Reinforced Concrete Structures II. / Vasbetonszerkezetek II ...worldstrongguard.hu/downloads/kimre/vasb_2/...Reinforced Concrete Structures II. / Vasbetonszerkezetek II. Course X

Reinforced Concrete Structures II. / Vasbetonszerkezetek II. Course X. / X. Előadás

Reinforced Concrete Structures II.

Vasbetonszerkezetek II.

- Vasbeton lemezek képlékeny teherbírása II. -X.

Debreceni Egyetem Műszaki Kar Építőmérnöki Tanszék Dr. Kovács Imre PhD © Minden jog fenntartva!!!

Dr. Kovács Imre PhD

tanszékvezető

főiskolai tanár

E-mail:

[email protected]

Mobil:

06-30-743-68-65

Iroda:

06-52-415-155 / 77764

WEB:

http://epitotsz.mk.unideb.hu/

mailto:[email protected]




Plastic design procedure for one-way slabs

Egyirányban teherviselő lemez képlékeny alapon történő tervezése

Edp

L

ABR

AR

Am

m

,

,

ABR

BR

Bm

m

,

,ABRm ,

ARm , BRm ,

Ax Bx2

2

,,AEd

ABRAR

xpmm

20

2,

,,2

8

L

xmmm

AABRABRAR

20

2,

,,

4

L

xmmm

AABRABRABRA

220 41 AA xL

AA xL 210

BB xL 210

0L

8

20

,

Lpm Ed

ABR

20

,8

L

mp

ABREd


Edp

L

ABR

AR

Am

m

,

,

ABR

BR

Bm

m

,

,ABRm ,

ARm , BRm ,

Ax Bx

AA xL 210

BB xL 210

BA xxL 222

LLL BA 211 00

BA

LL

11

20

2

220

,

1128BA

EdEdABR

LpLpm

0L





Edp

L

ABR

AR

Am

m

,

,

ABR

BR

Bm

m

,

,ABRm ,

ARm , BRm ,

Ax Bx

2

2

,

112 BA

EdABR

Lpm

Ismert:

Felvett:

L Edp

A B





Edp

L

1,

,

ABR

AR

Am

m 1

,

,

ABR

BR

Bm

m

ABRm ,

ARm , BRm ,

Ax Bx 2

2

,

112 BA

EdABR

Lpm

16

2

,

Lpm Ed

ABR

16

2

,

Lpm Ed

AR

16

2

,

Lpm Ed

BR





Edp

L

2,

,

ABR

AR

Am

m 2

,

,

ABR

BR

Bm

m

ABRm ,

ARm , BRm ,

Ax Bx 2

2

,

112 BA

EdABR

Lpm

24

2

,

Lpm Ed

ABR

12

2

,

Lpm Ed

AR

12

2

,

Lpm Ed

BR





Edp

L

5,1,

,

ABR

AR

Am

m 2,1

,

,

ABR

BR

Bm

m

ABRm ,

ARm , BRm ,

Ax Bx 2

2

,

112 BA

EdABR

Lpm

78,182210476

3022

,

LpLpm EdEd

ABR

52,122210476

4522

,

LpLpm EdEd

AR

65,152210476

3622

,

LpLpm EdEd

BR





Edp

L

0,

,

ABR

AR

Am

m 5,1

,

,

ABR

BR

Bm

m

ABRm ,

BRm ,

Ax Bx 2

2

,

112 BA

EdABR

Lpm

32,131027

22

,

LpLpm EdEd

ABR

0, ARm

88,810272

322

,

LpLpm EdEd

BR






Location of maximum midspan moment and point of contraflexure

A mező nyomatéki szélsőértékének és nyomatéki zéruspontjának helye

Edp

L

ABR

AR

Am

m

,

,

ABR

BR

Bm

m

,

,

ABRm ,

ARm , BRm ,

Ax Bx

BA

AA Lx

11

1

As Bs

BA

BB Lx

11

1

BA

AA Ls

11

11

BA

BB Ls

11

11



Edp

L

1,

,

ABR

AR

Am

m 1

,

,

ABR

BR

Bm

m

ABRm ,

ARm , BRm ,

Ax Bx

Lxx

Lxx

BA

BA

ABA

2

1

11

1

LLss

Lss

BA

BA

ABA

146,04

22

11

11

As Bs





Edp

L

2,

,

ABR

AR

Am

m 2

,

,

ABR

BR

Bm

m

ABRm ,

ARm , BRm ,

Ax Bx

Lxx

Lxx

BA

BA

ABA

2

1

11

1

LLss

Lss

BA

BA

ABA

211,06

33

11

11

ARm ,

As Bs





Edp

L

5,1,

,

ABR

AR

Am

m 2,1

,

,

ABR

BR

Bm

m

ABRm ,

ARm , BRm ,

Ax Bx

LLxBA

AA

516,0

11

1

LLxBA

BB

484,0

11

1

LLsBA

AA

190,0

11

11

LLsBA

BB

158,0

11

11

ARm ,

As Bs





Effect of loading pattern – curtailment of reinforcement

Parciális terhelés hatása – vasvezetés a támasz felett

L

infg

L L

infgEdp


L

infg

L L

infgEdp





L

infg

L L

infgEdp





L

infg

L L

infgEdp

Lc L Lc





L

infg

L L

infgEdp

Lc L Lc

bdl bdl

125,0 c 125,0 c





L L L

Lc L Lc

ABRm ,

!!!,ABRm !!!,CDRm

125,0 c

!!!,ARm

125,0 c


infginfgEdp

bdl bdl




L L L

Lc L Lc

2

inf

,,22

Lg

mmkkc

ABRBR

125,0 c

2inf

,,

2inf

,,25,0

Lg

mm

Lg

mmk

ABRBRARBR

125,0 c


ABRm ,

!!!,ABRm !!!,CDRm!!!,ARm

infginfgEdp

bdl bdl




L L L

infgEdp Edp





L L L


infgEdp Edp




L L L


infgEdp Edp




L L L

Lc Lc


infgEdp Edp




L L L

Lc L Lc

bdl bdl


infgEdp Edp




L L L

Lc L Lc

bdl bdl

!!!,BCRm

ABRm ,

ARm , DRm ,

BCRm ,


infgEdp Edp




L L L

Lc L Lc

2inf

,,, 225,05,0

Lg

mmmc

BCRCRBR

5,025,0 c


bdl bdl

!!!,BCRm

ABRm ,

ARm , DRm ,

BCRm ,

infgEdp Edp





Elastic bending moments for one-way spanning slabs

Egyenlő nyílású többtámaszú tartók rugalmas hajlítónyomatékai

85,12 21,30 79,21 21,30 85,12

95,12 47,27 47,27 95,12

50,12 40 50,12

22,14 22,14

10 10

34,9 14 34,9

49,9 64,12 64,12 49,9

8

2Lpm Ed

2

3

4

5



Example 1: Design of one-way spanning slab with 4 equal spans

1. Példa: Egyirányban teherviselő 4 egyenlő nyílású lemez tervezése

m40,6L

2kN/m18Edp

m40,6L m40,6L m40,6L

2inf kN/m9g

Lemez vastagság: v = 240 mm

Beton: C20/25 – Xv0(H) – 16 – CEM 42,5 -….

Betonacél: B500B

Betonfedés névleges értéke: Cnom = 20 mm

Önsúly minimális értéke: ginf = 9 kN/m2

Teher tervezési értéke: pEd = 18 kN/m2 (Totál teher működik!)

1. Kiindulási adatok


m40,6L

2kN/m18Edp

m40,6L m40,6L m40,6L

ABRm ,

BRm ,

ABRm ,

BRm ,

BRABR mm ,,

0,

,

ABR

AR

Am

m 1

,

,

ABR

BR

Bm

m

0, ARm

kNm/m23,6366,11

40,618

112

2

,,

2

2

,,

BRABR

BA

EdBRABR

mm

Lpmm

2. Szélső mező vizsgálata





m40,6L

2kN/m18Edp

m40,6L m40,6L m40,6L

BCRm ,

CRm ,

BCRm ,

BRm ,

BRABR mm ,,

1,

,

BCR

CR

Cm

m

BRm ,

CRm ,

???,

,

BCR

BR

Bm

m

)mm113(12 2 )mm5,78(10 2

BRm , BCRm ,

44,110

12

A

AB

Egyszerűbb, áttekinthetőbb vasalást

kapunk azonos betéttávolság

alkalmazásával, ebből következően:

3. Közbenső mező vizsgálata





m40,6L m40,6L m40,6L m40,6L

44,1,

,

BCR

BR

Bm

m

kNm/m61,4172,17

40,618

112

2

,

2

2

,

BCR

CB

EdBCR

m

Lpm

kNm/m61,41,, CRBCR mm

3. Közbenső mező vizsgálata2kN/m18Edp


BRABR mm ,,

1,

,

BCR

CR

Cm

m

BCRm ,

CRm ,

BCRm ,

BRm ,

BRm ,

CRm ,




m40,6L

2kN/m18Edp

m40,6L m40,6L m40,6L

kNm/m61,41 kNm/m61,41

kNm/m61,41kNm/m23,63 kNm/m23,63

kNm/m23,63 kNm/m23,63

/m)mm754(150/12/mmm719 2,,,,

2,,,, BprovsABprovsBrequsABrequs AAAA

/m)mm524(150/10/mmm461 2,,,,

2,,,, BprovsABprovsCrequsBCrequs AAAA

4. Jellemző keresztmetszetek vasalása





m40,6L

2kN/m18Edp

m40,6L m40,6L m40,6L

5. Nyomatéki ábra zérushelyei mezőnként

ABBs , BCBs , BCCs , CDDs , DEDs ,CDCs ,

m10,111

11,

BA

BABB Ls

m20,1

11

11,

BC

BBCB Ls

1C44,1B1B

0A

m90,011

11,

CB

CBCC Ls





m40,6L m40,6L m40,6L m40,6L

6. Nyomatéki ábra pozitív szélsőértékeinek helye

Ax Bx BC xx AD xx

m65,211

1

BA

AA Lx

m35,3

11

1

CB

BB Lx


2kN/m18Edp

1C44,1B1B

0A




m40,6L

2kN/m18Edp

m40,6L m40,6L m40,6L

150/12

7. Előzetes vasalási vázlat

150/12150/10 150/10

10,1 20,1 90,0 20,1 10,190,0

150/12 150/12150/10

65,2 65,2

35,3 35,3





8. Közelítő alakváltozás vizsgálat szélső mezőben

3330

3,1047,41020101036,3

2141000

719

ckw

requsf

db

A

83,30136,3

47,4202,3

36,3

47,4205,1113,1

719

754

500

500

12,35,111500

23

23

0

'

0

,

,

lim

ckck

requs

provs

yk

ffKA

A

fd

L

83,3091,29214

6400

lim

d

L

d

L

Megfelel!


MSZ EN 1992-1-1:2010, 7.4.2. Fejezet, 127.-128. o.




9. Közelítő repedéstágasság vizsgálat szélső mezőben

2

,

,N/mm208

753

719

18

9435

provs

requs

Ed

qpyds

A

A

p

pf

mm12mm25max

mm150mm280max ss

Az acélbetét alkalmazott átmérője megfelelő!

Az acélbetétek kiosztása megfelelő!


MSZ EN 1992-1-1:2010, 7.3.3. Fejezet, 7.2.N táblázat, 116. o.





kNm/m61,41 kNm/m61,41

kNm/m61,41kNm/m23,63 kNm/m23,63

kNm/m23,63 kNm/m23,63

10. Rugalmas és képlékeny hajlító nyomatékok összehasonlítása

kNm/m84,26 kNm/m84,26

kNm/m66,52kNm/m94,78 kNm/m94,78

kNm/m93,56 kNm/m93,56

+11% -20% +55% -21% +55% -20% +11%





A) Az átrendezés után kapott nyomaték eloszlásnak továbbra is egyensúlyban

kell lennie a szerkezetre ható terhekkel.

Teljesül!

B) Többtámaszú szerkezetek esetén a szomszédos mezők támaszköz arányai

között változhatnak.

Teljesül!

C) Az átrendezett és átrendezés előtti hajlító nyomatékok viszonyára fenn kell

állnia az alábbi összefüggéseknek:

11. Korlátozott igénybevétel átrendeződés a képlékeny csukló elforduló

képességének pontos vizsgálata nélkül

2/5,0 1 ii LL


MSZ EN 1992-1-1:2010, 5.6. Fejezet, 59. o.




55,184,26

61,41

előlőátrendezés

tátrendezet

m

m

54,0215

17

0035,0

0014,06,025,144,0

0014,06,025,144,055,1

221

d

x

d

xkk u

cu

u

:akkor B, osztálya iduktilitás betonacél a Ha

Vizsgálat BC és CD mezőkben

:akkorN/mm50Ha 2ckf

Teljesül!

7,055,1 5 k

Teljesül!




MSZ EN 1992-1-1:2010, 5.6. Fejezet, 59. o.




11,193,56

23,63

előlőátrendezés

tátrendezet

m

m

58,0214

6,24

0035,0

0014,06,025,144,0

0014,06,025,144,011,1

221

d

x

d

xkk u

cu

u

Vizsgálat AB és DE mezőkben

:akkorN/mm50Ha 2ckf

Teljesül!

7,011,1 5 k

Teljesül!





MSZ EN 1992-1-1:2010, 5.6. Fejezet, 59. o.




86,094,78

23,68

előlőátrendezés

tátrendezet

m

m

58,0214

6,24

0035,0

0014,06,025,144,0

0014,06,025,144,086,0

221

d

x

d

xkk u

cu

u

Vizsgálat B és D támaszok felett

:akkorN/mm50Ha 2ckf

Teljesül!

7,086,0 5 k

Teljesül!





MSZ EN 1992-1-1:2010, 5.6. Fejezet, 59. o.




79,066,52

61,41

előlőátrendezés

tátrendezet

m

m

54,0215

17

0035,0

0014,06,025,144,0

0014,06,025,144,079,0

221

d

x

d

xkk u

cu

u

Vizsgálat C támasz felett

:akkorN/mm50Ha 2ckf

Teljesül!

7,079,0 5 k

Teljesül!





MSZ EN 1992-1-1:2010, 5.6. Fejezet, 59. o.




12. Alsó fővasalás konszignációja

0640 0640

300240 30061006130

6700150/121

220 200 200240

60

mm200

15maxmin,0l

6600150/102





13. Felső fővasalás konszignációja

0640

240 3006130

1600150/83

220 300

240

60

2800150/124

98015,0 L

200 200 200 200

1000 1100

6100





m40,6L

2kN/m18Edp

m40,6L m40,6L m40,6L

2inf kN/m9g

6700150/121

14. Vasalási vázlat

6600150/102

10,1 20,1 90,0 20,1 10,190,0

2800150/124

65,2 65,2

35,3 35,3

2800150/124 2300150/105

6700150/121

1600150/83 1600150/83





15. Betonacél mennyiség előkalkulációja 1 m széles lemezsávra

Jel Átmérő

[mm]

Osztás

[mm]

L

[mm]

Hely As

[mm2/m]

L

[m]

m

[kg]

Fővasalás

1 12 150 6700 2 754 6,70 79,41

2 10 150 6600 2 524 6,60 54,37

3 8 150 1600 2 335 1,60 8,43

4 12 150 2800 2 754 2,80 33,19

5 10 150 2300 1 524 2,30 9,47

Fővasalás összesen 184,87

Elosztó vasalás

6 8 150 1000 - 335 25,14 66,20

Vasalás összesen 251,07

Fajlagos vasmennyiség [kg / m3] 251,07 / (0,24×1,00×19,44) 53,81





m00,6L

2kN/m15Edp

m00,6L m00,6L

2inf kN/m8g

Lemez vastagság: v = 200 mm

Beton: C30/37 – Xv0(H) – 24 – CEM 52,5 -….

Betonacél: B500A

Betonfedés névleges értéke: Cnom = 20 mm

Önsúly minimális értéke: ginf = 8 kN/m2

Teher tervezési értéke: pEd = 15 kN/m2 (Parciális terhelés!)

1. Kiindulási adatok





ABRm ,

BRm ,

ABRm ,

BRm ,

BRABR mm ,,

0,

,

ABR

AR

Am

m 1

,

,

ABR

BR

Bm

m

0, ARm

kNm/m31,4666,11

00,615

112

2

,,

2

2

,,

BRABR

BA

EdBRABR

mm

Lpmm

2. Szélső mező vizsgálata

m00,6L

2kN/m15Edp

m00,6L m00,6L





BCRm ,

CRm ,

BCRm ,

BRm ,

BRABR mm ,,

BRm ,

CRm ,

???,

,

BCR

BR

CBm

m 10 8

BRm , BCRm ,

56,18

10

A

AB


m00,6L

2kN/m15Edp

m00,6L m00,6L





BCRm ,

CRm ,

BCRm ,

BRm ,

BRABR mm ,,

BRm ,

CRm ,

56,1,

,

BCR

BR

CBm

m


m00,6L

2kN/m15Edp

m00,6L m00,6L

kNm/m37,2648,20

00,615

112

2

,

2

2

,

BCR

CB

EdBCR

m

Lpm





kNm/m37,26

kNm/m31,46 kNm/m31,46

kNm/m31,46 kNm/m31,46

/m)mm654(120/10/mmm634 2,,,,

2,,,, BprovsABprovsBrequsABrequs AAAA

/m)mm419(120/8/mmm352 2,,

2,, BCprovsBCrequs AA

4. Jellemző keresztmetszetek vasalása

m00,6L

2kN/m15Edp

m00,6L m00,6L





Lc Lc

m00,6L

2kN/m15Edp

m00,6L m00,6L

5. A B és a C támasz feletti vasalás bevezetése az AB és a CB nyílásba

2inf kN/m8g 2

inf kN/m8g

!!!,ARm

!!!,ABRm

ABRm ,

!!!,CDRm

!!!,DRm

125,0 c 125,0 c

32,068

031,462266,05,0

68

031,465,0

22inf

,,

22inf

,,

Lg

mm

Lg

mmk

ABRBRARBRa)





Lc Lc

m00,6L

2kN/m15Edp

m00,6L m00,6L

2inf kN/m8g 2

inf kN/m8g

!!!,ARm

!!!,ABRm

ABRm ,

!!!,CDRm

!!!,DRm

125,0 c 125,0 c

b)

32,068

031,46266,066,0

2

2

2

2inf

,,2

Lg

mmkkc

ABRBRmm1920Lc





5. A B és a C támasz feletti vasalás bevezetése az AB és a CB nyílásba

m00,6L

2kN/m15Edp

m00,6L m00,6L

2inf kN/m8g

a)

2kN/m15Edp

Lc Lc

!!!,BCRm

ABRm ,ARm , DRm ,

BCRm ,

BRm , CRm ,

5,025,0 c

kNm/m31,108

68

2

31,4631,46

82

22inf,,

,

Lgmm

mCRBR

BCR





6. A B és a C támasz feletti vasalás bevezetése a BC nyílásba

m00,6L

2kN/m15Edp

m00,6L m00,6L

2inf kN/m8g

b)

2kN/m15Edp

Lc Lc

!!!,BCRm

ABRm ,ARm , DRm ,

BCRm ,

BRm , CRm ,

5,068

31,10231,4631,4625,05,0

225,05,0

22inf

,,,

Lg

mmmc

BCRCRBR





6. A B és a C támasz feletti vasalás bevezetése a BC nyílásba

120/10

7. Előzetes vasalási vázlat

120/10120/8

120/10

92,1 92,1

2kN/m15Edp 2inf kN/m8g

2kN/m15Edp

m00,6L m00,6L m00,6L





8. Közelítő alakváltozás vizsgálat szélső mezőben

3330

3,1048,51030101062,3

1751000

634

ckw

requsf

db

A

68,30162,3

48,5302,3

48,5

62,3305,1113,1

634

654

500

500

12,35,111500

23

23

0

'

0

,

,

lim

ckck

requs

provs

yk

ffKA

A

fd

L

68,3029,34175

6000

lim

d

L

d

L

Nem felel meg!

(A képlékeny csukló elforduló képességének részletes vizsgálata szükséges!)





MSZ EN 1992-1-1:2010, 7.4.2. Fejezet, 127.-128. o.

2

,

,N/mm225

654

634

15

8435

provs

requs

Ed

qpyds

A

A

p

pf

mm10mm18max

mm120mm240max ss

Az acélbetét alkalmazott átmérője megfelelő!

Az acélbetétek kiosztása megfelelő!





9. Közelítő repedéstágasság vizsgálat szélső mezőben



10. Rugalmas és képlékeny hajlító nyomatékok összehasonlítása

kNm/m16,26

kNm/m34,41 kNm/m34,41

kNm/m40,48

-4% +12% +1% +12% -4%

kNm/m40,48

kNm/m31,46 kNm/m31,46

kNm/m37,26kNm/m31,46 kNm/m31,46

kNm/m34,5

kNm/m31,10





A) Az átrendezés után kapott nyomaték eloszlásnak továbbra is egyensúlyban

kell lennie a szerkezetre ható terhekkel.

Teljesül!

B) Többtámaszú szerkezetek esetén a szomszédos mezők támaszköz arányai

között változhatnak.

Teljesül!

C) Az átrendezett és átrendezés előtti hajlító nyomatékok viszonyára fenn kell

állnia az alábbi összefüggéseknek

2/5,0 1 ii LL







MSZ EN 1992-1-1:2010, 5.6. Fejezet, 59. o.

00,116,26

37,26

előlőátrendezés

tátrendezet

m

m

Vizsgálat BC mezőben

Az átrendeződés mértéke

a BC mezőben

elhanyagolható!







MSZ EN 1992-1-1:2010, 5.6. Fejezet, 59. o.

96,040,48

31,46

előlőátrendezés

tátrendezet

m

m

54,0175

8,13

0035,0

0014,06,025,144,0

0014,06,025,144,096,0

221

d

x

d

xkk u

cu

u

:akkor A,osztálya iduktilitás betonacél a Ha

Vizsgálat AB és CD mezőben

:akkorN/mm50Ha 2ckf

Teljesül!

8,096,0 5 k

Teljesül!







MSZ EN 1992-1-1:2010, 5.6. Fejezet, 59. o.

12,134,41

31,46

előlőátrendezés

tátrendezet

m

m

54,0175

8,13

0035,0

0014,06,025,144,0

0014,06,025,144,012,1

221

d

x

d

xkk u

cu

u

Vizsgálat B és C támasz felett

:akkorN/mm50Ha 2ckf

Teljesül!

8,012,1 5 k

Teljesül!

:akkor A,osztálya iduktilitás betonacél a Ha







MSZ EN 1992-1-1:2010, 5.6. Fejezet, 59. o.

12. Alsó fővasalás konszignációja

0600 6000

300200 57005750

6080120/101

180 200200

100

mm200

15maxmin,0l

6200120/82





0600 6000

300200 57005750

1400240/103

160200

100

10300120/104

13. Felső fővasalás konszignációja

160

180 90015,0 L

160

3001840 5700





6080120/101

14. Vasalási vázlat

6200120/82

10300120/104

92,1 92,1

2kN/m15Edp 2inf kN/m8g

2kN/m15Edp

m00,6L m00,6L m00,6L

6080120/101

1400240/103 1400240/103





15. Betonacél mennyiség előkalkulációja 1 m széles lemezsávra

Jel Átmérő

[mm]

Osztás

[mm]

L

[mm]

Hely As

[mm2/m]

L

[m]

m

[kg]

Fővasalás

1 10 120 6080 2 654 6,08 62,51

2 8 120 6200 1 419 6,20 20,42

3 10 240 1400 2 327 1,40 7,20

4 10 120 10300 1 654 10,30 52,95

Fővasalás összesen 143,08

Elosztó vasalás

5 8 200 1000 - 251 27,48 54,21

Vasalás összesen 197,29

Fajlagos vasmennyiség [kg / m3] 197,29 / (0,20×1,00×18,20) 54,20






Two-way spanning slabs supported on all 4 edges

Kétirányban teherviselő, 4 oldalán megtámasztott lemezek

Különböző peremfeltételekkel kialakított lemezek lehetséges törésképei

Pozitív törésvonal Negatív törésvonal

Csuklós perem Befogott perem



x

y

xL

xy LL

xL xL

1 1

1

xL

2

xL

2

xL

1

xL

1

Rm

Rm

2,

6

1

3

1

2

1xRxxRAkülső LpLLpL

B

A

B

A

22,

,

24

1

6

1

2

12

23

1

22

12

xxRBkülső

xx

xx

RBkülső

LLpL

LL

LL

pL

236

12

2,, xRBkülsőAkülsőkülső LpLLL

”A” lemezrész külső munkája:

”B” lemezrész külső munkája:

Az egész lemez külső munkája:

Two-way spanning slabs simply supported on all 4 edges, precise yield pattern

Kétirányban teherviselő, 4 oldalán szabadon feltámaszkodó lemez pontos megoldása

(Anizotróp – ortotróp vasalású – lemez, felületén egyenletesen megoszló terhelés)


xL

4

R

xRxAbelső m

LmLL

1,

Rx

RxBbelső mL

mLL 22

,

4222

2 ,,

RRRbelső

BbelsőAbelsőbelső

mmmL

LLL

”A” lemezrész belső munkája:

”B” lemezrész belső munkája:

Az egész lemez belső munkája:






x

y

xL

xy LL

xL xL

1 1

1

xL

2

xL

2

xL

1

xL

1

Rm

Rm

B

A

B

A

xL

4

belsőkülső LL

A külső és belső munkák egyenlőségéből:

Adott pR mellett mR meghatározható:

4223

6

1 2RxR mLp

2

23

12

1 2xRR Lpm

mR törőnyomaték a felvett függvénye,

így maximális értéké az alábbi feltétel

mellett nyerhető:

0

2

23

12

1 22

d

dLp

d

dmxR

R






x

y

xL

xy LL

xL xL

1 1

1

xL

2

xL

2

xL

1

xL

1

Rm

Rm

B

A

B

A

xL

4

A tényleges töréskép alakját meghatározó

értéke ennek megfelelően nyerhető:

0

2

23

12

1 22

d

dLp

d

dmxR

R

02

2322432

2

04

32

1

31

2

2

pontos értéke:






x

y

xL

xy LL

xL xL

1 1

1

xL

2

xL

2

xL

1

xL

1

Rm

Rm

B

A

B

A

xL

4

1

31

2

2

pontos értéke:

Melyet mR összefüggésébe

visszahelyettesítve kapjuk a tényleges

törőnyomaték értékeket:

2

23

12

1 2, xRRxR Lpmm

2

23

12

1 2, xRRyR Lpmm






x

y

xL

xy LL

xL xL

1 1

1

xL

2

xL

2

xL

1

xL

1

Rm

Rm

B

A

B

A

xL

4

Adott mR mellett pR határozható meg:

23

2112

2x

RRL

mp

pR törőteher a felvett függvénye, így

minimális értéke az alábbi feltétel mellett

nyerhető:

0

23

2112

22

d

d

Lm

d

dp

x

RR

belsőkülső LL


4223

6

1 2RxR mLp






x

y

xL

xy LL

xL xL

1 1

1

xL

2

xL

2

xL

1

xL

1

Rm

Rm

B

A

B

A

xL

4


értékét már meghatároztuk:

Melyet pR összefüggésébe


törőteher értékét:

1

31

2

2

23

2112

2x

RRL

mp






x

y

xL

xy LL

xL xL

1 1

1

xL

2

xL

2

xL

1

xL

1

Rm

Rm

B

A

B

A

xL

4


x

y

xL xL

Rm

Rm

B

A

B

A

mm250h

)/mmm1130(100/12 2,, xprovsA

)/mmm565(200/12 2,, yprovsA

mm20nomC

66,100,6

00,10

x

y

L

L

Geometriai és anyag jellemzők:

Beton szilárdsági osztálya: C30/37

Betonacél: B500A

m00,6xL

m00,10yLxL

xy LL

Ortotróp

lemez

Example 3: Two-way spanning anisotropic slab simply supported on all 4 edges

3. Példa: Kétirányban teherviselő, 4 oldalán szabadon feltámaszkodó ortotróp vasalású

lemez PONTOS megoldása, felületén egyenletesen megoszló terheléssel


12/200kNm/m50, RyR mm

12/100kNm/m104, RxR mm

mm2242

1220250

xd

mm2122

121220250

yd

48,0104

50

,

,

xR

yR

m

m

Dolgozó magasságok:

Törőnyomatékok x és y irányban:

Example 3: Simpli supported (4) two-way spanning slab, precise yield pattern


lemez pontos megoldása, felületen egyenletesen megoszló terheléssel


x

y

xL xL

Rm

Rm

B

A

B

A

66,100,6

00,10

x

y

L

L

xL

xy LL






értéke:

473,0148,0

66,131

66,12

48,01

31

2

22

pR törőteher értéke:

2

2

2

kN/m25,37473,0473,0266,13

473,066,1248,0

00,6

110412

23

2112

R

x

RR

p

Lmp





x

y

xL xL

Rm

Rm

B

A

B

A

66,100,6

00,10

x

y

L

L

xL

xy LL





x

y

00,3

Rm

Rm

B

A

B

A 00,6

00,10Az egész lemez belső munkája:

Example 3: Simpli supported (4) two-way spanning slab, simple yield pattern


lemez KÖZELÍTŐ megoldása, felületen egyenletesen megoszló terheléssel

00,3




Rkülső

RRBkülső

RRAkülső

BkülsőAkülsőkülső

pL

ppL

ppL

LLL

24

92

100,300,4

3

100,300,3

2

12

33

100,300,6

2

1

2

,

,

,,

1 1

00,3

1

00,3

1

1

00,3

1

00,3

1

333,89300,3

110400,10

00,3

15000,62

2 ,,

belső


L

LLL


2kN/m22,3724/333,893 Rp





lemez KÖZELÍTŐ megoldása, felületén egyenletesen megoszló terheléssel


x

y

xL xL

Rm

Rm

B

A

B

A

mm250h

)/mmm754(150/12 2,, xprovsA

)/mmm754(150/12 2,, yprovsA

mm20nomC

66,100,6

00,10

x

y

L

L



Betonacél: B500A

m00,6xL

m00,10yLxL

xy LL

Izotróp

lemez

Example 5: Two-way spanning isotropic slab simply supported on all 4 edges

5. Példa: Kétirányban teherviselő, 4 oldalán szabadon feltámaszkodó izotróp vasalású lemez

PONTOS megoldása, felületén egyenletesen megoszló terheléssel


12/150kNm/m85,66, RyR mm

12/150kNm/m78,70, RxR mm

mm2242

1220250

xd

mm2122

121220250

yd

94,078,70

85,66

,

,

xR

yR

m

m





pontos megoldása, felületén egyenletesen megoszló terheléssel






x

y

xL xL

Rm

Rm

B

A

B

A

66,100,6

00,10

x

y

L

L

xL

xy LL


értéke:

603,0194,0

66,131

66,12

94,01

31

2

22


2

2

2

kN/m50,30603,0603,0266,13

603,066,1294,0

00,6

178,7012

23

2112

R

x

RR

p

Lmp



pontos megoldása, felületen egyenletesen megoszló terheléssel






x

y

xL xL

Rm

Rm

B

A

B

A

66,100,6

00,10

x

y

L

L

xL

xy LL


x

y

00,3

Rm

Rm

B

A

B

A 00,6

10000Az egész lemez belső munkája:



KÖZELÍTŐ megoldása, felületén egyenletesen megoszló terheléssel

00,3 Az egész lemez külső munkája:

1 1

00,3

1

00,3

1

1

00,3

1

00,3

1

266,73900,3

178,7000,10

00,3

185,6600,62

2 ,,

belső


L

LLL


2kN/m80,3024/266,739 Rp 12/150kNm/m85,66, RyR mm

12/150kNm/m78,70, RxR mm

Rkülső

RRBkülső

RRAkülső


pL

ppL

ppL

LLL

24

92

100,300,4

3

100,300,3

2

12

33

100,300,6

2

1

2

,

,

,,



x

y

3000 3000

Rm

Rm

B

A

B

A 6000

10000

x

y

3000 3000

Rm

Rm

B

A

B

A 6000

10000

2kN/m80,30Rp

Conclusions

Megállapítások

2kN/m22,37Rp

x

y

2838 2838

Rm

Rm

B

A

B

A 6000

10000

x

y

3618 3618

Rm

Rm

B

A

B

A 6000

10000

2kN/m50,30Rp2kN/m25,37Rp

PONTOS

MEGOLDÁS

KÖZELÍTŐ

MEGOLDÁS

12/150/150

12/150/150

12/100/200

12/100/200



x

y

xy LL

1 1

1

xL

2

xL

1

xL

1

Rm

Rm

2,

6

1

3

1

2


B

A

B

A

22,

,

24

1

6

1

2

12

23

1

22

12

xxRBkülső

xxx

xRBkülső

LLpL

LLL

LpL


Rm 2 Rm 2

Rm1

Rm1

xL xL


236

12



Two-way spanning slabs with fix supports on all 4 edges

Kétirányban teherviselő, 4 oldalán befogott anizotróp – ortotróp – vasalású lemez


2

xL

2

xL


xL

4

xL

2

22, 1

11 R

xRxAbelső m

LmLL

11, 122

1 Rx

RxBbelső mL

mLL

1212

,,

12121212

2

RRRbelső


mmmL

LLL





x

y

xy LL

1 1

1

xL

2

xL

2

xL

1

xL

1

Rm

Rm

B

A

B

A

Rm 2 Rm 2

Rm1

Rm1

xL xL

2

xL

2

xL

xL

4





belsőkülső LL



)1(21223

6

112

2RxR mLp


így maximális értéke az alábbi feltétel

mellett nyerhető:

)1(21

23

12

1

12

22

xRR Lpm

0)1(21

23

12

1

12

22

d

dLp

d

dmxR

R


x

y

xy LL

1 1

1

xL

2

xL

2

xL

1

xL

1

Rm

Rm

B

A

B

A

Rm 2 Rm 2

Rm1

Rm1

xL xL

2

xL

2

xL

xL

4







02

2322432

2

01

1

4

3

1

11

1

12

1

2

1

22

1

2

0)1(21

23

12

1

12

22

d

dLp

d

dmxR

R

04

312 2

1

2

1

1


x

y

xy LL

1 1

1

xL

2

xL

2

xL

1

xL

1

Rm

Rm

B

A

B

A

Rm 2 Rm 2

Rm1

Rm1

xL xL

2

xL

2

xL

xL

4





1

1231

122

2

pontos értéke:



törőnyomaték értét:

adott mR mellett pR határozható meg:

)1(21

23

12

1

12

22

xRR Lpm

2

12

2 23

)1(21112

x

RRL

mp


x

y

xy LL

1 1

1

xL

2

xL

2

xL

1

xL

1

Rm

Rm

B

A

B

A

Rm 2 Rm 2

Rm1

Rm1

xL xL

2

xL

2

xL

xL

4






mm250h

)/mmm1130(100/12 2,, xprovsA

)/mmm565(200/12 2,, yprovsA

mm20nomC

66,100,6

00,10

x

y

L

L



Betonacél: B500A

m00,6xL

m00,10yL Ortotróp

lemez

x

y

00,10

Rm

Rm

B

A

B

A

Rm 2 Rm 2

Rm1

Rm1

xL xL

)/mmm1130(100/12 2,, xprovsA

)/mmm565(200/12 2,, yprovsA

Example 7: Two-way spanning slabs with fix supports on all 4 edges

7. Példa: Kétirányban teherviselő, 4 oldalán befogott ortotróp vasalású lemez


00,6




mm2242

1220250

xd

mm2122

121220250

yd

48,0104

50

,

,

xR

yR

m

m



121

Example 5: Fix supportes (4), two-way spanning slab, precise yield pattern

5. Példa: Kétirányban teherviselő, 4 oldalán befogott ortotróp vasalású lemez pontos

megoldása, felületen egyenletesen megoszló terheléssel


66,100,6

00,10

x

y

L

L

x

y

00,10

Rm

Rm

B

A

B

A

Rm 2 Rm 2

Rm1

Rm1

xL xL

00,6






értéke:


11

1

1

2

473,01

148,0

66,111231

112

1

66,12

48,0

1123

1122

2

2

2

222

12

2kN/m50,74

473,02473,066,13

473,066,1448,02

00,6

10412

,,2,,3

,,)1(21112

x

RRL

mp





66,100,6

00,10

x

y

L

L

x

y

00,10

Rm

Rm

B

A

B

A

Rm 2 Rm 2

Rm1

Rm1

xL xL

00,6






Example 5: Fix supportes (4) two-way spanning slab, simple yield pattern

5. Példa: Kétirányban teherviselő, 4 oldalán befogott ortotróp vasalású lemez KÖZELÍTŐ



1 1

00,3

1

00,3

1

66,178600,3

110400,102

00,3

15000,622

2 ,,

belső


L

LLL


2kN/m44,7424/66,1786 Rp



121

x

Rm

Rm

B

A

B

A

Rm 2 Rm 2

Rm1

Rm1

00,3 00,3

00,10

y

00,6 1

00,3

1

00,3

1

Rkülső

RRBkülső

RRAkülső


pL

ppL

ppL

LLL

24

92

100,300,4

3

100,300,3

2

12

33

100,300,6

2

1

2

,

,

,,







mm250h

)/mmm754(150/12 2,, xprovsA

)/mmm754(150/12 2,, yprovsA

mm20nomC



Betonacél: B500A

m00,6xL

m00,10yLIztróp

lemez

y

66,100,6

00,10

x

y

L

L

x

y

Rm

Rm

B

A

B

A

Rm 2 Rm 2

Rm1

Rm1

xL xL

)/mmm754(150/12 2,, xprovsA

)/mmm754(150/12 2,, yprovsA


9. Példa: Kétirányban teherviselő, 4 oldalán befogott izotróp vasalású lemez


00,6

00,10


12/150kNm/m85,66, RyR mm

12/150kNm/m78,70, RxR mm

mm2242

1220250

xd

mm2122

121220250

yd

94,078,70

85,66

,

,

xR

yR

m

m




6. Példa: Kétirányban teherviselő, 4 oldalán befogott izotróp vasalású lemez pontos







y

66,100,6

00,10

x

y

L

L

x

y

Rm

Rm

B

A

B

A

Rm 2 Rm 2

Rm1

Rm1

xL xL

00,6

00,10


értéke:


11

1

1

2

603,01

194,0

66,111231

112

1

66,12

94,0

1123

1122

2

2

2

222

12

2kN/m38,60

603,02603,066,13

603,066,1494,02

00,6

78,7012

,,2,,3

,,)1(21112

x

RRL

mp









y

66,100,6

00,10

x

y

L

L

x

y

Rm

Rm

B

A

B

A

Rm 2 Rm 2

Rm1

Rm1

xL xL

00,6

00,10


Example 6: Fix supportes (4) two-way spanning slab, simple yield pattern

6. Példa: Kétirányban teherviselő, 4 oldalán befogott izotróp vasalású lemez KÖZELÍTŐ



1 1

00,3

1

00,3

1

53,147800,3

178,7000,102

00,3

185,6600,622

2 ,,

belső


L

LLL


2kN/m61,6124/53,1478 Rp

x

B

A

B

A

00,3 00,3

00,10

y

00,6 1

00,3

1

00,3

1

12/150kNm/m85,66, RyR mm

12/150kNm/m78,70, RxR mm

Rkülső

RRBkülső

RRAkülső


pL

ppL

ppL

LLL

24

92

100,300,4

3

100,300,3

2

12

33

100,300,6

2

1

2

,

,

,,






Rm

Rm

Rm 2 Rm 2

Rm1

Rm1


x

y

3000 3000

Rm

Rm

B

A

B

A 6000

10000

x

y

3000 3000

B

A

B

A 6000

10000

2kN/m61,61Rp

Conclusions

Megállapítások

2kN/m44,74Rp

x

y

2838 2838

Rm

Rm

B

A

B

A 6000

10000

x

y

3618 3618

Rm

Rm

B

A

B

A 6000

10000


PONTOS

MEGOLDÁS

KÖZELÍTŐ

MEGOLDÁS

12/100/200 12/150/150

12/150/15012/100/200


Rm

Rm




Two-way spanning slabs supported on 3 edges





x

y

xL

xy LL

xL

1

1

xL

2

xL

2

xL

1

Rm

Rm

2,

6

1

3

1

2


B

B

A

22,

,

4

1

12

1

2

1

23

1

22

1

xxRBkülső

xx

xx

RBkülső

LLpL

LL

LL

pL

36

12





Two-way spanning slabs simply supported on 3 edges (1 free edge)


Anizotróp – ortotróp – vasalású lemez, felületén egyenletesen megoszló terheléssel


R

xRxAbelső m

LmLL

1,

Rx

RxBbelső mL

mLL 22

,

44

2 ,,

RRRbelső


mmmL

LLL





x

y

xL

xy LL

xL

1

1

xL

2

xL

2

xL

1

Rm

Rm

B

B

A





belsőkülső LL



4

3

6

1 22

xRR Lpm



mellett nyerhető:

0

4

3

6

1 22

d

dLp

d

dmxR

R

43

6

1 2RxR mLp


x

y

xL

xy LL

xL

1

1

xL

2

xL

2

xL

1

Rm

Rm

B

B

A







02

344232

2

04

3

2

12

1

121

4

2

pontos értéke:

0

4

3

6

1 22

d

dLp

d

dmxR

R


x

y

xL

xy LL

xL

1

1

xL

2

xL

2

xL

1

Rm

Rm

B

B

A





1

121

4

2

pontos értéke:




4

3

6

1 22

, xRRxR Lpmm

4

3

6

1 22

, xRRyR Lpmm


x

y

xL

xy LL

xL

1

1

xL

2

xL

2

xL

1

Rm

Rm

B

B

A








nyerhető:

0

3

416

22

d

d

Lm

d

dp

x

RR

belsőkülső LL


43

6

1 2RxR mLp

22 3

416

x

RRL

mp


x

y

xL

xy LL

xL

1

1

xL

2

xL

2

xL

1

Rm

Rm

B

B

A










1

121

4

2

22 3

416

x

RRL

mp


x

y

xL

xy LL

xL

1

1

xL

2

xL

2

xL

1

Rm

Rm

B

B

A






mm250h

)/mmm1130(100/12 2,, xprovsA

)/mmm565(200/12 2,, yprovsA

mm20nomC

66,100,6

00,10

x

y

L

L



Betonacél: B500A

m00,6xL

m00,10yL Ortotróp

lemez

x

00,6

00,10

xL

Rm

Rm

B

B

A

y

Example 11: Two-way spanning slabs simply supported on 3 edges






mm2242

1220250

xd

mm2122

121220250

yd

48,0104

50

,

,

xR

yR

m

m







66,100,6

00,10

x

y

L

L

x

00,6

00,10

xL

Rm

Rm

B

B

A

y






értéke:


532,0148,0

66,1121

66,14

48,0

112

14

2

2

2

2222kN/m39,29

532,0532,066,13

532,066,1448,0

00,6

11046

3

416

x

RRL

mp





66,100,6

00,10

x

y

L

L

x

00,6

00,10

xL

Rm

Rm

B

B

A

y







33,79300,3

110400,102

00,3

15000,6

2 ,,

belső


L

LLL


2kN/m38,2927/33,793 Rp

Rkülső

RRBkülső

RRAkülső


pL

ppL

ppL

LLL

27

122

100,300,7

3

100,300,3

2

1

33

100,300,6

2

1

2

,

,

,,



lemez KÖZELÍTŐ megoldása, felületen egyenletesen megoszló terheléssel

x

y00,10

00,3

1

1

00,3

1

00,3

1

00,3

1

B

B

A



00,3

00,3






Rm

Rm

mm250h

)/mmm754(150/12 2,, xprovsA

)/mmm754(150/12 2,, yprovsA

mm20nomC


m00,6xL

m00,10yLIzotróp

lemez

66,100,6

00,10

x

y

L

L

x

B

B

A

y


Betonacél: B500A







13. Példa: Kétirányban teherviselő, 3 oldalán szabadon feltámaszkodó izotróp vasalású


Rm

RmxL

xy LL

xL

12/150kNm/m85,66, RyR mm

12/150kNm/m78,70, RxR mm

mm2242

1220250

xd

mm2122

121220250

yd

94,078,70

85,66

,

,

xR

yR

m

m



66,100,6

00,10

x

y

L

L

x

B

B

A

y









Rm

RmxL

xy LL

xL


értéke:

66,100,6

00,10

x

y

L

L

x

B

B

A

y 710,0194,0

66,1121

66,14

94,0

112

14

2

2


2

2222kN/m00,22

710,0,0710,066,13

710,066,1494,0

00,6

178,706

3

416

x

RRL

mp









Rm

RmxL

xy LL

xL



566,60500,3

178,7000,102

00,3

185,6600,6

2 ,,

belső


L

LLL


2kN/m43,2227/566,605 Rp

Rkülső

RRBkülső

RRAkülső


pL

ppL

ppL

LLL

27

122

100,300,7

3

100,300,3

2

1

33

100,300,6

2

1

2

,

,

,,

x

y

00,6

00,10

00,3

1

1

00,3

1

00,3

1

00,3

1

B

B

A



KÖZELÍTŐ megoldása, felületen egyenletesen megoszló terheléssel

12/150kNm/m85,66, RyR mm

12/150kNm/m78,70, RxR mm






Rm

Rm


x

y

3000

Rm

Rm

B

B

A 6000

10000

x

y

3000

Rm

Rm

B

B

A 6000

10000

2kN/m43,22Rp

Conclusions

Megállapítások

2kN/m38,29Rp

x

y

2838

Rm

Rm

B

B

A 6000

10000

x

y

3618

Rm

Rm

B

B

A 6000

10000


PONTOS

MEGOLDÁS

KÖZELÍTŐ

MEGOLDÁS

12/100/200

12/100/200 12/150/150

12/150/150



x

y

xL

xy LL

xL

1

1

xL

1

xL

1

Rm

Rm

2,

6

1

3

1

2


B

A

2,

,

436

1

2

12

3

1

2

12

xRBkülső

xxxxRBkülső

LpL

LLLLpL

236

12





xL

A

1

xL

1

Two-way spanning slabs with fix supports on 3 edges (1 free edge)

Kétirányban teherviselő, 3 oldalán befogott lemez pontos megoldása


Rm 2 Rm 2Rm1


22, 11

1

R

xRxAbelső m

LmLL

1,

1,

2

112

RBbelső

xRx

xRxBbelső

mL

LmL

LmLL

12

,,

212

2

RRbelső


mmL

LLL









x

y

xL

xy LL

xL

1

1

xL

1

xL

1

Rm

Rm

B

A

xL

A

1

xL

1

Rm 2 Rm 2Rm1

belsőkülső LL



12

22

212

23

6

1

xRR Lpm



mellett nyerhető:

0212

23

6

1

12

22

d

dLp

d

dmxR

R

12

221223

6

1

RxR mLp






x

y

xL

xy LL

xL

1

1

xL

1

xL

1

Rm

Rm

B

A

xL

A

1

xL

1

Rm 2 Rm 2Rm1



03

13

3

14

1

2

1

22

1

4

312

2

pontos értéke:

0342

1

2

3

1






x

y

xL

xy LL

xL

1

1

xL

1

xL

1

Rm

Rm

B

A

xL

A

1

xL

1

Rm 2 Rm 2Rm1

0212

23

6

1

12

22

d

dLp

d

dmxR

R

pontos értéke:




1

4

312

2

12

22

212

23

6

1

xRR Lpm






x

y

xL

xy LL

xL

1

1

xL

1

xL

1

Rm

Rm

B

A

xL

A

1

xL

1

Rm 2 Rm 2Rm1




nyerhető:

belsőkülső LL


2

12

2 23

21216

x

RRL

mp

12

221223

6

1

RxR mLp

2

12

2 23

21216

d

d

Lm

d

dp

x

RR






x

y

xL

xy LL

xL

1

1

xL

1

xL

1

Rm

Rm

B

A

xL

A

1

xL

1

Rm 2 Rm 2Rm1






1

4

312

2

2

12

2 23

21216

x

RRL

mp






x

y

xL

xy LL

xL

1

1

xL

1

xL

1

Rm

Rm

B

A

xL

A

1

xL

1

Rm 2 Rm 2Rm1


mm250h

mm20nomC


m00,4xL

m00,10yL Ortotróp

lemez

x

y

xL

xy LL

xL

Rm

Rm

B

A

xL

A

Rm 2 Rm 2Rm1 )/mmm1130(100/12 2

,, yprovsA

)/mmm565(200/12 2,, xprovsA


Betonacél: B500A

)/mmm1130(100/12 2,, yprovsA

)/mmm565(200/12 2,, xprovsA

50,200,4

00,10

x

y

L

L

Example 15: Two-way spanning slabs with fix supports on 3 edges






mm2242

1220250

yd

mm2122

121220250

xd

08,250

104

,

,

xR

yR

m

m



121





x

y

xL

xy LL

xL

Rm

Rm

B

A

xL

A

Rm 2 Rm 2Rm1

50,200,4

00,10

x

y

L

L






és értéke:


12,11208,2

50,2

4

31

2

1

50,2

08,22

14

312

2

2

2

1

3

1

1

2

2

222

12

2kN/m38,43

12,1212,150,23

150,212,1212,1208,22

00,4

506

23

21216

x

RRL

mp





x

y

xL

xy LL

xL

Rm

Rm

B

A

xL

A

Rm 2 Rm 2Rm1

50,200,4

00,10

x

y

L

L








64100,4

15000,4200,10

00,4

1104200,42

2 ,,

belső


L

LLL


2kN/m71,43666,14/641 Rp

Rkülső

RRBkülső

RRAkülső


pL

ppL

ppL

LLL

666,14

333,92

100,400,2

3

100,400,4

2

12

666,23

100,400,4

2

1

2

,

,

,,




x

y

00,4

00,10

00,4

Rm

Rm

B

A

00,4

A

Rm 2 Rm 2Rm1



1

00,4

11

00,4

1

y

1

00,4

1



mm250h

mm20nomC


m00,4xL

m00,10yL Izotróp

lemez

x

y

xL

xy LL

xL

Rm

Rm

B

A

xL

A

Rm 2 Rm 2Rm1 )/mmm1130(100/12 2

,, yprovsA

)/mmm565(100/12 2,, xprovsA


Betonacél: B500A

)/mmm1130(200/12 2,, yprovsA

)/mmm565(200/12 2,, xprovsA

50,200,4

00,10

x

y

L

L







mm2242

1220250

yd

mm2122

121220250

xd

060,125,98

104

,

,

xR

yR

m

m



5,021




12/200kNm/m13,491, RxR mm

12/100kNm/m25,98, RxR mm






x

y

xL

xy LL

xL

Rm

Rm

B

A

xL

A

Rm 2 Rm 2Rm1

50,200,4

00,10

x

y

L

L


és értéke:


860,01429,006,1

50,2

4

31429,0

50,2

06,12

14

312

2

2

429,03

1

1

2

2

222

12

2kN/m50,42

86,0286,050,23

5,050,286,0286,05,106,12

00,4

25,986

23

2126

x

RR

L

mp









x

y

xL

xy LL

xL

Rm

Rm

B

A

xL

A

Rm 2 Rm 2Rm1

50,200,4

00,10

x

y

L

L




333,631

33,31900,4

125,9800,42

00,4

113,4900,10

15600,4

15210400,4

2

,

,

,,

belső

Bbelső

Abelső


L

L

L

LLL


2kN/m05,43666,14/333,631 Rp

Rkülső pL 666,14

x

y

00,4

00,10

00,4

Rm

Rm

B

A

00,4

A

Rm 2 Rm 2Rm1

1

00,4

11

00,4

1

y

1

00,4

1




kNm/m52, yRm

kNm/m104, yRm

kNm/m13,49, xRm

kNm/m25,98, xRm



x

y

4000 4000

Rm

RmA

B

A 4000

10000

x

y

4000 4000

Rm

RmA

B

A 4000

10000

2kN/m05,43Rp

Conclusions

Megállapítások

2kN/m71,43Rp

x

y

4480 4480

Rm

RmA

B

A 4000

10000

x

y

3440 3440

Rm

RmA

B

A 4000

10000


PONTOS

MEGOLDÁS

KÖZELÍTŐ

MEGOLDÁS

12/100/200 12/100/100

12/100/10012/100/200

1

1

2

1

5,0

5,0

2

1





Two-way spanning slabs supported on 2 sides





x

y

xL

xy LL

1

xL

1

xL

1

Rm

Rm

2

6

1

3

1

2

1xRxxRkülső LpLLpL

B

A lemez külső munkája:

A

1

Two-way spanning slabs simply supported on 2 edges (2 free edges)

Kétirányban teherviselő, 2 oldalán szabadon feltámaszkodó anizotróp (ortotróp vasalású)

lemez megoldása, felületén egyenletesen megoszló terheléssel

R

xxR

xxRbelső m

LLm

LLmL

11

A lemez belső munkája:

belsőkülső LL


RxR mLp

2

6

1

pR és mR meghatározható:

2

2

2

6

1xRR Lpm

2

2

2

16

x

RRL

mp



x

y

00,4

00,6

1

00,4

1

00,6

1

Rm

Rm

B

A lemez törőnyomatékai:

A

1

Segédmennyiségek:

pR értéke:

2

2

2

22

2

2kN/m08,36

50,1

08,250,1

00,4

1506

16

x

RRL

mp



50,100,4

00,6

x

y

L

L 08,2

50

104

,

,

xR

yR

m

m


mm250h mm20nomCm00,4xL m00,6yL

C30/37 B500A

Example 19: Two-way spanning slab simply supported on 2 edges

19. Példa: Kétirányban teherviselő, 2 oldalán szabadon feltámaszkodó anizotróp – ortotróp -

vasalású lemez megoldása, felületén egyenletesen megoszló terheléssel



x

y

xL

xy LL

1

xL

1

xL

1

Rm

Rm

1 Rkülső PL

B


A

1

Two-way spanning slab simply supported on 2 edges

Kétirányban teherviselő, 2 oldalán szabadon feltámaszkodó anizotróp - ortotróp – vasalású

lemez megoldása, koncentrált terheléssel

R

xxR

xxRbelső m

LLm

LLmL

11


belsőkülső LL


RR mP


2

26

1xRR Lpm

2

RR mP

RP



x

y

00,4

00,6

1

00,4

1

00,6

1

Rm

Rm

B


A

1

Segédmennyiségek:

pR értéke:



50,100,4

00,6

x

y

L

L 08,2

50

104

,

,

xR

yR

m

m


mm250h mm20nomCm00,4xL m00,6yL

C30/37 B500A

Example 20: Two-way spanning slab simply supported on 2 edges

20. Példa: Kétirányban teherviselő, 2 oldalán szabadon feltámaszkodó anizotróp - ortotróp -

vasalású lemez megoldása, koncentrált terheléssel

RP

kN33,14450,1

08,250,150

22

RR mP



x

y

R

1

Rm

Rm

2

3

1RpL Rkülső


1

Circular, simply supported slab

Peremein szabadon feltámaszkodó anizotróp körlemez megoldása, felületén egyenletesen

megoszló terheléssel

111

RRRbelső mR

RmR

RmL


belsőkülső LL


13

1 2RR mRp


13

1 2Rpm RR 2

13

Rmp RR

R

1

R

1

1

R

1

R




Segédmennyiségek:

pR értéke:



08,250

104

,

,

xR

yR

m

m


mm250h mm20nomCm00,4R

C30/37 B500A

Example 21: Circular, simply supported slab

21. Példa: Peremein szabadon feltámaszkodó anizotróp körlemez megoldása, felületén

egyenletesen megoszló terheléssel

x

y

00,4

1

Rm

Rm

1 00,4

1

00,4

1

1

00,4

1

00,4

2

22kN/m88,28

00,4

08,21503

13

rmp RR



x

y

R

1

Rm

Rm

2

3

1RpL Rkülső


1

Circular slab with fix support

Peremein befogott anizotróp körlemez megoldása, felületén egyenletesen megoszló

terheléssel

21 11 Rbelső mL


belsőkülső LL


212 11

3

1 RR mRp


21

2

113

1

Rpm RR

2

21 113

Rmp RR

R

1

R

1

1

R

1

R

Rm1

Rm 2




pR értéke:

059,125,98

104

,

,

xR

yR

m

m


mm250h mm20nomCm00,4R

C30/37 B500A

Example 22: Circular slab with fix support

22. Példa: Peremein befogott anizotróp körlemez megoldása, felületén egyenletesen

megoszló terheléssel

x

y

00,4

1

Rm

Rm

1 00,4

1

00,4

1

1

00,4

1

00,4



12/200kNm/m13,491, RxR mm

12/100kNm/m25,98, RxR mm

2,

,2

yR

yR

m

m2

,

,1

xR

xR

m

m

2

2

2

21

kN/m79,11300,4

21059,12125,983

113

R

RR

p

Rmp




Flat slabs

Pontonként alátámasztott síklemezek

Globális tönkremenetel y irányú törésvonalakkal

1 1 1 10 0 00 0



Flat slabs





Flat slabs


Globális tönkremenetel x irányú törésvonalakkal

0

0

1

1

1

0

0




Flat slabs





Flat slabs


Kombinált globális tönkremenetel

1 11 1

1 1 1 1

1 11 1

0,5 0,50,5 0,5

0,5 0,50,5 0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5




Flat slabs


Kombinált globális tönkremenetel



Flat slabs


Lokális tönkremenetel – legyező alakú törésképek a pillérek felett




Flat slabs


Lokális tönkremenetel – legyező alakú törésképek a pillérek felett



Combined global yield line pattern for flat slab

Pontonként alátámasztott anizotróp – ortotróp – vasalású síklemez megoldása, kombinált

globális tönkremenetel esetén, felületén egyenletesen megoszló terheléssel

Elfordulási

tengely

1

0

Pozitív

törésvonalak

Negatív

törésvonalak

Elforduló

lemezszakasz

0,5

0,5


10,5

0,5

0

2

xL

2

xL

8

2

1

4

2

1

22

2

2

xRkülső

xRkülső

xxRkülső

LpL

LpL

LLpL

Az elforduló

lemezszakasz külső

munkája:

1

xL

xL

Elfordulási

tengely

xL

1

1

0,5






1

0

Az elforduló

lemezszakasz belső

munkája:

1

1xL

1

xL

1

1

0,5

xL

2

xL

xL

2

xL

Rm

0,5

0,5Rm

Rm 3

Rm 4

Rm1

Rm2

43

21

10

3

10

2

2

1

10

3

10

2

2

1

Rbelső mL








belsőkülső LL


pR meghatározható:

1

0

2

xL

Rm

0,5

0,5

Rm 3

Rm 4

Rm2

2

xL

102 xL

103 xL

8

2x

Rkülső

LpL

Rm

Rm1

4321

10

3

10

2

2

1

10

3

10

2

2

1

Rbelső mL

43212 10

3

10

2

2

1

10

3

10

2

2

18

x

RR

L

mp






1

RdV RdVxy LL

xLyr yr

xr

xrxh

yh

365,0x

xxx

L

hLr 365,0

y

yyx

L

hLr

xR

xR

xm

m

,

,

yR

yR

ym

m

,

,

xR

yR

m

m

,

,

x

y

L

L

RdV

RdV

yRm ,

yRm ,

xRm , xRm ,



Local yield line pattern for flat slab

Pontonként alátámasztott anizotróp – ortotróp – vasalású síklemez megoldása, lokális

tönkremenetel esetén, felületén egyenletesen megoszló terheléssel

1

RdV

yr yr

xr

xrxh

yh

RdV

yRm ,

yRm ,

xRm , xRm ,

x

xx

RdxR

L

h

Vm

4112

,

y

yy

RdyR

L

h

Vm

4112

,

22,1 xRRd LpV



Local yield line pattern for flat slab

Pontonként alátámasztott anizotróp – ortotróp – vasalású síklemez megoldása, lokális

tönkremenetel esetén, felületén egyenletesen megoszló terheléssel


Example 23: Plastic analysis of flat slab

22. Példa: Pontonként alátámasztott síklemez födém törőterhe

00,6

00,10

00,2 00,3

66,100,6

00,10

x

y

L

L

/10021

8/100/10061

/10021

/10061 20,1

80,1

Geometriai és anyag

jellemzők:

mm250h

mm30nomC

C30/37

B500A

mm214lemezsáv,lemezsáv, yy dd

mm204lemezsáv, xd

mm216lemezsáv, xd

mm212oszlopsáv, yd

mm196oszlopsáv, xd

8/100


00,2 00,3

8/100/10061

/10021

/1006120,1

80,1

mm214lemezsáv,lemezsáv, yy dd

mm204lemezsáv, xd

mm216lemezsáv, xd

mm212oszlopsáv, ydmm196oszlopsáv, xd

Törőnyomatékok:

kNm/m15,99mm58,24

)/mmm1130(100/12 2

Rd

s

mx

A

kNm/m36,43mm92,10

)/mmm502(100/8 2

Rd

s

mx

A

kNm/m98,45mm92,10

)/mmm502(100/8 2

Rd

s

mx

A

kNm/m25,166mm72,43

)/mmm2010(100/16 2

Rd

s

mx

A

kNm/m26,152mm72,43

)/mmm2010(100/16 2

Rd

s

mx

A

8/100

/10021





00,2 00,3

8/100

8/100/10061

/10021

/1006120,1

80,1

A) X irányú törésvonalak, globális tönkremenetel:

kNm/m15,99

kNm/m25,166

kNm/m15,99

kNm/m25,166

kNm/m15,99

RRx

yRkülső ppL

LpL 152

00,600,10

2

1

22

1

17,270

00,5

1200,315,99

00,5

180,115,992

00,5

120,125,1662

belsőL

2kN/m01,1815/17,270 Rp

/10021





00,2 00,3

8/100/10061

/10021

/1006120,1

80,1

B) Y irányú törésvonalak, globális tönkremenetel:

8/100

/10021

kNm/m26,152kNm/m98,45

kNm/m98,45kNm/m26,152

kNm/m36,43

R

R

yxR

külső p

p

LLp

L

15

2

00,1000,6

2

1

22

1

51,439

00,3

1200,536,43

00,3

100,398,452

00,3

100,226,1522

belsőL

2kN/m30,2915/51,439 Rp





00,2 00,3

8/100

8/100/10061

/10021

/1006120,1

80,1

pR törőteher meghatározása:

2

2

43212

kN/m14,2400,110

354,1

10

2

2

1

66,1

29,206,1

10

383,3

10

2

2

166,1

00,666,1

36,438

10

3

10

2

2

1

10

3

10

2

2

18

R

x

RR

p

L

mp

C) Kombinált globális tönkremenetel:

66,100,6

00,10

x

y

L

L 29,2

36,43

15,99

,,

,,

lemezsávxR

lemezsávyR

m

m

83,336,43

25,1661 06,1

36,43

98,452

54,115,99

26,1523 00,14

/10021





00,2 00,3

8/100

8/100/10061

/10021

/1006120,1

80,1

D) Lokális tönkremenetel:

/10021


kN 258500,6

40,041512,31266,136,43

4112,

x

xxxRRd

L

hmV

kN 193500,10

40,041677,11215,99

4112,

y

yyyRRd

L

hmV

2

22kN/m 98,26

00,666,12,1

1935

2,1

min

x

RdR

L

Vp

512,336,43

26,152

,

,

xR

xR

xm

m

677,115,99

25,166

,

,

yR

yR

ym

m

287,236,43

15,99

,

,

xR

yR

m

m

66,100,6

00,10

x

y

L

L

mm 400 yx hh





Flat slabs with enlarged column head

Gombafödémek






Gombafödémek





Gombafödémek






Gombafödémek





Gombafödémek

Globális tönkremenetel kombinált törésképpel




Reinforced Concrete Structures II.

Vasbetonszerkezetek II.

- Vasbeton lemezek képlékeny teherbírása II. -X.


Köszönöm a figyelmet! Dr. Kovács Imre PhD

tanszékvezető

főiskolai tanár

E-mail:

[email protected]

Mobil:

06-30-743-68-65

Iroda:

06-52-415-155 / 77764

WEB:

http://epitotsz.mk.unideb.hu/




Documents

Reinforced Concrete Structures II. / Vasbetonszerkezetek II ...worldstrongguard.hu/downloads/kimre/vasb_2/...Reinforced Concrete Structures II. / Vasbetonszerkezetek II. Course X