Reflexión e investigación en Matemática Educativa

Programa Editorial del Posgrado en Matemática Educativa

Reflexión e investigación en Matemática Educativa

Gabriela Buendía Abalos Coordinación

Alejandro Miguel Rosas Mendoza • Gisela Montiel EspinosaApolo Castañeda Alonso • Olda Nadinne Covián Chávez

Verónica Molfino Vigo • Gustavo Martínez SierraJuan Gabriel Molina Zavaleta • Avenilde Romo Vázquez

Mario Sánchez AguilarRevisión Técnica

Reflexión e investigación del Posgrado en Materia Educativa© Gabriela Buendía Abalos (coord.), 2011

D. R. © Editorial Lectorum, S. A. de C. V., 2011Batalla de Casa Blanca Manzana 147 Lote 1621Col. Leyes de Reforma, 3a. SecciónC. P. 09310, México, D. F.Tel. 5581 3202www.lectorum.com.mxventas@lectorum.com.mx

Primera edición: x de 2011ISBN: 978-607-457-201-8

D. R. © Portada e interiores: Lucero Elizabeth Vázquez Téllez

Características tipográficas aseguradas conforme a la ley.Prohibida la reproducción parcial o total sin autorizaciónescrita del editor.

Impreso y encuadernado en México.Printed and bound in Mexico.

Índice

Prólogo 7

Introducción 13

Acerca de los autores 19

Resúmenes 25

Parte i: Reflexiones sobre la Matemática Educativa

Una formación para el profesor de matemáticas en el Programa de Matemática Educativa del ipnJuan Gabriel Molina Zavaleta, Avenilde Romo Vázquez y Alejandro Rosas Mendoza 31

Comprender los resultados de investigación: el rol docente del investigador en la enseñanza de la matemática educativa Cristina Ochoviet y Asuman Oktaç 45

El prome desde la óptica de sus egresados. Un estudio exploratorio descriptivoDavid Saúl Rangel García y Francisco Javier Chávez Maciel 73

Mathematics for students of digital arts and graphic design: a historical approach Alejandro Miguel Rosas Mendoza, Leticia del Rocío Pardo Mota y Apolo Castañeda Alonso 105

Parte ii: Aportes a la Investigación en Matemática Educativa

Análisis del Discurso como Acción Social: su rol en la construcción y difusión de conocimiento matemáticoVerónica Molfino Vigo y Gabriela Buendía Abalos 117

La comunidad de formación científica hacia una comunidad de prácticaIsabel Tuyub Sánchez, Gustavo Martínez Sierra y Gabriela Buendía Abalos 151

Desarrollo histórico como mediador de conocimientos para la enseñanza del concepto de ánguloRosa Araceli Rotaeche Guerrero, Gisela Montiel Espinosa 183

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Prólogo

Contra el silencio y el bullicio invento la Palabra, libertad que se inventa y me inventa cada día.

Libertad bajo palabra O. Paz

Celebramos y agradecemos la iniciativa de nuestra colega Ga-briela Buendía por impulsar y realizar esta primera expresión de lo que se puede denominar el Programa Editorial del Posgrado en Matemática Educativa del cicata - ipn, conocido como Prome.

Hay tres asuntos que me propongo comentar en esta opor-tunidad, relacionados con la actividad de publicar periódica-mente diversos artículos y ensayos en este espacio de difusión.

El primero, hace referencia al surgimiento de este primer volumen después de once años de actividades del Prome. Como grupo académico, reconocemos la necesidad de un continuo ejercicio de escritura y difusión de nuestro trabajo. También re-conocemos la existencia de espacios de expresión científica de reconocimiento nacional e internacional con procesos formales y rigurosos de evaluación, mismos en los que hemos colocado y es-peramos seguir colocando nuestros productos de investigación.

Dicho esto, entonces el programa editorial del Prome, ¿qué es lo que busca? Considero que busca constituirse en un espacio de expresión como comunidad científica y que refleje nuestro trabajo cotidiano, plasmado en reflexiones temáticas so-bre nuestro quehacer formativo y de investigación. Son escritos realizados con toda formalidad, sujetos a evaluación entre pares

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y que abren discusión, negociación de ideas, dejan por escrito una manera de nuestro pensar colectivo, nos permite reconocer-nos en ellos. Varios de estos escritos evolucionarán, seguramente cambiarán, sólo son provisionales, otros serán definitivos. Segu-ramente serán útiles a nuestros alumnos, a la comunidad de ma-temáticos educativos y a algunos profesores de matemáticas.

Todo proyecto colectivo tiene historia, la del Prome se puede leer en sus productos de investigación, tal es el caso de las tesis y artículos elaborados por sus miembros; ahora esta inicia-tiva editorial permitirá conocer de una nueva manera su avance. Algo característico del espacio físico en el que trabajamos los miembros del Prome (y que es un defecto, arquitectónico) es la poca privacidad de nuestras oficinas: a diario soy testigo audi-tivo de múltiples interacciones entre colegas, con estudiantes en sus comunicaciones y seminarios de dirección de tesis a través del Internet, o bien el continuo golpeteo sobre las teclas de las computadoras. Cuando escucho esas voces que discuten y dis-cuten, soy testigo del fenómeno de producción de conocimiento; este Programa Editorial pone de alguna manera por escrito toda esa actividad.

El segundo aspecto a comentar es de índole personal, es la reacción a mi lectura de los artículos y ensayos. Sólo señalo lo que me provocaron, no hago evaluación de ellos, no es mi atribu-ción ni mi deseo, sólo comento algunos aspectos tratados en ellos y comento sobre lo que me informan, orientan, inquietan o pro-vocan discrepancia; con ello busco mostrar cómo estos escritos tienen vida pues remueven al lector desde sus planteamientos.

Inicio con escrito de Rosas, Pardo y Castañeda quienes hacen el planteamiento de una “realidad” bien conocida por los profesores de matemáticas y me dicen en su escrito: El principal problema que enfrentamos es cómo estimular a nuestros alum-nos a estudiar matemáticas,… y luego se preguntan ¿Qué po-demos decirles si no les gusta las matemáticas? Y nos presentan cuestionamientos de los estudiantes tales como ¿Yo no necesito las matemáticas, yo soy un artista” o algo así: “Yo uso el soft-ware de animación y no es necesario aprender las matemáticas” ¿Por qué aprender matemáticas si uso los computadora y ésta

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lo hace todo? “Este fue nuestro desafío”. Las preguntas por co-munes no dejan de ser inquietantes y me lleva a preguntarme sobre qué hacer, pero especialmente sobre la pertinencia sobre lo que se investiga. El planteamiento de nuestros colegas alude a la docencia, pero en dónde está la investigación que ilumine o bien, oriente el quehacer del profesor. No bien he salido del asunto cuando Ochoviet y Oktaç hacen un planteamiento que me recuerda, como en el caso anterior, una de las demandas a nuestro quehacer como científicos en matemática educativa. La orientación actual de buena parte de la investigación en Mate-mática Educativa no ha resuelto totalmente cómo conectar los resultados de investigación con acciones concretas que permitan mejorar la práctica educativa. Las implicaciones didácticas de los papers, muchas veces quedan en eso, en implicaciones que no logran concretarse en la práctica, ya sea porque los docentes no tienen acceso a ellas, porque se hace difícil la transferencia a la práctica o porque los investigadores no se abocan a la pro-ducción de material con fines de enseñanza, entre otros asuntos. El escenario aquí es el del pensar la investigación para la docen-cia, ambos artículos me ofrecen aspectos de posibles respuestas. Continuando con la lectura de los materiales del libro, Molfino y Buendía me abre el panorama, resulta que no son los actos particulares del profesor solamente lo que cuenta sino un cú-mulo de relaciones que me recuerdan que estamos hablando de procesos al interior de instituciones sujetas a fuerzas discursivas que hay que desentrañar, me dicen. Este trabajo busca promo-ver una discusión en el ámbito docente y educativo en general acerca de las prácticas educativas en torno al concepto de límite y a su rol en la estructuración del cálculo. La generación de un cambio en las relaciones de poder dentro de las instituciones implica una discusión profunda entre todos los actores involu-crados en el ámbito escolar, donde se expongan argumentos y unifiquen criterios. Es por eso que se busca aportar elementos a la discusión acerca de si es adecuada la consideración de al-ternativas para el tratamiento escolar del concepto de límite. Su planteamiento no es general y me permite ver, que al seno de la intimidad de la clase de matemáticas y de un objeto matemático,

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se mueven vientos de historia, de ideologías y de búsqueda de racionalidad, pletórica de contradicciones.

La lectura del escrito de Rotaeche y Montiel, me llevó a una de las ideas más lumninosas que he reaprendido en mi actual estancia sabática; entre el quehacer de profesor de matemáticas y la profesión de profesor de matemáticas, media la problema-tización del sistema. Sólo esta problematización que pregunta, que cuestiona las prácticas y el saber, construye la profesión, ali-menta su desarrollo y el de nuestro campo académico. Estas dos investigadoras me dicen: Sin embargo, consideramos que dentro de las tareas del matemático educativo está la de problematizar lo que se enseña. En este sentido es importante recuperar, del reporte histórico, aquello que nos de la luz sobre los conceptos, su naturaleza, sus significados y los conflictos que llevan a su construcción, esto es, desentrañar su naturaleza epistemológica.

Hay tres escritos que me llevaron por interés personal y afectivo a repensar mi quehacer en el Prome. El referente al cuestionamiento sobre el modelo formativo que practicamos y que debemos clarificar y por tanto modelizar, Molina, Romo y Rosas se hacen dos preguntas de toral interés para nuestro co-lectivo; ¿Cuál es el modelo al que deseamos llegar con nuestros alumnos en formación? ¿Cómo se da este proceso de interac-ción entre los formadores y los profesores estudiantes? El asun-to de qué es lo que obtenemos y cómo lo logramos en cuanto a la formación en posgrado de profesores de matemáticas, tiene mucho que discutirse además de las características de los in-dividuos que entran en formación con nosotros, la modalidad en la que se realiza dicha formación y luego, lo que hacemos en los cursos y seminarios para alcanzarla. ¿Profesionalizamos? Como lo dirían el discurso oficial, ¿formamos científicos, pro-ducimos conocimiento? ¿Cuáles son los estándares de calidad con los cuales realizamos dicha labor y cómo se evalúa el logro? No queda más que agradecer a nuestros colegas el que con su artículo abran la discusión. También resultó de gran interés el artículo que Tuyub, Martínez y Buendía, con su detallado plan-teamiento sobre las comunidades de formación científica como comunidad de práctica. En la comunidad de formación científi-

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ca se manifiesta evolución de prácticas cuando los participantes renegocian sus relaciones mutuas y las formas de participación. El cambio constante es una parte importante del compromiso cotidiano en la práctica, la comunidad no se desintegra, no se les muestra la ciencia como hace diez años, ni las formas de inves-tigar son las mismas, ha habido una evolución, de igual forma la tecnología apoya a los nuevos integrantes de la comunidad, pero se sigue conservando la práctica de aprender a hacer in-vestigación. Requiere la necesidad de interesar, involucrar a los estudiantes en el proceso de investigación, de tal forma que se sientan integrantes, que al aprender emplean herramientas (co-nocimientos) para generar otras que responden a alguna proble-mática de interés común. Lo dicho por ellos se constituye en una herramienta adecuada para discernir qué somos como colectivo en el Prome y cuáles son las prácticas a las que aspiramos para continuar nuestro quehacer

Finalmente hago alusión a la lectura del artículo de dos colegas investigadores ajenos al Prome, Rangel y Chávez, cuyo interés de investigación son los procesos formativos en espacios virtuales. Para mí, lo interesante de este trabajo es que se focalizó al estudio no del cuerpo académico, sino de los estudiantes y en un aspecto que es vital para cualquier programa de formación, los progresos académicos - laborales. Se dice que la educación es efectiva cuando las ópticas de los usuarios directos (estudiantes) e indirectos (profesores, directivos, empleadores) producen efec-tos satisfactorios en otros ámbitos (personales, profesionales, la-borales, sociales, etc.). La efectividad de la educación a distancia ha sido un debate antiguo, originado por la desconfianza que diversos sectores de la población han manifestado sobre ella al compararla a priori con la educación convencional. La descon-fianza se deriva al suponer gratuitamente que los beneficios que se le atribuyen a la educación formal sólo se pueden lograr en un escenario escolarizado en el que los estudiantes y los profe-sores interactúan cara a cara en un mismo lugar y tiempo. Esta realidad la conozco y la conocemos por haberla vivido a lo largo de diez años y que si bien ha sufrido cambios importantes, pre-valecen aún fuertes desconfianzas a esta manera de formación.

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Muestro un ejemplo que me resultó de interés y que forma parte de la metodología que siguieron para realizar su análisis: En efecto, al solicitarles a los graduados de la Maestría emitieran sus comentarios sobre la experiencia de haber estudiado en línea, no sorprende encontrar una abrumadora cantidad de comentarios altamente favorables, con una insistencia en valorar las venta-jas de la modalidad en línea para estudiar, de manera flexible y desde sus casas u oficinas una maestría de su interés profesional no disponible en sus lugares; también valoran el intercambio de ideas y experiencias con compañeros y profesores de otros lugares a pesar de las distancias y gracias a los recursos de co-municación proporcionados por las tic; consideran el estudio en línea una forma excelente de aprendizaje, útil, placentero, que desarrolla habilidades de disciplina y autonomía para organizar el tiempo, aunque, señalan que esta modalidad es más deman-dante que la presencial. Más allá de los obvios beneficios de la modalidad, queda como tema aún la viabilidad de la educación científica (pertinente y de alta calidad). El Prome se anticipó en esa labor a pesar de múltiples limitaciones, pero cómo continuar con la tarea para que ésta no pierda la frescura que nos dio la anticipación; creo que el camino reside en problematizarla.

Este largo segundo aspecto quiero cerrarlo con una pe-queña reflexión. Esta tarea de escritura y edición de producción científica, constituye un privilegio, es el espacio de la libertad, donde el único límite es el de la racionalidad y el respeto fra-terno; en este espacio no hay injerencias ni autoridad supre-ma, cultivémoslo. Quede este primer volumen como símbolo de nuestra libetad.

El tercer aspecto y que debería ser el primero. Me tomo la atribución de dedicar este primer tomo del Programa Editorial del Prome a nuestro joven y querido amigo Andrés, que en estos momentos lucha por recobrar la salud. Es para ti Andrés este esfuerzo intelectual y del corazón.

Javier Lezama A.París, Francia

2011

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Introducción

¿Qué es y a qué se dedica un Matemático Educativo? En cual-quiera de las respuestas que pudieran darse a esta interrogante, ejemplificadas cada una por el quehacer de algún matemático educativo, considero que podemos encontrar una ligera simili-tud: es un profesional que considera que la enseñanza - apren-dizaje de las matemáticas, y todos los fenómenos y cuestiones alrededor de ella, es una tarea no trivial; es un complejo entra-mado de circunstancias y personas que hay que entender desde una visión multidisciplinar para sólo entonces atreverse a dar alguna opinión, respuesta o sugerencia sobre la enseñanza de las matemáticas.

Ante este panorama, la producción científica disciplinar debiera ser —y de hecho, lo es— diversa. Tan es relevante re-flexionar sistemáticamente sobre la propia Matemática Educati-va como aportar continuamente con resultados de investigacio-nes fundamentadas en diferentes marcos y visiones teóricas. Me parece que sólo desde esa diversidad de tareas y desde la plura-lidad de voces teóricas podemos acercarnos a la problemática de estudio que nos concierne. Así, el Programa de Matemática Educativa (Prome), posgrado en línea en el que se gesta esta publicación, enfrenta el desafío de trabajar directamente con

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profesores en ejercicio, forjar investigadores en el área de la Ma-temática Educativa, alojar a un nutrido y productivo cuerpo de investigadores con sus propias líneas de investigación, compartir y aprovechar experiencias de diversos países de Latinoamérica. Eso es lo que está contenido en este primer volumen del Progra-ma Editorial del Prome: un conjunto de reflexiones y aportes teóricos en forma de ensayos y de artículos de investigación.

La primera parte de esta publicación, titulada Reflexiones sobre la Matemática Educativa, agrupa un conjunto de escritos que, desde diferentes encuadres teóricos y metodológicos, re-flexionan sobre la Matemática Educativa. Molina, Romo y Ro-sas lo hacen partiendo de un punto que todo –o casi todo– aquél que ingresa al campo ha considerado que va a aprender: se nos va a enseñar a ser mejores maestros de matemáticas. Los autores desarrollan su escrito ejemplificando con el objetivo del Prome para intentar dejar de lado esta postura inicial. Comentan que para conseguir dicho propósito “transculturamos” a los estu-diantes, pues transitan a la cultura de la Matemática Educativa a partir de las interacciones que tenemos con ellos, involucrán-dolos en actividades que consisten en la lectura, la reflexión y el debate sobre diversos aspectos concretos disciplinares.

Sin duda, una cuestión que en muchos escenarios se con-vierte casi en una demanda para la Matemática Educativa, es el nuevo rol que los docentes que ingresan a estudios de especiali-zación en el área debieran desarrollar. Nuevo, porque se consi-dera que algo debiera ocurrir —positivamente— con el docente o el especialista en Matemática Educativa. Ochoviet y Oktaç plantean el rol docente del investigador, un rol a ser asumido por parte de todos aquellos que han llevado adelante un proce-so de investigación ya sea en primera persona o desde adentro de una investigación que utiliza al investigador como observa-dor externo o trabajando en forma colaborativa con docentes, o aquellas de carácter más teórico. Así, el saber producido por un investigador o por un equipo de investigadores y docentes, puede ser de interés tanto para otros investigadores como para docentes en ejercicio que no desarrollan investigación. Desde esta postura, para que el rol docente del investigador sea efecti-

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vamente contribuir a la comprensión de resultados de investiga-ción, las autoras analizan en su escrito recursos para el diseño de las actividades de enseñanza y también en la forma en que se puede organizar un ambiente de aprendizaje.

Tratando de entender el impacto de un posgrado en Mate-mática Educativa sobre sus egresados, Rangel y Chávez llevaron a cabo una investigación en el Programa de Matemática Educa-tiva del cicata, programa que tiene además la característica de ser en línea. Los autores se centran en la efectividad que estos programas pudieran tener y para el caso particular del Prome, tienen que considerar diferentes aspectos. Si bien la educación es efectiva cuando las ópticas de los usuarios directos (estudian-tes) e indirectos (profesores, directivos, empleadores) producen efectos satisfactorios en otros ámbitos (personales, profesiona-les, laborales, sociales, etc.), la efectividad de la educación a dis-tancia ha sido un debate antiguo, originado por la desconfianza que diversos sectores de la población han manifestado sobre ella al compararla con la educación convencional. Es revelador lo que estos investigadores manifiestan: la modalidad en línea es aceptada por las ventajas ofrecidas en cuanto a la flexibilidad en el uso del tiempo, la oportunidad de acceso a un programa de formación inexistente en los lugares de origen de los estudian-tes, el cultivo de habilidades para el aprendizaje autónomo y la facilidad de comunicación e intercambio de ideas y experiencias con colegas de otras latitudes. Sin embargo, dicha modalidad es más demandante que la presencial y tiende a producir efectos negativos para la vida personal, familiar y social: estrés, aisla-miento social y familiar. Con todo, los egresados se reconocen como capaces de incorporar las prácticas sociales que crean con-venientes, para impulsar el proceso de aprendizaje en el área matemática congruente con los requerimientos de la sociedad.

Esta primera parte de reflexiones sobre la Matemática Educativa cierra con la propuesta de Rosas, Pardo y Castañe-da sobre una actividad dirigida a estudiantes de arte digital y diseño gráfico lo cual evidencia la necesidad de la Matemáti-ca Educativa por acercarse y hacer un uso inteligente de otras disciplinas como la Historia pues ésta le puede dar a los estu-

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diantes razones inesperadas para estudiar matemáticas. Si bien la historia como materia no está contemplada en el currículo de licenciaturas en Ciencias Sociales, como en las que los au-tores centran su experimentación, los investigadores hallan en ella elementos para generar una actividad que al mismo tiempo combine las habilidades computacionales —como la animación por computadora— que dichos estudiantes desarrollan como parte de su formación. Generan entonces un ambiente producti-vo y motivador en clase de matemáticas en el que no sólo impor-tará la actividad final resuelta como una tarea, sino el desarrollo continuo de habilidades de distinto tipo.

La segunda parte de este libro está dedicada a presentar Aportes a la Investigación en Matemática Educativa. Estos es-critos abordan tópicos matemáticos particulares; sin embargo, su problemática y por consiguiente la visión teórica con la que la abordan son diversas.

Los aportes principales de los dos primeros escritos están dirigidos a proponer herramientas teóricas que nos permitan entender alguna parte de la complejidad del aula. Mientras que el escrito de Molfino y Buendía proponen una herramienta me-todológica —el Análisis Crítico del Discurso— para reconocer el proceso de institucionalización del límite, el escrito de Tu-yub, Martínez y Buendía proporciona elementos para identificar una comunidad en las que se desarrolla conocimiento científico como una Comunidad de Práctica. Así, ambos escritos ilustran una importante manera de hacer investigación en Matemáti-ca Educativa pues si bien ésta es una disciplina científica con marcos teóricos bien definidos, es común que requiera utilizar herramientas teórico - metodológicas provenientes de otras dis-ciplinas: la complejidad de la problemática a tratar lo requiere.

El análisis crítico del discurso permitió a Molfino y Buen-día estudiar cada acto discursivo de los actores involucrados en el proceso educativo como una manifestación específica del escenario sociocultural en el que se produce. Ello permite reco-nocer que la enseñanza del límite, como un contenido específico del cálculo escolar, está sujeta a un proceso de institucionaliza-ción con características propias de los sistemas educativos en

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donde se quiera investigar. Por su parte, al utilizar el construc-to Comunidad de Práctica, Tuyub, Martínez y Buendía pueden analizar por qué alguna comunidad hace lo que hace respecto a su proceso de construcción de conocimiento, considerando as-pectos sociales como la negociación de significados, participa-ción, obtención de productos o la generación de una identidad.

El último escrito del libro analiza los aportes que la histo-ria de las matemáticas puede dar a su enseñanza. De la misma manera que un escrito anterior, esta investigación evidencia que la Matemática Educativa puede y debe valerse de otras disci-plinas. En su investigación, Rotaeche y Montiel presentan un estudio de corte epistemológico y discuten cómo las definiciones históricas permiten distinguir elementos que le confieren cierta naturaleza al concepto. En particular, las autoras tratan con el ángulo y dan evidencia de que a lo largo de la historia, éste puede ser una cualidad, cantidad y/o relación; la interpretación es acorde a la época y a la tradición filosófica - matemática del momento. Con el paso del tiempo, las definiciones son más for-malistas, menos presas de los contextos sociales pero al mismo tiempo esconden todos aquellos significados socio - culturales. Si bien entonces la escuela suele privilegiar una matemática más pura en pro quizá de una mayor generalidad, es cierto también que termina presentando un conocimiento acabado y lejano de sus significados de origen.

Este libro ilustra pues el quehacer de los investigadores en Matemática Educativa. Como decíamos, es una gran diversidad de enfoques y de tipos de trabajo pero sólo así consideramos que puede aportarse al complejo y apasionante campo de la Ma-temática Educativa.

Gabriela Buendía Abalos

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Acerca de los autores

Gabriela Buendía Abalos Es doctora en Matemática Educativa y actualmente se desempe-ña como profesora - investigadora del Programa de Matemática Educativa del Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del ipn. Su línea de investigación se refiere a la construcción social del conocimiento matemático escolar. Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores y pertenece al Comité Latinoamericano de Matemática Educativa (Clame) y a la Red de Centros de Investigación en Matemática Educativa (Cimates); gbuendia@ipn.mx

Apolo Castañeda AlonsoDoctor en Matemática Educativa por el cicata - ipn, profesor del Programa de Matemática Educativa del cicata - ipn, Méxi-co D.F. apcastane@gmail.com

Francisco Javier Chávez Maciel Es doctor en Pedagogía por la Universidad Nacional Autónoma de México, profesor investigador en la Maestría en Gestión y Desarrollo de la Educación de la Escuela Superior de Comercio y Administración, Unidad Santo Tomás del Instituto Politécni-

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co Nacional. Ha realizado investigación sobre la educación a distancia, presentado ponencias en congresos nacionales e in-ternacionales y publicado en revistas especializadas y en capítu-los de libro. Sobre esta temática ha dirigido tesis de maestría y doctorado. Desde 2008 forma parte de la Red de Investigación e Innovación de Sistemas y Ambientes Educativos del Espacio Co-mún de la Educación Superior a Distancia. fchavezm@ipn.mx

Gustavo Martínez Sierra Es profesor - investigador del Programa de Matemática Educati-va del Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del Instituto Politécnico Nacional. Su actividad como investigador se enmarca dentro de dos líneas de trabajo. La pri-mera estudia los procesos de construcción de sistemas concep-tuales matemáticos y la segunda estudia el conocimiento de sen-tido común asociadas a la matemática escolar. Es miembro del Sistema Nacional de Investigadores. http://www.matedu.cicata.ipn.mx/gustavo.html

Verónica Molfino VigoDoctora en Matemática Educativa por cicata - ipn (México), Profesora de Matemática egresada del Instituto de Profesores “Artigas” (Montevideo, Uruguay). Profesora de secundaria y formación docente, se desempeña en la órbita del Departamen-to de Matemática del Centro de Formación en Educación (Uru-guay). Autora de publicaciones en revistas de Matemática Edu-cativa y colabora con el Acta Latinoamericana de Matemática Educativa. veromolfino@gmail.com

Juan Gabriel Molina ZavaletaMaestro en ciencias en Matemática Educativa por el Centro de Investigación y Estudios Avanzados del ipn, en el Distrito Fede-ral. Es profesor del Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del ipn. jmolinaz@ipn.mx

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Gisela Montiel EspinosaDoctora en ciencias por el Instituto Politécnico Nacional es profesora - investigadora del Posgrado en - línea en Matemática Educativa del Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada del ipn desde el 2003. Miembro del co-mité científico de la Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, del Consejo Directivo del Clame en dos gestiones, de la Red de Cimates y del Sistema Nacional de Investigadores del Conacyt - México. gmontiel@ipn.mx

Cristina Ochoviet Es doctora en Matemática Educativa (cicata–ipn, México). Se desempeña como docente de Didáctica de la Matemática en el Instituto de Profesores Artigas, como docente de Matemática en la Enseñanza Media y como investigadora en el Instituto de Perfeccionamiento y Estudios Superiores. Actualmente coordina el Departamento de Matemática del Consejo de Formación en Educación (Uruguay). cristinaochoviet@gmail.com

Asuman OktaçDoctora en matemáticas por la Universidad de Iowa, es investi-gadora titular en el Departamento de Matemática Educativa del Cinvestav - ipn. Actualmente coordina el Programa de Doctora-do del mismo departamento. oktac@cinvestav.mx

Leticia del Rocío Pardo MotaMaestra en Necesidades Educativas Especiales por el Centro de Estudios Superiores en Educación. Es directora de la Unidad de Servicios de Apoyo en Escuela Regular No. 11 del estado de Veracruz. Desde 1984 es profesora de Educación Especial en ni-vel primaria. Ha participado en proyectos de investigación para el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología del Gobierno del Estado de Veracruz.

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David Saúl Rangel García Es Maestro en Administración y Desarrollo de la Educación por el Instituto Politécnico Nacional. Ha sido profesor de educación en los niveles medio - superior y superior de la modalidad pre-sencial y a distancia en distintas instituciones durante 13 años e impartido cursos académicos a empleados de empresas, desa-rrollado materiales didácticos para la unitec y participado en mesas de trabajo en congresos. david_saul71@yahoo.com.mx

Avenilde Romo Vázquez Es investigadora en Matemática Educativa, realizó su doctora-do en la Universidad de Paris 7 interesándose en la formación matemática de futuros ingenieros. Actualmente es miembro del Programa de Matemática Educativa del cicata - ipn. avenildita@gmail.com

Alejandro Miguel Rosas MendozaDoctor en Matemática Educativa por el cicata - ipn, imparte cursos de posgrado en el Programa de Matemática Educativa del cicata - ipn. Ha impartido cursos de matemática y compu-tación en nivel medio superior y superior desde 1991, y ha par-ticipado en proyectos de investigación para la Comisión Federal de Electricidad, el Instituto Politécnico Nacional, el Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey, Iusacell, el Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología, y el Gobierno del Estado de Veracruz. alerosas@ipn.mx

Rosa Araceli Rotaeche GuerreroMaestra en Ciencias en Matemática Educativa por el cica-ta - ipn, es profesor investigador del Colegio Baden Powell en el nivel secundaria y preparatoria y Directora de la Sección Pri-maria en la misma institución. Experiencia de 22 años en la do-cencia en el área de Matemáticas. Ganadora del Premio Simón Bolívar 2009, en la categoría de “Tesis de Maestría” que otorga el Comité Latinoamericano de Matemática Educativa A.C. Ga-nadora del Premio a la mejor Tesis de Posgrado en Matemática

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Educativa 2009, Categoría “Maestría” otorgado por la Socie-dad Matemática Mexicana. araceli_rotaeche@yahoo.com.mx

Isabel Tuyub Sánchez Es profesora en licenciatura de la Facultad de Matemáticas de la Universidad Autónoma de Yucatán, en Mérida. Licenciada en Enseñanza de las Matemáticas y Maestra en ciencias por el De-partamento de Matemática Educativa, Cinvestav - ipn; su mail es be.tuyub@gmail.com

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Resúmenes

Una formación para el profesor de matemáticas en el Programa de Matemática Educativa del ipn

En este documento se presenta una reflexión sobre nuestra prác-tica como formadores de profesores de matemáticas en servicio, la cual realizamos en el Programa de Matemática Educativa del Instituto Politécnico Nacional. Apoyados con un ejemplo, dis-cutimos qué hacemos, cómo lo hacemos y para qué lo hacemos. Dicha reflexión es local y pretende generar elementos para rea-lizar un estudio sistemático de otros cursos que nos permitan, mediante un estudio sistemático, encontrar regularidades de nuestro modelo de formación.

Comprender los resultados de investigación: el rol docente del investigado en la enseñanza de la matemática educativa

En este ensayo reflexionamos sobre el rol docente del investiga-dor concebido como aquel que puede contribuir a la compren-sión de los resultados de investigación de la Matemática Edu-

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cativa que él mismo ha generado en su labor profesional. Este rol docente puede ejercerse en ámbitos de formación continua para docentes en ejercicio o en el marco de eventos académicos. Para llevar adelante la tarea docente se hace necesario pensar la enseñanza en estos ámbitos. Presentamos algunos aportes rela-tivos a la conducción del proceso de enseñanza y al diseño de las actividades.

El prome desde la óptica de sus egresados. Un estudio exploratorio descriptivo

En este trabajo se presentan algunos de los resultados de la in-vestigación realizada sobre los graduados, en su ámbito acadé-mico y laboral, de tres generaciones de la maestría del Programa de Matemática Educativa. La investigación se enmarca en la po-lémica sobre la efectividad de la educación a distancia relaciona-da con las percepciones de los estudiantes graduados acerca de los beneficios obtenidos al estudiar en línea y su trascendencia al ámbito profesional y laboral.

Mathematics for students of digital arts and graphic design: a historical approach

En este artículo presentamos una actividad didáctica para moti-var a nuestros estudiantes de carreras del área de Ciencias Socia-les y quieran estudiar matemáticas. “Historia Animada de Ma-temáticas” en una actividad en la que los alumnos deben investi-gar y desarrollar una animación en donde se trate algún tema de historia de las matemáticas. Hemos aplicado una sola vez esta actividad y en ella los estudiantes desarrollaron animaciones de la historia de π, el surgimiento de la trigonometría en Egipto y Babilonia, la disputa de Newton y Leibniz por la invención del cálculo, y otros temas. Finalmente, los estudiantes encontraron

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razones inesperadas por ellos para estudiar matemáticas. Algu-nos comentarios de estudiantes son en la dirección de ayudar a otros a descubrir las matemáticas mediante las animaciones.

Análisis del Discurso como Acción Social: su rol en la construcción y difusión de conocimiento matemático

Partiendo de la consideración del discurso como acción social, se presenta una herramienta metodológica específica para la identificación y análisis de prácticas escolares en torno a la cons-trucción y difusión del concepto de límite en el contexto educa-tivo uruguayo: el análisis crítico del discurso. Dichas prácticas escolares fueron detectadas al reconocer que la transposición del límite como saber sabio al límite como saber escolar es fruto de un proceso, que hemos denominado proceso de instituciona-lización y que permite explicar por qué se enseña el límite de la forma en que se hace actualmente.

La Comunidad de Formación Científica hacia una Comunidad de Práctica

La intensión del ensayo consiste en proponer a una “comunidad de formación científica” como una Comunidad de Práctica. Para ello primero se presentan elementos constitutivos del constructo teórico “Comunidades de Práctica”, se busca caracterizarla, se plantea la propuesta al presentar los elementos de ambas comu-nidades y compararlos. Se concluyó que no es posible identifi-carla como tal, pero dicho constructo, al mirar a la comunidad de formación científica en su práctica permitió identificar sus elementos y características relevantes. Esto apoya a la investiga-ción referente a la construcción social del conocimiento mate-mático, al dar una visión contextual de carácter metodológico.

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Desarrollo histórico como mediador de conocimientos para la enseñanza del concepto de ángulo

En este escrito mostramos el uso de la historia como mediador de conocimientos para la enseñanza del concepto de ángulo. Esta mediación modificó el objeto de enseñanza en tanto no se consideró enseñar el concepto partiendo de definiciones, sino de la manipulación de algunas facetas y significados del ángulo. Se articularon las consideraciones históricas con otras de cor-te cognitivo y didáctico para diseñar una ingeniería didáctica. Incluiremos en este documento la fundamentación teórica y el diseño de una ingeniería didáctica poniendo énfasis en la me-diación lograda a partir del análisis de la historia del concepto de ángulo.

Reflexiones sobre la Matemática Educativa

Parte i

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Una formación para el profesor de matemáticas en el Programa de Matemática Educativa del ipn

Juan Gabriel Molina Zavaleta, Avenilde Romo Vázquez y Alejandro Rosas Mendoza

1. Introducción

La expresión Maestría en Matemática Educativa (me) posible-mente en forma natural lleve a un profesor, no necesariamente de matemáticas, a pensar en un conjunto de asignaturas en las cuales se “enseña” a “enseñar matemáticas” en la escuela, un proceso en el cual se les hace conocer los métodos adecuados y novedosos para que estudiantes aprendan la matemática. Por los términos involucrados resulta natural este encadenamiento de ideas; convencionalmente lo educativo se asocia con un pro-ceso de enseñanza, de la matemática en particular en este caso, y quien suele estar interesado en ser partícipe en algo de esta naturaleza es un profesor de matemáticas, aquel que busca una manera de mejorar su forma de dar clases, por las deficiencias que nota en sus estudiantes o aquel que desea continuar prepa-rándose académicamente en una dirección que considera com-patible con su actividad.

Las observaciones anteriores son producto de las expe-riencias que nos ha dejado el ser formadores de profesores en el Programa de Matemática Educativa (Prome). Es común que cuando los profesores llegan al centro y exponen los motivos

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por los cuales desean estudiar con nosotros, dicen algo como lo siguiente: “Soy docente del área de matemáticas, a nivel medio superior y superior, por tanto me interesa aprender sobre técni-cas, métodos, herramientas y estrategias en la enseñanza de la matemática. Soy ingeniero químico de profesión, por lo que a veces me falta conocimiento sobre pedagogía en el área de las matemáticas” Esto lo expuso una profesora al ser entrevistada sobre los motivos por los cuales deseaba estudiar en el Prome. “¿Qué piensa si se le dice que aquí no hacemos eso?” —se le comentó en esa ocasión—, la profesora curvó las cejas en señal de conflicto y respondió “me sentiría muy decepcionada”. Sin embargo, con ese comentario se captó su atención y se comen-zó a explicarle lo que se hace y en qué sentido con nosotros podría encontrar lo que busca, una formación didáctica, para que la profesora reconsiderara si su interés se conservaba. Esta situación dio origen a este documento en el que exponemos de manera muy general nuestro hacer en este programa de forma-ción y lo ilustramos con un ejemplo de un curso que nos permite reflexionar sobre el cómo y el porqué.

2. ¿Qué hacemos en el Prome?

Nuestro trabajo en el Prome lo podemos clasificar al menos en dos tipos, investigación sobre fenómenos propios de la me y for-mación de profesores en me, ambos estrechamente vinculados. Del párrafo anterior surgen al menos dos líneas de discusión, una primera es ¿qué es la me y cuáles son los fenómenos pro-pios de ésta? Y la segunda ¿qué entendemos por formación de profesores en me?

La primera cuestión, ¿qué es la me y cuáles son los fenó-menos propios de la me?, puede generar discusión porque la línea divisoria entre un fenómeno propio de la psicología y uno de de la me es muy “delgada” como se discute en (Cantoral y Farfán, 2003). A la me la entendemos como “[u]na disciplina científica cuyo origen se remonta a la segunda mitad del siglo

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veinte y que en términos generales, podríamos decir, se ocupa del estudio de los fenómenos didácticos ligados al saber mate-mático” (p.29). Por otra parte, los fenómenos propios de la me son aquellos que

[s]e suceden cuando los saberes constituidos socialmente, en ámbitos no escolares, se introducen al sistema de enseñanza y ello les obliga a una serie de modificaciones que afectan direc-tamente su funcionalidad; de manera que afectan también las relaciones que se establecen entre estudiante y profesor. Este proceso de incorporación de saberes altamente especializados al sistema didáctico plantea una serie de problemas teóricos y prácticos no triviales, que precisan de acercamientos metodo-lógicos y teóricos adecuados (p.29).

Para la segunda cuestión, ¿qué entendemos por formación de profesores en me?, en la página Web del Prome (2011), se ma-nifiesta que:

El Programa de Maestría en Ciencias en Matemática Educativa ofrece una alternativa de formación profesional para la labor docente en matemáticas, así como para la investigación básica y aplicada, relativa a los procesos de aprendizaje y enseñanza de las matemáticas.

Pretende contribuir al avance del conocimiento y a la for-mación de profesores e investigadores para:

•   Enfrentar con sentido amplio  la problemática que plan-tea la incorporación de saberes matemáticos al sistema didáctico y con ello favorecer que la enseñanza produzca efectivamente el aprendizaje.

•   Planear,  instrumentar y evaluar profesionalmente  la do-cencia en matemáticas.

•   Conocer el contexto de la enseñanza escolar y esclarecer las condiciones del aprendizaje, con la finalidad de usar dicho conocimiento en la mejora de los procesos educativos.

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Entonces es necesario explicar cómo se hace todo eso, formar profesores lo entendemos en el sentido de Krainer y Goffree (1999):

[C]omo un proceso de interacción (incrustado en un contex-to social, organizacional, cultural,…), en su mayor parte en-tre formadores de profesores y profesores (estudiantes), pero también incluyendo interacciones sistemáticas entre maestrías que apuntan al crecimiento profesional. Al mismo tiempo, miramos a la formación de profesores como un ambiente de aprendizaje para todas las personas involucradas en este pro-ceso (p. 295). (Traducción nuestra)

Hay varios asuntos que hemos elegido resaltar. En primer lugar mencionar el tipo de profesores que formamos, nosotros interac-tuamos con profesores de matemáticas en servicio. Esta distinción es fundamental pues la formación de profesores de matemáticas en la comunidad internacional se suele dividir en dos grandes categorías: formación de profesores de matemáticas en servicio y la formación de profesores de matemáticas en pre - servicio.

La más prominente parte de las prácticas de los profeso-res de matemáticas llevada con procesos de interacción entre profesores y estudiantes, se enfoca sobre el aprendizaje de las matemáticas de los estudiantes. Por consiguiente miramos que la meta de la formación de profesores de matemáticas es pro-mover el esfuerzo de los profesores (estudiantes) para mejorar la calidad de su enseñanza de la matemática, y la tarea de los for-madores de profesores el diseñar entornos de aprendizaje ade-cuados para alcanzar esta meta en una unión de esfuerzos con los profesores (estudiantes) (Krainer y Goffree, 1999, p. 295) (Traducción nuestra)

Entonces nuestras interacciones con los estudiantes (pro-fesores en ejercicio) están orientadas a que éstos ganen conoci-miento de nuestra disciplina la me; éste es el camino que elegi-

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mos para “mejorar su práctica docente1”. Buscamos que nues-tros alumnos tomen conciencia de los fenómenos que ocurren en la escuela en relación al aprendizaje y la enseñanza de la matemática, que reconozcan a estos fenómenos como fuerte-mente influidos por el contexto social en que están situados, que los puedan interpretar y explicar en términos de elementos teó-ricos propios de nuestra disciplina y construir así dispositivos didácticos, para favorecer aprendizajes matemáticos. De esta postura surgen otras cuestiones en las que actualmente estamos trabajando: ¿Cómo se da este proceso de interacción entre los formadores y los profesores estudiantes? ¿Cuál es el modelo al que deseamos llegar con nuestros alumnos en formación?

A continuación atendemos las preguntas sin la pretensión de considerarlas una respuesta determinante.

¿Cuál es el modelo al que deseamos llegar con nuestros alumnos en formación? Con base en lo que hemos manifestado anteriormente, se de-sea formar profesores - científicos (o profesores - investigadores), pues buscamos que apliquen en su práctica docente la precisión y objetividad de las metodologías adoptadas2 en la Matemática Educativa.

¿Cómo se da este proceso de interacción entre los formadores y los estudiantes?Para responder a esta pregunta no centraremos nuestra atención en las herramientas utilizadas, blogs, wikis, foros, chats, correos electrónicos, etc., ya que cada una de éstas ofrece posibilidades

1 Por este término nos referimos a los actos del profesor que tienen el propósito de producir aprendizajes matemáticos.

2 En el sentido de que en la Matemática Educativa se suelen utilizar métodos de otras disciplinas, como de la psicología.

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distintas y por tanto diferentes tipos de interacción. Tampoco consideraremos las tareas solicitadas tales como: expresar la síntesis de un artículo, comentar un escrito, realizar una bitá-cora, trabajo de equipo en un foro, compartir datos sobre la aplicación de una secuencia, presentar avances de la propia in-vestigación, etc. Cada tipo de tarea, de herramienta utilizada, de modalidad solicitada determina, al menos en parte, el tipo de interacción, pero en su conjunto consideramos que hacemos vivir a nuestros estudiantes de posgrado una transculturación según Ortiz (1947) citado en Herskovits:

Soy de opinión que la palabra transculturación expresa me-jor las diferentes fases del proceso de la transición desde una cultura a otra, a causa de que esto no consiste meramente en la adquisición de otra cultura, que es lo que implica real-mente la palabra inglesa acculturation, sino que este proceso comprende también necesariamente la pérdida o el arrancar de raíz una previa cultura, la cual sería definida como decul-turación. Además de esto lleva consigo la idea de la creación consiguiente de los nuevos fenómenos culturales, lo cual sería llamado neoculturación. (Herskovits, 1952, p.571)

Lo descrito en el párrafo anterior refleja la manera en que he-mos buscado conseguir nuestro propósito, “transculturamos” a nuestros estudiantes que transitan a la cultura de la me a partir de las interacciones que tenemos con ellos, involucrándonos en actividades que consisten en la lectura, reflexión y debate sobre aspectos concretos de la me y de investigaciones realizadas den-tro de ésta. Transitan cuando se les abre el panorama estudiando herramientas teóricas y metodológicas de la Matemática Edu-cativa, intentando relacionarlas tanto con la experiencia como con los conocimientos profesionales del docente; ese es el pro-pósito explícito en cada uno de nuestros cursos. Consideramos visiones que conviven en nuestra comunidad académica y que abordan distintos aspectos de los fenómenos, a saber, el plano epistemológico, el cognitivo, el didáctico, el social, el práctico y el tecnológico; elaboraciones teóricas con las cuales es factible

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construir dispositivos didácticos fundamentados en dichas ela-boraciones, para favorecer aprendizajes matemáticos. Por citar algunas, tenemos la Socioepistemología (Cantoral, Covian, Far-fán, Lezama, y Romo, 2008), la Teoría de Situaciones Didácti-cas (Brousseau, 1997), la Teoría de la Transposición Didáctica (Chevallard, 1998), la Teoría Antropológica de lo Didáctico (Chevallard, 1999). El trabajo con una u otra teoría depende del curso, del interés del investigador que lo diseña o incluso del estudiante cuando llega el momento de plantear su proyecto de investigación; existe pues libertad teórica.

3. Un Ejemplo

En nuestra labor de formar profesores, además de ser un traba-jo en línea, seguimos un sistema donde manejamos calendarios para el desarrollo de cada una de las actividades. Nuestros es-

Figura 1. Página de inicio a un curso de la Maestría en Matemática Educativa

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tudiantes se encuentran localizados en sus lugares de origen, los cuales incluyen ciudades en México, Argentina, Chile, Colombia y otros países; actualmente utilizamos la plataforma tecnológica Moodle. En la imagen 1 mostramos el espacio del curso.

A continuación comentamos un ejemplo de cómo aborda-mos el estudio de la teoría con nuestros estudiantes. Citaremos el curso “Análisis del Discurso Matemático Escolar II”, donde se discute el discurso matemático escolar, como “la manifesta-ción del conocimiento matemático normado por creencias de los actores del sistema didáctico de lo que es la enseñanza y lo que es la matemática” (Cordero y Flores, 2007, p.9). En la edición de mayo del 2011, la forma en que trabajamos el curso con los estudiantes fue la siguiente: elegimos la Teoría Antropológica de lo Didáctico (tad) para que los alumnos realizaran un análisis a priori de una secuencia didáctica generada en una investigación previa, así como su aplicación y además un análisis a poste-riori de la misma. Estas herramientas metodológicas tienen el propósito de evaluar el dispositivo creado para estudiar cierto fenómeno; lo cual es un ejercicio que les permite a los alumnos planear, instrumentar y evaluar profesionalmente la docencia en matemáticas. También se discutió con ellos cómo hacerlo.

Previo a la encomienda de las tareas anteriores, participa-mos con los estudiantes en la lectura y discusión de conceptos de la tad, a través de un foro asincrónico; en particular analizamos una parte del trabajo de Castela y Romo (2011), traducido al español. En ella, entre otros asuntos, las investigadoras explican sus interpretaciones acerca de la noción de praxeología mate-mática, la cual es una organización matemática formada por cuatro componentes: tipos de tareas, técnicas, tecnologías y teo-rías matemáticas, la cual permite analizar la actividad matemá-tica en la escuela. Asimismo esta noción nos permitió considerar el discurso matemático escolar en términos praxeológicos: una tarea es una demanda que presentamos a un estudiante para que la atienda, la forma en que la realiza es la técnica, la tecnología es una explicación del por qué la técnica funciona y la teoría tiene el mismo rol que la tecnología pero a un nivel más general, justificando la tecnología misma. En su trabajo, las autoras am-

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plían la noción de tecnología, proponiendo seis funciones rela-tivas al uso de la técnica matemática. Es decir, validaciones que emanan de las instituciones usuarias como la práctica. Además delimitan su interpretación del concepto teoría propuesto origi-nalmente por Chevallard (1999), restringiendo la teoría de una praxeología a los campos de saberes organizados, dotados de una dinámica de desarrollo interna, por ejemplo, la axiomática que subyace al álgebra lineal.

Una vez estudiados los elementos de la tad, se encomen-dó a los estudiantes resolver la secuencia didáctica propuesta, además se les pidió que realizaran un análisis a priori para apli-carla a un grupo de sus estudiantes, luego aplicarla realizándole los ajustes que considerasen adecuados, y finalmente realizar un análisis a posteriori de la información obtenida en la aplicación. Existieron varias dificultades en la implementación, el más gene-ralizado y de carácter técnico fue la conformación de un grupo de estudiantes dispuestos a participar. Otro problema observa-do fueron las dificultades de interpretación de los estudiantes en relación con las preguntas planteadas en la actividad; esto proviene en parte de las decisiones que se tomaron para la adap-tación y/o modificación de la actividad, considerando el nivel educativo, los antecedentes matemáticos de los estudiantes, etc.

Otro problema de carácter técnico fue la grabación de la implementación. Esto fue un reto para muchos pues además de la dificultad de contar con el equipo, la videograbación es una actividad que requiere del apoyo de una persona dedicada es-pecíficamente a manipular el equipo. Una inquietud que surgió en los foros fue la relativa a las ideas intuitivas que tienen los estudiantes sobre las praxeologías matemáticas en juego. De-bido a la naturaleza de las tareas propuestas en la secuencia, las ideas intuitivas tienen un rol en el desarrollo de la actividad pues determinan las interpretaciones y posibles respuestas que dan los estudiantes ante un planteamiento. Otro aspecto fue la posibilidad de realizar ajustes a la actividad, considerando la experiencia previa. A pesar de las dificultades, los estudiantes las superaron y lograron concluir las tareas, además obtuvieron resultados importantes, pues hubo respuestas semejantes en es-

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tudiantes que pertenecen a instituciones distintas e incluso sepa-rados geográficamente, como ocurrió entre estudiantes mexica-nos y chilenos, pero este asunto lo trataremos en otro espacio.

Actividades como las descritas anteriormente son algunos de los mecanismos que empleamos en el Prome para formar a nuestros estudiantes.

4. Reflexionando sobre nuestra práctica

Con la explicación anterior mostramos que consideramos que el “insertar” a nuestros estudiantes en la cultura de la me es el camino por el cual lograremos su formación. Esto conduce a las preguntas: ¿Es válido nuestro proceder? ¿Hay una mejor forma de hacerlo? En nuestra opinión estos asuntos requieren de inves-tigación, y es en la que nos estamos ocupando pues la informa-ción que se obtenga es necesaria para evaluar nuestra práctica como formadores de profesores. Preguntas de esta naturaleza son las que actualmente se hace la comunidad internacional en me, para acometerlas es necesario acotarlas y hacer explícitos algunos puntos, por ejemplo:

Partiremos de considerar al modelo docente “como con-junto de prácticas docentes compartidas que permiten organizar y gestionar el proceso de enseñanza de las matemáticas en una institución determinada” (Gascón, 2001, p. 131). Algunas pre-guntas de interés, dada nuestra práctica como formadores de profesores son las siguientes:

a) ¿Cuál es el modelo docente del profesor? ¿Cómo carac-terizarlo? Acotando, nos referimos al profesor de nuevo ingreso en el Prome, antes de involucrarlo en las activida-des del programa.

b) ¿Cuál es el modelo docente al que deseamos aproximar-nos con nuestros alumnos en formación? En la respuesta a esta pregunta juega un papel central el término práctica docente, tal vez en términos de ésta se podría proponer tal modelo, haciendo explícitas cuáles son las prácticas

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docentes que se pretenden favorecer con los entornos de interacción construidos en el Prome.

Las preguntas planteadas conducen en forma natural a otra cuestión, ¿cómo caracterizar un modelo docente del profesor de matemáticas? Una respuesta se encuentra en el trabajo de Gas-cón (2001), quien en términos generales plantea que el modelo epistemológico de las matemáticas implícitamente influye en las características del modelo docente. El investigador realiza una reconstrucción racional de la evolución del problema epistemo-lógico de las matemáticas, y paralelamente resalta

[C]ómo se corresponden muchas decisiones y actuaciones docentes, e incluso ciertos modelos docentes, relativamente estructurados, con los modelos epistemológicos generales que han existido a lo largo de la historia de las matemáticas y que, perviven entremezclados en las diferentes instituciones didác-ticas (Gascón, 2001, p.130).

5. Comentarios finales

Un referente que nos muestra que nuestros egresados modifican su práctica se refleja en el tipo de investigaciones que empren-den como proyecto de tesis, por ejemplo: Olazábal (2005), en su trabajo percibe cómo la información en la redacción de pro-blemas presentes en libros de texto de matemáticas se relaciona directamente con la dificultad de la tarea (para el estudiante que la ha de resolver) y propone una clasificación de los problemas con base en estas informaciones, resaltando así una problemáti-ca del proceso didáctico, que surge cuando el profesor toma un problema y lo deja como tarea al estudiante. Como profesora, la investigadora nota que cuando da un problema a sus estudian-tes para que lo resuelvan, se debe considerar que la información que en el problema se maneje influirá para que se alcance el pro-pósito didáctico, por ello elegirá con atención sus problemas, modificando así su práctica docente. Esto es un indicativo de un

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cambio en el profesor formado, ahora “mira algo que antes no veía” por haberse involucrado en la cultura de la me.

Salgado (2007) se plantea como proyecto de investigación el diseño de una secuencia didáctica para el estudio de las orde-naciones y combinaciones y fundamenta el diseño utilizando la teoría apoe (acciones, procesos, objetos y esquemas) desarrolla-da por Ed Dubinsky en 1985, la cual es una teoría que centra su atención en las construcciones mentales necesarias para la adquisición del saber matemático. Construye con ello un dispo-sitivo didáctico fundamentado en una teoría de corte cognitivo, para favorecer aprendizajes matemáticos. La profesora en cues-tión ha modificado su práctica.

Con estos ejemplos mostramos que hay cambios en los profesores formados en el Prome. Vemos evidencias de los atis-bos de un estado final, aunque hace falta conocer el estado inicial, un contraste entre ambos y un método justificado teóricamente para hacerlo. Esta información sería valiosa porque permitiría evaluar nuestra práctica como formadores de profesores.

Referencias bibliográficas

Brousseau, G. (1997). Theory of Didactical Situations in Ma - the matics. usa: Kluwer Academic Publishers.

Cantoral, R. y Farfán, R. M. (2003). Matemática Educativa: una visión de su evolución. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educativa, 6(1), 27 - 40.

Cantoral, R., Covián, O., Farfán, R. M., Lezama, J. y Romo, A. (2008). Investigaciones sobre enseñanza y aprendizaje de las matemáticas. Un reporte iberoamericano. México: Díaz de Santos.

Castela, C. y Romo, A. (2011). Des mathématiques a l’auto-matique : étude des effets de transposition sur la transfor-mée de Laplace dans la formation des ingénieurs. Recher-ches en Didactique des Mathématiques, 31(1), 79 - 139.

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Chevallard, Y. (1999). El análisis de las prácticas docentes en la teoría antropológica de lo didáctico. Recherches en Di-dactique des Mathématiques, 19(2), 221 - 266.

Chevallard, Y. (1998). La transposición didáctica. Del saber sa-bio al saber enseñado. Argentina: aique.

Cordero, F. y Flores, R. (2007). El uso de las gráficas en el dis-curso matemático escolar. Un estudio socioepistemológico en el nivel básico a través de los libros de texto. Revista Latinoamericana de Investigación en Matemática Educa-tiva, 10(1), 7 - 38.

Gascón, J. (2001). Incidencia del modelo epistemológico de las matemáticas sobre las prácticas docentes. Revista Lati-noamericana de Investigación en Matemática Educativa, 4(2), 129 - 160.

Gascón, J. (2001, marzo). Algunos problemas de investigación relacionados con la práctica docente del profesor de ma-temáticas. Ponencia presentada en las xvi Jornadas del si - idm, Huesca, España. Recuperado de http://servidor-opsu.tach.ula.ve/profeso/guerr_o/praticamatema/refe-rencias/prac_investigaci5/Gascon_Problemas_de%20_nvesti.pdf

Herskovits, M.J. (1952). El hombre y sus obras. México: Fondo de Cultura Económica

Krainer, K. y Goffree, F. (1999). On research in Mathematics Teacher Education. En I. Schwank (Ed.), European Re-search in Mathematics Education (Vol. 1, pp. 293 - 303). Osnabrueck: Forschungsinstitutfuer Mathematikdi-daktik.

Olazábal, A. (2005). Categorías en la traducción del lenguaje natural al algebraico de la matemática en contexto (Tesis de maestría no publicada). cicata - ipn. México.

Programa de Matemática Educativa. (2011). Posgrado de Ma-temática Educativa. Recuperado de http://www.matedu.cicata.ipn.mx

Salgado, H. (2007). Conteo: Una propuesta didáctica y su análi-sis (Tesis de maestría no publicada). cicata - ipn. México.

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Comprender los resultados de investigación: el rol docente del investigador en la enseñanza de la matemática educativa

Cristina Ochoviet Y Asuman Oktaç

1. Introducción

Si al igual que la National Council of Teachers of Mathematics [nctm] (1991) asumimos que la educación de los profesores de matemática es un proceso permanente y que este proceso puede entenderse como un estado constante de “convertirse en” profe-sor, entonces cobra especial importancia el proceso de formación continua de los profesores y la forma en que este se desarrolla. Las organizaciones profesionales juegan en este sentido un rol relevante en lo que refiere a la organización de encuentros, con-gresos, talleres, cursos, entre otras actividades, cuyo objetivo es aportar a la mejora de los procesos de enseñanza y aprendizaje de la matemática a través del desarrollo profesional de los inte-grantes de las distintas comunidades educativas. Un ejemplo de esto lo constituye la Reunión Latinoamericana de Matemática Educativa (relme), encuentro anual al que asisten docentes e in-vestigadores de diversos países y constituye un punto de encuen-tro para la comunicación y difusión de los saberes del campo

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disciplinar de la Matemática Educativa. Específicamente, en su objetivo general, extraído del sitio institucional, se declara que:

El propósito de relme es hacer que todos los asistentes, en exhaustivas sesiones, intercambien sus experiencias, comuni-quen sus ideas y presenten sus resultados rigurosamente, con la intención deliberada de consolidar la disciplina: matemática educativa, con el ánimo de favorecer el aprendizaje de las ma-temáticas en los diferentes niveles de los sistemas educativos de Latinoamérica bajo la premisa de conservar la pluralidad de los acercamientos existentes y el respeto a las tradiciones educativas propias de cada uno de los países miembros. (Sec-ción de Propósitos y Objetivos, Párr. 1)3

En este enunciado se hace explícito el objetivo de comunicar y presentar resultados con rigurosidad. Si bien muchos sostienen que la comunicación de resultados constituye la fase final de un proceso investigativo otros consideran que la última fase la constituye la publicación de los resultados y otros van aún más lejos planteando que la investigación termina cuando el lector entiende el artículo: “[…] es decir, que no bastaría con publicar-lo, sino que sería necesario además que la audiencia compren-diese su contenido” (Cantoral, 2007, p. 312).

La necesidad de comprender cobra especial importancia tanto si pensamos en profesores en ejercicio (que no necesaria-mente son investigadores o participan en proyectos de esta na-turaleza) como en investigadores. En el caso de los primeros porque el conocimiento emergente de la investigación consti-tuye conocimiento didáctico del contenido que es uno de los conocimientos base para la enseñanza (Shulman, 2005) y para los segundos porque la comprensión de los resultados potencia, por ejemplo, las posibilidades de discusión de los mismos por parte de integrantes de la comunidad.

3 Recuperado en http://relme-clame.org/relme/propositos/ (21/06/2011)

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Diversos trabajos reseñan la importancia de la participa-ción de los profesores en programas de desarrollo profesional porque los ayudan a ampliar sus conocimientos de contenido, de conocimiento didáctico del contenido y a mejorar sus prác-ticas de aula (Borko, 2004; Tsamir, 2008; Even, 1999). Estos trabajos consideran diferentes herramientas para el trabajo con los profesores, como por ejemplo, la resolución de problemas matemáticos, el análisis y reflexión sobre las prácticas de aula y, el que deseamos destacar en este trabajo, que es el estudio de los aportes teóricos provenientes de la Matemática Educativa, en tanto permiten generar una relación dialéctica entre los aportes provenientes de la investigación, el conocimiento del profesor y su práctica en el aula.

Si nos proponemos favorecer la comprensión de los re-sultados de investigación, deberíamos sumar instancias en las que además de comunicar estos resultados, nos ocupáramos de su enseñanza, a través de actividades especialmente diseñadas para este fin. Lo que estamos proponiendo es entonces que el investigador en Matemática Educativa asuma en los ámbitos de desarrollo profesional de los educadores, el rol docente. Asumir este rol implica, entre múltiples aspectos, la responsabilidad de diseñar los ambientes de aprendizaje que permitan a los profe-sores participantes de instancias de actualización, la compren-sión de las problemáticas en que se ha focalizado la investiga-ción. Nos ocuparemos en este ensayo de reflexionar sobre estos diseños con el objetivo de pensar acerca de la enseñanza de los resultados de investigación provenientes del campo y por tanto de la enseñanza de la Matemática Educativa.

Como estamos proponiendo instancias de desarrollo pro-fesional en las que el rol docente es asumido por el investigador que ha producido un determinado saber, conviene que precise-mos cómo concebimos esta figura, en tanto el no hacerlo podría dar a entender que estamos proponiendo estructuras verticales de “transmisión” del conocimiento.

La orientación actual de buena parte de la investigación en Matemática Educativa no ha resuelto totalmente cómo co-nectar los resultados de investigación con acciones concretas

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que permitan mejorar la práctica educativa. Las implicaciones didácticas de los papers, muchas veces quedan en eso, en impli-caciones que no logran concretarse en la práctica, ya sea por-que los docentes no tienen acceso a ellas, porque se hace difícil la transferencia a la práctica o porque los investigadores no se abocan a la producción de material con fines de enseñanza, en-tre otros asuntos. Una alternativa posible consiste en desarro-llar proyectos de trabajo que reúnan a investigadores y docentes en acciones colaborativas que permitan a ambas partes nutrirse mutuamente dentro de los saberes que cada uno ha construido sobre su práctica: práctica docente y práctica de la investigación (Ochoviet y Oktaç, 2010).

Ante el desafío de estrechar lazos entre la investigación y la práctica, numerosos trabajos desarrollan metodologías de investigación en las que investigadores y docentes trabajan en forma colaborativa (Czarnocha y Prabhu, 2005; Moschkovich y Brenner, 2000; Raymond y Leinenbach, 2000; Desgagné, Bed-narz, Lebuis, Poirier y Couture, 2001; Ochoviet, 2009). No obs-tante, un importante número de docentes en ejercicio no desa-rrolla ni participa en trabajos de investigación como es el caso de los docentes uruguayos donde el desarrollo de la investiga-ción en Matemática Educativa se encuentra aún en estado inci-piente (Ochoviet, 2007). Por otra parte, Sierpinska y Kilpatrick (1998) reportan que existen opiniones encontradas en cuanto a si los docentes pueden investigar y en qué marco lo harían. Mencionan que mientras que algunos consideran a la docencia como una situación privilegiada para investigar aspectos de la enseñanza, otros critican la investigación acción o el concepto de docente investigador por entender que para poder estudiar y analizar un fenómeno, el investigador debe separarse del acto de enseñar.

Es así que cuando hablamos del rol docente del investiga-dor nos estaremos refiriendo a un rol a ser asumido por parte de todos aquellos que han llevado adelante un proceso de investi-

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gación ya sea en primera persona o desde adentro como la llama Ball (2000), una investigación que utiliza al investigador como observador externo o trabajando en forma colaborativa con docentes, o aquellas de carácter más teórico. Entendemos así que el saber producido por un investigador o por un equipo de investigadores y docentes, puede ser de interés tanto para otros investigadores como para docentes en ejercicio que no desarro-llan investigación. El conocido triángulo didáctico se configura, para nuestra reflexión, de la siguiente manera:

Conocimiento(Producido por la investigación en el campo)

Docente(Investigador, equipos

de investigadores, docentes investigadores,

equipos de acción colaborativa)

Estudiantes(Docentes en ejercicio,

investigadores del campo)

Figura 2.

En este trabajo realizaremos una propuesta para el desarrollo de la función docente del investigador en espacios de formación continua o de actualización como pueden ser las sesiones de cur-sos o talleres en el marco de congresos o reuniones de matemáti-cos educativos. El objetivo consiste en favorecer la comprensión de los resultados de investigación. Para ello nos centraremos principalmente en aspectos metodológicos para la gestión de la sesión y en el diseño de las actividades de enseñanza a utilizar.

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2. Algunos desafíos de la formación continua de docentes en ejercicio

Ball y Even (2008) plantean como desafío para la comunidad internacional identificar el desarrollo de quienes se ocupan del desarrollo profesional de los docentes. Señalan que es diverso el perfil de quienes se ocupan de la formación de los docentes, existen pocas normas para definir las características deseables y muchos de ellos tienen poca preparación para la tarea que des-empeñan. En relación a esto, los autores señalan que existe un problema de difusión conceptual. Observan que no se ha dicho una palabra o frase para describir a los profesionales que tra-bajan con los docentes. Las formaciones de estos abarcan una amplia gama como ser: profesores de matemática, matemáticos, matemáticos educativos, estudiantes de doctorado en matemá-tica o matemática educativa, o profesionales que son contrata-dos por las escuelas o colegios para dictar talleres o desarrollar programas de actualización. Otro problema que señalan Ball y Even es que no hay un claro rol de grupo o identidad ya que cualquier persona que enseña matemática o metodología de la enseñanza de la matemática a futuros docentes o a docentes, se considera un profesional del desarrollo profesional:

Estos distintos profesionales han sido considerados rara vez en forma colectiva como “profesionales del desarrollo profe-sional de los docentes” o como “formadores de docentes”. La falta de atención en estas personas debilita los esfuerzos internacionales para mejorar la formación docente y el desa-rrollo profesional.

Como no pensamos en ellos como un grupo profesio-nal, se ha hecho poco trabajo acerca de qué deben saber los “docentes de docentes” y lo que deben hacer para apoyar el aprendizaje de los docentes. ¿Qué conocimiento matemático se necesita para esta tarea? ¿Cómo serán capaces de usar la práctica como un recurso para el aprendizaje de los docen-tes? ¿Qué hay para aprender del diseño y la utilización de

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aproximaciones particulares al desarrollo profesional de los docentes? Estas preguntas son complicadas de diferentes ma-neras por la presencia de formadores de docentes con dife-rentes características. Lo que debe saber un matemático para ser efectivo en la formación de docentes es muy distinto a las necesidades de aprendizaje de un docente que se dirige a ro-les de liderazgo. ¿Qué debe ser común a ellos y qué debe ser especial? Los programas y las aproximaciones para apoyar el aprendizaje de los docentes de docentes podría ser mejor com-partida entre las naciones. El mejoramiento de la formación docente depende de la calidad de quienes la tienen a cargo. Cuánto podría ganarse a través del intercambio de ideas y enfoques4. (p. 257)

Pensar en la enseñanza de nuestra disciplina de referencia im-plica desarrollar metaconocimiento en tanto supone reflexionar, entre otros asuntos, sobre las transformaciones del conocimien-to5 a enseñar que es, en el caso que nos ocupa, el producido por la investigación. La transformación de este conocimiento implica una adaptación de un saber sabio (entendido como el producido por cierto investigador del campo) para convertir-lo en saber a enseñar (Chevallard, 2000) cuyos destinatarios son docentes en ejercicio y el contexto es el que puede darse en ámbitos de formación continua de docentes como los que mencionamos en el apartado 1. Emprender la transformación de ese conocimiento demanda no solo conocimiento específico

4 La traducción del inglés es nuestra.5 No podemos desconocer que en este asunto está implicada no solo la

transformación de los conocimientos sino también la selección de los cono-cimientos a ser enseñados y por tanto hay aspectos ideológicos que operan y condicionan dicha selección (Apple, 1986). Por ejemplo, Boero y Szendrei (1998) centran su atención en los autores que son consultados por las dife-rentes escuelas en Educación Matemática. Señalan que parecería existir una cierta resistencia a consultar materiales de escuelas a las que no se pertenece. Si bien el punto de la selección de conocimientos merece especial atención, no nos ocuparemos de ello en este trabajo.

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sino también conocimiento didáctico de ese contenido6 (Shul-man, 2005). Shulman señala que este conocimiento didáctico es resorte exclusivo de quien ejerce la docencia y está ligado a la comprensión profesional del contenido a enseñar. Si estamos pensando en el rol docente del investigador, asumimos que este tiene un profundo conocimiento sobre el saber producido en su labor como investigador pero este saber no supone, necesaria-mente, un conocimiento específico de las vías de transmisión de dicho conocimiento. Si el objetivo es facilitar la comprensión de dichos saberes, será necesario pensar la forma que adoptará ese saber para que sea susceptible de ser aprehendido, teniendo en cuenta la especificidad de los saberes en juego, los objetivos educativos, los medios materiales, los destinatarios y el contexto en donde se desarrolla la actividad educativa.

Si pensamos en la adaptación de los saberes para la en-señanza y el consecuente diseño de actividades con el fin de fa-vorecer la comprensión de los resultados de investigación segu-ramente enfrentemos la dificultad de los profesores en ejercicio para comprender los resultados de investigación. Boero y Szen-drei (1998) señalan, por ejemplo, la dificultad de los profesores (y también de los investigadores en este caso ligadas a la escuela de pertenencia) para comprender los términos utilizados en los artículos que presentan investigaciones de metodología cualita-tiva y también los de perspectiva teórica y sugieren la necesidad de emprender trabajos para contribuir a superar este problema:

6 Shulman (2005) lista los conocimientos que son necesarios para el docente y señala que como mínimo incluirían: conocimiento del contenido, conocimiento didáctico general, conocimiento del currículo, conocimiento didáctico del contenido, conocimiento de los alumnos y de sus característi-cas, conocimiento del contexto educativo y conocimiento de los objetivos, las finalidades y los valores educativos, y de sus fundamentos filosóficos e históricos. En este trabajo nos enfocaremos más que nada en el diseño y preparación de los materiales por lo que nos mantendremos, más que nada, en la esfera del conocimiento del contenido y del conocimiento didáctico del contenido.

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En relación a los docentes, para que estos sean capaces de usar más resultados de investigación de los del tipo “informa-ción cualitativa” y los de “perspectiva teórica” en las escuelas comunes, pensamos que debe llevarse adelante un amplio tra-bajo de investigación en formación de docentes y de la for-mación de docentes en ejercicio. Más aún, los investigadores deben realizar un gran esfuerzo para hacer que su trabajo sea comprendido por docentes comunes7. (p. 208)

Jaworski (2003) subraya el valor de los proyectos de desarrollo profesional en los que han participado profesores, educadores e investigadores formando comunidades de indagación. En su experiencia la interacción entre estos actores permitió generar a cada uno de ellos una mirada crítica sobre sus conceptualizacio-nes de la enseñanza que los enriqueció mutuamente, favorecien-do el desarrollo de las prácticas en todos los niveles.

3. El aprendizaje desde una perspectiva sociocultural: elementos para el diseño de la enseñanza

Si estamos pensando en el rol docente del investigador con el objetivo de contribuir a la comprensión de resultados de inves-tigación, no solamente debemos pensar en los recursos que uti-lizaremos para el diseño de las actividades de enseñanza sino también en la forma en que organizaremos el ambiente de apren-dizaje. Para ello pongámonos en contexto e imaginemos un aula donde se está dictando un curso o desarrollando un taller en el marco de un evento académico como puede ser un congreso o reunión de investigadores en matemática educativa. Dicho curso o taller está a cargo de un responsable que en nuestro caso es el investigador o su equipo. Entre los asistentes tenemos docentes en ejercicio, estudiantes de formación docente, investigadores y eventualmente otros profesionales interesados en el campo. Se

7 La traducción del inglés es nuestra.

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hace necesario establecer ahora cómo concebimos en ese ámbi-to, el desarrollo de la tarea docente por parte del investigador, con el objetivo mencionado al inicio de esta sección.

La forma en que se proponen las tareas y la manera en que el docente conduce el proceso de enseñanza juegan un rol fundamental en el aprendizaje. Los que referimos como estu-diantes en nuestro trabajo, si bien son docentes en ejercicio, es-tudiantes o investigadores, traen a las diferentes sesiones de tra-bajo, todos los conocimientos que provienen de su desempeño como profesionales y esto hace que cada uno de ellos posea sus propias explicaciones o intuiciones sobre los fenómenos didác-ticos que se habrán de analizar. Esto significa que cada uno de ellos posee ciertos conocimientos previos sobre el asunto que se va a abordar, un conocimiento personal que está íntimamente ligado a la formación profesional de cada participante y parti-cularmente a su experiencia como docente de aula. Pea (1993) nos brinda elementos para pensar los procesos de aprendizaje desde una perspectiva sociocultural y a partir de sus aportes extraeremos elementos metodológicos para la acción docente antes propuesta.

Pea aborda el estudio de los procesos de cambio concep-tual dando más peso a los factores sociales que a los cognitivos. Señala que el aprendizaje se construye a través de conversacio-nes, entre las personas, que involucran la creación de comunica-ciones y el esfuerzo para interpretarlas. La creación y la interpre-tación son los procesos de acción recíproca de la conversación humana a través de los cuales es negociado el significado de la acción simbólica que involucra el habla, el uso de representa-ciones como fórmulas o diagramas, o los gestos. Es así que el significado emerge a partir del diálogo o las acciones simbólicas entre dos interlocutores. Pea sostiene que la negociación de sig-nificados y la apropiación son los dos mecanismos fundamenta-les que sostienen este proceso de aprendizaje que se da a través de la conversación. La negociación de significados se da cuando a través de la conversación aparecen interpretaciones confusas, pedidos de aclaraciones, de rectificaciones, de elaboraciones, de reformulaciones, de parafraseos u otros dispositivos lingüísticos

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que permiten indicar problemas en la comprensión. El otro me-canismo, la apropiación, refiere a que el conocimiento de una determinada herramienta se adquiere a través de su uso com-partido con otros integrantes de la comunidad. El conocimiento de las funciones de una herramienta no se construye por mera exploración del que aprende sino en interacción con otros que ya conocen sus usos y funciones. Asimismo, en esta interacción entre integrantes de una comunidad pueden surgir otras inter-pretaciones que transforman la herramienta y nuestro pensa-miento. A través de las interpretaciones de los demás podemos darnos cuenta de que el sentido que habíamos construido sobre algo, puede llegar a significar más de lo que pensábamos, dando lugar a interpretaciones más complejas. Asimismo, aprendemos el significado de nuestras producciones cuando aceptamos las interpretaciones de otros sobre lo que hemos dicho. Centrándo-se en la idea de significado como uso, Pea señala que:

[…] la experticia es definida dinámicamente a través de la participación continua en el discurso de una comunidad, no principalmente a través de la posesión de un conjunto de ha-bilidades para la resolución de problemas y estructuras con-ceptuales. Adquirir experticia es hacerse indistinguible en las acciones y los usos de las representaciones en los juegos del lenguaje que practican otros miembros de una comunidad de prácticas. Estos miembros están tácitamente involucrados en la evaluación de la pertenencia al grupo, cada vez que el indi-viduo se involucra en una conversación con ellos; revelamos competencia comunicativa a través de las acciones y las pala-bras (p. 271).

Asumiendo esta perspectiva del aprendizaje, concebiremos el espacio de enseñanza como aquel que favorece las instancias de comunicación e intercambio entre los integrantes de una co-munidad que en nuestro caso es la comunidad de matemáticos educativos. Por ello, tanto la dinámica que se propone para la gestión de las sesiones de trabajo como el diseño de actividades de enseñanza promueven la conversación entre los integrantes

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de la comunidad. Esta conversación se hace posible a través del trabajo en pequeños grupos, discusiones grupales, comunica-ción de los distintos puntos de vista y un diseño de actividades basado en la pregunta como elemento que posibilita y habilita el diálogo entre los participantes, dando lugar a procesos de creación e interpretación que permitirán la emergencia de sig-nificados compartidos enriqueciendo la perspectiva de todos los participantes. En este trabajo entenderemos por comprensión el proceso por el cual cada sujeto en interacción con otros, avan-za en la construcción de significados. Avanzar implica que la negociación de significados da lugar a momentos en los que los significados son compartidos por los integrantes de la comuni-dad discursiva. Este proceso es dinámico en tanto nuevas inte-racciones pueden generar nuevos significados. El investigador responsable de llevar adelante la función docente en esta peque-ña comunidad tendrá también la oportunidad de abrirse a otras miradas sobre su trabajo y de generar nuevas ideas o interpreta-ciones tanto para reformular su trabajo como para abrir nuevos problemas de investigación.

4. El uso de casos para el diseño de actividades de enseñanza

Los casos son instrumentos educativos que presentan informa-ción en forma de narrativa en torno a un problema relevante que sumado a la formulación de preguntas críticas, favorecen la generación de hipótesis, el establecimiento de relaciones con si-tuaciones conocidas, el manejo de distintas alternativas y la bús-queda de respuestas para dar solución al dilema que se presenta (Wasserman, 1999). Según esta autora las preguntas críticas son aquellas que obligan a los estudiantes a examinar ideas impor-tantes, nociones y problemas relacionados con el caso. Su objeti-vo es favorecer la comprensión. Agrega que por la forma en que se redactan demandan una reflexión que vas más allá de la me-morización de datos y de la elaboración de respuestas concretas.

Markovits y Smith (2008) proponen el uso de casos para la formación de profesores de matemática porque entienden que

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es una de las formas de proveer el conocimiento necesario para la enseñanza, tanto a los profesores en formación como a aque-llos que ya están en ejercicio. Señalan que aunque todavía es ne-cesaria mayor investigación sobre su uso, existen resultados que ponen en evidencia que el uso de casos mejora el pensamiento pedagógico de los docentes y las habilidades de razonamiento. Consideran dos grandes categorías de casos: los ejemplares y las situaciones problemáticas. Los primeros son utilizados para pre-sentar situaciones reales de aula donde puede reflejarse en forma vívida la situación sobre la que se desea reflexionar ya sea de na-turaleza matemática o didáctica. Las situaciones problemáticas son apropiadas para analizar los efectos de la enseñanza o el des-empeño de los estudiantes. En esta última categoría ejemplifican el caso de las Situaciones de la clase de matemática que se cen-tran en problemas específicos de la enseñanza de la matemática. Las caracterizan como situaciones de clase que involucran a la matemática y utilizan situaciones reales o ficticias que permiten analizar el pensamiento de los estudiantes a través de situaciones detectadas en la práctica docente o a través de la investigación.

Una fuente para la elaboración de situaciones problemá-ticas que faciliten la comprensión de determinados resultados de investigación reside, aunque no en forma exclusiva, en los datos que se han recabado en el proceso investigativo. Estos datos pueden ser de diferente naturaleza: producciones de estu-diantes, entrevistas a estudiantes, entrevistas a docentes, obser-vaciones de clase, entre otros. Estos datos pueden resultar muy útiles al momento de diseñar situaciones de enseñanza con el fin de ejemplificar la problemática estudiada y contribuir a su comprensión.

5. Un ejemplo de diseño

Nuestro centro de interés consiste en facilitar a los profesores en ejercicio la comprensión de los resultados provenientes de trabajos de investigación. Se presentará un diseño de situacio-nes problemáticas a partir de datos y casos que provienen de

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una tesis doctoral que aborda algunos aspectos del pensamiento algebraico relativos a la enseñanza del concepto de solución de un sistema de ecuaciones lineales (Ochoviet, 2009). Estos casos permitirán poner en evidencia la problemática que enfrentan los estudiantes de enseñanza media de 14 - 15 años al iniciarse en el estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. El conjunto de situaciones está pensado para ser trabajado en forma de taller de unas tres horas de duración y su objetivo es lograr que los docentes o investigadores asistentes comprendan las principales tesis del trabajo de investigación.

Si bien el marco presentado por Markovits y Smith (2008), nos brinda elementos para sustentar y pensar los diseños de si-tuaciones problemáticas es necesario precisar algunas diferencias con lo planteado por estas autoras. Como nuestro objetivo es generar situaciones problemáticas que ayuden a comprender re-sultados emergentes de la investigación, las situaciones que ela-boramos no utilizan casos tomados de experiencias de aula sino que se construyeron a partir de los cuestionarios propuestos a los estudiantes participantes para recoger información. Las pregun-tas de los cuestionarios se complementan con las explicaciones dadas por los estudiantes al resolver la tarea propuesta y con fragmentos de entrevistas que fueron realizadas en el proceso investigativo con el objetivo de profundizar en los procesos de pensamiento de los alumnos participantes. A esto se agregan pre-guntas críticas8 (Wasserman, 1999) con diferentes intenciones:

8 Wasserman (1999) define las preguntas críticas como aquellas que de-mandan el análisis de ideas importantes, nociones y problemas relacionados con cada caso. Requieren una reflexión profunda pues para responderlas no puede usarse únicamente información sino que será necesario establecer relaciones entre múltiples aspectos.

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•  Establecer relaciones con las prácticas de aula.•  Contextualizar la situación. •  Provocar discusiones entre los integrantes del grupo.•  Interpretar producciones de los estudiantes.•  Utilizar  el  conocimiento matemático  o  el  conocimiento 

didáctico.•  Analizar el estado del saber de los estudiantes, su contex-

to de validez así como sus restricciones.•  Deducir elementos útiles para la enseñanza del tema.

El diseño de las situaciones utiliza las preguntas críticas como vehículo que permite dar lugar a conversaciones entre los parti-cipantes que habiliten la negociación de significados y la apro-piación con el objetivo de generar aprendizajes desde la perspec-tiva sociocultural propuesta por Pea (1993).

La secuenciación de actividades que elegimos considera en primer lugar una situación para ser resuelta desde el conoci-miento que el profesor posee y luego se agrega información pro-veniente del proceso investigativo que permite consideraciones quizás no contempladas en respuestas anteriores. Entendemos que esto favorece la discusión de los distintos puntos de vista y la conversación colectiva sobre las ideas.

Diseño de las actividades

Actividad 1

1) A continuación aparecen graficadas las rectas asociadas a un sistema de tres ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. ¿Cuántas solu-ciones tiene el sistema? ¿Por qué?

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Verónica (15 años) contesta a la pregunta 1 diciendo que: “En mi opi-nión tiene 3 soluciones, porque las rectas se cortan en 3 puntos dife-rentes, los cuales por lo menos en los sistemas de dos ecuasiones (sic) indican la solución”.

a. Reflexione sobre el tipo de discurso que se utiliza en clase para reconocer gráficamente el caso de solución única para un sistema 2x2. ¿Qué es lo que podría estar conduciendo a los estudiantes a dar respuestas como la de Verónica?

b. ¿Qué cambio en el discurso podría haber permitido a Verónica una interpretación más adecuada de esta situación?

En esta actividad se solicita una conexión con los conocimientos que el docente posee sobre el trabajo en el aula. Esto permite que los docentes participantes se vinculen fácilmente con la si-tuación a analizar que se presenta. La pregunta propuesta en la parte a. pretende dirigir la atención a las explicaciones habitua-les que los docentes dan en clase y la problemática que podrían estar generando en los estudiantes. Dependiendo de las respues-tas dadas podrán comenzar a señalarse las primeras sugerencias para un cambio en el discurso de aula que luego, a través de las actividades siguientes, podrán ser re - visitadas, revisadas, refor-muladas o ampliadas. El investigador estará asimismo recibien-

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

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do retroalimentación a sus puntos de vista y viendo en qué me-dida sus hallazgos poseen sentido en otros contextos culturales en la medida en que los grupos de trabajo en los que nos hemos centrado, reciben participantes de diversos países, cada uno de ellos poseedor de un contexto educativo y cultural específico.

Actividad 2

Vemos a continuación el trabajo de Verónica en la pregunta 5 del cues-tionario aplicado.

5) Un sistema de tres ecuaciones de primer grado con dos incógnitas:

A. ¿Puede tener una única solución? sí, cuando las tres rectas se cruzan en un mismo puntoB. ¿Puede tener exactamente dos soluciones? sí, cuando las rectas se cortan en 2 puntos diferentesC. ¿Y exactamente tres? sí, cuando las rectas se cortan en 3 puntos diferentes D. ¿Puede tener infinitas soluciones? sí, cuando las rectas se superponen E. ¿Y ninguna? sí, cuando las tres rectas son paralelas

Explica cada una de tus respuestas e ilústrala a través de una represen-tación gráfica

a. b.

única solución 2 soluciones(rectas paralelas)

62

a. Analice si la respuesta de Verónica a la pregunta 5 es coherente con su respuesta a la pregunta 1.

b. El conocimiento de solución que tiene Verónica, ¿“funciona” en las diferentes situaciones propuestas?

c. ¿Permite la concepción de Verónica dar respuestas correctas para el caso de solución única, de infinitas soluciones o de ninguna solución?

d. ¿Qué es lo que permite poner en evidencia las concepciones de Verónica en torno al concepto de solución de un sistema de ecua-ciones lineales?

En esta actividad se aporta mayor información que permite ir configurando un mejor mapa del pensamiento de Verónica. Se pide confrontar respuestas de la estudiante con otras dadas por ella anteriormente, complejizando así la visión sobre el estado del saber de la estudiante. También se pretende que se analicen los contextos de validez del conocimiento que la estudiante po-see así como sus restricciones para situar la atención en el tipo de tareas que proponemos a los estudiantes. Se intenta mostrar

3 soluciones

3 rectas superpuestas(inf initas soluciones)

c. d.

ninguna solución(rectas paralelas)

e.

63

que el modo en que se formula una pregunta a un estudian-te puede restringir o favorecer el desarrollo de su pensamiento matemático.

Actividad 3

Para profundizar en el pensamiento de la estudiante, mantuvimos una entrevista donde le propusimos la siguiente cuestión:

¿Son los pares (3, 2), (2, 1) y (1, 4) soluciones del siguiente sistema?

x + y = 5x - y = 13x + y = 7

Para responder, Verónica constató si cada par verificaba las tres ecuacio-nes y respondió que: “No es ninguno porque al sustituir esos números en las ecuaciones los resultados no son correctos”.

De forma que parece tener claro que para que un par ordenado sea solución del sistema debe verificar todas las ecuaciones dadas. En efecto manifestó lo siguiente.

Entrevistadora: Primero te quería preguntar: ¿qué es para vos una solu-ción de un sistema de ecuaciones?Verónica: Es uno o más números que cuando los cambiás por las letras de las ecuaciones te dan el resultado de esa ecuación, pero tiene que ser en ambas el mismo número. E: Tú me dijiste ambas, ¿y si fueran más de dos ecuaciones?V: Supongo que las tres también, el mismo número.E: ¿Y si fueran cuatro o cinco ecuaciones?V: También, el mismo número.[...]Entrevistadora: Y gráficamente, ¿cómo te das cuenta que un sistema tiene solución?

64

Verónica: Cuando se cortan las rectas.E: Porque para ti donde se cortan... ¿qué es?V: Ese número, o sea el punto ese marca los números que son la solución.

En la entrevista evidencia dudas frente a la respuesta dada a la pregunta 1 del cuestionario y luego realiza la interpretación correcta:

Entrevistadora: Pasemos ahora a ver el trabajito que hicimos en la clase. Acá se te presentaba... ¿te acordás? Un sistema de ecuaciones donde están representadas las rectas asociadas a ellas y te preguntaban cuán-tas soluciones tenía el sistema. Tú contestaste que el sistema tiene tres soluciones porque las rectas se cortan en tres puntos distintos, ¿podrías decirme cómo te das cuenta que el sistema tiene tres soluciones?Verónica: No estoy segura si tiene tres o ninguna porque ta, hay tres rectas que representan los tres sistemas, eh... las tres ecuaciones del sis-tema, pero creo que se deberían cortar todas en el mismo punto para que ese fuera el resultado, entonces capaz que eso está mal.E: A ver, ¿y cuál sería el problema? Vamos a suponer que las coordena-das de este punto fueran solución ¿podría ser o no?V: O sea...E: Si yo te pregunto, a ver, vamos a suponer que este punto tuviera coor-denadas (-4,3), ¿podría ser el par (-4,3) solución del sistema?V: Podría ser solución de esas dos ecuaciones no de todo el sistema, por-que falta la otra recta que debería también tener un punto ahí.E: ¿Y por qué cambiaste de opinión?V: No sé, razoné.E: ¿Ya lo habías pensado antes o ahora te diste cuenta?V: No, ahora.

a. ¿Qué es lo que permite a Verónica realizar la interpretación ade-

cuada?b. A partir de lo que la estudiante dice, ¿qué aspectos deberían ser

enfatizados en clase al enseñar el concepto de solución de un sistema?

c. ¿Considera usted que Verónica comprendió ahora el concepto solución de un sistema?

65

La actividad presenta información obtenida en una entrevista. Esta información aporta datos importantes que permiten obser-var en qué aspectos la estudiante ha centrado su atención para dar una respuesta adecuada. Estos aspectos son tan importantes como aquellos que generan errores. Sin embargo es en estos úl-timos que tanto los docentes como los investigadores sitúan su atención. La parte b pretende que se extraigan elementos para el trabajo en el aula sin que prescriba una forma de hacer o tra-bajar. Permite al docente observar aspectos importantes a tener en cuenta en la enseñanza del tema pero no le dice cómo hacerlo sino que le abre la posibilidad a que realice sus propias formu-laciones o adaptaciones de los materiales que habitualmente usa en clase para enseñar. De ser contestada afirmativamente la par-te c. se generará un conflicto en el docente con la información que aportan las actividades siguientes. El objetivo es que el do-cente observe la “fragilidad” del conocimiento para que genere una visión más comprensiva de las dificultades que enfrentan los estudiantes al estudiar matemática.

Actividad 4

Veamos cómo explica Verónica a su profesora por qué contestó a la pre-gunta 1 que había 3 soluciones:

Verónica: [...] había puesto que tenía 3 soluciones pero después me di cuenta que no tenía ninguna.Profesora: ¿Y en qué te basaste para poner eso al principio?V: En que antes eran dos rectas nada más y ta y se cortaban en un punto, entonces ta.P: ¿Y entonces qué te llevó a decir que había 3 soluciones?V: Porque habían 3 puntos de corte.P: ¿Y cómo te diste después cuenta de que, o cómo cambiaste después tu opinión con respecto a eso?V: Porque los puntos de corte sólo se cortan en dos rectas. Si el sistema tiene 3 ecuaciones tendrían que ser las 3 rectas que se corten en un solo punto, tendría una solución común.

66

a. ¿Coincide lo que manifiesta Verónica con lo que usted señaló en la Actividad 3 parte a?

En esta actividad el docente recibe más información que le per-mite retroalimentar, rever o ampliar respuestas dadas anterior-mente, conduciéndolo a una visión cada vez más amplia de la problemática que se está analizando.

Actividad 5

Observemos ahora cómo continúa la entrevista (debemos tener en cuenta que fue realizada en forma previa a la puesta en común señalada en la Actividad 4). Las dudas que manifiesta Verónica nos permitirán constatar que el aprendizaje no es lineal, que es necesario volver una y otra vez sobre los conceptos y que aún cuando parezca que el estu-diante ha superado un error, información contradictoria puede continuar coexistiendo en su mente y puede volver a cometer el mismo error que creíamos superado.

Entrevistadora: Entonces, ¿podrías representar gráficamente un sistema de ecuaciones que tuviera solución?Verónica: ¿Cualquiera?E: Sí, cualquiera.

Presenta lo siguiente:

67

E: ¿Y si el sistema fuera de cuatro ecuaciones lineales?

Presenta lo siguiente:

E: Y decime, ¿puede ser que un sistema de ecuaciones tenga 3 solucio-nes?V: Sí.E: ¿Te animás a dibujar uno que tenga 3 soluciones?(silencio)V: No sé... ¿En una sola gráfica?E: Sí, un sistema, cuando estamos hablando de un sistema y lo represen-tamos gráficamente lo hacemos conjuntamente ¿verdad? Es decir, todas las rectas las representamos en el mismo sistema de ejes.

Presenta lo siguiente, circulando los tres puntos de corte como se mues-tra en la figura:

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E: Bueno y ¿cuáles serían allí las tres soluciones?V: Los tres puntos.E: Sería un sistema... ¿de cuántas ecuaciones Verónica?V: Ese de tres.E: Yo te estoy preguntando el último.V: Siete.E: O sea que para ti, este sistema tendría siete ecuaciones y tendría 3 soluciones.V: Sí.E: ¿Cómo te das cuenta que tiene 3 soluciones?V: Porque no sé, se cortan en tres puntos y cada recta representa una ecuación en el sistema.

a. A partir de este fragmento de la entrevista extraiga más elemen-tos que deberían ser tenidos en cuenta para la enseñanza del con-cepto de solución de un sistema.

b. Para G. Brousseau (1983), el sentido de un conocimiento mate-mático se define no sólo por la colección de situaciones donde este conocimiento es realizado como teoría matemática; no sólo por la colección de situaciones donde el sujeto lo ha encontrado como medio de solución, sino también por el conjunto de con-cepciones que rechaza, de errores que evita, de economías que procura, de formulaciones que retoma, etc.

Teniendo en cuenta este fragmento de la entrevista de Veró-nica, ¿cuáles concepciones relativas al tema que nos ocupa sería necesario que la estudiante rechazara?

Aquí se introduce un aporte teórico para que el docente lo re-lacione con el caso presentado. Consideramos que es una ma-nera adecuada de ir introduciendo conceptualizaciones teóricas –fundamentalmente para aquellos docentes que no las conocen– junto con datos concretos del desempeño de los estudiantes que favorecen una dialéctica entre teoría y práctica.

Como puede observarse, las actividades presentadas no demandan a priori el conocimiento del marco teórico utilizado en el proceso investigativo (Sierpinska, 2000) para promover la reflexión. Como ya señalamos anteriormente, muchos docentes

69

que asisten a instancias de actualización no poseen formación específica en matemática educativa como la que demanda el conocimiento y comprensión de marcos teóricos diversos y no queremos que esto sea un impedimento para la comprensión de la problemática abordada. Entendemos que en un trabajo posterior bien puede abordarse el marco conceptual que permite una mirada en profundidad de lo analizado y que de esta forma es posible establecer ricos lazos entre la teoría, la investigación y la práctica educativa.

6. Reflexiones finales

En este trabajo pretendimos aportar a la reflexión acerca del rol docente del investigador como aquel que puede contribuir a la comprensión de los resultados de investigación de la Matemática Educativa que él mismo ha generado en su labor profesional. Este rol docente puede ejercerse en espacios de formación conti-nua para profesores o en eventos académicos que reúnen a los in-teresados en el conocimiento producido por el campo. El marco teórico aportado por Pea (1993) permite una conceptualización para el diseño de la enseñanza que en nuestro caso se centró en dos aspectos fundamentales: la metodología a emplear en la conducción del proceso de enseñanza y el diseño de actividades. Tanto en la gestión del proceso de enseñanza como en la fase de abordaje de las actividades se pretende promover la conversación entre integrantes de una comunidad como motor de procesos de creación e interpretación que favorezcan el objetivo planteado: la comprensión de conocimientos de la Matemática Educativa.

Referencias bibliográficas

Apple, M. (1986). Ideología y currículo. Akal: Madrid. Ball, D. L. (2000). Working on the inside: Using one´s own

practice as a site for studying mathematics teaching and learning. En A. Kelly y R. Lesh (Eds.), Handbook of re-

70

search design in mathematics and science education (pp. 365 - 402). Mahwah, nj: Lawrence Erlbaum Associates.

Ball, D. y Even, R. (2008). Strengthening Practice in and Re-search on the Professional Education and Development of Teachers of Mathematics: Next Steps. En R. Even y D. Ball (Eds.), The professional education and develop-ment of teachers of mathematics: The 15th icmi Study (pp. 255 - 259). New York: Springer.

Boero, P. y Szendrei J. R. (1998). Research and Results in Ma-thematics Education: Some Contradictory Aspects. En A. Sierpinska y J. Kilpatrick (Eds.), Mathematics Educa-tion as a Research Domain: A Search for Identity (pp. 197 - 212). Kluwer Academic Publishers. Great Britain.

Borko, H. (2004). Professional Development and Teacher Lear-ning: Mapping the Terrain. Educational Researcher, 33(8), 3 - 15.

Brousseau, G. (1983). Les obstacles épistémologiques et les pro-blèmes en mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, 4(2), 165 –198

Cantoral, R. (2007). ¿Publicar o perecer, o publicar y pere-cer? Revista Latinoamericana de Matemática Educativa, 10(3), 311 - 313.

Chevallard, Y. (2000). La transposición didáctica. Del saber sa-bio al saber enseñado. Buenos Aires: Aique.

Czarnocha, B. y Prabhu, V. (2005). Teaching - Research and Design Experiment – two methodologies of integrating research and classroom practice. hbcse, tifr. Recupe-rado desde http://www.hbcse.tifr.res.in/episteme1/themes/OP_Czarnocha_PrabhuModified.pdf

Desgagné, S., Bednarz, N., Lebuis, P., Poirier, L. y Couture, C. (2001). L’approche collaborative de recherche en édu-cation: un rapport nouveau à établir entre recherche et formation. Revue des sciences de l’éducation, xxvii(1), 33 - 64.

Even, R. (1999). Integrating academic and practical knowledge in a teacher leaders’ development program. Educational Studies in Mathematics, 38(1–3), 235 – 252.

71

Jaworski, B. (2004). Inquiry as a pervasive pedagogic process in mathematics education development. En cerme 3 (Group 11). Bellaria, Italy. Recuperado desde http://www.dm.unipi.it/~didattica/cerme3.

Markovits, Z. y Smith, M. (2008). Cases as tools in mathemat-ics teacher education. En T. Wood (Series Ed.) y D. Ti-rosh (Vol. Ed.), International Handbook of Mathematics Teacher Education, 2: Tools and Processes in Mathema tics Teacher Education (pp. 39 - 64). Rotterdam, the Neth

Moschkovich, J. y Brenner, M. E. (2000). Using a Naturalistic Lens on Mathematics and Science Cognition and Lear-ning. En A. E. Kelly y R. Lesh (Eds.), Research Design in Mathematics and Science Education (pp. 457 - 486). Ma-hwah, Erlbaum.

National Council of Teachers of Mathematics. (1991). Estánda-res curriculares y de evaluación para la educación mate-mática. Sevilla: saem Thales.

Ochoviet, C. (2007). Una lectura del estado de la investigación en educación matemática y un “por aquí cómo andamos”. Conversación, 19, 45 - 50.

Ochoviet, C. (2009). Sobre el concepto de solución de un siste-ma de ecuaciones lineales con dos incógnitas (Tesis doc-toral no publicada). cicata - ipn. México. Recuperada desde http://www.matedu.cicata.ipn.mx/tesis03.html

Ochoviet, C. y Oktaç, A. (2010). Un diseño metodológico para integrar la investigación con la enseñanza. Publicación de Aniversario. A diez años del Posgrado en Línea en Mate-mática Educativa en el ipn, 175 - 191. Recuperada desde http://www.matedu.cicata.ipn.mx/aniversario/publicacio-nes.html

Pea, R. D. (1993). Learning scientific concepts through mate-rial and social activities: Conversational analysis meets conceptual change. Educational Psychologist, 28(3), 265 - 277.

Raymond, A. y Leinenbach, M. (2000). Collaborative action research on the learning and teaching of algebra: a story

72

of one mathematics teacher´s development. Educational Studies in Mathematics, 41 (3), 283 - 307.

Shulman, L. (2005). Conocimiento y enseñanza: Fundamentos de la nueva reforma. Revista de currículum y formación del profesorado, 9(2), 1 - 31.

Sierpinska, A. y Kilpatrick, J. (1998). Continuing the Search. En A. Sierpinska y J. Kilpatrick (Eds.), Mathematics Edu-cation as a Research Domain: A Search for Identity (pp. 527 - 548). Great Britain: Kluwer Academic Publishers.

Sierpinska, A. (2000). On some aspects of students’ thinking in linear algebra. En J. - L. Dorier (Ed.), On the Teaching of Linear Algebra (pp. 209 - 246). Kluwer Academic Pub-lishers.

Tsamir, P. (2008). Using theories as tools in mathematics teacher education. En D. Tirosh & T. Wood (Eds.), The Inter-national Handbook of Mathematics Teacher Education Volume 2: Tools and Processes in Mathematics Teacher Education (pp. 211 - 234). Rotterdam: Sense Publishers.

Wasserman, S. (1999). El Estudio de casos como método de enseñanza. Buenos Aires: Amorrortu.

73

El prome desde la óptica de sus egresados. Un estudio exploratorio descriptivo

David Saúl Rangel y Francisco Javier Chávez Maciel

1. Introducción

En este trabajo se presentan algunos de los resultados de la in-vestigación realizada sobre los graduados, en su ámbito acadé-mico y laboral, de tres generaciones de la maestría del Programa de Matemática Educativa (Prome) (2001 – 2006), modalidad en línea, del Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tec-nología Avanzada (cicata), Unidad Legaria del Instituto Poli-técnico Nacional (ipn).

La investigación se enmarca, entre otras, en la polémi-ca sobre la efectividad de la educación a distancia relacionada con las percepciones de los estudiantes graduados acerca de los beneficios obtenidos al estudiar en línea y su trascendencia al ámbito profesional y laboral.

La efectividad de la educación a distancia implica otras temáticas como la calidad, la credibilidad para lograr aprendi-zajes reales, significativos, y su trascendencia a otros escenarios como los profesionales, sociales, educativos y laborales.

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2. La efectividad de la educación a distancia

Se dice que la educación es efectiva cuando las ópticas de los usua-rios directos (estudiantes) e indirectos (profesores, directivos, em-pleadores) producen efectos satisfactorios en otros ámbitos (per-sonales, profesionales, laborales, sociales, etc.). La efectividad de la educación a distancia ha sido un debate antiguo, originado por la desconfianza que diversos sectores de la población han mani-festado sobre ella al compararla a priori con la educación conven-cional. La desconfianza se deriva al suponer gratuitamente que los beneficios que se le atribuyen a la educación formal sólo se pueden lograr en un escenario escolarizado en el que los estudian-tes y los profesores interactúan cara a cara en un mismo lugar y tiempo. Debido a esta suposición empezaron a proliferar estudios sobre la “efectividad” de la educación a distancia, comparándola con la educación cara a cara e investigando si tiene trascenden-cia, si produce aprendizajes similares, inferiores o superiores a la ofrecida convencionalmente. Este debate se incrementó a raíz de la publicación del reporte de Phipps, Ronald A. y Jamie P. Meri-sotis, What´s the difference? A review of contemporary research on the effectiveness of distance learning in higher education que apareció en 1999, bajo los auspicios del Institute for Higher Edu-cation Policy. Los autores revisaron las investigaciones sobre la efectividad de la educación a distancia, publicadas en revistas de prestigio especializadas en educación mediada por la tecnología surgidas durante la década de los 90, y que, a grandes rasgos, concluyeron en la similitud de los resultados entre la educación convencional y la ofrecida a distancia.9

9 Sin embargo, al revisar los estudios analizados desde el punto de vista del enfoque cuantitativo de la metodología de la investigación, concluyeron que poseen deficiencias metodológicas que limitan su validez y su poten-cial de generalización de resultados. Al respecto señalamos que es preciso señalar que los criterios metodológicos de investigación aplicados por los autores se sustentan en el denominado enfoque cuantitativo de raigambre positivista que privilegia el objetivismo e instrumentalismo metodológicos, sin considerar los enfoques cualitativos sustentados en corrientes metodoló-gicas hermenéuticas, interaccionistas y etnográficas, entre otras.

75

En el mismo sentido y en el mismo año, Thomas Russell publica The No Significant Difference Phenomenon, en el que revisa 355 investigaciones sobre la efectividad de la educación a distancia, concluyendo que no existe diferencia significativa entre los resultados de la educación cara a cara y la mediada por las tecnologías.

Recientemente, en un artículo publicado en la Revista de Universidad y Sociedad del Conocimiento de la Universidad Abierta de Cataluña, se resumen los principales hallazgos sobre los estudios comparativos sobre la superioridad o no de las moda-lidades mediadas por las Tecnologías de la Información y Comu-nicación (tic) sobre las presenciales, concluyendo que en algunos casos es mejor la mediada por las tic y, en otros, es mejor la educación convencional, pero reflexiona que la disparidad de los resultados se debe a los diversos enfoques, objetivos y métodos de investigación aplicados, por tanto, no los hace comparables. Agregan los autores que más que la modalidad de impartición, el éxito de los estudiantes, en ambas modalidades, depende de otros factores que habría que investigar, y podrían ser, la motivación, los métodos de enseñanza, el tiempo dedicado al estudio, etc. (Lundberg, Castillo y Dahmani, 2008).

En estos estudios, la efectividad fue analizada de acuerdo con los siguientes tópicos: 1) resultados del aprendizaje de los estudiantes y los instrumentos utilizados para su medición; 2) las actitudes de los estudiantes sobre la educación recibida: y 3) el grado de satisfacción respecto a la educación a distancia (Phipps, Ronald y Merisotis, 1999; Russell, 1999).

Los resultados de investigación, cuyo resumen se reportan en este capítulo retoman los tópicos de las actitudes y grados de satisfacción de los egresados con respecto a la formación recibida en el Prome y agrega el tópico de la trascendencia a los ámbitos académicos y laborales, que, a nuestro juicio, representa un as-pecto relevante de la efectividad de un programa de formación y se engarza también con algunos planteamientos de la economía de la educación derivados de la teoría del capital humano sos-tenida por Becker, Denison y Schultz, como un bien posicional (Muñoz, 1992) y del credencialismo (Collins, 1979).

76

3. Educación a distancia y economía

En principio, algunos de los planteamientos generales de estas teorías de la economía de la educación serían aplicables a la es-pecificidad de las modalidades educativas mediadas por las tic, sin embargo, cabría esperar particularidades de acuerdo con lo siguiente:

•  Los modelos de los mercados de trabajo están cambiando por nuevas formas mediadas por las tic (Castells, 2005) que han producido nuevos modelos de ejercicio profesio-nal en los que el uso de las tic constituye un elemento esencial.

•  De acuerdo con lo anterior, los nuevos mercados deman-dan competencias específicas funcionales para el nuevo patrón económico y tecnológico (Pérez, 1991), entre las que se encuentran las competencias informáticas e infor-macionales.

•  En el ámbito del mercado académico en el que están in-sertados los egresados del Prome, está en marcha una re-configuración de nuevos modelos de ejercicio académico, debido a la emergencia de novedosas formas de produc-ción del conocimiento científico (Gibbons, 1994), nuevas formas de su regulación, fórmulas diversas de transferen-cia del conocimiento (parques científicos, tecnópolis, em-presas “spin off”) (Licha, 1996) y múltiples maneras de transmisión en el contexto escolar, todas ellas mediadas por las tic (e - learning, b - learning, m - learning).

•  En este nuevo escenario, las modalidades educativas me-diadas por las tic resultan altamente funcionales y perti-nentes.

4. Objetivos de la investigación

En el marco de referencia sucintamente descrito, el objetivo que ha guiado a la investigación ha sido analizar las trayectorias

77

académicas, percepciones sobre los efectos académicos y labo-rales de las generaciones 2001 al 2006 de egresados graduados de la Maestría en Ciencias en Matemática Educativa impartida en línea.

Específicamente:

1. Identificar el perfil de los egresados del Prome.2. Describir los alcances logrados por los graduados en las

actividades profesionales que desarrollan. 3. Identificar la movilidad laboral de los graduados en las

instituciones educativas donde laboran.4. Describir la percepción de los graduados al cursar la

maestría con la modalidad en línea.

5. Estrategia metodológica

La investigación de carácter cualitativo aplicó la siguiente estra-tegia metodológica:

1. Revisión de la literatura sobre la efectividad, credibilidad y calidad de la educación a distancia, así como las relacio-nes entre educación y economía.

2. Trabajo de campo con una muestra no probabilística de 26 de los 33 egresados graduados de las tres generaciones mencionadas, a los que se les aplicaron dos cuestionarios, uno de ellos elaborado por el cicata con otros objetivos, pero que fue útil para los propósitos de esta investigación, y el otro instrumento diseñado específicamente para los objetivos de la presente investigación.

3. Entrevistas personales a egresados tanto en foros acadé-micos de la disciplina como en la Reunión Latinoameri-cana de Matemática Educativa (Relme) en el año 2008, siendo algunos egresados pertenecientes al Comité Latino-americano de Matemática Educativa (Clame A. C.) y en el Coloquio del Décimo Aniversario del Prome cicata,

78

Unidad Legaria, en el 2010, ambos eventos celebrados en la Ciudad de México.

4. Aplicación de un modelo de generación y evaluación de alternativas para identificar estrategias y alternativas de mejora del Prome.

6. Resultados

Este trabajo tiene como puntos de interés: la trayectoria escolar de los estudiantes, las características generales de los egresados graduados, el impacto en el ámbito laboral y la identificación de las percepciones sobre la formación académica obtenida.

Trayectoria escolar

La trayectoria escolar, entendida como el tránsito de los estu-diantes a lo largo del programa académico hasta la obtención del grado, es la típica de la mayoría de los programas, en la que no todos los estudiantes inscritos obtienen el grado académico correspondiente.

Tabla 1. Trayectoria escolar de los estudiantes de la Maestría del Prome de las generaciones del 2001 al 2006

Generaciones Inscripción inicial

Inscripción final

Deser ciones Egresados no

graduados

Graduados Porcentaje de la

eficiencia terminal

2001-2002 26 21 5 6 15 57.7%

2003-2004 54 30 24 20 10 18.5%

2005-2006 28 24 4 16 8 28.6%

Totales 108 75 33 42 33

Fuente: Elaboración propia conforme a la información proporcionada por la Oficina de Control Escolar del CICATA, Legaria.

79

En la tabla se observa una alta eficiencia interna de egresados pero una limitada eficiencia terminal de graduados (titulados). Se observa un descenso en las tasas de graduación que va del 57.7% en la primera generación hasta el 18.52% de la segun-da. Asimismo, en términos absolutos, se destaca que la segunda generación muestra el mayor número de alumnos en situación de abandono (73%). En tanto que los abandonos observados en las otras dos generaciones fueron menores, presentando un índice entre ambas del 27%.

El fenómeno del abandono de estudio en la modalidades a distancia ha sido estudiado acuciosamente por diversos autores, entre otros: Granados (1992), Kempfer (1996) y para algunos casos del ipn, Chávez, Panchi y Montoya (2007). Algunos auto-res como Lundberg, Castillo y Dahmani, (2008) y Padilla (2005) argumentan que para evitar se presente dicho fenómeno debe existir una motivación en ambos sentidos, tanto de los tutores como de los alumnos involucrados en la modalidad para lograr así una educación efectiva. Los tutores deben estar comprome-tidos por mantener una comunicación que genere un clima de confianza con los alumnos, procurando proporcionar una ade-cuada atención durante los cursos: indicando los objetivos y los contenidos de las temas a desarrollar, aclarando las dudas que surjan de las actividades propuestas, proveyendo retroalimenta-ción oportuna de las mismas a fin de orientarlos para satisfacer el cumplimiento de dichos objetivos (Rao y Rao,1999, citado por Cookson, 2002).

Por otra parte, en los alumnos recae la responsabilidad de administrar las implicaciones que conlleva estudiar un posgrado a distancia, por ejemplo: el manejo del tiempo y espacio en el que se realizan las actividades de aprendizaje; el estudio de manera independiente apoyado de distintos materiales de estudio pro-porcionados por el programa o buscados por iniciativa propia; la interacción con compañeros y/o con de tutores en la discusión sobre los temas requeridos y; la organización de los compromi-sos laborales y familiares que se presenten a lo largo del progra-ma. Asimismo, la participación de la universidad quien oferta

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este tipo de educación, juega un papel importante estableciendo claramente el perfil deseado del estudiante a distancia, de ma-nera que el propio estudiante evalúe y determine si, además de poseer las destrezas y el acceso a la tecnología mínima requerida, tiene la motivación y el compromiso necesario para estudiar bajo esta modalidad (Ferreras, 2001, en Padilla, 2005).

Características de los graduados de Prome

Algunas de ellas están establecidas previamente en los perfiles de ingreso requeridas para ingresar al Prome. Así pues, la mayoría de los estudiantes de las generaciones estudiadas responden a estas características: son profesores de matemáticas en activo en distintos niveles educativos (23), otros realizan funciones admi-nistrativas específicamente, y uno más, estudiaba un doctorado en ee.uu. en ese momento.

a) Los profesores de matemáticas, están ubicados en diferen-tes instituciones educativas, tanto públicas como privadas en los niveles: Medio - Superior, Superior o Posgrado; mu-chos de los profesores combinan su actividad para distin-tos niveles de enseñanza de la materia como se observa en la Figura 3.

Figura 3. Niveles de enseñanza que imparten los graduados de Matemática Educativa.

40%

35%

30%

25%

20%

15%

10%

5%

0%

n=23

Medio superior Superior Medio superiory superior

Superior y posgrado

Posgrado

39.13%

30.43%

17.39%

8.70%

4.35%

81

En la figura se aprecia que el 69.56% de los graduados laboran en un sólo nivel académico distribuido de la siguiente manera: 39.13% está dedicado al nivel medio - superior (9) y el 30.43% al nivel superior (7). El restante 30.44% combinan su actividad entre los diferentes niveles de enseñanza: 17.39% medio - supe-rior y superior (4), 4.35% medio superior y posgrado (1), y por último, 8.70% superior y posgrado (2), Por lo tanto, se observa que en el nivel medio - superior de enseñanza se encuentran con-centrados la mayor parte de los docentes, seguido por el supe-rior y por último, el posgrado.

Dentro de estos índices, es importante destacar que el 47.83% de los graduados (11), además de cumplir con su acti-vidad docente frente a grupo, también laboran como formado-res de profesores de Matemáticas, teniendo este factor un valor agregado, ya que como consecuencia de la preparación y for-mación recibida en el Prome, los graduados contribuyen a la transmisión de conocimientos a docentes ajenos a esta maestría, permitiendo con ello, que estos últimos mejoren su práctica do-cente en el aula. Dicho porcentaje se encuentra distribuido en los siguientes niveles de enseñanza (ver Figura 4).

Figura 4: Índice de docentes formadores de profesores de distintos niveles.

b) El Prome tiene la facilidad de incorporar a su progra-ma de estudios a aspirantes tanto nacionales como ex-

n=23

Medio superior26.09%

Posgrado4.35%

Superior17.39%

82

tranjeros, que deseen cursar la maestría, cuya condición fue aprovechada por el 57.69% de los mexicanos gra-duados, distribuidos en 26.92% para aquellos radicados en los diversos estados de la República Mexicana (7) y 30.77% quienes representan a los del Distrito Federal y zona conurbada (8). Igualmente, favoreció esta particu-laridad educativa a estudiantes extranjeros, que radican en Argentina, Colombia, Chile, Uruguay e incluso Italia, siendo el único caso extranjero radicado en nuestro país observado en este estudio, por lo que, la representación de manera conjunta a esta población es del 42.31% (11).

Figura 5. Proporción de graduados según su nacionalidad

c) Los profesores graduados del Prome de las generaciones en estudio (2001–2006) se caracterizan por lo siguiente: del 58%, que son mexicanos, el 23% de ellos tiene una preparación universitaria, con título, ya sea en Licencia-tura en Matemática o Actuaria; el restante 35% se formó en carreras que se fundamentan en las disciplinas mate-máticas, como Arquitectura y diversas Ingenierías. Alre-dedor del 42% son docentes extranjeros, teniendo como particularidad que todos ellos poseen estudios de forma-ción docente en la disciplina (equivalente a una carrera normalista en México). En la Figura 6 se muestra la for-mación de los graduados obtenida a nivel superior.

0% 20% 40% 60% 80%

Extranjeros

Mexicanos

42.31%

57.69%

n=26

83

Figura 6. Formación académica de los graduados.

Los docentes graduados de la maestría, con formación afín a la Matemática (Arquitectura e Ingeniería) y dedicados a esta enseñanza, son principalmente de nacionalidad mexicana y esto podría reflejar una situación general y peculiar de los egresa-dos mexicanos. En efecto según declaraciones del Subsecretario de Educación Pública, Rodolfo Tuirán Gutiérrez10, en abril de 2008, el 45% de los universitarios del país trabaja en áreas dis-tintas para las cuales se preparó.

d) Por otro lado, en cuanto al género de los graduados de la

muestra, se observa una alta participación de la mujer con el 69.23% (nacionales 38.46% y extranjeras 30.77%), el cual predomina sobre el porcentaje del género mas-culino con el 30.76% (nacionales 19.23% y extranjeros 11.53%), lo cual pareciera contrario a la percepción que comúnmente se tiene acerca de que en el área matemáti-

10 Cuatro de cada diez no ejercen su profesión. México. Artículo de Adelante Enciclomedia Un instrumento para la educación. En http://ade-lantenciclomedia.org.mx/2008/04/23/cuatro-de-cada-diez-no-ejercen-su-profesion-rodolfo-tuiran 07 de junio 2009.

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45%

Extranjeros

Mexicanos

42.31%

34.62%

23.08%n=26

84

ca, el género masculino regularmente predomina. Tal vez esta idea se conciba por la constante participación de este género frente a los distintos grupos de estudiantes en las instituciones académicas nacionales.

Figura 7. Género de los graduados según su nacionalidad

Trascendencia académica y laboral de los graduados

La formación recibida en el Prome se manifiesta tanto en la pro-ductividad profesional y académica como en el ámbito laboral. En efecto, un considerable porcentaje de ellos realiza proyectos de investigación en el área matemática, elabora publicaciones para revistas, participa en congresos académicos, pertenece a asociaciones del campo disciplinar y ha iniciado estudios de doctorado. Véase figura 8.

Figura 8. Índice de la productividad profesional o académica

Femenino

Masculino

38.46% 38.46% 69.23%

19.23% 11.53% 30.76%

n=26

n=26

Nacionales

Extranjeros

0% 20% 40% 60% 80% 100%

Participan en congresos

Publican artículos

Pertenecen a asociaciones académicas

Realizan proyectos de investigación

Estudian doctorado

80.77%

69.23%

57.69%

50%

50%

85

Dado que el ámbito laboral de los graduados es académico, es de esperarse que el valor agregado adquirido por medio de la maestría influya positivamente en la movilidad laboral y percep-ciones económicas.

De hecho, el 87% de la muestra afirma que los estudios de maestría realizados repercutieron positivamente en sus activida-des académicas laborales.

Figura 9. Algunos efectos de haber estudiado en el Prome

Esta situación hace patente que el esfuerzo de todos los gra-duados tiene una remuneración en uno u otro sentido, ya que el haber cursado un posgrado con las características descritas no únicamente trajo consigo beneficios económicos, sino que se aprecia que ha sido un factor importante en el crecimiento per-sonal y desarrollo profesional de los graduados, incrementando su satisfacción profesional y proyección individual. Con estos logros, los graduados no solamente adquirieron un documento que los avala con un cúmulo de conocimientos avanzados, sino también competencias específicas que les permiten perfeccionar las actividades u ocupaciones académicas y laborales que reali-zan. De esta forma no se aplicaría el planteamiento de Collins (1979), según el cual el desarrollo de las habilidades laborales se consigue únicamente en los puestos de trabajo y los títulos obte-

Obtuvieron otros beneficios

38.46%

Ascenso a otros cargos

23.08%

Mejorade categoría

19.23%

Ingreso a otras instituciones

11.54%

Incremento de horas - clase

7.69%

86

nidos se emplean únicamente como credenciales para acceder a un mejor posicionamiento laboral.

En términos generales, la maestría, desde la óptica de los graduados, tuvo una repercusión positiva en el ámbito laboral relacionada con valores tangibles y valores intangibles. Los pri-meros están vinculados, entre otros beneficios, con la movilidad hacia otros puestos de trabajo, con la estabilidad laboral y/o con la mejora salarial; los segundos encuentran como beneficios una mejor preparación para la actividad docente y la adquisición de nuevas herramientas para incursionar en otras actividades relacionadas con la educación (investigaciones, publicaciones, elaboraciones de material didáctico, diseños de programas de estudio, etc.) sin que necesariamente se les recompense con un mejor salario u ocupación. He aquí algunos de los comentarios textuales respecto a la mejora laboral:

•  “He accedido a algunos cargos nuevos por concurso. Di-rectora del Departamento de Informática Educativa”.

•  “En el ámbito de la Facultad… a la que pertenezco, pude presentarme en el concurso de antecedentes para hacer ordinario el cargo de Jefa de Trabajos Prácticos con de-dicación exclusiva que me había sido otorgado en forma interina”.

•  “En forma indirecta, para que me otorgaran el puesto que ocupo hoy. Subdirectora Académica: Coordino todas las actividades del plantel relacionadas con el proceso de en-señanza - aprendizaje”.

•  “Mejor  posicionamiento  profesional  y  reconocimiento académico. Investigación educativa en didáctica de las ciencias y desarrollo de tecnología educativa”.

•  “Se me ha brindado  la posibilidad de concursar por un nombramiento definitivo en el departamento de matemá-ticas de la universidad en la que laboro”.

•  “Actualmente, en mi institución sólo aceptan profesores con grado de maestría o superior. Si no hubiera terminado la maestría, no podría seguir trabajando ahí”.

87

•  “Resulta (el posgrado) ser un requisito para laborar en el nivel educativo en el que me encuentro”.

•  “Me permitió conseguir los mejores lugares (en el “ran-king” de profesores) para acceder al cargo de profesora de didáctica en formación de profesores. Y esto me gene-ró estabilidad laboral”.

•  “Me ha permitido lograr estabilidad en mi trabajo como formadora de profesores”.

•  “En el trabajo… me subieron el sueldo”.•  “He incrementado la cantidad de horas y mejorado la ca-

lidad de mi tarea como docente”.•  “Con  el  grado,  pude  encontrar  trabajo  en  el  Instituto 

Poli… como profesor con más horas que en la Universi-dad en la que estaba laborando”.

•  “Contribuyó al ingreso a la docencia en el Instituto...” 

En los resultados y opiniones presentadas se observa la presencia de una competencia laboral en los diferentes puestos de trabajo donde laboran los graduados que les sirve de base para aspirar a un mejor posicionamiento y categoría salarial. Es posible que esto haya influido en la decisión de los estudiantes al inicio de su formación de invertir en educación de posgrado, buscando en ésta la adquisición de niveles superiores de educación, y de esta manera hacer posible una movilidad ocupacional que trae-ría consigo mayor crecimiento profesional, un mayor ingreso económico, o la oportunidad para ingresar a otras instituciones educativas en las que sería posible ascender en la escala acadé-mica o laboral. Dado que la demanda en los puestos adminis-trativos o directivos son mínimos y tienden a ser estables en este tipo de instituciones, algunas de éstas compensan el esfuerzo realizado en el desarrollo académico otorgando beneficios eco-nómicos salariales, considerando el incremento de la calidad en el trabajo docente buscado por las instituciones. Este escenario coincide con la teoría de la Movilidad Ocupacional propuesta por Rosen (citado por González, 2003).

Por lo tanto, esto significa que al adquirir mayores cono-cimientos y habilidades gracias a este nivel educativo, se tiene

88

la capacidad de asumir actividades de mayor complejidad y res-ponsabilidad expandiendo su campo laboral para concursar por diversas plazas disponibles en las escuelas que así lo convoquen, es decir, conseguir un mejor desarrollo dentro del lugar donde actualmente se labora o bien incorporarse a otras instituciones.

De esta manera, se constata que uno de los objetivos plan-teados en el Prome, “divulgar entre la población una visión científica del mundo”, se logra con las aportaciones de los gra-duados de las generaciones en estudio. A su vez, el programa cumple con los planteamientos de Carlota Pérez (1991) acerca de inculcar en los estudiantes habilidades de “potencial de asi-milación de nueva información y capacidad de generar innova-ciones”, lo que significa, en el primero de los casos la búsqueda de información reciente, tanto de la ciencia, como de la tecno-logía relacionada con su área; en el segundo, la elaboración de proyectos o propuestas para la resolución de problemas en su etapa productiva.

De la información presentada tanto de los índices de pro-ductividad, como de los comentarios en la mejora, se entiende que buena parte de los graduados combinan al mismo tiempo la actividad docente acompañada de alguna otra, sin descuidar la primera dado el número de horas que están frente a grupo, pensando que algunos de estos graduados participan en acti-vidades extraescolares cuando son convocados. De este modo, se presume existe una remuneración adicional a su principal actividad, si no de tipo económica, sí de reconocimiento en el gremio a la labor y la aportación que desarrollan en el área de la matemática.

Por otra parte, con un matiz menos hacia lo laboral y más hacia el ejercicio de la profesión, los graduados señalan más aportaciones en el campo de los intangibles. Valoran como aportes importantes recibidos de la maestría aspectos netamente académicos como son la mejora en la impartición de sus clases, mejores ideas sobre la actividad investigativa, mejoría en la vi-sión y perspectiva sobre su profesión, entre otras.

89

He aquí algunos comentarios textuales al respecto:

•  “Una visión diferente acerca de la actividad de enseñan-za aprendizaje y por lo tanto llevar a cabo la actividad profesional utilizando los conocimientos obtenidos en la Maestría”.

•  “Profundizar en la reflexión sobre mi práctica y rediseñar estrategias docentes para dar clases y evaluar los aprendi-zajes de mis alumnos”.

•  “Puedo tener mejor idea de cómo realizar una investiga-ción en el área. No se me proporcionaron herramientas para ser un mejor profesor, pero sí aprendí a ser más re-flexiva en mi profesión”.

•   “Ha cambiado la manera de ver la práctica de la profe-sión docente. Ha mejorado mi desempeño. Me ha actua-lizado”.

•  “Mayor sustento teórico para la preparación y desarrollo de las clases, mejores estrategias para la construcción del conocimiento”.

•  “Me aportó a mí como docente una mirada más profe-sional sobre mi tarea y la formación en investigación que me ayuda a analizar con criterio científico lo que ocurre dentro del aula”.

•  “Me ha permitido trabajar a otro nivel, mejorar la cali-dad de mi labor y elevar el nivel de mis estudiantes”.

•  “Comprender mejor  lo que significa enseñar y aprender matemáticas”.

•  “[…] me ha permitido interactuar con colegas que poseen diferentes visiones acerca de la matemática escolar y de la matemática educativa, producto de sus experiencias per-sonales y su formación recibida”.

•  “El  programa  me  permitió  conocer  gente  interesante, puntos de vista de maestros de otras latitudes. Esto me permitió ampliar los horizontes personales; entender la universalidad que el problema educativo y ver lo que se hace en otras partes”.

90

Si se agrupan estos comentarios en categorías se puede obtener la siguiente figura, en la que se totalizan 31 aportaciones que, según los graduados, obtuvieron del Prome en su actividad profesional:

Figura 10. Aporte del Prome a la actividad profesional de los graduados

Con base a los comentarios presentados y las aportaciones del posgrado a dicha actividad, según se observa en la figura 15, existe evidencia suficiente para constatar la vinculación que pre-senta esta maestría con la aplicación, que realizan sus egresados, de los conocimientos y habilidades en el ejercicio de la enseñan-za, congruente con el objetivo general y específicos del Prome (2000):

“[…] formar profesores e investigadores altamente capacita-dos, para enfrentar la problemática que plantea la incorpora-ción de los saberes matemáticos al sistema didáctico, buscan-do con esto, favorecer que los actos de enseñanza, produzcan efectivamente, aprendizaje”.

n=31

0% 5% 10% 15% 20% 25% 30%

Mejora de la enseñanza en clase

Mejor idea de la investigación

Mayor visión, reflexión y perspectiva

Mayor información y formación

Capacidad para dar conferencias

Mayor compromiso a la actividad

Retroalimentación en la enseñanza

29.03%

22.58%

16.13%

16.13%

6.45%

6.45%

3.23%

91

A la vez, el programa coincide con la visión a la que está orien-tada, especialmente en lo que se refiere a la sensibilización de los cambios sociales que se generan dentro de la escuela y afec-tan el desarrollo del aprendizaje, por lo que un profesor per-teneciente a dicho programa es capaz de incorporar las prácti-cas sociales que crea convenientes, para impulsar el proceso de aprendizaje en el área matemática congruente con los requeri-mientos de la sociedad.

Lo anterior se confirma con los testimonios, actividades y trabajos manifestados durante el Coloquio del Décimo Aniver-sario del Prome, realizado en las instalaciones del cicata, Uni-dad Legaria en el año 2010, especialmente de algunos gradua-dos de la maestría que mostraron la forma actual de enseñanza sobre algunos temas que abordan en sus clases y las propuestas para una mejor enseñanza apoyada en materiales didácticos im-presos, por ejemplo, Las Estrategias de los Estudiantes de Ba-chillerato al Enfrentarse al Cálculo del Área Bajo una Curva de Mónica Olave, Estudio Socioepistemológico de la Tangente de Luis Arturo Serna y Un Diseño Metodológico para Integrar la Investigación con la Enseñanza de Cristina Ochoviet.

Por lo anterior, se estima que el aprendizaje adquirido por los maestros durante el programa responde a las expectativas del desarrollo de las instituciones escolares donde laboran y a las sociedades donde pertenecen, al retomar aspectos o elemen-tos abordados dentro del posgrado, que se ajustan en particular a las condiciones de enseñanza de cada grupo de estudiantes a su cargo. Además, la especialidad les ha permitido generar estrategias en este sentido, que permitan elevar el nivel de for-mación de la materia en los alumnos; ya que de acuerdo a las circunstancias que presenta cada grupo, los mismos maestros diseñan y emplean didácticas de enseñanza favorables para el logro de los objetivos de aprendizaje.

Con el razonamiento planteado, se observa que el Prome provee a sus estudiantes de un sustento teórico para la cons-trucción de conocimiento matemático aplicable a su enseñanza favoreciendo aprendizajes efectivos.

92

Dada la preparación adquirida del posgrado, los maestros tienen una mejor idea de cómo realizar investigación de la disci-plina, aplicable a la actividad docente, porque pueden entender las diversas situaciones académicas y sociales que presentan los estudiantes en las escuelas, identificar de manera global las ne-cesidades de aprendizaje que requieren para su desarrollo esco-lar y reflexionar ante esta situación para planear estrategias de enseñanza que respondan a esta problemática. Así, los mismos maestros, apoyados en las investigaciones que realizan con el objeto de mejorar la exposición en sus clases, se encuentran en la posibilidad de desarrollar los temas de la materia enriquecién-dolos con nuevos conceptos y actividades y acompañándolos con mejores métodos de enseñanza, ya sea diseñados por ellos mismos o adaptados a las cambiantes situaciones didácticas en el aula. En otras palabras, los egresados muestran que poseen las herramientas teóricas y metodológicas para sistematizar y mejorar su propia práctica docente orientada a la enseñanza de las matemáticas.

Conocimientos más aplicados en la práctica docente

n este aspecto, se identificaron los temas del programa que los graduados aplican con mayor frecuencia en su actividad acadé-mica. El de mayor recurrencia son los diversos tópicos orienta-dos a la didáctica, lo cual no resulta sorprendente al relacionar-lo con la población perteneciente al Prome y a las expectativas docentes con las que ingresaron. Véase la siguiente figura:

93

Figura 11. Temas más aplicados en la práctica académica de los graduados del Prome

De lo anterior se puede inferir que los graduados aplican con mayor frecuencia en su práctica académica temas didácticos e insisten en las sugerencias de que hace falta incorporar al Pro-me más temas relacionados con la enseñanza de las matemáti-cas. He aquí los comentarios textuales:

•  “Considero que los temas adquiridos en este programa de Maestría que aplico con mayor frecuencia son la aproxi-mación socioepistemológica, ya que se constituyó en el marco teórico de todos los proyectos de investigación y de trabajo en los que participo…”.

•   “El marco  teórico  socioepistemológico  para  la  visión  y comprensión del escenario en el que me desempeño”.

n=31

0% 5% 10% 15% 20% 25%

Ingeniería didáctica

Discurso matemático escolar

Teoría de las situaciones didácticas

Secuencias didácticas

Herramientas para problematizar

Aplicación de la tecnología

Teoría de la socioepistemología

Herramientas para coordinar

Seminario

Constructivismo

Visualización

22%

15%

11%

11%

7%

7%

7%

4%

4%

4%

4%

94

•  “Principalmente  las  secuencias  didácticas,  la  ingeniería didáctica, la teoría de las situaciones didácticas, el discur-so matemático escolar, el uso de la tecnología actual para fines didácticos, entre otros”.

•   “Teorías de situaciones didácticas, tecnología para la en-señanza de las matemáticas”.

•  “Construcciones de  situaciones didácticas y,  en general, una forma nueva y más abierta de abordar los problemas que surgen de la enseñanza”.

 •  “Más que conocimientos, lo que he utilizado son las ha-bilidades adquiridas con los medios electrónicos, gracias a la Maestría tuve que aprender a utilizar muchas herra-mientas de mi computador que antes no conocía y ahora me ayudan en mis actividades diarias”.

•  “Constructivismo, Uso de tecnologías, Visualización”.•  “Que da la matemática educativa a los problemas medu-

lares en la enseñanza y aprendizaje de la matemática es-colar. Metodologías para analizar el discurso matemático vigente y los porque de su diseño”.

 •  “No  son  temas  en  específico,  es  el  conjunto de  todo  lo aprendido en el posgrado”.

•  “No creo poder hacer una lista de temas, creo que el cam-bio es en la visión. Yo como docente he comenzado a mo-dificar la forma en que preparo y enfrento mis clases, en que realizo mis tareas y en que veo la realidad escolar de mis actividades”.

•  “En general  el programa de Maestría me aportó herra-mientas para problematizar mi práctica docente y analizar críticamente el diseño del currículo. La reflexión continua sobre mi práctica docente y sus posibles aplicaciones al aula. También me aportó herramientas para las coordi-naciones con otros profesores, especialmente en el ámbito de la enseñanza de la demostración en geometría”.

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Sugieren además otros temas como:

•  “Taller  de  investigación  educativa,  taller  de  simulación tecnológica en educación matemática”.

•  “Enfatizar más el desarrollo de actividades didácticas”.•  “Creo que la evaluación es un tema que a los docentes se 

nos presenta como central y que en la Maestría no ha sido tocado”.

•  “Mayor formación en Didáctica de Matemática en gene-ral, no solamente en la línea de la socioepistemología”.

•  “Algunos temas que incluyan desarrollar más el uso del álgebra para la deducción de ecuaciones”.

•  “Creo que sería bueno ayudar a los estudiantes a apren-der mejor los contenidos teóricos”.

•  “Considero que mi programa fue de los mejores. Entiendo que posteriormente fueron modificados los cursos orien-tándolos más a la socioepistemología. Me parece que esto restringe la visión del futuro maestro”.

•  “Temas referentes a intervención en el aula. Reproducibi-lidad, prácticas docentes”.

•  “Evaluación, Ejemplificación de las matemáticas en otras sociedades”.

•  “Creo  que  en  muchos  casos,  los  estudiantes  presentan dificultades para escribir sus ideas, por lo que considero necesario que se refuerce la expresión escrita de textos científicos”.

 •  “Temas que tengan más que ver con la realidad a la que nos enfrentamos como profesores día a día (tiempo de clase, tipo de alumnos, etc)”.

•  “Desde mi visión como indígena y con fundamento en el artículo tercero nuestra constitución política de los Esta-dos Unidos Mexicanos, deben incluir los siguientes temas y líneas de investigación: La matemática de la cosmovisión sociocultural como un patrimonio eterno. El desarrollo del conocimiento matemático como el fundamento para el desarrollo espiritual de la sociedad del conocimiento. La matemática educativa centrada en los contextos so-

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cioculturales (es decir, la matemática para la vida en los diferentes contextos socioculturales que algunos poseen valiosos conocimientos milenarios como la olmeca, azte-ca, maya, inca, etc, que a pesar de la destrucción planeada y aprobada por el clero (romano española), aún existen actualmente). La solución de problemas matemáticos de la vida. La igualdad de conocimientos matemáticos socio-culturales. El pluralismos de los conocimientos matemáti-cos de los contextos socioculturales como la base para la construcción de una sociedad del conocimiento incluyen-te. Algebra del tiempo. La aritmética de la cosmovisión indígena. La contemplación como la base para la visuali-zación matemática”.

Percepción de haber estudiado en línea

Esta dimensión de las percepciones de los estudiantes ha sido muy socorrida para valorar la efectividad y calidad de la edu-cación a distancia (Russell, 1999; Phipps, Ronald y Merisotis, 1999). De hecho la corriente de gestión de la calidad establece como indicador básico de la misma la satisfacción del cliente (Santana, 1997; Gento, 1996; López, 1994). Los resultados encontrados en nuestra investigación son congruentes con los estudios que centran la efectividad de la educación en línea en las percepciones positivas de los estudiantes. En efecto, al solici-tarles a los graduados de la Maestría emitieran sus comentarios sobre la experiencia de haber estudiado en línea, no sorprende encontrar una abrumadora cantidad de comentarios altamente favorables, con una insistencia destacar las ventajas de la mo-dalidad en línea para estudiar de manera flexible y desde sus casas u oficinas una maestría de su interés profesional no dis-ponible en sus lugares; también valoran el intercambio de ideas y experiencias con compañeros y profesores de otros lugares a pesar de las distancias y gracias a los recursos de comunicación proporcionados por las tic; consideran el estudio en línea una forma excelente de aprendizaje, útil, placentero, que desarrolla

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habilidades de disciplina y autonomía para organizar el tiempo, aunque, señalan que esta modalidad es más demandante que la presencial. A continuación se presentan algunos comentarios textuales:

•  “Básicamente, la disponibilidad del tiempo. La mayor par-te de las empresas exigen más títulos, pero no dan el tiem-po ni los recursos para hacerlo de manera presencial”.

•  “Considero que es una excelente forma de autoaprendiza-je Te crea un hábito de responsabilidad y nuevas formas de solucionar los problemas…”.

 •  “Fue  una  experiencia muy  rica  en muchos  aspectos.  El más importante para mí, fue que me permitió conocer a muchas personas inclusive del extranjero, la posibili-dad de conocer el trabajo de mis compañeros de los que aprendí mucho. Fue maravilloso”.

•  “Muy positiva,  logré mantener el  ritmo requerido  (bas-tante más exigente del que esperaba) y descubrir que en un nivel como el de la maestría, la autonomía en el apren-dizaje permite un crecimiento tal vez mayor, que en el caso de una carrera presencial”.

•  “Es una modalidad en la que se nos permite aprender y utilizar las tecnologías de la Comunicación y la Informa-ción para la enseñanza”.

•  “¡Deliciosa! El hecho de trabajar a distancia de los pro-fesores, lo que no permite una interacción directa y cons-tante, provocó el desarrollo de habilidades de autogestión y en cierta forma de autodidactismo. el caso de una carre-ra presencial”.

•  “[…] me pareció una manera brillante de  conjugar  los adelantos tecnológicos en la educación superior. Particu-larmente, tenía la idea de que la educación podría valerse de estas herramientas, participar en ella reafirmó lo que pensaba se podía lograr. Me permitió conocer la forma de trabajo en este medio, analizar la carga para una per-sona, compararla con experiencias similares más tradi-cionales”.

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 •  “Confieso que  en un principio  tuve mis  dudas  sobre  la relación entre el estudiante y sus profesores en esta moda-lidad, pero esta duda, junto con otras, fueron superadas con creces… la verdad es que la seriedad y el cumplimien-to de mis profesores con sus cursos y la de mis compañe-ros con las tareas que nos asignaban me asombró”.

Sin embargo, algunos graduados señalan aspectos negativos: el aislamiento, el estrés, los efectos nocivos para la vida familiar y social, deterioro de la salud por el uso excesivo de la computa-dora. Al respecto uno de ellos dice:

•  “Estresante. Al planear trabajar en línea uno piensa que uno podrá hacer uso de sus tiempos libres en ello y no es verdad. Uno tiene que hacer horarios. Es una labor más que hay que programar y que ocupa otro espacio de nues-tras vidas, que exige su propio tiempo”.

•  “Con la maestría se acabaron mis sábados, domingos y días festivos, no sólo porque tenía mucho trabajo que ha-cer, sino también porque los profesores los consideraban tiempos de trabajo y nos pedían entrega de trabajos o par-ticipaciones en los grupos de discusión durante esos días. Eso me llamó mucho la atención. Mientras en Argentina, por ejemplo, no era día festivo, para mí sí, por lo tanto para mis compañeras de Argentina no había problema en trabajar en esos días”.

•  “Me sentí aislada. Era la única persona de mi ciudad que estaba haciendo esa maestría, por lo tanto, a pesar de que tenía cerca a quien poder consultar (doctores en matemáti-ca educativa), ellos no podían actuar como mis compañe-ros. No tenía con quién interactuar sobre los trabajos. Por línea había poca interacción, tanto de los maestros como de mis compañeros. A veces sentí que escribía al aire”.

Un concentrado de las 46 percepciones positivas o negativas de los 26 graduados se muestra en la figura siguiente:

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Figura 12. Percepciones de los graduados sobre la modalidad en línea

A manera de conclusiones

El avance presentado permite vislumbrar algunas conclusiones:

1. La valoración de los estudiantes graduados sobre el nivel de formación obtenido en un programa educativo en línea es satisfactoriamente positiva.

2. En la mayoría de los egresados los beneficios obtenidos implican ventajas tangibles e intangibles. Las primeras se relacionan con variables laborales como son incrementos salariales y/o estabilidad en el empleo, mientras que las segundas tienen que ver con ventajas académicas y profe-sionales como la mejora de las prácticas docentes, investi-gativas y la ampliación de las perspectivas profesionales.

n=31

0% 5% 10% 15% 20% 25%

Enfatiza la escritura y la lectura

Produce sentimientos de soledad

Demandante y estresante

Forma útil, flexible, áutónoma de aprender

Fue una oportunidad

Comunicación e intercambio de ideas

Se aprende mucha computación

Produce problemas de salud

Pone a disposición nuevos recursos

Limitaciones de la plataforma

24%

24%

11%

20%

7%

7%

2%

2%

2%

2%

100

3. La modalidad en línea es aceptada por las ventajas ofre-cidas en cuanto a: la flexibilidad en el uso del tiempo, aunque con plazos perentorios; la oportunidad de acceso a un programa de formación inexistente en sus lugares; el cultivo de habilidades para el aprendizaje autónomo; la facilidad de comunicación e intercambio de ideas y expe-riencias con colegas de otras latitudes.

4. La modalidad en línea es más demandante que la presencial y tiende a producir efectos negativos para la vida personal, familiar y social: estrés, aislamiento social y familiar.

5. En general, en cuanto a la efectividad del programa ofre-cido en línea se puede concluir que fue satisfactoria para los egresados graduados y trascendió positivamente al ámbito laboral. Aunque habría que profundizar más en las variables de la trascendencia laboral. ¿Estos alcances responderían más a los planteamientos del credencialis-mo?; ¿en realidad, hubo un incremento en los aprendiza-jes significativos y en las competencias docentes e investi-gativas?; ¿cuáles son los valores agregados que ofreció la modalidad en línea que las modalidades presenciales no ofrecen?; ¿qué percepciones tienen los directivos y alum-nos de las instituciones en la que laboran los graduados?

Referencias

Borges, F. (2005). La frustración del estudiante en línea. Cau-sas y acciones preventivas. Digithum Recuperado desde http://www.uoc.edu/digithum/7/dt/esp/borges.pdf

Castells, M. (2005). La era de la información. Economía, socie-dad y cultura. La Sociedad Red. (Vol. I)(6ta. Edición)(C. Martínez trad.). México: Siglo xxi Editores.

Chávez, F. J., Azahalia, C. y Montoya, S. (2007, mayo 23 - 26). El abandono de estudios en la educación superior a dis-tancia. Un análisis de casos. Ponencia presentada en la viii Reunión Nacional de Educación Superior a Distancia, “Prácticas Educativas en Educación Superior”. México.

101

Collins, R. (1979). La Sociedad Credencialista. España: Akal. Cookson, P. (2002). Acceso y equidad en la educación a dis-

tancia: investigación, desarrollo y criterios de calidad. Revista Electrónica de Investigación Educativa, 4(2). Re-cuperado desde http://redie.uabc.mx/vol4no2/contenido-cookson.html

Gento, S. (1996). Instituciones educativas para la calidad total. Madrid, España: La Muralla.

Gibbons, M., Limoges, C., Nowotny, H., Schwartzman, S., Scott, P. y Trow, M. (1994). The New Production of Knowledge: the dynamics of science and research in con-temporary societies. Sage Publications.

González, M. (2003). Inserción Laboral, Desajuste Educati-vo y Trayectorias Laborales de los Titulados en Forma-ción Profesional Específica en la Isla de Gran Canaria (1997 - 2000)(Tesis de doctorado no publicada). Universi-dad de las Palmas de Gran Canaria. España. Recuperada desde http://www.eumed.net/tesis/smgb/

Granados, P. (1992). Abandono de estudios en la facultades de letras de la uned. Estudios de Educación a Distancia 17. España: Universidad Nacional de Educación a Distancia.

Institute for Higher Education Policy (2000). Quality on the line. Benchmarks for success in internet – based distan-ce education. Recuperado desde http://www2.nea.org/he/abouthe/images/Quality.pdf

Kempfer, H. (1996). How to reduce dropouts in distance educa-tion. Costa Rica: Editorial euned.

Licha, I. (1996). La investigación y las universidades latinoa-mericanas en el umbral del siglo xxi: los desafíos de la globalización. México: Colección udual 7.

López, F. (1994). La gestión de la calidad en educación. Madrid, España: La Muralla

Lundberg, J., Castillo, D. y Dahmani, M. (2008). Do Online Students Perform Better than Face - to - face Students? Re-flections and a Short Review of some Empirical Findings. En “The Economics of E - learning” uoc, 5(1). Recupera-

102

do desde http://www.uoc.edu/rusc/5/1/dt/eng/lundberg_castillo_dahmani.pdf

Muñoz, C. (1992). Relaciones entre la Educación Superior y el Sistema Productivo. Recuperado desde http://www.anuies.mx/servicios/p_anuies/publicaciones/revsup/res076/txt3.htm

Muñoz, C. y Rubio, M. (1992). Investigaciones sobre las rela-ciones entre la Educación y el Empleo. El caso de Méxi-co. Educación y Escuela Colección Problemas de Política Educativa. México: Nueva Imagen.

Navarro, M. A. (1998). Consideraciones Teóricas para el Es-tudio de Egresados. Esquema Básico para Estudios de Egresados (Colección Biblioteca de la Educación Supe-rior). México: Asociación Nacional de Universidades e Instituciones de Educación Superior.

Padilla, I. (2005). Educación a Distancia: Ofrecimientos con Calidad y Eficacia. Puerto Rico: Universidad de Puerto Rico. Recuperado desde http://www.uprm.edu/ideal/her-mes2005/calidad.pdf

Pérez, C. (1991). Nuevo patrón tecnológico y educación su-perior: una aproximación desde la empresa. En Reunión Internacional de Reflexión sobre los Nuevos Roles de la Educación Superior a Nivel Mundial: el caso de América Latina y del Caribe, futuro y escenarios deseables. Retos Científicos y Tecnológicos: Vol. 3, (p. 10). Caracas, Ve-nezuela. Recuperado desde http://www.carlotaperez.org/Articulos/UNESCO%20ESP%20web.pdf

Phipps, R. y Merisotis, J. (1999). What’s the Difference? A Re-view of Contemporary Research on the Effectiveness of Distance Learning in Higher Education. Washington, DC: The Institute for Higher Education Policy. Recuperado desde http://www.ihep.org/assets/files//publications/S-Z/WhatDifference.pdf

Programa de Matemática Educativa (2000). Página Web del Programa de Matemática Educativa. http://www.matedu.cicata.ipn.mx/prome.html

103

Russell, T. (1999). The No Significant Difference Phenomenon. Chapel Hill: North Carolina State University.

Santana, P. (1997). ¿Es la gestión de calidad total en la edu-cación: un nuevo modelo organizativo? Islas Canarias, España: Universidad de La Laguna. Recuperado desde http://www2.uca.es/HEURESIS/heuresis97/v1n1-1.html

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Mathematics for students of digital arts and graphic design: a historical approachCristina Alejandro Miguel Rosas Mendoza, Leticia del Rocío Pardo Mota y Apolo Castañeda Alonso

1. Introduction

Our experience as mathematics teachers at Instituto Tecnoló-gico y de Estudios Superiores de Monterrey (itesm) in Méxi-co City shows us that students of social sciences programs do not like mathematics. Many times students choose Digital Arts, Graphics Design, Laws, Psychology and other social sciences programs just because they think that they will not take courses, which involve mathematic topics. But the curricula of the Digital Art and Animation program at itesm include three mathematics courses (Differential calculus, Integral calculus and Multivaria-ble calculus). This is very upsetting for some students.

The main problem we face is how to stimulate our stu-dents to study mathematics, even if they chose an academic program not to study mathematics. What can we tell them if they do not like mathematics? Some students even told us: “I do not need mathematics; I am an artist” or something like: “I use animation software and I do not need to learn mathematics” Finally some others asked “Why learn mathematics if I use com-puters and computers do everything?” This was our challenge.

106

2. Some experiences with the History of Mathematics

Some teachers have experienced the use of History of Mathe-matics in the classroom. There are some courses designed with activities based on original sources. Barnett et al. (2009) de-veloped a whole set of activities which deal with summation of numerical powers, Bernoulli Numbers, Logic and Truth ta-bles, Boolean Algebra, Group Theory and Gödel’s completeness theorem, etc.

Furinghetti (2007) said that teachers could use the History of Mathematics as a context where they can develop didactic ac-tivities in order to teach mathematics in a different manner than they were taught in school. Furinghetti thinks the use of history presents a great opportunity of success in education; she desig-ned and did some sequences of activities for teaching algebra.

But not everyone agrees with the use of history in the clas-sroom: Siu (2006) affirms that school teachers hesitate about the use of history of mathematics. Siu presented a list of six-teen factors that we should consider before we design didactic activities involving history. Some items of this list are “I have no time”, “I can’t improve the student’s grade!”, “Does it rea-lly help to read original texts, which is a very difficult task?”, “is there any empirical evidence that students learn better when history of mathematics is made use of in the classroom?” etc. After some discussions of the items of the list, Siu presents the advantages and disadvantages of history’s use in the classroom. Two advantages are: positive results on the affective side, stu-dents (in classes where history of mathematics is used) like the subject more. Some disadvantages are: the use of history of ma-thematics is sparse and not always positive, even if students like history they do not necessarily get better grades, it is not easy to measure the effect of using history of mathematics in class.

Demattè (2007) tried to answer some of the questions on Siu’s list. On the time factor, he argues that history’s use in class does not need new knowledge to be learnt; he also deals with the “this is not mathematics” item from Siu’s list. One year before Demattè (2006) analysed the use of some topics of ma-

107

thematics based on original sources like Egyptian, Babylonian, Greek, Roman, Mayan, and Indian numerical systems, medie-val arithmetic, etc. As a short description of his book we recall Demattè’s statement “Niente paura: non è una materia nuova da studiare ma un modo nuovo di fare matematica” (2006, p. 9) We translate this statement as “Nothing to fear: it is not a new matter to study but a new way to make mathematics”.

3. Activity in detail

The use of History of Mathematics does not exist in our clas-srooms because it is not included in the curricula. Everything we do is to define concepts, set formulas and solve exercises, the so - called “traditional teaching”. This is not a good appro-ach for our Digital Arts students because they need to use their computers and animation software.

Our course includes topics on functions, trigonometry, di-fferential calculus and integral calculus. So we decided to design a didactic activity that would lead students to search about his-tory and applications of specific mathematics topics. In order to involve our students in this activity we thought to include some students’ skills developed in other courses like programming, graphics design, animation, etc.

The didactic activity was called “The Animated History of Mathematics”. Students had to choose one of the following themes:

•  History of π.•  Trigonometry in Egypt and Babylon.•  Descartes’ Analytic Geometry.•  History of the concept of limit, and•  Newton - Leibniz controversy on calculus discovering.

As part of the original design, collaborative work should be used, that’s why students needed to be distributed in teams of four. Every team could produce its own video using Flash® ani-

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mation software. The video should last at least five minutes. Students had to select one topic, search for information about it, and write a short script for their animation. Finally each team had to show its video to the whole class. One copy of their video and the script needed to be presented to the teacher in a cd to be graded.

4. Experiences applying the activity

We have applied this activity once in a second - semester group of Digital Art and Design with 25 students. More than half of them had not studied mathematics in one or two years and most of them had not studied calculus. We asked our students why they chose Digital Art and Design as their University program; the common answer was: “I do not like mathematics”.

When we proposed the activity, students did not like it; many students replied: “just give us exercises” or “let us write a story”. We had to negotiate with them about the number of minutes the animation would last, the kind of animation, the subject, and the grading scale. When we designed the activity we thought that five minutes would be enough but students re-plied: “five minutes is too long”; after some explanations given by the students we agreed that the animation should last three minutes at least.

Students asked us to let them choose the animation tech-nique they would use. Students proposed cutout animation11, digital story board12, stop motion13, video editing14 and flash animation15. At the very beginning we thought a flash animation

11 In cutout animation we use flat characters moving in front of props and backgrounds cut from paper, card, stiff fabric or photographs.

12 In digital story board technique we create a storyboard in a special Wacom Graphic tablet by using programs like Photoshop, Toom boom, etc.

13 In stop motion technique we take a sequence of photographs of an object with a slightly different position in every photograph. This creates the illusion of movement.

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would be enough but students surprised us with their proposals; this was an unexpected students’ reaction. We were very pleased with their creativity.

Most students organized teams of four or five elements, but one student asked to work alone. We decided not to limit the students’ organization so we allowed him to work alone. We warned him that he must show his animation with the same requirements as his classmates. He agreed.

Every team needed to select and register their historical topic before starting their work. Each topic could be chosen only twice. Fortunately we had no problems because the teams chose different topics. Finally, grading was easier to negotiate. 30% of the grading course includes projects and homework, so we only had to assign 20% to the animation and the 10% remaining to other activities.

Students had three weeks to develop their animations. At the beginning of every class we asked our students to do a brief oral report of their animation status. Those three weeks were very interesting because we heard many remarks about what they were doing and how they were doing their animations. When the three weeks ended, every team presented their anima-tion to the whole class. We can say it was a very productive and interesting moment.

5. Some videos produced by students

Now we describe a few of the animations received from our students. One animation is about the history of π from Greeks to the present day. Another one is about the Newton - Leibniz invention of calculus, and the last one is on the history of trigo-nometry in Babylon and Egypt.

14 In video editing technique we choose small parts of films or tv shows to cut specific scenes. All these scenes are mixed in a different new video.

15 Flash animation is created using Adobe Flash® or similar animation software.

110

The student who chose to work alone programmed a very good animation. He used the Flash® animation software to de-velop his assignment: Music and black and white drawings are mixed to create the three - and - a - half - minute animation. He searched for information in books and the Internet to include remarks about Greece, China, India, and European countries in his animation. In image 18 we can see a collage of different frames presented.

Figure 13. History of π produced by one student with Flash® animation software.

The second animation deals with the controversy on Newton - Lei-bniz invention of calculus. Three men and two women worked as a team. Stop motion was the animation technique used by them; students took 1045 photos of two toys in slightly diffe-rent positions. Later they used Final Cut® software to create a sequence of 12 photos per second in order to generate the mo-tion. The whole animation begins as a students’ dream during

111

a mathematics class. How was calculus invented and how were Newton and Leibniz works developed? These were the driving topics of the animation, in just a few seconds they are explained; then the final argument between Newton and Leibniz in a clas-sroom is presented as the final part of the dream. At the end, the girl wakes up still in her mathematics class. Image two includes a collage of frames. The animation lasts almost four minutes.

Figure 14. Newton - Leibniz controversy in a stop motion video produced by five students

The last animation we present is based on the history of tri-gonometry in Babylon and Egypt. Two women and two men worked in a Flash® animation lasting three minutes. It begins when an Egyptian girl talks about trigonometry honestly saying she does not understand what sine and cosine means. Then a Babylonian wise man shows up and explains the meaning of trigonometry to her. Some images of pyramids and temples are

112

shown to explain sine and cosine functions. Image three shows a collage of frames.

Figure 15. Trigonometry in Egypt and Babylon video produced in cutout animation technique.

6. Conclusions

Students were really involved in the creation, design, and pro-duction of their animations. Although some students rejected the activity at the beginning, later they felt really interested and worked actively in their productions. We believe that it was a good first experience because students accepted that mathema-tics should not be boring. They also agreed that learning ma-thematics could be useful to artists and social sciences studies. We cannot affirm that students learnt how to solve integrals but it was a first step for students to get involved in their own learning.

As a final remark we can affirm that students exceeded our expectations with their creativity and commitment to their

113

productions. We are deliberating on new topics that could be included in the list of History of Mathematics topics, and we hope to obtain better results when we have other experiences with different groups.

References

Barnett, J., Bezhanishvili, G., Leung, H., Lodder, J., Pengelley, D., Pivkina, I. & Ranjan, D. (2009). Historical projects in discrete mathematics and computer science. In B. Hop-kins (Ed.), Resources for Teaching Discrete Mathematics (pp. 165 - 168). Washington, D.C.: Mathematical Asso-ciation of America

Demattè, A. (Ed.) (2006). Fare matematica con i documenti storici – una raccolta per la scuola secondaria di primo e second grado. Volume per gli student [To make mathe-matics with historical documents – a collection for the secondary school of first and second degree. Volume for the student.]. Italia: Editore Provincia Autonoma di Tren-to – iprase del Trentino.

Demattè, A. (2007). Primary sources from the history of ma-thematics for secondary school students. Acta Didactica Universitatis Comenianae Mathematics, 7, 47 - 66.

Furinghetti, F. (2007). Teacher education through the history of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 66(2), 131 - 143.

Siu, M. K. (2006). No I don’t use history of mathematics in my class: Why?. In F. Furinghetti, S. Kaijser & C., Zanakis (Eds.), Proceedings hpm 2004 & esu 4 – Revised edition (pp. 268 - 277). Iraklion, Greece: University of Crete.

Wikipedia (n.d.). Retrieved from the Wikipedia web page http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page

Aportes a la investigación en Matemática Educativa

Parte ii

117

Análisis del Discurso como Acción Social: su rol en la construcción y difusión de conocimiento matemáticoVerónica Molfino Vigo y Gabriela Buendía Abalos

1. Introducción

La Matemática Educativa se ocupa, entre otras cosas, de buscar herramientas que permitan explicar cómo se construye, adquiere y difunde el conocimiento matemático. Desde la aproximación socioepistemológica se ha reconocido que dichos procesos están condicionados a las características del contexto social y cultural en el que se llevan a cabo. Cuando los saberes matemáticos cons-tituidos socialmente en ámbitos no escolares se introducen en el sistema de enseñanza se produce una modificación en su estruc-tura y funcionalidad, influyendo a su vez en las relaciones que se establecen entre profesor y estudiante (Cantoral y Farfán, 2003).

La socioepistemología se caracteriza por considerar al conocimiento matemático como una construcción de significa-dos normada por prácticas sociales y producto de prácticas de referencia propias de un contexto determinado, a diferencia de visiones teóricas que consideran al conocimiento como un obje-to preexistente al estudiante, un cuerpo de saberes previamente consensuados como “correctos” por un grupo de personas y en un contexto ajenos a él. Se entiende a las prácticas sociales como aquéllas normativas de la actividad humana, aquello que

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hace que los individuos o grupos hagan lo que hacen (Covián, 2005) y que son generadoras de herramientas (Ferrari y Farfán, 2009). Las prácticas sociales regulan determinadas prácticas de referencia, prácticas insertas en cierta tradición científica que dan cuenta de los paradigmas de cada comunidad en un con-texto sociohistórico determinado y son observables a través de actividades humanas, de un individuo o grupo. Esta relación entre las prácticas puede verse en el esquema presentado por Montiel (2006):

Figura 16. Modelo para la cosntrucción social de conocimiento matemático.

Esta concepción del conocimiento matemático implica un cues-tionamiento acerca de cómo se estructura el discurso en torno a determinado saber en las instituciones en las que se desarrolla. En esta instancia interesa específicamente el estudio de dicho desarrollo en la institución Escuela.

Para estudiar cómo se construye la ciencia en el aula, es nece-sario no sólo analizar la manera como se describen y explican los fenómenos de la “realidad”, sino indagar los procesos con los que se construyen estos conceptos, se legitiman y se orga-nizan en teorías. (Candela, 2007, p. 32).

Ello hace necesario el análisis del discurso y su rol en la cons-trucción de conocimiento, de tal manera que se reconozca que

Práctica social

Práctica de referencia

Actividad Actividad Actividad

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lo que el docente enseña en el aula alrededor de un determina-do saber matemático es producto de un proceso. A ese proceso lo hemos denominado proceso de institucionalización y ocurre como proceso tanto en los ámbitos científicos de constitución del concepto como en los ámbitos escolares, en los que se difun-de y reconstruye (Molfino y Buendía, 2010; Molfino, 2010). En este escrito se presentan herramientas teóricas y metodológicas para ese análisis del discurso que permiten explicar los procesos a través de los cuales un determinado conocimiento matemático se construye, adquiere y difunde de la forma en que se hace en un determinado contexto sociohistórico y cultural.

El proceso de institucionalización que se presenta es el del concepto de límite en el sistema escolar uruguayo desde una perspectiva teórica y metodológica que creemos original en un estudio de matemática educativa. Esta perspectiva se caracteriza por considerar al discurso como acción social, lo que habili-ta a estudiar cada acto discursivo de los actores involucrados en el proceso educativo como una manifestación específica del escenario sociocultural en el que se produce. Ello nos permiti-ría reconocer que la enseñanza del límite, como un contenido específico del cálculo escolar, ha estado sujeta a un proceso de institucionalización con características propias del sistema uru-guayo: fuerte influencia de los sistemas educativos españoles y franceses (debida en parte a los continuos intercambios migra-torios con países europeos), una tradición oral implícita entre docentes y estudiantes que favorece la perpetuación de determi-nadas prácticas escolares y una relación particular entre autori-dades educativas y docentes, entre otras.

2. Discurso como Acción Social

El discurso en la institución escuela puede ser entendido y estu-diado de diversas maneras: un análisis discursivo que atienda a la estructura de las formas verbales en el aula (semántica, sintaxis, retórica, estilística, tipo de argumentación o procesos cognitivos

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involucrados) o un análisis que atienda a características episte-mológicas del saber que se desarrolla, o desde el punto de vista del estudiante, considerando los aspectos didáctico - cognitivos.

Desde la visión socioepistemológica que hemos adopta-do se entiende al Discurso Matemático Escolar (dme) como la manifestación del conocimiento matemático normada por las creencias del profesor y los estudiantes sobre lo que es la ense-ñanza y lo que es la matemática, por lo que dicta el currículum y por las necesidades e intereses de todos los actores de la noósfera (entendida en el sentido en que la desarrolla Chevallard (1991) en el contexto de la teoría de la Transposición Didáctica). El discurso moldea el desarrollo de la clase y establece priorida-des sobre ‘aquello’ que debe estudiarse; el tipo y características de actividades, la forma de evaluar, el tipo de planteamientos y ejercicios (Cordero y Flores, 2007). En este sentido el discurso favorece que un determinado conocimiento —y no otro— se vuelva institucional. Su análisis permitiría construir explicacio-nes sobre la forma en que se legitima cierto saber, cómo se for-man consensos en torno a su socialización.

El dme involucra a las formas orales, como el diálogo que se puede suscitar en una clase entre profesor y alumnos, pero también involucra formas escritas como los programas o los li-bros de texto seleccionados para dictar un curso (Castañeda, 2006). También conforman el discurso otros aspectos relevantes como las prácticas docentes y todo lo que hace a la formación que tiene el docente: la estructuración de sus planes y programas, los libros de texto que se recomiendan y las prácticas docentes de los formadores de profesores. Por otro lado, integran el dis-curso todas las manifestaciones –generalmente escritas– que no son consultadas frecuentemente en los cursos actuales pero que de alguna manera influyeron o influyen en la configuración ac-tual de los programas y las prácticas docentes. Ejemplos de ello serían los escritos científicos y libros de texto de antaño.

El concepto de límite es parte de un saber matemático sabio, constituido en ámbitos científicos, que se difunde en la escuela pasando por un proceso de institucionalización. En el caso de Uruguay se ha constatado a través del análisis de li-

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bros de texto, programas y entrevistas a docentes, un abordaje predominantemente formal y algorítmico (Molfino, 2010; Mol-fino, 2011), un tratamiento prácticamente exclusivo de aspec-tos intramatemáticos y la consideración del concepto de límite como el único camino posible para estructurar el resto de los conceptos introducidos en los cursos de Cálculo (como conti-nuidad y derivada).

Con dicho antecedente, en este escrito se desarrolla el aná-lisis del discurso, pero con un interés específico, que es el de analizar el papel de las prácticas escolares en torno al concepto de límite, entendidas como las prácticas de referencia en el ám-bito escolar. Ello brindaría un marco para entender el abordaje descripto del concepto de límite en el contexto educativo uru-guayo y proponer una discusión acerca de su pertinencia en este contexto. Es por eso que precisamos una visión del discurso ma-temático escolar que lo entienda como una acción social, como parte del quehacer de los actores de la comunidad escolar. Opta-mos por la visión que propone Van Dijk (2001) según la cual el discurso debe ser analizado como un fenómeno social y cultural, con el fin de comprender las relaciones entre el discurso y la so-ciedad. Existen antecedentes relacionados con un estudio de este tipo también desde la socioepistemología, aunque no se utiliza el mismo marco teórico del discurso como acción social en forma explícita: en (Soto y Cantoral, 2010) se presentan evidencias del papel hegemónico que generalmente cumple el dme, subrayan-do su relación con las sociedades en las que se desarrolla.

Desde esta perspectiva, los usuarios del lenguaje, ya sea es-crito u oral, no sólo son oyentes, lectores, escritores u hablantes, sino que son miembros de grupos, comunidades u organizacio-nes sociales por lo que su discurso manifiesta y expresa las múl-tiples propiedades relevantes de la situación sociocultural —el contexto—, a la vez que lo moldea. Además de ser moldeado por el contexto sociocultural en el que está inmerso, el discurso “constituye lo social: constituye las situaciones, los objetos de conocimiento, la identidad social de las personas y las relaciones de éstas y de los grupos entre sí” (Fairclough y Wodak, 2001, p. 367). Es importante el carácter dinámico y subjetivo que se le

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otorga a los contextos: son dinámicos en el sentido de que son flexibles, cambiantes y hasta pueden ser negociables y son subje-tivos ya que sus participantes pueden interpretar sus característi-cas de diversas maneras y considerar relevantes diferentes aspec-tos, en este sentido son considerados construcciones mentales.

Van Dijk (2001) sostiene que al hablar o escribir se reali-zan múltiples acciones de índole político o social: defender una postura, emitir una opinión, formular o responder preguntas, difundir un determinado conocimiento, representar a tal grupo social. Así, se reconoce a la formulación del discurso como una acción social con una intencionalidad específica de un colectivo dentro de un contexto sociocultural específico, lo que “sugiere una relación dialéctica entre un suceso discursivo particular y las situaciones, instituciones y estructuras sociales que lo enmarcan” (Fairclough y Wodak, 2001, p. 367). En este sentido, una inte-racción entre profesor y alumno —por ejemplo— no sólo es una forma compleja de diálogo institucional, sino que es una parte inherente de la práctica discursiva más compleja de la enseñanza. El análisis del discurso como acción social evidencia las funcio-nes sociales, políticas o culturales del discurso dentro de las insti-tuciones, los grupos o la sociedad y la cultura en general.

Van Dijk introduce al poder social como un concepto que organiza las relaciones entre discurso y sociedad. En particular, lo define como “una relación específica entre grupos sociales e instituciones” (Van Dijk, 2001, p. 40): específicamente una relación que controla las intenciones, acciones y propósitos de un grupo o de personas por parte de otro grupo o personas. El poder puede ser directamente ejercido a través de órdenes, don-de la persuasión se implementa a través de mecanismos físicos o mentales directos, o puede manifestarse a través de mecanismos más sutiles, a través de argumentos o consejos o a través de una hegemonía o la formación de consensos. El discurso es tal que hace que las personas de un grupo tengan las creencias del grupo poderoso; puede ser a través de la educación, campañas, publicidad o medios, por ejemplo, lo que sólo es posible cuando no existen otras fuentes de información y opinión, para que los dominados no puedan formarse una opinión propia, diferente a

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la del grupo dominante. En el caso de la educación, este poder lo ejercen padres y profesores, autoridades educativas, diseñadores del currículum y de los libros de texto, editoriales, políticos, organismos internacionales, entre otros.

Los grupos poderosos controlan el acceso de los recur-sos materiales y simbólicos a través del discurso controlando el contexto y las estructuras del discurso (idioma, temas, género, estructura, diseño gráfico, etc). Se genera una relación compleja de dependencia especial entre los grupos de poder y los domi-nados: los grupos de poder precisan de, por ejemplo, los medios de comunicación o el grupo de académicos para ejercer su po-der. Pero a su vez estos grupos precisan la “aprobación” de los grupos poderosos económica, social o políticamente para “so-brevivir” y continuar su acción. A su vez, el poder social no es permanente ni carente de contradicciones, eso es lo que explica los cambios históricos de poder.

Van Dijk (2001) señala que la contrapartida cognitiva del poder social son las ideologías, que establecen vínculos entre el discurso y la sociedad pero en otro nivel. Las ideologías son entendidas como representaciones mentales compartidas por un grupo: “la ideología es una manera particular de representar y construir la sociedad que reproduce las relaciones desigua-les de poder, las relaciones de dominación y de explotación” (Fairclough y Wodak, 2001, p. 392). Si bien las ideologías no explicitan directamente cómo actuar en una situación particular a cada miembro de un grupo, sí coordinan sus actos o prácticas en general, sirven para que los grupos desarrollen representacio-nes compartidas, generales y mutuamente coherentes: aseguran que los miembros de un grupo actúen en forma similar frente a situaciones similares, contribuyendo así a la cohesión grupal y la reproducción exitosa del grupo. Su función es articular los intereses colectivos del grupo y las prácticas individuales.

Esta es la perspectiva teórica desde la cual planteamos el análisis del discurso, ya que consideramos que en particular aporta herramientas para comprender el desarrollo del saber matemático en sociedad y explicitar así sus procesos de insti-tucionalización. Desde esta perspectiva, se reconoce que las ac-

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ciones que lleva a cabo una institución en la formulación de un discurso institucional producen, reproducen y/o desafían la estructura social. Cada libro de texto, la configuración de cada programa, las opciones por considerar o descartar determinado conocimiento o proceso para su enseñanza, las acciones discur-sivas de un docente en clase, todas ellas tienen implicaciones y consecuencias en la constitución del conocimiento y en los pro-cesos de enseñanza y aprendizaje. Es necesario explicitar la in-tencionalidad con que una persona, miembro de un determinado grupo, escribe un libro de texto, diseña un programa, selecciona o jerarquiza temas para dar en un curso, e incluso la manera de presentarlo. Cada acción discursiva implica un determinado propósito, genera una determinada consecuencia y responde a una determinada representación mental de los acontecimientos.

En nuestro análisis, eso se manifiesta en cada uno de los momentos del ámbito escolar que conforman el proceso de ins-titucionalización. En cada uno de ellos es necesario explicitar los propósitos, las consecuencias y las representaciones menta-les asociadas a cada acción discursiva de sus actores.

3. Principios básicos del Análisis Crítico del Discurso (acd)

El acd es un tipo particular de investigación analítica sobre el discurso, que estudia el modo en que el abuso del poder social, el dominio y las desigualdades son practicados, reproducidos y combatidos por los textos y el habla en el contexto social y po-lítico. Busca establecer nexos entre las propiedades de un texto y las estructuras y procesos sociales y culturales (Fairclough y Wodak, 2001).

Este tipo de investigación “toma explícitamente partido, y espera contribuir de manera efectiva a la resistencia contra la desigualdad social” (Van Dijk, 1999, p. 23). El acd se propone lograr que la carga ideológica de los modos particulares de uti-lización del lenguaje y las relaciones de poder subyacentes, que suelen ser aspectos opacos del discurso por no resultar eviden-tes, se vuelvan más transparentes.

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Fairclough y Wodak (2001) resumen los principios bási-cos del acd en los siguientes:

1. El acd se ocupa de los problemas sociales: más que ocu-parse de analizar teorías y paradigmas, el acd se erige como una herramienta que permite desentrañar las inten-cionalidades de los grupos —dominados y dominantes— involucrados en las situaciones en las que las relaciones entre dichos grupos es de desigualdad; de ahí que los au-tores llamen a dichas situaciones, problemas sociales. Pre-tende contribuir a desarrollar una conciencia crítica de las estrategias discursivas propias de los grupos dominantes, que a la vez podría constituirse en un recurso en la lucha contra ellos por parte de los grupos dominados.

El problema social que nos ocupa es la transición del límite como saber sabio al límite como saber escolar ya que es en dicha situación donde las prácticas de los actores se diferencian por sus intencionalidades. Vemos necesario explicitar en el discurso escolar las relaciones de poder subyacentes y cómo esas relaciones influyen en las decisiones sobre lo que debe enseñarse y la manera en que debe hacerse. En el contexto uruguayo, esta influencia en ocasiones es directa y explícita —a través de lineamientos generales de los programas de estudio— pero suele darse también en forma muy sutil, a través de libros de texto o incluso de una tradición no escrita, oral, perpetuada por las características específicas del medio escolar urugua-yo. Es por ello que en el estudio, además de considerar programas de último año de educación secundaria —op-ciones Ingeniería y Medicina— y de formación docente, y libros de texto de Cálculo (los utilizados actualmente y algunos utilizados desde la década del ’50 que han repre-sentado una fuerte influencia en el dme de docentes hasta el día de hoy), fue necesario la implementación de otro tipo de herramientas como cuestionarios y entrevistas a docentes con el fin de dar luz sobre tal tradición oral.

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2. Las relaciones de poder como elementos discursivos: el acd analiza cómo se ejercen y negocian las relaciones de poder en el interior del discurso, y le interesa además los mecanismos de poder que se ejercen para acceder al dis-curso. Este aspecto se vincula con los aspectos discursivos de la lucha por el poder y la transformación de las relacio-nes de poder.

Analizar cómo se ejercen y negocian las relaciones de poder en el interior del discurso, en el caso de esta in-vestigación, favorece la comprensión de cómo y por qué el concepto de límite se introduce, reproduce y perpetúa en los programas escolares, y por qué los profesores lo im-plementan de una manera determinada. Atender aspectos como qué grupos son los que escriben los programas de Matemática en Uruguay permitió explicitar que quienes acceden a la conformación de los lineamientos generales del discurso son los inspectores de Matemática y miem-bros de la comunidad matemática, teniendo los docentes y demás actores involucrados poco o nulo acceso. Tam-bién interesa saber por qué determinados libros de texto son los recomendados para un determinado curso, o por qué no se recomiendan libros de texto, lo que pudo desen-trañarse a través del análisis de los programas correspon-dientes y de entrevistas que dieron cuenta de la dificultad que existe en Uruguay a los libros de texto y la reticencia de los docentes a utilizarlos. Por otro lado, este tipo de análisis también permite comprender las relaciones de poder que se ejercen dentro del aula a través del discurso del profesor respecto de sus estudiantes. La investigación reportada por Soto y Cantoral (2010) aporta herramien-tas interesantes en este sentido, dando a entender que lo que generalmente llamamos fracaso es en realidad parte de un fenómeno más amplio, que denomina exclusión, y que tiene como gran responsable al dme.

3. El discurso constituye a la sociedad y a la cultura: el dis-curso constituye a la sociedad y a la cultura a la vez que es constituido por éstos. Todo acto discursivo contribuye

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a la reproducción y/o transformación de la sociedad y la cultura, por un lado, pero además ese acto está consti-tuido por personas, integrantes de grupos sociales, que son quienes conforman la sociedad. “Ahí reside el poder del discurso; y es por eso que vale la pena luchar por él” (Fairclough y Wodak, 2001, p. 390).

Este punto explicita particularmente la importancia de analizar el discurso desde esta perspectiva en una in-vestigación en la que interesa dar cuenta de los procesos de institucionalización de un conocimiento matemático, lo que está íntimamente relacionado con las relaciones de poder que se presentan entre los grupos sociales in-volucrados en la noósfera: organismos internacionales, autoridades educativas nacionales, directores, docentes, estudiantes, padres y sociedad en general.

Este punto está siendo especialmente interesante de considerar en Uruguay. Se ha desatado recientemente una discusión a nivel de la sociedad en general de la importan-cia del éxito en matemática para alcanzar el objetivo de un país tecnológicamente productivo, en contraposición a los bajos rendimientos que se vienen detectando en dicha asignatura, tanto en la escuela como en pruebas interna-cionales. Ello permite constatar cómo el discurso en torno al conocimiento matemático constituye una determinada cultura, en este caso dándole un lugar prioritario a ese tipo de conocimiento.

4. El discurso realiza una labor ideológica. Para determinar esta labor ideológica ejercida por un suceso discursivo, es necesario, además de analizar los textos, tener en cuenta cómo se interpretan y reciben esos textos, y qué efectos sociales tienen.

En nuestra investigación, este principio se tiene en cuenta, principalmente, cuando se analizan programas y libros de texto. A través de entrevistas y cuestionarios a docentes se pretende dar cuenta, entre otras cosas, de cómo interpretan y reciben dichos programas y libros de texto, y qué influencia tienen sobre sus prácticas. Debido

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a un reciente cambio en los programas en Uruguay, se hi-cieron explícitas ciertas nociones y prácticas compartidas en torno al concepto de límite, dado que algunos de los docentes se resisten a los nuevos contenidos y metodolo-gías. Ello puso de manifiesto una determinada ideología detrás de su discurso en torno al concepto de límite, en ocasiones concordante con las características que descri-biéramos en el apartado 2.

5. El discurso es histórico: para comprender el discurso es necesario analizarlo en su contexto histórico.

Por eso no sólo se analizan los libros de texto o pro-gramas actuales, sino que es necesario ubicarlos dentro de un contexto más general, conocer las características del sistema educativo al cual pertenecen, indicar cuáles fueron los libros de texto y programas utilizados anterior-mente, explicitar las diferencias y similitudes. Esos aspec-tos se desarrollan en detalle en Molfino (2010).

6. El vínculo entre el texto y la sociedad es mediado: a través de los órdenes del discurso, de los procesos sociocogni-tivos o de las prácticas de los actores sociales. Por ello es importante explicitar los recursos cognitivos que los actores sociales utilizan en su práctica y la relación entre las representaciones individuales y grupales.

En la investigación, esta mediación es explicada a través de las prácticas de los actores de la noosfera. Co-bran especial relevancia las autoridades educativas en ge-neral e inspectores de Matemática, como representantes específicos frente a los docentes, y su mediación con el colectivo de docentes propiamente dicho, que son quienes implementan las directivas generales en el aula.

7. El análisis del discurso es interpretativo y explicativo: un mismo discurso puede interpretarse de maneras distintas según quién lo recibe, la cantidad de información contex-tual que incluye y la que tiene el receptor. El acd pretende reducir la variedad de interpretaciones posibles.

En esta investigación, es fundamental el hecho de que quien la llevó a cabo es, además de investigadora,

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docente que trabaja en el propio sistema que está des-cribiendo. Eso aporta un conocimiento indispensable del contexto, que permite mostrar las distintas implicaciones de las diferentes lecturas para la acción social. Esta posi-ción particular facilita la identificación de intereses y sen-tidos que existen atrás de todo acto discursivo. Se busca así una lectura explicativa, a la vez de interpretativa, del discurso en el contexto matemático escolar. Vale destacar que este punto implica también que la lectura realizada es propia y dinámica: el análisis del discurso desde esta perspectiva depende del conocimiento que se tenga del contexto que se analiza.

8. El discurso es una forma de acción social. En ese sentido, el objetivo principal del acd es poner de manifiesto la opacidad en las relaciones de poder. Con esto se busca provocar cambios en el discurso y las relaciones de poder dentro de las instituciones, como puede darse en el caso de los discursos sexistas o racistas, por ejemplo, que es-tán íntimamente ligados a formas de exclusión. En este sentido, el discurso de un profesor de matemática puede resultar sumamente excluyente (Soto y Cantoral, 2010), especialmente en un medio como el uruguayo que está priorizando especialmente el conocimiento matemático y tecnológico para la inserción laboral.

Este trabajo busca promover una discusión en el ámbito docente y educativo en general acerca de las prác-ticas educativas en torno al concepto de límite y a su rol en la estructuración del cálculo. La generación de un cam-bio en las relaciones de poder dentro de las instituciones implica una discusión profunda entre todos los actores involucrados en el ámbito escolar, donde se expongan ar-gumentos y unifiquen criterios. Es por eso que se busca aportar elementos a la discusión acerca de si es adecuada la consideración de alternativas para el tratamiento esco-lar del concepto de límite.

Entendemos que este tipo de Análisis del Discur-so constituye la herramienta necesaria para estudiar las

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prácticas escolares de los actores en el medio escolar, en relación específica a la introducción y tratamiento en el sistema escolar uruguayo del concepto de límite. Para comprender el discurso actual, es necesario comprender el contexto social e histórico del ámbito educativo urugua-yo, qué es lo que lo influencia y constituye determinados aspectos de su ideología. Así, cada una de las componen-tes analizadas aporta elementos para comprender cómo las acciones discursivas de cada uno de los actores de la noósfera influyen sobre la conformación de la sociedad, especialmente la sociedad matemática escolar en Uruguay, y recíprocamente cómo los diferentes grupos sociales y sus prácticas norman el discurso.

Esta herramienta nos permite entender a las diver-sas manifestaciones del discurso —las concepciones de los docentes sobre sus prácticas de aula y la enseñanza en general, la evolución en los libros de texto y la evolución en los programas— como diferentes aspectos del proceso de institucionalización del concepto de límite en el ámbi-to escolar.

4. El Análisis Crítico del Discurso en el análisis del proceso de institucionalización escolar del límite

Presentación del escenario en el que se implementó el acd

Para llevar a cabo el análisis crítico del discurso se utilizaron como insumos los programas vigentes y anteriores a los vigentes del curso de Matemática de último año de Educación Secunda-ria en Uruguay —opciones “Medicina” e “Ingeniería”— y de la materia Análisis I, correspondiente al segundo año del profe-sorado de Matemática en los Institutos de Formación Docente; entrevistas y cuestionarios realizados a profesores en servicio y retirados; libros de texto señalados por dichos profesores en

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las entrevistas y que figuran en las bibliografías de los progra-mas actuales (Belcredi, Deferrari y Zambra, 2001; Giovannini, 2001); libros de texto “de antaño” utilizados como referencia en los cursos de Secundaria y Formación Docente desde la segunda mitad del siglo xx (Rey Pastor, 1962; Rey Pastor, Pi Calleja y Trejo, 1952) y apuntes que un profesor del Instituto de Profe-sores de Montevideo confeccionara para sus estudiantes, el cual es de suma importancia por su influencia sobre las concepciones y creencias de futuros docentes sobre lo que es el Cálculo y su enseñanza, así como sobre sus prácticas educativas futuras.

La sociedad uruguaya y en particular su contexto educati-vo tienen características específicas que incidieron sobre la elec-ción de tales actos discursivos. Puede encontrarse un desarrollo detallado de los objetivos perseguidos con la implementación de cada una de estas herramientas, sus características y los resul-tados recabados en Molfino (2010), así como una presentación detallada del contexto en el que estos actos se inscriben. Men-cionamos, a modo ilustrativo, que la sociedad uruguaya está constituida básicamente por inmigrantes europeos provenientes de diferentes movimientos migratorios a lo largo de la historia. Ello hace que se mantengan estrechos vínculos con las cultu-ras española, francesa e italiana, específicamente. En el aspecto concreto de la matemática educativa, ello se ve reflejado en una influencia de la misma sobre los planes y programas, así como en los libros de texto utilizados o incluso los confeccionados por autores uruguayos.

Otro aspecto interesante a destacar es que por diversos motivos —económicos pero también de la propia idiosincrasia docente— no está difundido entre docentes el uso masivo de un único libro de texto para sus clases: los cursos en general no se estructuran en función de un solo libro de texto, sino que el docente estructura el mismo utilizando diferentes insumos, que pueden ser libros pero también apuntes suyos o de colegas. Ello hizo necesario el análisis de las opiniones docentes, a través de entrevistas y cuestionarios, con el fin de desentrañar una tradi-ción oral que permite que determinadas prácticas educativas se

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instalen como aceptadas entre el colectivo docente y consensua-da por mecanismos no visibles a través del estudio exclusivo de libros o programas.

Se realizaron así tres entrevistas: la primera a un profesor con más de 50 años de experiencia en el sistema educativo en secundaria, formación de profesores y universidad con el fin de conocer sus creencias acerca de la construcción de la vida escolar del concepto, más allá de lo que puedan indicarnos documentos oficiales o libros de texto. En la misma se ahondó sobre cuáles eran los libros de texto utilizados desde mitad del siglo xx y la influencia de los ‘apuntes’ de algunos profesores tomados como referencia por el resto de la comunidad educativa.

Las otras dos entrevistas se realizaron a dos profesores con una experiencia de 20 años en promedio, con el fin de cono-cer su opinión acerca de un reciente cambio en los programas.

Antecedentes del proceso de institucionalización del límite

El objetivo de la investigación es analizar el proceso a través del cual el concepto de límite se ha constituido para explicitar las razones por las que se presenta en el ámbito escolar de la manera en que se hace actualmente en el contexto educativo uruguayo. Ello implica, como punto de partida, haber desentra-ñado cómo el concepto de límite se constituye como un saber validado, parte de un cuerpo ordenado de conocimientos social y culturalmente aceptados; esto es, la evolución del concepto al seno de la comunidad científica matemática.

Molfino (2010) distingue cinco etapas en la evolución del concepto de límite, caracterizadas, respectivamente por: la ri-gurosidad en las demostraciones (Grecia Antigua), los métodos infinitesimales y el trabajo intuitivo con poca fundamentación (Renacimiento, hasta S. xvii), transformación de fundamentos del análisis infinitesimal (S. xviii), aritmetización del análisis (S. xix y principios de S. xx) y consideración de los espacios topológicos como generalización de los métricos (S. xx a la ac-

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tualidad). Tal estudio permitió detectar tanto prácticas sociales como prácticas de referencia normadas por las primeras.

Las prácticas sociales se identificaron a través de una re-visión bibliográfica en libros de texto de antaño y recopilacio-nes sobre historia de la Matemática y son propias de los acto-res del ámbito científico, aquellas que norman la generación de conocimiento relativo al límite: formalización, entendida como un proceso que sistematiza y da coherencia a un corpus mate-mático a través de una estructura lógico - simbólica apropiada; generalización de los conceptos involucrados a nuevas situa-ciones para resolver nuevas problemáticas) y difusión de los saberes matemáticos

Este análisis dio lugar a la consideración de cuatro prác-ticas de referencia: Matematización del cálculo en un ambiente geométrico - estático, normada por la formalización; matemati-zación del movimiento en un ambiente geométrico - dinámico, normada por la predicción16; la aritmetización del análisis en am-biente algebraico - analítico, normada por las tres prácticas a la vez (formalización, generalización y difusión) y la generalización del análisis a ambiente topológico, normada por la generaliza-ción.

El proceso de institucionalización escolar del límite

Al entender el discurso matemático escolar alrededor del límite de funciones como acción social podemos entender cómo aquellas prácticas sociales —formalización, generalización y di-fusión— norman las prácticas de referencia de los actores del ámbito escolar. Ello dio lugar a la identificación de tres ‘momen-

16 Esta práctica no está vinculada necesariamente al concepto de límite sino que está involucrada en la generación de otros conceptos del cálculo, por eso no se la identificó como una de ellas pero sí se menciona por ser parte del proceso general en el que se desarrolló el concepto de límite.

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tos’ en este proceso de institucionalización: diferentes fases que se pueden distinguir cuando queremos reinterpretar las prácti-cas sociales en la institución escuela.

Esos momentos pueden describirse en función de los acto-res de la noósfera que participan con más protagonismo en cada uno y de los roles que dichos actores desempeñan:

a) El tránsito del concepto “límite funcional” desde la co-munidad científica hacia la escuela

b) Las interacciones entre docentes y entre docentes y auto-ridades educativas

c) El desarrollo del concepto de límite en el aula

Si bien la palabra proceso puede sugerir la idea de observar algo en el transcurso del tiempo, en la investigación se propone un corte transversal del sistema en su conjunto, que no se caracte-rice necesariamente por etapas cronológicas sino que permita una explicación a través de las prácticas de los actores de cada ámbito. Así, estos momentos transcurren simultáneamente y no uno a continuación del otro. Cualquiera de ellos es dinámico en el tiempo e influye continuamente sobre los demás

Momento ‘a’: transición del ámbito científico al ámbito escolar

En este momento nos centramos en la descripción de prácticas y actividades de los actores de la noósfera que favorecen el tránsito del concepto ‘límite funcional’ desde el ámbito científico hacia el ámbito escolar. Estas prácticas de referencia y actividades es-tarían normadas por las prácticas sociales detectadas en el ám-bito científico —formalización, generalización y difusión— que se reinterpretan a la luz del paradigma específico en el ámbito escolar.

Son múltiples los actores que participan en este momento, y sus interacciones discursivas pueden ser vistas ellas mismas como relaciones de poder. Por un lado, el hecho de que Uruguay se vea obligado a solicitar préstamos a los organismos interna-cionales de crédito (Banco Interamericano de Desarrollo, Banco

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Mundial) crea con sus autoridades una determinada relación de dependencia que lo obliga, ya sea explícita o implícitamente, a seguir determinadas políticas educativas pautadas del exterior. Tal es el caso de la reforma para Educación Secundaria en el año 1996, impuesta a pesar de las firmes resistencias de grupos de docentes, padres y estudiantes. Este aspecto condiciona, por sí solo, la manera de actuar de las autoridades educativas ge-nerales en Uruguay, de los directores de institutos primarios y secundarios y de los docentes, que son quienes deben efectivizar tales políticas educativas en sus prácticas cotidianas de aula.

Por otro lado, estas políticas educativas no sólo influyen sobre la conformación general de un plan de estudio, sino tam-bién sobre los currículos concretos de las asignaturas y los libros de texto que se publican y recomiendan para difundir. En el caso de Matemática, estos lineamientos no están siempre sujetos a los resultados de investigación reciente en Matemática Edu-cativa. Vemos entonces las relaciones de poder ejercidas sobre quienes confeccionan programas y escriben libros de texto, que se ven sujetos a restricciones específicas.

En Uruguay, la mayoría de los programas de Secundaria (y específicamente los analizados en esta investigación) son confec-cionados por la Inspección de Matemática, organismo dependien-te del Consejo de Educación Secundaria, y conformado por cinco miembros con vasta experiencia como profesores de Matemática y que concursan específicamente para ese cargo. Esta Inspección se encarga entre otras cosas de diseñar e implementar lineamien-tos de acción específicos en el área de la educación matemática en el nivel secundario, a través de la coordinación y evaluación de los docentes de Matemática de todo el país. En ocasiones con-sultan a matemáticos para la confección de los programas y no es común que consulten a profesores en servicio. Esto sugiere una preocupación por parte de los inspectores que el contenido de los programas esté acorde a lo validado por la comunidad matemá-tica, considerando que con esa práctica se asegura una transición consensuada desde el ámbito científico al escolar.

Sin embargo, la visión de la comunidad matemática es otra. En un artículo publicado en un diario de la capital sobre

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el fracaso escolar en Matemática y el temor a la asignatura, se entrevista a Omar Gil, un matemático docente e investigador del Instituto de Matemática y Estadística de la Facultad de Inge-niería de la Universidad de la República. Sostuvo que la calidad de la formación docente obstaculiza la comprensión de todo lo que rodea al estudiante y, en particular, la concreción del pro-yecto de Uruguay productivo que se promueve desde el gobier-no. Mantuvo que “lo que circula es lo que existía en el siglo xix con la visión del siglo xix” (Orfila, 2010, agosto 14, p. 19). Y en el artículo se concluye que “también influye el divorcio entre la comunidad científica y la Administración Nacional de Educa-ción Pública, por el cual la primera no participa de la definición de los programas y planes de estudio” (p. 19). Esto estaría su-giriendo que los actores de la comunidad científica sienten que su opinión debería ser tomada en cuenta para la confección de esos programas, pero las autoridades de la educación pública no lo hacen. Esto da muestras de la complejidad que presentan los procesos de institucionalización del conocimiento matemático en Uruguay.

Estas relaciones de poder también se explicitan en la con-fección de libros de texto como acto discursivo: tal cual se des-prende del análisis de los libros de texto de Análisis o Cálculo, los actuales (Belcredi et al., 2001; Giovannini, 2001) están ba-sados, en cuanto a su estructura formal, en los que nosotros denominamos ‘de antaño’ (Rey Pastor, 1962; Rey Pastor et al., 1952). Estos a su vez son libros extranjeros, que imponen de-terminadas prácticas escolares que no fueron pensadas para la situación específica de Uruguay ni para la actualidad.

Tanto los programas como los libros de texto ejercen una influencia sobre el “deber ser” de los docentes: sugieren una de-terminada manera de ver el cálculo y dentro de ella el concepto de límite. Esta influencia fue analizada a través de entrevistas a docentes desarrolladas en el marco de la investigación para ana-lizar las reacciones de los docentes ante las modificaciones en los programas. Insistiremos sobre la manera en que esta influencia se ejerce cuando analicemos las relaciones de poder que se dan en el momento ‘b’ del proceso de institucionalización.

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Todos los elementos discursivos que hemos analizado son evidencias de cómo el discurso constituye a la sociedad y su cul-tura; en este caso a la sociedad conformada por el sistema edu-cativo, específicamente en lo que hace a la matemática, pero he-mos visto que esto influye también sobre los actores de la socie-dad en general, no tan directamente relacionada con ese sistema educativo. Pero ese vínculo es dialéctico: los actos discursivos que miembros de la sociedad realizan condicionan el discurso escrito (libros de texto y programas) y el discurso oral (prácticas de aula), incluso en cuestiones que podrían considerarse técni-cas, como el qué conceptos matemáticos trabajar y cómo.

A partir del análisis realizado se puede distinguir la ideo-logía que pretende imponer cada uno de los actores de la noós-fera, como miembros de un grupo social, a través de su discurso. Por ejemplo, las autoridades de los organismos internacionales influyen sobre determinada manera de representar y compren-der al sistema educativo y a su relación con la sociedad. Esta influencia no siempre es de manera explícita, a través de con-diciones para sus préstamos, puede darse también a través de la capacitación de determinados miembros “clave” del sistema educativo —en este caso uruguayo—, que por su rol en él tienen la capacidad de difundir masivamente lo aprendido. También quienes escriben los libros de texto o los programas de estudio sugieren a través de esos elementos discursivos una determinada ideología acerca de cómo se debe enseñar la matemática, cuáles son los contenidos a tratar y cuál es la estructuración que se le debe dar a los mismos.

En este momento ‘a’ de la institucionalización del concep-to de límite se aprecia claramente cómo el discurso sobre el con-cepto de límite presente en libros de texto y prácticas docentes es meramente histórico, y para comprenderlo y analizarlo desde esta perspectiva es necesario conocer a fondo las circunstancias socio - culturales en las que se manifiesta cada uno de sus ele-mentos, lo que permite identificar los intereses y sentidos que existen detrás de los actos discursivos. La entrevista realizada al docente con más de 50 años de experiencia ya mencionada dio cuenta de ello ya que brindó evidencias sobre la manera en que

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el concepto de límite llegó a nuestras aulas de la forma en que es tratado hoy en día, evidentemente desde la visión de este profe-sor. Pudo constatarse que si bien algunos libros de texto fueron influyentes para la conformación de esos primeros cursos, uno de los aspectos que más influyó fue la difusión de apuntes de clase escritos e impresos por los propios alumnos. Esos apuntes constituyeron una fuente validada para la preparación de clases durante muchos años.

A manera de reflexión final del análisis de este momento, vimos que en la transición del ámbito científico al escolar ha influido fuertemente el paradigma de “Aritmetización del análi-sis” (Molfino, 2010) desarrollado entre el siglo xix y principios del xx. La formalización y búsqueda de generalización como prácticas sociales norman una práctica de referencia que hemos identificado como “conformar el concepto de límite, entendido como un saber sabio, en un saber a enseñar”. Y dicha práctica de referencia, que por momentos no es implícita para los actores involucrados en este momento, se explicita en actividades obser-vables, como la confección de libros de texto, apuntes, planes y programas, conformando una determinada manera de estructu-rar el cálculo y un determinado rol del límite como eje central de dicha estructuración. Consideramos que la explicitación de las relaciones de poder subyacentes a los actores de la noósfera en este momento puede significar cambios en las decisiones sobre qué conocimientos matemáticos tratar y cómo.

Momento ‘b’: interacciones entre docentes y entre docentes y autoridades educativas

En este momento interesa explicitar cómo el interactuar entre docentes y entre docentes y autoridades educativas, entendido como práctica de referencia en este ámbito escolar, influye en sus concepciones sobre la matemática y la enseñanza y sobre sus actividades concretas de aula, específicamente en lo que hace al tratamiento escolar del concepto de límite.

Las autoridades educativas entablan, a través de su dis-curso y de sus prácticas, una relación de poder con los docentes.

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Específicamente los inspectores de Matemática son quienes se encargan de difundir los programas y su implementación a tra-vés de reuniones con docentes. En estas reuniones se sugieren determinados lineamientos en cuanto al orden y jerarquía de los temas y sugerencias metodológicas. A su vez, estos mismos inspectores evalúan a los docentes durante el año lectivo a tra-vés de visitas puntuales (se observa una hora de clase y se ana-liza la ‘libreta del profesor’, libreta en la cual el docente debe llevar anotado el desarrollo del curso y las evaluaciones de sus alumnos). Uno de los aspectos que analizan los inspectores para su juicio (conceptual y numérico) es la adecuación del curso al programa propuesto según lo escrito en la ‘libreta del curso’ y la adecuación de la metodología empleada por el profesor a la me-todología sugerida en aquellas reuniones. El puntaje otorgado en esta visita tiene una gran incidencia sobre el lugar que ocu-pa el docente evaluado en la lista que se confecciona cada año para la elección del lugar y nivel educativo en el que ejercen los profesores, por lo que es sumamente importante para el docente alcanzar una buena calificación para poder asegurar una mejor fuente laboral al año siguiente. Este mecanismo sugiere que es posible que los docentes sientan cierta presión por el juicio que las autoridades elaboran. Los inspectores podrían establecer así una relación de poder para con los docentes, viendo facilitada una determinada labor ideológica ejercida por su discurso.

Además de las horas de docencia directa, está contem-plado que los docentes tengan reuniones de coordinación entre ellos y con inspectores, las cuales serían la vía a través de la cual el discurso desarrollado por las autoridades (inspectores) incide sobre las concepciones que los docentes tienen de la Matemática y su enseñanza, concepciones que fueron analizadas a través de un cuestionario aplicado a profesores en servicio. Las prácticas discursivas que se desarrollan en estas reuniones favorecen a la constitución de grupos dentro de una sociedad más grande, que es la de todos los docentes de Matemática del país, así como a la constitución de una determinada cultura.

Vemos cómo también en este momento es importante la consideración del discurso dentro de un determinado contexto

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social, histórico y cultural para comprender su naturaleza y lo-grar un análisis explicativo e interpretativo a la vez. Por ejem-plo, es importante señalar que si bien en la actualidad existen en forma curricular esas reuniones de coordinación entre docentes que mencionamos, no son éstos los únicos mecanismos a tra-vés de los cuales se norman las prácticas de los docentes. Influ-yen también otros elementos, como características propias de la formación de profesorado en Uruguay: en dos de los cuatro años de la carrera de profesorado de Matemática los estudiantes asisten durante todo el año a observar clases de profesores ya egresados, lo que fortalece esa ‘tradición oral’ ya mencionada. En el último año de la carrera los estudiantes de profesorado tienen un grupo a cargo, pero supervisado por un profesor de Didáctica de la Matemática y con un grupo de compañeros de referencia, lo que también influye en esa conformación de repre-sentaciones mentales compartidas por el grupo.

Según uno de los principios del acd, el vínculo entre el texto y la sociedad es mediado. Consideramos que este momen-to del proceso de institucionalización es en el que más patente se hace tal mediación, a través de las autoridades educativas, entre los textos (libros y programas) y los docentes.

En suma, los elementos discursivos analizados a la luz de este momento específico del proceso de institucionalización nos permitieron identificar una práctica de referencia que denomi-namos “Intercambiar opiniones sobre la implementación del modelo del límite como saber a enseñar”, en la que las activida-des de inspectores y autoridades en general estarían permeando, implícita o explícitamente, la concepción de la matemática y de su enseñanza de los docentes, específicamente en lo relativo al concepto de límite. En este momento, las actividades obser-vables a través de las cuales se puede identificar la práctica de referencia son las reuniones entre docentes y autoridades, en las que las autoridades explicitan sus intenciones acerca de cómo deben ser entendidos los contenidos a enseñar y fijan pautas para su enseñanza, las reuniones de coordinación entre docentes en donde se discuten y unifican criterios para viabilizar aquellas pautas, la evaluación docente por parte de las autoridades y el

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plan de formación docente, específicamente en lo que hace a su formación en didáctica (en donde el estudiante de profesorado asiste durante dos años a observar cursos de docentes ya egre-sados, y finaliza su carrera con un año entero en el cual tiene un grupo a cargo con la supervisión del profesor de Didáctica de Matemática).

Momento ‘c’: Prácticas educativas en el aula

Identificamos este momento como aquél en el que se explicita de qué manera las prácticas educativas concretas de aula, enten-didas como prácticas de referencia y llevadas a cabo a través de determinadas actividades discursivas, han sido normadas por las prácticas sociales que se evidencian a través de los elementos del discurso analizados hasta el momento y cómo influyen ellas mismas en el proceso de institucionalización de un determinado saber respecto al concepto de límite funcional.

Dado que en este momento ubicamos como protagonistas a los docentes y a sus prácticas, y que estos docentes cumplen múltiples roles en el sistema educativo, se pueden distinguir al menos tres tipos de relaciones de poder: las que las autorida-des educativas ejercen sobre los docentes (ya explicitadas en los apartados anteriores pero que tienen un estrecho vínculo con este momento del proceso de institucionalización), las que la sociedad en general ejerce sobre los docentes, a través de sus crí-ticas, demandas y exigencias (que puede identificarse, por ejem-plo, a través de los artículos como el ya citado (Orfila, 2010, agosto 14) ) y las que los docentes ejercen sobre los estudiantes a través de sus prácticas.

Respecto de esta última, diremos que así como los docen-tes son evaluados por los inspectores, también los estudiantes son evaluados por los docentes, lo que sugiere un interés por parte del estudiante de aprender y lograr reproducir el discurso que el docente le ofrece. Algunos de los docentes que respondie-ron al cuestionario mencionado manifiestan no evaluar directa-mente la definición de límite, pero los que lo hacen lo evalúan atendiendo a aspectos formales, del tipo “aplicar la definición de

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límite para demostrar que un límite dado es un número dado” o cambio en el orden de los cuantificadores para que los estudian-tes detecten la diferencia, o cuestionamientos sobre la existencia o no de la imagen de un punto del dominio en el que no existe el límite de la función. Por su parte, en los libros de texto se atien-den más bien aspectos algorítmicos del concepto de límite para la evaluación, prácticamente no se evalúa en forma explícita la definición sino la operatoria de límites.

En este momento se detecta con claridad cómo el discurso de los docentes constituye a la sociedad y a la cultura, a la vez que es constituido por ellas dado que el docente es miembro de un grupo social, y que como tal sus concepciones son influidas por las del grupo y las exigencias externas que tiene ese grupo (de las autoridades, de sus profesores o la formación en general que haya recibido, de la sociedad en general que exige más nivel de aprobación en matemática, etc.). Ello se traduce en un conflicto que viven los docentes y que pudo entreverse en las respuestas de algunos de ellos al cuestionario: por un lado, sostienen que es importante la introducción del concepto de límite porque es cen-tral en la estructuración del cálculo, para el desarrollo de otros conceptos como el de derivabilidad. Esto produce que realicen una labor ideológica en sus clases, dado que transmiten esa ma-nera determinada de comprender el concepto de límite dentro del cálculo. En este sentido los docentes se ven influenciados por lo que las autoridades plantean en los programas, por la presen-tación del tema en los libros de texto y, muy probablemente, por su formación inicial: no sólo por cómo estaba estructurado el tema en los currículos escolares de su época sino además por las prácticas docentes de sus propios profesores. Pero por otro lado, los docentes que responden al cuestionario reconocen que este es un tema difícil para los estudiantes por el grado de abstrac-ción que requiere, y que por eso sería posible pensar en no reali-zar un tratamiento formal del mismo en cursos de opciones que no requieran una carga horaria extensa de matemática, como la opción Derecho, por ejemplo. Eso podría estar dando cuenta de la influencia de las exigencias de un mayor índice de aprobación por parte de la sociedad.

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Es decir, las prácticas sociales detectadas influyen en for-ma implícita sobre los actores, en este caso los docentes, especí-ficamente sobre las decisiones que realizan en sus clases, y que se explicitan en actividades concretas de aula, como la forma en que organizan una clase o los ejemplos que proponen, están en realidad condicionadas por toda una estructura institucional. Y en eso radica la importancia del reconocimiento de todo un proceso de institucionalización, en el cual el docente está inmer-so como un actor que en cada momento de dicho proceso va cumpliendo diferentes roles.

Puede apreciarse también la labor ideológica del discurso en las entrevistas realizadas a raíz del cambio en los programas. Por un lado, el cambio en el enfoque metodológico y conceptual de los programas constituye en sí una labor ideológica, ya que se pretende modificar una representación mental compartida por el grupo de docentes de matemática. Se pretende con ello asegu-rar que el grupo de docentes desarrolle prácticas educativas si-milares, favoreciendo de esa manera su cohesión. Por otro lado, la resistencia que los docentes manifiestan sobre algunos aspec-tos del programa sugiere una determinada ideología persistente en su discurso, caracterizada por la necesidad de formalizar los conceptos con los que se trabaja en el curso, y que contribuye a que los docentes mantengan prácticas educativas características de la metodología de trabajo de los programas anteriores, según ellos mismos manifiestan. Vemos nuevamente cómo las decisio-nes de los docentes están en realidad condicionadas por toda una estructura institucional, que desarrolla prácticas de referen-cia que norman la actividad del docente.

En suma, reconocemos en el discurso de los docentes una forma de acción social, en la cual se difunde e institucionaliza una determinada manera de conceptualizar al límite. En el caso de las prácticas escolares en Uruguay, especialmente en el curso de la opción Ingeniería, estas prácticas se caracterizan por el acento en el rigor y la estructura de los demás contenidos del curso en torno al concepto de límite. Hemos denominado a la práctica de referencia de este momento “Implementar el límite como saber a enseñar” y consideramos que las actividades ex-

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plícitas de los docentes a través de las cuales puede observarse esa práctica son el diseño e implementación de actividades di-dácticas para desarrollar diferentes contenidos, específicamente el de límite, el tipo de ejemplos, ejercicios y problemas que se proponen y la evaluación a estudiantes.

5. Discusión

En el siguiente esquema presentamos un resumen del análisis crítico del discurso identificando el rol de las prácticas en el pro-ceso de institucionalización del límite. Vemos que las prácticas sociales permean, normando, lo que ocurre en la institución es-cuela. Se sintetizan las prácticas de referencia y las actividades propias de cada momento haciendo evidente los actores y los diferentes actos discursivos ampliamente discutidos en la sec-ción anterior.

Tabla 2. Descripción del proceso de institucionalización en el ámbito escolar a través de las prácticas de los actores en cada momento

Momento ‘a’ Momento ‘b’ Momento ‘c’

Actores de la noósfera

• Comunidad matemática

• Autoridades educativas nacionales e internacionales

• Autores de libros de texto y programas

• Sociedad en general

• Autoridades educativas nacionales

• Docentes

• Docentes

• Estudiantes

Prácticas de referencia

• Conformación del límite - saber sabio como un saber a enseñar

• Intercambio de intenciones sobre la implementación del modelo del límite como saber a enseñar

• Implementación del límite como saber a enseñar

Des

crip

ción

de

mom

ento

s

Prácticas sociales: Formalización - Generalización - Difusión

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Momento ‘a’ Momento ‘b’ Momento ‘c’

Actividades

• Confección de planes y programas

• Diseño de libros de texto y ‘apuntes de profesor’.

• Reuniones entre autoridades y docentes

• Evaluación docente por parte de las autoridades

• Formación docente

• Diseño e implementación de actividades didácticas

• Desarrollo de temas

• Propuesta de ejemplos

• Problemas y ejercicios

• Evaluación

Características y consecuencias de los actos discursivos

• Influencia del paradigma desarrollado en la cuarta etapa del proceso de institucionalización en el ámbito científico: formalización se transmite a programas y libros de texto.

• Presentación de la definición en una forma general, compatible con una definición general de función.

• Énfasis en actividades algorítmicas, especialmente en libros de texto.

• En programas existe un cambio en la metodología propuesta, pero la estructuración del curso se mantiene

• El discurso como acción social entre autoridades y docentes opera de mediador entre programas diseñados y prácticas de aula

• Evaluación docente juega un papel importante en la institucionalización de determinadas prácticas

• Discurso entre docentes y entre docentes y autoridades favorece la conformación de una ideología compartida en subgrupos dentro del grupo de docentes

• Interés por generar estructuras que permitan una profundización en cursos posteriores tanto en los programas de los cursos como en los cuestionarios realizados a docentes

• Presentación de la definición en términos de épsilon - delta.

• Uso de cuantificadores

• Presentar de un curso ordenado y lógicamente secuenciado

• Importancia otorgada al simbolismo y rigor

• Prácticas educativas de docentes, especialmente la evaluación de estudiantes juega un papel importante en la institucionalización de determinada concepción del cálculo y del concepto de límite.

• Resistencia al cambio en los programas por parte de los docentes sugiere una perpetuación de esa concepción (con énfasis en los aspectos formales y el concepto de límite como estructurador del resto de los conceptos tratados en el curso)

Des

crip

ción

de

mom

ento

s

Prácticas sociales: Formalización - Generalización - Difusión

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6. Comentarios Finales

Se ha presentado una herramienta metodológica particular para el análisis del discurso entendido como acción social: el análisis crítico del discurso. Esta herramienta busca relacionar las ca-racterísticas del discurso con los procesos socioculturales y nos permite tomar postura respecto al poder social, el dominio y las desigualdades, cómo son practicados, reproducidos y comba-tidos por los textos y el habla en el contexto social y político. Este tipo de análisis del discurso permitió explicitar las prácticas de referencia de los actores en torno a la transición de un saber sabio a un saber escolar, y en definitiva cómo influye el discurso en la construcción y difusión de conocimiento matemático.

En particular, para el caso del concepto de límite en el contexto educativo uruguayo, se reconoció que tal transición se da a través de todo un proceso, denominado proceso de institu-cionalización. Como parte inicial del proceso se reconoce lo que ocurre en el ámbito científico; las prácticas sociales identificadas en tal proceso fueron las de formalización, generalización y di-fusión. Es a través de ellas, y no de los conceptos involucrados, que explicamos el tránsito del saber acuñado en ámbitos cientí-ficos al saber enseñado en la institución escolar. Estas prácticas sociales se reinterpretan de forma diferente según el paradigma vigente en cada ámbito, dando lugar a prácticas de referencia. Mediante el análisis crítico del discurso, se logra analizar lo que ocurre en el ámbito escolar. Así, se diferencian tres momentos: el tránsito del concepto “límite funcional” desde la comunidad científica hacia la escuela; las interacciones entre docentes y en-tre docentes y autoridades educativas y las prácticas educativas en el aula.

La formalización en el contexto escolar uruguayo se tra-duce en la presentación de la definición en términos de épsi-lon - delta y el uso de cuantificadores, el énfasis en la necesidad de tratar el concepto de esa forma para presentar un curso or-denado y lógicamente secuenciado y la importancia que se le otorga al simbolismo y al rigor. Ello se vio reflejado a través de la implementación del acd en todos los elementos discursivos

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estudiados: programas, libros de texto, apuntes de profesores, cuestionarios y entrevistas a docentes.

En el desarrollo del concepto de límite en los libros de texto se puede observar cómo la práctica de generalización nor-ma la manera en que éste es presentado: si bien en algunos se presentan ejemplos concretos, en todos los textos analizados se prioriza la presentación de definiciones y propiedades referidas al caso más general posible, compatible con una definición ge-neral de función. También puede detectarse el interés por ge-nerar estructuras que permitan una profundización en cursos posteriores tanto en los programas de los cursos como en los cuestionarios realizados a docentes. Ello hablaría de la genera-lización como una práctica social que norma los objetivos teó-ricos –plasmados en los programas– y las concepciones que los docentes tienen sobre sus prácticas reales y las prácticas ideales –que se pudo analizar a través de los cuestionarios–. Por último, la práctica de difusión de conocimiento matemático se presenta como un móvil fundamental para el diseño de programas, libros de texto, cursos específicos, entre otros.

Las prácticas de referencia que estas prácticas sociales norman en cada momento son, respectivamente: “Conformar el límite - saber sabio como un saber a enseñar”, “Intercambiar opi-niones sobre la implementación del modelo del límite como saber a enseñar” e “Implementar el límite como saber a enseñar”.

Confiamos en que este escrito cumpla con su objetivo de divulgar una herramienta metodológica específica para el análi-sis del discurso que puede ser útil para la investigación en Ma-temática Educativa desde una perspectiva sociocultural. Hemos dado cuenta de sus cualidades a la hora de identificar cómo el análisis del discurso entendido como acción social favorece la comprensión de los procesos de construcción y difusión de co-nocimiento matemático.

Hemos podido apreciar cómo la explicitación de las re-laciones de poder subyacentes entre los actores de la noosfera, y del rol que cumple cada uno de ellos en el sistema educati-vo, puede dar cabida a que estos roles se modifiquen. Pensamos que tal vez sería posible que los docentes, como colectivo social,

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ocuparan otro lugar en la conformación de los programas o en la manera en que deben ser implementados.

Referencias

Belcredi, L., Deferrari, M. y Zambra, M. (2001). Introducción al análisis matemático. Montevideo, Uruguay: Ediciones de la Plaza.

Candela, A. (2007). Ciencia en el aula. Los alumnos entre la argumentación y el consenso. México D. F.: Paidós.

Cantoral, R. y Farfán, R. (2003). Matemática Educativa: Una visión de su evolución. Revista Latinoamericana de Inves-tigación en Matemática Educativa, 6(1), 27 - 40.

Castañeda, A. (2006). Formación de un discurso escolar: el caso del máximo de una función en la obra de L’Hospital y María G. Agnesi. Revista Latinoamericana de Investiga-ción en Matemática Educativa, 9(2), 253 - 265.

Chevallard, Y. (1991). La transposición didáctica: del saber sa-bio al saber enseñado. Buenos Aires: Aique.

Cordero, F. y Flores, R. (2007). El uso de las gráficas en el dis-curso matemático escolar. Un estudio socioepistemológi-co en el nivel básico a través de los libros de texto. Revis-ta Latinoamericana de Matemática Educativa, 10(1), pp. 7 - 38.

Covián, O. (2005). El papel del conocimiento matemático en la construcción de la vivienda tradicional. El caso de la cultura maya (Tesis de maestría no publicada). Centro de Investigación y de Estudios Avanzados del ipn. México.

Fairclough, N. y Wodak, R. (2001). Análisis crítico del discurso. En T. Van Dijk (Ed.), El discurso como interacción social. Estudios sobre el discurso II. Una integración multidisci-plinaria. Barcelona: Gedisa.

Ferrari M. y Farfán, R. (2009). Una aproximación al primer momento de lo logarítmico con estudiantes de bachille-rato. En P. Lestón (Ed.), Acta Latinoamericana de Mate-

149

mática Educativa (Vol. 22, pp. 1165 - 1173). México D.F.: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa.

Giovannini, E. (2001). Matemática A para 6º año. Funciones reales. Montevideo, Uruguay: Editorial Tradinco.

Molfino, V. (2010). Procesos de institucionalización del con-cepto de límite: un análisis socioepistemológico (Tesis de doctorado no publicada). cicata - ipn, México.

Molfino, V. (2011). Análisis del Discurso como Acción Social: su rol en la construcción y difusión de conocimiento ma-temático. Reloj de agua, 4, 4 - 18.

Molfino, V. y Buendía, G. (2010). El límite de funciones en la es-cuela: un análisis de su institucionalización. Revista elec-trónica de investigación en educación en ciencias, 5(1), pp. 27 - 41.

Montiel, G. (2006). Construcción Social de la Función Trigo-nométrica. En G. Martínez Sierra (Ed.), Acta Latinoame-ricana de Matemática Educativa (Vol. 19, pp. 818–823). México D.F.: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa.

Orfila, M. (2010, agosto 14). Un cuco que resta. El Observador, pp. 18 - 19.

Rey, J. (1962) Elementos de análisis algebraico. Madrid: Here-deros de Julio Rey Pastor (Ed.).

Rey, J., Pi, P. y Trejo, C. A. (1952). Análisis matemático. Buenos Aires, Argentina: Kapelusz.

Soto, D. y Cantoral, R. (2010). ¿Fracaso o exclusión en el cam-po de la Matemática? En P. Lestón (Ed.) Acta Latinoame-ricana de Matemática Educativa (Vol. 23, pp. 839 - 848). México D.F.: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa.

Van Dijk, T. (1999). El análisis crítico del discurso. Anthropos, 186, 23 - 36.

Van Dijk, T. (Ed.). (2001). El discurso como interacción social. Una introducción multidisciplinaria. Barcelona: Gedisa.

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La comunidad de formación científica hacia una comunidad de práctica

Isabel Tuyub Sánchez, Gustavo Martínez Sierra y Gabriela Buendía Abalos

1. Introducción

Se discutirá el constructo Comunidades de Práctica, propio de la Teoría Social de Aprendizaje en sentido de Wenger (2001), con la intención de destacar al aprendizaje como un proceso social y a las personas que aprenden, como seres sociales. Dicho constructo pone énfasis en todo aquello que se genera en una comunidad social, tomando en cuenta su contexto histórico y social, para producir aprendizajes funcionales para los integran-tes (aprendizajes significativos). Se concebirá por comunidad so-cial a un grupo que comparte elementos en común, tales como un idioma, costumbres, valores, tareas, etc., en el que se crea una identificación que crea una diferencia con otros grupos, que es compartida, socializada y elaborada entre sus integrantes.

Entender sus componentes puede apoyar a encontrar ele-mentos para identificarlos en alguna comunidad social o referi-da a alguna práctica específica, lo cual permite otra perspectiva para analizar por qué dicha comunidad hace lo que hace respec-to a su proceso de construcción de conocimiento, considerando aspectos sociales como la negociación de significados, participa-ción, obtención de productos, la generación de una identidad.

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Se discutirá qué se entiende por Comunidad de Prácti-ca y sus constitutivos conceptuales como: comunidad, práctica, significado, negociación de significado y aprendizaje, así como la manera en que éstos se interrelacionan. Dicha discusión irá encaminada a determinar su relación con la construcción de co-nocimiento científico. Por último se intentará mostrar algunos aspectos teóricos que intenten proponer a la “comunidad de formación científica” como una Comunidad de Práctica.

2. comunidades de práctica

Caracterización

Wenger, McDermott y Snyder (2002) definen a las Comunida-des de Práctica como grupos de personas que comparten un in-terés, una problemática específica bajo perspectivas similares o simplemente una pasión sobre algún tema particular o por algo que hacen, que aprenden cómo hacerlo mejor; profundizan su conocimiento y experiencia de ese tema mediante la interacción entre sus miembros en forma continua y sostenida, por medio de la cual comparten y generan un cuerpo de conocimiento gru-pal. Denominan a sus miembros participantes y considera al aprendizaje como un proceso social. La Comunidad de Práctica “actúa como un régimen de competencia negociado localmen-te” (Wenger, 2001, p.172); además Wenger mismo la considera historias compartidas de aprendizaje.

Un miembro de la Comunidad de Práctica, si se siente parte de ella, participa en lograr el bien de las que Wenger llama empresas (organizaciones, desde las que procuran la sobreviven-cia hasta las que buscan placeres), permitiendo su preservación. Por ejemplo, las instituciones educativas (escuelas), empresas constructoras, compañía de seguros médicos, asociaciones pro-fesionales, un corporativo o una disquera.

Se trata de un grupo que mediante el intercambio de co-nocimiento, prácticas e información, sus integrantes se ayudan

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mutuamente, desarrollando competencias para resolver un pro-blema o avanzar en una idea o proyecto; además, el éxito propio es el éxito de los demás pues sólo la colaboración y la participa-ción activa permitirán resolver los problemas comunes. Ejem-plos de Comunidades de Práctica son: pacientes que intercam-bian información sobre determinadas enfermedades a partir de sus propias experiencias generando un conocimiento experto, los tramitadores de solicitudes de seguros médicos de Alinsu, los reparadores de las fotocopiadoras Xerox, geólogos en Shell de Texas, profesionales del Banco Mundial, ingenieros en centrales nucleares francesas, ingenieros y técnicos de Siemens o directo-res de oficina de la Caixa de Valencia (Vasquez, s.f.).

Las personas suelen definir las empresas y éstas a su vez norman a las personas; así, ambas están en relación dialéctica. Cuando las personas las definen y participan en su consecución, necesariamente para lograrlo tienen que interactuar con los de-más y con el mundo, lo que produce ajustes en sus relaciones con éstos, es decir, se aprende colectivamente. Dicho aprendi-zaje desemboca en prácticas que reflejan la búsqueda del logro de las empresas, así como también, el logro de las relaciones so-ciales que la acompañan. Por tanto, estas prácticas son propias de un tipo de comunidad social creada, mediante la intención de lograr una empresa compartida, dicha propiedad es llamada “Comunidad de Práctica”.

Según Wenger (2001), se puede pertenecer a varias Comu-nidades de Práctica, pues son los lugares en donde se desarrolla, se comparte, se negocian teorías y maneras de comprender el mundo. También se debe a que son una parte integral de la vida diaria, pueden ser informales y omnipresentes en las que crean una práctica para hacer lo que es necesario hacer.

Asimismo, este mismo autor considera comunidad a las configuraciones sociales que se desarrollan en torno a aquello que es importante para sus miembros, donde la persecución de las empresas se define como valiosa y la participación en estas últimas se reconoce como competencia. Sin embargo no basta ser comunidad para ser una Comunidad de Práctica, se requie-ren al menos tres características básicas, las cuales son:

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•  Una práctica: El quehacer conjunto en el que comparten las mismas condiciones.

•  Un dominio de conocimiento: conjunto de temas o pro-blemas clave que son parte de la experiencia cotidiana de los participantes.

•  Comunidades sociales: un espacio, lugar virtual o presen-cial, privilegiado para la adquisición y creación del cono-cimiento (Garrido, 2003), ya que es donde la comunidad puede establecer relaciones interpersonales para construir una visión compartida.

La Comunidad de Práctica como constructo teórico indisocia-ble, define un tipo especial de comunidad y a la vez produce una caracterización de práctica que la distingue de la cultura, actividad o estructura.

En las siguientes secciones se profundizará en el primer punto por los elementos teóricos que pueden apoyar en la carac-terización del constructo, además de que es en el que se basan sus dimensiones; de igual forma se apoyará en la noción de co-nocimiento científico para ligarlo con su construcción, tomando de base esta perspectiva. El tercer elemento básico no se abor-dará, para los fines de la discusión, debido a que es particular para cada comunidad.

Aspectos de la Comunidad de Práctica

Los tres aspectos que caracterizan una Comunidad de Práctica son:

1. Compromiso mutuo: Resultado del compromiso de los participantes, especialmente en las acciones en las cuales deben negociar el significado, es decir el sentido de cómo van a funcionar. La práctica reside en una comunidad de personas y en las relaciones de participación mutua por medio de las cuales se puede hacer lo que hace. La prác-tica debe desarrollar la capacidad de complementar las

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competencias de los participantes y conectar eficazmente sus conocimientos como base para el aprendizaje colecti-vo, basándose tanto en lo que hacen y saben como en lo que no, es decir con lo de los demás. Por ejemplo: cuan-do los participantes desempeñan roles distintos, como en una operación quirúrgica a corazón abierto, en la que el anestesiólogo no tiene por qué saber cómo operar el co-razón, pero se complementan para llevar a cabo la tarea de operar.

2. Una empresa conjunta o común es una organización re-sultado de un proceso colectivo de negociación que refleja toda la complejidad del compromiso mutuo; la definen los participantes de la comunidad social en el proceso mismo de emprenderla, es lo que rige de qué se va a hablar y qué se va a hacer. Crea entre ellos relaciones de respon-sabilidad mutua que se convierten en parte integral de la práctica para contribuir a su consecución y negociación continua; permite definir lo que le importará y lo que no a esa comunidad, por qué, qué hacer y qué no, a qué prestar atención y a qué no, de qué hablar y qué no, qué justificar, qué mostrar.

3. Repertorio compartido es lo que se produce en colectivo (artefactos, procedimientos, la forma de hacer las cosas, estilos, vocabularios, historias, símbolos, etc.), es decir, un conjunto de recursos compartidos por una comunidad social para destacar su carácter obtenido y su disponibili-dad para el compromiso posterior en la práctica.

La interacción dialéctica de estas tres es lo que tiene sentido en una Comunidad de Práctica, pues así la práctica puede conver-tirse en la fuente de cohesión de una comunidad social. Dicha interacción interesa a los participantes porque es ahí que la Co-munidad de Práctica se convierte en parte de quiénes son, se crea una identidad.

Además, dichas relaciones permiten estimar la duración temporal de una Comunidad de Práctica, que depende de lo que persista “mantener un compromiso mutuo en la consecución

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conjunta de una empresa, para compartir algún aprendizaje sig-nificativo” (Wenger, 2001, p. 115). Esto puede llevar horas, días o incluso años; por ello las historias compartidas de aprendizaje son relevantes para entender una Comunidad de Práctica.

3. Práctica

Para Wenger (2001) práctica es hacer algo en un contexto his-tórico y social que otorga una estructura y significado a lo que se hace; incluye los recursos teóricos y sociales, los marcos de referencia y las perspectivas compartidas (negociadas por la comunidad) que pueden sustentar el compromiso mutuo en la acción, por ejemplo: lo que se dice, lo que se calla, lo que se presenta, lo que se da por supuesto, los roles, los instrumentos, el lenguaje, etc.

Mantener una comunidad es parte esencial de cualquier práctica, además, como se mencionó en el apartado anterior, la práctica es su fuente de cohesión, por tanto, es a través de la práctica que se puede identificar alguna Comunidad de Práctica.

Otra característica que tienen las prácticas es que produ-cirlas nuevamente da origen a una experiencia de significado, por ejemplo cuando se vuelve a producir una nueva situación, una nueva impresión, producimos significados que vuelven a negociar la historia de significados de la que forman parte, por ejemplo: amplían, desvían, ignoran, reinterpretan, modifican o confirman lo que ya se sabía.

Proceso constitutivo de una Comunidad de Práctica: La negociación de significados

Todos los participantes tienen algo que enseñar y algo que aprender en el espacio en el que se encuentran, por lo que la práctica, según Wenger (2001), se percibe en lo que denomina negociación de significados. Dichos significados son acerca de lo que se divisa en la práctica con respecto a la noción que se

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utiliza y por eso esta negociación es necesaria para integrar una Comunidad de Práctica.

La negociación de significados es entendida como el pro-ceso productivo por medio del cual se experimenta el mundo (haciendo referencia al contexto o espacio) y el compromiso en él como algo significativo. El significado es la capacidad de esa experimentación y compromiso, producto del aprendizaje colectivo.

De esta manera, el repertorio compartido —una de las tres dimensiones— puede convertirse en un recurso para esta negociación de significados, al momento que refleje una histo-ria de compromiso mutuo y considere la ambigüedad en dicha historia. La negociación de significados se manifiesta más ante situaciones de interés o de reto, por lo que puede considerar-se como un proceso temporal; en consecuencia la práctica se entenderá en su dimensión temporal, en lo que dura. Algunas Comunidades de Práctica existen durante siglos, transmiten su práctica de generación en generación y otras en un tiempo corto pero intenso para dar origen a una práctica autóctona y trans-formar las identidades de las personas implicadas.

Según Lave y Wenger (1991), la negociación de significa-dos se da en la interacción de lo que llaman participación y co-sificación, procesos que tienen una relación dialéctica requerida para constituir los significados de las Comunidades de Práctica. Por ejemplo, procesos como hacer algo explícito, formalizar o compartir, son producciones de nuevos contextos para la par-ticipación y la cosificación, donde se renegocien las relaciones entre lo implícito y lo explícito, lo informal y lo formal, lo indi-vidual y lo colectivo.

•  La participación se considera más desde el punto de vista implícito; es un proceso de aprender y conocer que descri-be la experiencia de los participantes de vivir en el mun-do, desde el punto de vista de la afiliación a comunidades y de intervención activa de empresas. La afiliación rara vez se explicita en una lista de requerimientos, pues es compromiso mutuo y define a la comunidad social. La

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participación incluye el lenguaje, el hacer, sentir, pertene-cer, los valores; en general, interviene el cuerpo, la mente, emociones y las relaciones sociales de todo tipo: conflicti-vas, armoniosas, íntimas, políticas, colaborativas, compe-titivas; es decir, participar de manera activa en la práctica de las comunidades sociales. Participar en una actividad es una renegociación de su significado en un nuevo con-texto; la participación puede refinar las prácticas y garan-tizar nuevas generaciones de miembros. Crea identidades en relación con dichas comunidades y la necesidad de re-conocerse en el pasado.

•  La cosificación se considera desde el punto de vista explí-cito; es el proceso que convierte la experiencia de parti-cipación en un objeto material y le da forma concreta, se plasma en una “cosa”, crea las condiciones o bases para nuevos significados. Ejemplos de cosificación: tesis, pro-tocolos, normas, artefactos. Produce formas que persisten y cambian de acuerdo a sus propias leyes. La cosificación tiene que ser adoptada por una comunidad social para que pueda conformar a la práctica de una manera signifi-cativa, ya que por ejemplo una regla no es acatada si no tiene alguna utilidad en la práctica. Es a través de la cosi-ficación donde se crean los puntos de enfoque entorno a los cuales se negocia lo que es importante en determinada comunidad.

La participación y la cosificación desempeñan un papel funda-mental en la experiencia humana del significado y por tanto en la naturaleza de la práctica. Controlarlas, permite regular los tiempos para adquirir significado que se puede crear en un con-texto dado y las personas que puedan llegar a ser los partici-pantes. Por ejemplo, si se tienen dos semanas para escribir un artículo de investigación por un grupo de académicos, limitaría a que sólo personas que estén trabajando el mismo proyecto o tengan el mismo perfil puedan contribuir; cosa diferente si para ese producto se tuvieran dos meses para obtenerlo.

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La identidad permite no hablar de la dicotomía de la par-ticipación y la cosificación, es la posibilidad de un reconoci-miento mutuo entre los participantes, es el cambio que produce el aprendizaje en quiénes somos y de cómo dicho aprendizaje crea historias personales de devenir en el contexto de las comu-nidades. Estas historias son entendidas como “una combinación de participación y cosificación entrelazadas a lo largo del tiem-po” (Wenger, 2001, p. 116).

La participación es una fuente de la identidad, conforma quiénes somos y cómo interpretar lo que se hace, provoca que unos pasen a formar parte de otros al reconocer algo de sí mis-mos en los demás, por lo que no supone igualdad o respeto para que esto suceda. Por ejemplo, las relaciones que pueden llegar a tener un empleado y su gerente en el proceso de participación, no tienen el mismo nivel de autoridad o jerárquico, sin embargo am-bos conforman sus experiencias de significado en la interacción ante un problema que se debe resolver, pues se identifican como parte de la misma comunidad, nutriendo cada una de las comu-nidades sociales de las que provienen e integrando aportes para la comunidad de práctica que conforman en el lugar de trabajo.

En el proceso de constituir una Comunidad de Práctica, si se termina dedicándose a lo que se hace, a los participantes y a su historia compartida, se facilita la participación; esto produce que la identidad se manifieste, se ancle en los demás y en lo que hacen conjuntamente, permitiendo de esa manera generar pro-ductos y conocimiento, todo ello en el proceso de negociación de significado.

Un aspecto que se considera relevante es que la Comu-nidad de Práctica permite la evolución de las prácticas y pre-serva el conocimiento en la sociedad. Evolución en el sentido de resignificación, darle un nuevo significado al mismo proceso, debido a la negociación de significados generada por la relación que produce la dualidad cosificación - participación. La forma en que evolucionan es en historias compartidas de aprendizaje, pues aunque sean las mismas que se realicen, los significados que provocan en ese contexto pueden ser diferentes. Cuando los par-

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ticipantes interaccionen, hagan cosas conjuntamente, negocien significados y aprendan unos de otros, invita a toda práctica a reinventarse constantemente, aunque siga siendo la misma.

El significado negociado es al mismo tiempo histórico y dinámico, contextual y único, es decir cambian constantemente las situaciones a las que otorga significado e influye en todos los participantes, por tanto requiere interpretación y acción. Si el tipo de significado que interesa es una experiencia entonces importa saber dónde se sitúa y cómo se constituye. No es pre-existente ni inventado, por lo tanto no se requiere construirlo desde cero.

El significado se constituye en un conocimiento significa-tivo en el contexto de una empresa, en el que lo explícito siem-pre se detiene en algún punto: se produce la cosificación que se requiere para proseguir en las prácticas en las que se participa.

El aprendizaje como contribución en la práctica

El valor que se le da a la Comunidad de Práctica depende de cómo se logra el aprendizaje: desde la perspectiva del indivi-duo, se logra al involucrarse y contribuir a las Comunidades de Práctica; para las comunidades sociales se logra refinando su práctica y asegurando nuevas generaciones de miembros, y para las organizaciones, al momento de mantener las Comunidades de Práctica interconectadas, a través de las cuales las empresas saben lo que saben.

El aprendizaje es entendido como el desarrollo de una identidad como miembro de una comunidad social y llegar a tener habilidades de conocimiento como parte del proceso mis-mo (Lave y Wenger, 1991). Es decir, se concibe como una par-ticipación social para contribuir a la práctica de las comunida-des sociales, para refinarla y garantizar nuevas generaciones de miembros.

El aprendizaje se produce en la práctica: “El cambio y el aprendizaje se encuentran en la naturaleza misma de la práctica” (Wenger, 2001, p. 129); puede ser debido a que las prácticas son

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historias de compromiso mutuo, de negociación de una empresa y de desarrollo de un repertorio compartido. No se aprende por aprender pues existen ciertas intensificaciones del aprendizaje. Por ejemplo, cuando las situaciones hacen tambalear el sentido de familiaridad, cuando la capacidad de respuesta es desafiada, cuando algún miembro se compromete con nuevas prácticas o intenta unirse a nuevas Comunidades de Práctica.

Según Wenger (2001) es en las Comunidades de Práctica donde se genera aprendizaje significativo. Este tipo de aprendi-zaje se deriva de la afiliación de Comunidades de Práctica; cam-bia la capacidad de participar en ellas, la compresión de por qué se hace lo que se hace y los recursos que se tienen a disposición para hacerlo; tiene que ver con el desarrollo de las prácticas en la capacidad de negociar significado.

El aprendizaje en la práctica, para que sea significativo, debe influir en las tres dimensiones anteriormente citadas; esto incluye procesos para las comunidades implicadas:

●•  desarrollo de formas de compromiso mutuo: descubrir

cómo participar, qué ayuda y qué obstaculiza; desarrollar relaciones mutuas; definir identidades, establecer quién es quién, quién es bueno haciendo qué, quién es qué, con quién es fácil o difícil llevarse qué;

•  comprender su empresa y ajustarla: alinear su compro-miso con ella y aprender a ser responsables de ella en el plano individual y colectivo; esforzarse por definir la em-presa y conciliar las interpretaciones contrapuestas de la naturaleza de la empresa;

•  desarrollar su repertorio, sus estilos y sus discursos: rene-gociar el significado de sus diversos elementos; producir o adoptar instrumentos, artefactos, representaciones; re-gistrar y recordar eventos; inventar nuevos términos y re-definir o abandonar los antiguos; contar y volver a contar historias; crear y romper rutinas (Wenger, 2001, p. 125).

Dicho aprendizaje contribuye al ser el motor en la práctica, y a su vez sucede que la práctica es la historia de ese aprendizaje.

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Esto apoya lo que se menciona de la temporalidad de las Comu-nidades de Práctica, es decir que la vida de una Comunidad de Práctica está en función de su aprendizaje.

Lave y Wenger (1991) explican que todo aprendizaje suce-de en comunidades sociales en las que circulan conocimientos ne-cesarios para los individuos que las forman. De manera que éstas existen, no necesitan ser creadas. Todo aprendizaje cobra senti-do práctico en comunidad y todo individuo que intenta aprender algo —desde bailar hasta terminar una carrera profesional— es un participante en comunidades de personas que comparten cierto conocimiento. Es erróneo pensar en crear Comunidades de Práctica porque existen como condición para la existencia de todo conocimiento; identificarla es deseable y posible.

4. Conocimiento científico y práctica científica

Las Comunidades de Práctica consideran el conocimiento como un activo en la empresa: “es una cuestión de competencia en relación con ciertas empresas valoradas, por ejemplo, cantar afinado, descubrir hechos científicos” (Wenger, 2001, p. 21). Se puede encontrar en formas particulares de la experiencia si-tuada, entendido de manera relacional, entre las personas y el mundo (Kanes y Lerman, s.f.). Se considera como el producto de constituir un significado.

Si se analizan los dos tipos de conocimiento que co - exis-ten en el mundo, el científico y el sentido común (Martínez - Sie-rra, Arrellano, Ferrari, Lomelí, Rivera, Viramontes, 2009), des-de las comunidades de práctica, ambos se pueden considerar como competencias y no necesariamente ser excluyentes, ni pertenecer a distintas empresas; sino más bien tienen diferente funcionalidad: el primero se enfoca en un pensamiento racional, mientras que el otro en un pensamiento social.

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Construcción de conocimiento y práctica científica

La participación es la base de la construcción de conocimiento y el aprendizaje (Wenger, 2001). Wenger entiende por conocer el participar en la consecución de las empresas, de comprome-terse de manera activa en comunidades sociales. Entonces, en una Comunidad de Práctica pareciese que el conocimiento está normado por las empresas.

La construcción de conocimiento es el proceso en el que se adquieren competencias al momento de participar y compro-meterse con los integrantes de la comunidad para preservar la empresa, en el momento en que la participación y la cosificación interactúan en la negociación de significado. Es decir, el cono-cimiento debe desarrollarse en la participación de los integran-tes de una comunidad, en la que haya compromiso mutuo para conservar empresas que son de valor para la comunidad. En él se produce el aprendizaje.

La práctica científica es entendida por Kuhn (1971) como un estado de la realización científica que es aceptado por una parte importante de científicos, que tiende a imponerse a todos los demás como guías para la acción; “es la imagen devuelta a un sujeto cognoscente por otros sujetos cognoscentes equipados con instrumentos de análisis que pueden ser ofrecidos eventual-mente por ese sujeto cognoscente” (Bourdieu, 2003 p. 17). Esta práctica genera cierto conocimiento que se puede localizar de manera natural en el ámbito profesional, donde los problemas no necesariamente tienen una solución trivial. Bourdieu consi-dera que “entenderla es complejo (problemas, fórmulas, instru-mentos, etcétera) ya que sólo puede ser dominada al cabo de un largo aprendizaje” (p.19). Esto conlleva a que la práctica científica tiene problemáticas que interesan a una comunidad y por lo tanto generan un compromiso mutuo; además, se puede apreciar que existen ciertas empresas que son valoradas y se generan de forma social, como es por ejemplo una organización de científicos expertos en un área.

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El conocimiento científico

Un resultado de la práctica científica de interés para una comu-nidad, es el conocimiento científico. Según De Gortari (1988), este conocimiento se admite como una acumulación de realiza-ción de actividades organizadas socialmente compartidas que tienen por límite al conocimiento teórico en el que el desarrollo teórico y estas realizaciones tienen una relación dialéctica. Di-cho conocimiento se relaciona de forma directa con los proble-mas de la sociedad.

Es un proceso continuo, producto de la ciencia, que puede crearse como conocimiento nuevo o requerir de usos de cono-cimientos de otras ramas, de la experiencia, entre otros factores para trascender en la sociedad y poder volverse un producto continuo. En él no sólo entran en juego elementos cosificados, sino en construcción que requieren de la experiencia y apren-dizaje de una comunidad que la genera y el conocimiento de sentido común asociado a esta comunidad.

El conocimiento científico requiere de un proceso de in-vestigación y nos lleva a razonar el por qué de las cosas. Se pue-de basar en el conocimiento empírico (Michelle, 2010) o usar el método científico, pero son sólo maneras para hallarlo, ya que la empírea sin teoría sólo mostraría particularidades y los pasos del método científico tal como son explicitadas por los lógicos no necesariamente corresponden a la realidad de las prácticas (Bachelard, 1978).

El conocimiento científico puede transformar la existen-cia de los hombres: “la irrupción de una ciencia o una nueva técnica en la sociedad siempre tiene el efecto de perturbar la relación con lo real, la jerarquía de valores, el peso relativo de los comportamientos” (Moscovicci, 1979, p.14).: por ejemplo, la teoría microbiana institucionalizó la higiene

Si se toma la idea previamente discutida sobre construc-ción de conocimiento en las Comunidades de Práctica y se apli-ca al conocimiento científico, se coincide con Radford (2000) en que la construcción de conocimiento científico se da de manera colectiva y uno de sus factores esenciales es la vida social. Para

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caracterizarla se requiere observar prácticas, inferir procesos, “quien aprende construye activamente su significado” (Coll 1987 referido en Alvarado y Flores - Camacho, p.13).

Continuidad del conocimiento

Fortiz y Lomnitz (1991) afirmaron que el conocimiento no es suficiente, es necesario lo institucional en el estudio de prácticas científicas. Berguer y Luckmann (2006) definen a las institucio-nes como tipificaciones recíprocas de acciones habitualizadas por tipos de actores; al igual que Durkheim en Cordero (2006) consideran a las instituciones como estructuras fundamentales de la organización social (externas al individuo, impuestas o su-geridas) que se interiorizan (se suman a la naturaleza del indi-viduo) y se expresan en la experiencia individual por medio de roles y posibilita la conservación de saberes en las sociedades a través del tiempo, es decir, permiten la continuidad, a lo largo del tiempo y el espacio, de la sociedad a través del proceso de institucionalización.

A las instituciones y Comunidades de Práctica les interesa la continuidad del conocimiento en los aprendizajes. Este tipo de continuidad se da para la preservación de las empresas aun-que las personas que conforman originalmente una Comunidad de Práctica no tienen que perdurar para que el aprendizaje se genere y continúe. Por ejemplo, departamentos de una empre-sa constructora de renombre entrena a los ingenieros jóvenes talentosos, cada 30 años colocándolos a cargo de jefaturas en distintas áreas para que sean los próximos generantes y sigan las mismas normas que han sido exitosas para preservar la trascen-dencia del negocio.

Desde otra perspectiva, cuando se habla de que el cono-cimiento ha alcanzado un continuo en la sociedad es porque dicho conocimiento se ha institucionalizado (Cordero, 2005). García - Torres (2008) expresa que el conocimiento científico está normado por instituciones y a la vez éste las norma; se pue-den apreciar en el seno de las prácticas. Dichas instituciones van

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más en el sentido de empresas. El conocimiento científico está normado por empresas y a la vez éste las norma; las empresas se pueden apreciar al seno de las prácticas.

5. El papel de los principiantes

Cuando se definen a las Comunidades de Práctica como histo-rias de aprendizaje compartidas, debe entenderse como algo no estable, que combina continuidad y discontinuidad, como una estructura que persiste pero al mismo tiempo es perturbable y elástica. Todas las personas y cosas concurren para mantener una sensación de continuidad en medio de las discontinuidades. Las cuales pueden crearse entre quienes participan y quienes aún no (discontinuidades generacionales).

“La existencia de una Comunidad de Práctica no depende de unos miembros fijos. Las personas van y vienen” (Wenger, 2001, p. 129). Un aspecto esencial para una práctica durade-ra es la llegada de nuevas generaciones de miembros, donde la generación depende de sus ciclos de reproducción. Esta llegada debe asociarse con la afiliación, ya que mientras ésta cambie progresivamente para permitir unos encuentros generacionales sostenidos, los principiantes se podrán integrar a la comunidad social, participar en su práctica y más adelante perpetuarla a su manera. Estos encuentros generacionales son los aspectos que con más frecuencia se consideran generadores de aprendizaje en la práctica, es decir que el aprendizaje se enfatiza más en los principiantes.

Es posible compartir la práctica entre las discontinui-dades generacionales por ser un proceso social de aprendizaje compartido y ayudar a los principiantes a incorporarse a una comunidad participando en su práctica. Es un proceso que se da de forma natural, pues el aprendizaje de los principiantes es una necesidad reconocida por la Comunidad de Práctica; es natural que los veteranos dediquen energía a iniciar a estos principian-tes en la práctica real de su comunidad.

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Lave y Wenger (1991) utilizan el constructo de participa-ción periférica legítima para caracterizar el aprendizaje. Con-sideran que las Comunidades de Práctica están integradas por miembros básicos y miembros periféricos, los primeros son los que pertenecen a dicha Comunidad de Práctica y los periféricos son los que intentan pertenecer.

La participación periférica legítima es el proceso por el que los principiantes se incorporan a una Comunidad de Prác-tica. La periferia y la legitimidad son dos tipos de modificación que permiten una verdadera participación. La primera se refie-re a una aproximación a la plena participación que posibilita una exposición a la práctica real. La segunda es necesaria para que los principiantes sean tratados como miembros potenciales, aquí es donde entran las recomendaciones, que sean útiles, te-midos o ser de buena familia, por ejemplo. Dicha legitimidad es importante porque si no llegan a cumplir lo que la comunidad considera como un compromiso competente, lo verá únicamen-te como oportunidades para aprender y no como motivo de ex-clusión de la Comunidad de Práctica.

Se dice que cuando los principiantes empiezan a trabajar en serio, empiezan su integración a la Comunidad de Prácti-ca. Además, la inclusión de nuevos miembros puede ocasionar nuevas oportunidades para el compromiso mutuo de los parti-cipantes que puede despertar nuevos intereses que se traducen en una renegociación de la empresa y estos elementos pueden producir toda una generación de nuevos elementos en el reper-torio compartido.

Con ello se hace notar que una Comunidad de Práctica está en constante cambio no sólo en lo conceptual, sino también en cuanto al tipo de personas que la integran, pues no todos serán participantes base, sino que puede haber otros en la peri-feria, personas que también tienen cierto compromiso, pero no en gran escala. Por eso la interacción entre la participación y cosificación puede ser una fuente de continuidad y discontinui-dad, los participantes pasan a ocupar nuevas posiciones, dejan sitios a nuevas generaciones. De igual manera, los artefactos se

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producen y se adoptan nuevos cuando los antiguos se agotan, se desechan o se vuelven obsoletos.

La Comunidad de Práctica es un sistema de formas de participación interrelacionadas. Cuando los principiantes se in-corporan a una Comunidad de Práctica, las discontinuidades generacionales resultantes se extienden y las relaciones cam-bian. Los participantes forjan nuevas identidades a partir de sus nuevas perspectivas, identifican lo que han aprendido en la experiencia porque se enfrentan en la situación de ayudar a al-guien pues reproducen una afiliación y comparten su competen-cia con las nuevas generaciones por medio del mismo proceso por el que ellos se desarrollaron. A medida que las generaciones sucesivas interaccionan entre sí, parte de la historia de la prác-tica permanece en las relaciones generacionales que estructuran la comunidad.

6. Comunidad de formación científica: hacia una comunidad de práctica

Una vez identificado los elementos teóricos básicos del construc-to “Comunidades de Práctica”, se caracterizarán los elementos, las relaciones que la comunidad de formación científica pudiera tener; para ello se entenderá a la comunidad de formación cien-tífica en términos de una práctica desde el punto de vista de una comunidad.

Características generales de la comunidad de formación científica

Este escrito propone a la comunidad de formación científica como el grupo conformado para producir nuevos investigado-res a través de sus prácticas. Se caracteriza con una doble fina-lidad originada por sus integrantes: aprender cómo hacer inves-tigación y considerar el conocimiento existente para investigar la solución de problemas de interés para la sociedad en donde

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se forjan los integrantes. En esa resolución de sus problemas procuran la construcción de conocimiento científico y aprendi-zajes, de carácter social como cognitivos; dichos conocimiento deben contribuir en la comunidad y/o a generaciones futuras, por ejemplo mostrar los productos y reflexiones de un proyecto sobre alguna problemática específica o tesis de investigación. Dicho conocimiento científico no necesariamente debe ser no-vedoso o crearse sino que proporcione elementos que ayuden a resolver la problemática de interés para el tipo de personas que integran la comunidad de formación científica.

La comunidad de formación científica está conformada por expertos en el área de estudio, a los que llamaremos docto-res investigadores, y principiantes o aprendices, a los que deno-minaremos estudiantes, interesados en parte de esa área, licen-ciados con o sin experiencia laboral, que desean convertirse en expertos de alguna área en específica. Dichos integrantes parti-cipan en distintos roles. Por ejemplo los estudiantes en su papel de aprender y los doctores investigadores en su papel de guías para el cumplimiento de los objetivos de la institución académi-ca donde laboran o administrativos gestores de oportunidades.

Una gran peculiaridad de este tipo de comunidad social es que el grupo está conformado por miembros nuevos en su ma-yoría, estudiantes recién inscritos, y en su minoría por expertos que son los doctores a cargo del programa de posgrado. Este programa de posgrado es considerado como la organización para la que laboran con el interés en común de especializarse en un área y poder aprender a generar investigación.

Dichos miembros al tener un tiempo para interaccionar entre ellos y conocer varios expertos, así como las problemá-ticas de la comunidad, se integran a un grupo más selecto que les brinda los elementos para que a través de la interacción en-tre expertos, colegas y herramientas puedan argumentar y emi-tir juicios para aportar en su propio proyecto de investigación guiado por un experto o algún artículo de investigación publi-cado en alguna revista científica. Además, según el programa institucional que los rige, parece ser que el interés de la comuni-dad, si bien es el hacer investigación, reside también en formar a

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estos principiantes y transmitirles el conocimiento que se desea permanezca en la comunidad.

Las formas en que los integrantes se relacionan, en un principio es jerárquico con respecto los expertos y de iguales entre los principiantes, también hay cierto respeto de estos úl-timos con los estudiantes avanzados. Luego, de acuerdo a sus intereses, se incorporan en grupos de trabajo más pequeños, ya sea él sólo con un doctor investigador responsable o con otros interesados en la participación de un proyecto de investigación a cargo de un doctor o doctores, donde el rol jerárquico evolu-ciona a un rol de iguales, regido por los intereses compartidos, en el que el aprendizaje se produce en la práctica.

Por ejemplo, García - Torres (2008) analizó cómo un es-tudiante de maestría de ingeniería biomédica al negociar con el doctor a cargo de un proyecto sobre cómo encontrar la óptima temperatura para calentar una cerámica, después de muchas realizaciones de la práctica, se llega a un relación de equilibrio de naturaleza jerárquica (de colega a colega) manifestada a tra-vés de los roles del doctor a cargo de un proyecto (experto) y el tesista asignado (aprendiz), cuando se discuten argumentos sobre el problema proporcionados y debatidos por ambos inte-resados en la problemática a abordar.

Dicha negociación se argumentaba a través del uso de las gráficas que el principiante obtenía de forma experimental (Práctica) y que contrastaba con la teoría dada en artículos y libros proporcionados por el experto (Teoría). Es decir, que la comunidad de formación científica no está organizada sólo para producir teoría o para que sus integrantes realicen prácticas ori-ginadas de las teorías ya estipuladas, sino más bien permiten una dialéctica entre teoría y práctica.

En el mismo ejemplo, se aprecia que aunque se genere la misma discusión sobre gráficas, es decir que sí llegó o no a la temperatura óptima, el proceso de experimentar con datos reales una y otra vez, produce gráficas similares pero el signi-ficado que se le da en cada discusión, después de ese proceso, es diferente y permite que puedan entablar una discusión ya no de profesor a alumno o de experto a aprendiz, sino de colega a

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colega, pues ya no se entablan preguntas sobre qué significa o cómo se lee esa gráfica, sino de proporcionar alternativas para llegar a las óptimas condiciones y asegurarse de que la propues-ta es precisa. Es decir que las prácticas que se realizan en una comunidad de formación científica evolucionan.

Dentro de los productos de la comunidad (cosificación) se tienen ejercicios resueltos, reflexiones de proyectos basados en problemas del área, protocolos de laboratorio, conclusiones de investigaciones, etc., en los que se puede apreciar el conoci-miento científico generado. Dichos productos engloban los pro-cesos de las investigaciones realizadas por los integrantes o las personas que alguna ver pertenecieron a esa comunidad social, los cuales son usados como base de otras investigaciones que impacten a la sociedad actual. En otro ejemplo, Tuyub (2008) investigó a una comunidad de toxicólogos en el momento en que ellos construyen un protocolo que sea confiable, óptimo y se adapte a sus necesidades para obtener genes en experimentos que esa comunidad requiera. Después de ocho meses de realizar múltiples pruebas lo obtienen y es aceptado como un producto útil para su comunidad, en el que los procesos para generarlo son omitidos.

En las prácticas de la comunidad de formación científica existen conocimientos bases; interesa generar aprendizajes so-bre cómo utilizar dichos conocimientos para resolver problemas en su contexto y generar conocimiento científico como sustento de sus argumentos. Interviene el quehacer que ayude a formar a los integrantes principiantes como investigadores expertos del área. Cuando se hace referencia a formar, intervienen muchos procesos que no sólo se rigen por las teorías estipuladas por su comunidad o la experimentación de datos particulares, sino también elementos de carácter socioculturales, por ejemplo los asociados al conocimiento de sentido común, intereses persona-les, económicos o la responsabilidad que la institución académi-ca manifiesta para la formación científica de sus integrantes.

En general, se puede identificar que una práctica que posee la comunidad de formación científica, en sus inicios, es la realización de proyectos que se evalúan en ciertos periodos,

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donde se desea que el estudiante aplique los conocimientos de base que le fueron transmitidos o que trae; pues se puede ver como un quehacer que comparten los miembros bajo las mis-mas condiciones.

En dicha comunidad, hay una investigación producti-va, su estructura y principios son autónomos, hay un lideraz-go compartido entre sus miembros, entre los estudiantes y de doctor investigador a estudiante, dichos miembros comparten conocimiento en las aulas o en los proyectos, hay una actitud de colaboración en la comunidad ya que los doctores investi-gadores comparten experiencias a sus alumnos, entre alumnos se pasan información verbal o escrita, sus miembros participan en la creación de optativas, contenidos a usar, con base en las exigencias del programa de estudios.

Los espacios que pueden utilizar esta comunidad de for-mación científica para gestionar la interacción se realiza a través de espacios virtuales y/o encuentros presenciales en los salones, laboratorios, bibliotecas, centro de cómputo, en lugares para realizar los proyectos en equipo, como un café o una casa.

Se apoyan de la organización llamada Universidad o Cen-tro de Investigación para validar el aprendizaje y la colabora-ción. Además, el tipo de aprendizaje que se genera es con la in-tención de contribuir a la sociedad a través de la investigación.

Los aprendizajes significativos que se generan en la co-munidad de formación científica, no se adquieren sólo al relatar las experiencias o mostrar resultados a seguir rigorosamente, sino complementando con el conocimiento que se genera en el ejercicio de las prácticas de los integrantes, como lo es aprender a investigar o al menos a ganar experiencia en la resolución de problemas reales de su área. Siguiendo con el ejemplo de la co-munidad de toxicólogos, si bien el producto fue el protocolo, el proceso generó aprendizajes a los participantes de la comunidad al realizar los experimentos, analizar las pruebas, modificar me-didas, cambiar sustancias, aprender de errores, usar la experien-cia y el sentido común, los cuales posiblemente no serían signi-ficativos para un estudiante de toxicología si éste no se pone a experimentar cómo se construyen y se limita sólo a seguirlos. Es

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decir que en la práctica, al momento de interactuar con colegas o expertos para favorecer a sus empresas es las que adquiere significado del conocimiento que se aprende y se comparte.

Comunidad de Práctica y comunidad de formación científica

Una evidencia que nos apoyó para sospechar que una comu-nidad de formación científica se puede caracterizar en térmi-nos de ciertos elementos de una Comunidad de Práctica es lo comentado por Echeverría (2009) cuando hace referencia a las comunidades científicas como comunidades sociales que pueden ser epistémicas por su carácter teórico pero también vistas como comunidades de prácticas, que transfieren conocimiento entre sus miembros por el interés propio, sin ser el interés principal lo remunerado de lo que hacen, comparten valores y realizan actividades que se preservan porque tienen sentido para la co-munidad, sin necesidad de generalizar sino conformar colegios profesionales (grupos de trabajo) particulares.

Por otro lado, Wenger (2001) hace mención de que existen Comunidades de Práctica que se especializan en la producción de teorías como una práctica, pues al producirlas se tienen que hacer cosas, establecer relaciones, inventar procesos, interpretar situaciones, elaborar artefactos, resolver conflictos, entre otros; dichas teorías pueden manifestarse en el conocimiento científi-co. Considerando lo anterior, uno de los aportes de la comuni-dad de formación científica es la producción de conocimiento científico de interés en la comunidad, por lo que ahí se podría identificar la práctica que puede permitir caracterizar a esta co-munidad. Dicho conocimiento se produce en la negociación de experiencias que producen argumentos para resolver problemas propios de la comunidad. En dicho proceso se generan y reali-zan proyectos con intereses comunes, se presentan interacciones con los integrantes, se genera un compromiso que es comparti-do, entre otros. Lo que produce de forma concreta, por ejemplo nuevo protocolo, un diseño óptimo, comprensión más clara de tal constructo, entre otras, como un repertorio compartido.

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Los conocimientos científicos que se originen en esta producción no requieren ser nuevos, pueden ser incluso mo-dificaciones de otros, pues lo que importa es el significado en la experiencia, el cual no necesariamente es construido desde cero, pero cambia de acuerdo a la situación y a los integrantes, por ejemplo. Lo que en verdad importa es que sirvan como un argumento que sustente la investigación que realicen; esta ar-gumentación va más en el sentido de generar significados, ya que es la capacidad de experimentar la problemática de interés que permite comprometerse con la comprensión del problema de investigación y estas teorías pueden ser consideradas como producto del aprender a hacer investigación.

Las Comunidades de Prácticas están integradas por dos tipos de participantes: los que están en la periferia y los que están de base, identificados de acuerdo al nivel de compromiso que tienen con las empresas compartidas, y la perdurabilidad de ellas se ve reflejada en afiliar a los principiantes para que éstos integren la comunidad, participen en su práctica y la preserven, a su manera. Este proceso de afiliación genera discontinuidades generacionales.

En la comunidad de formación científica se aprecian, nor-malmente, dos tipos de personas que la integran: los estudiantes que se deben formar en investigación y los doctores investiga-dores que tienen experiencia de formadores. Conforme los estu-diantes se van integrando al ritmo exigido, se irán relacionando con miembros base de la comunidad, ya sea estudiantes más avanzados o los mismos doctores, de tal forma que se involucren con la problemática a enfrentar e ir participando más en la co-munidad, como realizar un proyecto semestral o involucrarse en apoyar un proyecto de tesis, en el que el doctor experto tendrá el papel de guía en principio y posteriormente, potencialmente, en rol de colega, de ahí que las jerarquías que se daban en un principio se pierden, posiblemente porque los principiantes se han convertido en integrantes de la comunidad. Además, admi-ten la participación para negociar significados que permiten la preservación de conocimiento científico.

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En el caso de los grupos de investigación como una comu-nidad de formación científica, existe la necesidad de conectar las competencias particulares de los estudiantes y doctores investi-gadores, lo que supone igualmente una complementariedad de las contribuciones que cada miembro hace con sus conocimien-tos, esto apoya su compromiso mutuo.

Con respecto al aprendizaje, en la comunidad de forma-ción científica se enfatiza en las prácticas de los estudiantes pues los doctores expertos de la Universidad están enfocados en ellos, es decir, ejemplifican con situaciones que han experimentado, pueden usar programas de simulación de situaciones problemas de la vida real y pueden enfrentarlos a un proyecto de investi-gación que tenga impacto real en la comunidad. Aquí se apre-cia el enfoque en los principiantes, no ocurre de entrada que los principiantes les coloquen problemas de su experiencia a los doctores investigadores.

En las Comunidades de Práctica, el carácter formal de sus productos acabados puede ocultar las complejidades de sus prácticas y los procesos cotidianos de los productos que surgen. El producto en sí oculta la negociación de significados implica-dos, las experiencias, las necesidades y acciones que se requi-rieron para obtenerlo. En la comunidad de formación científica existe negociación de significados presentados en las prácticas, los cuales no se muestran explícitos al momento de proporcio-nar el conocimiento científico obtenido.

En las prácticas, según el constructo de Comunidades de Práctica, se realiza la negociación de significados, en la que las personas negocian mutuamente su compromiso con su práctica compartida y con sus identidades entrelazadas; en las prácticas se producen aprendizajes significativos. Para que se desarrolle la negociación de significados se requiere de la participación y la cosificación. En la comunidad de formación científica las prácticas que se desarrollan son para aprender a hacer inves-tigación, dicha práctica es compartida por todos los integran-tes de la comunidad. El compromiso con esta práctica se da de distintas maneras, por ejemplo pasando los cursos obligatorios,

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enseñando a los principiantes a hacer investigación, realizando los estudiantes un proyecto de investigación; esto permite que los integrantes se identifiquen acatando un rol (estudiantes - pro-fesor, tesista - asesor, colega - colega) y por el interés de la proble-mática a investigar.

Gracias al compromiso mutuo, la participación activa de todos los integrantes en la comunidad y el uso de herramientas que se encuentran o se crean para resolver un problema, permi-ten generar aprendizajes significativos con respecto a la práctica, donde esta interacción entre la participación, las herramientas y los significados producidos dan como resultado otros significa-dos. Por ejemplo, cuando el tesista de la maestría en ingeniería biomédica muestra una gráfica y discute con el profesor, gene-ra un significado de por qué no llegó a la temperatura óptima, eso produce aprendizaje y al repetir el proceso con ese nuevo aprendizaje genera otra gráfica sobre la misma situación que al discutirla genera otro significado, así hasta convencerse de cuál es el punto óptimo (conocimiento científico); dicho escenario se da al manifestarse el compromiso mutuo.

7. Consideraciones finalesLas Comunidades de Práctica son grupos de personas que

participan en un sistema de aprendizaje social para compartir enfoques, experiencias, problemas y necesidades sobre temáticas establecidas por su empresa; reflexionar sobre cuestiones comu-nes y explorar nuevas ideas; generar conocimiento y enriquecer-se del conocimiento de los participantes y producir documentos o recursos físicos que sean parte de la vida de la comunidad.

Cuando Wenger (2001) señala que las Comunidades de Práctica son historias de aprendizaje compartidas es porque las determina como un constructo teórico caracterizado por la inte-racción de sus dimensiones. Son estructuras efectivas en las em-presas orientadas al conocimiento; son sistemas de aprendizaje informal a través de las empresas; son espacios interactivos que permiten a las personas alcanzar el máximo potencial; espacios para profundizar y documentar el conocimiento que se van ge-

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nerando; previene la pérdida del conocimiento generado gracias al intercambio de experiencias entre los participantes.

Si todo aprendizaje sucede en comunidades sociales en las que circulan conocimientos necesarios para los individuos que las forman, las Comunidades de Práctica no se crean sino que existen, por lo que para identificarlas se requiere identificar sus características básicas así como los elementos que aparecen en la interacción de sus dimensiones, ello puede permitir una me-jor caracterización de la comunidad a estudiar, al identificar las variables que pueden incidir con mayor imparto a una investi-gación de corte sociocultural.

La comunidad de formación científica se puede entender a la luz de Comunidad de Práctica, como un grupo con una prác-tica; dicha comunidad está constituida con el fin de desarrollar y usar conocimiento especializado para resolver problemáticas de su comunidad. En este quehacer los integrantes deben ser proactivos, sentirse identificados, apoyarse mutuamente, estar en constante interacción para producir documentos solicitados por la institución. Las características de las dimensiones de una Comunidad de Práctica que fueron identificadas son:

1. En la comunidad de formación científica, los doctores in-vestigadores están a cargo de la formación de los princi-piantes, la guían proporcionando proyectos que permitan que los estudiantes adquieran habilidades. Dichos docto-res adquieren un compromiso no sólo por las exigencias de la institución académica donde forman, sino por la conservación de saberes; de igual forma los principiantes se comprometen a llevar en buen término lo que estos doctores les proporcionan para hacer, lo cual pueden lla-marse tareas, proyectos, exámenes, prácticas, tesis entre otros. No sólo la relación entre ellos se basa en que cada quien cumpla con su responsabilidad, sino de igual forma, entrar en una negociación de significados al momento de interactuar con otros compañeros, con el mismo doctor, con el libro de texto, en la red; se puede por ello apreciar un compromiso mutuo.

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2. Las empresas conjuntas para la comunidad de formación científica son la Universidad o Centro de Investigación, la línea de investigación, las materias a cursar, los proyec-tos a evaluar. A pesar de las distintas empresas hay una responsabilidad mutua entre todos los participantes de la comunidad por al menos aprobar con base en los criterios de la institución educativa.

3. El repertorio son los recursos compartidos como los es-pacios comunes, el chat para el intercambio de ideas, los libros de texto, la internet, entre otros, que propicien la negociación de significados y los productos que ellos pro-duzcan, por ejemplos notas, tesis, programas, su vocabu-lario, los símbolos.

Lo que se menciona no es único, pues dependerá de la naturaleza de la comunidad de formación científica, por ejemplo si son in-genieros, químicos, educadores, etc. Los integrantes de la comu-nidad de formación científica participan conjuntamente en los que tiene importancia, que pueden ser, por ejemplo, proyectos en sus cursos de formación o tesis de posgrado; ello permite la participación y crear identidad. La vida temporal de una comu-nidad de formación científica puede variar pues puede ser corta en el momento de hacer una tarea, resolver un pequeño proble-ma, entregar un proyecto o hasta la elaboración de una tesis. Aunque la vida de un proyecto de investigación no garantiza la vida de la Comunidad de Práctica, pero posiblemente elementos que se den en cierto tiempo en el que se generan aprendizajes puede permitir identificarla como una Comunidad de Práctica.

Identificar estos aspectos permite caracterizar el contexto desde una metodología más detallada, sin que el investigador sólo utilice su sentido común para caracterizar su población de estudio.

Las condiciones, los recursos y las exigencias sólo confor-man la práctica cuando han sido negociadas por la comunidad, en la negociación de significado se genera conocimiento signi-ficativo para esa comunidad, al constituirse. La caracterización de práctica que se presenta en este escrito no es contradictoria a

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las propuestas por teorías socioculturales como la Socioepiste-mología, lo que nos podría brindar un apoyo para poder estu-diar y caracterizarla en una comunidad.

En la comunidad de formación científica se manifiesta la evolución de prácticas cuando los participantes renegocian sus relaciones mutuas y las formas de participación. El cambio constante es una parte importante del compromiso cotidiano en la práctica, la comunidad no se desintegra, no se les muestra la ciencia como hace diez años, ni las formas de investigar son las mismas; ha habido una evolución. De igual forma la tecnología apoya a los nuevos integrantes de la comunidad, pero se sigue conservando la práctica de aprender a hacer investigación. Re-quiere la necesidad de interesar, involucrar a los estudiantes en el proceso de investigación, de tal forma que se sientan inte-grantes que al aprender emplean herramientas (conocimientos) para generar otras que responden a alguna problemática de in-terés común.

Con respecto al conocimiento como producto que se ge-nera del aprendizaje, éste es propiciado en la negociación de significados; el conocimiento generado por una comunidad de formación científica será propio de esa comunidad, es decir, va más ligado al conocimiento científico. Esta forma de determinar al conocimiento como un proceso apoya a investigaciones en las que se desea analizar saberes funcionales para la construcción social de conocimiento matemático.

La comunidad de formación científica al identificar al-gunos de los elementos de la Comunidad de Práctica permite presuponer que se construye conocimiento científico y apren-dizajes, lo que admite ser una herramienta metodológica para estudios dentro de la Matemática Educativa en organizaciones donde se usa la matemática funcional más allá de los límites de los sistemas formales. Por lo que se infiere incorrecto caracteri-zar una comunidad de práctica general, ya que cada una tiene características diferentes, duraciones diferentes, además de que mirar a una comunidad como un constructo teórico no apoya tanto como mirarla como un grupo en una práctica, con inte-racción constante para producción de conocimiento. Este escri-

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to caracterizó los elementos particulares de la comunidad de formación científica y dio elementos para poder identificarla, aunque para evidenciar cada uno de sus elementos, es necesa-rio definir la empresa, la práctica y la comunidad social que se desea estudiar, por ejemplo grupo de ingenieros estudiantes (co-munidad) de maestría en ingeniería (empresa) en la realización de proyectos (práctica).

Agradecimientos

Isabel Tuyub y Gabriela Buendía desean agradecer el apoyo brin-dado para esta investigación por el Proyecto sip 2011 - 1093, “Análisis del papel de las gráficas en el discursos matemático escolar”.

Gustavo Martínez agradece el apoyo brindado para esta investigación por el Proyecto sip 2011 - 1109, “Representacio-nes sociales que de las matemáticas, su enseñanza y su aprendi-zaje tienen estudiantes de nivel medio superior y superior”

Referencias bibliográficasAlvarado, M. y Flores - Camacho, F. (2010). Percepcio-

nes y supuestos sobre la enseñanza de las ciencias. Las concep-ciones de los investigadores universitarios. Perfiles educativos, 32(128), 10 - 26.

Bachelard, G. (1978). Conocimiento común y conoci-miento científico, en El racionalismo aplicado (pp. 99 - 130) (Ramos, I., trad.). Buenos Aires: Paidós.

Berger, P. y Luckmann, T. (2001). La construcción social de la realidad (17th ed.). Madrid: Amorrortu editores.

Bourdieu, P. (2003). El oficio de científico. Ciencia de la Ciencia y reflexividad. Curso del College de France 2000 - 2001. Barcelona: Anagrama.

Cordero, F. (2006). La institucionalización del conoci-miento matemático y el rediseño del discurso matemático esco-lar. En G. Martínez (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática

181

Educativa (Vol. 19, pp. 824 - 830). México: Comité Latinoame-ricano de Matemática Educativa.

Cordero, F. (2005). La distinción entre construcciones del cálculo. Una epistemología a través de la actividad huma-na. Revista Latinoamericana de Matemática Educativa, 4(2), 103 - 128.

Echeverría, J. (2009). Las repúblicas del conocimiento. En R. Suárez (Ed.), Sociedad del conocimiento. Propuestas para una agenda conceptual. unam: México

Fortes, J. y Lomnitz, L. (1991). La formación del científi-co en México, adquiriendo una nueva identidad. México: Siglo xxi editores.

García - Torres, E. (2008). Un estudio sobre los procesos de institucionalización de las prácticas en ingeniería biomédica. Una visión socioepistemológica (Tesis de maestría no publica-da). cinvestav - ipn. México.

Garrido, A. (2006). El aprendizaje como identidad de participación en la práctica de una comunidad virtual. Progra-ma de doctorado sobre la Sociedad de la Información y el Cono-cimiento. Recuperado desde http://www.uoc.edu/in3/dt/20088/index.html

Kanes, C. y Lerman, S. (2008). Analysing Concepts Of Community Of Practice. En A. Watson y P. Winbourne (Eds.), New directions for situated cognition in mathematics educa-tion (Vol 45, pp. 303 - 327). New York: Springer Verlag. doi: 10.1007/978-0-387-71579-7

Kuhn, T. (1971). La estructura de las revoluciones cientí-ficas. Brevarios. México: Fondo de cultura económica.

Lave, J y Wenger, E. (1991). Situated learning. Legitimate peripheral participation. United Kingdom: Cambridge Univer-sity Press.

Martínez - Sierra, G., Arrellano, Y., Ferrari, M., Lomelí, G., Rivera, M. y Viramontes, J. (2009). Incorporación del estu-dio del conocimiento de sentido común a la investigación a la matemática educativa. En G. Buendía y A. Castañeda (Eds), Es-cuela de Invierno en Matemática Educativa xii (pp. 648 - 667). Tamaulipas: Cimates.

182

Michelle, L. (2010). El conocimiento científico. Recupe-rado desde http://www.buenastareas.com/ensayos/Conocimien-to-Cientifico/1010034.html

Moscovicci, S. (1979). El psicoanálisis, su imagen y su público. Buenos Aires: Huemul S.A.

Radford, L. (2000). Sujeto, objeto, cultura y la formación del conocimiento. Educación Matemática, 12(1), 52 - 69.

Tuyub, I. (2008). Un estudio socioepistemológico de la práctica toxicológica: un modelo de la construcción social del conocimiento (Tesis de Maestría no publicada). cinvestav - ipn. México.

Vásquez, S. (s.f.). Comunidades de práctica. Una visión unificada del trabajo, el aprendizaje y el conocimiento. Recupe-rado desde http://www20.gencat.cat/docs/Justicia/Documents/ARXIUS/doc_40096037_1.pdf

Wenger, E. (2001). Comunidades de Práctica. Aprendiza-je, significado e identidad. Barcelona: Paidós.

Wenger E., McDermott, R. y Snyder, W. (2002). Cultiva-ting communities of practice: a guide to managing knowledge. Massachusetts: Harvard Business Press.

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Desarrollo histórico como mediador de conocimientos para la enseñanza del concepto de ánguloRosa Araceli Rotaeche Guerrero y Gisela Montiel Espinosa

1. Introducción a la problemática

El concepto de ángulo se introduce por primera vez en el cuarto grado de la educación primaria del sistema educativo mexicano, en consecuencia, se asume que cuando el alumno ingresa a la secundaria, es capaz de usarlo, medirlo y aplicarlo en la clase de matemáticas, física y dibujo técnico. Fue en esta última asigna-tura, particularmente en los trazos de líneas inclinadas y en la asociación de ciertas medidas en grados al momento de manejar las escuadras y el transportador, que reconocimos ciertas dificul-tades en el manejo del concepto.

El alumno se familiariza con las escuadras, denominán-dolas como la de 30° - 60° y la de 45°, sin embargo, por su for-ma (triangular) en ocasiones no las distingue una de otra. Al pedirle al alumno que dibuje una línea a 45° supone suficiente usar la escuadra correspondiente, independientemente de la po-sición en la que sea colocada. Los estudiantes no reconocen, en el transportador, el punto de inicio y la dirección para localizar un ángulo de medida específica, lo cual se acentúa porque este instrumento está graduado en ambas direcciones. La dificultad aquí radica en que, por ejemplo, se localice un ángulo de 20° en

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el sentido de las manecillas del reloj, pero se traza el suplemen-tario de 160° que va en sentido contrario a las manecillas del reloj y a ese trazo se le asocian los 20°.

Uno de los conflictos que más llamara nuestra atención fue el uso que hacen los estudiantes del transportador al medir ángulos en una circunferencia, pues lo usan de manera análoga a la regla y miden la longitud del arco.

Una búsqueda en la literatura especializada nos mostró que este tipo de dificultades, junto con otros conflictos y mal-entendidos, se constituyen como un fenómeno didáctico asocia-do a la particularidad del concepto matemático ángulo, pues se presentan independientemente del país, el contexto o el para-digma de enseñanza - aprendizaje de las experiencias educativas hasta ahora reportadas.

En este documento presentamos una primera parte de la investigación (Rotaeche, 2008). Exponemos las consideraciones teóricas que fundamentan el diseño didáctico y el diseño mismo, mostrando como hilo conductor la reorientación del objeto de enseñanza que se logra haciendo uso de la historia como media-dor de conocimientos para la enseñanza del concepto de ángulo.

2. Fenómeno Didáctico

En el contexto del sistema educativo mexicano Bosch, Ferrari, Marván y Rodríguez (2003) identifican malentendidos, por un lado relacionados al tamaño, cuando los ángulos se conciben únicamente como la figura formada por dos semirrectas que parten de un mismo punto y, por otro lado, relacionados al con-cepto de grado cuando el ángulo se mide directamente con el transportador. Los autores relacionan estos fenómenos directa-mente con el discurso escolar y el tipo de actividades incluidas en los libros de texto oficiales, y construyen una propuesta al-ternativa que trabaja el ángulo como giro y las partes de vuelta como medida, avanzando de lo simple (mitades o cuartos de vuelta) a lo complejo (doceavos de vuelta). Advierten que tra-bajar el ángulo como giro usando sectores circulares puede pro-

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piciar errores y otros malentendidos, asociados a la confusión del ángulo con la superficie del sector circular, pues se tiene la concepción del ángulo sólo como figura.

En el contexto internacional se han hecho investigaciones desde distintas perspectivas, entre ellas la didáctica, la cognitiva y la histórica. Investigaciones recientes como las de Casas (2002), Mitchelmore y White (2000), Clements y Burns (2000), Fyhn (2008), Munier y Merle (2009) hacen un reconocimiento explí-cito de la dificultad impuesta por el propio concepto, a propósito de su naturaleza multifacética, para analizar los conflictos del estudiante, diseñar situaciones problema y/o configurar explica-ciones teóricas sobre la construcción del concepto de ángulo.

En un panorama general las dificultades más comunes en los estudiantes están relacionadas con coordinar distintas face-tas del concepto —por ejemplo el giro (Mitchelmore y White, 1998) y la inclinación (Duoek, 1999)—, con asumir que la lon-gitud de las rectas que definen al ángulo afectan a la medida de éste, con identificar al ángulo dentro de otras figuras, con reco-nocer ángulos de 0°, 180° y 360°; y todas ellas se pueden asociar al tipo de definición trabajada, así como al único instrumento utilizado para medirlo: el transportador.

La naturaleza multifacética del ángulo se refiere específi-camente a la diversidad de definiciones que pueden encontrarse en los libros debido a que cada una debe ajustarse a diferentes estructuras matemáticas formales. Los diseños y las teorías se han basado en una clasificación más o menos general de las de-finiciones de ángulo como:

•  Cantidad de giro entre dos líneas, respecto de un punto•  Un par de rayos con un punto final común•  Una región formada por la intersección de dos semiplanos

Además de las definiciones, se reconoce que el concepto tiene propiedades estáticas o dinámicas asociadas a las definiciones y a las representaciones que se utilizan como apoyo para la mani-pulación del concepto en el aula.

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3. Innovación Didáctica

Una forma de abordar la noción de ángulo es trabajarlo en es-trecha relación a situaciones angulares en contextos físicos. Este es el caso de trabajos como el de las sombras de Douek (1999), el del alpinismo o los de la reflexión de la luz en un espejo de Fyhn (2008), el de la medición del arco del horizonte (acimut) y el del campo visual, estos últimos de Munier y Merle (2009).

Por su parte, Duoek (1999) reporta los resultados de una experiencia con doce estudiantes italianos de cuarto grado a los que se les confronta con la modelación geométrica del fenóme-no de las sombras. El contenido matemático que interesa en este estudio es la modelación matemática en un estado inicial y el concepto de inclinación de la línea recta con respecto a un pla-no en su relación con el concepto de ángulo, esto es, el ángulo no es el objeto de aprendizaje. La noción de inclinación emerge de forma implícita y explícita en los estudiantes, sin embargo, solo una estudiante reconoce su relación con el concepto de ángulo, por lo que el profesor la invita a presentar y discutir su idea al grupo. El ángulo evoca al trabajo en papel, en el plano y es en el esquema de la sombra y no en el espacio físico donde los estudiantes logran ver la conexión ‘inclinación - ángulo’. La autora observa que el concepto de inclinación, en este experi-mento, parece desarrollarse independientemente del concepto de ángulo y que el profesor se ve obligado a forzar la conexión de ambos conceptos.

Munier y Merle (2009), desde el marco de ‘la geometría como modelo del espacio’ buscaron, en niños de la escuela bási-ca, la construcción de conocimiento físico y conocimiento mate-mático a través de situaciones - problema donde la noción de án-gulo debía emerger como necesaria para resolverlas. En las tres secuencias experimentadas se presentó la dificultad de asociar la medida del ángulo con la medida de las longitudes de los seg-mentos que lo delimitan, y fue regresar a las situaciones empíri-cas y no a las representaciones (o modelos) lo que les permitió superar dicha dificultad. Sin embargo, en un cuestionario final la dificultad volvió a presentarse. Cabe señalar que las preguntas

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de este último cuestionario estaban planteadas en un contexto puramente geométrico, con las representaciones clásicas del án-gulo, y no en el contexto de las aplicaciones físicas estudiadas.

Ambas experiencias, sin duda, aportan elementos para mejorar la enseñanza y el aprendizaje del concepto de ángulo. Podemos decir que sus resultados dependen en gran medida del escenario en el que se llevaron a cabo las actividades.

En tanto nuestra problemática se enmarca en un escena-rio escolarizado, es necesario considerar las condiciones de clase que matizan la actividad didáctica y sus resultados, tomando en cuenta que parte de lo ‘cotidiano’ está asociado al uso de las herramientas matemáticas escolares previamente construidas.

4. Algunos roles de la historia en la investigación didáctica

El binomio Historia–Educación referido a las matemáticas ha encontrado diversas manifestaciones exitosas. Buendía y Mon-tiel (2009,2011) lo han utilizado para reconocer en la historia elementos que contribuyan en (1) la explicación de fenómenos de aula y (2) el planteamiento de epistemologías de prácticas para la construcción de conocimiento matemático. Las autoras ponen en evidencia cómo, desde la aproximación socioepistemo-lógica, se desarrollan estrategias de investigación a través de la historia para determinar aquellas circunstancias que dan cuenta de por qué hoy tratamos con la matemática escolar como lo ha-cemos. Para ampliar la explicación de los fenómenos didácticos Montiel (2011) confronta los usos y significados entre el saber matemático en escenarios históricos y el saber matemático en escenarios escolares, cuestionando su estatus institucional como aquello que ha de enseñarse - aprenderse. Esta problematización de la matemática escolar se constituye como una premisa funda-mental de su enfoque teórico.

Keiser (2004), por su parte, hace una comparación en-tre las concepciones de los estudiantes y el devenir histórico del ángulo, particularmente en tres categorías: (1) ¿qué se mide en realidad cuando nos referimos al tamaño de los ángulos?,

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(2) ¿los ángulos pueden incluir curvas? y (3) las dificultades en conceptualizar ángulos de 0°, 180° y 360°. En este estudio se encuentran similitudes entre las dificultades del alumno y las dificultades en la construcción del ángulo como concepto ma-temático, y se reconoce la necesidad de trabajar, al igual que en el devenir histórico, en diferentes direcciones, con variedad de representaciones, en distintos contextos y situaciones angulares. Esta mirada fortalece los resultados de Piaget y García (1982) que asocian la epistemología genética con la epistemología his-tórica, sin embargo, al mirarlos aislados estaríamos transparen-tando el papel que han jugado la transposición didáctica del concepto del ángulo y su enseñanza, para provocar o favorecer tales dificultades.

Para efectos de nuestro trabajo, en particular para carac-terizar la naturaleza epistemológica del concepto de ángulo, uti-lizaremos su historia como mediador del conocimiento para la enseñanza, en tanto puede proveer del contexto que permita ver los tópicos escolares desde una perspectiva diferente a la tradi-cional (Furinguetti, 2007). En este sentido, el desarrollo históri-co del concepto de ángulo será utilizado para reorientar el obje-to de enseñanza: del manejo de una definición y su aplicación a la apropiación de diversas facetas y significados del concepto a través de su manipulación.

5. Una mirada al desarrollo histórico del ángulo

La naturaleza del concepto de ángulo ha sido tema de debate por más de 2000 años y la discusión aún no termina (Matos, 1990). Quizá por ello no hay una única definición aceptada por la comunidad matemática y su transposición didáctica de ninguna manera se convierte en un proceso trivial. Michelmore y White (2000) han llamado a esta peculiaridad la naturaleza multifacética del concepto de ángulo. Para estos autores, las di-versas definiciones que se pueden localizar en los libros de texto obedecen a su ajuste a diferentes estructuras matemáticas for-males, pero el hecho de que ninguna definición parezca coincidir

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con todos los contextos físicos del ángulo enfatiza la dificultad de formar un concepto general estándar.

El paralelo que encuentra Keiser (2004) entre las dificul-tades del estudiante y las dificultades para definir el concepto evidencia, como señalaba Skemp (1969, citado en Furinguetti, 2007), que los acercamientos puramente lógicos proveen sólo el producto final de los descubrimientos matemáticos y no generan en el estudiante los procesos mediante los cuales dichos descu-brimientos se dan. De aquí que la historia de las matemáticas jugara el papel de mediador, por habernos permitido reconocer ciertos significados de los objetos matemáticos en su proceso histórico de construcción.

El devenir histórico del ángulo muestra de manera explíci-ta los significados que le subyacen, más allá del contexto donde se sitúa. Matos (1990, 1991), Maor (1998), Keiser (2004) y van Brummelen (2009) han documentado detalladamente este deve-nir histórico; sin embargo, consideramos que la naturaleza del concepto trasciende sus definiciones, formas de representación o contextos de aplicación. Nuestro análisis –en tanto se ubica en el ámbito de la Matemática Educativa y no propiamente en el de la Historia o la Epistemología de la ciencia– pretende mostrar la base de significados naturales subyacentes a los procesos y con-ceptos matemáticos, mediante un análisis de ideas que señaladas en la historia y en la epistemología, establezcan explicaciones sobre la construcción de un cierto conocimiento matemático (Cantoral, 2001). En este sentido, nuestro trabajo consistirá en hacer un recuento de aquello que lo caracteriza como ángulo, de aquello que le es esencial.

Usos prácticos de la noción de ángulo

La construcción y la astronomía fueron escenarios apropiados para el uso de la noción de ángulo, aunque subyacente en la inclinación de las construcciones y en la dirección de los cuer-pos celestes, ambos usos aportaron significaciones que poste-riormente se representarían por medio de objetos geométricos.

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Por ejemplo, los mayas de la época precolombina combinaron ambas actividades al construir sus edificaciones con el propósito de escenificar fenómenos celestes de la Tierra, como el castillo de Chichen Itzá, donde se observa el descenso de Kukulkán, serpiente formada por las sombras que se crean en los vértices del edificio durante los solsticios.

Otro ejemplo en donde se reconoce el uso del ángulo es el Papiro de Rhind (1700 antes de nuestra era, aproximadamente) donde es posible apreciar algunos cálculos necesarios en la cons-trucción de pirámides y monumentos. En particular los proble-mas 56 al 60 contienen cálculos relativos a la inclinación de una pirámide dadas sus dimensiones horizontales y verticales, el propósito era el de mantener la pendiente uniforme en cada cara y la misma en las cuatro, y puede haber sido este problema el que llevo a los egipcios a introducir un concepto equivalente al de la cotangente de un ángulo (Boyer, 1968). Para lograr sus construcciones calculaban la separación de una recta oblicua del eje vertical por unidad de variación en la altura, dicho cálculo recibía el nombre de se−qet, y con ello lograban mantener las proporciones de la pirámide y la inclinación de sus caras.

Aunque no hay consenso del porqué de la división de la circunferencia en 360 partes (ver por ejemplo los argumentos que expone Maor (1998, p. 15); en contraste con los de Matos (1990, p.6), la medición angular se le confiere a los babilonios en el contexto de la astronomía (van Brummelen, 2009, p.14). Evidentemente éstas no son las únicas culturas que se interesa-ron en explicar los fenómenos celestes, mucho menos los únicos en producir conocimiento asociado a la medición del tiempo y llevar registro de la localización de estrellas y planetas. Son sólo una referencia del contexto en donde se da uso de una noción antes de que ésta tenga un estatus de concepto formal.

En esta sección resulta sencillo reconocer el uso del án-gulo cuando juega un papel importante en ciertas actividades, pero al nivel de noción que aún no se define o no se identifica como concepto; en contraste con hablar de aplicación, donde haríamos referencia a llevar el concepto formal a la situación que lo requiera. Sin embargo, continuaremos hablando de ‘uso’

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en tanto la peculiaridad del concepto en cuestión, el de no tener una única definición.

Usos teóricos del concepto de ángulo

Los griegos fueron los primeros en tener una palabra para án-gulo y antes de Aristóteles (384 - 322 antes de nuestra era) ya se distinguía entre los ángulos agudo, recto y obtuso. A partir del período clásico griego, el ángulo encuentra definiciones, carac-terizaciones y categorizaciones cada vez más precisas y amplias. Lo que importa señalar es que toda la discusión se propicia en un terreno filosófico - matemático, más que en el de los usos prác-ticos.

Matos (1990,1991) ha hecho una revisión precisa y de-tallada del devenir histórico del concepto de ángulo, pero para efectos de este escrito lo articularemos con la perspectiva his-tórica de Keiser (2004) con el propósito de considerar aquellas definiciones que muestren los momentos más relevantes respec-to de su definición y la discusión sobre su naturaleza. Nuestro objetivo es dar luz de los significados que actualmente viven y los que se han perdido en el discurso matemático escolar, exclu-sivamente de los denominados ángulos rectilíneos.

Los antiguos Griegos buscaban clasificar las cosas dentro de las categorías Aristotélicas y en lo que se refería a los objetos geométricos estas categorías eran la cualidad, la cantidad y la re-lación. Se presume que para Aristóteles (384 - 322 a.C.) el ángulo era una cualidad, definido en algunos escritos como la deflexión o la fractura de una línea (Matos, 1990), (ver figura 17)

Figura 17. Deflexión o fractura

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En los Elementos de Euclides (~300 a.C.), del Libro I, en las definiciones 8 y 9 se establece que un ángulo plano es la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta (figura 18)… Cuando las líneas que comprenden al ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo17(figura 19)

Figura 18. Inclinación entre las líneas ‘r’ y ‘p’

Figura 19. Ángulo rectilíneo

De la definición 10 a la 12, Euclides hace una categorización de los ángulos de acuerdo a su tamaño. De las dos primeras definiciones se puede deducir que para él el ángulo se define por dos rectas particulares, pero también sugiere al ángulo como una especie de área contenida entre dos rectas. Keiser (2004) reconoce en Euclides el ángulo como una relación, sin embargo, la sugerencia del ángulo como sector puede interpretarse como cualidad en tanto la representación del concepto.

17 Traducción tomada de http://www.euclides.org/menu/elements_esp/01/definicioneslibro1.htm

r

p

m t

193

Se resaltan dos cambios notorios respecto de Aristóte-les, el ángulo se define con dos rectas, no sólo con una que se fractura, y puede cuantificarse. Sin embargo, Euclides excluye como ángulos el cero, el llano o aquellos mayores al llano, ni si-quiera los considera una composición de otros ángulos. Sólo los comentadores de la Edad Media [Tartaglia (1500 - 1557 d.C.), Peletier (1517 - 1582 d.C.) y Clavius (1538 - 1612 d.C.)] consi-deraban a los ángulos mayores de 180° como un solo ángulo (Heath, 1956).

Posteriormente a Euclides la discusión se centró en tres problemas: (1) cuál es una buena definición de ángulo, (2) dón-de se ajustan los ángulos a las categorías aristotélicas de cuali-dad, cantidad y relación, y (3) cuál es la naturaleza de los ángu-los curvilíneos.

En cada una de las definiciones que expone Matos es po-sible distinguir elementos que le confieren cierta naturaleza al concepto, algunos hablan de “distancia”, “sector”, “contrac-ción”, “espacio”, todas ellas necesitan de otros objetos para definir o acotar (de toda una figura) lo que es y en ocasiones lo que no es un ángulo. Hay casos (por ejemplo, las definiciones en las tablas 1 y 2) donde se hace explícito que se le considere cualidad, cantidad y/o relación, sin embargo, es importante con-siderar que estas categorías tendrán una interpretación acorde a la época y a la tradición filosófica - matemática de su momento.

So the angle surely needs the underlying quantity implied in its size, it needs the quality by which it has something like a special shape and character of existence, and it needs also the relation of the lines that bound it or of the planes that enclose it. The angle is something that results from all of them.

Definición de Proculus (412 - 485 d.C.)

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It seems, however, that it must be said that an angle is a quantity, but that angularity is a quality accidental to a quantity.

Definición de Alberto Magno

Llegado el siglo xix el ángulo tuvo nuevos contextos de dis-cusión. Con la geometría no - euclidiana la discusión sobre su naturaleza cambió significativamente, sin embargo, una de las extensiones más importantes que tuvo fue su uso para expresar intervalos de tiempo entre dos eventos periódicos. La idea cru-cial vino del desarrollo de las funciones en series trigonométri-cas, por Fourier (Kline, 1972).

Dentro de la geometría euclidiana se continuaron los es-fuerzos por clarificar la noción de ángulos rectilíneos. Veronese (1854 – 1917) sostuvo que un ángulo es una entidad en una di-mensión con respecto al rayo y una entidad de dos dimensiones respecto a los puntos en el plano. Su idea era definir al ángulo como un agregado de rayos emitidos desde el vértice e incluidos en un sector angular (Heath, 195618). Esto indica que para él el ángulo era el conjunto de todos los rayos dentro de dos rayos dados. Por otro lado, para Bertrand (1872 – 1970) un ángulo era una porción del plano que es común a los dos semi - planos limitados por dos líneas, o la interferencia de estos dos semipla-nos (tomado por Matos (1991) de (Enriques, 1911)).

Las definiciones más actuales tienen ya un toque mucho más formalista, que usan simbolismos y terminología de con-juntos, grupos, etc., lo cual es muy lógico dados los programas formalistas de la matemática misma. No obstante, libros de na-turaleza más histórica o de difusión de la cultura matemática mantienen esa visión explicativa e ilustrativa del concepto de ángulo. Tal es el caso de Maor (1998, p. 15), quien señala:

18 Citado por (Matos, 1991)

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Las entidades geométricas son de dos tipos: aquellas de natu-raleza estrictamente cualitativa, como el punto, la línea y el plano y aquellas a las que puede asignarse un valor numérico, una medida. A este último grupo pertenecen los segmentos de recta, cuya medida es la longitud; una región plana asociada con un área; y una rotación, medida por su ángulo.

Existe cierta ambigüedad en el concepto de ángulo, porque describe la idea cualitativa de separación entre dos líneas que se intersectan y el valor numérico de dicha sepa-ración (la medida del ángulo). Afortunadamente no debemos preocuparnos por esta ambigüedad, a la trigonometría le con-ciernen sólo los aspectos cuantitativos de los segmentos de recta y de los ángulos.

Suponemos que caracterizar al ángulo como una relación de dos líneas no es una necesidad para Maor dado el contexto que le interesa, el de la Trigonometría. Es decir, dado que para hablar de relaciones trigonométricas el concepto de ángulo está íntima-mente ligado al triángulo, no hace falta hacer explícito que un ángulo necesita de dos líneas para definirse o acotarse.

Sin embargo, consideramos que dentro de las tareas del matemático educativo está la de problematizar lo que se enseña. En este sentido es importante recuperar, del reporte histórico, aquello que nos de la luz sobre los conceptos, su naturaleza, sus significados y los conflictos que llevan a su construcción, esto es, desentrañar su naturaleza epistemológica.

De la historia a la naturaleza epistemológica de la noción de ángulo

Históricamente, encontramos que el ángulo se usó y aplicó, así como también se definió y se discutió sobre él, considerándolo una cualidad, una cantidad y/o una relación. Consideraremos entonces que la naturaleza del concepto está asociada a los sig-nificados que debe construir el estudiante:

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• Cualitativo por su forma, en particular relacionado a los registros utilizados para representarlo

• Cuantitativo por su medida• Comorelación por la manera en que se acota y define

Al interesarnos por el aprendizaje del concepto de ángulo debe-mos considerar la construcción, la distinción y la articulación de estos tres significados, que de alguna forma u otra se encuentran en las diferentes definiciones escolares (desde la educación básica hasta la formación universitaria), pero de forma desarticulada y antecediendo la definición y la medición a la manipulación de las formas y la identificación de los contextos donde el ángulo cobra uso o aplicación.

En lo cualitativo podemos distinguir que el ángulo se identifica como abertura, inclinación e incluso área; todas ellas son formas aceptables para trabajar el concepto, siempre y cuando se distinga lo que es propio del ángulo. Por otro lado, dependiendo del contexto u objetos matemáticos con los que se relacione, el ángulo es visto como objeto estático (sobre todo en Geometría y Trigonometría, o en Dibujo Técnico) en la inclina-ción, la abertura o la línea fracturada; o como objeto dinámico (en el Análisis Matemático o en la Física) con los giros, las vuel-tas o en el clásico círculo unitario.

En lo cuantitativo es importante distinguir el “tipo de me-dición” que debe realizarse al trabajar con ángulos. Actualmen-te, en la escuela, al ángulo le anteceden mediciones de longitud donde la herramienta de medición (la regla) se coloca directa-mente sobre el objeto a medir y se obtiene la medida. La medi-ción del ángulo requiere, además del transportador, identificar el referente “inicio” y la “dirección” en que se leen los grados. En este sentido podemos asumir que “medir” un ángulo es de naturaleza distinta a “medir” una longitud y el uso del vocablo “medir” puede ser el detonante para considerar al ángulo como la longitud de un arco. Pensar al ángulo como simple o trivial, puede ser la raíz de por qué se convierte en una dificultad para el estudiante, pues su presentación puede parecerlo, sin embargo,

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visto desde su desarrollo histórico es evidente que es resultado de amplios y complejos procesos de construcción y abstracción.

6. Diseño de una secuencia didáctica

Se utilizaron las fases de la ingeniería didáctica (tal como las plantea Lezama (2003) p. 9) para el diseño de la secuencia. Consideraciones cognitivas relativas al ángulo (Mitchelmore y White, 2000) y consideraciones didácticas relacionadas con su enseñanza, en el primer año de la educación secundaria en Méxi-co, se articularon de forma sistémica con las consideraciones his-tórico - epistemológicas presentadas en la sección anterior, como un análisis preliminar. Evidentemente, las actividades están fuer-temente condicionadas por las posibilidades y restricciones del escenario en donde se llevaría a cabo la experiencia didáctica.

Fase de Planeación

Con el propósito de diseñar una secuencia19 en el nivel secun-dario, donde se deben construir ciertos significados asociados al ángulo, se consideraron los elementos didácticos relacionados al acercamiento escolar que se le da al ángulo en el nivel básico en la primaria, esto es, el ángulo como giro y como elemento de otras figuras geométricas. Se asume entonces que se reconocerán las nociones de ángulo en sectores de área (significado cualitati-vo - estático), en los giros (significado cualitativo - dinámico), en la porción de una circunferencia (significado cuantitativo - está-tico) y en la parte de vuelta (significado cuantitativo - dinámico). En este sentido se reconoce como fundamental que el alumno domine las nociones escolares de proporción, porción, área, fracción, triángulo equilátero, triángulo isósceles, triángulo es-caleno, triángulo rectángulo y polígonos regulares.

19 La secuencia completa puede consultarse en (Rotaeche, 2008)

198

A diferencia de las situaciones físicas que trabajaron Mit-chelmore y White (2000), nosotras consideramos como expe-riencia cotidiana el escenario de la escuela y lo que ello implica: las restricciones de tiempo y espacio, los conocimientos previos de los alumnos, los efectos de los contratos pedagógico y esco-lar, así como las herramientas de medición con las que cuentan los alumnos. Las situaciones físicas se establecieron con el prin-cipio de la manipulación y no sólo de la observación, a través de materiales recortables y actividades como iluminar, superponer figuras y responder un cuestionario alterno. Estas situaciones se relacionaron con la manipulación de objetos escolares en los cuales el ángulo está presente y que el alumno trabaja cotidiana-mente, como son el cuadrado, el triángulo equilátero, el triángu-lo isósceles y el triángulo escaleno.

Los contextos se establecieron por figura geométrica tra-bajada: cuadrado, medio cuadrado, triángulo equilátero, medio triángulo equilátero, etc. Es decir, cuando el alumno logra ge-neralizar la relación entre la parte de giro con la parte del cír-culo, por figura geométrica, sin importar el tamaño de la figura geométrica o el círculo sobre el que gira; entonces se dice que ha construido concepto contextual.

En lo que respecta a los dominios abstractos en los que se clasifican los contextos, se consideró lo estático y lo dinámico como parte de la naturaleza multifacética de la noción de ángu-lo y se favoreció el manejo de ambos al momento de sombrear (naturaleza estática) y al momento de girar las figuras (natura-leza dinámica).

La etapa de abstracción se dividió en una generalización por parte del estudiante y una fase de institucionalización por parte del profesor. La generalización buscó que el alumno visua-lizara la división de la circunferencia en 360 partes y le asociara un objeto cotidiano, en este caso, el reloj. Con la instituciona-lización el profesor introduce el término ángulo, lo define y le asocia su medida en grados con base en las divisiones construi-das en el círculo.

199

Fase de diseño

El principio fundamental para la secuencia fue dar al alumno la responsabilidad, en el sentido de la teoría de situaciones di-dácticas (tsd), de construir el concepto a partir de actividades concretas con material manipulativo que le permita encontrar formas, patrones y relaciones en las diversas situaciones que se le presentaron.

La secuencia se dividió en seis partes, en cada una de las cuales el estudiante recibía materiales y hojas de trabajo. En la primera parte de la secuencia (S1) el estudiante recibe un cua-drado de cartulina y tres círculos de mica transparente de dife-rentes tamaños. Iluminando la parte del círculo que se sobrepo-ne al cuadrado (figura 4) cuando se hace coincidir el centro del primero con un vértice del segundo, se pregunta al estudiante por la fracción sombreada y se espera, o se provoca a través de preguntas, que para comprobarlo utilice el recurso de girar el círculo, pues se le pide unir centro y vértice con una chinche.

Figura 20.

Figura 21.

Figura 22.

200

Se inicia con el círculo más pequeño. Cuando se termina la ac-tividad se continúa con el círculo mediano, ahora sobreponien-do ambos círculos al cuadrado (figura 21) y se pregunta sobre las porciones iluminadas en cada uno. Finalmente, cuando se hace la misma actividad con el círculo más grande, sobrepo-niéndose ahora los tres círculos con el cuadrado (figura 22), se les pregunta:

1. ¿Qué parte o fracción quedó delimitada del círculo 1? 2. ¿Qué parte o fracción quedó delimitada del círculo 2? 3. ¿Qué parte o fracción quedó delimitada del círculo 3? 4. ¿Son iguales las áreas delimitadas? 5. ¿Si utilizaras un cuadrado más grande, cambiaría la fracción

sombreada?

Y se establece que:

Vamos a denominar a esta fracción o este giro como de vuelta y nos vamos a guiar por la esquina del cuadrado

_______ de vuelta

Esperando que ellos propongan ‘el cuarto’ de vuelta. Con esta serie de preguntas se busca consolidar la idea de las ‘porcio-nes’ del círculo sin importar el tamaño de éste, distinguiendo de la noción de área, así como cuantificar la parte de vuelta (un cuarto de vuelta en este caso) y asociarlo a la figura geométrica ‘cuadrado’.

Figura 23.

201

Para iniciar la segunda parte de la secuencia (sp2) se pide al estudiante recortar el cuadrado de cartulina por la diagonal que resulta de unir dos de sus vértices opuestos. Se sigue la mis-ma dinámica de trabajo que en la sp1, ahora sobreponiendo tres círculos de mica transparente, y de diferentes tamaños, al triángulo isósceles que se obtuvo (figura 24).

Figura 24.

La secuencia continúa con la misma dinámica, usando el trián-gulo equilátero (sp3) y el triángulo rectángulo formado con la mitad del equilátero (sp4). A través de preguntas se guía a los estudiantes a identificar las fracciones o porciones sombreadas y la cantidad de giro que le corresponde a cada figura.

Figura 25.

Figura 27.

Figura 26.

Figura 28.

202

La quinta parte de la secuencia (sp5) consistió solo en llenar una tabla con el nombre de la figura trabajada (25 a la 28) y la canti-dad de giro que le corresponde a cada una en la circunferencia.

Para dar inicio a la etapa de abstracción, se inicia la sexta parte de la secuencia (sp6) pidiendo al alumno que relacione dos columnas, en una aparecen las figuras (25 a la 28) y en la otra columna la circunferencia dividida en sectores. Se busca que el alumno establezca una relación entre la fracción del cír-culo sombreada de acuerdo a la figura utilizada y el ángulo ge-nerado. Esta asociación en la circunferencia da la introducción al trabajo con la división del círculo, en la que primero se le presenta dividida en doce partes iguales (figura 29) para hacer alusión al reloj:

Figura 29.

Se le entrega una flecha de cartón para que la fije en el cen-tro y realice diferentes giros a partir del número indicado. En este ejercicio, no se especifica el sentido del giro, precisamente buscando que el alumno descubra que dependiendo del sentido, será la fracción encontrada.

Aquí se dice al estudiante, por ejemplo: “Coloca la flecha en el número 3 y gírala hasta el número 6”. Si el giro se realiza en el sentido de las manecillas de un reloj, la fracción podría ser ¼ de vuelta, o 3/12 de vuelta. Pero si se realiza en el sentido

6

121

210

11

5

48

7

39

203

opuesto al movimiento de las manecillas de un reloj, la respues-ta podría ser: ¾ de vuelta, o 9/12 de vuelta.

La secuencia continúa con la misma figura, pero ahora denominando cada punto con una letra. Se le pide al alumno que piense en más divisiones, en particular que cada doceavo se divide ahora en 30 partes más pequeñas:

¿Cuántas partes iguales habría en 2/12? ¿Cuántas partes iguales habría en ½ giro? ¿Cuántas partes iguales habría en una vuelta completa?

De nuevo se le pide al estudiante realice giros con su flecha de cartón, pero ahora considerando esas pequeñísimas partes para después anotar las fracciones siguientes:

Figura 30.

Finalmente se llega a la parte de institucionalización donde el docente establece el nombre que recibe cada una de esas partes, por ejemplo diciendo:

Llamemos a cada una de esas pequeñas partes, gradoY se le pide al estudiante que establezca las siguientes re-

laciones entre las fracciones, las partes que contiene y los grados que le corresponden (por ejemplo ¼ de circunferencia tiene 90 de 360 partes, por lo tanto son 90°); para posteriormente rela-

270/3606

90/36012 60/360

1

30/3602

150/36010

120/36011

300/3605

330/3604

210/3608

240/3607

360/3603

180/3609

204

cionar los giros y los grados con las figuras geométricas trabaja-das al inicio (figuras 25 a la 28).

Finalmente, por el hecho de cumplir con el tema señalado en el programa de estudios, se le pidió a cada alumno que en la parte posterior de sus hojas describieran, con sus propias pala-bras, lo que para ellos es un ángulo.

7. El diseño y los conocimientos para la enseñanza del ángulo

En este documento hemos presentado una problemática escolar fuertemente documentada y estudiada desde diversas perspecti-vas teóricas y didácticas20. Nuestra investigación incorpora al-gunos de los resultados de estas perspectivas y los articula para construir la fundamentación del diseño didáctico que propone-mos. Si bien la puesta en escena se llevó a cabo en aula, con todos los estudiantes del grupo (es decir, no hubo selección de quiénes participarían en la experiencia), en horarios de clase, con el apoyo de la profesora del grupo, etc., no podemos asegurar que el diseño se institucionalizará en esta escuela. En este senti-do se trata de un experimento de diseño, en el sentido de Cobb, Confrey, diSessa, Lehrer & Schauble (2003) como enfoque de investigación, de aquí que presentemos sólo la fundamentación, el diseño y el análisis de éste último en el presente escrito.

A decir de Cobb, et al. (2003) los experimentos de diseño se llevan a cabo para desarrollar teorías, no sólo para ajustar empíricamente lo que funciona, reconociendo que éstas son re-lativamente modestas y se centran en los procesos de aprendi-zaje de dominios específicos. Al respecto, nosotras no preten-demos desarrollar teoría, en este punto, sino desarrollar una explicación más amplia del fenómeno didáctico situado en un contexto muy específico y con base en el diseño particular que se ha elaborado.

20 Aquí nos referimos, con didácticas, a las formas de enseñanza que se han propuesto para abordar el concepto de ángulo

205

Así, presentamos sólo el análisis del diseño a la luz de las implicaciones que tuvo el haber profundizado en la naturaleza histórico - epistemológica del concepto de ángulo. Al recono-cer, con el artículo de Keiser (2004), que las dificultades de los estudiantes tienen un paralelo con las dificultades de algunos matemáticos en la historia, con la discusión sobre el concepto de ángulo, nos fue natural preguntarnos por el rol que juega la enseñanza para que esto suceda. Se dice que conocer la histo-ria nos ayuda a evitar cometer los mismos errores una y otra vez, pero ¿es suficiente con conocerla para saber cómo evitar los errores? Consideramos que no, al menos en lo que respecta al aprendizaje de conceptos matemáticos. Sin embargo, la his-toria nos hizo poner atención en que si bien es posible localizar un paralelo entre los conflictos, no hay paralelo entre los esce-narios y los contextos en los que estos se presentan. Es decir, mientras que la discusión histórica está situada en un contexto filosófico - matemático, el estudiante los presenta en un contexto escolarizado más influenciado por contratos como el didáctico, el escolar y el pedagógico.

Al poner de manifiesto que la manipulación de la inclina-ción no muestra complejidad en el estudiante, como sí el manejo del concepto de ángulo, Duoek (1999) comenzó a darnos algu-nas señales de que la dificultad puede radicar en el manejo esco-lar del concepto, más que en la manipulación de algunos de sus significados por parte del estudiante en ciertas tareas. De aquí que nuestro primer interés fue el de reconocer los posibles sig-nificados del concepto que serían pertinentes de manipular en el primer año de la educación secundaria. La historia nos proveyó de un punto importante de partida: la discusión sobre el ángulo aún no termina. ¿Por qué entonces lo enseñamos como un con-cepto acabado, caracterizado por definiciones, representaciones y aplicaciones hasta cierto punto rígidas?

206

Las herramientas de medición

De haber entregado al estudiante, dentro de los materiales, un transportador y las escuadras hubiéramos inducido a la idea de medir ángulos. En cambio, se buscaron actividades ‘escolares’ que desviaran la atención de una definición o una representa-ción específica del concepto de ángulo y la orientaran al mane-jo de conceptos previos, en nuestro caso hacia el concepto de ‘fracción’.

Se utilizaron los círculos para favorecer ambas ideas, la de fracción y la de giro, pero para prevenir la confusión, que reportan Bosch, et al. (2003), con el área se utilizaron círculos de varios tamaños y, desde el inicio, se hace un comparativo explícito entre áreas para diferenciarlo de las porciones som-breadas. Hacer uso del círculo favoreció la analogía con el reloj para la subdivisión en 360 partes, lo cual podemos considerar una especie de construcción del transportador.

De igual manera, al recortar las figuras 25 y 27 el estu-diante está construyendo las clásicas escuadras con las que acos-tumbra a trazar ángulos o inclinaciones a ángulos determinados (como las que regularmente, y como ya mencionamos, se trazan en la clase de dibujo técnico con dificultad). En este sentido la herramienta no se le proporciona como algo que pre - existe, sino como algo que puede reconstruir.

El ángulo como cualidad, cantidad y relación

Históricamente el debate sobre la naturaleza del ángulo —cuan-titativa, cualitativa o como relación—, se da en un contexto fi-losófico - matemático que no nos interesa reproducir en el aula. Por eso reorientamos nuestro acercamiento a él para manipular-lo como una forma, susceptible de medirse y que para acotarse requiere de relacionar otros objetos. Estas consideraciones afec-tan la manera en que se manipula el ángulo y transita entre lo estático y lo dinámico durante toda la secuencia:

207

… en sectores de área (significado cualitativo - estático), en los giros (significado cualitativo - dinámico), en la porción de una circunferencia (significado cuantitativo - estático) y en la parte de vuelta (significado cuantitativo - dinámico)

[fase de planeación]La institucionalización está pensada sólo como la introducción del nombre ‘oficial’ de las ‘partes’ o ‘subdivisiones’, consecuen-cia lógica del trabajo realizado durante la secuencia. Es decir, busca articular al ángulo como cualidad, como cantidad y como relación; aunque claramente al hablar de ‘divisiones’ está favo-reciendo más su carácter estático. En la institucionalización se busca relacionar 1 de esas 360 partes con el llamado grado, pero trabajando en la secuencia la cantidad, la cualidad, lo estático, lo dinámico sin importar la longitud de los lados ni el espacio sombreado sino la relación entre la parte y el todo.

8. Consideraciones finales

Prototípicamente, los experimentos de diseño suponen la ‘inge-niería’ de formas particulares de aprendizaje y el estudio siste-mático de formas de aprendizaje dentro de contextos definidos por los medios que las soportan (Cobb, et al., 2003). En este documento presentamos sólo el primer momento de nuestro ex-perimento de diseño, pero considerando el contexto en el que se llevaría a cabo, que dentro de nuestra metodología de diseño se denominan consideraciones didácticas. Sin embargo, es claro que para el estudio de las formas de aprendizaje es necesario llevar a cabo la experiencia.

Nuestro propósito aquí fue mostrar, por un lado, cómo la historia puede reorientar el objeto de ‘enseñanza’ para favorecer la integración del estudiante en su propio proceso de aprendiza-je y, por otro lado, mostrar la complejidad del diseño didáctico fundamentado en teorías del aprendizaje de dominios específi-cos. Para efectos del presente documento, la teoría en cuestión es la teoría de Mitchelmore y White (1998, 2000), la cual se

208

articula, de forma sistémica, con las consideraciones didácticas e histórico - epistemológicas aquí planteadas.

Reconocimientos

Este trabajo de investigación se llevó a cabo con el apoyo que la Secretaría de Investigación y Posgrado del Instituto Politécnico Nacional otorgó al Proyecto 2011 - 3119 ‘Construcción de co-nocimiento trigonométrico en escenarios experimentales’

Referencias

Bosch, C., Ferrari, V., Marván, L. y Rodríguez, P. (2003). Diplo-mado de la Ciencia en tu Escuela. Módulo de Matemática-Primaria. Correo del Maestro, Num. 88. Recuperado el 26 de Noviembre de 2008 de http://www.correodelmaes-tro.com/anteriores/2003/septiembre/1anteaula88.htm

Boyer, C. (1968). A history of mathematics. New York: Wiley.Buendía, G. y Montiel, G. (2009). Acercamiento socioepiste-

mológico a la historia de las funciones trigonométricas. En P. Lestón (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (Vol. 22, pp. 1287 - 1296). México, DF: Cole-gio Mexicano de Matemática Educativa A. C.

Buendía, G. y Montiel, G. (2011). From History to Research in Mathematics Education: socio - epistemological elements for trigonometric function. En V. Katz y C. Tzanakis (Eds.), Recent Developments on Introducing a Historical Dimension in Mathematics Education (pp. 65 - 80). usa: Mathematical Association of America.

Cantoral, R. (2001). Matemática Educativa. Un estudio de la formación social de analiticidad. México: Grupo Edito-rial Iberoamérica.

Casas, L. (2002). Estudio de la estructura cognitiva de alumnos a través de las redes asociativas Pathfinder. Aplicaciones y

209

posibilidades en Geometría (Tesis doctoral no publicada). Universidad de Extremadura: Badajoz.

Clements, D. y Burns, B. (2000). Students’ development of stra-tegies for turn and angle measure. Educational Studies in Mathematics 41, 31 - 45.

Cobb, P., Confrey, J., diSessa, A., Lehrer, R. y Schauble, L. (2003). Design Experiments in Educational Research. Educational Researcher, 32(1), 9 - 13.

Duoek, N. (1999). Argumentation and conceptualization in context: a case study on sunshadows in primary school. Educational Studies in Mathematics, 39(1 - 3), 89 - 110.

Enriques, F. (1911). Principes de la geométrie. En J. Molk y F. Meyer (Eds.), Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées. Tome iii, Fondements de la Géomé-trie. Paris: Gauthier - Villars.

Furinghetti, F. (2007). Teacher education through the history of mathematics. Educational Studies in Mathematics, 66(2), 131 - 143.

Fyhn, B. (2007). A climbing class’ reinvention of angles. Educa-tional Studies in Mathematics, 67(1), 19 - 35.

Heath, T. (1956). euclid. The thirteen books of the Elements (Vol. 1). New York, USA: Dover.

Keiser, J. (2004). Struggles With Developing the Concept of An-gle: Comparing Sixth - Grade Students’ Discourse to the History of the Angle Concept. Mathematical Thinking and Learning, 6(3), 285 - 306.

Lezama, J (2003).Un estudio de reproducibilidad de situacio-nes didácticas (Tesis de doctorado no publicada). cinves-tav - ipn. México.

Maor, E. (1998). Trigonometric delights. usa: Princeton Univer-sity Press.

Matos, J. (1990). The historical development of the concept of angle. The mathematics Educator, 1(1), 4 - 11.

Matos, J. (1991). The historical development of the concept of angle (2). The mathematics Educator, 2(1), pp. 18 - 24.

210

Mitchelmore, M. y White, P. (1998). Development of Angle Concepts: A Framework for Research. Mathematics Edu-cation Research Journal 10(3), 4 - 27.

Mitchelmore, M. y White, P. (2000). Development of angle concepts by progressive abstractions and generalization. Educational Studies in Mathematics, 41, 209 - 238.

Montiel, G. (2011). Historia en un curso de posgrado para pro-fesores de matemáticas en servicio. Una estrategia para problematizar la trigonometría escolar. En P. Lestón (Ed.), Acta Latinoamericana de Matemática Educativa (Vol. 24, pp. 1019 - 1026). México, DF: Colegio Mexicano de Ma-temática Educativa A. C.

Munier, V. y Merle, H. (2009). Interdisciplinary Mathema-tics - Physics Approaches to Teaching the Concept of An-gle in Elementary School. International Journal of Science Education, 31(14), 1857 - 1895.

Piaget, J. y García, R. (1982). Psicogénesis e historia de la cien-cia. México: Siglo xxi Editores.

Rotaeche, R. (2008). La construcción del concepto de ángulo en estudiantes de secundaria (Tesis de maestría no publica-da). cicata - ipn. México.

Rotaeche, A. y Montiel, G. (2008). From the history of the an-gle to its epistemological nature. Contributions to a scho-lar design. En R. Cantoral, F. Fasanelli, A. Garciadiego, R. Stein y C. Tzanakis (Eds.), Proceedings of the History and Pedagogy of Mathematics 2008. México D.F.:hpm

Skemp, R. (1969). The psychology of learning mathematics. Harmondsworth, uk: Penguin.

van Brummelen, G. (2009). The mathematics of the heavens and the earth. The early history of trigonometry. Prince-ton University Press.

Reflexión e investigación en matemática eductaiva, de Gabriela Buendía Abalos,

fue impreso y terminado en noviembre de 2011 en Encuadernaciones Maguntis, Iztapalapa,

México, D.F. Teléfono: 56409062Preprensa: Daniel Bañuelos Vázquez