Tegyük fel, hogy minden (y1, y2, . . . ym) ∈ D és minden t ∈ R esetén

(f(t, y1, y2, . . . ym), y2, y3, . . . ym) ∈ D.

Ekkor a (2) egyenletnek tetszőleges (A0, A1, . . . Am−1) ∈ D kezdeti feltételek mellettpontosan egy megoldása van.

A tétel feltételei azt biztosítják, hogy ha megadjuk az (xn) sorozat első m egymásutáni tagját, akkor az ezeket követő tagokat már egyértelműen meg lehet határozni.Az állítás teljes indukcióval bizonyítható.

A harmadik és a negyedik probléma már lényegesen nehezebben kezelhető. Ezeketcsak bizonyos speciális f függvény esetén fogjuk csak tárgyalni.

Az m-edrendű rekurziót (differenciaegyenletet) lineárisnak nevezzük, ha az ffüggvény lineáris, vagyis a következő alakú:

f(t, um−1, um−2, . . . , u0) := a1um−1 + a2um−2 + . . .+ amu0 + b

((t, um−1, um−2, . . . , u0) ∈ N× D).

2.2. Néhány példa 18

Ha itt az a1, a2, . . . am és a b együtthatók adott (rögzített) valós számok, akkor m-edrendű állandó együtthatós lineáris rekurzióról beszélünk. Az együtthatók azonbana t ∈ N-től is függhetnek; ilyenkor a fenti feladatot m-edrendű változó együtthatóslineáris rekurziónak nevezzük. A b = 0 esetben homogén, az ellenkező esetben pediginhomogén problémáról beszélünk.

2.2. Néhány példa

• A Fibonacci-sorozat

Fibonacci néven vált ismertté a pizzai születésű Leonardo Pisano olasz mate-matikus (egyes vélemények szerint a középkor legtehetségesebb matematikusa). Apjaa gazdag itáliai városnak Pisának volt kereskedelmi ügyvivője Algírban. Leonardo itttanulta a matematika alapjait. Üzleti útjain pedig megismerte a Kelet műveltségétés ezen belül a matematikáját. Egyike volt azoknak, akik a hinduktól származó, deaz akkori világban arab közvetítéssel elterjedő tízes alapú, helyi értékes rendszerreépülő számítási módot Európában meghonosították. Az összegyűjtött és az általakiegészített aritmetikai és algebrai ismereteket az 1202-ben kiadott, Liber Abaci(Könyv az abakuszról) című művében foglalta össze. Ebben a híres munkájábantalálható a következő (nem túlságosan életszerű) feladat:

Leonardo Fibonacci(1170–1250)

Egy gazda nyulakat tenyészt. Mindennyúlnak két hónapos korában születik azelső kölyke, ezt követően pedig havontaegy-egy. Feltesszük, hogy a nyulak örök-ké élnek, a hím egyedektől pedig eltekin-tünk. Hány nyula lesz a gazdának n hó-nap elteltével, ha

”állománya” kezdet-

ben egyetlen újszülött kölyökből áll?

Nézzük a nyulak számának időbeli alakulását. Az első hónapban a gazdának 1nyula van, és ez a helyzet a második hónapban sem változik, mert a szaporodáshoza nyúlnak legalább két hónaposnak kell lennie. A harmadik hónapban születik egynyúl, ezért az állomány 2 tagot számlál. A negyedik hónapban 1-gyel nő az állomány,mert az első nyúl már minden hónap végén egy-egy kölyköt hoz a világra. Az ötödikhónapban megszületik az első nyúl harmadik és a második nyúl első kölyke, ezérta gazdának az ötödik hónap végén már 5 nyula van. A nyulak szaporodásának afolyamata könnyen követhető, ha észrevesszük azt, hogy minden hónapban pontosanannyi nyúl születik, ahány legalább kéthónapos nyúl van, azaz olyan nyúl, amelyikmár egy hónappal korábban is az állomány tagja volt. Ez azt jelenti, hogy ha arravagyunk kíváncsiak, hogy hány tagú lesz az állomány a következő hónapban, akkor


csak össze kell adni az előző és a jelen havi létszámot. Jelöljük Fn-nel a nyulakszámát az n-edik hónapban. Ekkor F1 = 1 és F2 = 1. Az egyszerűség kedvéértlegyen F0 = 0. A fenti észrevételt tehát a következőképpen fejezhetjük ki:

F0 = 0, F1 = 1,

Fn+1 = Fn + Fn−1 (n = 1, 2, 3, . . .).(1)

Az így definiált (Fn) sorozatot nevezzük Fibonacci-sorozatnak. Ez tehát egy másod-rendű állandó együtthatós homogén lineáris rekurzió (differenciaegyenlet).

Fibonacci nem az”alkalmazott matematika” problémájaként tűzte ki a feladatot.

Érdekes tulajdonságokkal rendelkező számokra bukkant, majd keresett hozzá egy

”alkalmazást”.

Megjegyezzük még azt is, hogy ezt a sorozatot először 1150-ben írta le két indiaimatematikus, Gopala és Hemacsandra, akik a szanszkrit költészet elméleti kérdéseitvizsgálva ütköztek a következő összegre bontási problémába: hányféleképpen lehetrövid és hosszú szótagokkal kitölteni egy adott időtartamot, ha egy hosszú szótagkét rövidnek felel meg.

• Fixpont-iterációA matematikában és az alkalmazásokban is fontos probléma egyenletek megoldá-

sainak a meghatározása. Tekintsünk egy adott g valós-valós függvényt, és keressünkolyan x∗ valós számot, amelyre g(x∗) = 0 teljesül. Ezt a feladatot úgy is szok-tuk fogalmazni, hogy oldjuk meg R-ben a g(x) = 0 egyenletet. Az x∗ számot azegyenlet megoldásának vagy gyökének, illetve a g függvény zérushelyének nevezzük.A tanulmányaink során láttuk, hogy a gyök(ök) pontos (megoldóképlettel történő)meghatározására csak

”kevés” speciális esetben van lehetőségünk.

Megoldóképlet hiányában az egyetlen lehetőség az, hogy olyan sorozatot pró-bálunk megadni, amelyik a megoldáshoz konvergál. Több általános módszert ismegismertünk ilyen sorozatok konstruálására; például az intervallumfelezési eljárás,a szelőmódszer, a Newton-módszer vagy a fixpont-iteráció.

Most csak a fixpont-iterációs eljárásról fogunk beszélni. Ennek lényege az, hogya g(x) = 0 egyenletet először átírjuk a vele ekvivalens f(x) = x alakba, ahol f egy,a g-ből nyert függvény. (Megjegyezzük, hogy többféle ilyen átalakítás is lehetséges.)Ha x∗ a g(x) = 0 egyenlet egy megoldása, akkor nyilván f(x∗) = x∗ is fennáll, ezértx∗-ot az f függvény fixpontjának nevezzük. A g függvény gyökeinek a meghatározásatehát ekvivalens az f függvény fixpontjainak a meghatározásával.

A fenti átfogalmazás azért célszerű, mert ebben az új alakban a következő”ter-

mészetes” módszer kínálkozik egy sorozat konstruálására:

x0 ∈ R,

xn = f(xn−1) (n = 1, 2, 3, . . .).


Ezt az elsőrendű rekurziós sorozatot fixpont-iterációs sorozatnak nevezzük, és a kon-vergenciájának a vizsgálatához az 1.5. pontban bebizonyított Banach-féle fixpont-tételt használhatjuk.

• Folyószámla egyenlegEgy család valamilyen bankban vezetett folyószámlájának a leírására (modelle-

zésére) rekurzív sorozatokat használhatunk. Tegyük fel, hogy havi periódusokattekintünk. Jelölje wn, cn és yn az n-edik időpontban a folyószámla egyenlegét,a folyószámláról felvett összeget és a folyószámlára befizetett jövedelmet. Ha aperiódusonkénti kamatláb rn% és az n = 0 időpontban w0 az egyenleg, akkor afolyószámla alakulását a

w0 ∈ R,

wn = (1 + 0, 01rn)wn−1 + (yn − cn) (n = 1, 2, 3, . . .)

rekurzív sorozat (vagy differenciaegyenlet) írja le, ami egy elsőrendű változó együtt-hatós inhomogén lineáris rekurzió (vagy differenciaegyenlet).

• Samuelson gyorsítási (akcelerációs) modelljeEz a közgazdasági példa egy ország makrogazdaságának egy matematikai modell-

je. Jelölje Y (t) a teljes nemzeti jövedelem értékét a t időpontban, és bizonyos peri-ódusokban figyeljük a nemzeti jövedelem alakulását. Feltesszük, hogy a periódusokegységnyiek (például hónap, félév, év, stb.), ezért t értékei a 0, 1, 2, . . . természetesszámok. A feladat a következő: ha ismerjük például az Y (0) és Y (1) (korábbi)eredményeket, akkor hogyan lehet

”megjósolni” a nemzeti jövedelmet a rákövetkező

periódusokban, azaz mekkorák lesznek az Y (2), Y (3), . . . értékek. Bizonyos közgaz-dasági elvekből (

”axiómákból”) kiindulva Samuelson a következő matematikai mo-

dellt kapta (lásd [3], 118.odal)

Y (t) = α(1 + β)Y (t− 1)− αβY (t− 2) + 1 (t = 2, 3, 4, . . .),

ahol Y (t) a t-edik periódusban a nemzeti jövedelem, α és β pedig pozítiv valós ál-landók (α az ún. fogyasztási határhajlandóság, β pedig a viszonyszám). Ez egy má-sodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris rekurzió, az Y (0), Y (1), valamintaz α, β, pareméterekkel. A létezési és egyérteműségi tételből következik, hogy enneka problémának pontosan egy (Y (t), t ∈ N) megoldása van. Matematikai szempont-ból a feladat tehát az, hogy jellemezzük a megoldást a paraméterek lehetséges értékeiesetén.

• Populációk fejlődéseTekintsünk egy zárt populációt, és vizsgáljuk a populáció fejlődését a t = 0, 1, . . .

időpontokban. Jelölje N(t) a populáció nagyságának a mérőszámát a t időpontban.A Malthus-féle fejlődési törvény szerint N(t) arányos N(t− 1)-gyel, vagyis

N(t) = rN(t− 1) (t = 1, 2, 3, . . .),


ahol r a szaporodási ráta, amely azt mutatja meg, hogy a születések és halálozásokösszhatására növekszik (r > 1) vagy csökken (r < 1) a populáció. Ez egy egy-szerű differenciaegyenlet (elsőrendű állandó együtthatós homogén lineáris rekurzió),amelynek a megoldása az

N(t) = rtN(0) (t = 1, 2, 3, . . .)

geometriai sorozat.A valóságban azonban nagyon sok szaporodási folyamat nem exponenciális (pél-

dául ma az európai országok lélekszámának alakulása). Ennek az az oka, hogyaz r szaporodási ráta nem független a populáció nagyságától. A populációk élet-tere ugyanis véges, csak egy véges populációt képes eltartani, és ha a nagyságamegközelíti ezt a határt, akkor a szaporodási ráta lecsökken. A modell javításához azr állandó helyett egy, a populáció számától is függő r(t) arányossági tényezőt szokásvenni. A legegyszerűbb eset az, amikor ez a függvény lineáris, vagyis r(t) = µ−γN(t)alakú, ahol µ és γ pozitív állandók. µ a szaporodási ráta a szaporodás szempontjábólideális állapotban, vagyis akkor, amikor az élettér korlátlan; a γ állandó pedig aztadja meg, hogy milyen gyorsan csökken az élettér a populáció növekedésével. Ezekkela jelölésekkel a modell így alakul:

N(t) = (µ− γN(t− 1))N(t− 1), (t = 0, 1, 2, . . .).

Azonos átalakításokkal a

γN(t)

µ= µ

(

1− γN(t− 1)

µ

)

γN(t− 1)

µ, (t = 0, 1, 2, . . .)

egyenlet adódik. Bevezetve az x(t) := γN(t)/µ (t = 0, 1, 2, . . .) függvényt, egyen-letünk az

x(t) = µx(t− 1)(1− x(t− 1)) (t = 0, 1, 2, . . .) (2)

alakban írható. Ezt a másodrendű nemlineáris rekurziót logisztikus rekurziónak szo-kás nevezni.

3. Rekurzív sorozatok explicit előállítása

Ebben a fejezetben néhány olyan rekurzív sorozatot mutatunk be, amelynek azn-edik tagja megadható explicit képlettel.

3.1. Elsőrendű lineáris rekurziók

Az elsőrendű változó együtthatós lineáris rekurzió (differenciaegyenlet) általánosalakja:

x0 ∈ R,

xn = an−1xn−1 + bn−1 (n = 1, 2, 3, . . .),(1)

ahol (an) és (bn) adott sorozatok, a rekurzió együtthatófüggvényei.

A fenti (xn) sorozatra igen egyszerűen kapunk explicit képletet. Írjuk fel ugyanisa sorozat első néhány tagját:

x1 = a0x0 + b0,

x2 = a1x1 + b1 = a1a0x0 + a1b0 + b1,

x3 = a2x2 + b2 = a2a1a0x0 + a2a1b0 + a2b1 + b2,

x4 = a3x3 + b3 = a3a2a1a0x0 + a3a2a1b0 + a3a2b1 + a3b2 + b3.

Ebből már megsejhető, és teljes indukcióval be is bizonyítható a következő állítás.

1. tétel. Az (1) rekurzív sorozat explicit alakja:

xn =

(

n−1∏

i=0

ai

)

x0 +n−1∑

j=0

bj ·n−1∏

k=j+1

ak (n = 1, 2, 3, . . .). (2)

Itt és a továbbiakban megállapodunk abban, hogyj∏

k=i

ak := 1 ha j < i.

1. példa. Határozzuk meg az

x0 = 1,

xn = nxn−1 + 2n−1n! (n = 1, 2, 3, . . .)

sorozat explicit alakját.

Megjegyzés. A differenciaegyenleteknél szokásos szóhasználattal élve a fentifeladatot így is fogalmazhatjuk: Oldjuk meg az

x0 = 1, xn = nxn−1 + 2n−1n! (n = 1, 2, 3, . . .)

kezdetiérték-problémát.

3.1. Elsőrendű lineáris rekurziók 23

Megoldás. Az együtthatósorozatok ebben az esetben a következők:

an−1 = n és bn−1 = 2n−1n! (n = 1, 2, 3, . . .).

Miveln−1∏

i=0

ai = a0a1 · · · an−1 = 1 · 2 · 3 · · ·n = n! és

bj

n−1∏

k=j+1

ak = bjaj+1aj+2 · · · an−1 = 2j(j + 1)!(j + 2)(j + 3) · · ·n = 2jn!,

ezért (2) alapján azt kapjuk, hogy

xn = n! +n−1∑

j=0

2jn! = n!(

1 +n−1∑

j=0

2j)

= n!2n (n = 0, 1, 2, . . .). �

Az állandó együtthatós esetben a (2) képlet lényegesen egyszerűsödik.

2. tétel. Az elsőrendű állandó együtthatós lineáris rekurzió általános alakja:

x0 ∈ R,

xn = axn−1 + b (n = 1, 2, 3, . . .),(3)

ahol a, b ∈ R. Ennek explicit megoldása:

xn =

anx0 + ban − 1

a− 1, ha a 6= 1

x0 + bn, ha a = 1(n = 0, 1, 2, . . .). (4)

Bizonyítás. Mivel az együtthatósorozatok an = a és bn = b (n = 0, 1, 2, . . .),ezért

n−1∏

j=0

ai = a0a1 · · · an−1 = an,

n−1∏

k=j+1

ak = aj+1aj+2 · · · aj+(n−j−1) = an−j−1,

n−1∑

j=0

bj

n−1∏

k=j+1

ak = bn−1∑

j=0

an−j−1 = b(

an−1 + an−2 + · · ·+ 1)

.

Az

an−1 + an−2 + · · ·+ 1 =

an − 1

a− 1, ha a ∈ R \ {1}

n, ha a = 1


azonosság felhasználásával a (2) képletből megkapjuk a bizonyítandó (4) összefüg-géseket. �

Ha (3)-ban a = 1 és b ∈ R, akkor

x0 ∈ R, xn = xn−1 + b (n = 1, 2, 3, . . .)

a b differenciájú számtani sorozat, amelynek n-edik tagjára (4)-ből a jól ismert

xn = x0 + nb (n = 0, 1, 2, . . .)

képlet adódik.

Ha (3)-ban b = 0 és a ∈ R, akkor

x0 ∈ R, xn = axn−1 (n = 1, 2, 3, . . .)

pedig az a hányadosú geometriai sorozat. Ennek n-edik tagjára is megkapjuk (4)-bőla jól ismert

xn = x0an (n = 0, 1, 2, . . .)

összefüggést.

2. példa. Tetszőleges x0 ∈ R kezdőérték esetén oldjuk meg az

(a) xn = 12xn−1 + 3, (b) xn = −3xn−1 + 4

differenciaegyenleteket.

Megoldás. A (4) képletben az a = 12

és b = 3 helyettesítéseket elvégezve az (a)esetben azt kapjuk, hogy

xn =(

12

)n(x0 − 6) + 6 (n ∈ N).

A (b) egyenlet megoldásához szintén a (4) képletet használjuk az a = −3 és b = 4értékekkel:

xn = (−3)n (x0 − 1) + 1 (n ∈ N). �

3. példa. (Lakáskölcsön visszafizetése.) Tegyük fel, hogy egy család a 0időpontban x0 = A összegű lakáskölcsönt vesz fel a következő feltételekkel: a folyó-számlájukra minden hónapban b összeget fizet be és a visszafizetés végéig az r%-oskamatláb rögzített. Mennyi lesz a b havi törlesztésük, ha N hónap alatt tervezik avisszafizetést?

Megoldás. Jelölje xn az n-edik hónapban fennálló tartozást. Ennek a probémá-nak az igen egyszerű matematikai modellje az

x0 = A,

xn = (1 + 0, 01r)xn−1 − b (n = 1, 2, 3, . . .)

3.2. A Fibonacci-sorozat 25

elsőrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris rekurzió. A (4) képlet alapján

xn = (1 + 0, 01r)nA− b(1 + 0, 01r)n − 1

0, 01r(n ∈ N).

Ha a felvett kölcsönt az N -edik hónap végéig kell visszafizetni, akkor az

xN = (1 + 0, 01r)NA− b(1 + 0, 01r)N − 1

0, 01r= 0

összefüggésnek kell teljesülni. Tehát ha előre rögzítjük a kölcsön N futamidejét,akkor az egy hónapra eső részlet:

b = A · 0, 01r 1

1− (1 + 0, 01r)−N. �

3.2. A Fibonacci-sorozat

Ebben a pontban megmutatjuk, hogy több ötlet alkalmazásával hogyan kaphatjukmeg az

x0 = 0, x1 = 1,

xn = xn−1 + xn−2 (n = 2, 3, 4, . . .) (1)

Fibonacci-sorozat explicit képletét.Az első ötlet az, hogy először az x0, x1 kezdőértékek figyelembevétele nélkül csak

az (1) rekurziós formulára koncentrálunk, és a jól ismert 1, q, q2 . . . alakú geometriaisorozatok között keresünk olyanokat, amelyek kielégítik ezt az összefüggést. Az a-zonosan 0-sorozat (q = 0) nyilván egy (kevésbé érdekes) megoldás. Tegyük fel, hogyq ∈ R \ {0}. Az xn = qn n = 2, 3, . . . kifejezést az (1)-be beírva azt kapjuk, hogy

qn = qn−1 + qn−2 ⇐⇒ q2 = q + 1 ⇐⇒ q2 − q − 1 = 0.

Ebből

q1 =1 +

√5

2és q2 =

1−√5

2

adódik. Ez azt jelenti, hogy a

qn1 =

(

1 +√5

2

)n

(n = 0, 1, 2, . . .),

qn2 =

(

1−√5

2

)n

(n = 0, 1, 2, . . .)

mértani sorozatok mindegyike kielégíti az (1) rekurziós összefüggést.

3.3. Másodrendű lineáris rekurziók 26

A másik ötlet egy (egyszerű) észrevétel : ha két sorozat kielégíti (1)-et, akkortetszőleges lineáris kombinációjukra is teljesül (1). Ezért minden α és β valós számesetén az

xn := αqn1 + βqn2 (n = 0, 1, 2, . . .) (2)

sorozatra is fennáll az (1) egyenlőség.

A (2) sorozat az (1) rekurziós egyenlet általános megoldása a következő értelem-ben. Tetszőleges α, β ∈ R esetén (2) kielégíti (1)-et. (Ezt láttuk.) Fordítva: ha (xn)az (1) rekurziónak egy tetszőleges (konkrét) megoldása, akkor egyértelműen léteznekolyan α és β valós számok, hogy

xn = αqn1 + βqn2 (n = 0, 1, 2, . . .).

Ennek igazolásához tekintsük az adott x0, x1 (kezdő)értékekkel az

x0 = α+ β

x1 = αq1 + βq2

egyenletrendszert, ahol α és β az ismeretlen. Ennek pontosan egy megoldása van:

α =x1 − x0q2q1 − q2

, β =x0q1 − x1

q1 − q2.

Megmutattuk tehát azt, hogy az (1) rekurziós összefüggés minden megoldása felírható(2) alakban.

Vegyük most a Fibonacci-sorozat x0 = 0, x1 = 1 kezdőértékeit. Az α és a βparaméterekre azt kapjuk, hogy

α =1√5, β = − 1√

5.

A fentiek szerint ezekkel a paraméterekkel képzett

xn =1√5

[(

1 +√5

2

)n

−(

1−√5

2

)n]

(n = 0, 1, 2, . . .)

sorozat kielégíti (1)-et is, ezért ez a Fibonacci-sorozat explicit alakja.

3.3. Másodrendű lineáris rekurziók

Várható, hogy az előző pontban alkalmazott ötleteket felhasználhatjuk az (1)-néláltalánosabb rekurziók megoldására is.

Tekintsük azx0 = A, x1 = B,

xn = axn−1 + bxn−2 (n = 2, 3, 4, . . .) (1)


rekurzív sorozatot, ahol A,B, a és b adott (rögzített) valós számok. Az ilyen soroza-tokat másodrendű lineáris rekurziónak nevezzük.

Feladatunk tehát explicit képlet megadása xn-re.

Ha A = B = 0, akkor a triviális megoldás xn = 0 (n = 0, 1, 2, . . .), ezértfeltehetjük, hogy A és B közül legalább az egyik 0-tól különböző.

Az előző pont alapján a (qn) geometriai sorozatok között keresünk olyanokat,amelyekre (1) teljesül. Ekkor

qn = aqn−1 + bqn−2 (n = 2, 3, 4, . . .). (2)

Ennek az egyenletnek q = 0 megoldása (a 00 := 0 megállapodással), a (qn)sorozat tehát a fentebb tárgyalt azonosan 0 sorozat. Ha q 6= 0, akkor (2)-ből aztkapjuk, hogy

q2 − aq − b = 0,

azaz q gyöke ap(λ) := λ2 − aλ− b

polinomnak. Ezt a p polinomot az (1) rekurzió karakterisztikus polinomjának nevez-zük.

Tudjuk, hogy tetszőleges a, b ∈ R esetén ennek a másodfokú polinomnak multip-licitással számolva két (általában komplex!) gyöke van. A következő három esetlehetséges:

1. eset: p-nek két különböző valós gyöke van (⇔ a2 + 4b > 0).2. eset: p-nek egy kétszeres valós gyöke van (⇔ a2 + 4b = 0).3. eset: p-nek egy komplex konjugált-pár gyöke van (⇔ a2 + 4b < 0).

Az rögtön látható, hogy az 1. eset a Fibonacci-sorozatnál alkalmazott ötletekkelkezelhető. Ott két

”lényegében” különböző geometriai sorozattal adtuk meg a re-

kurzív egyenletnek egy kétparaméteres (α és β-tól függő) megoldásseregét. Ezekbőlaz α és a β paraméterek alkalmas megválasztásával tudtuk kiválasztani az x0 és azx1 kezdőértékeknek megfelelő sorozatot. A 2. és a 3. esetben ez közvetlenül nemalkalmazható.

1. eset. Jelölje q1 és q2 a p karakterisztikus polinom különböző valós gyökeit. Azelőző pont lépéseit megismételve azt kapjuk, hogy az (1) rekurziós egyenlet általánosmegoldása:

xn = αqn1 + βqn2 (n = 0, 1, 2, . . .),

ahol α és β tetszőleges valós paraméterek. Ha ezeket úgy választjuk meg, hogy

α =B −Aq2q1 − q2

, β =Aq1 − B

q1 − q2,

akkor az így kapott (xn) sorozat kezdőértékei x0 = A és x1 = B.


1. példa. Adjuk meg az

x0 = 0, x1 = 1,

xn = xn−1 + 6xn−2 (n = 2, 3, 4, . . .)

rekurzív sorozat explicit alakját.

Megoldás. A karakterisztikus polinom

p(λ) = λ2 − λ− 6 = (λ− 3)(λ+ 2).

Ennek gyökei q1 = −2 és q2 = 3. Az xn = xn−1+6xn−2 rekurzív összefüggés általánosmegoldása

αqn1 + βqn2 = α(−2)n + β3n (n = 0, 1, 2, . . . ; α, β ∈ R).

Az α és β értékeket az x0 = 0, x1 = 1 kezdeti értékek illesztésével határozhatjukmeg. Az x0 = 0 feltételből α + β = 0, az x1 = 1 feltételből pedig a −2α + 3β = 1adódik. Az így kapott egyenletrendszer megoldása α = −1

5, β = 1

5, ezért a sorozat

explicit alakja:

xn = −1

5(−2)n +

1

53n (n = 0, 1, 2, . . .). �

2. eset. A p karakterisztikus polinomnak csak úgy lehet kétszeres valós gyöke,ha az egyenlet diszkriminánsa 0, azaz

a2 + 4b = 0 ⇐⇒ b = −a2

4. (3)

Ekkor p teljes négyzet:

p(λ) = λ2 − aλ− b =(

λ− a

2

)2

− a2 + 4b

4=(

λ− a

2

)2

.

Jelölje q(

= a2

)

a p polinom kétszeres gyökét. Tetszőleges α ∈ R esetén az

xn = αqn (n = 0, 1, 2, . . .)

sorozat kielégíti az (1) rekurziós egyenletet. Az 1. esettől eltérően most csak az egyet-len α paramétertől függő megoldásseregünk van, ezért két kezdőértéket általábannem lehet tetszőlegesen megválasztani.

Most egy újabb fontos észrevétel fog segíteni. Nevezetesen az, hogy a (qn) sorozatmellett az

xn = nqn (n = 0, 1, 2, . . .)


sorozat is megoldása az (1) rekurzív egyenletnek. Valóban:

nqn = a(n− 1)qn−1 + b(n− 2)qn−2 ⇐⇒ nq2 = a(n− 1)q + b(n− 2) ⇐⇒⇐⇒ n(q2 − aq − b) = −aq − 2b.

Az utolsó egyenlőség bal oldala 0, mert q gyöke a karakterisztikus polinomnak, ajobb oldal pedig a b = −a2

4miatt egyenlő 0-val.

A fentiek alapján tehát minden α, β ∈ R paraméter esetén az

xn = αqn + βnqn (n = 0, 1, 2, . . .)

sorozat kielégíti az (1) rekurziós egyenletet, és ez annak az általános megoldása.Ebből a kétparaméteres megoldásseregből az x0 = A és x1 = B kezdőfeltételeknekis eleget tevő sorozat már egyértelműen meghatározható, ugyanis az

A = α, B = αq + βq

egyenletrendszer az α, β ismeretlenekre egyértelműen megoldható:

α = A és β =B − Aq

q.

Az eddigieket összefoglalva a következőt kapjuk: ha A és B közül legalább azegyik 0-tól különböző, b = −a2

4és q = a

2, akkor az (1) rekurziós egyenlet x0 = A,

x1 = B kezdeti feltételeknek eleget tevő egyetlen megoldása:

xn =

(

A+B − Aq

qn

)

qn (n = 0, 1, 2, . . .).


x0 = −2, x1 = 3,

xn = 2xn−1 − xn−2 (n = 2, 3, 4, . . .)


Megoldás. A karakterisztikus polinom

p(λ) = λ2 − 2λ+ 1 = (λ− 1)2.

Ennek q = 1 kétszeres gyöke. Az xn = 2xn−1 − xn−2 rekurzív összefüggés általánosmegoldása

αqn + βnqn = α+ βn (n = 0, 1, 2, . . . ; α, β ∈ R).

Az α és β értékeket az x0 = −2, x1 = 3 kezdeti értékek illesztésével határozhatjukmeg. Az x0 = −2 feltételből −2 = α, az x1 = 3 feltételből pedig a 3 = α + β, azazβ = 5 adódik. A sorozat explicit alakja:

xn = 5n− 2 (n = 0, 1, 2, . . .). �


3. eset. Tegyük fel, hogy a p(λ) = λ2 − aλ − b karakterisztikus polinomnaka q = u + iv (v 6= 0) komplex szám egyik gyöke. Mivel a p polinom együtthatóivalósak, ezért q komplex konjugáltja, vagyis q = u − iv is gyöke p-nek. Ez az esetpontosan akkor áll fenn, ha p diszkriminánsa negatív, azaz a2 + 4b < 0.

Most (qn) és (qn) komplex számsorozatok, és mindegyik kielégíti az (1) rekurzívösszefüggést, amelynek a komplex értékű általános megoldása:

xn = αqn + βqn (n = 0, 1, 2, . . . ; α, β ∈ C).

A vizsgált sorozatunk paraméterei, az A, B, a és b számok valósak, ezért xn is valósminden n index esetén. A fenti egyenlőség alapján ez ebben az esetben akkor éscsak akkor teljesül, ha az együtthatók egymás komplex konjugáltjai, vagyis β = α.Az (1) rekurzív egyenlet valós általános megoldása tehát

xn = αqn + α · qn = αqn + αqn = 2Re (αqn) (n = 0, 1, 2, . . . ; α ∈ C).

Az x0 = A és x1 = B kezdőértékek figyelembevételével az α ∈ C ismeretlenre akövetkező egyenletrendszert kapjuk

A = α+ α,

B = αq + α q.

Ennek egyetlen megoldása:

α =B − Aq

q − q.

Az A, B, a és b valós paraméterek tehát egyértelműen meghatározzák a q és azα komplex számokat. A további képletek egyszerűbb alakúak lesznek, ha áttérünka q és az α komplex számok trigonometrikus (exponenciális) alakjaira. Legyen

q = r(cosϕ+ i sinϕ) = reiϕ,

α =1

2̺(cosω + i sinω) =

1

2̺eiω.

Ezek az összefüggések egyértelműen meghatározzák az r ≥ 0, ̺ ≥ 0 abszolút érté-keket, valamint a ϕ, ω ∈ [0, 2π) szögeket.

Megmutattuk tehát azt, hogy a 3. esetben az (1) rekurziós egyenlet x0 = A ésx1 = B kezdeti feltételeket kielégítő egyetlen megoldása a következő sorozat:

xn = 2Re (αqn) = ̺rnRe(

ei(nϕ+ω))

= ̺rn cos(nϕ+ ω)

(n = 0, 1, 2, . . .).(4)


x0 = 0, x1 = 1,

xn = −xn−2 (n = 2, 3, 4, . . .)



1. megoldás. A sorozat első néhány tagja:

0, 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, 0, 1, 0, −1, . . . ,

ami alapján sejhető, hogy egy 4 periódusú periodikus sorozatról van szó, amelyikelső négy tagja:

0, 1, 0, −1.

A periodicitás azonban rögtön következik az xn = −xn−2 rekurziós képletből, ugyanis

xn = −xn−2 = −(−xn−4) = xn−4 (n = 4, 5, 6, . . .).

A sorozat explicit alakja tehát:

xn =

{

0, ha n = 2k

(−1)k, ha n = 2k + 1. �

2. megoldás. Az ismertetett módszerrel is megoldjuk a feladatot. Az

xn = −xn−2 = 0 · xn−1 + (−1) · xn−2

rekurzió karakterisztikus polinomja

p(λ) = λ2 − 0 · λ− (−1) = λ2 + 1 = 0.

Ennekq = i = 1

(

cos π2+ i sin π

2

)

az egyik gyöke (a másik pedig q = −i). A kezdeti értékek x0 = A = 0, x1 = B = 1,ezért

α =B − Aq

q − q=

1

2i= −1

2i =

1

2· 1 ·

(

cos(

−π2

)

+ i sin(

−π2

))

.

A (4) képlet alapján a sorozat explicit alakja:

xn = cos(

(n− 1)π

2

)

(n = 0, 1, 2, . . .).

Mivel

cos(

(n− 1)π

2

)

=

{

0, ha n = 2k

(−1)k, ha n = 2k + 1,

ezért ugyanazt kapjuk, mint az előbb. �


x0 = 0, x1 = 1,

xn =√3xn−1 − xn−2 (n = 2, 3, 4, . . .)



Megoldás. A rekurzió karakterisztikus polinomja:

p(λ) = λ2 −√3λ+ 1.

Ennek a

q =

√3 + i

2= 1

(

cos π6+ i · sin π

6

)

az egyik és q =√32− 1

2i a másik gyöke. A kezdeti értékek x0 = 0 = A és x1 = 1 = B,

ezért

α =B − Aq

q − q= −i =

1

2· 2(

cos(

−π2

)

+ i sin(

−π2

))

.

A sorozat explicit alakja a (4) képlet alapján:

xn = 2 · cos(π

6n− π

2

)

(n = 0, 1, 2, . . .). �


x0 = 1, x1 = 3,

xn = 2xn−1 − 2xn−2 (n = 2, 3, 4, . . .)


Megoldás. A rekurzív egyenlet karakterisztikus polinomja:

p(λ) = λ2 − 2λ+ 2.

Ennekq = 1 + i =

√2(

cos π2+ i sin π

2

)

az egyik, q = 1 − i pedig a másik gyöke. Az x0 = 1 = A és x1 = 3 = B kezdetiértékek alapján:

α =B − Aq

q − q=

1

2(1− 2i) =

1

2

√5(cosω + i sinω).

Az α komplex szám ω argumentumát nem lehet egyszerűen meghatározni, ezért a(4) képletben most az αqn szám valós részét fogjuk kiszámolni.

Mivel minden n ∈ N esetén

qn = (√2)n(

cos(

nπ4

)

+ i sin(

nπ4

))

,

ezért

Re (αqn) =(√2)n

2Re[

(1− 2i)(

cos(

nπ4

)

+ i sin(

nπ4

))]

=

=(√2)n

2

(

cos(

nπ4

)

+ 2 sin(

nπ4

)

)

.

(4) alapján a sorozat explicit képlete tehát

xn = 2Re (αqn) = (√2)n[

cosnπ

4+ 2 sin

nπ

4

]

(n = 0, 1, 2, . . .). �

3.4. Az xn = rxn−1(1− xn−1) logisztikus rekurzió 33

3.4. Az xn = rxn−1(1− xn−1) logisztikus rekurzió

Az előző pontokban láttuk, hogy vannak olyan általános módszerek, amelyekkelbizonyos lineáris rekurziók explicit képlettel is megadhatók. A helyzet lényegesenmegváltozik akkor, ha nemlineáris rekurziókat tekintünk.

Ebben a pontban két igen egyszerű szerkezetű nemlineáris rekurzió (nemtriviális)explicit előállítását mutatjuk meg.

A pozitív valós r paraméterrel tekintsük a 3.2. pontban ismertetett

x0 ∈ R,

xn = rxn−1(1− xn−1) (n = 1, 2, 3, . . .)

rekurzív sorozatot, amelyet logisztikus rekurziónak vagy logisztikus differenciaegyen-letnek szokás nevezni.

A továbbiakban az r = 4 és az r = 2 speciális esetekkel fogunk foglalkozni.A fenti rekurzív képlet jobb oldalával tekintsük az

f(x) := rx(1− x) (x ∈ R; r > 0)

függvényt, és ennek az n-edik iteráltját definiáljuk a következő módon:

f [0] := id, f [1] := f, f [n] := f ◦ f ◦ · · · ◦ f (n = 2, 3, 4, . . .).

Az utolsó képlet jobb oldala n tagú kompozíciót jelöl.Ezzel ajelöléssel a logisztikus rekurziót így is felírhatjuk:

x0 ∈ R,

xn = f [n](x0) (n = 1, 2, 3, . . .).

Ennek a sorozatnak az explicit megadása egyenértékű az f [n] függvény explicitalakjának a meghatározásával.

• Az r = 4 speciális eset

Tekintsük azf(x) := 4x(1− x) (x ∈ [0, 1])

függvényt. Mivel f : [0, 1] → [0, 1] szürjektív, ezért az n-edik iteráltja, vagyis azf [n](x) (x ∈ [0, 1]) függvény minden n természetes számra képezhető.

Az explicit alak előállításának alapötlete alkalmas változótranszformáció alkal-mazása.

Az x ∈ [0, 1] (régi) változó helyett vezessük be az α (új) változót akövetkezőképpen:

x =1− cos 2α

2= sin2 α =: ϕ(α)

(

α ∈[

0, π2

])

.

(Az ötletet illetően lásd [15]-at és [14]-et.)


Innen már minden egyszerű. Először azt jegyezzük meg, hogy a

ϕ :[

0, π2

]

→ [0, 1]

függvény bijekció, és az inverze:

ϕ−1(x) = α = 12arccos(1− 2x) (x ∈ [0, 1]). (1)

Nézzük sorba az f függvény iteráltjait:

f [1](x) = f(x) = f(sin2 α) = 4 sin2 α(1− sin2 α) =

= 4 sin2 α cos2 α = (2 sinα cosα)2 = sin2 2α,

f [2](x) = f(f(x)) = f(f(sin2 α)) = f(sin2 2α) = sin2(22α),

f [3](x) = f(f [2](x)) = f(sin2(22α) = sin2(23α).

A fentiekből már megsejthető, és teljes indukcióval be is bizonyítható, hogy

f [n] = f [n](sin2 α) = sin2(2nα)(

x ∈ [0, 1], α ∈[

0, π2

]

, n = 0, 1, 2, . . .)

.

A jobboldalt írjuk fel x függvényeként. Ehhez a sin2 y = 1−cos 2y2

, valamint az(1)-ból adódó

2α = arccos(1− 2x)

összefüggést használjuk fel. Azt kapjuk, hogy

sin2(2nα) =1− cos(2n · 2α)

2= 1

2(1− cos (2n arccos(1− 2x))) .

Bebizonyítottuk tehát az alábbi állítást.

1. tétel. Azx0 ∈ [0, 1],

xn = 4xn−1(1− xn−1) (n = 1, 2, 3, . . .)

rekurzív sorozat explicit alakja:

xn = 12(1− cos (2n arccos(1− 2x0))) (n = 0, 1, 2, . . .).

• Az r = 2 speciális eset

Most azf(x) := 2x(1 − x)

(

x ∈[

0, 12

))

függvényből indulunk ki. Mivel f :[

0, 12

)

→[

0, 12

)

szürjektív, ezért az n-edikiteráltja, vagyis az f [n](x)

(

x ∈[

0, 12

))

függvény minden n természetes számra képez-hető.

Az explicit alak előállításának alapötlete most az alábbi változótranszformációalkalmazása.


Az x ∈[

0, 12

)

(régi) változó helyett vezessük be az α (új) változóta következőképpen:

x =1− e2α

2:= ϕ(α) (α ∈ (−∞, 0]).

(Az ötletet illetően lásd [14]-et.)

A ϕ : (−∞, 0] →[

0, 12

)

függvény bijekció, és az inverze:

ϕ−1(x) = α = 12log(1− 2x)

(

x ∈[

0, 12

))

. (2)

Nézzük sorba az f függvény iteráltjait:

f [1](x) = f(x) = f

(

1− e2α

2

)

= 2 · 1− e2α

2·(

1− 1− e2α

2

)

=

=(1− e2α)(1 + e2α)

2=

1− e4α

2,

f [2](x) = f(f(x)) = f

(

1− e4α

2

)

=1− e8α

2,

f [3](x) = f(f [2](x)) = f

(

1− e8α

2

)

=1− e16α

2.

Ezekből a képletekből már sejthető és teljes indukcióval be is bizonyítható, hogy

f [n](x) = f [n]

(

1− e2α

2

)

=1− e2

n·2α

2(

x ∈[

0, 12

)

, α ∈ (−∞, 0], n = 0, 1, 2, . . .)

.

(2) felhasználásával azt kapjuk, hogy

1− e2n·2α

2= 1− e2

n log(1−2x).

Bebizonyítottuk tehát az alábbi állítást.

2. tétel. Azx0 ∈

[

0, 12

)

,

xn = 2xn−1(1− xn−1) (n = 1, 2, 3, . . .)

rekurzív sorozat explicit alakja:

xn = 12(1− exp (2n log(1− 2x0))) (n = 0, 1, 2, . . .).

4. Rekurzív sorozatok határértéke

A 2.1. pontban volt arról szó, hogy a rekurziókkal kapcsolatos egyik alapvetőkérdés a megoldások jellemzésének a problémája. Egy sorozat viselkedésének aleírásához a következő tulajdonságokat használjuk: monotonitás, korlátosság, ha-tárérték, periodicitás. Ebben a fejezetben a határérték szempontjából vizsgáljukmeg a rekurziókat. Ha ismerjük a sorozat explicit alakját, akkor a határérték vizs-gálatánál megismert eredményeket használhatjuk. Explicit előállítást azonban csakviszonylag

”kevés” esetben ismerünk. A továbbiakban ilyen példákat is mutatunk.

Explicit képlet hiányában más utat kell keresni. Két olyan módszert ismertetünk,amelyekkel rekurzív sorozatok konvergenciáját sok esetben lehet vizsgálni. Az egyikmódszer alapja a monoton sorozatok konvergenciájára vonatkozó tétel, a másiképedig a Banach-féle fixponttétel.

4.1. Elsőrendű lineáris rekurziók

Az egyszerűség végett most csak a 3.1. pontban szereplő elsőrendű, állandóegyütthatós lineáris rekurziókat, vagyis az

x0 ∈ R,

xn = axn−1 + b (n = 1, 2, 3, . . .)(1)

sorozatokat tekintjük, ahol a, b adott valós számok. Ennek explicit alakjára akövetkező képletet kaptuk:

xn =

an(

x0 −b

1− a

)

+b

1− a, ha a ∈ R \ {1}

x0 + bn, ha a = 1(n = 0, 1, 2, . . .). (2)

A kitűzőtt feladatunk tehát (xn) határértékének a vizsgálata az x0, az a és a bparaméterek függvényében.

Induljunk ki a következő egyszerű észrevételből: Ha |a| < 1, akkor lim(an) = 0alapján az (xn) sorozat konvergens és a határértéke:

lim(xn) =b

1− a=: x∗. (3)

Sőt: a (2) explicit alakból az is rögtön adódik, hogy ha a kezdőértéket x∗-nakválasztjuk, akkor az (xn) sorozat minden további tagja is x∗ lesz, azaz

ha x0 := x∗, akkor xn = x∗ minden n = 1, 2, 3, . . . indexre.

A (3)-ban definiált x∗ számot az (1) rekurzió (vagy differenciaegyenlet) stacionáriuspontjának vagy egyensúlyi helyzetének nevezzük.


A (2) képletből azt is látjuk, hogy (xn) határértéke az (an) sorozat határértékénmúlik. A továbbiakban sorra vesszük a lehetséges eseteket.

1. eset. Legyen a = 0. Ekkor tetszőleges x0 ∈ R kezdőérték és b ∈ R esetén(xn) az x0, b, b, b, . . . sorozat, ami konvergens, és lim(xn) = b.

2. eset. Legyen a = 1. Ekkor az

x0 ∈ R,

xn = xn−1 + b (n = 1, 2, 3, . . .)

számtani sorozatot kapjuk. Ennek a határértékére a következő adódik:

lim(xn) =

x0, ha b = 0

+∞, ha b > 0

−∞, ha b < 0.

3. eset. Legyen 0 < a < 1. Ekkor lim(an) = 0, ezért (2) alapján az (xn) sorozatminden x0 ∈ R kezdőérték esetén az x∗ stacionárius ponthoz konvergál, azaz

lim(xn) =b

1− a= x∗.

(2)-ből az (xn) sorozat viselkedésére még további”finomabb” részletek is leolvashatók.

Mivel (an) monoton csökkenve tart 0-hoz, ezért az (xn) sorozat x0 > x∗ = b1−a

eseténmonoton csökkenve, x0 < x∗ = b

1−aesetén monoton növekedve tart az x∗ stacionárius

ponthoz. Ezt az esetet a következő ábrán szemléltetjük:

x∗

x0

x

n

x0 > x∗ = b1−a

, a < 0 < 1

x∗

x0

x

n

x0 < x∗ = b1−a

, a < 0 < 1

1. ábra

4. eset. Legyen −1 < a < 0. Most szintén igaz a lim(xn) = x∗ egyenlőség.Az (xn) sorozat viselkedésének a finomabb részletei is közvetlenül leolvashatók a (2)explicit képletből. Az (an) sorozat páros indexű részsorozata monoton csökkenve,a páratlan indexű pedig monoton növekedve tart 0-hoz. Ebből az következik, hogyminden x0 > x∗ kezdőérték esetén az (xn) sorozat páros indexű részsorozata monotoncsökkenve, a páratlan indexű pedig monoton növekedve tart x∗-hoz. Ha x0 < x∗,


akkor pedig (xn) páros indexű részsorozata monoton növekedve, a páratlan indexűmonoton csökkenve tart x∗-hoz. Az (xn) sorozatnak az ilyen típusú viselkedésétröviden úgy is szokás kifejezni, hogy (xn) oszcillálva tart a határértékéhez. Ezt azesetet szemlélteti a következő ábra:

x∗

x0

x

n

x0 > x∗ = b1−a

, −1 < a < 0

x∗

x0

x

n

x0 < x∗ = b1−a

, −1 < a < 0

2. ábra

5. eset. Legyen a > 1. Most lim(an) = +∞, ezért (2) alapján

lim(xn) =

{

+∞, ha x0 > x∗ = b1−a

−∞, ha x0 < x∗ = b1−a

.

Az (xn) sorozat mindegyik esetben monoton, x0 > x∗ esetén monoton növekedő, hax0 < x∗, akkor pedig monoton csökkenő. Ezt szemlélteti a következő ábra:

x∗x0

x

n

x0 > x∗ = b1−a

, a > 1

x∗x0

x

n

x0 < x∗ = b1−a

, a > 1

3. ábra

6. eset. Legyen a < −1. Most az (an) sorozat páros indexű részsorozatamonoton növekedve tart (+∞)-hez, a páratlan indexű pedig monoton csökkenve tart(−∞)-hez. Ebből az következik, hogy minden x0 > x∗ kezdőérték esetén (xn) párosindexű részsorozata monoton növekedő módon tart (+∞)-hez, a páratlan indexűpedig monoton csökkenve tart (−∞)-hez. Hasonló a helyzet, ha x0 < x∗. Az (xn)sorozat ilyen típusú viselkedését úgy fejezzük ki, hogy az (xn) sorozat osszcillálvadivergens. Ezt az esetet a következő ábrán szemléltetjük:


x∗x0

x

n

x0 > x∗ = b1−a

, a < −1

4. ábra

7. eset. Legyen a = −1, akkor

xn = (−1)n(x0 −1

2b) +

1

2b (n = 0, 1, 2, . . .)

és x∗ = 12b. Mivel x2n = x0 és x2n+1 = −x0 + b (n = 0, 1, 2, . . .), ezért (xn) egy

2-periodikus sorozat, vagyis kielégíti az

xn+2 = xn (n = 0, 1, 2, . . .)

összefüggést. Az (xn) sorozat ebben az esetben az x∗ stacionárius pont körül oszcillálaz∣

∣x0 − b2

∣

∣ állandóval (lásd az 5. ábrát).

x∗

x0

x

n

x0 > x∗ = b1−a

, a = −1

5. ábra

Az eddigieket a következőképpen foglaljuk össze.

1. tétel. Tegyük fel, hogy a és b adott valós számok, és a 6= 1 esetén legyen

x∗ :=b

1− a.

Ekkor az

x0 ∈ R,

xn = axn−1 + b (n = 1, 2, 3, . . .)

4.2. Monoton sorozatok 40

sorozat határértékére a következők teljesülnek:

lim(xn)

= x0, ha x0 = x∗, a 6= 1 és b ∈ R

= x∗, ha |a| < 1 és x0 ∈ R

= sign (b) · (+∞), ha a = 1 és |b| > 0

= x0, ha a = 1 és b = 0

= sign (x0 − x∗) · (+∞), ha x0 ∈ R, a > 1 és b ∈ R

∄ (oszcillálva divergens), ha a ≤ −1, x0 6= x∗ és b ∈ R.

•Az egyensúlyi helyzet stabilitása

Most rögzített a, b ∈ R esetén figyeljük meg az (1) sorozat viselkedését akkor, hacsak az x0 kezdőértéket változtatjuk.

Tekintsük először azt az esetet, amikor a = −1, b rögzített és x0 változik. Azelőzőekből (lásd a 7. eset) világos, hogy ha x0-at az x∗ egyensúlyi helyzet egy

”kicsi”

környezetéből indítjuk, akkor az (xn) sorozat minden tagja benne marad az x∗ pontegy

”kicsi” környezetében. Ezt röviden úgy fejezzük ki, hogy az x∗ egyensúlyi helyzet

stabilis.

Rögzítsük most az |a| < 1 és b ∈ R számokat (lásd az 1., 3. és 4. eseteket),és változtassuk az x0 kezdőértékeket. Azt látjuk, hogy az x∗ egyensúlyi helyzet egy

”kicsi” környezetéből kiinduló megoldások x∗-hoz tartanak. Az ilyen esetekben azt

mondjuk, hogy az x∗ egyensúlyi helyzet aszimptotikusan stabilis.

A fennmaradó esetekben az x∗ egyensúlyi helyzet egy”kicsi” környezetéből kiin-

duló megoldások x∗-tól eltávolodnak, és ekkor azt mondjuk, hogy az x∗ egyensúlyihelyzet instabilis.

4.2. Monoton sorozatok

Határérték szempontjából a monoton sorozatok a legegyszerűbbek, ugyanis min-den monoton sorozatnak van határértéke. A határérték +∞, ha a sorozat felülrőlnem korlátos és −∞, ha alulról nem korlátos. Egy monoton sorozat akkor és csakakkor konvergens, ha korlátos. Ez azt jelenti, hogy monoton sorozatok esetén ahatárérték vizsgálatát vissza lehet vezetni a sokkal egyszerűbb monotonitás és akorlátosság vizsgálatára.

Rekurzív sorozatok határértékének a vizsgálatára tehát a következő kézenfekvőmódszer adódik: Ha meg tudjuk mutatni, hogy a sorozat monoton és korlátos,akkor ebből már következik, hogy a sorozat konvergens, és a határértékét a rekurzívösszefüggésből nyerhető egyenlet gyökeiből próbáljuk kiválasztani. A módszert akövetkező példán mutatjuk be.


1. példa. Konvergens-e az

x0 =√2,

xn =√

2xn−1 (n = 1, 2, 3, . . .)

sorozat? Ha igen, akkor mi a határértéke?

Megoldás. A monotonitás vizsgálatához írjuk fel a sorozat első néhány tagját:

x0 =√2, x1 =

√

2√2, x2 =

√

2

√

2√2.

Ebből az a sejtésünk alakul ki, hogy az (xn) sorozat monoton növekedő, azaz

xn ≤ xn+1 (n ∈ N).

Ezt a sejtést teljes indukcióval be is bizonyíthatjuk: Mivel x0 ≤ x1, ezért csak akövetkezőt kell megmutatnunk: ha valamilyen n ∈ N mellett xn ≤ xn+1, akkorfennáll az xn+1 ≤ xn+2 egyenlőtlenség is. Ez viszont igaz, mert

xn+1 =√2xn ≤

√

2xn+1 = xn+2.

Az (xn) sorozat tehát monoton növekedő.Korlátosság. A sorozat tagjait figyelve alakulhat ki az a sejtésünk, hogy (xn)

felülről korlátos, és 2 egy felső korlátja, azaz xn ≤ 2 (n ∈ N). Ezt is teljes indukcióvallátjuk be. Mivel x0 =

√2 ≤ 2, ezért az állítás n = 0-ra igaz. Tegyük fel, hogy

valamely n ∈ N indexre xn ≤ 2. Ekkor

xn+1 =√2xn ≤

√2 · 2 = 2,

ezért a sorozat felülről korlátos.

Konvergencia. Mivel (xn) monoton növekedő és felülről korlátos, ezért konver-gens. Jelölje A a sorozat határértékét. Az

xn =√

2xn−1

rekuziós összefüggésben vegyük az n → +∞ határátmenetet. Ekkor azt kapjuk,hogy

A =√2A.

Ennek az egyenletnek a megoldásai 0 és 2. A monoton növekedés és x0 =√2 miatt

az (xn) sorozat minden tagja ≥√2, így 0 nem lehet a sorozat határértéke. Ezért

lim(xn) = 2.

Az (xn) sorozat tehát konvergens és 2 a határértéke. �

A rekurzív összefüggésből és a sorozat első néhány tagjából általában nem egy-szerű feladat egy alsó vagy felső korlát meghatározása. A monotonitás ismerete


után egy korlát”megsejtésére” a következő ötletet alkalmazhatjuk. Feltételezzük,

hogy a sorozat konvergens. Jelöljük A-val a határértékét. Ha (xn) például monotonnövekedő, akkor A egy felső korlát. Ha a rekurzív összefüggésben vesszük az n →→ +∞ határátmenetet, akkor a lehetséges határértékre (azaz A-ra) egy egyenletetkapunk. Ennek megoldásai közül választunk egyet, és – például teljes indukcióval –megpróbáljuk igazolni, hogy az a sorozatnak egy felső korlátja. Ezt a technikát akövetkező példán keresztül illusztráljuk.

2. példa. Mutassuk meg, hogy az

x0 = 0,

xn =x3n−1 + 1

2(n = 1, 2, 3, . . .)

sorozat konvergens, és számítsuk ki a határtértékét.

Megoldás. A monotonitás vizsgálata. Nézzük a sorozat első néhány tagját:

x0 = 0, x1 =12, x2 =

916, . . . .

Azt a sejtést, hogy a sorozat monoton növekedő teljes indukcióval igazoljuk. Mivelx0 = 0 ≤ 1

2= x1, ezért az állítás n = 0-ra igaz. Tegyük fel, hogy valamilyen n ∈ N

számra xn ≤ xn+1. Ekkor

xn+1 =x3n + 1

2≤ x3

n+1 + 1

2= xn+2,

ezért a sorozat valóban monoton növekedő.

Egy felső korlát keresése. A fentiek alapján tegyük fel, hogy (xn) konvergens ésjelöljük A-val a határértékét. Ekkor az

xn =x3n−1 + 1

2(n ∈ N)

rekurzív összefüggésből A-ra a következő egyenletet kapjuk:

A =A3 + 1

2⇐⇒ A3 − 2A + 1 = 0.

Ezt a harmadfokú egyenletet a”szorzatra bontás” módszerével meg tudjuk oldani.

Az a3 − b3 = (a− b)(a2 + ab+ b2) azonosság alapján:

A3 − 2A+ 1 = A3 − 13 − 2(A− 1) = (A− 1)(A2 + A + 1)− 2(A− 1) =

= (A− 1)(A2 + A− 1) = 0.

Ennek az egyenletnek a gyökei −1±√5

2és 1. Tehát, ha az (xn) sorozat konvergens,

akkor a határtértéke csak az előbbi három szám valamelyike lehet. Nézzük sorba:


−1−√5

2nem lehet a sorozat határértéke, mert xn ≥ 0 minden n ∈ N esetén. A másik

két gyök között viszont fennáll a következő reláció:√5−12

< 1. Teljes indukcióvalpróbáljuk meg igazolni azt, hogy

xn ≤√5−12

(n ∈ N).

Mivel x0 = 0 <√5−12

, ezért az állítás n = 0-ra igaz. Tegyük fel, hogy valamely

n ∈ N számra xn ≤√5−12

. Ekkor

xn+1 =x3n + 1

2≤

(√5−12

)3

+ 1

2=

(√5− 2) + 1

2=

√5− 1

2.

ezért√5−12

valóban felső korlátja az (xn) sorozatnak.

Konvergencia. Mivel (xn) monoton növő és felülről korlátos, ezért konvergens. Ahatárértéke csak

√5−12

vagy 1 lehet. Mivel√5−12

(< 1) a sorozatnak egy felső korlátja,

ezért 1 nem lehet a határértéke, következésképpen lim(xn) =√5−12

. �

Az 1.5. pontban bebizonyított Banach-féle fixponttételnél láttuk, hogy bizonyosesetekben egy rekurzív sorozat határértéke független a kezdőérték megválasztásától.A következő példában azt mutatjuk meg, hogy az általános esetben ez nem igaz,vagyis ugyanazzal a rekurziós képlettel megadott sorozat a hatérték szempontjábólkülönbözőképpen viselkedhet, ha a kezdőértékeket különböző módon választjuk meg.

3. példa. Határérték szempontjából vizsgáljuk meg az a ∈ R kezdőérték függ-vényében az

x0 = a,

xn =1

19

(

x3n−1 + 30

)

(n = 1, 2, 3, . . .).

sorozatot.

Megoldás. Az előzőekben leírt módszert követve először azt nézzük meg, hogyha (xn) konvergens, akkor mi lehet a határértéke. Tegyük fel tehát azt, hogylim(xn) =: A ∈ R. Ekkor a megadott rekurzív összefüggésben elvégezve az n → +∞határátmenetet azt kapjuk, hogy az A lehetséges határérték kielégíti az

A =1

19

(

A3 + 30)

⇐⇒ A3 − 19A+ 30 = 0 (1)

harmadfokú egyenletet. Ennek megoldására a megoldóképlet (Cardano-képlet) he-lyett a szorzatra bontás módszerét alkalmazzuk. Behelyettesítéssel meggyőződ-hetünk arról, hogy A = 2 az egyenlet egy megoldása. Ez motiválja a következőátalakítást:

A3 − 19A+ 30 =(

A3 − 23)

− 19(A− 2) = (A− 2)(

A2 + 2A+ 4)

− 19(A− 2) =

= (A− 2)(

A2 + 2A− 15)

= (A− 2)(A− 3)(A+ 5).


Azt kaptuk tehát, hogy ha (xn) konvergens, akkor a határértéke csak

A1 = −5, A2 = 2 vagy A3 = 3

lehet. Az a ∈ R paramétertartományt ezekkel az értékekkel osztjuk fel.Először azt vesszük észre, hogy ha az (xn) sorozatot az Ai (i = 1, 2, 3) pontok

valamelyikéből indítjuk, akkor az végig ott marad; azaz ha a = Ai, akkor

xn = Ai (n = 1, 2, 3, . . .)

is teljesül mindegyik i = 1, 2, 3 esetén. Valóban, legyen i = 1, x0 = A1 = −5. Ekkor

x1 =1

19

(

x30 + 30

)

=1

19

(

(−5)3 + 30)

= −5.

Teljes indukcióval bizonyítható, hogy a sorozat mindegyik tagja −5. Ugyanez adódikakkor is, ha x0 = 2 vagy x0 = 3. Az Ai pontok (i = 1, 2, 3) tehát a sorozatstacionárius pontjai vagy egyensúlyi helyzetei.

A továbbiakban az alábbi négy esetet fogjuk megvizsgálni:

1. eset: a < −5,2. eset: −5 < a < 2,3. eset: 2 < a < 3,4. eset: 3 < a.

A monotonitás technikáját fogjuk alkalmazni. Nézzük a sorozat első két tagját:

x0 = a, x1 =1

19

(

a3 + 30)

.

Azt kell eldönteni, hogy melyik kisebb/nagyobb, azaz

a?

T 1

19

(

a3 + 30)

.

Ekvivalens átalakítások után ebből azt kapjuk, hogy

a?

T 1

19

(

a3 + 30)

⇐⇒ 0?

T a3 − 19a+ 30 = (a− 2)(a− 3)(a+ 5). (2)

1. eset. Legyen a < −5. Teljes indukcióval megmutatjuk, hogy a sorozat(szigorúan) monoton csökkenő.

i) Legyen n = 0. Mivel (2)-ben szereplő háromtényezős szorzat mindegyiktényezője negatív, ezért

0 > (a− 2)(a− 3)(a+ 5) ⇐⇒ a >1

19(a3 + 30) ⇐⇒ x0 > x1.

Az állítás tehát n = 0-ra igaz.


ii) Tegyük fel, hogy xn < xn−1 valamely n ∈ N esetén. Ekkor

xn+1 =1

19(x3

n + 30) <1

19(x3

n−1 + 30) = xn,

ezért az állítás (n+1)-re is igaz. Az (xn) sorozat tehát valóban (szigorúan) monotoncsökkenő.

Az (xn) sorozat alulról nem korlátos. Ha az lenne, akkor a monoton sorozatokhatárértékére vonatkozó tétel miatt (xn) konvergens is lenne. A határértéke csak−5, 2 vagy 3 lehet. Ez viszont ellentmond annak, hogy

xn < x1 < x0 < −5 (n = 2, 3, 4, . . .).

A fentieket összefoglalva azt kaptuk, hogy

ha a < −5, akkor lim(xn) = −∞.

2. eset. Legyen −5 < a < 2. Ekkor a (2)-ben a háromtényezős szorzat pozitív,ezért x0 < x1. A fenti módon belátható, hogy (xn) (szigorúan) monoton növekedő.

Teljes indukcióval bebizonyítjuk, hogy 2 a sorozat egy felső korlátja.i) Az állításunk igaz az n = 0 esetben, hiszen x0 = a < 2.ii) Tegyük fel, hogy valamilyen n ∈ N esetén xn < 2. Ekkor

xn+1 =1

19(x3

n + 30) <1

19(23 + 30) = 2.

Ez azt jelenti, hogy az (xn) sorozat felülről korlátos, következésképpen konvergens.A határértéke −5 és 3 nem lehet, ezért a sorozat 2-höz tart. Megmutattuk tehát

azt, hogyha − 5 < a < 2, akkor lim(xn) = 2.

3. eset. Legyen 2 < a < 3. A fentiekhez hasonló módon igazolható, hogy (xn)most (szigorúan) monoton csökkenő módon tart 2-höz, azaz

ha 2 < a < 3, akkor lim(xn) = 2.

4. eset. Legyen 3 < a. Ekkor az (xn) sorozat (szigorúan) monoton növekedő ésfelülről nem korlátos, ezért

ha 3 < a, akkor lim(xn) = +∞.

Az eddigieket összefoglalva tehát azt kaptuk, hogy az (xn) sorozatnak mindena ∈ R paraméter esetén van határértéke, és

lim(xn) =

−∞, ha a < −5

−5, ha a = −5

2, ha −5 < a < 3

3, ha a = 3

+∞, ha 3 < a. �


A következő példában olyan rekurzív sorozatokat adunk meg, amelyeknek ahatárértéke egy adott pozitív valós szám m-edik gyöke.

4. példa. Legyen m > 1 természetes szám és a > 0 valós szám. Bizonyítsuk be,hogy az

x0 > 0 (tetszőleges valós),

xn =1

m

(

a

xm−1n−1

+ (m− 1)xn−1

)

(n = 1, 2, 3, . . .),

rekurzív módon megadott sorozat konvergens, és m√a határtértéke:

lim(xn) =m√a.

Megoldás. Megmutatjuk, hogy az (xn) sorozat az első tagtól kezdve monotonfogyó, azaz xn ≤ xn−1 (n = 2, 3, . . .), ami azzal ekvivalens, hogy

xn

xn−1

≤ 1 (n = 2, 3, . . .).

A rekurziós összefüggésből kiindulva a következő átalakításokat végezzük el:

xn =1

m

(

a

xm−1n−1

+ (m− 1)xn−1

)

⇔ xn

xn−1

=1

m

(

a

xmn−1

+ (m− 1)

)

⇔

⇔ xn

xn−1

=1

m

a

xmn−1

+ 1− 1

m= 1 +

1

m

(

a

xmn−1

− 1

)

≤ 1,

ezért az (xn) sorozat pontosan akkor monoton fogyó, ha az utolsó összeg másodiktagja ≤ 0, azaz

a ≤ xmn (n = 1, 2, . . .). (3)

Ennek bizonyításához xn-et az m darab

a

xm−1n−1

, xn−1, xn−1, . . . , xn−1

szám számtani közepének tekintjük. Ezekre a számtani és a mértani közép közöttiegyenlőtlenséget felhasználva azt kapjuk, hogy

xmn ≥ a

xm−1n−1

· xn−1 · · · ·xn−1 = a (n = 2, 3, . . .).

Ezzel megmutattuk, hogy az (xn) sorozat monoton fogyó. Mivel 0 ≤ xn minden nindexre, ezért 0 a sorozatnak egy alsó korlátja.

Az (xn) sorozat tehát monoton fogyó és alulról korlátos, ezért konvergens. JelöljeA a sorozat határértékét, azaz A := lim(xn). (3) miatt A > 0. Az

xn =1

m

(

a

xm−1n−1

+ (m− 1)xn−1

)

(n ∈ N)


rekurziós összefüggésben az n → +∞ határátmenetet elvégezve A-ra a következőegyenletet kapjuk:

A =1

m

( a

Am−1+ (m− 1)A

)

.

Ennek megoldása Am = a, azaz A = m√a. Ezzel a tételt bebizonyítottuk. �

Megjegyzések

1o Figyeljük meg, hogy az (xn) sorozat tetszőleges x0 > 0 kezdőértékből indítva

ugyanahhoz a számhoz konvergál.

2o A fenti sorozat egy igen egyszerű konstruktív lehetőséget ad irracionális számok

racionálisokkal való megközelítésére. Ez a helyzet például akkor, ha a és x0 racionálisés m

√a irracionális.

A következő példában azt mutatjuk meg, hogy az ismertetett technika alkal-mazható néhány olyan esetben is, amikor a megadott sorozat nem monoton.

5. példa. Lássuk be, hogy az

x0 = −34,

xn = x2n−1 − 3

4(n = 1, 2, 3, . . .)

sorozat konvergens, és számítsuk ki a határtértékét.

Megoldás. A sorozat viselkedéséről”kézi számolással” most nehezen kaphatunk

információt. Az első négy tag

− 34, − 3

16, − 183

256, − 15663

65536,

amiből a további tagokról nem lehet sejtést kialakítani. Az azonban nyilvánvaló,hogy xn ≥ −3

4(n ∈ N), és teljes indukcióval egyszerűen bebizonyítható az is, hogy

− 34≤ xn < 0 (n ∈ N). (4)

A Mathematica programot használjuk fel további gyors információszerzésre, ésabból valamilyen sejtés kialakítására. A sorozat első 19 tagjának közelítő értékei:

−0.75, −0.187, −0.715, −0.239, −0.693, −0.270,−0.677, −0.291, −0.665, −0.308, −0.655, −0.321,−0.6472, −0.331, −0.640, −0.340, −0.634, −0.347, −0.630,

amelyeket érdemes szemléltetni:


0 2 7 9

x0

x7

x

n

6. ábra

További kísérletezéseket elvégezve alakulhat ki az a sejtésünk, hogy a sorozatpáros indexű részsorozata szigorúan monoton növekedő, a páratlan indexű pedigszigorúan monoton csökkenő, azaz

(x2n) ↑ és (x2n+1) ↓ .

Ezek az állítások teljes indukcióval már egyszerűen bebizonyíthatók.

Nézzük a páros indexű részsorozatot. Mivel

x0 = −34= −0, 75 < x2 = −183

256= −0, 715,

ezért az állítás igaz, ha n = 0. Tegyük fel, hogy

x2n−2 < x2n (< 0) (⇐⇒ x22n < x2

2n−2 (4) miatt).

Ekkor

x2n+2 = x22n+1 − 3

4=(

x22n − 3

4

)2 − 34>

>(

x22n−2 − 3

4

)2 − 34= x2

2n−1 − 34= x2n.

Az (x2n) sorozat tehát valóban szigorúan monoton növekedő.

A páratlan indexű részsorozatra vonatkozó állítást is hasonlóan bizonyíthatjukbe.

Mindkét sorozat tehát monoton és (4) miatt korlátos, ezért konvergens. JelöljeA és B a határértéküket, azaz

A := lim(x2n) és B := lim(x2n+1).

A két részsorozat rekurzív alakban is felírható:

x0 = −34, x2n =

(

x22n−2 − 3

4

)2 − 34;

x1 = − 316, x2n+1 =

(

x22n−1 − 3

4

)2 − 34.

4.3. Elsőrendű nemlineáris rekurziók 49

A sorozatok képzési szabályai megegyeznek, ezért a határértékük (vagyis A és B) az

X =(

X2 − 34

)2 − 34

⇐⇒ X4 − 32X2 −X − 3

16= 0

egyenlet megoldásai között vannak. Ezt a negyedfokú egyenletet a szorzatra bontásmódszerével így oldjuk meg:

X4 − 32X2 −X − 3

16=(

X4 − 12X2 + 1

16

)

− (X2 +X + 14) =

=(

X2 − 14

)2 −(

X + 12

)2=(

X − 12

)2 (X + 1

2

)2 −(

X + 12

)2=

=(

X + 12

)2[

(

X − 12

)2 − 1]

=(

X + 12

)2 [X2 −X − 3

4

]

=

=(

X + 12

)2 (X + 1

2

) (

X − 32

)

=(

X + 12

)3 (X − 3

2

)

.

A gyökök tehát: X1,2,3 = −12

és X4 = 32. A szóban forgó konvergens részsorozatok

minden tagja negatív, ezért a határértékük X4 = 32

nem lehet, következésképpenA = B = −1

2.

Az (xn) sorozat páros és páratlan indexű részsorozatának ugyanaz a határértéke,ezért az (xn) sorozat konvergens és lim(xn) = −1

2. �

4.3. Elsőrendű nemlineáris rekurziók

Ebben a pontban az

x0 ∈ R,

xn = f(xn−1) (n = 1, 2, 3, . . .)(1)

alakú rekurzív sorozatokkal foglalkozunk, ahol f adott valós-valós függvény. Ilyenkorazt is mondjuk, hogy az (xn) sorozatot az f függvény generálja.

Teljes indukcióval bebizonyítható, hogy ha

x0 ∈ Df és Rf ⊂ Df ,

akkor az (xn) sorozat egyértelműen meghatározott.

Az 1.5. pontban igazolt Banach-féle fixponttétel egy jól használható eszköz azilyen alakú (xn) sorozatok konvergenciájának a vizsgálatához. Az alapján tehát, haaz f : [a, b] → [a, b] függvény kontrakció, vagyis

∃ q ∈ [0, 1) : |f(x)− f(y)| ≤ q|x− y| (x, y ∈ [a, b]), (2)

akkor minden x0 ∈ [a, b] kezdőértékkel induló (1) alakú sorozat konvergens, és ffixpontjához (azaz az x∗ = f(x∗) feltételt kielégítő x∗ ∈ [a, b] számhoz) konvergál.A fixponttétel a fixpont egyértelmű létezését is állítja.


A (2) kontrakciós feltétel általában nehezen ellenőrizhető. A Lagrange-féle közép-értéktételt felhasználva azonban a következő elégséges feltétel igazolható: ha az ffüggvény deriválható az [a, b] intervallumban és

|f ′(x)| ≤ q < 1 (x ∈ [a, b]),

akkor f kontrakció a q ∈ [0, 1) kontrakciós állandóval.

Végül megjegyezzük még azt is, hogy a Banach-féle fixponttétel az (xn) sorozatkonvergenciasebességére is ad jól használható képletet.

1. példa. A Banach-féle fixponttétel alkalmazásával mutassuk meg, hogy az

x0 = 0,

xn =x3n−1 + 1

2(n = 1, 2, 3, . . .)

sorozat konvergens, és számítsuk ki a határtértékét 10−2 pontossággal.

Megoldás. A sorozat generáló függvénye:

f(x) =x3 + 1

2(x ∈ R),

ezért

xn = f(xn−1) =x3n−1 + 1

2(n = 1, 2, 3, . . .).

A Banach-féle fixponttétel alkalmazásához f értelmezési tartományát kell alkal-masan megválasztani, jelen esetben leszűkíteni egy olyan [a, b] intervallumra, amely-re a következő feltételek teljesülnek:

x0 = 0 ∈ [a, b],

f : [a, b] → [a, b] típusú függvény,

|f ′(x)| = 32x2 ≤ q < 1 (x ∈ [a, b]).

Most nem nehéz ilyen intervallumot találni. Egyszerűen ellenőrizhető, hogy (például)az [a, b] := [0; 0, 7] intervallum megfelelő választás, és ekkor q = 3

2· 0, 72 = 0, 735.

Azt kaptuk tehát, hogy az

f(x) =x3 + 1

2(x ∈ [0; 0, 7])

függvényre a Banach-féle fixponttétel feltételei teljesülnek. Ezért az

x0 = 0,

xn = f(xn−1) =x3n−1 + 1

2(n = 1, 2, 3, . . .)


iterációs (rekurziós) sorozat konvergens, és a határértéke az f leképezés egyértel-műen meghatározott x∗ fixpontja, vagyis az

x =x3 + 1

2

egyenlet [0; 0, 7] intervallumba eső egyetlen gyöke.

A fixponttételből az (xn) sorozat konvergenciájának a sebességére az

|xn − x∗| ≤ qn

1− q|x1 − x0| (n ∈ N)

egyenlőtlenségeket kapjuk. Ha az x∗ határértéket 10−2 pontossággal szeretnénk xn-nel közelíteni, akkor olyan n indexet kell választani, amelyre fenáll a

qn

1− q|x1 − x0| ≤

1

100

egyenlőtlenség. Mivel x0 = 0, x1 =12

és q = 0, 735, ezért azt kapjuk, hogy

qn

1− q|x1 − x0| =

0, 735n

0, 265· 12≤ 1

100⇐⇒ 0, 735n ≤ 0, 0053.

A (0, 735n) sorozat monoton csökkenő (0-hoz tart),

0, 73517 = 0, 00533 és 0, 73518 = 0, 0039,

ezért a fenti egyenlőtlenség minden n ≥ 18 indexre teljesül, ami azt jelenti, hogy az

x18 = 0, 618028

szám 10−2 pontossággal közelíti meg a sorozat határértékét. �Megjegyzések

1o A Banach-féle fixponttételből az is következik, hogy nemcsak az x0 = 0 pont-

ból induló sorozatnak x∗ a határértéke, hanem minden x0 ∈ [0; 0, 7] kezdőértékkelindított és a szóban forgó rekurzív képlettel megadott sorozat is ugyanahhoz az x∗

ponthoz konvergál.

2o A fenti példa azt is illusztrálja, hogy a Banach-féle fixponttételt nemlineáris

egyenletek megoldására lehet alkalmazni. Itt az

x =x3 + 1

2

harmadfokú egyenletről volt szó. Azt tudjuk, hogy nemlineáris egyenletek pontos(explicit) megoldását csak

”kevés” esetben lehet megadni. (A konkrét egyenletünk

is ebbe az osztályba tartozik. Az előző pont 2. példájában megmutattuk, hogy


ennek a pontos megoldásait hogyan lehet”cselesen” előállítani.) Explicit megoldás

hiányában az egyetlen lehetőség az, hogy olyan sorozatot próbálunk megadni, ame-lyik a megoldáshoz konvergál. A fixpont-iteráció egy ilyen, igen széles körben alkal-mazható módszer.

3o A példában kapott n = 18 az

”elméleti küszöbindex”. A gyakorlatban az

egyes iterációs lépéseknél kerekítési hibák is fellépnek, ezért a szükséges pontosságeléréséhez általában több iterációt kell alkalmazni. Bár megadható olyan formula,amelyik a kerekítési hibákat is figyelembe véve határozza meg a szükséges lépésszá-mot, ennek alkalmazása azonban elég bonyolult.

4o Azt is figyeljük meg, hogy a nagyon egyszerűen képezhető fixpont-iteráció

konvergenciasebessége”nem olyan jó” abban az értelemben, hogy elég sok iteráció

kell elvégezni már a 10−2 pontosság eléréséhez is. Ezért fontos az a kérdés, hogyvajon megadhatók-e olyan közelítő sorozatok, amelyek

”gyorsabban” konvergálnak

az egyenlet gyökeihez. Több ilyen módszer is létezik.

Most egy olyan példát mutatunk, amikor a fixpont-iteráció nem alkalmazható.

2. példa. Mutassuk meg, hogy az

x0 = −34,

xn = x2n−1 − 3

4(n = 1, 2, 3, . . .)

sorozat konvergenciájának a vizsgálatához nem használhatjuk a Banach-féle fixpont-tételt.

Megoldás. Ezt a sorozatot az előző pontban már megvizsgáltuk, és azt azegyszerű észrevételt már megtettük, hogy

−34≤ xn < 0 (n ∈ N).

Próbáljuk most alkalmazni a Banach-féle fixponttételt. A sorozat generáló függ-vénye:

f(x) = x2 − 34

(x ∈ R),

ezértxn = f(xn−1) = x2

n−1 − 34

(n = 1, 2, 2, . . .).

Ha az (xn) sorozat konvergens, akkor a határértéke csak az f függvény fixpontjalehet:

x = f(x) ⇐⇒ x = x2 − 34

⇐⇒ x2 − x− 34=(

x+ 12

) (

x− 32

)

= 0 ⇐⇒

⇐⇒ x∗1 = −1

2, x∗

2 =32.

Mivel a sorozat minden tagja negatív, ezért a lehetséges határérték csak x∗1 = −1

2

lehet. A Banach-féle fixponttétel alkalmazásához most tehát olyan [a, b] ⊂ (−∞, 0)


intervallumot kellene találni, amelyikre a következők teljesülnek:

x0 = −34, x∗

1 = −12∈ [a, b],

f : [a, b] → [a, b] típusú függvény,

|f ′(x)| = 2|x| ≤ q < 1 (x ∈ [a, b]).

Mivel |f ′ (x∗1)| = 1, ezért ilyen intervallum nincs, következésképpen a Banach-féle

fixponttétel nem alkalmazható. �

Irodalom

[1] L. Berg: Másodrendű differenciaegyenletek, Tankönykiadó, Budapest, 1982.

[2] Faragó István és Horváth Róbert, Numerikus módszerek, Egyetemi jegyzet,ELTE, Budapest, 2011.

[3] Hatvani László, Krisztin Tibor és Makay Géza, Dinamikus modellek a közgaz-daságban, POLYGON, Szeged, 2001.

[4] Kósa András, Mezei István és S. Gyarmati Erzsébet, Analízis-Példatár,Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1986.

[5] Laczkovich Miklós és T. Sós Vera: Analízis I., Nemzeti Tankönyvkiadó, Bu-dapest, 2005.

[6] Leindler László és Schipp Ferenc: Analízis I., egyetemi jegyzet, Tankönyvki-adó, Budapest, 1976.

[7] Lovász László, Pelikán József és Vesztergombi Katalin, Diszkrét matematika,Typotex, Budapest, 2006.

[8] R.M. May: Nagyon bonyolult dinamikájú egyszerű matematikai modellek,Alkalmazott Matematikai Lapok, 8 1982, 427–446.

[9] Máté László: Rekurzív sorozatok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1980.

[10] Mezei István, Faragó Isván és Simon Péter: Bevezetés az analízisbe, Egyetemijegyzet, ELTE, Budapest.http://www.cs.elte.hu/˜simonp/jegyzet1.pdf

[11] Knut Sydsæter and Peter Hammond: Matematika közgazdászoknak, Aula,Budapest, 1998.

[12] Szili László: Analízis feladatokban I., ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 2008.

[13] http://hu.wikipedia.org/wiki/Fibonacci-sorozat

[14] Eric W. Weisstein: "Logistic Map", From MathWorld–A Wolfram Web Re-source, http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html

[15] J.V. Whittaker: An analitical description of some simple cases of chaoticbehaviour, Amer. Math. Monthly, 98(June-July) 1991, 489–504.

Documents

Rekurzív sorozatok - - Matematikai Intézetweb.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_matelem/2012/szili_beata.pdf · Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar Rekurzív