Optimalizálás a Microsoft Excel Solver b®vítménye segítségévelweb.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_matelem/... · A Microsoft Excel Solver használata A Solver használatát

Eötvös Loránd Tudományegyetem

Természettudományi Kar

Optimalizálás a Microsoft Excel

Solver b®vítménye segítségével

Szakdolgozat

Tóth Ádám

Matematika B.Sc., elemz® szakirány

Témavezet®: Mádi-Nagy Gergely, egyetemi adjunktus

Operációkutatás Tanszék

Budapest

2011

Tartalomjegyzék

1. Bevezetés 3

2. A Microsoft Excel Solver használata 4

3. Lineáris programozás 10

3.1. Termelési feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.1. Modell felírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.2. Megoldás Solver segítségével . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1.3. Megoldás elemzése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2. Szállítási feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.2.1. Modell felírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17



3.3. Hozzárendelési feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.1. Modell felírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21



3.4. Minimális költség¶ hálózati folyam problémák . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4.1. Modell felírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25



4. Nemlineáris programozás 32

4.1. Folytonos feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.1.1. Modell felírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33


1


4.2. Nem folytonos feladat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.1. Modell felírása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35



2

1. fejezet

Bevezetés

Lehet®ségeihez mérten az ember mindig törekedett a legjobb eredmény elérésére. Legyen

az egy gyár autógyártásából származó bevétel, vagy a fogyasztó oldaláról nézve az autó

ár-érték arányának minimalizálása. Nap mint nap optimalizációs problémákkal találjuk

szembe magunkat, még ha nem is vesszük észre. Elég ha csak egy átlagos bevásárlásra

gondolunk. Persze a megoldandó feladatok nagysága és súlya nem ugyanakkora. Vilá-

gos, hogy a kisboltban vásárolható két tej között könnyebb választani, mintha egy lakást

szeretnénk venni, vagy akár egy nagyvállalat vezetésével vagyunk megbízva és dönté-

seinken komoly bevételek múlnak. Itt jön a kérdés: hogyan is tudnánk de�niálni ezt az

egész folyamatot? Az optimalizálás a gazdasági er®forrásokkal való ésszer¶ gazdálkodás, a

legjobb állapot illetve cselekvés kiválasztására alkalmas eljárás, valamely el®re meghatáro-

zott feltételek alapján.

A gyorsaság és pontosság mindig is nagy szerepet kapott az optimalizálásban. Számí-

tógépünk segítségével hatékonyabban tudunk megoldani nagyméret¶ problémákat, vagy

akár olyanoknak is meg tudjuk adni eredményét, amelyeket szinte lehetetlen lenne pa-

píron kiszámolni. Ezt a célt szolgálja a Microsoft Excel Solver b®vítménye. Ennek a

programnak az a m¶ködési elve, hogy a megszorítások �gyelembevételével megvizsgálja a

lehetséges megoldásokat, majd azok közül kiválasztja a számunkra legkedvez®bbet. Egy

feladatnak lehet egy, több vagy akár végtelen sok optimális megoldása, de el®fordulhat az

is, hogy egy sincs.

A kés®bbiekben minden problématípusnál ismertetni fogjuk a modell fontosabb tulaj-

donságait egy feladat segítségével, amelyet a Solverrel megoldunk, majd a kapott ered-

ményeket, jelentéseket kielemezzük. A példafeladatokat Wayne L. Winston Operációku-

tatás - Módszerek és alkalmazások cím¶ könyvéb®l merítettem.

3

2. fejezet

A Microsoft Excel Solver használata

A Solver használatát egy feladat segítségével mutatjuk be a könnyebb megértés kedvéért.

2.1. Feladat. Giapetto fafaragó cége kétfajta fából készült játékot gyárt: katonákat és

vonatokat. Egy katonát 27$-ért lehet eladni, és el®állításához 10$ érték¶ nyersanyag

szükséges. Minden legyártott katona 14 dollárral növeli Giapetto bérben jelentkez® vál-

tozó költségét és az általásnos költséget. Egy vonat 21$-ért adható el, el®állításához 9$

érték¶ nyersanyag szükséges. Minden legyártott vonat 10 dollárral növeli a változó- és ál-

talános költségeket. A fakatonák és favonatok gyártása kétféle szakképzett munkát igényel:

fafaragó és felületkezel® munkát. Egy katona el®állításához 2 óra felületkezel® munka és 1

óra fafaragó munka szükséges. Egy vonathoz 1 óra felületkezel® és 1 óra fafaragó munka

kell. Giapettonak minden héten korlátlan mennyiség¶ nyersanyag áll rendelkezésére, de

csak 100 felületkezel® munkaóra és 80 fafaragó munkaóra használható fel. A vonatok

iránti kereslet korlátlan, katonákból azonban legfeljebb csak 40-et vesznek meg hetente.

Maximalizáljuk Giapetto heti pro�tját (bevétel - költségek)!1

Els® lépésként írjuk fel a feladatunk matematikai modelljét.

Döntési változók:

x1 = ahány katonát gyárt egy héten

x2 = ahány vonatot gyárt egy héten

Korlátozó feltételek:

2 · x1 + x2 ≤ 1001Wayne L. Winston: Operációkutatás, Aula, 2003, 51. oldal

4

x1 + x2 ≤ 80

x1 ≤ 40

El®jelkorlátozó feltételek:

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

Célfüggvény:

max z = (27− 10− 14) · x1 + (21− 9− 10) · x2 = 3 · x1 + 2 · x2

A matematikai modell felírása után nyissunk meg egy új Excel munkalapot. Az els®

sorban feltüntetjük a döntési változók jelöléseit. Ezt nem kötelez® megtennünk, mivel a

program nem fogja a táblázatnak ezt a részét használni, viszont nekünk hasznos lehet

átláthatóság szempontjából. Az alatta lév® sorban rögzítjük a kezd®értékeket (pl. 0), a

megoldás során ezek az értékek változnak meg. A modellünkb®l kiszedjük az együttható-

kat és rögzítjük a táblánkban. A relációkat csak az áttekinthet®ség kedvéért tüntetjük fel.

Kiszámoljuk a korlátozó feltételek baloldalának értékét az adott változóértékek mellett.

5

A célfüggvény értékét is a változók függvényében számoljuk ki.

A feladatunkat rögzítettük a táblánkban, ezek után megoldást keresünk a Solver segít-

ségével, amelyet az �Adatok� menü �Solver� parancsával futtathatunk. Az el®ugró ablak-

ban megadjuk a célcella valamint a módosuló cellák helyét, kiválasztjuk, hogy maximali-

zálni vagy minimalizálni szeretnénk a célfüggvényünket és rögzítjük a korátozó feltételein-

ket.

6

A feltételeket az alábbi párbeszédpanel segítségével vehetjük fel, amelyet a fenti ablak-

on lév® �Hozzáadás� gomb segítségével hívhatunk el®.

A �Beállítás� gombra kattintva szintén egy párbeszédpanel ugrik el®, amelynek segít-

ségével kiválaszthajuk a számunkra legkedvez®bb megoldó algoritmust. A �Max. id®�-

nél megadjuk, hogy mennyi id® után álljon le a megoldás keresésével a program. A

�Lépésszám� mez®nél beírjuk, hogy maximálisan hány közelítést szeretnénk végrehajtani.

A �Pontosság�-nál minél kisebb számot tüntetünk fel, annál nagyobb lesz a pontosság. A

kívánt t¶rést százalékban tudjuk megadni. A �Konvergencia� mez®ben adjuk meg, hogy

az utolsó öt iterációban mekkora relatív változást engedünk meg addig, amíg a Solver a

megoldást megtalálva le nem áll.

A jelöl®négyzeteknél be tudunk állítani további tulajdonságokat: lineáris modell, nem-

negatív feltételezése, nagyságrendek felismerése, kijelzés lépésenként, amelyek közül elne-

vezésükb®l kifolyólag csak az utolsó kett® szorul némi magyarázatra. A nagyságrend

felismerésére akkor van szükségünk, ha bizonyos bemeneti értékek több nagyságrenddel

különböznek, vagy pedig az input és az output tér el egymástól nagy mértékben. A lépések

kijelzésével pedig minden lépés eredményét megvizsgálhatjuk. A Solver az általánosított

redukált gradiens (GRG - Generalized Reduced Gradient) módszert használja nem lineáris

problémák optimalizálása során, míg lineáris esetben a szimplex és a branch and bound

(elágazás és korlátozás) módszereket alkalmazza.

A rádiógombok segítségével tovább tudjuk alakítani megoldó algoritmusunkat. A

�Közelítés�-nél az egydimenziós keresési eljárásokban az alapváltozók kezdeti értékének

becslésére használt módszert határozhatjuk meg. Ha az érint®t választjuk, akkor az

értéket az érint® lineáris függvényeként írjuk fel, ha a kvadratikusat, akkor négyzetes ext-

rapolációt alkalmazunk. A �Di�erenciák� beállítás segítségével meghatározhatjuk, hogy

a cél- és a feltételfüggvények parciális deriváltjainak becslésére a haladó vagy centrális

di�erenciálás módszerét használja-e a program. El®bbit alkalmazzuk, ha a korlátozó

feltételek függvényértékei nem változnak túl gyorsan, utóbbit ha ennek ellentéte áll fenn.

7

A �Keresés�-nél a keresési irányt meghatározó módszert választjuk ki. A Newton mód-

szer általában több memóriát, de kevesebb lépésszámot igényel, mint a konjugált gradiens

módszer. Utóbbi nagyobb problémák esetén ajánlott, ahol számít a felhasznált memória.

Az algoritmusunk beállítása után az �OK� gombra kattintva visszatérünk a paraméte-

reket tartalmazó ablakhoz. Itt már nincs más teend®nk, mint megnyomni a �Megoldás�

gombot. Amennyiben jól állítottuk be eljárásunkat, a Solver közli velünk, hogy op-

timális megoldást talált, vagy az nem is létezik esetleg több is van bel®le. Ha hibát

vélünk felfedezni, mondjuk a program megállt, miel®tt megoldást talált volna vagy nem

az elvárt eredmény keletkezett, akkor érdemes visszatekinteni a beállításokhoz, és leel-

len®rizni azokat. A jelentések közül kiválaszthatjuk, hogy melyeket szeretnénk megvizs-

gálni. Ezek részletes magyarázatára a példákon keresztül kerül sor.

8

Ezután az �OK� gomb megnyomásával a D16 cellában megjelenik Giapetto heti pro-

�tjának maximuma, az A2 és B2 mez®kben pedig a katonák és vonatok gyártásának

optimális száma.

9

3. fejezet

Lineáris programozás

Számos optimalizálási problémában segítségül szolgál a lineáris programozás. A gazdaság

szinte minden területén alkalmazzák a legjobb eredmény elérésének érdekében, például

pénzügyi, termelési, szállítási, munkaszervezési problémák esetén.

3.1. De�níció. A lineáris programozási feladat (LP) egy olyan optimalizálási feladat,

amelyben a következ®k történnek:

1. Maximalizáljuk (vagy minimalizáljuk) a döntési változók egy lineáris függvényét. A

maximalizálandó vagy minimalizálandó függvényt célfüggvénynek nevezzük.

2. A döntési változók értékeinek ki kell elégíteniük a korlátozó feltételeket. Minden feltétel-

nek vagy lineáris egyenletnek vagy lineáris egyenl®tlenségnek kell lennie.

3. Minden változóhoz tartozik egy el®jelkorlátozás (vagy annak hiánya). Bármely xi vál-

tozóra az el®jelkorlátozás vagy azt írja el®, hogy xi csak nemnegatív lehet (xi ≥ 0), vagyazt írja el®, hogy xi el®jelkorlátozatlan.

A megoldandó feladataink modelleinek el®állításához a következ® néhány alapfogalmat

kell megismernünk: döntési változók, célfüggvény, korlátozó feltételek.

A döntési változó azt a célt szolgálja, hogy le tudjuk írni a jöv®ben meghozandó dön-

téseket. Például az évente el®állított televíziók száma vagy a naponta betakarított búza

mennyisége.

A célfüggvényt a döntési változók súlyozásával állítjuk el®, amelyet minimalizálni vagy

maximalizálni szeretnénk. Például egy gyárnál a lehet® legnagyobb pro�t elérése vagy a

ráfordítások minimalizálása.

A korlátozó feltételek megszabnak bizonyos határokat a feladatnak. Például a rendelkezés-

re álló nyersanyag mennyisége, a munkaid® korlátozása.

10

3.1. Termelési feladat

3.1.1. Modell felírása

3.1. Feladat. Jones farmernek el kell döntenie, hogy ebben az évben hány hold kukoricát

és hány hold búzát ültessen. Egy hold hozama 25 mázsa búza, és ez az egy hold heti

10 óra munkát igényel. Egy hold hozama 10 mázsa kukorica, és ez az egy hold heti 4

óra munkát igényel. A búza mázsánként 4$-ért adható el, és a kukorica eladási ára 3$

mázsánként. A farmernak hét hold földje van és heti 40 munkaóra áll rendelkezésére.

Kormányzati el®írás értelmében ebben az évben legalább 30 mázsa kukoricát kell termelni.

Maximalizáljuk a búzából és kukoricából származó teljes jövedelmet!1


x1 = ahány hold búzát ültet

x2 = ahány hold kukoricát ültet


x1 + x2 ≤ 7

10 · x1 + 4 · x2 ≤ 40

10 · x2 ≥ 30


x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

Célfüggvény:

max z = 4 · 25 · x1 + 3 · 10 · x2 = 100 · x1 + 30 · x2

3.1.2. Megoldás Solver segítségével

A matematikai modellünket már elkészítettünk, keressünk optimális megoldást a Solver

segítségével!

A feljebb leírtak fényében töltsünk fel egy táblát az együtthatókkal, adjuk meg a

Solver paramétereket (célcella, módosuló cellák, korlátozó feltételek), majd a megoldó

1Wayne L. Winston: Operációkutatás, Aula, 2003, 58. oldal

11

algoritmusunk beállítását is végezzük el. Esetünkben a jelöl®négyzeteknél a lineáris modell

és a nemnegatív feltételezéseket kell alkalmaznunk. El®bbit használva megjegyzend®,

hogy a nemlineáris eszközök (közelítés, di�erenciák, keresés) beállításai ekkor már nem

mérvadóak. A �Megoldás� gombra kattintva elkészíthetjük a jelentéseket, valamint a

megfelel® cellákban megjelennek az optimális megoldáshoz tartozó értékek.

3.1.3. Megoldás elemzése

A táblázatunkban mind a döntési változók, mind a célfüggvény optimális értéke megjelent.

A megoldás szerint 2,8 hold búzát és 3 hold kukoricát kell Jones farmernek ültetni a teljes

jövedelem maximalizálásához, amely 370$-t jelent. Az eredmény, érzékenység, határok

jelentések három különböz® munkalapra generálódtak.

Az eredmény jelentés három kisebb táblázatból áll. A �Célcella� és a �Módosuló cellák�

tartalmazzák a feladat megoldását, amelyet már az imént említettünk. A �Korlátozó

feltételek�-nél a kritériumokra vonatkozó adatokat láthatjuk. A �Status� oszlopban két

érték jelenhet meg. Az �Éppen� azt jelzi, hogy az adott feltétel határán vagyunk, tehát

≤ vagy ≥ estén teljesül az egyenl®ség, egyéb esetben �B®ven� jelenik meg. Az �Eltérés�

12

oszlopból kiolvashatjuk, hogy az optimális megoldáshoz tartozó baloldal és a jobboldal

milyen mértékben tér el egymástól. Tehát ezek tükrében a következ®ket állapíthatjuk

meg:

• a farmer 7 hold földb®l csak 5,8 holdat ültet be, amelyek különbségét az �Eltérés�-nélláthatjuk, számszerint 1,2.

• a rendelkezésre álló heti 40 munkaórának maximális a kihasználtsága.

• a kormányzati el®írásnak megfelel®en, Jones éppen eléri az elvárt, legalább 30 mázsá-nyi kukorica termelést.

Az érzékenység jelentésb®l nyert adatok segítségével egy feladatot nem feltétlenül kell

újra megoldanunk, ha egy paraméter megváltozik. Ez akkor lehet kifejezetten hasznos szá-

munkra, amikor egy jóval nagyobb problémát kell optimalizálnunk. Az érzékenységvizs-

gálat elemzése lehet®séget nyújt, hogy az eredeti megoldásból megállapítsuk, hogy a

paraméterek változtatására miképp változik eredményünk.

A �Módosuló cellák� táblázatban szerepl® �Redukált költség� a szimplex tábla alsó sorá-

nak értékeire utal. A �Megengedhet® növekedés/csökkenés� oszlopok a megfelel® célfügg-

vény együttható változásainak azon határait adják meg, melyen belül a feladat optimális

megoldása nem változik (természetesen a célfüggvény értéke igen), míg a másik táblázat-

ban szerepl® azonos elnevezés¶ oszlopok a megfelel® feltétel jobboldala változatásainak

azon határait adják meg, melyen belül az optimális bázis nem változik.

13

3.2. De�níció. Ha az i-edik korlátozó feltétel jobb oldalának növelése nem módosítja az

optimális bázist, akkor egy LP feladat i-edik korlátozó feltételéhez tartozó árnyékár az az

érték, amennyivel az optimális z érték javul (maximumfeladat esetén a javulás növekedést,

minimumfeladat esetén pedig csökkenést jelent), amikor az i-edik korlátozó feltétel jobb

oldalát 1-gyel növeljük.

Írjuk fel modellünket a következ® alakban:

Célfüggvény:

max z = c1 · x1 + c2 · x2


x1 + x2 ≤ k1

10 · x1 + 4 · x2 ≤ k2

10 · x2 ≥ k3

Ekkor a lenti táblázatokból a következ®ket sz¶rhetjük ki:

• A feladat optimális megoldása nem változik, ha (a felsoroltak közül egyszerre csakegy változtatható meg):

◦ 75 ≤ c1

Csináljuk egy próba ellen®rzést a Solverrel, hogy ténylegesen igazak-e a fenti állítások.

Az együtthatókat tartalmazó táblánkban növeljük meg a rendelkezésre álló munkaórák

számát 1-gyel. A többi paramatér változtatása nélkül a farmer így már heti 41 órát

dolgozhat.

15

Az érzékenységjelentésb®l kiolvasva a munkaóra feltétel árnyékára 10, tehát az alapfela-

datra kapott maximális z értéknek ennyivel kellett n®nie, amelyet az ellen®rz® táblánkban

is láthatunk.

A határok jelentésben az �alsó�, �fels® határ� és a hozzájuk tartozó �Cél eredmény�

oszlopok hordoznak számunkra érdekes információkat. Az �alsó� és �fels® határ� elárulja,

hogy az optimális megoldásból kiindulva a változóknak mekkora a legkisebb és legna-

gyobb felvehet® értékük a korlátozó feltételek teljesülése mellett, a �Cél eredmény� pedig

meghatározza, hogy az adott pontban milyen értéket vesz fel a célfüggvény. Például x1 = 0

estén (természetesen a többi paraméter változtatása nélkül) z = 90.

3.2. Szállítási feladat

A szállítási feladat megoldásához meg kell ismernünk néhány alapfogalmat. A kínálati

pontok azon pontok halmaza, amelyekb®l a szállítás történik, a keresleti pontok pedig

azok, ahová a szállítás történik. A köztük zajló transzferálásnak költségét a változó

költség írja le minden egyes kínálati-keresleti pontpárra külön-külön. Feladatunkban

meghatározhatjuk, hogy a kínálati helyeinkr®l hány egységet vagyunk képesek szállítani,

felvev® részr®l pedig a szükséges mennyiséget tudjuk meghatározni.

A szállítási feladatnak alapvet®en három fajtája van. Az egyik amikor az összkínálat

nagyobb az összkeresletnél, a másik amikor kisebb, a harmadik pedig ha megegyez-

nek. Utóbbi esetben kiegyensúlyozott szállítási feladatról beszélünk. Az els® két esetben

bevezethetünk egy �ktív keresleti pontot, amelynek célja a fel nem használt készlet vagy

a kielégítetlen kereslet jelzése. Utóbbi általában büntet®költséget von maga után.

16


3.2. Feladat. Egy vállalat három fogyasztónak szállít termékeket, mindegyiknek 30 egy-

séget. A vállalatnak két raktára van. Az 1. raktárban 40 egység, a második raktárban

pedig 30 egység áll rendelkezésre. Az alább látható táblázatban szerepelnek a raktárakból

a fogyasztókhoz történ® szállítások egységköltségei ($-ban). Minden egyes kielégítetlen fo-

gyasztói keresletegységhez bírság tartozik: az 1. vev®nél 90$ bírságköltség van, a 2. vev®nél

80$, a 3. vev®nél 110$. Minimalizáljuk a szállítási és hiányköltségek összegét.2


xij = az i-edik raktárból a j-edik vev®höz szállított egységek száma, ha

i = 1, 2 és j = 1, 2, 3.

x3j = a j-edik vev® kielégítetlen keresletegységének száma, ha j = 1, 2, 3.


• Kínálati feltételek:

x11 + x12 + x13 ≤ 40

x21 + x22 + x23 ≤ 30

• Keresleti feltételek:

x11 + x21 + x31 ≥ 30

x12 + x22 + x32 ≥ 30

x13 + x23 + x33 ≥ 30


xij ≥ 0 ha, i = 1, 2, 3 és j = 1, 2, 32Wayne L. Winston: Operációkutatás, Aula, 2003, 294. oldal

17

Célfüggvény:

min z =

szállítási költségek︷︸︸︷35 · x11 + 25 · x12 + 15 · x13 + 50 · x21 + 40 · x22 + 10 · x23+

+90 · x31 + 80 · x32 + 110 · x33︸︷︷︸hiányköltségek


Ahogy azt eddig is tettük, töltsünk fel egy excel táblát az együtthatókkal. Kiszámoljuk a

korlátozó feltételek baloldalának és a célfüggvény értékét az adott változóértékek mellett.

A K18 mez®re kattintva ezt a képletet fogjuk látni a szerkeszt®lécben:

Adjuk meg a Solver paramétereket. A célcella a K18 (ezt szeretnénk minimalizálni), a

módosuló cellák pedig az A2, B2, ..., I2 lesznek. Felvesszük a korlátozó feltételeinket,

majd beállítjuk a lineáris modell és a nemnegatív feltételezéseket. A �Megoldás� gombra

kattintva táblázatunkban megjelenik feladatunk optimális eredménye:

18


Megoldásunk szerint a költségünk akkor lesz minimális, számszerint 3200$, ha az els®

raktárból 10 egységet az 1-es, 30-at a 2-es vev®nek, a második raktárból a teljes készletet

a 3-as vev®nek szállítjuk. Így 20 kiegyenlítetlen keresletegysége lesz az els® vev®nek, amely

után járó büntetés a teljes költségünk 56,25%-át teszi ki.

A továbbiakban eredmény jelentésb®l csak a korlátozó feltételek táblázatot fogom

taglalni, mivel a másik kett® a kapott eredmény vizsgálata után már nem informá-

cióérték¶. A �Status� oszlop minden sorában az �éppen� értéket láthatjuk, ez elárulja,

hogy mindegyik feltételnek a határán vagyunk.

Írjuk fel modellünket a következ® alakban:

Célfüggvény:

min z = c11 · x11 + c12 · x12 + c13 · x13 + c21 · x21 + c22 · x22 + c23 · x23+

+c31 · x31 + c32 · x32 + c33 · x33


x11 + x12 + x13 ≤ k1

x21 + x22 + x23 ≤ k2

x11 + x21 + x31 ≥ k3

x12 + x22 + x32 ≥ k4

x13 + x23 + x33 ≥ k5

Ekkor az érzékenységvizsgálat segítségével a következ®ket állapíthajuk meg:


19

◦ 35 ≤ c11 ≤ 55.

◦ −55 ≤ c12 ≤ 25.

◦ −5 ≤ c13 ≤ 55.

◦ 30 ≤ c21

A határok jelentésb®l kiolvashatjuk, hogy az x11, x12, x13, x21, x22 és x23 közül egyiknek

sem tudnánk értékét úgy növelni vagy csökkenteni az optimális megoldásból kiindulva,

hogy ne sérüljenek a korlátozó feltételek. Az x31, x32 és x33 �Fels® határára� és �Cél ered-

ményére� azért kaptunk �#HIÁNYZIK�-ot, mert ezeket a változókat akárhogy növeljük,

a feltételek mindig teljesülni fognak.

3.3. Hozzárendelési feladat

A hozzárendelési feladat általában egy speciális esete egy kiegyensúlyozott szállítási fela-

datnak, amelyben minden kínálat és kereslet 1.


3.3. Feladat. Doc Councillman a 4 × 100 méteres vegyes váltóra válogatja össze úszó-csapatát. Minden úszónak 100 métert kell úsznia vagy mellen, vagy háton, vagy pillangón,

21

vagy gyorson. Doc úgy gondolja, hogy mindegyik úszó tudja hozni az alábbi táblázatban

leírt id®ket (másodpercben). Ha a csapat összidejének minimalizálása a cél, akkor melyik

úszó melyik úszásnemben induljon?3

Legyen Gary Hall az egyes, Mark Spitz a kettes, Jim Montgomery a hármas és Chet

Jastremski a négyes számú úszó. A gyors, mell, pillangó, hát pedig rendre az els®, második,

harmadik és negyedik versenyszám.


xij = 1, ha az i-edik úszót indítjuk a j-edik versenyszámban

xij = 0, ha az i-edik úszót nem indítjuk a j-edik versenyszámban


• Minden úszó csak egy versenyszámban indulhat:

x11 + x12 + x13 + x14 = 1

x21 + x22 + x23 + x24 = 1

x31 + x32 + x33 + x34 = 1

x41 + x42 + x43 + x44 = 1

• Minden úszásnemben csak egy versenyz® indulhat:

x11 + x21 + x31 + x41 = 1

x12 + x22 + x32 + x42 = 1

x13 + x23 + x33 + x43 = 1

x14 + x24 + x34 + x44 = 1


xij ≥ 0 ha, i = 1, 2, 3, 4 és j = 1, 2, 3, 43Wayne L. Winston: Operációkutatás, Aula, 2003, 323. oldal

22

Célfüggvény:

min z = 54 · x11 + 54 · x12 + 51 · x13 + 53 · x14+

+51 · x21 + 57 · x22 + 52 · x23 + 52 · x24+

+50 · x31 + 53 · x32 + 54 · x33 + 56 · x34+

+56 · x41 + 54 · x42 + 55 · x43 + 53 · x44


Meglév® paramétereinket rögzítsük egy excel táblázatban és használjuk az eddig alkalma-

zott Solver beállításokat! Az egyedüli különbség az el®z® feladatokhoz képest az az, hogy

most a döntési változóink csak 0 vagy 1 értéket vehetnek fel. A korlátozó feltételeknél lév®

�Hozzáadás� gomb segítségével állítsuk be a megfelel® cellákra a �bin� (bináris) feltételt.

Esetünkben az összes második sorban szerepl® mez®re. Táblázatunkban az összetartozó

sorokat azonos színnel jelöltem.

23


Az optimális megoldás megjelent a táblázatunkban, amely szerint a csapat összideje a

lehet® legjobb esetben 207 másodperc. Ehhez az kell, hogy Gary Hall induljon pillangón,

Mark Spitz háton, Jim Montgomery gyorson, Chet Jastremski pedig mellen.

A Solver azon túl, hogy közölte velünk, optimális megoldást talált, a következ®t is

üzente, amikor a jelentéseket akartam elkészíteni: �Az Érzékenység jelentés és a Határok

jelentés nem bír jelentéssel egész érték¶ korlátozó feltételek esetén�. Ezt az okozta, hogy

a módosuló cellákra bináris feltételt szabtunk.

Létezik olyan algoritmus, amely nagyon hatékonyan megoldja a hozzárendelési felada-

tot. Ezt az algoritmust magyar módszernek hívjuk, három lépésb®l áll:

1. lépés Keressük meg az m ×m-es költségmátrix minden sorában a legkisebb elemet.Képezzünk egy új mátrixot úgy, hogy a sor minden költségeleméb®l kivonjuk a

legkisebb költségelemet. Ebben az új mátrixban keressük meg minden oszlopban

a legkisebb költségelemet. Képezzünk egy új mátrixot (ezt redukált költségmátrix-

nak nevezzük) úgy, hogy az oszlop minden költségeleméb®l kivonjuk a legkisebb

költségelemet.

2. lépés Rajzoljuk be a lehet® legkevesebb olyan vonalat (vízszintesen és/vagy függ®lege-

sen), amelyek segítségével a redukált költségmátrixban található összes nulla lefed-

het®. Ha ehhezm fed®vonal szükséges, akkor a mátrixban lév® lefedett nullák között

rendelkezésünkre áll az optimális megoldás. Ha m-nél kevesebb vonallal fedtük le

az összes nullát, akkor a 3. lépés következik.

3. lépés Keressük meg a redukált költségmátrixban azt a legkisebb nemnulla elemet

(nevezzük k-nak), amelyiket a 2. lépésben nem fedtünk le. Most vonjuk ki k-t a

redukált költségmátrix minden nem lefedett eleméb®l, valamint adjunk hozzá k-t a

kétszer lefedett elemekhez. Térjünk vissza a 2. lépéshez.

Ha a hozzárendelési feladat során maximalizálni szeretnénk, akkor a pro�tmátrix min-

den elemét szorozzuk meg -1-gyel és ezután oldjuk meg minimum feladatként. Ha a sorok

és oszlopok száma nem egyezik, akkor vezessünk be �ktív pontokat, mert a magyar mód-

szer kiegyensúlyozatlan feladatra nem feltétlenül ad helyes megoldást.

A leírt algoritmus segítségével ellen®rizzük le, hogy feladatunkra valóban optimális

megoldást kaptunk-e a Solver által. Esetünkben a költségmátrix elemeit az egyes úszók

úszásnemekben elért id®eredményeik adják. Mátrixunk a következ®képpen alakul:

24

A magyar módszer szerint a lefedett nullák között rendelkezésünkre áll az optimális

megoldás (zölddel jelölve). Viszont vannak olyan sorok és oszlopok, amelyekben több

nulla is szerepel. Keressünk olyanokat, amelyekben csak egyetlen nulla található. Ese-

tünkben az els® és harmadik sorban, valamint a második oszlopban egyetlen nulla van, így

ezeken a helyeken szerepl® költségelemek biztosan részei lesznek az optimális megoldás-

nak. Mivel minden sorból és oszlopból egy elemet választhatunk ki, így a már meglév®

három meghatározza a negyediket.

Az algoritmusra hagyatkozva Gary Hallnak pillangón, Mark Spitznek háton, Jim

Montgomerynek gyorson, Chet Jastremskinek pedig mellen kell indulnia ahhoz, hogy a

csapat összideje a legkisebb legyen. Ez a megoldás megegyezik a Solver által kiszámolttal.

3.4. Minimális költség¶ hálózati folyam problémák

Egyes optimalizációs feladatoknál sokat használhat, ha gra�kusan tudjuk szemléltetni. A

soron következ® példánál egy hálózat segítségével fogunk modellezni.


Az eddig ismertetett feladatok mind speciális esetei a minimális költség¶ hálózati folyam

problémának (MKHFP). A modell felírása során a következ®ket fogjuk használni:

• xij = az i csúcsból a j csúcsba az (i, j) élen keresztül haladó folyam mennyisége

25

• bi = az i csúcs nettó kibocsátása (kiáramlás-beáramlás)

• cij = az i csúcsból a j csúcsba az (i, j) élen keresztül küldött egységnyi folyamszállítási költsége

• Lij = az (i, j) élen átmen® folyam alsó korlátja (ha nincs alsó korlát, legyen Lij = 0)

• Uij = az (i, j) élen átmen® folyam fels® korlátja (ha nincs fels® korlát, legyen Uij =∞)

Ezeket használva az MKHFP felírása:

min∑

minden élre

cij · xij∑j

xij −∑k

xki = bi (∀ i csúcsra)

Lij ≤ xij ≤ Uij (∀ (i, j) élre)

3.4. Feladat. Az Oilco olajkútjai San Diego, illetve Los Angeles közelében vannak. A

San Diego melletti mez®b®l napi legfeljebb 500 000 hordó, a Los Angeles melletti mez®b®l

napi legfeljebb 400 000 hordó olaj termelhet® ki. A nyersolajat a dallasi vagy a houstoni

�nomítóba küldik, amelyek közül egyik sem képes napi 500 000 hordónál több olajat feldol-

gozni. Dallasban 100 000 hordó �nomítása 700$-ba, Houstonban 900$-ba kerül. A �nomí-

tott olajat Chicagoba, illetve New Yorkba szállítják: Chicagoba 400 000 hordónyit, New

Yorkba 300 000 hordónyit naponta. Az alábbi táblázat mutatja, hogy mennyi 100 000 hordó

(nyers vagy �nomított) olaj szállítási költsége ($-ban) az egyes helyszínek között. Adjunk

meg egy MKHFP-t, amellyel minimalizálható az igények kielégítésének összes költsége!4


26

A megoldás során egy egység alatt 100 000 hordó olajat értünk. Egy irányított gráf

segítségével szemléltetem a feladatot. A csúcsok számai mögött a városok kezd®bet¶jét

tüntettem fel zárójelben az átláthatóság kedvéért.


xij = az i-edik városból a j-edikbe szállított olaj mennyisége

Nettó kibocsátás:

b1 + b2 = −7 b3 = 0b5 + b6 = 7 b4 = 0

Az egyes pontpárokra vetített költségek (szállítási + �nomítási):

c13 = 300 + 700 = 1000 c35 = 450

c14 = 110 + 900 = 1010 c36 = 550

c23 = 420 + 700 = 1120 c45 = 470

c24 = 100 + 900 = 1000 c46 = 530

A városok közötti szállítások alsó korlátja:

Lij = 0 (∀ (i, j) élre)

A városok közötti szállítások fels® korlátja:

Ui3 = 500000

Ui4 = 500000

minden más esetben: Uij =∞

27


• Kínálati feltételek:

x13 + x14 ≤ 4

x23 + x24 ≤ 5

• A �nomítók kapacitására vonatkozó feltételek:

x13 + x23 ≤ 5

x14 + x24 ≤ 5

• Keresleti feltételek:

x35 + x45 = 3

x36 + x46 = 4

• A nettó kibocsátásra vonatkozó feltételek:

x35 + x36 − x13 − x23 = 0

x45 + x46 − x14 − x24 = 0


xij ≥ 0 (∀ ij-re)

Célfüggvény:

min z = 1000 · x13 + 1010 · x14 + 1120 · x23 + 1000 · x24+

+450 · x35 + 550 · x36 + 470 · x45 + 530 · x46


Az együtthatókkal feltöltött táblázat 4-5. sorában a kínálatra, 6-7-ben a kapacitásra, 8-

9-ben a keresletre, 10-11-ben pedig a nettó kibocsátásra vonatkozó feltételeket láthatjuk.

A hozzájuk tartozó befüggvényezett mez®ket velük azonos színnel jelöltem. Az eddig

használt beállításainkon nem kell változtatni.

28


A kapott eredmény szerint Los Angelesb®l a dallasi �nomítóba kell küldeni 300 000 hordó

olajat, majd azt tovább New Yorkba. San Diegoból pedig a houstoni �nomítóba célszer¶

szállítani 400 000 hordó olajat és onnan továbbítani Chicagoba.

A �J� oszlopban látható, feltételek jobb oldalának feleltessük meg rendre a k1, k2, ...,

k8 paramétereket. Az érzékenység jelentésb®l a következ®ket olvashatjuk ki:


29

◦ 980 ≤ c13 ≤ 1020.

◦ 1000 ≤ c14

A határok jelentésb®l kiolvashatjuk, hogy egyetlen változónak sem tudnánk értékét

úgy növelni vagy csökkenteni az optimális megoldásból kiindulva, hogy ne sérüljenek a

korlátozó feltételek. Ez azért van így, mert a korlátozó feltételek között nem csak egyen-

l®tlenségek, hanem egyenletek is szerepelnek.

31

4. fejezet

Nemlineáris programozás

A nemlineáris programozási (NLP) feladatoknak tulajdonképpen ugyanaz a lényege, mint

a lineárisoknak, csak az a különbség, hogy a célfüggvény és a feltételek lehetnek nem-

lineáris függvények is.

4.1. De�níció. Egy általános nemlineáris programozási feladat a következ®képpen adható

meg: keressük azokat az x1, x2, ..., xn döntési változókat, amelyekre

célfüggvény max (vagy min) z = f(x1, x2, . . . , xn)

korlátozó feltételek g1(x1, x2, . . . , xn) (≤,= vagy ≥) k1g2(x1, x2, . . . , xn) (≤,= vagy ≥) k2

...

gm(x1, x2, . . . , xn) (≤,= vagy ≥) km

4.1. Folytonos feladat

4.2. De�níció. Pontok S halmaza konvex halmaz, ha S bármely két pontját összeköt®

szakasz teljes egészében S-ben van.

Legyen f(x1, x2, . . . , xn) egy S konvex halmaz összes (x1, x2, . . . , xn) pontján értelme-

zett függvény.

4.3. De�níció. Az f(x1, x2, . . . , xn) konvex függvény az S konvex halmazon, ha bármely

a ∈ S, b ∈ S és 0 ≤ c ≤ 1 esetén

f(ca+ (1− c)b) ≤ cf(a) + (1− c)f(b)

teljesül.

32

Amennyiben a 4.3. de�nícióban megfordítjuk a relációt, a konkáv függvény de�nícióját

kapjuk.

Ezek a fogalmak azért fontosak számunkra, mert ha egy függvény se nem konvex, se

nem konkáv, akkor a Solver csak lokális optimumot talál.


4.1. Feladat. Egy kémiai folyamat hozama függ egyrészt a folyamat lezajlásának T id®-

tartamától (percekben megadva), másrészt a folyamat TEMP m¶veleti h®mérsékletét®l

(Celsius-fokban megadva). Az összefüggést a következ® egyenlet írja le:

YIELD = 87− 1, 4 · T ′ + 0, 4 · TEMP ′ − 2, 2 · T ′2

−3, 2 · TEMP ′2 − 4, 9 · (T ′)(TEMP ′),

ahol

T ′ =T − 9010

TEMP ′ =TEMP − 150

5.

A T értéke 60 és 120 perc, míg a TEMP értéke 100 és 200 fok között kell hogy legyen.

Maximalizáljuk a folyamat hozamát!1


T ′ = a feladatban de�niált T -t®l függ® érték

TEMP ′ = a feladatban de�niált TEMP -t®l függ® érték

Mivel a Solverrel T ′-re és TEMP ′-re fogjuk megoldani a feladatot ezért a korlátozó

feltételek:

60 ≤ T ≤ 120⇒ −3 ≤ T ′ ≤ 3

100 ≤ TEMP ≤ 200⇒ −10 ≤ TEMP ′ ≤ 10

Célfüggvény:

max z = 87− 1, 4 · T ′ + 0, 4 · TEMP ′ − 2, 2 · T ′2

−3, 2 · TEMP ′2 − 4, 9 · (T ′)(TEMP ′)1Wayne L. Winston: Operációkutatás, Aula, 2003, 550. oldal

33


Kijelenthetjük célfüggvényünkr®l, hogy konkáv függvény, tehát bármely két pontját össze-

köt® szakasz sehol sem halad a görbe felett. Így ha találunk a Solverrel optimumot, akkor

az biztosan globális optimum lesz. Az alábbi kép a célfüggvényünket ábrázolja, amelyen

jól látható, hogy konkáv függvénnyel van dolgunk.

Az eddigiekben alkalmazott megoldási menetünkön annyit változtatunk, hogy a cél-

függvény együtthatói helyett most magát a képletet rögzítjük (a Solver ezt nem fogja

használni). Az alábbi táblázatban láthatjuk a feladat eredményét, valamint a szerkeszt®-

lécben a célfüggvény értékére vonatkozó képletet.

34


A kémiai folyamat hozama akkor lesz maximális (89,26), ha 63,69 másodperc alatt zajlik

le 160,39 fokos h®mérsékleten.

A lineáris esett®l eltér® érzékenység jelentést kapunk. Amennyiben a �Redukált gradi-

ens� oszlopban csak nullák szerepelnek, akkor az azt jelenti, hogy a megoldásunk optimális.

A �Lagrange multiplikátorok� pedig a feladat Lagrange duáljának optimális megoldásvek-

torának megfelel® koordinátáinak ellentettjét mutatják.

A határok jelentésb®l kiolvasható, hogy az optimális megoldásból kiindulva TEMP ′

értékének redukálása esetén a folyamat hozama nagy mértékben csökken.

4.2. Nem folytonos feladat


4.2. Feladat. A Q & H cég szappanoperák és futballmérk®zések közben reklámoztat. Egy

reklám egyszeri leadásának költsége szappanopera közben 50 000$, futballmérk®zés közben

100 000$. Ha a néz®számot milliókban adjuk meg, akkor S számú szappanopera közbeni

hirdetés megvásárlása esetén a reklámot 5√S fér� és 20

√S n® fogja látni. Ha F számú

futballmérk®zés közbeni hirdetést vásárolnak, akkor a reklámot 17√F fér� és 7

√F n® fogja

látni. A Q & H azt akarja, hogy a reklámokat legalább 40 millió fér� és legalább 60 millió

n® lássa. Minimalizáljuk a Q & H költségeit a kívánt néz®szám elérése mellett.2


35


S = ahány szappanopera közbeni hirdetést vásárol a cég

F = ahány futballmérk®zés közbeni hirdetést vásárol a cég


5 ·√S + 17 ·

√F ≥ 40

20 ·√S + 7 ·

√F ≥ 60

Továbbá feltételezzük, hogy csak egész érték¶ hirdetést lehet vásárolni:

S ∈ N0

F ∈ N0

Célfüggvény:

min z = 50000 · S + 100000 · F


A lineáris esethez képest annyit változtatunk a Solverrel való megoldáson, hogy a korlátozó

feltételeknek és a célfüggvénynek nem csak az együtthatóit tüntetjük fel a táblázatunkban,

hanem a változók hatványát is. Megoldandó feladatunkban most csak a kritériumok

nemlineárisak. Az F14 mez®ben változatlanul az eddig használt szorzatösszeg szerepel,

míg ha a D11 cellára kattintunk, akkor az alábbi képletet olvashatjuk a szerkeszt®lécben

(D12 is hasonlóképpen a megfelel® paraméterek használatával):

A feltételek rögzítésénél ne feledkezzünk meg arról, hogy a változóknak egész értéket

kell felvenniük. Ezért feltétel hozzáadása segítségével állítsuk be a C2 és D2 mez®kre

az �int� (integer) értéket. A beállításoknál értelemszer¶en most nem jelöljük be a lináris

modell feltételezést, az eddig használt nemnegatív opcióra viszont szükségünk lesz. A

közelítés, di�erenciák és keresési beállításokat hagyjuk alapértelmezett állapotban. Az

egyes sorok összetartozását ismételten egyforma színekkel jelöltem. A leírtaknak megfe-

lel®en a táblázatunk és benne a feladat megoldása:

36


A kapott eredmény szerint a Q & H cég költségei akkor lesznek minimálisak, ha szap-

panopera közben hatszor és futballmérk®zés közben háromszor reklámoznak. Ebben az

esetben a hirdetéseket majdnem 42 millió fér� és több mint 61 millió n® fogja látni, ame-

lyek összesen 600 ezer $-ba kerülnek. A jelentéseket nem tudta elkészíteni a Solver az

egész érték¶ feltételezés miatt (a hozzárendelési feladathoz hasonlóan): �Az Érzékenység

jelentés és a Határok jelentés nem bír jelentéssel egész érték¶ korlátozó feltételek esetén�.

A következ® oldalon egy táblázatot láthatunk, amely azt mutatja, hogy S és F adott

értékei mellett milyen értékeket vesz fel a fér�ak (f1) és a n®k (f2) számára vonatkozó

feltételek (millió f®ben), valamint a célfüggvény (c - ezer $-ban). Az ábrán zöld színnel

jelöltem, ahol a feltétel teljesül, és pirossal ahol nem. Sárgával az optimális megoldást

tüntettem fel. A lehetséges megoldások között azok szerepelnek, amelyeknél az f1 és f2

oszlopok egyaránt zöld szín¶ek.

Az ábrából jól kivehet®, hogy nem célszer¶ csak az egyik hirdetés típust választani.

Ha például csak az olcsóbb, szappanopera közbeni reklámozást er®ltetné a cég, akkor 64

adásmegszakítást kellene vásárolniuk, amely 3,2 millió $-ba kerülne.

37

Nyilatkozat

A szakdolgozat szerz®jeként fegyelmi felel®sségem tudatában kijelentem, hogy a dolgo-

zatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és

idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfe-

lel® idézés nélkül nem használtam fel.

39

Irodalomjegyzék

[1] Wayne L. Winston: Operációkutatás, Aula, 2003

[2] http://www.math.bme.hu/∼gnagy/ExcelSolver.htm

[3] http://o�ce.microsoft.com/hu-hu/excel-help/CH001000457.aspx

[4] http://www.epab.bme.hu/epinf1/Gy-Excel-

SzamarhatCsarnok/Solver_beallitasok_sugo.htm

[5] http://miau.gau.hu/mediawiki/index.php/Optimalizálás

40

Documents

Optimalizálás a Microsoft Excel Solver b®vítménye segítségévelweb.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/bsc_matelem/... · A Microsoft Excel Solver használata A Solver használatát