Reglerteori. Föreläsning 5Torkel Glad

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 2

Sammanfattning av Föreläsning 4

Kalman�lter

• Optimal observatör

• Kräver stokastisk modell av störningarna

• Kräver lösning av algebraiska Riccatiekvationen

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 3

Sammanfattning av Föreläsning 4, fortsViktiga överföringsfunktioner när G återkopplas med −Fy:• T = (I +GFy)−1GFy, Komplementärkänslighetsfunktionmodellfel → stabilitet, mätstörning → styrd signal

• S = (I +GFy)−1, Känslighetsfunktionutsignalstörning → styrd signal, modellfel → styrdsignal

• Su = (I + FyG)−1, Insignal-känslighetsfunktioninsignalstörning → insignal

• Gwu = −SuFy, utsignalstörning → insignal• Gwuy = SuG, insignalstörning → utsignal/styrd signal

Stabilitet hos S, Su, Gwu, Gwuy garanterar stabilitet hosslutna systemet.

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 4

Sammanfattning av föreläsning 4, forts.

• S mäter förstärkning från modellfel till signalfel.• Om ∆G är relativa modellfelet, dvs

Gsann = (I + ∆G)Gmodell

så är återkopplade systemet stabilt om

||∆GT ||∞ < 1

Detta är i sin tur uppfyllt om

|T (iω)| < 1

|∆G(iω)| , allaω

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 5

Föreläsning 5.

1. Vilka regulatorprinciper �nns?

2. Vem skall styra vad? RGA

3. Syntesmetod 1: Linjärkvadratisk syntes

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 6

Mest framgångsrika regulatorn någonsin: PID

• Boulton och Watt 1788:hastighetsreglering av ångmaskiner,mekanisk implementering

• Hydrauliska och pneumatiskaimplementeringar: sent 1800-tal.

• Elektronikimplementeringar:1930-talet.

• Datorimplementeringar: 1950-talet.

• �PID-on-a-chip�: 1990-talet.

• Kvantdator ???

• Tillämpningar: alla. foto: Wikipedia � Andy Dingley

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 7

PID, forts.

• Förutsätter en insignal och en utsignal.• Har man �era in- och utsignaler måste man para ihopdem två och två.

• Tolkning i bodediagram: fasavancerande ochfasretarderande.

• Kan ställas in med intuition och experimenterande.Resultat: högst halvbra (utom i mycket enkla fall).

• Systematisk analys (poler nollställen , S, T ,...) kan geregulatorinställning med mycket höga prestanda.

• Första systematiska angreppssättet (poler): Maxwell1868.

• Robust formning av kretsförstärkningen: Åström ochHägglund 2006.

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 8

När PID inte räcker till

(Betyder oftast att systemet är �ervariabelt och/ellerolinjärt.)

• IMC (Internal Model Control)

• Minimering av kvadratiska kriterier: LQ, LQG

• Systematisk formning av överföringsfunktioner: H2,H∞

• Olinjära metoder.

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 9

Flera in- och utsignaler. Vem skall styra vad?

� Magert system:

G =

· · ·· · ·· · ·· · ·

Fler ut- än insignaler. Alla utsignaler kan inte styrasperfekt � prioritera.� Tjockt system:

G =

[· · · · · · · · ·· · · · · · · · ·

]Fler in- än utsignaler. Hur skall styrarbetet fördelas påinsignalerna?

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 10

Flera in- och utsignaler. Interaktion

• Om det �nns många in- och utsignaler blirregulatorsyntesen mycket enklare om man kan brytaned systemet i delsystem som har liten interaktion.

• RGA � ett sätt att mäta interaktion

• Tillförlitlighetsaspekter

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 11

RGA

• Betrakta följande ideala fall• Utsignal j styrs från insignal i och ingen annan

styrning sker.

• Utsignal j styrs från insignal i och alla andra

utsignaler är perfekt reglerade.

• Bilda kvoten mellan förstärkningarna i de två fallen(för varje par av in/ut-signaler)

• Matematiskt: elementvis multiplikation av G och G−T

(G överföringsfunktionen utvärderad t.ex. vid ω = 0)• I Matlab: RGA(A) = A.*pinv(A.') (pinv =pseudoinvers, klarar icke-kvadratiska matriser)

• Para ihop mät- och styrsignaler så att motsvarandeRGA element för överföringsfunktionen v ligger nära 1(och i varje fall inte är negativa).

• Decentraliserad reglering• Frikopplad reglering

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 12

Destillationskolonn

LC

A

T

T

T

LC

LC

FEED

BOTTOMS REFLUX

INTERMEDIATE REFLUX

UPPER REFLUX

TOP DRAW

SIDE DRAW

BOTTOMS

SIDESTRIPPER

FC

FC

Q(F,T)CONTROL

F

T

PC

T

A

T

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 13

RGA för destillationskolonn

G(s) =

[4.05e−27s

50s+11.77e−28s

60s+15.88e−27s

50s+15.39e−18s

50s+15.72e−14s

60s+16.90e−15s

40s+1

]

RGA(G(0)) =

[0.3203 −0.5946 1.2744−0.0170 1.5733 −0.5563

]

RGA(G(i/50)) =[0.4794− 0.3558i −0.6325− 0.0158i 1.1532 + 0.3716i−0.1256 + 0.3558i 1.5763 + 0.0158i −0.4507− 0.3716i

]

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 14

Decentraliserad regleringPara ihop in- och utsignaler mha RGA.Styr sedan med en diagonal PI-regulator.Utreglering av stegstörning:

0 50 100 150 200 250 300−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

y2

y1

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 15

Frikopplad reglering

Förmultiplicera regulatorn med G(0)−1. Styr sedan med endiagonal PI-regulator.

Utreglering av stegstörning:

0 50 100 150 200 250 300−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

tid, min

y2

y1

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 16

IMC. Internal Model Control

Återkoppla bara från ny information.

Fr

G

G0Q

+

+

−

−r u y

Ger (om G0 = G)• S = I −GQ, T = GQ

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 17

IMC-reglerdesign: Grundidè

• Välj Q = G−1!

• Går ej!

Approximera:

Q(s) =1

(λs+ 1)nG−1(s)

Exempel: ...

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 18

Regulatorsyntes

Två huvudprinciper:

• Kvadratisk viktning av variabler. Optimering.�Linjärkvadratisk syntes�. �LQ�, �LQG�

• Direkt formning av S, T ,... i frekvensplanet. �H∞�.�H2�

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 19

Minimering av kvadratiskt kriterium

• Modell:

x = Ax+Bu+Nv1, y = Cx+ v2, z = Mx

• v1, v2 vita brus med intensiteter R1, R2

• Kriterium: Minimera

E(zTQ1z+uTQ2u) = E(xT Q1x+uTQ2u), Q1 = MTQ1M

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 20

LQG. Faktum 1

• I Kalman�ltret är x och x okorrelerade och xoberoende av u. (x = x− x)

• Konsekvens: Det går lika bra att minimera

E(xQ1x+ uTQ2u)

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 21

LQG. Faktum 2

• I Kalman�ltret är

ν = y − Cx

vitt brus med intensitet R2.

• Konsekvens: Kalman�ltret kan skrivas påinnovationsform

˙x = Ax+Bu+Kν

där brus-insignalen ν är vitt brus.

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 22

LQG forts.

• Faktum 3: Om yv är utsignalen från ett system medvitt brus som insignal, och yi utsignalen från sammasystem med ideal impuls som insignal så är

Ey2v =

∫ ∞0

yi(t)2 dt

• Faktum 4: Att lägga en impuls på ingången till ettsystem är ekvivalent med att lägga på ett visstbegynnelsevärde när insignalen är noll.

Föreläsning 1 Torkel Glad Januari 2018 23

Konsekvens av Faktum 3,4

Det ursprungliga optimeringsproblemet är ekvivalent medatt minimera ∫ ∞

0(xT Q1x+ uTQ2u)dt

för systemet

˙x = Ax+Bu, x(0) givet

Lösning: u = −Lx, L = Q−12 BTS, där S ges av

Q1 +ATS + SA− SBQ−12 BTS = 0

Tackwww.liu.se